INVESTIGACIÓN D DE O OPERACIONES II EJERCICIOS Y Y P PROBLEMAS EJERCICIOS: Resolver utilizando el MÉTODO GRÁFICO de los siguientes Programas Lineales: a.
b. Max. Z = X1 + X2
Max. Z = 3 X 1 + 5 X2
Sujeto a:
Sujeto a: 5 X1 + 3 X2 ≤ 15 3 X1 + 5 X2 ≤ 15 X1 , X2 ≥ 0
X1
≤ 4 X2 ≤ 6 3 X1 + 2 X2 ≤ 18 X1 , X2 ≥ 0
Respuesta: X1 = 1.88 ; X 2 = 1.88 ; Z = 3.75
Respuesta: X1 = 2 ; X2 = 6 ; Z = 36
c.
d. Max. Z = 4 X1 + 4 X2
Min. Z = 4 X 1 + X2
Sujeto a:
Sujeto a: X1 ≤ X1 + X2 ≤ X1 + 2 X2 ≤ X1 , X2 ≥
6 8 12 0
3 X1 + X2 = 4 X 1 + 3 X2 ≥ X1 + 2 X2 ≤ X1 , X2 ≥
3 6 4 0
Respuesta: X1 = 6 ; X2 = 2 ; Z = 32
Respuesta: X1 = 2/5 ; X2 = 9/52 ; Z = 17/5
e.
f. Min. Z = X1 + 2 X2
Min. Z = 25 X 1 + 30 X2
Sujeto a:
Sujeto a: 3 X1 + X 2 ≥ 4 X 1 + 3 X2 ≥ X1 + X2 ≤ X1 , X2 ≥
3 6 3 0
4 X1 + X2 ≥ 1 8 X 1 + 3 X2 ≥ 3 X1 + X2 ≥ -2 X1 , X2 ≥ 0
Respuesta: X1 = 3/2 ; X2 = 0 ; Z = 3/2 Respuesta: X1 = 0.38 ; X2 = 0 ; Z = 9.38
INVESTIGACIÓN D DE O OPERACIONES II PROBLEMAS A: Formular el modelo de programación lineal y encontrar la solución óptima, utilizando el método gráfico y el método simplex.
PROBLEMA 01: Un fabricante produce bicicletas y motonetas, las cuales deben procesarse a través de dos Centrales de Producción mecánica. La Central 1 tiene un máximo de 120 horas disponibles, y la Central 2 tiene un máximo de 180 horas disponibles. La manufactura de una bicicleta requiere 6 horas en la Central 1 y 3 horas en la Central 2; la fabricación de una motoneta requiere 4 horas en la Central 1 y 10 horas en la Central 2. Si la utilidad por bicicleta bicicleta en unidades monetarias es US$ 45 (dólares americanos), y por la motoneta es de US$ 55 (dólares americanos), determinar el número de bicicletas y de motonetas que se deberían fabricar para obtener la máxima utilidad
Respuesta: 10 bicicletas y 15 motonetas, con una Utilidad Máxima de US$ 1,275.
PROBLEMA 02: Suponiendo que se cuenta con dos alimentos: pan y queso; cada uno de ellos contiene calorías y proteínas en diversas proporciones. Un kilogramo de pan contiene 2,000 calorías y 50 gramos de proteínas, y un kilogramo de queso contiene 2,000 calorías y 200 gramos de proteínas. Suponiendo que una dieta normal requiere cuando menos 6,000 calorías y 200 gramos de proteínas diariamente. Por tanto, si el kilogramo de pan cuesta US$ 6 y US$ 21 el queso, ¿Qué cantidades de pan y queso se debe comprar para satisfacer los requisitos de la dieta normal, gastando la menor cantidad de dinero?
Respuesta: 2 Kilogramos de pan y ½ Kilogramo de queso, con un gasto mínimo de US$ 22.50.
PROBLEMA 03: Un fabricante de juguetes que está preparando un programa de producción para dos nuevos artículos “A” y “B”, requiere utilizar en su fabricación las máquinas “X”, “Y” y un tiempo adicional para su acabado final. Cada Juguete “A” requiere 2 horas de uso de la Máquina “X”, 1 de “Y” y 1 para su acabado final. El juguete “B” requiere 1 hora de “X”, 1 de “Y” y 3 horas para su acabado. Las horas disponibles de los empleados, por semana son: Máquina “X”, 70 horas; Máquina “Y”, 40 horas y para el terminado 90 horas. Si las utilidades del juguete “A” son US$ 4 y de “B” US$ 6. ¿Cuántas unidades de cada uno deben fabricarse por semana con el objeto de maximizar las utilidades? ¿Cuál sería la utilidad máxima?
INVESTIGACIÓN D DE O OPERACIONES II Respuesta: Juguete “A” 15 unidades, Juguete “B” 25 unidades, (MAX) Utilidad de US$ 210.
PROBLEMA 04: Una Compañía minera extrae dos tipos de minerales “A” y “B” de dos minas. La cantidad de mineral que se puede extraer por tonelada procesada de la mina I es de 100 kilos de “A” y 200 kilos de “B”; de la mina II 200 kilos de “A” y 50 kilos de “B”. El costo por tonelada en la mina I es de US$ 50 y en la mina II de US$ 60. Si la compañía debe fabricar cuanto menos 3000 kilos de “A” y 2500 kilos de “B”. ¿Cuántas toneladas de cada mina se deben procesar para minimizar los costos? ¿Cuál es el costo mínimo?
Respuesta: Mina I: 10 toneladas, Mina II: 10 toneladas, (MIN) Costo de US$ 1,100.
PROBLEMA 05: Una mueblería dispone de dos diferentes tipos de madera; tiene 1500 pies de tabla del tipo “A” y 1000 pies de tabla del tipo “B”, también “B”, también dispone de 800 horas hombre para efectuar el trabajo. La demanda que ha estimado es el siguiente: cuando menos 40 mesas, 130 sillas y 30 escritorios; y no más de 10 libreros. Las cantidades de madera “A” y “B” y las horas hombre que requiere la elaboración de cada unidad de artículo, están indicadas en el cuadro siguiente: Madera Horas Demanda Utilidad por Hombre Estimada (*) Unidad (US$) A B Mesa 5 2 3 12 Silla 1 3 2 5 Escritorio 9 4 5 15 Librero 12 1 10 10 (*) Esta información debe ser completada por el estudiante. Artículo
Respuesta: Número de Mesas: 130 unidades, Número de Sillas: 130 unidades, Número de Escritorios: 30 unidades, Número de libreros: 0 unidades, Máxima Utilidad: US$ 2660.
PROBLEMA 06: El cuadro siguiente muestra el número de libras de cada uno de los dos ingredientes en una unidad de cada uno de los dos compuestos químicos. a. ¿Cuántas unidades X 1 y X2 de los dos compuestos deberán producirse? b. Que sucedería si se requiriera un tercer ingrediente, cuya obtención está restringida por 6X1 + 5X2 ≤ 150
INVESTIGACIÓN D DE O OPERACIONES II
Ingredientes 1 Ingredientes 2 Utilidad (US$ por unidad)
Compuesto 1 8 2 3
Compuesto 2 Disponibilidad 4 160 6 60 4
Respuesta: Cantidad Compuesto 1: 18 unidades, Cantidad Compuesto 2: 4 unidades, Máxima Utilidad: $70.
PROBLEMA 07: Un fabricante de camisas está tratando de decidir cuántas camisas debe producir durante el mes próximo. Pueden hacerse siete estilos. Los estilos varían en las horas de mano de obra que requieren, en la utilidad y en las ventas potenciales que el departamento de comercialización estima. Los datos se dan en seguida:
Estilo 1 2 3 4 5 6 7
Horas Hombre 0.50 1.00 0.25 1.50 0.70 0.90 1.20
Ventas Máximas 3 000 1 000 5 000 2 000 1 500 1 500 1 600
Utilidad por Unidad 1.00 2.00 1.00 1.50 1.10 1.20 1.20
Se dispone de un total de 7500 horas de mano de obra, se solicita solici ta maximizar la utilidad total.
Respuesta: Estilo 1: 3000 unidades, Estilo 2: 1000 unidades, Estilo 3: 5000 unidades, Estilo 4: 0 unidades, Estilo 5: 1500 unidades, Estilo 6: 1500 unidades, Estilo 7: 1125 unidades. Máxima Utilidad: US$ 14800 UM.
INVESTIGACIÓN D DE O OPERACIONES II PROBLEMAS B: Formular el modelo de programación lineal y encontrar la solución óptima, utilizando el SOLVER de MS Excel y el LINDO. Además deberá interpretar las variables variables y la función objetivo.
PROBLEMA 01: Una empresa cuenta con 1000 TM de mineral metálico, 2000 TM de mineral no metálico y 500 TM de mineral de combustión. A partir de dichos minerales pueden extraer 3 productos: A, B y C. La empresa desea tener la cantidad de cada producto que debe fabricar a partir de los minerales aprovechables, para obtener el máximo provecho de la operación. El producto A requiere 5 TM de mineral metálico, 20 TM de mineral no metálico y 10 TM de mineral de combustión. El producto B precisa 5 TM de mineral metálico, 8 TM de mineral no metálico y 5 TM de mineral de combustión. El producto C precisa de 10 TM de mineral metálico, 5 TM de mineral no metálico y ninguna TM de mineral de combustión, para cada TM de producto. El fabricante obtendrá $100 de beneficio por cada TM de producto A, $200 por TM de producto B y $50 por TM de producto C. Se desea conocer las cantidades a fabricar de cada uno de los productos A, B y C, así como el beneficio que se obtendría.
PROBLEMA 2: Para la fiesta de su hijo, un ama de casa desea hacer unos pastelillos. Sus conocimientos culinarios le permiten hacerlos de tres tipos A, B y C en todos los cuales intervienen como ingredientes mantequilla, nata y crema de los que respectivamente posee 232, 300 y 720 gramos. Un pastelillo del tipo A precisa 5 gramos de mantequilla, 8 gramos de nata y 9 gramos de crema. Uno de tipo B requiere 6, 5 y 8 gramos de mantequilla, nata y crema respectivamente. Uno de tipo C precisa de 4 gramos de mantequilla, 6 gramos de nata y 12 gramos de crema. La madre sospecha que le resultaría preferible optimizar la cantidad de pastelillos a hacer antes de cualquier otra consideración. Determinar, ¿Cuál es el número óptimo de pastelillos que debe fabricar?
PROBLEMA 3: El avaro Jim Smith se propone realizar una alimentación lo más económica e conómica posible para su ganado, pero el veterinario de la tribu Siux más próxima le ha señalado que obligatoriamente debe contener cuatro tipos de componentes nutritivos: soya, maní, granos y calcio. La industria alimentaria produce precisamente dos alimentos: alimento balanceado Premium (P) y alimento balanceado Normal (N) que contiene esos componentes. Un Kilogramo de alimento P contiene 100 gramos de soya, 100 gramos de granos y 200 granos de calcio. Un Kilogramo de alimento N, contiene 100 gramos de maní, 200 gramos de granos y 100 gramos de calcio.
INVESTIGACIÓN D DE O OPERACIONES II Un animal debe asumir diariamente al menos 0.4 gramos de soya, 0.6 kilogramos de maní, 2 kilogramos de granos y 1.7 gramos de calcio. El compuesto P cuesta $20 y el compuesto N cuesta $8 el kilogramo. ¿Qué cantidades de alimentos P y N deben utilizar diariamente por animal para poder realizar una alimentación en la forma menos costosa?
PROBLEMA 4: Trujillo Sport S.A. es un fabricante de calzado deportivo para básquetbol y fútbol. EL gerente de marketing tiene que decidir la mejor forma de gastar los recursos destinados a publicidad. Cada uno de los equipos de fútbol patrocinados requiere de 120 pares de zapatos. Cada equipo de básquetbol requiere de 32 pares de zapatos. Los entrenadores de fútbol reciben 300,000 dólares por concepto de patrocinio para calzado, y los entrenadores de básquetbol reciben 1’000,000 dólares. El presupuesto de la fábrica para promociones asciende a 30 millones de dólares. La empresa dispone de una provisión limitada: 4 litros de flubber (compuesto raro y costoso que se utiliza en la fabricación de calzado deportivo). Cada par de zapatos para básquetbol requiere de 3 cc de flubber y cada par de zapatos de fútbol requiere de 1 cc. La empresa desea patrocinar el mayor número de equipos de básquetbol y fútbol que sus recursos le permitan.
PROBLEMA 5: Un estudiante de Ingeniería Industrial necesita completar un total de 65 cursos para graduarse. El número de cursos de la especialidad tendrá que ser mayor o igual que 23. El número de cursos de ciencias y matemáticas deberá ser por lo menos 20. Los cursos de la especialidad requieren requieren un libro de texto que cuesta $60 $6 0 e implica 120 horas de estudio. Los cursos de ciencias cienci as y matemáticas requieren un libro que cuesta $24 e implica 200 horas de estudio. El estudiante dispone de 3000 dólares para libros. Determine la mejor forma de utilizar dicho presupuesto.
PROBLEMA 6: Clase S.A. fabrica ropa fina para hombres de clase alta. Hace unos cuantos años. La empresa incursionó en el mercado de ropa deportiva con su línea Sunset de shorts, pantalones y camisas. La gerencia desea fabricar la cantidad adecuada de cada producto para maximizar las utilidades. La ruta de fabricación (tiempo de procesamiento) de cada tipo de prenda pasa por dos departamentos A y B. Se muestra los l os datos para cada producto:
Producto Camisas Shorts Pantalones
Departamento A (horas/unidad) 2 2 3
Departamento B (horas/unidad) 1 3 4
Material (metros/unidad) 2 1 4
INVESTIGACIÓN D DE O OPERACIONES II El departamento A tiene 120 horas de capacidad, el departamento B tiene 160 horas de capacidad y se dispone de 90 metros de material. Cada camisa contribuye con $10 a los ingresos; cada par de shorts con $10 y cada par de pantalones con $35. El costo de cada camisa es de $5, de cada short $7 y de cada pantalón es de $15. Determinar la producción adecuada para lograr que las utilidades sean las máximas.
PROBLEMA 7: Una compañía de transportes posee 2 tipos de camiones. EL camión tipo A tiene 40 m 3 de espacio refrigerado y 20 m 3 no refrigerado. El camión tipo B tiene 30 m 3 refrigerados y 30 m 3 no refrigerados. El camión tipo C tiene 25 m 3 de refrigerado y 35 m 3 de no refrigerado. Una fábrica de productos alimenticios debe embarcar por lo menos 900 m 3 de productos productos refrigerados refrigerados y 1200 m 3 de no refrigerados. La cantidad de camiones del tipo A debe ser el doble de camiones del tipo B. La cantidad de camiones del tipo C no debe ser más del 20% del total de camiones a alquilar. El total de espacio refrigerado del camión A no debe exceder a los 400 m 3. ¿Cuántos camiones de cada tipo debe alquilar la fábrica para minimizar sus costos si el tipo A se alquila a 0.3 dólares por metro cúbito, el B a 0.4 dólares el metro cúbito y el C a 0.5 dólares por metro cúbito?
PROBLEMA 8: Mannucci Motors vende automóviles y vagonetas. La compañía obtiene $300 de utilidad por cada automóvil que vende y $500 por cada vagoneta. El fabricante no puede proveer más de 400 automóviles ni más de 250 vagones por mes. El tiempo de preparación para los distribuidores es de 3 horas para cada vagoneta y 4 horas para automóvil. La compañía cuenta con 1000 horas de tiempo de taller disponible cada mes para la preparación de automóviles y vagonetas nuevas. Plantear un modelo de programación lineal para determinar la cantidad de automóviles y vagonetas que debe ordenar para maximizar las utilidades.
PROBLEMA 9: Goldilocks tiene que obtener por lo menos 12 libras de oro y por lo menos 18 libras de plata para pagar la renta mensual. Existen dos minas de las cuales Goldilocks puede encontrar oro y plata. Cada día que Goldilocks está en la mina 1, encuentra 2 libras de oro y 2 libras de plata. Cada día que está en la mina 2, encuentra 1 libra de oro y 3 libras de plata. La explotación de la mina puede realizarlo en un mes a lo mucho, para lo cual se ha considerado 28 días. Formule un Programa Lineal para ayudar a Goldilocks a satisfacer sus requerimientos, minimizando el tiempo que tiene que estar en las minas.
INVESTIGACIÓN D DE O OPERACIONES II PROBLEMA 10: La empresa GREEN SAC desea conocer la cantidad de productos 1, 2 y 3 debe producir para maximizar el beneficio, si cada unidad vendida genera en utilidad $150, $210 y $130 por unidad respectivamente. Cada producto pasa por 3 mesas de trabajo, restringiendo la cantidad de unidades producidas debido al tiempo disponible en cada una de ellas. La siguiente tabla muestra el tiempo requerido por unidad de cada producto en cada mesa y el tiempo total disponible semanalmente (tiempo dado en minutos).
Producto Producto 1 Producto 2 Producto 3 Tiempo total disponible por mesa
Tiempo requerido MESA 1 10 15 7
Tiempo requerido MESA 2 12 17 7
Tiempo requerido MESA 3 8 9 8
3300
3500
2900
Se supone que cada unidad producida es vendida automáticamente. Determinar la combinación de productos que maximicen la utilidad para la compañía.
PROBLEMA 11: Auto SAC fabrica automóviles de lujo y camiones. La compañía opina que sus clientes más idóneos son hombres y mujeres de altos ingresos. Para llegar a estos grupos, Auto SAC ha emprendido una ambiciosa campaña publicitaria por TV, y decidió comprar comerciales de un minuto en dos tipos de programas: programas de comedias y juegos de fútbol americano. Cada comercial en programas de comedia lo ven 7 millones de mujeres de altos ingresos y 2 millones de hombres también de altos ingresos. Dos millones de mujeres de altos ingresos y 12 millones de hombres de altos ingresos ven cada comercial en juegos de fútbol americano. Un anuncio de un minuto en los programas de comedia cuestas 50 mil dólares y un comercial de un minuto en el juego de fútbol americano cuesta 100 mil dólares. Auto SAC le l e gustaría que por lo menos 28 millones de mujeres y 24 millones de hombres vieran sus comerciales. Utilice la programación lineal para determinar cómo la empresa puede alcanzar alcanzar sus objetivos publicitarios publicitarios al mínimo costo.
PROBLEMA 12: Una compañía aérea tiene dos aviones A y B para cubrir un determinado trayecto. El avión A debe hacer más veces el trayecto que el avión B pero no puede sobrepasar 120 viajes. Entre los dos aviones deben hacer más de 60 vuelos pero no más de 200. En cada vuelo en avión A consume 900 litros de combustible y en avión B 700 litros. En cada viaje del avión A la empresa gana 300,000 pesetas y 200,000 pesetas por viaje del avión B. ¿Cuántos viajes debe hacer cada avión para
INVESTIGACIÓN D DE O OPERACIONES II obtener el máximo de ganancias? ¿Cuántos vuelos deben hacer cada avión para que el consumo de combustible sea mínimo?
PROBLEMA 13: CASAS S.A. está desarrollando una comunidad habitacional a la orilla de un lago de propiedad privada. El mercado principal para los terrenos y las casas que esperan vender incluye todas las familias de ingresos medio y alto dentro de aproximadamente 100 millas a la redonda del proyecto. Gerencia ha contratado a una agencia de publicidad para diseñar la campaña publicitaria. La agencia ha presentado la siguiente información:
Medios de Publicidad
TV diurna (1 min.) TV vespertina (30 seg.) Periódico diario (una Página completa) Revista Dominical del periódico (1/2 página) Radio (30 segundos)
Número de Clientes Potenciales Alcanzados 1000 2000 1500
Costo Número Máximo por de Tiempo Anuncio disponible por mes 1500 15 3000 10 400 25
Unidades de calidad de exposición 65 90 40
2500
1000
4
60
300
100
30
20
CASAS S.A. autorizó un presupuesto de publicidad de 30,000 dólares para la campaña y solicitado asignar estos fondos de la siguiente forma: utilizar por lo menos 10 comerciales de televisión, se deben alcanzar por lo menos 50,000 clientes potenciales y no pueden gastarse más de 18,000 dólares en anuncios de televisión ¿Qué plan de selección de medios debe recomendarse?
PROBLEMA 14: La empresa “PACÍFICO” debe producir mermelada en una cantidad de que contenga al menos 6 gramos de B1 (frutilla) y 15 gramos de B2 (azúcar). Este requerimiento mínimo va obtenerse a partir de dos tipos de alimento F1 (mermelada 1) que contiene 1 gramos de B1 (frutilla) y F2 (mermelada 2) que contiene 1 gramo de B1 (frutilla) y 5 gramos de B2 (azúcar). Si F1 cuesta $120 el Kilogramo y F2 cuesta $180 el kilogramo. ¿Qué cantidad de cada tipo de alimento debe comprar para satisfacer los requer imientos mínimos y obtener el mínimo costo?
INVESTIGACIÓN D DE O OPERACIONES II PROBLEMA 15: Un restaurante debe producir 2000 kilogramos de cierta mezcla especial para agregarse al relleno en la preparación de pavos navideños. Esta mezcla está constituida principalmente por tres ingredientes aceitunas, pimientos y zanahorias. El kilogramo de aceitunas cuesta $6; en cambio los pimientos y zanahorias cuestan $4 y $2.5 por kilogramo respectivamente. No puede usarse más de 600 Kilogramos de zanahorias y deben usarse por lo menos 300 Kilogramos de pimientos; y por lo menos 400 kilogramos de aceitunas. Como el restaurante desea minimizar costos, se pide determinar: ¿Qué cantidad de cada ingrediente debe contener la mezcla especial?
PROBLEMA 16: Una fábrica de una línea de shampoos para el cabello, está planificando una producción de productos A (para cabello secos) y B (para cabellos grasos) se dispone de suficientes ingredientes para 60,000 botellas de cada shampoo pero no hay sino 60,000 botellas para ambos shampoos. Toma 4 horas preparar suficiente shampoo para llenar 1,000 botellas del shampoo B se dispone de 200 horas para la preparación. El beneficio es de 0.09 centavos por botella para el shampoo A y de 0.07 centavos para la botella B. ¿Cómo se debe programar la producción para maximizar las utilidades?
PROBLEMA 17: Una fábrica de plásticos planea obtener un nuevo producto mezclando 4 compuestos químicos. Estos compuestos consisten principalmente de 3 elementos químicos A, B y C. A continuación se muestra la composición y el costo por unidad de estos compuestos. Compuesto Químico Porcentaje de A Porcentaje de B Porcentaje de C Costo/ Kilogramo
1 30 20 40 60
2 20 60 15 30
3 40 30 25 20
4 20 40 30 15
El nuevo producto consiste de 20% del elemento A, al menos 30% del elemento B y al menos 20% del elemento C. Debido a los efectos laterales de los compuestos 1 y 2, no deben de exceder el 30% y el 40% del contenido del nuevo producto. Formular como un programa lineal el problema de encontrar la forma menos costosa de obtener en nuevo producto.
PROBLEMA 18: Una industria metalmecánica produce cuatro piezas de acero (C1, C2, C3 y C4) a través de las secciones de corte, formado, pulido y pintado. Los tiempos que se requieren, al igual que los
INVESTIGACIÓN D DE O OPERACIONES II tiempos disponibles y las utilidades que genera la fabricación de dichas piezas se muestran en la siguiente tabla: Secciones de Trabajo Corte Formado Pulido Pintado Utilidad (*) Justamente 85 horas.
Piezas C1 3 3 4 9
C2 7 2 4 6 18
C3 4 4 5 14
C4 5 5 3 11
Horas Disponibles (*) 85 80 90 100
¿Qué cantidad de cada uno de las piezas deberá producirse para maximizar la utilidad total?
PROBLEMA 19: La empresa manufacturera ANDES S.A. fabrica dos clases de tableros de acero inoxidable. Se dispone de 3 horas y 20 minutos para el proceso de embutido y 4 horas para realizar los troqueles en dichos tableros. El beneficio es de $50 para cada tablero tipo A y $60 para cada tablero tipo B. Los tiempos de procesamiento de los tableros de acero inoxidable se detallan en la siguiente tabla: Tablero Embutido Troqueles Beneficio
Tipo A 5 min. 10 min. $50
Tipo B 8 min. 8 min. $60
Tiempo Disponible 200 min. 240 min.
¿Cuántos tableros de cada tipo debe fabricar la empresa ANDES S.A. para maximizar el beneficio? ben eficio?
