EJERCICIOS Y TABLAS DE ÁLGEBRA LINEAL
HOJA 1: MATRICES Y DETERMINANTES A) Cuestiones test ¡ ¢ 1. Sean A, B dos matrices cuadradas de orden n. Se verifica entonces que tr A + B T = tr (A) − tr (B) . ¢ ¡ ¢ ¡ (a) Falso, ya que tr A + B T = tr (A) + tr B T = tr (A) + tr (B). µ ¶ µ ¶ ¡ ¢ −2 0 0 −1 (b) Verdadero. Si, por ejemplo, A = y B = , se verifica que tr A + B T = 6, 1 8 2 0 ¡ ¢ tr (A) = 6 y tr (B) = 0 por lo que se cumple que tr A + B T = tr (A) − tr (B). ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ (c) Verdadero, ya que como tr B T = −tr (B) entonces tr A + B T = tr (A) + tr B T = tr (A) − tr (B) ⎛ ⎞ 1 0 b 2. Sea A = ⎝ 0 b 2 ⎠ con b ∈ R. Entonces se verifica que A es invertible únicamente si b 6= 1. 0 1 2
(a) Verdadero, pues rg{(1, 0, 0), (0, b, 1), (b, 2, 2)} < 3 únicamente si b = 1, por lo que A tiene rango completo únicamente si b 6= 1. (b) Falso, pues para b = 1 resulta que |A| 6= 0 en cuyo caso A tiene inversa. ⎛ ⎞ 2b − 2 b −b2 1 ⎝ 0 2 −2 ⎠ verifica que A · C = C · A = Id para todo b ∈ R, (c) Falso, pues la matriz C = 2b−2 0 −1 b por tanto A tiene inversa para cualquier b ∈ R. µ ¶ µ ¶ a b 2b − d d 3. Sea A = una matriz tal que |A| 6= 0. Entonces B = tiene rango 2. c d 2a − c c (a) Verdadero, pues como B se obtiene haciendo combinaciones lineales a partir de las filas de A, entonces |B| = |A| 6= 0. (b) Verdadero, pues |B| = 2bc − 2ad = −2|A| 6= 0. (c) Falso, rg(B)< 2 pues sus columnas son linealmente dependientes. (d) Verdadero, pues por las propiedades de los determinantes: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a b ¯ ¯ a c ¯ ¯ b d ¯ 1 ¯¯ 2b − d d ¯¯ −1 1 ¯¯ 2b d ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =− ¯ = |A| = ¯ = = −¯ =− ¯ |B|, c d ¯ ¯ b d ¯ a c ¯ 2 2a c ¯ 2 2a − c c ¯ 2 y por tanto |B| 6= 0. ⎛
⎞ ⎛ ⎞ 1 2 a 1+a 1 a 0 1 0 ⎠ con a, b ∈ R. Se verifica que |A| = |B| para 4. Sean las matrices A = ⎝ 0 1 0 ⎠ y B = ⎝ −3 0 b −3 + b 3 b todo a, b ∈ R. (a) Falso, ya que si a = −1 (b) Verdadero, pues ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ |B| = ¯¯ 0 1 0 ¯¯ + ¯¯ ¯ −3 3 b ¯ ¯
y b = 3 entonces |B| = 0 y sin embargo |A| 6= 0.. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 a ¯ ¯ 1 −1 a ¯ a 1 a ¯¯ ¯¯ 1 1 a ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 0 ¯¯ = |A| + 0 = |A| 0 1 0 ¯¯ = ¯¯ 0 1 0 ¯¯ + 0 = ¯¯ 0 1 0 ¯¯ + ¯¯ 0 ¯ −3 0 b ¯ ¯ −3 3 b ¯ b 3 b ¯ ¯ −3 3 b ¯
(c) Verdadero, pues la matriz B resulta de sumar a la primera y segunda columna de A una combinación lineal de las restantes columnas de A, por lo que el determinante no varía. ¯ ¯ 5. Sea A ∈ Mn×n tal que |A| 6= 0 entonces para cualquier α ∈ R se tiene que ¯αAA−1 At ¯ = αn |A|. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 |A| = α |A| (a) Falso, ya que ¯αAA−1 At ¯ = α ¯AA−1 At ¯ = α |A| ¯A−1 ¯ |At | = α |A| |A| ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 −1 t ¯ n¯ −1 t ¯ n −1 ¯ t ¯ ¯ |A| = αn |A| |A | = αn |A| |A| (b) Verdadero, pues como αAA A = α AA A = α |A| A ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¡ ¢ (c) Falso, pues como ¯αAA−1 At ¯ = α ¯AA−1 At ¯ = α |A| + ¯A−1 ¯ + |At | = α (|A| − |A| + |A|) = α |A| ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¢ ¡ (d) Verdadero, ya que ¯αAA−1 At ¯ = αn ¯AA−1 At ¯ = αn |A| + ¯A−1 ¯ + |At | = αn (|A| − |A| + |A|) = αn |A|
B) Problemas 1. Se consideran las matrices ⎛
⎞ 1 −2 0 ⎠, A = ⎝ −1 0 2
⎛
⎞ 4 5 1 B = ⎝ 6 7 8 ⎠, 1 1 1
C=
µ
¶
6 5 −1 1 −2 1
.
Calcular: (a) 4A + 2C t , (b) (BA)t − C, (c) B + AC, (d) CA, (e) (B − 2I)2 , (f ) (CA)−1 .
Explicar porqué las siguientes operaciones no tienen sentido: 2A − B, AB, A − 2I y C 2 . 2. Dadas las matrices A, B, C , D , ⎛ 1 A = ⎝ 0 4 ⎛ 1 D = ⎝ 0 4
E y F , calcular su traza (si existe) ⎞ ⎛ µ ¶ 3 5 3 7 1 2 2 ⎠ B= C=⎝ 9 3 9 0 1 0 ⎞ µ ¶ µ 1 3 2 1 4 2 1 ⎠ E= F = 1 3 0 0 1
⎞ 2 4 5 1 1 0 ⎠ 0 2 7 ¶ 1 1 3 0 1 2
3. Dadas las matrices del ejercicio anterior, calcular la traza (si existe) de A + 2B, A + 3D y 125E − 14F. ⎛ ⎞ 1 −2 −4 3 ⎠ calcular αA, tr(A), tr(αA) y establecer la relación entre tr(A) y tr(αA). 4. Dada la matriz A = ⎝ 1 0 1 −3 −5 ⎛ ⎞ µ ¶ 1 4 −3 1 7 ⎝ ⎠ 6 −2 5. Dadas las matrices A = yB = calcular tr(AB), tr(BA) y establecer la relación −2 0 1 2 −2 entre tr(AB) y tr(BA). 6. Sea I3 la matriz identidad. Calcular I32 = I3 I3 y deducir que, en general: tr(AB) 6= tr(A) tr(B). 7. Calcular el rango de las siguientes matrices: ⎛ ⎞ µ ¶ 0 5 3/2 4 5 6 1 ⎝ ⎠ 0 −1 1 A= , B= , 6 7 8 3 0 32 7
⎛
⎞ 1 −1 −1 0 2 1 1 1 3 ⎠. C=⎝ 4 2 2 0 0 1
8. Hallar a y b para que A sea la matriz inversa de B, siendo ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1/2 −1 −1 1 1 0 1 b ⎠, A=⎝ a B = ⎝ 5/2 7/2 −1 ⎠ . 3 0 1 −3 −3 1 9. Calcular la inversa (si existe) de las siguientes matrices utilizando el ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 1 1 0 1 −1 2 3 2 ⎜ 1 1 1 1 ⎟ ⎟,C = ⎝ 4 1 1 4 ⎠,B = ⎜ A=⎝ 3 ⎝ 1 0 0 0 ⎠ 5 −1 8 1 4 1 1 0 0
método de Gauss—Jordan: ⎛ ⎞ 3 −1 2 4 ⎜ 1 1 0 5 ⎠,D = ⎜ ⎝ −2 4 1 2 6 −4 1
10. Estudiar si alguna de las siguientes matrices es triangular, simétrica o antisimétrica: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1/10 −1 −1 1 0 0 6 −1 1 1 ⎠ , B = ⎝ 5/2 7/2 0 ⎠ , C = ⎝ 0 7 A=⎝ 1 1 −1 31 −3 −3 1 0 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 5/2 0 0 −5 8 4 −10 0 −1 ⎠ , F = ⎝ 10 2 D = ⎝ 5/2 2 −1 ⎠ , E = ⎝ 5 0 −1 1 −8 1 0 1 −1
⎞ −4 5 ⎠, 1 ⎞ 1 −1 ⎠ . 1
⎞ 4 3 ⎟ ⎟ 5 ⎠ 2
11. Dar un ejemplo de una matriz A ∈ M2×2 tal que A2 = A3 = 0 pero A 6= 0. 12. Estudiar si alguna de las siguientes matrices es ortogonal, idempotente, unipotente o nilpotente: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ µ ¶ µ ¶ 2 −2 −4 1 −1 0 0 −1 1 0 4 ⎠, B = A = ⎝ −1 3 , C= , D = ⎝ 1 −1 0 ⎠ . 1 0 2 −1 1 −2 −3 2 −2 0 13. Calcular el determinante de las siguientes matrices de orden 2 utilizando la definición: µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 3 0 1 4 0 2 3 A= , B= C= D= 2 7 1 2 0 3 2 3 14. Calcular el determinante de las ⎛ 1 A=⎝ 3 5 ⎛
siguientes matrices orden 3 ⎞ ⎛ 2 2 1 1 0 7 ⎠ B=⎝ 4 2 4 1 1 3
⎞ 1 2 0 15. Dada la matriz A = ⎝ 1 4 1 ⎠ calcular: 3 1 0
utilizando la regla de Sarrus: ⎞ ⎛ ⎞ 0 1 2 3 2 ⎠ C=⎝ 1 0 1 ⎠ 2 1 1 0
− Los menores complementarios de los elementos a13 , a22 , a11 .
− Los adjuntos de los elementos de la segunda fila.
− El determinante |A|, desarrollando por los elementos: (a) de la primera fila (d) de la primera columna
(b) de la segunda columna
(c) de la tercera columna
(e) de la tercera fila
Indíquese cual de estos métodos ha resultado ser más eficiente (rápido) para calcular el valor de |A|. µ ¶ µ ¶ 1 3 2 1 16. Dadas las matrices A = ,B = deducir que |A + B| 6= |A| + |B|. 2 −1 0 −1 17. Probar, sin efectuar su cálculo, que los determinantes de las ⎛ ⎛ ⎞ ⎜ 1 a b+c ⎜ ⎝ ⎠ 1 b c+a A= B=⎜ ⎜ ⎝ 1 c a+b 18. Calcular el rango de la matriz
⎛
1 ⎜ 2 A=⎜ ⎝ 1 1
19. Determinar los valores del parámetro a para los que ⎛ 2 ⎜ a A=⎜ ⎝ 2 1
1 4 0 0
1 1 1 1
siguientes matrices son nulos: ⎞ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ⎟ ⎟ 11 12 13 14 15 ⎟ ⎟ 16 17 18 19 20 ⎠ 21 22 23 24 25 1 5 0 0
la matriz 1 0 1 1
⎞ 2 3 ⎟ ⎟ 2 ⎠ 2
⎞ 1 1−a 0 1 ⎟ ⎟ 1 0 ⎠ 0 0
tiene rango completo. Para a = 2 calcular la matriz inversa A−1 .
20. Calcular el determinante de las siguientes matrices ⎛ ⎞ ⎛ 1 1 0 2 1 ⎜ 2 ⎜ ⎜ 0 1 −1 0 ⎟ ⎟ B=⎜ A=⎜ ⎜ 5 ⎝ 0 0 3 2 ⎠ ⎝ 3 0 0 0 7 2
⎞ 0 −3 1 4 2 1 −2 3 ⎟ ⎟ 0 −1 0 2 ⎟ ⎟ 0 0 4 1 ⎠ 3 −1 0 4
⎛
⎞ 3 0 0 C=⎝ 2 2 0 ⎠ 1 3 −3
HOJA 2: SISTEMAS LINEALES A) Cuestiones test ¡ ¢ 1. Sea A = a·1, a·2 , a·3 , a·4 una matriz cuadrada de orden 4, donde a·1 , a·2 , a·3 y a·4 son sus columnas y tal que a·4 = 2a·1 + a·2 . Entonces se verifica que el sistema Ax = 0 es compatible indeterminado. (a) Verdadero, pues todo sistema homogéneo es compatible indeterminado. (b) Verdadero, ya que, por ser homogéneo, el sistema es compatible y puesto que rg(A) < 4, por el teorema de Rouche-Frobenius, el sistema es compatible indeterminado. e (con A e la matriz ampliada del (c) Falso, pues como el sistema es homogéneo se tiene que rg(A) = rg(A) sistema) y por el teorema de Rouche-Frobenius sabemos que el sistema es compatible determinado.
→ → − → − → 2. Dada una matriz A ∈ Mm × n y dos vectores b , − c ∈ Rm , si el sistema A− x = b es compatible determinado → − − → → → → → entonces se verifica que el sistema A− x =− c , con − c 6= 0, − c 6= b es también compatible determinado. → − → → − → → → (a) Verdadero. En efecto si A− x = b y A− x =− c entonces b = − c y por tanto los sistemas son equivalentes.
(b) Falso. Sería verdadero si m = n.
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 0 2 − → −c = ⎝ (c) Falso, ya que si consideramos la matriz A = ⎝ 0 1 ⎠ y b = ⎝ −1 ⎠ , → 1 1 1 → − → − → → sistema A x = b es compatible determinado, pero sin embargo el sistema A− x =− c
3. Dado el sistema lineal:
Entonces se verifica que:
⎛
⎧ ⎨ 3x + y + z = 2 az = 0 ⎩ 2y + z = −1
⎞ 0 1 ⎠ se tiene que el 4
es incompatible.
con a ∈ R
(a) Es incompatible cuando a = 0. (b) Es compatible determinado para cualquier valor de a ∈ R. (c) Tiene solución única cuando a 6= 0.
(d) Es compatible indeterminado para a = 0. ⎛ ⎞ 1 0 1 0 ⎠ se verifica que los sistemas Ax = 0 y Ax = b son siempre compatibles 4. Dada la matriz A = ⎝ 1 1 0 −1 2 determinados para cualquier vector b ∈ R3 . (a) Falso, pues el sistema Ax = 0 es compatible indeterminado. ³ ´ (b) Verdadero, ya que |A| 6= 0 y rg A˜ = 3 = rg (A), donde A˜ = (A | b) es la matriz ampliada. (c) Falso, pues el sistema Ax = b podría ser incompatible para algún b ∈ R3 .
B) Problemas 1. Un agente de bolsa debe comprar 60 acciones entre la empresa Potato y la empresa Pepito; cada acción de Potato cuesta 6 euros y la de la empresa Pepito 1 euro. El agente de bolsa dispone de 130 euros. ¿Cuantas acciones ha comprado de cada empresa? 2. Hallar la solución general (en el caso de que exista) de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: ½ ½ ½ x − 3y = 4 2x + y = −3 4x + 2y = 1 i) ii) iii) −4x + 2y = 6 6x + 2y = −6 12x + 6y = −1
3. Resolver los siguientes sistemas homogéneos de ⎧ x+y−z = ⎨ 2x − 4y + 3z = i) ⎩ −5x + 13y − 10z =
4. Considere el sistema
ecuaciones lineales: 0 0 0
ii)
½
x − y + 7z − t = 0 2x + 3y − 8z + t = 0
⎧ ⎨ 2x − 3y + 5z = 0 −x + 7y − 3z = 0 ⎩ 4x − 11y + Kz = 0
¿Qué valor de K hará que el sistema tenga soluciones no triviales? 5. Hallar el subespacio vectorial de las soluciones de los sistemas ⎧ ⎧ = 0 = 0 ⎨ x+y+z+t ⎨ x + 3y + 2z x − 2z + 3t = 0 −x + 5y + 3z = 0 ii) i) ⎩ ⎩ −3x + 7y + 4z = 0 x − 2y − 8z + 7t = 0 Calcular la dimensión de dicho subespacio.
6. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: ⎧ ⎧ 2x + 3y − z + 5t = 0 3x + 4y − 5z + 7t = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ 3x − y + 2z − 7t = 0 2x − 3y + 3z − 2t = i) ii) 4x + y − 3z + 6t = 0 4x + 11y − 13z + 16t = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ = ⎧x − 2y + 4z − 7t = 0 ⎧ 7x − 2y + z + 3t x − 2y + z + t = 2 x − 2y + z + t = 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ 3x + 2z − 2t = −8 3x + 2z − 2t = −8 iii) iv) 4y − z − t = 1 4y − z − t = 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ −x + 6y − 2z = 7 5x + 3z − t = 0
7. Resolver los siguientes sistemas utilizando la ⎧ = ⎨ x − 2y + z 2x − y + 4z = i) ⎩ 3x − 2y + 2z =
0 0 0 0
regla de Cramer 7 17 14
⎧ ⎨ 2x + 3y − z 3x + 5y + 2z ii) ⎩ x − 2y − 3z
= 1 = 8 = −1
8. Determinar los valores de k para que los siguientes sistemas tengan: a) solución única; b) infinitas soluciones; c) ninguna solución. ⎧ ⎧ 2x + y − z = 3 ⎪ ⎪ = 1 ⎨ ⎨ x+y−z x + 2y + 3z = 2 2x + 3y + kz = 3 ii) i) x − y + kz = 1 ⎪ ⎩ ⎪ x + ky + 3z = 2 ⎩ 3x + 2y + 2z = 2 9. Hallar la condición que deben verificar a, b y c ⎧ = ⎨ x + 2y − 3z 2x + 6y − 11z = i) ⎩ x − 2y + 7z =
para que los siguientes sistemas ⎧ a ⎨ x+y+z b −2x + y + 3z ii) ⎩ x − 2y + az c
sean compatibles: = 2 = 5 = b
10. La Consejería de Pesca proporciona tres tipos de alimento a tres especies de peces protegidas que habitan en un lago. Cada pez de la especie 1 consume por semana un promedio de una unidad del alimento A, 1 unidad del alimento B y 2 del alimento C. Los de la especie 2, 3 unidades del alimento A, 4 del B y 5 del C. Y los de la tercera especie, consumen cada semana 2 unidades del alimento A, 1 unidad del B y 5 del C. Cada semana se vierten en el lago 25.000 unidades del alimento A, 20.000 del alimento B y 55.000 del alimento C. Suponiendo que toda la comida se consuma, ¿cuantos ejemplares de cada especie pueden convivir en el lago?¿Y si se vierten 15.000 unidades del A, 10.000 del B y 35.000 del C?
HOJA 3: ESPACIOS VECTORIALES A) Cuestiones test 1. Sean u1 , u2 , u3 y u4 = u1 − 3u2 vectores no nulos de R3 y distintos entre sí. Entonces se verifica que {u1 , u2 , u3 , u4 } son linealmente dependientes. (a) Verdadero, porque en R3 cuatro vectores son siempre linealmente dependientes. (b) Verdadero, pues u4 es combinación lineal de u1 y u2 por tanto constituyen un conjunto de vectores linealmente dependientes. (c) Falso, sólo sería verdadero si además u3 se pudiera escribir como combinación lineal de u1 y u2 . (d) Falso, pues con la información que tenemos no podemos asegurar que sean linealmente dependientes. 2. El conjunto W = {(x, y, z) ∈ R3 / x + y + z = 0, 2x − y = a} es un subespacio vectorial de R3 de dimensión 1. → → → → (a) Verdadero, pues para todo − w 1, − w 2 ∈ W y α, β ∈ R se verifica que α− w 1 + β− w 2 ∈ W y como además W ⊂ R3 y su expresión analítica tiene dos condiciones, entonces dimW = dim R3 − 2 = 1. → → (b) Falso, pues si a = 3, entonces − w = (1, −1, 0) ∈ R3 pero 2− w ∈ / W. 1
1
(c) Sería cierto si a = 0, ya que en este caso W es subespacio vectorial R3 y B = {(1, 2, −3)}, es una base de W , y por tanto, dim W = 1.
3. Sean W1 y W2 subconjuntos de R3 definidos por: W1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y = 0} ; W2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 5} Entonces se verifica que W1 , W2 y W1 ∩ W2 son subespacios de R3 (a) Falso, pues W1 ∩ W2 no es subespacio vectorial pues la intersección de subespacios vectoriales en general no lo es. (b) Falso, pues W2 no es subespacio vectorial ya que 0 = (0, 0, 0) ∈ / W2 .
(c) Falso ya que W1 ∩ W2 = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 5}, y dados u = (1, 1, 5) y v = (0, 0, 5) vectores de W1 ∩ W2 la suma u + v = (1, 1, 10) no pertenece a W1 ∩ W2 .
(d) Verdadero, pues W1 y W2 son subespacios vectoriales por estar definidos por ecuaciones lineales y W1 ∩W2 lo es por ser intersección de subespacios vectoriales. 4. El conjunto de vectores M = {u1 = (1, 1, 2, 1), u2 = (0, 2, 3, 1), u3 para cualquier valor de a. ⎛ 1 ⎜ 1 (a) Verdadero, pues para todo a ∈ R el rango de la matriz ⎜ ⎝ 2 1
= (2, 0, a, 1)} es linealmente independiente ⎞ 0 2 2 0 ⎟ ⎟ es igual a 3. 3 a ⎠ 1 1
(b) Falso, ya que si a = 1, el subespacio generado por M es L (M ) = {(x, y, z, t) ∈ R4 / y + t = z, x + y = 2t}, que tiene dimensión 2. (c) Falso, pues los vectores u1 , u2 , u3 , son linealmente dependientes ya que u3 = 2u1 − u2 .
5. Estudiar, razonando las respuestas, si las siguientes afirmaciones son verdaderas. (a) Sea W el subespacio vectorial de R3 generado por el siguiente conjunto de vectores: G = {(1, 2, 1), (0, 1, 0), (1, 0, −1), (1, 1, −1)}. Entonces W = R3 . (b) El conjunto W = {(x, y, z, t) ∈ R4 / x + y + z = 0, x − y + z = 0, x − z = 0} es un subespacio vectorial de R4 de dimensión 1.
(c) Sean u1 , u2 , u3 , u4 ∈ R3 cuatro vectores no nulos y distintos entre sí. Sea W el subespacio generado por esos cuatro vectores. Entonces se verifica que W = R3 . (d) Sea W el subespacio vectorial generado por tres vectores u1 , u2 , u3 ∈ R4 y sea v ∈ R4 tal que v = u1 +u2 +u3 y v = 2u1 − u3 . Entonces se verifica que dim W ≤ 2. 6. Sea B = {(1, 0, 0), (1, 1, 1), (−1, 0, 1)} una base de R3 y v ∈ R3 cuyas coordenadas con respecto a la base B son (1, 1, 1). Entonces las coordenadas de v con respecto a la base canónica son (1, 1, 2). (a) Verdadero, ya que (1, 1, 2) = (1, 0, 0) + (1, 1, 1) + (−1, 0, 1). (b) Falso, B no es una base de R3 .
(c) Falso, ya que las coordenadas son (1, 1, 1), debido a (1, 1, 1) = (1, 0, 0) + (0, 1, 0) + (0, 0, 1).
(d) Falso, ya que los vectores (1, 1, 2) y (1, 1, 1) son linealmente independientes. 7. Sea S = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } un sistema de generadores de un espacio vectorial V de dimensión 3. Entonces: (a) B = {v1 , v2 , v3 } es una base de V .
(b) Los vectores de S son linealmente dependientes.
(c) Sea u = 1v1 + 3v2 − v3 + 2v4 − 10v5 , entonces las coordenadas de u con respecto de una base B de V son (1, 3, −1, 2, −10).
(d) S es un sistema de generadores de V y los vectores de S son linealmente independientes. © ª 8. Sean W = (x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0 y la matriz ⎛ ⎞ −1 0 1 1 −2 ⎠ A=⎝ 2 −1 −1 1 Se verifica que el sistema de ecuaciones lineales Ax = b es compatible para todo b ∈ W .
(a) Verdadero, ya que si b ∈ W , entonces es de la forma b = (α, β, −α − β) con α, β ∈ R y se verifica que ⎞ ⎛ −1 0 1 α ⎠=2 1 −2 β rg (A) = rg ( A| b) = rg ⎝ 2 −1 −1 1 −α − β (b) Falso, el sistema Ax = b, con b = (1, 1, −1) cumple las hipótesis del enunciado y, sin embargo, es incompatible. (c) Verdadero, ya que L {(−1, 2, −1) , (0, 1, −1) , (1, −2, 1)} = W y, por tanto, cualquier vector b ∈ W es combinación lineal de los vectores columna de A.
B) Problemas 1. Dibujar los vectores (−4, −2), (2, 1) de R2 y (1, 3, 2), (5, 1, −4) de R3 . Hallar el ángulo que forman. 2. Los vectores u y v de R2 forman un ángulo de 60o y el módulo de u es 3. Determinar el módulo de v para que v − u sea ortogonal a u. 3. Sea R3 [x] el conjunto de polinomios en una indeterminada x con coeficientes reales de grado ≤ 3. Probar que R3 [x] es un espacio vectorial con las operaciones: suma de polinomios y producto de un polinomio por un número real. ¿Es el subconjunto H = {p(x) ∈ R3 [x] : grado(p(x)) = 3} un subespacio vectorial de R3 [x]? 4. Averiguar si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de R4 : A = {(x, y, z, t)| 2x + z = 0}, C = {(x, y, z, t)| 2x + y = 3}, E = {(x, y, z, t)| t ≤ 0}, G = {(x, y, z, t)| xy = 0}.
B = {(x, y, z, t)|x + y = 0, z − t = 0}, D = {(x, y, z, t)|x + y = 0 ó z − t = 0}, F = {(x, y, z, t)| x = y, z = 2t, x + y = 0}.
5. En R3 se consideran los subconjuntos: W1 = {(x, y, z) ∈ R3 | x = 0} ; W2 = {(x, y, z) ∈ R3 | y − z = 0, 3x + 2y − 2z = 0}.
(a) Demostrar que W1 y W2 son subespacios vectoriales de R3 . (b) Hallar los subespacios vectoriales: W1 ∩ W2 , W1 + W2 .
6. Estudiar si el sistema de vectores {(1, −1, 2), (−1, 1, 2), (0, 0, 1)} generan R3 . 7. Encontrar un sistema de generadores de los subconjuntos del ejercicio 4 que hayan resultado ser subespacios vectoriales de R4 . 8. ¿Son los vectores (1, 2, 3), (1, 1, 1) combinación lineal de los vectores del sistema S = {(1, 0, 2), (0, 2, 2)}? 9. Estudiar si los siguientes vectores son linealmente dependientes o independientes: (a) (1, 2), (2, 3), (5, 8) (b) (1, 2, 3), (2, 0, −1), (0, 4, 7) (c) (1, 2, 1)(3, 1, 1)(1, 0, −1)
(d) (1, −2, 1, 1), (3, 0, 2, −2), (0, 4, −1, 1) (e) (1, 2, 3, 0), (1, 0, 0, 1), (1, 0, 0, −1), (0, 2, 3, 1)
10. Encontrar subconjuntos de vectores linealmente independientes de los conjuntos de vectores del ejercicio anterior que hayan resultado ser linealmente dependientes. 11. Encontrar los subespacios vectoriales generados por los conjuntos de vectores del ejercicio 10. 12. (a) Si u, v y w son vectores linealmente dependientes. ¿Se puede asegurar que u depende linealmente de v y w? ¿Y que uno de los tres vectores es combinación lineal de los otros dos? (b) Si {u, v, w} son linealmente independientes. Estudiar si {u+v, u+ w, v+ w} son linealmente independientes o no. 13. Encontrar una base de los subconjuntos del ejercicio 4 que sean subespacios vectoriales de R4 y dar la dimensión. 14. Se considera el conjunto de vectores B = {u1 = (1, 1, 1, 1), u2 = (1, 1, −1, −1), u3 = (1, −1, 1, −1), u4 = (1, −1, −1, 1)}.
(a) (b) (c) (d)
Probar que B es una base ortogonal de R4 . Escribir v = (1, −3, 5, 6) como combinación lineal de u1 , u2 , u3 , u4 . Hallar las coordenadas de un vector arbitrario v = (a, b, c, d) en la base B. Obtener una base ortonormal de R4 a partir de B.
15. Dados U = {(x, y, z, t) ∈ R4 / y − 2z + t = 0} y V = {(x, y, z, t) ∈ R4 / x = t, y = 2z} subespacios vectoriales de R4 , hallar una base y la dimensión de U , V , U ∩ V y U + V . 16. Se consideran las siguientes bases de R2 : B = {(1, 2); (2, 3)} y B0 = {(1, 3); (1, 4)}. Hallar: (a) las coordenadas de los vectores de la base B respecto de la base B0 , (b) las coordenadas de los vectores de la base B0 respecto de la base B. 17. Se consideran los subespacios vectoriales de R4 siguientes: V1 = {(x, y, z, t)/ x + y − z = 0} V2 = L{(1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4)} V3 = L{(1, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} ¿Pertenece el vector (1, 0, 1, −2) a dichos subespacios? En caso afirmativo calcular las coordenadas de dicho vector con respecto a alguna base de dichos subespacios. 18. Estudiar la dependencia lineal de los vectores (4, 0, 1), (1, 5, 1), (7, −5, 1). Calcular el subespacio generado por los mismos y determinar su dimensión. 19. (a) Probar que H = {(x, y, z, t) ∈ R4 / x + y = 0, z + t = 0} es un espacio vectorial de R4 . Calcular una base y la dimensión de H. (b) Sea L el subespacio vectorial de R4 generado por (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1). Calcular una base y la dimensión de H ∩ L y de H + L.
HOJA 4: APLICACIONES LINEALES A) Cuestiones test 1. No existe ninguna aplicación lineal f : R2 −→ R2 tal que f (1, 1) = (2, 1) ; f (1, 0) = (0, 1) ; f (0, 1) = (1, 0)
(1)
(a) Verdadero, pues si f fuese lineal se tendría f (0, 1) = f (1, 1) − f (1, 0) = (2, 1) − (0, 1) = (2, 0) que no coincide con lo indicado en el enunciado. µ ¶ 0 1 (b) Falso, sí que existe una aplicación lineal f que verifique (1), f tiene asociada a la matriz A = 1 0 2 respecto a las bases canónicas de R . (c) Falso, ya que la función f (x, y) = (xy + y, x), verifica (1) y es una aplicación lineal. 2. La aplicación lineal f : R3 −→ R3 definida por f (x, y, z) = (x, x + y, x + z) tiene como matriz asociada respecto de la base canónica B = {e1 , e2 , e3 } ⎛ ⎞ 1 0 0 A=⎝ 1 1 0 ⎠ 1 0 2 (a) Verdadero, pues las columnas de A son las coordenadas de f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ) respecto de B.
(b) Falso, porque la matriz asociada a una aplicación lineal respecto de la base canónica en el espacio de llegada no puede tener una columna de unos. (c) Verdadero, pues para cualquier vector del espacio inicial se verifica que f (v) = A · v.
(d) Falso, pues como f es lineal el rango de la matriz asociada que coincide con la dimensión del subespacio imagen sólo puede ser 2 ó 1 núnca 3 que es la dimensión del espacio de llegada. (e) Falso, pues aunque f es lineal las columnas de A no coinciden con las coordenadas de los vectores de la base canónica transformados por f. 3. La matriz
⎛
⎞ 1 1 0 0 A=⎝ 1 1 0 0 ⎠ 0 0 1 1
está asociada a una aplicación lineal f definida de R4 en R3 .
(a) Verdadero, pues A tiene como aplicación asociada f (x, y, z, t) = (x + y, x + y, z + t) que es lineal. (b) Falso, pues toda matriz asociada a una aplicación lineal tiene que ser cuadrada. (c) Falso pues la matriz asociada a una aplicación lineal no puede tener ni dos filas ni dos columnas iguales. (d) Falso, pues aunque A ∈ M3×4 es la matriz asociada a g(x, y, z) = (x+y, x+y, z, z), que es una aplicación lineal, g está definida de R3 en R4 . µ ¶ 6 2 4. Sea A = la matriz asociada a una aplicación lineal respecto de la base B = {(1, 1), (0, 1)} en el 1 7 espacio inicial y la base canónica en el espacio final. Entonces se verifica que f (2, 2) = (12, 2). (a) Verdadero, pues como (2, 2) = 2(1, 1), entonces f (2, 2) = 2f (1, 1) = (12, 2). µ ¶µ ¶ µ ¶ 6 2 2 16 (b) Falso, pues f (2, 2) = = . 1 7 2 16 (c) Falso, (12, 2) no pertenece a la imagen de la aplicación f .
(d) Verdadero, pues la aplicación asociada a A es f (x, y) = (4x + 2y, −6x + 7y), y por tanto f (2, 2) = (12, 2).
5. Sea f : R3 → R2 una aplicación lineal con matriz asociada respecto a las bases canónicas µ ¶ 1 3 −1 A= 0 1 0 entonces se verifica que dim[Ker(f )] = 2. (a) Verdadero, pues Ker(f ) = {(x, y, z) ∈ R3 /x − z = 0, y = 0}.
(b) Falso, pues Ker(f ) = {(α, 0, α); α ∈ R}. (c) Verdadero, ya que rg(A) = 2.
(d) Falso, pues dim(R3 ) − dim[Im(f )] = dim[Ker(f )] = 1. 2 3 6. Sea f : R © → R una3 aplicación ªlineal con matriz asociada A respecto de las bases canónicas, y tal que Im (f ) = (x, y, z) ∈ R : x − z = 0 , entonces se verifica que el sistema Ax = b con b = (1, 2, 1) es compatible determinado.
(a) Falso, pues no disponemos de información suficiente para calcular rg (A). (b) Falso, ya que como dim [Im (f )] = 2 entonces dim [Ker (f )] > 0 y el sistema Ax = b podría ser indeterminado. (c) Falso, aunque b = (1, 2, 1) ∈ Im (f ), el rango de la matriz ampliada A˜ = (A | b) podría no coincidir con el rango de A y entonces el sistema sería incompatible. ³ ´ (d) Verdadero, ya que como b = (1, 2, 1) ∈ Im (f ) se cumple rg (A) = rg A˜ = 2 y coincide con el número de incógnitas.
B) Problemas 1. Estudiar si las siguientes aplicaciones son aplicaciones lineales: (a) f (u1 , u2 ) = (3u1 , u2 /u1 ) 2 , u2 ) (b) f (u1 , u2 ) = ( u1 +2u 3 (c) f (u1 , u2 , u3 ) = (3u1 + 4, u3 − 7u1 )
(d) f (u1 , u2 , u3 ) = (u1 − u2 , u3 + 34 u2 ) (e) f (u1 , u2 ) = (eu1 , cos u2 ) √ (f ) f (u1 , u2 , u3 , u4 ) = ( u1 , u3 + u4 ).
2. Calcular la expresión matricial (en las bases canónicas) de las siguientes aplicaciones lineales: (a) f (x, y, z) = (4x + 5y, z − x) 2 , u2 , u1 − 2u2 ) (b) f (u1 , u2 ) = ( u1 +2u 3 (c) f (u, v, w) = (u − w, u, v − 12 u)
(d) f (u1 , u2 , u3 ) = (u1 − u2 − u3 , 0, u3 ) (e) f (x, y) = (x, y) (f ) f (x, y) = (x − y, x2 , y2 , x + y).
3. Calcular los subespacios “núcleo” e “imagen” de las aplicaciones lineales del ejercicio 2. Indicar su dimensión. 4. Sea f : R3 → R2 la aplicación lineal tal que f (1, 1, 1) = (2, 2), f (0, 1, 1) = (1, 1) y f (0, 0, 3) = (0, 3). Dar f (x, y, z) para cualquier vector (x, y, z) ∈ R3 . 5. ¿Existe alguna aplicación lineal f : R2 → R2 tal que f (2, 3) = (0, 1), f (−2, −3) = (1, 0)? 6. Sea f : R3 → R3 la aplicación lineal f (x, y, z) = (ax + 3y + 4z, 3x + ay, 4x + az), con a ∈ R. Se pide: (a) Encontrar la matriz asociada de f respecto de las bases canónicas de R3 . (b) Calcular la dimensión del subespacio vectorial Im f y determinar los valores del parámetro a para los que Im f 6= R3 . 7. Sea la aplicación lineal f (x, y, z) = (4x − y, 2z + x, x). Estudiar si (1, 3, 0) pertenece a Im f . 8. Se consideran las aplicaciones lineales: f (x, y, z) = (4x − y, z + x, x) y g(x, y, z) = (y, 2z + 3x, z). Calcular las aplicaciones lineales f − 2g, f ◦ g, g ◦ f y sus matrices asociadas respecto de las bases canónicas. 9. Calcular la matriz asociada a la aplicación lineal f en las bases B1 y B2 de los espacios inicial y final resp., para cada uno de los siguientes casos:
(a) f (x, y) = (x − 2y, y); B1 = {(1, 2), (1, 1)}, B2 = {(1, 0), (0, 1)}
(b) f (x, y, z) = (z + y, x − y); B1 = {(1, 2, 0), (1, 0, 1), (0, 0, 3)}, B2 = {(1, −1), (0, 1)}
(c) f (x, y, z, t) = (x + y + z + t, 0); B1 = {(1, 2, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 2), (0, 0, 0, 2)}, B2 = {(1, 0), (0, 1)}
(d) f (x, y, z) = (x − 2y, 2y, z − x); B1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, B2 = {(1, 2, 0), (1, 0, 1), (0, 0, 3)} (e) f (x, y, z) = (2x, z + y, 3y); B1 = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}, B2 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
(f ) f (x, y, z) = (x − y − z, 2z + y, −y); B1 = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}, B2 = {(1, −1, 0), (0, 2, 0), (0, 2, 5)}
10. Sea MBB 0 (f ) la matriz asociada a la aplicación lineal f en las bases B y B 0 . Calcular la aplicación f en cada uno de los siguientes casos: ⎛ ⎞ 11 −5 0 (a) MBB (f ) = ⎝ 2 −1 0 ⎠ , B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} 0 1 1 ⎛ ⎞ 4 5 20 (b) MBB 0 (f ) = ⎝ 1/2 1 0 ⎠ , B = {(1, 8, 0), (4, 0, 1), (0, 10, 1)}, B 0 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} 0 2 0 ⎛ ⎞ 2 5/3 3 ⎠ , B = {(1, 0), (0, 1)}, B 0 = {(2, 1, 1), (−1, 2, 0), (1, 3, 0)} (c) MBB 0 (f ) = ⎝ 2 10 2 µ ¶ 1 5 3 (d) MBB 0 (f ) = , B = {(1, 2, 0), (1, 0, 1), (0, 0, 3)}, B 0 = {(1, −1), (0, 2)} 0 −1 0 ⎛ ⎞ 11 −5 0 (e) MBB (f ) = ⎝ 2 −1 0 ⎠ , B = {(1, 2, 3), (1, 1, 0), (0, 1, 1)} 0 1 1
11. Calcular la aplicación inversa en los casos en los que ésta exista: (a) f (x, y) = (x, y) (b) f (x, y, z) = (x + y + z, x − y, 2y + z)
(c) f (x, y, z) = (x + y, y − 2x, z) (d) f (x, y, z, t) = (4x − y, y, z − t, 3t).
HOJA 5: DIAGONALIZACIÓN. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES A) Cuestiones test 1. Sea A ∈ M3 tal que Au = 2u y Av = 3v para ciertos vectores no nulos u,v ∈ R3 . Entonces A es diagonalizable. (a) Falso, pues no tenemos datos suficientes para garantizar que A sea diagonalizable. (b) Verdadero, pues los autovalores de A son distintos y se puede asegurar que A es diagonalizable. (c) Falso, pero sería cierto si además el rg(A) fuera 2 ya que |A| = 0 y 0 sería otro autovalor de A. 2. Sea A una matriz cuadrada de orden 3 y sean u, v y w autovectores de A. Entonces se verifica que B = {u, v, w} es una base de R3 . (a) Verdadero, ya que los vectores u = (1, 1, 1), v = (1, 0, −1), w = (1, −2, 1) son autovectores de la matriz ⎛ ⎞ 1 −1 0 A = ⎝ −1 2 −1 ⎠ 0 −1 1
asociados a los autovalores 0, 1 y 3 respectivamente y como u, v y w son linealmente independientes B = {u, v, w} es una base de R3 .
(b) En general es falso, aunque sería cierto si los autovectores estuviesen asociados a autovalores distintos de A. (c) Falso, solamente sería cierto si |A| 6= 0 ya que la matriz A sería inversible y por tanto diagonali-zable. Entonces todo conjunto de 3 autovectores sería una base de R3 . 3. Sea A una matriz cuadrada de ª |A| = 0, tr(A) = 1 y λ = 1 es un autovalor de A. Entonces el © orden 3 tal que subespacio vectorial V (1) = v ∈ R3 /Av = v tiene dimensión 1.
(a) Falso, ya que con la información que tenemos sólo podemos asegurar que 1 ≤ dim(V (1)) ≤ 3 pues A es de orden 3 y λ = 1 es un autovalor de A.
(b) Verdadero, ya que los autovalores de A son λ = 0 (doble), y λ = 1, y por lo tanto dim(V (1)) = 1. (c) Verdadero, ya que los 3 autovalores A son distintos y, por tanto, todos los subespacios vectoriales de autovectores de A tienen dimensión 1. 4. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Entre las siguientes características de A: (1) A es simétrica, (2) A es diagonalizable, (3) A tiene n autovalores diferentes, se verifican las siguientes implicaciones: (1) =⇒ (2), (2) =⇒ (3). (a) Verdadero, ya que toda matriz simétrica es diagonalizable y esto implica que A tiene sus n autovalores diferentes. (b) Falso, las implicaciones correctas son (1) =⇒ (2) y (3) =⇒ (2). ⎛ ⎞ 4 0 0 (c) Falso, la matriz A = ⎝ 0 4 0 ⎠ es diagonalizable y sin embargo no todos sus autovalores son diferentes, 0 0 3 por lo que no es cierto que (2) =⇒ (3). 5. Sea A ∈ M3 y sean u ¯, v¯ y w ¯ vectores distintos no nulos de R3 tales que: A¯ u = 2¯ u ; A¯ v = 3¯ v ; Aw ¯ = 2w. ¯ Entonces se verifica que B = {¯ u, v¯, w} ¯ es una base de R3 . (a) Verdadero, pues u ¯, v¯ y w ¯ son autovectores distintos y por tanto siempre forman base de R3 . (b) Verdadero, ya que los vectores ¯ = (1, 0,⎞ 0), v¯ = (1, 1, 0) y w ¯ = (0, 0, 1) verifican las condiciones del ⎛u 2 1 0 enunciado para la matriz A = ⎝ 0 3 0 ⎠ y son linealmente independientes, por lo que son base de R3 . 0 0 3 (c) Falso, solamente sería cierto si {¯ v , w} ¯ fuese un conjunto linealmente independiente.
6. Sea A una matriz cuadrada de orden n tal que el sistema Ax = b es compatible. Si λ = 0 es autovalor de A, entonces el sistema Ax = b es compatible indeterminado. (a) Falso, ya que las soluciones del sistema no dependen de los autovalores de la matriz A. (b) Verdadero, ya que si λ = 0 es autovalor de A, entonces el rg (A) < n, es decir, es menor que el número de incógnitas del sistema, por lo que existen infinitas soluciones. (c) Falso, pues el sistema Ax = b podría ser compatible determinado. 7. Sea A una matriz de orden 4 con λ1 = 1 autovalor de multiplicidad algebraica 2 y λ2 = −1 autovalor de multiplicidad algebraica 1. Si sabemos que |A| = −2 y traza(A) = 3 podemos decir que: (a) La matriz es diagonalizable ya que tiene 3 autovalores distintos: λ1 = 1 doble, λ2 = −1 y λ3 = −2.
(b) Los autovalores de la matriz son λ1 = 1 , λ2 = −1 y λ3 = 2.
(c) La matriz no es diagonalizable porque no hay cuatro autovalores distintos.
(d) No podemos asegurar que la matriz sea diagonalizable ya que desconocemos la dimensión del subespacio de autovectores asociados a λ1 = 1. 8. Consideremos la aplicación lineal: f (x, y, z) = (3x + y + z, x + 3y + z, x + y + 3z). Podemos afirmar que existe una base ortogonal de autovectores. (a) Falso, ya que los autovalores de la aplicación lineal son λ = 2 con multiplicidad 2 y λ = 1 con multiplicidad 1 y no podemos asegurar que exista una base ortogonal del subespacio asociado a λ = 2. (b) Verdadero, ya que para toda aplicación lineal diagonalizable siempre existe una base ortogonal. (c) Falso, en todo caso, la base sería ortonormal. (d) Verdadero, ya que la matriz asociada a la aplicación lineal respecto de la base canónica es simétrica y por tanto siempre existe una base ortonormal de autovectores.
B) Problemas 9. Dadas las aplicaciones lineales: (a) f1 (x, y, z) = (x, 2y, 2y+z) ; (b) f2 (x, y, z) = (−3x−8y+4z, 3y, 3z−2x) ; (c) f3 (x, y, z) = (x+2y, y+3z, z) estudiar si para cada una de ellas existe una base B tal que la matriz asociada respecto de B en los espacios de partida y de llegada sea una matriz diagonal D. En caso afirmativo hallar B y D. 10. Estudiar si las aplicaciones lineales del ejercicio anterior tienen como autovalores y autovectores asociados los que se señalan: (a) λ = 2, u1 = (0, 1, 2) ; (b) λ = 3, u2 = (4, 0, 3) ; (c) λ = 1, u3 = (2, 0, 0). 11. Sea f : R3 → R3 la aplicación lineal tal que f (1, 0, 0) = (3, −2, 1), f (0, 1, 0) = (4, −3, 2), f (0, 0, 1) = (0, 0, 0). (a) Calcular los autovalores de f y los subespacios de autovectores asociados a cada autovalor. (b) Calcular ker(f ) e Im(f ). 12. Estudiar si son diagonalizables las matrices siguientes, calculando, cuando sea posible, las matrices Pi y Di para las que se verifica Ai = Pi Di Pi−1 . ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ µ ¶ 1 0 0 2 0 2 5/7 −16/7 (b) A2 = ⎝ 1 2 0 ⎠ (c) A3 = ⎝ 2 6 −1 ⎠ (a) A1 = −12/7 9/7 0 2 2 2 0 5 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 1 0 3 0 0 −1 2 8 0 ⎠ (d) A4 = ⎝ 1 0 0 ⎠ (e) A5 = ⎝ 1 2 (f ) A6 = ⎝ −4 5 7 ⎠ 0 0 2 2 −2 3 −1 1 5 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 2 0 −1 0 0 −1 −1 2 ⎜ 0 2 −1 0 ⎟ ⎜ −1 −1 −2 3 ⎟ ⎟ ⎟ (h) A8 = ⎜ (g) A7 = ⎜ ⎝ 0 0 1 ⎝ −1 −2 −1 3 ⎠ 0 ⎠ 0 0 0 1 −2 −3 −3 6
13. Para las matrices Ai del ejercicio anterior que sean diagonalizables, calcular det(Ai ), det(Di ), tr(Ai ), tr(Di ) y relacionarlos. 14. Hallar una matriz cuadrada de orden 2 que tenga como autovalores λ1 = 1 y λ2 = −2 y como autovectores asociados v 1 = (1, 0) y v 2 = (3, 1) respectivamente. 15. Dada la matriz
µ
1 a 3 b Calcular los valores de los parámetros a y b para los que A=
¶
(a) el vector (−1, 1) sea un autovector asociado al autovalor λ1 = 4 de la matriz A. (b) el vector (1, 1) sea un autovector asociado al autovalor λ1 = 5 de la matriz A. 16. Estudiar si existen a, b y c tales que la matriz
⎛
⎞ a 3 3 2 1 ⎠ A=⎝ b −1 1 c
tenga como polinomio característico −λ3 + 3λ2 + λ + 3.
17. Hallar una matriz cuadrada de orden 3 con autovalores λ1 = 2, λ2 = −3 tal que los subespacios de autovectores asociados vengan dados por V (λ1 = 2) = {(x, y, z) ∈ R3 / y = −z}
V (λ2 = −3) = {(x, y, z) ∈ R3 / x = y = z} ⎛ ⎞ 1 2 b a ⎠ tiene como autovector el vector 18. Determinar los valores de a y b para los que la matriz A = ⎝ 0 2 0 −2 1 (2, 2, −2). 19. Estudiar para qué valores de los parámetros son ⎛ ⎞ ⎛ a 2 2 1 (b) A2 = ⎝ 0 (a) A1 = ⎝ 0 0 −2 ⎠ 0 1 3 0
20. Diagonalizar las ⎛ 0 (a) A1 = ⎝ 0 0
diagonalizables las matrices ⎞ ⎛ ⎞ a 0 1 a 0 2 3 ⎠ (c) A3 = ⎝ 0 b 3 ⎠ 0 1 0 0 1
siguientes matrices simétricas calculando una matriz de autovectores ortogonal ⎞ ⎛ ⎞ 0 0 1 1 1 0 1 ⎠ (b) A2 = ⎝ 1 1 1 ⎠ 1 0 1 1 1
21. Calcular los autovalores de las matrices inversas de: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3 1 −1 1 4 2 (a) A1 = ⎝ 1 3 −1 ⎠ (b) A2 = ⎝ 4 1 2 ⎠ 0 0 2 2 2 3 22. Calcular An con n ∈ N para las siguientes matrices ⎛ ⎛ ⎞ −3 5 14 3 ⎜ 0 (a) A1 = ⎝ 0 1 0 ⎠ (b) A2 = ⎜ ⎝ 0 0 2 2 0
2 3 0 0
−3 −4 6 0
⎞ 0 0 ⎟ ⎟ 0 ⎠ 0
23. Los informativos nocturnos de las cadenas de televisión WW y R7 compiten por la audiencia en la misma franja horaria. Diversos estudios muestran que, el 60% de los telespectadores del informativo de WW lo siguen siendo el día siguiente, mientras que el 40% restante pasan a ver el de R7. Además, de los espectadores del informativo de R7, el 70% continúan siéndolo el día después, mientras que el otro 30% prefieren ver el de WW. Si se supone que la audiencia total permanece constante y que hoy se han repartido la audiencia al 50%, determinar los porcentajes de espectadores de cada informativo al cabo de una semana.
HOJA 6 : FORMAS CUADRÁTICAS A) Cuestiones test 1. Sea q1 (x) = x0 Ax con A simétrica una forma cuadrática definida positiva. Entonces q2 (x) = x0 A−1 x es definida positiva. (a) Falso, ya que no podemos asegurar bajo las condiciones del enunciado que A−1 exista. µ ¶ 2 1 (b) Falso, la forma cuadrática asociada a la matriz A = es definida positiva, pero q2 (x) = x0 A−1 x 1 3 es definida negativa. (c) Verdadero, ya que si q1 (x) es definida positiva, entonces los autovalores de A, λ1 , λ2 ,. . .,λn son positivos 1 1 1 , ,..., son positivos, q2 (x) es también y |A| 6= 0. Por tanto, existe A−1 y como sus autovalores λ1 λ2 λn definida positiva. 2. Sea A una matriz cuadrada de orden 3, no invertible y simétrica, tal que tr(A) = 2. Entonces se verifica que la forma cuadrática q(x) = x0 Ax es semidefinida positiva. (a) En general es falso, aunque sería cierto si además rg(A) = 1 pues entonces la matriz A tendría un autovalor nulo de multiplicidad 2 y como tr(A) = λ1 + λ2 + λ3 = 0 + 0 + λ3 , el otro autovalor sería 2. (b) Falso, pues, por ejemplo, la forma cuadrática q(x, y, z) = 4x2 − 2y 2 cumple las hipótesis del enunciado y es indefinida. (c) Verdadero pues la matriz
⎛
⎞ 1 1/2 0 A = ⎝ 1/2 1 0 ⎠ 0 0 0
verifica las hipótesis del enunciado y sus autovalores son λ1 = 0, λ2 = 1/2, λ3 = 3/2 por lo que es semidefinida positiva. x una forma cuadrática siendo la matriz A de orden 3 tal que |A| = 0 y tr (A) = 3. Además 3. Sea q (¯ x) = x ¯T A¯ λ1 = 2 es un autovalor de A. Entonces la forma cuadrática q es semidefinida positiva. (a) Verdadero, como |A| = λ1 λ2 λ3 = 0 entonces otro autovalor es λ2 = 0 y como tr (A) = λ1 + λ2 + λ3 = 2+0+λ3 = 3 entonces el tercer autovalor es λ3 = 1 y por el criterio de los autovalores, la forma cuadrática q es semidefinida positiva. (b) Falso, no hay datos suficientes para clasificarla. (c) Verdadero, si la matriz verifica que |A| = 0 entonces la forma cuadrática es semidefinida positiva. 4. Sean q1 y q2 dos formas cuadráticas en Rn tales que q1 es definida positiva y q2 es semidefinida positiva, entonces se verifica que q1 + q2 definida por (q1 + q2 ) (¯ x) = q1 (¯ x) + q2 (¯ x): (a) es una forma cuadrática semidefinida positiva. (b) es una forma cuadrática definida positiva. (c) en general, no es una forma cuadrática. (d) no se puede clasificar en función de la clasificación de q1 y q2 . x una forma cuadrática siendo A una matriz simétrica de orden 3 tal que |A| = −1. Además 5. Sea q (¯ x) = x ¯T A¯ λ1 = −1 es un autovalor de A. Entonces la forma cuadrática q es definida negativa. (a) Verdadero, como |A| = λ1 λ2 λ3 = −1 < 0 y como el número de autovalores es impar, entonces es necesario que todos sean negativos. Por lo tanto, por el criterio de los autovalores, la forma cuadrática q es definida negativa. (b) Falso, no hay datos suficientes para clasificarla. (c) Verdadero, pues los autovalores λ1 = −1, λ2 = −1, λ3 = −1 verifican las hipótesis, y por el criterio de los autovalores, la forma cuadrática q es definida negativa.
B) Problemas 1. Hallar la matriz simétrica asociada a las siguientes formas cuadráticas: q1 (x1 , x2 , x3 ) = 2x21 − x1 x3 + x22 + 4x2 x3 − 4x23 q2 (x1 , x2 , x3 ) = −x21 + 2x1 x2 + x1 x3 + x22 + 5x2 x3 − x23 q3 (x1 , x2 , x3 , x4 ) = 3x21 + 6x1 x4 + x22 + 2x2 x3 + 4x2 x4 + 6x3 x4 + 2x23 + 8x24 2. Dadas las matrices A1 , A2 y A3 ⎛ ⎞ 2 0 1 A1 = ⎝ −2 1 −1 ⎠ , −3 0 3 y la forma cuadrática
⎛
⎞ 2 1 −2 0 ⎠, A2 = ⎝ −3 1 0 −1 3
⎛
⎞ 2 3 −3 A3 = ⎝ −5 1 −2 ⎠ 1 1 3
q(x1 , x2 , x3 ) = 2x21 − 2x1 x2 + x22 − 2x1 x3 − x2 x3 + 3x23 , se pide:
(a) Comprobar que q(x) = xt A1 x = xt A3 x = xt A3 x para todo x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 .
(b) Obtener la matriz simétrica Q tal que q(x) = xt Qx y relacionar Q y A1 , A2 , A3 . 3. Clasificar las formas cuadráticas siguientes: (a) q1 (x1 , x2 , x3 ) = 2x21 + 2x22 + x23 − 4x1 x2
(b) q2 (x1 , x2 , x3 ) = −3x21 + 2x1 x2 + 2x1 x3 + 2x22 − 6x2 x3 + 7x23 (c) q3 (x1 , x2 , x3 , x4 ) = 2x21 + x22 + 3x23 + 8x1 x3 − 3x24
(d) q4 (x1 , x2 , x3 ) = 2x21 + 2x1 x2 + x22 + 2x2 x3 + 3x23
(e) q5 (x1 , x2 , x3 ) = −x21 + 3x22 + 4x1 x3 − 2x1 x2 + 3x23
(f ) q6 (x1 , x2 , x3 ) = 3x21 + 2x1 x2 + 2x1 x3 + 2x22 − 6x2 x3 + 7x23
(g) q7 (x1 , x2 , x3 ) = −4x21 + 4x1 x2 − x22 − 9x23 + 6x3 x4 − x24
(h) q8 (x1 , x2 , x3 ) = −3x21 + 2x1 x2 − 4x22
4. Clasificar las formas cuadráticas en función de los valores de los parámetros a y b: (a) q1 (x1 , x2 , x3 ) = ax21 + ax22 + ax23 + 6x1 x2 + 8x1 x3 (b) q2 (x1 , x2 , x3 ) = x21 + ax22 + x23 − 2bx1 x2 + 2x1 x3 + 2x2 x3 (c) q3 (x1 , x2 , x3 ) = ax21 + ax22 + ax23 + 2x1 x2 + 2x1 x3
HOJA 7 : CONVEXIDAD DE CONJUNTOS Y FUNCIONES A) Cuestiones test © ª 1. El conjunto B = (x, y) ∈ IR2 / y − x3 ≥ 0, 2x + y ≤ 3, x ≥ 0 es convexo. (a) Verdadero, pues B = B1 ∩ B2 ∩ª B3 con: © B1 = (x, y) ∈ IR2 / y − x3 ≥ 0 , © ª B2 = (x, y) ∈ IR2 / 2x + y ≤ 3, , © ª B3 = (x, y) ∈ IR2 / x ≥ 0 y como Bi i=1,2,3 son convexos, entonces B también lo es por ser intersección de conjuntos convexos. (b) Es falso, el conjunto B no es convexo pues © ª B = (x, y) ∈ IR2 / x3 − y ≤ 0, 2x + y ≤ 3, − x ≤ 0
y las funciones g1 = x3 − y, g2 = 2x + y − 3, g3 = −x, no son todas ellas funciones convexas . (c) Verdadero, pues si se representa gráficamente el conjunto B, se verifica que el segmento que une cualquier par de puntos de B está contenido en B.
2. Dados los conjuntos S = {(x, y) ∈ R2 /xy ≥ 1} y T = {(x, y) ∈ R2 /x ≥ 0}, se verifica que S ∩ T es un conjunto convexo. (a) Verdadero, ya que S y T son conjuntos convexos. (b) Falso, pues S no es convexo y sólo la intersección de conjuntos convexos es un conjunto convexo. (c) Verdadero, pues si se representa gráficamente el conjunto S ∩ T, se verifica que el segmento que une cualquier par de puntos de S ∩ T está contenido en S ∩ T. 3. Sea la función f : R2 → R dada por f (x, y) = x2 + bxy. Entonces, se verifica que, para todo valor de b ∈ R, f (x, y) es una función convexa en R2 . (a) Verdadero, pues f (x, y) es una forma cuadrática y todas las formas cuadráticas son convexas. µ ¶ 2 0 (b) Falso. Para b = 0, la forma cuadrática con matriz asociada Hf (x, y) = es semidefinida positiva. 0 0 Esto implica que la función f (x, y) es estrictamente convexa y, por tanto, no puede ser convexa. µ ¶ 2 2 (c) Falso. Para b = 2, la forma cuadrática con matriz asociada Hf (x, y) = es indefinida y para que 2 0 la función f (x, y) sea convexa es necesario que dicha forma cuadrática sea definida positiva o semidefinida positiva.
B) Problemas 1. Representar los siguientes conjuntos de R2 e indicar cuáles son convexos: (a) S1 = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0} (b) S2 = {(x, y) ∈ R2 : (x − 1)2 + y 2 ≥ 4} (c) S3 = {(x, y) ∈ R2 : 2 ≤ x ≤ 4, x + 2y ≤ 8} 2. Estudiar cuáles de los siguientes conjuntos son convexos: (a) M1 = {(x, y) ∈ R2 : 3x2 + 2xy + 2y 2 ≤ 30} (b) M2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z ≥ 2, x ≥ 0, y ≥ 0} 3. Estudiar cuáles de los siguientes funciones son convexas o cóncavas: (a) (b) (c) (d)
f (x, y) = x + 3xy − 6x2 + y 2 , (x, y) ∈ R2 f (x, y) = ax2 + by 2 + cxy + x + y + 2, (x, y) ∈ R2 √ f (x, y, z) = x + y + z, (x, y, z) ∈ R3++ f (x, y, z) = Ln(xy + z), (x, y, z) ∈ R3++
TABLAS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii) ix) x) xi)
Sea A ∈ Mn×n y At su matriz traspuesta, entonces |At | = |A| .
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
a11 .. .
a12 .. .
bj1 + aj1 .. .
bj2 + aj2 .. .
an1 a11 a12 .. .. . . λaj1 λaj2 .. .. . .
··· .. . ··· .. .
a1n .. .
bjn + ajn .. .
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯=¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
a11 .. .
a12 .. .
aj1 .. .
aj2 .. .
··· .. . ··· .. .
a1n .. . ajn .. . ann
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯+¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
a11 .. .
a12 .. .
bj1 .. .
bj2 .. .
··· .. . ··· .. .
a1n .. . bjn .. . ann
an1 an2 ¯ · · · an1 an2 · · · · · ·¯ ¯ann ¯ a11 a12 · · · a1n ¯ a1n ¯¯ ¯ ¯ ¯ .. .. ¯ .. .. ¯ .. ¯ . ¯ . . ¯¯ . . ¯ ¯ · · · λajn ¯¯ = λ ¯¯ aj1 aj2 · · · ajn ¯¯ para todo λ ∈ R. ¯ . .. ¯¯ .. .. ¯¯ .. .. ¯ .. . . . ¯ . . ¯ ¯ ¯ an1 an2 · · · ann ¯ an1 an2 · · · ann ¯ Sea A ∈ Mn×n y λ ∈ R entonces, |λA| = λn |A| . ¯ ¯ ¯ a11 a12 · · · a1n ¯ ¯ ¯ ¯ a21 a22 · · · a2n ¯ ¯ ¯ ¯ .. .. .. ¯ .. ¯ . . . . ¯¯ ¯ = 0. ¯ 0 0 ··· 0 ¯¯ ¯ ¯ . .. .. ¯¯ .. ¯ .. . . . ¯ ¯ ¯ an1 an2 · · · ann ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a11 ¯ a11 a12 ··· a1n ¯¯ a12 ··· a1n ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ .. .. .. .. .. .. .. .. ¯ ¯ ¯ ¯ . . . . . . . . ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a(j+1)1 a(j+1)2 · · · a(j+1)n ¯ ¯ aj1 ¯ a · · · a j2 jn ¯ ¯ = −¯ ¯ ¯ aj1 ¯ ¯ ¯ a · · · a a a · · · a j2 jn (j+1)2 (j+1)n ¯ ¯ ¯ ¯ (j+1)1 ¯ ¯ ¯ ¯ . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ an1 ¯ ¯ an1 an2 ··· ann ¯ an2 ··· ann ¯ ¯ ¯ a11 a12 ··· a1n ¯¯ ¯ ¯ ¯ .. .. .. . .. ¯ ¯ . . . ¯ ¯ ¯ aj1 aj2 ··· ajn ¯¯ ¯ ¯ ¯ .. .. .. .. ¯ ¯ = 0, para todo λ ∈ R. . . . . ¯ ¯ ¯ λaj1 λaj2 ··· λajn ¯¯ ¯ ¯ ¯ .. .. .. .. ¯ ¯ . . . . ¯ ¯ ¯ an1 an2 ··· ann ¯ Si en una matriz A ∈ Mn×n , a una de sus filas (o columnas) se le suma una combinación lineal de las filas (o columnas) restantes, el determinante de la matriz resultante es también |A| . Sean A, B ∈ Mn×n entonces |AB| = |A| |B| . ¯ ¯ k Sea A ∈ Mn×n y k ∈ N, k 6= 0, entonces ¯Ak ¯ = |A| . ¯ ¯ 1 Sea A ∈ Mn×n no singular, entonces ¯A−1 ¯ = . |A| an2 ··· .. .
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
TIPOS DE MATRICES Tipos de matrices Triangular superior A = (aij ) ∈ Mn×n aij = 0 si i > j Triangular inferior A = (aij ) ∈ Mn×n aij = 0 si i < j Diagonal A = (aij ) ∈ Mn×n aij = 0 si i 6= j Traspuesta de A A = (aij ) ∈ Mm×n At = (aji ) ∈ Mn×m Simétricas A = At
Propiedades Si A y B son triang. sup. y α ∈ R, entonces A + B, αA, AB, A−1 (si existe) son triang. sup. |A| = a11 a22 ...ann. Si A y B son triang. inf. y α ∈ R, entonces A + B, αA, AB, A−1 (si existe) son triang. inf. |A| = a11 a22 ...ann. Si A y B son diagonales y α ∈ R, entonces A + B, αA, AB, A−1 (si existe) son diagonales. rg(A) = no elementos no nulos de la diag.principal. |A| = a11 a22 ...ann. Si A , B ∈ Mm×n , C ∈ Mn×p y α ∈ R, entonces: (A + B)t = At + B t , (αA)t = αAt , t (AC)t = C t At , (At ) = A, rg (A) = rg (At ) Si A ∈ Mn×n , tr (A) = tr (At ) y |A| = |At |. ¡ ¢t −1 Si además A es invertible: A−1 = (At ) Si A , B son simétricas y α ∈ R, entonces A + B, αA, AAt , At A, A−1 (si existe) son simétricas.
Antisimétricas A = −At
Si A, B son antisimétricas y α ∈ R, entonces A + B, αA son antisimétricas. Además aii = 0.
Ortogonales A−1 = At Idempotentes A2 = AA = A Nilpotentes A2 = AA = On Unipotentes A2 = AA = In
Si A, B son ortog., AB, BA son ortog. Los vect. columna son ortog. A es invertible. |A| = 1 ó −1. Sea A idempotente. Entonces In − A también. |A| = 1 ó 0. Si rg (A) = n entonces A = In . Sea A nilpotente. Entonces |A| = 0. Nunca existe inversa A−1 y rg (A) < n . Sea A unipotente. Entonces |A| = 1 ó −1. rg (A) = n , ∃ A−1 , A−1 = A.
⎛ Ejemplo ⎞ 1 2 3 ⎝ 0 1 1 ⎠ ⎛ 0 0 2 ⎞ 3 0 0 ⎝ 1 2 0 ⎠ 4 1 1 ⎛ ⎞ 3 0 0 ⎝ 0 2 0 ⎠ 0 0 1
¶ 1 7 µ −9 5 ¶ 1 −9 t A = 7 5 ⎛ ⎞ 1 2 0 ⎝ 2 3 6 ⎠ ⎛ 0 6 1 ⎞ 0 2 1 ⎝ −2 0 −4 ⎠ −1 4 0¶ µ 0 −1 µ 1 0 ¶ 2/3 1/3 2/3 1/3¶ µ 0 0 1 √ 0 ¶ µ √ 2/2 √ √2/2 2/2 − 2/2 A=
µ
FORMAS CUADRÁTICAS Tipo Definición: Sea q(x) = xt Ax con A matriz simétrica. Definida positiva q(x) > 0 ∀x 6= 0. Definida negativa q(x) < 0 ∀x 6= 0. Semidefinida positiva q(x) ≥ 0 ∀x y existe x∗ 6= 0 tal que q(x∗ ) = 0. Semidefinida negativa q(x) ≤ 0 ∀x y existe x∗ 6= 0 tal que q(x∗ ) = 0. Indefinida Existen x1 , x2 6= 0 tales que q(x1 ) > 0 y q(x2 ) < 0. Clasificación de formas cuadráticas Tipo Criterio de Menores Definida positiva ⇐⇒ Di > 0 ∀i = 1, ..., n. Definida negativa ⇐⇒ (−1)i Di > 0 ∀i = 1, ..., n. Semidefinida positiva ⇐= Di > 0 ∀i = 1, ..., n − 1 y Dn = |A| = 0. Semidefinida negativa ⇐= (−1)i Di > 0 ∀i = 1, ..., n − 1 y Dn = |A| = 0. Indefinida ⇐= |A| 6= 0 y q no es definida Tipo Criterio de Autovalores Definida positiva ⇐⇒ λi > 0 ∀i = 1, ..., n. Definida negativa ⇐⇒ λi < 0 ∀i = 1, ..., n. Semidefinida positiva ⇐⇒ λi ≥ 0 ∀i = 1, ..., n y existe i0 tal que λi0 = 0. Semidefinida negativa ⇐⇒ λi ≤ 0 ∀i = 1, ..., n y existe i0 tal que λi0 = 0. Indefinida ⇐⇒ Existen i0 , i1 tales que λi0 > 0 y λi1 < 0.
