Investigación Operativa I Programación Lineal EJERCICIOS DE PROGRAMACION LINEAL

Investigación Operativa I

Programación Lineal

EJERCICIOS DE PROGRAMACION LINEAL 1. RMC es una empresa pequeña que produce diversos productos químicos. En un proceso de producción en particular se utilizan tres materia primas para elaborar dos productos: un aditivo para combustible y una base disolvente. El aditivo para combustible se vende a empresas petroleras y se utiliza en la producción de gasolina y otros combustibles relacionados. La base disolvente se vende a varias empresas químicas y se utiliza tanto para productos de limpieza para el hogar como industriales. Para formar el aditivo para combustible y la base de disolvente de mezclan tres materia primas, según apara ce en la siguiente tabla. NECESIDADES DE MATERIA PRIMA POR TONALADA Materia Prima Producto 1 2 3 Aditivo para combustible 2/5 0 3/5 Base disolvente 1/2 1/5 3/10 Utiliza ½ toneladas de materia prima 1 en cada tonelada de base de disolvente.

La producción de RMC está limitada por la disponibilidad de las tres materia primas. Para el período de producción actual, RMC tiene disponibles las cantidades siguientes de cada una de las materia primas Materia Prima Materia prima 1 Materia Prima 2 Materia prima 3

Cantidades disponibles para la producción 20 toneladas 5 toneladas 21 toneladas

Debido a deterioro y la naturaleza del proceso de producción, cualquier materia prima que no se utilice para producción actual resulta inútil y debe descartarse. El departamento de control de calidad ha analizado las cifras de producción, asignando todos los costos correspondientes, y para ambos productos llegó a precios que resultarán en una contribución a la utilidad de 40 dólares por tonelada de aditivo para combustible producida y de 30 dólares por cada tonelada de base disolvente producido. La administración de RMC, después de una análisis de la demanda potencial, ha concluido que los precios establecidos asegurarán la venta de todo el aditivo para combustible y de toda la base disolvente que se produzca. El problema de RMC es determinar cuántas tonelada de cada producto deberá producir para maximizar la contribución total de la utilidad. Si Ud. Estuviera a cargo de la programación de la producción para RMC. ¿qupe decisión tomaría? Esto es, ¿Cuántas tonaladas de aditivo para combustible y cuántas toneladas

Oswaldo Paul Rivadeneira

Página: 1



de base disolvente produciría usted para el período actual de producción? Escriba sus decisiones abajo y encuentre sus resultados.1 Solución: Diseño del modelo matemático: 

Definición de variables X1 = número de toneladas de aditivo para combustible X2 = número de toneladas de base disolvente



Función objetivo: Maximizar la contribución a la utilidad, Z = 40 X1 + 30 X2



Restricciones Toneladas de materia prima 1 2/5X1 + 1/2X2 ≤ 20 Toneladas de materia prima 2 1/5X2 ≤ 5 Toneladas de materia prima 3 3/5X1 + 3/10X2 ≤ 21



No negatividad Xi ≥0; i=1,2

Entrada de datos para Solver

Salida de resultados

1

Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 220. Oswaldo Paul Rivadeneira

Página: 2



Informe del problema: Orden de producción: 25 toneladas de aditivo 20 toneladas de base disolvente con: 20 toneladas de materia prima 1, 4 toneladas de materia prima 2, y 21 toneladas de materia prima 3 2. Innis Investments administra fondos de empresas y clientes pudientes. La estrategia de inversión se adecua a las necesidades de cada cliente. Para un cliente nuevo, a Innis se le ha autorizado invertir hasta 1’200.00 dólares en fondos de inversión: un fondo de acciones y un fondo del mercado de dinero. Cada unidad del fondo de acciones cuesta 50 dólares, con una tasa de rendimiento anual de 10%; cada unidad del fondo de mercado de dinero cuesta 100 dólares, con una tasa de rendimiento anual de 4%. El cliente desea minimizar el riesgo, pero quiere tener un ingreso anual sobre la inversión de por lo menos 60.000 dólares. De acuerdo con el sistema de medición del riesgo del Innis, cada unidad adquirida en el fondo de acciones tiene un índice de riesgo del 8, y cada unidad adquirida en el fondo de mercado de dinero tiene un índice de riesgo de 3. El índice de riesgo más elevado con el fondo de acciones indica, simplemente que se trata de un a inversión más riesgosa. El cliente de Innis también ha especificado que se inviertan por lo menos 3.000 dólares en el fondo de mercado de dinero. ¿Cuántas de cada uno de los fondos deberá adquirir Innis para el cliente, si el objetivo es minimizar el índice de riesgo total para esa cartera?2 Solución: Diseño del modelo matemático: 

Definición de variables X1 = número de unidades adquiridas en el fondo de acciones X2 = número de unidades adquiridas en el fondo del mercado de dinero



Función objetivo: Minimizar el riesgo, Z = 8 X1 + 3 X2



Restricciones Fondos disponibles 50X1 + 100X2 ≤ 1’200.000 Ingreso anual 5 X1 + 4X2 ≥ 60.000 Unidades en fondo 100X2 ≥ 3.000

2


Página: 3







Datos de salida del Solver

Informe de asesoría: Innis Investments aconseja al cliente que adquiera 400 unidades a 50 dólares cada una en Acciones y 10.000 unidades a 100 dólares cada en el mercado de dinero para obtener una ganancia de 62.000 dólares al año. 3. PAR es un pequeño fabricante de equipo y accesorios para golf cuyo distribuidor lo convenció de que existe un mercado tanto para la bolsa de golf de precio medio, conocida como modelo estándar, como para una bolsa de golf de precio elevado, conocida como modelo deluxe. El distribuidor tiene tanta confianza en el mercado que si PAR puede fabricar las bolsas a un precio competitivo, el distribuidor está de acuerdo en adquirir todas las bolsas que PAR pueda fabricar en los siguientes tres meses. Un análisis cuidadoso de los requerimientos de fabricación dieron como resultado la tabla siguiente, que muestra las necesidades de tiempo de producción para las cuatro operaciones de manufactura requeridas y la estimación por parte del departamento de contabilidad de la contribución a la utilidad por bolsa. Tiempo de producción Corte y Costura Oswaldo Paul Rivadeneira

Terminado

Inspección

Utilidad por Página: 4


Producto Estándar Deluxe

teñido 7/10 1


1/2 5/6

1 2/3

y empaque 1/10 1/4

Bolsa $10 $9

El director da manufactura estima que durante los siguientes tres meses estarán disponibles 630 horas de tiempo de corte y teñido, 600 horas de tiempo de costura, 708 horas de tiempo de terminado y 135 horas de tiempo de inspección y empaque para la producción de las bolsas de golf. a) b) c) d)

Si la empresa desea maximizar la contribución total a la utilidad,¿Cuántas bolsas de cada modelo deberá fabricar? ¿Qué contribución a la utilidad puede obtener PAR de estas cantidades de producción? ¿Cuántas horas de producción se programarán para cada operación? ¿Cuál es el tiempo de holgura de cada operación?3

Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de unidades de bolsas de golf estandar X2 = Cantidad de unidades de bolsas de golf de lujo 

Función Objetivo Z max = 10X1 + 9X2



Restricciones 0.7X1 + 1.0X2 ≤ 630 Horas de Corte y teñido 0.5X1 + 0.8334X2 ≤ 600 Horas de Costura 1.0X1 + 0.6667X2 ≤ 708 Horas de Terminado 0.1X1 + 0.25X2 ≤ 35 Horas de Inspección y Empaque



No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Solución gráfica:

3

Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 264. Problema 15. Oswaldo Paul Rivadeneira

Página: 5



Entrada de datos Solver:

Solución Solver:


Página: 6



a) Debe fabricar 539,98 bolsas de golf estándar y 252,01 bolsas de golf de Lujo. b) Contribución total = $ 7.667,942 c) Se programarán 620 horas de Corte y Teñido, 480.02 horas de Costura, 708 horas de Terminado y 117 horas de Inspección y Empaque. d) Los tiempos de holgura son de 119.98 para Costura y 18 horas para Inspección y Empaque. Las operaciones de Corte y Teñido, y Terminado no tienen holgura. 4. PAR es un pequeño fabricante de equipo y accesorios para golf cuyo distribuidor lo convenció de que existe un mercado tanto para la bolsa de golf de precio medio, conocida como modelo estándar, como para una bolsa de golf de precio elevado, conocida como modelo Deluxe. El distribuidor tiene tanta confianza en el mercado que si PAR puede fabricar las bolsas a un precio competitivo, el distribuidor está de acuerdo en adquirir todas las bolsas que PAR pueda fabricar en los siguientes tres meses. Un análisis cuidadoso de los requerimientos de fabricación dieron como resultado la tabla siguiente, que muestra las necesidades de tiempo de producción para las cuatro operaciones de manufactura requeridas y la estimación por parte del departamento de contabilidad de la contribución a la unidad por bolsa.

Producto Estándar Deluxe

Tiempo de producción Corte y Costura teñido 7/10 1/2 1 5/6

Terminado 1 2/3

Inspección y empaque 1/10 1/4

Utilidad por Bolsa $10 $9

El director da manufactura estima que durante los siguientes tres meses estarán disponibles 630 horas de tiempo de corte y teñido, 600 horas de tiempo de costura, 708 horas de tiempo de terminado y 135 horas de tiempo de inspección y empaque para la producción de las bolsas de golf. Resuelva el problema descrito y luego responda a las siguientes preguntas: a) b)

c)

El departamento de contabilidad revisa su estimación de contribución a la utilidad para la bolsa Deluxe a 18 dólares por bolsa. Aparece disponible una nueva materia prima de bajo costo para la bolsa estándar, y la contribución a la unidad por la bolsa estándar puede incrementarse a 20 dólares por bolsa. (suponga que la contribución a la utilidad por la bolsa Deluxe es el valor original de 9 dólares) Se puede obtener nuevo equipo de costura que incrementará la capacidad de operación de costura a 750 horas.(suponga que 10X1 + 9X2 es la función objetivo apropiada)


Página: 7



Si cada una de estas situaciones se encuentra por separado, ¿Cuál sería la solución óptima y la contribución total a la utilidad?4 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de unidades de bolsas de golf estandar X2 = Cantidad de unidades de bolsas de golf de lujo 




Restricciones 0.7X1 + 1.0X2 ≤ 630 Horas de Corte y teñido 0.5X1 + 0.8334X2 ≤ 600 Horas de Costura 1.0X1 + 0.6667X2 ≤ 708 Horas de Terminado 0.1X1 + 0.25X2 ≤ 135 Horas de Inspección y Empaque



No negatividad Xi ≥0; i=1,2 X2

700 Solución GLP 665 630 Payoff: 10.0000 X1 + 9.0000 X2 = 7667.9417 595 560 525 490 455

: 0.5000 X1 + 0.8334 X2 = 600.0000

420 385 350 : 0.1000 X1 + 0.2500 X2 = 135.0000

315

: 0.7000 X1 + 1.0000 X2 = 630.0000

280 245 210 175

: 1.0000 X1 + 0.6667 X2 = 708.0000

140 105 70 35 0 0

60

120

180

240

300

360

420

480

540

600

660

720

780

840

900

960

Optimal Decisions(X1,X2): (539.9842, 252.0110) : 0.7000X1 + 1.0000X2 <= 630.0000 : 0.5000X1 + 0.8334X2 <= 600.0000 : 1.0000X1 + 0.6667X2 <= 708.0000 : 0.1000X1 + 0.2500X2 <= 135.0000

4

Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 265. Problema 16.


Página: 8

1020

1080 1140

12



Entrada de datos Solver:

Solución Solver:

a)

b)


Página: 9



c)

La solución óptima es la alternativa b) donde se incrementa la contribución a la utilidad de las bolsas estándar a $20 y su contribución total es de $ 14.160 fabricando sólo bolsas de golf estándar. 5. Kelson Sporting Equipment fabrica dos modelos de guantes de béisbol: uno normal y una manopla de catcher. La empresa tiene disponibles 900 horas de tiempo de producción en su departamento y corte y costura, 300 horas disponibles en el departamento de terminado y 100 horas disponibles en el departamento de empaque y embarque. Los requerimientos de tiempo de producción y la contribución a la utilidad de cada uno de losa productos es:

Modelo Normal Catcher

Tiempo Corte y costura 1 3/2

de producción(horas) Terminado Empaque y Utilidad por Guante embarque 1/2 1/8 $5 1/3 1/4 $8

Suponga que la empresa está interesada en maximizar la contribución total de la utilidad. a) b)

¿Cuál es el modelo de programación lineal para este problema? Encuentre la solución óptima. ¿Cuántos guantes de cada modelo deberá fabricar Kelson?


Página: 10


c) d) e)


¿Cuál es la contribución total a la utilidad que puede ganar Nelson con las cantidades de producción arriba citadas? ¿Cuántas horas de producción serían programadas en cada departamento? ¿Cuál es el tiempo libre de cada departamento?5

Solución: a) Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de guantes de Béisbol normal X2 = Cantidad de guantes de Béisbol tipo Manopla 




Restricciones X1 + 1.5X2 ≤ 900 horas de Corte y Costura 0.5X1 + 0.3334X2 ≤ 300 horas de Terminado 0.125X1 + 0.25X2 ≤ 100 horas de Empaque y Embarque



No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Solución GLP

5



Página: 11

630 595 560

Investigación Operativa I 525


490 455 420

Payoff: 5.0 X1 + 8.0 X2 = 3699.9

385 350 315 280 245 210 175 140 105 70 35 0

: 0.1 X1 + 0.3 X2 = 100.0 : 0.5 X1 + 0.3 X2 = 300.0 : 1.0 X1 + 1.5 X2 = 900.0 0 60 120 180

240

300

360

420

480

540

600

660

720

780

840

Optimal Decisions(X1,X2): (500.0, 150.0) : 1.0X1 + 1.5X2 <= 900.0 : 0.5X1 + 0.3X2 <= 300.0 : 0.1X1 + 0.3X2 <= 100.0

Datos de entrada de Solver:

Salida del Solver:


Página: 12

900

960



6. George Johnson heredó recientemente una gran suma de dinero; desea utilizar parte de este dinero para establecer un fideicomiso para sus dos hijos. El fideicomiso tiene dos opciones de inversión: (1) un fondo de bonos y (2) un fondo de acciones. Los rendimientos proyectados durante la vida de las inversiones son 6% para el fondo de bonos y 10% para el de acciones. Independientemente de la porción de la herencia que finalmente decida comprometer al fideicomiso, desea invertir por lo menos 30% de dicha cantidad en el fondo de bonos. Además, desea seleccionar una combinación que le permita obtener un rendimiento total de por lo menos 7.5%. a) b)

Formule un modelo de programación lineal que pueda utilizarse para determinar el porcentaje que debe asignarse a cada una de las posibles alternativas de inversión. Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica y por solver6

Solución: 

Definición de variables X1 = cantidad de dinero invertido en fondo de bonos X2 = cantidad de dinero invertido en fondo de acciones



Función Objetivo Zmax = 1X1 + 1X2



Restricciones X1 ≥ 30% (100) inversión en fondo de bonos 6% X1 + 10% X2 ≥ 7.5% (100) rendimiento total X1 + X2 ≤ 100 relación entre inversiones



No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Datos entrada Solver

6



Página: 13



Resultados del Solver:

Solución gráfica:

7. El propietario de Sea Warf Restaurant desearía determinar cual es la mejor forma de asignar un prosupuesto mensual de publicidad de 1.000 dólares entre


Página: 14



periódicos y la radio. La administración ha decidido que por lo menos 25% del presupuesto debe utilizarse en cada uno de estos dos tipos de medios y que el monto del dinero gastado en publicidad en periódicos locales debe tener por lo menos el doble de los que se gaste en radio. Un asesor de mercadotecnia ha desarrollado un índice que mide la exposición del auditorio por dólar de publicidad en una escala de 0 al 100, donde valores más elevados del índice indican mayores exposiciones al auditorio. Si el valor del índice para publicidad en los periódicos locales es de 50, y para el anuncio de radio es de 80, ¿Cómo debería asignar la administración el presupuesto de publicidad, a fin de maximizar el valor de exposición total en el auditorio? a)

b)

Formule un modelo de programación lineal que se pueda utilizar para determinar la manera en que la administración debe asignar el presupuesto de publicidad a fin de maximizar el valor de la exposición total del auditorio. Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica y por solver7

Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de dólares asignados a periódicos X2 = Cantidad de dólares asignados a radio 

Función Objetivo Zmax= 50X1 + 80X2



Restricciones X1 ≥ 0.25(X1 + X2) mínimo para periódicos X2 ≥ 0.25(X1 + X2) mínimo para radio X1 ≥ 2X2 relación periódicos y radio X1 + X2 ≤ 1000 presupuesto No negatividad Xi ≥0; i=1,2



Solución GLP

7



Página: 15



X2 400 380 360 340 320 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

Payoff: 50.00 X1 + 80.00 X2 = 46000.00

: 1.00 X1 + 2.00 X2 = 1000.00 : 0.75 X1 - 0.25 X2 = 0.00

: -0.25 X1 + 0.75 X2 = 0.00

: 1.00 X1 - 2.00 X2 = 0.00

0

33

66

99

132

165

198

231

264

297

330

363

396

429

462

495

528

561

594

627

Optimal Decisions(X1,X2): (600.00, 200.00) : 0.75X1 - 0.25X2 >= 0.00 : -0.25X1 + 0.75X2 >= 0.00 : 1.00X1 - 2.00X2 >= 0.00 : 1.00X1 + 2.00X2 <= 1000.00

8. Invesment Advisors es una empresa de corretaje que administra carteras de valores para clientes. Un cliente nuevo ha solicitado que la empresa maneje una cartera de inversiones de $80.000. Como estrategia inicial de inversión, el cliente desea restringir la cartera a una combinación de las acciones siguientes: Acción U.S. OIL Hub Properties

Precio Acción $25 $50

por Rendimiento anual Índice de riego estimado por acción $3 0.50 $5 0.25

El índice de riesgo por acción es una clasificación del riesgo relativo de dos alternativas de inversión. Para los datos dados, se piensa que U.S. OIL es la inversión sujeta a más riesgo. Al restringir el riesgo total de la cartera, la firma de inversiones evita colocar cantidades excesivas de la cartera en inversiones potencialmente de rendimiento alto y riesgo elevado. Para la cartera actual se ha establecido un límite superior a 700 para el índice de riesgo total de todas las inversiones, también la empresa ha establecido un límite superior de 1.000 acciones para los valores U.S. OIL más riesgosos. ¿Cuántas acciones de cada uno de estos valores deben ser adquiridos a fin de maximizar en rendimiento anual total?8 Solución: 8



Página: 16

660



Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de acciones en U.S.Oil X2 = Cantidad de acciones en Hub Properties 




Restricciones 0.50X1 + 0.25X2 ≤ 700 por riesgo X1 ≤ 1000 inversión en U.S. OIL 25X1 + 50X2 = 80.000 inversión en acciones



No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Solucion GLP

X2 Payoff: 3.00 X1 + 5.00 X2 = 8400.00 1580 1501 1422 1343 1264 1185 1106 1027 948 869 790 711 632 553 474 : 25.00 X1 + 50.00 X2 = 80000.00 395 316 237 : 1.00 X1 + 0.00 X2 = 1000.00 158 79 0 : 0.50 X1 + 0.25 X2 = 700.00 0 49 98 147 196 245 294 343 392 441 490 539 588 637 686 735 784 833 882 931 980

X1


Datos de entrada SOLVER


Página: 17



PLANIFICACION TRABAJO INVESTMENT ADVISORS Acciones Cantidad Contrib. Utilidad

U.S.Oil

HUB 1 3

Restricciones Riesgo En U.S.Oil Inversión

0,5 1 25

1 max 5

8

No Utilizado Límite Utiliz 0,25 0,75 ≤ 700 699,25 1 ≤ 1000 999 50 75 ≤ 80000 79925

Datos de salida SOLVER PLANIFICACION TRABAJO INVESTMENT ADVISORS Acciones Cantidad Contrib. Utilidad

U.S.Oil HUB 800 1200 max 3 5 8400

Restricciones Riesgo En U.S.Oil Inversión

0,5 1 25

No Utilizado Límite Utiliz 0,25 700 ≤ 700 -7,4E-10 800 ≤ 1000 200 50 80000 ≤ 80000 -7,3E-08

9. Tom’s produce varios productos alimenticios mexicanos y los vende a Western Foods, cadena de tiendas de abarrotes localizada en Texas y Nuevo México. Tom’s fabrica dos salsas: Western Foods Salsa y México City Salsa. Esencialmente, ambos productos son mezclas de tomates enteros, 30% de salsa de tomate y 20% de pasta de tomate. La México City Salsa, que tiene una consistencia más espesa y troceada, está elaborada con 70% de tomates enteros, 10% de salsa de tomate y 20% de pasta de tomate. Cada tarro de salsa producida pesa 10 onzas. Para el período de producción actual, Tom’s puede adquirir hasta 280 libras de tomates enteros, 130 libras de salsa de tomate y 100 libras de pasta de tomate, el precio por libra de estos ingredientes es $0.96, $0.64 y $0.56 respectivamente. El costo de las especias y de los demás ingredientes es de aproximadamente $0.10 por recipiente. Tom’s compra tarros de vidrio vacíos a $0.02 cada uno, y los costos de etiquetado y llenado se estiman en $0.03 por cada tarro de salsa producido. El contrato de Tom’s con Western Foods resulta en ingresos por ventas de $1.64 por cada tarro de Western Foods Salsa y de $1.93 por cada tarro de México City Salsa. a. Desarrolle un modelo de programación lineal que le permita a Tom’s determinar la mezcla de salsa que maximice la contribución total a la utilidad. b. Haga una gráfica de la región factible. c. Resuelva las ecuaciones lineales simultáneas apropiadas a fin de determinar las coordenadas de cada punto extremo. Oswaldo Paul Rivadeneira

Página: 18



d. Encuentre la solución óptima9 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de tarros de salsa Western Foods X2 = Cantidad de tarros de salsa México City 

Función Objetivo Z max = (1.64 – (0.10+0.02+0.03+50%(10)(0.96)/16+30%(10)(0.64)/16+20%(10)(0.56)/16))X1 (1.93 – (0.10+0.02+0.03+70%(10)(0.96)/16+10%(10)(0.64)/16+20%(10)(0.56)/16))X2 Z max = (1.64 – (0.15 + 0.3 + 0.12 + 0.07))X1 + (1.93 – (0.15 + 0.42 + 0.04 + 0.07))X2

Z max = 1X1 + 1.25X2 

Restricciones 5X1 + 7X2 ≤ 4480 libras de tomates enteros 3X1 + 1X2 ≤ 2080 libras de salsa de tomate 2X1 + 2X2 ≤ 1600 libras de pasta de tomate



No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Solución con GLP

9



Página: 19

+

X2 1000



950 900 850 800 750 700

Payoff: 1.00 X1 + 1.25 X2 = 860.00

650 600

: 2.00 X1 + 2.00 X2 = 1600.00

550

: 3.00 X1 + 1.00 X2 = 2080.00

500 450 : 5.00 X1 + 7.00 X2 = 4480.00 400 350 300 250 200 150 100 50 0 1

50

99

148

197

246

295

344

393

442

491

540

589

638

687

736

785

834

883

932


Datos entrada SOLVER Planificación para Tom’s Western Foods

SALSA Cantidad de tarros Utilidad

México City

1 1

1 Max 1.25 2.25

Restricciones

tomates enteros salsa de tomate pasta de tomate

Utilizado Límite No utiliz 7 12 ≤ 4480 4468 1 4 ≤ 2080 2076 2 4 ≤ 1600 1596

5 3 2

Salida de datos SOLVER Planificación para Tom’s

SALSA Cantidad de tarros Utilidad


Western México Foods City 560 1

240 Max 1.25 860

Página: 20

981

X1



Restricciones

tomates enteros salsa de tomate pasta de tomate

5 3 2

Utilizado 7 4480 ≤ 1 1920 ≤ 2 1600 ≤

Límite No utiliz 4480 -6.2E-09 2080 160 1600 -3.7E-09

10. El editor de producción de Rayburn Publishing Company tiene 1.800 páginas de manuscrito que debe ser revisadas. Debido al poco tiempo involucrado, sólo hay dos revisores disponibles Erhan Mergen y Sue Smith. Erhan tiene diez días disponibles y Sue doce días. Erhan puede procesar 100 páginas de manuscrito por día, y Sue 150 páginas diarias. Rayburn Publishing Company ha desarrollado un índice para medir la calidad general de un revisor en una escala de 1 (peor) a 10 (mejor). La calidad de Erhan es 9 y la de Sue es 6, además, Erhan cobra 3 dólares por página de manuscrito revisado, Sue cobra 2 dólares por página. Se ha asignado un presupuesto de $4.800 para la revisión, ¿cuántas páginas deben ser asignadas a cada revisor para completar el proyecto con la calidad más elevada posible?10 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = cantidad de páginas revisadas por Erhan X2 = cantidad de páginas revisadas por Sue 




Restricciones 3X1 + 2X2 ≤ 4.800 presupuesto X1 + X2 = 1.800 número de páginas X1/100 ≤ 10 días disponibles de Erhan X2/150 ≤ 12 días disponibles de Sue




10



Página: 21



Payoff: 9.0 X1 + 6.0 X2 = 13800.0 X2 2000 1900 1800 1700 1600 1500 1400 1300 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

: 3.0 X1 + 2.0 X2 = 4800.0 : 0.0 X1 + 1.0 X2 = 1800.0

: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 1000.0

: 1.0 X1 + 1.0 X2 = 1800.0

0

60

120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720 780 840 900 960 1020108011401200

X1



Páginas revisadas Cantidad Calidad

Ehran Sue 1 1 Max 9 6 15

Restricciones Presupuesto 3 Horas Ehran 1 Horas Sue Núm. Páginas 1

Utilizado 2 5 1 1 1 1 2

≤ ≤ ≤ ≤

Limite No utiliz 4800 4795 1000 999 1800 1799 1800 1798

Utilizado 2 4600 ≤

Limite No utiliz 4800 200

Salida SOLVER

PLANIFICACIÓN TRABAJO RAYBURN Páginas revisadas Cantidad Calidad

Ehran Sue 1000 800 Max 9 6 13800

Restricciones Presupuesto


3

Página: 22


Horas Ehran Horas Sue Núm. Páginas


1 1

1 1

1000 ≤ 800 ≤ 1800 ≤

1000 -1,1E-10 1800 1000 1800 -4,2E-09

11. Car Phones vende dos modelos de teléfono para automóvil: X y Y Los registros muestran que se utilizan 3 horas de tiempo de ventas por cada modelo de teléfono X vendido, y 5 horas de tiempo de ventas por cada teléfono de modelo Y. Están disponibles un total de 600 horas de venta para el siguiente período de cuatro semanas. Además, las políticas de planeación de la administración exigen metas mínimas de ventas de 25 unidades, tanto para el X como para el Y. a. Muestre la región factible b. Si la empresa obtiene una contribución a la utilidad de 40 dólares por cada modelo X vendido y una contribución a la utilidad de 50 dólares por cada modelo Y vendido. ¿Cuál es la meta óptima de ventas para la empresa durante el período de 4 semanas? c. Desarrolle una restricción y muestre la región factible si la administración agrega la restricción que Car Phones debe vender por lo menos tantos teléfonos Y como teléfonos X. d. ¿Cuál es la nueva solución óptima si al problema se le agrega la restricción del inciso (c)?11 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Número de unidades de teléfonos modelo X X2 = Número de unidades de teléfonos modelo Y 




Restricciones 3X1 + 5X2 ≤ 600 horas de venta disponibles X1 ≥ 25 meta mínima de venta X2 ≥ 25 meta mínima de venta




11



Página: 23



Payoff: 40.0 X1 + 50.0 X2 = 7583.3

: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 25.0

: 3.0 X1 + 5.0 X2 = 600.0

: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 25.0

X2 2 2

X1

Optimal Decisions(X1,X2): (158.3, 25.0) : 3.0X1 + 5.0X2 <= 600.0 : 1.0X1 + 0.0X2 >= 25.0 : 0.0X1 + 1.0X2 >= 25.0

Datos de entrada SOLVER PLANIFICACION DE CAR PHONES Modelo Modelo X Y 1 1 Max 40 50 90

Teléfono Cantidad Utilidad

Restricciones Horas disp. Venta min X Venta min Y

3 1

Utilizado 5 8 ≤ 1 ≥ 1 1 ≥

No Límite Utiliz 600 592 25 -24 25 -24

Datos de Salida SOLVER PLANIFICACION DE CAR PHONES

Teléfono Cantidad Utilidad

Modelo Modelo X Y 158,3333 25 Max 40 50 7583,333

Restricciones Horas disp. Venta min X Venta min Y Oswaldo Paul Rivadeneira

3 1

Utilizado 5 600 ≤ 158,3333 ≥ 1 25 ≥

Límite No Utiliz 600 -1,4E-09 25 133,3333 25 2,64E-12 Página: 24



12. Greentree Kennels proporciona alojamiento por una noche para mascotas. Una característica particular en Greentree es la calidad del cuidado que reciben las mascotas, incluyendo una excelente alimentación. La comida para perros de la perrera se elabora mezclado dos alimentos de marca para perros a fin de obtener lo que la perrera identifica como una “dieta para perros bien balanceada”. Los datos para las dos comidas con las siguientes: Comida Bark Bits Canine Chow

Costo/onza 0.06 0.05

Proteínas % 30 20

Grasa % 15 30

Si Greentree desea asegurarse de que los perros reciban por lo menos 5 onzas de proteínas y como mínimo 3 onzas de grasas cada día, ¿Cuál es la mezcla de costo mínimo de los alimentos para perros?12 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de onzas de comida Bark Bits X2 = Cantidad de onzas de comida Canine Chow 

Función Objetivo Zmin = 0.06X1 + 0.05X2



Restricciones 0.3X1 + 0.2X2 ≥ 5 contenido de proteínas 0.15 X1 + 0.3 X2 ≥ 3 contenido de grasas




12



Página: 25

54

48



42

36

30

24 Payoff: 0.06 X1 + 0.05 X2 = 1.02 18 : 0.30 X1 + 0.20 X2 = 5.00 12 : 0.15 X1 + 0.30 X2 = 3.00 6

0 0

10

20

30

40

50

60

70

Optimal Decisions(X1,X2): (15.00, 2.50) : 0.30X1 + 0.20X2 >= 5.00 : 0.15X1 + 0.30X2 >= 3.00

Entrada de datos SOLVER PLANIFICACIÓN TRABAJO Greentree Kennels

Comida Cantidad Calidad

Proteinas Grasas

Bark Bits

Canine Chow

1 0,06

Restricciones 0,3 0,15

1 Min 0,05

0,11

No Utilizado Limite utiliz 0,2 0,5 ≥ 5 4,5 0,3 0,45 ≥ 3 2,55

Salida de datos SOLVER PLANIFICACIÓN TRABAJO Greentree Kennels

Comida Cantidad Calidad

Bark Bits


Canine Chow 15 2,5 Min 0,06 0,05 1,025

Página: 26

80



Restricciones Proteinas Grasas

Utilizado

0,3

0,2

0,15

0,3

No Limite utiliz -3,3E5 ≥ 5 12 -2,2E3 ≥ 3 12

13. La New England Cheese Company produce dos quesos crema mezclando quesos chedar tanto suave como extrafuerte. Los quesos crema se empacan en recipientes de 12 onzas, que después se venden a distribuidores en todo el noroeste. La mezcla Regular contiene 80% de chedar suave y 20% de extrafuerte y la mezcla Zesty contiene 60% de chedar suave y 40% de extrafuerte. Este año, una cooperativa lechera local ha ofrecido entregar hasta 8.100 libras de queso chedar a $1.20 por libra y hasta 3.000 libras de queso chedar extrafuerte a $1.40 por libra. El costo de mezclar y empacar estos quesos crema, excluyendo el costo del queso mismo, es de $0.20 por recipiente. Si cada recipiente de Regular se vente a $1.95 y cada recipiente Zesty se vende a $2.20. ¿Cuántos recipientes deberá producir New England Cheese de Regular y Zesty?13 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad (en miles) de recipientes de queso Regular X2 = Cantidad (en miles) de recipientes de queso Zesty 





Función Objetivo Zmax = (1.95 – 0.20 - 0.80*0.75*1.20 – 0.60*0.75*1.40)X1 + (2.20 – 2.0 – 0.20*0.75*1.20 – 0.40*0.75*1.40)X2 Zmax = 0.40X1 + 1.40X2 Restricciones 0.80*0.75X1 + 0.60*0.75X2 ≤ 8,1 queso chedar suave 0.20*0.75X1 + 0.40*0.75X2 ≤ 3,0 queso chedar extrafuerte No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Solución GLP

13



Página: 27



: 0.2 0.8 X1 + 0.4 0.6 X

X2 10 Payoff: 0.4 X1 + 1.4 X2 = 14.0

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Optimal Decisions(X1,X2): ( 0.0, 10.0) : 0.8X1 + 0.6X2 <= 10.8 : 0.2X1 + 0.4X2 <= 4.0

Datos de entrada SOLVER PLANIFICACION TRABAJO en New England Cheese Company Recipientes queso Cantidad en miles Utilidad

Regular

Restricciones Queso Ch. suave Tiempo prod. min

Zesty

1 0,4

1 max 1,4 1,8

0,8 0,2

No Utilizado Límite Utiliz 0,6 1,4 ≤ 10,8 9,4 0,4 0,6 ≤ 4 3,4

Datos de salida SOLVER Recipientes queso Cantidad en miles Utilidad

Restricciones Queso Ch. suave Tiempo prod. min


Regular Zesty 0 10 max 0,4 1,4 14

0,8 0,2

Utilizado 0,6 6 ≤ 0,4 4 ≤

No Límite Utiliz 10,8 4,8 4 -5,5E-12

Página: 28

14

X1



14. Los administradores de Healthtech Foods están considerando desarrollar un nuevo bocadillo bajo en grasas. Se trata de una mescla de dos tipos de cereales, cada una de ellos con distintas características en fibras, grasas y proteínas. La tabla siguiente muestra estas características por onza de cada tipo de cereal.

Cereal A B

Fibra dietética (gramos) 2 1.5

Grasas (gramos) 2 3

Proteínas (gramos) 4 3

Note que cada onza de cereal A proporciona dos gramos de fibra dietética y que cada onza de cereal B da 1.5 gramos de fibra dietética, por lo que si Healthtech fuera a desarrollar el nuevo producto utilizando una mezcla formada de 50% de cereal A y 50% de cereal B, una onza de éste contendría 1.75 gramos de fibra dietética. Los requisitos nutricionales de Healthtech exigen que cada onza del nuevo alimento tenga por lo menos 1.7 gramos de fibra dietética, no más de 2.8 gramos de grasa y no más de 3.6 gramos de proteínas. El costo del cereal A es de $0.02 por onza y el del B es de $0.025 por onza. Healthtech desea determinar cuánto de cada cereal es necesario para producir una onza del nuevo producto al menor costo posible. a. Formule el modelo de programación lineal para esta situación b. Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica c. ¿Cuáles son las variables de holgura y de excedente d. Si Healthtech pone en el mercado el nuevo cereal en un paquete de 8 onzas. ¿Cuál sería el costo del paquete?14 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de onzas de cereal A X2 = Cantidad de onzas de cereal B 

Función Objetivo Zmin = 0.02X1 + 0.025X2



Restricciones 2X1 + 1.5X2 ≥ 1.7 por fibra dietética 2X1 + 3X2 ≤ 2.8 por grasas 4X1 + 3X2 ≤ 3.6 por proteínas X1 + X2 = 1 onzas

14



Página: 29






X2 1

Payoff: 0.020 X1 + 0.025 X2 = 0.017

: 4.000 X1 + 3.000 X2 = 3.600 : 2.000 X1 + 3.000 X2 = 2.800 0

: 2.000 X1 + 1.500 X2 = 1.700 0

1

Optimal Decisions(X1,X2): (0.850, 0.000) : 2.000X1 + 1.500X2 >= 1.700 : 2.000X1 + 3.000X2 <= 2.800 : 4.000X1 + 3.000X2 <= 3.600

Datos entrada SOLVER Planificacion de Healthtech Foods Cereal Cantidad en onzas Costo

A

B 1 0,02

Restricciones fibra dietética por grasas por proteinas

2 2 4

1 min 0,025 0,045

Utilizado 1,5 3,5 ≥ 3 5 ≤ 3 7 ≤

No Límite Utiliz 1,7 1,8 2,8 -2,2 3,6 -3,4

Datos salida SOLVER Planificacion de Healthtech Foods Cereal Cantidad en onzas

A


B 0,85

0 min

Página: 30

X1


Costo


0,02

0,025

Restricciones fibra dietética por grasas por proteinas

0,017

Utilizado 2 2 4

1,5 3 3

1,7 ≥ 1,7 ≤ 3,4 ≤

No Utiliz 9,12E1,7 13 2,8 1,1 3,6 0,2

Límite

15. MD Chemical produce dos productos que se venden como materia prima para empresas fabricantes de jabones para baño, detergentes para lavandería y otros productos de jabón. Apoyándose en un análisis de los niveles actuales de inventarios y de la demanda potencial para el mes siguiente, la administración de MD ha especificado que la producción total de los productos 1 y 2 combinados debe ser de por lo menos 350 galones. Además debe cumplir con un pedido de un cliente de importancia de 125 galones del producto 1. El tiempo de procesado del producto 1 requiere dos horas por galón, y del producto 2 requiere de una hora; para el mes siguiente, hay disponibilidades de 600 horas de proceso. Los costos de producción son 2 dólares por galón del producto 1 y 3 dólares del producto 2. a. Determine las cantidades de producción que satisfagan los requisitos especificados al costo mínimo. b. ¿Cuál es el costo total del producto? c. Identifique la cantidad de cualquier producción excedente.15 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de galones del producto 1 X2 = Cantidad de galones de producto 2 

Función Objetivo Zmin = 2X1 + 3X2



Restricciones X1 + X2 ≥ 350 galones producidos X1 ≥ 125 pedido de un cliente 2X1 + 1X2 ≤600 horas de proceso




15



Página: 31



X2 440 418 396 374 352 330 308 286 264 Payoff: 2.0 X1 + 3.0 X2 = 800.0 242 220 198 176 154 132 110 88 : 2.0 X1 + 1.0 X2 = 600.0 66 44 : 1.0 X1 + 0.0 X2 = 125.0 22 0 : 1.0 X1 + 1.0 X2 = 350.0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

200 220 240 260 280 300 320 340 360

380 400

Optimal Decisions(X1,X2): (250.0, 100.0) : 1.0X1 + 1.0X2 >= 350.0 : 1.0X1 + 0.0X2 >= 125.0 : 2.0X1 + 1.0X2 <= 600.0

Datos entrada SOLVER Planificacion de 55. M&D Chemical Producto Cantidad galones Costo

1 1 2

Restricciones Galones producidos Pedido cliente Horas proceso

2 1 min 3

5

Utilizado 1 1 2

1 1

2 ≥ 1 ≥ 3 ≤

Límite 350 125 600

No Utiliz -348 124 597

Datos salida SOLVER Planificacion de M&D Chemical Producto Cantidad galones Costo


1 250 2

2 100 min 3 800

Página: 32

X1


Restricciones Galones producidos Pedido cliente Horas proceso


Utilizado 1 1 2

1 1

350 ≥ 250 ≥ 600 ≤

Límite 350 125 600

No Utiliz 8,11E-10 -125 -2,9E-10

16. Photo Chemicals produce dos tipos de fluido para revelado fotográfico. Ambos productos le cuestan a la empresa un dólar por galón producirlos. Con base e una análisis de niveles actuales de inventario y en las órdenes en mano para el mes siguiente, la administración de Photo Chemicals ha decidido que durante las siguientes dos semanas se produzcan por los menos 30 galones del producto 1 y por lo menos 20 galones del producto 2. También ha dicho la administración que en el transcurso de las siguientes dos semanas debe utilizarse el inventario existente de una materia prima muy perecedera necesaria en la producción de ambos fluidos. El inventario actual de esta materia prima muy perecedera es de 80 libras. Aunque de ser necesario se puede ordenar más de esta materia prima, cualquier parte del inventario actual no utilizada se echará a perder dentro de las siguientes dos semanas; de ahí el requerimiento de la administración de que por lo menos se utilicen las 80 libras en las siguientes dos semanas. Además, el producto 1 requiere de una libra de esta materia prima perecedera por galón, y el producto 2 requiere 2 libras de la materia prima por galón. Dado que el objetivo de la administración es mantener los costos de producción al mínimo nivel posible, están buscando un plan de producción de costo mínimo que utilice la totalidad de las 80 libras de la materia prima perecedera y que obtenga por lo menos 30 galones del producto 1 y por lo menos 20 galones del producto 2. ¿Cuál es la solución de costo mínimo?16 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de galones de fluido tipo 1 X2 = Cantidad de galones de fluido tipo 2 

Función Objetivo Zmin = X1 + X2



Restricciones X1 ≥ 30 producción mínima de producto 1 X2 ≥ 20 producción mínima de producto 2 X1 + 2X2 ≥ 80 libras de materia prima




16



Página: 33



Solucion GLP Payoff: 1.0 X1 + 1.0 X2 = 60.0

X2 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

: 1.0 X1 + 2.0 X2 = 80.0

: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 20.0

: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 30.0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

Optimal Decisions(X1,X2): (40.0, 20.0) : 1.0X1 + 0.0X2 >= 30.0 : 0.0X1 + 1.0X2 >= 20.0 : 1.0X1 + 2.0X2 <= 80.0

17. Bryant’s Pizza es un productor de pizzas congeladas. La empresa tiene una utilidad de un dólar por cada pizza normal que produzca y de 1.5 dólares por cada pizza de lujo. Cada pizza incluye una combinación de pasta de harina y de mezcla de relleno. Actualmente la empresa tiene 150 libras de mezcla de pasta y de 50 libras de mezcla de relleno. Cada pizza normal utiliza una libra de mezcla de pasta de harina y 4 onzas de mezcla de pasta de relleno. Cada pizza de lujo utiliza una libra de mezcla de pasta de harina y 8 onzas de mezcal de relleno. Con base en la demanda del pasado, Bryant puede vender por lo menos 50 pizzas normales y por lo menos 25 pizzas de lujo. ¿Cuántas pizzas normales y de lujo deberá fabricar la empresa para maximizar la utilidad? a. ¿Cuál es el modelo de programación lineal para este problema? b. Escriba este programa lineal en su forma estándar. c. Encuentre la solución óptima. d. ¿Cuáles son los valores e interpretaciones de todas las variables de holgura y de excedente? e. ¿Qué restricciones están asociadas con recursos limitantes?17 Solución: Formulación del modelo: 17



Página: 34

X1





Definición de variables X1 = Cantidad de Pizzas Normales X2 = Cantidad de Pizzas De Lujo



Función Objetivo Zmax = 1X1 + 1.5X2



Restricciones X1 + X2 ≤ 150 pasta de harina 0.25X1 + 0.5X2 ≤ 50 pasta de relleno X1 ≥ 50 venta de pizzas Normales X2 ≥ 25 venta de pizzas De Lujo



No negatividad Xi ≥0; i=1,2 X2 Solución GLP 160 152 144 136

: 1.00 X1 + 0.00 X2 = 50.00

128 120 112 104 96 88

: 1.00 X1 + 1.00 X2 = 150.00

80 72 64

Payoff: 1.00 X1 + 1.50 X2 = 175.00

56 48 40

: 0.00 X1 + 1.00 X2 = 25.00

32 24

: 0.25 X1 + 0.50 X2 = 50.00

16 8 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

Optimal Decisions(X1,X2): (100.00, 50.00) : 1.00X1 + 1.00X2 <= 150.00 : 0.25X1 + 0.50X2 <= 50.00 : 1.00X1 + 0.00X2 >= 50.00 : 0.00X1 + 1.00X2 >= 25.00


PLANIFICACION TRABAJO BRYANT'S PIZZA Pizzas Cantidad


Normal Lujo 1 1 max

Página: 35

150

160

170



Utilidad

1

Restricciones Pasta harina 1 Relleno 0,25 Pizzas Normales 1 Pizzas Lujo

1,5

2,5

Utilizado 1 2 0,5 0,75 1 1 1

≤ ≤ ≥ ≥

No Límite Utiliz 150 148 50 49,25 50 -49 25 -24

≤ ≤ ≥ ≥

No Límite Utiliz 150 -3,4E-10 50 -6E-11 50 50 25 25

Datos de salida SOLVER PLANIFICACION TRABAJO BRYANT'S PIZZA Pizzas Cantidad Utilidad

Normal Lujo 100 50 max 1 1,5 175

Restricciones Pasta harina 1 Relleno 0,25 Pizzas Normales 1 Pizzas Lujo

Utilizado 1 150 0,5 50 100 1 50

18. English Motors, Ltd. (EML), ha desarrollado un nuevo vehículo deportivo de utilería, con tracción en la cuatro llantas. Como parte de la campaña de mercadotecnia, EML ha desarrollado una presentación de ventas en video cinta que se enviará tanto a propietarios de vehículos de tracción en las cuatro ruedas EML actuales, como a propietarios de vehículos utilitarios deportivos de cuatro ruedas ofrecidos por los competidores EML se refiere a estos dos mercados objetivo como mercado de clientes actual y mercado de clientes nuevo. Los individuos que reciban el nuevo video promocional también recibirán un cupón para un recorrido de prueba del nuevo modelo EML, durante un fin de semana. Un factor clave en el éxito de esta nueva promoción es la tasa de respuesta, es decir el porcentaje de individuos que reciban la nueva promoción y hagan el recorrido de prueba del nuevo modelo, EML estima que la tasa de respuesta para el mercado de clientes actual es de 25% y para el mercado de cliente nuevo es de 20%. La tasa de ventas es el porcentaje de individuos que reciba la nueva promoción, haga el recorrido de prueba y efectúe la compra. Los estudios de investigación de mercado indican que la tasa de ventas el de 12% para el mercado de clientes actual y de 20% para el mercado de clientes nuevo. El costo de cada promoción, excluyendo los costos de recorrido de prueba, es de 5 dólares por cada promoción enviada al mercado de clientes actual y de 4 dólares por cada promoción enviada al mercado de clientes nuevo. La administración también ha decidido que se deberá enviar la nueva promoción a un mínimo d 30.000 clientes actuales y a un mínimo de 10.000 clientes nuevos. Además, el número de clientes actuales que haga el recorrido de prueba del Oswaldo Paul Rivadeneira

Página: 36



nuevo vehículo debe ser de por lo menos el doble del número de clientes nuevos que hagan recorrido de prueba del nuevo vehículo. Si el presupuesto de mercadotecnia, incluyendo los costos del recorrido de prueba, es de 1’200.000 dólares, ¿Cuántas promociones deberán ser enviadas a cada grupo de clientes para maximizar las ventas totales?18 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de promociones enviadas a clientes actuales X2 = Cantidad de promociones enviadas a clientes nuevos 

Función Objetivo Zmax = 0.12*5X1 + 0.20*4X2



Restricciones X1 ≥ 30.000 clientes actuales X2 ≥ 10.000 clientes nuevos 0.25X1 ≥ 2*0.20X2 relación entre clientes que responden a la promoción 5X1 + 4X2 ≤1’200.000 presupuesto



No negatividad Xi ≥ 0; i=1,2 Solución GLP

18



Página: 37



X2 273 260 247 234 221 Payoff: 0.60 X1 + 0.80 X2 = 176.00 208 195 182 169 156 143 : 1.00 X1 + 0.00 X2 = 30.00 130 117 104 91 78 65 52 39 26 13 0 0 13 26 39 52 65

: 5.00 X1 + 4.00 X2 = 1200.00

: 0.25 X1 - 0.40 X2 = 0.00

: 0.00 X1 + 1.00 X2 = 10.00

78

91

104

117

130

143

156

169

182

195

208

221

Optimal Decisions(X1,X2): (160.00, 100.00) : 1.00X1 + 0.00X2 >= 30.00 : 0.00X1 + 1.00X2 >= 10.00 : 0.25X1 - 0.40X2 >= 0.00 : 5.00X1 + 4.00X2 <= 1200.00

Datos de entrada SOLVER PLANIFICACION TRABAJO ENGLISH MOTOR LTD.

Promociones Cantidad en miles Ventas

Restricciones Clientes actuales Clientes nuevos Relacion clientes Presupuesto

Clientes Clientes Actuales Nuevos 1 0,6

1 0,25 5

1 max 0,8 1,4

Utilizado 1 1 1 -0,4 -0,15 4 9

≥ ≥ ≥ ≤

No Límite Utiliz 30 29 10 9 0 -0,15 1200 -1191

Datos salida SOLVER PLANIFICACION TRABAJO ENGLISH MOTOR LTD.

Promociones Cantidad en miles Ventas


Clientes Clientes Actuales Nuevos 160 0,6

100 max 0,8 176

Página: 38

234

247

260


Restricciones Clientes actuales Clientes nuevos Relacion clientes Presupuesto


1 0,25 5

Utilizado 160 1 100 -0,4 -1,1E-11 4 1200

≥ ≥ ≥ ≤

Límite No Utiliz 30 -130 10 -90 0 -1,1E-11 1200 2,78E-09

19. Creative Sports Designs (CSD) fabrica raquetas de tamaño estándar y extragrande. Las raquetas de la empresa son extremadamente ligeras, debido a uso de una aleación de magnesio y grafito inventada por el fundador de la empresa. Cada raqueta de tamaño estándar utiliza 0,125 kilos de aleación y cada raqueta extragrande utiliza 0,4 kilos; para el siguiente período de producción de dos semanas sólo hay disponibles 80 kilos de aleación. Cada raqueta de tamaño estándar ocupa 10 minutos de tiempo de fabricación y cada raqueta de tamaño extragrande ocupa 12 minutos. Las contribuciones a la utilidad son de 10 dólares por cada raqueta estándar y de 15 dólares por cada raqueta extragrande y están disponibles 40 horas de tiempo de producción por semana. La administración ha especificado que por lo menos 20% de la producción total debe ser de raqueta de tamaño estándar. ¿Cuántas raquetas de cada tipo deberá fabricar CSD en las dos semanas siguientes, a fin de maximizar la contribución a la utilidad? Suponga que, debido a la naturaleza única de sus productos, CSD puede vender tantas raquetas como pueda producir.19 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de unidades de raquetas estandar X2 = cantidad de unidades de raquetas extra grande 




Restricciones 0.125X1 + 0.4X2 ≤ 80 kilos de aleación 10X1 + 12X2 ≤ 40*60 minutos de tiempo de producción X1 ≥ 0.20(X1 + X2)




19



Página: 39


X2 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0


: 0.125 X1 + 0.400 X2 = 80.000 Payoff: 10.000 X1 + 15.000 X2 = 2896.551 : 10.000 X1 + 12.000 X2 = 2400.000

: 0.800 X1 - 0.200 X2 = 0.000

0

2

4

6

8

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42

X1

Optimal Decisions(X1,X2): (41.379, 165.517) : 0.125X1 + 0.400X2 <= 80.000 : 10.000X1 + 12.000X2 <= 2400.000 : 0.800X1 - 0.200X2 >= 0.000

Datos entrada SOLVER PLANIFICACION TRABAJO 59. Creative Sports Designs Raquetas Cantidad Contrib. Utilidad

Estandar Extra G 1 1 max 10 15 25

Restricciones Kilos aleación Tiempo prod. min 20% prod estand

0,125 10 0,8

No Utilizado Límite Utiliz 0,4 0,525 ≤ 80 79,475 12 22 ≤ 2400 2378 -0,2 0,6 ≥ 0 0,6

Datos salida SOLVER PLANIFICACION TRABAJO 59. Creative Sports Designs Raquetas Cantidad Contrib. Utilidad Restricciones Kilos aleación Tiempo prod. min


Estandar Extra G 41,37931 165,5172 max 10 15 2896,552

0,125 10

Utilizado Límite No Utiliz 0,4 71,37931 ≤ 80 8,62069 12 2400 ≤ 2400 3,03E-10

Página: 40


20% prod estand


0,8

-0,2

9,03E-11 ≥

0

9,03E-11

20. La administración de High Tech Service (HTS) desea desarrollar un modelo que le ayude a asignar el tiempo de sus técnicos entre llamada de servicio por contrato a clientes tanto normales como nuevos. En el período de planeación de dos semanas hay disponible un máximo de 80 horas de tiempo de técnico. A fin de satisfacer los requisitos de flujo de caja, deben generarse por lo menos 800 dólares de ingresos (por técnico) durante el período de dos semanas. El tiempo de técnico para los clientes normales genera 25 dólares por hora, pero para clientes nuevos sólo genera un promedio de 8 dólares la hora, porque en muchos casos el contacto con el cliente no llega a generar servicios facturables. Para asegurarse de que se mantienen contactos nuevos, el tiempo de técnico utilizado en contactos con clientes nuevos debe ser por lo menos 60% del tiempo utilizado en contactos con clientes normales. Para los requerimientos de ingresos y políticas enunciadas, HTS desearía determinar cómo asignar el tiempo de los técnicos entre clientes normales y nuevos, a fin de maximizar el número total de clientes en contacto durante el período de dos semanas. Los técnicos requieren un promedio de 50 minutos por cada contacto de cliente normal y de una hora por cada contacto con cliente nuevo. a. Desarrolle un modelo de programación lineal que le permita a HTS asignar el tiempo de los técnicos entre clientes normales y nuevos. b. Haga una gráfica de la región factible c. Resuelva las ecuaciones lineales simultáneas apropiadas para determinar los valores de X1 y X2 en cada punto extremo de la región factible. d. Encuentre la solución óptima20 REFERENCIA: Página 274 Problema 63. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Anderson Sweeney Willams. Editorial Thomson. Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Numero de horas de técnico asignado a clientes normales X2 = Numero de horas de técnico asignado a clientes nuevos 

Función Objetivo Zmax = 60X1/50+ 60X2/60



Restricciones X1 + X2 ≤ 80 horas disponibles de técnico X2 ≥ 0.6X1 relación de tiempo de técnico 25X1 + 8X2 ≥ 800 ingresos en dólares



No negatividad Xi ≥ 0; i=1,2

número de clientes

20


Página: 41

156

143



130

117

Solución GLP 104

91

Payoff: 1.20 X1 + 1.00 X2 = 90.00

78

65

52

39 : 25.00 X1 + 8.00 X2 = 800.00

: -0.60 X1 + 1.00 X2 = 0.00

26

13

: 1.00 X1 + 1.00 X2 = 80.00

0 0

11

22

33

44

55

66

Optimal Decisions(X1,X2): (50.00, 30.00) : 1.00X1 + 1.00X2 <= 80.00 : -0.60X1 + 1.00X2 >= 0.00 : 25.00X1 + 8.00X2 >= 800.00

Entrada de datos SOLVER PLANIFICACION TRABAJO High Tech Service Clientes Clientes normales nuevos 1 1 max 1.2 1 2.2

Horas de trabajo Cantidad horas Número clientes Restricciones Horas disponibles Relación tiempo Ingresos

Utilizado 1 -0.6 25

1 1 8

2 ≤ 0.4 ≥ 33 ≥

Límite 80 0 800

No Utiliz 78 -0.4 -767

Datos de salida SOLVER PLANIFICACION TRABAJO High Tech Service

Horas de trabajo Cantidad horas Número clientes

Clientes Clientes normales nuevos 50 30 max 1.2 1 90


Página: 42

77


Restricciones Horas disponibles Relación tiempo Ingresos


Utilizado 1 -0.6 25

1 1 8

80 ≤ -2.2E-11 ≥ 1490 ≥

Límite 80 0 800

No Utiliz -1.8E-10 2.18E-11 690

21. Jackson Hole Manufacturing es un pequeño fabricante de productos de plástico que se utilizan en las industrias automotrices y de computación. Tiene un importante contrato con una empresa de computadoras que implica la producción de cajas de plástico para las impresoras portátiles de dicha empresa. Las cajas de impresora se producen en dos máquinas de moldeo por inyección. La máquina M100 tiene una capacidad de producción de 20 cajas de impresora por hora y la máquina M200 tiene una capacidad de 40 cajas por hora. Ambas máquina utilizan la misma materia prima química para producir las cajas de impresora.; la M100 utiliza 40 libras de materia prima por hora, y la M200 utiliza 50 por hora. La empresa de computadoras le ha pedido a Jackson Hole que produzca tantas cajas durante la semana que sigue como sea posible, y la ha dicho que le pagará 18 dólares por cada caja que pueda entregar. Sin embargo, la siguiente semana es un período normal de vacaciones programadas para la mayor parte de los empleados de producción de Jackson Hole. Durante este tiempo, se efectúa el mantenimiento anual de todo el equipo de la planta. Debido al tiempo parado para mantenimiento, la M100 no estará disponible durante más de 15 horas y la M200 durante más de 10 horas. Sin embargo, en razón del elevado costo de preparación involucrado en ambas máquinas, la administración requiere que, si el programa de producción en cualquiera de estas máquinas, la máquina deberá operar por lo menos durante 5 horas. El proveedor de la materia química utilizada en el proceso de producción le ha informado a Jackson Hole que tendrá disponible un máximo de 1.000 libras de la materia prima para la producción de la siguiente semana. El costo de la materia prima es de 6 dólares por libra. Además del costo de la materia prima, Jackson Hole estima que el costo horario de operación de la M100 y la M200 son de 50 y 75 dólares, respectivamente. a. Formule un modelo de programación lineal que se pueda utilizar para maximizar la contribución de la utilidad. b. Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica.21 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Numero de horas de trabajo de maquina M100 X2 = Numero de horas de trabajo de maquina M200 

Función Objetivo Zmax = (20X1*18 – 40X1*6 – 50X1) + (40X2*18 – 50X2*6 – 75X2)

21


Página: 43



30

Zmax = (360 – 240 – 50)X1 + (720 – 300 – 75)X2 Zmax = 70X1 + 345X2 

Restricciones X1 horas máximas de trabajo M100 24 ≤ 15 X2 ≤ 10 horas máximas de trabajo de M200 X1 ≥ 5 horas mínimas de trabajo de M100 X2 ≥ 5 horas mínimas de trabajo de M200 40X1 + 50X2 ≤ 1000 libras de materia prima disponibles



No 18 negatividad Xi ≥ 0; i=1,2 Solución GLP Payoff: 70.0 X1 + 345.0 X2 = 4325.0 12

6 : 40.0 X1 + 50.0 X2 = 1000.0 : 0.0 X1 + 2.0 X2 = 5.0 : 1.0 X1 + 0.0 X2 = 5.0 : 0.0 X1 + 1.0 X2 = 10.0 0

: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 15.0 0 1 2 3 4 5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

Optimal Decisions(X1,X2): (12.5, 10.0) : 1.0X1 + 0.0X2 <= 15.0 : 0.0X1 + 1.0X2 <= 10.0 : 1.0X1 + 0.0X2 >= 5.0 : 0.0X1 + 2.0X2 >= 5.0 : 40.0X1 + 50.0X2 <= 1000.0

Datos entrada SOLVER PLANIFICACION TRABAJO High Tech Service

Horas de trabajo Cantidad horas Contrib. utilidad Restricciones Horas max M100 Horas max M200


Maquina Maquina M100 M200 1 1 max 70 345 415

1 0

0 1

Utilizado 1 ≤ 1 ≤

Límite No Utiliz 15 14 10 9

Página: 44

24

25

26

27



Horas min M100 Horas min M200 Libras disponibles

1 0 40

0 1 50

1 ≥ 1 ≥ 90 ≤

5 5 1000

-4 -4 910

Datos de salida SOLVER

Horas de trabajo Cantidad horas Contrib. utilidad Restricciones Horas max M100 Horas max M200 Horas min M100 Horas min M200 Libras disponibles

Maquina Maquina M100 M200 12.5 10 max 70 345 4325

1 0 1 0 40

0 1 0 1 50

Utilizado 12.5 10 12.5 10 1000

≤ ≤ ≥ ≥ ≤

Límite No Utiliz 15 2.5 10 -9.9E-13 5 7.5 5 5 1000 -1.5E-09

22. Electronic Comunications fabrica radios portátiles que pueden utilizarse en comunicaciones de dos vías. El nuevo producto de la empresa que tiene un rango de hasta 25 millas, es adecuado para una diversidad de usos comerciales y personales. Los canales de distribución para el nuevo radio son: 1. 2. 3. 4.

distribuidores de equipo marino, distribuidores de equipo de oficina, cadenas nacionales de tiendas al menudeo, pedidos por correo.

Debido a diferentes costos de distribución y promocionales, la reditualidad del producto variará según el canal de distribución. Además, el costo de publicidad y el esfuerzo de ventas personales requerido también variarán de acuerdo con los canales de distribución. La tabla siguiente resume la distribución de la utilidad, el costo de publicidad y los datos de esfuerzo de ventas personales correspondientes al problema de Electronic Comunications. La empresa a formulado un presupuesto de publicidad de 5.000 dólares, y está disponible un máximo de 1800 horas de la fuerza de ventas para asignar al esfuerzo de ventas. Finalmente, un contrato vigente con la cadena nacional de tiendas al menudeo requiere que por lo menos de distribuyan 150 unidades a través de este canal de distribución. Datos de Utilidades, costos y esfuerzo del personal de ventas para Electronic Esfuerzo del Canal de Utilidades por Costo de publicidad personal de ventas distribución unidad vendida por unidad vendida por unidad vendida Distrib. Marinos $90 $10 2 horas


Página: 45



Distrib. de oficinas Tiendas nacionales Pedidos por correo

$84 $70 $60

$8 $9 $15

3 horas 3 horas Ninguna

Electronic Comunications ahora se enfrenta al problema de establecer un estrategia de distribución para los radios, que maximice la reditualidad general de la producción de nuevos radios. Debe tomarse decisiones en relación con cuantas unidades deben asignarse a cada uno de los cuatro canales de distribución, así como asignar el presupuesto de publicidad y el esfuerzo de la fuerza de ventas a cada uno de los canales de distribución.22 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Numero de radios X2 = Numero de radios X3 = Numero de radios X4 = Numero de radios

asignados asignados asignados asignados

a a a a

distribuidores de equipo marino distribuidores de equipos de oficina cadenas nacionales de tiendas pedidos por correo



Función Objetivo Zmax = 90X1 + 84X2 + 70X3 + 60X4



Restricciones 10X1 + 8X2 + 9X3 + 15X4 ≤ 5.000 por presupuesto 2X1 + 3X2 + 3X3 ≤ 1.800 horas de esfuerzo en ventas X3 ≥ 150 unidades mínimas para cadenas nacionales




Datos de entrada SOLVER ELECTRONIC COMUNICATION Distribuidores Cadenas pedidos Equipo Equipos de nacionales por Radios asignados a Marino Oficina de tiendas correo Número de Radios 1 1 1 1 Max Utlidades 90 84 70 60 304

RESTRICCIONES Presupuesto Esfuerzo laboral Contrato cadena nacion

USO DE RECUROS 10 2

8 3

9 3 1

15

Utilizado 42 ≤ 8 ≤ 1 ≥

LIMITE No utiliz 5000 4958.00 1800 1792.00 150 -149.00

22


Página: 46



Datos de salida SOLVER ELECTRONIC COMUNICATION Distribuidores Cadenas pedidos Equipo Equipos nacionales por Radios asignados a Marino de Oficina de tiendas correo Número de Radios 10.71429 442.85714 150 0 Max Utlidades 90 84 70 60 48664.29

RESTRICCIONES Presupuesto Esfuerzo laboral Contrato cadena nacion

USO DE RECUROS 10 2

8 3

Utilizado LIMITE No utiliz 15 5000 ≤ 5000 0.00 1800 ≤ 1800 0.00

9 3 1

150 ≥

150

23. National Insurance Associates mantiene una cartera de inversiones en acciones, bonos y otras alternativas de inversión. Actualmente hay fondos disponibles por 200.000 dólares y deben ser tomados en consideración para nuevas oportunidades de inversión. Las cuatro opciones de valores que National está considerando así como los datos financieros relevantes correspondientes son los que siguen: Acción Datos financieros Precio por acción ($) Tasa anual de rendimiento Medida de riego por dólar

A 100 0.12 0.10

B 50 0.08 0.07

C 80 0.06 0.05

D 40 0.10 0.08

La medida de riesgo indica la incertidumbre relativa asociada con la acción, en función de su capacidad de alcanzar su rendimiento anual proyectado; valores más elevados indican mayor riesgo. Las medidas de riesgo son proporcionadas por el principal asesor financiero de la empresa. La administración general de National ha estipulado las siguientes vías de acción para las inversiones: 1. La tasa de rendimiento anual de la cartera debe ser por lo menos 9% 2. Ninguno de los valores puede representar más del 50% de la inversión total en dólares. a. Utilice la programación lineal para desarrollar una cartera de inversiones que minimice el riesgo. b. Si la empresa ignora el riesgo y utiliza una estrategia de máximo rendimiento sobre la inversión, ¿Cuál sería la cartera de inversiones?


Página: 47

0.00



c. ¿Cuál es la diferencia en dólares entre las carteras de inversiones de los incisos (a) y (b)? ¿Por qué preferiría la empresa la solución desarrollada en el inciso (a)23 REFERENCIA: Página 316 Problema 16. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Anderson Sweeney Willams. Editorial Thomson. Solución a): Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de acciones X2 = Cantidad de acciones X3 = Cantidad de acciones X4 = Cantidad de acciones

asignados asignados asignados asignados

a a a a

opción A opción B opción C opción D



Función Objetivo Zmin = 10X1 + 3.5X2 + 4.0X3 + 3.2X4



Restricciones 100X1 + 50X2 + 80X3 + 40X4 ≤ 200.000 dólares disponibles 12X1 + 4.0X2 + 4.8X3 + 4.0X4 ≥ 0.09*200.000 rendimiento 100X1 ≤ 0.5*200.000 inversión máxima de X1 50X2 ≤ 0.5*200.000 inversión máxima de X2 80X3 ≤ 0.5*200.000 inversión máxima de X3 40X4 ≤ 0.5*200.000 inversión máxima de X4



No negatividad Xi ≥ 0; i=1,4 Datos entrada SOLVER National Insurance Associates Acciones

Accionea asignadas a Cantidad Riesgo RESTRICCIONES Dólares disponibles Rendimiento annual Invesión máx en A Invesión máx en B Invesión máx en C Invesión máx en D

A

B 1 10

1 3.5

USO DE RECUROS 100 50 12 4 100 50

C

D 1 4

80 4.8

80

1 Min 3.2 20.7 Utilizado 40 270 4 24.8 100 50 80 40 40

≤ ≥ ≤ ≤ ≤ ≤

LIMITE No utiliz 200000 199730.00 18000 -17975.20 100000 99900.00 100000 99950.00 100000 99920.00 100000 99960.00

23


Página: 48



Resultados del SOLVER National Insurance Associates Acciones Accionea asignadas a Cantidad Riesgo

RESTRICCIONES Dólares disponibles Rendimiento annual Invesión máx en A Invesión máx en B Invesión máx en C Invesión máx en D

A 333.3333 10 USO DE RECUROS 100 12 100

B

C 0 833.333333 3.5 4

50 4

80 4.8

50 80

D 2500 Min 3.2 14666.67

Utilizado 40 200000 4 18000 33333.33 0 66666.67 40 100000

≤ ≥ ≤ ≤ ≤ ≤

LIMITE No utiliz 200000 0.00 18000 0.00 100000 66666.67 100000 100000.00 100000 33333.33 100000 0.00

24. La administración de Carson Stapler Manufacturing Company pronostica para el trimestre que viene una demanda de 5000 unidades para su modelo Sure-Hold. Esta engrapadora se ensambla a partir de tres componentes principales: la base, el cartucho de grapa y la manija. Hasta ahora Carson ha fabricado los tres componentes. Sin embargo, el pronóstico de 5000 unidades es un nuevo volumen máximo de venta y la empresa quizá no tenga suficiente capacidad de producción para la fabricación de todos los componentes. La administración está pensando contratar una empresa maquiladora local para producir por lo menos una parte de los componentes. Los requisitos de tiempos de producción por unidad son como sigue:

Departamento A B C

Tiempo de producción (horas) Base Cartucho Manija 0.03 0.02 0.05 0.04 0.02 0.04 0.02 0.03 0.01

Tiempo disponible (horas) 400 400 400

Note que cada componente fabricado por Carson ocupa tiempo de producción en cada uno de los tres departamentos. Después de tomar en consideración los gastos generales, las materias primas y los costos de mano de obra de la empresa, el departamento de contabilidad ha llegado al costo unitario, en dólares, de manufactura de cada componente. Estos datos junto con las cotizaciones de la empresa maquiladora de los precios de compra, en dólares, son como sigue: Componente Base Cartucho Manija Oswaldo Paul Rivadeneira

Costo de manufactura 0.75 0.40 1.10

Costo de adquisición 0.95 0.55 1.40 Página: 49



a. Determine cuál sería la decisión de fabricar o comprar para Carson, que haga que pueda cumplirse la demanda de 5000 unidades a un costo total mínimo. De cada componente, ¿Cuántas unidades deberán ser fabricadas y cuantas deberán ser adquiridas? b. ¿Qué departamentos están limitando el volumen de fabricación? Si pudiera considerarse tiempo extraordinario a un costo adicional de $3 la hora, ¿Qué departamento o departamentos deberían ser motivo de tiempo extra? Explique. c. Suponga que en el departamento A se pueden programar hasta 80 horas de tiempo extra. ¿Qué recomendaría usted?24 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X11 = Numero de bases para grapadoras producidas X12 = Numero de cartuchos para grapadoras producidos X13 = Numero de manijas producidas para grapadoras producidas X21 = Numero de bases para grapadoras adquiridas X22 = Numero de cartuchos para grapadoras adquiridos X23 = Numero de manijas para grapadoras adquiridas 

Función Objetivo Zmin = 0.75X11 + 0.40X12 + 1.10X13 + 0.95X21 + 0.55X22 + 1.40X23



Restricciones 0.03X11 + 0.02X12 0.04X11 + 0.02X12 0.02X11 + 0.03X12 X11 + X21 = 5.000 X12 + X22 = 5.000 X13 + X23 = 5.000



No negatividad Xij ≥0; i=1,2; j=1,3

+ 0.05X13 ≤ 400 horas disponibles Dep. A + 0.04X13 ≤ 400 horas disponibles Dep. B + 0.01X13 ≤ 400 horas disponibles Dep. C cantidad de bases cantidad de cartuchos cantidad de manijas

Datos de entrada SOLVER Unidades de Cantidad Costos

Carson Stapler Manufacturing Company Producidas Grapas Cartuchos Manijas Grapas 1 1 1 1 0.75 0.4 1.1 0.95

Adquiridas Cartuchos 1 0.55

Manijas 1 1.4

Min 5.15

24


Página: 50


RESTRICCIONES Horas Departamento A Horas Departamento B Horas Departamento C Cantidad de bases Cantidad de cartuchos Cantidad de manijas

USO DE RECUROS 0.03 0.02 0.04 0.02 0.02 0.03 1 1


1

Utilizado 0.1 0.1 0.06 2 2 2

Manijas 1250 1.4

Min 11875

1

Utilizado 400 400 262.5 5000 5000 5000

0.05 0.04 0.01 1 1 1

≤ ≤ ≤ = = =

LIMITE 400 400 400 5000 5000 5000

No utiliz 399.90 399.90 399.94 4998.00 4998.00 4998.00

≤ ≤ ≤ = = =

LIMITE 400 400 400 5000 5000 5000

No utiliz 0.00 0.00 137.50 0.00 0.00 0.00

Datos de salida de SOLVER Unidades de Cantidad Costos RESTRICCIONES Horas Departamento A Horas Departamento B Horas Departamento C Cantidad de bases Cantidad de cartuchos Cantidad de manijas

Carson Stapler Manufacturing Company Producidas Grapas Cartuchos Manijas Grapas 3750 5000 3750 1250 0.75 0.4 1.1 0.95 USO DE RECUROS 0.03 0.02 0.04 0.02 0.02 0.03 1 1

Adquiridas Cartuchos 0 0.55

0.05 0.04 0.01 1 1 1

25. Golf Shafts (GSI) produce palos de grafito para varios fabricantes de palos de golf. Dos instalaciones de fabricación de GSI, una localizada en San Diego y otra en Tampa, tienen capacidad para producir palos en diversos grados de rigidez, desde modelos normales, principalmente utilizados por golfistas promedio, hasta modelos extrarígidos, utilizados principalmente por golfistas con bajo handicap y profesionales. GSI acaba de recibir un contrato para la producción de 200.000 palos normales y 75.000 rígidos. Dado que ambas plantas actualmente están produciendo palos de golf para cumplir con órdenes anteriores, ningún de las plantas tiene capacidad suficiente, por si misma, para llenar el nuevo pedido. La planta de San diego puede producir hasta un total de 120.000 palos, y la de Tampa, hasta un total de 180.000 palos de golf. Debido a diferencias en equipamiento en cada una de las plantas y de distintos costos de mano de obra, los costos de producción unitarios son distintos, como se muestra a continuación: Palo normal Palo rígido

Costo de San Diego $ 5.25 $ 5.45

Costo de Tampa $ 4.95 $ 5.70

a. Formule un modelo de programación lineal para determinar la manera en que GSI deberá programar la producción de este nuevo pedido para minimizar el costo total de producción. b. Utilice cualquier código de programación lineal para resolver el modelo desarrollado en el inciso (a) c. Suponga que algunas de las órdenes anteriores de la planta de Tampa podrían ser reprogramadas para liberar la capacidad adicional para esta nueva orden. ¿Merecería esto la pena? Explique. d. Suponga que el costo de producir un palo de golf rígido en Tampa fue incorrectamente calculado, y que el costo correcto es de 5.30 dólares por palo. Oswaldo Paul Rivadeneira

Página: 51



¿Qué efecto, si es que hubiera alguno, tendría lo anterior sobre la solución óptima desarrollada en el inciso (b)? ¿Qué efecto tendría lo anterior sobre el costo total de producción?25 Solución a): Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Numero de unid. de palos de golf normales fabricados en San Diego X2 = Numero de unid. de palos de golf extrarígidos fabricados en San Diego X3 = Numero de palos de golf normales fabricados en Tampa X4 = Numero de palos de golf extrarígidos fabricados en Tampa 

Función Objetivo Zmin = 5.25X1 + 5.45X2 + 4.95X3 + 5.70X4



Restricciones X1 + X3 = 200.000 X2 + X4 = 75.000 X1 + X2 ≤ 120.000 X3 + X4 ≤ 180.000  No negatividad Xi ≥ 0; i=1,4 Datos de entrada SOLVER

palos palos palos palos

de golf normales de golf extrarígidos fabricados en San Diego fabricados en Tampa

Golf Shafts (GSI) San Diego Palos de Golf

Tampa

Normales

Extrarígid

Normales

Extrarígid

1

1

1

1

5.25

5.25

4.95

5.7

Cantidad Costos RESTRICCIONES

USO DE RECUROS

Palos normales Palos extrarígidos

1

Fabric. San Diego

1

21.15 Utilizado

1 1

Fabric. Tampa

Min

1

1 1

1

LIMITE

No utiliz

2

≥

200000

199998.00

2

≥

75000

74998.00

2

≤

120000

119998.00

2

≤

180000

179998.00


25


Página: 52



Golf Shafts (GSI) San Diego Palos de Golf Cantidad Costos

Tampa

Normales

Extrarígid

Normales

Extrarígid

20000

75000

180000

0

5.25

5.25

4.95

5.7

RESTRICCIONES

USO DE RECUROS

Palos normales Palos extrarígidos

1

Fabric. San Diego

1

1E+06 Utilizado

1 1

Fabric. Tampa

Min

1

1 1

1

LIMITE

No utiliz

2E+05

≥

200000

0.00

75000

≥

75000

0.00

95000

≤

120000

25000.00

2E+05

≤

180000

0.00

26. La Pfeiffer Company administra aproximadamente 15 millones de dólares para sus clientes. Para cada Cliente, Pfeiffer escoge una mezcla de tres tipos de inversiones: un fondo de valores de crecimiento, un fondo de ingresos y un fondo de mercado de dinero. Cada cliente tiene objetivos de inversión distintos y diferentes tolerancias de riesgo. Para dar gusto a estas diferencias, Pfeiffer establece límites en cada cartera para los porcentajes que pueden ser invertidos en estos tres fondos y a cada cliente le asigna un índice de riesgo. Así como este sistema funciona para Dennos Hartmann, uno de los clientes de Pfeiffer Con base en una evaluación de la tolerancia al riesgo de Hartmann, Pfeiffer le ha asignado a la cartera de Hartmann un índice de 0.05. Además, para mantener cierta diversidad, la fracción de la cartera de Hartmann invertida en fondos de crecimiento y de ingresos debe ser por lo menos de 10% cada una y por lo menos 20% deberá estar invertido en fondos de mercado de dinero. Las evaluaciones de riego para los fondos de crecimiento, de ingresos y de mercado de dinero son respectivamente 0.10, 0.05 y 0.01. El índice de riesgo de cada una se calcula como el promedio ponderado de la valuaciones de riesgo de los tres fondos, donde los coeficientes de ponderación son iguales a la fracción de la cartera invertida en cada uno de los tres fondos. Hartmann le ha dado 300.000 dólares a Pfeiffer para su administración. Pfeiffer está pronosticando actualmente un rendimiento del 20% en el fondo de crecimiento, 10% en el fondo de ingresos y 6% en el fondo de mercad de dinero. a. Desarrolle un modelo de programación lineal para seleccionar la mejor mezcla de inversiones para el cartera Hartmann. b. Resuelva el modelo desarrollado en el inciso (a) c. ¿Cuánto pueden variar los rendimientos de los tres fondos, antes que Pfeiffer tenga que modificar la composición de la cartera de Hartmann? d. Si Hartmann fuera mas tolerante al riesgo. ¿qué aumento de rendimiento podría esperar? Por ejemplo, ¿Qué pasaría si su índice de riesgo de cartera aumentaría al 0.06?


Página: 53



e. Si Pfeiffer revisa hacia abajo su estimación de rendimiento para el fondo de crecimiento hasta 0.10, ¿Cómo recomendaría usted que se modificara la cartera de Hartmann? f. ¿Qué información debe mantener Pfeiffer sobre cada cliente para utilizar este sistema para la administración de las carteras de los clientes? g. En base semanaria Pfeiffer revisa las estimaciones de rendimiento de cada uno de los tres fondos. Suponga que Pfeiffer tiene 50 clientes. Describe la forma en que Pfeiffer podría ser modificaciones semanales en cada cartera de cliente, y asignar los fondos totales administrados entre los tres fondos de inversión.26 Solución a): Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de dólares asignados a valores de crecimiento X2 = Cantidad de dólares asignados a ingresos X3 = Cantidad de dólares asignados a mercado de dinero 

Función Objetivo Zmax = 0.20X1 + 0.10X2 + 0.06X3



Restricciones X1 ≥ 0.10*300.000 para valores de crecimiento X2 ≥ 0.10*300.000 para ingresos X3 ≥ 0.20*300.000 para mercado de dinero X1 + X2 +X3 ≤ 300.000 cartera 0.10X1 + 0.05X2 + 0.01X3 ≤ 0.05*300.000 riesgo de cartera



No negatividad Xi ≥ 0; i=1,3 Datos de entrada SOLVER La Pfeiffer Company Asignados a Cantidad de dólares

Crecimiento

Ingresos

Mercado

1

1

1

Rendimiento

0.2

0.1

0.06

RESTRICCIONES

USO DE RECUROS

Crecimiento

Riesgo Cartera

LIMITE

No utiliz

1

≥

30000

-29999.00

1

≥

30000

-29999.00

1

1

≥

60000

-59999.00

1

Mercado de dinero

0.36 Utilizado

1

Ingresos

Max

0.1

0.05

0.01

0.16

≤

15000

14999.84

1

1

1

3

≤

300000

299997.00

26

Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 317. Problema 19 Oswaldo Paul Rivadeneira

Página: 54



La Pfeiffer Company Asignados a Cantidad de dólares

Crecimiento

Ingresos

Mercado

120000

30000

150000

Rendimiento

0.2

0.1

0.06

RESTRICCIONES

USO DE RECUROS

Crecimiento

Riesgo Cartera

LIMITE

No utiliz

1E+05

≥

30000

90000.00

30000

≥

30000

0.00

1

2E+05

≥

60000

90000.00

1

Mercado de dinero

36000 Utilizado

1

Ingresos

Max

0.1

0.05

0.01

15000

≤

15000

0.00

1

1

1

3E+05

≤

300000

0.00

27. La Jolla Beverage Products está pensando en producir un refresco de vino, que sería mezcla de un vino blanco, de un vino rosado y de jugo de fruta. A fin de llenar las especificaciones de sabor, el refresco de vino debe estar hecho con por lo menos 50% de vino blanco, un mínimo de un 20% y no más de un 30% de rosado, y 20% de jugo de fruta. La Jolla adquiere el vino de los viñedos o lugares cercanos y el jugo de frutas de una planta procesadora en San Francisco. Para el período actual de producción, pueden adquirirse 10.000 galones de vino blanco y 8.000 galones de vino rosado, no hay límite en la cantidad de jugo de fruta que se puede pedir. El costo de los vinos es de un dólar por galón para el vino blanco y de 1.50 dólares por galón para el vino rosado; el jugo de fruta se puede adquirir a 0.50 por galón. La Jolla Beverage Products puede vender todo el refresco que pueda producir a 2.50 dólares por galón. a. ¿En esta situación, es el costo de vino y el costo de frutas un costo hundido, o uno relevante? Explique. b. Formule un programa lineal para determinar el número de galones que La Jolla Beverage Products deberá adquirir de cada ingrediente y la contribución a la utilidad total que obtendrán de esta mezcla. c. Si La Jolla Beverage Products pudiera obtener cantidades adicionales de vino blanco, ¿debería hacerlo? De hacerlo, ¿Cuánto debería estar dispuesto a pagar por cada galón adicional, y cuantos galones adicionales desearía adquirir? d. Si La Jolla Beverage Products pudiera obtener cantidades adicionales de vino rosado, ¿debería hacerlo? De hacerlo, ¿Cuánto debería estar dispuesto a pagar por cada galón adicional, y cuanto galones adicionales desearía adquirir? e. Interprete el precio dual para la restricción que corresponde al requisito de que el refresco de vino debe contener por lo menos 50% de vino blanco.¿Cual sería su consejo a la administración respecto a este precio dual? f. Interprete el precio dual de la restricción que correspóndela requisito de que al refresco de vino debe contener exactamente el 20% de jugo de frutas.¿Cual es su consejo a la administración respecto a este precio dual?27

27



Página: 55



Solución b): Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de galones de vino blanco X2 = Cantidad de galones de vino rosado X3 = Cantidad de galones de jugo de frutas 

Función Objetivo Zmax = 2.5*(X1+X2+X3) – 1X1 – 1.5X2 -0.5X3



Restricciones X1 ≤ 10.000 cantidad máxima de vino blanco X2 ≤ 8.000 cantidad máxima de vino rosado X1 ≥ 0.5(X1 +X2 + X3) dosificación máxima de vino blanco X2 ≥ 0.2(X1 +X2 +X3) dosificación mínima de vino rosado X2 ≤ 0.3(X1 +X2 +X3) dosificación máxima de vino rosado X3 ≤ 0.2(X1 +X2 +X3) dosificación de jugo de frutas





Galones de

La Pfeiffer Company Vino V. Blanco Rosado

Cantidad Utilidad

Frutas

1

1

1

1.5

1

2

RESTRICCIONES

USO DE RECUROS

Vino blanco

1

Vino rosado

Max 4.5 Utilizado

1

LIMITE

No utiliz

1

≤

10000

9999.00

1

≤

8000

7999.00

Min. vino blanco

0.5

-1

-1

-1.5

≥

0

-1.50

Min. vino rosado

-0.2

0.8

-0.2

0.4

≥

0

-0.40

Max. vino rosado

-0.3

0.7

-0.3

0.1

≤

0

-0.10

Max. frutas

-0.2

-0.2

0.8

0.4

≤

0

-0.40


Galones de

La Pfeiffer Company Vino V. Blanco Rosado

Cantidad Utilidad


Frutas

10000

3000

2000

1.5

1

2

Max 22000

Página: 56



RESTRICCIONES

USO DE RECUROS

Vino blanco

1

Vino rosado

Utilizado

1

LIMITE

No utiliz

10000

≤

10000

0.00

3000

≤

8000

5000.00

Min. vino blanco

0.5

-1

-1

1E-08

≥

0

0.00

Min. vino rosado

-0.2

0.8

-0.2

6E-09

≥

0

0.00

Max. vino rosado

-0.3

0.7

-0.3

-1500

≤

0

1500.00

Max. frutas

-0.2

-0.2

0.8

-1000

≤

0

1000.00

28. El gerente de programación del Canal 10 desea determinar la mejor forma de asignar el tiempo para la difusión de las noticias vespertinas de las 11:00 a las 11:30. Específicamente le gustaría determinar el número de minutos de tiempo de difusión dedicado a noticias locales, noticias nacionales, el clima y los deportes. A lo largo de los 30 minutos de difusión, se reservan 10 minutos para nubilidad. La política de difusión indica que por lo menos 15% del tiempo disponible deberá dedicarse a cobertura de noticias locales el tiempo dedicado a noticias locales y nacionales deberá ser por lo menos 50% del tiempo total de difusión; el tiempo dedicado al segmento del clima deberá ser inferior o igual al tiempo que se dedique al segmento de deportes; el tiempo dedicado al segmento de deportes no deberá ser superior al tiempo total dedicado a noticias locales y nacionales; y por lo menos, 20% del tiempo deberá dedicarse al segmento del clima. Los costos de producción por minuto son de 300 dólares para noticias locales, 200 dólares para noticias nacionales, 100 dólares para el clima y 100 dólares para deportes. Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = número de minutos X2 = número de minutos X3 = número de minutos X4 = número de minutos

para noticias locales para noticias nacionales sobre clima sobre deportes



Función Objetivo Z min = 300X1 + 200X2 + 100X3 + 100X4



Restricciones X1 ≥ 15%(X1 + X2 + X3 + X4) tiempo noticias locales X1 + X2 ≥ 50%(X1 + X2 + X3 + X4) tiempo noticias locales y nacionales X3 ≤ X4 tiempo de noticias del clima X4 ≤ (X1 + X2) tiempo para deportes X3 ≥ 20%(X1 + X2 + X3 +X4) tiempo para clima X1 +X2 + X3 + X4 = 20 tiempo disponible en minutos No negatividad Xi ≥ 0; i=1,4



Datos de entrada SOLVER PROGRAMACIÓN CANAL 10


Página: 57



MINUTOS en Noticias

Locales

Cantidad Costos

Nacionales

Clima

Deportes

1

1

1

1

300

200

100

100

RESTRICCIONES

Min 700

USO DE RECUROS

Noticias Locales Not. Locales y Nac

Noticias Clima Tiempo disponible

LIMITE

No utiliz

0,85

-0,15

-0,15

-0,15

0,4

≥

0

-0,40

0,5

0,5

-0,5

-0,5

0

≥

0

0,00

1

-1

0

≤

0

0,00

0

-1,00

Noticias Clima Noticias Deportes

Utilizado

1

1

-1

1

≥

-0,2

-0,2

0,8

-0,2

0,2

≥

0

-0,20

1

1

1

1

4

≤

20

16,00

Datos de salida SOLVER PROGRAMACIÓN CANAL 10 MINUTOS en Noticias

Locales

Nacionales

Clima

Deportes

3

7

5

5

300

200

100

100

Cantidad Costos RESTRICCIONES Noticias Locales

USO DE RECUROS

Min 3300 Utilizado

LIMITE

No utiliz

0,85

-0,15

-0,15

-0,15

-2E-12

≥

0

0,00

0,5

0,5

-0,5

-0,5

9E-12

≥

0

0,00

1

-1

0

≤

0

0,00

-1

5

≥

0

-5,00

Not. Locales y Nac Noticias Clima Noticias Deportes Noticias Clima Tiempo disponible

1

1

-0,2

-0,2

0,8

-0,2

1

≥

0

-1,00

1

1

1

1

20

≤

20

0,00

29. Gulf Coast Electronics está listo para asignar contratos para la impresión de su informe anual. Durante los últimos años, un informe anual a cuatro colores ha sido impreso por Johnson Printing y Likeside Litho. Una nueva empresa, Benson Printing, ha inquirido sobre la posibilidad de efectuar una parte de la impresión. El nivel de calidad y servicio de Likeside Litho ha sido extremadamente elevado; de hecho sólo el 0,05% de sus informes tuvieron que ser descartados por problemas de calidad. Johnson Printing también ha tenido un nivel histórico elevado de calidad, produciendo un promedio de sólo 1% de informes no aceptables. Dado que la Gulf Coast Electronics no ha tenido experiencia con Benson Printing, ha estimado su tasa de defectos en 10%. A Gulf Coast Electronics le gustaría determinar cuantos informes deberán ser impresos por cada una de estas empresas, para obtener 75.000 informes de calidad aceptables. Para asegurarse de que Benson Printing recibirá una parte del contrato de la administración ha especificado que el número de informes asignados a Benson Printing deberá ser, por lo menos 10% del volumen que se asigne a Johnson Printing. Además el volumen total asignado a Benson Printing, Johnson Printing y Likeside Lithono deberá exceder 30.000, 50.000 y 50.000 ejemplares respectivamente. Debido a la larga relación desarrollada con Likeside Litho, la administración también ha indicado que a Likeside Litho se le deberá Oswaldo Paul Rivadeneira

Página: 58



asignar por lo menos 30.000 informes. El costo por ejemplar es de 2.45 dólares para Benson Printing, 2.50 dólares para Johnson Printing, y 2.75 dólares para Likeside Litho. a. Formule y resuelva un programa lineal para determinar cuántos ejemplares deberán asignarse a cada empresa impresora, para maximizar el costo total de obtener 75.000 informes de calidad aceptable. b. Suponga que el nivel de calidad de Benson Printing resulta mucho mejor a lo estimado. ¿Qué efecto, si es que existe alguno, tendría? c. Suponga que la administración está dispuesta a reconsiderar su requisito de que a Likeside Litho se le den por lo menos 30.000 informes.¿Que efecto, si es que hay alguno, tendría esto? Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = cantidad de ejemplares asignados a Litho X2 = cantidad de ejemplares asignados a Johnson X3 = cantidad de ejemplares asignados a Benson 

Función Objetivo Zmax = 2.75X1 + 2.5X2 +2.45X3



Restricciones 99.5%X1 + 99%X2 + 90%X3 ≤ 75.000 ejemplares de buena calidad X3 ≥ 10%X2 asignación mínima Benson X3 ≤ 30.000 asignación max a Benson X2 ≤ 50.000 asignación max a Johnson X1 ≤ 50.000 asignación max a Litho X1 ≥ 30.000 asignación min a Litho



No negatividad Xi ≥0; i=1,3 Datos entrada SOLVER

PROGRAMACIÓN Gulf Coast Electronics Ejemplares Cantidad Costos RESTRICCIONES


Litho

Johnson

Benson

1

1

1

2,75

2,5

2,45

USO DE RECUROS

Max 7,7 Utilizado

LIMITE

No utiliz

Página: 59



Ejemplares de calidad

0,995

Johnson y Benson

0,99

0,9

2,885

≤

75000

74997,12

-0,1

1

0,9

≥

0

1

1

≤

30000

-0,90 29999,00

1

≤

50000

49999,00

1

≤

50000

49999,00

1

≥

30000

-29999

Ejemplares Benson Ejemplares Johnson

1

1 1

Ejemplares Litho Ejemplares Litho

Datos salida SOLVER PROGRAMACIÓN Gulf Coast Electronics Ejemplares

Litho

Cantidad Costos RESTRICCIONES Ejemplares de calidad

Johnson

Benson

50000

0

28055,6

2,75

2,5

2,45

USO DE RECUROS 0,995

Johnson y Benson

Ejemplares Litho Ejemplares Litho

206236 Utilizado

LIMITE

No utiliz

0,99

0,9

75000

≤

75000

-0,1

1

28055,6

≥

0

0,00 28055,56

1

28055,6

≤

30000

-1944,44

0

≤

50000

50000,00

50000

≤

50000

0,00

50000

≥

30000

20000

Ejemplares Benson Ejemplares Johnson

Max

1

1 1

30. Como una ilustración de la asignación de recursos que usa la programación lineal, considere el problema siguiente acerca de la planificación de producción en una tienda. La producción debe fijarse para dos tipos de máquinas, la maquina 1 y la máquina 2. Ciento veinte horas de tiempo enlatables pueden fijarse para máquina1, y 80 horas para máquina 2. La producción durante el periodo de planificación se limita a dos productos. A y B, cada unidad del producto A requiere 2 horas de tiempo del proceso en cada máquina. Cada unidad de producto que B requiere de 3 horas en la máquina 1 y de 1.5 horas en la máquina 2. El margen de la contribución es $4.00 por cada unidad de producto A y $5.00 por cada unidad de producto B. Ambos tipos de productos pueden comercializarse prontamente; por consiguiente, la producción debe fijarse con el objetivo de aumentar al máximo la ganancia.28 La formulación: Dado, X1 = número de unidades del producto A para producción X2 = número de unidades del producto B para producción Maximizar la contribución en la ganancia, Z = 4X1 + 5X2

28

Sets, Matrices, and Linear Programming. Robert L. Childress


Página: 60



Sujeto a: 2X1 + 3X2 ≤ 120 (recurso máquina 1) 2X1 + 1.5X2 ≤ 80 (recurso máquina 2) X1 ≥ 0 (no negatividad) X2 ≥ 0 (no negatividad) Datos de entrada para Solver


Solución: opción b) Solución Z max X1 X2

a) 213.33 20 25

b) 213.33 20 26.667

c) 313.33 25 26.667

d) 213.33 15 25

e) 213.33 20 16.667

31. Para ilustrar un problema de la programación lineal en que el costo se minimiza, considere el problema que enfrenta el fabricante de metales. La empresa produce una aleación que es hecho de acero y metal de trozos. El costo por la tonelada de acero es $50 y el costo por la tonelada de trozo es de $20. Los requisitos tecnológicos para la aleación son (1) un mínimo de una tonelada de acero se Oswaldo Paul Rivadeneira

Página: 61



requiere para cada dos toneladas de trozo; (2) una hora de tiempo de procesamiento se requiere por cada tonelada de acero, y se requieren cuatro horas de tiempo de procesamiento por cada tonelada de trozo; (3) el acero y el trozo se combinan linealmente para hacer la aleación. La pérdida en proceso del acero es 10 por ciento y la pérdida en proceso del trozo es 20 por ciento. Aunque la producción puede exceder la demanda, un mínimo de 40 toneladas de la aleación debe fabricarse. Para mantener el funcionamiento de la planta eficazmente, un mínimo de 80 horas de tiempo de procesamiento debe usarse. El suministro tanto de los trozos como del acero es adecuado para la producción de la aleación. El objetivo del fabricante es producir la aleación a un costo mínimo.29 La formulación matemática al problema de programación lineal puede plantearse de la siguiente manera Dado, X1 = número de toneladas de acero para producción de aleación X2 = número de toneladas de trozo para producción de aleación Minimizar el costo Z = 50X1 + 20X2 Análisis: (1) un mínimo de una tonelada de acero se requiere por cada dos toneladas de trozo 1 X1  2 X 2 ; X 2  2X 1 ; X2 – 2X1 ≥ 0 ; 2X1 – X2 ≥ 0 (2) se necesitan una hora de procesamiento por cada tonelada de acero y cuatro horas de tiempo de procesamiento por cada tonelada de trozo y un mínimo de 80 horas 1X1 + 4X2 ≥ 80 (3) La pérdida en proceso es del 10% de acero y el 20% de trozo, demanda mínima d 40 toneladas de aleación rendimiento del acero (1-10%)X1 rendimiento del trozo (1-20%)X2 (1-10%)X1 + (1-20%)X2 ≥ 40 0.90X1 + 0.80X2 ≥ 40 Sujeto a: 2X1 – X2 ≥ 0 (1) 1X1 + 4X2 ≥ 80 (2) 0.90X1 + 0.80X2 ≥ 40 (3) X1 ≥ 0 (no negatividad) 29

Sets, Matrices, and Linear Programming. Robert L. Childress


Página: 62



X2 ≥ 0

(no negatividad)

Datos de entrada para Solver


Solución: opción a) Solución Z max X1 X2

a) 1.440 16 32

b) 1.440 32 16

c) 144 16 26.667

d) 1.440 15 25

e) 1.044 32 16.667

32. La Kenmore Corporation, un fabricante progresista de mecanismos civiles y militares, fabrica actualmente una línea de armas para civiles, con una producción actual diaria de 30 unidades del modelo Z-1200 y de 120 unidades del modelo Z1500. El vicepresidente de manufactura quiere saber si podría aumentarse las ganancias cambiando la mezcla de productos entre los dos modelos. Se compiló la


Página: 63



siguiente información sobre las horas requeridas para la fabricación de cada modelo y las capacidades de los departamentos de la fábrica.30 Horas-Hombre requeridas Departamentos Modelo Z- Modelo 1200 1500 Dep. 1 2 0 Dep. 2 0 3 Dep. 5 2 2 Dep. 4 1 1/5 1 1/2 Contribución por unidad $ 50 $ 40

Capacidad Z- Departamental diarias) 300 540 440 300

(horas

Formulación del problema: 

X1 = Cantidad de unidades del modelo Z-1200 X2 = Cantidad de unidades del modelo Z-1500



Función Objetivo: Maximizar Z = 50 X1 + 40 X2



Restricciones:



2 X1 + 0 X2 ≤ 300

por Dep. 1

0 X1 + 3 X2 ≤ 540

por Dep. 2

2 X1 + 2 X2 ≤ 440

por Dep. 5

1.2 X1 + 1.5 X2 ≤ 300

por Dep. 4

No negatividad: X i ≥ 0; i = 1, 2

Solución gráfica por computador (usando el GLP)

30

Robert J. Thierauf y Richard A. Grosse. Toma de decisiones por medio de Investigación de Operaciones. Limusa. Pag 273 Oswaldo Paul Rivadeneira

Página: 64



Solución con SOLVER:

Datos de entrada


Página: 65



Datos de salida:

Producción Actual: Z = 50(30) + 40(120) = $ 6.300 Producción Nueva: Z = 50(150) + 40(70) = $ 10.300 Aumenta las ganancias en: 10.300 – 6.300 = $ 4.000 Respuestas múltiples: respuesta correcta d) a) b) c) d) e)

aumenta las ganancias en aumenta las ganancias en aumenta las ganancias en aumenta las ganancias en no aumenta las ganancias


$ $ $ $

3.000 6.300 10.300 4.000

Página: 66



33. Reddy Mikks produce pinturas tanto para interiores como para exteriores a partir de dos materias primas, M1 y M2. La siguiente tabla proporciona los datos básicos del problema:

Toneladas de materia prima por tonelada de Pintura para Pintura para exteriores interiores 6 4 1 2

Materia prima, M1 Materia prima, M2 Utilidad por tonelada $5 (1000 dólares)

Disponibilidad máxima diaria en toneladas 24 6

$4

Una encuesta de mercado restringe la demanda máxima diaria de pintura para interiores a 2 toneladas. Además la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la de pintura para exteriores por más de 1 tonelada. Reddy Mikks quiere determinar la mezcla de producto óptima (la mejor) de pinturas para interiores y para exteriores que maximice la utilidad diaria total.31 Formulación del problema: 

Definición de variables: X1 = Número de toneladas de Pintura para Exteriores X2 = Número de toneladas de Pintura para Interiores



Función objetivo: Maximizar Z = 5.000 X1 + 4.000 X2



Restricciones 6 X1 + 4 X2 ≤ 24 1 X1 + 2 X2 ≤ 6 0 X1 + 1 X2 ≤ 2 -1X1 + 1 X2 ≤ 1



No negatividad:

por disp. Materia prima M1 por disp. Materia prima M2 máximo diario de pint. Int. demanda diaria

X i ≥ 0; i = 1, 2

31

Handy A. Taha. Investigación de Operaciones. Una Introducción. Prentice Hall. Pag. 11


Página: 67




Solución con SOLVER: Datos de entrada

Datos de salida: Oswaldo Paul Rivadeneira

Página: 68



Solución: Producir diariamente 3 toneladas de pintura para exteriores y 1.5 toneladas de pintura para interiores, para producir una ganancia máxima de $ 21.000,00 Solución múltiple: respuesta correcta c) Rubro Pint. Ext (ton) Pint. Int (ton) Ganan. max.($)

a 1.5 3.0 21.000

b 3.0 1.5 20.000

Respuestas c 3.0 1.5 21.000

d 1.5 1.5 20.000

e 3.5 2.0 21.000

34. Ozark Farms utiliza diariamente 800 libras de alimento especial. El alimento especial es una mezcla de maíz y semilla de soya, con las siguientes composiciones:

Maíz Semilla de Soya

Libra por libra de alimento para ganado Costo (/libra) Proteínas Fibra 0.09 0.02 0.30 0.60 0.06 0.90

Los requerimientos dietéticos diarios del alimento especial estipulan que por lo menos un 30% de proteínas y cuando mucho un 5% de fibra. Ozark Farms desea determinar el costo mínimo diario de la mezcla de alimento.32 Formulación del problema:  Definición de variables: X1 = Cantidad de libras de Maíz X2 = Cantidad de libras de Semilla de Soya 32



Página: 69





Función Objetivo: Minimizar Z = 0.30 X1 + 0.90 X2



Restricciones: 0.09 X1 + 0.60 X2 ≥ 0.30*(X1 + X2) 0.02 X1 + 0.06 X2 ≤ 0.05*(X1 + X2) X1 + X2 ≥ 800  No negatividad:

por proteínas por fibra producción

X i ≥ 0; i = 1, 2


Solución con SOLVER:


Página: 70



Datos de entrada

Datos de Salida:

Solución: 470.59 libras de maíz, 329.41 libras de semilla de soya costo mínimo del alimento: 437.65 por día. Solución múltiple: respuesta correcta b) a) b) c) d) e)

$ $ $ $ $

457.65 437.65 417.65 517.65 537.65

por por por por por

día día día día día

35. Jack es un estudiante emprendedor de primer año de la UTE. Comprende que “sólo el trabajo y nada de diversión hacen de Jack un muchacho aburrido”. Como resultado de esto, Jack quiere distribuir su tiempo disponible, de alrededor de 10 horas al día, entre el trabajo y la diversión. Calcula que el juego es dos veces más divertido que el trabajo. También quiere estudiar por lo menos tanto como juega. Sin embargo, Jack comprende que si quiere terminar todas sus tareas universitarias, no puede jugar más de cuatro horas al día.


Página: 71



¿Cómo debe distribuir Jack su tiempo para maximizar su satisfacción tanto en el trabajo como en el juego?33 Formulación del problema:  Definición de variables X1 = número de horas de juego X2 = número de horas de trabajo  Función objetivo: Maximizar Z = 2X1 + X2  Restricciones: X1 + X2 = 10 disponibilidad de tiempo X2 ≥ X1 X1 – X2 ≤ 0 trabajar por lo menos tanto como juega X1 ≤ 4 límite de juego  No negatividad Xi ≥ 0; i= 1, 2 Solución GLP

X2

Payoff: : 1.0:2.0 X1 1.0 X1 +: X1 + 1.0 1.0 - 1.0 X2 X1 1.0 X2 = +X2 10.0 =0.0 =14.0 X2 0.0= 4.0 Optimal Decisions(X1,X2): ( 4.0, 6.0) : 1.0X1 + 1.0X2 <= 10.0 : 1.0X1 - 1.0X2 <= 0.0 : 1.0X1 + 0.0X2 <= 4.0

Datos de Entrada Solver

33



Página: 72



Datos de Salida Solver

Juega cuatro horas y trabaja 6 horas. Solución múltiple: respuesta correcta d) Rubro Juega Trabaja Satisfacción max

a 1.5 3.0 14.0

b 3.0 6.0 20.0

Respuestas c 3.0 6.0 14.0

d 4.0 6.0 14.0

e 6.0 2.0 21.000

36. John debe trabajar por lo menos 20 horas a la semana para completar su ingreso mientras asiste a la escuela. Tiene la oportunidad de trabajar en dos tiendas al detalle: en la tienda 1 John puede trabajar entre 5 y 12 horas a la semana, y en la tienda 2 le permiten trabajar entre 6 y 10 horas. Ambas tiendas pagan el mismo salario por hora. De manera que John quiere basar su decisión acerca de cuántas horas debe trabajar en cada tienda en un criterio diferente: el factor del estrés en el trabajo. Basándose en entrevistas con los empleados actuales, John calcula que, en una escala de 1 a 10, los factores des estrés son de 8 y 6 en las tiendas 1 y 2, respectivamente. Debido a que el estrés aumenta por hora, él supone que el estrés total al final de la semana es proporcional al


Página: 73



número de horas que trabaja en la tienda. ¿Cuántas horas debe trabajar en cada tienda?34 Formulación del problema:  Definición de variables X1 = número de horas de trabajo en la tienda 1 X2 = número de horas de trabajo en la tienda 2 

Función objetivo: Minimizar Z = 8X1 + 6X2



Restricciones: X1 ≥ 5 X1 ≤ 12 X2 ≥ 6 X2 ≤ 10 X1 + X2 ≥ 20



No negatividad Xi ≥ 0; i = 1, 2

Solución GLP

Payoff: 8.0 x1 + 6.0 X2 = 140.0

: 1.0 x1 + 1.0 X2 = 20.0

: 1.0 x1 + 0.0 X2 = 5.0 X2 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

: 0.0 x1 + 1.0 X2 = 10.0

: 0.0 x1 + 1.0 X2 = 6.0 : 1.0 x1 + 0.0 X2 = 12.0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x1

Optimal Decisions(x1,X2): (10.0, 10.0) : 1.0x1 + 0.0X2 >= 5.0 : 1.0x1 + 0.0X2 <= 12.0 : 0.0x1 + 1.0X2 >= 6.0 : 0.0x1 + 1.0X2 <= 10.0 : 1.0x1 + 1.0X2 >= 20.0

34



Página: 74



Datos de entrada Solver

Datos de salida Solver

Solución: John debe trabajar 10 horas a la semana en la tienda 1 y 10 horas en la tienda 2 Solución múltiple: respuesta correcta d) Rubro Tienda 1 Tienda 2 Estrés min


a 11 11 14.0

b 10 10 20.0

Respuestas c 10 6.0 14.0

d 10 10 140

e 10 10 21.000

Página: 75



37. La Dumont Company, fabricante de equipo de pruebas, tiene tres departamentos principales para la manufactura de sus modelos S-1000 y S2000. Las capacidades mensuales son las siguientes:

Departamentos De Estructura principal De Alambrado eléctrico De Ensamble

Requerimientos unitarios de tiempo (horas) Modelo Modelo SS-1000 2000 4 2 2.5 1 4.5 1.5

Horas disponibles en el presente mes 1600 1200 1600

La contribución del modelo S-1000 es de $ 40 000 por unidad, y la del modelo S2000 es de $ 10 000 por unidad. Suponiendo que la compañía puede vender cualquier cantidad de cada uno de sus productos, debido a las condiciones favorables de mercado. Determínese la salida óptima para cada modelo, la contribución más alta posible para el presente mes y el tiempo sobrante en los tres departamentos.35 Formulación del problema:  Definición de variables X1 = número de unidades del modelo S-1000 X2 = número de unidades del modelo S-2000  

Función objetivo: Maximizar Z = 40.000X1 + 10.000X2 Restricciones 4X1 + 2X2 ≤ 1600 Dep. de Estructuras 2.5X1 + 1X2 ≤ 1200 Dep. alambrado eléctrico 4.5X1 + 1.5X2 ≤ 1600 Dep. ensamblaje  No negatividad Xi ≥ 0; i = 1, 2 Solución GLP

35


Página: 76



: 2.5 X1 + 1.0 X2 = 1200.0 Payoff: 40.0 X1 + 10.0 X2 = 14222.2

X2

: 4.5 X1 + 1.5 X2 = 1600.0

240 228 216 204 192 180 168 156 144 132 120 108 96 84 72 60 48 36 24 12 0

: 4.0 X1 + 2.0 X2 = 1600.0

221

229

237

245

253

261

269

277

285

293

301

309

317

325

333

341

349

357

365


Datos entrada para Solver

Datos salida del Solver


Página: 77

373

381

389



Fabricar 355,5 unidades del Modelo S-1000 solamente para producir un beneficio de $14 222,20 Si la restricción es fabricar componentes completos, fabricar 355 unidades del modelo S-1000 y 1 unidad del modelo S-2000 para producir un beneficio de $ 14 210,00 Solución múltiple: respuesta correcta b) Rubro Modelo S-1000 Modelo S-2000 Contribución max

a 255.5 0.0 14.210

b 355.5 0.0 14.222,2

Respuestas c 355.5 10.0 14.222,2

d 350 6.0 14.220

e 350 10.0 14.222,2

38. La Cincinnati Chemical Company debe producir 10 000 libras de una mezcla especial para un cliente. La mezcla se compone de los ingredientes: X1, X2 y X3. X1 cuesta $8/libra, X2 $ 10/libra y X3 $ 11/libra. No pueden usarse mas de 3 000 libras de X1 y por lo menos deberían usarse 1 500 libras de X2. Además se requieren por lo menos 2 000 libras de X3. a) b) c)

Calcúlese el número de libras de cada ingrediente que habrá que emplear. A fin de reducir la mínimo el costo total de las 10 000 libras. Calcúlese el costo total más bajo posible. ¿Hay libras sobrantes en el problema? 36

(Ref: Toma de decisiones por medio de Investigación de Operaciones. Thierauf. Limusa. Pag 274) Formulación del problema 

Definición de variables X1 = número de libras del ingrediente X1

36


Página: 78



X2 = número de libras del ingrediente X2 X3 = número de libras del ingrediente X3 

Función objetivo: Minimizar Z = 8X1 + 10X2 + 11X3



Restricciones:



X1 + X2 + X3 = 10.000

cantidad de producción

X1 ≤ 3.000

cantidad de X1

X2 ≥1.500

cantidad de X2

X3 ≥ 2.000

cantidad de X3




Solución: a) b) c)

X1= 3000 libras X2= 5000 libras X3= 2000 libras Costo más bajo = $ 96 000,00 Debo utilizar 3500 libras más de X2


Página: 79



Solución múltiple: respuesta correcta d) Rubro Ingrediente X1 Ingrediente X2 Ingrediente X3 Costo min ¿Hay sobrantes?

a 3.000 5.000 2.000 96.000 No

b 2.500 6.000 1.500 69.000 Si

Respuestas c 3.000 6.000 1.000 69.000 No

d 4.000 4.000 2.000 96.000 Si

e 3.000 5.000 2.000 69.000 No

39. La Gray Manufacturing Company ha seguido constantemente una política de fabricación de aquellos productos que contribuyan con la mayor cantidad a los costos fijos y a las ganancias. Sin embargo, siempre se ha procurado producir los requerimientos mínimos semanales de venta, que son los siguientes para los productos K, L, M y N: Producto K

25 unidades

Producto L

30 unidades

Producto M

30 unidades

Producto N

25 unidades

Los requerimientos de producción y el tiempo disponible para la semana siguiente son:

Departamento

Tiempo Tiempo requerido por producto (horas) disponible la semana prox. K L M N (horas)

Departamento1

0.25

0.20

0.15

0.25

400

Departamento 2

0.30

0.40

0.50

0.30

1000

Departamento 3

0.25

0.30

0.25

0.30

500

Departamento 4

0.25

0.25

0.25

0.25

500

$ 9.00

$ 8.00

$ 10.0

Contribución por unidad

$ 10.50

Actualmente, la mezcla semanal de producción (considerando los requerimientos mínimos de venta), es de:


Página: 80



Producto K

1 533 unidades

Producto L

30 unidades

Producto M

30 unidades

Producto N

25 unidades

¿Son la mezcla actual de productos y la contribución, para la empresa, óptimas? En caso contrario ¿Cuál es la contribución actual? ¿Cuáles deben ser las óptimas?37 Formulación del problema: 

Definición de variables X1 = Número de unidades del producto K X2 = Número de unidades del producto L X3 = Número de unidades del producto M X4 = Número de unidades del producto N



Función objetivo: Maximizar Z = 10.5X1 + 9.0X2 + 8.0X3 + 10.0X4





Restricciones 0.25X1 + 0.20X2 + 0.15X3 + 0.25X4 ≤ 400

Disp. Dep. 1

0.30X1 + 0.40X2 + 0.50X3 + 0.30X4 ≤ 1000

Disp. Dep. 2

0.25X1 + 0.30X2 + 0.25X3 + 0.30X4 ≤ 500

Disp. Dep. 3

0.25X1 + 0.25X2 + 0.25X3 +0.25X4 ≤ 500

Disp. Dep. 4

X1 ≥ 25

Venta mínima de K

X2 ≥ 30

Venta mínima de L

X3 ≥ 30

Venta mínima de M

X4 ≥ 25

Venta mínima de N

No negatividad Xi ≥ 0; i = 1,4

Datos de entrada para el Solver

37


Página: 81




Solución múltiple: respuesta correcta b) Rubro ¿Mezcla óptima? Contribución act Contribución opt. Producto K Producto L Producto M Producto N


a Si 18.433,2 16.856,5 976.5 30 957.5 25

Respuestas b c No Si 16.856,5 16.556.0 18.433,25 14.055.0 976.5 906.5 30 25 957.5 975.6 25 30

d No 16.856.5 18.500.0 950 30 956.0 25

e Si 16.500.0 14.500.0 976 30 950.0 35

Página: 82



40. La LaCross Manufacturing Company esta considerando la fabricación de una línea de productos, compuesta de cuatro productos. Cada producto puede fabricarse con dos métodos diferentes y completamente distintos, uno de los cuales consta de dos procesos y el otro de tres. Se fabricarán basándose en el segundo turno. El precio de venta de estos productos y sus costos variables, así como las cantidades que probablemente puedan venderse, de acuerdo con el grupo de investigaciones de mercadotecnia, son los siguientes:38 Producto 1

2

3

4

Precio de venta al mayoreo (40% de descuento)

$ 100

$ 150

$ 125

$ 140

Costos variables – Método A

$ 80

$ 135

$ 120

$ 135

Costos variables – Método B

$ 110

$ 150

$ 100

$ 110

Cantidad que puede venderse

1000

3000

4000

6000

La sección de manufactura de la empresa ha determinado que los tiempos de manufactura para cada proceso son los siguientes: Producto 1

2

3

4

3.0

3.6

2.0

3.5

10.0

8.0

9.0

1.0

1.0

0.5

0.5

Departamento 31

4.0

4.0

2.0

4.0

Departamento 32

5.0

8.0

4.0

3.0

Método A Departamento 20 Departamento 21 Departamento 22

9.0

Método B

Las horas disponibles al mes: Departamento 20

15 000

Departamento 21

50 000

Departamento 22

8 000

38


Página: 83



Departamento 31

10 000

Departamento 32

10 000


Definición de variables X11 = Número de unidades del producto 1 elaborados con el método A X21 = Número de unidades del producto 2 elaborados con el método A X31 = Número de unidades del producto 3 elaborados con el método A X41 = Número de unidades del producto 4 elaborados con el método A X12 = Número de unidades del producto 1 elaborados con el método B X22 = Número de unidades del producto 2 elaborados con el método B X32 = Número de unidades del producto 3 elaborados con el método B X42 = Número de unidades del producto 4 elaborados con el método B



Función Objetivo: Maximizar Z = (100-80)X11 + (150-135)X21 + (125-120)X31 + (140-135)X41 + (100-110)X12 + (150-150)X22 + (125-100)X32 + (140-110)X24





Restricciones X11 + X12 ≤ 1000

Venta producto 1

X21 + X22 ≤ 3000

Venta producto 2

X31 + X32 ≤ 4000

Venta producto 3

X41 + X42 ≤ 6000

Venta producto 4

3.0X11 + 3.6 X21 + 2.0X31 + 3.5X41 ≤ 15.000

Horas Dep. 20

9.0X11 + 10.0X21 + 8.0X31 + 9.0X41 ≤ 50.000

Horas Dep. 21

1.0X11 + 1.0X21 + 0.5X31 + 0.5X41 ≤ 8.000

Horas Dep. 22

4.0X12 + 4.0X22 + 2.0X32 + 4.0X42 ≤ 10.000

Horas Dep. 31

5.0X12 + 8.0X22 + 4.0X32 + 3.0X42 ≤ 10.000

Horas Dep. 32

No negatividad Xij ≤0; i= 1,4; j = 1,2 Datos de entrada para el solver


Página: 84




Solución: P1= 1 000 unidades (Método A) P2= 3 000 unidades (Método A) P3= 600 unidades (Método A) P3= 1 000 unidades (Método B) P4= 2 000 unidades (Método B) Contribución, $ 153 000,00

41. Una fábrica elabora dos productos, A, B. Cada uno de ellos debe ser procesado en dos máquinas diferentes. Una máquina tiene una capacidad disponible de 24


Página: 85



horas y la otra de 16 horas. Cada unidad del producto A requiere de dos horas en ambas máquinas. Cada unidad del producto B necesita de tres horas en la primera máquina y de una hora en la segunda. La utilidad incremental es de $6 por unidad del producto A y de $7 por unidad del producto B, y la fábrica puede vender tantas unidades de cada producto como pueda fabricar. El objetivo de la fábrica es maximizar las utilidades. El problema está en determinar cuántas unidades del producto A y del producto B podrían producirse dentro de los límites disponibles por la capacidad de las máquinas.39 Resumen: Máquinas 1 2 Utilidad en $

Productos A 2 horas 2 horas 6

B 3 horas 1 hora 7

Capacidad de las máquinas 24 horas 16 horas

Formulación del problema  Definición de variables X1 = número de unidades del producto A X2 = número de unidades del producto B 

Función objetivo: Maximizar Z = 6X1 + 7X2



Restricciones 2X1 + 3X2 ≤24 2X1 + 1X2 ≤ 16



No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 2

capacidad de máquina 1 capacidad de máquina 2

Solución con GLP

39

Bonini, Hansman, Bierman. Análisis Cuantitativo para los Negocios. Novena Edición. Irwin McGrawHill. Pag. 43 Oswaldo Paul Rivadeneira

Página: 86

13 12

Investigación Operativa I 11


10 9 8 7

:

2 X1 +

1 X2 =

16

6 :

5

2 X1 +

3 X2 =

24

4 3 Payoff:

6 X1 +

7 X2 =

64

2 1 0

0

1

2

3

Optimal Decisions(X1,X2): ( 6, : 2X1 + 3X2 <= 24 : 2X1 + 1X2 <= 16

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

4)


Datos salida del Solver


Página: 87

15

16



Solución: X1 = 6 X2 = 4 Z = 64 42. Al mezclar diferentes hidrocarburos, se obtiene gasolina de diferentes grados, que es el resultado directo de las operaciones de refinería. En una operación real de refinación, se realizan varias mezclas de hidrocarburos, que dan muchas clases de gasolina como producto final (por ejemplo, gasolina de distintos grados para avión y para carro), con características importantes para los distintos grados de la composición de la gasolina (por ejemplo, octanaje, presión del vapor, contenido de azufre y contenido de oxidante). En este ejemplo simplificado, se supone que una refinería dispone sólo de dos tipos de gasolina, cuyas características se presentan en la siguiente tabla: Características de las mezclas de gasolina Mezclas disponibles Gasolina tipo 1 Gasolina tipo 2

Octanaje 104 94

Presión de vapor 5 9

Cantidad Disponible 30 000 barriles 70 000 barriles

Estos tipos de gasolina pueden ser combinados para producir dos productos finales, gasolina para avión y gasolina para carro. Las cualidades que requieren estos productos finales aparecen en la siguiente tabla: Características de la gasolina como producto final Presión Productos Octanaje Máxima Ventas finales mínimo de vapor máximas Gasolina avión 102 6 20 000 barriles Gasolina carro 96 8 cualquiera

Precio De venta (por barril) $45.10 $32.40

Cuando la gasolina se combina, la mezcla resultante tiene un octanaje y una presión de vapor proporcional al volumen de cada tipo de gasolina que se mezcló. Por ejemplo, si se mezclan 1 000 barriles de gasolina tipo 1 con 1 000 barriles gasolina tipo 2, la gasolina resultante tendrá un octanaje de 99: 1.000 x104  1.000 x94  99 2.000 Y una presión de vapor de 7: 1.000 x5  1.000 x9 7 2.000


Página: 88



La empresa desea maximizar los ingresos por la venta de gasolina como producto final.40 Formulación del problema:  Definición de variables X1 = número de barriles X2 = número de barriles X3 = número de barriles X4 = número de barriles

de de de de

gasolina gasolina gasolina gasolina

Tipo Tipo Tipo Tipo

1, 1, 2, 2,

utilizada utilizada utilizada utilizada

para para para para

gasolina gasolina gasolina gasolina

de avión de carro de avión de carro



Función objetivo: Maximizar Z = 45.10 (X1 + X3) + 32.40 (X2 + X4) Z = 45.10 X1 + 32.40X2 + 45.10X3 + 32.40X4  Restricciones 104 X 1  94 X 3  102 X1  X 3 2X1 – 8X3 ≥ 0 oct. para avión 104 X 2  94 X 4  96 X2  X4 8X2 – 2X4 ≥ 0 oct. para carro 5 X1  9 X 3 6 X1  X 3 -1X1 + 3X3 ≤0 pres. para avión 5X 2  9X 4 8 X2  X4 -3X2 + X4 ≤ 0 pres. para carro X1 + X2 ≤ 30.000 disponibilidad de gas Tipo 1 X3 + X4 ≤ 70.000 disponibilidad gas Tipo 2 X1 + x3 ≤ 20.000 venta gasolina para avión 



40


Página: 89




Solución: Z = 3´355.454.5 X1 = 7.272,72 X2 = 22.727,27 X3 = 1.818,18 X4 = 68.181,82 43. Una fábrica produce cuatro artículos: A, B, C y D. Cada cantidad del producto A requiere de dos horas de maquinado, una hora de montaje y $10 de inventario en proceso. Cada unidad del producto B requiere de una hora de maquinado, tres horas de montaje y $5 de inventario en proceso. Cada unidad del producto C requiere de dos y media horas de maquinado, dos y media horas de montaje y $2 de inventario en proceso. Finalmente, cada unidad del producto D requiere de cinco horas de maquinado, ninguna de montaje y $12 de inventario en proceso.


Página: 90



La fábrica dispone de 120 000 horas de tiempo de maquinado y 160 000 horas de tiempo de montaje. Además, no puede tener más de un millón de dólares de inventario en proceso. Cada unidad del producto A genera una utilidad de $40, cada unidad del producto B genera una utilidad de $24, cada unidad de producto C genera una utilidad de $36 y cada unidad del producto D genera una utilidad de $23. No pueden venderse más de 20 000 unidades del producto A, 16 000 unidades del producto C, y pueden venderse la cantidad que se quiera de los productos B y D. Sin embargo, deben producir y vender por lo menos 10 000 unidades del producto D para cumplir con los requerimientos de un contrato. Sobre estas condiciones, formular un problema de programación lineal. El objetivo de la fábrica es maximizar la utilidad resultante de la venta de los cuatro productos.41 Resumen: Producto Proceso Maquinado Montaje Inventario Utilidad

A 2 hr 1 hr $10 $40

B 1 hr 3 hr $5 $24

C 2,5 hr 2,5 hr $2 $36

D 5 hr 0 hr $12 $23

Disponible (horas) 120.000 160.000 1’000.000


Definición de variables: X1 = Número de unidades X2 = Número de unidades X3 = Número de unidades X4 = Número de unidades



Función objetivo: Maximizar Z = 40X1 + 24X2 + 36X3 + 23X4



Restricciones: 2X1 + X2 + 2.5X3 + 5X4 ≤ 120.000 disponibilidad de maquinado X1 + 3X2 + 2.5X3 + 0X4 ≤ 160.000 disponibilidad de montaje 10X1 + 5X2 + 2X3 + 12X4 ≤ 1’000.000 disponibilidad de inventario X1 ≤ 20.000 limite de venta producto A X3 ≤ 16.000 límite de venta del producto C X4 ≥ 10.000 contrato del producto D



No negatividad: Xi ≥0 ; i = 1, 4

del del del del

producto producto producto producto

A B C D

41


Página: 91





Solución: Z = 1’830.000 X1 = 10.000 X2 = 50.000 X3 = 0 X4 = 10.000 44. La U-Save Loan Company está planeando sus operaciones para el próximo año. La empresa hace cinco tipos de préstamos, que se indican a continuación, con un retorno anual (en porcentaje) para ella. Tipo de préstamo Préstamos quirografarios Préstamos para muebles Préstamos para automóviles Hipotecas de bienes raíces en segundo grado


Retorno anual 15 12 9 10

Página: 92



Hipotecas de bienes raíces en primer grado

7

Los requerimientos legales y la política de la empresa establecen los siguientes límites en las cantidades de los distintos tipos de préstamos. Los préstamos quirografarios no pueden exceder del 10% del total de Tipo de préstamos. La cantidad de préstamos quirografarios y para muebles no puede exceder de 20% del total de tipo de préstamos. Las hipotecas en primer grado deben ser por lo menos de 40% del total de hipotecas y, por lo menos, 20% de la cantidad total de tipo de préstamos. Las hipotecas en segundo grado no pueden exceder de 25% de la cantidad total de tipo de préstamos. La empresa debe maximizar los ingresos de los intereses de los préstamos, sujetándose a las restricciones indicadas. La empresa puede prestar un máximo de $1,5 millones.42 Formulación del Problema:  Definición de variables X1 = Monto en dólares para X2 = Monto en dólares para X3 = Monto en dólares para X4 = Monto en dólares para X5 = Monto en dólares para

Préstamos Quirografarios Préstamos para Muebles préstamos para Automóviles Hipotecas de bienes raíces en segundo grado Hipotecas de bienes raíces en primer grado



Función objetivo: Maximizar Z = 0.15X1 + 0.12X2 + 0.09X3 + 0.10X4 + 0.07X5



Restricciones X1 ≤ 0.10 (X1 +X2 +X3 + X4 + X5) límite en monto de pres. quirograf. 0.90X1 – 0.10X2 – 0.10X3 – 0.10X4 – 0.10X5 ≤ 0 X1 + X2 ≤ 0.20 (X1 + X2 + X3 + X4 + X5) límite en monto para prest. 0.80X1 + 0.80X2 – 0.20X3 – 0.20X4 – 0.20X5 ≤ 0 quiro. + muebles X5 ≥ 0.40 (X4 + X5) - 0.40X4 + 0.60X5 ≥ 0

límite de monto en hipotecas

X5 ≥ 0.20 (X1 + X2 + X3 + X4 + X5) límite monto del total de prest. - 0.20X1 – 0.20X2 – 0.20X3 – 0.20X4 + 0.80X5 ≥ 0 X4 ≤ 0.25(X1 + X2 + X3 + X4 + X5) límite en hipotecas de 2do grado - 0.25X1 – 0.25X2 – 0.25X3 + 0.75X4 – 0.25X5 ≤ 0 X1 + X2 + X3+ X4 + X5 ≤ 1’500.000 monto disponible 42


Página: 93





No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 5 Datos de entrada para el Solver


45. Una fábrica venden dos tipos de productos diferentes, A y B. La información sobre el precio de venta y el costo incremental es la siguiente: Precio de venta Costo incremental Utilidad incremental

Producto A $60 $30 $30

Producto B $40 $10 $30

Los dos productos se fabrican dentro de un proceso común y se venden en dos mercados diferentes. El proceso de producción tiene una capacidad de 30 000 horas de mano de obra, se requiere de tres horas para elaborar una unidad de A y una hora para producir una unidad de B. El mercado ya fue estudiado, por lo que los funcionarios de la empresa consideran que la cantidad máxima de las unidades de A que puede venderse es de 8 000; la cantidad máxima de B es de 12 000 Oswaldo Paul Rivadeneira

Página: 94



unidades. De acuerdo con estas limitaciones, los productos pueden venderse en cualquier combinación. Formular esta situación como un problema de programación lineal.43 

Formulación del problema Definición de variables X1 = Número de unidades del producto A X2 = Número de unidades del producto B

 

Función objetivo: Maximizar Z = 30X1 + 30X2 Restricciones 3X1 + 1X2 ≤ 30.000 por mano de obra X1 ≤ 8.000 venta de A X2 ≤ 12.000 venta de B



No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 2 Solución GLP Payoff: 30.0 X1 + 30.0 X2 = 540000.0

X2 11995 11400 10805 10210 9615 9020 8425 7830 7235 6640 6045 5450 4855 4260 3665 3070 2475 1880 1285 690 95 30

: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 12000.0

: 3.0 X1 + 1.0 X2 = 30000.0

: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 8000.0

428

826

1224 1622 2020 2418 2816 3214 3612 4010 4408 4806 5204 5602 6000 6398 6796 7194 7592 7990


Datos entrada Solver

43


Página: 95

X1



Datos salida Solver

46. Recientemente, la empresa EMBUTIDOS experimentó drásticos cambios en los precios de la materia prima; por los que el gerente ordenó a un analista reexaminar las proporciones de las mezclas de los ingredientes para la producción de salchichas. La producción de salchichas implica cumplir con dos requisitos esenciales para el producto. El porcentaje de proteínas, por peso, debe ser al menos 15%, y el porcentaje de grasa, por peso, no puede exceder de 30% (el peso restante es relleno). La empresa tiene cuatro materia primas disponibles para la mezcla, con las siguientes características: Ingrediente A B C D


Porcentaje de Proteínas 40 20 10 5

Porcentaje de Grasa 10 15 35 40

Costo por Libra $1.80 $0.75 $0.40 $0.15

Página: 96



Formular el problema de programación lineal que le ayude a la empresa a determinar el problema de mezcla más apropiado44 Formulación del problema:  Definición de variables X1 = Cantidad en libras del X2 = Cantidad en libras del X3 = Cantidad en libras del X4 = Cantidad en libras del

ingrediente ingrediente ingrediente ingrediente

A B C D



Función objetivo Minimizar Z = 1.80X1 + 0.75X2 + 0.40X3 + 0.15X4



Restricciones 0.40X1 + 0.20X2 + 0.10X3 + 0.05X4 ≥ 0.15 proteínas 0.10X1 + 0.15X2 + 0.35X3 + 0.40X4 ≤ 0.30 grasas X1 + X2 + X3 + X4 = 1 total libra de mezcla



No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 4 Datos de entrada para Solver


44


Página: 97



47. Un fabricante de muebles produce dos tipos de escritorios: estándar y ejecutivo. Estos escritorios se venden a un mayorista de mobiliario de oficina; y para todo fin práctico existe un mercado ilimitado para cualquier mezcla de ellos; al menos dentro de la capacidad de producción del fabricante. Cada escritorio debe pasar por cuatro operaciones básicas: corte de madera, ensamble de las piezas, preacabado y acabado final. Cada unidad producida del escritorio del escritorio estándar requiere de 48 min de tiempo de corte, 2 horas de ensamble, 40 min de pre-acabado y 5 horas y 20 min de tiempo de acabado final. Cada unidad de escritorio ejecutivo requiere de 72 min de corte, 3 horas de ensamble, 2 horas de pre-acabado y 4 horas de tiempo de acabado final. La capacidad diaria para cada operación equivale a 16 horas de corte, 30 horas de ensamble, 16 horas de pre-acabado y 64 horas de acabado final. El beneficio por unidad producida es de $40 para el escritorio estándar y de $50 para el escritorio ejecutivo. ¿Qué mezcla de productos es óptima?45 Formulación del problema  Definición de variables X1 = Número de unidades de escritorios estándar X2 = Número de unidades de escritorios ejecutivos 

Función objetivo: Maximizar Z = 40X1 + 50X2



Restricciones 0.8X1 + 1.2X2 ≤ 16 2.0X1 + 3.0X2 ≤ 30 0.6667X1 + 2.0X2 ≤ 16 5.3334X1 + 4.0X2 ≤ 64




horas horas horas horas

de corte de ensamblaje de pre-acabado acabado final

Solución GLP

45

Hans G. Daellenbach. Introducción a Técnicas de Investigación de Operaciones. CECSA. Pag.59


Página: 98

16 15 14



13 12 11 10

Payoff: 40.000 X1 + 50.000 X2 = 559.998

9 8 : 5.333 X1 + 4.000 X2 = 64.000

7 6 5

: 0.667 X1 + 2.000 X2 = 16.000 4

: 0.800 X1 + 1.200 X2 = 16.000 : 2.000 X1 + 3.000 X2 = 30.000

3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16



Datos salida Solver


Página: 99

17

18

19



48. Un fabricante de alimento para pollos desea determinar la mezcla de menor costo para una fórmula de altas proteínas que contiene 90 gr. de nutriente A, 48 gr. de nutriente B, 20 gr. de nutriente C y 1.5 gr. de vitamina X por cada kg. de alimento. Puede mezclar la fórmula empleando dos ingredientes y otro de relleno. El ingrediente 1 contiene 100 gr. de nutriente A, 80 gr. de nutriente B, 40 gr. de nutriente C y 10 gr. de vitamina X; y cuesta $0.40 por Kg. El ingrediente 2 contiene 200 gr. de A, 150 gr. de B, 20 gr. de C, nada de vitamina X y cuesta $0.60 por kg.46 Formulación del problema:  Definición de variables X1 = Cantidad de Kg. de ingrediente Tipo 1 X2 = Cantidad de Kg. de ingrediente Tipo 2  

Función objetivo: Minimizar Z = 0.40X1 + 0.60X2 Restricciones 100X1 + 200X2 = 90 Nutriente A 80X1 + 150X2 = 48 Nutriente B 40X1 + 20X2 = 20 Nutriente C 10X1 + 0X2 = 1.5 Vitamina X



No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 2 Son ecuaciones redundantes, para su solución se asume que cumplirán al menos los pedidos de los ingredientes, sus resultados serán analizados por un dietista para no incurrir en daños a los pollos, entonces:



46

Restricciones 100X1 + 200X2 ≥ 90 80X1 + 150X2 ≥ 48 40X1 + 20X2 ≥ 20 10X1 + 0X2 ≥ 1.5

Nutriente A Nutriente B Nutriente C Vitamina X

Hans G. Daellenbach. Introducción a Técnicas de Investigación de Operaciones. CECSA. Pag. 90


Página: 100




Datos salida Solver

En la solución gráfica puede notarse las ecuaciones redundantes:


Página: 101



49. Una compañía produce tres tipos de productos químicos refinados: A, B y C. Es necesario producir diariamente al menos 4 ton de A, 2 ton de B y 1 ton de C. Los productos de entrada son los compuestos X y Y. Cada tonelada de X proporciona 0.25 ton de A, 0.25 ton de B y 0,0834 ton de C. Cada tonelada de Y rinde 0.5 ton de A, 0.10 ton de B y 0.0834 ton de C. La tonelada de compuesto X cuesta $250 y el compuesto Y $400. El costo de procesamiento es de $250 por ton de X y $200 por ton de Y. Las cantidades producidas que excedan los requerimientos diarios no tienen valor, ya que el producto sufre cambios químicos si no se utiliza de inmediato. El problema consiste en determinar la mezcla con costo mínimo de entrada.47 

 

47

Formulación del problema Definición de variables X1 = Toneladas de compuesto X X2 = Toneladas de compuesto Y Función objetivo: Minimizar Z = 500X1 + 600X2 Restricciones 0.25X1 + 0.5X2 ≥ 4 toneladas de A 0.25X1 + 0.10X2 ≥ 2 toneladas de B



Página: 102

15

14



13

0.0834X1 + 0.0834X2 ≥ 1

12

11



10

toneladas de C

No negatividad Xi ≥0; i = 1, 2 Solución GLP

9 Payoff: 500.0000 X1 + 600.0000 X2 = 6396.1630

8

7 : 0.2500 X1 + 0.1000 X2 = 2.0000 6

5

4 : 0.2500 X1 + 0.5000 X2 = 4.0000 3 : 0.0834 X1 + 0.0834 X2 = 1.0000 2

1

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

Optimal Decisions(X1,X2): (7.9808, 4.0096) : 0.2500X1 + 0.5000X2 >= 4.0000 : 0.2500X1 + 0.1000X2 >= 2.0000 : 0.0834X1 + 0.0834X2 >= 1.0000


Datos de salida Solver


Página: 103

24

X1



50. La Palysafe Insurane Company of Knockville, ME, dispone de fondos ociosos por un total de $20 millones, disponible para inversiones a corto y largo plazo. Las especificaciones gubernamentales requieren que no más del 80% de todas las inversiones sean a largo plazo; no más del 40% de inviertan a corto plazo; y que la razón entre las inversiones a largo y corto plazo no sean mayor de 3 a 1. Actualmente, las inversiones a largo plazo rinden el 15% anual; mientras que la tasa anual para las inversiones a corto plazo es del 10%. Plantéese este problema como programa lineal con el objetivo de maximizar el beneficio ponderado.48 Formulación del Problema  Definición de variables X1 = Cantidad en millones de dólares para inversión a corto plazo X2 = Cantidad en millones de dólares para inversión a largo plazo 

Función objetivo: Maximizar Z = 0.10X1 + 0.15X2



Restricciones X1 + X2 ≤ 20 X2 ≤ 0.80(X1 + X2) 0.80X1 – 0.20X2 ≥ 0 X2 ≤ 0.40(X1 + X2) 0.40X1 - 0.60X2 ≥ 0 X2/X1 ≤ 3/1 3X1 – X2 ≥ 0



fondos para inversión inversiones a largo plazo inversiones a corto plazo relación entre inversiones

No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 2 Solución GLP

48



Página: 104



Payoff: 0.1 X1 + 0.1 X2 = 2.4 X2 12 11 : 0.4 X1 - 0.6 X2 = 0.0

10

: 0.8 X1 - 0.2 X2 = 0.0

9 8 : 3.0 X1 - 1.0 X2 = 0.0

7 6 5

: 1.0 X1 + 1.0 X2 = 20.0

4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

X1

Optimal Decisions(X1,X2): (12.0, 8.0) : 1.0X1 + 1.0X2 <= 20.0 : 0.8X1 - 0.2X2 >= 0.0 : 0.4X1 - 0.6X2 >= 0.0 : 3.0X1 - 1.0X2 >= 0.0


Datos de salida de Solver


Página: 105



51. Un fabricante de botes de fibra de vidrio produce cuatro modelos diferentes que deben pasar por tres operaciones diferentes: moldeado, ensamblado y acabado. La tabla dada contiene toda la información necesaria. Moldeado (h/unid) 2.8 2.1 4 3

Modelo 1 2 3 4 Capac./ semana 48 h

Ensamble (h/unid) 5 3 6 4

Acabado (h/unid) 10 7.5 12 3

Compuesto de moldeado Beneficio (gal/unid) ($/unid) 200 160 200 124 280 212 220 170

96 h

160 h

4800 gal

Los pronósticos de venta indican que, en promedio, no deben producirse por semana más de 8 unidades del modelo 4. Excepto por esta restricción, la demanda será suficiente para absorber cualquier cantidad producida. El objetivo es maximizar los beneficios.49 Formulación del Problema  Definición de variables X1 = Número de unidades del X2 = Número de unidades del X3 = Número de unidades del X4 = Número de unidades del

49

modelo modelo modelo modelo

1 2 3 4



Función objetivo: Maximizar Z = 160X1 + 124X2 +212X3 + 170 X4



Restricciones 2.8X1 + 2.1X2 + 4X3 + 3X4 ≤ 48 5X1 + 3X2 + 6X3 + 4X4 ≤ 96 10X1 + 7.5X2 + 12X3 + 3X4 ≤ 160 200X1 + 200X2 + 280X3 + 220X4 ≤ 4800

horas de moldeado horas de ensamble horas de acabado galones para moldeado



Página: 106



X4 ≤ 8 




52. En una compañía se fabrican tres productos A, B y C. Los tres productos comparten en sus procesos de producción cuatro máquinas X, Y, S y T. El producto A utiliza tres operaciones en las máquinas X, S y T. El producto B utiliza sólo dos operaciones en las máquinas X y S o en las máquinas Y y T. El producto C puede fabricarse utilizando las maquinas X y S o en las máquinas Y, S y T. El tiempo necesario en minutos por unidad producida, para cada posibilidad de producción en cada máquina, y el costo variable de producción por minuto para cada máquina se condensan en la siguiente tabla. Tiempo (en min/unidad de máquina) Producto Proceso X Y A 1 10 B 1 8 2 6 C 1 8


S 6 10

T 3 9

16

Código A B1 B2 C1

Página: 107



2 Costo var /min ($)

0.40

10

3

8

0.50

0.24

0.30

C2

Cada máquina tiene una capacidad diaria de producción de 480 minutos. La demandas mínimas de los tres productos son 36 para A, 45 para B y 10 para C. El objetivo consiste en determinar el esquema de producción que minimice el costo total variable de producción.50



Formulación del problema: Definición de variables X1 = número de unidades X2 = número de unidades X3 = número de unidades X4 = número de unidades X5 = número de unidades

del del del del del

producto producto producto producto producto

A, con B, con B, con C, con C, con

el el el el el

proceso 1 proceso 1 proceso 2 proceso 1 proceso 2



Función objetivo: Minimizar Z = 0.40(10X1 + 8X2 + 8X4) + 0.50(6X3 + 10X5) + 0.24(6X1 +10X2 + 16X4 + 3X5) + 0.30(3X1 + 9X3 + 8X5) Minimizar Z = 6.34X1 + 5.6X2 + 5.7X3 + 7.04X4 + 8.12X5



Restricciones 10X1 + 8X2 + 8X4 ≤ 480 capacidad maquina 6X3 + 10X5 ≤ 480 capacidad maquina 6X1 +10X2 + 16X4 + 3X5 ≤ 480 capacidad maquina 3X1 + 9X3 + 8X5 ≤ 480 capacidad maquina X1 ≥ 36 demanda del producto A X2 + X3 ≥ 45 demanda del producto B X4 + X5 ≥ 10 demanda del producto C




X Y S T


50



Página: 108




53. Usted está organizando una fiesta y dispone de de las siguientes cantidades de licor: 48 onz líquidas de whisky, 72 onz líquidas de vodka, 64 onz líquidas de vermouth blanco, 72 onz de vermouth rojo, 24 onz líquidas de brandy y 18 onz líquidas de licor de café. Usted piensa preparar las siguientes bebidas: Chauncies, Rusos Negros, Italianos Dulces, Cócteles Molotov (Martinis Rusos) y Whisky en las rocas. Un Chauncy consiste en 2/3 de whisky y 1/3 de vermouth rojo. Un Ruso Negro consiste de ¾ de vodka y ¼ de licor de café. Un Italiano Dulce consiste de ¼ de brandy, ½ de vermouth rojo y ¼ vermouth blanco. Los Cócteles Molotov son una mezcla de 2/3 de vodka y 1/3 de vermouth blanco. Por último el Whisky en las rocas consiste sólo de whisky. Cada trago contiene 4 onz líquidas. Su objetivo es mezclar los ingredientes, en forma tal, que pueda prepararse el mayor número de posible de tragos. Sin embargo, Usted considera que es necesario preparar cuando menos el doble de Cócteles Molotov que de Rusos Negros, para proporcionar una selección equilibrada. Plantéese como un problema de programación lineal.51 Resumen:

51



Página: 109


Licores Whisky Vodka Verm.B. Verm.R. Brandy Lic. Café 


Mezclas (tragos de Rusos Italianos chauncies negros dulces 2/3*4 ¾*4 ¼*4 1/3*4 2/4*4 ¼*4 ¼*4

Formulación del problema: Definición de variables: X1 = Número de tragos de X2 = Número de tragos de X3 = Número de tragos de X4 = Número de tragos de X5 = Número de tragos de

4 onzas) Cócteles molotov

Whisky en rocas 1*4

2/3*4 1/3*4

Cantidad Disponible (onz) 48 72 64 72 24 18

Chauncies Rusos Negros Italianos Dulces Cócteles Molotov Whisky en las Rocas



Función objetivo: Maximizar Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5



Restricciones: 2/3*4 X1 + 4X5 ≤ 48 2X1 + 3X5 ≤ 36 por contenido de whisky ¾*4X2 + 2/3*4X4 ≤ 72 9X2 + 8X4 ≤ 216 por contenido de Vodka ¼*4X3 + 1/3*4X4≤ 64 3X3 + 4X4≤ 192 por contenido de Vermouth Blanco 1/3*4X1 + 2/4*4X3 ≤ 72 4X1 + 6X3 ≤ 216 por contenido de vermouth Rojo ¼*4X3 ≤ 24 X3 ≤ 24 por contenido de Brandy ¼*4X2 ≤ 18 X2 ≤ 18 por contenido de Licor de Café 2X2 ≥ X4 2X2 – X4 ≤ 0 relación de Cócteles Molotov/Rusos Negros




Solución: Datos de entrada para Solver


Página: 110




54. ProTrac,Inc. Produce dos líneas de máquina pesada. Una de sus líneas de productos, llamada equipo de excavación, se utiliza de manera primordial en aplicaciones de construcción. La otra línea, denominada equipo de la silvicultura, está destinada a la industria maderera. Tanto la máquina más grande de la línea de excavación (la E-9), como la mayor de toda la línea del equipo de silvicultura (la F-9) son fabricadas en los mismos departamentos y con el mismo equipo. Empleando las proyecciones económicas correspondientes al siguiente mes, el gerente de Mercadotecnia de ProTrac ha considerado que durante ese período será posible vender todas las E-9 y F-9 que la compañía sea capaz de producir. La gerencia tiene que recomendar ahora una meta de producción para el mes próximo. Es decir, ¿cuántas E-9 y F-9 deberán fabricar si la dirección de ProTrac desea maximizar la contribución del mes entrante a la ganancia ( es decir, el margen de contribución, definido como los ingresos menos los costos variables) La toma de decisiones requiere la consideración de los siguientes factores importantes: a. El margen de contribución unitaria de ProTrac es de $ 5.000 por cada E-9 vendida y de $ 4.000 por cada F-9 b. Cada producto pasa por las operaciones de maquinado, tanto en el departamento A como en el departamento B. Oswaldo Paul Rivadeneira

Página: 111



c. Para la producción correspondiente al mes próximo, estos dos departamentos tiene tiempos disponibles de 150 y 160 horas, respectivamente. La fabricación de cada E-9 requiere 10 horas de maquinado en el departamento A y 20 horas en el departamento B, mientras que cada F-9 requiere 15 horas horas en el departamento a y 10 en el B. d. Para que la administración cumpla con el acuerdo concertado con el sindicato, las horas totales de trabajo invertidas el la prueba de productos terminados del siguiente mes no deben ser más allá del 10% inferior a una meta convenida de 150 horas. Estas pruebas se llevan a cabo en un tercer departamento y no tienen nada que ver con las actividades de los departamentos A y B. Cada E-9 es sometida a pruebas durante 30 horas y cada F-9 durante 10. e. Con el fin de mantener su posición actual en el mercado, la alta gerencia ha decretado como política operativa: que deberá construirse cuando menos una F-9 por cada tres E-9 que sean fabricadas. f. Uno de los principales distribuidores ha ordenado un total de cuando menos cinco E-9 y F-9 (en cualquier combinación) para el próximo mes, por lo cual tendrá que producirse por lo menos esa cantidad.52 Resumen de datos:

Dep. A Dep. B Hora de prueba

Maq. E-9 10 20 30

HORAS Maq. F-9 15 10 10

Total disponible 150 160 135 (150-10%)

Producir cuando menos 1 F-9 por cada 3 E-9: 1( E  9)  3( F  9) Formulación del modelo 1. Definición de variables (variables de decisión) E-9 = número de unidades de maquinas tipo E-9 F-9 = número de unidades de máquinas tipo F-9 2. Función objetivo Maximizar Z = 5000 E-9 + 4000 F-9 3. Restricciones (ecuaciones de restricción) 10(E-9) + 15(F-9) ≤ 150 20(E-9) + 10(F-9) ≤ 160 30(E-9) + 10(F-9) ≥ 135 1(E-9) - 3(F-9) ≤ 0 1(E-9) + 1(F-9) ≥ 5 1(E-9) ≥ 0 1(F-9) ≥ 0 52

Eppen. Investigación de opresiones en la ciencia administrativa. Prentice Hall. Pag 69


Página: 112



Solución gráfica:

Solución matemática (analítica) Datos iniciales antes de aplicas SOLVER:

Definiciones de datos para SOLVER y resolver:


Página: 113



Resultados del modelo:


Página: 114



55. La empresa Crawler Tread, desea mezclar minerales de hierro de cuatro minas distintas para fabricar rodamientos destinados a un nuevo producto de Protrac: un tractor tipo oruga de tamaño mediano, el E-6, diseñado especialmente para competir en el mercado europeo. Por medio del análisis se ha demostrado que , para producir una mezcla dotada de las cualidades de tracción adecuadas, deben cumplirse requerimientos mínimos en relación con tres elementos básicos que, para simplificar, señalaremos aquí como A, B, C. En términos específicos, cada tonelada de mineral deberá contener cuando menos cinco libras del elemento básico A, 100 libras del elemento básico B y 30 libras del elemento básico C. El mineral extraído de cada una de las cuatro minas posee los tres elementos básicos, pero en cantidades distintas. Estas composiciones expresadas en libras por tonelada, se enumeran en la siguiente tabla: Composiciones obtenidas de cada mina Elemento MINA (libras por tonelada de cada elemento) básico 1 2 3 4 A 10 3 8 2 B 90 150 75 175 C 45 25 20 37 Costo/tonelada de mineral $ 800 $ 400 $ 600 $ 500 El objetivo del administrador es descubrir una mezcla factible de costo mínimo.53 Formulación del problema: 1. Definición de variables T1 = fracción de toneladas T2 = fracción de toneladas T3 = fracción de toneladas T4 = fracción de toneladas

de de de de

la la la la

mina 1 mina 2 mina 3 mina 4

2. Función objetivo Minimizar Z = 800 T1 + 400 T2 + 600 T3 + 500 T4 3. Restricciones 10 T1 + 3 T2 + 8 T3 + 2 T4 ≥ 5 (elemento A) 90 T1 + 150 T2 + 75 T3 + 175 T4 ≥ 100 (elemento B) 45 T1 + 25 T2 + 20 T3 + 37 T4 ≥ 30 (elemento A) T1 + T2 + T3 + T4 = 1 (balance) T1, T2, T3, T4 ≥ 0 (no negatividad)

53



Página: 115



Solución: para hoja de cálculo Datos originales:

Resultados :


Página: 116



56. Una compañía (ASTRO Y COSMOS) fabricante de TV produce dos modelos de aparatos televisores, el astro y el Cosmo. Hay dos líneas de producción, una para cada modelo, e intervienen dos departamentos en la producción de cada modelo. La capacidad de la línea de producción del Astro es de 70 aparatos de TV por día. La capacidad de la línea Cosmo es de 50 televisores diarios. En el departamento A se fabrican los cinescopios. En este departamento se requiere una hora de trabajo para cada modelo Astro y dos horas de trabajo para cada modelo Cosmo. En la actualidad puede asignarse un máximo de 120 horas de trabajo diarias para la producción de ambos tipos de aparato en el departamento A. En el departamento B se construye el chasis. Aquí se requiere una hora de trabajo para cada televisor Astro y también una hora para cada modelo Cosmo. Actualmente se puede asignar 90 horas de trabajo al departamento B para la producción de ambos modelos. La contribución a las ganancias es de 20 y 10 dólares, respectivamente, por cada televisor Astro y Cosmo. Si la compañía sabe que puede vender todos los aparatos Astro y Cosmo que sea capaz de fabricar. ¿cuál deberá ser el plan de producción por cada día (es decir, la producción diaria) para cada modelo?54 

Formulación del problema: Definición de variables X1 = número de unidades de TV Astro X2 = número de unidades de TV Cosmo

 

Función objetivo: Maximizar Z = 20X1 + 10X2 Restricciones X1 + 2X2 ≤ 120 capacidad Dep. A X1 + X2 ≤ 90 capacidad Dep. B X1 ≤ 70 capacidad de línea Astro X2 ≤ 50 capacidad de línea Cosmo  No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 2 Solución GLP

54



Página: 117



Payoff: 20.0 X1 + 10.0 X2 = 1600.0

X2 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 50.0 : 1.0 X1 + 0.0 X2 = 70.0 : 1.0 X1 + 1.0 X2 = 90.0 : 1.0 X1 + 2.0 X2 = 120.0 0 5 10 15 20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100


Datos de entrada para solver



Página: 118

X1



57. De los muchos productos que fabrica la Arco Manufacturing Company, sólo los productos C, D, E y F pasan por los siguientes departamentos: cepillado, fresado, taladrado y ensamble. Los requerimientos por unidad de producto en horas y contribución son los siguientes: Departamento Producto Cepillado Fresado Taladrado Ensamble Contr./Unidad C

0.5

2.0

0.5

3.0

$8

D

1.0

1.0

0.5

1.0

$9

E

1.0

1.0

1.0

2.0

$7

F

0.5

1.0

1.0

3.0

$6

Las capacidades disponibles en este mes para los productos C, D, E y F, así como los requerimientos mínimos de venta, son: Departamento Capacidad(horas)

Producto

Req. Mínimos Venta

Cepillado

1800

C

100 unidades

Fresado

2800

D

600 unidades

Taladrado

3000

E

500 unidades

Ensamble

6000

F

400 unidades

Determínese la cantidad de los productos C, D, E y F, que tendrá que fabricar este mes para maximizar la contribución.55 

55

Formulación del problema Definición de variables X1 = Número de unidades X2 = Número de unidades X3 = Número de unidades X4 = Número de unidades

del del del del

producto producto producto producto

C D E F

Thierauf. Toma de Decisiones por medio de Investigación de Operaciones. Limusa. Pag. 274


Página: 119





Función objetivo: Maximizar Z = 8X1 + 9X2 + 7X3 +6X4



Restricciones 0.5X1 + 1.0X2 2.0X1 + 1.0X2 0.5X1 + 0.5X2 3.0X1 + 1.0X2 X1 ≥ 100 X2 ≥ 600 X3 ≥ 500 X4 ≥ 400




+ + + +

1.0X3 1.0X3 1.0X3 2.0X3

+ + + +

0.5X4 1.0X4 1.0X4 3.0X4

≤ ≤ ≤ ≤

1.800 2.800 3.000 6.000

capacidad Cepillado capacidad Fresado capacidad Taladrado capacidad Ensamble venta de C venta de D venta de E venta de F




Página: 120



58. Planificación financiera. Willie Hanes es el presidente de una microempresa de inversiones que se dedica a administrar las carteras de acciones de varios clientes. Un nuevo cliente ha solicitado que la compañía se haga cargo de administrar para él una cartera de $ 100.000. A ese cliente le agradaría restringir una cartera a una mezcla de tres tipos de acciones únicamente, como podemos apreciar en la siguiente tabla. Formule UD. un PL para mostrar cuántas acciones de cada tipo tendría que comprar Willie con el fin de maximizar el rendimiento anual.56

ACCIONES Gofer Crude Can Oil Sloth Petroleum

PRECIO POR ACCION($) 60 25 20

RENDIMIENTO ANUAL ESTIMADO POR ACCION ($) 7 3 3

INVERSION MAXIMA POSIBLE ($) 60.000 25.000 30.000

Formulación del problema:  Definición de variables X1 = Número de acciones de Gofer Crude X2 = Número de acciones de Can Oil X3 = Número de acciones de Sloth Petroleum  

Función objetivo: Maximizar Z = 7X1 + 3X2 + 3X3 Restricciones 60X1 ≤ 60.000 inversión máxima de Gofer Crude 25X2 ≤ 25.000 inversión máxima de Can Oil 20X3 ≤ 30.000 inversión máxima de Sloth Petroleum 60X1 + 25X2 + 25X3 ≤ 100.000 inversión total




56



Página: 121




59. Planificación de Cartera. Una compañía de inversiones tiene actualmente $ 10 millones disponibles para inversión. La meta que se ha trazado consiste en maximizar la retribución esperada durante el siguiente año. Sus cuatro posibilidades de inversión se presentan resumidas en la siguiente tabla. Además, la compañía ha especificado que cuando menos 30% de los fondos tendrán que colocarse en acciones ordinarias y bonos de la tesorería y que no más del 40% del dinero deberá invertirse en fondos del mercado y títulos municipales. Se invertirá la totalidad de los $ 10 millones actualmente a la mano. Formule un modelo de PL que indique a la empresa cuánto dinero debe invertir en cada instrumento.57 POSIBILIDAD DE INVERSION Bonos de Tesorería Acciones Ordinarias Mercado de Dinero Títulos Municipales 57

RETRIBUCION ESPERADA (%) 8 6 12 9

INVERSION MAXIMA (MILLONES DE $) 5 7 2 4



Página: 122



Formulación del problema 

Definición de variables X1 = cantidad en dólares X2 = cantidad en dólares X3 = cantidad en dólares X4 = cantidad en dólares



Función objetivo: Maximizar Z = 0.08X1 + 0.06X2 + 0.12X3 + 0.09X4



Restricciones X1 + X2 ≥ 0.30(X1 + X2 + X3 + X4) 0.70X1 + 0.70X2 – 0.30X3 – 0.30X4 ≥ 0 30% de inversión X3 + X4 ≤ 0.40(X1 + X2 + X3 + X4) -0.40X1 – 0.40X2 + 0.60X3 +0.60X4 ≤ 0 40% de inversión X1 ≤ 5’000.000 inversión en Bonos de Tesorería X2 ≤ 7’000.000 inversión en Acciones Ordinarias X3 ≤ 2’000.000 inversión en Mercado de Dinero X4 ≤ 4’000.000 inversión en Títulos Municipales X1 + X2 + X3 + X4 ≤ 10’000.000 inversión total




en en en en

Bonos de Tesorería Acciones Ordinarias Mercado de Dinero Títulos Municipales




Página: 123



60. Wood Walter es propietario de un pequeño taller de fabricación de muebles. En este taller fabrica tres tipos diferentes de mesas: A, B y C. Con cada mesa, se requiere determinado tiempo para cortar las partes que la constituyen, ensamblarlas y pintar la pieza terminada. Word podrá vender todas las mesas que consiga fabricar. Además, el modelo C puede venderse sin pintar. Word emplea a varias personas, las cuales trabajan en turnos parciales, por lo cual el tiempo disponible para realizar cada una de estas actividades es variable de uno a otro mes. A partir de los datos siguientes, formule UD. un modelo de programación lineal que ayude a Word a determinar la mezcla de productos que le permitirá maximizar sus ganancias en el próximo mes.58 Modelo A B C C sin pintar Capacidad

Corte (hrs) 3 1 4 4 150

Montaje (hrs) 4 2 5 5 200

Pintura (hrs) 5 5 4 0 300

Ganancia por mesa ($) 25 20 50 30

Solución al problema  Definición de variables X1 = Cantidad de mesas Modelo A X2 = Cantidad de mesas Modelo B X3 = Cantidad de mesas Modelo C X4 = Cantidad de mesa Modelo C sin pintar  

58

Función objetivo: Maximizar Z = 25X1 Restricciones 3X1 + X2 + 4X3 + 4X4 ≤ 150 4X1 + 2X2 + 5X3 + 5X4 ≤ 200 5X1 + 5X2 + 4X3 + 0X4 ≤ 300

+ 20X2 + 50X3 + 30X4 horas en Corte horas en Montaje horas en Pintura



Página: 124







61. Douglas E. Starr, administrador de la perrera Heavenly Hound Kennels, Inc, ofrece alojamiento en plan de pensión para mascotas. La comida de los perros alojados en la perrera se prepara mezclando tres productos granulados, con lo cual se obtiene una dieta bien balanceada para los canes. La información sobre los tres productos se muestra en la siguiente tabla. Si Douglas quiere asegurarse de que cada uno de sus perros ingiera diariamente cuando menos 8 onzas de proteínas, 1 onza de carbohidratos y no más de 0.5 onzas de grasas.¿qué cantidad de cada producto en grano deberá incluirse en el alimento de los perros a fin de minimizar los costos de Douglas? (Nota: 16 onzas = 1 libra)59 PRODUCTO EN GRANO A B C

COSTO POR LIBRA($) 0.45 0.38 0.27

PROTEINAS (%) 62 55 36

CARBOHIDRATOS (%) 5 10 20

GRASAS (%) 3 2 1

Solución del problema 59



Página: 125





Definición de variables X1 = Cantidad en libras de producto A X2 = Cantidad en libras del producto B X3 = Cantidad en libras del producto C

 

Función objetivo: Minimizar Z = 0.45X1 + 0.38X2 + 0.27X3 Restricciones 0.62X1 + 0.55X2 + 0.36X3 ≥ 0.5 por proteínas 0.05X1 + 0.10X2 + 0.20X3 ≥ 0.0625 por carbohidratos 0.03X1 + 0.02X2 + 0.01X3 ≤ 0.03125 por grasas No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 3





62. McNaughton, Inc. Produce dos salsas para carne: Spicy Diablo y Red Baron (la más suave). Esta salsa de hacen mezclando dos ingrediente, A y B. Se permite cierto nivel de flexibilidad en las fórmulas de estos productos. Los porcentajes permisibles, así como la información de ingresos y costos, aparecen en la siguiente tabla. Es posible comprar hasta 40 litros de A y 30 de B. McNaughton puede vender toda la salsa que elabore. Formule un modelo de programación


Página: 126



lineal cuyo objetivo sea maximizar las ganancias netas obtenidas por la venta de estas salsas.60 INGREDIENTE

SALSA A B Spicy Diablo Cuando menos 25% Cuando menos 50% Red Baron Cuando mucho 75% * Costo por litro 1.60 2.59 * no existe un porcentaje máximo o mínimo explícito Solución del problema  Definición de variables X1 = Cantidad de litros X2 = Cantidad de litros X3 = Cantidad de litros X4 = Cantidad de litros

de de de de

ingrediente ingrediente ingrediente ingrediente

A para A para B para B para

PRECIO DE VENTA POR LITRO 3.35 2.85

Salsa Spicy Diablo Salsa Red Baron Salsa Spicy Diablo Salsa Red Baron



Función objetivo: Maximizar Z = 3.35(X1 + X3) + 2.85(X2 + X4) – 1.6(X1 + X2) – 2.59(X3 + X4) Z = 1.75X1 + 0.76X2 + 1.25X3 + 0.26X4



Restricciones X1 ≥ 0.25(X1 + X3) 0.75X1 – 0.25X3 ≥ 0 X2 ≤ 0.75(X2 + X4) 0.25X2 – 0.75X4 ≤ 0 X3 ≥ 0.50(X1 + X3) -0.50X1 + 0.50X3 ≥ 0 X1 + X2 ≤ 40 X3 + X4 ≤ 30



contenido de A en la salsa Spicy contenido de A en la salsa Red contenido de B en la salsa Spicy máxima compra de litros de A máxima compra de litros de B


Datos para entrada del Solver

60



Página: 127



Salida del Solver

63. La Corey Ander’s Spice Company dispone de una cantidad limitada de tres ingredientes que se utiliza para producción de condimentos. Corey emplea los tres ingredientes (HB01, HB02 y HB03) para la elaboración de cúrcuma y pimentón. El departamento de mercadotecnia informa que la compañía puede vender todo el pimentón que sea capaz de producir, pero solamente se puede vender un máximo de 1700 botellas de cúrcuma. Los ingredientes no utilizados podrán venderse en el mercado. Los precios están expresados en $/onza. Los precios actuales son: HB01, $0.60; HB02, $0.70; HB03, $0.55. Además, Corey ha firmado un contrato para suministrar 600 botellas de pimentón a Wal-Mart. En la siguiente tabla se ofrece información adicional. Formule el problema de Corey como un modelo de programación lineal para maximización de ingresos.61

Cúrcuma Pimentón Disponibilidad 61

INGREDIENTES (ONZ/BOTELLA) HB01 HB02 HB03 4 2 1 3 2 3

DEMANDA (BOTELLAS) 1700 ilimitada

PRECIO VENTA /BOTELLA 3.25 2.75



Página: 128



(onzas)

8000

9000

7000

Solución del problema  Definición de variables X1 = Cantidad de botellas de Cúrcuma X2 = Cantidad de botellas de Pimentón 

Función objetivo Maximizar Z = 3.25X1 + 2.75X2 + 0.60(8000 – 4X1 – 3X2) + 0.70(9000 – 2X1 – 2X2) + 0.55(7000 – X1 – 3X2) Z = 14.950 – 5.45X1 – 6.95X2  Restricciones 4X1 + 3X2 ≤ 8000 por onzas de HB01 2X1 + 2X2 ≤ 9000 por onzas de HB02 1X1 + 3X2 ≤ 7000 por onzas de HB03 X1 ≤ 1.700 botellas de Cúrcuma X2 ≥ 600 contrato para Pimentón 


Solución GLP

: 2.0 X1 + 2.0 X2 = 9000.0

X2 1701 1621 1541 1461 1381 1301 1221 1141 1061 981 901 821 741 661 581 501 421 341 261 181 101

: 4.0 X1 + 3.0 X2 = 8000.0

: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 1700.0

: 1.0 X1 + 3.0 X2 = 7000.0

: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 600.0 Payoff: 1.1 X1 + 2.1 X2 = 1260.0

0 90180 270 360 450 540 630 720 810 900 990 1080 1170 1260 1350 1440 1530 1620 1710 1800

X1

Optimal Decisions(X1,X2): ( 0.0, 600.0) : 4.0X1 + 3.0X2 <= 8000.0 : 2.0X1 + 2.0X2 <= 9000.0 : 1.0X1 + 3.0X2 <= 7000.0 : 1.0X1 + 0.0X2 <= 1700.0 : 0.0X1 + 1.0X2 >= 600.0



Página: 129



Salida del Solver

64. Guy Chung, superintendente de los edificios y del terreno circundante de la Universidad Gótica, ha planeado aplicar fertilizante al césped del área cuadrangular a principios de la primavera. Ese prado necesita por lo menos las cantidades de nitrógeno, fósforo y potasio que figuran en la siguiente tabla: MINERAL Nitrógeno Fósforo Potasio

PESO MINIMO(LIBRAS) 10 7 5

Hay tres tipos de fertilizante comercial disponibles; los análisis y precios por 1000 libras se enlistan en la siguiente tabla. Guy puede comprar cualquier cantidad de cualquiera de los fertilizantes que quiera y combinarlos antes de aplicarlos al césped. Formule un modelo de PL que determine la cantidad de


Página: 130



cada fertilizante que debe comprar para satisfacer los requerimientos con un costo mínimo.62 Fertilizante I II III

Contenido de nitrógeno (lib) 25 10 5

Contenido de Contenido de fósforo (lib) potasio (lib) 10 5 5 10 10 5

Precio ($) 10 8 7

Solución del problema  Definición de variables X1 = Miles de libras de Fertilizante I X2 = Miles de libras de Fertilizante II X3 = Miles de libras de Fertilizante III  

Función objetivo: Minimizar Z = 10X1 + 8X2 + 7X3 Restricciones 25X1 + 10X2 + 5X3 ≥ 10 contenido de nitrógeno 10X1 + 5X2 + 10X3 ≥ 7 contenido de fósforo 5X1 + 10X2 + 5X3 ≥ 5 contenido de potasio  No negatividad Xi ≥ 0; i = 1, 3 Datos de entrada para el Solver


62



Página: 131



65. La Ebel Mining Company es propietaria de dos minas que producen cierto tipo de mineral. Dichas minas está localizadas en distintas partes del país y, en consecuencia, presentan diferencias en sus capacidades de producción y en la calidad de su mineral. Después de ser molido el mineral se clasifica en tres clases dependiendo de la calidad: alta. Media y baja. Ebel ha sido contratada para suministrar semanalmente a la planta de fundición de su compañía matriz 12 toneladas de mineral de alta calidad, 8 toneladas de calidad mediana y 24 toneladas de calidad baja. A Ebel le cuesta $ 20.000 diarios operar la primera mina y $ 16.000 la segunda. Sin embargo en un día de operación la primera mina produce 6 tonelada de mineral de alta calidad, 2 toneladas de mediana y 4 toneladas de baja, mientras que la segunda produce 2 toneladas diarias de material de alta calidad, 2 de mediana y 12 de baja. ¿Cuántos días a la semana tendrá que funcionar cada mina para cumplir los compromisos de Ebel de la manera más económica posible? (En este caso resulta aceptable programar la operación de las minas en fracciones de día)63 Solución del problema

63



Definición de variables X1 = Número de días a la semana (fracción de semana) de trabajo de la Mina 1 X2 = Número de días a la semana (fracción de semana) de trabajo de la Mina 2



Función objetivo: Minimizar Z = 20X1 + 16X2 miles de dólares



Restricciones 6X1 + 2X2 ≥ 12 2X1 + 2X2 ≥ 8 4X1 + 12X2 ≥ 24 X1 + X2 = 5




mineral de alta calidad mineral de calidad mediana mineral de baja calidad máximo tiempo 1 semana (5 días)



Página: 132



8

Solución GLP

6 : 6.0 X1 + 2.0 X2 = 12.0

Payoff: 20.0 X1 + 16.0 X2 = 68.0 4

: 1.0 X1 + 1.0 X2 = 5.0

2

: 4.0 X1 + 12.0 X2 = 24.0

: 2.0 X1 + 2.0 X2 = 8.0 0 0

2

4

6

8

10

Optimal Decisions(X1,X2): ( 1.0, 3.0) : 6.0X1 + 2.0X2 >= 12.0 : 2.0X1 + 2.0X2 >= 8.0 : 4.0X1 + 12.0X2 >= 24.0 : 1.0X1 + 1.0X2 <= 5.0

Datos de entrada para Solver PRODUCCION DE MINERALES EN EBEL MINING COMPANY

Producción en Días de la semana Costo diario de operación

RESTRICCIONES Producción mineral alta c. Producción mineral mediana c. Producción mineral baja c. Tiempo máximo una semana

Mina Mina 1 2 1 1 MIN 20000 16000 36000 USO DE RECURSOS 6 2 4 1

2 2 12 1

UTILIZADO 8 4 16 2

≥ ≥ ≥ ≤

NO LIMITE UTILIZADO 12 -4 8 -4 24 -8 5 3


Producción en Días de la semana Costo diario de operación


Mina 1

Mina 2 1 3 MIN 20000 16000 68000

Página: 133


RESTRICCIONES Producción mineral alta c. Producción mineral mediana c. Producción mineral baja c. Tiempo máximo una semana


6 2 4 1

UTILIZADO 2 12 2 12 1

8 40 4

≥ ≥ ≥ ≤

NO LIMITE UTILIZADO 12 9,32E-12 8 24 5

9,32E-12 16 1

66. La Sally Solar Car CO., tiene una planta que fabrica automóviles sedán, deportivos y camionetas. Los precios de venta, costos variables y costos fijos correspondientes a la manufactura de estos vehículos se presentan en la siguiente tabla:

MODELO Sedan Camioneta Deportivo

CONTRIBUCION A LAS GANANCIAS ($) 6.000 8.000 11.000

VARIABLE DE PRODUCCION TIEMPO(HRS) 12 15 24

COSTOS FIJOS ($) 2.000.000 3.000.000 7.000.000

Rally ha recibido recientemente pedidos por un total de 100 automóviles sedan, 200 camionetas y 300 automóviles deportivos. Deberá atender todos estos pedidos. Ella desea planear la producción de manera que pueda alcanzar el punto de equilibrio con la mayor rapidez posible, es decir, quiere asegurarse que el margen total de contribución sea igual al total de costos fijos y que los costos variables de producción sean mínimos. Formule este problema como un modelo de programación lineal y resuélvalo.64 Solución del problema:  Definición de variables X1 = cantidad de automóviles Sedan X2 = cantidad de Camionetas X3 = Cantidad de automóviles Deportivos  



64

Función objetivo: Tiempo Mínimo Z = 12X1 + 15X2 + 24X3 Restricciones 6X1 - 2000 ≥ 0 producción de automóviles sedan 8X2 – 3000 ≥ 0 producción de camionetas 11X3 – 7000 ≥ 0 producción de automóviles deportivos x1 ≥ 100 cantidad de automóviles sedan x2 ≥ 200 cantidad de camionetas X3 ≥ 300 cantidad de automóviles deportivos No negatividad Xi ≥ 0; i = 1, 3



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Salida del Solver

67. Reese Eichler, fabricante de equipo complementario para filtración del aire, produce dos tipos de unidades, el Umidaire y el Depollinator. Los datos referentes a los precios de venta y a los costos aparecen en la siguiente tabla. La compañía Resse ha sido contratada para suministrar 500 Umidaire y desea calcular las cantidades del punto de equilibrio de ambos tipos de unidad. Formule el modelo de PL para minimizar los costos y resuélvalo.65 Producto Umidaire Depollinator

65

Precio de venta Costos variables Costos fijos ($) por unidad ($) por unidad ($) 450 240 150.000 700 360 240.000



Definición de variables X1 = Cantidad de unidades de Umidaire X2 = Cantidad de unidades de Depollinator

 

Función objetivo: Minimizar Z = 240X1 + 360X2 Restricciones 450X1 – 240X1 – 150000 ≥ 0 ; 210X1 ≥ 150000



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


700X2 – 360X2 – 240000 ≥ 0 ; 340X2 ≥ 240000 X1 ≥ 500 No negatividad Xi ≥ 0; i = 1, 2 Solución GLP

: 210.0 X1 + 0.0 X2 = 150000.0 Payoff: 240.0 X1 + 360.0 X2 = 425546.2 X2 1000 950 900 850 800 750 700 650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 500.0

: 0.0 X1 + 340.0 X2 = 240000.0

0

50

100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000

X1

Optimal Decisions(X1,X2): (714.3, 705.9) : 210.0X1 + 0.0X2 >= 150000.0 : 0.0X1 + 340.0X2 >= 240000.0 : 1.0X1 + 0.0X2 >= 500.0

Punto de equilibrio x1 > 500 y x2 > 705.9 Datos de entrada Solver

Salida Solver


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68. Una compañía opera cuatro granjas, cuyos grados de productividad son comparables. Cada una de las granjas tiene cierta cantidad de hectáreas útiles y de horas de trabajo para plantar y cuidar la cosecha. Los datos correspondientes a la próxima temporada aparecen en la siguiente tabla. HECTAREAS UTILES 500 900 300 700

GRANJA 1 2 3 4

HORAS DE TRABAJO DISPONIBLES POR MES 1700 3000 900 2200

La organización está considerando la opción de plantar tres cultivos distintos. Las diferencias principales entre estos cultivos son las ganancias esperadas por hectárea y la cantidad de mano de obra que cada uno requiere, como se indica en la siguiente tabla.

CULTIVO A B C

HECTAREAS MAXIMAS 700 800 300

HORAS MENSUALES DE TRABAJO POR HECTAREA 2 4 3

GANACIAS ESPERADAS POR HECTAREA ($) 500 200 300

Además, el total de las hectáreas que pueden ser dedicadas a cualquier cultivo en particular están limitadas por los requerimientos asociados por concepto de equipo de ciega. Con la finalidad de mantener una carga de trabajo más o menos uniforme entre las distintas granjas, la política de la administración recomienda que el porcentaje de hectáreas plantadas deberá ser igual para todas las granjas. Sin embargo, en cualquiera de esas fincas puede crecer cualquier combinación de cultivos, siempre y cuando se satisfagan todas las restricciones (incluido el requerimiento de la carga de trabajo sea uniforme). La administración desea saber cuantas hectáreas de cada cultivo tendrá que


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plantar en sus respectivas granjas, A fin de maximizar las ganancias esperadas.66 

Definición de variables X11 = Cantidad de Ha del X12 = Cantidad de Ha del X13 = Cantidad de Ha del X14 = Cantidad de Ha del X21 = Cantidad de Ha del X22 = Cantidad de Ha del X23 = Cantidad de Ha del X24 = Cantidad de Ha del X31 = Cantidad de Ha del X32 = Cantidad de Ha del X33 = Cantidad de Ha del X34 = Cantidad de Ha del



Función objetivo: Maximizar Z = 500X11 + 500X12 + 500X13 + 500X14 + 200X21 + 200X22 + 200X23 + 200X24 + 300X31 + 300X32 + 300X33 + 300X34 Restricciones X11 + X21 + X31 ≤ 500 Ha de cultivo en Granja 1 X12 + X22 + X32 ≤ 900 Ha de cultivo en Granja 2 X13 + X23 + X33 ≤ 300 Ha de cultivo en Granja 3 X14 + X24 + X34 ≤ 700 Ha de cultivo en Granja 4 2X11 + 4X21 + 3X31 ≤ 1700 Horas de trabajo en Granja 1 2X12 + 4X22 + 3X32 ≤ 3000 Horas de trabajo en Granja 2 2X13 + 4X23 + 3X33 ≤ 900 Horas de trabajo en Granja 3 2X14 + 4X24 + 3X34 ≤ 2200 Horas de trabajo en Granja 4 X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 700 Ha de cultivo A X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 800 Ha de cultivo B X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 300 Ha de cultivo C



Cultivo Cultivo Cultivo Cultivo Cultivo Cultivo Cultivo Cultivo Cultivo Cultivo Cultivo Cultivo

A A A A B B B B C C C C

en en en en en en en en en en en en

la Granja 1 la Granja 2 la Granja 3 la Granja 4 la Granja 1 la Granja 2 la Granja 3 la Granja 4 la Granja 1 la Granja 2 la Granja 3 la Granja 4

Cumplimiento de distribución uniforme 500 900 300   X 11  X 21  X 31 X 12  X 22  X 32 X 13  X 23  X 33 900(X11 + X21 + X31) – 500(X12 + X22 + X32) 500(X13 + X23 + X33) – 300(X11 + X21 + X31) 700(X11 + X21 + X31) – 500(X14 + X24 + X34) 

700 X 14  X 24  X 34 = 0 Distr. G1 y G2 = 0 Distr. G1 y G3 = 0 Distr. G1 y G4 

No negatividad Xij ≥ 0; i = 1, 3; j = 1, 4 i = Cultivo; j = Granja


66



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Salida Solver

69. La administración de un viñedo desea combinar cuatro cosechas distintas para producir tres tipos distintos de vinos en forma combinada. Las existencias de las cosechas y los precios de venta de los vinos combinados se muestran en la siguiente tabla, junto con ciertas restricciones sobre los porcentajes incluidos en la composición de las tres mezclas. En particular, las cosechas 2 y 3 en conjunto deberán constituir cuando menos 75% de la mezcla de A y cuando menos 35% de la mezcla C. Además, la mezcla A deberá contener cuando menos el 8% de la cosecha 4, mientras que la mezcla B deberá contener por lo menos 10% de la cosecha 2 y a lo sumo 35% de la cosecha 4. Se podrá vender cualquier cantidad


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que se elabore de las mezclas A, B y C. Formule un modelo PL que aproveche de mejor forma las cosechas disponibles y resuélvalo.67

Mezcla A

1 *

B

*

C

*

Cosecha 2 3 4 cuando menos 75% 2 Y 3 cuando en cualquier proporción menos 8% cuando menos * cuando 10% mucho 35% Cuando menos 35% 2 y 3 * en cualquier proporción 200 150 350

Precio de venta/galón 80 50 35

Existencias 130 (galones) * indica que no existe restricción alguna 

Definición de variables X11 = Cantidad de galones X12 = Cantidad de galones X13 = Cantidad de galones X21 = Cantidad de galones X22 = Cantidad de galones X23 = Cantidad de galones X31 = Cantidad de galones X32 = Cantidad de galones X33 = Cantidad de galones X41 = Cantidad de galones X42 = Cantidad de galones X43 = Cantidad de galones

de de de de de de de de de de de de

vino vino vino vino vino vino vino vino vino vino vino vino

de de de de de de de de de de de de

la la la la la la la la la la la la

cosecha cosecha cosecha cosecha cosecha cosecha cosecha cosecha cosecha cosecha cosecha cosecha

1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4

para para para para para para para para para para para para

mezcla mezcla mezcla mezcla mezcla mezcla mezcla mezcla mezcla mezcla mezcla mezcla

A B C A B C A B C A B C



Función Objetivo Maximizar Z= 80X11 + 80X21 + 80X31 + 80X41 + 50X12 + 50X22 + 50X32 + 50X42 + 35X13 + 35X23 + 35X33 + 35X43  Restricciones X21 + X31 ≥ 0.75(X11 + X21 + X31 + X41) por lo menos 75% de 2 y 3 en A X41 ≥ 0.08(X11 + X21 + X31 + X41) cuando menos el 8% en A X22 ≥ 0.10(X12 + X22 + X32 + X42) cuando menos el 10% en B X42 ≤ 0.35(X12 + X22 + X32 + X42) cuando mucho el 35% en B X23 + X33 ≥ 0.35(X13 + X23 + X33 + X43) por lo menos 35% de 2 y 3 en C X11 + X12 + X13 ≤ 130 máximo de galones de cosecha 1 X21 + X22 + X23 ≤ 200 máximo de galones de cosecha 2 X31 + X32 + X33 ≤ 150 máximo de galones de cosecha 3 X41 + X42 + X43 ≤ 350 máximo de galones de cosecha 4 

67

No negatividad Xij ≥ 0; i = 1, 4; j = 1, 3



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i = Cosecha; j = Mezcla Datos de entrada para Solver

Salida del Solver


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Investigación Operativa I Programación Lineal EJERCICIOS DE PROGRAMACION LINEAL

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