UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA)
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
NOTAS DE CLASE
ÁLGEBRA LINEAL I Profesor: Víctor G. Osorio Vidal 2011-I
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ÍNDICE GENERAL Prólogo 1. Preliminares
1 Funciones …………………………………………………………………. 1 Leyes de composición interna y externa ………………………………… 2 Conjuntos R y C …………………………………………………….. 2 Grupos y campos …………………………………………………………. 2 n
n
2. Espacios vectoriales Espacios vectoriales ……………………….……………………………… Ejercicios ………………………………………………………………….. Subespacios ……………………………………………………………….. Ejercicios ………………………………………………………………….. Operaciones con subespacios ……………………………………………… Ejercicios ……………………………………………………………...…… Independencia y dependencia lineal – Base y dimensión de un espacio espacio vectorial ………………………..……….. Ejercicios ………………………………………………………………...…
7 7 14 16 19 20 25 26 44
3. Transformaciones lineales y temas afines
48 48 53 61 63 63 67 71 76 78 81
4. Matriz asociada a una transformación lineal
83 83 84 96 99 103 105
Transformaciones lineales …………………………………………… ..…. Núcleo e imagen de una una transformación lineal ………………… ..……….. Ejercicios ……………………………………………………………..…… Composición de transformaciones transformaciones lineales ……………………………….. Transformaciones lineales inversibles inversibles ……………………… ..…………… Espacio vectorial de las transformaciones transformaciones lineales ………………………... Espacio dual de un espacio vectorial vectorial …………………………………….... Segundo espacio dual dual obidual de un espacio vectorial ……………………. Anuladores ………………………………………………………………… Dual de una una transformación transformación lineal …………………………………………
Coordenadas o componentes componentes de un vector ………………………………… Matriz asociada a una transformación line al ……………………………... Matriz cambio cambio de de base ……………………………………………………. Fórmulas de transformación de coordenadas coordenadas ……………………………… Matrices semejantes ……………………………………………………….. Ejercicios …………………………………………………………………..
i
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
5. Determinantes Formas n-lineales ……………………………………………………….…. Función determinante ……..……………………………………………… Adjunta de una matriz ………………………………………………..…… Regla de Cramer ……………………………………………………...…... Ejercicios ……………………………………………………………………
110 114 115 126 131 133
6. Producto interno y ortogonalidad Producto interno …………………………………………………………… Ejercicios …………………………………………...……………………… Ortogonalidad – conjunto ortogonal – conjunto ortonormal ……………… Proceso de ortogonalización ………………..……………………………… E jercicios ……………………………………………………………...……
139 139 147 147 153 159
7. Valores y vectores propios 161 Valores y vectores propios de una transformación lineal …………...……. 161 Valores y vectores propios de una matriz …………………………...……. 165 Polinomio característico …………………………………………………… 172 Polinomio anulador y polinomio minimal ………………………………… 175 Ejercicios ………………………………………………………………….. 177 Teorema de Cayley-Hamilton …………………………………………….. 179
ii
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Prólogo El Álgebra Lineal es un curso básico en la formación de los estudiantes de ciencias, ingenierías, economía y ciencias administrativas. El material que pongo a disposición de los estudiantes que cursan la asignatura de Álgebra Lineal corresponde a las Notas de Clase entregadas a mis alumnos de la Facultad de Ciencias Matemáticas y Facultad de Educación (Especialidad de Matemática y Física) de la Universidad Nacional de San Marcos a través de Chamilo que es una solución de software libre, licenciada bajo la GNU/GPLv3, de gestión del E-learning o aprendizaje electrónico, desarrollada con el objetivo de mejorar el acceso a la educación y el conocimiento globalmente. La dirección es http://campus.chamilo.org/ . Para finalizar agradeceré a mis colegas y alumnos por las sugerencias y críticas que tengan a bien hacer llegar a la siguiente dirección
[email protected].
EL AUTOR
iii
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
PRELIMINARES El presente capítulo tiene dos objetivos. El primero es recordar definiciones y resultados que se supone el estudiante ha adquirido en los cursos que son prerrequisitos. El segundo objetivo es dar a conocer algunos conceptos sin entrar en detalle, ya que es necesario para la mejor comprensión de los capítulos siguientes.
1. FUNCIONES DEFINICIÓN 1.1.- Sean
X e Y dos
conjuntos cualesquiera; llamaremos producto
cartesiano de X por Y al conjunto denotado por: X Y ( x, y ) / x X
y Y
DEFINICIÓN 1.2.- Dados X , Y conjuntos; diremos que R es una relación de X en Y si y solo si R es un subconjunto de X Y .
DEFINICIÓN 1.3.- Sean X , Y conjuntos;
f : X Y es
una aplicación o función
de X en Y si y solo si f es una relación de X en Y y además satisface: ( x, y ) f ( x, z ) f
y
z
Si ( x, y ) f entonces y f ( x) , y se denomina valor de f en x ó imagen de x según f .
DEFINICIÓN 1.4.- Sea
f : X Y una
función.
a) f es inyectiva si y solo si se cumple: x1 , x 2 X : f ( x1 ) f ( x 2 )
x1
x2
o equivalentemente, x1 , x 2 X : x1
x 2
f ( x1 ) f ( x 2 ) .
b) f es suryectiva si y solo si f ( X ) Y ; es decir, para todo y Y , existe x X tal que f ( x) y . c) f es biyectiva si y solo si es inyectiva y suryectiva.
DEFINICIONES 1.5 a) Sea f : X Y y A X , llamaremos imagen de A según f al conjunto denotado por: f ( A) { y Y / y
f ( a ), a A } .
b) Sea f : X Y y B Y , llamaremos pre-imagen o imagen inversa de B según f al conjunto denotado por:
1
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- f
1
DEFINICIÓN 1.6.- Sean
( B) { x X / f ( x) b, b B } .
f : X Y , g : Y W
funciones, llamaremos función
composición de g con f ó f seguida de g a la función denotada por: g f : X W tal que ( g f )( x) g f ( x)
2. LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y EXTERNA DEFINICIÓN 2.1.- Sea un conjunto interna definida en A a toda aplicación
A ,
de
llamaremos ley de composición
A A en A .
: A A A (a1 , a 2 ) (a1 , a 2 ) a1 a 2
Es decir el resultado de operar dos elementos de A sigue estando en A .
DEFINICIÓN 2.2.- Sean
A,
dos conjuntos ( se denomina conjunto de
operadores o escalares). Llamaremos ley de composición externa definida en A y con operadores en
,
a toda aplicación
3. LOS CONJUNTOS R n Y
de
A en A .
: A A ( , a) ( , a) a
n
C
Sea R el conjunto de número reales, C el conjunto de los números complejos y n un número entero positivo. Denotaremos por: R
n
{ x
( x1 , , x n ) / n uplas ordenadas , x i R, i 1, 2, , n }
sean x ( x1 , , x n ) , y ( y1 , , y n ) R n diremos que x y si y solo si xi
yi
para todo i 1, 2, , n . De manera análoga denotaremos: n
C
{ z ( z1 , , z n ) / n uplas ordenadas , z i C , i 1, 2, , n }
4. GRUPOS Y CAMPOS DEFINICIÓN 4.1.- Sea un conjunto
G
, si en G definimos una ley de
composición interna T , diremos que el objeto (G , T ) es un grupo si satisface las siguientes condiciones: G1) (a T b)T c a T (b T c) para todo a , b , c G . G2) Existe e G tal que para todo a G se cumple que a T e e T a a 2
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------G3) Para todo a G , existe a G tal que a T a a T a e . Si además de las tres condiciones se cumple: G4) a T b b T a para todo a , b G . Se dice que (G, T ) es un grupo conmutativo o grupo abeliano .
NOTAS: (1) e se denomina elemento identidad o nulo del grupo. (2) El elemento a relativo a la propiedad G 3) recibe el nombre de elemento inverso de a .
EJEMPLO 4.1.1.- ( Z , ), (Q, ), ·( R, ), ( R {0} , · ) donde "+" y " ." denotan la adición y multiplicación usuales, son grupos conmutativos.
EJEMPLO 4.1.2.- El conjunto de las matrices de componentes reales de orden m n denotada
por R m n con la operación usual de suma de matrices es un grupo
abeliano. (a i j ), (bi j ) R
mn
/ (a i j ) (bi j ) (a i j bi j ) donde
EJEMPLO 4.1.3.- Sea Z n
n
1 i m y 1 j n .
un número entero positivo, denotemos por
[a] / a Z , donde [a] designa a la clase de restos módulo n que contiene al
número a . Definimos en Z n una operación ˆ
: Z n Z n [a], [b]
ˆ
tal que:
Z n
[ a ] [b ] [ a b ] ˆ
donde + es la adición usual en Z . ( Z , ) es un grupo conmutativo. ˆ
EJEMPLO PARTICULAR.- Sea
n 3 , Z 3
[0] [0] [0] [1] [1] [2] [2] ˆ
DEFINICIÓN 4.2.- Sea un conjunto
[0] , [1] , [2] .
[1] [1] [2] [0 ]
[ 2] [ 2] [0] [1] , definimos en K dos leyes de
K
K
K
(a , b)
ab
composición internas:
Adición: : K
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Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Multiplicación: ·: K K K (a , b) a·b Diremos que el objeto ( K , , ·) es un campo si y solo si satisface las siguientes condiciones: K1) (a b) c a (b c) para todo a, b, c K . K2) Existe 0 K tal que a 0 0 a a para todo a K . 0 es llamado elemento nulo o cero.
K3) Para todo a K , existe un elemento de K que se llama opuesto de a o inverso aditivo de a que denotaremos por
a y
es tal que: a (a) (a) a 0 .
K4) a b b a para todo a, b K . K5) (ab) c a (bc ) para todo a, b, c K . K6) Existe e K tal que
ae
ea
a para
todo a K . e es llamado elemento
idéntico o identidad.
K7) Para todo a 0 elemento de K , existe un elemento también en K llamado opuesto de a o inverso de a con a 1 y es tal que: a a 1
a 1 a
respecto a la multiplicación que se denota por
e.
K8) a b b a para todo a, b K . K9) a(b c) a b a c y (a b) c a c b c para todo a, b, c K .
OBSERVACIONES: (1) ( K , ) es un grupo aditivo conmutativo. (2) ( K {0}, ·) es un grupo multiplicativo conmutativo. (3) El elemento 0 que cumple K2), y e que cumple K6) son únicos. (4) El inverso aditivo y multiplicativo ( K3), K7)) de cada elemento es único. (5) a 0 0 para todo a K . (6) a b 0 entonces a 0 ó b 0 . Esta propiedad se expresa diciendo que K no tiene divisores de cero.
EJEMPLO 4.2.1.- (Q, , ·), ( R, , ·), (C , , ·) donde "+" y " ." son las operaciones usuales de adición y multiplicación son campos.
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Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
EJEMPLO 4.2.2.- Sea
Z p
[a] / a Z , [a ] como se vio en el ejemplo 4.1.3.
representa la clase de restos módulo p donde p es primo. Definimos en Z p las operaciones:
[a] [b] [a b] ˆ
[a] [b] [a · b] ˆ
donde "+" y " ."· son las operaciones usuales de adición y multiplicación. ( Z p , , . ) ˆ
ˆ
es un campo.
NOTA.- Si p no es primo la afirmación anterior no es verdadera. En efecto, consideremos: Z 4
[0], [1], [2], [3] y construyamos la tabla siguiente: [1] [1] [1] [2] [2] [3] [3]
ˆ
[2] [2] [0 ] [2]
[3] [3] [ 2] [1]
de la tabla podemos observar que [2] [0] pero; sin embargo, no tiene inverso multiplicativo, es decir no cumple K7) de la definición 4.2.
EJEMPLO 4.2.3.- Consideremos el conjunto
Q(
2 ) { a b 2 / a, b Q } . Si
sobre Q ( 2 ) se definen las operaciones Adición
:
(a b 2 ) (c d 2 ) (a c) (b d ) 2
Multiplicación
:
(a b 2 )·(c d 2 ) (ac 2bd ) (ad bc) 2
Probar que Q ( 2 ), , · es un campo.
PRUEBA: Sólo probaremos la condición K 7) de la definición 4.2.; las restantes condiciones no ofrecen dificultad. Sea a b 2 0 donde (b 0) , debemos probar que existe c d 2 tal que (a b 2 ) (c d 2 ) 1 . Sabemos que (a b 2 ) (c d 2 ) (a c 2bd ) (b c a d ) 2 1 1 0 2 De donde:
a c 2bd 1
(1)
bc a d 0
(2)
despejando c de (1) y (2) respectivamente tenemos:
5
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------c
1 2bd
c
(3)
a a d
(4)
b
igualando (3) y (4), obtenemos: d
b
2b 2 a 2
y reemplazando el valor de d en (4), resulta: c
a a
2
2b
2
Luego: c d
2
a
a
2
2b
2
2 a 2b 2 b
2
Q( 2 ) es un campo.
EJEMPLO 4.2.4.- El conjunto Z ( 2 ) { a b 2 / a, b Z } con las operaciones de adición y multiplicación definidas en el ejemplo 4.2.3. no es un campo. La verificación es inmediata.
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Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESPACIOS VECTORIALES En el cálculo elemental se estudia funciones reales de una variable real; es decir, funciones cuyo dominio y rango son R o subconjuntos de R. Para esto es necesario conocer las propiedades de números reales. Una situación muy similar se presenta en el álgebra lineal; los objetos realmente importantes son las transformaciones lineales que son un tipo particular de funciones cuyo dominio y contradominio son conjuntos dotados de una estructura muy importante: los espacios vectoriales. Es por lo tanto, la intención de este capítulo dar los conceptos y propiedades básicas de los espacios vectoriales.
1. ESPACIOS VECTORIALES DEFINICIÓN PRELIMINAR.- Dado un conjunto V , un campo ( K , , ) (que puede ser los reales R o los complejos C ), se define una ley de composición interna en V : V V V ( x , y ) x y llamada adición y se define una ley de composición externa en V con escalares en el campo K : K V V (a, x ) a x denominada multiplicación por escalares. Diremos que el objeto (V , , K , ) es un espacio vectorial sobre el campo K si y solo si verifica las siguientes condiciones: V 1)
( x y ) z x ( y z ) para todo x, y , z V .
V 2)
Existe
V tal
que x x x , para todo x V . El elemento
se
denomina neutro aditivo o cero. V 3)
Para todo x V , existe y V tal que x y y x . El elemento y se denomina opuesto de x y se denota por y x .
V4) x y y x para todo x, y V . V 5)
a(b x) ( a b) x para todo a, b K , para todo x V .
V 6)
(a b) x a x b x para todo a, b K , para todo x V .
V 7)
a ( x y ) a x a y para todo a K , para todo x, y V .
V 8)
Existe 1 K llamado elemento idéntico multiplicativo tal que 1 x x . Para todo x V , 7
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
OBSERVACIONES: a) Un conjunto V para que sea espacio vectorial sobre un campo K debe tener definidas dos operaciones “adición” y “multiplicación por un escalar”; las
cuales deben cumplir las ocho propiedades arriba mencionadas. En caso que no cumpla con alguna de ellas no es un espacio vectorial. b) A los elementos de V se les llaman vectores y el elemento neutro aditivo
recibe el nombre de vector nulo. c) Si K R , V es llamado espacio vectorial real y si K C , V se denomina espacio vectorial complejo.
d) En lo que sigue de las notas si no se dice lo contrario en lugar de denotar la adición de vectores con el símbolo “ ” simplemente denotaremos con “+”,
haciendo la diferencia según el contexto cuando se trata de la suma de vectores ( x y ) o la suma de escalares (a b) ; el símbolo “ ” se usará más adelante para denotar la suma directa. Omitiremos escribir el símbolo “ ” que denota la ley de composición externa,
simplemente con la yuxtaposición se entenderá la multiplicación de un vector por un escalar haciendo la diferencia según el contexto cuando se trate de la multiplicación de un vector por un escalar ( ax) o la multiplicación de dos escalares (ab). Con las precisiones hechas en d), la definición de espacio vectorial se puede enunciar formalmente como sigue:
DEFINICIÓN 1.1.- Dados un conjunto composición interna “+” en V “·” definida
V ,
un campo K , una ley de
llamada adición y una ley de composición externa
en V y con operadores o escalares en K denominada multiplicación
por escalares. Diremos que V es un K - espacio vectorial o que V es un espacio vectorial sobre el campo K si y solo si se verifican las siguientes condiciones: V1) ( x y ) z x ( y z ) para todo x, y , z V . V2) Existe
V tal
que x x x , para todo x V . El elemento
se
denomina neutro aditivo o cero. V3) Para todo x V , existe y V tal que x y y x . El elemento y se denomina opuesto de x y se denota por y x . V4) x y y x para todo x, y V . 8
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------V5) a(b x ) (a b) x para todo a, b K , para todo x V . V6) (a b) x ax bx para todo a, b K , para todo x V . V7) a( x y ) ax ay para todo a K , para todo x, y V . V8) Existe 1 K llamado elemento idéntico multiplicativo tal que 1 x x . Para todo x V ,
EJEMPLO 1.1.1.- Sea V R n { ( x1 , , x n ) / xi R, i 1, 2, , n } y
K R .
Dados x ( x1 , , x n ) , y ( y1 , , y n ) R n y a R , definimos: x y ( x1 y1 , , x n y n ) a x ( a x1 , , a x n )
( R n , , R, ·) cumple las condiciones de espacio vectorial. En efecto: V1) Sean x, y, z R n ( x y ) z [ ( x1 , , x n ) ( y1 , , y n ) ] ( z1 , , z n ) ( x1 y1 , , x n y n ) ( z1 , , z n ) [ ( x1 y1 ) z1 , , ( x n y n ) z n ] [ x1 ( y1 z1 ), , x n ( y n z n ) ] ( x1 , , x n ) ( y1 z1 , , y n z n ) x ( y z )
V2) Existe (0, , 0) R n / x x x , para todo x R n . V3) Para todo x R n , existe y x ( x1 , , x n ) tal que x y y x . V4) Sean x, y R n x y ( x1 , , x n ) ( y1 , , y n )
( x1 y1 , , x n y n ) ( y1 x1 , , y n x n ) y x
V5), V6), V7) y V8) se verifican análogamente.
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Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
EJEMPLO 1.1.2.- Consideremos
f : R R el conjunto de funciones
definida en los reales y con valores reales, y K R . Sean f , g y a R definimos: ( f g ) ( x ) f ( x ) g ( x ) para todo x R (a f )( x ) a f ( x ) para todo x R La cuaterna ( , , R, ·) es un espacio vectorial. Verificaremos sólo las condiciones V2) y V3), las demás quedan como ejercicio para el lector. V2) Existe
definida como
( x )
0 para todo x R (función cero) y
cumple f f f para todo f . V3) Para todo f , existe un opuesto que definimos como: ( f )( x) f ( x ) tal que f ( f ) f f .
EJEMPLO 1.1.3.- R no es un espacio vectorial sobre x R ,
K C .
Pues si a C y
no siempre se cumple que axa R ; es decir, no es una ley de composición
externa.
EJEMPLO 1.1.4.- Sea K un campo, construyamos el conjunto: K ( k 1 , , k n ) / k i K , i 1, n
2, , n
para x (k 1 , , k n ), y (k '1 , , k ' n ) K n y c K , definimos: x y ( k 1 k '1 , , k n k 'n ) cx (ck 1 , , ck n )
( K n , , K , ·) es un espacio vectorial.
EJEMPLO 1.1.5.- Denotemos por: x / x (a 0 , a1 , , a n , ) donde los a i K , son todos ceros, excepto un K número finito de elementos ( números)
Sean x (ai ), y (bi ) K y c K . Definimos: x y (a 0 b0 , a1 b1 , , a n bn , ) cx (ca 0 , ca1 , , ca n , )
se deja al lector verificar que ( K , , K , ·) es un espacio vectorial.
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Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
EJEMPLO 1.1.6.- Consideremos P[ x ] el conjunto de las funciones polinomiales en la indeterminada x de grado menor o igual que n (n Z ) sobre el campo de los números reales. Sean: p ( x) a0 a1 x a n x n , q( x) b0 b1 x bn x n P[ x] y R Definimos: p ( x ) q ( x) ( a 0 b0 ) ( a1 b1 ) x ( a n bn ) x p ( x )
n
a 0 a1 x a n x n
P[ x], , R, · es un espacio vectorial. La verificación es análoga en el ejemplo 1.1.2.
NOTA.- Si se considera el conjunto de todos los polinomios de grado igual a n (n Z )
con las mismas operaciones, no constituye un espacio vectorial sobre R,
pues la adición para este conjunto no es una ley de composición interna.
EJEMPLO 1.1.7.- Sea K un campo, consideremos: I m {1, , m },
I n {1, , n}
P {1, , m} {1, , n} { (i, j ) / 1 i m 1 j n }
es decir P I m I n (producto cartesiano de I m por I n ). Definimos: K m n
a11 a1n A : P K / A (i, j ) a i j K , A a m1 a mn A
: P K (1, 1) a11 (1, 2) a12
(1, n) a1n
(i, j ) a i j
(m, n) a mn K mn recibe el nombre de conjunto de matrices de orden m n sobre el campo K.
Sean A, B K mn y K . Definimos la: 11
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Adición
c i j ( A B ) (i, j ) A(i, j ) B (i, j ) a i j bi j
:
Multiplicación :
c i j ( A) (i, j ) A(i, j ) ai j
Fácilmente se verifica que K mn con las operaciones definidas arriba es un espacio vectorial sobre K .
EJEMPLO 1.1.8.- Dado el sistema lineal homogéneo: a 11 x1 a 12 x 2 a 1 n x n 0
a m 1 x1 a m 2 x 2 a m n x n 0
con coeficientes en R. Sea S { ( x1 , , x n ) /( x1 , , x n ) es solución del sistema } S con
las operaciones usuales de adición y multiplicación por escalares es un
espacio vectorial sobre R.
EJEMPLO 1.1.9.- Sean
V 1 , V 2
espacios vectoriales sobre el campo K y
consideremos el conjunto: V { (v1 , v2 ) / v1 V 1
v 2 V 2 }
para (v1 , v2 ), (v'1 v' 2 ) V y a K . Definimos: (v1 , v 2 ) (v'1 v' 2 ) (v1
v'1 ,
v2
v' 2
)
a (v1 , v2 ) (a v1 , a v 2 ) V con las operaciones arriba definidas es un espacio vectorial sobre K .
EJEMPLO 1.1.10.- Sea f : (1, 1) R ( R un espacio vectorial sobre R con las operaciones usuales) tal que: x f ( x) 1 x x 1 x
si x 0 si x 0
Es fácil mostrar que f así definida es una biyección. Para x, y (1, 1) y a R definimos: x y f 1 f ( x) f ( y ) a x f 1 af ( x)
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Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------demostrar que (1, 1) con las operaciones arriba definidas es un espacio vectorial sobre R.
SOLUCIÓN Sólo verificaremos las condiciones V1) y V7) las restantes se dejan al lector para que las verifique. V1) ( x y ) z f 1 ( f ( x y ) f ( z )) f 1 ( f ( f 1 ( f ( x) f ( y ))) f ( z )) f 1 (( f ( x) f ( y )) f ( z )) f 1 ( f ( x) ( f ( y ) f ( z ))) f 1 ( f ( x) f ( f 1 (( f ( y ) f ( z )))) f 1 ( f ( x) f ( y z )) x ( y z )
V7) (a b) x ax bx para todo a, b R y para todo x (1, 1) . ax bx f 1 ( f ( ax) f (bx))
f 1 ( f ( f 1 ( af ( x)))) f ( f 1 (bf ( x))))
f 1 (af ( x) bf ( x)) f 1 ((a b) f ( x)) ( a b) x
PROPOSICIÓN 1.2.- Sea (V , , K , ·) un espacio vectorial. Entonces se tiene: i) El elemento es único. ii) 0 x para todo x V . iii) a para todo a K . iv) Si ax , entonces a 0 ó x . v) ( a) x (ax ) para todo a K y para todo x V .
PRUEBA.- Solamente, a modo de ilustración, probaremos i) y v). Prueba de i) Supongamos que exista ' V tal que x ' ' x x para todo x V . Haciendo x tenemos que:
' '
(1)
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Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Por otro lado en virtud de la condición V2) de espacios vectoriales existe
V tal
que x x x para todo x V , haciendo x tenemos que: (2)
' ' '
de (1), (2) y V4) finalmente se tiene:
' .
Prueba de v): ( ax) ax
por V3)
0 x
por ii)
( a a ) x
por suma de opuestos en K
( ax ) ax ax ax
(ax) ax
por V6)
por la ley de cancelación.
EJERCICIOS 1. Sean V R 2 y K R . Averiguar si R 2 con las operaciones definidas a continuación es un espacio vectorial sobre R. a) ( x1 , y1 ) ( x 2 , y 2 ) ( x1 x 2 , 0) y a ( x, y ) (ax, 0) b) ( x1 , y1 ) ( x 2 , y 2 ) ( x1 x 2 , y1 y 2 ) y a ( x, y ) (ax, 0) (las operaciones que aparecen en el segundo miembro de las igualdades, tanto en a) como en b) son la adición y multiplicación usuales). 2. En R 3 con la operación usual de adición y la multiplicación definida como: a R; ( x, y, z ) R 3 : a ( x, y, z ) ( ax, ay, 2az )
averiguar si R 3 es un espacio vectorial sobre R. 3. Sean V R (el conjunto de los números reales positivos) y K R . Se definen las operaciones de adición y multiplicación por escalar como sigue: x, y R : x y xy a R ; x R : a x x a
Averiguar si R con las operaciones definidas anteriormente es un espacio vectorial sobre R. 4. Sean V = R y K = R; se define la operación de adición como sigue: x, y R : x y máx{ x, y}
Si la multiplicación por escalar es la usual de números reales, averiguar si R con las operaciones antes definidas es un espacio vectorial. 14
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------5. Sea Z el conjunto de los números enteros con la adición usual y la multiplicación por escalar definida por a R, x Z : a x
a x
donde a denota el máximo entero; esto es
a k k a k 1 ;
k Z
Por ejemplo 2,75 4
2,75 4 (2)(4) 8 ,
2,15 3 2,15
3 (3)(3) 9
¿Cuáles de las condiciones de espacio vectorial no se verifican?. 6. Sea el conjunto Q ( 2 ) { a b 2 / a, b Q } . Se define: (a b 2 ) (c d 2 ) (a c) (b d ) 2 ( a
b 2 ) a b 2
¿Es ( Q ( 2 ), , K , ·) un espacio vectorial?, Si: (a) K Q( 2 ) , (b) K Q y (c) K R . 7. Demostrar ii), iii) y iv) de la proposición 1.2. 8. En el conjunto R 2 se definen la adición y la multiplicación como sigue: 1
x ( x1 , x 2 ) , y ( y1 , y 2 ) R 2 : x y ( x13 y13 ) 3 , ( x 23 y 23 )
1 3
a R ; x ( x1 , x 2 ) R 2 : a x (ax1 , ax 2 )
Averiguar si R 2 con las operaciones arriba definidas es un espacio vectorial. 9. En un grupo aditivo V se da la siguiente definición. Para x V y para cualquier entero positivo n, se define el producto nx inductivamente por 1 x x
nx ( n 1) x x
y
Para un entero negativo n, se define nx (( n) x ) ,
donde por
n es
Z
un entero y por consiguiente ( n) x está bien definido. Denotando
el conjunto de todos los enteros, demostrar que la aplicación
Z V V
(n, x ) nx
verifica las siguientes propiedades:
a)
n( x y ) nx ny
b)
(m n) x ) mx nx
c)
(mn) x m(nx )
d)
1 x x
¿Es V un espacio vectorial?. La respuesta es obvia. 15
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. SUBESPACIOS DEFINICIÓN 2.1.- Sea (V , , K , ·) un espacio vectorial cualesquiera. Diremos que W , un subconjunto de V diferente del vacío es un subespacio si y solo si (W , , K , ·) con las operaciones definidas para V es por sí mismo un espacio vectorial.
NOTA.- El conjunto { } y V son subespacios vectoriales de V , denominados subespacios triviales;
cualquier otro subespacio es llamado subespacio propio.
Nótese además que el elemento neutro aditivo de W es el mismo que el de V .
TEOREMA 2.2.- Sea
V
un K -espacio vectorial un espacio vectorial y W un
subconjunto de V diferente del vacío. W es un subespacio vectorial de V si y solo si: i) Para todo x, y W , x y W . ii) Para todo a K , para todo x W , ax W .
PRUEBA ) Es
obvio
) Por
hipótesis tenemos que se cumple i) y ii), probaremos que W es un K -espacio
vectorial. V1) ( x y ) z x ( y z ) para que x, y, z W . Se verifica: x, y , z W V y en V se cumple V1). V2) Existe W / x x x para todo x W . En efecto, sea: y W ( 1) y y W (por
ii)) y ( y ) W por i)).
V3) Para todo x W , existe x W tal que x ( x ) x x en virtud de i) y ii). Análogamente se puede verificar que (W , , K , ·) cumple las condiciones restantes del espacio vectorial.
EJEMPLO 2.2.1.- Sea V R 2 y consideremos:
W ( x1 , x 2 ) R 2 /( x1 , x 2 ) (0,
0) ó
a , x1 0 y a constante x1
x 2
W es un subespacio vectorial de V .
EJEMPLO 2.2.2.- Sea
el R -espacio vectorial de todas las funciones reales de
variable real, consideremos: 16
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- { f : R
es un subespacio vectorial de pues
: R
R tal
R / f es continua}
. En
efecto, tenemos que
ya que
,
que ( x ) 0 para que x R es una función continua. Las otras
condiciones se cumplen en virtud de las propiedades de funciones continuas.
EJEMPLO 2.2.3.- Sea ( R 3 , , R, ·) y dados
u (1,
3, 0) y v (2, 0, 1)
elementos de R 3 . Construimos: W {w R 3 / w u a(v u ), a R } W no es un subespacio de R 3 , pues es fácil verificar que cero no pertenece a W .
EJEMPLO 2.2.4.- Sea
V
el R-espacio vectorial de todos las funciones reales
de variable real. Averiguar si el conjunto definido como: W { f / f ( a b) f ( a ) f (b) f ( a ) f (a )}
es un subespacio vectorial.
SOLUCIÓN Haciendo uso del teorema 2.2. tenemos que W V por definición y además W pues la función cero pertenece a W . Veamos si cumplen las condiciones i) y
ii) del teorema. i)
f , g W entonces: f ( a b) f ( a ) f (b) f ( a ) f (a )
(1)
g ( a b) g ( a ) g (b) g ( a ) g (a )
(2)
Sumando las igualdades de (1) y (2) miembro a miembro f ( a b) g ( a b) ( f (a ) f (b)) ( g ( a ) g (b))
f ( a ) g ( a ) f ( a ) g (a )
agrupando convenientemente y usando la definición de suma de funciones, tenemos: ( f g )(a b) ( f g )(a) ( f g )(b) ( f g )( a ) ( f g )( a ) luego f g W . ii)
R ,
f W entonces: R ,
f ( a b) f (a ) f (b) f ( a ) f (a )
17
(3)
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------multiplicando las igualdades de (3) por
y
de la definición de producto de una
función por un escalar tenemos: ( f )(a b) ( f )( a) ( f )(b) ( f )( a) ( f )(a ) luego f W . De i) y ii) W es un subespacio vectorial.
EJEMPLO 2.2.5.- Sea V { f : R R / f es continua} y consideremos: W 1 { f / 10 f (t ) dt 0 } 1 W 2 { f / 0 f (t ) dt 1}
W 1
es un subespacio vectorial, W 2 no es un subespacio pues no se cumplen las
condiciones del teorema 2.2. En efecto, tomemos f : R R tal que f (t ) 1 , entonces f W 2 ya que 10 dt 1 , pero f f W 2 pues 10 ( f (t ) f (t )) dt 2 1 .
EJEMPLO 2.2.6.- Sea
V R n
n
el espacio vectorial de las matrices cuadradas de
orden n n sobre el campo R. Definimos:
S { A R n n / a i j
T { A R nn / ai j
a j i ; i, j }
a j i ;
i , j }
Los elementos del conjunto S se denominan matrices simétricas, y a los elementos de T se les llaman matrices antisimétricas. Los conjuntos S y T con las operaciones heredadas de ( R nn , , R, ·) son subespacios vectoriales.
EJEMPLOS 2.2.7.- Sea
C nn
{(ai j ) / a i j C }
el espacio vectorial de las
matrices de componentes complejas sobre el campo R. Definimos: H {(ai j ) C nn / ai j
H es un subespacio de C
n n
.
18
a j i ;
1 i, j n }
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
EJERCICIOS 1. Sea el espacio vectorial ( R 2 , , R, ·) . Averiguar cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales: 2
a)
U { ( x, y ) R
/ x y 0 }
b)
W { ( x, y ) R
c)
S { ( x, y ) R
d)
T { ( x, y ) R 2 / x 2 y 1}
2
2
/ xy 0 }
/ x 2 y }
2. Sea el espacio vectorial ( R 3 , , R, ·) . Averiguar cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales: a)
U 1 { ( x, y, z ) R 3 / x z }
b)
U 2 { ( x, y, z ) R 3 / x 2 y 2 z 2 1}
c)
3 U 3 { ( x, y, z ) R / x y
d)
3 U 4 { ( x, y , z ) R / 2 x y z 0 }
e)
U 5 { ( x, y, z ) R
3
}
/ x y z }
3. Sea el espacio vectorial ( , , R, ·) , donde
{ f : R R } (ver el
ejemplo 1.1.2.). Averiguar cuáles de los siguientes subconjuntos de subespacios vectoriales. a)
W 1
{ f / f (1)
b)
W 2
{ f / f (0)
c)
W 3 { f / f (0) f (1) 0 }
d)
W 4 { f / f ( x ) 0 }
e)
W 5 { f / f ( 1) 0 }
f)
W 6 f / f (1 / 2)
0}
f (1) }
f (0) f (1)
2
19
son
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------g)
W 7 { f / f ( x 2 ) ( f ( x )) 2 }
h)
W 8 { f / f (3) 1 f (5) }
i)
W 9 { f / f (1) 0 f ( 1) 0 }
j)
W 10 { f / f (1) 0 f ( 1) 0 }
4. Sea el espacio vectorial (C 2 , , R, ·) . Determinar cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales: a)
S 1 { ( z , u ) C 2 / z 2 u 2 0 }
b)
S 2 { ( z , u ) C 2 / Re( z ) Re(u ) }
c)
S 3 { ( z , u ) C 2 / Im( z ) 0
d)
2 S 4 { ( z , u ) C / Im( z ) Im(u ) 0 }
Re( z u ) Im( z ) }
5. Analizar si ( R 2 , , R, ·) es un subespacio de ( R 3 , , R, ·) . 6. Sea ( R 22 , , R, ·) el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden
2 2 de entradas reales sobre R y
A R 22 una
matriz particular. Determinar
cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales: a)
2 2 T 1 { B R / AB BA}
b)
T 2 { B R 22 / AB BA }
c)
T 3 { B R 2
2
/ BA 0 }
3. OPERACIONES CON SUBESPACIOS PROPOSICIÓN 3.1.- Sea W i i I una familia de subespacios de (V , , R, ·) . Si W W i i I
entonces, W es un subespacio de V .
PRUEBA W V por definición y además es no vacío ya que W i i I ,
i) Sean x, y W x, y W i i x y W i i x y W .
ii) Sean a K , x W a K x W i i ax W i i ax W .
20
entonces W .
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
EJEMPLO 3.1.1.- Sea ( R 3 , , R, ·) y consideremos: 3 W 1 { ( x, y, z ) R / x y 0 } 3 W 2 { ( x, y, z ) R / 2 x z 0 } 3 3 W 1 W 2 { ( x, y, z ) R / x y 0 2 x z 0 } es un subespacio de ( R , , R,
DEFINICIÓN 3.2.- Sean W 1 ,
W 2 subespacios de (V , , R,
.)
·) . Definimos:
W { x V / x x1 x 2 , x1 W 1 x 2 W 2 }
W se denota por W W 1 W 2
y se le llama suma de subespacios W 1 y W 2 .
PROPOSICIÓN 3.3.- La suma de dos subespacios de V es un subespacio vectorial de V .
PRUEBA Sea W 1 W 2
{ x V / x x1 x 2 , x1 W 1 x 2 W 2 },
y además es diferente del vacío pues
W 1
W 1 W 2
W 2 V por
definición
ya que se puede escribir
( es elemento de W 1 y de W 2 ).
i) x, y W 1 W 2 , debemos probar que x y W 1 W 2 . x x1
x 2 ,
x1 W 1
x 2 W 2
y y1 y 2 , y1 W 1 y 2 x y
( x1
W 2
y1 ) ( x 2 y 2 ) W 1 W 2
pues x1 y1 W 1
x 2
y 2 W 2 .
ii) a K , x W 1 W 2 , debemos probar que ax W 1 W 2 . x x1 x 2 ax ax1 ax 2 W 1 W 2 pues ax1 W 1 ax 2 W 2 .
Luego W 1 W 2 es un subespacio vectorial.
EJEMPLO 3.3.1.- En ( R 3 , , R, ·) consideremos los subespacios: W 1 { ( x,
0, z ) R 3 / x, z R } y W 2 { (0, y, z ) R 3 / y, z R }
Tenemos: (u, v, w) R 3 /(u, v, w) ( x1 , 0, z1 ) (0, y 2 , z 2 ); W 1 W 2 ( x1 , 0, z1 ) W 1 y (0, y 2 , z 2 ) W 2
21
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Podemos observar que W 1 W 2 R 3 pues cualquier vector (u, v, w) R 3 se puede escribir como (0, v,
1 2
(u, v, w) (u, 0,
1 1 w) (0, v, w) donde 2 2
1 w) W 1 y 2
w) W 2 .
DEFINICIÓN 3.4.- Sean V un espacio vectorial sobre V .
(u, 0,
K , W 1 y W 2 subespacios
Diremos que V es la suma directa de los subespacios W 1 y W 2 y denotaremos
por: V W 1 W 2 .
Si y solo si: i)
de
V W 1
W 2
ii) W 1 W 2
{ }
EJEMPLO 3.4.1.- En ( R 2 , , R, ·) consideremos los subespacios: W 1 { ( x, y ) R 2 / y x }
y W 2 { ( x, y ) R 2 / y x }
R 2 W 1 W 2 . En efecto:
i) Cualquier vector (u, v) R 2 se puede expresar como:
1 1 1 1 (u, v) ( (u v), (u v)) ( (u v), (v u )) 2 2 2 2 es decir que R 2 W 1 W 2 . 1 1 1 1 Obsérvese que ( (u v), (u v)) W 1 y ( (u v), (v u )) W 2 . 2 2 2 2 ii) Probaremos ahora que W 1 W 2 { (0, 0) } . { (0, 0) } W 1 W 2 se cumple siempre. Sea ( x, y ) W 1 W 2 ( x, y ) W 1 ( x, y ) W 2 x y x y x y 0 ( x, y ) { (0, 0) } . Luego W 1 W 2 { (0, 0) }
W 1 W 2 { (0,
0) } .
De i), ii) y la definición 3.4 se tiene: 2 R W 1 W 2
22
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
EJEMPLO 3.4.2.- Sea V el espacio vectorial de todas las funciones de R en R; sea V p el
conjunto de las funciones pares ( f ( x ) f ( x )) y V i el conjunto de las
funciones impares ( f ( x ) f ( x )) . Afirmamos que V V p V i . En efecto: i) Debemos probar que V V p V i . Esta condición se satisface del hecho que cualquier función de R en R se puede escribir como: f ( x)
Nótese que
1 1 ( f ( x) f ( x)) ( f ( x) f ( x)) 2 2
1 1 ( f ( x) f ( x)) es una función par, y ( f ( x) f ( x)) es una 2 2
función impar. ii) Probaremos que V p V i { } . Sea f V p V i f V p f V i f ( x ) f ( x ), x R f ( x ) f ( x ), x R 2 f ( x ) 0, x R f
De i), ii) y definición 3.4. tenemos que: V V p V i
EJEMPLO 3.4.3.- Sea V el espacio vectorial de las matrices cuadradas sobre el campo R; y consideremos: U { A V / A A T } conjunto de las matrices simétricas. W { A V / A A T } conjunto de las matrices antisimétricas.
Demostrar que V U W . i) Demostraremos que V U W . Sea A una matriz cuadrada arbitraria de orden n. Siempre es posible expresar A como: A
1 1 ( A AT ) ( A AT ) 2 2
Sólo nos falta hacer ver que: a) b)
1 ( A AT ) U y 2 1 2
T
( A A ) W
Probando a)
23
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------1 1 ( ( A AT )) T ( A A T ) T 2 2
1 T T T A A 2
1 T ( A A) 2
1 2
( A AT )
Probando b)
1 1 ( ( A AT ))T ( A AT )T 2 2
1 T T T A A 2
1 2
( AT A)
1 2
( A AT )
Luego satisface la condición i). ii) Demostraremos que U W { } . Sea A U W A U A W A AT A AT A . Luego U W { } . De i), ii) y de la definición 3.4 se tiene: V U W
OBSERVACIÓN 3.5.- La definición de suma de espacios puede ser generalizada para una familia finita de subespacios. En efecto la suma de los subespacios W 1 , W 2 , , W n de (V , , K , ·) es el conjunto: n W W i v V / v wi wi W i ; i 1, 2, , n i 1 i 1 n
W es un subespacio de (V , , K , ·) .
Además si tales subespacios tienen como único
elemento común al vector cero, es decir si para todo i j se tiene que W i W j { } ,
entonces diremos que W es la suma directa y escribiremos:
W W 1 W 2 W n
24
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
EJERCICIOS 1. Sea V R 4 y v1 (1, 2, 0, 3), v 2 (1, 4, 3, 1), v3 (2, 6, 3, 2) elementos de R 4 .
Definimos:
4 W 1 {v R / v av1 bv2 ; a, b R }
W 2 {v R
4
/ v av3 ; a R }
i)
Calcule W 1 W 2
ii)
Hallar un vector de R 4 tal que no pertenezca a W 1 .
iii) Si consideramos W 3 {v R 4 / v av1 bv 2 cv3 ; a, b, c R } . ¿Cuál es la relación que existe entre W 1 y W 3 ? 2. Dados U y W subespacios de V . Demostrar que U W es un subespacio de V si y solo si U W ó W U . 3. Extendemos la definición de suma a subconjuntos arbitrarios no vacíos (no necesariamente subespacios) S y T de un espacio vectorial V definiendo S T {s t / s S t T }
Demostrar que esta operación satisface: i)
S T T S
ii)
S { } { } S S
ii)
( S 1 S 2 ) S 3 S 1 ( S 2 S 3 )
iv)
S V V S V
4. Demostrar que para todo subespacio vectorial W de V se tiene que W W W . 5. Dados U , W y T subespacios de un espacio vectorial V . Demostrar: (U T ) (U W ) U (T W ) 6. Sean U , V y W subespacios de ( R 3 , , R, ·) donde: U { ( x, y , z ) / x y z 0 } , V { ( x, y , z ) / x y } y W { (0,
0, z ) / z R }
a)
Calcular U V , U W y V W .
b)
Decir en cual de los tres casos anteriores de la parte a) la suma es directa.
7. Dada la recta L1 { ( x, y ) R 2 / y 5 x } . Hallar otra recta L2 tal que R 2 L1 L2
25
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
4. INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL – BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL DEFINICIÓN 4.1.- Sea (V , , K , ·) un espacio vectorial y
A {v1 , v 2 , , v n }
un
subconjunto de V diferente del vacío, llamaremos combinación lineal ( c.l .) de elementos de A a todos los vectores de la forma: n
1 a v i
i
a1v1 a 2 v 2 a n v n , donde ai K y vi A .
i
Diremos que v V es una combinación lineal de los elementos de A si existen escalares a1 , a 2 , , a n K tal que: n
v
ai v i , vi A i 1
EJEMPLO 4.1.1.- Dado ( R 3 , , R, ·) .
v1
Averiguar
(1, 1, 0) y v 2 (1, 2, 2) vectores del espacio vectorial
si
los
vectores
u
(0, 1, 3), w (1, 0, 2)
son
combinaciones lineales de v1 y v2 .
SOLUCIÓN Para u: Si u fuera combinación lineal de
v1
y v2 se podría escribir u a1v1 a2 v2
para a1 , a2 R . (0, 1, 3) a1 (1, 1, 0) a 2 (1, 2, 2)
(a1 , a1 , 0) (a 2 , 2a 2 , 2a 2 ) (a1 a2 , a1 2a 2 , 2a 2 ) a1 a 2 0 a1 2a 2 1 2a 2 3
(1) ( 2) (3)
de (3) a 2 3 / 2 y reemplazando dicho valor en (2) se tiene a1 2 . Sustituyendo dichos valores en la ecuación (1) se tiene:
1 0 2
( )
luego para u no existen números reales a1 , a 2 tales que u a1v1 a 2 v 2 . En consecuencia u no es c.l. de v1 y v2 .
Para w:
w b1v1
b2 v 2
(1, 0, 2) b1 (1, 1, 0) b2 (1, 2, 2) 26
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- (b1 , b1 , 0) (b2 , 2b2 , 2b2 ) (b1 b2 , b1 2b2 , 2b2 ) b1 b2 1 b1 2b2 0 2b2 2
(1' ) ( 2' ) (3' )
de las ecuaciones (2’) y (3’) resulta b1 2
y b2 1 reemplazando dichos valores
en (1’) satisface la ecuación. Luego existen
b1 2
y b2 1 tal que
(1, 0, 1) 2(1, 1, 0) (1, 2, 2) ; entonces w es combinación lineal de v1 y v2 .
EJEMPLO 4.1.2.- Dado el espacio vectorial ( , , R, ·) y considerando f , g , h
definidas como f (t ) sen t , g (t ) cos t y h(t ) t 2 . Hallar todos los
números reales tales que af bg ch .
SOLUCIÓN af bg ch
(af bg ch)(t ) (t ) 0 af (t ) bg (t ) ch(t ) 0
a sen t b cos t c t 2 0
(1)
a cos t b sen t 2c t 2 0
(2)
derivando (1) nuevamente derivando (2) a sen t b cos t 2c 0
(3)
En las ecuaciones (1), (2) y (3) para todo t 0 se tiene: b0
(1’)
0
(2’)
b 2c 0
(3’)
a
de (1’), (2’) y (3’) concluimos que los únicos número s
reales que satisfacen la
ecuación af bg ch son: a
DEFINICIÓN 4.2.- Sean
V
bc0
un espacio vectorial sobre un campo K y
A {v1 , , v n } un subconjunto de V diferente del vacío, definimos el conjunto: L{ A} { v V / v es combinación lineal de elementos de A }.
PROPOSICIÓN 4.3.- El conjunto L{ A} definido en 4.2. es un subespacio de V . 27
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
PRUEBA Tenemos que A {v1 , , vn } es un subconjunto de V diferente del vacío. L{ A} V por definición y L{ A} puesto que A , existe por lo menos un elemento vi A para i entre 1 y n que se puede escribir como:
vi 0v1 0vi 1 vi 0vi 1 0v n
i)
Sean v, u L{ A} , entonces mostraremos que v u L{ A} . v L{ A} , entonces existen escalares a1 , , a n K tal que n
v
ai vi
(1)
i 1
u L{ A} , entonces existen escalares b1 , , bn K tal que n
u
bi vi
(2)
i 1
de (1) y (2) n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
i 1
v u ai v i bi v i ( a i bi )v i c i v i
donde ci ai bi . v u L{ A}
ii)
Sea a K , v L{ A} hay que mostrar que av L{ A} . v L{ A} entonces existen escalares a1 , , a n K tal que v
n
n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
a i vi av a a i vi a (a i vi ) (aa i )vi bi vi
donde bi aai av L{ A}
luego L{ A} es un subespacio de V y es llamado subespacio generado por A.
EJEMPLO 4.3.1.- En el espacio vectorial A {(1,
( R 3 , , R, ·) consideremos
2, 1), (3, 0, 1)} , hallar el subespacio L{ A} .
SOLUCIÓN L{ A} {( x, y, z ) R
3
/( x, y, z ) a(1, 2, 1) b (3, 0, 1); a, b R }
( x, y, z ) a (1, 2, 1) b (3, 0, 1) (a 3b, 2a, a b)
28
Notas de clase de Álgebra Li Lineal I Víctor G. Osorio Vidal -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- a 3b x 2a y a b z
(*)
en el sistema (*) eliminando a y b a
y 2
y 3 b x 2 y b z 2
y
(1) ( 2)
multiplicando (2) por 3 y sumando con (1), resulta x 2 y 3z 0 . L{ A} {( x, y, z ) R 3 / x 2 y 3z 0 } que es un plano en R 3 que pasa por el
origen.
EJEMPLO 4.3.2.- En el espacio ( R 3 , , R, ·) averiguar si los conjuntos: A {(0, 1, 1),
(2, 1, 3), (2, 5, 1)} y B {(1, 1, 1), (1, 2, 4), (1, 0, 2)} generan el
mismo subespacio.
SOLUCIÓN i) L{ A} {( x, y, z ) R 3 /( x, y, z ) a(0, 1, 1) b(2, 1, 3) c(2, 5, 1) ; a, b, c R } ( x, y, z ) a (0, 1, 1) b(2, 1, 3) c(2, 5, 1) (2b 2c, a b 5c, a 3b c ) x 2b 2c y a b 5c z a 3b c
(1) (2) (3)
eliminando a, b y c (2)-(3)
y z
4b 4c
(4)
y ahora multiplicando (1) por 2 y restando (4) resulta:
2 x y z 0
Luego L{ A} {( x, y, z ) R 3 / 2 x y z 0 } ii)
L{ B} {( x, y, z ) R
3
/( x, y, z ) a(1,1, 1) b(1, 2, 4) c(1, 0, 2) ; a, b, c R }
( x, y, z ) a (1, 1, 1) b(1, 2, 4) c(1, 0, 2) (a b c, a 2b, a 4b 2c ) x a b c y a 2b z a 4b 2c
(1' ) (2' ) (3' )
eliminando a, b y c 29
Notas de clase de Álgebra Li Lineal I Víctor G. Osorio Vidal -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- y z
(2)-(3)
2a 2b 2c
( 4' )
y ahora multiplicando (1) por 2 y restando ( 4' ) resulta: 2 x y z 0 Luego L{ B} {( x, y, z ) R 3 / 2 x y z 0 } De i) y ii) L{ A} L{B} . Es decir, A y B generan los mismos subespacios.
PROPOSICIÓN PROPOSICIÓN 4.4.- Sea el espacio vectorial (V , , K , ·) ,
A {v1 , , v n }
un
subconjunto de V diferente del vacío y W i i I la familia de todos los subespacios tales que A W i , para todo i I . Entonces: L{ A} W i i I
PRUEBA i)
Probaremos L{ A } W i . i I n
Sea v L{ A} , entonces existen escalares a1 , , a n K tal que v a j v j ; j 1
v j
A, j 1, , n . Pero como A W i , i I v j W i , i I , j 1, , n n
v a j v j ; v1 , , v n W i , i I v W i ; i I v W i j 1
i I
L{ A} W i . i I
ii ii))
Ahora hora ver verif ific icar arem emos os que que W i L{ A} . i I
A L{ A} . v j
En efecto, para v j A ; j 1, , n se puede escribir siempre
0v1 0v j 1 1v j 0v j 1 0v n ; j 1, , n .
A L{ A} L{ A} W i para algún i 0 I 0
W i W i L{ A} W i L{ A} i I
0
i I
Luego de i) y ii) L{ A} W i . i I
NOTA.- La proposición proposición 4.4. también también se puede enunciar diciendo diciendo que L{ A} es el menor de todos los subespacios que contienen a A. Un subconjunto diferente del vacío, de vectores {v1 , v 2 , , vn } DEFINICIÓN 4.5.- Un de un espacio vectorial V sobre un campo K , se dice que es linealmente independiente (l.i.) si y solo si:
30
Notas de clase de Álgebra Li Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------n
1 a v i
i
a i 0 ; i 1, , n
i
Si {v1 , v 2 , , vn } no no cumple esta condición diremos que {v1 , v 2 , , vn } es
.); es decir linealmente dependiente (l.d .) n
1 a v i
i
y ai 0 para algún i entre 1 y n
i
R 3 , e1 (1,
EJEMPLO EJEMPLO 4.5.1.4.5.1.- En
0, 0), e2 (0, 1, 0)
y e3 (0, 0, 1) son
linealmente independientes.
EJEMPLO 4.5.2.- En
R 3 , v1 (1,
2, 3), v 2 (2, 1, 1) y v3 (1, 8, 11) son
linealmente dependientes, pues 3v1 (2)v 2 (1)v3 .
EJEMPLO 4.5.3.- En
2
R 2
1 0 0 1 0 0 0 0 , , 0 0 , 1 0 , 0 1 son linealmente 0 0
independientes
EJEMPLO 4.5.4.- En
, el espacio vectorial de las funciones sobre R, {e t , e 2t }
es linealmente independiente. En efecto, sea la combinación lineal: ae t be 2t
0
(1)
derivando (1) obtenemos: ae t 2be 2t
0
(2)
y resolviendo (1) y (2) resulta a b 0 .
PROPOSICIÓN 4.6.- Sea (V , , K , ·) un espacio vectorial. a)
Un vector v V es linealmente independiente. si y solo si v .
b)
Si v1 , v 2 , , vn son linealmente linealmente independiente independientes, s, entonces entonces v1 , v 2 , , vm donde linealmente independiente independientes. s. 1 m n también son linealmente
PRUEBA a) ) Asumamos que v es linealmente independiente en V . Por el absurdo supongamos que v , entonces av , a K . En particular si elegimos a 1 , tenemos que 1v , lo cual es una contradicción con el hecho de que v es linealmente independiente. Luego v . )
Ahora asumiendo que v . av
a 0 ó v
31
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------pero con v por hipótesis, resulta que a 0 y en consecuencia v es linealmente independiente. b) n
m
n
1 a v 1 a v 1a v i
i
i
i
i
i
i
i
i m
ai 0 , para todo i 1, , n por ser v1 , , v n linealmente independientes. ai 0 , para todo i 1, , m para los v1 , , vm , pues m n
v1 , , v m son
linealmente independientes.
Dado un espacio vectorial (V , , K , ·) , hemos definido el concepto de linealmente independiente, para un subconjunto S finito diferente del vacío. Extenderemos ahora esta definición cuando S es un subconjunto cualquiera de V .
DEFINICIÓN 4.7.- Sean (V , , K , ·) un espacio vectorial, S V , diremos que S es linealmente independiente
si todo subconjunto finito de S es linealmente
independiente.
PROPOSICIÓN 4.8.- Sean S y S ' subconjuntos de V tal que S S ' . Entonces: i) Si S ' es linealmente independiente, entonces S también lo es. ii) Si S es linealmente dependiente también lo es S ' .
PRUEBA. Queda como ejercicio. EJEMPLO 4.8.1.- Sea
[ x ] el
espacio vectorial de los polinomios con coeficientes
en R e indeterminada x. S {1, x, x 2 , , x n , } es linealmente independiente.
DEFINICIÓN 5.9.- Dado un espacio vectorial V sobre un campo K , llamaremos base de V a todo subconjunto no vacío S de V que cumple las siguientes condiciones:
i)
S es linealmente independiente.
ii)
L{S } V
EJEMPLO 4.9.1.- El conjunto {e1 , e2 , e3 } es una base para el espacio vectorial ( R 3 , , R, ·) , donde e1 (1, 0, 0), e2 (0, 1, 0) y e3 (0, 0, 1) .
EJEMPLO 4.9.2.- El conjunto {e1 , e2 , , en } es una base para el espacio vectorial ( R n , , R, ·) , donde e1 (1, 0, , 0), e2 (0, 1, , 0) ,..., en (0, 0, , 1) son n-uplas.
32
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 0 0 1 0 0 0 0 EJEMPLO 4.9.3.- El conjunto , , , es una base 0 0 0 0 1 0 0 1
para el espacio vectorial ( R 22 , R ,.) .
EJEMPLO 4.9.4.- Hallar una base para
S {( x, y, z ) R 3 / 2 x y 2 z 0 }
subespacio de ( R 3 , , R, ·) .
SOLUCIÓN S {( x, y, z ) R 3 / 2 x y 2 z 0 }
{( x, 2 x 2 z , z ) / x, z R } {( x, 2 x, 0) (0, 2 z , z ) / x, z R } { x (1, 2, 0) z (0, 2,1) / x, z R } L {(1, 2, 0), (0, 2,1)}
El conjunto {(1, 2, 0), (0, 2,1)} es una base para S , pues: i)
Es linealmente independiente.
ii)
S L {(1,
2, 0), (0, 2,1)}
PROPOSICIÓN 4.10.- Un conjunto de elementos {v1 , , vn } del espacio vectorial V sobre
un campo K forman una base si y solo si v V , v puede ser expresado de
forma única como combinación lineal de v1 , , vn .
PRUEBA ) Asumamos que v1 , , v n es una base. Sabemos que v V , v puede ser
expresado como una combinación lineal de v1 , , v n . Supongamos que v se puede n
n
n
i 1
i 1
i 1
expresar de dos formas, es decir v a i vi bi vi (a i bi )vi , pero como v1 , , v n son linealmente independientes: a i bi 0, i 1, , n
ai bi , i 1, , n ) Recíprocamente, asumamos que v1 , , v n tiene la propiedad que v V , v
puede ser expresado de una única forma como combinación lineal de los v1 , , vn . Por lo tanto es L {v1 , , v n } V .
33
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Nos resta probar que v1 , , v n son linealmente independientes. Supongamos que n
1
n
ai vi
i
0vi , entonces, por la unicidad ai 0 para todo i 1, , n . i 1
Luego {v1 , , vn } forma una base.
LEMA 4.11.- Sea
S {v1 , , v n }
un conjunto de generadores para el espacio n
vectorial (V , , K , ·) . Sea v V tal que v a i vi , si ai 0 para algún i, i 1
entonces V L{S i } , donde S i ( S {v}) {vi } , ( S i {v1 , , vi 1 , v, vi 1 , , v n } ).
PRUEBA Sea u V un elemento arbitrario, mostraremos que u se puede expresar como una combinación lineal de elementos de S i . V L{S } u
Por hipótesis:
n
bi vi
(1)
i 1
Además tenemos que: v
n
1
a i vi v
i
n
a v j
j
ai vi
j i
vi
1 ai
v
(a / a )v j
i
j
(2)
j i
reemplazando (2) en (1) 1
u b1v1 bi
ai
v
(a / a )v j
j i
i
j
bn v n
(b1 (bi a1 / ai ))v1 (b2 (bi a 2 / ai ))v 2 (bi / ai )v (bn (bi a n / ai ))v n
denotando c1 b1 (bi a1 / a i ), c 2 b2 (bi a 2 / a i ), , ci bi / ai , , c n bn (bi a n / ai )
tenemos u c1v1 c 2 v 2 ci v c n v n
V L{S i }
PROPOSICIÓN 4.12.- Sean (V , , K , ·) un espacio vectorial S {v1 , v 2 , , v n } V
y S ' {u1 , u 2 , , u m } L{S } .
Si S ' es linealmente independiente, entonces m n .
34
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
PRUEBA Consideremos V 1 L{S } . n
Sea u V 1 u1 a i vi i 1
Suponemos que a1 0 (reordenando si fuera necesario) y por el lema anterior L{u1 , v 2 , v3 , , v n } V 1 .
Ahora sea u 2 V 1 u 2 b1u1 b2 v 2 bn vn bi 0, i 2 ; pues de suponer lo contrario resultaría u 2 b1u1 que es una
contradicción ya que u 2 es linealmente independiente. Suponemos que b2 0 (reordenando si fuera necesario) y aplicando nuevamente el lema anterior tenemos que: L{u1 , u 2 , v3 , , v n } V 1
Afirmación
m n
Por el absurdo, supongamos que m n , entonces el proceso anterior se podría seguir inductivamente hasta obtener L{u1 , u 2 , , u n } V 1 ; pero si m n , entonces m n 1 u n 1 por estar en V 1 sería combinación lineal de u1 , u 2 , , u n , lo
que es
una contradicción con el hecho de que {u1 , u 2 , , u n } son linealmente independientes. Dicha contradicción proviene de haber supuesto que m n .
COROLARIO 4.12.1.- Sea (V , , K , ·) un espacio vectorial. Si
S {v1 , , v n }
y
S ' {u1 , , u m } son bases del espacio vectorial V , entonces n m .
PRUEBA i) Si S es base de V , entonces L{S } V . Por otra parte, S ' V L{S } y S ' es linealmente independiente por ser base de V , en virtud de la proposición 5.12. resulta que m n . ii) Análogamente, S ' base de V L{S '} V . Como S V L{S '} y S linealmente independiente por ser base de V , aplicando nuevamente la proposición 5.12. resulta que n m . De i) y ii) se sigue que m n .
NOTA.- Del corolario podemos observar que si V tiene una base infinita, entonces cualquier otra base tiene un número infinito de elementos.
35
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
DEFINICIÓN 4.13.- Llamaremos dimensión de un espacio vectorial V sobre un campo K , al número de elementos de cualquiera de sus bases.
NOTACIÓN.- Denotamos por “ dim K V ” y se lee “dimensión de V sobre el campo K ”.
OBSERVACIÓN 4.13.1. (1) Si V tiene como único elemento el vector nulo, convenimos que la dimensión de V es cero. Es decir
dim K { } 0 .
(2) Si V tiene una base infinita, la dimensión de V denotaremos por dim K V .
EJEMPLO 4.13.2.- El conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una R base para R 3 ,
entonces dim R R 3 3 .
EJEMPLO 4.13.3.- El conjunto {(1, 0, , 0), (0, 1, , 0), , (0, 0, , 1)} es una K base para K n , entonces
dim K K n n .
EJEMPLO 4.13.4.- Sea
V { p(t ) a 0 a1t a 2 t 2 a 3t 3 / a 0 , a1 , a 2 , a 3 R}
dim R V 4 , pues {1, t , t 2 , t 3 } es una R base para V .
EJEMPLO 4.13.5.- Dado (C n , , R, ·) . ¿Cuál es la dimensión de
n
C
sobre R?
SOLUCIÓN C n {( z1 , , z n ) / z j C , j 1, , n} z j C donde z j a j ib j y podemos escribir: z j
(a j i 0) (0 ib j )
Afirmamos que: B
{(1, 0, , 0), (i, 0, , 0), (0, 1, , 0), (0, i, , 0), , (0, 0, , 1), (0, 0, , i )}
es una base. En efecto i)
B es linealmente independiente.
ii)
L{ B} C n , pues cualquier ( z1 , , z n ) C n se puede escribir como:
( z1 ,, z n ) a1 (1, 0,, 0) b1 (i, 0,, 0) a n (0, 0, ,1) bn (0, 0, , i ) (a1 ib1 , , a n ibn )
donde z j a j ib j para todo j 1, , n . Luego dim R C n 2n .
36
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
PROPOSICIÓN 4.14.- Sea (V , , K , ·) un espacio vectorial finito dimensional (asumamos que i)
dim K V n ). Se cumple:
Si S {u1 , , u m } V donde m n , entonces S es linealmente dependiente sobre K .
ii)
Si S {u1 , , u m } V donde m n , entonces S es L{S } V .
iii) Si S {u1 , , u m } V es linealmente independiente sobre K , entonces S es una base para V . iv) Si S {u1 , , u m } V genera V . Entonces S es una base para V .
PRUEBA.- Queda como ejercicio. LEMA 4.15.- Sea
S {v1 , , v m } un
subconjunto linealmente independiente de un
espacio vectorial V sobre un campo K . Si v V es un vector tal que v L{S } , entonces S ' {v1 , , v m , v} también es linealmente sobre K .
PRUEBA Sea a1v1 a 2 v 2 a m v m av 0 . Afirmamos que a 0 . Pues si suponemos que a 0 tenemos que: v ( a1 / a )v1 ( a 2 / a )v 2 ( a m / a )v m v L{S }
lo cual es una contradicción ya que por hipótesis v L{S } . a 0 y como a1 a m 0 , resulta que S ' es linealmente independiente.
TEOREMA 4.16.- (Completación de bases) Sea V un espacio vectorial sobre un campo K , tal que
dim K V n , W subespacio
de
V y {v1 , , v m } es base de W . Entonces se cumple:
i)
m n .
ii)
Si m n , entonces existen v m1 , , v n V tal que {v1 , , v m , v m 1 , , v n } es una base para V .
PRUEBA i)
Sea {u1 , , u n } una base para V . Entonces V L{u1 , , u n } , pero L{u1 , , u n } {v1 , , v m }
y en virtud d la proposición 5.12. podemos
implicar que m n ya que {v1 , , vm } al ser base, es linealmente independiente. 37
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------ii)
Si m n , entonces W V , luego existe v m1 V tal que v m1 W v m 1 L{v1 , , v m } por el lema 5.15. {v1 , , v m , v m 1} es l.i.
Si L{v1 , , v m , v m1} V , entonces la prueba finaliza. En caso contrario, si L{v1 , , v m , v m 1 } V ,
existe v m 2 V tal que v m 2 L{v1 , , v m , v m 1} ,
entonces nuevamente en virtud del lema 5.15. {v1 , , v m , v m 1} es l.i. Si L{v1 , , v m , v m1 , v m 2 } V , entonces la demostración concluye. En caso contrario seguimos el proceso anterior. Pero por hipótesis la dim K V n , entonces existirán sólo un número finito v m 1 , v m 2 , , v m p
V tal que {v1 , , v m , v m 1 , , v m p } es l.i. y además
genera V .
COROLARIO 4.16.1.- Sea W un subespacio de un espacio vectorial V sobre K . V W
dim K W dim K V
COROLARIO 4.16.2.- Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo K y W un subespacio propio de V . Entonces existe un subespacio U propio de V tal que: V W U
PRUEBA Hay que demostrar la existencia de U y además i)
V W U
ii)
W U { }
Como V es de dimensión finita, sea dim K V n . Consideremos {w1 , , wm } , donde m n es
una base para U V . Entonces por el teorema de completación de bases
existen u1 , , u n m V tal que {w1 , , wm , u1 , , u n m } es una base para V , así definida U V . Nos resta probar que L{w1 , , wm , u1 , , u n m } W U V
i) Sea v V como {w1 , , wm , u1 , , u nm } es una base para V , podemos escribir: v m
n m
i 1
i
donde v a i wi W y
nm
i 1
i 1
a i wi bi u i
1 b u i
m
i
U
38
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- V W U
ii)
W U { } es evidente por la definición de U .
Por consiguiente existe U subespacio propio de V tal que: V W U
EJEMPLO 4.16.3.- Sea el espacio vectorial ( R 2 , , R, ·) y
W {( 2t , t ) / t R} .
Encontrar U R 2 tal que R 2 W U .
SOLUCIÓN W {( 2t , t ) / t R}
{ t (2, 1) / t R} L{( 2, 1)} {( 2, 1)} es una base para W R 2 .
Completamos dicha base para R 2 y sea {( 2, 1), (1, 2)} . Definimos U L{(1, 2)} y R 2 W U .
EJEMPLO 4.16.4.- Sea el espacio vectorial ( R 3 , , R, ·) y W {( x, y, z ) R 3 / 3 x y z 0 }
1)
Hallar una base para W .
2)
Construir U subespacio de R 3 tal que R 3 W U .
SOLUCIÓN 1)
W {( x, y, z ) R 3 / 3 x y z 0 }
{( x, 3 x z , z ) / x, z R } {( x, 3 x, 0) (0, z , z ) / x, z R } { x (1, 3, 0) z (0, 1, 1) / x, z R } L{(1, 3, 0), (0, 1, 1)} {(1, 3, 0), (0, 1, 1)} es una base para el subespacio W .
2)
Completamos dicha base para R 3 y sea {(1, 3, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0)} . Definimos U L{(1,
0, 0)} y R 3 W U .
EJEMPLO 4.16.5.- En el espacio vectorial ( R 22 , , R, ·) y W { A R 2
2
/ Tr ( A) 0 } 39
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------1) Hallar una base para W . 2) Construir U subespacio de R 22 tal que R 22 W U .
SOLUCIÓN Definición.- Dada
n
A (a i j ) R n
definimos la traza de A denotada por “ Tr ( A) ”
como la suma de los elementos de la diagonal. Es decir: Tr ( A)
n
1 a
ii
i
1)
Hallamos una base para W . W { A R
2 2
/ Tr ( A) 0 }
a a 11 12 / a11 a 22 0 a 21 a 22 a a12 / a11 , a12 , a 21 R 11 a 21 a11 a 0 0 a12 0 0 / a , a , a R 11 0 0 a 11 12 21 0 a 0 11 21 1 0 0 1 0 0 a11 a a / a , a , a R 12 0 0 21 1 0 11 12 21 0 1
2)
1 0 L , 0 1
0 1 0 0 0 0 , 1 0
1 0 , 0 1
0 1 0 0 0 0 , 1 0 es una base para W dim R W 3 .
Pero sabemos que dim R R 22 4 . Luego tenemos que completar la base de W con un vector más de R 22 que con los ya hallados sea l.i. Si elegimos 1 0 22 0 0 R . 1 0 , 0 1
0 1 0 0 1 0 22 0 0 , 1 0 , 0 0 es una base para R .
1 Definimos U L 0
0
y se cumple que R 0
22
W U .
PROPOSICIÓN 4.17.- Sea V un espacio vectorial sobre un campo K de dimensión finita ( dimV K n ). Si U , W son subespacios de V , entonces se verifica que: 40
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------dim K (U W ) dim K U dim K W dim K (U W )
PRUEBA dim K U p, dim K W q
Como V es de dimensión finita sobre K , sea
y
dim K (U W ) r .
Consideremos U W { } y {v1 , , vr } una base para U W . Como U W es un subespacio de U y W , respectivamente, por el teorema de completación de bases, completamos la base {v1 , , vr } a bases para U y W . Sean:
{v1 , , v r , u1 , , u p r } base para U y {v1 , , v r , w1 , , wq r } base para W
Afirmación.- El conjunto {v1 ,, v r , u1 ,, u p r , w1 ,, wq r } es una base U W . Prueba de la afirmación i) Que sea linealmente independiente. Considérese la combinación lineal p r
r
q r
a v b u c w
(1)
ai vi bi u i ci wi
(2)
i
i
i
i 1
i
i
i 1
i
i 1
r
p r
q r
i 1
i 1
i 1
q r
ci wi U W pues la relación (2), por un lado por ser igual a una i 1
combinación lineal de elementos de {v1 , , v r , u1 , , u p r } , está en U y de otro
lado
por
ser
una
combinación
lineal
{v1 , , v r , w1 , , wq r } , está en W . q r
r
i 1
i 1
ci wi d i vi
(3)
reemplazando (3) en (1), tenemos p r
r
r
1 a v 1 b u 1 d v i
i
i
i
i
i
i
i
i
r
p r
i 1
i 1
(ai d i )vi bi u i a d i 0 , i 1, , r i , i 1, , p r bi 0
41
( 4)
de
elementos
de
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------pues {v1 , , v r , u1 , , u p r } es una base para U . como bi 0, i 1, , p r en (1) se tiene q r
r
a v c w i
i
i
i 1
i
i 1
a 0 , i 1, , r i ci 0 , i 1, , q r
(5) (6)
pues {v1 , , v r , w1 , , wq r } es una base para W . de (5), (4) y (6) resulta que ai 0 , i 1, , r bi 0 , i 1, , p r c 0 , i 1, , q r i {v1 , , v r , u1 , , u p r , w1 , , wq r } es l.i.
ii)
Que genere U W . Sea v U W . Por definición de subespacio suma v u w donde u U y w W . r
p r
r
q r
i 1
i 1
i 1
i 1
Pero u ai vi bi u i y w ci vi d i wi p r q r r r v ai vi bi u i ci vi d i wi i 1 i 1 i 1 i 1 r
p r
q r
i 1
i 1
i 1
(ai ci )vi bi u i d i wi {v1 , , v r , u1 , , u p r , w1 , , wq r } genera U W .
De i) y ii) la afirmación queda probada. Por la afirmación como {v1 , , v r , u1 , , u p r , w1 ,, wq r } es una base para U W resulta que dim K (U W ) r ( p r ) (q r )
p q r
dim K U dim K W dim K (U W )
COROLARIO 4.17.1.- Sea V un espacio vectorial sobre K de dimensión finita. Si U y W son subespacios de V tal que V U W , entonces dim K V dim K U dim K W 42
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
PRUEBA.- Ejercicio EJEMPLO 4.17.2.- Sea el espacio vectorial U {( x, y, z , t ) R
Hallar
4
( R 4 , , R, ·) . Consideremos
/ 2 x y z t } y W {( x, y, z, t ) R 4 / x y z 0 x 2t }
dim R (U W )
SOLUCIÓN Hallemos
dim R U , dim R W y dim R (U W ) .
Para U U {( x, y, z , t ) R
4
/ 2 x y z t }
{( x, y , z , 2 x y z ) / x, y , z R } {( x, 0, 0, 2 x ) (0, y , 0, y ) (0, 0, z , z ) / x, y , z R } { x (1, 0, 0, 2) y (0, 1, 0, 1) z (0, 0, 1, 1) / x, y , z R } L{(1, 0, 0, 2), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)}
{(1, 0, 0, 2), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)} es
una
base
para
U .
Entonces
dim R U 3 .
Para W W {( x, y, z , t ) R 4 / x y z 0 x 2t }
{( 2t , z 2t , z , t ) / z , t R } {( 2t , 2t , 0, t ) (0, z , z , 0) / z , t R } {t (2, 2, 0, 1) z (0, 1, 1, 0) / z , t R } L{( 2, 2, 0, 1), (0, 1, 1, 0)}
{( 2, 2, 0, 1), (0, 1, 1, 0)} es una base para W . Entonces
dim R W 2 .
Para U W U W {( x, y, z , t ) R
4
/ 2 x y z t x y z 0 x 2t }
{( x, y, z , t ) R 4 / x 0, t 0 } {(0, y , y , 0) / y R } { y (0, 1, 1, 0) / y R } L{(0, 1, 1, 0)}
{(0, 1, 1, 0)} es una base para U W . Entonces, usando la proposición 4.17. tenemos que: dim R (U W ) dim R U dim R W dim R (U W )
43
dim R (U W ) 1 .
Luego
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 1 4
EJERCICIOS 1.
Determinar cuáles de los siguientes vectores pertenecen al subespacio de R 3 generado por (1, 3, 2) y (0, 4, 1) :
2.
a)
(3, 1, 8)
b)
(2, 2, 1)
c)
(2, 9 / 2, 1)
Determinar cuáles de los siguientes polinomios pertenecen al subespacio generado por: x 3 2 x 2 1, x 2 2 y x 3 x :
3.
2
a)
x
b)
x 1
c)
1 5 x 3 x 2 x 1 2 2
x 3
4
Sea el espacio
vectorial
[0, 1] { f / f : [0, 1] R} sobre
R.
Si
f , g [0, 1] donde:
0
f ( x) x 1 / 2
Hallar: 4.
0 x 1 / 2 si 1 / 2 x 1
x 1 / 2 si 0 x 1 / 2 si 1 / 2 x 1 0
si
g ( x)
L{ f }, L{ g } y L{ f , g } .
En el espacio vectorial F de las funciones de R en R . Averiguar si
f , g , h F
son linealmente independiente donde:
5.
a)
f (t ) e t , g (t ) sen t , h(t ) t 2
b)
f (t ) e t , g (t ) e 2t , h(t ) t
c)
f (t ) e t , g (t ) sen t , h(t ) cos t
Mostrar que: a)
Los vectores (1 i, i ) y (2, 1 i ) en C 2 son linealmente dependientes sobre el campo complejo C , pero son linealmente independientes sobre el campo real R.
b)
Los vectores
(3
2, 1
2)
y (7, 1 2
2)
en R 2 son linealmente
independientes sobre el campo Q de los racionales. 44
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------6.
Encontrar todos los subconjuntos linealmente independientes de los siguientes conjuntos de vectores en R 3 :
7.
a)
{(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1), (6, 4, 7}
b)
{(1, 1, 1), (2, 2, 2), (1, 0, 0), (0, 0, 1}
Sea el espacio vectorial de los polinomios de grado menor que cuatro, con coeficientes en R e indeterminada x . Determine todos los subconjuntos que son linealmente independientes a partir de los conjuntos que se dan a continuación:
8.
a)
{1, x 1, x 2 2 x 1, x 2 }
b)
{2 x, x 2 1, x 1, x 2 1}
c)
{ x( x 1), x 3 , 2 x 3 x 2 , x}
d)
{1, x, x 2 , x 3 , x 2 x 1}
Probar que los polinomios:
1, x,
3 2
x 2
1 5
3
2 2
2
, x 3 x forman una base para el
espacio vectorial de los polinomios de grado menor que cuatro. 9.
Sean u, v, w vectores l.i. de un espacio vectorial V sobre el campo Q. Demostrar que u v, u w, v w son también l.i. sobre Q. ¿Esto es verdad para un campo arbitrario K ?
10. Averiguar si los subconjuntos A {(1, 1, 2), (3, 0, 1)} y B {( 1, 2, 3), (3, 3, 4)} generan el mismo subespacio de R 3 . 11. Sea el espacio vectorial de las funciones continuas definidas en el intervalo [ a, b] y 2
A {sen t ,
con
valores
en
R.
Demostrar
que
los
subconjuntos
cos 2 t , sen t cos t } y B {1, sen 2t , cos 2t } generan el mismo
subespacio. 12. Hallar una base para los espacios vectoriales que se dan a continuación: 4
a)
V {( x, y, z , r ) R
/ x y z r 0 }, K R
b)
W {( x, y, z , r ) R 4 / x y z , 2 x 3 y r }, K R
c)
U {( x, y, z , r ) R 4 / x y z , x y 3 z , x 2 y r 0 }, K R
13. Sea V un espacio vectorial sobre un campo K . Si {v1 , , vn } es l.i. y {v, v1 , v 2 , , vn } es l.d. para todo v elemento de V . Entonces demostrar que {v1 , v 2 , , vn } es una base para V .
45
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------14. Sea V un espacio vectorial sobre un campo K . Si L{v1 , , v n } V y L{v1 , , vi 1 , vi 1 , , v n } V para i 1,
2, , n . Demostrar que {v1 , , vn }
es una base para V . 15. En (C 2 , , C , ·) se considera el subespacio W {( z, u ) C 2 / z 2u 0} . Obtener una base de W y decir su dimensión. 16. Verificar que el conjunto {(1, 0, i), (1 i, 1 i, 1), (i, i, i )} es una base para el espacio vectorial (C 3 , , C , ·) . 17. Sean: U {( x, y, z , t ) R
4
W {( x, y, z , t ) R
/ x y z t 0 }
4
y
/ x y z t 0 }
subespacios de ( R 4 , , R, ·) . Hallar la dimensión de U W . 18. En el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales e indeterminada en x, consideremos los siguientes subespacios: 3 2 3 2 3 2 U L{ x 4 x x 3, x 5 x 5, 3 x 10 x 5 x 5 }
y
3 2 3 2 3 2 W L{ x 4 x 6, x 2 x x 5, 2 x 2 x 3 x 9 }
Hallar la dimensión de U W . 19. Sea el espacio vectorial ( R 4 , , R, ·) . Si se consideran los subespacios: U {( x, y, z , t ) R
4
W {( x, y, z , t ) R
/ x y z 0 2 x y t 0 }
4
y
/ x 2 y 3 z 4t 0 }
a)
Hallar la dimensión de U , W , U W , U W .
b)
Encontrar subespacios U ' y W ' de R 4 tales que R 4 U U ' y 4 R W W ' .
20. Una compañía constructora almacena tres mezclas básicas A, B, y C. Las cantidades se miden en gramos y cada “unidad” de mezcla pesa 60 gramos.
Pueden formularse mezclas especiales de argamasa efectuando combinaciones de las tres mezclas básicas. Por ello, las mezclas especiales posibles pertenecen al espacio generado por los tres vectores que representan las tres mezclas básicas. La composición de éstas es:
46
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
a)
A
B
C
Cemento
20
18
12
Agua
10
10
10
Arena
20
25
15
Grava
10
5
15
Hormigón
0
2
8
¿Es posible hacer una mezcla que consiste en 1000 gramos de cemento, 200 gramos de agua, 1000 gramos de arena, 500 gramos de grava y 300 gramos de hormigón?. ¿Por qué se puede y por que no?. Si se puede ¿Cuántas unidades de cada mezcla básica A, B, y C se necesitan para formular la mezcla especial?.
b)
Supóngase que se desea hacer 5400 gramos de argamasa de manera que contenga 1350 gramos de cemento, 1675 gramos de arena y 1025 gramos de graba. Si la razón de agua a cemento es de 2 a 3, ¿que cantidad de hormigón debe utilizarse para hacer los 5400 gramos de argamasa?. ¿Se puede formular esta masa como una mezcla especial?. Si es así, ¿cuántas unidades de las mezclas A, B y C se necesitan para formular la mezcla especial.
47
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
TRANSFORMACIONES LINEALES Y TEMAS AFINES 1. TRANSFORMACIONES LINEALES DEFINICIÓN 1.1.- Sean (V , , K , ·) y (W , , K , ·) dos espacios vectoriales. Una función T : V W es llamada transformación li neal si satisface las siguientes condiciones: i)
T (u v) T (u) T (v), u, v V .
ii) T (av) aT (v), a K y v V .
EJEMPLO 1.1.1.- Dados (V , , K , ·) y (W , , K , ·) espacios vectoriales. Definimos: T : V W v T (v) W ; v V
T así definida es una transformación lineal pues satisface las condiciones i) y ii) de
la definición 1.1. y es llamada transformación li neal nul a o cero y se denota por T .
EJEMPLO 1.1.2.- Dado (V , , K , ·) espacio vectorial. Definimos: I : V V v I (v) v ; v V
I es transformación lineal y
es llamada tr ansfor maci ón lineal idé nti ca de V .
EJEMPLO 1.1.3.- Sea (V , , K , ·) un espacio vectorial. La aplicación: T : V V v
T (v) av
para todo a K fijo y para todo v V , es una transformación lineal.
EJEMPLO 1.1.4.- Sea ( R 2 , , R, ·) espacio vectorial. Definimos T : R 2 R 2 tal que T ( x, y) ( x 1, y 2) ; no es una transformación lineal.
EJEMPLO 1.1.5.- Sean ( K n , , K , ·) y ( K , , K , ·) . Definimos: pi : K n K
tal que pi ( x1 , x2 , , xn ) xi . p i es una transformación lineal y es llamada i- é sima pr oyección .
48
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
EJEMPLO 1.1.6.- Sea el espacio vectorial (P [ x], , R, ·) . (Ejemplo 1.1.6. Cap. 1). Definimos: D : P [ x] P [ x]
tal que: n
D
a k x k
k 0
n
kak x k 1
para todo
p( x)
k 0
n
a x k
k
P [ x]
k 0
D es llamada derivada de p( x) y es
una transformación lineal.
EJEMPLO 1.1.7.- Sea el espacio vectorial: V { f / f : R R continuas}
sobre el campo R. Definimos: T : V V f Tf x
tal que (Tf )( x) f (t )dt . Afirmamos que T así definida es una transformación 0
lineal.
PRUEBA DE LA AFIRMACIÓN i) Probaremos que T ( f g ) Tf Tg ; f , g V . (T ( f g ))( x)
x
( f g )(t )dt 0
x
( f (t ) g (t ))dt 0
x
x
0
0
f (t )dt g (t )dt
(Tf )( x) (Tg )(x)
T ( f g ) Tf Tg .
ii) Ahora probaremos que T (af ) aTf . (T (af ))( x)
x
(af )(t )dt 0
x
af (t )dt 0
x
a f (t )dt 0
a(Tf )( x)
T (af ) aTf .
De i) y ii) T es una transformación lineal. 49
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
PROPOSICIÓN 1.2.- Dados (V , , K , ·) y (W , , K , ·) espacios vectoriales. T : V W es una transformación lineal si y solo si: T (au bv) aT (u) bT (v) ; a, b K y u, v V
PRUEBA )
Asumamos que T es una transformación lineal. T (au bv) T (au) T (bv) por def. 1.1. parte i)
aT (u) bT (v) por def. 1.1. parte ii)
)
T (au bv) aT (u) bT (v)
Hay que probar que cumpla las condiciones de la definición 1.1. asumiendo que: T (au bv) aT (u) bT (v) ; , a, b K y u, v V
i)
T (u v) T (1u 1v)
1T (u) 1T (v) T (u) T (v), u, v V
ii) T (av) T (0u av) 0T (u) aT (v) aT (v), a K y v V
PROPOSICIÓN 1.3.- Sean (V , , K , ·) y (W , , K , ·) dos espacios vectoriales y T : V W una transformación lineal. Se cumplen las siguientes afirmaciones:
i)
n
T
i 1
ai vi
n
a T (v ) i
i
i 1
ii) T ( V ) W iii) T (v) T (v)
PRUEBA i) Usar inducción. ii) T ( V ) T ( V V ) T ( V ) T ( V ) por ser T transformación lineal.
Entonces T ( V ) W iii) T (v) T (v) T (v v) T ( V )
por ser una transformación lineal. por ser inversos
50
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- W
por la parte ii)
Entonces T (v) T (v) .
DEFINICIÓN 1.4.- Sean
V , W
espacios vectoriales sobre el campo K y
T : V W una transformación lineal, diremos que:
i) T es un monomorfismo si y solo si T es inyectiva. ii) T es un epimorfismo si y solo si T es suryectiva. iii) T es un isomorfismo si y solo si T es biyectiva.
OBSERVACIONES 1.4.1. (1) Si V W , la transformación lineal T recibe el nombre de endomorfismo , y si además T es biyectiva se denomina automorfismo . Es decir, un automorfismo es una transformación lineal biyectiva de un espacio vectorial en sí mismo. (2) Si T : V W es un isomorfismo, se dice que V es isomorfo a W y se denota como V W .
EJEMPLO 1.4.2.- Sea T : R 2 R 2 definida T ( x, y) ( x y, x y) , donde T es un automorfismo. En efecto, T es una transformación lineal y además: i) T es un monomorfismo. Probaremos que: T ( x1 , y1 ) T ( x2 , y 2 ) ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x1 y1 , x1 y1 ) ( x2 y 2 , x2 y2 )
x y1 x2 y 2 1 x1 x2 , y1 y 2 x y x y 1 2 2 1
( x1 , y1 ) ( x2 , y 2 )
Luego T es un monomorfismo. ii) T es un epimorfismo. Probaremos que: ( x2 , y 2 ) R 2 , ( x1 , y1 ) R 2 tal que T ( x1 , y1 ) ( x2 , y 2 ) . T ( x1 , y1 ) ( x1 y1 , x1 y1 ) ( x2 , y2 )
x y x2 x2 y2 x2 y 2 1 1 x y y 1 1 2 2 x1 y1 y2
( x2 y 2 ) ( x2 y 2 ) , tal que: 2 2
Luego ( x2 , y 2 ), ( x1 , y1 )
T ( x1 , y1 ) ( x2 , y 2 )
En consecuencia T es epimorfismo. De i) y ii) T es un isomorfismo y por lo tanto un automorfismo. 51
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
EJEMPLO 1.4.3.- Sea T : R 2 R 3 definida por: T ( x, y) ( x y, 0, x y) T es una
transformación lineal.
i) T no es monomorfismo pues considerando x y se tiene: ( x, y) ( y, x) T ( x, y) T ( y, x)
ii) T no es epimorfismo ya que para (3, 1, 2) R 3 no existe ( x, y) R 2 tal que T ( x, y) (3, 1, 2) .
TEOREMA 1.5.- (Teorema fundamental de las transformaciones lineales) . Sean (V , , K , ·) y (W , , K , ·) dos espacios vectoriales. Sea {v1 , v2 , , vn } una base de V y {w1 , w2 , , wn } un subconjunto de vectores de W , entonces existe una única transformación lineal T : V W tal que T (vi ) wi para todo i 1, 2, , n .
PRUEBA i) Existencia Sea v V , entonces v se puede expresar de una única forma como: v
n
a v ; i 1, 2, i
i
, n, ai K
i 1
por ser {v1 , v2 , , vn } base de V . Definimos T : V W como: T (v)
n
a w i
i
i 1
Afirmación.- T es una transformación lineal. Prueba de la afirmación Sean u, v V y a, b K , probaremos que: T (au bv) aT (u) bT (v) n
n
i 1
i 1
Como u, v V u ai vi y v bi vi
n
T (au bv) T a
i 1
n
b v
a i vi b
i
i
i 1
n n T (aai )vi (bbi )vi i 1 i 1
52
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- n T (aai bbi )vi i 1 n
(aai bbi ) wi
por definición de T
i 1 n
n
i 1
i 1
(aai )wi (bbi ) wi n
n
i 1
i 1
a ai wi b bi wi
aT (u) bT (v)
tomando extremos resulta que: T (au bv) aT (u) bT (v)
con lo cual queda demostrada la afirmación. Además T cumple con la condición de que: T (vi ) wi ; i 1, 2, , n
En efecto ya que vi 0v1 1vi 0vn T (vi ) 0w1 1wi 0wn T (vi ) wi ; i 1, 2, , n
ii) Unicidad Sea T : V W otra transformación lineal tal que T ' (v)
n
a w i
i
i 1
Mostraremos que T T ' . n
Sea v V , T ' (v) ai wi por definición de T ' i 1
T (v)
por definición T
Luego T ' (v) T (v) ; v V y en consecuencia T ' T . De i) y ii) el teorema queda completamente demostrado.
2. NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL DEFINCIÓN 2.1.- Sea T : V W una transformación lineal. i) Llamaremos núcleo de la transformación lineal T al conjunto denotado por “ Nu(T )” que definiremos como:
53
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Nu(T ) {v V / T (v) W }
Es decir, el núcleo de T es el conjunto formado por todos los elementos de V tales que sus imágenes mediante T es igual al elemento nulo de W . T V
W
V
W
Nu(T )
ii) Llamaremos imagen de la transformación lineal T al conjunto denotado por “ Im(T )” que definimos como:
Im(T ) {w W / v V T (v) w}
Es decir, w W es un elemento de la imagen de T si existe v V tal T (v) w . T V
W
W
Im(T )
OBSERVACIONES 2.1.1. (1) Nu(T ) es un subespacio de V e Im(T ) es un subespacio de W . (2) Si V L{v1 , , vn } entonces Im(T ) L{T (v1 ), , T (vn )} . (3) La dimensión de Im(T ) se denomina rango de T y se denota por “r (T )”. Es obvio que r (T ) dim K W . La verificación de las observaciones 2.1.1. se deja al estudiante. 54
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
EJEMPLO 2.1.2.- Dada la transformación lineal T : R 2 R 2 definida en el ejemplo 1.4.2. como T ( x, y) ( x y, x y) .
Hallar Nu(T ) e Im(T ).
SOLUCIÓN i) Nu(T ) {( x, y) R 2 / T ( x, y) (0, 0)} {( x, y ) R 2 /( x y, x y) (0, 0)} {( x, y) R 2 / x y 0 x y 0} {( x, y) R 2 / x 0 y 0} {(0, 0)}
Luego Nu(T ) {(0, 0)} y dim R Nu(T ) 0 . ii) Im(T ) R 2 (pues ya hemos visto en el ejemplo 1.4.2. que T es un epimorfismo) luego dim R Im(T ) 2 .
EJEMPLO 2.1.3.- Sea la transformación lineal T : R 2 R 3 definida en el ejemplo 1.4.3. como T ( x, y) ( x y, 0, x y) . Hallar Nu(T ) e Im(T ).
SOLUCIÓN Nu(T ) {( x, y) R 2 / T ( x, y) (0, 0, 0)}
{( x, y) R 2 /( x y, 0, x y) (0, 0, 0)} {( x, y) R 2 / x y 0} {( x, x) / x R} { x(1, 1) / x R} L{(1, 1)}
Luego dim R Nu(T ) 1 .
55
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- R 3
T R 2
Nu(T )
Im(T ) {T ( x, y) / x, y R}
{( x y, 0, x y) / x, y R} {( x, 0, x) ( y, 0, y) / x, y R} { x(1, 0, 1) y(1, 0, 1) / x, y R} L{(1, 0, 1), (1, 0, 1)} L{(1, 0, 1)}
Luego dim R Im(T ) 1 . T
R 3
Im(T )
R 2
EJEMPLO 2.1.4.- Sea T : R 2 R 2 un endomorfismo tal que T (1, 0) (2, 1) , T (0, 1) (1, 1) . Determinar la imagen del triángulo rectángulo cuyos vértices son (1, 1), (4, 1) y (1, 5) .
SOLUCIÓN
56
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Expresamos primero (1, 1), (4, 1) y (1, 5) como una combinación lineal de los vectores (1, 0) y (0, 1) . (1, 1) 1(1, 0) 1(0, 1)
(1)
(4, 1) 4(1, 0) 1(0, 1)
(2)
(1, 5) 1(1, 0) 5(0, 1)
(3)
aplicando T a (1), (2) y (3), tenemos: T (1, 1) T (1(1, 0) 1(0, 1)) T (1, 0) T (0, 1) (2, 1) (1, 1) (3, 0) T (4, 1) T (4(1, 0) 1(0, 1)) 4T (1, 0) T (0, 1) 4(2, 1) (1, 1) (9, 3) T (1, 5) T (1(1, 0) 5(0, 1)) T (1, 0) 5T (0, 1) (2, 1) 5(1, 1) (7, 4)
Y
Y 5
T 3
0
1
4
X
0
3
7 9
X
-4
El segmento de recta de extremos (4, 1) y (1, 5) es: S {(4, 1) t ((1, 5) (4, 1)) / 0 t 1}
y T (S ) {T (4, 1) t (T (1, 5) T (4, 1)) / 0 t 1} {(9, 3) t ((7, 4) (9, 3)) / 0 t 1}
es precisamente el segmento de recta de extremos
T (4, 1) (9, 3)
y
T (1, 5) (7, 4) .
Análogamente se proceden para los otros dos lados que forman el triángulo.
EJEMPLO 2.1.5.- Sea T : R 3 R 2 una transformación lineal definida de tal manera que a los elementos de la base {(1, 1, 0), (1, 2, 1), (0, 1, 3)} de R 3 se le hace corresponder los vectores (1, 3), (5, 1) y (0, 1) respectivamente. i) Hallar la imagen de (3, 1, 5) mediante T . ii) Hallar la imagen de un vector cualesquiera de R 3 .
57
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
SOLUCIÓN i) Expresamos (3, 1, 5) como una combinación lineal de la base dada para R 3 . (3, 1, 5) a(1, 1, 0) b(1, 2, 1) c(0, 1, 3)
(a b, a 2b c, b 3c)
luego tenemos
ab 3 a 2b c 1 b 3c 5
Resolviendo el sistema, obtenemos a (3, 1, 5)
23 2
23 2
(1, 1, 0)
, b
17 2
17 2
(1, 2, 1)
9
y c , entonces: 2
9 2
(0, 1, 3)
y aplicando T T (3, 1, 5)
23
23
2 2
T (1, 1, 0) (1, 3)
(31,
61 2
17 2
17
9 T (1, 2, 1) T (0, 1, 3) 2 2
(5, 1)
9 2
(0, 1)
)
ii) Sea ( x, y, z ) R 3 un vector arbitrario. ( x, y, z ) a(1, 1, 0) b(1, 2, 1) c(0, 1, 3)}
(a b, a 2b c, b 3c)
Luego a b x a 2b c y
b 3c z 1
1
4
4
Resolviendo el sistema obtenemos a (7 x 3 y z ), b (3 x 3 y z ) y c
1 4
( x y z ) , entonces:
( x, y, z )
1 4
(7 x 3 y z )(1, 1, 0)
1 4
(3 x 3 y z )(1, 2, 1)
y aplicando T
58
1 4
( x y z )(0, 1, 3)
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------T ( x, y, z )
1 4
(7 x 3 y z )T (1, 1, 0)
1 4
T ( x, y, z )
1 4
4
(3 x 3 y z )T (1, 2, 1)
( x y z )T (0, 1, 3)
(7 x 3 y z )(1, 3)
(2 x 3 y z ,
1
1 4
1 4
(3 x 3 y z )(5, 1)
1 4
( x y z )(0, 1)
(17 x 5 y 3z ))
T ( x, y, z ) (2 x 3 y z ,
1 4
(17 x 5 y 3z ) )
PROPOSICIÓN 2.2.- Sean (V , , K , ·) y (W , , K , ·) espacios vectoriales y T : V W una transformación lineal. Se cumplen:
i) T es un monomorfismo Nu(T ) { V } . ii) Sea {v1 , v2 , , vn } un conjunto linealmente dependiente en V , entonces {T (v1 ), T (v2 ), , T (vn )} es linealmente dependiente en W .
iii) Si {v1 , v2 , , vn } es un conjunto linealmente independiente y T es un monomorfismo,
entonces
{T (v1 ), T (v2 ), , T (vn )}
es
linealmente
independiente.
PRUEBA i)
)
Asumiendo que T es monomorfismo probaremos que: Nu(T ) { V } ( ) un subespacio de se cumple siempre que { V } Nu(T ) por ser Nu T V .
( ) Luego solo nos resta probar que Nu(T ) { V } . Sea x Nu T
T ( x) W T ( V ) x V
por ser T monomorfismo x { V }
Nu(T ) { V } .
)
Nu(T ) { V }
Asumamos ahora que Nu(T ) { V } . Probaremos que T es monomorfismo. T ( x) T ( y) T ( x) T ( y ) W
T ( x y) W
por ser T transformación lineal
x y Nu(T ) { V }
59
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- x y V
x y
T es un monomorfismo. ii) Ejercicio. iii) {v1 , v2 , , vn } es linealmente independiente y T un monomorfismo. Probaremos que {T (v1 ), T (v2 ), , T (vn )} es linealmente independentes. n
a T (v ) i
i
V
n
T (ai vi ) W
i 1
i 1
n T ai vi W i 1 n
ai vi V
por ser un monomorfismo
i 1
ai 0 ; i 1, 2, , n
por ser {v1 , v2 , , vn } linealmente independiente. {T (v1 ), T (v2 ), , T (vn )} es linealmente independiente.
EJEMPLO 2.3.- Sea V { p( x) a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 / a0 , a1 , a2 , a3 R} , p( x) 0 .
Definimos como el ejemplo 1.1.6. D : V V / D( p( x)) p' ( x) (la
derivada de p( x) ). Averiguar si D es un monomorfismo, haciendo uso de la proposición 2.2. parte i).
SOLUCIÓN Sea p( x) a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 D( p( x)) p' ( x) a1 2a2 x 3a3 x 2 0 a1 a2 a3 0
Luego Nu( D) { p( x) a0 / a0 R} {a0 / a0 es constante} L{1}
entonces tenemos que dim R Nu( D) 1 , en consecuencia D no es un monomorfismo.
EJEMPLO 2.4.- Sea f : R 2 R 33 una transformación lineal definida por: 0 x2 x2 f ( x1 , x2 ) x1 x2 x1 x2 0 x1 x2 x1
60
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------averiguar si f es un monomorfismo.
SOLUCIÓN 0 0 0 0 x2 x2 f ( x1 , x2 ) x1 x2 x1 x2 0 0 0 0 x1 x2 x1 0 0 0
entonces por igualdad de matrices resulta que x1 x 2 0 . Luego Nu( f ) {(0, 0)}, por lo tanto f es un monomorfismo.
EJERCICIOS 1. De las siguientes aplicaciones, averiguar cuáles son transformaciones lineales: a)
T : C C / T ( z ) z (C espacio vectorial sobre R)
b)
G : R 3 R 2 / G( x, y, z ) ( x z , x y z )
c)
E : R R / E ( x) e x
d)
H : R 22 R 2 / H
a11 a21
a12
(a11 a 22 , a21a12 )
a 22
2. Con relación al ejercicio 1., hallar una base y dimensión del núcleo e imagen de aquellas que sean transformaciones lineales. 3. Hallar la transformación lineal T : R 4 R 3 tal que: T ( xi ) yi , 1 i 4
siendo x1 (1, 0, 0, 0), x2 (1, 1, 0, 0), x3 (1, 1, 1, 0), x4 (1, 1, 1, 1) base de R 4 y y1 (1, 2, 3), y 2 (1, 2, 1), y3 (0, 0, 0), y 4 (1, 1, 0) .
4. Sean V y W espacios vectoriales sobre un campo K , T : V W
una transformación lineal y los vectores v1 , , vr en V (no necesariamente una base). Demostrar que si: T (vi ) W ; i 1, r
entonces T (v) W ; v L{v1 , vr } . 5. Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y T un endomorfismo. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes: i)
Im(T ) Nu(T ) { }
ii)
T (T (v)) T (v)
61
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------6. Sean V un espacio vectorial sobre K , U y W subespacios de V tal que V U W . Si E 1 y E 2 son aplicaciones lineales definidas como: E 1 (v) u y E 2 (v) w , donde v u w, u U , w W . Verificar que:
i)
E 1 E 1 y E 2 E 2 , esto es E 1 y E 2 son “proyecciones”.
ii)
E 1 E 2 I , la aplicación idéntica.
iii)
E 1 E 2 0
2
2
y E 2 E 1 0 .
W {(ai j ) C 2 2 / ai j ai j }
7. Sea
un espacio vectorial sobre el campo de
números reales con las operaciones usuales. Demostrar que: t y y iz H : R 4 W tal que H ( x, y, z , t ) y iz t x
es un monomorfismo de R 4 en W . 8. Sea V C un espacio vectorial sobre el campo de los reales, se define una función: 2
T : C R 2
5 y x 7 y 10 y x 7 y
tal que T ( x iy)
a)
Verificar que T es una transformación lineal inyectiva de C en R 22 .
b)
Verificar que T (uw) T (u)T (w) , donde u x1 iy1 y w x2 iy2 .
c)
Dar una base de Im(T ) .
9. (Aplicación a la criptografía) Dada la matriz 1 1 1 A 3 2 1 3 3 2
Se define la transformación lineal T : R 3 R 3 por T ( x ) Ax . Haga uso de la transformación lineal T para: a)
codificar el mensaje VERDE ESPERANZA
b)
decodificar el mensaje 15, -45, 49, 21, 45, -65, 11, 10, -16, 35, -9, -10
Sugerencia.- Usar la correspondencia: i
j
k
l
m
n ñ
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
23 24
25
26 27
28
a 1
b 2
c 3
d 4
e 5
f 6
g 7
h 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
62
21 22
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES LINEALES DEFINICIÓN 3.1.- Sean T : V U y F : U W dos transformaciones lineales entre espacios vectoriales sobre un mismo campo K . La fu nción compuesta . F T : V W
es definida como: ( F T )(v) F (T (v))
PROPOSICIÓN 3.2.- La composición de dos transformaciones lineales es una transformación lineal.
PRUEBA Sean T y F las transformaciones lineales dadas en la definición 3.1. ( F T )(au bv) F (T (au bv))
definición de composición 3.1.
F (aT (u)) bF (T (v))
por ser T transformación lineal
aF (T (u)) bF (T (v))
por ser F transformación lineal
a( F T )(u) b( F T )(v)
def. de composición.
F T es una
transformación lineal.
EJEMPLO 3.3.- Sea T : R 3 R / T ( x, y, z ) x 2 y z y y F : R R 2 / F ( x) (2 x, x) . Hallar F T .
SOLUCIÓN ( F T )( x, y, z ) F (T (( x, y, z ))
F ( x 2 y z ) (2( x 2 y z ), x 2 y z ) (2 x 4 y 2 z , x 2 y z )
4. TRANSFORMACIONES LINEALES INVERSIBLES DEFINICIÓN 4.1.- Sea T : V W una transformación lineal. Diremos que T es inversible si existe una función F : W V tal que T F I W y F T I V .
Notación.- Denotaremos F T 1 . LEMA 4.2.- Si T : V W es una transformación lineal inversible, su inversa T 1 : W V también es una transformación lineal.
PRUEBA.- Ejercicio.
63
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
TEOREMA 4.3.- Sean V , W espacios vectoriales de dimensión finita y T : V W una transformación lineal. Entonces T es inversible si y solo si T transforma una base de V en una base de W .
DEMOSTRACIÓN ) Asumiremos que T es inversible y sea {v1 , , vn } una base de V .
Consideremos los vectores w1 T (v1 ), , wn T (vn ) .
Afirmación: El conjunto de vectores {w1 , , wn } es una base de W . i)
Los vectores w1 , , wn son l.i. En efecto, sea a1w1 a2 w2 an vn W por ser T 1 una transformación lineal, en virtud del lema 4.2. tenemos:
a1T 1 (w1 ) a2T 1 (w2 ) anT 1 (wn ) V
a1v1 a2 v2 an vn V
pero ser {v1 , , vn } una base para V , resulta que: a1 a2 an 0
Luego {w1 , , wn } son linealmente independientes. ii) El conjunto de vectores {w1 , w2 , , wn } genera el espacio vectorial W . En efecto, sea w W T 1 (w) V n
T ( w) ai vi 1
i 1 n
n
i 1
i 1
w T (T (w)) aiT (vi ) ai wi 1
luego {w1 , w2 , , wn } genera W . De i) y ii) {w1 , w2 , , wn } es una base para W , verificándose la afirmación. )
Ahora asumiremos que {w1 , w2 , , wn } es una base para W . Mostraremos que T es inversible. Definamos F : W V tal que F ( wi ) vi , i 1, 2, , n . Lo cual siempre es posible en virtud del teorema fundamental de las transformaciones lineales. n
Entonces, si v V , donde v ai vi , tenemos que: i 1
( F T )(v) F (T (v))
64
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- n F T ai vi i 1
sustitución de v
n F aiT (vi ) i 1
por ser T transformación lineal
n F ai wi i 1
por def. de T
n
ai F ( wi )
por ser F transformación lineal
i 1 n
a i vi
por def. de F
i 1
v
F T I V
(1) n
Por otro lado si w W donde w bi wi tenemos: i 1
(T F )(w) T ( F (w))
n T F bi wi i 1
sustitución de w.
n T bi F ( wi ) i 1
por ser F transformación lineal
n T bi vi i 1
por def. de F
n
biT (vi )
por ser T transformación lineal
i 1 n
bi wi
por def. de T
i 1
w
T F I W
(2)
De (1) y (2) T es inversible y su inversa es F .
COROLARIO 4.3.1.- Si existe una transformación lineal inversible entre dos espacios vectoriales de dimensión finita, entonces sus dimensiones coinciden.
TEOREMA 4.4.- Sea T : V W una transformación lineal entre dos espacios vectoriales de igual dimensión. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 65
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------i) T es inversible. ii) T es inyectiva. iii) T es suryectiva. iv) T transforma bases en bases.
DEMOSTRACIÓN i)
ii)
T (u) T (v) T 1 (T (u)) T 1 (T (v))
u v
por ser T inversible.
ii) iii) Sea {v1 , v2 , , vn } V una base para V . Como T es inyectiva {T (v1 ), T (v2 ),T (vn ) },
es linealmente independiente en W ; pero como
dim K W n , entonces {T (v1 ), T (v2 ), , T (vn )} es una base para W . n
Luego sea w W , donde w ai wi , donde wi T (vi ) ; i 1,, n i 1
Entonces existe v V donde
v
n
a v i
i
tal que:
i 1 n n n T (v) T ai vi ai T (vi ) ai wi w i 1 i 1 i 1
en consecuencia T es suryectiva. iii) iv) Sea {v1 , v2 , , vn } una base de V y T (vi ) wi ; i 1, 2, , n , sus imágenes mediante T . Probaremos que {w1 , w2 , , wn } genera W . n
En efecto, para todo w W , existe v V , donde v ai vi tal que i 1 n n n w T (v) T ai vi ai T (vi ) ai wi i 1 i 1 i 1
por ser T suryectiva. Por otra parte como {w1 , w2 , , wn } es una base para W .
Luego T transforma bases en bases. iv) i) Ya fue demostrado (ver teorema 4.3.)
66
dim K W n ,
entonces
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
PROPOSICIÓN 4.5.- Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita sobre un mismo campo K . V W si y solo si dim K V dim K W .
PRUEBA.- Ejercicio. PROPOSICIÓN 4.5.-.- Sean V , W espacios vectoriales de dimensión finita sobre un campo K y T : V W una transformación lineal. Entonces: dim K V dim K Nu(T ) dim K Im(T )
PRUEBA.- Ejercicio. 5. ESPACIO VECTORIAL DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el campo K . Denotemos el conjunto formado por todas las transformaciones lineales de V en W por: L(V , W ) {T : V W / T es una transformación lineal}
En L(V , W ) definimos:
La adición L(V , W ) L(V , W ) L(V , W ) (T 1 , T 2 )
T 1 T 2
tal que (T 1 T 2 )(v) T 1 (v) T 2 (v); v V .
La multiplicación por escalar K L(V , W ) L(V , W ) (a , T )
aT
tal que (aT )(v) aT (v); a K , v V .
Afirmación 1) T 1 T 2 y 2) aT son transformaciones lineales de V en W .
Prueba de la afirmación 1) (T 1 T 2 )(au bv) T 1 (au bv) T 2 (au bv) def. de adición aT 1 (u) bT 1 (v) aT 2 (u) bT 2 (v) por ser T 1 , T 2 t.l. a(T 1 (u) T 2 (u)) b(T 1 (v) T 2 (v)) a(T 1 T 2 )(u) b(T 1 T 2 )(v)
Luego T 1 T 2 es una transformación lineal de V en W . 2) (aT )(bu cv) a(T (bu cv)
def. de multiplicación. 67
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- a(bT (u) cT (v)) por ser T t.l. (ab)T (u) (ac)T (v) b(aT )(u) c(aT )(v)
Luego aT es una transformación lineal de V en W .
PROPOSICIÓN 5.1.- Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un mismo campo K .
El conjunto de las transformaciones lineales L(V , W ) con las operaciones
definidas anteriormente es un espacio vectorial sobre K .
DEMOSTRACIÓN.- Los detalles de la demostración la dejaremos para el lector. Sólo haremos notar las propiedades V 2) y V3); es decir, la existencia del elemento nulo para L(V , W ) es la transformación lineal : V W tal que (v) W , v V y el hecho de que T L(V , W ) existe inverso – T que se define como (T )(v) T (v) ; v V .
EJERCICIOS 1. Si T 1 , T 2 , T 3 L(V , V ) y a K . Entonces demuestre que se cumple: a)
T 1 (T 2 T 3 ) T 1 T 2 T 1 T 3
b)
(T 1 T 2 ) T 3 T 1 T 2 T 2 T 3
c)
a(T 1 T 2 ) (aT 1 ) T 2 T 1 (aT 2 )
2. Si T 1 , T 2 L(V , W ) son invertibles, entonces demuestre que T 1 T 2 es también invertible y además se verifica que: (T 1 T 2 )
1
T 2
1
T 1
1
DEFINICIÓN 5.2.- Un álgebra sobre K es un conjunto que cumple las siguientes condiciones: i) Que sea un espacio vectorial. ii) Que esté provisto de una operación “producto” tal que: a)
A( B C ) AB AC ; A, B y C elementos del conjunto.
b)
( B C ) A BA CA
c)
a( AB) (aA) B A(aB) ; A, B elementos del conjunto y a K .
68
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
OBSERVACIÓN 5.2.1.- L(V , W ) es un álgebra sobre K con la operación de composiciones lineales.
TEOREMA 5.3.- Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un mismo campo K tales que dim K V n y dim K W m . Entonces: dim K L(V , W ) dim K V dim K W
PRUEBA Sean {v1 , v2 , , vn } y {w1 , w2 , , wm } bases ordenadas de V y W respectivamente. Para cada (i, j ), 1 i n 1 j m definimos: T i j : V W
como: W , si k i T i j (v K ) w j , si k i
i k w j 0 si k i i K delta de Kronecker ( ) 1 si k i
donde:
Por el teorema fundamental de las transformaciones lineales 1.5. existe una transformación lineal única que satisface las condiciones anteriores.
Afirmación.- {T i j } donde 1 i n 1 j m es una base para L(V , W ) . Prueba de la afirmación i) Que son linealmente independientes n, m
a T
Sea
ij
i j
i , j 1
Consideremos k fijo donde 1 k n . n, m
a T ij
i j
(v K ) W
i , j 1 n, m
a
ij
i k w j W
i , j 1 m
a
kj
w j W
j 1
pero como {w1 , w2 , , wm } es linealmente independiente.
69
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- a K j 0, 1 j m y 1 k n ai j 0, 1 i m y 1 j n
{T i j } donde 1 i n y 1 j m es linealmente independiente sobre K . ii) Que genere el espacio Sea T L(V , W ) , fijemos k tal que 1 k n . T (vk ) es un elemento de W . Entonces: T (vk )
m
a
k j
w j ; ak j K
j 1
Probaremos que T
n, m
a T ij
i j
(1)
i , j 1
Denotemos por G la transformación del segundo miembro de (1). n, m
G
a T ij
L(V , W )
i j
i , j 1 n, m
a T
G(vk )
ij
i j
(vk )
i , j 1 n, m
a
ij
i k w j
i , j 1 m
, definición de T i j
n
aij ik w j j 1 i 1 m
a k j w j j 1
T (vk )
G(vk ) T (vk ), k 1, , n y como {v1 , v2 , , vn } es una base de V . T G
n, m
a T ij
i j
.
i , j 1
De i) y ii) queda probada la afirmación de que {T i j } donde 1 i n 1 j m es una base para L(V , W ) .
dim K L(V , W ) nm dim K V dim K W
70
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
6. ESPACIO DUAL DE UN ESPACIO VECTORIAL DEFINICIÓN 6.1.- Sea V un espacio vectorial sobre el campo K . Llamaremos espacio dual del espacio vectorial V al espacio vectorial de las transformaciones
lineales de V en K .
NOTACIÓN.- El espacio dual del espacio vectorial V sobre el campo K denotaremos por V * . Luego V * L(V , K ) ; los elementos de V * se llaman fu ncionales lin eales o for mas li neales .
Sean {v1 , , vn } y {1} bases para V y K respectivamente. Definimos: T i j : V K , donde 1 i n
y j 1
En virtud del teorema 6.3., tendremos que dim K V * n 1 n , y {T 11 , T 21 , , T n1} es una base para V * que denotaremos como: {T 11 1 , T 21 2 , , T n1 n }
llamada base dual .
OBSERVACIÓN.- También es usual denotar la base de un espacio dual como B
{ 1 , , n } { f 1 , , f n } { v1* , , vn* }
EJEMPLO 6.1.1.- Sea K un campo y a1 , , an K . La función : K n K definida por ( x1 , , xn ) a1 x1 an xn
es una funcional lineal sobre K n .
EJEMPLO 6.1.2.- Sea V K nn V el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden n sobre K . La función traza T : K nn K definido como T ( A) a11 a22 ann
donde A [aij ]nn es un funcional lineal. Dado V un K -espacio vectorial de dimensión finita y
B { v1 ,, vn }
una base
ordenada de V ; por el teorema fundamental de las transformaciones lineales, existe para cada i, un funcional lineal único i (v j ) ij . De esta forma, se obtiene a partir de la base
B
{ v1 ,, vn } un conjunto de n funcionales lineales linealmente
independientes 1 , , n sobre V que forman una base para V . En el siguiente teorema se formaliza la afirmación dada anteriormente.
71
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
TEOREMA 6.2.- Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo K y sea
B
{ v1 ,, vn }
una base de V sobre K . Sean
1 , , n V los
funcionales lineales definidos como 1 si i j i (v j ) ij 0 si i j
Entonces el conjunto
B
{ 1 , , n } es una base de V *.
PRUEBA i) El conjunto B { 1 , , n } es linealmente independiente. En efecto, suponiendo que a1 1 a2 2 an n 0
(1)
Evaluando, ambos lados de (1) en v1 se tiene: (a1 1 a2 2 an n )(v1 ) 0(v1 ) (a1 1 a2 2 an n )(v1 ) 0(v1 ) a1 (1) a2 (0) an (0) 0 a1 0
De manera análoga para i = 2, ……., n (a1 1 a2 2 ai i an n )(vi ) 0(vi ) a1 1 (vi ) a2 2 (vi ) ai i (vi ) an n (vi ) 0 a1 (0) a2 (0) ai (1) an (0) 0 ai = 0 ;
Entonces
i = 2, ….., n
a1 0, a2 0, , an 0 .Luego B { 1 , , n } es
linealmente
independiente. ii)
B
{ 1 , , n } genera V *
Sea V y supongamos que (v1 ) k 1 , (v2 ) k 2 , , (vn ) k n Tomamos
k 1 1 k 2 2 k n n . Entonces (v1 ) (k 1 1 k 2 2 k n n )(v1 )
k 1 1 (v1 ) k 2 2 (v1 ) k n n (v1 ) k 1 (1) k 2 (0) k n n (0) (v1 ) k 1
De manera análoga para; i = 2, …., n 72
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- (vi ) (k 1 1 k 2 2 k i i k n n )(vi )
k 1 1 (vi ) k 2 2 (vi ) k i i (vi ) k n n (vi ) k 1 (0) k 2 (0) k i (1) k n (0) k i
Luego (vi ) k i ; Como
i = 1, ….., n
y coinciden sobre los vectores de la base B, k 1 1 k n n .
φ
En consecuencia B { 1 , , n } genera V * De (i) y (ii)
B
{ 1 , , n } es una base para V *.
EJEMPLO 6.2.1.- Hallar la base dual de {(1, 0, 1), (2, 1, 0), (0, 1, 2)}. SOLUCIÓN Hallaremos funcionales f 1 , f 2 , f 3 (R 3 )* tales que: f i (vk ) i k para i 1, 2, 3 y k 1, 2, 3
donde v1 (1, 0, 1), v2 (2, 1, 0), v3 (0, 1, 2)} y f i : R 3 R . Sea v ( x, y, z ) R 3 un vector cualesquiera v a1v1 a2 v2 a3v3
(1)
( x, y, z ) a1 (1, 0, 1) a2 (2, 1, 0) a3 (0, 1, 2)
(a1 2a2 , a2 a3 , a1 2a3 )
de donde: a1
2a 2 a2
a1
x y z
a3 2a 3
(2)
1
1
2
4
resolviendo el sistema (2) se tiene que a1 ( x 2 y z ), a2 ( x 2 y z ) y a3
1 4
v
( x 2 y z ) , y reemplazando estos valores en (1)
1 2
( x 2 y z )v1
1 4
( x 2 y z )v2
aplicando f 1 , f 2 y f a (3), se tiene: 3
73
1 2
tenemos:
( x 2 y z )v3
(3)
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- f 1 ( x, y, z )
1
( x 2 y z ) 2 1 f 2 ( x, y, z ) ( x 2 y z ) 4 1 f 3 ( x, y, z ) ( x 2 y z ) 4
(4)
(se ha hecho uso de que f i (vk ) ik para i 1, 2, 3 y k 1, 2, 3 ). Por consiguiente la base dual de {(1, 0, 1), (2, 1, 0), (0, 1, 2)} está formada por { f 1 , f 2 , f 3 } obtenida en (4).
EJEMPLO 6.2.2.- Sea { f 1 , f 2 } una base dual para ( R 2 ) * donde f 1 ( x, y) x 3 y y f 2 ( x, y) 2 x y . Hallar una base {v1 , v2 } de R 2 tal que { f 1 , f 2 } sea dual de {v1 , v2 } .
SOLUCIÓN Sea {v1 ( x1 , y1 ), v2 ( x2 , y2 )} la base de R 2 . Evaluando f y f en v , tenemos: 1
2
1
f 1 (v1 ) x1 3 y1 1 f 2 (v1 ) 2 x1 y1 0
y resolviendo el sistema de ecuaciones, se tiene que x1 1 / 7 y y1 2 / 7 . Luego v1 (1 / 7, 2 / 7) .
Ahora evaluando f y f en v , tenemos: 1
2
2
f 1 (v2 ) x2 3 y 2 0
f 2 (v2 ) 2 x2 y2 1
y resolviendo el sistema de ecuaciones, se tiene que x2 3 / 7 y y 2 1 / 7 . Luego v2 (3 / 7, 1 / 7) .
por consiguiente la base en R 2 es: {(1 / 7, 2 / 7), (3 / 7, 1 / 7)}
TEOREMA 6.3.- Sea B { v1 ,, vn } una base de V y sea
B
{ 1 , , n } la
base dual de V *. Entonces todo vector u V , se puede escribir como u 1 (u)v1 2 (u)v2 n (u)vn
74
(1)
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------y toda funcional lineal V se puede escribir como (v1 ) 1 (v2 ) 2 (vn ) n
(2)
u a1v1 a2 v2 an vn
(3)
Prueba Supongamos que
Entonces aplicando a (3) se tiene 1
1 (u) 1 (a1v1 a2 v2 an vn )
a1 1 (v1 ) a2 1 (v2 ) an 1 (vn ) a1 (1) a2 (0) an (0) a1 1 (u)
De forma similar se tiene aplicando i ; i 2,, n i (u) i (a1v1 ai vi an vn )
a1 i (v1 ) ai i (vi ) an i (vn ) a1 (0) ai (1) an (0) ai i (u) ; i 1, , n
Luego se tiene que 1 (u) a1 , 2 (u) a2 ,, n (u) an
y reemplazando los valores anteriores en (3) se tiene u 1 (u)v1 2 (u)v2 n (u)vn
Para demostrar que se verifica la relación (2), aplicamos el funcional lineal a ambos lados de (1) (u) ( 1 (u)v1 2 (u)v2 n (u)vn )
1 (u) (v1 ) 2 (u) (v2 ) n (u) (vn ) (v1 ) 1 (u) (v2 ) 2 (u) (vn ) n (u) (u) ( (v1 ) 1 (v2 ) 2 (vn ) n )(u )
Como se cumple u V , entonces se tiene que (v1 ) 1 (v2 ) 2 (vn ) n
Con lo cual se completa la demostración del teorema.
75
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
EJERCICIOS 1. Sea V un K -espacio vectorial de dimensión finita y
v
un vector
perteneciente a V . Probar, que existe f V * tal que f (v) 0 . 2. Hallar una base dual para cada una de las siguientes bases de R 3 : i)
{(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}
ii)
{(1, 2, 3), (1, 1, 1), (2, 4, 7)}
3. Sea V el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual a 2. Si 1, 2 y son funcionales lineales sobre V definidas como: 3
1
1( f (t )) f (t )dt , 2 ( f (t )) f ' (1) y 3( f (t )) f (0) 0
donde f (t ) a bt ct 2 V . Hallar { f 1 , f 2 , f 3 } de V que es dual a { 1, 2 , 3 } .
4. Sean u, v V y supongamos que f (u) 0 implica f (v) 0 para todo v V . Mostrar que v ku para algún escalar k . 5. Sean f , g V * y que f (v) 0 implica g (v) 0 , para todo v V . Mostrar que g kf para algún escalar k .
7. SEGUNDO ESPACIO DUAL O BIDUAL DE UN ESPACIO VECTORIAL Dado V un espacio vectorial sobre un campo K tiene un espacio dual.
V { : V K / es una funcional lineal }
Asimismo, V tiene su dual que denotamos por V , llamado segundo dual de V o
bidual de V y esta formado por todas las funcionales lineales sobre V . A cada v V se le asocia un elemento v V ** , definiendo ˆ
v : V * K ˆ
v( ) (v) ˆ
La aplicación v es lineal: En efecto, a, b K ; , V * ˆ
v(a b ) (a b )(v)
Por definición de v
ˆ
ˆ
a (v) b (v)
Por ser y funcionales lineales
av( ) bv( ) ˆ
ˆ
Luego, v es lineal y por consiguiente v V ** ˆ
ˆ
V ** { v : V * K / v( ) (v)} ˆ
ˆ
76
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
PROPOSICIÓN 7.1.- . Sea V un K -espacio vectorial de dimensión finita. Demostrar que si v V y v , entonces existe V * tal que (v) 0 .
PRUEBA. Sea dim V n , v ≠ 0 es linealmente independiente. Por el teorema de completación de bases existen v2 , , vn V , tal que {v, v2 , , vn }
es una base para V . Luego por el teorema fundamental de las
transformaciones lineales existe una única aplicación lineal : V K tal que (v) 1 y (vi ) 0 ; i 2,, n . Luego tiene las condiciones pedidas.
TEOREMA 7.2.- Si V tiene dimensión finita, entonces la aplicación v v es un ˆ
isomorfismo de V sobre V ** .
Prueba
Luego la aplicación v v es lineal. ˆ
Probemos que la aplicación es un isomorfismo. Es suficiente verificar que la aplicación v v es inyectiva. ˆ
Por la proposición anterior, dado v V , v v є V, existe V * tal que (v) 0 . Luego v( ) (v) 0 y por consiguiente v 0 . ˆ
ˆ
Como v v 0 , la aplicación v v es inyectiva y por consiguiente es un ˆ
ˆ
isomorfismo. Ahora
dimV dimV * dim V **
ya que
V
iene dimensión finita. En
consecuencia la aplicación v v es un isomorfismo de V sobre V ** . ˆ
77
Notas de clase clase de Álgebra Lineal Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Del teorema, consideraremos a V como el espacio espacio de las funcionales funcionales lineales sobre V *
y se escribirá
V
V
**
.
Nótese que si { i } es la base base de V dual a una base { vi } de V , entonces { vi } es *
la base de
V
V
**
dual a i .
8.- ANULADORES Sea V un K -espacio -espacio vectorial y W un subconjunto subconjunto (no necesariamente necesariamente subespacio) subespacio) de V . Se dice un funcional lineal V * es un anulador de W si (w) 0, w W ; es decir (W ) {0} . El conjunto formado por todas las
funcionales lineales que cumplen la definición anterior se denota por W 0 y es llamado el anulador de de W . Es decir, W 0 { V * / (w) 0; w W }
El conjunto W 0 es un subespacio de V * , pues W 0 V * por definición y además W 0 , pues el funcional lineal nulo 0(w) 0
está en W 0 .
Hay que probar que dados a, b K , , W 0 ; a b W 0 En efecto, ( a b )(w) ( a )(w) (b )(w) a (w) b (w) a(0) b(0)
Por ser , W 0
0
Luego, a b W 0 y en consecuencia consecuenci a W 0 es un subespacio de V * .
EJERCICIO 8.1.1.- Sea V un un K -espacio -espacio vectorial. Demostrar que si V * anula V , entonces anula al subespacio L(S ) . un subconjunto S
SOLUCIÓN Si v L(S ) entonces existen w1 , , wr S tal que v a1w1 ar wr . Luego, (v) a1 (w1 ) ar (wr ) 0 . Como v es un elemento arbitrario de L(S ) , anula a L(S ) .
EJEMPLO 8.1.2 .- Sea W el el subespacio de R 4 , generado por v1 (1, 2, 3, 4) y v2 (0, 1, 4, 1) . Hallar una base para el anulador de W .
78
Notas de clase clase de Álgebra Lineal Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
SOLUCIÓN Por el ejercicio anterior es suficiente hallar una base del conjunto de funcionales lineales
: R 4 R / ( x, y, z , w) ax by cz dw
tal que
(v1 ) 0
y
(v2 ) 0 .
(v ) 0 (1, 2, 3, 4) a 2b 3c 4d 0 1 b 4c d 0 (v1 ) 0 (0, 1, 4, 1) 1 2 3 4 0 1 0 11 6 0 ~ 0 1 4 1 1 0 1 4 1 1
11c 6d 0 a a 11c 6d b 4c d 0 b 4c d
i) Para c 1, d 0, a 11, b 4 , se tiene 1 ( x, y, z , w) 11 x 4 y z ii) Para c 0, d 1, a 6, b 1 , se tiene 2 ( x, y, z , w) 6 x y w . Luego, de i) y ii) el conjunto { 1 , 2 } es una base para W 0 anulador de W .
PROPOSICIÓN 8.2.- Demostrar las siguientes proposiciones: i) S V , S S 00 . ii) S 1 S 2 S 20 S 10 .
PRUEBA i) Sea v S S 0 , v( ) (v) 0 v (S 0 ) 0 . Por lo tanto, por medio ˆ
ˆ
S 00 . de la identificación de V y V **, **, v S 00 . Por consiguiente S
ii) S 1 S 2 (Hipótesis) S 2 S 1 0
0
(Por demostrar)
Sea S 20 (v) 0 ; v S 2 (v) 0 ; v S 1 Por hipótesis S 10
Luego, S 20 S 10 .
79
Notas de clase clase de Álgebra Lineal Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
TEOREMA 8.3.- Sea V un K -espacio -espacio vectorial de dimensión finita y W un subespacio de V . Entonces se cumplen las siguientes proposiciones: i)
dim dim W dim dim W 0 dim dim V
ii) W 00 W donde
W 00 { v V / (v) 0 ; W 0 },
W 00 (W 0 ) 0 ,
también
es
usual
denotar
consideramos W 00 un subespacio de V por por la identificación de V
con V *. *.
PRUEBA dim V n y dim dim W r n . i) Supongamos que dim dim W 0 n r . Se quiere probar que dim
Sea { w1 , , wr } una base para W , luego por el teorema de completamiento de bases extendemos extendemos a la siguiente siguiente base { w1 , , wr , v1 , , vnr } para V . Consideramos la base dual { 1 , , r , 1 , , nr } . Por definición de la base dual, cada una de las anteriores anula a cada wi , luego 1 , , nr W 0 .
Afirmación.- { j } es una base de W 0 . Prueba de la afirmación a)
Que sea { j } linealmente independiente. Al ser { 1 , , r , 1 , , nr } base, entonces
{ 1 , , nr }
es
linealmente independiente. b)
Que { j } genere a W 0 . Sea W 0 , por una proposición anterior se puede expresar (w1 ) 1 (wr ) r (v1 ) 1 (vnr ) nr
0 1 0 r (v1 ) 1 (vnr ) nr
(v1 ) 1 (vnr ) nr
Luego { 1 , , nr } genera W 0 . De a) y b) el conjunto { 1 , , nr } es una base de W 0 y en consecuencia dim dim W 0 n r dim dim V dim dim W
dim dim V dimW dim dim W 0
80
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------ii) Supongamos que dim V n y dimW r . Entonces, dim V * n y por i) dim W 0 n r .
Luego, nuevamente por
i) dim W 00 n (n r ) r , por
consiguiente, dim W dimW 00 y por el ejercicio anterior W W 00 . En consecuencia W W 00 .
PROPOSICIÓN 8.4.- Sean U y W subespacios de V. Probar que (U W ) 0 U 0 W 0 .
PRUEBA i) Sea (U W ) 0 anula U W . anula U y W U 0 W 0 (U 0 W 0 )
(U W ) 0 U 0 W 0 .
ii) Sea (U 0 W 0 ) , entonces anula a U y también anula a W . Si v U W entonces v u w; u U , w W . (v) (u) (w) 0 0 0 anula a U W . (U W ) 0 .
Luego, U 0 W 0 (U W ) 0 . Finalmente de la doble inclusión y definición de igualdad se tiene (U W ) 0 U 0 W 0
9. DUAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL DEFINICIÓN 9.1.- Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el campo K y T : V W una transformación lineal arbitraria. La transformación lineal T induce
una aplicación lineal llamada dual de T , denotada por T * y que está definida como T * : W * V * f
T * ( f ) f T ; f W *
es decir: T f V W K f T
OBSERVACIÓN 9.1.1.- También es usual llamar a T * transpuesta de la aplicación lineal T . En caso de usar esta denominación es natural denotar T * T T .
PROPOSICIÓN 9.2.- El dual de T es decir T * (según la definición 9.1.) es una transformación lineal. 81
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
PRUEBA T * (af bg ) (af bg ) T
por def. 9.1.
(af ) T (bg ) T a( f T ) b( g T ) aT * ( f ) bT * ( g )
T * es una transformación lineal.
EJEMPLO 9.2.1.- sea f la funcional lineal definida sobre f ( x, y) 2 x y . Hallar (T * ( f ))( x, y) si:
a) T ( x, y) (3 y, x) b) T ( x, y) (2 x y, x y)
SOLUCIÓN a) (T * ( f ))( x, y ) ( f T )( x, y) f (T ( x, y)) f (3 y, x) 2(3 y) x 6 y x
b) (T * ( f ))( x, y ) ( f T )( x, y) f (T ( x, y)) f (2 x y, x y) 2(2 x y) ( x y) 5 x y
82
R 2
por
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Coordenadas o componentes de un vector Sea V un K -espacio vectorial de dimensión finita y consideremos una base ordenada B {v1 , v2 ,, vn } .
Luego, todo vector v V se puede expresar de una única forma
como combinación lineal de los elementos de
B.
Es decir existen ai K , i 1, 2,, n
tal que: v a1v1 a2 v2 an vn
n
a v i
i
(1)
i 1
de tal forma que el vector v V se puede caracterizar únicamente por los escalares ai K , i 1, 2,, n correspondientes a la combinación lineal (1); esto es, por
la n-upla
de elementos de K que expresamos como un vector columna y denotamos por: a1 a 2 [v]B a n
(2)
DEFINICIÓN.- La relación (2) se denomina vector de coordenadas de v relativo a la o componentes base B, a los escalares a i se les llaman coordenadas del vector v V
respecto a la base base ordenada
B.
B es
Nótese que la transformación lineal v [v]B determinada por la
un isomorfismo de V en K n1 ; es decir a todo vector v V se le
puede asociar de forma única un vector columna cuyas componentes o coordenadas son los escalares ai K , i 1, 2,, n correspondientes a la combinación (1) con respecto a la base B.
Nota.- En lo que se sigue de esta sección supondremos que el K -espacio vectorial es de dimensión finita y la base considerada B es ordenada.
Ejemplo.-Sea
B { (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) } una
base ordenada del espacio vectorial
R 3 sobre R. Hallar el vector coordenado de v (2, 3, 1) relativo a la base B .
Solución (2, 3, 1) a1 (1, 0, 0) a2 (1,1, 0) a3 (1, 1, 1)
(2, 3, 1) 1(1, 0, 0) 4(1,1, 0) 1(1, 1, 1)
83
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 [v]B 4 1
Observación.- Si
B
es la base canónica de ( K n , , K , ) y v ( x1 , x2 , , xn )
cualquier vector de K n . x1 x 2 [v ]B y denotaremos [v]B [v] x n
MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Sean V y W dos K -espacios vectoriales de dimensiones finitas, con bases ordenadas B {v1 , v2 ,, vn }
y
B' {w1 , w2 ,, wm } ,
respectivamente. Si T : V W es una
transformación lineal, entonces por el teorema fundamental de las transformaciones lineales, T está unívocamente determinado por los valores que toma T en los vectores de B . Es decir, como T : V W ,
T (v j )
entonces T (v j ) W , donde:
m
a
ij
wi , aij K
(3)
i 1
para j 1, , n ; escribiendo en forma explícita: T (v1 ) a11w1 a21w2 am1 w m T (v2 ) a12 w1 a22 w2 am2 wm
T (vn ) a1n w1 a2n w2 amn wm
entonces construimos una matriz que tenga como columnas los vectores de coordenadas de T (v1 ), T (v2 ),, T (vn ) la cual denotaremos por: a11 a 21 A am1
a12 a 22
a m2
a1n a 2n a mn
(4)
Definición.- La matriz A obtenida en la relación (2) es llamada matriz asociada a l a transformación li neal T respecto a las bases B y B' de V y W respectivamente
denotaremos como:
84
y la
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------' A [T ]B B
(5)
' Nota.- La matriz A [T ]B definida en la relación (5) también es frecuente denotar B
como ' A [T ]B [T ]B,B ' BT B ' B
Ejemplo.- Sea T : R 3 R 4 tal que T ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 , x2 , 0, x3 ) . Hallar la matriz asociada a la transformación lineal T . a)
Respecto a la bases canónicas de R3 y R 4 respectivamente.
b)
Si B {(1, 0, 0), (1,1, 0), (1,1,1)} es la base para R 3 y B' {(1, 0, 0, 0), (1,1, 0, 0), (1,1,1, 0), (1,1,1,1)}
es la base para R 4
Solución a)
Respecto a las bases canónicas {(1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)} de R 3 {(1, 0, 0, 0), (0,1, 0, 0), (0, 0,1, 0), (0, 0, 0,1)} de R 4 T (1, 0, 0) (1, 0, 0, 0) 1(1, 0, 0, 0) 0(0,1, 0, 0) 0(0, 0,1, 0) 0(0, 0, 0,1) T (0,1, 0) (0,1, 0, 0) 0(1, 0, 0, 0) 1(0,1, 0, 0) 0(0, 0,1, 0) 0(0, 0, 0,1) T (0, 0,1) (0, 0, 0,1) 0(1, 0, 0, 0) 0(0,1, 0, 0) 0(0, 0,1, 0) 1(0, 0, 0,1)
1 0 [T ] 0 0
luego
b)
0
0
1
0
0 0 0 1 43
Respecto a las bases B {(1, 0, 0), (1,1, 0), (1,1,1)} de R
3
B' {(1, 0, 0, 0), (1,1, 0, 0), (1,1,1, 0), (1,1,1,1)} de R
4
T (1, 0, 0) (1, 0, 0, 0) 1(1, 0, 0, 0) 0(1,1, 0, 0) 0(1,1,1, 0) 0(1,1,1,1) T (1,1, 0) (1,1, 0, 0) 0(1, 0, 0, 0) 1(1,1, 0, 0) 0(1,1,1, 0) 0(1,1,1,1) T (1,1,1) (1,1, 0,1) 0(1, 0, 0, 0) 1(1,1, 0, 0) 1(1,1,1, 0) 1(1,1,1,1)
luego
B' B
[T ]
1 0 0 0
0
0
1
1
0 1 0 1 43
85
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------( R, , R, .) ,
Ejemplo.- Dados los espacios vectoriales
( R 2 , , R, .)
y la
transformación lineal T : R R 2 definida como T ( x) ( x, 2 x)
Hallar la matriz asociada a T respecto a las bases
B {1} , B' {(1, 0), (1, 1) }
Solución T (1) (1, 2) 1(1, 0) 2(1,1)
1 ' [T ]B B 2 21
Ejemplo.- Sea V un espacio vectorial sobre K de dimensión n y F : V V una transformación lineal definida como F (v) 2v
Hallar la matriz asociada de F respecto a ala base:
B B' {v1 , v2 ,, vn }
Solución F (v1 ) 2v1 0v2 0vn F (v2 ) 0v1 2v2 0vn
F (vn ) 0v1 0v2 2vn
2 0 B [ F ]B 0
0 0
0 2 nn 2 0
Ejemplo.- Dados los espacios vectoriales W 1 {( x, y, z ) R3 / x y}
y W 2 {(aij ) 22 R 22 / aij a ji } z x x 0
se define la transformación lineal G : W 1 W 2 como G( x, y, z ) Hallar la matriz asociada de G respecto a las bases: B {(1,1, 0), (0, 0,1)} de W 1
1 0 , 0 0
B'
y
0 0 0 1 0 1 , 1 0 de W 2 .
Solución 86
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------0 G(1,1, 0) 1
1
1 0 0 0 0 1 0 0 0 00 1 11 0 0
1 G(0, 0,1) 0
0
1 0 0 0 0 1 1 0 0 00 1 01 0 0 ' [G]B B
0 1 0 0 1 0 32
Proposición.- Sean T : V W una transformación lineal,
B {v1 , v2 ,, vn }
y
B' {w1 , w2 ,, wm } bases ordenadas de V y W respectivamente. ' Si A [T ]B es la matriz asociada a la transformación lineal T respecto a las bases B
B y
c1 c 2 B' , v V y C [v]B las coordenadas de v respecto a la base B, entonces cn [T (v)]B' AC son las coordenadas de T (v) en la base de B' .
Prueba ' Si A [T ]B es la matriz asociada a la transformación lineal T , entonces: B T (v j )
m
a
ij
wi
, j 1, , n
(1)
i 1
c1 c como C [v]B 2 son las coordenadas de v respecto a la base de B, entonces: cn v
n
c v j
j 1
n ahora T (v) T c j v j j 1 n
c j T (v j ) j 1
m c j aij wi j 1 i 1 n
de (1)
87
j
(2)
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- n aij c j wi i 1 j 1 m
(3)
Escribiendo explícitamente la relación (3) se tiene T (v)
n
a
1 j
c j w1
j 1
n
a
2 j
c j w2
j 1
n
a
nj
c j wn
(4)
j 1
Luego de (4)
T (v)
B'
n a c 1 j j jn1 a c 2 j j j 1 n a mj c j j 1
a11c1 a c 21 1 an1c1 a11 a 21 a m1
a12 c2 a22 c2 a n 2 c2 a12 a22
an2
a1n cn
a2 n cn
amn cn
a1n c1 a2 n c2 a mn cn
AC
Finalmente, tomando extremos se obtiene [T (v)]B' AC .
Ejemplo.- Sea T : R 2 R 3 una transformación lineal definida como T ( x, y) (2 x, x y, x y) .
Considererando:
B {(1, 1), (1, 2)} una base de R
2
y
B' {(1, 1,1), (1, 0,1), (1,1, 0)} una base de R ' i) Hallar [T ]B . B
ii) Si v (2, 3) , hallar las coordenadas de T (v) .
Solución T (1,1) (2, 2, 0) 0(1, 1,1) 0(1, 0,1) 2(1,1, 0) i) T (1, 2) (2, 3, 1) 0(1, 1,1) 1(1, 0,1) 3(1,1, 0)
88
3
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
[T ]
B' B
0 0 0 1 2 3 23
ii) v (2, 3) 7(1,1) 5(1, 2) 7
luego [v]B 5
T (v)
B'
0 0 0 7 0 1 5 5 2 3 1
Ejemplo.- Sea T : R 3 R 2 una transformación lineal, consideremos las bases: B {(1,1,1), (0, 0,1), (0, 1, 0)} de R B' {(1,1), (1, 1)} de R
3
2
1 1 / 2 3 / 2 2 1 / 2 3 / 2
' Sabiendo que T B B
i) Hallar T (3, 0, 2) ii) Hallar T ( x, y, z )
Solución i) v (3, 0, 2) 3(1,1,1) 1(0, 0,1) 3(0, 1, 0) luego 3 [v]B 1 3
hallando las coordenadas de T (3, 0, 2) tenemos: 3 1 1 / 2 3 / 2 7 T (v)B' 1 10 2 1 / 2 3 / 2 3
T (3, 0, 2) 7(1,1) 10(1, 1) (17, 3)
ii)
Sea v ( x, y, z ) x(1,1,1) ( z x)(0, 0,1) ( x y)(0, 1, 0) luego
89
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- x [v]B z x x y
Hallando las coordenadas de T ( x, y, z ) :
T ( x, y, z )B'
x 1 1 / 2 3 / 2 z x 2 1 / 2 3 / 2 x y 2 x 3 x
3 2 3 2
y
y
1 z 2 1 z 2
3 1 3 1 T ( x, y, z ) (2 x y z ) (1,1) (3 x y z ) (1, 1) 2 2 2 2
T ( x, y, z ) (5 x 3 y z , x)
Proposición.- Sean V y W dos K -espacios vectoriales de dimensión finita con bases ordenadas
B { v1 , v2 , , vn }
y
B { w1 , w2 , , wm } ,
respectivamente. Si
T , S :V W son dos transformaciones lineales y a, b K , entonces aT bS B B B B a T B b S B
Prueba aij y S B bij las matrices asociadas de T y S con respecto a las Sean T B B B
bases ordenadas
B { v1 , v2 , , vn }
de V y
B { w1 , w2 , , wm } de W .
Se tiene (aT bS )(v j ) aT (v j ) bS (v j ) ; j 1, , n m
m
i 1
i 1
a aij wi b bij wi ; j 1, , n m
m
i 1
i 1
(aaij )wi (bbij )wi ; j 1, , n m
(aaij bbij )wi ; j 1, , n i 1
De este modo, 1,, m, j 1,, n aT bS B B aaij bbij ; i
90
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- aaij bbij ; i 1,, m, j 1,, n a aij b bij ; i 1,, m, j 1,, n B
B
aT B bS B
Ejercicio.- Sean V y W dos K -espacios vectoriales de dimensión finita con bases ordenadas
B { v1 , v2 , , vn }
B { w1 , w2 , , wm } ,
y
respectivamente. La
0. transformación lineal T : V W es nula si y solo si T B B
Prueba )
Asumiendo que la transformación lineal T : V W es nula. Sean B { v1 , v2 , , vn } y
B { w1 , w2 , , wm } las
bases ordenadas de V y
W respectivamente, entonces T (v j )
m
a w ; j 1, , n ij
i
i 1
0w1 0w2 0wm a1 j w1 a2 j w2 amj wm ; j 1, , n
aij 0 ; i 1, , m , j 1, , n
por ser
B { w1 , w2 , , wm }
B
T B )
una base para W , luego
0 0 0 0 0
Ahora asumiendo que T B B 0.
Sea v V , por ser
B { v1 , v2 , , vn } base
de V , se tiene que
c1 c 2 [v ]B , luego por una proposición demostrada anteriormente se tiene que c n
T B [v]B [T (v)]B B
Entonces,
c1 0 0 0 0 0 c2 0 [T (v)]B 0 0 0 cn 0
T (v) 0w1 0w2 0wm 0, v V .
transformación lineal T es nula.
91
En consecuencia la
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Teorema.- Sean V , W dos K -espacios vectoriales de dimensiones n y m respectivamente. Para cada par de bases
B {v1 , v2 ,, vn } de V y B' {w1 , w2 ,, wm }
de W se tiene que: L(V , W ) K mn
Prueba Definimos: : L(V , W ) K mn T
' (T ) [T ]B B
Afirmación 1. - es una transformación lineal. En efecto: Sean T , S L(V , W ) y a, b K tal que: ' [aij ]mn A (T ) [T ]B B ' ( S ) [S ]B [bij ]mn B B
Se tiene ' (aT bS ) [aT bS ]B B
Por definición de .
' ' a[T ]B b[S ]B B B
Por la proposición anterior.
a (T ) b (S )
Sustitución
Con lo cual se verifica la afirmación 1.
Afirmación 2.- es un isomorfismo. En efecto: i)
es inyectiva Nu( ) {T L(V , W ) / (T ) 0} ' {T L(V , W ) / [T ]B 0} B
{T L(V , W ) / T 0}
Por el ejercicio anterior.
luego Nu( ) {0}
es inyectiva ii)
es sobre
dim L(V , W ) m n dim K mn ,
por la parte (i) es inyectiva se tiene que es
sobre. Luego de (i) y (ii) es un isomorfismo.
L(V , W ) K mn
92
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Proposición .- Dados V , W , U espacios vectoriales de dimensión finita sobre el campo K y sean T : V W y S : W U transformaciones lineales. Si
B , B
y
B son
las
bases ordenadas de los espacios vectoriales V , W y U respectivamente, entonces:
[S T ]B [T ]B [S ]B B B B
Prueba Consideremos:
B {v1 , v2 ,, vn }, B {w1 , w2 ,, wm }
y
bases ordenadas para V , W y U respectivamente. B B
A (aij ) mn [T ]
m
tal que T (v j ) aij wi , j 1, 2,, n i 1
B B
B (bkl ) r m [S ]
r
tal que S (wl ) bkl uk , l 1, 2,, m k 1
(S T )(v j ) S T (v j )
; para cualquier j, 1 j n
m S aij wi i 1 m
aij S ( wi ) i 1
r aij bki u k i 1 k 1 m
m bki aij u k k 1 i 1 r
luego: m ( S T )(v j ) bki aij u k k 1 i 1 r
ck j r
ck j u k
1 j n
k 1
entonces:
[S T ]B [ck j ] r n B
pero c k j es el (k , j ) término del producto de las matrices BA. En consecuencia, finalmente tenemos que:
[S T ]B [T ]B [S ]B B B B
93
B {u1 , u 2 ,, u r }
las
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ejemplo.- Sean las transformaciones lineales T :
R 3
R 2
( x, y, z ) ( x y, z x) S : R 2 R ( x, y) 2 x y
y consideremos las bases: B {(1,1,1), (1,1, 0), (1, 0, 0)} de R B {(1, 3), (2,1)} B {1}
3
,
de R 2 y
de R.
Hallar: i) [S T ]B B
ii) (S T )( x, y, z ) iii) (S T )(2, 1, 4)
Solución i)
2 6 T (1,1,1) (2, 0) (1, 3) (2,1) 5 5 4 7 T (1,1, 0) (2, 1) (1, 3) (2,1) 5 5 3 4 T (1, 0, 0) (1, 1) (1, 3) (2,1) 5 5
2 / 5 4 / 5 3 / 5 7/5 4 / 5 23 6/5
[T ]B B
S (1, 3) 5 5(1) S (2,1) 5 5(1)
[S ]B 5 512 B
[ S T ]
B B
2 / 5 4 / 5 3 / 5 5 5 7/5 4/5 6/5
4 3 1
ii)
(S T )( x, y, z )
Hallemos [( x, y, z )]B ( x, y, z ) a(1,1,1) b(1,1, 0) c(1, 0, 0)
calculando se tiene que a z , b y z , c x y . Luego: 94
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------( x, y, z ) z (1,1,1) ( y z )(1,1, 0) ( x y)(1, 0, 0)
z [( x, y, z )]B y z x y
[(S T )( x, y, z )]B [S T ]B [( x, y, z )]B B
z 4 3 1 y z x y
4 z 3( y z ) ( x y) x 2 y z (S T )( x, y, z ) x 2 y z
iii) (S T )(2, 1, 4) 4
Ejemplo.- Sean las transformaciones lineales: T : R 2 W {( x, y, z ) R 3 / x 2 y} ( x, y) (2 y, y, 0)
y F : W
R 22
x y ( x, y, z ) z x
y las bases: B {(1,1), (1, 0)} de R
2
B {(2,1, 0), (0, 0,1)} de W
1 0 , 0 0
B
0 1 0 0 0 0 22 0 0 , 1 0 , 0 1 de R .
Hallar: i) [T ]B y [ F ]B B B
ii) [ F T ]B B
Solución i) T (1,1) (2,1, 0) 1(2,1, 0) 0(0, 0,1) T (1, 0) (0, 0, 0) 0(2,1, 0) 0(0, 0,1)
95
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------1 [T ]B B 0
2
0
0
1
1 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 10 0 01 0 20 1 0 2
F (2,1, 0)
0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 F (0, 0,1) 0 0 0 00 0 11 0 00 1 1 0
B B
[ F ]
2 1 0 2
0
1 0 0
[T ]B ii) [ F T ]B [ F ]B B B B
2 1 0 2
0
2 1 0 2
0
0 1
1 0
0
0
0
0
0 0
Corolario.- Sean V , W espacios vectoriales de dimensión finita con bases ordenadas B y B respectivamente y T : V W una transformación lineal. T es un isomorfismo si y solo si [T ]B B es inversible.
Prueba.- Ejercicio. Matriz cambio de base Sea V un K -espacio vectorial de dimensión finita, consideramos B {v'1 , v' 2 ,, v' n } dos bases ordenadas para V .
i)
Para hallar la matriz cambio de base de Se considera el endomorfismo identidad
96
B a B .
B {v1 , v2 ,, vn }
y
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- I : V V tal que I (v j ) v j , j 1, 2,, n ,
luego expresando v j como una combinación lineal de los elementos de
B se
tiene n
p v
I (v j ) v j
ij
, j 1, 2,, n
i
(1)
i 1
escribiendo (1) explícitamente se obtiene: I (v1 ) v1 p11v1 p 21v2 pn1 v n I (v2 ) v2 p12 v1 p 22 v2 pn 2 vn
I (vn ) vn p1n v1 p2 n v2 pnn vn
la matriz asociada al endomorfismo I respecto a las bases
B
y
B
que
denotamos por:
P [ I ]B B
p11 p12 p p 22 21 pn1 pn 2
B a B .
es llamada matr iz cambio de base de ii)
p1n p2 n pnn
B a B
Para hallar la matriz cambio de base de Se considera el endomorfismo identidad
I : V V tal que I (v j ) v j , j 1, 2,, n
luego expresando v j como una combinación lineal de los elementos de tiene I (v j ) v j
n
q v , ij
i
j 1, 2,, n
(2)
i 1
y escribiendo (2) explícitamente se tiene: I (v1 ) v1 q11v1 q21v2 qn1 v n I (v2 ) v2 q12 v1 q22 v2 qn 2 vn
I (vn ) vn q1n v1 q2n v2 qnn vn
97
B se
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------la matriz asociada al endomorfismo I respecto a las bases
B
y
B
que
a
B por
denotamos por:
Q [ I ]B B
q11 q 21 q n1
q12 q22
qn 2
es llamada matr iz cambio de base de B a
q1n q 2n qnn
B.
Observación.-También es usual denotar la matriz P cambio de base de y la matriz Q cambio de base de B a
B' M B o B M B'
B
B
B por M B' o B' M B .
Ejercicio.- Sea V un K -espacio vectorial de dimensión finita n e I :V V el I n donde I n es la matriz identidad de orden n endomorfismo identidad, entonces [ I ]B B
y B una base cualesquiera de V .
Proposición.- Sea V un K -espacio vectorial de dimensión finita, B {v'1 , v' 2 ,, v' n } dos
bases P de
B
a
B
B {v1 , v2 ,, vn } y
bases ordenadas para V . Entonces las matrices de cambio de
y Q de
B
a
B
son inversas entre sí.
Prueba En efecto, ' PQ [ I ]B [ I ]B B B'
Por definición de P y Q.
' [ I I ]B B'
Por propiedad demostrada.
' [ I ]B B'
Pues I I I .
I n
Por el ejercicio anterior.
Análogamente se demuestra que QP I n . Luego, PQ I n y QP I n lo que demuestra que P y Q son inversas entre si.
Ejemplo.- Sean B {(1,1), (1, 0)} y B {(1, 0), (2,1)} dos bases de R 2 . Hallar la matriz cambio de base: i) P de la base
B
a la base B .
ii) Q la base B a la base B. iii) Verifique que P y Q son inversas entre si
98
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Solución i) (1,1) 1(1, 0) 1(2,1) (1, 0) 1(1, 0) 0(2,1)
1 1 P 1 0
ii)
(1, 0) 0(1,1) 1(1, 0) (2,1) 1(1,1) 1(1, 0)
0 1 1 1
Q
iii)
0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1
PQ
Proposición.- (Fórmulas de transformación de coordenadas) Sea V un K -espacio vectorial de dimensión finita con bases ordenadas B {v1 , v2 ,, vn }
y B {v'1 , v'2 ,, v' n } . Si P es la matriz cambio de base de
B y Q la matriz cambio de base de B a B, entonces para todo v V
P [v]B [v]B
y Q[v]B [v]B
Prueba a1 a'1 a a' 2 Sean: [v]B y [v]B 2 an a ' n
las coordenadas del vector v V con respecto a las bases Probaremos que P [v]B [v]B Entonces
v
n
a v j
j
j 1
n a j pij vi j 1 i 1 n
99
B
y
B .
B
se tiene que
a
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- n a j pij vi i 1 j 1 n
(1)
Por otro lado tenemos que: v
n
av i
(2)
i
i 1
De (1) y (2) por la unicidad de la combinación lineal, ya que n
ai pij a j , i 1, 2,, n
B es una
base tenemos
(3)
j 1
es decir, explícitamente: a1 p11a1 p12 a2 p1n an a2 p21a1 p22 a2 p2 n an
an pn1a1 p n 2 a2 p nn a n
a1 p11 p12 a p 2 21 p22 a n pn1 pn 2
p1n a1 p 2n a2 p nn a n
[v]B P [v]B
(4)
Ahora como P y Q son inversas entre sí, tenemos que: Q[v]B Q P [v]B
(QP )[v]B [v]B pues QP I
Q[v]B [v]B
(5)
Las expresiones (4) y (5) se denominan fór mulas de tr ansfor mación de coordenadas.
Proposición.- Sean V y W dos K -espacios vectoriales de dimensión finita con bases ordenadas
B
y
C
respectivamente. Si T : V W es una transformación lineal
inversible y siendo T 1 dicha inversa, entonces
T
1 B C
C 1 ([T ]B )
Prueba
100
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Sea n dim V dim W , considerando las bases
B
y
C en V
y W respectivamente,
se tiene
C [T ]B T 1
B C
[T T 1 ]C [ I ]C I n C C
Donde I n es la matriz identidad de orden n. Análogamente,
T
1 B C
C [T ]B [T 1 T ]B [ I ]B I n B B
Por consiguiente,
T
1 B C
C 1 ([T ]B )
Proposición .- Sean V , W dos K -espacios vectoriales de dimensión finita con bases y
C respectivamente, entonces
B
la transformación lineal T : V W es un isomorfismo
C si y solo si [T ]B posee inversa.
Prueba )
Asumiendo que T es un isomorfismo. T : V W
posee inversa
T 1 : W V ,
luego por la proposición anterior
C 1 ([T ]B ) [T 1 ]B C .
)
C Ahora asumiendo que [T ]B posee inversa.
Se tiene que
ran(T ) dim W , luego solo resta probar que T es una
transformación lineal inyectiva. Si T (v) , entonces C 1 [ v ]B ([ T ]B ) [ T (v)]C 0
Como todas las coordenadas de v son iguales a cero, se tiene que v , luego Nu(T ) { } y en consecuencia T es inyectiva.
Ejemplo.- Sea P 1[ R ] es el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que uno sobre el campo de los reales
R
y la transformación lineal T : R 2 P 1[ R ]
definida como T (a, b) a (a b) x , demuestre que T es un isomorfismo y calcule la inversa de T .
Solución
101
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Considerando las bases canónicas de
B
y
C en
2
R
y
P 1[ R ] respectivamente
se
tiene que T (1, 0) 1 1 x T (0, 1) 0 1 x
1
0
Luego, [ T ]C B 1 1 C La matriz [T ]B
1
0
C 1 ) es inversible y ([ T ]B ; en consecuencia T es un 1 1
isomorfismo. Para calcular la inversa de T 1 0 a a [ T 1 (a bx)] [ T 1 ]B [ a bx ] C C 1 1 b a b T 1 (a bx) a(1, 0) (a b)(0, 1)
T 1 (a bx) (a, a b)
Proposición.- Sea V un K -espacio vectorial de dimensión finita,
B
y
C
dos bases
ordenadas para V y T :V V un endomorfismo, entonces Q[ T ]C [ T ]B P B C
donde P es la matriz cambio de base de a
B
a
C
y Q la matriz cambio de base de C
B .
Prueba Como P [ I ]C y Q [ I ]B se tiene B C B C C C [ I ]B [ I ]B [ I ]B [ I T ]B [T ]B Q[ T ]C C P C [ T ]B [ I ]B C [ T I ]B C [ T ]B B B
Tomando extremos se obtiene, [T ]B Q[ T ]C P B C
con lo cual queda demostrada la proposición. La proposición anterior se puede interpretar mediante el siguiente gráfico
102
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------[T ]C C V , C
V , C
P
P
Q
[T ]B B
V , B
V , B
Matrices semejantes Sea V un K -espacio vectorial de dimensión finita y T : V V un endomorfismo. Se consideran
B
y
B
dos bases ordenadas de V . Si se denotan por A T B B ,
B
B T B , P la matriz cambio de base de B
de
B
a
B por
A, B K nn
B
a
y P 1 la matriz cambio de base A P 1 BP . Las matrices
la proposición anterior se tiene que
que representan al mismo endomorfismo respecto a las bases
B
y
B
son llamadas semejantes . Estoes, diremos que A es semejante a B si y solo si existe una matriz P no singular tal que A P 1 BP . La proposición anterior se extiende para el caso de una transformación lineal T : V W
donde V y W son K -espacios vectoriales de dimensiones n y m
respectivamente. Si
B
y
B son
bases para V ;
C
y
C
bases para W con matrices
C asociadas A [T ]C , B [T ]B y matrices cambio de base P de B a B
C y C
B
y Q de
se cumple que A Q 1 BP .
Es decir, dada la transformación lineal T : V W donde V y W son dos K -espacios vectoriales de dimensiones n A, B K nn P K nn
y
m
respectivamente, diremos que las matrices
representan a la misma transformación lineal
y Q K mm no singulares tales que A Q 1 BP .
El siguiente gráfico, ilustra la situación antes descrita. V , B
B
W , C
V , B
Q -1
Q
P A
W , C
103
T
existen matrices
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ejemplo.- Sea T : R 3 R 2 tal que T ( x, y, z ) ( x y, 2 z x) . i)
Si
B
es la base canónica de R 3 y
matriz de T respecto a las bases ii)
C
y
B
es la base canónica de R 2 . Hallar la
C .
Calcular las matrices de cambio de base de las bases dadas en (i) a las bases: B {(1, 0, 1), (1,1,1), (1, 0, 0)} de R
iii)
3
y C {(0,1), (1, 0)} de R 2
Calcular la matriz de T respecto a las bases dadas en (ii).
Solución i) Hallemos [T ]C B T (1, 0, 0) (1, 1) 1(1, 0) 1(0,1) T (0,1, 0) (1, 0) 1(1, 0) 0(0,1) T (0, 0,1) (0, 2) 0(1, 0) 2(0,1)
A [T ]
C B
ii)
1 1 0 1 0 2
B
R 3 , B
2 R , C
P -1
P 3
R , B
Q A
2
R , C
Calcularemos las matrices de cambio de base de las bases dadas De
B {(1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)}
a
B {(1, 0, 1), (1,1,1), (1, 0, 0)}
(1, 0, 0) 0(1, 0, 1) 0(1,1,1) 1(1, 0, 0) (0,1, 0) 1(1, 0, 1) 1(1,1,1) 2(1, 0, 0) (0, 0,1) 1(1, 0, 1) 0(1,1,1) 1(1, 0, 0)
0 1 1 P 0 1 0 , 1 2 1
1 1 1 P 1 0 1 0 1 1 0
104
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------De
C {(1, 0), (0,1)}
a
C {(0,1), (1, 0)}
(1, 0) 0(0,1) 1(1, 0) (0,1) 1(0,1) 0(1, 0)
0 Q 1
1
0
iii) Calcular la matriz de T respecto a las bases dadas (ii). B QAP 1
1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 2 1 1 0 3 1 1 1 2 1
Ejercicios 1.
Una transformación lineal T : R 3 R 2 está definida por T ( x, y, z ) ( x 2 z , y z )
a)
Hallar la matriz asociada A de T , respecto a las bases: { (1, 1, 1), (2, 2, 0), (3, 0, 0) } en R
3
y { (2, 0), (0, 2} en R 2
b)
Mediante A, determinar la imagen de (2, 2, 2) R 3 .
c)
Determinar la matriz B de T , respecto a las bases canónicas en ambos espacios.
d)
Obtener la matriz C de T , respecto a la base canónica de R 3 y la base dada para R 2 en la parte a).
2.
Hallar la matriz de la transformación lineal S : R 3 R 4 , donde S está definida como: S ( x, y, z ) (3 x y, x y, y z , x y z )
en las bases que se indican a continuación a)
En las bases canónicas.
b)
{ (3, 2, 4), (5, 1, 4), (1, 4, 3) } base de R 3 y {(0, 0, 2, 4), (3, 0, 1, 1), (0, 4, 5, 1), (1, 1, 1, 1)} base de R 4 .
c)
La base canónica de R 3 y para R 4 la base dada en b) 105
Notas de clase clase de Álgebra Lineal Lineal I Víctor G. Osorio Vidal Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------3.
Sea la transformación lineal f : R 2 R 3 definida por f ( x, y) ( x y, x y, x 2 y)
a)
f ), f ), Determinar el Nu( f ), Im( f ), una base para cada uno y sus respectivas
dimensiones. b)
Hallar la matriz asociada de f respecto respecto a las bases: { (1, 2), (2, 0) }
4.
en R 2 y { (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3) } en R 3
La matriz asociada de la transformación lineal f : R 3 R 3 respecto de la base canónica es 1 1 1 A 3 3 3 2 4 2
f ), f ) y sus dimensiones. Determinar el Nu( f ), Im( f
5.
Sea T el el operador lineal sobre C 2 definido por T ( z 1 , z 2 ) ( z 1 , 0) . Sea
B
la
base ordenada ordenada canónica de C 2 y sea B {(1, i) , (i, 2)} . a)
¿Cuál es la matriz asociada de T respecto respecto al par de bases B y B ?.
b)
¿Cuál es la matriz asociada de T respecto respecto al par de bases
c)
¿Cuál es la matriz asociada de T en en la base B { (1, i) , (i, 2) } ?.
B y B ?.
6. Si V { ax 2 bx c / a, b, c R } y T : V R 2 es una transformación lineal definida por T (ax 2 bx c) (b 2c, 3c 2a) , determine la matriz asociada a T respecto a las bases 7.
B
1
{ 1, 1 x, 1 x x 2 } de V y B2 { (3, 2), (2, 3)} de R 2 .
Dada la transformación lineal f : R 22 R 3 definida por a b c d (a b c, a b d , b c d )
f
a) Obtener la matriz de f respecto respecto de las bases: 1 1 1 0 0 0 0 1 , 1 0 , 0 1 , 1 1 y { (0, 2, 1), (2, 0, 1), (0, 1, 1) } 1 1 1 3 . 2
c) Utilizando la matriz hallada, obtener la imagen de 2
106
Notas de clase clase de Álgebra Lineal Lineal I Víctor G. Osorio Vidal Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------8.
Determinar la transformación lineal f : R 3 R 2 , tal que respecto de las bases 3 2 { (1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0) } en R y { (1, 2), (2, 1) } en R su matriz asociada sea
1 0 0 0 1 1 .
9.
Hallar la matriz de la transformación lineal g f respecto de las bases { (1, 1), (0, 1) }
en el dominio, { (2, 0), (2, 2) } en el codominio donde
f : R 2 R 3 / f ( x, y) ( x, x y, y) g : R 3 R 2 / g ( x, y, z ) ( x y, z ) .
10. Sea la transformación lineal f : R 2 R 2 representada por la matriz cos sen cos sen cos respecto de la base canónica.
Demostrar que si y son números reales cualesquiera, entonces f f f
y f 1 f .
11. El endomorfismo T : R 3 R 3 está definido por T ( x, y, z ) ( x, x y, x y z )
En caso de ser posible, halle la matriz asociada a T 1 con respecto respecto a la base B { (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) } . 12. Sea f : R 3 R 2 definida por f ( x, y, z ) ( x y z , x y) a)
Hallar la matriz de f respecto a las bases canónicas de R 3 y R 2 respectivamente.
b)
Obtener las matrices de cambio de base, de las bases anteriores a las bases { (0, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 1) } , { (1, 3), (0, 2) } .
c) 13.
Calcular la matriz B de f , respecto al nuevo par de bases.
Hallar las matrices de cambio de base en cada uno de los siguientes casos: a)
{ (2, 3), (3, 2) } y { (1, 4), (4, 2) } bases de R 2 .
b)
{ x, x 1, x 2 2 x 1}
y {1, x 2 2 x 1, x 2 } bases del espacio vectorial
V { a bx cx 2 / a, b, c K }
c)
Dado el espacio U { ( x, y, z , w) R 4 / x y z w 0} y dos bases B {(1, 1, 1, B {(1, 0,
3), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1)} y
1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 1)}
107
Notas de clase clase de Álgebra Lineal Lineal I Víctor G. Osorio Vidal Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------14.
Dados el espacio vectorial R 2 con las bases B { (1, 0), (2, 1) } , C {(2, 2, 3), (2,
el
espacio
vectorial
B { (1, 1), (3, 2) }
R 3
con
las
y
bases
4, 1), (1, 4, 2)} y C {(1, 1, 0), (1, 2, 1), (2, 1, 2)} .
Sea T : R 2 R 3 una transformación lineal que tenga en las bases
B
y
C
la
1 2 matriz asociada 2 1 , se pide 3 1
a)
Hallar la matriz P cambio de base de matriz Q cambio de base de
a
a
B .
Análogamente, hallar la
C .
b)
Hallar P 1 y Q 1 para las matrices correspondientes correspondientes a la parte a).
c)
Hallar la matriz asociada de la transformación lineal T , respecto a las bases
15.
C
B
B
y
C .
En el espacio vectorial
R 2
R , se considera la base
fijando
C { (cos , sen ), (sen , cos cos )} .
a)
Hallar la matriz cambio de base de
b)
Determine las coordenadas del vector v (a, b) con respecto a la base
C
a la base canónica de R 2 .
C .
16.
Sean
B { v1 , v2 , v3 }
y
C { u1 , u 2 , u3 } bases
vectorial V relacionados de la siguiente forma forma u1 3v1 v3 u1 v1 v2 v3 u 2v 3v 2 3 3
a)
Hallar la matriz cambio de base de
b)
2 Si [v]B 1 , halle [v]C . 3
c)
1 Si [v]C 3 , halle [v]B . 2
108
B
a
C .
ordenadas de un R-espacio
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------17.
Considere el siguiente subespacio de M 2 ( R) ; x y W M ( R ); x y z 0 2 z t
y sean
1 1 , 0 0
1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 , C , 1 0 0 1 , 1 0 , 0 1 dos 1 0
B
bases de W . a)
Halle las matrices cambio de base de B a
b)
0 0 1 Encuentre una base D de W , tal que la matriz P 3 0 1 sea la 1 2 0
matriz cambio de base de 18.
D
a
C y
de C a
B.
B.
Sea el endomorfismo T L( R 3 ) , cuya matriz asociada respecto a la base B { v1 , v2 , v3 } es
2 1 3 2 1 0 4 3 1
Se pide: B { v3 , T ( v3 ), T ( v3 ) } es también base de R
a)
Probar que
b)
Hallar la matriz asociada de T con respecto a la base
2
3
.
B { v3 , T ( v3 ), T ( v3 ) } . 2
19.
Sean P 2 [ x] y P 3 [ x] los espacios vectoriales de los polinomios de grado menor igual a dos y menor o igual a tres, respectivamente, y sea T : P 2 [ x] P 3 [ x] la transformación lineal definida por T ( p( x)) = x p( x). a)
Determinar la matriz asociada a T con respecto a las bases canónicas de P 2 [ x] y P 3 [ x]
b)
, respectivamente.
Obtener la matriz asociada de T con respecto a las bases : B {1 x , 1 3 x 2 x , 5 4 x 4 x } de P 2 [ x] 2
2
B' {1, x, x , x } 2
c)
3
2
y
de P 3 [ x] .
Haciendo uso de las matrices obtenidas en a) y b) calcular la imagen del vector 1 3 x x 2 .
109
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------DETERMINANTES
Sea V un K -espacio vectorial y f : V V K una función. Diremos que f es una forma bil ineal sobre V si y solo si satisface las siguientes condiciones:
i)
f (au1 bu2 , v) af (u1 , v) bf (u 2 , v) ; u1 , u 2 , v V ; a, b K
ii)
f (u, cv1 dv2 ) cf (u, v1 ) df (u, v2 ) ; v1 , v2 , u V ; c, d K
Observación
Sea f : V V K una forma bilineal. 1)
Para cada v V definimos f v : V K u f v (u ) f (u, v)
2.
Para cada u V definimos f u : V K v f u (v) f (u, v)
Es inmediato verificar que f v y f u son K -lineales. Ejemplo 1.- Sea K un campo y consideremos el espacio vectorial K n . Para todo
x ( x1 , x2 , , xn ), y ( y1 , y 2 , , y n )K n f : K K K tal n
n
definimos la aplicación n
que f ( x, y) xi yi i 1
La aplicación f así definida es una forma bilineal. Ejemplo 2.- Sea A K nn , definimos f : K n K n K tal que f ( x, y) xAy T
a11 a ( x1 , x2 , , xn ) 21 an1
a12 a 22
an 2
a1n y1 a 2n y2 a nn y n
y1 n n n y2 xi ai1 , xi ai 2 , , xi ain i 1 i 1 i 1 y n n
n
j 1
i 1
y j xi aij
110
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------n
n
aij xi yi i 1 j 1 n
n
La aplicación f así definida es una forma bilineal y la expresión aij xi yi se i 1 j 1
denomina poli nomio bil ineal correspondiente a la matriz A. Observación.- Denotemos con L2 (V , K )
el conjunto de las formas bilineales. Es decir,
L2 (V , K ) { f : V V K / f es bilineal }
En L2 (V , K ) definimos las operaciones ( f g )(u, v) f (u, v) g (u, v) ; u, v V y (af )(u, v) af (u, v)
El conjunto L2 (V , K ) con las operaciones antes definidas es un espacio vectorial sobre K . Formas bilineales alternadas Definición.- Sea V un K -espacio vectorial. Diremos que una forma bilineal f sobre V
es alternada si i)
f (v, v) 0 , v V
Nótese que si f es alternada, entonces se cumple ii)
f (u, v) f (v, u) ; u, v V
En efecto, 0 f (u v, u v) f (u, u) f (u, v) f (v, u) f (v, v)
0
0
0 f (u, v) f (v, u) 0 f (u, v) f (v, u) tr ica o Una forma simétrica que satisface la condición ii) se dice an ti simé hemi simé trica . Observación.-
Si 1 1 0 en K , entonces de la condición ii) se tiene
f (u, u) f (u, u) lo
que implica la condición i). Es decir alternadas y antisimétricas
son equivalentes cuando 1 1 0 . Ejemplo 1.- Consideremos el R- espacio vectorial R n , A R nn tal
Definimos f : R n R n R ( x , y) f ( x, y) xAy T
111
que A AT .
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------La aplicación f así definida es alternada. En efecto, se tiene f ( x, y) xAy T ( xAy T )T y( xA)T yAT x T y( A) x T yAx T f ( y, x)
Luego, tomando extremos f ( x, y) f ( y, x) . Como en K R , 1 1 0 , entonces f ( x, x) 0
y en consecuencia f es alternada.
Ejemplo 2.- Sea V un K -espacio vectorial donde dim V n , K es tal que 1 1 0 y
sean f 1 , f 2 V * . Definimos f : V V K (u, v) f (u, v) f 1 (u ) f 2 (v) f 2 (u) f 1 (v)
Dejamos como ejercicio la prueba de que la aplicación f es bilineal. Probaremos que f es alternada. En efecto, f (u, v) f 1 (u ) f 2 (v) f 2 (u ) f 1 (v)
[ f 2 (u ) f 1 (v) f 1 (u ) f 2 (v)] [ f 1 (v) f 2 (u) f 2 (v) f 1 (u )] f (v, u )
Luego, tomando extremos se cumple que f (u, v) f (v, u) , en consecuencia queda probado que f es alternada. Ejercicio.- Denotemos el conjunto de todas las
formas bilineales alternadas por
A2 (V , K ) { f L 2 (V , K ) / f es alternada }
Demuestre que A2 (V , K ) es un subespacio de L2 (V , K ) . Observaciones
Sea f A2 ( K 2 , K ) se cumple: 1.
f (u v, v) f (u, v) .
2.
f (0, v) 0 f (u, 0) ; f L2 (V , K ) .
3.
f ( u, u) 0
4.
Existe f A2 ( K 21 , K ) tal que f , ad bc . b d
a c
112
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
1
0
En efecto, sea e1 , e2 la base canónica de K 21 y { e1* , e2* } la 0 1 base del dual de K 21 correspondiente a { e1 , e2 } . Es decir, ei* : K 21 K es lineal verificando ei* (e j ) ij . Entonces f (u, v) e1* (u)e2* (v) e2* (u)e1* (v)
(1)
La aplicación f es una forma bilineal alternada. a u u ae1 be2 b c v v ce1 de2 d f (u, v) f (ae1 be2 , ce1 de2 )
af (e1 , ce1 de2 ) bf (e2 , ce1 de2 ) acf (e1 , e1 ) adf (e1 , e2 ) bcf (e2 , e1 ) bdf (e2 , e2 ) 0 adf (e1 , e2 ) bcf (e2 , e1 ) 0 adf (e1 , e2 ) bcf (e1 , e2 ) (ad bc) f (e1 , e2 )
Tomando extremos se tiene f (u, v) (ad bc) f (e1 , e2 )
(2)
Pero por la relación (1) se tiene f (e1 , e2 ) e1* (e1 )e2* (e2 ) e2* (e1 )e1* (e2 ) (1)(1) (0)(0) 1
Finalmente reemplazando el valor de f (e1 , e2 ) 1 en la relación (2) se tiene a f (u, v) ad bc , donde u b
5.
c
y v d
Se tiene que dim A2 ( K 21 , K ) 1. a
c
En efecto, sea D A2 ( K 21 , K ) , u y v y si A [ u , v] , b d entonces D( A) D([u, v]) (ad bc) D(e1 , e2 )
(1)
Por otro lado, det( A) ad bc y reemplazando en la relación (1) se tiene D( A) det( A), A K 22
Luego, dim A2 ( K 21 , K ) 1 , pues D A2 ( K 21 , K ) se tiene que D det . 113
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Formas n -lineales
Sea V un K -espacio vectorial de dimensión n. Una forma n-lineal es una aplicación V V f : V n K , donde V n V n veces
tal que f (v1 ,, avi bvi, , vn ) af (v1 , , vi , , vn ) bf (v1 , , vi , , vn ) vi, v1 , , vn V , i 1, , n; a, b K .
Denotemos el conjunto de las formas n-lineales por Ln (V , K ) { f : V n K / f es n lineal } Ln (V , K ) es un K -espacio vectorial. Definición.- Diremos que f Ln (V , K ) es alternada si y solo si
f (v1 , , vi , , v j , vn ) 0
si vi v j para i j
Nótese que el conjunto An (V , K ) { f L n (V , K ) / f es alternada } es un subespacio de Ln (V , K ) . Observaciones
1.
Suponiendo que 1 1 0 en K se verifica f An (V , K ) f (v1 , , vi ,, v j ,, vn ) f (v1 , , v j ,, vi ,, vn ) , i j
es decir f es antisimétrica. Asumiendo que f es alternada, definimos g (u, v) f (v1 , , u ,, v,, vn ) ; vk V , k {i, j} están fijados
i
j
La aplicación g es bilineal. Como f es alternada, g está bien determinada. g (u, v) g (v, u) f (v1 , , vi ,, v j ,, vn ) f (v1 , , v j ,, vi ,, vn )
Recíprocamente, asumiendo que f (v1 , , vi ,, v j ,, vn ) f (v1 , , v j ,, vi ,, vn ) , i j
Se tiene que g (u, u) 0 f (v1 , , u, , u, , vn )
2.
Si v1 , , vn V son linealmente dependientes, entonces f (v1 , , vn ) 0, f An (V , K )
114
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------En efecto, si v1 , , vn son linealmente dependientes entonces podemos asumir n
sin pérdida de generalidad que vn ci vi i 1
f (v1 , , vn1 , vn ) f (v1 , , vn1 ,
n
c v ) i
i
i 1 n 1
ci f (v1 , , vn1 , vi ) i 1
0
Función determinante Definición.-
Sea K un campo tal que 1 1 0 , y si A K nn que escribimos como
A [ A1 , A2 , , An ] ,
donde Ai con 1 i n denota la columna del lugar i de la
matriz cuadrada A. Diremos que D : K nn K es una fu nción determi nante , si considerada como función sobre las columnas de una matriz es una forma n-lineal alternada. Es decir, A K nn , D( A) D( A1 , A2 , , An ) . Observación. K nn K n K n K n K ; f An ( K n , K )
A
f
[ A1 , A2 , , An ]
D f D( A) f ( A) f ( A1 , A2 , , An ) Notación.-
Si A [aij ]nn es una matriz cuadrada de orden n, A(i | j ) denotará la
matriz cuadrada de orden (n 1) (n 1) obtenida de A, al eliminar la i-ésima fila y jésima columna. j
a11 a1n aij i a n1
Es decir si A [ A1 , , A j 1 , A j , A j 1 , , An ] , entonces A(i | j ) [ A1 , , A j 1 , A j 1 , , An ] [ A1 , , A j , , An ] ˆ
Por convención A j significará la omisión de la columna j. ˆ
115
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Teorema.-[Existencia de la función determinante]
Existe una función determinate D : K nn K tal
que D( I n ) 1
Demostración
La demostración de la existencia dem de D la haremos por inducción sobre n. Para n 1, A [a]11 , D( A) a Para n 2 se cumple por la observación parte (4). Hipótesis inductiva Para n 2 , supongamos que el teorema se cumple para matrices cuadradas de orden n 1.
Sea A [aij ]nn para cada i, 1 i n . Definimos Di ( A)
n
(1)
i j
aij D( A(i | j ))
(1)
j 1
donde D es la función determinante para matrices cuadradas de orden (n 1) por la hipótesis inductiva. Afirmación 1.- Di es n-lineal.
Definimos Dij ( A) aij D( A(i | j )) ; 1 j n Como A(i | j ) es independiente de la j-ésima columna de A, entonces Dij ( A) es lineal en las columnas A1 , , A j 1 , A j 1 , , An . ~ ~ Si A [ A1 , , cA j d A j , , An ] , entonces Dij ( A) (caij d aij ) D( A(i | j )) ~ ~ Dij [ A1 , , cA j d A j , , An ] caij D( A(i | j )) d aij D( A(i | j )) ~ cDij ( [ A1 , , A j , , An ] ) dDij ( [ A1 , , A j , , An ] )
Luego, Dij , 1 j n , es n-lineal. n
n
Pero Di ( A) (1) aij D( A(i | j )) (1) i j Dij ( A) i j
j 1
j 1
Esto es, Di es suma de formas n-lineales, por lo tanto es n-lineal. Afirmación 2.- Di es alternada.
Debemos mostrar que si A [ A1 , , Ak , , Al , , An ] con Ak Al y k l , entonces Di ( A) 0 .
116
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Sea 1 j n tal que j k j l , entonces las matrices A(i | j ) tienen dos columnas iguales, entonces D( A(i | j )) 0 . Luego, de la definición (1) se tiene Di ( A) (1) i k aik D( A(i | k )) (1) i l ail D( A(i | l ))
(2)
Por otro lado, tenemos que A k Al aik ail ,
además
A(i | k ) [ A1 , , Ak , , Al , , An ] ˆ
A(i | l ) [ A1 , , Ak , , Al , , An ] ˆ
D( A(i | k )) D( [ A1 , , Ak , , Al , , An ] ) ˆ
l 1
(1) l 1k D([ A1 , , Al , , Ak , , An ]) ˆ
como Ak Al Ak Al , luego D( A(i | k )) (1) l 1k D( [ A1 , , Ak , , Al , , An ] ) ˆ
D( A(i | k )) (1) l 1k D( A(i | l ))
Por lo tanto, en (2) tendremos Di ( A) (1) i k aik (1) l 1k D( A(i | l )) (1) i l ail D( A(i | l ))
[(1) i l 1 (1) i l ]ail D( A(i | l ))
Luego Di ( A) 0 y en consecuencia Di es alternada. Solo resta probar que Di (I n ) 1 . De (1) se tiene que Di ( I n )
n
(1)
i j
aij D( I n (i | j ))
j 1
aii D( I n (i | i ) 1 D( I n1 ) 1 Observaciones.
1.
En realidad en el teorema existen n funciones determinantes. Denotemos con det
2.
alguna de esas funciones. En particular det D1 .
La fórmula (1) es conocida como el desarrollo de Lagrange (desarrollo por menores complementarios)
117
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- a11 Para el caso de A a21 a31
a12 a22 a32
det( A) D1 ( A) (1)11 a11
3.
a13
se tiene que a33 a23
a 22
a 23
a32
a33
(1)12 a12
a 21
a 23
a31
a33
(1)13
a 21
a22
a31
a32
Si E i ( ), E ij ( ), 0 y E ij son los tres tipos de matrices elementales. Se tiene: a)
det( E i ( )) det(I n )
b)
det( E ij ( )) det(I n )
c)
det( E ij ) det(I n )
d)
det(( E i ( ))T ) det(E i ( ))
e)
det(( E ij ( ))T ) det(E ij ( ))
f)
det(( E ij ) T ) det(E ij )
Proposición
1.
Sean E i ( ), E ij ( ), 0 y E ij los tres tipos de matrices elementales. Se tiene:
2.
a)
det( E i ( ))
b)
det( E ij ( )) 1
c)
det( E ij ) 1
Sean A K nn E una matriz elemental de cualquier tipo y D una función determinante, entonces D( AE ) D( A) det(E ) .
3.
Si E es una matriz elemental de cualesquiera de los tres tipos y D una función determinante, entonces se cumple que D( E T ) D(E ) .
Demostración
1.
Sea i
1 E i ( ) 0 0
0 0 0 i 0 1
118
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Expresando la matriz elemental E i ( ) del segundo tipo en término de sus columnas se tiene E i ( ) [ E 1 , , E i , , E n ]
(1)
0 Donde E i 1 i , es la i-ésima columna de la matriz identidad I n . 0 1 0 E ij ( ) 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1
Expresando la matriz elemental del tercer tipo en términos de sus columnas se tiene E ij ( ) [ E 1 , , E i , , E j E i , , E n ]
Es decir, 0 0 0 1 0 i E i E j 0 1 j 1 0 0 0
y 1 0 E ij 0 0
0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1
Expresando la matriz elemental del primer tipo en términos sus columnas
119
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- E ij [ E 1 , , E j , , E i , , E n ]
a)
det( E i ( )) det([ E 1 , , E i , , E n ] )
(3) por (1)
det([ E 1 , , E i , , E n ] ) por la función det n-lineal. det( I n )
(1) det( E i ( ))
b)
det( E ij ( )) det([ E 1 , , E i , , E j E i , , E n ] )
por (2)
det([ E 1 , , E i , , E j , , E n ] ) det([ E 1 , , E i , , E i , , E n ] ) 0
det([ E 1 , , E i , , E j , , E n ] )
por ser n-lineal alternada
det( I n ) 1
det( E ij ( )) 1
c)
det( E ij ) det([ E 1 , , E j , , E i , , E n ])
det([ E 1 , , E i , , E j , , E n ]) det( I n ) 1
det( E ij ) 1
2.
Expresando la matriz A en término de sus columnas se tiene A [ A1 , , Ai , , A j , , An ] , luego
a)
AE i ( ) [ A1 , , Ai , , A j , , An ]
b)
AE ij ( ) [ A1 , , Ai , , A j Ai , , An ]
c)
AE ij [ A1 , , A j , , Ai , , An ]
Luego, para a) D( AE i ( )) D( [ A1 , , Ai , , A j , , An ] )
D( [ A1 , , Ai , , A j , , An ] ) D( A ) det( E i ( )) D( A )
D( AE i ( )) det( E i ( )) D( A )
Para b) D( AE ij ( )) D( [ A1 , , Ai , , A j Ai , , An ] ) 120
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- D( [ A1 , , Ai , , A j , , An ] ) D( [ A1 , , Ai , , Ai , , An ] ) 0
D( A) 1 D( A) det( E ij ( )) D( A) D( AE ij ( )) det( E ij ( )) D( A)
Para c) D( AE ij ) D([ A1 , , A j , , Ai , , An ] ) D( [ A1 , , Ai , , A j , , An ] ) D( A ) por ser n-lineal alternada
det( E ij ) D( A ) D( AE ij ) det( E ij ) D( A)
Luego, de a), b) y c) resulta que D( AE ) D( A) det(E )
Nótese que si A I n , se tiene que D( E ) det(E ) (*) 3.
Probaremos que D( E T ) D(E ) , para cualquier función determinante. Se sabe que a)
( E i ( ))T E i ( )
b)
( E ij ( ))T E ji ( )
c)
T ( E ij ) E ij
Luego, tenemos De a) D(( E i ( ))T ) D(E i ( )) De b) D(( E ij ( ))T ) D(E ji ( )) det( E ij ( )) D(I n ) por (*) de 2) D( E ij ( )) D( ( E ij ( ))T ) D( E ij ( ))
De c)
D(( E ij ) T ) D( E ij )
D( E T ) D(E )
Proposición.- Para todo A, B K nn
se tiene que
det( AB) det( A). det(B)
121
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Prueba Caso 1.- Si B es singular, entonces AB es también singular, luego
det( AB) 0
(1)
De otra parte se tiene que det( A) det(B) 0
(2)
pues det( B) 0 por ser B singular. De (1) y (2) se tiene que det( AB) det( A) det(B) Caso 2.- Si B
es no singular.
Si B es no singular, entonces B puede ser expresado como producto de matrices elementales; es decir B E p E p 1 E 2 E 1
AB AE p E p 1 E 2 E 1 det( AB) det( AE p E p1 E 2 E 1 )
(3)
Aplicando una proposición demostrada anteriormente, y eligiendo D det se tiene det( AB) det( AE p E p 1 E 2 ) det(E 1 )
det( AE p E p 1 E 3 ) det( E 2 ) det( E 1 )
det( A) det( E p ) det( E p 1 ) det( E 2 ) det( E 1 ) det( A) det( E p E p 1 E 1 ) B
det( A) det( B)
det( AB) det( A) det(B) Proposición.- Para todo A K nn , det( AT ) det( A) . Prueba Caso 1.- Si A es singular
Si A es singular, entonces AT también es singular. Luego, 0 det( A) det( AT ) Caso 2.- Si A es no singular
Si A es no singular, entonces A puede ser expresado como un producto de matrices elementales, es decir
122
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- A E p E p 1 E 1 AT ( E p E p 1 E 1 )T E 1T E 2T E pT 1E pT det( AT ) det( E 1T E 2T E pT 1 E pT )
det( E 1T ) det( E 2T )det( E pT 1 ) det( E pT ) , por la proposición anterior
Aplicando una propiedad demostrada anteriormente, se tiene que det( AT ) det( E 1 ) det( E 2 ) det( E p 1 ) det( E p )
det( E p ) det( E p 1 )det( E 2 ) det( E 1 ) det( E p E p 1 E 1 ) det( A)
En consecuencia se ha demostrado que det( AT ) det( A)
una función determinante sobre el espacio vectorial K nn .
Proposición.-Sea D
Entonces, D( A) D( I n ) det( A), A K nn Prueba Caso 1.- Si A es singular.
det( A) 0 D( I n ) det( A) D( A) Caso 2.- Si A es no singular-
La matriz A puede ser expresado como un producto de matrices elementales. Luego, A E p E p 1 E 2 E 1 D( A) D( E p E p1 E 2 E 1 )
D( E p E p 1 E 2 ) det(E 1 ) por una proposición anterior ( D( AE ) D( A) det(E ) ) D( E p ) det( E p 1 )det( E 2 ) det(E 1 ) D( I n ) det( E p ) det( E p 1 )det( E 2 ) det(E 1 ) D( I n ) det( E p E p 1 E 2 E 1 ) D( I n ) det( A)
En consecuencia, D( A) D( I n ) det( A) Proposición.-(Unicidad de la función determinante)
Di es la única función determinante sobre K nn que satisface Di ( I n ) 1 . Prueba
123
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Sea D cualquier función determinante que satisface D( I n ) 1 , entonces D( A) D( I n A) D( I n ) D( A) D( I ) Di ( A) Di ( A)
Entonces, D Di . Corolario.- Sea
D(n, K ) { D : K nn K / D es función determinante} D(n, K ) es un
espacio vectorial de dimensión 1 sobre K .
Prueba
Si D D(n, K ) , entonces D( A) D( IA) D( I ) det( A), A K nn . Como D( I ) es una constante, entonces D( A) det( A) . Luego, D det y como det 0 , { det } es una base de D(n, K ) . En consecuencia dim( D(n, K )) 1 . Proposición.- Sean A K s s , B K r r , C K r s , demuestre que
A 0 det C B det( A) det(B) Prueba
Fijamos A, C y definimos : K r r K tal
A 0 C B
que ( B) det
La aplicación así definida resulta ser r -lineal alternada sobre las columnas de B ya que det es una forma n-lineal alternada. Entonces, es una función determinante y aplicando a B se tiene ( B) det( B) ( I r )
A
(1)
A 0 det 0 I ; nótese que en el lugar correspondiente a C I r r
Pero, ( I r ) det
0
la matriz C aparece 0; esto se obtiene mediante operaciones elementales. Ahora definimos : K ss K tal
A
que ( A) det
0
0 I r
La aplicación así definida es s-lineal alternada sobre las columnas de A, luego utilizando el mismo argumento que para se tiene ( A) det( A) ( I s )
124
(2)
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Además se tiene que I s ( I s ) det 0
0
det( I s r ) 1
I r
Luego, A 0 ( A) det( A) det 0 I ( I r ) r
(3)
Finalmente, usando en (1) el resultado obtenido en (3) se tiene ( B) det( B) det( A)
Con lo que queda demostrado que A 0 det C B det( A) det(B) Ejercicio.- Aplicando la proposición anterior demostrar que
b c d b a d c (a 2 b 2 c 2 d 2 ) 2 c d a b d c b a a
Solución
Sumando a la primera fila la tercera multiplicada por i, y a la segunda la cuarta multiplicada por i, se obtiene b c d a ic b id c ia d ib b a d c b id a ic d ib c ia c d a c d a b b d c b a d c b a a
Ahora, sumando a la tercera columna la primera multiplicada por – i, y a la cuarta la segunda multiplicada por – i, se obtiene a ic
b id c ia d ib a ic b id 0 0 b id a ic b id a ic 0 0 d ib c ia c d a b c d a ic b id d c b a d c b id a ic
Aplicando la proposición anterior se tiene a ic
b id b id a ic c
d
d
c
0
0
0
0
a ic
b id b id a ic
a ic
b id a ic b id b id a ic b id a ic
125
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
a ic
b id a ic b id Prop. de conj. b id a ic b id a ic a ic
b id a ic b id b id a ic b id a ic a ic
b id b id a ic
2
Usando la Prop. z z | z | 2
((a ic)(a ic) (b id )(b id )) 2 (a 2 b 2 c 2 d 2 ) 2
Finalmente, tomando extremos se tiene b c d b a d c (a 2 b 2 c 2 d 2 ) 2 c d a b d c b a a
Ejercicio.- Demostrar que
A det B
B det( A iB) 2 ; A, B K nn A
Solución
A B A iB det det B A B
B iA A
A iB 0 det A iB B A iB 0 det B A iB
det( A iB) det ( A iB) det( A iB)det( A iB) det( A iB)
2
Adjunta de una matriz Definición.-
Sea A [ aij ]nn K nn . Llamaremos i-ésimo, j-ésimo cofactor de la
matriz A a la expresión C ij (1) i j det A(i | j )
126
(1)
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Nota.- Reemplazado la relación (1) det( A)
en
n
(1)
i j
aij det A(i | j )
j 1
se obtiene det( A)
n
a C ij
ij
(2)
j 1
La relación (2), que es otra forma de expresar el det( A) y es llamada desarr oll o por cofactores de la i-ésima fila de A. Definiciones.- Sea A [ aij ] nn K nn .
1.
Llamaremos matriz cofactor de A a la matriz denotada por Cof ( A) [ C ij ]nn
(3)
donde los C ij son los cofactores correspondientes a la i-ésima fila y j-esima columna de la matriz A, 1 i, j n . 2.
Llamaremos matri z adjunta de A a la matriz denotada por Adj ( A) ( Cof ( A) ) T
Esto es, la adjunta de A, es la transpuesta de la matriz cofactor de A. Ejemplo.-Dada la matriz
2 1 3 5
A
Hallar Adj ( A) . Solución
C 11 (1)11 det([5]) 5 , C 12 (1)12 det([3]) 3 , C 21 (1) 21 det([1]) 1 , C 22 (1) 22 det([2]) 2
5 3 5 1 y en consecuencia Adj ( A) (Cof ( A))T 1 2 3 2
Entonces, Cof ( A) Teorema.-
Sea A K nn , entonces A Adj ( A) (det( A)) I n Adj ( A) A
Prueba
127
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------a1 j Sea A [ A1 , A2 , , A j , , An ] donde A j aij a nj det( A)
n
(1)
i j
aij det( A(i | j ))
i 1
n
(1)
aij C ij i 1
Sea B [ A1 , , Ak ,, Ak , , An ] la matriz obtenida a partir de A, donde la j-ésima
j
k
columna es igual a la k -ésima columna. Haciendo el cálculo del determinante de B a través de la columna j, se tiene 0 det( B)
n
b C ij
ij
i 1
pero como bij es una componente de la columna Ak , se tiene que bij aik ; es decir b1 j a1k bij aik j-ésima columna bnj a nk
Entonces, n
a
C ij 0, k j
(2)
ik
i 1
Sea Adj ( A) (d ij ) (C ij )T , donde d ij C ji , entonces ( Adj ( A) A) jk
n
d
jr
ark
r 1
n
C a rj
r 1
n
rk
ark C rj r 1
Si j k , de (2) se tiene que ( Adj ( A) A) jk 0 .
Si j k , se tiene ( Adj ( A) A) jj
n
a
rj
C rj det( A)
r 1
Por consiguiente,
128
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------0 det( A) 0 det( A) Adj ( A) A 0 0
0 det( A). I n det( A)
0
(3)
Afirmación.- Adj ( AT ) ( Adj ( A))T
Dejamos como ejercicio la prueba de la afirmación. Sugerencia ( A(i | j ))T A( j | i) . Luego, de la afirmación reemplazando A por AT en la relación (3) se obtiene Adj ( AT ) AT det( AT ) I n det( A) I n
( Adj ( AT ) AT )T det( A) I n A ( Adj ( AT ))T det( A) I n
Por la afirmación A ( Adj ( A)) det( A) I n Ejercicio.- Dada A K nn , invertible. Calcular
a)
det( Adj ( A))
b)
Adj ( Adj ( A))
Solución
a)
A Adj ( A) det( A) I n ,
por el teorema; luego calculando el determinante se
tiene det( A Adj ( A)) det(det( A) I n )
det( A) det( Adj( A))
(det( A))n
Como A es invertible, det( A) 0 y en consecuencia se tiene det( Adj ( A)) (det( A)) n1
b)
Sea B Adj ( A) , entonces B Adj ( B) det( B) I n Adj ( A) Adj ( Adj ( A)) det( Adj ( A)) I n
Multiplicando ambos miembros por A se tiene, A ( Adj ( A)) Adj ( Adj( A)) det( Adj ( A)) A
Luego, haciendo uso del teorema en el primer miembro y de la parte a) del ejercicio en el segundo miembro de la última relación se tiene det( A) I n Adj ( Adj ( A)) (det( A)) n1 A
129
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------al ser A invertible det( A) 0 y se tiene finalmente que Adj ( Adj ( A)) (det( A)) n2 A Proposición.- Sea A K nn . A es invertible si y solo si det( A) 0 . Prueba
)
A invertible, entonces existe una matriz B K nn tal que AB I n BA det( AB) 1 det( A) det( B) 1 det( A) 0
)
Asumiendo que det( A) 0 ; por una proposición demostrada tenemos que A Adj ( A) det( A) I n A
1 det( A)
Adj ( A) I n
En consecuencia, A es invertible y A 1
1 det( A)
Adj ( A)
Corolario
Si A es invertible, entonces det( A1 ) (det( A)) 1 . Prueba
Como A es invertible por hipótesis, entonces existe A 1 que la inversa de A tal que cumple AA1 I n . Luego, det( AA1 ) det( I n ) det( A) det( A1 ) 1 det( A1 )
1 det( A)
En consecuencia, det( A 1 ) (det( A)) 1 . Ejemplo
1 0 2 Dada la matriz A 1 2 0 . Averiguar si A es invertible; en caso que lo sea hallar 0 1 1
su inversa. Solución
Calculando el determinante de A se tiene que det( A) 4 , entonces A es invertible. La matriz cofactor de A es 2 1 1 2 2 4 Cof ( A) 2 1 1 Adj ( A) 1 1 2 4 2 2 1 1 2
Luego, se tiene que 130
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 4 1 1 A1 Adj ( A) 1 1 2 det( A) 4 1 1 2 Ejemplo
Utilizando la adjunta, calcular la inversa de cos 0 sen 0 A 1 0 sen 0 cos Solución
det( A) cos 2 sen2 1 0 , entonces
cos 0 sen 0 A1 1 0 sen 0 cos
Una de las tantas aplicaciones del uso de los determinantes es la solución de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, cuando la matriz asociada tiene determinante no nulo. Este método es conocido como la Regla de Cramer. Regla de Cramer
Sea el sistema a11 x1 a 21 x1
a12 x2 a 22 x2
an1 x1
an 2 x2
a1n xn a2 n xn ann xn
b1 b2 bn
(1)
Que de forma abreviada, escribimos como AX B
x1 b1 x b 2 Donde A [ aij ]nn , X y B 2 x n bn
En (2) multiplicando ambos miembros por la Adj ( A) se tiene Adj ( A)( AX ) Adj ( A) B ( Adj ( A) A) X Adj ( A) B det( A) I n X Adj ( A) B
det( A) X Adj( A) B
131
(2)
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------n
det( A) x j ( Adj ( A)) ji bi i 1 n
C ij bi i 1 n
(1) i j bi det( A(i | j )) i 1
det[ A1 , , A j 1 , B, A j 1 , , A n ]
Luego, si det( A) 0 , se tiene x j
1 det( A)
det[ A1 , , A j 1 , B, A j 1 , , An ] ; j 1, 2, , n
Ejemplo
Use la Regla de Cramer para resolver el sistema
2 x
5 2 y z 3 2 z 1 y
x Solución
La matriz asociada al sistema es 2 1 0 A 0 2 1 y det( A) 7 1 0 2
Luego,
x
5
1
0
2
3 1
2
1
0
0
2
7
15 7
, y
1
5
0
3 1 0
2
7
6 7
y z
2
1
5
0
2
1
0
3 1
7
Ejemplo
Dado el sistema 2 y z m mx y (m 1) z 1 x my (m 1) z 0 x
Describir el conjunto solución para todos los posibles valores reales de m. Solución
La matriz asociada al sistema es 1 1 2 A m 1 m 1 1 m m 1
132
11 7
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Usando las propiedades de determinantes, calculamos 1
2
1
A m
1
m 1 2m(m 2)
1
m
m 1
Luego, el sistema tiene solución única para m 0 y m 2 . Ejercicios
1.
Si a1
a2
a3
A b1
b2
b3 5
c1
c2
c3
calcule los siguientes determinantes: a)
c) 2.
a3
a2
a1
b3
b2
b1
c3
c2
c1
b)
a1
a2
a3
b1 4c1
b2 4c2
b3 4c3
c1
c2
c3
a3
b1
b2
b3
2c1
2c2
2c3
.
c) 2 A1
b) 2 A
d) (2 A) 1
Sea A 3 y B 4 . Calcule a) AB
4.
a2
Sea A una matriz de orden 4 4 y suponga que A 5 . Calcule a) A1
3.
a1
c) B 1 AB
b) ABAT
En los siguientes ejercicios, calcule el determinante, haciendo uso de las propiedades dadas mediante los teoremas. 2
a)
1
4
4
4 2 2 3 1 0 11 8 4 6 3
2
c)
0 2
0
0
b)
0
2
4
0
4
2
1
5
0
0
1 2
0
0
1
2
1
5
4
5 3 0 0 3
0
h)
3
2 8
133
3 0 3 2
5 3
2 1 0
1
2 6
4 5
3 4
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
i)
5.
1
1 1 1
2
0
1
1
1
1 0
0
1
1
1
1
j)
2
0
1
0
1
1
2
3
1
2
0
1
2
4
1
3
2
2
2
1 1 1 1 1
0
Demostrar que D2 ( K 2 ) { D / D es función determinan te de M 22 ( K ) en K }
Es un K - espacio vectorial de dimensión 1. 6.
Demostrar que si A en una matriz singular, entonces det( A) 0 .
7.
Muestre que si det( AB) 0 , entonces det( A) 0 o det( B) 0 .
8.
Demostrar por inducción sobre r : r
D[ 1 , ,
( j ) i
, , n ]
j 1
r
D[ , , 1
( j ) i
, , n ] , r
j 1 n
9.
Si A [aij ] tal que aij 0 si i j , entonces det( A) aii . i 1
10.
Sea n impar y A M nn ( K ) / A AT , probar que det( A) 0 .
11.
Demostrarla siguiente proposición. Los vectores
v1 , v2 , , vn K n
son
linealmente independientes si y solo si det[v1 , , vn ] 0 . Haciendo uso de la proposición, averiguar cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes:
12.
a)
(2, 3, 16, 8), (1, 1, 1, 1), (3, 9, 8, 81, 27), (5, 25, 625, 125) Q 4
b)
(a, a 2 , a 3 ), (b, b 2 , b 3 ), (c, c 2 , c 3 ) R 3 ; a, b, c 0, a b c .
Verifique las siguientes identidades: 1 x x 2
a)
1 y y 2 ( y x)( z x)( z y) 1 z z 2
b c d b a d c (a 2 b 2 c 2 d 2 ) 2 c d a b d c b a a
b)
134
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------c)
d)
e) 13.
1
1
1
a
b
c (a b)(b c)(c a)
bc
ac
ab
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1 4
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
x y z
2 x
2 x
2 y
y x z
2 y
2 z
2 z
z y x
( x y z )3
Usando inducción demostrar que: 1
1
1
x1
x2
xn
x1n1 x2n1 xnn1
14.
1 0 Calcular D4 1 3
j
xi )
1
2
3
2
siendo e1 , e2 , e3 , e4 vectores canónicos de R 4 .
1
1 . 4 2 1 1 3 2
Dada la matriz 1 0 2 A 3 1 4 5 2 3
Calcule todos los cofactores 16.
( x 1 i n 1 i j
Sea D4 : M nn ( R) R una función determinante tal que: D4 [e1 , e2 , e3 , e4 ] 5 ,
15.
Dada la matriz 1 2 A 3 0
0
3
1
4
0
1 2 4 0 3 1 0
135
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
17.
Calcule todos los cofactores de los elementos del segundo renglón y todos los cofactores de los elementos de la tercera columna. En los ejercicios, evalúe los determinantes haciendo uso cofactores: 4
a)
1
2
0
3
2
0
3
4
0
18.
b)
3 2 1
1 2 0 3 7 1 3 4 5 0 1 1 5 3
c)
4 2 1
1
2
d)
2
2
3
1
0
1
2
1
3
1
4
1
2
3
0
0
0
0
1 3
0
1
2
1
2
2
5
2
3
3
0
0
Dada la matriz 2 3 0 A 4 1 3 2 0 1
Calcular a11 A12 a21 A22 a31 A32 . 19.
Dada la matriz 2 1 3 A 1 2 0 3 2 1
a)
Determine adj( A)
b)
Calcule det( A)
c)
Verifique la propiedad A(adjA) (adjA) A det( A) I 3 .
20.
Sea 2 8 6 A 3 4 1 4 4 5
a)
Determine adj( A)
b)
Calcule det( A)
c)
Verifique la propiedad A(adjA) (adjA) A det( A) I 3 .
21.
En los siguientes ejercicios, calcule las inversas de las matrices dadas, si es que existen, mediante la adjunta. 136
Notas de clase clase de Álgebra Lineal Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
a)
22.
3 2 3 4
4 2 2 0 1 2 1 0 3
b)
c)
2 0 2 1 2 1 1 0
1
3
3
4
5 2 0 2
Utilice determinantes para determinar cuales de las siguientes matrices son no singulares.
a)
23
1 2 3 4
1 2 3 0 1 2 2 3 1
b)
Sea A M nn ( R) , tal que el cofactor Ars
c)
de ars
1 3 2 0
2
0
5
4
1
7
5 2 0 1 2 7
es deferente de cero.
Demostrar que la matriz A(t ) obtenida de A, sustituyendo ars por ars t , tiene determinante: A(t ) A tArs . 24.
Muestre que si A es simétrica, simétrica, entonces entonces adj( A) también es simétrica.
25.
Adj ( A)) ( D( A))n1 . Si A M nn ( R) , demostrar que D( Adj
26.
Dada la transformación T ( , , ) ( x1 , x2 , x3 ) donde: x1 cos cos cos cos , x2 sen cos cos , x3 sen
Obtener el jacobiano de la transformación; es decir, el determinante de la matriz cuya fila i-ésima son las derivadas parciales de la i-ésima función xi respecto de ,
27.
y
.
Para que valores de x, el siguiente determinante es diferente de cero. 2 x 4 2
28.
a)
6 3 1 x 2 1 2 x
Obtener el jacobiano de la transformación f : U R 2 , siendo U R 2 eje eje X tal que f ( x, y) (u, v) tal
b) 29.
que u x y , v
x y
donde x, y 0 . ¿Cuáles son ( x, y) U , tal que J f ( x, y) 0 ?.
Haga uso de los teoremas o corolarios para determinar si los siguientes sistemas homogéneos tienen soluciones no triviales.
137
Notas de clase clase de Álgebra Lineal Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- x 2 y w 0
x 2 y z 0 2 x 3 y z 0
a)
x 2 y 3 z 0
b)
z 2w 0
3 x y 2 z 0
30.
y 2 z w 0
En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema lineal dado mediante la regla de Cramer, en caso de ser posible a)
31.
z 2w 2 y z 3w 2 x y z 2w x y w x
4 y 6 z 2 x 2 z 0 2 x 3 y z 5 2 x
b)
y
4 4 5 4
Determine todos los valores de a para los cuales el sistema lineal ay 0 ax 2 y 0
2 x
tiene: a) 32.
Una única solución
b)
Una infinidad de soluciones
Determine todos los valores de a para los cuales la matriz 2 a 2 a 2 a 2
es no singular. 33.
Utilice la regla de Cramer para determinar todos los valores de a para los cuales el sistema lineal. 2 y 2 z 9 2 x y a 3 x y z 10 x
tiene la solución en la cual y 1.
138
Notas de clase clase de Álgebra Lineal Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
PRODUCTO INTERNO Y ORTOGONALIDAD 1. PRODUCTO INTERNO un espacio vectorial sobre el campo K , donde K R ó DEFINICIÓN 1.1.- Sea V un ter no K C . Llamaremos producto in ter sobre sobre V a a una
aplicación:
, : V V K si satisface las siguientes condiciones: i)
u v, w u, w v, w ; u, v, w V .
ii) u, v v, u ; u, v V , la barra indica la conjugación compleja. iii) au, v au, v y u, av au, v ; a K , u, v V . iv) v, v 0 y v, v 0 v .
. pacio vectori vectori al con pr oducto in ter ter no Al par (V , , ) se le denomina espacio OBSERVACIONES 1.1.1. (1) De la definición 1.1. se observa que , es una aplicación que hace corresponder a cada par de vectores u, v V un escalar real o complejo.
R las condiciones ii) y segunda parte de iii) resultan: u, v v, u y (2) Si K u, av au, v respectivamen r espectivamente. te. EJEMPLO 1.1.2.- Sea V R n
y x, y R n donde x ( x1 , , x n )
e
y ( y1 , , y n ) .
En este espacio definimos: , : R n R n R ( x , y) x , y n
por x, y x1 y1 x n y n xi y i . i 1
Así definida la aplicación , cumple con las condiciones de producto interno. En efecto: Sean a R y x ( x1 , , xn ), y ( y1 , , y n ), z ( z 1 , , z n ) R n n
i)
x z , y ( xi z i ) yi i 1
n
( xi y i z i yi ) i 1
139
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------n
n
i 1
i 1
xi yi z i yi
x, y z , y n
x, y xi yi
ii)
i 1 n
yi xi i 1
y, x n
ax, y (axi ) yi
iii)
i 1 n
a( xi yi ) i 1
n
a xi yi i 1
a x, y Análogamente, n
x, ay xi (ayi ) i 1 n
a( xi yi ) i 1
n
a xi yi i 1
a x, y n
x, x xi xi
iv)
i 1 n
xi 2 0 i 1
Así mismo n
x, x 0 xi 2 0 xi 0 ; i 1, , n x i 1
n
x, y x y es un producto interno. i
i
i 1
EJEMPLO 1.1.3.- Sean V C n , K C y x ( x1 , , xn ) , y ( y1 , , y n ) C n .
140
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Definimos: n
x, y xi yi i 1
La función definida así es un producto interno. Veamos que cumpla las condiciones de la definición: Sean a C y x ( x1 , , xn ), y ( y1 , , yn ), z ( z 1 , , z n ) C n n
x z , y ( xi z i ) y i
i)
i 1 n
( xi y i z i y i ) i 1 n
n
i 1
i 1
xi y i z i y i
x, y z , y n
x, y xi y i
ii)
i 1 n
xi yi i 1 n
yi x i i 1
y, x n
ax, y (axi ) y i
iii)
i 1 n
a( xi y i ) i 1
n
a xi y i i 1
a x, y y
n
x, ay xi (ayi ) i 1 n
x(a y i ) i 1 n
a( xi y i ) i 1
141
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------n
a xi y i i 1
a x, y n
x, x xi x i
iv)
i 1 n
xi 0 2
i 1
n
x, x 0 xi 0 2
i 1
xi 0 ; i 1, 2, , n
xi 0 ; i 1, 2, , n x EJEMPLO 1.1.4.- En el espacio vectorial V R 2 se define: , : R 2 R 2 R como x, y x1 y1 3 x2 y 2 donde x ( x1 , x2 ), y ( y1 , y 2 ) . Averiguar si la aplicación así definida es un producto interno.
SOLUCIÓN Sean a R y x ( x1 , x2 ), y ( y1 , y 2 ), z ( z 1 , z 2 ) R 2 i)
x z , y ( x1 z 1 ) y1 3( x2 z 2 ) y 2 x1 y1 z 1 y1 3 x2 y 2 3 z 2 y 2 ( x1 y1 3 x2 y 2 ) ( z 1 y1 3 z 2 y 2 ) x, y z , y
ii)
x, y x1 y1 3 x 2 y 2 y1 x1 3 y 2 x 2 y, x
iii)
ax, y (ax1 ) y1 3(ax2 ) y 2 a( x1 y1 3 x2 y 2 ) a x, y Análogamente x, ay a x, y
iv) x, x x1 2 3x 2 2 no siempre es mayor que cero. En consecuencia la aplicación x, y x1 y1 3 x2 y 2 no define un producto interno. 142
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
EJEMPLO 1.1.5.- Sea V { f : [0, 1] R / f es continua}, definimos en este espacio vectorial la aplicación: 1
f , g 0 f (t ) g (t )dt Verificar que la aplicación así definida es un producto interno.
SOLUCIÓN Se deja al lector la verificación de las propiedades i), ii) y ii); sólo mostraremos que se verifica iv).
f , f 0 f 0 (por demostrar) Supongamos que f 0 t 0 [0, 1] tal que f (t 0 ) 0 . 1
f , f 0 f (t ) f (t )dt 1
( f (t )) 2 dt 0
1
f (t ) dt 2
0
2
Como f es continua en [0, 1] f (t ) es también continua en [0, 1] . Además f (t 0 )
2
0. 2
Como f (t ) es continua 0 tal que si t (t 0 , t 0 ) , entonces: f (t 0 )
2
0 ; 0 t 1 ...(*)
Antes de proseguir daremos dos propiedades del cálculo elemental: 1° Sea g : [a, b] R . Si g ( x) 0 para todo x [a, b] y [c, d ] [a, b] , entonces:
d
c
b
g ( x)dx
g ( x)dx
a
2° Si g ( x) 0 para todo x [c, d ] (de 1°), se tiene que:
d
c
g ( x)dx 0
Luego, regresando a (*), tenemos que: 0
t 0
t 0
2
f (t ) dt
1
0
2
f ( x) dt 0
lo cual es una contradicción. La contradicción proviene del hecho de haber supuesto que f 0 , luego concluimos que f 0 .
143
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
EJEMPLO 1.1.6.- Consideremos el espacio vectorial ( R 2 , , R, ·) y la matriz a d simétrica A . d c Definimos:
, : R 2 R 2 R
a d y1 Tal que x, y [ x1 x2 ] y , donde x ( x1 , x2 ), y ( y1 , y 2 ) . d c 2 Determinar las condiciones para que la función así definida sea un producto interno.
SOLUCIÓN i), ii) y iii) se verifican sin ninguna dificultad (cualquiera sean los valores de a, c y d ). Analicemos qué condiciones se debe de cumplir para
que se verifique iv).
a d x1 x, x [ x1 x2 ] d c x2
ax12 2dx1 x2 cx2 2 supongamos que a 0 , entonces: 2 2 (ac d 2 ) x2 d ax1 2dx1 x2 cx2 a x1 x2 2 a a 2
2
(*)
Luego de (*) , define un producto interno si y solo si a 0 ac d 2 0 .
DEFINICIÓN 1.2.- Sea V un espacio vectorial sobre K con producto interno ( , ). La nor ma de un vector v V denotado por v , definimos como: v
v, v ; v, v 0
EJEMPLO 1.2.1.- En R 2 , v (1, 3)
v, v 1 9 10 v
v, v 10
EJEMPLO 1.2.2.- Sea V { f : [0, 1] R / f es continua}. 1
1
f , g 0 f (t ) g (t )dt , f , f 0 f 2 (t )dt f
f , f
Caso particular. Sea f ( x) e x f 2 ( x) e 2 x
144
1
f (t )dt 0
2
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------1
e
f
2x
0
dx 1
(e 2 0 1
1
2
2x
(e 2
1)
TEOREMA 1.3.- Sea V espacio vectorial sobre K con producto interno. Entonces se cumple: i)
av
ii)
v
a
v ;
0 y
v
iii) u, v u iv)
uv
a K , v V .
0 v . v ;
u, v V (desigualdad de Cauchy-Schwartz)
u v ; u, v V (desigualdad triangular)
PRUEBA i)
av, av
av
aav, v 2
a v, v
a v, v a
v
i) Es consecuencia directa de la definición de producto interno. ii) Probaremos que u, v u
v ;
u, v V .
Caso 1.- Si u
u, v , v 0 , v 0 Caso 2.-Si u Definimos w v
v, u u
2
u
Afirmación.- w , u 0 . En efecto: w , u v
v, u u
145
2
u, u
v
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------v, u
v, u
u, u
2
u
v, u
v, u
2
u
2
u
0 Luego 0 w
2
v, u
v
2
u
v
u, v
u
v, u u
v, v
v, u
u
v
u, v
2
2
v, u u
v, u
u , v
2
u
v, u u
2
2
u,
v, u 2
u
v
v, u u
2
u
u, u
0 (por la afirmación)
v, u
v, v
v
2
u, v
2
u
2
v, u u
2
tomando los extremos se tiene: 0 v
2
v, u u
2
2
v, u u
2
v
2
2
2
v, u ( u v ) 2
u, v uv
iv) Probaremos ahora que: uv
2
u
v
u v
u v , u v
u, u v v, u v u, u u, v v, u v, v u
2
v
2
u, v u, v
u
2
v
2
2 Re (u, v)
(1)
u
2
v
2
2 u, v
(2)
146
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
u
2
v
u v
2
2 u v
(3)
2
Luego, extrayendo la raíz cuadrada a ambos miembros de la desigualdad se tiene: uv
u v
NOTA.- En la demostración de iv) se ha hecho uso de: (1)
z z 2 Re( z ), z C
(2)
Re( z ) z ,
(3)
La parte iii) del teorema.
z C
EJERCICIOS 1. Sean x ( x1 , x2 ), y ( y1 , y 2 ) R 2 . Averiguar si las aplicaciones dadas a continuación definen un producto interno sobre R 2 : a)
f ( x, y) x1 y1 3 x2 y2
b)
f ( x, y) x1 y1 2 x1 y 2
2 x2 y1 5 x2 y 2
2. Sean x ( x1 , x2 ), y ( y1 , y 2 ) R 2 . Hallar los valores de k para que la aplicación f ( x, y) x1 y1 3 x1 y2 3 x2 y1 kx2 y2 defina un producto interno sobre R 2 . 3. Dados u (u1 , u 2 ) y v (v1 , v2 ) elementos de C 2 . Averiguar si la aplicación f (u, v) u1 v1 (1 i)u1 v2
(1 i)u2 v1 3u2 v2
define un producto interno sobre C 2 . En caso de que resulte ser producto interno, hallar la norma de u (2 3i , 1 2i) C 2 .
2. ORTOGONALIDAD – CONJUNTO ORTOGONAL – CONJUNTO ORTONORMAL DEFINICIONES 2.1.- Sea (V , , K , ·) un espacio vectorial con producto interno donde K R ó K C . i)
Dados u, v V , se dice que u y v son ortogonales si y solo si
u, v 0 NOTACIÓN.- El hecho que u y v son ortogonales se denota por “ u v ”. 147
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------ii)
Sea W V un subconjunto, se denomina conj unto or togonal a W al conjunto denotado por W que se define como W
{ v V / v, w 0, w W }
iii) Sea W V un subconjunto, se dice W es un conj unto ortogonal si y solo si
u, v W tal que u v implica que u, v 0 . iii) Sea W V un subconjunto, se dice que W es ortonormal si y solo si W es ortogonal y u 1, u W .
OBSERVACIÓN 2.1.1.- Sea V un espacio vectorial con producto interno. Si W es un subespacio de V , entonces W es también un subespacio de V . Se deja al lector, a modo de ejercicio, verificar la afirmación de la observación.
EJEMPLOS 2.2. (1) Sea ( R 2 , , R, ·) y u, v R 2 donde u ( x, y) y v ( y, x) con el producto interno usual.
u, v xy xy 0
u v
(2) Sea ( R 2 , , R, ·), u ( x1 , x2 ), v ( y1 , y 2 ) R 2 , se define: , : R 2 R 2 R (u , v) u , v tal que u, v x1 y1 x2 y1 x1 y2 4 x2 y2 . i) Verificar que la función así definida es un producto interno en R 2 . i) Establecer la condición necesaria y suficiente para que ( x, y ) y ( y, x) sean ortogonales según el producto interno definido.
SOLUCIÓN i) Ejercicio. ii) ( x, y), ( y, x) x( y) ( y)( y) ( x)( x) 4( y)(x) 0
xy y 2 x 2 4 xy 0
y 2 3 xy x 2 0 entonces
y
3 x 9 x 2 4( x 2 ) 2
3 x x 13 2
148
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 13 x 2 1
Luego ( x, y) ( y, x) y (3 13) x 2
(3) Sea el espacio vectorial: ( R n , , R, ·) y W {(1, 0, , 0), (0, 1, , 0), , (0, 0, , 1)} W es un
conjunto ortonormal pues ei , e j i j .
(4) Sea el espacio vectorial
V { f : [0, 1] R / f es continua} con producto
interno definido como: 1
f , g 0 f (t ) g (t )dt Considérese el conjunto: W { h(t ) 1, f n (t ) 2 cos 2 nt, g n (t ) 2sen 2 nt / n N }
Probar que W es un conjunto infinito ortonormal.
PRUEBA i) Fijando h(t ) 1 . Primero hagamos variar f n (t ) 1
h, f n 0 1 f (t )dt 1
0 2 cos 2 nt dt 1
(sen 2n t 2n 0 2
2 2n 2 2n
(sen 2n sen0) (0 0)
Luego h, f n 0, n N . Ahora hagamos variar g n (t ) 1
h, g n 0 1 g (t )dt 1
0 2 sen 2 nt dt
149
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------1
(cos 2 nt 2n 0 2
2 2n
2 2n
(cos 2n cos 0) (1 1)
0 Luego h, g n (t ) 0, n N . ii) Sean f m (t ), g n (t ) tal que m n . 1
f n , g n 0 f n (t ) g n (t )dt 1
0 2(cos 2n t ) (sen 2 nt) dt 1
0 sen 4 nt dt 1
(cos 4 nt 4 n 0 1
1 4 n
1 4 n
1 4 n
(cos 4 n cos 0)
(1 1)
(0)
0 Luego
f n , g n 0, n N .
iii) Sea f m (t ), g n (t ) tal que m n . 1
f m , g n 0 f m (t ) g n (t )dt 1
0 2(cos 2m t ) (sen 2 nt) dt
(*)
Haciendo uso de la identidad trigonométrica: sen(2n t)cos(2m t)
1 2
[sen 2 (n m)t sen 2 (n m)t ]
Reemplazando (**) en (*) se tiene 150
(**)
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------1
f m , g n 0 [sen 2 (n m)t sen 2 (n m)t ] 1
1
0 sen 2 (n m)tdt 0 sen 2 (n m)tdt 1
1
1 ( cos 2 (n m)t ( cos 2 (n m)t 2 (n m) 2 (n m) 0 0 1
1
2 (n m)
(1 1)
1 2 (n m)
(1 1)
0 Luego f n , g n 0, n m . iv) Ahora hay que demostrar que f n 1 y g n 1, n N . a)
f n , f n
f n 2
f n
f n , f n 1
f n 2 (t )dt 0
1
20 cos 2 2 nt dt 1
20
1 2
1
(1 cos 2 4 nt )dt 1
0 dt 0 cos 4 nt dt 1
1
1 t ( sen 4 nt 0 4 n 0
1 0 1 Luego f n b)
2
1 , en consecuencia f n 1, n N .
g n g n
2
g n , g n g n , g n 1
0 g n 2 (t )dt 1
20 sen 2 2 nt dt
151
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------1
1
0 dt 0 cos 4 nt dt 1 0 1 Luego g n
2
1 , en consecuencia g n 1, n N .
De i), ii), iii) y iv) se concluye que: W {1, f n (t ) 2 cos 2 nt , g n (t ) 2sen 2 nt / n N }
es un conjunto ortonormal infinito.
TEOREMA 2.3.- Sea V un espacio vectorial con producto interno y W
vi
{v1 , v 2 , ,
un
v n } V
conjunto
ortogonal
donde
, i 1, 2, , n . W es linealmente independiente sobre K .
PRUEBA Sea
n
a v i
i
.
i 1
Fijando k , donde 1 k n y considerando v k . Calculando: n
a v , v i
i
n
, vk 0 ai vi , vk 0
k
i 1
(1)
i 1
Como W es ortogonal vi , vk 0, i k , luego de (1) se tiene: n
a v , v a v , v 0 i
i
k
k
k
k
i 1
ya que vk , y vk , vk vk
{v1 , v2 , , vn } es
2
0 . Entonces ak 0, 1 k n .
linealmente independiente.
COROLARIO 2.3.1.- Sea V un espacio vectorial con producto interno, W {v1 , v2 , , vn } V un conjunto ortogonal donde vi n
Si v ai vi entonces ak
v, vk vk
i 1
2
, 1 k n .
PRUEBA v, vk
n
a v , v i i
k
, 1 k n
i 1
152
, i 1, 2, , n .
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------n
ai vi , vk i 1
ak vk , vk ak vk
ak
2
v, vk vk
2
OBSERVACIONES 2.3.2. (1) Si W es ortonormal se tiene que ak v, vk , 1 k n . (2) Si v es una combinación lineal de los elementos de W . Entonces: v
n
v, vi
i 1
vi
2
vi
EJEMPLO 2.3.3.- Sea ( R 3 , , R, ·) y W {(3, 0, 4), (4, 0, 3), (0, 1, 0)} un conjunto ortogonal de R 3 . Expresar (3, 1, 2) como una combinación lineal de los elementos de W .
SOLUCIÓN (3, 1, 2) a1 (3, 0, 4) a2 (4, 0, 3) a3 (0, 1, 0)}
donde haciendo uso de la observación 2.3.2. parte (2) tenemos: a1
a2
a3
(3, 1, 2), (3, 0, 4) (3, 0, 4)
17 25
(3, 1, 2), (4, 0, 3) 6 2 25 (4, 0, 3) (3, 1, 2), (0, 1, 0)
(3, 1, 2) 17 (3, 0, 4) 25
2
(0, 1, 0) 6 25
2
1
(4, 0, 3) 1(0, 1, 0)
TEOREMA 2.4.- (Proceso de ortogonalización de Gram – Schmidt) Sea V un espacio vectorial con producto interno, de dimensión finita (dim K V n) . Si v1 , v2 , , vm (m n) son vectores linealmente independientes de V . Entonces se puede construir vectores ortogonales w1 , w2 , , wm V tales que para cada
153
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------k 1, 2, , m el conjunto {v1 , v2 , , vk } sea una base del subespacio generado
por w1 , w2 , , wk . Además {w1 , w2 , , wk } es base de L{v1 , v2 , , vk } .
PRUEBA Se define la base por inducción. Sea
w1
v1
w2
v2
v2 , w1 w1
2
w1
w1 , w2 0 , es decir w1 w2 . AFIRMACIÓN 1.- w2 . En efecto, suponiendo que w2 se tiene que v2
v2 , w1 w1
2
w1
lo cual es
contradictorio con el hecho de que v1 w1 y v son linealmente independientes. 2
Se construye w3
v3 , w2
v3
w2
2
w2
v3 , w1
w1
2
w1
AFIRMACIÓN 2.- w3 . En efecto, pues si se supone que w3 , se tendría v3
v3 , w2 w2
2
w2
v3 , w1 2
w1
w1
es decir v sería una combinación lineal de w y w , pero w y w son 3
1
2
1
2
combinaciones lineales de v y v , entonces v sería una combinación lineal de v 1
2
3
1
y v que es una contradicción, pues {v1 , v2 , v3 } son linealmente independientes. 2
Con lo que queda probada la afirmación 2. Suponiendo que se han construido w1 , w2 , , wk vectores ortogonales, tales que {w1 , w2 , , wk } es base de L{v1 , v2 , , vk } ; 1 k m .
Ahora se construye el vector wk 1 del modo siguiente wk 1
vk 1
vk 1 , wk wk
2
wk
vk 1 , w1 w1
AFIRMACIÓN 3.- wk 1 . Pues si se supone que wk 1 , de (1) se tendría 154
2
w1
(1)
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------k
vk 1
vk 1 , wi wi
i 1
2
wi
(2)
pero cada wi es combinación lineal de {v1 , v2 , , vk } , entonces de (2) se concluye que vk 1 es también una combinación lineal de los vectores v1 , v2 , , vk lo que es una contradicción, pues {v1 , v2 , , vk 1} son linealmente independientes.
wk 1
AFIRMACIÓN 4.- wk 1, w j 0, j 1, 2, , k . En efecto, sea 1 j0 k , donde j es fijo. 0
k
wk 1 , w j vk 1 0
vk 1 , wi wi
i 1
k
vk 1 , w j 0
i 1
2
wi , w j0
vk 1 , wi wi
2
wi , w j 0
vk 1 , w j vk 1 , w j 0
0
0 pues
0 wi , w j w j 0
0
j0 si i j0 , 1 j 0 k si i
2
Luego se tiene wk 1 , w j 0, 1 j k . Entonces {w1 , w2 , , wk 1} es un conjunto ortogonal y en consecuencia linealmente independiente por el teorema 2.3 y por lo tanto base de L{v1 , v2 , , vk 1} .
Haciendo uso de (1) se puede proseguir hasta obtener {w1 , w2 , , wm } conjunto ortogonal y por consiguiente base de L{v1 , v2 , , vm } .
COROLARIO 2.4.1.- Todo espacio vectorial con producto interno de dimensión finita tiene una base ortonormal.
PRUEBA Sea V un espacio vectorial tal que dim K V n . {v1 , v2 , , vn } una base de V , entonces por el proceso de ortogonalización de Gram – Schmidt existen w1 , w2 , , wn vectores ortogonales, y por lo tanto {w1 , w2 , , wn } es una base de V .
155
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Se construye u i
wi wi
, luego ui 1 .
{u1 , u 2 , , u n } es una base ortonormal
para V .
EJEMPLO 2.4.2.- Ortogonalizar la base {(1, 3) , (2 , 1)} de R 2 . SOLUCIÓN w1 (1, 3)
Luego {(1, 3),
1
1 (1, 3), 10
1
2
(2, 1)
w2
(2, 1) (1, 3) (3, 1)
(1, 3)
(3, 1)}
10
(2, 1), (1, 3)
w2
(3,
2
1
1
2
2
(1, 3)
es una base ortogonal para R 2 y
1) es una base ortonormal para R 2 .
EJEMPLO 2.4.3.- Hallar una base ortonormal a partir de la base {(1, 0, 1), (2,
1, 1), (1, 2, 1)} de R 3 .
SOLUCIÓN w1 (1, 0, 1) w2
v2
v2 , w1 w1
2
(2, 1, 1)
w1
(2, 1, 1), (1, 0, 1) (1, 0, 1)
2
(1, 0, 1)
3
(2, 1, 1) (1, 0, 1) 2
w2 w3
1
(1, 2, 1) 2
v3
v3 , w2 w2
2
w2
2
v3 , w1 w1
2
w1
(1, 2 , 1) (1, 2 , 1) (1, 0 , 1) 3
w3
2
(1, 1, 1) 3
156
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------{(1, 0, 1) ,
1 2
(1,
2, 1),
2 3
(1, 1,
1)} es una base ortogonal de R 3 .
1 1 1 3 ( 1 , 0 , 1 ), ( 1 , 2 , 1 ), ( 1 , 1 , 1 ) es una base ortonormal de R . 6 3 2
DEFINICIÓN 2.5.- Sea V un espacio vectorial con producto interno y W cualquier subconjunto de V . Se llama complemento ortogonal de W al conjunto W definido en 2.1., ii) (que es el conjunto de todos los vectores de V que son ortogonales a todo vector de W ).
TEOREMA 2.6.- Sea V un espacio vectorial sobre K finito dimensional (dim K V n) con producto interno ,
.
Para cualquier subespacio W V se cumple que:
V W W
DEMOSTRACIÓN i) Si W { } , entonces V W y se cumple que V W W . i) Si { } W V . Sea {v1 , v2 , , vn } una base de V , tal que {v1 , v2 , , vm } es una base de W donde m n.
Por el proceso de ortogonalización de Gram – Schmitd, existe {w1 , w2 , , wm , , wn } base
ortonormal de V , entonces {w1 , w2 ,, wm } es una
base ortonormal de W en virtud del teorema 2.4.
AFIRMACIÓN.- W L{wm1, wm2 ,, wn } . PRUEBA DE LA AFIRMACIÓN a) Tenemos que w j , wi 0 para todo j i , luego wm1 , wm2 ,, wn pertenecen a W .
L{wm1 , wm 2 , , wn } W n
b) Sea u W V , entonces u ai wi
(*)
i 1
(pues {w1 , w2 , , wm , , wn } es una base ortonormal de V )
ai u, wi , pero u W u es ortogornal a cualquier elemento de W , en particular lo es con w1 , w2 , , wm a1 a2 am 0 .
157
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- de (*) u
n
u , w w i
i
i m 1
u L{wm1 , wm2 ,, wn }
W
L{wm1 , wm2 ,, wn }
c) De a) y b) se verifica la afirmación: W
L{wm1 , wm2 , , wn }
De la afirmación concluimos que: V W W
EJEMPLO 2.6.1.- Hallar el complemento ortogonal de W { ( x, y, z ) R 3 / 2 x y z 0} .
SOLUCIÓN W {( x, y, z ) R 3 / 2 x y z 0}
{( x, y, 2 x y) / x, y R } {( x, 0, 2 x) (0, y, y) / x, y R } W L{(1, 0, 2), (0, 1, 1)}
extendemos la base de W a una base para R 3 . Sea {(1, 0, 2), (0, 1, 1), (1, 0, 1)} la extensión. Ahora ortogonalizamos mediante el proceso de Gram – Schmitd: w1 (1, 0, 2)
(0, 1, 1), (1, 0, 2)
w2
(0, 1, 1)
w2
(2, 5, 1)
w3
(1, 0, 1)
(1, 0, 2)
(1, 0, 2)
1
5
(1, 0, 1), 1 / 5 (2, 5, 1) 1 1 5
w3
2
2
(2, 5, 1)
5
(2, 5, 1)
(1, 0, 1), (1, 0, 2) (1, 0, 2)
1
(2, 1, 1) 6
W
158
L{(2, 1, 1)}
2
(1, 0, 2)
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
EJERCICIOS 1. Mediante el proceso de ortogonalización de Gram – Schmidt, ortogonalizar la base {(1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)} de R 3 . 2. Obtener una base de vectores ortogonales para el espacio vectorial V L{(1, 2,
1, 0), (1, 0, 2, 1), (0, 1, 0, 1)} .
3. Sea V el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que dos con coeficientes en R e indeterminada en x. Si se considera el producto usual de las funciones: i)
Hallar una base del subespacio W ortogonal a f ( x) 2x 1 .
ii)
Aplicar el proceso de ortogonalización de Gram – Schmidt a la base {1, x, x } para obtener una base 2
ortogonal de V .
4. Probar el teorema de Pitágoras. Es decir, si u, v V , entonces: uv
2
u
2
v
2
u, v 0
5. En el espacio vectorial (C 3 , , C , ·) . Ortonormalizar la base: {(1, 1, 1), (i, i,
i), (1 i, 0, 2)}
6. Hallar una base ortonormal del subespacio de (C 3 , , C , ·) generado por los vectores u (1, i, 1)) y v (1 i, 0, 2) . 7. En el espacio vectorial ( R nn , , R, ·) . a)
Mostrar que la aplicación:
, : R nn R nn R donde A , B Tr ( B T A) define un producto interno en R nn .
b)
Si n 2 , probar que el conjunto: 1 0 0 1 0 0 0 0 , 0 0 , 1 0 , 0 1 0 0 es una base ortonormal de R nn .
8. Para cualquier espacio vectorial V con producto interno, probar: a)
{ }
V
b)
V
{ }
9. Sea U {( x, y, z ) R 3 / 3 x 2 y z } . Hallar el complemento ortogonal de U en R 3 . 159
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------10. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, con producto interno. Si U y W son subespacios de V , probar que: a)
(U W )
U W
b)
(U W )
U W
11. Sea R n U W , donde U y W son subespacios ortogonales. Si para todo v R n , v u w con u U
y w W ; llamaremos a u proyección ortogonal
de v sobr e U y a w proyección ortogonal de v sobre W . Hallar
la proyección
ortogonal de v (1, 2, 3, 0) sobre el subespacio U I {(0, 1, 2, 0), (0, 2, 1, 0)} .
160
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
VALORES Y VECTORES PROPIOS 1. VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL DEFINICIÓN 1.1.- Dado V un K -espacio espacio vectorial y un endomorfismo T : V V , diremos que
K es
un valor
propio de T si
y solo si existe un vector no
nulo v V tal que T (v) v
(1)
El vector no nulo que satisface la relación (1) se denomina al valor propio
vector propio de T asociado
.
NOTA.- También se utilizan las expresiones de denominar al valor propio y el de
auto valor y val or car acter í stico para
auto vector y vector car acter í stico para
el vector
propio.
EJEMPLO 1.1.1.- Sea (V , , K , ) un espacio vectorial, consideremos el endomorfismo identidad I (v) v ; v V
1 es un valor propio de I .
EJEMPLO 1.1.2.- En el espacio vectorial R 2 sobre R definimos el endomorfismo T : R 2 R 2 / T ( x, y) (2 x y, 3 x 4 y)
Hallar los valores y vectores propios de T .
SOLUCIÓN Hay que hallar
R tal
que T ( x, y) ( x, y)
(2 x y, 3 x 4 y) ( x, y)
2 x y x
( 2) x y 0 3 x 4 y y 3 x ( 4 ) y 0
(1)
el sistema homogéneo (1) tendrá soluciones distintas de la trivial (que son las que nos interesan, por ser los vectores propios vectores no nulos) si el determinante de la matriz asociada al sistema es igual a cero; esto es 2
3 2
3 2
1 0 4 1 2 6 5 0 4
6 5 0 ( 1)( 5) 0 1 1,
161
2
5
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Luego, los valores propios de T son:
1
1 y
2
5.
Ahora calculando los vectores propios i)
Hallando el vector propio v asociado al valor propio 1
Reemplazando el valor de
1
1 1
1 en la ecuación (1) se tiene x y 0 3 x 3 y 0
nótese que las dos ecuaciones son equivalentes, entonces trabajando con la primera ecuación se tiene x y 0 y x
la variable y depende de x, entonces v1 ( x , x) x(1, 1) , x puede tomar cualquier valor con excepción de cero, para x 1 se tiene v1 (1, 1) y verifica T (1, 1) (1, 1) 1(1, 1)
ii)
Hallando el vector propio v asociado al valor propio 2
2
5
Procediendo de manera análoga que en la parte i) reemplazamos el valor de 2
5 en la ecuación (1) se tiene y 0 3 x y 0 3 x
como en la parte i) las dos ecuaciones son equivalentes, entonces trabajando con la primera ecuación se tiene 3 x y 0 y 3 x
la variable y depende de x, entonces , para x 1 se tiene v2 (1, 3) y y verifica T (1, 3) (5,15) 5(1, 3)
NOTA.- Dados V un K -espacio vectorial, T : V V un endomorfismo y valor propio de llamado
T .
espectro de T
denomina
El conjunto
(T )
{ K /
es
un
un valor propio de T } es
y E (T , ) { v V / T (v) v } es un subespacio de V , y se
espacio pr opio o auto espacio de
T
asociado al valor propio
referencia al ejemplo anterior se tiene (T )
K
{1, 5}
E (T , 1) { v R 2 / T (v) v } L{ (1, 1)} E (T , 5) { v R 2 / T (v) 5v } L{ (1, 3)}
162
y
.
En
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
EJEMPLO 1.1.3.- Sea C 2 el espacio vectorial sobre C y la transformación lineal T : C 2 C 2 definida como T ( x, y) ( x 2 y, x y)
Hallar los valores y vectores propios de T .
SOLUCIÓN Hay que hallar
C tal
que T ( x, y) ( x, y)
( x 2 y, x y) ( x, y) x 2 y x
(1 ) x 2 y 0 x y y x ( 1 ) y 0
(1)
el sistema homogéneo (1) tendrá soluciones distintas de la trivial (que son las que nos interesan, por ser los valores propios vectores no nulos) si el determinante de la matriz asociada al sistema es igual a cero; esto es 1 1 1 1 2
2 0 (1 ) 2 (1 )(1 ) 2 2 1 0 (1 )
1 0 i
Luego, los valores propios de T son:
1
i y
2
i.
Ahora hallando los vectores propios i)
Hallando el vector propio v asociado al valor propio 1
Reemplazando el valor de
1
1
i
i en la ecuación (1) se tiene (1 i ) x 2 y 0 x (1 i) y 0
las dos ecuaciones son equivalentes, entonces trabajando con la primera ecuación se tiene (1 i ) x 2 y 0 y
1 2
(1 i) x
1
1
2
2
la variable y depende de x, entonces v1 ( x , (1 i)) x(1, (1 i)) , para x 2 se tiene v1 (2 , 1 i) y verifica T (2 ,1 i) i(2,1 i)
163
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------en efecto T (2 , 1 i) (2 2(1 i), 2 (1 i)) (2i , 1 i) i(2 , 1 i)
ii)
Hallando el vector propio v asociado al valor propio 2
Reemplazando el valor de
2
2
i
i en la ecuación (1) se tiene (1 i) x 2 y 0 x (1 i) y 0
nótese que las dos ecuaciones son equivalentes, entonces trabajando con la primera ecuación se tiene (1 i ) x 2 y 0 y
1 2
(1 i) x
1
1
2
2
la variable y depende de x, entonces v2 ( x, (1 i) x) x(1, (1 i)) , para x 2 se tiene y 1 i y en consecuencia v 2 (2 , 1 i )
y verifica T (2 ,1 i) i(2,1 i)
en efecto T (2 , 1 i) (2 2(1 i), 2 (1 i)) (2i , 1 i) i(2 , 1 i )
OBSERVACIONES 1.2 (1) La existencia de valores propios de un endomorfismo depende del campo de escalares sobre el cual está definido el espacio vectorial, pues si consideramos el espacio vectorial (C 2 , , R, ) y la transformación lineal T : C 2 C 2 definida en el ejemplo 1.1.3 T ( x, y) ( x 2 y, x y)
no tiene valores propios en R ya que: 2
1 0 , R
(2) Sean V un espacio vectorial sobre K de dimensión finita, T : V V un endomorfismo y
K un
valor propio de T . El conjunto
E (T , ) { v V / T (v) v }
es un subespacio de V , llamado valor propio
subespacio propio
.
164
o
auto espacio asociado
al
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------(3) Si A es la matriz asociada del endomorfismo T : V V respecto a una base
B
entonces, el det(T I ) se define como det(T I ) det( A I )
donde I debe entenderse como el automorfismo identidad al lado izquierdo y como la matriz identidad al lado derecho.
PROPOSICIÓN 1.3.- Sea V un K -espacio vectorial de dimensión finita y el endomorfismo T : V V . Las siguientes afirmaciones son equivalentes: i)
K ,
es un valor propio de T .
ii) T I es singular (no invertible). iii) det(T I ) 0 .
PRUEBA i) ii) Como
K es
valor propio de T , entonces existe un vector no nulo v V
tal que T (v) v T (v) I (v) , donde I es el endomorfismo identidad (T I )(v) , por ser T I un endomorfismo
Nu(T I ) { } , pues al ser v un vector propio es diferente de
T I es singular ii) iii) es obvio. iii) i) Tenemos que det(T I ) 0 T I es singular Nu(T I ) { } v V tal que (T I )(v) T (v) v
es un valor propio de T . 2. VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ DEFINICIÓN 2.1.- Se dice que el escalar n
A K n
es un
valor propio de una matriz
si y solo si existe un vector no nulo v K n1 tal que Av v
(1)
el vector no nulo v K n1 que satisface la relación (1) se denomina asociado al valor propio
.
165
vector propio de A
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
NOTA.- De manera análoga que para el caso de las transformaciones lineales, se utilizan las expresiones de
auto valor y val or car acter í stico para
propio y el de auto vector y vector
denominar al valor
car acter í stico para el vector propio de una matriz.
EJEMPLO 2.1.1.- Sea A K nn una matriz diagonal, cualquier vector canónico ei K n1 donde i 1, 2,, n es un vector propio de A.
Pues para: d 1 0 A 0
0
d 2
0
0
d n 0
se tiene que: d 1 0 Aei 0
0
d 2
0
0 0 0 0 1 d d e i i i
d n 0
0
Los valores propios de A son los elementos de la diagonal. 2 1
EJEMPLO 2.1.2.-Hallar los valores y vectores propios para la matriz A . 3 4 SOLUCIÓN R
es un valor propio de de A, si existe un vector v R n1 tal que Av v . v Av ( I A)v 0 2 1 x 0 2 3 0 3 4 y 0
2
3
1 1,
1 x 0 0 4 y
1 0 2 6 5 0 ( 1)( 5) 0 4 2
5
Los vectores propios asociados a los valores propios 1 , 1
v1
1 v2 3
166
1
1 y
2
5 son:
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------En efecto, verificando se tiene 2 Av1 3
1 1
1 1 2 1 1 5 1 1 Av 5 y 2 1 3 4 3 15 3 4 1 1
El espacio propio de A correspondiente al valor propio
lo denotamos por
E ( A, ) { v K n 1 / Av v}
Nótese que los valores propios de la transformación lineal dado en el ejemplo 1.2.2 2 1
T : R 2 R 2 / T ( x, y ) (2 x y, 3 x 4 y )
y la matriz A dada en el ejemplo 3 4
2.1.2 son los mismos. Este hecho no debe sorprender, puesto que A es la matriz asociada a la transformación lineal T respecto a la base canónica de R 2 . La relación entre el espacio propio de T L(V ) y el espacio propio de la matriz asociada a T respecto a una base
B está
dada por siguiente proposición.
PROPOSICIÓN.- Sea V un K -espacio vectorial de dimensión finita, ordenada de V . Si T L(V ) y
K
v E (T ,
B una
base
un autovalor de T , entonces )
[ v ]B E ([T ]B , )
PRUEBA )
Asumiendo que v E (T , ) , hay que demostrar [ v ]B E ([T ]B , ) v E (T ,
)
T (v) v
por definición
[T (v)]B [ v]B [v]B [T (v)]B [v]B
tomando extremos
[T ]B [v]B [v]B [ v ]B E ([T ]B , ) )
[ v ]B E ([T ]B ,
Recíprocamente, asumiendo que v E (T , ) .
[ v ]B E ([ T ]B , ) [T ]B [ v]B [v]B
[T ]B [ v]B [v]B 0 [T (v)]B [ v]B 0 [T (v) v]B 0 T (v) v 0 T (v) v v E (T , )
167
)
hay que probar que
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
OBSERVACIONES (1)
Existe un solo valor propio asociado a un vector propio v. En efecto, suponiendo que
1 y 2 son
los valores propios correspondientes al
valor propio v, entonces se tiene que T (v) 1v 2 v
Por definición de valor propio
1v 2 v ( 1 2 )v
Como 1
por
definición
de
vector
v ,
propio
se
tiene
que
2 1 2 .
Lo recíproco no es cierto, pues para un valor propio pueden existir infinitos vectores propios. (2)
Si bien es cierto que la relación T (v) v es válida para v y cualquier ,
la definición de vector propio excluye al vector cero. Esto se justifica por
tener que existir un solo valor propio
asociado
al vector propio v.
NOTA.- La proposición 1.3, en términos de matrices, puede ser enunciada como: cualquiera de las afirmaciones siguientes, son equivalentes i)
K ,
es un valor propio de A K nn .
ii) A I es singular (no invertible). iii) det( A I ) 0 A continuación veremos más ejemplos sobre valores propios y vectores propios.
EJEMPLO.- Sea el endomorfismo T :V V tal que T (v) av , donde a es un v V
escalar fijo. Nótese, que todo vector
con
v
es un vector propio
correspondiente al valor propio a.
EJEMPLO [Reflexión sobre el plano XY ] Sea el endomorfismo T : R 3 R 3 tal que T ( x, y, z ) ( x, y, z ) Calculando los valores propios de T T ( x, y, z ) ( x, y, z ) ( x, y, z )
( x, y, z ) ( x, y, z ) (( 1) x, ( 1) y, ( 1) z ) (0, 0, 0)
168
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0 ( 1) x ( 1) y 0 ( 1) z 0 1
0
0
0
1
0
0
0
1
( 1) 2 ( 1)
( 1) 2 ( 1) 0 1, 1
Luego los valores propios de T son
1 de
multiplicidad algebraica igual a 2 y
1
Para el valor propio
1 los
vectores propios están contenidos en el plano XY esto es,
T ( x, y, 0) 1( x, y, 0) . E (T , 1) { ( x, y, z ) R 3 / T ( x, y, z ) 1( x, y, z ) }
{ ( x, y, z ) R 3 / ( x, y, z ) 1( x, y, z ) } { ( x, y, z ) R 3 / z 0}
L{ (1, 0, 0), (0, 1, 0) }
Para el valor propio
1 los vectores propios están contenidos en el eje Z esto es,
T (0, 0, z ) 1(0, 0, z ) . E (T , 1) { ( x, y, z ) R 3 / T ( x, y, z ) 1( x, y, z ) }
{ ( x, y, z ) R 3 / ( x, y, z ) ( x, y, z ) } { ( x, y, z ) R 3 / x y 0} { ( x, y, z ) R 3 / x y 0}
{ (0, 0, z ) / z R } L{ (0, 0, 1) }
Nótese que R 3 E (T , 1) E (T , 1)
EJEMPLO [Rotación en el plano] Consideramos dos situaciones i)
Para V C con K C Todo z C donde z 0 se puede expresar como z rei r (cos i sen )
Definiendo, T : C C / T ( z ) rei (
169
)
rei e i e i z
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Donde T actúa sobre z haciéndolo girar un ángulo e
es un vector propio para el valor propio
ii)
e i
.
no es un número real salvo el caso en
i
En este caso todo z 0
c o s i s e n . El valor
n , n Z .
Para V C con K R La rotación T ( z ) ei z admite valores propios únicamente si
En consecuencia para
n , n Z , T
n , n Z .
no tiene valores propios reales. Como
ya se vio en un ejemplo anterior la existencia de valores propios depende de la elección del campo.
EJEMPLO [El operador derivada] Dado el espacio vectorial D { f : R R / f es una función que admite derivada} , se define el endomorfismo T : D D / T ( f ) f . Los vectores propios de T son todas las funciones f D no nulas que satisfacen la ecuación T ( f ) f f f
para algún
R .
(1)
La relación (1) es una ecuación diferencial de primer orden
f f
f ( x)
f ( x) dx dx
ln( f ( x)) x ln C f ( x) e ( x ln C ) e x e ln C f ( x) Ce x , donde C es una constante arbitraria.
Luego los vectores propios de T son todas las funciones exponenciales de la forma f ( x) C e x con C 0 T ( f ( x)) (Ce x ) C e x f ( x)
El valor propio correspondiente a f ( x) C e x es
.
EJEMPLO [El operador integración] Sea V { f : [a , b] R / f es continua } Definiendo T : V V f g T ( f )
x
donde g ( x) a f (t )dt , a x b
Suponiendo que existieran las funciones propias para T , serian las satisfacen la ecuación
170
f V
que
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- F ( x)
para algún
x
f (t )dt f ( x) a
(1)
R .
Usando el primer teorema fundamental del cálculo, derivamos la relación (1) obteniendo f ( x) f ( x) ;
f ( x) f ( x)
dx
0
1
dx
1
ln( f ( x)) x ln C
f ( x) e
x ( ln C )
x
e e ln C
x
f ( x) Ce ;
0, C 0
Luego, las únicas funciones propias posibles serian aquellas funciones exponenciales de x
la forma f ( x) e ;
0, C 0 .
Sin embargo, si reemplazamos
x a
en la
ecuación (1) se tiene
a
f (t )dt f (a) C e
a
a
;
0, C 0
0 f (a) C e 0 a
Como e 0 , se ve que la ecuación T ( f ) f , no puede ser satisfecha por ninguna a
función f 0 . En consecuencia, el operador integración T no tiene funciones propias ni valores propios.
OBSERVACIÓN Sean V un K -espacio vectorial de dimensión finita n, T L(V ) un endomorfismo y A la matriz asociada a T respecto a una base
B de V .
El det(T I ) se define como
det(T I ) det( A I )
donde el I en el lado izquierdo denota el endomorfismo identidad y el I del lado derecho denota la matriz identidad. La proposición que se enuncia a continuación es el análogo de la proposición 1.3 en términos de la matrices.
171
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
PROPOSICIÓN.-Sea V un K -espacio vectorial y T :V V un endomorfismo y A la matriz asociada a T respecto a una base
B
de V . Las siguientes afirmaciones son
equivalentes: K
a)
es un valor propio de A.
b)
A I es singular
c)
det( A I ) 0
PRUEBA.- Ejercicio 3. POLINOMIO CARACTERÍSTICO POLINOMIO DE MATRICES Sea K [ x] el anillo de polinomios con coeficientes en el campo K . Si p K [ x] , se escribe p( x) an x n an1 x n 1 a1 x a0
Ahora, si A es una matriz cuadrada sobre K , el polinomio p( A) an A n an1 A n 1 a1 A a0 I
donde I es la matriz identidad es llamado
poli nomio de matr ices . En caso que p( A) 0
se dice que A es una raíz del polinomio p( x) .
EJEMPLO 3.1 0 1 , entonces: 1
Sea p K [ x] tal que p( x) x 2 2 x 4 y A 2 0 p( A) A2 2 A 4 I 2
1 0 1 0 1 1 0 22 1 40 1 1 2 1
2 1 0 2 4 0 6 3 4 2 0 4 6 3 2 1
PROPIEDADES 3.2 Sean p, q K [ x] y A K nn , entonces se cumplen las siguientes propiedades: i) ( p q)( A) p( A) q( A) ii) ( pq)( A) p( A)q( A) iii) (kp)( A) kp( A), k K . iv) Puesto que p( x)q( x) q( x) p( x) para polinomios cualesquiera p( x) y q( x) , entonces, p( A)q( A) q( A) p( A) 172
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------v) Si 1 , 2 ,, n son elementos de K y p( x) ( x 1 )( x 2 )( x n ) , entonces p( A) ( A 1 I )( A 2 I ) ( A n I )
DEFINICIÓN 3.3.- Dada una matriz A K nn , se llama poli nomi o caracter ísti co de A al determinante de la matriz I A ; es decir: a11
p( ) det( I A)
a21
a12 a22
a1n a2 n
an1
an 2
ann
Desarrollando el determinante se tiene p( ) n cn1 n 1 c1 c0
La matriz I A se denomina matr iz car acterística de A.
EJEMPLO 3.3.1.- Hallar el polinomio característico de la matriz 2 1 0 A 1 1 2 0 3 1 p( ) det( I A)
2
1
0
1
1
0
3
2 1
3 2 2 8 13
OBSERVACIÓN 3.3.2.- Del ejemplo anterior, nótese que 2 Tr ( A) y 13 det( A) ; luego el polinomio característico de A se puede escribir como p( ) 3 Tr ( A) 2 8 (1) 3 det( A) , si A K 3 3
En general para una matriz A K nn , el polinomio característico de A se puede escribir como
p( ) n Tr ( A) n 1 (1) n det( A)
173
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
EJEMPLO 3.3.3.- Utilizando la observación anterior, calcular los valores propios de la matriz 1 2 A 3 2
SOLUCIÓN p( ) 2 Tr ( A) (1) 2 det( A)
2 3 4
las raíces del polinomio
3 4 0 son
2
1
4
y
2
1.
PROPOSICIÓN 3.4.- Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico; es decir, si B P 1 AP , entonces P B ( x) P A ( x) .
PRUEBA p B ( x) det( xI n B)
definición de polinomio característico
det( xI n P 1 AP )
reemplazando B P 1 AP
det( xP 1 P P 1 AP )
propiedad de matriz identidad
det[ P 1 ( xI n A) P ]
propiedad distributiva del prod. de matrices
det( P 1 ) det( xI n A) det( P )
propiedad de determinantes
det( P 1 ) det( P ) det( xI n A)
propiedad de números reales
det( P 1 P ) det( xI n A)
propiedad de determinantes
det( I ) det( xI n A)
propiedad de matrices inversibles
det( xI n A)
propiedad de determinantes
p A ( x)
definición de polinomio característico
p B ( x) p A ( x) PROPOSICIÓN 3.5.- Dadas una matriz A K nn y un escalar es
valor propio de A p A ( ) 0 .
PRUEBA Sea el polinomio característico p A ( x) det( xI n A)
es valor propio de A I n A es singular det( I n A) 0 p A ( ) 0
174
K .
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
EJEMPLO 3.5.1.- Hallar los valores propios y sus correspondientes vectores propios de la matriz 1 2 2 A 1 2 1 1 1 4
SOLUCIÓN p A ( ) I A 1
1 1
2 2 1
2 1 4
( 1)( 3) 2
luego p A ( ) ( 1)( 3) 2 0 y los valores propios son
1
1 y
2
3.
DEFINICIÓN 3.6.- Sean V un K -espacio vectorial de dimensión finita, T : V V un endomorfismo y f ( x) K [ x] donde f ( x) a0 x n a1 x n 1 an ; ai K , i 0,1,, n
f ( x)
es llamado
llamaremos
poli nomio anul ador de T
polinomio minimal de T
si y solo si f (T ) 0 ; así mismo
al polinomio de menor grado y coeficiente
principal igual a 1 que denotado por m( x) tal que m(T ) 0 .
PROPOSICIÓN 3.7.- Sea V un K -espacio vectorial de dimensión finita. Si T L(V ) siempre existe un polinomio anulador para T .
PRUEBA.- Sea dim K V n , entonces dim K L(V ) nn m
consideremos: I , T , T 2 ,, T m ; m 1 elementos que son linealmente dependientes; es decir, existen a0 , a1 , a2 ,, am K no todos nulos tal que: a0 I a1T a2T 2 amT m 0
Nos basta elegir: g ( x) a0 a1 x am x m 0 g (T ) 0
PROPOSICIÓN 3.8.- Sean V un K -espacio vectorial de dimensión finita, T : V V un endomorfismo y
K tal
que T (v) v, v 0 . Si f ( x) K [ x] , entonces: f (T )v f ( )v
175
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
PRUEBA T (v) v T 2 (v) T T (v) T ( v) T (v) 2 v T 3 (v) T T 2 (v) T ( 2 v) 2T (v) 3v
T (v) v ; para todo n 0 n
n
Si f ( x) a0 x n a1 x n1 an f (T )(v) (a0T n a1T n 1 an I )(v)
a0T n (v) a1T n1 (v) an I (v) a0 n v a1 n1v an v (a0 n v a1 n1v an )v f ( )v
f (T )(v) f ( )v
PROPOSICIÓN 3.9.- Sean A, B matrices semejantes, f ( x) K [ x] . Demostrar que f ( A) y f ( B) son también matrices semejantes.
PRUEBA Si A y B son matrices semejantes se tiene:
B P 1 AP
B 2 ( P 1 AP )( P 1 AP ) P 1 A2 P B 3 P 1 A3 P
B n P 1 A n P
Si f ( x) a0 x n a1 x n1 an f ( B) a0 B n a1 B n1 an I
a0 ( P 1 An P ) a1 ( P 1 A n1 P ) an P 1 P P 1 (a0 A n a1 A n1v an ) P P 1 f ( A) P f ( B) P 1 f ( A) P
176
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
EJERCICIOS 1.
Hallar los valores propios, vectores propios y una base para los espacios propios si la transformación lineal T : R 2 R 2 está definida como: a) T ( x, y) ( y, 4 x)
b)
c) T ( x, y) (3 x 4 y, 2 x y) . 2.
C)
T ( x, y) ( x y, 2 x y)
T ( x, y ) (4 x 3 y, 3 x 4 y)
Hallar los valores propios, vectores propios y una base para los espacios propios si la transformación lineal T : R 3 R 3 está definida como: a) T ( x, y, z ) ( x y z , 2 y z , 2 y 3z ) b) T ( x, y, z ) ( x y, y x, 2 y z ) c) T ( x, y, z ) ( x y, 2 x 3 y, x y z ) d) T ( x, y, z ) (2 y z , 2 x z , 2 x y)
3. Hallar los valores y vectores propios si es que existen para las siguientes matrices en R 22 y R 33 . Para cada valor propio halle el espacio propio correspondiente. a)
2 0 1 3
d)
1 1 0 1 1 0 0 0 2
b)
1 4 1 3
e)
1 0 1 0 3 0 1 0 1
c)
10 0 2 0 6 0 2 0 7
f)
2 3 0 4 5 0 5 5 1
4. Hallar los valores y vectores propios para las siguientes matrices en C 33 . Para cada valor propio halle el espacio propio correspondiente. a) 5.
1 0 3 5 1 0 0 0 1
b)
1 1 0 1 0 0 0 0 2
Sea T : R 2 R 2 la aplicación que hace corresponder a cada vector de R 2 su proyección ortogonal sobre el vector u (2, 1) . La aplicación así definida es una transformación lineal. a)
Hallar la matriz asociada a T con respecto a la base canónica de R 2 .
b)
Hallar los valores y vectores propios de la matriz obtenida en a).
177
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------6.
Sea V un K -espacio vectorial de dimensión finita talque V U W . Hallar los valores propios de T L(V ) , si T es proyección sobre U paralelamente a W ; es decir si T (u w) u .
7. Sea T L( K nn ) tal que T ( A) AT . Determine los valores propios de T , sus correspondientes vectores propios y sus respectivos autoespacios. 8. En el espacio vectorial P 3 [t ] sobre R, se considera el endomorfismo f definido como f ( p(t )) t [ p(t 1) p(t ) ]; p(t ) P 3 [ t ] . Calcular los valores y vectores propios de f . 9. Demuestre o dé un contraejemplo a la siguiente afirmación: Si T : V V es una R-transformación lineal tal que
es
un autovalor de de T
R , entonces V posee una base formada por vectores propios de T .
10. Determine la verdad o falsedad de de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta. a) Toda transformación lineal posee valores propios. b) Si T L(V ) y W es un subespacio generado por vectores propios de T , entonces W es invariante por T . A
11. Sea A una matriz por bloques, A 1 0
B
donde A y A son matrices
A2
1
2
cuadradas. Probar que, el polinomio característico de A es igual al producto de los polinomios característicos de A y A . 1
2
12. Sea T L(V ) , donde V es un espacio vectorial sobre K . Si v V , sea W (v) { g (T )(v) / g K [ x] } .
Demuestre que W (v) es un subespacio invariante
por T . 13. En el R-espacio vectorial R 2 se considera el operador rotación definido como f ( x, y) ( x cos y sen , x sen y cos )
. ¿Para qué valores de
,
f tiene
valores propios?. 14. Sea V un K -espacio vectorial de dimensión finita, B una base ordenada de V , T L(V ) , y
K .
Demostrar que v E (T , ) si y solo si v B E (T B , ) .
15. Sea V un K -espacio vectorial y T L(V ) . Las siguientes afirmaciones son equivalentes: a)
K es
un valor propio de T . 178
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- b)
T I es singular.
c)
det( I T ) 0 .
Nota.- El det( I T ) se define como det( I T ) det( I A) , donde A es la matriz asociada a la transformación lineal T en una base dada e I la matriz identidad. 16. Demostrar que dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico. 17. Si
n
an1 n1 a1 a0 es el polinomio característico de una matriz A,
demuestre que a0 (1)n det( A) . 18. Sea A K nn . Pruebe que: a) A es inversible si y solo si todos sus valores propios son no nulos. b)
A es nilpotente si y solo si su único valor propio es cero.
Nota.- Se dice que una matriz A K nn es nilpotente si existe un entero positivo k tal que Ak 0 . El menor k para el que se cumple la definición anterior es llamado índice de nilpotencia de A. 19. Demostrar que los valores propios de una matriz idempotente son 0 y 1. 20. Sean A, B K nn , donde A es no singular. Demostrar que las matrices A1 B y BA1
tienen los mismos valores propios.
TEOREMA.-[Teorema de Cayley-Hamilton] Sea V un K -espacio vectorial de dimensión finita y T :V V un endomorfismo. Entonces pT (T ) 0 .
PRUEBA Demostraremos cuando K C . La prueba se hace por inducción sobre n donde n dim V . Para n 1 no hay nada que demostrar. Si n 1 suponemos que el teorema se verifica para n 1 (Hip. Inductiva) Por una proposición demostrada anteriormente, existe una base { v1 , , vn } en la cual la matriz asociada a la transformación T es triangular superior. Esto es T (v1 ) 1v1
T (v j ) a1 j v1 j v j ; j 1, , n
179
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Consideremos S { av1 / a C }
Desde que T (S ) S , la aplicación T : V
S
V
tal que T (v) T (v) ; v V
S
Esta bien definida y en la base { v2 , , vn } su matriz asociada es * 2 3 AT n 0
El polinomio característico de AT es pT ( x) ( x 2 )( x 3 )( x n )
Por la hipótesis inductiva se cumple que pT (T ) 0 , es decir (T 2 I )(T 3 )(T n )v 0 ,
donde 0 V S
De la definición de espacio vectorial cociente, se tiene que (T 2 I )(T 3 I )(T n I )u cv1
Aplicando (T 1 I ) a la última relación se tiene (T 1 I )(T 2 I )(T 3 I ) (T n I )u (T 1 I )cv1
c(T (v1 ) 1 I (v1 )) c( 1v1 1v1 ) 0
Con lo que queda demostrado pT (T ) (T 1 I )(T 2 I )(T n I ) 0
Nota.- De las aplicaciones del teorema de Cayley-Hamilton una de ellas es el cálculo de la inversa en términos de la misma matriz.
EJEMPLO Dado la matriz 2 1 1 1
A
Hallar A1 en términos de A.
180
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Solución p A ( x) x 2 3x 1
Por el teorema p A ( A) A2 3 A I 3 0 2 1 1 1 I 3 A A2 A1 3 I A 1 1 1 2 0 3 1
Luego A1 1
1 2
EJEMPLO Dada la matriz 1 1 0 A 1 1 0 1 1 1
Hallar A1 usando el teorema de Cayley-Hamilton.
Solución 1
p A ( ) 1
1 1
0
1
1
1
0
3 2 2 2
Aplicando el teorema, p A ( A) 0 A3 A2 2 A 2I 0
2 I A3 A2 2 A 2 A1 A 2 A 2 I 1 1 0 1 1 1 1 2 A1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 2 A 1 1 1 0 A 1 2 2 0 2 2 1
Luego
A 1
1
1
0
1 1 0 . 2 2 0 2
181
0
1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 2 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 2
