Algebra lineal howard anton 2 edicion

INTRODUCCI~N AL ALGEBRA LINEAL

V E R S I ó N AUTORIZADA EN ESPAÑOL DE LA OBRA PUBLICADA EN INGLÉS CON EL TíTULO:

ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA O JOHN WILEY& SONS,INC.

COLABORADOR EN LA T R A D U C C I ~ N : HUGO VILLAG~MEZVELÁZQUEZ LAPRESENTACI~NY DISPOSICI~N EN CONJUNTO DE

INTRODUCCIóN AL ALGEBRA LINEAL SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIDA o TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGUN SISTEMA O MÉTODO, ELECTR6NICOOMECÁNlCO (INCLUYENDO EL FOTOCOPIADO, LA GRABACIóN O CUALQUIERSISTEMA DE R E C U P E R A C I ~ NY ALMACENAMIENTO DE INFORMACI~N),SIN CONSENTIMIENTOPOR ESCRITO DEL EDITOR.

DERECHOS RESERVADOS:

O 2001, EDITORIAL LIMUSA, S.A.DE C.V. GRUPO NORIEGA EDITORES BALDERAS 95, M É x l c o , D.F. C.P. 06040 '-S$. (5)521 -21 -05

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O1(800) 7-06-91-00 (5) 512-29-03 [email protected] www.noriega.com.mx

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QUINTAREIMPRESI~N DE LA SEGUNDA EDICIÓN

HECHO EN M É x l c o ISBN 968-1 8-5192-7

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PROLOG0

Así comoenlaedición anterior. enestanuevaediciónse proporciona un tratamiento básico del álgebra lineal, idóneo para estudiantes que están cursando el primer o segundo años de facultad. Mi objetivo es presentar los fundamentos del álgebra lineal de la forma más clara posible. por lo que el aspecto pedagógico es esencial. No se requiere haber estudiado cálculo, aunque se presentan ejercicios y ejemplos para estudiantes que tienen los conocimientos necesarios; estos ejercicios y ejemplos están claramente indicados y se pueden omitir sin pérdida de continuidad.

RESUMEN DE LOS CAMBIOS EN ESTA EDICIóN Aunque esta edición tiene mucho en común con la edición anterior, se trata de una revisión sustancial. g e intentado mantener la claridad y el estilo de la edición previa, y a la vez reflejar las necesidades cambiantes de una nueva generación de estudiantes. Con esta intención hepuesto en práctica varias recomendaciones hechas por el Linear Algebra Curriculum Study Group. También he hecho algunos cambios de organización que deben facilitar a los instructores cubrir los fundamentos detodos los temas esenciales, inclusive con severas restricciones de tiempo. Posteriormente, en este prólogo se presenta una descripción de los cambios capítulo a capítulo, aunque a continuación se presenta unresumende los cambios más importantes: Mayor énfasis en las relaciones que hay entre los conceptos: Uno de los objetivos importantes de un curso de álgebra lineal es establecer la trama 7

intrincada de las relaciones que hay entre sistemas de ecuaciones, matrices, determinantes, veclores. transformaciones lineales y eigenvalores. En esta edición. la trama de relaciones se desarrolla a través del siguiente crescendo de teoremas que vinculan cada nueva idea con ideas precedentes: 1.5.3, 1.6.4. 2.3.6, 4.3.4, 63.9. 6.2.7, 6.4.5 y 7.1.5. Estos teoremas no sólo hacen más coherente el panorama algebraico, sino también sirven como fuente constante de repaso. Transición m b suavehacialaabstracción:La transición de R" a espacios vecloriales generales es traumática para casi todos los estudiantes. de modo que he intentado suavizarla analizando Rn en detalle, recalcando los conceptos geométricos subyacentes antes de proceder con el estudio de espacios vectoriales generales. Exposición temprana de transformaciones lineales y eigenvalores: A fin de asegurar que el material sobre transformaciones lineales y eigenvalores no se pierda al final delcurso, algunos de los conceptos básicos que se relacionan con tales temas se desarrollan más pronto en el texto y luego se repasan cuando el tcma se desarrolla con mayor profundidad en la parte final del texto. Por ejemplo, las ecuaciones características se analizan brevemente en la sección sobre determinantes. Las transformacioncs lineales de H" a R'" se abordan inmediatamente después que se introduce K". y se analizan más tarde enel contexto de las transformaciones linealcs gencrales. Estos repasos ayudan a asegurar que los estudiantes se ramiliaricencon los fundanlentos de todoslos temas más importantes, inclusive cuando el tiempo apremia. Mayor énfasis en la conceptualización: Para mantener el interés actual cn la conceptualización y en las aplicaciones crecientes del álgebra lineal a las gráficas, he puesto mayor énfasis en los aspectos geométricos de las rotaciones. proyecciones y reflexiones en y en R3. Nuevo material sobre mínimos cuadrados y descomposición QR: Seha añadido nuevo material sobre mínimos cuadrados y descomposición QH,en respuesta al interés creciente en estos temas. Másdemostraciones: Se han añadidovarias demostraciones que antes habían sido omitidas. Todas las demostraciones eneltexto han sido escritas en un estilo adecuado para principiantes. y se ha puesto especial cuidado a fin de asegurar que el carácter accesible y amable del texto no haya sido afectado de manera adversa por las demostraciones adicionales. Quienes deseenun curso matemáticamente más forrnal encontrarán que esta nueva edición es más idónea para tal efecto. y quienes deseen un curso más conceptual tendrhn mayor elección en las demostraciones.

DETALLES DE LOS CAMBIOS DE ESTA EDICIÓN La amplia aceptación de la edición anterior ha sido muy gratificante. y aprecio las sugerencias constructivas recibidas de parte de los usuarios y revisores. Se han revisado algunas secciones del testo para presentarlas con más claridad, y se han

erectuando cambios sustanciales ente1 contenido y su OrgallhCiÓn, en rcspuesta a las sugerencias tanto de los usuarios como de los revisores. así como de las cCOmendaciones hechas por el Linear Algebra ('urriculum Study (;roup. Hay muchas formas en las que es posible ordenar el material en un curso de algebra lineal:el ordenamiento que he elegido para 10s capítulos refleja m i inclinación por el axioma de que es necesarioproceder de 10 conocido 21 10 desconocido y de lo concreto a lo abstracto. A continuación se presenta un resumen capítulo a capítulo de 10s cambios más importantes en esta nueva edición. Capítulo 1. Se presenta una nueva sección sobre matrices de forma espccial: diagonal, triangular y simétrica. Al modificar ligeramente el material. no se incrementó el número de secciones de este capítulo. Capítulo 2. A este capítulo determinante se ha añadido nuevomaterial introductorio sobreeigenvalores,eigenvectores y ccuaciones características. Este material se repasa y posteriormente se analiza con más detalle en el capítulo 7. Se ha añadido la demostración de la igualdad det(AR) = det(A)det(B). Capítulo 3. Se presenta nueva información sobre ecuaciones vectorialcs de rectas y planos, y la interpretación geomktrica de los determinantes 2 x 2 ~ 3 x 3 . Capítulo 4. Este es unnuevo capítulo dedicado exclusivamente a R". Se desarrollan conceptos fündamentales y se presenta una introducción a las transformaciones lineales de Rn a R"'. recalcando el aspecto geométrico dc las proyecciones,rotaciones y reflexiones. A diferencia de la edición anterior, este material se presenta ahora antes del desarrollo de los espacios vectoriales generales. El material de este capítulo se analiza más tarde, en el contesto de espacios \,ectoriales generales. Capítulo S. Este capítulo corresponde al capítulo 4 de l a edición anterior. Se han añadido muchas de las demostraciones que se habían omitido. También se presenta nuevo material sobre el wronskiano, para quienes han cstudiado Cálculo, y se incluye nuevo material sobre los cuatro espacios fundamentales de unamatriz. Capítulo 6. Este capítulo corresponde al capítulo 5 de la edición anterior. Se presenta nuevo material sobre complementos ortogonalcs. descomposición QR y mínimos cuadrados. Capítulo 7. Este capítulo corresponde al capítulo 6 de la edición anterior. Se ha repasado el material desarrollado antes sobre eigenvalores y elgenvectores. Se incluye nuevo material sobre las multiplicidades geométrica y algebraica. así como una explicación mejorada sobre los requisitos para la diagonalización. Capítulo 8. Este capítulo correspondeal capítulo 7 de l a edición anterior. El material se ha vuelto a escribir sustancialmente. a fin de reflejar el hecho de que las transformaciones lineales de Rn a Hm se introdujeron en el capítulo 4. Capítulo 9. Este capítulo corresponde al capítulo 8 y a las secciones 9. I y 9.2 de la edición anterior. Se ha vuelto a escribir la secciónsobre la

10

Prólogo

geometría de los operadores lineales sobre R2 para poder fundamentar los conceptos desarrollados en la sección 4.2. Capítulo 10. Este capítulo corresponde al capítulo 7 de la edición anterior. Los cambios son menores.

ACERCA DE LOS EJERCICIOS En todos los ejercicios de cada sección se empieza con problemas de rutina, se avanza hacia problemasmás sustanciales y se concluye con problemasteóricos. AI final de casi todos los capítulos se presenta un conjunto de ejercicios complementarios que pueden presentar más dificultad y forzar al estudiante a extraer ideas de todo un capítulo, en vez de hacerlo solamente de unasección específica.

GUÍA PARA EL INSTRUCTOR

PROGRAMAS POSIBLESPARA UN CURSO NORMAL He revisado una gran cantidad de posibilidades para cursos de álgebra lineal. La variación entre las instituciones es amplia, aunque los cursos tienden a caer en dos categorías: una que consta de entre 20 y 30 lecciones (excluyendo los exámenes y los repasos) y otra que consta de entre 35 y 40 lecciones (excluyendo los exámenes y los repasos). Con base en mi análisis de estas posibilidades. he proporcionado dos patrones para elaborar un curso propio. Los patrones se deben ajustar a fin de reflejar los intereses y requisitos propios, aunque deben ser útiles como punto de partida. En el patrón largo se supone que se cubren todas las seccionesdel capítulo, y en el patrón corto se supone que el instructor selecciona material para ajustarse al tiempo disponible. Dos cambios en la organización del texto facilitan la construcción de cursos más cortos: la breve introducción a los eigenvalores y eigenvectores que se presenta en las secciones 2.3 y 4.3 y la colocaciónprevia de las transformaciones lineales de R" a Rm en el capítulo 4. Estos cambios aseguran que el estudiante se familiarice unpococon estos conceptos fundamentales, inclusive si el tiempo disponible para abordar los capítulos 7 y S es limitado. Observé también que los estudiantes que ya conocen el material pueden omitir el capítulo 3 sin pérdida de continuidad.

12

Guía para el instructor

Patrón largo

Patrón corto

Capítulo 1 Capítulo 2 Capítulo 4 Capítulo S Capítulo 6 Capítulo 7 Capítulo 8

7 lecciones 4 lecciones 3 lecciones X lecciones

6 lecciones 3 lecciones 3 lecciones 7 lecciones

6 lecciones

3 3

Total

3 8 lecciones

4 lecciones 6 lecciones

lecciones lecciones 2 lecciones 27 lecciones

VARIANTES DEL CURSO NORMAL Son posibles muchas variantes del curso normal. Por ejemplo. es posible crcar un patrón largo opcional siguiendo la asignación de tiempo del patrón corto y dedicando las 11 lecciones restantes a algunos dc los temas de los cdphlOS 9 y 1 0 .

CURSO ORIENTADO A APLICACIONES El capítulo 9 contiene aplicaciones selectas de álgebra lineal que son esencialmente de naturaleza matemática.Los instructores interesados en una variedad más amplia de aplicaciones pueden considerar la otra versión de este texto, Elementary Linear Algebra, Aplications Version. de Howard Anton y Chris Rorres. En esc texto se proporcionan numerosas aplicaciones a los negocios. biología, ingeniería. economía. ciencias sociales y ciencias físicas.

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AGRADECIMIENTOS

1

Expreso mi aprecio por la útil orientación proporcionada por las siguientes personas:

REVISORES Y COLABORADORES DE EDICIONES ANTERIORES EN INGLÉS Steven C. Althoen, University of Michigan-Flint C. S. Ballantine, Oregon State University Erol Barbut, University of Idaho William A. Brown, University of Maine Joseph Buckley, Western Michigan University Thomas Cairns, University of Tulsa Douglas E. Cameron, University of Akron Bomshik Chang, University of British Columbia Peter Colwell, Iowa State University Carolyn A. Dean, University of Michigan Ken Dunn, Dalhousie University Bruce Edwards, University of Florida Murray Eisenberg, University of Massachusetts Harold S. Engelsohn, Kingshorough Comm. College Garret Etgen, University ofHouston Marjorie E. Fitting, San Jose State University Dan Flath, University of South Alabama David E. Flesner, Gettysburg College Mathew Gould, Vanderbilt University Ralph P. Grimaldi, Rose-Hulman Institute

William W. Hager, University of Florida Collin J. Hightower, University of Colorado Joseph F. Johnson, Rutgers University Robert L. Kelley, University of Miami Arlene Kleinstein Myren Krom, Calfornia State University Lawrence D. Kugler, University of Michigan Charles Livingston, Indiana University Nicholas Macri, Temple University Roger H. Marty, Cleveland State University Patricia T. McAuley, SUNY-Binghamton Robert M. McConnel, University of Tennessee Douglas McLeod, Drexel University Michael R. Meck, Southern Connecticut State Univ. Craig Miller, University of Pennsylvania Donald P. Minassian, Butler University Hal G. Moore, Brigham Young University Thomas E. Moore, Bridgewater State College Robert W. Negus, Rio Hondo Junior College Bart S. Ng, Purdue University 13

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I

Agradec.citrrientos

James Osterburg, University of Cincinnati MichaelA.Penna, Indiana-Purdue University Gerald J.Porter, University of Pennsylvania F. P. J. Rimrott, University qf Toronto C. Ray Rosentrater, Westmont College KennethSchilling, University of Michigan-Flint William Scott, University of Utah Donald R. Sherbert, University of Illinois Bruce Solomon, Indiana University Mary T. Treanor, Valparaiso University

William Trench, F. Trinity University Joseph L. Ullman, University of Michigan W. VanceUnderhill, East Texas State University James R. Wall, Auburn University Arthur G. Wasserrnan, University of Michigan Evelyn J. Weinstock, Glassboro State College Rugang Ye, Stanford University Frank Zorzitto, University of Waterloo Daniel Zwick, University of Vermont

REVISORES Y COLABORADORES DE LA SÉPTIMA EDICIÓN EN INGLÉS, SEGUNDA EN ESPAÑOL Mark B. Beintema, Southern Illinois University Paul Wayne Britt, Louisiana State University David C. Buchthal, University of Akron Keith Chavey, University of Wisconsin-River Falls Stephen L. Davis, Davidson College Blake DeSesa, Drexel University Dan Flath, Uniwrsity of South Alabama Peter Fowler, California State University Marc Frantz, Indiatza-Purdue University Sue Friedman, Bernard M. Baruch College, CUNY William Golightly, College qf Charleston Hugh Haynsworth, College qf Charleston Tom Hem, Bow!ling Green State University J. Hershenov, Queens College. CUNY Steve Humphries, Brigham Young Universitt3 Steven Kahan, Queens College, CUNY

Andrew S. Kim, Westfield State College John C. Lawlor, University of Vermont M. Malek, California State University at Huyward J. J. Malone, Worcester Polytechnic Institute William McWorter, Ohio State University Valerie A. Miller, Georgia State University Hal G. Moore, Brigham Young University S. Obaid, San Jose State University Ira J. Papick, University of Missouri-Columbia Donald Passman, University of Wisconsin Robby Robson, Oregon State University David Ryeburn, Simon Fraser University Ramesh Sharma, University of New Haven David A. Sibley, Pennsylvania State University Donald Story, Universio,of Akron Michael Tarabek, Southern Illinois University

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS, LECTURA DE PRUEBASE INDICE Michael Dagg, Numerical Solutions, Inc. Susan L. Friedman, Bernard M. Baruch College, CUNY Mareen Kelley, Northern Essex Communih. College Randy Schwartz, Schoolcraft College Daniel Traster (Student), Yale Universio.

COMPLEMENTOS Benny Evans, Oklahoma State University Charles A. Grobe, Jr., Bowdoin College

Agradecimientos / 15

Elizabeth M. Grobe IntelliPro, Inc. Jerry Johnson, Oklahoma State University Randy Schwartz, Schoolcraft College

OTROS COLABORADORES Un agradecimiento especial a los siguientes profesores, quienes leyeron profundamente el material del texto e hicieron contribuciones significativas a la calidad del nivel matemático y de exposición: Stephen Davis, Davidson College Blaise DeSesa, Drexel University Dan Flath, University of South Alabama Marc Frantz, Indiana-Purdue University William McWorter, Ohio State University Donald Passman, University of Wisconsin David Ryeburn, Simon Fraser University Lois Craig Stagg, University of Wisconsin-Milwaukee También deseo expresar mi agradecimiento a: Barbara Holland, mi editora, quien me ayudó a moldear al concepto de esta nueva edición y cuyo entusiasmo incluso convirtió en divertido el arduo trabajo (alguna vez). Ann Berlin, Lucille Buonocore y Nancy Prinz del Departamenro de Producción de Wiley, por preocuparse tanto por la calidad de este trabajo y proporcionarme un apoyo extraordinario. Lilian Brady, cuyoojo para los detalles y sentido estético infalible mejoró grandemente la exactitud del texto y la belleza de la tipografía. Joan Carafiello y Sharon Prendergagst por su soberbio trabajo en la coordinación de la miríada de detalles que mágicamente produjeron las respuestas y los complementos a tiempo. El grupo en Hudson River Studio por tratar con tanto tacto a un autor riguroso. Mildred Jaggard, mi asistente, quien coordinó todoslos detalles deltexto desde la lectura de pruebas hasta el índice con pericia consumada, y quien pacientemente toleró mi idiosincrasia. HOWARD ANTON

CAPíTULO 1

SISTEMAS DEECUACIONESLINEALES Y MATRICES l . l . Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales 2 1 1.2.Eliminacióngaussiana 29 1.3. Matrices y operaciones con matrices 47 1.4. Inversas: Reglas de la aritmética de matrices 61 1.5. Matrices elementales y unmétodo para determinarn" 75 1.6. Otros resultados sobre sistemas de ecuaciones e invertibilidad 1.7. Matrices diagonales, triangulares y simétricas 94

CAPíTULO 2

DETERMINANTES

85

107

2.1. La funcióndeterminante 107 2.2. Evaluación de determinantes por reducción de renglones 2.3. Propiedades de la funcióndeterminante121 2.4. Desarrollo por cofactores; Regla de Cramer 131

CAPíTULO 3

21

115

VECTORES EN LOS ESPACIOS BlDlMENSlONALY TRIDIMENSIONAL. 149 3. l. Introducción a losvectores (geométrica) 147 3.2. Normade un vector; Aritmética vectorial159 3.3. Producto punto: Proyecciones165 17

3.4. Producto cruz 175 3.5. Rectas y planos en elespacio tridimensional

CAPITULO 4

ESPACIOS VECTORIALES

189

EUCLIDIANOS

203

4. l . Espacio euclidiano n dimensional 203 4.2. Transformaciones lineales de R" a Rm 218 5.3. Propiedades de las transformaciones lineales de R" a Rm

CAPíTULO 5

ESPACIOS VECTORIALES GENERALES 5. 1. Espaciosvectorialesreales257 5.2. Subespacios 265 5.3. Independencialineal277 5.4. Base y dimensión 287 5.5. Espacio renglón. espacio columna 5.6. Rango y nulidad322

CAPíTULO 6

239

257

y espacio nulo 306

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR

339

6.1. Productos interiores 339 6.2. Ángulo y ortogonalidad en espacios con producto interior 353 6.3. Bases ortonormales: Proceso de Gram-Schmidt; Descomposición QR 3 67 6.4. Mejoraproximación: Mínimos cuadrados 384 6.5. Matricesortogonales:Cambio de base395

CAPíTULO 7

EIGENVALORES, EIGENVECTORES 41 7. l. Eigenvalores y eigenvectores 7.2. Diagonalización 426 7.3. Diagonalización ortogonal437

CAPíTULO 8

5

4 15

TRANSFORMACIONES LINEALES

447

8. I , Transformaciones lineales generales 447 8.2. Núcleo y recorrido461 8.3, Transformaciones lineales inversas 468 8.4. Matrices de transformacioneslineales generales 8.5. Semejanza 595

478

Contenido / 19

CAPíTULO 9

TEMAS COMPLEMENTARIOS

513

9. l . Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales S 13 9.2. Geometría de los operadores lineales sobre R2 521 9.3. Ajustede datos por mínimos cuadrados 535 9.4. Problemas de aproximación: Series de Fourier 543 9.5.Formas cuadráticas 55 1 9.6. Diagonalización de formas cuadráticas; Secciones cónicas 561 9.7. Superficies cuádricas 574 9.8. Comparación de procedimientos para resolver sistemas lineales 9.9. Descomposiciones LU 589

CAPíTULO 10 ESPACIOSVECTORIALESCOMPLEJOS

601

10.1. Númeroscomplejos 601 10.2. Módulo;Conjugadocomplejo;División 610 10.3. Forma polar; Teorema de De Moivre 617 10.4. Espacios vectoriales complejos 628 10.5. Espacios complejosconproducto interior 637 10.6. Matrices unitarias, normales y hermitianas 647

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS iNDlCE

711

661

S79

CAPíTULO

~

I .I

I

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATHCES

INTRODUCCIQN A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES El estudio de los sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones es uno de los temas más importantes del álgebra lineal. En estasección se introducirá terminología básicay se analizará un metodo para resolver esos sistemas.

ECUACIONES LINEALES

Una recta en el plano xy puede representarse algebraicamente porunaecuaciónde la forma u I x+ a,y

=b

Una ecuación de este tipo se denomina ecuación lineal en las variables x y y . De manera más general, una ecuacidn lineal en las n variables x,, x2,. . . , xn se define como una ecuación quese puede expresar en la forma U,X,

+ a2x2+ . . . + U , X ,

=h

donde al, a2, . . . , a,, y b son constantes reaies.Las variables en una ecuación lineal algunas veces se denominan incógnitas. Ejemplo 1 Las ecuaciones siguientes son lineales: x + 3 y = 7x , y=+x+3z+ 1

3x, + x, = 7 x,+x*+...+xx,=l -

2x,

-

21

22

;'

Sistemas de ecuaciones linealesy matrices

Observar que una ecuación lineal no incluye ningún producto o raíz de variables. Todas las variables están elevadas sólo a la primera potencia y no aparecen como argumentos de funciones trigonométricas, logarítmicas o exponenciales. Las siguientes ecuaciones no son lineales:

Una solución de una ecuación lineal alxl + a2x2 + . . . , + a>,= b es una sucesión de n números sl, sz, . . . , sn de modo que la ecuación se cumple cuando se sustituye x1 = sl, x2 = s2, . . . , x, = S,. El conjunto de todas las soluciones de la ecuación se denomina conjunto solucidn o, algunas veces, solucidn general de la ecuación.

Ejemplo 2 Encontrar el conjunto solución de (a) 4x - 2"v = 1

(b) x1 - 4x,

+ 7x3 = 5

Solución a). Para encontrar soluciones de a), se asigna un valor cualesquiera a x y se despeja y, o bien, se elige un valor arbitrario paray y se despeja x. Si se sigue el primer método y a x se asigna un valorarbitrario t, se obtiene y=2t-$

x=t,

Estas expresiones describenel conjunto solución en términos de algún parámetrof. Lassolucionesnuméricas particulares se pueden obteneral sustituir valores específícos de t. Por ejemplo, f = 3 conduce a la solución x = 3, y = yt=produce la solución x = - T1 ,y = - . Si se sigue el segundo método y a y se asigna el valor arbitrario t , se obtiene

y,

2

4

Aunque estas expresiones son diferentes a las que se obtuvieron antes, producen el mismo conjunto solución cuando t asume todos los números reales posibles. Por ejemplo, con las expresiones anteriores se obtuvo la solución x = 3 , y = cuando t = 3, mientras quecon las expresiones posteriores se obtuvo esa solución cuandot

y

-

11 -

2 '

Solución b). Para encontrar el conjunto solución de b) es posible asignar valores arbitrarios a dos variables cualesquieray despejar la tercera variable. En particular, si a x2 y ,x3 se asignan los valores arbitrarios s y t, respectivamente, y se despeja xl, se obtiene x1=5+4s-7t,

x2=s,

x3=t A

1.I Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales I’ 23

SISTEMAS LINEALES

Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variables x,, x,, . . ., x,, se denomina sistema de ecuaciones lineales o sistema lineal. Una sucesión de números S , , S,,. . . , S, se denomina solución del sistema si x1 = sl, x, = S,, . . . , S,, = xn es una solución de todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Por ejemplo, el sistema

+ 3x,

=

-

31, + x2 + 9x,

=

-4

4x, - x *

1

tiene la solución x, = 1, x2 = 2, x3 = - 1, ya que estos valores satisfacen ambas ecuaciones. Sin embargo, x1 = 1, x, = 8, x3 = 1 no es una solución, ya que estos valores satisfacen sólo la primera de las dos ecuaciones del sistema. No todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen solución. Por ejemplo, si la segunda ecuacióndel siguiente sistema x+ y=4 2x+2y=6

i,

se multiplica por resulta evidente que no existen soluciones, ya que el sistema equivalente obtenido x +y = 4 x+y =3

está compuesto por ecuaciones contradictorias. Se dice que un sistemade ecuaciones que no tiene soluciones es inconsistente; si existe por lo menos una solución del sistema, éste se denomina consistente. Para ilustrar las posibilidades que pueden ocurrir al resolver sistemas deecuaciones lineales, se considerará un sistema generalde dos ecuaciones lineales en las incógnitas x y y: u,x+b,y=c, a2x b,y = c2

+

( a , , b , nosonceroalavez) ( a z ,6,

no son cero a la vez)

Las gráfkas de estas ecuaciones sonrectas; por ejemplo I, y I,. Como un punto (x,

y) pertenece a una recta sí y sólo si los números x y y satisfacen la ecuación de la recta, las soluciones del sistemade ecuaciones correspondena intersección de 1, y I,. Existen tres posibilidades (figura 1):

lospuntosde

Las rectas I, y 1, pueden ser paralelas, en cuyocasonose cortan y, en consecuencia, no existe solución del sistema. Las rectas I, y I, pueden cortarse sólo en un punto, en cuyo caso el sistema tiene exactamente unasolución. Las rectas I, y 1, pueden coincidir, en cuyocasohayuna infinidad de puntos de intersección y, por tanto, existen infinidad de solucionesdel sistema.

24

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

Aunque aqui sólo se han considerado dos ecuaciones en dos incógnitas, más tarde se demostrará que las mismas tres posibilidades se cumplen para sistemas lineales arbitrarios: Todo sistema de ecuacioneslineales no tienesoluciones,tiene una solución o tiene una injinidad de soluciones.

exactamente

a)

Figura 1

I M í d a d de soluciones I

No existe solución

Un sistema arbitrario de m ecuaciones lineales en como

n

incógnitas se puede escribir

umlxl+ am2x2+ . . . + amnx, = b,

donde xl, x2,. . . , x, son las incógnitas y las letras a y b con subindices denotan constantes. Por ejemplo, un sistema general de tres ecuaciones lineales con cuatro incógnitas se puede escribir como

Los subindices dobles en los coeficientes de las incógnitas constituyen un mecanismo útil que se utiliza para especificar la ubicación del coeficiente en el sistema. El primer subíndice enel coeficiente ay indica la ecuación en queaparece el coeficiente, y el segundo subíndice indica a qué incógnita multiplica. Así, a I 2 está en la primera ecuación y multiplica a la incógnita x2.

l .1 Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales

MATRICES AUMENTADAS

,I

25

Si mentalmente se ubica a los signos +, las letras x y los Signos =, entonces un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas puede abreviarse al escribir sólo el arreglo rectangular de números: a12 a22

am2

... ...

...

a In a 2"

amn

Este arreglo se denomina mutriz aumentada del sistema. (El término matriz se usa enmatemáticasparadenotarun arreglo rectangulardenúmeros.Lasmatrices surgen en muchos contextos que serán considerados con más detalle en secciones ulteriores.) Por ejemplo. la matriz aumentadadel sistema de ecuaciones

+ + 2x3 = 9 2x, + 4x2 - 3x3 = I 3x1 + 6x2 - 5x3 = O x1

x2

es

AI elaborar una matrizaumentada, las incógnitas deben escribirse en el mismo orden en cadaecuación. El método básico para resoiver un sistema de ecuaciones lineales es sustituir el sistema dado por un nuevo sistema que tenga el mismo conjunto solución, pero que sea más fácil de resolver. Este nuevo sistema suele obtenerse en una serie de pasos mediante la aplicación de los tres tipos de operaciones siguientes para eliminar incógnitas de manera sistemática. OBSERVACI~N.

1. Multiplicar una ecuación por una constante diferente de cero. 2. Intercambiar dos ecuaciones. 3. Sumar un múltiplode una ecuación a otra ecuación.

Dado que los renglones (líneas horizontales) de una matriz aumentada corresponden a las ecuaciones en el sistema asociado, las tres operaciones mencionadas corresponden a las siguientes operaciones efectuadas en los renglones de la matriz aumentada. 1. Multiplicar un renglón por una constante diferente de cero. 2. Intercambiar dos renglones. 3.

Sumar un múltiplo deun renglón a otro renglón. "

26

/

Sistemas de ecuaciones 1ineales.y matrices

OPERACIONES ELEMENTALES EN LOS RENGLONES

Las tres operaciones anteriores se denominan operaciones elementales en los renglones. En el siguiente ejemplo se ilustra cómo se pueden usar estas operaciones para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Como en la siguiente sección se obtendrá un procedimiento sistemático paradeterminar soluciones, no es necesario preocuparse sobre cómo se eligieron los pasos en este ejemplo. El esfuerzo principal en este caso debe dedicarse a comprender los cálculos y el análisis.

Ejemplo 3 En la columna izquierda quese muestra a continuación se resuelve un sistema de ecuaciones lineales operando sobre las ecuaciones del sistema, y en la columna de la derecha el mismo sistema se resuelve operando sobre los renglones de la matriz aumentada.

[:

x+ y+2z=9 2X + 4y - 32 = 1 3~ 6-v - 5~ = O

+

1 4

a

-3

6 - 5

3

Sumar -2 veces la primeraecuación segunda para obtener

'1

2

O

la

Sumar -2 veceselprimerrenglón gundo para obtener

al se-

la

Sumar -3 veces el primer renglón al tercero para obtener

x+ y+2z=

9 2 y - 7 ~-17 ~

3~

+ 61'

- 52

O

=

Sumar -3 veces la primeraecuacióna tercera para obtener

x + y 2+ z =

9

Multiplicar la segunda ecuación por 1/2 para obtener x+

y'+

2z=

v-

Sz=

3~ - 1 I Z

=

v"?

Sumar -3 veces el segundo renglón al tercero para obtener

9 3 2

"

" 7 -

z=

la

17

+ 2z = 2Z

1/2 para

-27

Multiplicarlaterceraecuaciónpor obtener x +y

Multiplicar el segundorenglónpor obtener

9

y-$z=" -

-27

17

x + , y + 22=

2'

2 -7 -11

2

"

Sumar -3 veces la segundaecuacióna tercera para obtener

- 1"

ia 1 "1' o

2 ~ -7Z=-17 3 ~ I-I z = -27

-2 para

9 2

3

Sumar el tercer renglón por-2 para obtener

[; -; -;1 1

2

9

1 . 1 Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales 1 27 Sumar - 1 veces el segundo renglón al primero para obtener

Sumar -1 veces la segundaecuaciónala primera para obtener x 35

+yz= y - S z = -17

0

35

~

3

z=

Sumar - 1112 veces el tercer rengl6n al primero y 712 veces el tercer renglón al segundo para obtener

Sumar - 1112 veces laterceraecuación a la primera y 7/2 veces la terceraecuación a la segunda para obtener

0

=1

X

%

0

=2 z ='3

y

La solución x=l,

z=3

y=2,

es evidente ahora. A

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 1.1 1. De las siguientes ecuaciones, ¿cuálesson lineales en x , , xz y x3? a) xI

+ 5x2 - d

b) xI e) x:/'

x 3= 1

+

d ) x F 2 + x 2 8x, = 5

+ 3x2 + x,x3 = 2

C)

+ xj = 4

- 2x,

xi = -7x,

+ Jx, + ;x3 = 7'13

f ) m ,- f i x 2

2. Dado que k es una constante, p d e s de las siguientesecuaciones son lineales? 1

a)x,-xx,+x,=senk

b) k x i - - x , = 9 k -

c) 2 k x 1 + 7 x 2 - x 3 = 0

3. Encontrar el conjunto solución de cadauna de las siguientes ecuaciones lineales

+

a) 7x - 5.v = 3 C) - 8 x , + 2 x 2 - 5 x 3 + 6 x 4 = 1

b) 3x, - 5x2 4x3 = 7 d ) 3 ~ - 8 ~ + 2 ~ - ~ + 4 ~ = 0

4. Hallar la matnz aumentada de cada uno de los sigwentes sistemas de ecuaciones lineales.

- 2x, = - 1 4x, + 5 x 2 = 3 7x, +3x2 = 2

a) 3x,

+ 2x3 = 1

b) 2x, 3x, - x2 6x1 X,

+

c)

X,

+ 2x2

-

+ 4x,

=7

3x2 + x3

X,

O

x3

-

+

x4

+

x5 = 1 -x5=2 7x4 =1

5. Determinar un sistema de ecuaciones lineales correspondiente a la matriz aumentada.

a)

[: -9

81

o

b)

[: -: O

7

c,

[

1

2 2

1 - 3 4

0

51 1

[i i 0

-2

5

-:I

-;] 0

0

o

1

g

4

6. a) Encontrar una ecuación lineal en las variables x y y que tenga la solución general x =5+2t,y=t.

d) X I x2

=1 =2 xj = 3

28

Sistemas de ecuaciones lineales .y maírices b) Demostrar que x = t , y = inciso a).

if-- también es la solución general de la ecuación del

7. La curva y = ax2 + bx + c de la figura 2 pasa por los puntos (x1,y,), (x2,y,) y (x3,yJ. Demostrar que los coeficientes a, b y c son una solución del sistema de ecuaciones lineales cuya matriz aumentada es

k el siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene soluciones? ¿exactamente una solución'? ¿infinidad de soluciones?

8. ¿Para qué valorirs) de la constante

no

x- y = 3 2~ - 2y = k

9. Considerar el sistema de ecuaciones

+ b-v = k cx + dy = I ex + fy = n:

ax

Analizar las posiciones relativas de las rectas ax cuando el sistema a) no tiene soluciones. b) tiene exactamente una solución. c) tiene infinidad de soluciones.

+ by = k, cx + 4v

=

1 y ex

+fi =

m

10. Demostrar que si el sistema de ecuaciones del ejercicio 9 es consistente, entonces del

sistemaesposibleeliminar solución.

por l o menosunaecdaciónsinmodificarelconjunto

11. Sean k = I = m = O en el ejercicio 9; demostrar que el sistema debe ser consistente. iQuC se puede decir del punto de intersección de las tres rectas si el sistema tiene exactamente una solución? 12. Considerar el sistema de ecuaciones

x+v+2z=a x

+

z=b

2x+y+3z=c

Demostrar que para que este sistemasea consistente, a, b y c deben satisfacer c = a + b 13. Demostrar lo siguiente: Si las ecuaciones lineales x,

kx,

+ = c y x, + Ix, = d tienen el mismo conjunto solución, entonces las ecuaciones son idénticas.

1.2 Eliminación gaussiana / 29

1.2

ELIMINACIÓNGAUSSIANA En esta sección se dará un procedimiento sistemútico para resolver sistemas de ecuaciones lineales; el método se basa en la idea de reducir la matriz aumentada a una forma sujicientemente simple para que el sistema de ecuaciones se pueda resolver por inspección.

FORMA ESCALONADA REDUCIDA

En elejemplo 3 de la secciónprecedente,el matriz aumentada a

sistema lineal se resolvió al reducir la

a partir de lo cual la solución del sistema era evidente. Este es un ejemplo de una matriz que está en forma escalonada reducida. Para que una matriz sea de esta forma. debe tener las siguientes propiedades. 1. Si un renglón no consta completamente de ceros, entonces el primer número diferente de cero en el renglónes un 1. (Que se denomina 1 principal.) 2. Si hay renglones que constan completamente de ceros, se agrupan en la parte inferior de la matriz. 3. En dos renglones consecutivos cualesquiera que no consten completamente de ceros, el I principal del renglón inferior aparecemás a la derecha que el 1 principal en el renglón superior. 4. Cada columna que contenga un I principal tiene ceros en todas las demás posiciones.

Se dice que una matriz conlas propiedades 1, 2 y 3 (pero no necesariamentecon la propiedad 4) está en forma escalonada.

Ejemplo 1 Las siguientes matrices están en forma escalonadareducida. [I

o o

O

O

1

o

o

41

7 , 1 - 1

[I

O O] 0 1 0 , O

o

l

[: A -: y 0

0

o

o

Las siguientes matrices están en forma escalonada

0

0

o

I]

0

o

’

o

[::]

30

1


El lector debe verificar que cada una de las matrices anteriores satisface todos los requisitos necesarios. Segúnelejemplo precedente, unamatrizenformaescalonada tiene ceros abajo de cada 1 principal, mientras que una matriz en forma escalonada reducida tiene ceros tanto arriba como abajo decada 1 principal. los renglones, se llega a Si, por m d o de una serie de operaciones elementales en la forma escalonada reducida a partir de la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales, entonces el conjunto solución del sistema será evidente por inspección o al cabo de unos cuantos pasos simples. Este hecho se ilustra conel siguiente ejemplo. ORSERVACI~N.

Ejemplo 2 Suponer que la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales se ha reducido por operaciones en los renglones a la forma escalonada reducida dada. Resolver el sistema. 1 b) [O O

c)

1

6

o

o

4 - 2

O o

0 0

0 0

1 0

5 0

0 1 0

0 0 1

2 3

2

2 0

Solución a). El sistema de ecuaciones correspondiente es =

XI

5

- -2

x2

4

x3 =

Por inspección se obtiene que x1 = 5 , x2 = -2, x3 = 4 So/ución 6). El sistema de ecuaciones correspondiente es

+ 4x, + 2x, x3 + 3X,

XI

.x2

=

= =

-

1

6 2

Ya que xl, x2 y xj corresponden a unos principales en la matriz aumentada, se denominan variables principales. Las variables no principales (en este caso x4) se denominan variables libres. Al expresar las variables principales en términos de las variables libres se obtiene XI

= - 1 - 4x,

x2 =

6

-

2 ~ ,

X) =

2

-

3s,

221526


A partir de esta forma de las ecuaciones se observa que a la variable libre x4 se le puede asignar algún valor, por ejemplo t, que luego determina el valor de las variables principales xl, x2 y x3. Por tanto, existe una infinidad de soluciones y la solución generalestá definida por las fórmulas

Solución c).

El sistema de ecuaciones correspondiente es

x, + 6x, x3

+ 4x, = - 2 + 3x5 = 1 x, + SX, = 2

Aquí las variables principales son x,, x3 y x4, y las variables libres son x2,y x5. Al expresar las variables principales en términos delas variables libres se obtiene X, =

x3

=

x,

=

- 2 - 6x2 - 4x5

1 - 3x5 2 - 5x5

Puesto que x5 puede asumir un valor cualesquiera t y x2 puede asignarse un valor S, entonces existe una infinidad de soluciones. La solución general está definida por las fórmulas

Solución

d).

La última ecuación enel sistema de ecuaciones corresponlente es ox,

+ ox, + ox,

=

1

Como no es posible que esta ecuación se cumpla, entonces el sistema no tiene solución. A ELIIMINACI~N GAUSSIANA

Se ha visto cuán fácilesresolver un sistemadeecuacioneslineales una vezque su matrizaumentada se escribe en forma escalonadareducida. A continuación se proporcionará un procedimiento paso a paso que puede usarse para expresar cualquiermatriz en forma escalonada reducida.A medda que se escriba cada paso del prooxhiento, se ilustmá la idea al expresar la siguiente matriz en forma escalonada reducida. 0 2 2

Paso 1.

0

-

4 4

Localizarlacolumnade de ceros.

2 -10 -5

o 6 6

12 -5

-1

la izquierdaque no constecompletamente

317

I/

Sistemas de ecuaciones lineales-v matrices

0 2 2

0

2

o

- 10

6

-5

6

4 4

7 12 -5

If]

-1

! Columna de la orilla izquierda diferente de cero Paso 2.

Intercambiar el renglón superior con otro renglón, en caso de ser necesario, para que en la parte superior de la columna determinada en el paso 1 haya un elemento diferente de cero.

2

4

o

0 - 2

Paso 3.

1

2

2

1

o

0

Paso 5.

o

7 1 2

renglones primero

y segundo

Si el elemento que está ahora en la parte superior de la columna determinada en el paso l es a, multiplicar el primer renglón por l l a a fin de introducir un 1 principal.

o

Paso 4.

-10

- 5 0 - 2 4 -5

3

6 7 -5

o 6

-1

El primer renglón de la precedente matriz se multiplicó por 1/2.

Sumar mdtiplos adecuadosdelrenglónsuperior a los renglones inferiores para quetodos los elementos abajo de1 principal se vuelvan ceros. 2

-

5 0 - 2 o 5

3

o o

El primer renglón de la matriz precedente sumó se -2 veces

7 -

A continuación, cubrir el renglón superior de la matriz y comenzar de nuevo con el paso 1 aplicado a la submatriz restante. Continuar de esta manera hasta que toda la matriz esté en forma escalonada. 1

o O

2

- 5 0 - 2 O 5

3

0 O

7 -17 -29

Columna de la orilla izquierda diferente decero en la submatriz

l .2 Eliminación gaussiana / 33 1

2

0 O

-

0 O 1

2

3

1 5

0 O

-

5

o

o 0 1

5

2

-

0

5

0

-?I ~

6

o -; 0

El primer renglón de la submatriz se multiplicó por - 1/2 para introducir un 1 principal.

6

3

1

0

-29

o -;

0

o

o

3

1

0

" 2 -17

0

~

submatriz se sumó - 5 veces ' al segundo renglón de la 1submatriz para introducir un cero abajo del 1 principal. El renglón superior de la submatriz se cubrió, y se 1volvió nuevamente al paso l .

A

Columna de la orilla izquierda diferente de cero enla nueva submatriz

1

2

-

o

o

0

0

5

1 0

3

0

El primer (yrenglón Único) en la nueva submatrlz se

1

2

introducir un

1 principal.

Ahora toda la matriz está en forma escalonada. Para determinar la forma escalonada reducida esnecesario efectuar el siguiente paso adicional.

Paso 6.

Empezando conel último renglón diferente de cero y trabajando hacia arriba, sumar múltiplos adecuados de cada renglón a los renglones de arriba conobjetode introducir ceros arriba delosunos principales. 1 0 0

2

1 0 0

2

1 0 0

5 1 0

3 0 0

6 0 1

3 0 0

o

0 0

5 1 0

0 1

2 0 0

0 1 0

3 0 0

0 0 1

-

0 0 -

precedente se sumó 712 veces

sumó -6 veces al

El segundo renglón se sumó 5 veces al primer renglón.

La última matrizestá en forma escalonada reducida El procedimiento anterior para expresar una matriz en forma escalonadare* ducida se denomina eliminación de Gauss-Jordan (véase la página 34). Si sólo se efectúan los cincoprimeros pasos,el procedimiento se denomina eliminación gaussiana y produce una formaescalonada.

34 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

Sepuede demostrarque todamatriztieneuna forma escalonada reducida única; es decir, se obtiene la misma forma escalonada reducida deunamatrizdada sin importar cómose hagan variar las operaciones enlos renglones. (Una demostración de este hecho puede consultarse en el artículo "The Reduced Row Echelon Form of a Matrix is Unique: A Simple Prooy, de Thomas Yuster, Mathematics Magazine, Vol. 57, No. 2, 1984, págs. 93 -94.) En contraste, una forma escalonada de una matriz dada no es única: diferentes secuencias de operaciones enlos renglones pueden producir formas escalonadasdiferentes. OBSERVACI~N.

Ejemplo 3 Resolver por eliminación de Gauss-Jordan

+ 3x, 2x, + 6x2 X]

2x,

+ 6x2

+ 2x, 2x4 + 4x5

-

2x,

-

5x3

-

5x,

+ lox,

+

8x,

+ 4x,

= o -

3x6 =

+ 15x, + 18x,

=

1 5

=

6

-

*KarlFriedrich Gauss (1777-1855) fue un matemáticoycientíficoalemán.Algunasveces los matemáticos",Gauss es consideradojunto con Isaac Newton y nombrado"príncipede Arquimedes como uno de los tres más grandes matemáticos que han existido. En toda la historia de las matemáticas quizá nunca ha habido un niño tan precoz como Gauss: según cuenta éI mismo, ya dominaba las bases de las matemáticas aún antes de poder hablar. Un dia, cuando aún no tenia tres Su padre estaba años de edad, su genio se manifestó a sus padres de manera bastante elocuente. preparando la nómina semanal de los obreros a su cargo mientras el niño lo observaba en silencio desde un rincón de la habitación. AI final de los cálculos largos y tediosos, Gauss dijo a su padre que había un error en el resultado y le dijo la respuesta, a la que había llegado mentalmente. Para sorpresa de sus padres, jal comprobar los cálculos se dieron cuenta de que Gauss tenía razón! En su disertación doctoral, Gauss proporcionó la primera demostración completa del teorema fundamental del álgebra, que establece que toda ecuación polinómica tiene cuando mucho.tantas soluciones como su grado. A los 19 años de edad resolvió un problema que desconcertó a Euclides: inscribir un polígono regular de 17 lados en una circunferencia usando sólo regla y transportador; y Disqursrfrones Anfhrnetrcae, en 1801,alos24años de edad,publicósuprimeraobramaestra, consrderada por muchos como uno de los logros más brillantes en matemáticas. En este documento, Gausssistematizó el estudiodelateoría de números(propiedades de los enteros) y formuló los conceptos básicos que constituyenlos cimientos de ese tema. Entre la multitud de logros alcanzados, Gauss descubrió la curva "acampanada" o gaussiana que es fundamental en probabilidad, proporcionó la primera interpretación geométrica de los números complejos y estableció el papel fundamental de éstos en las matemáticas, desarrolló métodos para caracterizar superficies intrínsecamentepor medio de las curvas contenidasen aquéllas, desarrolló la teoría del mapeo conforme (que preserva ángulos) y descubrió la geometría no euclidiana 30 años antes de que estas ideas fueran publicadas por otros. En fisica realizó contribuciones esenciales a la teoría de las lentes y a la acción capilar, y junto con Wilhelm Weber realizó trabajo fundamental en electromagnetismo, Gauss inventó el heliotropo, el magnetómetro bifilar y el electrotelegrafo. Gausseraprofundamentereligiosoysecomportabacomoaristócrata.Dominabafácilmente No le otrosidiomas,leiabastanteydisfrutabalamineralogiaylabotánicacomopasatiempos. agradaba dar clases y solía ser frío y poco alentador con otros matemáticos, quizá porque ya había si Gausshubierapublicadotodos sus anticipado el trabajode éstos. Se haafirmadoque descubrimientos, el estado actual de las matemáticas habría avanzado 50 años. Sin duda alguna es el matemático más grande de la epoca moderna. Wilhelm Jordun (1842-1899) fue un matemático alemán que se especializó en geodesia. Su contribuciónalaresolución de sistemaslinealesapareció en sulibroconocido, Handbuch der I'errnessungskunde, en 1888.

1.2 Eliminación gaussiana / 35 La matriz aumentada del sistema es

AI sumar -2 veces el primer renglón alos renglones segundoy cuarto se obtiene

1

L

3

-

o

o

(I

O O

O

o

2

-2 5 1 0 4 8

o

2 -1

o

o

-3

-1 5 6

0 1 5

O 1 8

Al multiplicar el segundo renglón por - 1 y luego sumar -5 veces el nuevo segundo renglón al tercer renglón y -4 veces el nuevo segundo renglón al cuarto renglón se obtiene

O O

0 0

0

6

2

Al sumar -3 veces el tercer renglón al segundo renglón y luego sumar 2 veces el segundo renglón de la matriz resultante al primer renglón se obtiene la forma escalonada reducida

I 1 0

3 0

0 1

4 2

2 0

0 0

0 0

0

0

0

0

0

1

g

0

0

0

0

0

0

0

El sistema de ecuaciones correspondente es x, + 3x,

4 4x, x3

+ 2x,

=

o

=o

+ 2x4 X6

=Q

(Se ha eliminado la última ecuación. Oxl + Ox, + Oxj + Ox4 -t Ox, + Ox6 = O, ya que las demris ccuaciones harán que se cumpla de manera automática.) AI despejar la,; variables principalcs. se obtiene

Si a las variables libres x,. x4. x5 se asignan los valores arbitrarios r. respectivamente. entonces la solucion general está dada por las fórmulas X,

RETROSUSTITUCI~N

=

-

3r

--

4s

-

2t,

X?

.x3 =

= Y,

-

2 ~ ,

.x4 = S,

= t.

X,

S

=

y t.

f A

Ejemplo 4 Algunas Yeces es preferible resolver un sistema de ecuaciones lineales por medio de la eliminación gaussiana a fin de expresar la matriz aumentada en forma escalonada sin continuar hasta obtener la forma escalonada reducida. Cuando se hace lo anterior. el sistema de ecuaciones correspondiente se puede resolver mediante una técnica denominada retrosustitucidn. Para ilustrar este método se usarh el sistema de ecuaciones del ejemplo 3. Con base en los cálculos en el ejemplo 3. una forma escalonada dc la matriz aumentada es

I 1 0 0 o

3

0 0 0

2 1 0 0

o

2 O 0 0

2 0 0

0 3 l 0

0 1 g 0

Para resolver el sistema de ccuaciones correspondiente

se procede como sigue: Paso 1.

Despejar las variables principales en las ecuaciones. .Yl

= -3x,

+ 2x,

xi =

1 - 2.r,

x,

f

=

-

-

3x,

2x,

I


Paso 2. Empezandocon la últimaecuación y trabajandohacia atrás, sustituir consecutivamente cada ecuación en las ecuaciones anteriores. Al sustituir x6 =

3 en la segunda ecuación se obtiene x, = -3x, xj = .X6

La sustitución de x3 = -2x,

-

+ 2x,

- 2x,

2x,

=$

en la primera ecuación da x, = - 3x, - 4x,

-

2x5

x, = -2x, x6 =

$

Paso 3. Asignar valores arbitrarios a las variables libres, si hay alguna. Si a xz. x4 y x5 se asignan valores cualesquiera r, S y t, respectivamente, entonces la solución general está definida por las fórmulas

Lo anterior concuerda con la solución obtenida enel ejemplo 3. A OBSERVACI~N. Los valores que se asignan a las variables libres se llaman parámetros. Aunque para designar a los parámetros en generalse usarán las letras r , s. t, . . , es posible usar cualquier letra que no cause problema con los nombres de las variables. ,

Ejemplo 5 Resolver x+ y+22=9

+ 4y 32 = 1 3x + 6 , ~ 5~ = O 2x

-

-

por medio de la eliminación gaussianay la retrosustitución. Solución. Este es el sistema del ejemplo 3 en la sección 1 . 1 . En ese ejemplo se convirtió la matriz aumentada

38

,/


a la forma escalonada

[;

1

2

-f

-y] 9

El sistema corresponhente esta a matriz es x + y + 22= -

9

2, = -17

2

z=

3

Al despejar las variables principales se obtiene

La sustitución de la ecuacióninferior en las ecuaciones anteriores da x=3-y

y=2 z=3 y la sustitución de la segunda ecuación en la ecuación superior se obtiene

x= 1 y=2

z=3

Estoconcuerda conel resultado que se encontrómediante Gauss-Jordan enel ejemplo 3 de la sección l .l . A

SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS

la eliminación de

Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los término: constantes son cero; es decir, el sistema esde laforma a I l x , + ai2x2+ . . . + a , , x , = O u2,x, + a22x2+ . . . + u2,x, = O

+

+

amlxl am2x2 . . . + amnx, = O

Todo sistema deecuaciones lineales homogéneo es consistente, ya que UM solución de todos estos sistemas es x1 = O, xz = O, . . . , xn = O . Esta solución se denomina solución trivial; en caso de que haya otras soluciones, se denominan soluciones no triviales.

1.2 Eliminación gaussiana i 39

Debido a que un sistema lineal homogéneo siempre tiene la solución trivial, entonces para sus soluciones sólo hay dos posibilidades: El sistema sólo tiene la solución trivial. El sistema tiene infinidad de soluciones además de la solución trivial En el caso especial de un incógnitas, por ejemplo

sistema lineal homogéneo de dos

a,x+h,y=O

( a , , b , nosonceroalavez)

a2x + h2y = O

( a z ,h,

ecuaciones condos

no son cero a la vez)

las gráfkas de las ecuaciones son rectas que pasan por el origen, y la solución trivial corresponde al punto de intersección en el origen (figura 1). Av

S Y

Figura 1

I

SÓI~ la solución trivial

I

I Infinidad de soluciones I

Existe un caso en el cual se asegura que un sistema homogéneo tiene soluciones no triviales, a saber, siempre que el sistema tengamás indgnitas que ecuaciones. Para ver por qué, considerar elsiguente ejemplo decuatro ecuaciones con cinco incógnitas.

Ejemplo 6 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneo por eliminación de Gauss-Jordan. 2x1 -x1

+ 2x2 -

x2

x, + x2

-

x3

+ 2x,

+x5=o -

3x,

-x,=o

- 2x,

x3

+ x5 = o

+

xq

+ x5 = o

Solución. L a matriz aumentada del sistema es

2 -1

o

2 - 1

1

2 1 - 2

0

0

-1

1

-3

1 1

o o o

1

0

0 - 1 1

40

/'


Al reducir esta matriz a la forma escalonada reducida, se obtiene 1 0 o 0

[

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1 1 0 0

0 0 0 0

El sistema de ecuaciones correspondientees XI

+

+X?

xj

5 5

=0

+ X5 = o .x4 =o

Al despejar las variables principales se obtiene

x, =

-x2 -- X.j

x2

= -x5

-Y4

=

o

Par tanto, la solución generales .x1 =

- S

- t,

.x2 = S,

Xj =

-

t,

XJ

= 0,

xj = 1

Observar quela solución trivial se obtiene cuando S = t = O. A El ejemplo 6 ilustra dos cuestiones importantes respecto a la soluciónde sistemas homogéneosde ecuaciones lineales. Primera,ninguna de las tres operaciones elementales en los renglones modifica la columna final de ceros en la matriz aumentada, de modo que el sistema de ecuaciones correspondiente a la forma escalonada reducidade la matriz aumentada también debe ser un sistema homogéneo, véase el sistema (2) . Segunda, dependiendode si la forma escalonada reducida de la matriz aumentada contiene algún renglón de ceros, el número de ecuaciones en el sistema reducido es menor o igual que el número de ecuaciones del sistema original, comparar los sistemas (1) y (2). Por tanto, si elsistema homogéneo dado contiene m ecuaciones con n incógnitas donde m < n, y s i en la forma escalonada reducida de la matriz aumentada hay r renglones diferentes de cero, entonces se tendrá r < n. Seconcluye que el sistemade ecuaciones correspondiente a la forma escalonada reducida de la matriz aumentada es de la forma

1.2 Eliminación gaussiana 1 41

donde xk,,xk2, . . . , xkr son las variables principales y Z ( ) denota Sumas (posiblemente todas diferentes) que incluyen a las n - Y variables libres, comparar el sistema (3) con el sistema (2) . AI despejar las variables principales se obtiene xk,

=

Xk2

=

-X( 1 -G( 1

Xk,

=

-C( )

Así como en el ejemplo 6, es posible asignar valores cualesquiera a las variables libres del miembro derecho y obtener así una infinidad de soluciones del sistema. En resumen, se tiene el siguiente teorema importante.

Teorema 1.2.1. Un sistema de ecuacioneslinealeshomogéneo incógnitas que ecuaciones tiene infinidad de soluciones.

con más

Sedebe notar que el teorema 1.2.1 es válido sólo para sistemas homogéneos. Un sistema no homogéneoconmás incógnitas que ecuaciones no necesariamente es consistente (ejercicio 34); sin embargo, si el sistema es consistente, entonces tiene infinidad de soluciones. Este hecho se demostrará después. OBSERVACI~N.

SOLUCIONES POR COMPUTADORA DE SISTEMAS LINEALES

En las aplicaciones no es raro encontrargrandessistemas lineales que cs necesario resolver por computadora. Zasi todos los algoritmos de cómputo para resolver los sistemas se basan en la eliminación gaussiana o en la eliminación de Gauss-Jordan, aunque los procedimientos básicos son modificados a menudo para poder abordar cuestiones como

reducir los errores por redondeo, disminuir el uso del espacio de memoria de la computadora, y resolver el sistema a la velocidad máxima. Algunas de estas cuestiones se consideraránen el capítulo 9. En cálculos manuales, las fracciones son un inconveniente que a menudo es imposible evitar. Sin embargo, en algunos casos sí se puede hacer al variar de manera conveniente las operacioneselementalesen los renglones. Por tanto, una vez que ellector domine los métodosde eliminacióngaussiana y eliminación deGauss-Jordan puede modificar los pasos en problemas específicos a fin de evitar las fracciones (véase el ejercicio 18).

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 1.2 1. De las siguientes matrices 3 x 3, ¿cuáles están en forma escalonada reducida?

42

/


[:] ["

a ) O l O

1 "1

b)

"1

[:1 y] [A 0" f] :] [: '1 [:I :] c)

d)

O 0 0

O 0 0

g)[:

f ) l O O

O 0 0

hj

i)

O 0 0O 0 0

0 0 0

O 0 0

2. De las siguientes matnces 3 x 3 , ¿cuáles están en forma escalonada?

[l

"1

:]

a ) O l O

c)

b ) [ iO 0 0

[i f

1

3

4

0

0

1

o o

d) -0

O 2 0

3. En cada inciso, determinar si la matriz está en forma escalonada, en forma escalonada

reducida, en ambas formaso en ninguna.

p

1 2 0 3 0 a )[O O oO O O O]I 0 0 0 0 0

dl

[' o

-71

b)[i

'1

3

'1

c j [ 'o 1 o 2 4

1 3 0 2 0

2

e)

['

O

o

0

*0

0

f)

O] 1

[i i]

0 0 0 0 0 4. En cada inciso, suponer que la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales

los renglonesalaformaescalonada

hasidoreducidamedianteoperacionesen ducida dada. Resolver el sistema. 1

o

I

0 - 3

o 1

1 - 6 O

~

0

0

0

;]

O

O

3 - 2

1

0

4

0

1

5

0

0

0

0

d)

x

[i -: 81

,)[O O

0 - 7 O 3

o

o

1

1

-

re-

8 2 5

0

5. En cada inciso, suponer que la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales ha sido reducida mediante operaciones en los renglones a la forma escalonada dada.

Resolver el sistema. 01

-31

0

0

42 1

q s

2

1.2 Eliminación gaussiana / 43 6. Resolver cada uno de los siguientes sistemas aplicando eliminación de Gauss-Jordan. a) x, + x2 + 2x3 = 8 b) 2x, + 2x, + 2x3 = O -x1 - 2x2 3x, - 7x,

c)

+ 3x3 = 1 + 4x3 = 10

-2x, 8x,

d)

xy- + 2 z w=-1 2x+y-22-2w=-2 - x + 2 y - 4 2w+= 1 3x - 3w = -3

+ 5x, + 2x3 = 1 + X, + 4x3 = - 1

-2b + 3 ~ = 1 3~+6b-3~= -2 6a 66 3c = 5

+ +

7. Resolver cada uno de los sistemas delejercicio 6 aplicando eliminación gaussiana. 8. Resolver cada uno de los siguientes sistemas aplicando eliminación de Gauss-Jordan a) 2x, - 3x2 = -2 b) 3x, 2 ~ ,- x3 = - 15 5x, 3x2 2x3 = o 2x, x, = 1 3x, +2x2 = 1 3x, x, + 3x3 = 11 -6x, - 4x, 2x3 = 30

+

+

C)

+ +

4x, - SX, = 12 d) 3x1 - 6 ~ ,= 9 -2x, +4x,= 32-xz6y++2 w =

+

+

1oy-4z+ x + 4y- z +

1 2 5 - 2 ~ - 8 y + 2 ~ - 2 ~ -=4 X 6y+32 = 1

w= w =

9. Resolver cada uno de los sistemas del ejercicioS aplicando eliminación gaussiana. 10. Resolver cada uno de los siguientes sistemas aplicando eliminación de Gauss-Jordan.

a)

5x, -2x,

-

+

2x2 x,

+ 6x, = O + 3x3 = 1

+ +

x, - 4x, = 1 3x2 7x3 2x, = 2 x1 - I ~x1,IX, - 16x4= 5

b) xI - 2x, XI

+

+

c)

w + 2 x y- = 4 x - y=3 ~ + 3 ~ - 2 ~ = 7 2u+4v= +7 w+7x

11. Resolver cada uno de los sistemas del ejercicio 10 aplicando eliminación gaussiana 12. Sin usar lápiz y papel, determinar cuáles de los siguientes sistemas homogéneos tienen soluciones no triviales. b) x, + 3x2 - x3 = 0 a) 2x1 - 3x, + 4x, - x, = O 7x, x, - 8x3 + 9x4 = o x, - SX, = o 4x3 = o 2x, + 8x2 + x3 - X, = O

+

C) a , ,x, aZlXl

+ alzx2 + uI3x3 = O + a2zx2 + a23x3 = 0

13. Resolver los siguientes sistemas quier método. a) 2x, x,

+ X, + 3x3 = O + 2x, =O x, + x, = o

d) 3x1 - 2x2 = 0 6x,

- 4x2 = O

de ecuaciones lineales homogéneos aplicando cual-

b) 3x1 + x2 + x3 + x, = O 5x, - x2 + x3 - x, = o

c)

2x

+ 2y + 4z = o

W - y-3.?=0 2w+3x+ y + z=O -2w+ ~ + 3 ~ - 2 ~ = 0

14. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales homogéneos aplicando cualquier método.

44

1'


a) 2.r

-- y - 3z = 0 --x + 2y - 32 =

b)

o

x+ ,y+4z=o

u t 3w-2x=o 2u+ u-4w+3x=o 2 ~ + 3 ~ + 2x =~O -414 - 3U + 5W -. 4x = 0

c) x , + 3 x , +x,=o x, t 4x, 2x, =o - 2x2 - 2x, - x, = o

+

2x, x,

.-

-

4x,

+ x, + x ,= o

2x, - xj + .x4 = o

15. KesoIver 10s siguientes sistemas aplicando cualquier método.

a) 21, - I,

4

+ 31, + 41,

b)

9

=

+ 71, = I 1 + l3+ 51, = 8

- 21,

31,

-

21,

+

31,

I2 t 41,

+ 41,

z, + z,+ z,= o -z,- z, + 22, - 32, + z, = o z, +- z2- 22,

22,+ 2z2 -

= 10

z,

-z,=o

+z,=o

16. Resolver los siguientes sistemas, donde a, b y c son constantes.

a) 2x 3x

+ .V = a +- 6~ = h

b) x,

2.r

,

+

.x2

3.Y2

+ x ,=u + 2x, = h

+ 3x, = c

17. ¿Paraqué

valores de a elsiguientesistemanotienesolución?¿exactamente solución'? ¿,intinidadde soluciones? .Y i- 21'

31 4x

"

3z = 4

"~

J' 4-

+ v+

una

5z = 2 --

(U'

1 4 ) ~= 0 + 2

18. Expresar

en forma escalonada reducida sin introducir ninguna fracción 1Y. Encontrar dos formas escalonadas diferentes de

20. Resolver e1 siguiente sistema de ecuaciones no lineales para los ángulos desconocidosa,yp,dondeO(a(2n,OIPI2n,yOsy<:.

2 s e n ac-o s p + 3 t a n y = 3 4sencu+2cosp-2tany=2 6sena-3cosp+ tany=9 21. Resolvcr el siguiente sistema de ecuaciones no lineales para .Y, y y z. X'

+ +

z2 = 6

x"y'+22=2 2x2

fV2

-

22 =

3

1.2 Eliminación gaussiana \ 45 22. Demostrar que el siguiente sistema no lineal tiene 18 soluciones si O 5 a 5 2 z, O 5 /352z,yOI.y<2z. sena+2cosp+3tany=O 2sena+5cosp+3tany=O -sena-5cosp+5tany=O 23. $ara que valor(es)de triviales?

y elsiguientesistemadeecuacionestienesolucionesno

(a - 3lX + x

v=o

+ (a - 3)?, = o

24. Considerar el sistema de ecuaciones

ax cx ex

+ by = O + dy = o + fy = O

Analizar las posiciones relativas de las rectas ax + by = O, cx + dy = O y ex +fi= O cuando a) el sistema tiene s3!0 la solución trivial, b) el sistema tiene soluciones no tnviales. 25. En la figura 2 se muestra la gráfica de una ecuacióncúbica y = Encontrar los coeficientes a, b , c y d.

+ b? + cx + d.

ty 20

'

-

I

Figura 2

26. Recordar que en geometría plana tres puntos no colineales determinan una circunferencia de manera única. En geometría analítica se demuestra que la ecuación de una circunferencia en el planoxy es de laforma

ux2

+ uy2 + bx + cy + d = O

Encontrar la ecuación de la circunferencia que se muestra en figura la 3

CY

46

/


27. Describir las posibles formas escalonadas rqiucidas de

28. Demostrar que si ad - bc

f

O, entonces la forma escalonada reducida de

29. Usar el ejercicio 28 para demostrar que si ad - bc = O, entonces el sistema ux CY

+ b ~=, k + dv = I

tiene exactamente una solución 30. tlrsolvzrelsistema

para x,, x 2 y x j SI a) k = 1 b) d = 2 31. Considerar el sistema de ecuaciones ux C.Y

+ bj. = o + 41) = o

a) Demostrar que si x = xo, y = y, es cualquier solución del sistema y k es cualquier constante, entoncesx = kr,, y = 4,también es una solución. b) Demostrar que si x = xo, y = y, y x = x], y = y , son dos soluciones cualesquiera, , es una solución. entonces x = x. + x,, y = y o + ytambién 32. Considerar el sistema de ecuaciones

+ + dl) = I

(1) u . ~ b,, = k C.Y

(11) ax cx

+ by = O

+ 4v = o

a) Demostrar que si x = x,, y = y , y x = x*, y = y, son soluciones de I, entonces x = x1 - x2,y = y I - es una solución de I I . b) Demostrar que si x = x], y = y , es una solución de I y x = x,, y = y, es una solución de I I , entonces x = x , + x,, y = y , + y es o una solución deI.

y,

33. a) En el sistema de ecuaciones numerado con ( 3 ) , explicar por qué seríaincorrecto denotar a las variables principales por xl, x2, , . . ,xr en vez de por xk,, xk2,. . . , xk, como se hizo.

l .3 Matrices y operaciones con matrices / 4 7 b) El sistema de ecuaciones numeradocon (2) es un caso específico de (3). ¿Qué valor tiene y en este caso? ¿Cuáles son xk,,xk2,. . . , x en este caso? Escribir las sumas k, denotadas por I:( ) en ( 3 ) .

34. Encontrar un sistema lineal inconsistente quetenga más incógnitas que ecuaciones

1.3 MATRICES Y OPERACIONES CON MATRICES

'

N O T A C I ~ NY TERMINoLoGÍA DE MATRICES

Los arreglosrectangulares de númerosreales surgen en muchoscontextos distintos a las matrices aumentadas de sistemas de ecuaciones lineales. E n esta secciónestosarreglos se considerarán como objetos en sí y se desarrollarán algunas de sus propiedades para aplicarlas más tarde.

Definición. Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se denominanefementosde la matriz.

Ejemplo 1 Algunos ejemplos de matrices son

El tamaiio de una matriz se describe en términos del número de renglones (líneas horizontales) y de columnas (líneas verticales) que contiene. Por ejemplo, la primera matriz del ejemplo 1 tiene tres renglones y dos columnas,de modo que su tamaño es 3 por 2 (que se escribe 3 X 2). En la descripción del tamaño, el primernúmerosiempredenota el númeroderenglonesy el segundo, el de columnas. Las demás matrices del ejemplo 1 son de tamaño 1 X 4, 3 x 3, 2 X 1 y 1 X 1, respectivamente. Una matriz conuna sola columna se denomina matriz columna (o vector columna),y una matriz con un solo renglón se denomina matriz renglón (o vector renglón). Así, en el ejemplo 1, la matriz 2 X 1 es una matriz columna, la matriz 1 X 4 es una matriz renglón y la matriz 1 X 1 es tanto una matriz renglón como una matriz columna. (El término vector tiene otro significado que será analizado en capítulos ulteriores. OBSERVACI~N. Se acostumbra omitir los corchetes en una matriz 1 X 1. Así, se podría escribir 4 en vez de 4 . Aunque lo anterior imposibilita saber si 4 denota el número "cuatro1'o la matriz 1 X 1 cuyo elemento es 'Icuatro", excepcionalmente causa problemas, ya que casi siempre es posible inferir el significado a partir del contexto en que apareceel símbolo.

48

.Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

Paradenotarmatrices se usarán mayúsculas y paradenotar minúsculas; así. se podría escribir

cantidades,

Al estudiar matrices, es común denominar escdares a las cantidades numéricas.A menos que se establezca otra cosa. los escalares serán nitmerosreales; los escalares complejos serán considerados enel capítulo 10. El elemento que aparece en el renglón i y la columna j de una matriz .4 se denota por a,,. Así, una matriz general 3 X 4 se puede escribir como

y una matriz generalm x n, como

Cuando se desea que la notación sea expresar como

condensada, la matriz precedente se puede

[U,,I,,,X,I

0

[%,I

la primera notación se usa cuando enel análisis es importante conocerel tamaño y la segunda cuando no es necesario recalcar el tamaño. Por lo general, la letra que denota una matriz corresponde a la letra que denota sus elementos; así, para una matriz B en general se usará b,, para denotar el elemento en el renglón i y la columnaj, y para una matrizC se usará cy. El elemento en el renglón i y la columna j de una matriz A se denota por el símbolo (A)q.Así. para la matriz (1) anterior, se tiene ( A ) , , = a,,

y para la matriz

se tiene (A)11 = 2, (A)12 = -3, (A)2l = 7 , y (A)22= O . Las matrices renglóny columna revisten especial importancia y se denotan con minúsculas negritas en vez de mayúsculas. En estas matrices es innecesario usar subindices dobles paralos elementos. Entonces, una matriz renglón generala 1 X n y una matriz columna general b m X 1 se escribirán como

1.3 Matrices y operaciones con matrices / 49

Una matriz A con n renglones y n columnas se denomina matriz cuadrada n,-y se h c e que los elementos a l l , a22, . . . , ann están en la diagonal de A (véanse los elementos entipo negro en la figura 1).

de orden principal

Figura 1

OPERACIONES CON MATRICES

Hasta el momento, las matrices se han usado para abreviar el trabajo al resolver sistemas de ecuaciones lineales. Para otras aplicaciones, sin embargo, es deseable desarrollar una "aritmética de matrices" en la que sea posible sumar, restar y multiplicar matrices de manera útil. El resto de esta sección se dedicará al desarrollo de esa aritmética. Definición. Dos matrices son iguales si tienen elmismo tamaño y sus elementos correspondientes soniguales.

En notación matricial, si A = [a,] y [B = b, ] son del mismo tamaño, entoncesA B si y sólo si (A), = (B), o, equivalentemente, a, = bo para todo i y j .

=

Ejemplo 2 Considerar las matrices

Si x = 5, entonces A = B, pero para los demás valores de x las matrices A y B no son iguales. ya que no todos sus elementos correspondientes son iguales. No hay ningún valor de x para el que A = C, ya que los tamaños de A y C son diferentes. A

correspondientes de A , y la diferencia A - B es la matriz obtenida al restar los elementos de B de los elementos correspondientesde A . No es posible sumar o restar matrices de tamaños diferentes.

6

50

7

' P .,*<

-

r"*I : ,, ~'i . . :

,

Sistemas de ecuaciones lineales v matrices

En notación matricial, si A

=

[au]y B = [ b J son del mismo tamaño, entonces

Ejemplo 3 Considerar las matrices 2 -1

1 O 4 - 2

0 2 7

'1

B=[

o

-4 2 3

3 5 2 O 2 - 4

-:]

C=['

5

'1

2

2

Entonces

11

-5

Las expresionesA + c', B + C', A - C y B - C no están definidas. A

Definición. Si A es cualquier matriz y c es cualquier escalar, entonces el producto cA es la matriz obtenidaal multiplicar cada elemento deA por c. En notación matricial, si A

=

[ a 1, entonces r/

cA)ij = c(A),, = cui,

Ejemplo 4 Para las matrices 2 A=[1

3 4 3 I]

o B = [ -1

2 3

- 571

c=

[: -r,

se tiene

Es común denotar (- l)B por -B. A Si A , , A,, . . . , A,, son matrices delmismo tamaño y cl, c,, . . . , c,, son escalares. entonces una expresión dela forma

se denomina combinación lineal de A , , A,, . . . , A,, con coeficientes cl, c 2 , . . e,,. Por ejemplo, si A , B y C son las matrices del ejemplo 4, entonces

. ,

224526

=

=

1.3 Matrices y operaciones con matricesI' 51

-:I+[; -: :I

[:1 ;l.+[:1: [7

3

4

1'

11

i.

es la combinación lineal de A , B y C con coeficientes escalares 2, - 1 y Hasta elmomento se ha definido la multiplicación de una matnz por un escalar, pero no la multiplicación de dos matrices. Como la suma de matrices se ejecuta sumando los elementos correspondientes y la resta de matrices se ejecuta restando los elementos correspondientes, parecería natural definir el producto de matrices como la multiplicación de los elementos correspondientes. Sin embargo, resulta que la definición no es demucha utilidad enla mayor parte delos problemas. La experiencia ha llevado a los matemáticos a la siguiente definición, menos natural pero más útil, de producto de matrices. Definición. Si A es una matriz m x r y B es una matriz r x n, entonces el producto A B es la matriz m x n cuyos elementos se determinan como sigue. Para encontrar el elemento en el renglón i y en la columnaj de AB, considerar sólo el renglón i de la matriz A y la columnaj de lamatriz B. Multiplicar entre sí los elementos correspondientes del renglón y de la columna mencionados y luego sumarlos productos resultantes. , ,

i

. ',

6

Ejemplo 5 Considerar las matrices

I

O

I '

j

'

4

1

4

O 2

-1 7

5

3

-

2

1 -

3

Como A es una matriz 2 x 3 y B es una matriz 3 x 4, el producto A B es una matriz 2 X 4.Para determinar, por ejemplo, el elemento en el renglón 2 y en la columna 3 de AB, sólo se consideran el renglón 2 de A y la columna 3 de B. Luego,comose ilustra a continuación, los elementos correspondientes (en tipo negro) se multiplican entre sí y se suman los productos obtenidos.

El elemento en el renglón1 y eyi In columna 4 de AB (en negro)se calcula como sigue.

l(1.3)

+ ( 2 . 1 ) + (4.2)

= 131

Los cálculos para los demás productos son (1 '4)

+ ( 2 . 0 ) + (4.2) =

12

(1.1)-(2.1)+(4.7)=

27

(1.4)+(2.3)+(4.5)=

30

12

8

8

(2.4)

+ (6.0) +- (0.2) =

(2. 1) - ( 6 . 1 ) (2.3)

+ (0.7) =

27 -4

30 26

12 131

-4

+ (6.1) + ( 0 . 2 ) =

12

A

Paraformar elproductoAB, la definición de multiplicación de matrices requiere que el número de columnas del primer factor A sea el mismoque el número de renglones del segundo factor B . Sinose cumple esta condición. entonces el producto está indefinido. Una manera conveniente para determinar si el producto de dos matrices está definido es escribir el tamaño del primer factor y, a la derecha, escribir el tamaño delsegundo factor. Si, comose observaen la figura 2, los números interiores son iguales, entonces elproducto está definido. Los númcros exteriores proporcionan entonces el tamaño del producto. A

m

b

Figura 2

x

r

A

r h

H x

n S

-

AB m x n

Medios

Extremos

Ejemplo 6 Suponer que A , B y C son matrices con los siguientes tamaños: A 3 x 4

R 4x7

C 7x3

Entonces A B está definido y se trata de una matriz 3 x 7 ; CA está definido y se trata de una matriz 7 X 4; y BC está definido y se trata de una matriz 4 x 3. Los productos AC, CB y BA están indefinidos. Si A = [u,] es una matriz general m x r y B = [b,] es una matriz general Y X n, entonces como se ilustra con tipo negro de la figura 3 , el elemento (AB)v en el renglón i y la columnaj de AB está definido por


AB =

Figura 3

PARTICI~NDE MATRICES

Una matriz se puede subdividir o partir en matrices más pequeñas insertando rectas horizontales y verticales entre renglones y columnas selectos. Por ejemplo, a continuación se muestran tres posibles particiones de una matriz general A 3 X 4: la primera es unapartición de A en cuatro submatrices A 1, A 12, A , y A,2; la segunda es unapartición de A en sus matrices renglón r l , r2, r3 y r4; y la tercera es una partición deA en sus matrices columnacl, c,, c3 y c4:

A

=

A =

MULTIPLICACIóN DE MATRICES POR COLUMNAS Y POR RENGLONES

[:::

'I2

'31

'32

'33

""""_" _"" " " "

a12

u13

u22

a23

'31

'32

'33

"""""_

1::

\

'13

'14

u22 u23

u24] = ~

'34 '14

= a34

[ii:

[il

'I2] A22

Algunas veces es necesario encontrar un renglón o una columna particulares de un producto A B de matrices sin calcular todoel producto. Los siguientes resultados, cuyas demostraciones sedejancomoejercicios,son útiles para este propósito: j-ésima matriz columna deAB = A b-ésima matriz columna deB ]

1 i-ésima matriz renglón deAB

=

(3 1

(i-ésima matriz renglón de1;3 B I.".

Ejemplo 7 Si '4 y B son las matrices del ejemplo 5 , entrnces por (3) la segunda matriz columnade AB se puede obtener al calcular

54 / Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

L

I

,"I

t

Segunda columna deB

1

Segunda columna deAB

I

y por (4), la primera matriz renglónde A B se puede obtener alcalcular

11

2

I

1' -:

41 0 L2

=

7

[12 27

30

131-,

21

5

I

Primer renglón 1

1

I

I

Si al, $, . . . , a, denotan las matrices renglón de A y b,, b,, . . . , b, denotan las matrices columna deB , entonces por las fórmulas (3) y (4) se concluye que

(AB calculada renglón por rengldn) OBSERVACI~N. Las fórmulas (5) y (6) son casos especiales de un procedmiento más general para multiplicar matrices divididas (véanse los ejercicios 15, 16 y 17).

PRODUCTOS DE MATRICES COMO COMBINACIONES LINEALES

Lasmatricesrenglónycolumnaproporcionan otra manera de concebir la multiplicación de matrices. Por ejemplo, suponerque all

A=

Entonces

a22 a21 .

a12

" '

al,

' . '

a2n


En palabras, la fórmula (7) establece que el producto A x de una matriz A y una matriz columna x es una combinación linealde las matrices columna de A con los coejicientes que provienen de la matriz x. En los ejercicios de la sección se pide al lector demostrar que el producto yA de una matriz y 1 X m y una matriz A m X n es una combinación lineal de las matrices renglónde A con coejcientes escalares que provienen de y.

Ejemplo 8 El producto matricial

se puede escribir como la combinación lineal

2[-i]-1

y el producto matricial

[I

-9

-:]

-3][-/

= 1-16 8

351

-2

se puede escribir como la combinación lineal 1[-1

3

21-9[1

2

1

-31-3[2

- 2 ] = [ - 1- 61 8

351 A

Por (5) y (7) se concluye que la j-ésima matriz columna de un producto AB es una combinación lineal de las matrices columna de A con los coeficientes que provienen de la j-ésima columna de B. Ejemplo 9 En el ejemplo 5 se demostró que

AB=

2 2

6

4 1 411[ 0 - 1 0 2 7

4

3

-

3

1

5

2-

Las matrices columna de A B se pueden expresar como combinaciones lineales de las matrices columnade A en la forma siguiente:

['E]

= 4 [ ; ] + 0 [ ; ]+ 2 [ $

FORMA MATRZCIAL DE UN SISTEMA LINEAL

La multiplicación de matrices tiene una aplicación importante a los sistemas de ecuaciones lineales. Considerarcualquiersistemade rn ecuaciones lineales con n incógnitas. CI,,Xl

aZ,xl

+ a12.5 + + LI,,J, = h , + a22x7+ . . . + a2n.x,= b2 ' '

'

Como dos matrices son iguales si y sólo si sus elementos correspondientes son iguales, es posible sustituir las m ecuaciones lineales en este sistema por la simple ecuación matricial

La matriz m X 1 en el miembro izquierdo de esta ecuación se puede escribir como un producto para obtener

por A , x y b, respectivamente, entonces el sistemaoriginal Si estas matrices se designan de m ecuaciones conn incbgnitas ha sido reemplazadopor la ecuación matricial

Ax=b La matriz A en esta ecuación se denomina matriz de coeficientes del sistema. La matriz aumentada del sistema se obtiene adjuntando b a A como última columna; así, la matriz aumentadaes

l .3 Matrices y operaciones con matrices/ 5 7

TRANSPUESTA Esta sección termina con la definición de dos operaciones matriciales quecarecen DE UNA MATRIZ de análogo en los números reales. Definición. Si A es cualquier matriz m X n, entoncesla transpuestade A , denotada por AT, se define como la matriz n X m que se obtiene al intercambiar los renglones y las columnas de A ; es decir, la primera columna de AT es el primer renglón de A, la segunda columnade AT del segundo renglónde A , y así sucesivamente. Ejemplo 10 A continuación se presentanalgunos ejemplos dematrices y sus transpuestas.

;;; ;;; '12

A=[:!:

'13

;J:]

2 B=[t

'14

3

i]

C=[l

3 51

0=[41

Observar no sólo que las columnas de AT son los renglones de A , sino que los renglones de AT son las columnas de A . Así, el elemento en el renglón i y la columnaj de A es el elemento en el renglónj y la columna i de A , es decir,

Observar la inversión de los subindices. En el caso especial en que A es una matriz cuadrada, la transpuesta de A se puede obtener al intercambiar los elementos simétricos con respecto a la diagonal principal (figura 4). Planteado de otra forma, A T se puede obtener "reflejando" A con respecto a su diagonal principal. 1

"2

4

-1-

-2

>..

,f

4

simétricos con respecto a la

Figura 4

1

3

-5

58

:'


TRAZA DE UNA MATRIZ

Definición. Si A es una matriz cuadrada, entonces la truzu de A , denotada por tr(A), se define como la suma delos elementos de la diagonal principal de A . La traza de A no está definida si A no es una matriz cuadrada.

CUADRADA

Ejemplo 11 trazas.

A continuación se presentanalgunos ejemplos dematrices y sus 2

I tr(A)=a,,+a,,+a,, I

7

0

-2

Itr(B)= - 1 + 5 + 7 + 0 = 1 1

J

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 1.3 1. Suponer queA , B, C, D y F son matrices de los tamaiios siguientes: A

B

C

D

E

(4 x 5)

(4 x 5 )

(5 x 2 )

(4 x 2 )

(5 x 4)

Determinar cuáles de las siguientes expresiones de matnces están definidas. Para las que estén definidas, proporcionar el tamaño de la matriz resultante. a) BA e) E(A

/

c).4E+B d).4B+B h) ( A E)D g) ETA 2. Resolver la siguiente ecuación matricial paraa, b, c y d. bjAC+D f ) E(AC)

+ B)

[

-

a-b " c ] = [ ; 3 d +2c a - 4 d

+

A]

3. Considerar las matrices. 6

-1

Calcular lo siguiente (en caso de ser posible)

a) D + E e) 2 B - C i) tr(D)

b)D-E f) 4E-2D j) tr(D - 3 E )

c) 5 A g) - 3 ( 0 + 2 E ) k) 4 tr(7B)

d) -7C h) A - A

1) ' tr(A)

4. Con las matrices del ejercicio3, calcular lo siguiente (en caso de ser posible)

d ) B T + 5C7 c) ( D - E)' h) (2ET - 30')' g) 2ET - 30' 5. Usar las matrices del ejercicio3 para calcular lo siguiente (en caso de ser posible). a) U ' + C

e) $ C ' - ~ A a) AB e) A W ) i) tr(DD')

b) D T - E' f) B-B'

b) BA f ) cc' j ) tr(4ET- D )

c ) (3E)D

g) (DA)' k) tr(CTAT+ 2E')

d ) (AWC h) (C 'B)A

'

1 3 1 2 4 1 3

A

1.3 Matrices y operaciones con matrices / 59 6. Mediante las matrices delejercicio 3 , calcular lo siguiente (en caso de ser posible)

a) (2DT- E ) A d) ( B A T - 2C)T

C) ( -AC)T + 5D7 f ) D T E T - (ED)'

b) (4B)C + 2 B e) B T ( C C T - A T A )

Con el método del ejemplo 7 , encontrar a) el primer renglón de A B , c) lasegunda columna de A B , e) eltercer renglón de AA, y b) el tercer renglón de AB, d) la primera columna de BA, f) la tercera columna de A A . 8. Sean A y B las matrices del ejercicio 7. a) Expresar cada matriz columna de AB como una combinación lineal de las matrices columna de A . b) Expresar cada matriz columna de BA como una combinación lineal de las matrices columna de B.

Demostrar que el producto YA se puede expresar como una combinación lineal de las matrices renglón de A con los coeficientes escalaresde y. 10. Sean A y B las matrices delejercicio 7.

a) Usar el resultado del ejercicio 9 para expresar cada matnz renglón de AB como una combinación lineal de las matricesrenglón de B. b) Con el resultado del ejercicio 9 expresar cada matnz renglón de BA como una combinación lineal de las matncesrenglón de A. 11. Sean C, D y E las matrices del ejercicio 3 . Efectuando el menor número de cálculos posible, determinar el elemento en el renglón 2 y en la columna 3 de C(DE).

AB y BA están definidos, entonces AB y BA son matnces cuadradas. b) Demostrar que si A es una matriz m X n y A(BA) está definido, entonces B es una matriz n X m.

12. a) Demostrar que si

13. En cada inciso determinar las matricesA , x y b que expresen el sistema de ecuaciones

lineales dado como una simple ecuación matricial Ax = b. a) 2 x , - 3x2 + 5x3 = 9 x , - x2 XI

+

+

x3 = 5x, + 4x3 =

-

7 1

o

- 3x, + x4 = 1 5x, x2 - 8x4 = 3 2 x , - 5x2 9x, - x j = o 3x2 - x3 + 7x, = 2

b) 4x,

+

+

14. En cada inciso expresar la ecuación matncial como un sistema de ecuaciones lineales.

60 / Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

15. Si '4 y B se dividen en submatrices, por ejemplo

entonces AB se puede expresarcomo

los tamañosdelassubmatrices A y B seantalesquelas en elsupuestodeque operacionesIndicadas se puedanefectuar.Estemétodoparamultiplicarmatrices divididas se denomina mukiplicwidn en bloque. En cada inciso, calcular el producto por medio de multiplicación en bloque. Comprobar los resultados multiplicando directamente.

-1 1

2

1 1 5

5

6 1 1

I

2 5=[

p

;

-1

i 1' '

" " " " " " "

O j-3 15 paracalcularlossiguientesproductosmediante

16. Adaptarelmétododelejerciclo

multiplicación en bloque.

1

41

1

5 1

4

5

"1

7

-2 0 ; -1

2

17. En cada inciso, determinar si la multiplicación en bloque se puede usar para calcular

AB a partir d e las particiones dadas. En caso afmativo, calcular el producto mediante multiplicación en bloque.

1.4 Inversas; reglas de la aritmética de matrices / 61

18. a) Demostrar que siA contiene un renglónde ceros y B es cualquier matriz para la que

AB está definido, entoncesAB también contiene un renglón de ceros. b) Encontrar un resultado semejante, pero respectoa una columna de ceros. 19. Sea A cualquier matriz m X n y sea O la matriz m X n, cada uno de cuyos elemento es cero. Demostrar que sikA = O, entonces k = O o A = O.

20. Sea I la matriz n

X

n cuyo elemento en el renglóni y en la columnaj es

Demostrar que AI = IA = A para toda matrizA n

X

n

[ u'J. ] 6 X 6 quecumplalacondiciónquese establece. Hacer que las respuestas seanlo más generales posible usando letras en vez de números específicos para denotarlos elementos diferentes de cero.

21. Encadainciso,encontrarunamatriz

22. Encontrar una matriz A = [ulJ de 4

X

4 cuyos elementos cumplan la condición que se

23. Demostrar lo siguiente: SiA es una matriz m

X

n, entonces

donde S es la suma de los cuadrados de los elementos de A 24. Usando el resultado del ejercicio23, demostrar lo siguiente. a) Si A es una matrizm X n tal q u e m T= O O ATA = O , entonces A = O. b) Si A es una matrizn X n tal que A = AT y A2 = O, entonces A = O.

I .4 INVERSAS; REGLAS DE LA ARITMÉTICA DE MATRICES En esta sección se analizarán algunas propiedades delas operaciones aritméticas sobre matrices. Se verá que muchas de las reglas básicas de la aritmética de los números reales también se cumplen para matrices, aunque unas cuantas no.

62

,/


PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES

Paranúmeros reales a y b siempre se tiene que ab = ba, lo cual se denomina ley conmutativa de la multiplicación. Para matrices, sin embargo, A B y BA no necesariamente son iguales. Es posible quelaigualdad nose cumpla debido a tres razones. Puede suceder, por ejemplo, que A B esté definido pero que BA no. Este es el caso si A es una matriz 2 x 3 y B es una matriz 3 x 4. También, puede suceder que A B y BA estén definidos aunquesean de tamaños distintos. Esta es la situación si A es una matriz 2 X 3 y B es una matriz 3 X 2. Finalmente, como se muestra en el ejemplo 1, se puede tener A B f BA inclusive si tanto A B como BA4 están definidos y son del mismo tamaño. Ejemplo 1 Considerar las matrices

Al multiplicar se obtiene

BA

=

[

-3

‘1 o

Así, A B f BA. A Aunque la ley conmutativa de la multiplicación no es válida en aritmética matricial, muchas leyes conocidas de la aritmética son válidas para matrices. En el siguiente teorema se resumen algunas de las más importantes, así como sus denominaciones

Teorema 1.4.1. Suponiendo que los tamaños de las matrices son tales que las operaciones indicadas se pueden efectuar, entonces son válidas las siguientes reglas de aritmética matricial. a) A + B = B + A h) A f ( B + C ) = ( A + B ) f C c ) A(BC) = (AB)C d ) A(B+C)=AB+AC e ) ( B f C ) A = BA + CA f)A(B-C)=AB-.4C g ) ( B - C ) A = BA -- CA h ) a(B + C ) = aB + aC i ) a(B - C ) = nB - aC

(Ley c o n d a t i v a de la adición) (Ley mociativa de la adición) (Ley asociativa de la mltiplicación) (Ley distributiva por la izquierda) (Ley disfributivaporla derecha)

j ) (a+b)C=uC+bC k ) (U - b ) C = u C - bC I ) a(hC) = (ab)C m ) a(BC) = (aB)C= B(aC)

I

Para probar las igualdades de este teorema es necesario demostrar que la matriz del miembro izquierdo es del mismo tamaño que la matriz del miembro derecho y que los elementos correspondientes en ambos miembros son iguales. Con excepción de la ley asociativa del inciso c), todas las demostraciones siguen el mismo


patrón general. Como ilustración, se demostrará el inciso 6). La demostración de la ley asociativa, que es más complicada,se esboza en los ejercicios. Demostración de d). Es necesario demostrar que A ( B + C ) y A B + AC son del mismo tamaño y que los elementos correspondientesson iguales. Para formar A ( B + C), las matrices B y C deben ser del mismo tamaño, porejemplo m x n, y entonces la matriz A debe tener m columnas, de modo que su tamaño debe ser de la forma r x m. Con lo anterior, se tiene que A ( B + C ) es una matriz r X n. Se concluye que A B + A C también es una matriz r X n y, en consecuencia,A ( B + C) y A B + AC son del mismo tamaño. los Suponerque A = [a,], B = [bu]y C = [c,]. Se quieredemostrarque elementos correspondientesde A(B + C ) y AB + AC son iguales; es decir, que

[A(B

+ C ) ] ,= [ A B + AC I;,

para todos los valores de i y j . Pero por las definiciones de adición y multiplicación de matrices se tiene [A(B + C)];,

+ + a,2(b2j+ c2,) + . . . + aim(bmj+ cm,) = (a,,b,, + a,2b2,+ . . . + aimb,,) + ( a j l c , + , + . . . + a,,cmj) = [AB],,+ [AC,,] = [ A B + AC I,, u = a,,(bl, cl,)

U , ~ C ~ ,

Aunque las operaciones de adición y multiplicación de matrices se definieron para pares de matrices, las leyes asociativas 6) y c ) permiten denotar sumas y productos de tres matrices como A + B + C y ABC sin introducir ningún paréntesis. Lo anterior se justifica por el hechodeque sin importar cómo se introducen paréntesis, las leyes asociativas garantizan la obtencióndelmismo resultado final. En general, dados cualquier suma o producto de matrices, en las expresiones se pueden introducir o eliminar pares de paréntesis sin afectar el resultadojnal. OBSERVACI~N.

Ejemplo 2 Como ilustración de la ley asociativa de la multiplicación de matrices, considerar

Entonces

.

. ..

Y 1 .4(BC) = 3 O

24 1

de modo que (,dB)(' = A(B(?, como garantiza el teorema 1.4.IC. A

MATRICES CERO

Una matrizque tiene todos sus elemento iguales a cero, como

se denomina matriz cero. Una matriz cero se denotara por O; si es importante destacar el tamaño, se escribirá Omxn para denotar la matriz cero m x n. Si A es cualquier matriz y U es la matriz cero del mismo tamaño que A , resulta evidente queA + O = O + .4= A . La matriz O desempeña casi la misma función en estas ecuaciones matriciales que la desempeñada porel número O en las ecuaciones numéricasa + O = O + a = a. Como ya se sabe que algunas de las reglas de la aritmética para los números reales no se cumplen en la aritmética matricial, sería temerario asumir que todas las propiedades del número realcerose cumplenpara las matrices cero. Por ejemplo. considerar los dos resultados normales siguientes de la aritmética para los nlimeros reales. Si ab = ac y a = O. entonces b = c. (Esto se denomina ley de cancelación.) Si ad = O entonces por lo menos uno de los factores del miembro izquierdo es cero. Comose muestra enel siguiente ejemplo, engeneral losresultados correspondientes no son ciertos en aritmética matricial. Ejemplo 3 Considerar las matrices


Aquí

3 A B = , A C = [6

4 8]

Aunque A # O, es incorrecto cancelar la A en ambos miembros de la ecuación A B y escribir B = C. Así, la ley de cancelación no se cumple para matrices. También, A D = O, aunqueA # O y D # O. A

= AC

A pesar del ejemplo anterior, existen varias propiedades conocidas de número real O que se cumplen en las matrices cero. Algunas de las más importantes se resumen en el siguiente teorema. Las demostracionesse dejan como ejercicio. Teorema 1.4.2. Si se supone que los tamaAos de las matrices son tales que es posible efectuar las operaciones que se indican, las siguientesreglas de aritmética matricial son válidas. a)

A+U=O+A=A

6)A-A-O O P A = -A d ) A O = O; OA = O C)

MATRICES IDENTIDAD

De especial interés son las matrices cuadradas que principal y ceros fuera de ésta, como

tienen unos en la diagonal

Una matriz de esta forma se denomina matriz identidady se denota por f. Si es importante recalcarel tamaño, se escribirá In para denotarla matriz identidad n X n . Si A es una matriz m X n, entonces, como se ilustra en el siguiente ejemplo,

Así, en aritmética matricial la matriz identidad juega unpapel bastante semejante al que desempeñael número 1 en las relaciones numéricas a 1 = 1 . a = a. '

Ejemplo 4 Considerar la matriz Entonces

66

5';ste)rra.sde ccuaciones lineales .v matrices

Como se muestra enel siguiente teorema, las matrices identidad surgen de manera natural enel estudio de formas escalonadas reducidas de matrices cuadradas. Teorema 1.43. Si I? e s la forma escalonada reducida de una tnatriz A de n n, entonces R tiene un renglón de ceros, o bien, R es la matriz identidad ih. Demostración.

X

Suponer que la forma escalonada reducida de A es t-11

R = [r;, y,, I

I'; I'IZ

r R z

' ' '

Yl?,

" '

..

"n n

Entonces sucede que el ultimo renglón de esta matriz está integrado completamente de ceros o no lo está. En caso de que no lo esté, la matriz no contiene renglones cero y. en consecuencia, cada uno de los n renglones contiene un elemento principal igual a 1. Como estos unos principales aparecen progresivamentecada vez más lejos hacia la derechaamedidaquelamatrizse recorre hacia abajo. cada uno de estos unos debe aparecer en l a diagonal principal. Ya que los demás elementos en la misma columna de uno de los unos principales son cero, entonces R debe ser I,,. Así, R tiene un renglón de ceros, o bien, R = I,,. 0 INVERSA DE UNA MATRIZ

Definición. Si A es unamatrizcuadrada y si se puedeencontraruna matriz B del mismo tamaño tal que AB = BA = I. entonces se dice que A es invertible y R se denomina una inversa de A . Ejemplo S La matriz

1.4 Inversas; reglas de la aritmética de matrices 1 67

Ejemplo 6 La matriz

no es invertible. Para ver por qué, sea

cualquier matriz 3

X

3 . La tercera columna de BA es

Así. BA#I=

PROPIEDADES DE LAS INVERSAS

[a :I O

1

O

A

Es razonable preguntar si una matriz invertible puede tener más de una inversa. El siguiente teorema muestra que la respuesta es no: una matriz invertible tiene exactamente una inversa.

I Teorema 1.4.4. Si B y C son, ambas, inversas de la matriz A, entonces B = C. I Demostración. Ya que B es una inversade A , se tiene que BA = I. Al multiplicar ambos miembros por la derecha por C se obtiene (BA)C = IC = C. Pero (BA)C = B ( A 0 = BI = B , de modo que C = B.

u

Como una consecuencia de este importante resultado, ahora es posible hablar de "la" inversa de una matriz invertible. Si A es invertible, entonces su inversa se denota por el símbolo A-'. Así, AA"=/

y

A"A-I t

La inversa de .-1 t i e x cn aritmCtica matricial casi la misma función que cl recíproco a.-i juega en las relaciones numericas aa-l = 1 y a-"a = 1. En la siguiente sección se desarrollará m método para determinar inversas de xnatriccs jnvertibles dc cualquier tamafio; sin embargo, el siguiente teorema establece condiciones bajo las cuales una matriz 2 X 2 es invertible y proporciona una fórmula sencilla para cncontrar l a inversa.

f

O. er? cuyo

cuso la

Inversa está definida por la

U Ud -

Demostracidn.

bc

Se deja para el lector la comprobación de que .M " = I, y A -'A

Teorema 1.4.6. Si A y R son tnatrices invertibles del mismo tamaño, entonces a ) A B es znverlible, b ) (AB)" = 8",4 -1,

Demostración. Si se puede demostrar que (AB)(B"A ") = (N"'A ")(AB) = I, entonces se habrá demostrado simultáneamente que la matriz AB es invertible y que ( A B ) - ] = 5 " ~ " . Pero (AR)(B"A-') = A ( B B - ~ ~ "= AIA " =AA" = I. Con un razonamiento semejante se demuestra que (B"A")(AH) = 1.

Aunque este resultado no se demostrará, se puede extender para incluir tres o más factores: es decir. Un producto de cualqurer número de matrices invertibles es invertible, y la inversa del producto es el producto de las inversas en orden invertido.

Ejemplo 7 Considerar las matnces

1.4 Inversas; reglas de la aritmética de matrices / 69 Aplicando la fórmuladel Teorema 1.4.5, se obtiene

También,

Por consiguiente, ( ~ 1 3 1 - l = B"A" POTENCIASDE UNA MATRIZ

, como garantiza el teorema 1.4.6. A

A continuación se definirán las potenciasdeuna matriz cuadrada y se analizarán sus propiedades.

Definición. Si A es una matriz cuadrada, entonces las potencias enteras no negativas de A se definen como

n factores

I

Además, si A es invertible, entonces laspotencias enteras negativas de A se definen conlo

n factores

Debido a queesta definición es paralela a la de los números reales, se cumplen las leyes usuales de los exponentes. (Se omiten los detalles.)

I

Teorema 1.4.7. Si A es una matriz cuadrada y r y S son enteros, entonces

El siguiente teorema establece algunas propiedades importantesde los exponentes negativos.

70

/

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Demostración a) C o m o A K l =d4K1A= f , 1amatrizA" esinvertibley(A")" =A. b ) Este inciso se deja como ejercicio. c) Si k es cualquier escalar diferente de cero, entonces por los resultados I) y m ) del teorema 1.4.1es posible escribir

De manera semejante,

LA"

(k

Ejemplo 8 Sean A y A

"

1

(U)=Ide modo que kA es invertible y (U)" = $A-1.

' como en el ejemplo 7; es decir,

Entonces

EXPRESIONES POLIN~MICAS EN QUE APARECEN MATRICES

Si A es unamatrizcuadrada, porejemplo m

+

m, y si

+ . . + a,,s"

p ( x ) = a() a 1x

cualquier es

X

'

polinomio,, entoncesdefine se

+

p(A) = a,,/ a , A

+ . . . + a,,A"

donde I es la matriz identidad m X m. En palabras, p(A) es la matriz m se obtiene cuando A se sustituye porx en (1) y a. se reemplaza por a d . Ejemplo 9 Si

entonces

X

m que

1.3 Inversas; reglas de la aritmktica de matrices

PROPIEDADES DE LA

71

En el siguiente teoremase enumeran las propiedadesmás importantes de la operación de transposición.

TRANSPUESTA Teorema 1.4.9. Si los tamaños de las matrices son tales que se pueden efictuur las operaclones planteadas, entonces u ) ( ( A ) T ) T= A b) ( A + B ) ~ = A ' +B r y ( A - B)'= A ' - B' C ) ( k A ) = kA , ' donde k es cualquier escalar r i ) (AB)'= B ~ A T :B-'.8.'

'

~pQ1-1

Considerando que al transponer una matriz se intercambian sus renglones y sus columnas, los incisos a), b ) y c ) deben ser evidentes. Por ejemplo. en el inciso a) se establece que al intercambiar renglones y columnas dos veces la matriz permanece sin modificar; en el inciso 6) se afirma que al sumar y luego intercambiar renglones y columnas se obtiene el mismo resultado quecuandoprimero se intercambian renglones y columnas y luego se suma; y en el inciso c) se establece que al multiplicar por un escalar y luego intercambiar renglonesy columnas se obtiene el mismo resultado que si primero se intercambian renglones y columnas y luego se multiplica por un escalar. El inciso (d)no es tan evidente. por lo que se demostrará. Demostracidn de 6).

Sean

de modo que es posible formar los dos productos A B y BTAT. Se deja para el lector comprobar que (AB)Ty BTAT son del mismo tamaño; a saber, que son n x m. Así, queda por demostrar que los elementos correspondientesde (ABjTy BTAT son los mismos; es decir, ( ( A B ) T )= (BT,4')),,

(2)

I,

AI aplicar la fórmula (S) de la sección 1.3 al miembro izquierdo de esta ecuación y usar la definición de multiplicación de matrices, se obtiene

(('4B)') =(AB),, = u, .I b I j

,,

+

+ . . . + u,?h,.,

(3)

Para evaluar el miembro derecho de (2) es conveniente queatíjy b', denoten los ijésimos elementosde A7 y BT. respectivamente, de modo que

I2

,/


Lo anterior, junto con (3), demuestra (2).

0

Aunque nose demostrara este hecho, el inciso 6) del teorema se puede extender para incluir tres o más factores; es decir,

I

La transpuesta de un producto de cualquier número de matrices producto de sus transpuestas en orden invertido.

es igual al

Nótese la semejanza entre este resultado y el resultado, que está a continuación del teorema 1.4.6, respecto a la inversa de un producto dematrices.

OBSERVACI~N.

INVERTIBILIDAD

DE UNA TRANSPUESTA

El siguiente teorema establece una relación entre lainversadeunamatriz vertible y inversa la de su transpuesta.

1 Teorema 1.4.10.

Demostración. demostrar que

Si A es una matriz invertible, entonces AT también es inver-

Se puede

I

probar la invertibilidad de AT y obtener (4) al A7'(.+-l)T=(.+-*)TAT=]

Pero por el inciso d)del teorema 1.4.9y el hecho de queIT = Z, se tiene

con lo que se completa la demostración. 11 Ejemplo 10

in-

Considerar las matrices

Al aplicar el teorema 1.4.5 se obtiene

. *'.

.,a

,

1.4 Inversas; reglas de la aritmética de matrices

/

Como garantiza el teorema 1.4.10, estas matrices satisfacen la fórmula (4). A

EJERClCIOS DE LA SECCIóN 1.4 1. Sean

2 A=[-;

;

-1

i],

-;

-3

B=[:

-

a],

o

-2

C=[:

t], 3

u=4,

Demostrar que

+

(B + C )= ( A + B ) d) u(B - C ) UB - UC a) A

+- C

b) (AB)C= A ( B C )

c)

(U

+ h)C = UC + bC

2. Usando las matricesy los escalares del ejercicio I , demostrar que a) a(BC) = (uB)C= B(uC)

b) A ( B - C ) = AB - AC

C)

(B+ C)A = EA

+ CA

d) u(bC) = (ub)C 3. Usando las matrices y los escalares del ejercicio 1, demostrar que

a)

A

b) ( A + B ) 7 = A r + B T

c) ( U C ) ~ = U C ~d) ( A B ) 7 = B 7 A 7

4. Usar el teorema 1.4.5 para calcular las inversas de las sguientes matrices

5. Comprobar que las tres matrices A , B y C del ejercicio 4 satisfacen las relaciones (AB)" = B"A" y (fit)" = C"B"A" 6. Sean A y B matricescuadradasdelmismotamaño.

tricial válida? Justificar la respuesta

7. En cada inciso, usar la información dada para encontrarA .

/

8. SeaA la matriz

[:Y] Calcular A3, A-3 y A' - 2A + I. 1 9 . Sea A la matriz

[: :I

= A2B2 es unaigualdad ma-

h = -7

73

74 í Sistemas de ecuaciones linealesy matrices

224526

En cada inciso, determinarp(A).

b) p ( x ) = 2x2 -x + 1

a) p ( x ) = x -2

c) p ( x ) = x3 -2x + 4

10. Seanpl(x) =x2 - 9,p,(x) = x + 3 y p , ( x ) = x - 3 . a) Demostrar quep , ( A ) =p,(Alp,(A) para la matrizA del ejercicio9. b) Demostrar quep , ( A )= p,(A)p,(A) para cualquier matriz cuadradaA

./11. Encontrar la inversa de

r

--en cos*0

cos 0

12. a) Encontrar matnces A y B 2 X 2 tales que (A + B)' # A2 + 2AB + B2. b) Demostrar que si'4 y B son matrices cuadradas tales queAB = BA, entonces ('4

+ B)2 = A ' + 2ilB + B'

c) Encontrar un desarrollo de ( A + B)' que sea válido para todas las matrices cuadradas A y B del mismo tamaño.

'" "7 y

13. Considerar la matriz

o

.4 =

o

donde a ,la22-

. .

o

o

" '

"

.

'

'

'

ann

annf O. Demostrar que'1 es invertible y encontrar su inversa

14. Demostrar que si una matriz cuadrada A satisface ,43 - 311 + I = O, entonces A" - A.

=

31

15. a) Demostrar que una matnzcon un renglón de ceros no puede tener inversa. b) Demostrar que una matrizcon una columna de cerosno puede tener inversa. 16. La suma de dos matrices invertibles, ¿necesariamente es invertible?

17. Sean A y B matrices cuadradas tales que entonces B = O.

AB = O. Demostrar que si A es invertible,

18. En el teorema 1.4.2, ¿por qué el incisod) no se escribió comoAO = O = OA?

19. La ecuación real a' = 1 tiene exactamente dos soluciones. Encontrar por lo menos ocho matricesdiferentes 3 X 3 que cumplan la ecuaciónmatricial A2 = I,. [Sugerencia Buscar soluciones en las que todos los elementos fuera de la diagonal principal sean iguales a cero.]

20. a) Encontrar una matnz A 3 b) Encontrar una matrizA 3

X X

3 diferente de cero tal que A T = A. 3 diferente de cero tal queAT = -A.

21. Una matriz cuadrada A se denomina simétrica si A T = A y antisimétrica es AT = -A Demostrar que si B es una matriz cuadrada, entonces a) B B y~B + B~ son simétricas.b) B - BT esantisimétrica. 22. Si A es una matriz cuadrada y n es un entero positivo, ¿,es cierto que (A")T = (A')"? Justificar la respuesta. 23. Sea A la matriz

Determinar si A es invertible y, en caso afirmativo, encontrar su inversa. ISugerencia Resolver AX = I igualando los elementos correspondientes de ambos miembros.] 24. Demostrar lo siguiente: a) Inciso b ) del teorema 1.4. l . b) Inciso i) del teorema 1.4. l . ma 1.4.1.

c) Inciso m ) del teore-

25. Aplicar los incisos d)y m) del teorema 1.4.1 a las matrices A , B y (- 1)(' para obtener

el resultado del incison. 26. Demostrar el teorema 1.4.2 27. Considerar las leyes de los exponentesArAS= A r f S y (A')" = A"". a) Demostrar que si .4 es cualquier matriz cuadrada, entonces estas leyes son váliGas para todos los valores enteros no negativos de r y s. b) Demostrar que si A es invertible, entonces estas leyes son válidas para todos los valores enteros negativos der y s. 28. Demostrar que si A es invertible y k es cualquier escalar diferente de cero, entonces (M)"= PA" para todos los valores enteros den. 29. a) Demostrar que SI ,4 es invertible y AB = AC, entonces B = C. b) Explicar por quC el inciso a) y el ejemplo 3 no se contradicen entre sí.

I

30. Demostrar el inciso c) del teorema 1.4. l . [Sugerencia Suponer que A es m X n, que B es n X p y que C es p X q. El 9-ésimo elemento en el miembro izquierdo es 111 = all BC + u12BC + . + alnBC y el q-ésimo elemento en el miembro derecho es r 11 = ~ ~ l ~ , ~ + i l B ~ z c ~ + .Comprobarque1 ~ . . + A B ~ r =r 1 '

'

~,,

P PJ

u

11

1.5 MATRICES ELEMENTALES Y UN MÉTODO PARA DETERMINAR A-' En estasección se obtendrá un algoritmo para determinar la inversa de una matriz invertible y se analizarán algunas propiedades básicas de las matrices invertibles.

76 / Sistemas de ecuaciones linealesy matrices

MATRICES ELEMENTALES

Definición. Una matriz 11 X n se denomina matriz elemental si se puede obtener a partir de la matriz identidad In n X n al efectuar una sola operación elemental en los renglones.

[;

Ejemplo 1 A continuación se muestran cuatro matrices elementales y las operaciones con que se obtuvieron.

O 0 1 0

] F I E ] Sumar 3 veces el tercerMultiplicar

- 3 el segundo renglones segundo

y

renglón de /?

por

Cuando una matrizA se multiplica por la izquierda por una matriz elemental E, el efecto es efectuar una operación elemental enlos renglones deA . Este es el contenido del siguiente teorema, cuya demostración se deja corno ejercicio para el lector.

Teorema 1.5.1. S i la matriz elemental E resulta de la ejecución de ciertas operaciones en los renglones de I,,, y si A es una matriz m x n, entonces e l producto EA es la matriz que se obtiene cuando la misma operación en los renglones se efectúa en .1. Ejemplo 2 Considerar la matriz 1 A=[2 1

0

2

-1

3 4

4

y considerar la matriz elemental 1

0

0

3

o

1

que resulta al sumar 3 veces el primer renglón deI3al tercero. El producto E4 es

EA=

I 1 2

0 -1

4

4

1

0

9

1.5 Matrices elementules,v un método pura determinar A”

/ 77

que es precisamente la misma matriz que se obtiene al sumar 3 veces el primer renglón de A al tercer renglón. A

Si una operación elemental en los renglones se ejecuta en una matriz elemental I para obtener una matriz elemental E, entonces existe una segunda operación en los renglones que, al ser efectuada en E, produce nuevamente I. Por ejemplo, si E se obtiene al multiplicar el i-ésimo renglón de I por una constante c diferente de cero, entonces I se puede recuperar si el i-ésimo renglón de E se multiplica por llc. En la tabla l se enumeran las diversas posibilidades.

TABLA 1 Operaciones en los renglones de E que reproducen I

Operaciones en los renglones de Z que producen E

Multiplicar el renglón i por c

f

O

Intercambiar los renglones i y J

Multiplicar el renglón i por 1/c Intercambiar los renglones i y j

Las operaciones en la columna derecha de la tabla se denominan operaciones inversas de las operaciones correspondientes en la columna izquierda. Ejemplo 3 En cada una de las siguientes situaciones se efectuó una operación elemental en un renglón de la matriz identidad 2 X 2 para obtener una matriz elemental E, y luego E se convirtió en la matriz identidad mediante la operación inversa en el mismo renglón.

[:Y] Multiplicar por 7 el segun-

[t

:]

I

Multiplicar por 1/7 el renglón. gundo

[Y A]

se-

I

78

Sistemas de ecuaciones lineales v matrices

prlmero Y segundo.

[:, :I

[::]

-+

[:P] I "

Sumar -5 veces el segundo renglón al primero.

El siguiente teorema establece una propiedad importantede las matrices elementales. Teorema 1.5.2. Toda matriz elemental es invertible, y la inversa también una matriz elemental.

es

Demosfración. Si E es una matriz elemental, entonces E se obtiene al efectuar algunas operaciones en los renglones de I. Sea E, la matriz que se obtiene cuando la inversa de esta operacion se efectúa en I. Al aplicar el teorema 1.5.1 y usando el hecho de que las operaciones inversas en los renglones cancelan mutuamente su efecto, se concluye que E,E= I

y

Así. la matriz elemental E, es la inversa de E.

EE,=I

0

El siguiente teoremaestablece algunas relaciones fundamentales entre invertibilidad, sistemas lineales homogéneos, formas escalonadas reducidas ymatrices elementales. Estos resultados son extremadamenteimportantes y se usarán muchas veces en secciones ultenores. Teorema 1.5.3. Si A es una matriz n X n, entonces las siguientes proposiciones son equivalentes; es decir, todas son verdaderas o todas son falsas. a) A es Invertible. b ) Ax = O sólo tiene la solución trivial. c ) La.forma escalonada reducida de A es In. d)A se puede expresar como un producto de matrices elementales. Demostración. Se demostrará la equivalencia estableciendo la cadena de implicaciones a * b * c => d * a. a

* b: Suponer queA es invertible y sea x(,

= O.

cualquier solución de A x = O; así, Axo Al multiplicar ambos miembros de esta ecuación por la matriz A" se obtiene

1.5Matrices elementalesy un método para determinar A-' = A"O, o (A"A)% = O , o Ix, tiene la solución trivial.

b

=

/ 79

O, o x, = O. Por tanto, Axo = O sólo

* c: Sea Ax = O la forma matricial del sistema

+ a 1 2 x 2+ ' . + a , , x , = o a 2 1 x I+ u22x2+ . . . + u 2 , x , = o

allXl

'

+ an2x2 + . + annx, = o

UnlXl

' '

y suponer que el sistema sólo tiene la solución trivial. Si el sistema se resuelve por eliminación de Gauss-Jordan, entoncesel sistema de ecuaciones correspondiente a la forma escalonadareducida de la matriz aumentadaes

=o =o

*I

x2

x,

=

o

Así, la matriz aumentada

..

de (1) se puede reducir a la matriz aumentada 1

o o

0 0 0 . " 1

o

de (2) por medio de una sucesión de operaciones elementales en los renglones. Si en cada una de estas matrices se elimina la última columna (de ceros), se puede concluir que la forma escalonada reducidade A es I,. c * d: Suponer que la forma escalonada reducida de A es I,, de modo que A se puede reducir a Z, mediante una sucesión finita de operaciones elementales enlos renglones. Por el teorema 1.5.1, cada una de las operaciones se puedeefectuar

80

Sistemasdeecuaciones 1ineales.v matrices

multiplicando por la izquierda por una matriz elemental idónea. Así. es posible hallar matrices elementalesE,, E2, . . . , Ek tales que F> h . , . F'2 E I ''1 - 1

I,

(3)

Por el teorema 1.5.2. las matriccs elementales E,, E*.. .. ; , Ek son invertibles. Al multiplicar por la izquierda ambos miembros de la ecuaclon (3) sucesivamente por E;l I?;, P" se obtiene I

.

.

.l

.

,

,d

= E,- 'E? l .

. .E, ¡I,,= E , ' E 2 I . . .EA

Por el teorema1.5.2, csta ecuación expresa .4 comoun elementales.

(4)

productodematrices

d * a: Si il es un producto de matrices elementales, entonces por los teoremas 1.4.6 y 1.5.2 la matriz '4 es un producto de matrices invertibles, y por tanto es invertible. 0

EQUIVALENCLA POR RENGLONES

Si una matriz B se puede obtener a partir de una matriz A mediante la ejecución de una sucesión finita de operaciones elementales en los renglones, entonces resulta evidente que 13 sepuede convertir denuevo en A mediantela ejecuciónal revésde las inversas de tales operacioneselementalesen los renglones. Las matrices que se pueden obtener a partir de otra matriz mediante la ejecución de unasucesión finita de operacioneselementalesen los renglones se denominan equivalentes por rengfones. Con esta terminología, por los incisos a) y c ) del teorema 1.5.3 se concluyequeuna matriz A n X n es invertible si y sólo si es equivalente por renglones a la matriz identidad n X n

U N MÉTODO

Como primera aplicación del teorema1.5.3,se establecerá unmétodo para determinar la inversa de una matriz invertible. Al invertir los miembros izquierdo y derechode (4) seobtiene A" = EL E2 E,o, de manera equivalente,

PARA INVERTIR MATRICES

'

'

que establece que A - sepuede obtener al multiplicar I, sucesivamente por la izquierda por las matrices elementales E,, E2, . . . , Ek. Como cada multiplicación por la izquierda por una de estas matrices elementalesefectúa una operación enlos renglones, al comparar las ecuaciones (3) y (5) seconcluye que la sucesión de operaciones en los renglones que reduce A a I, también reduce I, a A". Así. se tiene el siguiente resultado:

L

Para determinar la inversa de una matriz invertible A , es necesario encontrar una sucesión de operaciones elementales en los renglones que reduzca A a la matriz identidad y luego efectuar esta misma sucesión de operaciones en I , para obtener A".

En el siguiente ejemplo se proporciona un método sencillo para llevar a cabo el procedimiento anterior.

1.5 Matrices elementalesy un método para determinar A"

/ 81

Ejemplo 4 Encontrar la inversade

Solución. Se desea reducir A a la matriz identidad mediante operaciones en los renglones y aplicar simultáneamente las operaciones a I para obtener A - l . Para lograr ésto, la matriz identidad se adjunta a la derecha de A , con lo que se obtiene una matriz dela forma

y luego se aplican operaciones en los renglones a esta matriz hasta que el lado izquierdo se reduce a I; estas operaciones convierten el lado derecho en A", de modo que la matrizfinal es de la forma [I

A"]

Los cálculos son como sigue: 1 2 1

2 5 0

3 3 8

/ j j

1 0 O

0 1 O

2 3 1 1 o 1 - 3 1 -2 0 - 25 ; - 1

0 1

1

1

o

o

2 3 1 1 1 - 3 : -2

1

2

3

1 O

2 1

O j -14 1 3 - 5 0 :

1 o

0 1

j

0

"1 "1 I 1

Se sumó -2 veces el primer renglón al segundo y - el 1 vez

1

primer renglón al tercero.

1 1

0

Se sumó 3 veces el tercer renglón al segundo y -3 veces el tercer

Se sumó -2 veces el segundo

82 !Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

Así,

A menudo no es posible saber de antemano si una matriz dada es invertible. Si una matriz A n X n no es invertible, entonces nosepuede reducir a I,, por medio de operaciones elementales en los renglones [inciso ( c ) del teorema 1.5.3.1 Planteado de otra forma, la forma escalonadareducida de A contiene por lo menos un renglón de ceros. Así, si el procedimiento del último ejemplo se intenta con una matriz que no es invertible, entonces en algún momento de los cálculos aparecerá un renglón de ceros enel lado izquierdo. Entonces es posible concluir que la matriz dada no es invertible, de modo que ya no se realizan más cálculos. Ejemplo 5 Considerar la matriz 6

1 2

A = [

4

2

-1

4-

-1

5-

Al aplicar el procedimiento del ejemplo 4 se obtiene 1

6

2

4

-1

2

1

6

4

o -8

-9

[-

0

8

o o

-- 1 ;

1

'

54 1! 1

oo

1

I

9

I

-2

I

1

1

0 1 0

'"I 1

renglón al segundo y se sumó el

1

:undo renglón tercero.

Dado que enel lado izquierdo se ha obtenido un renglónde ceros, se concluye que A no es invertible. A Ejemplo 6 En el ejemplo 4 se demostró que

es una matriz invertible. Por el tepema 1.5.3 se concluye que el sistema de ecuaciones

1.5 Matrices elementales y un método para determinar A"

+ 2x, + 3x, = o 2x, + 5x, + 3x, = o x,

+ 8x,

XI

=O

sólo tiene la solución trivial. A

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 1.5 1. De las siguientes matrices, ¿cuáles son elementales'?

2.

3.

Encontrar una operación en los renglones que convierta la matriz elemental

-: -:I,

Considerar las matrices 3 A=[&

8

4

B=[:

-:-:I, 1

dada en

4

5

c=[i

1;

-i]

Encontrar matrices elementalesE,, E2,E, y E4tales que a) E , A = B b) E $ = A c)E#=C d)E4C=A 4. En el ejercicio 3, Les posible encontrar una matriz elemental E tal que EB = C? JUS-

tificar la respuesta. En los ejercicios 5. 6 y 7, aplicar el método mostrado en los ejemplos 4 y 5 para encontrar lainversadelamatriz dada silamatnzesinvertible, y comprobar la respuestapor multiplicación.

/ 83

d)

[-: 'i .. .

1-3

L')

4

7

[

o1 o 2

-

o

o2

(1!

I

3

o

I

5

"3.

8. Encontrar la inversa de cada una dc las siguientes matrices 4 X 4, donde k,, k2,k3, k4 y

k son, todos, diferentes de cero.

9. Considerar la matriz

a) Encontrar matrices elementalesE , y E, tales que E P , A = I. b) Escrihir A - como un producto de dosmatrices elementales. c) Escribir <4como un producto de dos matnces elementales.

'

10. En cada inciso, efectuar en

la operación en los renglones que se indica, multiplicando A por la izquierda por una matnz elemental. En cada caso, comprobar l a respuesta, efectuando la operación en los renglones directamente enA. a) Intercambiar los renglones primeroy tercero. b) Multiplicar por f el segundo renglón. c) Sumar dos veces el segundo renglón al primer renglón. 11. Expresar la matriz

en la forma A = EFGR, donde E, F y G son matrices elementales y R está en forma escalonada. 12. Demostrar que si

es una matriz elemental, entonces por lo menos un elemento en el tercer renglón debe ser igual a cero.

1.6 Otros resultados sobre sistemas e invertibilidad

r

I’

85

13. Demostrar que O

a

O

O

O

b O c O O A = O d O e O O O f O , q o O o I? o, no es invertible para cualesquiera valores de los elementos 14. Demostrar que si A es una matriz m X n, entonces existe una matriz invertible

C tal

que CA está en forma escalonada reducida.

y B es equivalente por renglones a

15. Demostrar que si A es una matriz invertible

A,

entonces B también es invertible. 16. a) Demostrar: Si A y B son matrices m X n, entonces A y B son equivalentes por

renglones si y sólo si A y B tienen la mismaforma escalonada reducida. b) Demostrar que A y B son equivalente por renglones, y encontrar una sucesión de operaciones elementales en los renglones que produzca B a partir de ‘4.

.=II ; ;] .-[I ; -;I 1

2

3

O

17. Demostrar el teorema 1.5.1

1.6 OTROS RESULTADOS SOBRE SISTEMAS DE ECUACIONES E INVERTIBILIDAD En estasección se estableceránmásresultados sobre sistemas de ecuaciones lineales e invertibilidad de matrices. El trabajo dará por resultado un método totalmente nuevo para resolver sistemas de n ecuaciones con n Incógnitas. UN TEOREMA FUNDAMENTAL

Se empezará por demostrarun resultado fundamental sobre sistemas lineales. que ya fue anticipado en la primera sección de este libro. Teorema 1.6.1. Todo sistema de ecuaciones lineales no tiene solución, tiene exactamente una solucibn o tiene infinidad de soluciones. ~

Demostración.

~~

~~~

Si Ax = b es un sistema de ecuaciones lineales, entonces exactamente una de las siguientes afirmacicmes es vcrdadcra: a) el sisienla no tiene s c h ción, b) el sistema tiene exactamentc I ~ I I solucltr!. ;~ o bien, c) el sistema tiene más de una solucicin.La demostración cstard conipleri si se puede demostrar que cl sistema tiene iníínidnd de soluciones en el caso 2).

86

1'


Suponer queAx = b tiene más de una solución, y sea x. = xl - 5 ,donde x1 y &r son dos soluciones distintas cualesquiera. Debido a que x1 y 5 son dlstintas, entonces la matriz x. es diferente de cero; además, AX,

A(x, - X,) = A X , - AX, = b - b = O

Si ahora se deja que k sea cualquier escalar, entonces A(x,

+ kx,) = Ax, + @x,)

=Ax, =b+kO=b+O=b

+ k(AX,)

Pero esto establece que x, + kKo es una solución de Ax = b. Como x. es diferente de cero y existen intinidad de elecciones para k, entonces el sistema Ax = b tiene infinidad de soluciones. 1

RESOLUCI~NDE SISTEMAS LINEALES POR INVERSI~NDE MATRICES

Hasta el momento se han estudiado dos métodos para resolver sistemas lineales: la eliminacióngaussiana y la eliminación de Gauss-Jordan. El siguiente teorema proporciona unnuevo método para resolver ciertos sistemas lineales. Teorema 1.6.2. Si A es una matriz invertible n x n, entonces para toda matriz b n x I , el sistema de ecuaciones Ax = b tiene exactamente una solución; a saber, x = A"b. Demostracidn. Como A(A"b) = b, se concluye que x = A-lb es una solución de Ax = b. Para demostrar queesta es la única solución, se supondrá que x. es una solución arbitraria y luego se demostrará quex. debe ser la so1uciÓnA"b. Si x. escualquier solución, entonces AxO = b. Al multiplicar ambos miembros por A" se obtiene x. = A"b. 0

Ejemplo 1 Considerar el sistema de ecuacioneslineales

+ 2x, + 3x, = 5 2x, + sx, + 3x, = 3 XI + 8x3= 17 x,

En forma matricial, este sistema se puede escribir como Ax = b, donde

En el ejemplo 4 de la sección precedente se demostró queA es invertible y que

1.6 Otros resultados sobre sistemas e invertibilidad / 87

Por el teorema 1.6.2, la solución del sistema es

o bien, x1 = 1, x2 = -1,

x3 = 2.

A

OBSERVACI~N. Nótese que el métododeejemplo 1 es aplicable sólo cuando el sistema tiene tantas ecuaciones como incógnitas y la matriz de coeficientes es invertible.

RESOLUCIóN DE VARIOS SISTEMAS LINEALES CON UNAMATRIZ DE COEFICIENTES

Frecuentemente es necesario resolver una sucesión de sistemas

. . . , Ax=bk

AAxA x== xb= b, ,b 2,,

cada uno de los cuales tiene la misma matriz de coeficientes A . Si A es invertible, entonces las soluciones

COMÚN

. . . , xk=A-lb,

x l = A " bxl ,2 = A " b 2x ,3 = A P 1 b 3 ,

se pueden obtener con una inversión matricial y k multiplicaciones de matrices. Sin embargo,un método más eficaz es formar la matriz [.4 I b, I b,

...

bk]

(1)

donde la matriz de coeficientes A es "aumentada" por todas las k matrices b,, b,, . . . , b,. Al expresar (1) en forma escalonada reducida, por eliminación de GaussJordan se puedenresolvera la veztodos los k sistemas. Este método tiene la ventaja de que se puede aplicar aun cuandoA no sea invertible. Ejemplo 2 Resolver los sistemas

Solución. Los dos sistemas tienen la misma matriz de Coeficientes. Si esta matriz de coeficientes se aumenta con las columnas de constantesque están enlos miembros derechos detales sistemas, se obtiene

88 i Sistemas de ecuaciones linealesy matrices

'1

Al expresar esta matriz en forma escalonada reducida se obtiene (comprobar)

o o o

1

o

O I

1 ;

0 ; 1 I

0 ;l 1 i-1

Con base ena l sdos últimas columnas, se concluye que la solución del sistema a) es x, x3 = 1, y que solución del sistema b) es x1 = 2, x2 = I y x3 = - 1. A

= 1, x2 = O,

PROPIEDADES DE LAS MATRICES INVERTIBLES

A n x n es invertible ha sido

Hasta el momento, parademostrarqueunamatriz necesario encontrar una matriz B n x n tal que AB=/

y

BA=I

El siguente teorema demuestra quesi se obtiene una matriz B n X n que satisface cualquier condición, entonces laotra condición se cumple automáticamente.

Teorema 1.6.3. Sea A una matriz cuadrada. a ) ,Si B es una matriz cuadrada quesatisface BA = I, entonces B =A". b) Si B esuna matriz cuadrada que satisface A B = I, entonces B =A". Se demostraráel inciso a), y el inciso 6) se deja como ejercicio. Demostración u). Suponer que BA = I. Si es posible probar que A es invertible, la demostración se puede completar multiplicandoBA = I en ambos miembros por A para obtener

-'

BAA"=IA"

o

BI=IA-'

O

B-A-'

Para probar queA es invertible, basta demostrar queel sistema A x = O sólo tiene la solución trivial (véase el teorema 1.5.3). Sea x. cualquier solución de este sistema. Si ambos miembros de AxO = O se multiplican por la izquierda por B, se obtiene BAxo = BO o Ixo = O o x. = O . Así, el sistema de ecuaciones A x = O sólo tiene la solución trivial. 5 Ahora ya es posible añadir dos proposicionesmás que son equivalentes a las cuatro dadas enel teorema I . S . 3 . ~

~~

--

Teorema 1.6.4. Si A es una matriz n X n, entonces las siguientes proposiciones son equivalentes. a ) A es invertible. 6) A x = O sólo tiene la solución trivial. c ) La formaescalonada reducida de A es I,,. d) A es expresable como un producto de matrices elementales. e ) A x = b es consistente para toda matrizb n X 1. A x = b tiene exactamente una solución para toda matrizb n X 1.


Demostraciótz. Como en el teorema 1.5.3 se demostróque a), b), c) y d) son equivalentes, basta demostrar quea * f * e * a. a * J Este hecho ya se demostró enel teorema 1.6.2.

* e : Esta implicación es de por sí evidente. Si A x = b tiene exactamente una solución para toda matriz b de n X 1, entonces Ax = b es consistente para toda matriz b den X 1.

f

e * a: Si el sistema A x particular los sistemas

=

b es consistente para toda matriz b n x 1, entonces en

son consistentes. Sean x,, 3,. . . , x,, las soluciones de los sistemas respectivos, y se forma una matriz C n x n que tenga estas soluciones como columnas. Así, C es de la forma

Como se analizó en la sección 1.3, las columnas sucesivas del producto A C son A x , , Ax,, . . . , Axn Asi,

Por el inciso b) del teorema 1.6.3 se concluye que C invertible. 0

= A-l.

Entonces, A es

Por el trabajo realizado antes se sabe que factores de matrices invertibles producen un producto invertible. En el siguiente teorema se considera la conversa: se demuestra que si el producto de matrices cuadradas es invertible, entonces los factores mismos deben ser invertibles.

90


Teorema 1.6.5. Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamaño. Si A B es invertible, entonces A y B también deben ser invertibles.

Más tarde se encontrará que el siguiente problema fundamental aparece en varios contextos. Un problema fundamental. Sea A una matriz fija m X n. Encontrar todas las matrices b m X 1 tales que el sistema de ecuacionesAx = b sea consistente.

Si A es una matriz invertible, el teorema 1.6.2 resuelve por completo este problema al establecer que para toda matriz b m x 1 el sistema lineal Ax = b tiene la solución única x = A"b. Si A no es cuadrada, o si A es cuadrada pero no invertible, entonces el teorema 1.6.2 no es válido. En estos casos la matriz b debe satisfacer ciertas condiciones a fin de que Ax = b sea consistente. El siguiente ejemplo ilustra cómo se puede usar la eliminacion gaussiana para determinartales condiciones. Ejemplo 3 ¿Qué*condlcionesdeben satisfacer b,, 6, y 6 , para que el sistema de ecuaciones xl + .y2 + 2x, = h , .xl 3- x3 = b, 2 x , + x2 + 3x, = h,

sea consistente? Solución. La matriz aumentada es

que se puede expresar en forma escalonada reducida como sigue. 1

1

o

-1

O

-1

[(!I O

1 o O

2 -1 -1

bl

h,-2h, hl

-I

-1

1 1 O

1 1 O

Se sumó - 1 veces el primer renglón al segundo y se sumó -2

h3-2bl bl-b2 b2

b3-bZ-bl

veces el primer renglón al tercero.

] T

El segundo renglón se multiplicó por - l .

El segundo renglón se sumó al tercero.

I


Por el tercer renglón de la matriz, ahora resulta evidente que el sistema tiene una solución si y sólo si b,, b, y b, satisfacen la condición

Expresado de otra forma, esta condición es: A x una matriz de la forma

=b

es consistente si y sólo si b es

donde b , y b, son arbitrarios. A

Ejemplo 4 ¿Qué condiciones deben satisfacer b,, b, y b, para que el sistema de ecuaciones

sea consistente? Solución.

La matriz aumentada es

Al expresar esta matriz en forma escalonada reducida se obtiene (comprobar) 1 O O

O 1 0

O O 1

-40b, + 16b2 + 96, 13b, - 5b2 - 3b3 5b, - 2b2 - b3

1

En este caso no hay restricciones sobre b b, y 6,; es decir, el sistema Ax = b dado tiene la solución única X, =

-40b,

+ 16b2 + 963,

X*

=

13b, - 5bz - 3b3, x3 = 5bl - 2 b l - b3

(3)

para toda b. A OBSERVACI~N. Debido a que el sistema A x = b del ejemplo anterior es consistente para toda b, entonces por el teorema 1.6.4 se concluye que A es invertible. Se deja para el lector comprobar que las fórmulas en (3) también se pueden obtener calculando x =A"b.

92 1 Sistemas de ecuaciones linealesy matrices

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 1.6 Y

1 al X, resolver el sistemainvirtiendolamatrizdecoeficientes aplicando el teorema 1.6.2. 1. x, ,Y2 = 2 2. 4x, - 3.x2 = - 3 3. x, + 3x, +.u3 = 4 Sx,+ 6x2 = 9 2x, - 5x2 = 9 21, 2x2 + x3 = - 1 Zx, 3n2 + .Yi = 3 4. 5x, + 3.Y2 + 2.17 = 4 5. .I + j' + 2 = 5 6. - 1- - 2.v - 3 - = o 3 s , + 31, -i- ?.\Y3 = 2 .x t j'- 4; = 10 LC Y + 4j, + 42 = 7 + .Y2 = S -4x+j.+ z- o M' t 3.r 7y + 93 = 4 l b 10s ejerciciosdel

+

+ +

+

x ,

l. 3.r, + Sx, = h , Y , + 2x2 = h,

N.

- M' -

h,

.I

+

21 - 4y

"

63 = 0

21: t is, = 2.u, + 5.r, + Sx3 = h, 3x, + 5x, + 8x, = h, .YI f

lisando las formulas resultantes, encontrar la soluciónsi a ) h , = - - ~ I h, 2 = 3 . h , - 4

h) h , = S ,

h,=O,

/),=O

c) h , = - 1 .

h,= - 1 ,

10. Resolver los tres sistemas del ejercicio9 aplicando elmétodo del ejemplo 2

En los ejercicios del I 1 al 14, usar el método del ejemplo 2 para resolver simultáneamente los sistemas en todoslos incisos.

a) h, = I ,

hZ=4

h, = 5

-2,

b) h ,

Í'X,

13. 4 . ~ ~-, = h, .x, 2 s , = h,

+

a) h , = O, h, = 1 b) h , = -4, h, 6 h, = 3 C) h , = - I , d ) h , = -5, h, = I

15. Elmétododelejemplo

2 se puede usar pararesolversistemaslineales quetienen infinidad de soluciones. Usandoese método, resolver al mismo tiempo los sistemas de ambos incisos. a)

x , - Zx, +

.xi = - 2

+ -Ti = 3x, - ?x, + 2.Y, =

2x, - sx,

1 -1

+

b) xi - 2x, = 2x, - 5x2 x; = 3xi - 7,r2 + 2x7 =

+

-

1 1

o

h,=3

1.6 Otros resultados sobre sistemas e invertibilidad / 93 En los ejercicios del 16 al 19, encontrar condiciones que deben satisfacer las b para que el sistema sea consistente. 16. 6 ~-, 4x2 = h, 3x, - 2x2 = h, X, -

18.

-4x, - 4x,

2~2-

S,

+ 5x2 + 2x3 + 7x2 + 4x3 = h,

b2

20. Considerar las matrices

a) Demostrar que la ecuación A x = x se puede volver a escribir como ( A usar este resultado para resolverAx = x para x. b) Resolver A x = 4x.

- I)x

=Oy

21. Resolver la siguiente ecuación matricial paraX .

22. En cada inciso, determinar si el sistema homogéneo tiene una solución no usar lápiz y papel); luego, establecer si la matrizdada es invertible. a) 2x, + x2 - 3x, + x4 = O 2 1 -3 5x2 + 4x, + 3x4 = o o 5 4 3

trivial (sin

'1

b)

5x, +x,

+ 4x3 +

x4 = O

2x, -- x4 = o x, + x4 = o 7x4 = o

O

1

4

0

0

7

23. Sea Ax = O un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales en n incógmtas que sólo tiene la solución tnvial. Demostrar que si k es cualquier entero positivo, entonces el sistema Akx = O también tiene sólo lasolución trivial. 24. Sean A x = O un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales con n incógnitas y Q una matriz invertible n x n. Demostrar que Ax = O tiene sólo la solución trivial si y sólo si (QA)x = O sólo tiene la solución tnvial. 25. Sea Ax = b cualquier sistema de ecuaciones lineales consistente, y sea x, una solución fija. Demostrar que toda solución del sistema se puede escribir en la formax = x1 + xo, donde x. es una solución de Ax = O. También demostrar que toda matriz de estaforma

es una solución. 26. Usar el incisoa) del teorema 1.6.3 para demostrar el incisob )

94

,'

Sistemas de ecuaciones Einealesy matrices

I.7 MATRICES DIAGONALES,TRIANGULARESY SIMÉTRICAS En estasección se considerarán ciertas clases de matrices quetienen formas especiales. Las matrices que se estudiarán en esta sección se encuentran entre las más importantes del álgebra lineal y se presentan en muchas situaciones a lo largo de este texto.

MATRICES DUGONALES

Una matrizcuadradaen la que todos los elementos fuera deladiagonal son cero se denomina matriz diagonal; algunos ejemplos son -m

0

Una matriz diagonal generalD n

0 X

D = [ do,

0

0 - 4

1

O

0

0

0

o

o

0

8

n se puede escribir como

O d2

O

-I

6

1 0 0

principal

... ...

O

Una matriz diagonal es invertible si y sólo si todos los elementos en su diagonal principal son diferentes de cero; en este caso la inversa de (1) es

El lector debe comprobar queDD- I = D"D = I. Las potencias de las matrices diagonalesson fáciles de calcular; se deja para el lector comprobar que si D es la matriz diagonal (1) y k es un entero positivo, entonces

1.7 Matrices diagonales, triangulares y simétricas / 95

Ejemplo 1 Si A=[:

-9 3

entonces

Los productos de matrices en que aparecen cialmente fáciles de calcular. Por ejemplo, [ Odl

d2 O O

o o

d3

][": :: 1:; "::]

factores lagonales sonespe-

'31

u32

'33

u34

dl'13

dlall

= [.a2] d3a31

d2a22 d2a23 d2a24 d3a32 d3a33

d3'34

1

En palabras, paramultiplicarunamatriz A por laizquierda por unamatriz diagonal D, es posible multiplicar renglones sucesivos de A por los elementos diagonales sucesivos de D, y para multiplicar A por la derecha por D es posible multiplicar columnas sucesivas de A por los elementos diagonales sucesivosde D.

MATRICES TRIANGULARES

Una matrizcuadradaen la que todoslos elementosarribadeladiagonal principal son cero se denomina triangular inferior, y una matriz cuadrada en la que todos los elementosabajodeladiagonal principal son cero se denomina triangular superior. Una matriz que es triangular superior o triangular inferior se denomina triangular.

Ejemplo 2

Una matriz triangularsuperior ge-

gular inferior gene-

96

i


Nótese quea ls matricesdiagonales son tanto triangulares superiores como triangulares inferiores, ya que tienen ceros por abajo y por arriba de la diagonal principal. Nótese también que una matrizcuadrada en forma escalonada es triangular superior porque tiene ceros por abajo de la diagonal principal. A continuaciónseproporcionan cuatro caracterizaciones útiles de las matrices triangulares. El lector encontrará instructivo comprobar que las matrices en el ejemplo 2 tienen las propiedades establecidas. OBSERVACI~N.

Una matriz cuadrada A = [aij]es triangular superior si y sólo si el i-ésimo renglón empieza con por lo menos i - 1 ceros. Una matriz cuadrada A = [aij] es triangular inferior si y sólo si la j-ésima columna empieza con por lo menos j - 1 ceros. Una matriz cuadrada A = [aij] es triangular superior si y sólo si [aijJ = O para i > j. Una matriz cuadrada A = [aij] es triangular inferior si y sólo si [aij] = O para i j. En el siguiente teorema se enumeran algunas de las propiedades básicas de las matrices triangulares.

Teorema 1.7.1. a ) La transpuesta de una matriz triangular inferior es triangular superior, y la transpuesta de una matriz triangular superiores triangular inferior. b) El producto de matrices triangulares inferiores es triangular inferior, y el producto de matrices triangulares superioreses triangular superior. e> Una matriz triangular es invertible si y sólo si todos sus elementos diagonales son diferentesde cero. d) La inversa de una matriz triangular inferior invertible es triangular inferior, J J la inversa de una matriz triangular superior invertiblees triangular superior. El inciso a) es evidente a partir del hecho de que la trasposición de una matriz se puede efectuar reflejando los elementos con respecto a la diagonal principal; se omite la demostraciónformal. Se demostrará b), pero las demostraciones de c) y 6) se pospondrán para el siguiente capítulo, donde se contará con los medios para probar los resultados de manera m á s eficaz. Demostración de b). Se demostrará el resultado para matrices triangulares inferiores; la demostración para matricestriangulares superiores es semejante. SeanA = lav] y B = [b - .] matrices triangulares inferiores n x n, y sea C = [c..] el ‘J IJ producto C = AB. Por la observación que precede a este teorema, se puede probar que C es triangular inferior demostrandoque [c..]= O para i < j . Pero por la 1J definición de multiplicación de matrices,

1.7Matrices diagonales, triangulares y simétricas / 97

s i se supone que i
cij = ailbl, + aj2b, + . . . +'ai,- ,bi_ <

, + ajjbj,+ . . . + ainbn,,

Términos en los cuales el número de renglón de b es menor que el número de columna de 6.

Términos en los cuales el 'número de renglón de a es menor que el número de columna de a.

En el primer agrupamiento, todos los factores 6 son cero, ya que B es triangular inferior, y en el segundo agrupamiento todos los factores a son cero, ya que A es triangular inferior. Así, cij = O, que es lo que se queda demostrar. 0 Ejemplo 3 Considerar las matrices triangulares superiores

3

A=[:

-

11

B=

-3

-2

o

o

O

0

"1 1

L a matriz A es invertible, ya que sus elementos diagonales sondiferentes de cero, pero la matriz B no lo es. Se deja para el lector calcular la inversa deA aplicando el método de la sección 1.5 y demostrar que

Esta inversa es triangular superior, como garantiza el inciso d) del teorema 1.7.l . También se deja para el lector comprobar queel productoAB es -2

AB=[:

:]

-2

Este productoes triangular superior,como garantiza el inciso 6) del teorema 1.7. l . A MATRICES SIMÉTRICAS

Unamatrizcuadrada

A es simétrica si A

= A T.

Ejemplo 4 Las siguientes matrices son simétricas, ya que cada una es igual a su propia transpuesta (comprobar).

[-:-:I

-*4 -5

-3 O

:] 7

4

O

O O O

4 O O

O O

4 O

:]* O

4

98

’;

Sistemas de ecuaciones Iineales y matrices

Es fácil reconocer las matrices simétricas por inspección: Los elementos de la &agonal principal pueden ser cualesquiera, peroa s l “imágenes especulares” delos otros elementos de la matriz con respecto a la diagonal principal deben ser iguales (figura1).

Este hecho se concluye porque la transposición de una matriz cuadrada se puede efectuar al intercambiar los elementos que son simétricos con respecto a la diagonal principal. Expresado en términos de los elementos individuales, una matriz A = [a’.]es simétrica si y sólo si [a’.]= [u..]para todos los valores de i y j . Como Y Y J’ . se ilustra en el ejemplo 4, todas las matrices dlagonalesson simétricas. En el siguiente teorema se enumeran las propiedades algebraicas más importantes de las matrices simétricas. Las demostraciones son consecuenciasdirectas del teorema I .4.9 y se dejan como ejercicios.

Teorema 1.7.2. Si ,4 y B son matrices simétricas del mismo tamaño y si k es cualquier escalar, entonces: a ) A es simétrica. h ) A f B Y A - B son simétricas. c ) kA essimktrica. OBSERVACI~N. En general, no es cierto que el producto de matrices simétricas es simétrico. Para ver esto, sean A y B matrices simétricas del mismo tamaño. Entonces por el inciso 4, del teorema 1.4.9 y por la simetría se tiene

AB)^= B ~ A B~A = Como A B y BA suelen ser diferentes, se concluye que en términos generalesA B no es simétrico. Sin embargo, en el caso especial en que A B = BA, el producto AB es simétrico. Si A y B son matrices tales que A B = BA, entonces se dice que A y B conmutan. En resumen: el producto de dos matrices simétricas es simétrico si y sólo si las mafrices conmutun. Ejemplo 5 En la primera de las siguientes ecuaciones se muestra un producto de matrices simétricas que no es simétrico, y en la segunda se observa un producto de matrices simétricas que sí es sinlétrico. Se concluye que los factores de la primera ecuación no conmutan, pero que los de la segunda sí lo hacen. Se deja para el lector comprobar ambos hechos.

[::I[ -;;]=[I: :I

l .7 Matrices diagonales, triangulares y simétricas

/

99

En general, una matriz simétrica no necesariamente es invertible; por ejemplo, una matriz cuadradacero es simétrica, pero no invertible. Sin embargo, si una matriz simétrica es invertible, entonces suinversa también es simétrica. Teorema 1.1.3. Si A es una matriz simétrica invertible, entonces A" trica.

es simé-

Demostración. Suponer que A es simétrica e invertible. Por el teorema 1.4.10 y el hecho de que A = A T , se tiene

lo que demuestra queA" MATRICES DE LA FORMA A A T YA ~ A

es simétrica.

0

Los productos matriciales de la forma A A T y ATA se presentan en varias aplicaciones. Si A es una matriz m x n, entonces AT es una matriz n X m, de modo que los dos productos A A T y ATA son matrices cuadradas; la matriz A A T es de tamaño m x m y la matriz ATA es de tamaño n x n. Estos productos siempre son simétricos porque

Ejemplo 6 Sea A la matriz 2 x 3

Entonces

Observar queATA y A A T son simétricas, como era de esperarse. A

Más tarde en este texto se obtendrán condiciones generales para A bajo las cuales A A T y ATA son invertibles. Sin embargo, para el caso especial en que A es cuadrada, se tiene el siguiente resultado.

I

Teorema 1.7.4. Si A es una matriz invertible, entoncesAA y A TA también son invertibles.

EJERCICIOS DE LA S E G C I ~ N1.7

2. Calcular el producto por inspección -1

2 I

J. i,Cuiiles de las siguientes matrices son simétricas'?

5. Por lnspccctón, determinar

SI

la matriz triangular dada es invertible

6. 1:ncontrar todos los valores de a, b y

c

para los cuales A es simétrica

7

7. Encontrar todos los valores de a, b y c para los cuales A y B , ambas, no son invertibles.

8. Aplicar la ecuación dada para determinar por inspección si las matrices de la izquierda conmutar.

1.7 Matrices diagonales, triangulares y simétricas 9. Demostrar que A y B conmutan si a

- d = 7b

10. Encontrar una matriz diagonalA . que cumpla

[i -A -:] o

a) A5 =

b) A

9

0

' =[o

4

o]

0

o o

1

11. a) Factorizar A en la forma A = BD, donde D es una matriz diagonal

b) La factorización efectuada, Les la única posible? Explicar la respuesta

12. Comprobar el teorema 1.7.1b para el producto AB, donde

[-i 31, 2

A=

s

2

;

-8

;]

13. Comprobar el teorema 1.7: 14para las matricesAy B del ejercicio 12

14. Comprobar el teorema 1.7.3 para la matriz dadaA .

15. Sea A una matriz simétnca.

a) Demostrar que A' es simétnca. h) lkmostrar que 2 A 2 - 3A + I es simétrica 16. Sea A una matriz simétrica.

a) Demostrar queAk es simétrica si k es cualquier entero no negativo. b) Si p(x) es un polinomio, Les necesariamente simétricop(A)? Explicar la respuesta 17. Sea '4 una matriz triangular superior y sea p ( x ) un polinomio @(A) es necesariamente triangular superior? Explicar la respuesta. 18. Demostrar: Si ATA = A , entonces A es simétrica y A = A2

19. ;,Cuál es el número máximo de elementos distintos que puede contener simktrica de n X n?

unamatriz

I

10 1

I02

/


21. Conbaseenlaexperienciaadquiridaenelejercicio gencral que se pueda aplicar a simétrica.

una fórmula para

a i/

20, instrumentarunaprueba a fin de determinar si A = u es il

22. Una matriz cuadradaA se denomina untkimdtrica si ,4T = -A. Demostrar lo siguiente: a) Si A es una matriz antisimétrica invertible,entor-ces A" es antisimétrica. b] Si A y 4 son antisimétricas, entonces también lo son n T , A + B, A -+ B y kA para cualquier escalar k. c) roda matriz cuadrada se puede expresar como la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétnca.

23. En el texto se demostró que el producto de matrices simétricas es simétrico si y sólo s i lasmatricesconmutan. El producto dematricesantisimétricasqueconmutan, i es antisimétrico'? Explicarla respuesta.

24. Si la matriz A IZ X n se puede expresar como A = LU, donde L es una matriz triangulm inferior y li es una matriz triangular superior, entonces el sistema lineal Ax = b se puede expresar comoLUX = b y se puede resolver en dos pasos: Paso 1. Sea (:x = y, de modo que I,Cix = h se puede expresar como L y = b. Resolver este slstc~na Paso 2. Resolver el sistema U x = y para x.

En cada inciso, aplicar el método anterior de dos pasos para resolver el sistema dado 1 0 0 2 - 1 2

4

1

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1.7

I

1. IJsar eliminación de Gauss-Jordan para resolver parax' yy' en términos dex y y x = $y- &'

y = Qx' + g y t

2. lisar climinación de Gauss-Jordan para resolver parax' y y' en términos de n y y .

3. Encontrar un sistema lineal homogéneo con dos ecuaciones que no sean múltiples entre sí y tales que

1.7 Matrices diagonales, triangulares y simétricas I’ 103

x,= 1, x2 = - 1,

xj = 1,

xq

=2

Y x2 = o,

x, = 2,

x j = 3,

x4 = - 1

sean soluciones del sistema. 4. Una caja contiene en total 13 monedas distintas de 1, 5 y 10 centavos, cuyo valor total

es de 83 centavos. ¿Cuántas monedas de cada denominación hay en la caja? 5. Encontrar enteros positivos que cumplan

x+ y+

z= 9

x+5y+ 10z=44

6. ¿Para qué valor(es) de a el siguiente sistema no tiene solución, tiene exactamente una solución y tiene una infinidad de soluciones? x,

+ x2 + xj = 4 xj = 2 (a2

- 4)x,

=a-2

7. Sea

la matriz aumentada de un sistema lineal. ¿Para qué valores de a y b el sistema única? b) tiene una solución de un parámetro? a) tiene una solución c) tiene una solución de dos parámetros? d) no tiene solución? 8. Resolver para x, y y z.

+ 3zy = 8 2*y 3 g y + 2zy = 7 -xy + fi + 2zy = 4 XY -

2$

-

9. Encontrar una matrizK tal que AKB = C dado que

10. ¿Cómo se debe elegir los coeficientes a, b y

c

y],

ax+3y-cz=

8 6 -4

de modo que el sistema

a x + b L ” 3 z = -3 ”x-by+cz=

C=[

-1

-3

tengalasoluciónx= l , y = --I y z = 2 ?

11. En cada inciso, resolver la ecuación matncialparaX

6 -1

o

-6. 1

o.

104 i Sistemas de ecuaciones lineales4vmatrices

12.

a) Expresar las ecuaciones YI = y 2 y3

= =

+

x1 - x, 3x,

+

x3

x* - 4x,

-2.w, - 2x2

21

Y

+ 3x,

=

4Y, -

z* = - 3,v,

."2

+Y3

+ 5y: - y,

en las formas matriciales Y = Ry Y Z = BY. Luego, usar estas formas obtener una relación directaZ = CX entre Z y X. b) Usar la ecuación Z = CX obtenida en el inciso a) para expresarz1 y zz en términos dex1,x2yx3. c) Comprobar el resultado del inciso b) sustituyendo directamente las ecuaciones para y,, y 2 yy3 en las ecuaciones parazI y z2 y luego simplificando. 13.

Si A es m X n y B es n X p , ¿cuántasoperacionesdemultiplicación y cuintas operaciones de adición son necesarias para calcular el producto matricial AB?

14. Sea A una matriz cuadrada.

+

a) Demostrar que (I - A ) - . ' = I +- A + A' A3 si A4 = O. b)Demostrarque(/-A)"=l+A1-A2+~~~+A"siA"+'=U. 15.

Encontrar valores de u, b y c de niodo que la ghfica del polinOmio p(x) = t d t bx + z pase por los puntos ( I , 2), (- 1,6) y (2,3).

16. (Para lectofes qaeya estudiaron Cdculo.) Encontrar vaIores de a, b y c de modo que la gráfica del polinomio p(x) = a? + bx +.c pase por el punto (- 1, O> y tenga una

tangente horizontal en (2, -9). 17. Sea J, la matriz n X n integrada completamente por elementos iguales 1. Demostrar

que

18.

Demostrarquesiunamatrizcuadrada también AT cumple esta ecuación.

19.

Demostrar: Si B es invertible, entoncesAB"

A satisface A3 = B"A

+ 4A2 -

+

71,

entonces

si y sólo si AB = E4

20. Demostrar: Si A es invertible, entonces ambas A + B e I + BA" ambas no son invertibles. 21.

2A

son lnvertibles o

Demostrar que si A y B son matrices n x n, entonces a) tr(A

+ B ) = tr(A) + tr(B)

22. usar el ejercicio2 1 para AB - B A = I .

b) tr(kA) = k tr(A)

c ) tr(A ') = tr(A)

d) tr(AB) = tr(BA)

demostrar que no existen matrices cuadradas A y B tales que

dx

I . 7 Matrices diagonales, triangulares y simétricas 23. Demostrar: Si A es una matriz m

X n y B es la matriz n por elementos iguales a Un, entonces

X

1 integrada completamente

donde 7,es la media de los elementos en eli-ésimo renglón deA .

son funciones diferenciables de x, entonces se define

Demostrarquesi

los elementosde A y B sonfuncionesdiferenciablesde

x

y los

tattlaiim de a ls matrices rim tales-fpe.es posible ejecutar 1% óperaciones indi&las, entonces

a)

d dA (kA) = k dx

(b)

d

- (A

f

dA

B ) = -+

dB 1

d

(c) -(AB)

dx dx

=

dx

25. (Para kcfores que ya estudiaron CcflcurO.) Usar elincisoc)delejercicio demostrar que

+ A-dB 24

para

Escribir todas las hipótesis establecidas para obtener esta fórmula. 26. Encontrar los valores deA , B y C que hacen la ecuación x2+x-2 (3x - l)(XZ

+ 1)

-

A

+-Bx*x++ C1

"

3x

-

1

una identidad. [Sugerencia Multiplicar todo por (3x - 1)(2 + 1) e igualar los coeficientes correspondientes de los polinomios en cada miembro de la ecuación resultante]. 27. Si P es una matriz n X 1 tal que PTP = 1, entonces H = I

- 2PPT se denomina matriz de Householdet correspondiente(enhonordelmatemáticoestadunidense A. S. Householder). a) Comprobarque PTP = 1si PT = 3/4 1/61/4 5/12 5/12 y calcularlamatrizde Householder correspondiente.

I'

105

106 / Sistemas de ecuaciones linealesy matrices b) Demostrar quesi H es cualquier matriz de Householder, entonces H = HT y HTH = I. c) Demostrar que la matriz de Householder determinada en el inciso a) satisface las condiciones demostradas en el inciso b).

28. Suponiendo que las inversas indicadas existen, demostrar las siguientes igualdades.

29. a) Demostrar que si a # b , entonces

b) Usar el resultado del incisoa) para encontrar

[Nota Este ejercicio se basa en un problema de John M. Johnson, The Mathematics Teacher, Vol. 85, No. 9, 1992.1

2

CAPITULO

DETEMINANTES

2.1

LA FUNCIÓN DETERMINANTE El lector está familiarizado con funciones como Ax) = sen x y Ax) = x2, que asocian un número real A x ) aun valor realdelavariable x. Como x y Ax) aLwmensólo valoresreales, tales funciones se describencomo 'yunciones con valores reales de una variable real". En esta sección se estudiará la función determinante, que es una "$unción con valores reales de una variable matricial" en el sentido de que asocia un número real f o con una matriz X . El trabajo que se efectuará sobre funciones determinantes tendrá importantes aplicaciones en la teoría de sistemas de ecuaciones lineales y también conducirá a una ,fórmula explícita para calcular la inversade una matriz invertible.

De acuerdo con el teorema 1.4.5. la matriz

es invertible si ad - bc f O. La expresión ad - bc aparece con tanta frecuencia en matemáticas que tiene un nombre; se llama determinante de la matriz A 2 X 2, y se denota por el símbolo det(A). Con esta notación, la inversa de A se puede expresar como

I07

108

/

Determinantes

Uno de los objetivos de este capítulo es obtener fórmulas d o g a s para matrices de orden superior. Esto requerirá que se amplíe elconcepto de determinante a matricesdeorden superior. Para este fin seránnecesarios algunos resultados preliminares sobre pennutaciones. PERMUTACIONES

Definición. Una permutucidtz del conjunto de enteros { I , 2, . . . , n} es un arreglo de éstos en algún ordensin omisiones ni repeticiones.

Ejemplo 1 Existen seis permutaciones diferentes del conjunto de enteros que son

{ 1, 2, 3},

Un método conveniente para enumerar sistemáticamente las permutaciones es por medio de un árho1 de permufacianes.Este método se ilustra en el siguiente ejemplo. . .

Ejemplo 2 Enumerar todas las permutaciones del conjunto deenteros { 1, 2, 3, 4). "%jludbut, Considerar la figura l . Los cuatro puntos identlficados p z 1,-2, 3 , 4 en la parte stlperior de la figwa feptesentliil -las elecciones posibles p a a el primer

número de la permutacidn. Las tres r a m a que salen de cada uno de estos puntos representan las posibilidades para elegir la segunda posicibn en la permutación. Entonces, si la permutación empieza como (2, -, -, -), las tres posibilidades para la segunda posición son 1, 3 y 4. Las dos ramas que salen de cada punto enla segunda posición representan las elecciones posibles para la tercera posición. Así, si la permutación empieza como (2, 3, -, -), las dos elecciones posibles para la tercera posición son 1 y 4. Por último, la rama que sale de cada punto en la tercera posición representa la única elección posible para la cuarta posición. Entonces, si la permutaciónparalacuarta posición empieza como (2, 3, 4, -), la única elección para la cuarta posiciónes 1. Ahora es posible enumerar las distintas permutacionessiguiendo todas las trayectorias posiblesa lo largo del "árbol". desde la primera posición hasta la última. Por medio de este proceso se obtiene la siguiente lista.

2.1 L a funcirin determinante / 109

Apartirde este ejemplo se observa que existen 24 permutaciones del conjunto { 1, 2, 3, 4). Si se hubiera razonado como sigue, este resultado hubiera podido anticiparse sin necesidad de enumerar realmente las pcrmutaciones. Como l a primera posición puede ocuparse de cuatro formas y luego la segunda posición las dos primeras puede ocuparse de tres formas, hay 4.3 formasparaocupar posiciones. Como la tercera posición se puedeocupar entonces en dos formas, existen 4 3 2 formas para ocupar las tres primeras posiciones. Finalmente, como la última posición se puede ocupar de una sola forma, existen 4 . 3 . 2 . 1 = 24 formas de ocupar las cuatro posiciones. En general, el conjunto { 1, 2, . . . , n } tiene n(n - l ) ( n - 2). . . 2 . 1 = n! permutaciones diferentes. I

Para denotar una permutación general del conjunto (1, 2, . . . , n}, se escribirá j 2 , . . . , jn). Aquí, j , es el primer entero en la permutación, j , es el segundo, y así sucesivamente. Se &ce que en una permutación j 2 , . . . , j,) ocurreuna inversión siemprequeun entero mayor precedea uno menor. El número total de inversiones queocurrenenunapermutación puedeobtenerse como sigue: (1) encontrar el número deenteros que son menoresquejl y que están despuésde j , enlapermutación; (2) encontrar el númerode enteros queson menoresque j z y que están después de j , en la permutación.Continuar este proceso de conteoparaj,, . . . ,jn-,. La suma de estos números es el número total de inversiones que hay en la permutación.

u,,

Ejemplo 3 Determinar el númerode permutaciones: a) ( 6 , 1, 3, 4, 5, 2)

ol,

inversiones que hay en a ls siguientes b)(2,4, 1, 3)

c) (1,Z 3 , 4 )

Solucidn.

a) El número de inversiones es 5 + O + 1 + 1 + 1 = 8. b) El número deinversiones es 1 + 2 + O = 3. c) En esta permutación no hay inversiones. A

Definición. Se dice queunapermutaciónes par si el número total de inversiones es un entero par, y es impar si el número total de inversiones es un entero impar.

II O

I

Determinantes

Ejemplo 4 En la tabla siguiente, cada una de las permutaciones de { 1, 2. 3) se clasifica como par o impar.

DEFINICIóN DE DETERMINANTE

Por producto elemental de una matriz A n X n se entiende cualquier producto de n elementos de A , de los cuales ningún p a de elementosproviene delmismo renglón o de la m i m a columna. Ejemplo 5 Enumerar los productos elementales de las matrices

a)

a22 a31

032

a33

Solución de a). Como cada producto elemental tiene dos factores y cada factor proviene de un renglón diferente, entonces unproducto elemental se puede escribir en la forma

donde los espacios en blanco indican números de columna. Como ninguna pareja de factores en el producto proviene de la misma columna, entonceslos números de columna deben ser 1 2o 2 . Así. los únicos productos elementales son al ,a22 y a12a21. Solución de 6). Como cada producto elemental tiene tres factores, cada unode 10s cuales proviene de un renglón diferente, entonces unproducto elemental se puede escribir en la forma

Como ninguna pareja de factores en el producto proviene de la misma columna. entonces los niuneros de columna no tienen repeticiones; en consecuencia, deben formar una permutación del conjunto { 1, 2, 3). Estas 3 ! = 6 permutaciones producen la siguiente lista de productos elementales.

2.1 La función determinante / 1I I

Como indica este ejemplo, unamatriz A de n X n tiene n! productos j 2 , . . ,j,) elementales. Son los productos de la forma aljla2 . . . a n y , donde es una permutacióndel conjunto { 1, 2, 3, . . . , n{ Por un producto elemental con signo de A se entenderá un producto elemental aljlazj2 . un? multiplicado por +1 o por - 1. Si GI,j 2 , . . . ,Jn) es una permutación par se usa el signo +, y si (jl, j2,. . . ,j,) es una permutación impar, se usael signo - .

olT

'

'

Ejemplo 6 Enumerar todos los productos elementales con signo de las matrices

a)

['I'

b)

"I2]

aa2212

[

413 a12

a22

431

432

u33

Solución.

a)

-

Producto elementalPermutación Producto elemental asociada Par 4 ,la22

012421

o impar signo con (L2) (2, 1)

par impar

a 1la22 -a12421

h)

Ahora ya es posible definir la íünción determinante.

Definición. Sea A una matriz cuadrada. La función determinante se denota por det, y det(A) se define como la suma delos productos elementales con signo de A . El númerodet(A) se denomina determinante deA .

112

/

Determinantes

EVALUACIóN DE DETERMtNAN-

Ejemplo 7 Con referencia al ejemplo 6. se obtiene

Para no tener que memorizar estas expresiones dificiles de manejar, se sugiere usar técnicas mnemónicas que se describen en la figura 2. La primera fbrmula del ejemplo 7 se obtiene de la figura 2a al multiplicar los elementos de la flecha hacia la derecha y restar el producto de los elementos de la flecha hacia la izquierda. La segunda fórmuladel ejemplo 7 se obtiene escribiendo de nuevo las columnas primera y segunda como se muestra en la figura 26. Luego, el detenninante se calcula sumando los productos de las flechas hacia la derecha y restando del resultado la suma de los productos de las flechas hacia la izquierda.

Figura 2

a)

h)

Ejemplo 8 Evaluar los determinantes de

Solución, Con el método de la figura 2a se obtiene

det(A) = (3)( -2)

- (1)(4) = - 10

El mktodo de lafigura 26 produce det(B) = (45) + (84)

+ (96) - (105) - ( - 48) - ( - 72) = 240

A Advertencia. Se recalca que los métodos que se muestran en la figura 2 no funcionan para determinantes de matrices 4 X 4 o superiores.

2.1 La función determinante / I 1 3

La evaluación directa de determinantes a partir de la definición conduce a dificultades de cómputo. En efecto, la evaluacióndirecta de un determinante 4 X 4 podría incluiría el cálculo de 4!= 24 productos elementales consigno, y un determinante 10 X 10 incluiría el cálculo de lo! = 3 628 800 productos elementales con signo. Aplicando este método, inclusive la computadora digital más rápida es incapaz de manejar en una cantidad razonable de tiempo el cálculo de un determinante 25 X 25. Por consiguiente, gran parte del resto del capitulo se dedica al desarrollo de propiedades de determinantes, que simplficarán la evaluación deéstos. COMENTARIOS Esta secciónconcluye conalgunoscomentariossobre la terminología y la notaSOBRE LA ción. Primero, se observa que el símbolo A es otra notaciónpara det(A). Por ejemNOTACIóN Y LA plo, el determinante de una matriz de 3 X 3 se puede escribir como TERMTNOLOGÍA '13

all

a12

u13

a21

a22

a23

'31

'32

u33

Con la ultima notación, el determinante de la matrizA del ejemplo 8 se escribiría como

En términos concretos,el determinantedeunamatriz es un número. Sin embargo, se acostumbra llabusarllligeramente de la terminología y usar el término "determinante" para referirse a la matriz cuyo determinante está siendo calculado. Así, OBSERVACI~N.

se podría idenlficar como un determinante 2 x 2 y denominar 3 al elemento que está en primer renglóny en la primera columnadel determinante. Por último, se observa que el determinante de A a menudo se escribe simbólicamente como I

donde

ol,

indica que los términos deben sumarse sobre todas las permutaciones - se eligen en cada términosegún s i la permutación es par o impar. Esta notación es útil cuando es necesario recalcar la definición de un determinante.

j 2 , . . . , J n ) y los signos + o

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 2.1 I . Ihcontrar el número de inversiones que hay en cada una de las siguientes permuta-

clones de 1.2. 3 , 3 , 5 a) ( 4 1 3 5 2 ) . b ) ( 5 7 4 2 l ) . c ) ( ~ 2 5 4 l ) . d ) ( 5 4 3 2 l ) . e ) ( l 2 3 4 5 ) . f ) ( l 4 2 3 5 ) .

2. Clasilicar cada una de las pennutaciones del ejercicio I como par o impar E11 los

ejcruclos del 3 al 12, evaluar el deteminante.

3

I

-2

-1

1

2

13. 1:ncontrar todos los valorcs de ipara los cuales dct(A) = O.

14. Clasificar cada una de las permutaciones de { 1,2, 3 , 4 } como par O impar.

16. lJsar la formula obtenida en el ejercicio 15 para evaluar

-

4 - 9 9 2 5 6 1 2 -5 I -2 o

2 4 -3 -2

17. llsar la definición de deteminante para evaluar

o

o

a ) O

0 5

o o

0 0 - 3 0 - 4 o 0 - 1 O 0 2 0 0 0 0 0 0 0

18. Resolver para x.

5

0

0

0

o

o

o

0 - 4

O 0 0 0 - 2

3 0

O 1

O 0

o

o

o

b)O

I

1

O

-

3 x-5 19. Demostrar que el valor del determinante

0

2.2 Evaluación de determinantes por reducción de renglones / 11 S no depende de O 20. Demostrar que si una matriz cuadrada A tiene un renglón o una columna de ceros, entonces det(A) = O.

21. Demostrar que las matrices

conmutan si y sólo si

2.2 EVALUACI~NDE DETERMINANTES POR REDUCCI~NDE RENGLONES En esta sección se mostrará que el determinante de una matriz se puede evaluar expresando sise reducelamatriza la forma escalonada.Estemétodoes importante, ya que evita los extensos cálculos que se presentan cuando se usa la dejnición de determinante.

UN TEOREMA BÁSICO

Se empezará con unteoremafundamental sobre determinantes.

Teorema 2.2.1. Sea A una matriz cuadrada. a ) Si A tiene un renglón de ceros o una columna de ceros, entonces det@)= O. 6) det(A) = det(AT). Demostración de a). Como todo producto elemental con signode A tiene un factor decadarenglón y un factor de cadacolumna,entonces todoproducto elemental con signo tiene necesariamente un factor de un renglón cero o de una columna cero. En estos casos, todo producto elemental con signoes cero, y det(A), que es la suma de los productos elementales con signo, es cero. 0 Se omite la demostración del inciso b), pero se recuerda que un producto elemental tiene un factor de cada renglón y un factor de cada columna, de modo que es evidente que A y AT tienen exactamente el mismo conjunto de productos elementales. Mediantealgunosteoremas sobre permutaciones, cuyo análisis llevaria demasiado lejos, se puede demostrar que ,n realidad A y AT tienen el mismo conjunto de productos elementales con signo. Esto significa que det(A) = det(AT). OBSERVACI~N. Debido al teorema 2.2.lb, casi todos los teoremas sobre determinantes que contienen la palabra "renglón" en su enunciación también son

verdaderos cuando e11 VCY de "renglón" se escribe la palabra "columna". Para demostrar una proposiciorl sobre columnas, basta transponer la matriz en cuestión para convertir la proposicibn sobre columnas en una proposición sobre renglones, y luego aplicar los resultados conocidos sobre renglones. DETERMINANTES F1 sigtnicnte teorema facilita la evaluación del determinante de una matriz trianDE MATRICES gular, sin imporlar su tamaito. TRIANGULARES Teorema 2.2.2. S i -4 es una matriz triangnlar w X n (triangularsuperior, triangular inj>rior o diagonalj, pnronces dei(,4) es el producto de los elenlentos de in diagonal principal; es decir, det(;.l) a , ,a7, . . a,,,,. A fin de facilitar la notación. se demostrará el resultado para una matriz triangular inferior 4 X 4

El razonamiento en el caso general n X n es semejante. Para matrices triangulares superiores se puede obtener una demostración aplicando el teorema 2.2.lh y observando quela transpuesta de una matriz triangular superior es una matriz triangular inferior con los mismos elementos en la diagonal. Dctmstrclc~rcirldel k m m a 2.2.2 (C'nso de una matriz lrianguiar injerior de 4 X

4). El Único producto elemental de A que puede s a diferente de cero es a l la22a33a44. Para ver que así cs. considerar un producto elemental representativo ~ ~ , , a ~ , ~ n ~ , Corno a , ? = o I 3 - a14= O . se debe tenerjl = 1 a fin de tener un productoelemental diferente de cero. Si ,jl = 1. se debe cumplir que j , = 1, y-¿que ninguna pareja de factores comunes prmienc de a l misma columna. Además, como = a = O. se 24 debe tener], = 2 a fin de que el producto elementalsea d&rente de cero. Proslguicndo de esta manera se obtienejB= 3 y j , = 3. Como n1lc122a33a44 se multiplica por +I al formar el producto elemental con signo. se obtiene

Ejemplo 1

EFECTO DE LAS OPERACIONES

2 7 - 3 0 - 3 7 O O 6

8 5 7

O 0

3 1 6

0

0

9

8

0

0

0

4

= (2)( -3)(6)(9)(4)

= - 1296 A

El siguiente teorema muestra cómo una operación elemental en los renglones de una matriz afecta el valor de su determinante.

2.2 Evaluación de determinantes por reducción de renglones / 1 1 7 ~

ELEMENTALES EN LOS RENGLONES SOBRE UN DETERMINANTE

Teorema 2.2.3. Sea A una matriz n

X

n.

a ) SI B es la matriz que se obtiene cuando un solo rengldn o una sola columna de A se nrultiplica por un escalar k, entonces det(B) = k det(A). b) SI E: es la matriz que se obtiene cuando se intercambian dos renglones o dos columnas de A , entonces del@) -det(A). c ) Si B es la matriz que se obtiene cuando un múltiplo de un renglón de A .se suma a otro renglón o cuando un múltiplo de una columna se suma a otra columna, entonces det(B) = detjA). z~

Una demostración de este teorema se puede obtener usando la fórmula (1) de la sección 2.1 para calcular los determinantes que aparecen y comprobando después a ls igualdades. Se omite la demostración, aunquese proporciona el siguiente ejernplo que ilustra el teorema para determinantes3 X 3 Ejemplo 2 Relación I

Operación El primer renglón de A se multiplica pork.

d e t ( B ) = k dct (. I) u23 a22 a21 011

012

al3

a31

a32

u33

all

a12

013

= - a21

022

u23

a31

Los renglones primeroy segundo deA se intercambian.

"a3332

det ( B ) = - det ( 4)

I Un múltiplo del segundo I

all

a22

+ kkafank212a,322 3

I 'I3 'I2

-

a21 '31

a32

a33

d c t ( R ) = det(:l)

'aa222321

a3 I

a 3a23 3

renglón de A se suma al primer renglón.

118 / Determinantes OBSERVACI~N. Como se observa en la primera ecuación del ejemplo 2, a) del teorema 2.2.3 permite sacar del determinante un "factor común"

el inciso de cual-

quier renglón (o columna). DETERMINANTES DE MATRICES ELEMENTALES

Recordarqueunamatrizelemental se obtiene cuando se efectúa unasola operación elemental en los renglones de una matriz identidad; así, si en el teorema 2.2.3 se hace que A = I,,, demodo que se tiene det(A) = der(/,) = 1, entonces la matriz B es unamatriz elemental y elteoremaconduce al siguiente resultado sobre determinantesde matrices elementales. Teorema 2.2.4. Sea E una matriz elemntal n X n. a ) Si E se obtiene al multiplicar por k un renglón de In, entonces det(E) = k. b) Si E se obtiene al intercambiar dos renglones de In, entonces det(E) = -1. c) Si E . se obtiene al sumar un múltiplo de un renglón de In a otro renglbn, entonces det(E) = I . Ejemplo 3 Los siguientes determinantes de matrices elementales. que se evalúan por inspección, ilustran el teorema 2.2.4. 1 o 0 0

0 3 0 0

0 0 1 0

0 0 =3 0 1

El segundo renglón deI, se multiplicó por 3.

DETERMINANTES CON RENGLONES O COLUMNAS PROPORCIONALES

0 0 0 1 0 1 0 0 o 0 1 0

-1

1 0 0 7 0 1 0 0 0

0

1

0

=I

A

o 0 0 1 Se intercambiaron los renglones primero y liltimo de I,.

1 0 0

El liltimo renglón de I, se sumó 7 veces al primer renglón.

Si una matrizcuadrada A tiene dos renglones proporcionales, entonces sepuede introducir un renglón de ceros sumando un múltiplo adecuado de uno de los renglonesa otro renglón. Lo mismo es cierto paracolumnas.Perosumar un múltiplo de un renglón o una columna a otro renglón o a otra columna no cambia el determinante, demodoque por el teorema 2 . 2 . 1 ~se debe cumplirque det(A) = O. Esto demuestra el siguiente teorema. Teorema 2.2.5. Si A es una matriz cuadrada condos renglones o dos columnas proporcionales, entonces detjil) = O. Ejemplo 4 El siguiente cálculo ilustra la introducción de un renglón deceros cuando hay dos renglones proporcionales: 2

6

1

1

-4

0

0

0

1

4

8

veces el primero, de modo que

renglón al segundo para

4

2.2 Evaluación de determinantes por reducción de renglones

1I Y

Cada una de las siguientes matrices tiene dos renglones o dos columnas proporcionales; así, por inspección, el determinantede cada una es cero.

EVALUACI~NDE DETERMINANTES POR REDUCCIóN DE RENGLONES

A continuación se proporcionará un método para evaluar determinantes, el cual requiere sustancialmente menos cálculos que la aplicación directa de la definición de determinante. La idea del método es reducir la matriz dada a la forma triangular superior mediante operaciones elementales enlos renglones; luego, calcular el determinante de la matriz triangular superior (lo que es fácil), y, finalmente, relacionar el determinante de ésta con el determinante de la matriz original. A continuación de presenta unejemplo. Ejemplo 5 Evaluar det(A), donde o

1 -6

A=[3 2

6

5 9 1

Solucidn. A se reducirá a la forma escalonada (que es triangular superior) y se aplicará el teorema 2.2.3:

o det(A)= 3 2

1 -6 6

5 9 1

2

-6 1 6

9 5 1

1

-2

3 5 1

3 =

- O

o

= -3

1 6

2 1 =

o

-3

O

-2 1 10

3 5 -5

el

primer renglón tomando en

Se sumó -2 veces el primer renglón al tercer renglón.

-2 1 O

IO 1 =(-3)(-55)

o O

=

31 5 -551

-2 1 0

(-3)(-55)(1)=

3 5 1

165 A

en el último renglón considerando el signo del

OBSERVACI~N. El método de reducción de renglones se ajusta bien a la evaluación de determinantes por computadora, ya que es sistemático y se puede programar fácilmente. Sin embargo, en seccionesulteriores se desarrollarán métodos que a menudo facilitan los cilculos manuales.

Ejemplo 6 Calcular el determinante de

Solución. Estedeterminante se puede calcular comoyasemostró, mediante operaciones elementales en los renglones para reducir A a la forma escalonada, aunque A también se puede escribir enforma triangular inferior en un paso sumando - 3 veces la primera columna a la cuarta para obtener

Este ejemplo señala lautilidad de no perder de vista las operaciones en las columnas que pueden abreviar los cálculos. A

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 2.2 1. Comprobar que det(A) = det(A7) para

2. Evaluar por inspección los siguientes determinantes

3. Encontrar por inspección los determinantes de las siguientes matrices elementales.

2.3 Propiedades de la función determinante

I’

121

En los ejercicios del 4 al 11, evalmr el determinante de la matriz dada refiuciendo la matriz a forma escalonada. 3 6 -9 o 3 1 4. 5. [I 1 21 3 2 4

[-.;y

-;]

3a

36

[-:-; 11 [-: i -!] 1

6.

3c

3

-3

-6

7.

a+g

b+h

c+i

13. Por medio de la reducción de renglones demostrar que

ik; i 2 i 1

:2

= ( b - u)(c - a)(c - b)

14. Con un razonamiento semejante al de la demostración del teorema 2.2.2, mostrar que

;: 1

Y:l/ ;: 1

15. Demostrar los siguientes casos especiales del teorema2.2.3. kat2

‘12

&I3

all/ =kl:::

a)

‘31

‘32

a33

‘31

a22 ‘32

a22

u13

aI2

b)

u33

‘31

a32

= ‘33

-111: a31

a12

az2 ‘32

‘33

2.3 PROPIEDADES DE LA FUNCIÓNDETERMINANTE En esta sección se desarrollarán algunas de las propiedades fundamentales de la función determinante. Con el trabajo aquí realizado se adquirirán mayores conocimientos sobre la relación que hay entre una matriz cuadrada y su determinante. Una de las consecuencias inmediatasde este material es una importante prueba de determinante para lainvertibilidad de una matriz.

122 / Determinantes

PROPIEDADES SkSICAS DE LOS DETERMINANTES

Suponer que A y B son matrices n X n y que k es cualquier escalar. Se comenzará considerando posibles relaciones entre det(A), det(E) y det(U), det(A

+ B)

y det(AE)

Como del determinante puede sacarse un factor común de cualquier renglón de una matriz, y como cada uno de los n renglones de kA tiene un factor común igual a k , se obtiene

1 det(kA)

~

~~

= k"det(A)

1

Por ejemplo,

Desafortunadamente, en general no existe ninguna relación simple entre los determinantes det(A), det(B) y det(A + B). En particular, se recalca que det(A + B ) suele no ser igual a det(A) + det(B). El siguiente ejemplo ilustra este hecho.

Ejemplo 1 Considerar

A pesar deltono negativo delejemplo anterior, existe una relación importante en la que intervienen sumas de determinantes que a menudo es útil. Para obtenerla, considerar dos matrices 2 X 2 que sólo difieren en el segundo renglón:

= det a21

Asi,

+ 6 2 1a 2 2

+ 622

2.3 Propiedades de la función determinante / 123

Este es un casoespecial del siguiente resultado general. Teorema 2.3.1. Sean A , B y C matrices n X n que sólo difieren en un renglón, por ejemplo, el r-ésimo, y suponer que elr-ésimorenglónde C se puede obtener sumando los elementos correspondientes de los r-ésimos renglones de A y B. Entonces det(C) = det(4) + det(B). El mismo resultado es cierto para columnas. Ejemplo 2 Con la evaluación de los determinantes sepuede comprobar que

det

DETERMINANTE DE UN PRODUCTODE MATRICES

[

1 2 l+O

7 O 4+1

5 3 7+(-1)

] i i i] =det[

+.et[:

-:]

A

Cuando se considera la complejidad de las definiciones de la multiplicación de matrices y determinantes de una matriz, parecería improbable que exista alguna relación simple entre ellas. Es esto lo que hace tan sorprendente la sencillez del siguiente resultado. Se demostraráque si A y B sonmatricescuadradas del mismo tamaño, entonces det (AB) = det ( A ) det ( B )

(2)

Como la demostración de este teorema es bastante minuciosa, primeroes necesario desarrollar algunos resultados preliminares. Se empezará con el caso especial de (2) en que A es una matriz elemental. Debido a que este caso especial es sólo un preludio a (2), se denomina lema. Lema 2.3.2. Si B es una matriz n entonces

I

det@B)

X

=

n y E es una matriz elemental n x n, d e t p ) de@)

Demostracidn. Se considerarán tres casos, cada uno dependiendo de la operación enel renglón con quese obtiene E. Caso 1. Si E se obtiene al multiplicar por k un renglón de Zn, entonces, por el teorema 1.5.1, EB se obtiene a partir de B al multiplicar por k un renglón; así, por el teorema 2.2.3a se tiene que

det(EB) = k det(B)

I24

/

Determinantes

Pero por el teorema 2.2.4a se tiene que det(E) = k, de modo que det(EB) = det(@ det(R) ~,bsos2 y 3. Lasdemostracionesde los casos en los que E se obtiene al intercambiar dos renglones de I, o al sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón siguen el mismo patrón que el caso 1, por l o que se dejan como ejercicios.

0 OBSERVACI~N.

una matriz n

X

Por aplicaciones repetidas del lema 2.3.2 se concluye que si 5 es n y E,, E2, . . . , E,. son matrices elementalesn x n, entonces

det(E ,E,. . 3 , B ) = det(E,)det(E2). . .det(E,.)det(B)

(31

Por ejemplo. det(E,E,B)

PRUEBA DE LA INVERTIBILKDAD MEDIANTE UN DETERMINAYTE

= det(E, j

det(E,B)

= det(E,)

det(E2) det(B)

El siguiente teorema esuno de los más importantes en álgebra iineal; proporciona un criterio importante de invertibilidad entérminos de determinantes y se usará en la demostración de (2).

Teorema 2.3.3. Una matriz cuadrada A es invertible si y sólo si det(A) = O. Dernostración.

Sea R la forma escalonada reducida de A . Como paso preliminar

se demostrará quetanto det(A) como det(R)son cero o diferentes de cero: Sean E,. E2, . . , , E,. las matrices elementales que corresponden a Las operaciones elementales en los renglones con quese obtiene R a partir de A . Así,

R =E;

'

.E2E1A

y según (3),

det(R) = det(E,). . .det(E,) det(E,)det(A)

(4)

Pero por el teorema2.2.4, los determirlantes dea ls matrices elementales son Merentes de cero. (Tomar en cuenta que multiplicar por cero un renglón no es una operación elemental en los renglonespermitida de modo que k = O en esta aplicación del teorema 2.2.4.) Así, por (4) se concluye que det(A)y de@) son cero o diferentes de cero.Ahora se procederá a la partemás importante dela demostración. Si A es invertible, entonces por el teorema 1.6.4 se tiene R = I, de modo que det(R) = 1 f O y, en consecuencia,det(A) f O . Recíprocamente, si det(A) f O, entonces det(R) f O, de modo que R no puede contener un renglón de ceros. Por el teorema 1.4.3 se concluye que R = I , de modo que por el teorema 1.6.4 se tiene que A es invertible. [1

2.3 Propiedades de la funcióndeterminante / 125

Por los teoremas 2.3.3 y 2.2.5 se concluye que una matriz cuadrada con dos renglones o columnas proporcionalesno es invertible. Ejemplo 3 Como los renglones primeroy tercero de

son proporcionales, det(A) = O. Así, A no es invertible. A Ahora ya es posible abordar el resultado principal de esta sección.

Teorema 2.3.4. Si A y B son matrices cuadradasde1 mismo tamafio, entonces det(AB)

= det(A)

det(B).

Demostración. La demostración se dividirá en dos casos que dependen de si A es invertible o no lo es. Si la matriz A no es invertible, entonces por el teorema 1.6.5 tampocolo es el producto AB. Así, por el teorema 2.3.3 se tiene que det(AB) = O y det(A) = O, por tanto, se concluye que det(AB) = det(A) det(B). Ahora se supone que A es invertible. Por el teorema 1.6.4, la matriz A se puede expresar como producto de matriceselementales, por ejemplo A

= E,E,. . .E,

(5)

de modo que A B = E1E2.. .E,B

Si se aplica ( 3 ) a esta ecuación seobtiene det(AB) = det(El) det(E2) . . . det(E,.) det(B)

y aplicando (3) de nuevo se obtiene det(AB) = det(E,E2 . . . E,.) det(B) que, según (5), se puede escribir como det(AB) = det(A) det(B) Ejemplo 4 Considerar las matrices

Se deja al lector comprobar que det(A) = 1 det(B) = -23 y det(AB)

=

-23

0

126

,/

Determinantes

Así, det(AB) = det(A) det(B), como garantiza el teorema 2.3.4. A El siguiente teorema proporciona una relación útil entre el determinante de una matriz invertible y el determinante de su inversa.

I Teorema 2.3.5. Si -4 es invertible, entonces det(A") = -

Denrosfración. Como A "A = I, se concluye que det(A "A) = det(r). Por consiguiente, se debe tener que det(A -I) det(A) = 1. Como det(A) = O, la demostración puede completarse dividiendo entre det(A). 0

SISTEMAS LINEALES DE LA FORMA A x = Ax

Muchas aplicaciones del álgebra lineal están relacionadas con sistemas ecuaciones lineales en n incognitas que se expresan como A x = Ax

de n

(6)

donde A es un escalar. Estos sistemas son realmente sistemas lineales homogéneos encubiertos, ya que (6) puede escribirse de nuevo como x - A x = O o, insertando una matriz identidad y factorizando. como (dI-A)x=O

(7)

A continuación se proporciona un ejemplo.

Ejemplo 5 El sistema lineal x, + 3x, 4x, 42x,

puede escribirse en forma matricial como

que es de la forma (6) con

Este sistemapuede volver a escribirse como

=

Ax,

=

Ax2

2.3 Propiedades de ¡afunción determinante / 127 O

A[:

;I[:] [::I[:] [:I -

=

que es de la forma(7) con

AI-.=[

A-- 4 1

a-- 32 ]

El problema de interés esencial ensistemas lineales delaforma (7) es determinar los valores de para los cuales el sistema tiene una solución no trivial; ese valor de A se denomina valor característico o eigenvalor' de A . Si l e s un eigenvalor de A , entonces las soluciones no triviales de (7) se denominan eigenvectores de A correspondientes a A. De acuerdo con el teorema 2.3.3 se concluye que el sistema ( I - A)x = O tiene una soluciónno trivial si y sólo si

Idet(lI-A)=O

I

ÉSta se denomina ecuacidn característica de A ; los eigenvalores de A se pueden encontrar resolviendo esta ecuación para l. Los eigenvalores y los eigenvectores se estudiarán denuevo en otros capítulos, donde se analizará su interpretación geométrica y se desarrollarán sus propiedades conmayor profundidad.

Ejemplo 6 Determinar los eigenvalores y los eigenvectores correspondientes de la matriz A del ejemplo 5. Solución. La ecuación característica de A es

*La palabra elgenvalor es una combinación de alemán y espaiiol. El prefijo alemán ergen puede traducirse como"propio",queresulta de l a s antiguaspublicacionesen l a s que l o s eigenvalores se conocíancomo valores proplos; también se denominan raices latentes.

O

/2*-3a-

lo=o

La forma factorizada de esta ecuaciónes (A + 2)(A - 5 ) = O, demodoquelos eigenvalorcs deA son A = - 2 y A = 5 , Por dcfinición,

es un eigenvectorde decir.

Si A

=

4. si y sólo si x es una solución no trivial de ( I1 - A)x = O; es

-2, entonces (9) se convierte en

Al resolver este sistema se obtiene (comprobar) x 1 = - t , x2 = 1

de modo que los eigenvectorescorrespondientesa diferentes de cero de la forma

A

=

-2 son las soluciones

(9), los eigenvectores de '4 correspondientesa A Denuevopor solucioner no triviales de

= 5

son las

Se deja que el lector resuelva este sistema y demuestre que los eigenvectores de A correspondientes a A = 5 son las soluciones diferentes de cero de la forma

RESUMEN

En el teorema 1.6.4 se mencionaron cinco resultados que son equivalentes a la invertibilidad de una matriz A . Esta sección termina con la inclusión del teorema 2.3.3 enesa lista para obtener el siguiente teoremaque relaciona los temas primordiales que se han estudiado hasta ahora.

2.3 Propiedades de lafunción determinante / 129

Teorema 2.3.6. Si A es una matriz n X n, entonces las siguientes proposiciones son equivalentes. a ) A es invertible. b ) Ax = O sólo tiene la solución trivial. c ) La forma escalonada reducida de A es I,,. d) A se puede expresar como un producto de matrices elementales. e ) A x = b es consistente para toda matriz b n X 1. fi Ax = b tiene exactamente una solución para toda matriz b n X 1. g ) det(A) = O.

EJERCICIOS DE LA S E C C I ~ N2.3 1. Comprobar que det(kA) = k" det(A) para

2. Comprobar que det(AB) = det(A) det(B) para

[a

.-[i

2 1 0

A=

y

-1

I

i]

3. Por inspección, explicar por qué det(A)= O

-

2

4

8

-6

1

4

4

-3

4. Con el teorema 2.3.3, determinar cuáles de las siguientes matrices son invertibles

5. Sea

Suponiendo que det(A) = -7, determinar a) det(3A) b)

det(A")

c) det(2A")

6. Sin evaluar directamente demostrar quex = O y x = 2 satisfacen

130

,I

Determinantes

7. Sin evaluar directamente, demostrar que

lin los ejercicios del 8 al 1 1. demostrar la identidad sin evaluar los determinantes

12.

;t'arira qui valor(es) de k se cumple que A 110 es invertible?

13. Con el teorema 2.3.3. demostrar que

p

sen' y

cos2 a c o s ' p

cos2 y

sen1 (Y

210

sen '

es mvertible para cualesquieravalores de (x,

fi,

y y

14. k p r e s a r los siguientes sistemas lineales en la fonna ( I - A)x = O . a) .Y, + 2.r, = AX, h) 3.r, = A.vl c) 3 . ~ , .y2 = d.Yl 23, .xz = A.Y, 4s, 3Sl = Ax2 - 5.r, - 3.r, = ax,

+

+ +

+

15. Para cada uno de los sistemas del ejerclcio 14, encontrar

a) la ecuación característica, b) los eigenvalores, > c) los eigenvectores correspondientes a cada uno de los eigenvalores.

2.4 Desarrollo por cofactores; regla de Cramer / 13I 16. Sean A y B matrices n det(A"BA).

X

n. Demostrar que si A es invertible, entonces det(B) =

17. a)Expresar a, a,

+ b,

+ b,

c, + d l c,

+ d,

como una suma de cuatro determinantes cuyos elementos no contengan sumas. b) Expresar

+ bl CI + d l + 6 2 c2 + d2 a3 + b3 c3 + d3 a1

el

+fl

a2

e2

+f 2

e3

+f 3

como una suma de ocho determinantes cuyos elementos no contengan sumas. 18. Demostrar que una matriz cuadrada A es invertible s i y sólo si ATA es invertible. 19. Demostrar los casos 2 y 3 del lema 2.3.2.

2.4 DESARROLLO POR COFACTORES; REGLA DE CRAMER ~

~~

En esta sección se considerará un método para evaluar determinantes que es útil en la realización de cálculosmanuales y revisteimportanciateórica.Como consecuencia del trabajo aquí efectuado, se obtendrá una fórmula para calcular la inversade una matrizinvertible, así comouna fórmula para encontrarla solución de ciertos sistemade ecuaciones lineales en términos de determinantes.

MENORES Y COFACTORES

Definición. Si A es una matriz cuadrada, entoncesel menor del elementoai se denota por M,, y se define como el determinante de la submatriz que queda después de q6itar el i-ésimo renglón y laj-ésima columna de A . El número (- l)'+JM,,se denota por C,, y se denomina cofactor del elementou..

Ejemplo 1 Sea A=[:

El menor del elemento a l l es

; i] 1

-4

?32

1)etermlnante.s El cofactor de

I

es

De manera scmejante,el menor del elemento a32es

M;2

3

1

= 2

S

4 6

1

4

8 =

;1

=26

el cofactor de a32cs

Observar que el cofactor y el menor de un elemento al, sólo difieren en el signo; es decir, C,j = "".4u. Una manera rápida para determinar si se usa el signo + o el signo - es aplicar el hecho de que el signo que relaciona Cy con M está en el iu Csimo renglón y en lajCsima columna del arreglo en forma de "tablero de ajedrez"

...

DESARROLLOS

Considerar la matrizgeneral 3

POR COFACTORES

X

3

-[." ;;; %J a,,

-4

013

En el ejemplo 7 de la sección 2.1 se demostró que

2.4 Desarrollo por cofactores; regla de Cramer i 133

Debido a que las expresiones entre paréntesis son justamente los cofactores Czl y C31(comprobar), se tiene que

c,,.

La ecuación (2) muestra que el determinante de A se puede calcular multiplicando los elementosde la primeracolumna de A por sus cofactores y sumando los producto resultantes. Esta forma de evaluar det(A) se denomina desarrollo por cofactores a lo largo de la primera columna deA .

Ejemplo 2 Sea

A=

Evaluar det(A) por desarrollo por cofactores a lo largo de la primera columna de A. Solución. Por (2), se tiene que

=3(-4)-(-2)(-2)+5(3)=

-1

A

Reordenando los términos de (1) de vanas formas, es posible obtener otras fórmulas como (2). No debe haber ningún problema en la comprobación de que todas las siguientes igualdades son correctas (véase el ejercicio 28):

Como en cada ecuación todos los elementos y los cofactores provienen del mismo renglón o de la misma columna. Estas ecuaciones se denominan desarrollos por cofactores de det(A). Los resultados que acaban de proporcionarse para matrices 3 x 3 constituyen un caso especial del siguiente teorema general, que se enuncia sin demostración,

I34

1'

Determinantes

Teorema 2.4.1. El determinante de unamatriz A n x n se puede calcular multiplicando los elementos de cualquier renglón (o de cualquier columna) por sus cofactores y sumando los productos resultantes; es decir, para cada I i n y I j n, se tiene que

I

t

det(A) = aljClj+ + -.. +aniCnJ (Desarrollo por cofuctores a lo largo de la j-ésima columna)

det(A) = a,lC,l + +anJCnj (Desarrollopor cofdores a lo largo delié.&no renghjn)

I

I

I

Ejemplo 3 Sea A la matriz del ejemplo 2. Evaluar det(A) mediante desarrollo por cofactores a lo largo del primer renglón. Solución.

=3(-4)-(1)(-11)+0=

-1

Esto concuerda con el resultado obtenido en el ejemplo 2. A En este ejemplo no fue necesario calcular el último cofactor, ya que se multiplicó por cero. En general, la mejor estrategia para evaluar un determinante melante cofactores, hacer el desarrollo a lo largo del renglón o la columna que tengael mayor número de ccros. OBSERVACI~N.

El desarrollo por cofactores y las operacionesen los renglones o en las columnas se pueden combinar algunas veces para obtener un método efectivo de evaluar determinantes. Elsiguiente ejemplo ilustra esta idea. Ejemplo 4 Evaluar det(A), donde

A = [ l3

-2

-1 2 3

1 5

:I 53

2.4 Desarrollo por cofactores; regla de Cramer 1 I35

Sumando múltiplos idóneos del segundo renglón a los demás renglones se obtiene

Soluci&.

det(A)

=

0 - 1 1 2 0 0 O 1

1 1 3 8

3 1 3 0

-

-1

1

3

-

"

o 9 3 Desarrollo por cofactores a lo largo de la primera columna.

=

-18

A

En un desarrollo por cofactores,det(A)secalculamultiplicando los elementosde un renglón o una columna por sus cofadoresysumandolosproductosresultantes.Resulta que si los elementos de cualquierrenglón se multiplican por loscofactores correspondientes de un renglón dijerente, la suma de tales productos siempre es cero. (Este resultado también se cumple para columnas.) Aunque se omite la demostración general, el siguiente ejemploilustra la idea de la demostración en un caso especial.

ADJUNTA DE UNA MATRIZ

Ejemplo 5 Sea

Considerar la cantidad

que se forma al multiplicar los elementos del primer renglón por los cofactores de los elementoscorrespondientesen el tercer renglón y sumar los productosresultantes. A continuación se demostrará queesta cantidad es igual a cero mediante la sigwente regla práctica. Obtener una nueva matriz A' sustituyendo el tercer renglón de A por el primer renglón. Así,

- . ,

..

. ,

.

I36

/

Determinantes

Sean C',,, C3*.C,,loscofactoresde los elementos del tercer renglón de A'. Como los dos primeros renglones de A y A' son iguales, y dado que en el cálculo de C31,C32,C33,C',,, C,,y C',3 sÓ10 intervienen elementos de los dos primeros renglones de A y A', se concluye que

Como A' tiene dos renglones idénticos, det(A') = O

Por otro lado, al evaluar det(A') por desarrollo por cofactores a lo largo del tercer renglón se obtiene

Por (4) y (5) se obtiene

Definición. Si A es cualquier matriz n la matriz

X

n y C,, es el cofactor de ai/, entonces

sedenomina matriz de cofactores deA . Latranspuesta denomina adjunta A dey se denota por adj(A).

Ejemplo 6 Sea

2

Los cofactores de A son

-4

o

de esta matriz se

2.3 Desarrollo por cofactores; regla de Cramer 1 13 7 C,, = 6

C,, = 12 c,, = 4 C, = 12

C,, = - 16

c,, = 2 C, =

-

C, = 16

10

C,, = 16

de modo que la matrizde cofactores es

y la adjunta de (A) es

adj (A) =

[

12 6

-16

4 2 16

-:"I

A

16

Ahora ya es posible obtener una fórmulapara la inversa de una matriz invertible. FÓRMULA PARA LA INVERSA DE UNA MATRIZ

Teorema 2.4.2. Si A es una matriz invertible, entonces

(6)

Demostración.

Primero se demostraraque A adj(A) = det(il) I

138

Determinantes

(véame los renglones sombreados en las dos matricesanteriores). Si i = j , entonces (7) es el desarrollo por cofactores de det(A) a lo largo del iésimo renglón deA (teorema2.4.1), y si i = j , entonces las letras a y los cofactores provienen de renglones diferentes de A . de modo que el valor de (7) es cero. En consecuencia. det(A)

O

A adj(,4)=[

...

O

...

o

" '

]=det(A)I

(8)

det(A) Dado que A es invertible, det(A) escribirse como 1

det ( A )

=

O. Por tanto, la ecuación (8) puede volver a

[ A adj(A)] = I

O

[

.4 detiAj adj(A)

1

=I

Multiplicando por la izquierdaambos miembros porA A - 1 =~ 1 adj(A) det ( A )

-',se obtiene

0

Ejemplo 7 Por medio de (6), encontrar la inversa de la matrizA del ejemplo 6. Solución. El lector puede comprobar que det(4

1 r

= 64. Así,

12 adj(A) = 6 i4 det ( A ) -16

A ~ -=1

APLICACIONES DE LA FóRMULA DE LA ADJUNTA PARA LA INVERSA

I

4

2 16

12- 10 16-

Aunque el método del ejemplo precedente es razonable para invertir manualmente matrices 3 X 3, el algoritmo de inversión que se analizó en la sección 1.5 es más eficaz para matrices más grandes. Sin embargo,debe tenerse en cuenta que el método de la sección 1.5 es sólo unprocedimientodecómputo,mientras quela fórmula (6) es una fórmula real para encontrar la inversa. Como se verá a continuación, esta fórmula esútil para obtener propiedades de inversa. la En la sección 1.7 se establecieron sin demostración dos resultados sobre inversas.

2.4 Desarrollo por cojactores; regla de Crawler

139

Teorema 1 . 7 . 1 ~ :Una matriz triangular es invertible si y sólo si todos sus elementos diagonalesson diferentes de cero. Teorema 1.7.ld: La inversa de una matriz triangular inferior invertible es triangular inferior, y la inversa de una matriz triangular superior invertible es triangular superior. Estos resultados se demostrarán a continuación usando la fórmula de la adjunta para la inversa. Demostración del teorema 1.7.I C . Sea A sus elementos diagonalesson

=a r/

una matriz triangular, de modo que

Por los teoremas 2.2.2 y 2.3.3, la matriz A es invertible si y sólo si det(A) = a 1 1 u 2 2... annf O

que es verdadero si y sólo si todos los elementos de la diagonal son diferentes de cero. 0 Se deja como ejercicio para el lector usar la fórmula de la adjunta de A" parademostrarque si A = aiJ esuna matriz triangular invertible, entonces los elementos diagonalessucesivos de A - son

(Véase el ejemplo 3 de la sección 1.7.) Demostración del teorema I . 7.Id. El resultado se demostrará para matrices triangulares superiores y se dejará como ejercicio el caso para matrices triangulares inferiores. Suponer queA es triangular superior e invertible. Como

se puede demostrar que A-' es triangular superior puede probarse probando que adj(A) es triangular superior o, equivalentemente, que la matriz de cofactores es triangular inferior. Lo anterior se puede lograr demostrando que todo cofactor C: iJ con i < j (es decir, arriba de la diagonal principal) es cero. Como

ciJ= ( -

i);+jM. 'J

140

/'

Determinantes

basta demostrar que cada menor My con i
(9)

A partir de la hipótesis que i < j. se concluye que Bq es triangular superior (ejercicio 32). Como A es triangular superior, su (i + I)-ésimo renglón comienza con por lo menos i ceros. Pero el i-ésimo renglón de B, es el (i + 1)-ésimo renglón de A sinel elementodelaj-ésimacolumna. Ya que i < j, ninguno delos i primeros ceros se elimina quitando la j-ésima columna;así, el i-ésimo renglón de B comienza con por lo menos i ceros, lo cual indica que este renglón contiene un i/ cero en la diagonal principal, Ahora,por el teorema 2.2.2 se concluye que det(BJ = O, y por la expresión (9) se concluye que M,] = O . O

REGLA DE CRAMER

El siguiente teoremaproporcionaunafórmula útil paralasolución de ciertos sistemas lineales de n ecuaciones con n incógnitas. Estafórmula,denominada * re@ de Cramer , es de interés marginal para efectos de cómputo, aunque es útil para estudiar las propiedades matemáticas de una soluciónsin necesidad de resolve< el sistema

Teorema 2.4.3. (Regla de Crumer). Si Ax b es un sistema de n ecuaciones lineales con n incdgnitas tal que det(A) = O, entonces la solución del sistema es única. Esta solucidn es rz

donde 4 . J es la matriz que se obtiene al sustituir los elementos de la j-&into columna de A por los elementos de la matriz

*Gabriel Cramer (1704-1752), matemático suizo. Aunque Cramer no está considerado al lado de los grandes matemáticos de su tiempo, sus contribuciones como diseminador de las ideas matemáticasleganaron un bienmerecidolugar en lahistoriadelasmatemáticas.Cramerviaj6 bastante y conoció a muchos de los grandes matemáticos de su época. Estos contactos y amistades condujeron a una correspondencia abundante a través de la cual se difilndia la informacibn snbrt nuevos descubrimientos matemáticos.

2.4 Desarrollo por cofactores; regla de Crarner / 141

Demostración. Si det(A) = O, entonces A es invertible y, según el teorema 1.6.2, x = A"b es la única solución de Ax = b. En consecuencia,por el teorema 2.4.2 se tiene

x=A"b=-

1 adj (A)b = det (A) det (A)

Multiplicando las matrices se obtiene

Por consiguiente, el elemento en elj-ésimo renglónde x es x, =

b l C , , + h2C,, f . .

. + b,Cn,

det (A)

Ahora, sea

Como Al difiere de A sólo en laj-ésima columna, se concluye que los cofactores de los elementos b,, b2, . . . , b,, en A son los mismos que los cofactores de los ele1 mentos correspondientes en la j-&ma columna de A . En consecuencia, el desarrollo por cofactores de det(A)a lo largo de laj-ésima columna es det(A,)

= b,C,,

+ b2CZj+ . . . + b,C,,

El trabajo más conocido de Crarner, Introductron ir l'analyse des lrgnes courbes algébnques (1750), es un estudio y una clasificación de las curvas algebraicas; la regla de Cramer apareció enel apéndice.Aunquelareglalleva su nombre,variantesdelaideabásicafueron planteadasantes porotrosmatemáticos.Sinembargo,lanotaciónsuperiordeCramerayudóa aclarar y popularizarla técnica. El exceso de trabajo, combinado con una caída de un carruaje, provocaron su fallecimiento en 1752. Aparentemente,Cramererauna persona de buencorazón y agradable,aunquenunca contrajo matrimonio. Sus intereses eran amplios. Escribió sobre filosofía de las leyes y del gobierno, y sobre la historia de las matemáticas. Trabajó en una oficina pública, participó en la artillería y en actividades de fortificaciones para el gobierno, instruyó a trabajadores sobre técnicas de reparación de catedrales y efectuó excavaciones de archivos catedralicios. Cramer recibió numerosos honores por sus actividades.

112

Determinantes

Sustituyendo este resultado en (10) se obtiene det (Ai) .Y

n '=det(A)

Ejemplo 8 Aplicar la regla de Cramer para resolver

x, + -

3x,

-.Y,

+ 2x,

= 6

+ 4 . +~ 6x3 ~ = 30 2 s 2 + 3x, = S

-

Solucibn.

Por consiguiente. ~1="-

x3="

dCt(A,) - -40 -10 44 - 11' det ( A ) det(.4,)

-

152 - 38 A 44 11

.x2=--

det(A,) det(A)

-

72

18

44

11'

"-

"

det(A) OBSERVACION. Para resolver un sistema de n ecuaciones con n incógnitas mediante la regla de Cramer, es necesario evaluar n + 1 determinantes de matrices n x n. Para sistemas con más de tres ecuaciones, la eliminación gaussiana es bastante más eficaz, ya que sólo es necesario reducir una matriz aumentada n X (n + 1). Sin embargo, la regla de Cramer proporciona una fórmula para la solución si el determinante de la matriz de coeficientes es diferente de cero.

EJERCICIOS DE LA S E C C I ~ '2.4 ;~ 1. Sea

2. Sea 4 - 1

A=

o

I 6 0 - 3 3

4

1

O 1 4

4

1

3

2

2.4 Desarrollo por cofactores; regla de Cramer / 143

3. Evaluar el determinante de la matriz del ejercicio 1 por desarrollo por cofactores a lo largo de l o siguiente: b) Laprimeracolumna. a) Elprimerrenglón. d) La segunda columna. e)' El tercer renglón.

c) El segundo renglón. f) La tercera columna.

4. Para la matriz del ejercicio 1, encontrar

a) adj(A). b) A"

usando el teorema 2.4.2

En los ejercicios del 5 al 10, evaluar det(A) mediante desarrollo por cofactores a lo largo de un renglón o una columna que el lector elija.

5. A = [

-3 2

o

7

5

I]

-1

o

5

-:-!] 3

tí. A = [ :

5 O

10. A =

2

En los ejercicios del 11 al 14, encontrarA"

3

-:-: :] A -:] 2

11. A = [

2 13. A = [ :

5

-3

12. A = [

por medio del teorema2.4.2.

-: -: 2

5

14. A = [

21

0

0

15. Sea 1 A=[;

1

3

1

1

3

2

2

: '8 i]

a) Evaluar A" usando el teorema 2.4.2. b) Evaluar A" con el método del ejemplo 4 de la sección1.5. c) ¿Cuál método requiere menos cálculos?

1: 4

0

0

1

i -!

2

2

4

2

0

144

'

Determinantes

En los ejercicios del I6 al 2 l . obtener la solución usandola regla de Cramer cuando sea aplicable. 16. 7 x , - 2 ~ =, 3 3.x, x? = 5

17.

+

19.

x,

2s, 41-I

-

3.x2

+ x, =

-

.x2

= -

4x

+ 5y

=2

18.

Ilx+ y+22=3

3x, =

+ 5y + 2z = 1 -.x1 - 4x, + 2 s , + .xj = -32 2x, - .x2 + 7x3 + 91, = 14 -x, + X2 + 3x, + Xq = 1 I XI - 2s2 + - 4x, = - 4 x

4

20.

-2

o

21.

x - ~ J + Z= 6 4x- y + 2 2 = - 1 2x + 2.v - 32 = -20

3x, -x,

2x1

-

x*

+ 7x,

+ "

+ 6x2 -

xi = 4 2x, = I X.,

x i

22. Ilemostrar que la matriz cos H

sen H

co;H

.-[:O

y] O

cs invertible para todos los valores de d; luego, encontrarA" 23. Apllcar la regla de Cramer parahallary sin resolver parax, z y

4x+ v +

z t u'=

6

3x+7.v-

z+

M'=

1

usando el teorema 2.4.2 MJ

71-+3y-5z+8U.= -3 St y +

2+2w=

3

24. Sea A x = b el sistema del ejercicio 23. a ) Resolver aplicando la regla de Cramer. b) Obtener la solución por eliminación de Gauss-Jordan. c) ¿,Cuál mktodo requiere menos cálculos? 25. Demostrar que si d 4 4 ) = 1 y todos los elementos de A son enteros, entonces todos los

elementos deA " son enteros. 26. Sea A x = b un slsterna de tz ecuaciones lineales con n incógnitas, coeficientes enteros y constantes enteras. Demostrar que si det(A) = 1, la solución x tiene elementos enteros. 27. Demostrar que si 11 es una matIiz triangular inferior invertible, entonces A -I gular mferior.

es trian-

28. Obtener los desarrollospor cofactoresprimero y último que se enumeran en la fórmula (3). 29. Demostrar: La ecuación de la recta que pasa por los puntos distintos ( a , ,b , ) y (a2,b z ) se puede escribir como

30. Demostrar: (x,, yl), (x2,y ? ) v (x3,y,) son puntos colineales si y sólo si

=5

Ejercicios complementarios 31. Demostrar: La ecuación del plano que pasa por (a,, b,, cz) y

x

y

b, a2 b2 a3 b3 a1

los puntos no colineales

( a , ,b , , c , ) ,

(u3,b,, c3)se puede escribir como z

l

CI

1

c2

1

c3

1

=O

32. Demostrar que si A es triangular superior y B . . es la matriz que se obtiene cuando se 2/ eliminan el i-ésimo renglón y la j-ésima columna de A , entonces B . . es triangular r/ superior SI i
I EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1. Con la regla de Cramer, resolver para x’ y y’ en términos dex y y .

2. IJsar la regla de Cramer para que x’ y y’ queden expresadas entérminos de x y y

x=x’cosO-y‘sen0 y=x’senO+y’cosO 3. Analizando el determinante de la matriz de coeficientes, demostrar que el siguiente sistema tiene una solución no trivial si y sólo si CY = p. x+

y+m=o

x+

y+pz=o z=o

ffx+py+

4. Sea A una matriz 3 X 3, cada uno de cuyos elementos es 1 6 O. ¿Cuál es el máxuno valor posible deA ?

figura 1 que se muestra a continuación,

5. a) Para el tnángulo de la

para demostrar que bcosy+ccosp=a c

cos

a cos

CY

+ a cos y = b

p + b cos CY = c

y luego aplicar la regla de Cramer para demostrar que cos

CY

=

b2

+ c2 - a2 2bc

usar trigonometria

/’

145

b) Con a l rcgla de Crarner obtener fórmulas semejantes para cosp y cos y.

6. Por medlo de determinantes, demostrar que para todos los valores reales de jl la única solución de x - 2-v = Lx x-

v

=

A.v

7. Demostrar: SiA es invertible, entonces adj(A) es mvertibley

'

1

[ adj ( A ) ] - = A det (A) 8. Demostrar- Si A es una matriz n X

11,

= adj ( A - I )

entonces det [adj(A)] = [det(A)] '-l.

10. a) En la figura 2 que se muestra a contmuacion,

el área del triángulo ABC se puede

expresar como

IJsar Csto y el hechode que el área de un trapezoidees igual a 1/2 delaaltura multiplicada por la suma delos lados paralelos, para demostrar que

[Notu En la obtención de esta fórmula, los vtrtices se identifican de modo que el triángulo se traza en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj procediendo de ( x , ,y , ) a (x?,y 2 ) a (x3, ,y3). Para una orientación en el sentido del movimiento de las nmnecillas del reloj, el determinante anterior produce el negutivo del área.] b) Usar el resultado del inciso a), para determinar el área del triángulo con vkrtices ( 3 , 31, (4, O), ("2, - 1).

Ejercicios complementarios / 147

Figura 2

D

E

F

11. Demostrar: Si la suma de los elementos en cada renglón de matriz una A n X n es cero, entonces el determinante deA es cero. [Sugerencia Considerar el producto M, donde X es la matriz n X 1 cuyos elementos son iguales a 1.]

12. Sean A una matriz n x n y B la matriz que se obtiene cuando los renglones de A se escriben en orden invertido. ¿Cómo están relacionados det(A) y det(B)? 13. ¿Cómo se afecta A ” si

a) se intercambian los renglones i-ésimo yj-ésimo de A? b) el i-ésimo renglón de A se multiplica por un escalar c diferente de cero?; c) el i-ésimo renglón de A se suma c veces alfésimo renglón? n . Suponer que B , se obtiene al sumar el mismo número ta cada elemento en el z-ésimo renglón de A , y que B, se obtiene al restar t de cada elemento en el z-ésimo renglón de A . Demostrar que det(A)= 112 [det(B,) + det(BJ1.

14. Sea A una matriz de n X

15. Sea

.=[a,;;j u12

u13

a) Expresar det(1Z - A ) como un polinomiop(A) = ,I3 + bL2 + d + d. b) Expresar los coeficientes b y d en términos de determinantesy trazas 16. Sin evaluar directamente el detexminante, demostrar que

+

sen ct cos a sen ( a 6) s e n p cos sen ( p + S) = 0 s e n y cos y s e n ( ? + 6) 17. Usar el hecho de que 21 375, 38 798, 34 162, 40 223 y 79 154 son, todos, divisibles

entre 19 para demostrar que 2 3 3 4 7

1 8 4 0 9

3 7 1 2 1

7 9 6 2 5

5 8 2 3 4

I48

Determinantes

cs divisiblc entre 19 sin evaluar directamente el determinante

CAPhULO

3

VECTORES EN LOS ESPACIOS BIDIMENSIONAL Y TRIIDIMENSIONAL Los lectores familiarizados con el contenido de este capítulo pueden omitirlo y pasar al capítulo 4 sin pérdida decontinuidad.

3.1

INTRODUCCI~NA LOS VECTORES (GEOMÉTRICA) ~~~~~~~

~~~~~

~

~

~~~~~~

~~

~

~

Muchas cantidades fisicas, como área, longitud,masaytemperatura quedan descritas una vez que se conoce la magnitud de la cantidad. Esas cantidades se denominan escalares. Otras CantidudesJsicus, denominadas vectores, no quedan determinadas sino hasta que se especijkan una magnitud y una dirección. Un caso sería la descripción del movimiento del viento que suele hacerse dando su rapidez y dirección, por ejemplo 20 kph noreste. La rapidez y la dirección del viento constituyen una cantidad vectorial denominada velocidad del viento. Otros ejemplos de vectores son la fuerza y el desplazamiento. En esta sección se hará unapresentacióngeométrica de los vectores en los espacios bidimensional y tridimensional, se definirán las operaciones aritméticas con vectores y se establecerán algunas propiedades básicasde estas operaciones.

VECTORES GEOMÉTRICOS

Losvectoressepuedenrepresentargeométricamentecomosegmentosde recta dirigidos o flechas en el espacio bidimensional o en el espacio tridimensional; la dirección y la longitud de la flecha especifican, respectivamente, la dirección y la magnitud del vector. La cola de l a flecha se denomina punto inicial del vector y lapunta, puntoterminal. Losvectores se denotarán conminúsculas negritas (por ejemplo, a, k, v. w y x). Cuando se analizan vectores, los números se denominan escalares. Todos los escalares serán números reales y se denotarán por minúsculas cursivas (porejemplo,, a, k, v, w y x), 149

150 / Vectores en los espacios bidilnensional y tridimensional Si,comoen la figura l a , el punto inicial deun vector v es A y el punto terminal es B. se escribe -4

v=AB

a)

Figura 1

E

b)

l

Vectores equivalentes

Los vectores con la misma longitud y dirección, como los de la figura l b , se denominan equivalentes. Como se quierequeunvectorquededeterminado solamente por su longitud y su dirección, los vectores equivalentes se consideran como iguales aun cuando puedanestar ubicados en posiciones diferentes. Si v y w son equivalentes, se escribe v=w

Definición. Si v y w son dos vectores cualesquiera, entonces la suma v + w es el vector determinado como sigue: El vector w se coloca de modo que su punto inicial coincida con el punto terminal de v. El vector v + w se representa por la flecha que va del punto inicial de v al punto terminalde w (figura 2a). En la figura 26 se han construido dos sumas, v + w (flecha blanca) y w + v (flecha negra). Resulta evidente que v+w=w+v y que la suma coincide con la diagonal del paraleiogramo determinado por v y w cuando estos vectores se colocan de modo que tienenel mismo punto inicial. El vector de longitud cero se denomina vector cero y se denota porO. Se define O+v=v+O=v

para todo vector v. Como para el vector cero no existe ninguna dirección natural, se acuerdaque es posible asignarle cualquier dirección convenientepara el problema en cuestión.

Si v es cualquier vector diferente de cero, entonces "v, el negutivo de v, sc define como el vector que tiene la misma magnitud quev, pero dirección opuesta (Figura3).

Figura 3

IEl negativo de v tiene la m i s m a longitud que v, pero su direcciónes opuesta. I Este vector tiene la propiedad v+(-v)=O (¿Por qué?) Además, se define -O sigue.

= O.

La sustracción de vectores se define como

Definición. Si v y w son dos vectores cualesquiera, entonces la dijierenciu de w con respecto a v se define como

v-w=v+(-w)

Para obtener la diferencia v - w sin construir "w, v y w se colocande modo que coincidan sus puntos iniciales; entonces, el vector del punto terminal de w al punto terminalde v es el vector v - w (figura 46).

Definición. Si v es un vector diferente de cero y k es un número real (escalar) diferente de cero, entonces el producto kv se define como elvectorcuya longitud es I k [ veces la longitud de v y cuya dirección es la misma que la de v si k > O y es opuesta a la dev si k O. Si k = O o v = O, se define kv = O.

En la figura 5 se ilustra la relación entreun vector v y los vectores T1 V , (- l)v, 2v y (-3)v. Observar que el vector (- I)v tiene la misma longitud que v, pero dirección opuesta. Así, (- l)v es simplemente el negativo de v; es decir, (- l)v = -v.

/'

Un vector de la forma kv se denomina multiplo escalar de v. En la figura 5 se observa que los vectores que son múltiplos escalares entre sí son paralelos. Rccíprocamentc. se puede demostrar que los vectores paralelos diferentes de cero son múltiplos escalares entre sí. Se omite la demostración. VECTORES EN SISTEMAS DE COORDENADAS

Los problemas con vectores a menudo se pueden simplificar introduciendo un sistema de coordenadas rectangulares. Por ahora, el análisis se limitará a vectores en el espacio bidimensional (el plano). Sea v cualquier vector en el plano y suponer. como se muestra en la figura 6, que v se ha colocado de modo que su punto inicial está en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares. Las coordenadas (vl. v2) del punto terminal de v se denominan componentes de v , y se escribe

Si vectores equivalentes v y w se colocan de modo que sus puntos iniciales estén en el origen, entonces resulta evidente que sus puntos terminales deben coincidir (ya que los vectores tienen la misma longitud y la misma dirección); así. los vectores tienen las mismas componentes. Recíprocamente, los vectores con las mismas componentes son equivalentes, ya que tienen las misma longitud y la misma dirección. En resumen. dos vectores v = (VI. v2) y w

=

(MIl.

w2)

son equivalentes si y sólo si Ill

-w 1

y v2

-

w2

ty ~i~~~~ 6

v l y v 2 son las componentes de v.

Las operaciones de suma vectorial y multiplicación por escalares son fáciles de efectuar en términos de componentes. Como se ilustra en la figura 7, si v = ( V I ' \I2)

y w = (wl. w2)

3.1 Introducridn u los vectores (geométricu) / 153 entonces

r v

Figura 7

+ w = ( U i+ w,,u, + w2)

L - 1 - i - U J - r

Si v = (vl, v2) y k es cualquier escalar, entonces mediante un razonamiento geométrico con triángulos semejantes se puede demostrar (ejercicio 15) que

(Figura 8). Así, por ejemplo, si v = (1, -2) y w

= (7,

6), entonces

~+~=(1,-2)+(7,6)=(1+7,-2+6)=(8,4)

Y 4 ~ = 4 ( 1 ,-2)=(4(1),4(-2))=(4,

Como v - w

=v

+ (- I)w, por las fórmulas (1) y (2) se concluye que

I (Comprobarlo.)

tY

-8)

v -w

= (u1 - w1,u, - w,)

I

154 / Vectores en los espacios bidimensionaly tridimensional

VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIRIENSIONAL

Así comolosvectores en el plano sepueden describir por parejas denúmeros reales, los vectores en el espaciotridimensional sepueden describir por ternas de números reales introduciendo un sistema de coordenadas rectangulares. Para construir ese sistema de coordenadas, se elige un punto O, denominado el origen, y se eligen tres rectas perpendiculares entre si, denominadas ejes de coordenadas, que pasan por el origen. Los ejes seidentifican con x, y y z y se elige una dirección positiva para cada eje de coordenadas,así como una unidad de longitud para medir distancias (figura 9a). Cadapar deejesde coordenadasdetermina un plano denominado plano de coordenadas.Estos planosse denominan plano x y , plano xz y plano yz. A cada punto P en el espacio tridimensional corresponde unaterna de números (x, y , z ) denominados coordenadas de P, como sigue: Por P se hacen pasar tres planos paralelos a los planos de coordenadas, y los puntos de intersección de estos planos con los tres ejes de coordenadas se denotan por X. Y y Z (figura 9h).

f' Figura 9

b

Las coordenadas deP se definen como las longitudes con signo x=ox,y=oY,z=oz

En la figura 10 se muestra la grX1ca de los puntos cuyas coordenadas son(4, 5, 6) y (-3, 2, -4).

Figura 10

I

3.1 Introducción a los vectores (qeornétrica)

1

155

Los sistemas de coordenadas rectangulares en el espacio tridimensional se clas~lcanen dos categorías: izquierdos y derechos. Un sistema derecho tiene l a propiedad de que un tornillo normal que apunta en la dirección positiva del eje z debe avanzar si el eje x positivo se hace girar 90° hacia el eje y positivo (figura I l a ) ;el sistema es izquierdo si el tornillo retrocede (figura 1l b ) . OBSERVACI~N.

Figura 11

En este libro sólo se usarán sistemas de coordenadas derechos.

t“

t‘

I Derecho I

I Izquierdo I

Si, como se observa en la figura 12, un vector v en el espacio tridimensional se colocademodo que su punto inicial esté en el origen de unsistema de coordenadas rectangulares, entonces las coordenadas del puntoterminal se denominan componentes de v y se escribe v = (VI, v2, v3)

Si v = (vl, v2, v3) y w = (wl, w2,w3) son dos vectores en el espacio tridimensional, entonces se pueden usar razonamientos semejantes a los que se siguieron para vectores en elplano a fin deestablecer los siguientes resultados v y w son equivalentes si y sólo si v1 = wl, v2 = w2,v3 = w3. v + w = (vl + w l , vz + w2,v3 + w3). kv = ( k v , , kv,, kv,), donde k es cualquier escalar.

Ejemplo 1 Si v = (1, -3,2) y w

= (4,2,

l), entonces

V + W = ( S , -1,3), 2 ~ = ( 2 -, 6 , 4 )-, ~ = ( - 4 , v - w = v + ( - w ) = ( - ~ , -5,l) A

......

-2, - 1 )

156 / Vectoves enlos espacios bidimensionaly tridimensional

Algunas veces un vector se coloca de modo que su punto inicial no esté en el origen. Si el vector P,P2 tiene como punto inicial a Pl(x,, Y , , 2 , ) y como punto terminal P2(x2,yz, z,), entonces A

I p,p; I

= (x2 - X I , Y2 - Y , , 22

-

Es decir, las componentes de P I P , se obtienen al restar las coordenadas del punto inicial de+ las coordenadas del punto terminal. Esto se puede ver usando la figura 1; el vector P I P, es la diferencia de los vectores OP, y OP, ,de modo que " )

Figura 13

! d Ejemplo 2 Las componentes del vector v = P,P, con punto inicial P,(2, - 1, 4) y punto terminal P,(7, 5, -8) son

En el espacio bidimensional, el vector con punto inicial P,(xl, yl) y punto terminal P2(x2,y,) es

TRASLACI~N DE EJES

Lassoluciones demuchos problemas se pueden simplificar trasladando losejesde coordenadas para obtener nuevos ejes paralelos a los originales. Enlafigura14a, los ejes deunsistemadecoordenadas xy se han trasladado para obtener un sistemax'y' cuyo origen O' está en el punto (x, y ) = ( k , 4. Un punto P en el espacio bidimensional ahoratiene las dos coordenadas(x, y ) y ( 2 , y'). Para ver cómo se relacionan las coordenadas, considerar elvector G'? (figura 14b). En el sistema x y , su punto inicial está en (k, l) y su punto terminal

3.1 Introducción a los vectores (geométrica) / 157

t' Figura 14

4

6) "----*

está en (x, y), de modo que O'P = (x - k, y - 0. En el sistema x", su punto inicial está en (O, O) y su punto terminal esti en ( Y , y'), de modo que O'P = (x', y'). Por consiguiente,

Ejemplo 3 Suponer que un sistemade coordenadas xy se traslada para obtener un sistema de coordenadas x? cuyo origen tiene las coordenadas (k, I> = (4, 1). a) Encontrar las coordenadas.xp'del punto cuyas coordenadasxy son P(2, O). b) Encontrar las coordenadasxy del punto cuyas coordenadas x y son Q( - I , 5).

Solución de a). Las ecuaciones de traslación son x'=x - 4

y'=y - 1

de modo que las coordenadas x'y' de P(2, O) son x' = 2 - 4 = -2 y y' = O - 1 = - l. Solución de b ) . Las ecuaciones de traslación en a) se pueden volver a escribir como x=x'+4

y=y'+ 1

de modo que las coordenadas xy de Q son x = - 1 + 4 = 3 y y = 5 + 1 = 6 . A En el espacio tridimensional, las ecuaciones de traslación son x ' = x - ~

y'=y-/

z ' = z - ~

donde (k, I, m) son las coordenadas xyz del origen x y z '

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 3.1 l . Trazar un sistema de coordenadas derechoy localizar los puntos cuyas coordenadas son

S. linconlrar un vector 11 diferente de cero cuyo punto terminal esQ(3, O, -5) tal que a) II tiene la mismn dlrecclón que v = (4, -2, - 1 ). b', II tiene direccibn opuesta a l a de v = (4, -2. - I ) . 6. S C ~ U I ~= (-3,

a) v

"w

I ,

21, v

= (4- O,

b) 6 u + 2cv)

-8)

> w = ( 6 , - 1,

-v+ u

-4). Encontrar las componentes de

d) 5 t v - 4 ~ )

f) ( 2 ~ - 7 w ) - ( 8 v +

-3(v-Xw) e)

7. Sean u, v y w los vcctores del ejercicio 6 . Encontrar las componentes del vector x que satist'acc ¿I 2u - v + x = 7n +- \v. 8. Sean u. v y w los vectores del ejercicio 6. lhcontrar los escalares e l , c2 y c3 tales que

9. Ikmostrar que no existen los cscalares c l . c2 y c3 tales que

C,(-2.9,6)-~i.L(-3,2,1)+Cj(l,7,5)=(0,sr4)

11. sean t' el punto (2, 3, -2) 1 Q el punto (7, -4,1). a) Encontrar el punto medio del segmento de recta que une a P y Q. b) Encontrar el punto sobre el segmento de recta que une a P y Q y está a dlstancla de P il 0.

$ de la

l a traslación da u11 sistema decoordenadasse haceparaobtener sistema de coordenadasx!v' cuyo origen O' tiene las coordenadas(2, -3). a) Encontrar las coordenadas x'v' del punto P cuyas coordenadasxy son (7, 5). b) Encontrar las coordenadas x?/ del punto 0 cuyas coordenadasxIv'son ( - 3 , 6) c) Trrvar los ejes de coordenadasq~y ,Y?'? localizar los puntos P 4 Q.

12. Suponerque

un

U)

3.2 Norma de un vector: aritmética vectorial / 159 13. Suponer que un sistema de coordenadas xyz se traslada para obtener un sistema de coordenadas x’y’z’. Sea v un vector cuyas componentesson v = (vl, v2, v3) en el sistema xyz. Demostrar que v tiene lasmismas componentes en el sistemax‘y‘z‘. 14. Encontrar las componentes deu, Y, u + v y u

- v de los vectores que se muestran en la

figura 15.

t’ Figura 15 15.

Demostrar geométricamente que si v = (vl, K~), entonces kv = ( k v , , kv2 ):, (Limitar la demostración al caso k > O que se ilustra en la figura 8. La demostraclon completa requiere de varios casos que dependen del signo de k y del cuadrante en que se encuentra el vector.)

3.2 NORMA DE UN VECTOR: ARITMÉTICA VECTORIAL En esta sección se establecerán las reglas básicas de la aritmética vectorial.

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES VECTORIALES

En el siguiente teorema se enumeran las propiedadesmásimportantes vectores en los espacios bidimensional y tridimensional.

de los

Teorema 3.2.1. Si u, v y w son vectores en el espacio bidimensional o en el espacio tridimensionaly k y I son escalares, entonces se cumplen las siguientes relaciones. a) c) e) g) I

u+v=v+u u+o=o+u=u k(lu) = (k1)u ( k + 1)u = ku + Zu

b) ( u + v ) + w = u + ( v + w ) d ) u+(-u)=O f ) k
+

I

Antes de explicar la demostración,se observa que se han desarrollado dos métodos para el estudio de los vectores: el geométrico, en el quelos vectores se representan por flechas o segmentos de rectas dirigidos, y el analítico, donde los vectores se

I60 / Vectores en los espacios bidinlensional y tridimensional

representan por parejas o ternas de números denominados componentes. Como consecuencia, las ecuaciones del teorema 3.2.1 se pueden demostrar geométrica o analíticamente. Para ilustrar este hecho, el inciso 6) se demostrará de ambas formas. Las demás demostraciones se dejan como ejercicio. Ilemosiración del itxiso a) (analítica). La demostración se hará para vectores en el espacio tridimensional; la demostración para el espacio bidimenslonal es semejante. Si u = (u,. u2, u3), v = (vl, v2, v3) y w = (wl, w2,w3),entonces

Denlostrac,,n del itlciso 6) (geométrica). Sean u. v y w cuyas representaciones " PQ. QR y RS se muestran en la figura 1 . Entonces

-

v+w=QS

y

-

u+(v+w)=PS

También. +

u+v=PR

4'

-

(u+v)+w=PS

Por consiguiente. u+(v+w)=(u+v)+w O B S E R V A C I ~ N . En vista del inciso b) de este teorema, el símbolo u + v + w está bien definido, ya que la misma suma se obtiene sin importar dónde se escriban paréntesis. Además, si los vectores u, v y w se colocan "punta con cola", entonces la suma u + v + w es el vector que va del punto inicial de u al punto final de w (figura 1).

Figura 1

Los vectores u + (v + w)y (u + v) + w son iguales.

3.2 Norma de un vector: aritmética vectorial / 161 NORMA DE UN VECTOR

La longitud de un vector u a menudo se denomina norma de u y se denota por 11u((. De acuerdo con el teorema de Pitágoras se concluye que la norma de un vector u = (u1, u2)en el espacio bidimensionales (1)

(Figura 2 4 . Sea u = (ul, u2, u3) un vector en el espacio tridimensional. Usando la figura 2b y dos aplicaciones del teorema de Pitágoras se obtiene

Asi,

f’

t*

I

I

Figura 2

Un vector de norma1 se denomina vector unitario. Si Pl(xl, y,, zl) y P2(x2, y 2 , z 2 ) son dos puntos en el espacio tridimensional, entonces la distancia d entre los puntos es la norma del vector PIP2 (figura 3). Ya que

-

por ( 2 ) se concluye que

162 1 Vrctorrs en los rsyacios bidimensional y tridinwnsional

Figura 3

La distanciaentre

&

PI y P2 es la normadel vector P I P 2 .

De manera semejante, si P l ( x l , y l ) y P,(x,, -y2) son dos puntos en elespacio bidimensional, entonces la distancia entre ellos esta dada por

Ejemplo 1 La norma del vector u = (-3, 2, 1) es /1ul/=

V(

-

3)* + (2)2 + ( 1 ) 2

=

dii

La distancia d entre los puntos P l ( 2 , - 1. -5) y P,(4, - 3 , I ) es d=V(4-2)2+(-3+ 1)2+(1 + 5 ) * = m = 2 f l

A

Porla definición del producto k u , la longitud del vector ku es k veces la longitud de u. Expresada como ecuación. esta proposición establece que

Esta útil fórmula se aplica tanto en el espacio tridimensional como en el bidimensional.

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 3.2

3.2 Norma de un vector: aritmética vectorial / I63 3. Sean u = (2, -2, 3), v

= (1,

-3,4), w = (3,6, -4). En cada inciso evaluar la expresión

dada.

a)

l b + VI1

b)

d) Il3u - 5v

+ wl\

e)

IIUII

+ IIVII

c) II - 4

1 + 2llull

1 "w

llwll

4. Sea v= (- 1,2, 5). Encontrar todos los escalares k tales que1 1 k v 1 1 = 4 5. Sean u = (7, -3, l), v = (9, 6,6), w = (2, 1, -S), k = -2 y I = 5. Comprobar que estos

en el teorema3.2.l . vectores y escalares satisfacen las igualdades expresadas inciso b). inciso b) e). c) incison. inciso d) g). a)

6. a) Demostrar que si v es cualquier vector diferente de cero, entonces 1

"v

llvll

es un vector unitario. b) Usar el resultado del incisoa) para encontrar un vector unitario que tenga la misma dirección que el vector v= (3,4). c) Usar el resultado del inciso a) para encontrar un vector unitario cuya dirección sea opuesta a la del vector v = (-2, 3 , -6). 7. a) Demostrar que las componentes del vector v = (vl, vz) en la figura 4 son v1 = llvll cos 8 y v 2 = llvll sen B. b) Scan u y v los vectores de la figura 5. Usar el resultado del inciso a) para encontrar las componentes de4u - 5v. AY

,"". , \

Figura 4 x, y , 2). Describir

Figura 5

el conjunto de todos los puntos (x, y, z )

9. Demostrar geométricamente que si u y v son vectores en el espacio bidimensionalo en

el espacio tndimensional, entoncesIlu + vll 10.

Illull+

Ilvll.

Demostrar analíticamentelos incisos a),c ) y e ) del teorema 3.2.1.

I64 i Vectores en los espacios bidimensional y tridimensional 11. Demostrar analíticamente los incisos

d). g ) y h ) del teorema 3.2.1.

12. Demostrar geométricamente el incison del teorema 3.2.1.

3.3 PRODUCTO PUNTO: PROYECCIONES En esta sección se analizará un método para multiplicar vectores enlos espacios bidimensional o tridimensional y se proporcionarán algunas aplicacionesde esta multiplicación a la geometría.

PRODUCTO PUNTO DE VECTORES

Sean u y v dos vectores diferentes de cero en el espacio bidimensional o en el espacio trilmensional, y suponer que estos vectores se colocan de modo que sus puntos iniciales coinciden. Por ángulo entre u y v se entiende el ángulo 6 determinado por u y v que satisface O I 6 I TC (figura 1).

IEI ángulo O entre u y v satisface a O'

Figura P

S

O

S

n.

1

~

Definición. Si u y v son vectores en el espaciobidimensional o el espacio tridimensional y 8 es el ángulo entre u y v, entonces el producto punto o producto interior euclidianou . Y se define como u.v

JJullJJvJj cos 6 =

si u f O y v # O siu=O o v = O

Ejemplo 1 Como se muestra en la figura 2, el ángulo entre los vectores u = (O, O, 1) y v = (O, 2, 2) es 45O. Así,

3.3 Producto punto: proyecciones / 165

Figura 2

Y Para efectosde cálculo es deseable contar con una fórmula que exprese elproducto punto de dos vectores en términos de las componentes de los vectores. La fórmula se obtendrá para vectores en el espacio tridimensional; la obtención para vectores en el espacio bidimensional es semejante. Sean u = (ul, u2, u3) y v = (vl, v2, v3) dos vectores diferentes de cero. Si, como se muestraen la figura 3, 8 es el ángulo entre u y v, entonces la ley delos cosenos da

FORMULA DE LAS COMPONENTES PARA EL PRODUCTO PUNTQ

Figura 3

x/ "*

Como PQ = v - u, (2) se puede volver a escribir como

"

.

.,,". _.

166 / Vectores en los espacios bidimensional y tridimensional Y IIV

-u112 = (VI -u#

+ (v2 -u2)2 + (v3 -u3)2

después desimplificar se obtiene

L u v = U I V l+ u2v2 + u3v3

Si u = (ul, uz) y v = (vl, v2) son dosvectores en el espacio bidimensional, entonces la fórmula correspondiente es

CÁLCULO DEL ÁNGULO ENTRE VECTORES

Si u y v son vectores diferentes de cero, entonces la fórmula (1) se puede escribir como

Ejemplo 2 Considerar los vectores u = (2, -1, 1) y v = (1, 1, 2)

Encontrar u . v y determinar el ángulo 8 entre u y v. Solución.

u . v = U I V l+ u2v2+ u3v3 = (2)(1) + (1)(2) = 3 Para los vectores dados se tiene IIuII= llvll=

& , de modo que por (5)

Así, 8 = 60°. A

Ejemplo 3 Encontrar el ángulo entre una diagonal de aristas.

un cubo y una de sus

Solución. Sea k la longtud de UM arista, y se introduce un sistemade coordenadas comose muestra enl a figura 4.

3.3 Producto punto: proyecciones / I67

Si se hace que u1 = (k, O, O), u2 = (O, k, O) y uj = (O, O, k), entonces el vector d = (k, k, k ) = u1 + u2 + uj

es una diagonaldel cubo. El ángulo 0 entre d y la arista u1 satisface

Así,

El siguiente teorema muestra cómosepuede usar elproducto punto para obtenerinformación sobreel ángulo entre dos vectores; también establece una importante relación entre la norma y el producto punto

Teorema 3.3.1. Sean u y v vectores en el espacio bidimensional o el espacio tridimensional. a ) v . v = llv11*; es decir, ( ( v ( J(v = . v)''~. b ) Si los vectores u y v son diferentes de cero y 0 es el angulo entre ellos, entonces 0 es agudo 0 es obtuso 0 = nf2

si y sólo si si y sólo s1 si y sólo si

U'V>O.

u.v
Demostración de a). Como el á n a o 0 entre v y v es O, se tiene v * v = llvll llvll

COS 6 =

/ VI/'

COS

O = llvlI2

Demostración de b). Como 8 satisface, 0 1 O 1 n,se concluye que: 0 es agudo si y sólo si cos 0 > O; 0 es obtuso si y sólo si cos < O; y 0 = n l 2 si y sólo si cos O = O. Pero cos 0 tiene el mismo signo que u . v ya que u . Y = I(u(( llvll cos O, llull > O y Ilvll> O. Así, se concluye el resultado. @

I68 / Vectores en los espacios bidimensional y tn'dimensional

Ejemplo 4 Si u = (1, -2, 3), v = (-3,4, 2) y w = (3,6, 3), entonces -5

~-~=(1)(-3)+(-2)(4)+(3)(2)=

+ (2)(3) = 2 1 w = (1)(3) + ( - 2)(6) + (3)(3) = O

v w = ( - 3)(3) + (4)(6) U

Por consiguiente, u y v forman un ángulo obtuso, v.y w forman un ángulo agudo y u y w son perpendiculares. A VECTORES ORTOGONALES

Los vectores perpendiculares también se denominan vectores ortogonales. A la luz del teorema 1.3.lb, dos vectores dqerentes de cero son ortogonales si y sólo si su producto punto es cero. Si se acuerda en considerar a u y v como perpendiculares cuando alguno o los dos son cero, entonces se puede afirmar sin excepción que dos vectores u y v son ortogonales (uerpendiculares) si y sólo si u v Para indicar que u y v son vectores ortogonales, se escribe u I v. Ejemplo 5 Demostrarqueen el espaciobidimensional, el vector n Merente de cero es perpendicular a la recta M: + by + c = O.

=

= (a,

O.

b)

Solución. Sean P , ( x l , yl) y P2(x2, y z ) dos puntos dferentes que pertenecen a la recta dada, de modo que ax, + byl

ax2

+c =O

+ by2 + c = o

A

Como el vector P I P 2 = (xz - x,, y2 - y l ) está a lo largo de la recta' (figura 5), basta demostrar quen y son perpendiculares. Pero al restar las ecuaciones en

q2

(6) se obtiene

que puede representarse en la forma A

-

(a,b).(x,-x,,y,-y,)=O

Así, n y P I P , son perpendiculares. A

JY

ax+by+c=O

Figura 5

o

n.P,P2=0

3.3 Producto punto: proyecciones / I69 En el siguiente teorema se enumeran las propiedades más importantes del producto punto. Estaspropiedades son de utilidad en los cálculos donde intervienen vectores. Teorema 3.3.2. Si u, Y y w son vectores en el espacio bidimensional o en el espacio tridimensionaly k es cualquier escalar, entonces: a) u . v = v . u

b) u . ( v + w ) = u - v + u * w c) k(u.v)= (ku).v= u.(kv) d)v.v>Osiv#O, y v.v=Osiv=O Demostración. Se demostrará c ) para vectores en el espacio tridimensional, y las demás demostraciones se dejan como ejercicio. Sean u = (u1, u2, u3) y v = (vl, v2, v3); entonces k(u .v) = k(ulvI =(

+ U ~ U Z+ ~

3 ~ 3 )

b ) v ,+ (ku,)v, + (ku3)7J3

= (ku). v

De manera semejante,

PROYECCIONES ORTOGONALES

En muchas aplicaciones se desea"descomponer"un vector u enunaadición de dossumandos, uno paralelo a unvector específico diferente de cero a y elotro perpendicular a a. Si u y a se colocan de modo que sus puntos iniciales coincidan en un punto(2,entonces esposible descomponer el vector u como sigue (figura 6): Trazar una perpenhcular desde la punta de u hasta la recta que pasa por a, y obtener el vector w 1 que va de Q al pie de esta perpendicular. Luego, formar la diferencia w 2 = u - w1

Figura 6

El vector u es l a suma de w , y w2, donde w, es paralelo a a y w2 es perpendicular a a.

Como se indica en la figura 6, el vector w1 es paralelo a a, el vector w2 es perpendicular a a, y

I 7 0 / Vectores en los espacios bidimensional y tridimensional

w,+w,=w,+(u-ww,)=u

El vector w1 se denomina proyección ortogonal de u sobre a, o algunas veces. componente vectorial deu a lo Largo de a. Se denota por P'OY,

u

(7)

El vector w2 se denomina componente vectorial de u ortogonal a a. Comose tiene que w2 = u - w l , este vector se puede escribir en notación (7) como w2 = u - proy, u

En el siguiente teorema se proporcionan fórmulas para calcular los vectores proy, u y u - proy, u. Teorema 3.3.3. Si u yason vectores en el espaciobidimensional o enel espacio tridimensionaly si a f O, entonces (componente vectorial de u a lo largo de a)

u.a u -proya u = u -?a Itall

(componente vectorial de u ortogonal a a)

Demostración. Sean w1 = proy, u y w2 = u - proy, u. Como w1 es paralelo a a, debe ser un múltiplo escalar de a, de modo que se puede escribir en la forma w 1 = ka. Así,

u=w,+w,=ka+w,

(8)

Tomando el productopuntoen ambos miembros de (8) con a y aplicando los teoremas 3.3.1a y 3.3.2 se obtiene

-

u a = (ka + w2) a = klJa112+ w2. a

Pero w2 a = O, ya que w2 es perpendicular a a; de modo que (9) produce k = -u s a lla1I2

Como proya u = w 1 = ka, se obtiene

(9)

3.3 Producto punto: proyecciones / 171 Ejemplo 6 Sean u = (2, - 1, 3) y v = (4, - 1, 2). Encontrarlacomponente vectorial de u a lo largo de a y la componente vectorial de u ortogonal a a. Solución.

-

+ ( - 1)( - 1) + (3)(2) = 15 + ( - 112 + 22 = 21

u a = (2)(4)

lla1I2 = 42

Así, la componentevectorial de u a lo largo de a es u-a a = g(4, - 1,2) = (y, - 47 3 'o) 7 llall

proya u = y

y la componentevectorial de u ortogonal a a es

Como verificación, el lector puede comprobar que los vectores u - proya u y a son perpendiculares si demuestra que su producto punto es cero. A Una fórmula para calcular la longitud de la componente vectorial de u a lo largo de a se puede obtener escribiendo

con lo que se obtiene

I

Si 8 es el á n a o entre u y a, entonces u . a = 1 1 ~ 1 1 llall cos 8, de modo que (IO) también puedeescribirse como

(Comprobar.) UM interpretación geométrica de este resultado se proporciona enl a figura 7.

I72 / Vectores enlos espacios bidimensional y tridimensional

Figura 7

OSO<-

7r

7T

--< e 2

2

s

Como ejemplo, se usarán métodos vectoriales en la obtención de una fórmula para calcular la distancia de un punto enel plano a una recta. Ejemplo 7 Encontrarunafórmulapara Po(xo,y,, 2,) y la recta ax + by + c = O.

calcular la dstancia D entre el punto

Solución. Sea Q(x,, y l ) cualquier punto en la recta, y el vector

n = (u, h ) se coloca de modo que su punto inicial esté en Q. Por el ejemplo 5, el vector n es perpendicular a la recta (figura S). Como se indica en la figura. la distancia D es igual a la longitudde la proyección ortogonal + de QPo sobre n; así, por (lo), se tiene que

Pero

1

‘y+by+c=O?

Figura 8 de modo que

3.3 Producto punto: proyecciones / I 73

(I(.,,

Dadoque el punto yl) está sobre la recta, sus coordenadas satisfacen la ecuación deésta, de modo que aX1+by1+c=O

o bien, c = -ax1 - by,

Al sustituir esta expresión en(12) se obtiene la fórmula

Ejemplo 8 Por la fórmula (15) se concluye que la distancia D del punto (1, -2) a la recta 3x + 4y - 6 = O es D=

1(3)(1)+4(-2)-6\

d m

-

1-111

11

a

5

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 3.3 1.

Encontrar u . v. a) u = (2, 3), v = (5, -7) b) U = ( - 6, - 2), v = (4, O) C) ~ = ( l -, 5 , 4 ) ,~ = ( 3 , 3 , 3 )d ) ~ = ( - 2 , 2 , 3 ) ,~ = ( 1 , 7 , -4)

2. En cada inciso del ejercicio1, encontrar el coseno del ángulo entreu y Y 3.

Determinar siu y v forman un ángulo agudo,un ángulo obtusoo son ortogonales.

a> u = ( 6 , 1 , 4 ) v, = ( 2 , 0 -, 3 )b ) u = ( O , O , - I ) , v = ( l , 1, 1) c>u=(-6,0,4), ~ = ( 3 , 1 , 6 ) d ) ~ = ( 2 , 4 ,-8), ~ = ( 5 , 3 , 7 ) 4. Encontrar la proyección ortogonal de u sobre a. a) u = (6, 2), a = (3, -9) b ) u = ( - 1 , -2), a = ( - 2 , 3 ) c) u = ( 3 , 1 , -7), a = ( l , 0 , 5 ) d)u=(l,O,O), a = ( 4 , 3 , 8 ) 5. En cada inciso del ejercicio4, encontrar la componente vectorial deu ortogonal a a 6. En cada inciso, encontrar Ilproy, u 11. a) u = ( l , -2), a = ( - 4 , - 3 ) b) u = (5, 6), a = (2, - 1) C) u = (3, O, 4), a = (2, 3, 3) d) u = ( 3 , -2, 6), a = ( l , 2, -7)

A

I74 / Vectores enlos espacios bidimensional y tridimensional 7.

Sean u = (5, -2, l), v cantidades.

=

(1, 6, 3) y k

=

-4. Comprobar el teorema

3.3.2 para estas

8. a) Demostrar quev = (a,b ) y w = ( 4

, a) son vectores ortogonales. b) Usar el resultado del inciso a) para encontrar dos vectores que sean ortogonales a v = (2, - 3 ) . c) Encontrar dos vectores unitarios que sean ortogonales(-a3,4).

- 1) y w = (7, 1). Evaluar las expresiones b) Il(u v)wll c) IlUlKV . w > d) (Ilullv)-w

9. Sean u = (3,4), v = (5,

a)

- (7v

+

w)

10. Explicar por qué cada una de las siguientes expresiones carece de sentido.

a) u (v w)

b)

(u v)

+w

c) Ilu

- vII

d) k

(u + v)

11. Usar vectores para hallar los cosenos de 10s ángulos internos del triángulo cuyos vértices son (O, - l), (1, -2) y (4, 1). 12. Demostrar que 4 3 , O, 2), B(4, 3, O) y C(8, 1, -1) son los vértices de un triángulo

rectángulo. ¿En qué vértice está elángulo recto? 13. Suponer que a 14.

b=a

c

y a # O. $,e

concluye que b = c? Explicar la respuesta

Sean p = (2, k ) y q = (3, 5). Encontrar k tal que a) p y q sean paralelos. b) p y q sean ortogonales. c) el ángulo entre p y q sea d 3 . d) el ángulo entre p y q sea n/4.

15. Usar la fórmula (13) para calcular la distancia entre el punto y la recta. a) 4x+3y+4=0;(-3, 1) + 2; (2, -5) b) y = - 4 ~

c) 3x+y=5;(1,8) 16. Establecer la identidad Ilu + vJ12+ IIu - v1I2 = 2 lu112+ 2 17. Establecer la identidad u * v =

)l~11~.

f 11u + v)12- f 1111 - ~ 1 1 ~ .

18. Encontrim el ángulo entre una diagonal de un cubo y una de sus caras. 19. Sean i, j y k vectores unitarios a lo largo delos ejes positivos x, y y z de un sistema de

coordenadas rectangulares en el espacio tridimensional. Si v = (a, b, c ) es un vector diferente de cero, entonces los ángulos a, f i , y y entre v y los vectores i, j y k, respectivamente, se denominan cfngulos directores de v (figura 9), y los números cos a , cos y cos y se denominan cosenos directores de v a) Demostrar que cos a = a/ IIvII. b) Encontrar cosfi y cos y. c) Demostrar que v/llvll= (cos a , cosa , cos y). d) Demostrar que cos2 a + cos2/3 + cos2y = l .

Figura 9

3.4 Producto cruz / 175 20. Usar el resultado del ejercicio 19 para calcular, hasta el grado más próximo, los ángulos que forma una diagonal de una caja de dimensiones 10 cm X 15 cm X 25 cm con las aristas dela caja. [Nota Se requiere una calculadorao tablas trigonométncas.] 21.

Con referencia al ejercicio19, demostrar quev1y v, son vectores perpendiculares en el espacio tndimensional siy sólo si sus cosenos dlrectores satisfacen cos

0:

1

cos

4,

+ cosp, cos p, + cos y, cos y,

=o

22. Demostrar quesi v es ortogonal tanto aw ,como a w2, entonces v es ortogonal ak,wl+ k2w2para todos los escalaresk, y k,. 23. Sean u y v vectores diferentes de cero en el espacio bidimensional o en el espacio tridimensional, y sean k = 1 1 ~ 1 1 y I = IIvII. Demostrar que el vectorw = lu + kv biseca el ángulo entre u y v.

3.4 PRODUCTO CRUZ En muchas aplicaciones de vectores a problemas de geometría, fisica e ingeniería es de interés construir en el espacio tridimensional un vector que sea perpendicular a dos vectores dados. En esta sección se introducirá un tipo de multiplicación vectorial conque se obtiene ese vector.

DE VECToRES

Definición. Si u = ( u l , u*, u3) y v = ( v ~v2, , v3) son vectores enel espacio tridimensional, entonces el producto cruz u X v es el vector definido por

1 o,

en notación de determinantes,

oBsERvACIóN. En vez dememorizar (l), las componentes de u x v se pueden obtener como sigue:

Se forma la matriz 2

X

3

cuyoprimer renglón contiene las componentes de u y cuyo segundo renglón contiene las componentes dev.

176 / Vectores en los espacios bidimensional y tridimensional

Para encontrar la primera componente de u X v, eliminar la primera columna y evaluar el determinante; para encontrar la segunda componente, eliminar la segunda columna y evaluar el negatiTlo del determinante; para encontrar la terceracomponente,eliminarlaterceracolumna y evaluar eldeterminante. Ejemplo 1 Encontrar u x v, donde u = (1, 2, -2) y v = ( 3 , O, 1) Solución

Existe una diferencia importante entre el producto punto y el producto cruz de dos vectores: el producto punto es un escalar y el producto cruz es unvector. El siguiente teorema proporciona algunas relaciones importantes entre elproducto punto y el producto cruz,y también muestra queu x v es ortogonal tanto a u como a v. Teorema 3.4.1, Si u, v y w son vectores en el espacio tridimensional, entonces a) u.(uXv)=O b) v . ( u X v ) = O

(u X Y

es ortogonal

a u)

(u X v es ortogonul a

v)

( u ~ v ) ~ (IdentzdaddeLagrunge)* d ) u X (v X w) = (u. w)v - (u. v)w (relucidn entre los productos cruzypunto) e ) (U X V) X w = (u w)v - (V W)U (relación entre los productos cruz ypunto) C)

[ / U X V112 = 11U/1* l/v/l2-

-

I *Joseph Louis Lagrunge (1736-1813). Matemático y astrónomo francés-italiano. Lagrange, hijo de un funcionario público, nació en Turin, Italia. (En el registro bautismal su nombre aparece como GiuseppeLodovicoLagrangia.)Aunquesupadrequeríaquefueseabogado,Lagrangesesintió atraído por las matemáticas y la astronomia después de leer una memoria del astrónomo Halley. A los 16 aAos de edad empezó a estudiar matemáticas por su cuenta y a los 19 h e contratado como profesor en la Royal Artillery School en Turin. El año siguiente resolvió algunos problemas famosos aplicando nuevos métodos que florecieron en una rama de las matemáticas denominada cálculo de variaciones. Estos métodos y las aplicaciones que Lagrange hizo de éstos a problemas de mecánica celesteerantanmonumentalesqueaproximadamentea los 25 años deedadLagrangeyaera considerado por muchos de sus contemporáneos como el más grande matemático existente. Uno de los trabajos más famosos de Lagrange es un documento denominado Mécunique Anulyflque, en el que reduce la teoría de la mecánica a unas cuantas fórmulas generales a partir delascualeses posible derivar todas las demás ecuaciones necesarias. Eshistóricamenteinteresante el hechodeque elpadredeLagrangeincursionóinfrucsu familia estaba obligada a vivir con tuosamenteenvariasempresasfinancieras,demodoque bastante modestia. Lagrange mismo afirmó quesi su familia tuviera dinero, su vocación no hubieran sido las matemáticas. Napoleón era un gran admirador de Lagrange y lo cubrió de honores: lo hizo conde, senador y le otorgó la orden de la Legión de Honor. A pesar de su fama, Lagrange siempre fue un hombre tímido y modesto. A su fallecimiento, h e sepultado con honores en El Panteón parkino.

3.4 Producto cruz / 177 Demostración de a). Sean u = (ul, u2, uz) y v = (v,, v2, v3). Entonces

Demostracibn de b). Semejante a la demostración dea).

La demostraciónse puede completar "multiplicando"los miembros derechosde (2) y (3 j y comprobando suigualdad. Demostración de d)y e). Ver los ejercicios 26 y 27.

0

Ejemplo 2 Considerar los vectores u = (1, 2, -2)

y v = (3, o, 1)

En el ejemplo 1 se demostró que

u X V = ( ~ -7, , -6) Como

Y

u x v es ortogonal tanto a u como a v, como garantiza el teorema 3.4. l . A

En el siguiente teorema se enumeran las principales propiedades aritméticas del producto cruz.

Teorema 3A.2. S i u, v y w son vectores cualesquiera sional y k P.%cualquier escnlnr. entonces

en

el espacw tridimen-

a) u x v - - ( v X u )

b)

U

x (Y

-1-

W)

(U

x Y) f

(U X W)

6') (U f V ) x W (,Mx W) -t(V x W ) d ) k(u X V) -= ( k ~ X) v -= U X (kv)

e) u x o = Oxu-o x u ==o

,f) u

~

~

~

_

I

_

_

_

_

_

I

_

Las demostraciones se concluyen de inmediato a partir de la fórmula (1) y de las propiedades de los determinantes; por ejemplo, a) puede demostrarse corno: a). Al intercambiar u y v en ( I ) se intercaxnbian los renglones de los tres determinantes del miembro derecho de (l), y por tanto se cambia el signo de cada cornpotlerlte en el producto cruz. Así. u X v = -(Y X u). 0 ílcrrwslmt~lcirldc

Las demostraciones de los dem8s incisos se dejan como ejercicio Ejemplo 3 Considerar los vectores i

=(I,

O, O)

j

= (O,

!, O)

k = (O, O, 1 j

Cada uno de estos vectorcs tiene longitud igual a 1 y está a lo largo de un eje de coordenadas (figura 1). Se denominan vectores unitarios normales en el espacio tridimensional. Todovector v = (v,, v2, v 3 ) en elespacio tridimensional puede expresarse en términos de i, j. k. ya que es posible escribir

Figura 1

vectores unitarios estándares.

1

Por ejemplo, (2,

--

3, 4) = 2 i - 3 j + 4k

3.4 Producto cruz / I79

A partir de (1) se obtiene

oj i

El lector no debe tener ningún problema para obtener los siguientes resulta-

dos:

k

Figura 2

FÓRMNLA DEL DETERMINANTE PARA EL PRODUCTO CRUZ

iXi=jXj=kXk=O kj iX xxikj==j ki ,, j X i = -k,

k x j = -i,

ixk= -j

La figura 2 es útil para recordar los resultados anteriores. Con referencia a esta figura, si la circunferencia se recorre en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj, el producto cruz de dos vectores consecutivos es el siguiente vector que se encuentra, y si se recorre en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, el producto c m de dos vectores consecutivos es el negativo del siguiente vector quese encuentra. También vale la pena observar que un producto cruz se puede representar simbólicamente en formade un determinante 3 X 3:

Por ejemplo, si u = (1, 2, -2) y v = (3, O, l), entonces i uXv= 1 3

j 2 0

k -2 =2i-7j-6k 1

lo que concuerda conel resultado obtenido en el ejemplo l .

Advertencia. En general, no es cierto que u ejemplo,

X

(v

X

w)

=

(u

X

v)

X

w. Por

iX(jxj)=iXO=O Y

( i X , j ) x j = k X j = -i

de modo que iX(j~j)#(iXj)Xj

Por el teorema 3.4.1 se sabe que u X v es ortogonal tanto a u como a v. Si u y v son vectores diferentes de cero, es posible demostrar que la dirección

180 / Vecto~es en los espacios hidinmvional y tridimensional

de u x v se puede determinar aplicando la siguiente "regla de la mano derecha"* (figura 3): Sea 8 el ángulo entre u y v, y suponer que u se hace girar por el ángulo 8 hasta que coincide con v. Si los dedos de la mano derecha se disponen de modo que apunten en la dirección de rotación, entonces el pulgar indica (aproximadamente) la dirección de u X v.

& u + uxv

r

Figura 3

"

'

v

EI lector encontrará instructivo practicar esta regla con los productos iXj=k

JNTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO CRUP

jXk=i

kXi=j

Si u y v son vectores en el espacio tridimensional, entonces la norma de u x v tiene una interpretación geométrica útil. La identidad de Lagrange, proporcionada en el teorema 3.4.1, establece que

Si 8 denota el ángulo entre u y v, entonces u . v = llull llvll cos 8 , de modo que (5) se puede escribir de nuevo como

Así,

Pero llvll sen 8 es la altura del paralelogramo determinadopor u y v (figura 4). Por tanto,

*Recordar que en este texto se acordó considerar sólo sistemas de coordenadas derechos. En caso de que se hubieran usado sistemas izquierdos,aquí se hubiera aplicado una "regla de la mano izquierda".

3.4 Producto cruz / 181

por (6), el área A de este paralelogramo está dada por A

= (base)(altura)= llull

llvll sen 0 1 / 1 1 x

VI]

Este resultado es correcto inclusive si u y v son colineales, ya que el paralelogramo determinado por u y v tiene área cero y por (6) se sabe que u x v = O porque en este caso 8 = O. Por tanto, se tiene el siguiente teorema.

Teorema 3.4.3. Si u y v son vectores en el espacio tridimensional, entonces u X v es igual al área del paralelogramo determinado por u y v. Ejemplo 4 Encontrar el área del triángulo determinado por los puntos P I P , 2, o), P 2 ( - 1. o, 2) y P,(O, 4, 3 ) .

4

El área 4 del tr$ingulo es del área del paralelogramo determinado por los vectores P I P , y P , P, (figura 5). Usando el método analizado en el ejemplo 2 de la sección 3.1, P I P 2= (-3, -2, 2) y P I P 3= (-2, 2, 3). Se concluye que

Solución.

-

b

P I P , x P I P 3= ( - 10,5,

Figura 5

i

I'

x

-

10)

Pi (2'2. O)

y en consecuencia,

TRIPLE PRODUCTO ESCALAR

Definición. Si u, v y w son vectores en el espacio tridimensional, entonces u (v x w)

se denomina triple producto escalar de u, v y w. El triple producto escalar de u = (u1, u2, u2), v = ( v l , v2, v2) y w = (wl, w2, wz) se puede calcular a partir de la fórmula

(7) WI

w:!

w3,

182 / Vectores en los espacios bidimensional y triditnensional

Lo anterior se concluye porla fórmula (4), ya que

;3iul

-

Ejemplo 5 Calcular el triple producto escalar u (v

Solución.

X

w) de los vectores

Por (7),

1

-2 4

o

3

3 U.(VX

w)

=

-60+4-

-5 -4

2

15149 A

-

O B S E R V A C I ~ X El símbolo (u v) X w carece de sentido, ya que no es posible formar el producto cruz de un escalar y un vector. Así, no hay ambigüedad si se escribe u v X w en vez de u (v X w). Sin embargo, por claridad en general se conservará el paréntesis. Por (7) se concluye que

u.(vxw)=w.(uxv)=v.(wxu)

W

x

V

Figura 6

INTERPRETACI~N GEOMÉTRICA DE LOS DETERMINANTES

ya que los determinantes 3 x 3 que representan estos productos se pueden obtener uno a partir de otro mediante dos intercambios en los renglones. (Comprobar.) Es posible recordar estas relaciones moviendo los vectores u, v y w en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de los vértices del triángulo que se muestra en la figura 6.

3.4 Producto cruz

183

Teorema 3.4.4. a ) El valor absoluto del determinante

es igual al área del paralelogramo en el espacio hidimensional dekrtruna do por los vectores u = (id1, u2) y v = (vl, v2). (Ver la,figura 7a.) 6) El valor absoluto del determinante

es igual al volumen del pordelepípeclo en cl espacio tridinwnsional d~ terminado por los \lectores u = ( u , . u 2 . zr3). v = (v,. v 2 , v3) y w = (w,,w 2 , wJ. (Ver la$gura 76.) Demostración de a).La clave de la demostración es aplicar el teorema 3.4.3. Sin embargo. este teorema es válidopara vectores en el espacio tridimensional. mientras que u = (u,. u * ) y v = ( v I . v2). son vectorcs en el espacio bidimensional. Para superar este "problema de dimenslon". u y v se considerarán como vectores en el plano xv de un sistema de coordenadas xyz (figura sa), en cuyo caso estos vectores se expresan como u = (u1. u 2 . O) y v = ( v l . v2, O). Así.

Ahora, por el teorema 3.1.3 y el hecho de que Ilk11 = 1. se concluye quc el área A del paralelogramo determinado poru y v es

Figura 7

u1


con lo que se completa la demostración. Demostración de b). Como se observa en la figura 86, se considera que la base del paralelepípedo determinado por u, v y w es el paralelogramo determinado por u y v. De acuerdo con el teorema 3.4.3 se concluye que el área de la base es IIv X wII y, como se ilustra en lafigura 86, la alturah

I

Y

L

Figura 8

nl

del paralelepípedo es la longitud de la proyección ortogonal de u sobre v x w. En consecuencia, por la fórmula (10) de la sección 3.3,

Se concluye que el volumen V del paralelepipedo es

con lo que se completa la demostración. 0 OBSERVACI~N. Si V denota el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores u, v y w, entonces por el teorema 3.4.4 y la fórmula (7) se concluye que

3.4 Producto cruz / 185

1

volumen del paralelepípedo = /u (v x w>l detemunado poru, v y w Con base en este hecho y en el teorema 3.3.16 se puede deducir que u.(vXw)= kv

donde el signo + o -resulta si u forma un ángulo agudo U obtuso con v X W . La fórmula (8) conduce a una prueba útil para averiguar si tres vectores dados son coplanares. Como tres vectores no coplanares determinan un paralelepípedo de volumen positivo, por (8) se concluye que 1u * (v X w)l = O si y sólo si los vectores u, v y w son coplanares. Así, se tiene el siguiente resultado. ~~

~~

~

Teorema 3.4.5. Si los vectores u = ( u l , u2, u3), v = ( v l ,v2, v3)y w = (wl, w2, w3)tienen el mismo punto inicial, entonces están en el mismo plano si y solo si

INDEPENDENCIA DEL PRODUCTO CRUZ Y DE LAS COORDENADAS

Inicialmente, se definió a un vector como un segmento de recta duigido o una flecha en el espacio bidimensional o en el espacio tridimensional; los sistemas de coordenadas y las componentes se introdujeron después para simpllficar los cálculos con vectores. Así, un vector posee "existencia matemática" sin importar si se ha introducido en un sistema de coordenadas. Además, las componentes de un vector no están determinadas solamente por el vector; también dependen del sistema decoordenadaselegido. Por ejemplo, en la figura 9 se indican un vector fijo v en el plano y dos sistemas de coordenadas diferentes. En el sistema de coordenadas x y , las componentes de v son (I, 1) y en el sistema x y , son ( J z , o ). Este hecho plantea una cuestión importante sobre la definición de producto cruz. Como el producto cruz u X v se definió en términos de las componentes de u y v ycomo estas componentes dependen del sistema de coordenadas elegido, parece posible que dos vectoresfjos u y v puedan tener productos cruz distintos en sistemas de coordenadas diferentes. Afortunadamente, no sucede así. Para ver lo anterior, simplemente basta recordar que u X v es perpendicular tanto a u como a v. La orientación de u X v está determinada por la regla de la mano derecha. l b x VI1 = llull llvll sen 8.

186 / Vectores en los espacios hidimensioml J; tridirnensionul

Estas tres propiedades determinan completamente elvector M X v; las dos primeras propiedades determinan la direccih y la tercera determina la longitud. Como estas propiedades de u X v dependen shlo de las longitudes y posiciones relativas de u y v no del sistema de coordenadas derecho particular que se esté usando, elvector u X v permanece sin cambio si se introduce un sistema de coordenadas derecho diferente. Así, se dice que l a definición de M X v es independiente de las coordenadas. Este resultado es importante para los fisicos e ingenieros, quienes a menudo trabajan con muchos sistemas de coordenadas en el mismo problema.

Figura 9

Ejemplo 4 Considerar dos vectores perpendiculares u y ti, cada uno de longitud 1 (como se muestra en la figura IOU). Si se introduce un sistema de coordenadas xyz como se muestra en la figura 1 Oh, entonces

de modo que

Sin embargo, si se introduce un sistema de coordenadas rlv'z' como se muestra en la figura 1Oc. entonces

de modo que

3.4 Producto cruz / 187 u X v = k X i = j = ( O , 1,0)

Pero por las figuras 106 y 1Oc es evidente que el vector (O, O, 1) en el sistema xyz es el mismo que el vector (O, 1, O) en el sistema x'y'z'. Así, se obtiene el mismo vector u x v si los cálculos se realizan con coordenadas del sistema xyz o con coordenadas del sistema x'y'z'. A

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 3.4 1. Sean u = (3,2, - I ) , v = (O, 2, -3) y w = (2,6,7). Calcular b) u X (v X w) a) v X w c) (u x v) x w e ) u X (v - 2w) f ) (u X v) - 2w d) (u X v) X (v X w) 2. Encontrar un vector que sea ortogonal tanto a u como a v. a) ~ = ( - 6 , 4 , 2 ) , v = ( 3 ,

1,5)

b) ~ = ( - 2 , 1, 5), ~ = ( 3 , 0 ,-3)

3. Encontrar el área del paralelogramo determinado por u y v. a) u = ( l , - 1 , 2 )v, = ( O , 3 . 1) b) u = ( 2 , 3 , 0 ) v, = ( - 1 , 2 -, 2 ) C) U = (3, - 1, 4), v = (6, -2, 8)

5. Comprobar el teorema 3.4.1 para los vectores u = (4,2, 1) y v =( -3,2, 7)

6 . Comprobar el teorema 3.4.2 para u = (5, -1, 2), v = (6, O, -2), w k = -5.

=

(1, 2, -1) y

7. ¿Cuál es el error en la expresión u x v x w? 8. Encontrar el triple producto escalar u . (v X w). a ) u = ( - l , 2 , 4 ) , v = ( 3 , 4 , -2), w = ( - 1 , 2 , 5 ) b ) u = ( 3 , - 1 , 6 ) , ~ = ( 2 , 4 , 3 ) , ~ = ( 5 ,- I , 2 )

9. Suponer que u . (v x w) = 3. Encontrar a) u - ( w X v )

b) ( v X w ) - u

C)

w-(uxv)

d) v . ( u x w )

e) ( u x w ) . ~

f) v.(wxw)

10. Encontrar el volumen del paralelepípedo cuyos lados son u, Y, y w. a)

= (2,

- 6 , 2), v = (O, 4, -2),

w =

(2,2, -4)

b)

U =

(3, I , 2), v

=

(4, 5 , I), w = (1, 2, 4)

11. Determinar si u, v, y w son coplanares cuando se colocan de modo que coincidan sus puntos iniciales. a) u = ( - 1, -2, I), v = (3, O, - 2 ) w = (5, -4, O) b ) u = ( 5 , -2, I), ~ = ( 4 -,I , I ) , w = ( l , - I , O ) C) U =(4, -8, I ) , v = ( 2 , 1, -2), w (3, -4, 12) 12. Encontrar todos los vectores unitarios paralelos al plano xy que son perpendiculares al vector (3, - 1,2).

I88 / Vectores enlos espacios bidimensional y tridimensional 13. Encontrar todos los vectores unitarios en el plano determinado por u = (3, O, 1) y v = (1, - 1, 1 ) que son perpendiculares al vector w = (1,2, O).

14. Sean a = ( a , ,a2,a3),h = ( b , , h2, h i ) , c = ( c , ,c2, C J y d = (di, d,, d3).Demostrar que (a+d).(bXc)==a.(bXc)+d-(bXc)

15. Simplificar (u + v) X (u - v )

16. IJsar el producto cruz para encontrar el seno del ángulo entre los vectores u = (2, 3, -6) y v = (2, 3,6) 17. a ) Encontrar el área del triángulo cuyos vértices son A(1, O, I ) , B(O,2, 3 ) y C(2, 1, O). b) IJsar el resultado del inciso a) para encontrar la longitud de la altura del vértice ¿' al lado AH. 18. Demostrar que si u es un vector que va de cualquier punto de una recta a un punto 1' que no pertenece a la recta y v es un vector paralelo a Csta, entonces la distancia entre P y la recta está definida por 1111 X vII / Ilvll.

21. Considerar el paralelepípedo con lados u = (3,2, I), v = (1, 1,2) pw = ( I , 3 , 3). a) Encontrar el área de la cara determinada por u y w .

b) Encontrar el ánguio entre u y el plano que contiene la cara determinada por v y w. [Nota El ángulo entre un vector y un plano se define como el Angulo O entre el vector y la nonnal al plano para la que O .c- O S d 2 . 1

22. Encontrar un vector n perpendicular al plano determinado por los puntos A(0, -2, I), & I , -1, -2) y (?(--I, 2, O). [Ver la nota del ejercicio 21.1 23. Sean m y n vectores cuyas componentes en el sistema xyz de la figura IO son m = (O, O, 1)y n = ( O , I , O). a) Encontrar las componentes de m y n en el plano xyz' de la figura 1O. b) Calcular m X n usando las componentes del sistema q z . c) Calcular m X n usando las componentes del sistema xyz'. d) Demostrar que los vectores obtenidos en b) y c) son los mismos. 24. Demostrar las siguientes identidades a) ( u + k v ) ~ v = u X v

b) U . ( V X Z ) =" ( u x z ) . ~

25. Sean u, v y w vectores diferentes de cero en el espacio tridimensional que tienen el

mismo punto inicial, pero de modo que ningún par de ellos es colineal. Demostrar que a) u X (v X w) está en el plano determinado por v y w. b) (u X v) X w estri en el plano determinado por u y v

3.5 Rectas y planos en el espacio tridimensional / 189 26. Demostrar el inciso 6)del teorema 3.4.1. [Sugerencia Demostrar primero el resultado en el caso en que w = i = (1, O, O), luego cuando w = j = (O, 1, O) y luego cuando w = k = (O, O, 1). Por Cltimo, hacer la demostración para un vector cualesquiera w = (w,,wz, w3)escribiendo w = w,i + wzj + w3k.]

27. Demostrar el inciso e ) del teorema 3.4.1. [Sugerencia Aplicar el inciso a) del teorema

3.4.2 al resultado del inciso d) del teorema 3.4.1.1

28. Sean u = (1, 3, -l), v = (1, 1,2) y w = (3, -1, 2). Calcular u x (v X W) usando el ejercicio 26; luego, comprobar el resultado efectuando el cálculo directamente. 29. Demostrar: Si a, b, c y d están el mismo plano, entonces (a

X

b) x (c

X d)

= O.

30. En geometría de sólidos existe un teorema que establece que el volumen de un tetrae-

dro es 1/3(área de la base) * (altura). Usar este resultado para demostrar que el volumen del tetraedro cuyos lados son los vectores a, b y c es 116 ::. (b X c) (figura 11).

31. Usar el resultado del ejercicio 30 para encontrar el volumen del tetraedro con vértices

P,Q, R Y S. a) P ( - 1, 2, O), Q(2, 1, -31, 4 1 , O, 11, S(3, -2, 3) b) P(0, O, O), Q(1, 2 , - I ) , R(3,4, O), S ( - 1, -3, 4) 32. Demostrar los incisos a ) y 6 ) del teorema 3.4.2 33. Demostrar los incisos c) y 6)del teorema 3.4.2. 34. Demostrar los incisos e ) y j ) del teorema 3.4.2

3.5 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL En esta sección se usarán los vectores para obtener ecuaciones de rectas y planos en elespacio tridimensional, y estas ecuaciones se utilizarán para resolver algunos prob lemas de geometría básicos.

PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

En geometría analítica plana, una recta se puede especificar dmdo su pendiente y uno de sus puntos. De manera semejante, un plano en el espacio tridimensional se puede especificar proporcionando su inclinación y especificando uno de sus puntos. Un método conveniente para describir la inclinación es especificar un vector diferente de cero (denominado normal) que es perpendicular al plano.

I90 / Vectvres en los espacios bidimensiorraly tridinrensisional

Suponer que se desea encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto Po(xo,yo,zo) y cuya normal es el vector n = (a, b, e) diferente de cero. De la figura 1 resulta evidente que el plano consta precisamente de los puntos P(x, y , z ) para T 6 es ortogonal a n; es decir, los cuales el vector P “-----f

n.PoP=O 4

Como POP= (x - xo. y - yo, z - zo). la ecuación (1) se puede escribir como

La expresión (2) se denomina forma punto-normal de la ecuación de un plano.

Figura 1

x/

Ejemplo 1 Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto ( 3 , - 1, 7) y es perpendicular al vector n = (4, 2. -5).

Multiplicando y agrupando téminos, (2) puede volver a escribirse como

donde a, 6 , c y d son constantes y no todas las constantes u, b y c son iguales a cero. Así, la ecuación en el ejemplo 1 se puede escribir de nuevo como 4x + 2y

- 5~ + 25 = O

Como se demuestra en el siguente teorema, toda ecuación de la forma ax + by + cz + d = O representa un plano en el espacio tridimensional.

3.5 Rectas y planos enel espacio nidimensional / 191

son iguales

Si a, b, c y d son constantes y no todas las constantes a, b y c a cero, entoncesla grájca de la ecuación

1 ax+by+cz+d=O

es un plano cuya normal es el vector n = (a, 6, c).

La ecuación (3) es una ecuación lineal en x, y y z; se denomina forma general de la ecuación delplano. Demostración. Por hipótesis, notodos los coeficientes a, b y c son iguales a cero. Suponer, por el momento,que a # O. Entonces la ecuación ax + by + cz + d = O puede escribir de nuevo en la forma a(x + (d/a))+ by + cz = O . Pero esta es una forma punto-normal del plano que pasa por el punto (-d/a, O , O) y cuya normal es n = (a,6, c). Si a = O, entonces b # O o c # O. Una modificación directa del razonamiento anterior permite manejar estos otros casos. 0

De la misma manera en que la solución deun sistema de ecuaciones ax

+ by = k,

cx

+ dy = k2

lineales corresponde a los puntos de intersección de las rectas ax + by dy = k, en el plano x y , así las soluciones de unsistema ax + by + cz = k , dx + ey + fz = k , gx + hy + iz = k3

= k,

y cx +

(4)

corresponden a los puntos de intersección de los tres planos ax + by + cz = k , , dx + ey+&=k2ygx+hy+iz=k3. En la figura 2 se ilustran algunas de las posibilidades geométricas que ocurren cuando (4) no tiene solución, tiene exactamente una solución o tiene infinidad de soluciones. Ejemplo 2 Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos Pl(l, 2, - l), P , ( 2 , 3 , 1) y P,(3, - L 2 ) .

Solución. Como los tres puntos están en el plano, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación general ax + by + cz + d = O del plano. Así, a+2b2a+3b+

c+d=O c+d=O

3 ~ -b + 2 c + d = O


La solución de este sistema es a=

- A1 t6 ,

h = " I1 6t ,

c=&t,

d=l

solución(3 planos paralelos).15)No existe solución(2 planos paralelos). c) No existe solución(3 planos sin intersección común). d) Infinidad de soluciones (3 planos coincidentes). e) Infinidad de soluciones(3 planos que se intersecan en una &).A Una solución (3 planos quese cortan en un punto).g) No existe solución(2 planos coincidentes paralelos un a tercer plano).h) h f h d a d de soluciones( 2 planos coincidentes quese intersecan con un tercer plano). a) No existe

Figura 2

~~

Haciendo t = - 16, por ejemplo, se obtiene la ecuación buscada 9x+y

- 5~ - 1 6 = 0

Se observa que con cualquier otra elección de t se obtiene un múltiplo de esta ecuación, de modo que con cualquier valor de t f O también se obtiene una ecuación válida del plano.

-

Otra solucion. Como P l ( l , 2, - l ) , P2(2,3, 1) y P3(3, -1, 2) pertenecen al plano, entonces los vectores p p = (1, 1, 2) y P I P 3 = (2, -3, 3) son paralelos al plano. u'2 Por consiguente, P I P 2 x P I P , = (9, 1, -5) es normal al plano, ya que es perpendicular a pip; y a p , P,. Con base en este hecho y como P, pertenece al plano, una forma punto-normal para la ecuación del plano es __f

-

&

9(x - 1)

+ ( y - 2) - 5(z + 1) = O

O

~ x + Y - ~ z 1- 6 - 0

A

3.5 Rectas y planos en el espacio tndimensional / I Y3

FORMA VECTORLAL DE LA ECUACI6N DE UN PLANO

Figura 3

La notación vectorial proporciona otra manera útil para escribir la punto-normal de la ecuación de un plano; con referencia a la figura 3, = (x, y , z) el vector que va del origen al punto P ( x , y , z), r, = (x,, y,, vectorque va delorigenalpunto P,(x,, y,, z,), y n = (u, b, c) un normal al plano (figura 3).

forma sean r zo) el vector

x+’

Entonces PTP como

=

r - r,, de modo que la fórmula (1) se puede volver a escribir

I n (r - r,,) = O

Esta expresión se denominaforma vectorial dela ecuación deun plano. Ejemplo 3 La ecuación

esla ecuación vectorialdel plano que pasaporel pendicular al vector u = (- 1, 2, 5). A RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

punto (6, 3 . -4) y es per-

A continuación se mostrará cómo obtenerecuacionesderectasen el espacio tridimensional. SuFoner que 1 es la recta en el espacio tridimensional que pasa por el punto Po(xo,y,, z), y es paralela al vector diferente de cero v = (u, b, c). Es evidente (figura 4) que 1 consta precisamente de los puntos P(x, y. z) para los que el vector r P es paralelo a v; es decir, para los que existe un escalar t tal que

194 / Vectores en 10s espacios bidimensional y tridimensional

En términos de componentes, (6) se puede escribir como (X - ~ 0y , -yo,

de donde se deduce que x - x. x = x.

= tu, y

+ tu,

z - zo) = (tu, tb,

-yo = tb y z

y = yo + tb,

tc)

- zo = tc, de modo que z = zo + tc

Figura 4

Cuando el parámetro t varía de Las ecuaciones x=x0+ta,

CQ

y=yo+tb,

a+

m.

el punto P(x,y, z ) describe la recta 1.

z=z0+tc

(7)

(--
~~~~~~~~

se denominan ecuaciones paramétricas de I

Ejemplo 4 La recta que pasa por el punto (1, 2, - 3 ) y es paralela al vector v = (4, 5, - 7 ) tiene las ecuaciones paramétricas x=1

+ 4t,

.v

=

2

+ 5t,

z = -3

-

7t

(--
A

Ejemplo 5

a) Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta I que pasa por los puntos

P,(2, 4, - 1) y P,(5, o, 7 ) . b) ¿Dónde corta la recta al plano y ?

3.5 Rectas y planos en el espacio m'dimensional / 195 L

Solución a). Como el vector P , P , = (3, -4, 8) es paralelo a 1y P,(2, 4 , - 1) pertenece a I, entonces la recta 1está definida por ~ = 2 + 3 t , y=4-4t,

Z =

-1 +8t

(-m<<<++)

Solución b). La recta corta al plano xy en el punto en que z = - 1 + Sf = O , es decir, donde f = 1/8. Sustituyendoeste valor de f en las ecuaciones parametricas de 1 se obtiene que el punto de intersección es

Ejemplo 6 Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta de intersección de los planos

Solución. La recta de intersección consta detodos satisfacen las dos ecuaciones del sistema

los puntos (x, y , z ) que

+

3~ 2y - 42 = 6 x-3y-2z=4

Al resolver este sistema se obtiene X=26+16f 11

11,

6

2

y = -ii--iit,

z=t

Por consiguiente, las ecuaciones paramétricas de 1son

FORMA VECTORIAL DE LA ECUACIóN DE UNA RECTA

La notación vectorial da otra forma útil para escribir las ecuaciones paramétricas de una recta; con referencia a la figura 3, sean r = (x, y, z) el vector que va del origen al punto P(x, y , z), ro = (xo, yo,zo) el vector que va del origen al p u s Po(xo,yo, zo), y v = (a, 6, c) un vector paralelo a la recta (figura 5). Entonces Pop = r - ro, de modo que la fórmula (6) se puede volver aescribir como r-ro=tv

Tomando en cuenta el intervalo de variación de los valores I, la fórmula anterior se puede escribir de nuevo como r=r,+tv

(-m
Esta expresión se denominaforma vectoriaf de f a ecuación de una recta en el espacio tridimensional.


Figura 5

.,/

Ejemplo 7 La ecuación (.\-,?:.)=(-2,0,3)+t(4,

- 7 , 1)

(--
es la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto (-2, O, 3) y es paralela al vector v = (4. -7. 1). A ALGUNOS PROBLEMAS DONDE INTERVIENE LA DISTANCIA

Esta sección termina con el estudio de dos "problemas de distancia" bhsicos en el espacio tridimensional: Problemas a) Encontrar la distancia entre un punto y un plano. b) Encontrar la distancia entre dos planos paralelos.

Ambos problemas están relacionados. Si se puede encontrar la distancia entre un punto y un plano, entonces es posible encontrar la distancia entre planos paralelos al calcular la distancia entre uno de los planos y un punto arbitrario Po en el otro plano (figura 6).

Figura 6

1

La distancia entre los planos paralelos V y Cy es igual a la distancia entre P, v W.

3.5 Rectas y planos en el espacio tridimensional / I Y7

ID=

+

laxO byo + czo + dl

ViGK2

e(.,,

Demostración. Sea y,, zl) cualquier punto en el plano. El vector normal n = (a, b, c) se coloca de modo que su punto inicial esté en Q. Como se ilustra en la figura 7 , la distancia D es igual a la longitud de la proyección ortogonal de sobre n. Así, por (10) de la sección 3 . 3 ,

Qx

Pero

Así, D = 14x0 - x, 1 + @Yo - Y ,

d

1 + &o

m

e@,,

- z1

)I

(10)

Como el punto yl, z i ) pertenece al plano, sus coordenadas satisfacen la ecuación del plano; entonces

ax, + by, + cz, + d = O O

d=

-

ax, - by, - czl

Sustituyendo esta expresión en (IO) se obtiene (9).

0

198

I Vectores en los espacios hidimensional y tridimensional OBSEHVACI~N. Nótese la semejanza entre (9) y la fórmula de la distancia entre un punto y una recta en el espacio bidimensional(13) de lasección 3.3.

Ejemplo 8 Encontrar la distancia D entre el punto (1, -4, -3) y el plano 2x - 3y + 6 z = -1. Solución. Para aplicar (9), primero se vuelve a escribir la ecuación del plano en la forma 2~ - 3 ~ + 6 1~= + O

Entonces

D=

/(2)(1)+(-3)(-4)+6(-3)+1)

q 2 2 + (-3>*+ 62

--=1-31

-

7

3 A 7

Dados dos planos, si se cortan, entonces se pregunta por su recta de intersección (como en el ejemplo 61, o si son paralelos, entonces se pregunta por la hstancia entre ellos. El siguiente ejemplo ilustra el segundo problema. Ejemplo 9 Los planos x+2y-22=3

y 2x+4y-4z=7

son paralelos, ya que sus normales (1, 2, -2) y (2, 4, -4) son vectores paralelos. Encontrar la distancia entre estos planos. Solución. Para encontrar la distancia D entre los planos, se puede elegir un punto arbitrario en uno delos planos y calcular su distancia al otro plano. Haciendo y = z = O en la ecuación x + 2y - 22 = 3 , se obtiene el punto P,(3, O, O) en este plano. Por (9), la distancia entre Po y el plano 2x + 4y - 42 = 7 es

_ _ ~ ~ ~ ~

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 3 5 1. Encontrar una forma punto-normal de la ecuación del plano que pasa por P y cuya

normal es n. -2); n = ( - 2 , 1, -1) c ) P(2, O, O); n = (O, O, 2) a) P ( - l , 3 ,

b)P(l, 1,4); n = ( l , 9 , 8 ) d ) P(0, O, O); n = (1, 2, 3)

2. Escribir en forma generallas ecuaciones de los planos del ejercicio l .

3.5 Rectas y planos en el espacio tridimensional / 199 3. Encontrar una forma punto-normal

a) - 3 x + 7 y + 2 z = 10

b) ~ - 4 ~ = 0

4. Encontrar la ecuación del planoque pasa por 10s puntos dados

a) P(-4,

-

1, - I ) ,

Q(-2, O, I), R ( - 1, -2,-3)

b) P(5,4, 31, Q(4, 3, I ) , R(1, 5,4)

5. Determinar si los planos son paralelos

y 7~-3y+42=8 a) 4 x - y + 2 z = 5 b)x-4y-3~-2=0 y 3 ~ -1 2 ~ - 9 ~ - 7 = 0 c) 2 y = 8 x - 4 z + 5 y x = + z + ' 4Y 6. Determinar si la recta y el plano son paralelos. a ) x = -5-4t,

y = l -t, z = 3 + 2 t ; x + 2 y + 3 z - 9 = 0 b)x=3t, y = 1+ 2 t , z = 2 - t ; 4 x - y + 2 ~ = 1

7. Determinar si los planos son perpendiculares.

a) 3 x - y + z - 4 = 0 ,x + 2 z =

-1

b) x - 2 y + 3 z = 4 ,- 2 x + 5 y + 4 z =

-1

8. Determinar si la recta y el plano son perpendiculares

a) x = - 2 - 4 t , y = 3 - 2 r , z = 1 + 2 t ; 2 x + y - z = 5 b)x=2+t, y = l -t, ~ = 5 + 3 t ; 6 ~ + 6 ~ - 7 = 0 9. Encontrar las ecuaciones paramétncas de la recta que pasa por P y es paralela a n.

a) P(3, - 1, 2), n = (2, 1, 3) c) P(2, 2, 6); n = (O, 1, O)

b) P(-2, 3, -3); n = (6, -6, -2) d) P(0, O, O); n = (1, - 2, 3)

10. Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos dados

a> (5, -2, 4), (7, 2, - 4)

b) (O, O, O>, (2, - 1, - 3)

11. Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta de intersección de los planos dados

a) 7 x - 2 ~ + 3 ~ -2 =

y

-3x+y+2z+5=0

b) 2 x + 3 y - 5 ~ = 0 y

12. Encontrar la forma vectorial de la ecuación del plano que pasa por Po y cuya nor-

mal es n. a) P 0 ( - l , 2 , 4 ) n; = ( - 2 , 4 , 1) c) P0(5,-2, 1); n = ( - I , O,O)

b) P0(2,0, -5); n=(-l,4,3) d) Po(O,O, O); n = (u, b, c )

13. Determinar si los planos son paralelos a) ( - l , 2 , 4 ) . ( ~ - 5 , ~ + 3 , ~ - 7 ) = 0 ; (2, -4, - 8 ) - ( ~ + 3 , ~ + 5 , ~ - 9 ) = 0 b)(3,0,-I).(x+I,y-2,~-3)=0; (-I,O,~).(X+I,~-Z,Z-~)=O

14. Determinar si los planos son perpendiculares. l , y , z + 3 ) = 0 ; ( I , -2, I ) . ( x + ~ , ~ - ~ , z ) = o b ) ( 3 , 0 , - 2 ) . ( ~ + 4 , ~ - 7 , ~1 )+= O ; (1, I , I ) . ( x , y , z ) = O

a) ( - 2 , l , 4 ) . ( x -

15. Encontrar l a forma vectorial de la ecuación de la recta que pasa por p , y es pa-

ralela a v. a) P o ( - l > 2 , 3 ) ; v = ( 7 , - 1 , 5 ) C) Po(L -4, 1); v = (O, O, - 2)

b) Po(2,0, - I ) ; VE(], I , I ) d) Po(O, O, O); v = ( U , b, C)

y=O

200 / Vertnres en los espacios bidimensionai y tridimensionul 16. 1)t:mostrar. que la recta ,x- = o,

y = [ *

z-

(-E.
+,A)

a ) pertenece al plano hx + 4y - 42 = (J. 11) es paralelaal plano 5x - 3y + 3z = 1 y csth por abajo de éste. L) es paralela ai plano 6x + 2y - 22 = 1 y esti por arriba de éste

18. Encontrar la ecuación del

a) plano KV.

b) piano xz.

c) plar~ovz.

19. Encontral. la ecuación del piano que contiene al punto (xo,yo. zo) y es paralelo al a) plano x y . b) plano yz. c) plano xz.

20. t-hcontrar l a ecuacrón del plano que pasa por el origen y es paralelo al plano 7x + 4y - 2 2 + 3 - 0 . 21. Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto (3, -6, 7) y es paralelo al plano 5, - 2 y + z - S=(). 22. Jhcontrar el punto de intersección de l a recta x-9=-sr,

y+l--t,

z-3=r

(--cc
y el plano 2x -. 3v + 42 + 7 = O. 23. Encontrar l a ecuación del plano que contiene a la recta x = -= 2 - t y es perpendicular al plano 2x - 4y + 22 = 9.

- I + 3t, y

=5

+ 2t, z

21. Ilncontrar la ecuación delplano que pasa por (2, 4, - 1) y contiene a la rectade intersección de los planos x y - 4z = 2 y - 2 x + y + 22 = 3 .

-

25. Demostrar que los puntos (-1, pertenecen al mismo plano.

-2,

-3), ( - 2 , O, I), (-4,-1,

-1)

y (2, O, 1)

26. Encontrar las ecuaciones paramétncas de l a recta que pasa por ( - 2 , 5 , O) y es paralela alosplanos2x+y-4z=Oy -x+2y+3z+1 =O. 27. Encontmr l a ecuación del plano que pasa por ( - 2 , I , S ) y es perpendicular a los planos 4~ - 2 ~ + 2 ~- 1 =V 3 ~ + 3 y- 6 . ~ ~ 5 . 28. Encontrar la ecuación del plano que pasa por (2, - 1,4) y es perpendicular a la recta de intersección de los planos 4x + 2y + 2z =-1 y 3x + 6y + 32 = 7. 29. Encontrar la ecuación del plano que es perpendicular al plano 8x - 2y + hz = 1 y pasa por los puntos P I ( - i , 2 , S) y P2[2, I , 4). 30. Demostrar que las rectas

3.5 Rectas y planos en el espacio tridimensional / 201 x=3-2t,

y=4+r,

z=l-t

(--<<<++)

x=5+2t,

y=l-t,

z=7+r

(--
Y son paralelas y encontrar la ecuación del planoque determinan. 31. Encontrar la ecuación del plano que contiene al punto (1, + l , ~ -3 = +2t.

- 1,2) y a la recta x = t, y

=t

32. Encontrar la ecuación del plano que contiene a la recta x = 1 + t , y = 3t, z = 2t y es paralelo a la recta de intersección de los planos -x + 2y + z = O y x + z + I= O. 33. Encontrar la ecuación del plano tal que todos sus puntos equidistan de (- 1, -4, -2) y

(0, -2,2). 34. Demostrar que la recta x-5=-t,

y + 3 = z2 +t ,1 = (- -5-tp < t < + ” O )

esparalelaalplano - 3 x + y + z

- 9=0.

35. Demostrar que las rectas x - 3 = 4yt-,4 =zt-,l = O

(-rn
Y ~ + 1 = 1 2yt -, 7 = 6~t ,- 5 = 3 t

(-x
se cortan y encontrar el punto de intersección 36. Hallar la ecuación del plano que contiene a las rectas del ejercicio 35. 37. Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta de intersección de los planos a) -3x+2,v+z= -5 and 7 x + 3 y - 2 z = - 2 b) 5 1 - 7y 2z = O and y = O

+

38. Demostrar que elplano cuyascoordenadas al origen son x = a,y = b, z = c tiene la ecuación

x y z -+-+-= 1 a b c

en el supuesto de que a, b y c son diferentes de cero, 39. Encontrar la distancia entre el punto y el plano, a) (3, 1, -2); x + 2y - 2z = 4 b)(-1,2,

I ) ; 2 ~ + 3 ~ - 4 z =1

C) (0,3, -2); x - Y - z = ~ 40. Encontrar la distancia entre los planos paralelos dados

a) 3x - 4y + z = 1 b) - 4 ~ + y - 3 ; = 0 c) 2 x - . v + z =

1

y y

+

22 = 3 8~-2,v+6z=O 2x-y+z= -1

61 - S,V

y

41. Demostrar que si las constantes a, b y c no son cero, entonces la recta

202 / Vectores en los espacios bidimensional y tridimensional y=y,+bt,

x=x,+at,

(--<<<+-m)

z=z,+ct

consta de todos los puntos (x,y, z ) que satisfacen x--,

-Y

a

-Yo-2-% h c

Estas expresiones se denominanecuaciones sim&ricas de la recta 42. Encontrar las ecuaciones simétricas de las rectas de los incisos a) y b) del ejercicio 9.

[Nota Ver el ejercicio 4 1 respecto a la terminología.]

43. En cada inciso, encontrar las ecuaciones de los dos planos cuya intersección es la recta dada. a)x=7-4t,

b)x=4t,

y = -5-2t,

,v=2t,

z=7t

z=5+f (-m
(-m<[<

+m)

+m)

[Sugerencia. Cada igualdad en las ecuaciones simétricas de una recta representa un plano que contiene a la recta. Ver el ejercicio 4 1 respecto a la terminología.] 44. Dos planos que se cortanen el espaciotridimensionaldeterminandosángulosde intersección: un ángulo agudo (O 5 8 5 90°) y su suplemento 1 SOo - 8 (figura Sa). Si n1 y n2 son normales diferentes de cero a los planos, entonces el ángulo entre nl y nz es 8 o 180° - 8 , dependiendo dea ls direcciones de las normales (figura 8b). En cada inciso, determinar el ángulo agudo de intersección de los planos, hasta el grado más

próximo. y 2x-y+z-4=0 b)x+2y-22=5 y 6~-3.~+2~=8

a)x=O

[Nota Se requiere calculadora.]

Figura 8 45. Encontrar el ángulo agudo de intersección entre el plano x - y - 32 = 5 y la recta x = 2 - t, y = 2t, z = 3t - 1 hasta el grado más próximo. [Sugerencia Ver el ejercicio 44.1

4.1

ESPACIOEUCLIDIAN0 n DIMENSIONAL La idea de usar parejas de números para localizar puntos en el plano y ternas de números para localizar puntos en el espacio tridimensional fue explicada con claridad por vez primera a mediados del siglo XVII. Al jinal del siglo XIX los matemáticos y losfisicos comenzaron a darse cuenta de que no era necesario detenerse en las ternas. Se reconoció que las cuádruplas de números (al, a2, a3, a4) podían considerarse como puntos en el espacio de "tetradimensional", las quíntuplas ( a l , a2, . . . , a5) como puntos en el espacio de "pentadimensional", y así sucesivamente. A pesar de que nuestra representación geométrica se limita al espacio tridimensional, muchos conceptos conocidos se pueden extender más allá del espacio tridimensional trabajando con las propiedades analíticaso numéricas de puntosy vectores en vez de hacerlo con las propiedades geométricas. En esta sección se precisarán con más detalle esas ideas.

VECTORES EN EL ESPACIO n DIMENSIONAL

Definición. Si n es unentero positivo, entonces una n-ada ordenada es una sucesión de n números reales (al, a2,. . . , an). El conjunto de todas las n-adas ordenadas se denomina espacion dimensional y se denota por R". 203

204 i Espacios vectoriales euclidianos

Cuando n = 2 o 3, se suelen usar los términos pareja ordenada o terna ordenada, respectivamente, en vez de 2-ada o 3-ada ordenadas. Cuando n = 1, cada n-ada ordenada consta de un número real, de modo que R' se puede considerar como el conjunto de los números reales. Para denotar este conjunto se escribe R en vez de R'. Quizá el lector observó al estudiar el espacio tridimensional, que el símbolo (al, a2, a3) tiene dos interpretaciones geométricas: se puede interpretar como un punto, en cuyocaso a l , a2 y a3 son las coordenadas figura la), o puede interpretarse como un vector, en cuyo caso a l , a2 y a3 son las componentes (figura lb). Se deduce así que una n-ada ordenada (al, a2, . . . , a,) se puede considerar como un "punto generalizado" o como un ''vector generalizado": matemáticamente, la diferencia carece de importancia. Así, la 5-ada (-2, 4, O , 1, 6) se puede describir como un punto en R5 o como un vectoren R S .

Figura

I

[La tema ordenada (al, a2, d 3 ) se puede interpretar geométricamente como un punto o un I vector. I

Definición. Dos vectores u = (u1, u2, . . . , u,) y v = (vl, v2, . . . , v,) en R" se denominan iguales si u1

= u , , u2 = V I , .

..

f

u, = u ,

La suma u + v se define por u +v

= (u,

+ u,, u2 + u2, . . . , u, +u,)

y si k es cualquier escalar, entonces el múltiplo escalar ku se define por

1-

4.1 Espacio euclidiano n dimensional / 205

Las operaciones de adición y multiplicación escalar en esta definición se denominan operaciones normales sobre R". El vector cero en R" se denota por O y se define como el vector

o = (O,

O, . . . , O)

Si u = (ul, u2, . . . , un) es cualquier vector en R", entonces el negativo o (inverso aditivo) de u se denota por -u y se define por -u =(-u,,

-u2,.

. . , -un)

La diferencia de vectores en R" se define por v-u=v+(-u)

o, en términos de las componentes, v - u = (u, - u,, u2 - 2.42, . . . , U"

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES VECTORIALES EN EL DIMENSIONAL

-

u,)

En el siguiente teorema se enumeran las propiedades aritméticas más importantes de la adición y la multiplicación escalar devectores en R". Todas las demostraciones son fáciles, por lo que se dejan comoejercicios. Teorema 4.1.1. Si u = (u1,u2, . . . , un),v = (vl, v2, . . . vfl)y w = (wl, w2,. . . w n >son vectores en R" y k y 1 son escalares, entonces:

~

I

a) u + v = v + u 6) u + ( v + w ) = ( u + v ) + w c) u + o = o + u = u d ) u+(-u)=O;esdecir, u-u=O e ) k(1u) = (kl)u f)k(u+v)=ku+kv g ) ( k + /)u = ku lu h) l u = u

+

I

Este teorema permite operar vectores R" sin necesidad de expresarlos en términos de las componentes. Por ejemplo, para despejar x en la ecuación vectorial x + u = v, se puede sumar -u a ambos miembros y proceder como sigue: (X+U)+(") =v+(-u) x+(u-u) =v-u x+o =v-u x =v-u

206 i Espacios vectoriales euclidianos

Es instructivo que el lector mencione los incisos del teorema 4.1.1 que justifcan los tres últimos pasos de este cdculo.

ESPACIO EUCLIDIAN0 n DIMENSIONAL

Para extender losconceptos de distancia, norma y ángulo a R", se empieza con la siguiente generalización del producto punto sobre R2 y R3. Fórmula (3) de la sección 3.31. Definición. Si u = (ul, u2, . . . , un), y v = ( v l , v 2 , . . . vn) sonvectores cualesquiera en R", entonces el producto interior euclidiano u v se define por u.v

= UIU,

Observar que cuando n producto punto ordinario.

=

+ u*u* + . . . + unvn

2 on

=

3, el producto interior euclidiano es el

Ejemplo 1 El producto interior euclidiano de los vectores u = (-1, 3, 5, 7 )

y

v = (5, -4, 7, O )

en R4 es ~.~=(-1)(5)+(3)(-4)+(5)(7)+(7)(0)=18 A

Como muchos de los conceptos conocidos de los espacios bidimensional y trilmensional existen en el espacio n dimensional, es común referirse a R", con las operaciones de adición, multiplicación escalar y producto interior euclidiano que se han definido aquí, como espacio euclidiano n dimensional. En el siguiente teorema se enumeran las cuatro propiedades aritméticas más importantes del producto interior euclidiano. Teorema 4.1.2. Si u, v y w son vectores en R" y k es cualquier escalar, entonces: a)

u.v=v.u b) ( u + v ) . w = u . w i - v . w c ) (ku). v = k(u v ) d ) v.v?O.Además,v-v=Osiysólosi

.

-

v=O.

Se demostrarán los incisos b ) y d), y las demás demostraciones se dejan como ejercicios.


Entonces ( u + v ) . w = ( u , +u,,u,+u,,

. . . , U,+U,).(Wl,W2,

. . . , w,)

+ U l ) W l + (u2 + u2)w2 -t.. + (u, + u,)w, = (ulw, + u*w2 + . + u,w,) + ( U 1 W , + u2w2 + . . + u,w,) =u.w +v.w = (UI

'

' '

Demostración de

d).

Se tiene vv

=

'

v++v#+ ...+v

O. Además, la igualdad se

cumple si y sólo si v1 = v2 = . . . = v,, = O, es decir, si y sólo si v = O .

0

Ejemplo 2 EL teorema 4.1.2 permite realizar cálculos con productos interiores euclidianos de manera bastante semejante a como se efectúan con productos aritméticos ordinarios. Por ejemplo,

+ v) + (2v) - (4u + v) = (3u) (4u) + (3u) v + (2v) (4u) + (2v) = ~ ~ ( I I -+u~) ( u - v+ ) ~ ( v - u+) ~ ( v - v )

(3u + 2v) * (4u + v) = (3u) (4u

=

*v

12(u.u)+ lI(u.v)+2(v.v)

El lector debe determinar qué incisos del teorema4.1.2 se aplicaron encada paso. A

NORMA Y DISTANCIA EN EL ESPACIO EUCLIDIAN0 n DIMENSIONAL

Por analogía con las conocidas fórmulas en R2 y R3, la norma euclidiana (o longitud euclidiana) de un vector u = (u1, u2, , . . , U,,) en R" se define por

11u11 = (u *

=v u :

+ 2.4'2 + . . . + ut

[Comparar esta fórmula con las fórmulas (1) y (2) de la sección 3.2.1 De manera semejante, la distancia euclidiana entre los puntos u . . , U,,) y v = (y1, v2, . . . , vn) en R" se define por

(1)

=

(ul, uz, .

Ver las fórmulas (3) y (4) de la sección 3.2. Ejemplo 3 Si u = (1, 3, -2, 7) y v = (O, 7, 2, 2), entonces en el espacio euclidiano R" se tiene que

Y d(u,v)=2/(1-0)2+(3-7)2+(-2-2)2+(7-2)2=fi

. ...

I

..".".

A

208

,'

Espacios vectoriales euclidianos

El siguiente teorcrna proporciona una de las desigualdades más importantes del Algebra lineal, la desigualdad de Cauchy-Schwarz*

Teorema 4.1.3. (Desigualdad deCauchy-Schwarz en R"). Si

son vectores en R", entonces

I

o, expresada en términos de las componentes,

*ilugustin Louis Barón de) Cauchy (1789-1857). Matemático francés. Cauchy recibió su primera educación de su padre,abogado y que también era maestro de los clásicos. Cauchy ingresó a l a Ecole Polytechniqueen 1805 paraestudiaringeniería,perodebidoa su quebrantadasalud, le recomendaronconcentrarscen las matemáticas. Su trabajomatemáticoespecializadoempezó en 181 1 con una serie de brillantes soluciones de algunos prohlemas sobresalientes dificiles. [ a s contribuciones matemáticasdeCauchydurantc los 35 afioius siguientesfueronbrillantes y asombrosas en cantidad, > a que produjo más de 700 articulos que abarcan 26 volúmenes modernos. El trabajo de Cauchy inició la era del análisis moderno, aport6 a In%matemáticas n o m a s de precisión y rigor jamás soñados por matemáticos anterioresa 61.

I,a vidadeC;ruchyestuvoligadademanerainextricable a los aconteclmientos políticos de l a &poca.Fuerte partidario de los Worbones, abandonó a su mujer e hijo en I 830 para seguir a l exllio ai rey borbón Carlos X. Debido a su lealtad, el ex-rey lo nombr6 barón. Cauch? volvió finalmentc a Francia pero rehuso aceptar u n puesto universltario. hasta que el gobierno ccdio al requisitc dr: que prestara juramento.

Es dificil tener una imagen clara de la personalidad de Cauchy. Devoto católico, patrocinó obra> Sin embargo.otroz dccarldad para madressolteras y criminales, asi como deayudaaIrlanda aspectos de su vida lo presentan de manera desfavorable. E 1 matcmitico noruego Abel lo describe co1710"loco. i~~finitamrnte caiólicny fanático". Algunos escritorespregonan sus enseñanzas.pero otros aiirman q u e divagaba incoherenc~asy. según un informe de l a época. una ocasión dedic6 toda una clase a extraer l a raíz cuadrada de 17 a 10 cifras decimales aplicando un metodo bien conocido por SUS estudiantes. En todo caso, Cauchy cs indiscutiblemente una de las grandes luminarias en la historia de l a ciencia. f f e r m a n .4mandrrs Schwarz 1843.1921). Matemático alemán. Schwarz fue e1 matemático más Importanteenncrlíndurantelaprimeraparte del siglo NX. Debidoa la devoción que guardaba respecto a s u s deberes académicos ell la IJniversidad de Berlín y a una propensión a tratar con la misma dedicaciónhechosimportantes y hechostriviales, n o public6 en grani,olumen.Tendía a centrarse en estrechosproblemasconcretos.pero sus técnicaseran a nrenudoextremadarnents brillantes e influenciaban el trabajo de otros matemiticos. l J n a versión de l a desigualdad que llc\a su nonlbre apareció en un artículo sobre superficies de área minima publicado en 1885


Por el momento se omite la demostración, ya que después en el texto se demostrará una versión más general de este teorema. Sin embargo, para vectores en R2 y R3, este resultado es una simple consecuencia de la fórmula (1) de la sección 3 . 3 : Si u y v son vectores diferentes de cero en R2 o R3, entonces lu.vl

=

I11~11llvll cos 81 = llull llvll /cos el 5 llull llvll

(5)

y si u = O o v = O , entonces ambos miembros de (3) son cero, de modo que también en este caso se cumple la desigualdad. En los dos teoremas siguientes se enumeran las propiedades básicas de la longitud y la distancia en el espacio euclidiano n dimensional. ~~

~~

rTeorema 4.1.4. Si u y v son vectores en K" y k es cun!quier escalar, entonces:

Se demostrarán los incisos c ) y ejercicios.

d),

I

y las demostraciones de a) y 6) se dejan como

Demostración de c). Si u = (u1, u2, . . . , U,), entonces ku = (kul, ku2, . . . , ku,), modo que

de

Demostración de d). ((u+v((2=(u+v).(u+v)=(u.u)+2(u.v)+(v.v)

+

= ()u/12 2(u v) 5 11u112 S

=

+ (/VI12

+ 21u * V I + IIVII?

I(u((~+ 2llull ((v((+ ( ( ~ ( 1 ~

Propiedad del valor absoluto Desigualdad de Cauchy-Schwarr.

I

tllull + //v11~2

El resultado se deduce ahora extrayendo raíz cuadrada a ambos miembros,

0

El inciso c) de este teorema establece que al multiplicar un vector por un escalar k, la longitud del vector se. multiplica por un factor k (figura 2a). El inciso d) de este teorema se conoce comodesigualdad del triángulo, ya que generaliza el conocido resultado de la geometría euclidiana el cual establece que la suma de las

210

2,'

I+pacio,s vectariales euclidianos

longitudes de dos lados de un triángulo es mayor o igual que la longitud del tercer lado (figura 2b)

Figura 2

Teorema 4.1.5. Si u, v y w son vectores en R" y k es cualquierescalar, entonces d(u, v) 2 o 6) d(u, v) = o S I .v sólo SI u = v c) d(u, v) = d(v, u) d ) d(u, v) 5 d(u, w ) + d(w, v) (Desigualdad del trriúngulo) (Z)

Los resultados de este teorema son consecuencias inmediatas del teorema 4.1.4 Se demostrará el inciso d) y las demostraciones de los demás incisos se dejan como ejercicios. Demostración de d). Por (2) y el inciso d)del teorema 4.1.4, se tiene d(u, v) = \/u- VI/ = Il(u w) + (w - v)l/ 5 ljll - w// l/w - VI/ = d(u, w) + d(w, v) "

+

o

El inciso d) deeste teorema, que también se denomina desigualdad del triúngulo, generaliza el conocido resultado de geometría euclidiana que establece que la distancia más corta entre dos puntos es una recta (figura 3 ) .

4.1 Espacio euclidiano n dimensional / 21 1

La fórmula (1) expresa la norma de un ducto punto. El siguiente teorema útil expresa de normas.

vector en términos de un proel producto punto en términos

Teorema 4.1.6. Si u y v son vectores en R" con producto interior euclidiano, entonces u .v

+

= +/\u VI12

(6)

- +ilu - VI12

I

1

Demostración.

a partir de lo cual (6) se concluye por álgebra simple.

0

En los ejercicios se proporcionan algunos problemas numéricos en los que se aplica este teorema.

ORTOGONALIDAD

Recordar que en los espacios euclidianos R2 y R3 dosvectores u y v se definen como ortogonales perpendculares) si u v = O (sección 3.3). Con esta motivación se presenta la siguiente definición. Definición. Dos vectores u y v en R" se denominan ortogonales si u v = O .

Ejemplo 4 En el espacio euclidiano R4,los vectores u = (-2, 3, 1, 4) y v = (1, 2, o, -1)

son ortogonales, ya que ~.~=(-2)(1)+(3)(2)+(1)(0)+(4)(-1)=0

A

Después, en el texto, se analizarán con más detalle las propiedades de los vectores ortogonales, aunque en este momento se observa que muchas de las propiedades conocidas de los vectores ortogonales en los espacios euclidianos R2 y R3 son verdaderas en el espacio euclidiano R". Por ejemplo, si u y v son vectores ortogonales en R2 o en R3, entonces u, v y u + v forman los lados de un triángulo rectángulo (figura 4); así, por el teorema de Pitágoras,

21 2 I Espacios vectoriaIes euclidianos

Figura 4

U

El siguiente teorema muestra que este resultado se extiende a R".

Teorema 4.1.7. (Teorema de Pitágoraspara R"). Si u y v son vectores ortogonales en R" con el producto interior euclidiano, entonces

1111 + V I 2 = 11U1l2 + llvll2

OTROS TIPOS DE NOTACIÓN PARA VECTORES EN R"

[;I

Un vector u = u l , u2, . . . , U,,) en R" también sepuede escribir en notación matricial como matriz renglón o matriz columna:

U=

o

u=[.,

u2

...

u,]

u,

Lo anterior se justifica porque con lasoperaciones matriciales

se obtienen los mismos resultados que con las operaciones vectoriales u + v = ( U l , u 2 , . . . , u,) + (u,, u 2 , . . . , u,) = (u1 + u,, ku = k ( u , , u2,. . . , u,) = ( k u , , ku,, . . . , ku,)

u2

+ u,,.

. . , un

+ u,)


La única diferencia es la forma en quese escriben los vectores. UNA FORMULA MATRICIAL PARA EL PRODUCTO PUNTO

Si los vectores se escriben como matrices columna

U =

y en las matrices 1X 1 se omiten los corchetes, entonces se deduce que

Así, para vectores expresados como matrices columna se tiene la siguiente fórmula para el producto interior euclidiano:

-;I

E3 VTU =

Por ejemplo, si

u=[

u.v

entonces

u.v=vTu=[5

Si A es una matriz n X n, entonces por la fórmula (7) y las propiedades de la transpuesta se concluye que AU v = ~'(Au)= (v'A)u = (A'v)=u = U * A'v

u .Av = (Av)Tu = (v=AT)u= vT(ATu) = ATU. v

214 / Espacios vectoriales euclidianos

constituyen un vínculo importante entre la multiplicación por una matriz A n y la multiplicación por AT. Ejemplo 5 Suponer que A = [

1 2

31],

-2

-1

4

o

.=[-;I, -p1

X

n

v=[

1

Entonces 1

-: ;][ ;] [

. .

-

o

4 I

=

-:I[ -;I= [-; 1

1

-

1.

a partir de lo cual se obtiene AU v

=

7( - 2) + lO(0) + 5(5)

=

I1

u*ATv=(-1)(--7)+2(4)+4(-1)=

11

Así, Au * v = u A%, como garantiza la fórmula (8). Se deja para el lector la comprobación de que (9) también se cumple. A

UN PRODUCTO PUNTO CONSIDERADO COMO MULTIPLICACIÓN MATRICIAL

Los productospuntoproporcionanotraformadeentender dematrices.Recordarquesi A = [a,] esunamatriz m matriz Y X n , entonces el ij-ésimo elementode A B es

que es el producto punto del i-ésimo vector renglón de A

y el j-ésimo vector columna de B

X

la multiplicación r y B = [b,.] esuna

4.1 Espacio euciidiano n dimensional

/

215

Por tanto, si los vectores renglón de A son r,, r,, . . . , r, y los vectores columna de B son c l , c,, . . . , c,, entonces el producto matricial A B se puede expresar como

AB =

En particular, un sistema lineal Ax punto como

=

b se puede expresar en forma de producto

rl.x r2- x

-

rm x donde rl, r l , . . . , rm sonlosvectoresrenglónde elementos de b.

A y b,, b,, . . . , bm sonlos

Ejemplo 6 A continuación se presenta un ejemplo de un sistema lineal expresado en la forma de producto punto (1 1). Sistema

Forma de producto punto

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 4.1 1. S e a n u = ( - 3 , 2 , l , O ) , v = ( 4 , 7 , - 3 , 2 ) y w = ( 5 , a) v - w d) 6(u - 3v)

b) 2~ + 7~ e) - v - w

-2, 8, 1). Encontrar

"U + (V - 4 ~ ) f ) (6v - w ) - (4u v)

C)

+

2. Sean u, v Y w 10s vectores del ejercicio 1. Hallar el vector x que satisface 5x (2w - 5%).

- 2v =

4. Demostrar que no existen escalares cl , c2,c3 y c4 tales que c,(l, o, 1, 0) + c2(1,

o,

-2, 1) + c3(2, o, I , 2) = ( I , -2, 2, 3 )

5. En cada inciso, calcular la norma euclidiana del vector.

a) (-2, 5)

b) (1,2, -2)

c ) (3,4, O, -12)

d) (-2, II, ,

-3,4)

218

1'

Espacios vectoriales euclidianoh

VI

= ( U l , o, o, . . . , O),

v2

=

(O,

(I?,

o, . . . , O), . . , v, ,

= (O,

o, o, . . . , a,,)?

b) ¿,Cómo definiría el lector la longitud euclidiana de la "diagond" de l a caja en el inciso a)?

4

Figura 5

4.2 TRANSFORMACIONES LINEALES DE P A

Ry"

En esta sección se iniciara el estudio de funciones de la forma w = F(x), donde la variable independiente H es un vector en Rn y la variable dependiente w es un vector en N"'.La atención se centrará en una clase especial de tales funciones denominadas "transfonnaciones lineales". Las transformaciones lineales son fundamentales en el estudio del álgebra lineal y tienen muchas aplicaciones importantes en faica, ingeniería, ciencias socialesy diversas ramas de la matemática. FUNCIONES DE F A R

Recordar que una funcidn es una regla f que asocia a cada elemento de un conjunto A uno y sólo un elemento de un conjunto B. Sifasociael elemento b con el elemento a, entonces se escribe b = A a ) y se dice que b es la imagen de a bajof, o que f ( a ) es el valor de f e n a. El conjunto A se denomina dominio d e f y el conjunto B se denomina codominio del: El subconjunto de B que consta de todos los valores posibles def cuando a varía sobre A se denomina recorrido de f: Para las funciones más comunes, A y B son conjuntos de números reales, en cuyo casof se denominafunción con valores reales de una variable real. Otras funciones COmunes Ocurren cuando B es un conjunto de números reales y A es un conjunto de vectores en R2, R3 o, más generalmente, en R". En la tabla 1 se muestran algunos ejemplos.

4.2 Transformaciones lineales de R" a Rm / 219

TABLA 1

Fórmula

I Ejemplo

Descripción

Clasificación ~~~

f (x>

f (x)

=x2

Función de valores reales Función de R a R de una variable red ' Función de valores reales

Función de R2 a R

de dosvariables reales Función de valores reales Función de R3 a R de tres variables reales Función de valores reales Función de R" a R de n variables reales

Dos funcionesfi y f2se consideran iguales, escrito como f l mismo dominio y f i ( a ) =&(a) para toda a en el dominio. FUNCIONES DE

R" A R m

=&, si tienen el

Si el dominio de una funciónfes R" y el codominio es Rm(m y n quizá iguales), entoncesf se denomina transformación de R" a Rm,y se dice que f mapea (aplica o transforma) R" en Rm. Este hecho se denota escribiendo $ R" -, Rm. Las funciones que se presentan en la tabla 1 son transformaciones para las que m = 1. Para el caso especial en que m = n, la transformación$ R" + R" se denomina operador sobre R". El primer elemento en la columna 2 de la tabla 1 es un operador sobre R. Para ilustrar una forma importante en que pueden surgir las transformaciones, suponer quefl,fi, . . . ,fm son funciones con valores reales de n variables reales, por ejemplo

Estas m ecuaciones asignan un punto Único (wl, w2,. . . , w,) en Rm a cada punto (x1,x2, . . . , X,,) en R" y, por tanto, definen una transformación de R" a Rm.Si esta transformación se denota por T, entonces T:R" + Rm y

Ejemplo 1 Las ecuaciones w1

= x,

w2

=

+ x2

3x,x2

wj = x ; - x;

220 1 Espacios vectoriales euclidianos

definen una transformación T:R2 -+ H3. Con esta transformación, la imagen del punto (xl, xz) es = (11 f X2, 3xlX2, 1 : -.X:)

T(X,, X2)

Así, por ejemplo, -6, - 3 )

T(1, - 2 ) = ( - 1 ,

TRANSFORMACIONES LINEALES DE R"aP

A

En el caso especial en que las ecuaciones de (1) son lineales, la trasformación T:Rn + K" definida por esas ecuaciones se denomina transformación lineal (u operador lineal si m = n). Así, una transformación lineal T:R" Rm está definida por ecuaciones de la forma -+

W]

= a,+]

+ a,2x2 +

' '

. + a,,x,

o bien, en notación matricial,

o, más brevemente, w =Ax

La matriz A = [ a -1 . se denomina matriz estrindar de la transformación lineal T y T se denomina muhplicación porA . Ejemplo 2 La transformación lineal T:R4 + R3 definida por las ecuaciones WI=

2x1 - 3x2 f

w 2 =

4x,

+

X3

x2 - 2x3

w 3 = 5x, - x* + 4x3

se puede expresar en forma matricial como

de modo que lamatriz estándar para T es

- 5x4

+

,x4

4.2 Transformacioneslineales de R" a Rm / 221

La imagen de un punto (xl, x2, x3, x4) se puede calcular directamente a partir de las ecuaciones de definición (5) o a partir de (6) por multiplicación de matrices. Por ejemplo, si (xl, x2, x3, x4) = (1, -3, O, 2), entonces al sustituir en (5) se obtiene wI=l,

w2=3,

w,=8

(comprobar) o, alternativamente, a partir de ( 6 )

ALGUNOS COMENTARIOS SOBRE LA NOTACI~N

Si T:R" + Rm es una multiplicación por A , y si es importante recalcar que A es la matriz estándar para T, entonces la transformación lineal TR" "* Rm se denota por TA:R"+ Rm.Así, TA(x)= A x

(7)

En esta ecuación se sobrentiende que el vector x en R" se expresa como una matriz columna. Algunas veces es tedioso introducir una nueva literal para denotar la matriz estándar de una transformación lineal T:R" -+ R". En esos casos, la matriz estándar.para T se denota por el símbolo [q.Con esta notación, la ecuación (7) asume la forma T(x) = [ T ] x

(8)

Algunas veces se mezclan las dos notaciones para la matriz estándar, en cuyo caso se tiene la relación (9) OBSERVACI~N. Entre toda esta notación es importante tener en mente que se ha establecido una correspondencia entre las matrices m X n y las transformaciones lineales de R" a Rm:a cada matriz A le corresponde una transformación lineal T,: (multiplicación por A ) , y a cada transformación lineal T:R" "* Rm le corresponde una matriz [qm X n (la matriz estándar para 7).

222

,;

Espacios vectoriales euclidianos

GEOMETRÍA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

Dependiendo de si las n-adas se consideran como puntos o comovectores,el efecto geométrico de un operador TR" + R" es transformar cada punto (o vector) en Rn en algún nuevo punto (o vector) (figura 1).

-

Figura 1

1

"-+ T mapea puntos en puntos.

-

T mapea vectoresen vectores

Ejemplo 3 Si O es la matriz cero m x n y O es el vector cero en R", entonces para todo vectorx en R" T,(X) = ox = o

de modo que la multiplicación por cero mapea cada vector de R" en el vector cero en R". To se denomina transformación cero de R" a R". Algunas veces la transformación cero se denota por O. Aunque esta e$ la misma notación que se usa para indicar la matriz cero, la interpretación apropiada es evidente a partir del contexto. A

Ejemplo 4 Si Z es la matriz identidad n x n, entonces para todo vector x en R" T,(x)

= zx = x

de modo que la multiplicación por I mapea cada vector de R" en sí mismo. TI se denomina operador identidad sobre R". Algunas veces el operador identidad se denota por Z. Aunque esta es la misma notación que se usa para indicar la matriz identidad, la interpretación apropiada es evidente a partir del contexto. A Entre los operadores lineales más importantes sobre R2 y R3 están los que producen reflexiones, proyeccionesy rotaciones. A continuación se analizarán esos operadores.

OPERADORES REFLEXI~N

Considerar el operador T:R2-R2 que transforma cada vector en su imagen simétrica con respecto al eje y (figura 2). Si se hace w = T(x),entonces las ecuaciones que relacionan las componentes dexywson

4.2 Transfornlacioneslineales de Rn a Rm / 223

w,= --x u'2= y

+ oy ox + y

= "x

=

4 Y

l

Figura 2

o bien, en forma matricial,

[:I

=

[-:, Y][ :1

Como las ecuaciones en (10) son lineales, T es un operador lineal y por (1 1) se tiene que la matriz estándar para T es

En general, los operadores sobre R2 y R3 que transforman cada vector en su imagen simétrica con respecto a alguna recta o algún plano se denominan operadores reflexiidn. Estos operadores son lineales. En las tablas 2 y 3 se enumeran algunos de los operadores reflexih comunes. 'ABLA2

224

i

Espacios vectoriales euclidianos ABLA 3 Operador

Figura 3

Ecuaciones

Reflexión respecto al plano xy

w ,=

Keflexlón respecto al plano xz

w, =

Reflexión respecto al plano yz

OPERADORES PROYECCIóN

Ilustración

w2 = wg =

Matriz estjadar

x y -2

x

w, = -y wg = 2

w1=

"x

w, =

y

w3 =

z

Considerar el operador T:R2-.H2 que transforma cada vector en su proyección ortogonal sobre el eje x (figura 3).

4.2 Transformaciones lineales de Rn a Rm / 225

Las ecuaciones que relacionan las componentes de x y w w,=x= w* =

= T(x) son

xfOy

o = ox + oy

o bien, en forma matricial;

[:I

=

[:, :][;I

Las ecuaciones en (12) son lineales, de modo que T es un operador lineal y por (13) se tiene que la matriz estándar para T es 1 0

[T1=[0

o]

En general,un operador proyección (o másprecisamente,un operador proyección ortogonal) sobre R2 o R3 es cualquier operador que transforma cada vector en su proyección ortogonal sobre una recta o un plano que pasan por el origen. Es posible demostrar que estos operadores son lineales. En las tablas 4 y 5 se enumeran algunos de los operadores proyección básicos sobre R2 y R3.

MBLA 4

Ilustración

Operador

I

I

Proyección ortogonal sobre el eje x

w, = x

I

Proyección ortogonal

I

I

,726

Espaciosvectorialeseuclidianos

TABLA 5

Operador

Matriz estándar

Ilustración

Proyección ortogonal sobre el plano xv

4'

Proyección ortogonal sobre el plano xz

Proyección ortogonal sobre el plano yz Y -__t

2

OPERADORES ROTACI~N

Un operador que hace girar todo vector en R2 hasta describir un ángulo fijo se denomina operador rotacidn sobre R2. En la tabla 6 se enumeran los dos operadores rotación básicos sobre R2. Para mostrar cómo se obtuvieron los resultados, considerar el operador rotación que hace girar en sentido contrario a las manecillas del reloj cada vectorpor un ángulo positivo fijo 8. Para encontrar ecuaciones que relacionen x y w = T(x), sea el ángulo del eje x positivo a x, y sea r la longitud común de x y w (figura 4).

. Figura 4

I Entonces, por trigonometría básica, x =r

cos 4,

y

=r

send

4.2 Transformacioneslineales de Rn a Rm / 227

Por medio delas identidades trigonométricas en (15) se llega a w, = r cos O cos 4 - r sen8sen4 w,=rsenOcos ++reos Osen4 y sustituyendoen (14) se obtiene w, =.xcos O-ysen8

w2=xsen8+ycos8 Las ecuaciones en (16) son lineales, por lo que T es un operador lineal; además; con base en estas ecuaciones se concluye que la matriz estándar para í"es

aciones Operador Rotación a través de un ángulo 8

Matriz estándar

Ilustración W, = X C O S

(w1, w2)

8-y

e

1

cos O

-sen O

8

cos 8

St\(&Y)

Ejemplo 5 Si cada vector en R2 se hace girar un ángulo n/6 imagen w de un vector es

Por ejemplo, la imagen del vector x=

[:]

= (30°), entonces

la

228 ' Eipacios vectorzales euctidianos

es

Una rotación de vectores en R3 se describe, por lo general, en relación a un rayo que parte del origen, denominado eje de rotación. A medida que un vector se desplaza alrededor del eje derotación, describe una porción de un cono figura 5a). E: ángulo de rotucidn, que se mide en la base del cono, se describe como "en sentido del movimiento de las manecillas delreloj" o "en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj" en relación a un punto de vista situado a lo largo del eje de rotación viendo hacia el origen. Por ejemplo, en la figura 5a, el vector w resulta al hacer giraren sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj alrededor del eje 1 el vector x hasta describir un ángulo 8. Así como en R2, los ángulos son positivos si son generados por rotaciones en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, y negativos si son generados por rotaciones en sentido del movimiento delas manecillas del reloj. La forma más común de describir un eje de rotación general es especificando un vector u diferente de cero situado a lo largo del eje de rotación y cuyo punto inicial está en el origen. La dirección en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj para una rotación alrededor del eje se puededeternlinar entonces mediante una "regla de la mano derecha" (figura 56); si el pulgar de la mano derecha apuntaen la dirección de u, entonces los demás dedos apuntan en la dirección opuesta al movimiento de las manecillas del reloj.

5

A"

I

Figura 5

Rotacidn en sentido contrario a las manecillasdelreloj.

b) (i I

Un operador rotucidn sobre R3 es un operador lineal que hace girar cada vector en R3 alrededor de algún eje de rotación hasta describir un ángdo fijo 8. En la tabla 7 se describen los operadores rotación sobre R3 cuyos ejes de rotación son los ejes de coordenadas positivos. Para cada una de estas rotaciones, la rotación deja sin cambio una de las componentes, y las relaciones entre las otras componentes se pueden obtener con el mismo procedimiento usado para obtener (16). Por ejemplo, en la rotación alrededor del eje z, las componentes z de x y w = T(x) son las mismas, y las componentes x y y están relacionadas como en (16). Esto conduce a las ecuaciones de rotación que se muestran en el último renglón de la tabla 7.

4.2 Transformaciones lineales de R"

a Rm /

229

'ABLA 7 Operador

Matriz estándar

Ecuaciones

Ilustración

Rotación en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj a través de un á n a o respecto al eje x positivo.

w ,=x

O

w 2= y c o s 0 - z s e n 0 w 3 = y sen O + z

Rotación en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj por un ángulo respecto al eje y positivo.

w 1= x cos O

tz

O

+ z sen0

cos 8 O

U'2 = y

=

Rotación en sentido Zontrario al movimiento de las manecillas le1 reloj a través le un ángulo lespecto al eje z ~ositivo.

COS

-xsenO+zcosO

w ,= x c o s 0 - y s e n 0

t"

w2 = x s e n O + y c o s 0 wj = z

cos0 [se;

0

-

sen O

.:@I

sen0 O

p]

coi O

Por completitud, se observa que la matriz estándar para una rotación en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj alrededor de un eje en R3 (detenninado por un vector unitario arbitrario u = (a, b, c) cuyo punto inicial está en el origen) por un ángulo 8, es a2(I - cos 8)

[

+ cos 8

ab(1 - cos 0)

-

c sen 0 ac(1

-

cos 0)

+ b sen8

ab(l-cos8)+csen8 b2(1-cose)+cos8 bc(l-cos~)-usen8 ac(1 - cos 0) - b sen O bc(1 - cos O ) + U sen 8 c2(1 - cos 0) + cos O

1

(1 7)

L a obtención de este hecho puede consul barse en el libro Yrincipies of Interactive

Computer Graphics, de W. M. Newrnan y R. F. Sproull, 'Nueva York, McGra\v-

... .

.

230

Espacios vectoriaies euclidianos

Hill, 1979. Es instructivo que el lector deduzca los resultados de la tabla 7 como casos especiales de este resultado más general. OPERADORES DILATACION Y CONTRACCIóN

Figura 6

Si k es un escalar no negativo, entonces el operador T(x) = kx sobre R2 o R3 se denomina contracción con factor k si O Ik 5 1 y dilatacidn confactor k si k 2 1. El efecto geométrico de una contracción es comprimir cada vector por un factor k (figura 6 4 , y el efecto de una dilatación es estirar cada vector por un factor k (figura 66). Una contracción comprime R2 o R3 uniformemente hacia el origen desde todas las direcciones, y una dilatación estira R2 o R3 umfonnemente lejos del origen en todas ías direcciones.

U)

b)

O%k< 1

k> 1

La contracción más extrema ocurre cuando k = O, en cuyo caso T(x) = kx se reduce al operador cero T(x)= O, que comprime cada vector a un simple punto el origen). Si k = 1, entonces T(x) = b se reduce al operador identidad T(x)= x, que deja sin cambio cada vector; esto se puede considerar como una contracción o como una dilatación. En las tablas 8 y 9 se enumeran los operadores contracción y Qlatación sobre R2 y R3.


'ABLA 9 Operador

Ilustración

Contracción con factor k sobre R3.

t"

Ecuaciones

Matriz estándar

w ,= kx w2 = kY w3 =

Dilatación con factor k sobre R3.

kz

w , = kx

0

0

k

w2 = kY w 3 = kz

COMPOSICIONES DE TRANSFORMACIONES LJNEALES

Si TA:Rn+ Rk y TB:Rk Rm son transformaciones lineales, entonces para todo x en R~ primero se puede calcular lA(x), que es un vector en R ~ y, luego calcular TB(TA(x)),que es un vector en Rm. Así, la aplicación de TA seguida de TB produce una transformación de Rn a Rm. Esta transformación se denomina composición de Ts con TA y se denota por TB TA (y se lee como 'ITA seguida de Tu"). Así, 0

La composición de TB 0 TA es lineal, ya que ( TB0 TA)(x)= TB(T,(x)) = B(Ax) = (BA)x

(19)

Demodo que TB 0 TA es la multiplicación por BA, que es una transformación lineal. La fórmula 19) también establece que la matriz estándar para TB TA es BA. Este hecho se expresa con la fórmula 0

OBSERVACI~N. La fórmula (20) encierra una idea importante: La multiplicacrón de matrices es equivalente a componer las transformaciones lineales correspondientes enorden de derecha a izquierda delosfactores. La fórmula (20) se puede escribir de otra manera: Si T,:R"+Rk y T2:Rk Rm

sontransformacioneslineales,entoncesdebido a quela matriz estándarparala composición T, TI es el producto de lasmatrices estándares paraT, y T I ,se tiene 0


Ejemplo 6 Sean T1:R2+ RZ y T2:R2+ R2 los operadores lineales que hacen girar a los vectores por los ángulos O, y O,, respectivamente. Así, la operación (T2 O

TI )(x> = T,(T,(x))

primero hace girar a x por un ángulo O,, luego hace girar a Tlx) un ángulo O,. Se concluye que el efecto neto de T, o T , es hacer girar cada vector en R2 por el ángulo O, + O, (figura 7).

Figura 7

Así. las matrices estándar para estos operadores lineales son

cos 8,

[

COS(O,

+ O,)

+ O,)

T2

-

1 = [,O2

-sen(8, + O,) cos(8, + 8,)

sen 8, cos 0,

1

Estas matrices deben satisfacer (21). Con auxilio de algunas identidades trigonométricas básicas se puede demostrar que lo anterior es como sigue:


Ejemplo 7 Sea T,:R2 + R2 el operador reflexión respecto a la recta y = x, y sea T2:H2 + R2 la proyección ortogonal sobreel eje y. En la figura S se ilustra grákamente que T,0 T2 y T2 0 T , tienen efectos distintos sobre un vector x. Esta misma conclusión se puede obtener mostrando que las matrices estándar para T,y T, no conmutan:

Figura 8

de modo que [ T, 0 TI ] # [ T I 0 T, 1. A Ejemplo 8 Sea T,:R2 + R2 la reflexión respecto al eje y , y sea T2:R2 + R2 la reflexiónrespecto al eje x. En este caso, T, T2 y Tz 0 T,son iguales; ambas transforman cada vector x = (x,y ) en su negativo -x = ("x, -y) (figura 9): 0

t'

Figura 9

T2

T,

O

T2

t'

O

T,

233

/

Espacios vectoriales euclidianos La igualdad de T , 0 T2 y T2 7 , también se puede deducir mostrando que las matrices estándar para TI y T2 conmutan: 0

E I operador T(x) = "x sobre R2 o se denomina reflexión respecto al origen. Como se muestra con los cálculos anteriores. la matriz estándar para este operador sobre R2 es

COMPOSICIONES DE TRES o MÁS TRANSFORMACIONES LINEALES

Las composiciones sepueden definir para tres o más transformaciones linealcs. Por ejemplo. considerar las transformaciones lineales T,:R"+-R',

T,:Rk-+R',

La composición (T3 o T2 0 7,):Rn+ R" se define por

(T?" 7o,

Ti ) ( x ) == Ti(T(l T , ( X ) ) )

ES posible demostrar que esta composición es una transformación lineal, y que l a matnz estándar para Tj T, 0 T , está relacionada con las matrices estándar para T I , T, y T3 por 0

(22)

que es una generalización de (21). Si las matrices estándar para T,,I; 1; se denotan por A , B y C, respectivamente. entonces también se tiene la sigulente generalización de (20):

Solución. La transformación lineal 7 se puede expresar como la composición

4 . 2 Transformaciones lineales de Rn a Rm / 235

donde TA es la rotación respecto al eje z, TB es la reflexión con respecto al plano yz y T, es la proyección ortogonal sobre el planoq. De acuerdo con las tablas 3, 5 y 7, las matrices estándar para estas transformaciones lineales son cos 0

-sen8

O

-1

o o

Así, por (22) la matriz estándar paraT es

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 4.2 1. Encontrar el dominio y el codominio de la trasformación defmida por las ecuaciones, y determinar si la trasfonnación es lineal. b) W, = ~ x , x-, x2 a) w ,= 3x, - 2x, + 4x3 ~2 = 5x1 - 8x2 + x3 w2 = X I + 3x1x,

+

w, = x, C) W , = SX, - x2

+

xj

d) W , =

X: 3x, -

x2 +xi

- 2x4

w, = -x, + x, + 7x, w, = 3x1 - 4x2 - .x: + xq w j = 2x, - 4x2 - x3 2. Hallar la matriz estándar para la transformación lineal definida por las ecuaciones. a) w ,= 2x, - 3x, + x, b) wI = 7x, + 2x2 - 8x, w2 = 3x, + 5x2 - x, w, = - x2 + 5x, w, = 4x, + 7x2 - x j

c) w1 = -x, + x, w, = 3x, - 2x2

d) w ,= x I w, = x , + x2 w j = x , +x,+x, w 4 = x , +x,+x3+x,

w3 = Sx, - 7s2

3. Determinar la matriz estándar para la transformación lineal TA3+ R3 definida por

w , = 3x,

+ SX,

-x3

w2 = $x, - x2 +x, w3 = 3x,

+ 2x2 -x,

y calcular T( - 1,2,4) sustituyendo directamente en las ecuaciones y por multiplicación matncial.

1

0

0

236 / Espacios vectoriales euclidianos 5. Encontrar la matriz estándar para la transformación lineal T definida por la fórmula

+

a) T ( x , , .x2) = (xz, - - S , , x i 3x,, xI - x2) b) T(x-, , ,x2, ,uj, x4) = (7x, 2x2 -x3 .x4, x2 +x,, -.xi) c) T ( x , , x2. X,) = (O, O, O, O, O j

+

+

d) TCu,, xZrx3,xq)= (x4. x I ,x j . x2, .xI

-xi)

6. En cada inciso se proporciona la matriz estándar [qde una transformación lineal T. IJsar la matriz para encontrar í"(x). [Expresar la respuesta en forma matricial.]

7. I?n cada mciso, encontrar í"(x) usando la matriz para T, luego, comprobar el resultado calculando directamente T(x). a) T ( x , , x , ) = ( - x , + x , , x , ) ; b) 7 ' ( ~ , ,~ 2 X,) , = (2x1 - X >

x=(-1,4)

+~

3 x2 ,

+ ,uj, O);

X

= (2, 1, - 3)

8. Por medio de la multiplicación matricial hallar la reflexión de ( - 1 , 2 ) respecto a

a) el ejex.

b) ejey. el

c) la recta y = x.

9. Usar la multipiicación matricial para encontrar la reflexión de (2, -5, 3 ) respecto al a) planoxy. b) planoxz. c) plano yz.

10. Mediante multiplicaci6n matricial obtener la proyección ortogonalde (2, - 5 ) sobre b) el ejey. a) el eje x. 11. Utilizar la multiplicación matricial para encontrar la proyección ortogonal de ( - 2 , 1,

3) sobre el a) plano

x y .

b) plano xz.

c) plano yz.

12. Usar la multiplicación matricial para encontrar la imagen del vector (3, -4) cuando se

hace girar un ángulo de a) 0 = 3 0 O b) 8 = -60'

C) 0 = 4 5 O

d) 0 = 90°

13. Por medio de la multiplicación matnciai hallar la imagen del vector ( - 2 , 1, 2) si este se hace girar a) 30° en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj con respecto al eje x. b) 4 5 O en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj con respecto al eje y . c) 90° en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj con respecto al eje z. 14. Encontrax la matrrz estándar para el operador lineal que hace girar un vector en R3 en

sentido del movimiento de las manecillas del reloj hasta describir un ángulo de -60' con respecto al a) eje x. b) eje y . c) eje z.

4.2 Transformaciones lineales de R" 15. Usar multiplicación matricial para encontrar la imagen del vector (-2, 1, 2) si éste se

hace girar a) -30° en sentido del movimiento de las manecillas del reloj con respecto al eje x. b) -45O en sentido del movimiento de las manecillas del reloj con respecto al eje y . c) -90° en sentido del movimiento de las manecillas del reloj con respecto al eje z. 16. Encontrar la matriz estándar para la composición de operadores lineales sobre R2 que

se indica. a) Una rotación de 90° en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, seguida de una reflexión con respecto a la rectay = x. b) Una proyección ortogonal sobre el eje y , seguida de una contracción con factor k = 1 -

2 '

c) Una reflexión con respecto al eje x, seguida de una dilatación con factor k = 3 . 17. Encontrar la m a w estándar para la composición de operadores lineales sobre R2 que

se indica. a) Una rotación de 60° en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, seguida de una proyección ortogonal sobre el eje x, seguida de una reflexión con respecto a la recta y = x. b) Una dilatación con factor k = 2, seguida de una rotación de 45O en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, seguida de una reflexión con respecto al eje y . c) Una rotación de 15O en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, seguida de una rotación de 105Oen sentido contrario almovimiento de las manecillas del reloj, seguida de unarotación de 60° en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj. de operadores lindes sobre R3 que se indica. a) Una reflexión respecto al plano yz, seguida de una proyección ortogonal sobre el plano x z . b) Una rotación de 45O en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj

18. Encontrar la malriz estándar para la composición

respecto al eje y , seguida de una dilatación con factor k = fi . c) Una proyección ortogonal sobre el plano q ,seguida de una reflexión con respecto al plano yz. 19. Encontrar la matriz estándar para la composición de operadores lineales sobre R3 que

se indica. a) Una rotación de 30' en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj respecto al eje x, seguida de una rotación de 30' en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj respecto al eje z, seguida por una contracción con factor k = b) Una reflexión respecto al plano x y , seguida de una reflexión respecto al plano x z , seguida de una proyección ortogonalsobre el planoyz. c) IJna rotación de 270' en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj respecto al eje x, seguida de una rotación de 90' en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj respecto al eje y , seguida de una rotación de 180' respecto al eje z.

+

a Rm /

237

,738

Espacios vectoviales euclidianos

20. Determinar si T , K2 = T, O TI. a) 7, : R' -+ X ' es l a proyección ortogonal sobre el eje x y T 2 X 2 += R2 es la proyección ortogonal sobre el ejey . b) 7 , . R' += R' es la rotación en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj hasta describir un ángulo 8, y Tz : R2 R2 es la rotación en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj hasta describir un Angulo c) T I R2 += R2 cs l a reflexión respecto al eje x y 7; : R2 += R2 es la reflexión respecto al ejey . d) T I : R' + H' es l a proyección ortogonal sobre el eje x y T2 : H' -+ R' es la rotación en sentido contrario ai movimiento de las manecillas del reloj hasta describir un Lingulo O. U

-+

T,

21. Detenninar si o 7; = 1- o 7' 1. a) : K3 += R 3 cs &a dhatación con factor k y 7, : R 3

7,

+ R3 es la rotación en sentido contrarioal movimiento de las manecillasdelreloj con respectoal eje z hasta describir un ángulo b) T , . R' .+ R3 es la rotación con respecto al eje x hasta describir un ángulo 8, y T2 : K' -+ R3 es la rotación con respecto al eje z hasta describir un ángulo O,.

22. En R3,las proyecciones ortogonales sobre el ejex, el eje y y el eje z se definen como

respectivamente. a) Demostrar quelas proyecciones ortogonales sobrelos ejesde coordenadas son operadores lineales y encontrar sus matnces estándar. b) Demostrar que si TR3 + R3 es una proyección ortogonal sobre uno de los ejes de coordenadas, entonces para todo vector x en R3 los vectores T ( x ) y x - T ( x ) son ortogonales. c) Hacer una figuramostrando x y x - T(x) en elcasoen que T es la proyección ortogonal sobre el eje x. 23. A partir de la fórmula (1 7), obtener las matnces estándar para las rotaciones en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj respecto al eje x, al ejey y al eje z en R3 24. Usar la fórmula (17) paraencontrar

la matnz estándar de una rotación de 90° en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj respecto al eje determinado por el vector v = ( 1, 1, 1). [Nota La fórmula (1 7) requiere que la longitud del vector que define el eje de rotación sea 1.]

25. Comprobar la fórmula (21) para las transformaciones lineales dadas. a) TI@,,x,) = ( s i + x , , x I - .y2) b) T , ( x , ..x2) = (4u1, -2s, +.Y,,

c) T , ( x , ,S ? , .x3) = ( - x 1 ( - 2 . x , , 3x3, - 4x,)

+ x2, "Y>

y T2(xl, x2) = (3.x,, 2 r I + 4*,) - 3x2) y T,(-~l,xz,x3) =(.Y, + x j , - x 3 + X i ) y T2(.Xl, x 2 ,

-xI

+ 2.r2 - x 3 , Xj)

=

41, - x j )

4.3 Propiedades de las transformaciones lineales de Rn a Rm / 239 26. Se puede demostrar que si A es una matriz 2 X 2 con det(A) = 1 y tal que los vectores columna de A son ortogonales y tienen longitud 1, entonces la multiplicación por A es una rotación en sentidocontrario al movimiento delas manecillasdelrelojhasta describir algún ángulo O. Comprobar que

satisface las condiciones planteadas y encontrar el ángulo de rotación. 27. El resultado del ejercicio 26 también es verdadero en R3: se puede demostrar que si A es una matriz 3 X 3 con det(A) = 1 y tal que los vectores columna de A son ortogonales

por parejas y tienen longitud 1, entonces la multiplicación por A es una rotación en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj con respecto a algún eje de rotación hasta describir algún ángulo O. Usar la fórmula (1 7)para demostrar que si A satisface las condiciones establecidas, entonces el ángulo de rotación satisface la ecuación tr(A) - 1 2 28. Sea A una matriz 3 X 3 que satisface las condiciones planteadas en el ejercicio 27. Se puede demostrar que si x es cualquier vector en R3, entonces el vector cos 0 =

~

u = A x +ATx

+ [ 1 - tr(~)]x

determina un eje de rotación cuando u se coloca con su punto inicial en el origen. [Ver The Axis of Rotation:Analysis, Algebra, G e o m e t y , de Dan Kalman, Mathematics Magazine, Vol. 62, No. 4, Oct. 19891. a) Demostrar que la multiplicación por

es una rotación. b) Encontrar un vector de longitud 1 que defina un eje de rotación. c) U s a r el resultado del ejercicio 27 para encontrar el ángulo de rotación en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj alrededor del eje obtenido en el inciso b).

4.3

PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES DE R n A Rm En esta sección seestudiará la relación entre la invertibilidad deuna matriz y las propiedades de la transformación matricial correspondiente. También se obtendrá una representación de las transformaciones lineales de R" a Rm que constituyen la base paratransformaciones lineales más generales que se analizarán en seccionesulteriores, y se estudiaránalgunas propiedades geométricas de los eigenvectores.


TRANSFORMACIONES LXNEALES UNO A UNO

Las transformaciones lineales que mapean vectores (o puntos) distintos en vectores (o puntos) distintos revisten especial importancia. Un ejemplo es el operador lineal T:R2 + R2 que hace girar cada vector hasta describir un hngulo B. Geométricamente resulta evidente que si u y v son vectores distintos en R2, entonces también los vectoles girados T(u) y T(v) son distintos (figura 1). AI y

Figura 1

*Tív)

I Vectores distintos u Y Y se mueven hacia vectores distintos T(u) Y Tlvl I En contraste, si TR' "* R3 es la proyección ortogonal de R3 sobre el plano entonces puntos dlstintos sobre la misma recta vertical son mapeados en el mismo punto del plano xy (figura 2).

xy,

P

Y

Figura 2

ILos puntos distintos P y Q son mapeados en el mismo punto M. I Definición. Se dice que una transformación lineal T:R" + R"' es uno a uno si T mapea vectores (puntos) distintos de R" en vectores (puntos) distintos de R"'. OBSERVACI~N. A partir de esta definición se concluye que para todo vector w en el recorrido de una transformación lineal T uno a uno, existe exactamente un vector x tal que T(x) = w.

Ejemplo 1 En términos de la definición anterior, el operador rotación de la figura 1 es uno a uno, pero el operador proyección ortogonal de la figura 2 no lo es.

-

Sea A una matriz n x n, y sea TA:R" R"' la multiplicación por A . A continuación se analizarán las relaciones entre la invertibilidad de A y las propiedades de TA. Recordar del teorema 2.3.6 (con w en lugar de b) que las siguientes proposiciones son equivalentes:

4.3 Propiedades de las transformaciones lineales de R" a Rm 1 241

A es invertible Ax = w es consistente para toda matriz w n X 1. Ax = w tiene exactamente una solución para toda matriz w n

X

1.

Sin embargo, la última de las proposiciones anteriores es realmente más definitiva que lo necesario. Sepuede demostrar que las siguientes proposiciones son equivalentes (ejercicio 24):

A es invertible. Ax = w es consistente para toda matriz w n X 1. Ax = w tiene exactamente una solución cuando el sistema es consistente. Al traducir l o anterior en proposiciones correspondientes respecto al operador lineal TA,se deduce que las siguientes proposiciones son equivalentes:

A es invertible. * ' Para todo vector w en R", existe algún vector x en R" tal que TA(x)= w. Expresado de otra forma, el recorrido de TA es todo R". Para todo vector w en el recorrido de TA, existe exactamente un vector x en R" tal que TA(x)= w. Planteado de otra forma, TA es uno a uno. En resumen, se ha establecido el siguiente teorema acerca de los operadores lineales sobre R".

Teorema 4.3.1. Si A es una matriz n

X

n y TA:R" + Rn es la multiplicación por

A, entonces las siguientes proposiciones son equivalentes. a) A es invertible. b) El recorrido de TA es R". c) TA es uno a uno.

Ejemplo 2 En' el ejemplo 1 se observó que el operador rotación T:R2 --* R2 ilustrado en la figura 1 es uno a uno. Por el teorema 4.3.1 se concluye que el recomdo de T debe ser todo R2, y que la matriz estándar para T debe ser invertible. Para probar que el recomdo de T es todo R2 es necesario demostrar que todo vector en R2 es la imagen de algún vector x bajo T. Pero claramente este hecho es así, ya que el vector x que se obtiene al hacer girar w hasta describir el ángulo -O lo transforma en w cuando se hace girar el ángulo O. Además, por la tabla 6 de la sección 4.2, la matriz estándar para T es

que es invertible, ya que

,742

Espaciosvectoriales euclldianos

Ejemplo 3 En elejemplo 1 se observó que el operador proyección T:R3 + R3 ilustrado en la figura 2 no es uno a uno. Del teorema 4.3.1 se deduce que el recorrido de T no es todo R3 y que la matriz estándar para T no es invertible. Para mostrar que el recorrido de T no es todo R3, es necesario encontrar un vector w en X3 que no sea la imagen de ningún vector x bajo T. Pero cualquier vector w fuera del plano xy posee esta propiedad, ya que todas las imágenes bajo T están en el plano xy. Además, por la tabla 5 de la sección 4.2, la matriz estándar para T es

que no es invertible. ya que det

INVERSA DE UN OPERADOR LINEAL UNO A UNO

[g=O.

A

Si TA:K" + R" esun operador lineal uno a uno, entonces por el teorema 4.3.1 la matriz A es invertible. Así, TA-':Rn-+ R" por sí mismo es un operador lineal; se denomina inverso de TA.Los operadores lineales TA y TA-, se cancelan entre sí en el sentido de que para todo x en R"

7-,(r, I(

,(x)) = A'4

Tq(x)) = A

-

' x = Ix = x

' A x = fx

=X

o. equivalentemente, 1

=

TI

T A = T A - 1A

=

TI

T A o TA-1 == T A A T A

-

I 0

Desde un punto de vista más geométrico, si w es la imagen de x bajo TA, entonces TA-, transforma de vuelta w en x , ya que

Figura 3

X

__

"

I

4.3 Propiedades de las transformaciones lineales de R" a Rm / 243

Antes de presentar un ejemplo, será de utilidad mencionar algo sobrela notación. Cuando un operador lineal uno a uno sobre R" se escribe como ZRn "* R" (en vez de TA:Rn+ R"), entonces el inverso del operador T se denota por T " l (en vezde TA-,). Como la matriz estándar de T" es la inversa dela matriz estándar para T, se tiene

u [ T"

] = [ TI"

Ejemplo 4 Sea T R 2 + R2 el operador que hace girar cada vector de R2 hasta describir el ángulo 0; de modo que por la tabla 6 de la sección 4.2 ['

1

=

1

COS 8 -sen8 [seno cos 0

Geométricamente es evidente que para deshacer el efecto de T es necesario hacer girar cada vector de R2 por un ángulo -0. Pero esto es exactamente lo que hace el operador T- I , ya que la matriz estándar para T- es cos( - 8) -sen( - 8) sen(- 8) cos( - 8)

[T"]=[T]"=

(comprobar), que es idéntica a (2), excepto que se sustituye por -0.

A

Ejemplo 5 Demostrar que el operador lineal T:R2 + R2 definido por las ecuaciones w , = 2x, + x2 w, = 3x1 + 4x,

es uno a uno, y encontrar T " ( W ~ , w2). Solución. La forma matricial de estas ecuaciones es

de modo que la matriz estándar para T es

Esta matriz es invertible (de modo que T es uno a uno), y la matriz estándar para T" es

244

Espaclos vectorxales euclidianos Así,

a partir de lo cual se puede deducir que T '(M., ,

PROPIEDADES DE LA LINEALIDAD

($w,

-.

6w2, -?M>,

+gw2)

A

En la sección precedente, una trasformación TR" R" se definió como lineal si las ecuaciones que relacionan a x y a w = T(x) son lineales. El siguiente teorema proporciona otra representación de la linealidad. Este teoremaes fundamental y constituye la base para extender el concepto de transformación lineal a casos más generales que se presentarán después en el texto. +

~~

~~~

~~~~

R" es lineal si y sólo si las siguientes relaciones se cumplen para todos los vectores u y v en R" y cualquier escalar c. ( I ) T(u + v ) = T(u) + T(v) h ) T(cu)= cT(u)

Teorema 4.3.2. Una trasformación T:R"

-+

I

Demostración. Primero se supone que T es una transformación lineal, y se hace que A sea la matriz estándar para T.Por las propiedades aritméticas básicas de las

matrices se concluyeque T(u + v)

= A(u

+ v) = Au + A v

=

T(u) + T(v)

Y

T(cu) = A(cu) = c('4u) = cT(u) Recíprocamente, se supone que la trasformación T satisface las propiedades a) y b). Sepuede demostrar que 7' es lineal si se encuentra una matriz A con la propiedad T ( x )= Ax

(31

para todos los vectores x en R". Conlo anterior se demuestra que T es la multiplicación por A y, en consecuencia, que es lineal. Pero antes de poder obtener esta matriz es necesario observar que la propiedad a) se puede extender a tres o


más términos; por ejemplo, si u, v y w son vectores cualesquiera en R", entonces agrupando primero v y w y aplicando la propiedad u) se obtiene T(u + v

+ w) = T(u + (v + w)) = T(u) + T(v + w) = T(u) + T(v)+ T(w)

Más generalmente, para vectores cualesquiera Y , , v2, . . . , Vk en R". se tiene T(v, t v2

+ . . + V k ) = T(v,) + T(v,) + . . . + T ( V k )

I] '

Luego, para encontrar la matriz A , sean e l , e 2 ., . . , en los vectores

e, =

, e2

=

y sea A la matriz cuyosvectores columna consecutivos son T(el), T(e2), . . T(e,); es decir,

.

,

Si

x=

es cualquier vector en R", entonces como se analizó en la sección 1.3, el producto

Ax es una combinación lineal de los vectores columna de A con coeficientes de x, de modo que

con lo que se completa la demostración. 0

La Expresión (5) es importante por derecho propio, ya que constituye una fórmula explicita con la cual la matriz esthadar para un operador lineal TR'' -+ Rm se puede expresar en términos de las imágenes de los vectores e,, e2. . . . , e, bajo T. Por razones que serán analizadas después, los vectores el, e2' . . . . e, en (4) se

246 ,' Espacios vectoriales euclidianos

denominan vectores estándar brisicos para R". En R2 y R3 se trata de los vectores de longitud 1 situados a lo largo de'los ejes de coordenadas (figura 4).

I ase normal para 1

Figura 4

P .

Debido a su importancia, la expresión (5) se planteará como teorema para fines de referencias futuras. Teorema 4.3.3. Si TR" + Rm es una transformación lineal y el, e2, . , en son los vectores estrindar. brisicos para R", entonces la matriz estándar para 7 es ,

,

La fórmula (6) es un medio eficaz para encontrar matrices estándar y anal i z a el efecto geométrico de una transformación lineal. Por ejemplo, suponer que T:R3 * R3 es la proyección ortogonal sobre el plano x y . Con referencia a la figura 4, geométricamente es evidente que

It]

de modo que por (6) [TI=[:

lo que concuerda con el resultado de la tabla 5. Usando (6) de otra forma, suponer que TA:R3-+R2 es la mUltipliCaCiÓn Por -1

A = [

3

2

1

o

61

4.3 Propiedades de las transforrnaciones lineales de R” a Km / 247

Las imágenes de los vectores estándar básicos se pueden leer directamente de las columnas de lamatriz A :

Ejemplo 6 Sea I la recta en el plano xy que pasa por el origen y forma un ángulo con el eje x positivo, donde O 5 8 < n.Como se ilustra en la figura 5a, sea T:R2 R2 el operador lineal que transforma cada vector en su proyección ortogonal sobre 1.

-

a) Encontrar la matriz estándar para T. b) Encontrar la proyección ortogonal del vector x = (1, 5 ) sobre la recta que pasa por el origen y forma un ángulo 8 = n/6 con el eje x positivo.

Solución de a). De (6), [ T I = [ í Y e , ) I T(e,)l

donde el y e2 son los vectores estándar básicos para R2. Se considerará el caso en que O 5 8 5 n12;el caso en que n12 < 8 < 7t es semejante. Con referencia a la figura 5b, se tiene IIT(el)ll = cos 8, de modo que cos2 H y con referencia a la figura 5c, se tiene IIT(e2)ll=sen 6, de modo que

Así, la matriz estándar para I’ es

248

1'

Icspacios vectoriales euclidianos [ TI =

i

cos' H

sen0 cos O

sen O cos sen28

1

Solucicin de b). Como sen nI6 = 112 y cos n/6 = f i I 2 , por el inciso a) se concluye que la matriz estándar para este operador proyección es

Así,

3+5v3 4 f i + 5 4

o bien, en notación horizontal.

INTERPRETARecuérdese de la sección 2.3 que si A es una matriz n x n, entonces se denomina CIÓN GEOMÉeigenvalor de A si existe unvector x diferente de cero tal que TRICA DE LOS EIGENVECTORES Ax = Ax o equivalentemente (AI - A)x = O Los vectores x diferentes de cero que satisfacen esta ecuación se denominan eigenvectores de A correspondientes a 1. Los eigenvalores y eigenvectores también se pueden definir para operadores lineales sobre R"; estas definiciones son paralelas a las definiciones correspondientes para matrices.

Definición. Si T:Rn+ Rn es un operador lineal, entonces el escalar se denomina eigenvalor de T si en R" existe un x diferente de cero tal que T(x) = Ax

(7)

Los vectores x diferentes de cero que satisfacen esta ecuación se denominan eigenvectores de T correspondientes a1.

Observar que si il es la matriz estándar para T, entonces (7) se puede escribir como A X = AX

de donde se deduce que

4.3 Propiedades de las transformaciones lineales de Rn a RIn / 249

Los eigenvalores de T son precisamente los eigenvalores desu matriz estándar A. x es un eigenvector de T correspondiente a il si y sólo si x es un eigenvector de A Correspondiente a A. Si 1 es un eigenvalor de A y x es un eigenvector correspondiente, entonces A x = Ax, de modo que la multiplicación por A transforma x en un múltiplo escalar de sí mismo. En RZ y R3, esto significa que la multiplicación por A transforma cada eigenvector x en un vector que está sobre la misma recta que x (figura 6).

Figura 6

Recuérdese de la sección 4.2 que si il IO, entonces el operador lineal Ax = 1 x comprime a x por un factor 1 si O I1 I 1 o estira a x por u11 factor 1 si A 2 1. Si 1 < O, entonces A x = Ax invierte la dirección de x, y comprime elvector invertido por un factor IA I si O I11 I I1 o estira el vector invertido por un factor si 1 (figura 7 ) .

Figura 7

osas1

a21

- 1 ~ a s o

a s -I

Ejemplo 7 Sea T:R2 + R2 el operador lineal que hace girar cada vector un ángulo 8. Geométricamente es evidente que a menos de que 8 sea un múltiplo de n, entonces T no transforma ningún vector x uerente de cero sobre la misma recta que x; en consecuencia, T no tiene eigenvalores reales. Pero si 8 es unmúltiplo de n,entonces todo vector x diferente de cero es transformado sobre la misma recta que x, demodo que todo vector diferente de cero es un eigenvector de T. A continuación se comprobarán algebraicamente estas observaciones geométricas. La matriz estándar para T es A = [ cos O

sen0

1

-sen0 cos 8


Como se analizó en la sección 2.3, los eigenvalores de esta matriz son las soluciones de la ecuación característica det(AZ - A ) =

A - cos 0 -sen 0

sen 0 A - cos 0

es decir.

(a - COS

t sen2 O = O

(8)

Pero si 8 no es un múltiplo de n,entonces sen2 8 > O, de modo que esta ecuación no tiene solución real para y, en consecuencia, A no tiene eigenvectores reales.* Si 6 es un múltiplo de n,entonces sen 8 = O y cos 6 = 1 o cos 6 = - 1, dependiendo del múltiplo particular de n.En el caso en que sen 8 = O y cos 8 = l, la ecuación característica (8) se vuelve (A - 1)2 = O: de modo que ;1 = 1 es el Único eigenvalor de A. En este caso, la matriz A es

Así, para todo x en R2, T(x)= A x =/x = x

de modo que T transforma todo vector en sí mismo y, por tanto, en la misma recta. En el caso en que sen 6 = O y cos 6 = -1, la ecuación característica (8) se vuelve (A + 1)2 = O, de modo que A = - 1 es el Único eigenvalor de A. En este caso, la matriz de A es

Así, para todo x en R 2 ,

T(x)= i i x

=

-1x

= "x

*Existen aplicaciones que requieren escalares complejos y vectores con componentes complejas. En talescasossonpermisibles los eigenvalorescomplejos y los eigenvectoresconcomponentes complejas.Sinembargo,estehechocarece de importanciageométricadirectaaquí.Encapítulos ulterioresseanalizarántaleseigenvalores y eigenvectores,perohastaqueexplícitamente se establezca lo contrario, se supondrá que se considerarán sirlo eigenvalores reales y eigenvectores con componentes reales.


Ejemplo 8 Sea T:R3 -* R3 la proyección ortogonalsobreelplano xy. Los vectores en el plano xy son transformados en sí mismos bajo T, de modo que todo vector diferente de cero en el plano xy es un eigenvector correspondiente al eigenvalor 1 = 1. Todo vector x a lo largo del eje z es transformado en O bajo T, que está en la misma recta quex, de modo que todo vector diferente de cero sobre el eje z es un eigenvector correspondiente al eigenvalor A = O. Los vectores que no están en el plano xy o a lo largo del eje z no son transformados en múltiplosescalaresdeellos mismos, de modo que no existenotros eigenvectores o eigenvalores. Para comprobar algebraicamente estas observaciones geométricas, recordar de latabla 5 de la sección 4.2 que la matriz estándar para T es

La ecuación característica de A es

o

A-1 det(AZ - A ) =

o

a-]

O

O

o

o =o h

O

cuyas soluciones1 = O y 1 = 1 ya se anticiparon. Como se analizó en la sección 2.3, los eigenvectores de la matriz A correspondientes a un eigenvalor A son las soluciones diferentes de cero de

Si A = O, este sistema es

[-;-A

O

:][:;I =[!I

0

x3

cuyas soluciones son x1 = O, x2 = O, x3 = t (comprobar), o bien, en forma matricial,

Como ya se había anticipado, estos son los vectores a lo largo del eje t. Si , I=' 1, entonces el sistema (9) es

252 / Espacios vectorialeseuclidianos

cuyas soluciones son x,

= S, x2 = t, x3 = O

(comprobar), o bien, en forma matricial,

Como ya se había anticipado, estos son los vectores en el plano x y . A

RESUMEN

En el teorema 2.3.6 se presentó una lista con seis resultados que son equivalentes a la invertibilidad de una matriz A. Esta sección concluye agregando el teorema 4.3.1 a esa lista, para obtener el siguiente teorema que relaciona todos los temas principales estudiados hasta el momento.

1

Teorema 4.3.4. Si A es una matriz n x n, y si TA:R" + R" es la multiplicación por A , entonces lassiguientes proposiciones son equivalentes. a) A es invertible. b) A x = O sólo tiene la solución trivial. cf La forma escalonada reducida de A es In. (0 A se puede expresar como un producto de matrices elementales. e) AH = b es consistente para toda matriz b n X 1. 8 AH = b tiene exactamente una solución para toda matriz b n X 1. gj det4) # O . h) El recorrido de TA es R". i ) T,es uno a uno.

EJERCICIOS DE LA SECCION 4.3 1. Por inspección, determinar si el operador lineal es uno a uno

La proyección ortogonalsobre el eje x en R2. La reflexión respecto al eje y en R2. La reflexión respecto a la rectay = x en R2. Una contracción con factor k > O en R2. Una rotación alrededor del eje z en R3. f, Una reflexión respecto al plano xy en R3. g) Una dilatación con factor k > O en R3.

a) b) c) d) e)

2. Encontrar la matriz estándar del operador lineal definido por las ecuaciones y usar el teorema 4.3.1 para determinar si el operador es uno a uno. a) w I = Sx, + 4x2 b) w I = 2x, - 3x, c) w I = -xi + 3x, + 2x3 d) u', = X, + 2x2 + 3x3 w 2 = ZX, + x2 w2 = 5x, + x2 w 2= ZX, + 4x3 w 2 = 2x, i51, -t 3s3 w 3 = x! + 3x2 + 6x3 kv3 = x1 + 8x3

4.3 Propiedades de las transformaciones lineales de Rn a Rm / 253 3. Demostrar que el recorrido del operador lineal defindo por las ecuaciones

w , = 4x, - 2x2 w2 = 2x,

-

x2

no es todo de R2, y encontrar ULI vector que no esté en el recorrido 4. Demostrar que e! recorrido del operador lineal definido por las ecuaciones

w,= x, - 2x2+- x3 w2 = 5x, - x2 + 3x, w, = 4x, + x2 + 2x, no es todo de R3, y encontrar un vector que no esté en el recorrido. 5. Determinar si el operador lineal T : R2 + R2 definido por las ecuaciones es uno a

uno; en caso afirmativo, encontrar la matriz estándar para el operador inverso, y encontrar ~ " ( w ~wz). , a) w,= x, + 2x2 b) w ,= 4x, - 6x2 c) w 1= -x2 d) w,= 3x, w2= -x, + x2 w2 = - 2x, + 3x2 w2 = -x, w 2= -5x, 6. Deteminar si el operador lineal T : R3 + R3 definido por las ecuaciones es uno a uno, en caso afirmativo,encontrar la matrizestándar para el operador inverso, y encontrar ~ " ( w ~w2, , w3). a) w ,= x, - 2x2 w2 = 2x, .x2 w j = x, x2

+

+ 2x, +

x3

+ c) w ,= S,+ 4x2 - x, w, = 2x, + 7x2 + x, w3 = x, + 3x2

b) w ,=

x,

w 2 = -x,

w, =

d) w ,=

3x2 + 4x, x2 + xj - 2x2 f 5x3

-

+

x,+ 2x, + x, + x2 + 4x,

w* = -2x, w3 = 7x,

+ 4x2 - 5x3 7. Por inspección, determinar el inverso del operador lineal uno a uno dado. a) b) c) d) e)

La reflexion respecto al eje x en R ~ . La rotación por un ángulo de x14 en R2. La dilatación por un factor de 3 en R2. La reflexión respecto al plano yz en R3. La contracción por un factor de en R3.

En los ejercicios 8 y 9, aplicar el teorema 4.3.2 para determinar si T : R2 + R2 es un operador lineal.

10. a) T(x,y,z)=(x,x+y+z) 11. a) T(x, y, z) = (O, O)

b) T ( x , y , z ) = ( l , l ) b) T(x, y, z) = (3x - 4y, 2x

-

52)

254 / Espacios vectoriales euclidianos 12. En cada inciso, usar el teorema 4.3.3 para encontrar la matriz estándar del operador

lineal a partir de las imágenes de los vectores estándar básicos. a) Los operadores reflexión sobre R2 en la tabla 2 de la sección 4.2. b) Los operadores reflexión sobre R3 en la tabla 3 de la sección 4.2. c) Los operadores proyección sobre R2 en la tabla 4 de la sección 4.2. d) Los operadores proyección sobreR3 en la tabla 5 de la sección 4.2. e) Los operadores rotación sobre R2 en la tabla 6 de la sección 4.2. f, Los operadores dilatación y contracción sobreR3 en la tabla 9 de la sección 4.2. 13. Aplicar el teorema 4.3.3, para encontrar la matriz estándar de TR2 R2 a partir de las Imágenes de los vectores estándar básicos. a) TB2 +. R2 proyecta un vectorortogonalmentesobreel eje x y luego refleja ese vector respecto al ejey. b) T:R2 +. R2 refleja unvector respecto a la recta y = x y luego refleja ese vector respecto al eje x. c j 7R2 + R2 dilata un vector por un factor de 3 , luego refleja ese vector respecto a la recta y = x, y luego proyectaese vector ortogonalmente sobre el eje y . 14. Aplicar el teorema 4.3.3 para hallar la matriz estándar de TR3 + R3 a partir de las

imágenes de los vectores estándar básicos. a) TR3 +. R3 refleja un vector respecto al plano xz y luego contrae ese vector por un factor de 1/5. b) 7R3+. R3 proyecta un vector ortogonalmente sobre el plano xz, y luego proyectaese vector ortogonalmentesobre el plano x y . c) TB3+. R3 refleja un vector respecto al plano x y , luego refleja ese vector respecto al plano xz, y luego refleja ese vector respecto al planoyz. 15. Sea TAR3 + R3 la multiplicación por

y Sean e , , e2 y e3 10s vectores estándar básicos para R3. Encontrar por inspección los siguientes vectores. .a) &(e,), U e A y U e 3 ) b) U e , + e2 + e 3 j c) TA(7e3) 16. Determinar si la multiplicación por A es una transformaciónlineal uno a uno.

17. Usar el resultado del ejemplo 6 para encontrar la proyección ortogonal de x sobre la

recta que pasa por e1 origen y forma un ángulo 8 con el eje x positivo. a) x = ( - l , 2 ) ; 0 = 4 5 " b) x = ( l , O ) ; 0 = 3 0 " cx) = ( l , 5 ) ; 18. Aplicar el tipo de razonamiento proporcionadoenelejemplo

O = 120"

8 para encontrar los eigenvalores y los eigenvectores correspondientes de T. Verificar las conclusiones calculando los eigenvalores y los eigenvectores correspondientes a partir de la matriz estándar para T. a) TR2 +. R2 es la reflexión respecto al eje x. b) TR2+. R2 es la reflexión respecto a la recta y = x.

4.3 Propiedades de las transformaciones lineales de R" a Rm / 255 c) TR2+ R2 es la proyección ortogonal sobreel eje x . d) 7'B2+ R2 es la contracción por un factor de . i9. Seguir las indicaciones del ejercicio 18. a) T:R3+ R3 es la reflexión respecto al plano yz. b) TR3+ R3 es la proyección ortogonal sobreel plano xz. c) TR3+ R3 es la dilatación por un factor de 2. d) T R 3 + R3 es una rotación de 4.5' en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj alrededor del eje z.

20. a) ¿Es uno a uno la composición de transformaciones lineales uno a uno? Justificar la conclusión. b) ¿Es posible que la composición de una transformación lineal uno auno y una transformación lineal no uno a uno sea uno a uno? Justificar la conclusión.

21. Demostrar que T(x, y ) = (O, O) define un operador lineal sobre R2 pero T(x, y ) = (1, 1) no lo hace. 22. Demostrar que si TRn + Rm es una transformación lineal, entonces To) = O; es decir, T transforma el vector cerode Rn en el vector cero deRm. 23. Sea 1 la recta en el plano xy que pasa por el origen y forma un ángulo con el eje .x positivo, donde O I8 < Z. Sea TB2 + R2 el operador lineal que refleja cada vector respecto 1(figura 8).

Figura 8 a) Usar el método del ejemplo6 para encontrar la matriz estándar para T. b) Encontrar la reflexión del vector x = (1, 5) respecto a la recta 1 que pasa por el origen y forma un ángulo 8 = 30' con el eje x positivo. X n es invertible si y sólo si el sistema lineal Ax = w tiene exactamente una solución para todo vector w en Rn para el que el sistema es consistente.

24. Demostrar: Un matriz A n

5.1

ESPACIOS VECTORIALES REALES En esta sección se generalizará aún más el concepto de vector. Se enunciará un conjunto de axiomas que, si una clase de objetos hace que se cumplan, permitirá denominar %ectores" a esos objetos. Los axiomas se elegirán abstrayendo las propiedades más importantes de los vectores en Rn; como consecuencia, los vectores en Rn harán que se cumplan de manera automática estos axiomas. Así, el nuevo concepto de vector abarcará a los vectores anteriores y también a muchos vectores nuevos. Estos vectores nuevos incluirán, entre otras cosas, varias clases de matricesyfunciones. El trabajo desarrollado en esta sección no es un ejercicio inútil de matemáticas teóricas, ya que proporciona una herramienta poderosa para extender la representación geométrica a una amplia variedad de problemas matemáticos importantes en los que de otra forma no se contaría con la intuición geométrica. Planteada en términos breves, laidea es ésta: Los vectores en R2 y R3 se pueden representar geométricamente como flechas, lo cual permite que la representación fisica o mental ayude a resolver problemas. Como los axiomas que se usarán para crear los nuevos tipos de vectores se basarán en propiedades de los vectores en R2 y R3, estos nuevos vectores poseeránmuchas de las propiedades conocidas de los vectores en R2 y R3. Por consiguiente, cuando se quiera resolver un problema en que aparezcan los nuevos tipos de vectores, por ejemplo matrices o funciones, se podrá obtener una base para el problema mediante una geométrica cómo sería el problemacrrespondiente en R 2 y R3. 25 7

256: / Espacios vectorides generales

AXIOMAS DE ESPACIOS VECTORIALES

Definición. Sea V un conjunto cualesquiera no vacío de objetos sobre el que están definidas dos operaciones: la adición y la multiplicación por escalares (números). Por adición se entiende una regla que asocia a cada par de objetos u y v en I' un objeto u + v denominado suma de u y v; por muMplicación escalar se entiende una regla que asocia a cada escalar k y cada objeto u en V un objeto k u , denominada múltplo escalar de u por k. Si los objetos u, v, w en V y los escalares k y 1 satisfacen los siguientes axiomas, entonces V se denomina espacio vectorial, y sus objetos se denominan vectores. 1) Si u y v son objetosen V, entonces u -+ v está en V. 2) u +- v = v + u 3) u + ( v 4- w ) = ( u 4-v) + w 4) Existe un objeto O en V, denominado vector cero de V, tal que O + u = u + O = u para todo u en V. 5) Para todo u en T/ cxiste un objeto "u en V, denominado negativo de u, tal que u + (-u) = (-u) + u = O . 6) Si k es cualquier escalar y u es cualquier objeto en V, entonces ku está en V. 7) k(u + v ) = k u + k v 8)

(x + /)U = k M + ¡U

9) k ( h ) =- ( k / ) ( u ) 10) l u = u

Dependiendode la aplicación,losescalarespuedensernúmeros reales o complejos. Los espacios vectoriales en que los escalares son números complejos se denominan espacios vectoriales complejos, y aquéllos donde los escalares deben ser reales se denominan espacios vectoriales reales. En el capítulo 10 se estudiarán los espacios vectoriales complejos; hasta entonces, todos los escalares considerados serán números reales. OBSERVACI~N.

El lector debe tener en mente que la definición de espacio vectorial no especifica la naturaleza de los vectores ni las operaciones. Cualquier tipo de objeto puede ser un vector, y es posible que las operaciones de ahción y multiplicación escalar no guarden ninguna relación o semejanza con las operaciones vectoriales estándar sobre R". El Único requisito es que se cumplan los 10 axiomas en la definición de espacio vectorial. Algunos autores usan las notaciones@y en la adición vectorial y la multiplicación escalar para distinguir estas operaciones de la alción y la multiplicación de números reales; a pesar de ello, aquí no se usará esta notación.

0

EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES

Los siguientes ejemplos ilustran la variedad de espacios vectoriales posibles. En cada ejemplo se especifica un conjunto novacío V y dos operaciones: la alción y la multiplicación escalar; luego se comprobará que se cumplen los 10 axiomas de espacio vectorial, con lo cual V se puede denominar, con las operaciones especificadas, espacio vectorial.

Ejemplo 1 El conjunto V = R" con las operaciones estándar de adición y multiplicación escalar, definido en la sección 4.1 es un espacio vectorial. Los axiomas 1 y

5.1 Espacios vectoriales reales / 259 6 se deducen de las definiciones de las operaciones estándar sobre R"; .los demás axiomas se deducen del teorema 4.1.1. A

Los tres casos especiales más importantes de R" son R (los números reales), R2 (los vectores en el plano) y R3 (los vectores en el espacio tridimensional). Ejemplo 2 Demostrar que el conjunto V de todas las matrices 2 x 2 con elementos reales es un espacio vectorial si la ahción vectorial se define como la suma de matrices y la multiplicación escalar vectorial se define como la multiplicación escalar matricial. Solución. En este ejemplo resulta conveniente verificar los axiomas en el siguiente orden: 1, 6, 2, 3 , 7 , 8, 9, 4, 5 y 10. Sea

Para probar el axioma 1, es necesario demostrar que u + v es un objeto en V; es decir, debe demostrarse que u + v es una matriz 2 X 2. Pero este hecho se deduce por la definición de ahción de matrices, ya que

De manera semejante, el axioma 6 se cumple porque para cualquier número real k se tiene

de modo que ku es una matriz 2 x 2 y en, consecuencia, es un objeto en V. El axioma 2 se deduce del teorema 1.4. ya la,que

De manera semejante, el axioma 3 se deduce del inciso b) de ese teorema; y los axiomas 7, 8 y 9 se deducen de los incisos h), j ) y f), respectivamente, de ese teorema. Para probar el axioma 4 es necesario encontrar un objeto O en V tal que O + todo u en V. Esto puede lograrse al definir a O como

u = u + O = u para

Con esta definición,

y de manera semejante u + O = u. Para probar el axioma 5 se debe demostrar que cada objeto u en V tiene un negativo "u tal que u + (-u) = O y (-u) + u = O. Esto se puede hacer definiendo el negativo de u como

Con esta definición

y de manera semejante (-u) cálculo:

+

u = O.

Por último, el axioma 10 es un simple

Ejemplo 3 El ejemplo 2 es un caso especial de una clase más general de espacios vectoriales. Los razonamientos de ese ejemplo se pueden adaptar para demostrar que el conjunto Y de todas las matrices m X n con elementos reales, junto con las operaciones de adición de matrices y multiplicación escalar, es un espacio vectorial. La matriz cero m X n es el vector cero O, y si u es la matriz U m X n, entonces la matriz -U es el negativo -u del vector u. Este espacio vectorial se denotará por el símbolo M*,,. A Ejemplo 4 Sea V el conjunto de las funciones con valores reales definidas sobre toda la recta real (- m , m ) . Si f =Ax) y g = g(x) son dos de estas funciones y k es cualquier número real, entonces la función suma f + g y el múltiplo escalar kf se definen por (f + g)(s) = J'(.Y)

+ g(x)

(kf)(x) = kj'(.x)

En otras palabras, el valor de la función f + g en x se obtiene al sumar entre sí los valores de f y g en x (figura la). De manera semejante, el valor de kf en x es k veces el valor de f en x (figura lb). En los ejercicios se pide al lector demostrar que Y es un espacio vectorial con respecto a estas operaciones. Este espacio vectorial se denota por F(- M, m). Si f y g son vectores en este espacio, entonces afkmar que f = g equivale a decir queAx) = g(x) para toda x en el intervalo (- m, m). El vector O en F( - m , M) es la función constante que es idénticamente cero para todos los valores de x. La gráfka de esta función es la recta que coincide con el eje x. El negativo de un vector f es la función -f = -Ax). Geométricamente, la gráfka de -f es la reflexión de la gráfka de f con respecto al eje x (figura IC). A

5.1 Espacios vectoriales reales 1 261

Figura 1

hi

al

Cl

En el ejemplo precedente, la atención se centró en el intervaEn caso de que la atención se hubiera restringido a algún intervalo cerrado [a, b ] o en algún intervalo abierto (a,b), las funciones definidas en estos intervalos con las operaciones establecidas en el ejemplo también hubieran producido espacios vectoriales. Estos espacios vectoriales se denotan por F [a,b ] y F(a, b), respectivamente. OBSERVACI~N.

lo

(-m, m).

Ejemplo 5 Sea V = R2, con las operaciones de adición y multiplicación escalar de-

finidas como sigue: Si u = (u1, u2) y v = (vl, v2), entonces se define u+v=(u, +u,,u,+u,) y si k es cualquier número real, entonces se define ku

= ( k u , , O)

Por ejemplo, si u = (2, 4) y v = ( - 3 , 5), y k = 7, entonces u+v=(2+(-3),4+5)=(-1,9) ku = 7u = ( 7 . 2 , O) = (14, O)

La operación de adición es la operación de adición estándar sobre R2, pero la multiplicación escalar no es la multiplicación escalar estándar. En los ejercicios se pide al lector demostrar que se cumplen los nueve primeros axiomas de espacio vectorial; sin embargo, existen valores de u para los cuales no se cumple el axioma 10. Por ejemplo, si u = (u,, u2) es tal que u2 # O, entonces l u = l ( u , , u2) = (1 . u , , O)

= (u,,

O) # u

Por tanto, V no es un espacio vectorial con las operaciones establecidas. A Ejemplo 6 Sea Vcualquier plano qui: pasa por el ongen en R'. Se demostrara que los puntos en V constituyen u n espacio kectorial bajo las Operaciones estandar de Por el ejemplo I, se sabe que adxión y multiplicación escalar para veclores en

I?'.

262 / Espacios vectoriales genevales

R3 mismo es un espacio vectorial bajo estas operaciones. Así, los axiomas 2, 3, 7, 8, 9 y 10 se cumplen para todos los puntos en R3 y en consecuencia, para todos los puntos en el plano V. Por consiguiente, basta demostrar que se cumplen los axiomas 1,4, 5 y 6. Como el plano Vpasa por el origen, tiene una ecuación de laforma

ax

+ by + cz = O

(1)

(Teorema 3.5.1). Por tanto, si u = (ul, u2, u3)y v = (vl, v2, v3) son puntos en V, entonces aul + bu2 + cu3 = O y a v l + bv2 + cv3 = O. Sumando estas ecuaciones se obtiene

+ U ] ) + b(u, + u 2 ) + c(u3+ u 3 )= o

a(u*

Esta igualdad establece que las coordenadas del punto u +v

= (U]

+ u1, u2 + u2, u3 + u 3 )

satisfacen (1); así, u + v está en el plano V. Esto demuestra que secumpleel axioma 1. Las verificaciones de los axiomas 4 y 6 se dejan como ejercicios; sin embargo, se demostrará el axioma 5. AI multiplicar aul + bu2 + cu3 = O por - 1 se obtiene

t

Así,

"u =

( -ul, -u2, -u3) está en I.'. Esto establece el axioma 5. A

Ejemplo 7 Sea V que consta de un solo objeto, elcual se denota por O, y se define

o+o=o kO = O

para todos los escalares k. Es fácil comprobar que se cumplen todos los axiomas de espacio vectorial. Este espacio se denomina espacio vectorial cero. A

ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS VECTORES

A medida que se avance, se agregarán más ejemplosde espacios vectoriales a la lista. Esta sección concluye con un teorema que da una lista útil de propiedades vectoriales.

Teorema 5.1.1. Sean V un espacio vectorial, u un vector en V y k un escalar; entonces: a ) Ou = O b) kO = O c) (-I)u=

"u

d) If ku = O, entonces k = O

o

u = O.

Se demostrarán los incisos a) y c), y las demostraciones de los demás incisos se dejan como ejercicios. -

5.I Espacios vectoriales reales / 263 Demostración de a). Se puede escribir

ou + ou

= (O =

+ O)u

[Axioma 81

ou

[ Propiedad del número O

1

Por el axioma 5, el vector Ou tiene un negativo: -0u. Al sumar este negativo a ambos miembros de la última e>rpresiónse obtiene

O

ou + [Ou

-t (-Ou)] = ou

+ (-OU)

[Axioma 31 [Axloma 51

ou+o=o ou = o

[Axloma 41

Demostración de c). Para probar (- 1)u = “u, es necesario demostrar que u + (- I)u = O . Para ver esto, obsérvese que

u+(-l)u= lu+(-l)u = =

(1 + ( - 1))u Ou

[Axloma 101 [Axloma 81 (Propiedad de los números]

=o 0 EJERCICIOS DE LA SECCIóN 5.1 En los ejercicios del 1 al 13 se da un conjunto de objetos, junto con operaciones de adición y multiplicación escalar. Determinar cuáles conjuntos son espacios vectoriales bajo las operaciones dadas. Para aquellos que no sean espacios vectoriales, enumerar los axiomas que no se cumplen. 1. El conjunto de todas las temas de números reales (x, y , z) con las operaciones

(x,y, z ) + (x’,y ’ , z ’ ) = (x + x’,y

+ y’, i + 2 ’ )

k(x, y , 2) = (kx, ,Y, z )

y

2. El conjunto de todas las temas de números reales (x, y , z) con las operaciones (x,y, z) + (x‘,y ‘ , z ‘ ) = (x

+ x’,y + y ‘ ,2 + z ‘ )

y

k(x, >, z ) = (O,

o, O)

3. El conjunto de todas las parejas de números reales (x, y) con las operaciones

(x,Y ) f

(x’, Y ’ ) = (x

+ x‘, y +u‘)

y

k(x, y) = W x , 2ky)

4. El conjunto de todos los números reales x con las operaciones estándar de adición y

multiplicación. 5. El conjunto de todas a ls parejas de números reales de la forma (x, O) con las opera-

ciones estándar sobre R2.

[ Inciso u)]

261 / Espacios vectoriales generales I. El conjunto de todas las parejas denúmeros reales de ia forma (x, y ) , donde x 2 O, con

las operaciones estándar sobreR2. 7. El conjunto de todas las n-adas de números reales de la

forma ( x , x ,.

. .

, x ) con las

operaciones estándar sobreR".

8. El conjunto de todas las parejas denúmeros reales (x,y ) con las operaciones (x, y )

+ (xf, y ' ) = (x + x' + 1, y

9. El conjunto de todas las matrices 2

X

f y'

+ 1)

y

k ( x , y ) = (kx, ky)

2 de la forma

[::I con la adición y la multiplicación escalar de matrices 1o. El conjunto de todas lasmatrices 2

X

2 de la forma

con la adici6n de matrices y la multiplicación escalar. 11. El conjunto de todas las t i c i o n e s y c o n valores reales definidas en cualquier punto de

la recta real y tales quefil) = O, con las operaciones definidas enel ejemplo 4. 12. El conjunto de todas las matnces2

X

2 de la forma

con la adicinn y la multiplicación escalar de matrices 13. El conjunto cuyo Único elemento es la Luna. Las operaciones son Luna y k(Luna) = Luna, donde k es un número real.

+ Luna = Luna

14. Demostrar que una recta que pasa por el origen en R3 es un espacio vectorial bajo las

operaciones estándar sobre R". 15. Demostrar que el conjunto de todos los números reales positivos con l a s operaciones x+y=xy

y

h=xk

es un espacio vectorial. 16. Escribir los detalles quefaltan en el ejemplo 4 17. Escribir los detalles que faltan en el ejemplo 6 IS. Demostrar el inciso b ) del teorema 5.1. l . 19. Demostrar el inciso 6)del teorema 5.1.1

Subespacios

/’

265

20. Demostrar que un espacio vectorial no puede tener más de un vector cero

21. Demostrar que un vector tiene exactamente un negativo. 22. Demostrar que los nueve primeros axiomas de espacio vectorial se cumplen si V = X’ tiene la adición y la multiplicación escalar definidas en el ejemplo 5.

5.2 SUBESPACIOS Es posible que un espacio vectorial esté contenido en un espacio vectorial más grande. Por ejemplo, en la sección precedente se demostró que los plcnos que pasan por el origen son espacios vectoriales contenidos en el espacio vectorial más grande R3. En esta sección se estudiará con más detalle esta importante idea. DE SUBESPACIO

Definici6n.Un subconjunto W de un espacio vectorial V se denomina subespacio de V si W es un espacio vectorial bajo la adición y la multiplicación escalar definidas sobre V.

En términos generales, para demostrar que un conjunto W con la adición y la multiplicación escalar forma un espaciovectorial es necesario verificar los 10 axiomas de espacio vectorial. Sin embargo, si W es parte de un conjunto más grande V del que se sabe es un espacio vectorial, entonces no es necesario verificar ciertos axiomas para W porque son “heredadosll de V. Por ejemplo, no es necesario comprobar que u + v = v + u (axioma 2) para W , porque esta relación se cumple para todos los vectores en C’ y, en consecuencia, para todos los vectores en W. Otros axiomas heredados por W de V son los axiomas 3, 7, 8, 9 y 10. Así, para demostrar que un conjunto W es un subespacio de un espacio vectorial V, basta comprobar los axiomas 1, 4, 5 y 6. El siguiente teorema muestra que inclusive se puede prescindir de los axiomas 4 y 5.

Teorema 5.2.1. Si W es un conjunto formado por uno o mús vectores de un espacio vectorial V, entonces W es un subespacio de V si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones. a ) Si u y v son vectores en W, entonces u + v está en W. h ) Si k es cualquier escalar y u es cualquier vector en W, entonces ku está en

W.

Demostración. Si W es un subespaciode V, entonces se cumplen todoslos axiomas de espacio vectorial; en particular, se cumplen los axiomas 1 y 6. Peto éstas son precisamentea ls condiciones a) y 6).

266 / Espacios vectoriales generales

Recíprocamente, supóngase que se cumplen las condciones a ) y b). Como estas conlciones son los axiomas 1 y 6 de espacio vectorial, basta demostrar que W satisface los ocho axiomas restantes. Los vectores de W cumplen automáticamente los axiomas 2, 3 , 7, S, 9 y 10, ya que estos axiomas se cumplen para todos los vectores en V. En consecuencia, para completar la demostración, basta verificar que los axiomas 4 y 5 se cumplen para vectores en W . Sea u cualquier vector en W . Por la condición b), ku está en W para cualquier escalar k. Haciendo k = O, por el teorema 5.1.1 se concluye que Ou = O está en W, y haciendo k = - 1 se concluye que (- l)u = --.uestá en W. 0 Se dice que un conjunto W formado por uno o más vectores de un espacio vectorial Ves cerrado bajo La adición si se cumple la condición a ) del teorema 5.2.1, y cerrado bajo la multiplicación escalar si se cumple la condición b). Así, el teorema 5.1.1 establece que W es un subespacio de V si y sólo si W es cerrado bajo la adicióny cerrado bajo la multiplicación escalar. OBSERVACI~N.

EJEMPLOS DE SUBESPACIOS A

Ejemplo 1 En el ejemplo 6 de la sección 5.1 se comprobaron los 10 axiomas de espacio vectorial para demostrar que los puntos en un p l a o que pasa por el origen de R3 forman un subespacio de R3. En vista del teorema 5.2.1 se puede ver que muchodel trabajo efectuado fue innecesario; hubiera bastado verificar que el plano es cerrado bajo la adción y bajo la multiplicación escalar (axiomas 1 y 6). En la sección 5.1 se comprobaron algebraicamente estos dos axiomas; sin embargo, también se pueden demostrar geométricamente como sigue: Sea W cualquier plano que pasa por el origen, y sean u y v vectores cualesquiera en W. Entonces u + v debe estar en W porque es la diagonal del paralelogramo determinado por u y v (figura l), y ku debe estar en W para cualquier escalar k porque ku est5 sobre una recta que pasa porw Así, W es cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar, de modo que es un subespacio de R3. A Ejemplo 2 Demostrar que una recta que pasa por el origen de R3 es un subespacio de R3. Solución. Sea W una recta que pasa por el origen de R3. Geométricamente es evidente que la suma de dos vectores sobre esta recta también está sobre la recta, y que un múltiplo escalar de un vector sobre la recta también está sobre la recta (figura 2). Así, W es cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar, de modo que es un subespacio de R3. En los ejercicios se pide al lector demostrar algebraicamente este resultado usando las ecuaciones paramétricas de la recta.

Figura 2

W es cerrado bajo la multiplicación.

I I W es cerrado bajo la multiplicación escalar.

5.2 Subespacios / 267

Ejemplo 3 Sea W el conjunto de los puntos (x, y ) en R2 tales que x 2 0 Y Y 2 o. Estos son los puntos del primer cuadrante. El conjunto W no es un subespacio de R2, ya que no es cerrado bajo la multiplicación escalar. Por ejemplo, v = (1, 1) está enW,perosunegativo(-l)v=-v=(-l,-l)noestáenW(figura3). A Todo espacio vectorial V diferente de cero tiene por l o menos dos subespacios: Ves un subespacio, y el conjunto {O} que consta sólo del vector cero en V es uil subespacio denominado subespacio cero. Combinando esto con los ejemplos 1 y 2 se obtiene la siguiente lista de subespacios deR2 y R3. Subespacios de &

Subespacios de R2 {O} 0 0

Rectas que pasan por el origen R2

(0) Rectas que pasan por el origen Planos que pasan por el origen R3

Después se demostrará que estos son los únicos subespacios de R2 y R3. Ejemplo 4 Por el teorema 1.7.2, la suma de dos matrices simétricas es una matriz simétrica, y un múltiplo escalar de una matriz simétrica es simétrico. Así, el conjunto de matrices simétricas n x n es un subespacio del espacio vectorial M,, de a ls matrices n X n. De manera semejante, el conjunto de las matrices triangulares superiores n X n, el conjunto de las matrices triangulares inferiores n x n y el conjunto de las matrices diagonales n X n son subespacios de M,,, ya que cada uno de estos conjuntos es cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar. A Ejemplo 5 Sea n un entero positivo y sea W que consta de todas las funciones que pueden expresarse en la forma p(x) = a0

+ a , x + . . + a,x" '

(1)

donde ao, . . . , a, son números reales. Así, W consta de la función cero junto con todos los polinomios reales de grado menor o igual que n. El conjunto W es un subespacio del espacio vectorial de todas las funciones con valores reales que se analizó en el ejemplo 4 de la sección precedente. Para ver esto, sean p y q los polinomios p(x) =a,

+ a,x + . . . + a,x"

Y q(x) =bo + b,x + . . . + b,x"

Entonces (p

+ q)(x) = p ( x ) + q(x) = (ao+ bo)+ ( a l + b , ) x + . . . + (a, + b,)x"

Y (kp)(x) = kp(x) = (ka,)

+ ( k a , ) x+ . . + (ka,)x" '


Estas funciones son de la forma indcada en (l), de modo que p + q y kp están en W. El espacio vectorial W de este ejemplo se denotará por el símbolo P,. A

Ejemplo 6 (Para quienes ya estudiaron Cálculo). Recuérdese que si f y g son funciones continuas en el intervalo (- m , m) y k es una constante, entonces f + g y kf también son continuas. Así, ías funciones continuas sobre el intervalo (- m , m) forman un subespaciode F(- m , m), ya que son cerradas bajo la adición y la multiplicación escalar. Este subespacio se denota por C(- 03, m). De manera semejante, si f y g son funciones derivables, entonces también f + g y hf sonderivables. Así, lasfunciones con primerasderivadascontinuas sobre (- m ,m ) formanunsubespaciode F(- m ,m ) . Estesubespaciose denota por C1(- m , m), donde el supraíndce 1 se usa para recalcar la primera derivada. Sin embargo, un teorema del Cálculo es que toda función derivable es continua, de modo que C'( - 03,m) es en realidad un subespacio de C(- m , m). Continuando con lo anterior, para todo entero positivo m a ls funciones con m-ésimas derivadas continuas sobre (- m , m) forman un subespacio de C'( - CQ, m), así como también las fúnciones que tienen derivadas continuas de todos los órdenes.Elsubespaciodelasfuncionescon m-ésimas derivadascontinuas sobre (- m , m) se denota por P(m , m), y el subespacio de las funciones que tienen derivadas continuas de todos los órdenes se denota por Cm(- m, m>. Finalmente, un teorema del Cálculo es que los polinomios tienen derivadas continuas de todos los órdenes, de modo que P, es un subespacio de C m(- m. m). La jerarquía de los subespacios analizados en este ejemplo se representa en la figura4. A En elejemploprecedente,seatendióalintervalo (- m , m). En caso de haber atendido al intervalo cerrado [a,61, entonces los subespacios correspondientes a los espacios vectoriales definidos en el ejemplo se hubieran denotado por C [ a , b], Cm [ a , b] y C[a,b ] . De manera semejante, sobre un intervalo abierto (a, b), esos subespacios se hubieran denotado por C(a, b), ?(u, b) Y c m (a,b). OBSERVACI~N.


ESPACIOS SOLUCIóN DE SISTEMAS HOMOGÉNEOS

Si Ax = b es un sistema de ecuaciones lineales, entonces todo vector x que satisface esta ecuación se denomina vector solucidn del sistema. El siguente teorema muestra que los vectores solución de un sistema lineal homogéneo forman un espacio vectorial. que se denomina espacio solución del sistema. es un sistema lineal homogéneode m ecuaciones con n incógnitas, entonces el conjunto de vectores solución es un subespacio de R". I

I

Demostración. Sea W el conjunto de vectores solución. En W existe por 10 menos un vector, a saber, O . Para probar que W es cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar, es necesario demostrar que si x y x' son vectores solución cualesquiera y k es cualquier escalar, entonces x + x' y b también son vectores solución. Pero si x y x' son vectores solución, entonces

A x = O y Ax'=O

a partir de lo cual se deduce que A(x+x')=Ax+Ax'=O+O=O Y A ( k x ) = kAx

= kO = O

lo que demuestra que x + x' y kg son vectores solución. 0 Ejemplo 7 Considerar los sistemas lineales

a)

c)

[i -% j[:l-[B1 [ [-i -: -:][!]=[:] b)

- 31 -2

- 27 4

d ) [O0 O0 O] 0 0 0 0

Cada uno de estos sistemas contiene tres incógnitas, de modo que las soluciones son subespacios de R3. Geométricamente, esto sigmfka que cada espacio solución debe ser UM recta que pasa por el origen, un plano que pasa por el origen, sólo el origen o todo R3. A continuación se comprobará que así es (se deja para el lector la resolución de los sistemas). Solución. a) Las soluciones son x = 2 s - 3 4 y=s,

a partir de lo cual se concluye que

z=t


x = ~ Y - ~ Oz ~ - 2 y + 3 ~ 0

Esta es la ecuación del plano que pasa por el origen con n = (1, -2, vector normal. b) Las soluciones son x = -5t,

y = -t,

3) como

z=t

que son las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el origen y es paralela al vector v = (-5, - 1, 1). c) La solución es x = O, y = O, z = O, de modo que el espacio solución es sólo el origen, es decir, { O ) . d) Las solucionesson x = r , y = s ,z = t

donde r , S y t tienen valores cualesquiera, de modo que el espacio solución es todo R3. A

COMBINACIONESLINEALES DE VECTORES

Enla sección 1.3 se introdujo elconcepto de combinación lineal de vectores columna. La siguiente definición amplía esteconcepto a vectores más generales.

Definición. Un vector w se denomina combinacibn lineal de los vectores vl, v2, . . . , v, si se puede expresar en la forma w = k , ~+, kzvr + .

'

+ k,.v,

donde k,, k,, . . . , k,son escalares. Si r = 1, entonces la ecuación dela definición precedentese reduce a w = klvl; es decir, w es una combinación lineal de un solo vector v, si es un múltiplo escalar de v,.

OBSERVACI~N.

Ejemplo 8 Todo vector v = (a, 6, c ) en R3 se puede expresar como una combinación lineal de los vectores estándar básicos i=(l,O,O),

j=(O,

1,0),

k=(O.O,l)

Ya que v

= (U,

h, c ) = ~ ( l O, , O)

+ h(0, 1, O) + c(0, O,

1) = ai

+ bj + ck

A

Ejemplo 9 Considerar los vectores u = (1, 2, - 1) y v = ( 6 , 4, 2) en R3. Demostrar que w = (9, 2, 7) es una combinación lineal de u y v, y que w'= ( 4, -1, 8) no es una combinación lineal de u y v. Solución. Para que w sea una combinación lineal de u y v, deben existir escala-

res k , y k2 tales que w

= k,u

+ k2v; es decir,

5.2 Subespacios / 271 (9, 2 , 7 ) = kI(1, 2, - 1) + k2(6, 4 , 2 ) o bien, (9, 2 , 7 ) = ( k , + 6k2, 2k1 44k,, - k ,

+ 2k2)

Igualando las componentes correspondientes se obtiene k, 2k, -k,

La solución del sistema es k ,

=

+ 6k2 = 9 + 4k, = 2 + 2k, = 7

-3, k, = 2, de modo que

w=-~u+~v De manera semejante, para que w' sea una combinación lineal de u y v, deben existir escalares k , y k, tales que w' = klu + k,v; es decir, (4, - 1 , 8 ) = k , ( I , 2 , - l ) + k 2 ( 6 , 4 , 2 ) O

(4, - 1, 8) = ( k ,

+ 6k2,

2 k ,+ 4k2,

-

k, + 2k2)

Igualando las componentes correspondientes se obtiene k , + 6k2 = 2 k , + 4k2 = -k+ t 2k,

=

4 -

1

8

Este sistema de ecuaciones es inconsistente (comprobar), de modo que no existen los escalares k, y k,. En consecuencia, w' no es una combinación lineal de u y v. A ESPACIO

GENERADO

(Lw

Si vl, v,, . . . , v, son vectores en un espacio vectorial V, entonces en general algunos vectores en V pueden ser combinaciones lineales de vl, v,, . . . , v, y otros no. El siguiente teorema muestra que si se construye un conjunto W que consta de todos los vectores que es posible expresar como combinaciones lineales de vl, Y,, . . . , v,, entonces W forma un subespacio de V.

Teorema 5.2.3. Si vl, v,, . . . , v, son vectores en un espacio vectorial V, entonces: a ) El conjunto W de todas las combinaciones lineales de v l , v,, . . . , v, es un subespacio de V. 6 ) W es el menor subespacio de Y que contiene a v,, v,, . . . , vr, en el sentido de que cualquier otro subespacio de V que contenga a v,, v,, . . . , v, debe contener a W. Demostración de a).Para demostrar que W es un subespacio de V, es necesario probar que es cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar. En W existe por

2 72

Espacios vecforiales generales

lo menos un vector, a saber, O, ya que O vectores en W, entonces

= Ovl

+ Ov2 + . .

.

, + Ov,. Si u y v son

Y donde el. c2,. . . , c, k,, k2, . . . , k, son escalares. Por consiguiente. u

+ v = ( c , + k , ) v , + ( c 2 + k , )Ir2 +

'

' '

+ (cr+ kJv,.

y, para cualquier escalar k.

Así, u + v y ku son combinaciones lineales de v l , v2, . . . , v,, y, en consecuencia, están en W. Por tanto, W es cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar.

Demostración de b). Cada vector v, es una combinación lineal de v , , v2, . . . , v,, ya que es posible escribir v, = ov,

+ ov, f . . + Iv, +

'

.

'

+ ov,.

Por consiguiente, en el subespacio W están todos y cada uno de los vectores v l . v2, . . . , v,. Sea W cualquier otro subespacio que contiene a v l , v2, . . . , v,. COIIAO W' es cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar, debe contener todas las combinaciones lineales de v I , v2, . . , v,. Así, u." contiene a cada vector de W. 0 ,

Se hace la siguiente definición.

Definición. Si S = { v l , v2, . . . , vr} es un conjunto de vectores en un espacio vectorial Y, entonces el subespacio W de Y que consta de todas las combinaciones lineales de los vectores en S se denomina espacio generado por v l , v2, . . . , v,, y se dice que los vectores v l , v2, . . . , v, generan a W. Para indicar que W es el espacio generado por los vectores del conjunto S = { v l , v2, . . . , v,} se escribe

I Ejemplo 10

W = lin (S) o bien, W = lin { v l , v z , .. . ,vr1

I

Si v 1 y v2. son vectores no colineales en R3 con puntos iniciales en el origen, entonces lln {v v2} , que consta de las combinaciones lineales 1.' + es el plano determmado por v1 y v (figura 5a). De manera semejante, si v es un vector diferente de cero en R 2 o R 3 , entonces lin {v}, que es el conjunto de todos los múltiplos escalares k v , es la recta determinada por v (figura 56). A

kv, kv,,


Ejemplo 11 Los polinomios 1, x, x2, . . . , x" generan el espacio Pn definido en el ejemplo 5, ya que todo polinomio p en Pn se puede escribir como

p = a, + a,x + . '

'

+ a,x"

que es una combinación lineal de 1, x, x,, . . . , x " . Lo anterior se puede denotar Por P, = Generado { 1, x,x*, . . . , x"} A I

Ejemplo 12 Determinar si v1 = (1, 1,2), v, = (1, O, 1) y v3 = (2, 1, 3) generan el espacio vectorial R3. Solución. Es necesario determinar si un vector arbitrario b = ( b l , b,, b3) en R3 se puede expresar como una combinación lineal

de los vectores vl, v2 y v3. Expresando esta ecuación en términos de las componentes se obtiene

2 74

Espacios vectoriales generules

El problema se reduce entonces a determinar si este sistema es consistente para todos los valores de b,, b, y b,. Por los incisos a ) y e ) del teorema 4.3.4, este sistema es consistente para todo b,, b, y 6, si y sólo si la matriz de coeficientes

es invertible. Perodet(A) = O (comprobar), de modo que A no es invertible; en consecuencia, v,, v2 y v3 no generan R3. A

Los conjuntos generadores no son únicos. Por ejemplo,dosvectores colineales cualesquiera que estén en el plano que se muestra en la figura 5 generan el mismo plano, y cualquier vector diferente de cerc que esté sobre la recta de esa figura genera la misma recta. La demostración del siguiente teorema útil se deja como ejercicio. Teorema 5.2.4.Si S = {vl, v2, . . . . v,.} y S = {wl, w2, . . . , w, } son dos conjuntos de vectores en un espacio vectorial V, entonces Generado { v ,, Y*. . , . , v,}

I

=

,

Generado { w ,w 2 , . . . ,wk}

si y s61o s i iodo vector en S es una combinación lineal de los vectores en S y , veciprocamente, todo vector en S es una combinación lineal de los vectores en S.

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 5.2 1. Usar el teorema 5.2.1 para determinar cuales de los siguientes conjuntos son subespacios de R 3 . a) Todos los vectores de la forma (a,O, O). b) Todos los vectores de la forma ( a , 1, 1). c ) Todos los vectores de l a fonna (a,b, c ) , donde b = a + c. d) Todos los vectorzs de la fonna (a,b, e), donde h = a + c + 1 2. Usar el teorema 5.2.1 para determinar cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios a) Todas las matrices 2 X 2 con elementos enteros. b) Todas las matrices

c)

dondea+b+c+d=O. Todas las matnces A 2 X 2 tales que det(il) = O

3. Usar el teorema 5.2.1 para determinar cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios de P,.

5.2 Subespacios / 275 a) Todos los polinomios a. + alx + u$ + a+3 para los que a. = O. b) Los polinomios a0 + alx+ a$ + a,$ para los quea. + al + a2 + a3= o. c) LOS polinomios a. + alx + U.$ + a3x3para los que ao,a , ,a2 y a3 son enteros. d) Los polinomios de la forma a,,+ a,x, donde a. y a, son números reales. 4. Usar el teorema 5.2.1 para determinar cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios del espacioF( - 03,m ) .

a) Todas lasftales queflx) O paratoda x. b) Todas lasftalesquefl0) = O. Todas c) lasftales quef(0) = 2. d) Todas las funciones constantes. e) Todas lasfde la forma k , + k, sen x, donde k , y k, son números reales. 5. Usar el teorema 5.2.1 para determinar cuáles de los siguientes conjuntos son subespa-

cios de M,,,,. a) Las matrices A n b) Las matrices A n c) Las matricesA n

X X X

k

n tales que tr A ) = O. n tales que A = -A. n tales que el sistema linealAx = O sólo tiene la solución tnvial.

6. Determinar si el espacio solución del sistema Ax = O es una recta que pasa por el origen, un plano que pasa por el origen o sólo es el origen. Si es un plano, encontrar su ecuación; si es una recta, encontrar sus ecuaciones paramétricas. .)A=[-:

-4 d)A=[!

i]

- 11

2

:]

b)A=[-3 1

-5

-6

"1

-2

-2

e)A=[i

c ) , 4 = [ 21 52 3 1 1 0 8

-6 f, A=[:

]!l

18 -3

i]

7. ¿Cuáles de los siguientes vectores son combinacioneslineales de u = (O, -2, 2) y v =

(1,3, -l)? a) (2,2,2).

b) (3, 1,5).

c) (O, 4, 5).

d) (0,

o, O).

8. Expresar cada uno delos siguientes vectores como combinacioneslineales de u = (2, 1, 4), v = (1, -1,3) y w = (3,2, 5). a) (-9, -7, -15). b) (6, 11,6). c) (0, o, O). d) (7,8, 9). 9. Expresar cada uno de lossiguientes polinomios como una combinación lineal de p, = 2 +x+42,p2=1 -x+32yp3=3+2x+52. a) -9 - 7x - 152. b)6+11x+62. c) o. d) 7 + 8x+ 9 2 . 10. ¿Cuáles de las siguientes matrices son combinacioneslineales de

11. En cada inciso, determinar si los vectores dados generanR3

a) vl = (2, 2, 21, v2 = (O, O, 31, v3 = (O, 1, 1)

13. Ikterminar si los slguientes polinomios generan P,. =

I

p,

=

5 ~ -t x 4*'.

--

x

pz = 3 + x. ps = - 2 2.u Jr 2 2

+3 2 .

p,

"

v,

= (2, I , O, 3), v, = (3, - 1, 5, 2) y vj = ( - 1, O, 2, 1). LCuáIes de los siguientes vectores están en lin {v,, v2, v3)? a) ( 2 , 3 , - 7 , 3 ) . h) (a, O, o. o) C) ( I , I . I. 1). d) -4,6, -13,4).

14. Sean

IS. hcontrar la ecuación del plano generado por los vectores u = (-- 1 , 1, I ) y

v = (3,4.4).

16. Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta generadapor el vector u = ( 3 , -2, 5). 17. Demostrar que los vectores solución de un sistema no homogéneo consistente de m ccuaciones linealcs con n incógnitas no forma un subespacio de R". 18. Demostrar el teorema 5.2.4 19. Aplicar el teorema 5 2.4 para demostrar que

v,=(l.h.4),

v , = ( 2 . 4 , -1).

v3=(-l,2,5)

Y W!

=(I,

-2, -5),

WI =

(O. 8, 9)

general el msmo subespacio de R'. 20. llna recta L que pasa por el origen en R3 se puederepresentar por ecuaciones paramétricas de la forma x = at,y = ht y z = ct. Usar estas ecuaciones para demostrar que L es un subespacio de R3; es decir, si v, = (x,, y , , z,) y v2 = (x2,y,, z2) son puntos y v, + v2 también son puntos en L. en L y k es cualquier número real. entonces

kv,

21. (Para quienes ya estudiaron Cdkulo). Demostrar que los siguientesconjuntos

funciones son subespacios de F( - m , m). a) Las funciones que son continuas en todas partes. b) Las funciones que son derivables en todas partes. c ) Idas funciones que son derivables en todas partes y que satisfacen f

de

+ 2f = O.

22. (Pura quienes y a estudiaron Cúlculo). Demostrar que el conjunto de funciones continuas f =./(x) sobre [a,bj tales que

f f

(x) dx = O

es un subespacio de C [ a ,h ]

5.3 Independencia lineal / 277

5.3 INDEPENDENCIA LINEAL En la secnbn precedente se aprendió que un conjunto de vectores S = { v ~v2, , ..., vr} genera un espacio vectorial I' dado si todo vector en V se puede expresar como una combinación lineal de los vectores en S. En general, puede haber más deuna forma de expresar un vector en V conlo una combinaciónlineal de vectores en un conjunto generador. En esta sección se estudiarán condiciones en las que cada vector en V se puede expresar de manera única como una combinación linealde los vectoresgeneradores. Los conjuntosgeneradorescon esta propiedad son fundamentales enel estudio de los espacios vectoriales.

Definición. Si S = {v v 1.' 2' ces la ecuación vectond

DEFINICI~NDE INDEPENDENCIA LINEAL

, vr>es un conjunto no vacío de vectores, enton'

'

'

k,v, + k2v2 + . . . + k,~, = O

tiene por lo menos una solución, a saber, k,=O,

k:=O,

...,

k,=O

Si esta es la única solución, entonces S se denomina conjunto linealmente independiente. Si existen otras soluciones, entonces S se denomina conjunto linealmente dependiente. Ejemplo 1 Si v1 = (2, -1, O, 3), v2 = (1, 2, 5, - 1 ) y v3 = (7, - 1, 5 , 8), entonces el conjunto de vectores S = v , , v2, v3 es linealmente dependiente, ya que 3vl + v2 - v3 = O . A Ejemplo 2 Los polinomios p,

=

1 -x,

p2 = 5

+- 3.x

"

22,

p3 = 1 + 3 x - x2

y

forman un conjunto linealmente dependiente en P2, ya que 3p,

-

pz + 2p,

= O.

A

Ejemplo 3 Considerar los vectores i = (1, O, O), j = (O, 1, O) y k = (O, O, 1) en R3. En términos de las componentes, la ecuación vectorial k,i + k2j + k,k

=O

se convierte en

k,( 1,

o. O) + k,rO,

l . O)

-L-

J"(0,

o, 1) = (O,

o equivalentemente, (itl,

-

. . ..,

.

IC,>

P,)

~= (0;

o *

0)

O,

0)


Lo anterior indica que k, = O, k2 = O y k3 = O, de modo que el conjunto S = {i, j, k} es linealmente independiente. Sepuede usar un razonamiento semejante para demostrar que los vectores e , = ( O , 1,0, . . . , O),

e,=(1,0,0,. ..,O),

. . . , e , = ( 0 , 0 , 0 , . . , , 1)

forman un conjunto linealmente independiente en R". A Ejemplo 4 Determinar si los vectores

forman un conjunto linealmente dependiente o un conjunto linealmente independiente. Solución. En términos de las componentes, la ecuación vectorial k,v,

+ k2v, + k 3 v , = O

se convierte en kI(1, - 2, 3 ) + k2(5, 6, - 1 )

+ k3(3, 2, 1) = (O, O, O)

o equivalentemente, ( k , + 5k,

+ 3k3,

-

2k,

+ 6k, + 2 k 3 ,3kl - k2 + k 3 ) = (O, O, O)

Igualando las componentes correspon&entes se obtiene

k, + 5k,

+

+ 3k,

=O

+

-2k, 6k2 2k3 = O 3k, - k , + k3 = O

Así, v,, v2 y v3 forman un conjunto linealmente dependiente si este sistema tiene una solución no trivial, o forman un conjunto linealmente independiente sólo si el sistema tiene la solución trivial. Resolviendo el sistema se obtiene k -

-1n t ,

k2 -

-' zt,

k,=t

Por tanto; el sistema tiene soluciones no triviales y v l , v2 y v3 forman un conjunto linealmente dependiente. De otra manera, la existencia de soluciones no triviales se podría demostrar sin necesidad de resolver el sistema probando que la matriz de coeficientes tiene un determinante igual a cero y, en consecuencia, que no es invertible (comprobar). A Ejemplo 5 Demostrar que los polinomios 1 , x , x 2, . . . ) x"

forman un conjunto linealmente independlente de vectores en P,.


Solución.

Sean po= I ,

p1= x ,

p2=x2, . . . ) p n = x n

y supóngase que alguna combinación lineal de estos polinomios es igual a cero, por ejemplo a,p,

+ a l p , + a,p, +

' ' '

+ anpn= 0

o equivalentemente, ao+a,x+a,x2+...+a,,x"=0

paratodaxen

(1)

(-x,")

Es necesario demostrar que a o = a , = a , = . . . = a, = o

Para ver que así es, recordar que en álgebra un polinomio diferente de cero de grado n tiene cuando mucho n raíces distintas. Pero esto significa que a. = al = a2 = . . . = a,,= O; en caso contrario, por ( I ) se concluiría que a. + a,x + a$ + + a,$' es un polinomio diferente de cero con una infinidad de raíces. A I

'

La expresión "linealmente dependiente" sugiere que los vectores "dependen" entre sí de alguna manera. El siguiente teorema muestra que, de hecho, asíes. Teorema 5.3.1. Un conjunto S con dos o más vectores es: a) Linealmente dependiente si y sólo si por lo menos uno de los vectores en S puede expresarse como una combinación lineal de los demás vectores en S. b ) Linealmente independiente si y sólo si ningún vector en S se puede expresar como una combinación lineal de los demás vectores en S. Se demostrará el inciso a) y la demostración del inciso 6 ) se deja como ejercicio. Demostración de a). Sea S = {vl, v2, . . . , vr} un conjunto con dos o más vectores. Si se supone queS es linealmente dependiente, entonces existen escalares k , , k,, . . . , k,., no todos iguales a cero, tales que k , v l + k,v,

Para ser específícos, supóngase que k , como VI =

(-$

f

+ . . . + k , ~ =, O

(2)

O. Entonces (1) se puede volver a escribir

+. ..+

(-$

que expresa a v1 como una combinación lineal de los demás vectores en S. De manera semejante, si kl # O en (2) para alguna j = 2, 3, . . . , r, entonces v se J puede expresar como una combinación lineal de los demás vectores en S.

280 i Espacios vectoriales generales

Recíprocamente, se supone que por lo menos uno de los vcctores en S se puede expresar como una combinación lineal de los demás vectores. En concreto, supóngase que v , = c2v2 + c3v3 + . . + c,v, '

de modo que VI

c2v2 -

-

c3v3 - '

' '

- crv,. =

o

Se concluye que S es linealmente dependiente, ya que la ecuación k , ~ +, k2v2 + . . t- k,v,. = O '

se satisface por k,

=

1,

k,

. . . . kr = - c,.

--c2,

que no todos son cero. La demostración para el caso en que algún vector diferente de v, se puede expresar como una combinación lineal de los demás vectores en S es semejante. 0 Ejemplo 6 En el ejemplo 1 se vio que los vectores VI = (2,

- 1 , O, 3),

v2= ( I , 2,5,

-

l),

y

v3 = ( 7 ,

-

1, 5 , 8)

forman un conjunto linealmente dependiente. Por el teorema 5.3.1. se concluye que por lo menos uno de estos vectores se puede expresar como una combinación lineal de los otros dos. En este ejemplo, cada vector puede expresarse como una combinación lineal de los otros dos, ya que por la ecuación 3vl + v2 - vg = O se concluye (ver el ejemplo 1) que VI =

-+v2

+ iv,,

v2 = - 3 v ,

+ v3,

Y

vi

=

3v,

+ v2

A

Ejemplo 7 En el ejemplo 3 se vio que los vectores i = (1, O, O), j = (O, 1, O) y k = (O, O, 1) forman un conjunto linealmente independlente. Así, por el teorema 5.3.1 se concluye que ninguno de estos vectores se puede expresar como una combinación lineal de los otros dos. Para ver directamente que esto es así, supóngase que es posible expresar a k como k = k,i

+ k2j

Entonces, en términos de las componentes, (O, O, 1 )

= kl(l,

O, O) -t k,(O, 1, O)

Pero esta ecuación no se cumple para ninguno de los valores de k , y k2, de modo que k no se puede expresar como una combinación lineal de i y j. De manera se-

5.; Independencia lineal / 281

mejante, no se puede expresar a i como una combinación lineal de j y k, y no es posible expresar a j como una combinación lineal de i y k. A El siguiente teoremaestablecedoshechos lineal que es importante conocer.

sencillos sobre independencia

Teorema 5.3.2. a> Un conjtlnto j n i t o de vectores que contiene al vector cero es linealmente dependiente. h) Un conjunto con exactamente dos vectoreses linealmente independiente si y sólo si ninguno de los vectores es un múltiplo escalar del otro.

Se demostrará el inciso a ) y la demostración del inciso 6) se deja como ejercicio Demostración de a).Para vectores cualesquiera v l . v2, . . . , v,, el conjunto S = { v l , v2, . . . , v,, O } es linealmente dependiente, ya que la ecuación ov,

+ ov, + . . . + ov,. + l(0) = o

expresa a O como una combinación lineal de los vectores en S con coeficientes no todos iguales a cero. 0

Ejemplo 8 Las funciones f, = x y f2 = sen x forman un conjunto linealmente independiente de vectores en F( - 03, m), ya que ninguna de estas funciones es un múltiplo constante de la otra. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA INDEPENDENCIA LINEAL

La independencia lineal posee algunas interpretaciones geométricas útiles en R2 y R3. o

En R2 o R3, un conjunto de dos vectores es linealmente independiente si y sólo si los vectores no están en la misma recta cuando se colocan con sus puntos iniciales en el origen (figura 1).

a)

Figura 1

Linealmente dependientes.

b)

Linedmente dependientes.

C)

Linealmente independiente$.


En R3, un conjunto de tres vectores es linealmente independiente si y sólo si los vectores no están en el mismo plano cuando se colocan consus puntos iniciales en el origen (figura 2).

a)

Figura 2

b)

Linealmente dependienta.

Linealmente dependientes.

c)

Linealmente independientes.

El primer resultado es una conclusión del hecho de que dos vectores son linealmente independientes si y sólo si ninguno de ellos es un múltiplo escalar del otro. Geométricamente, esto equivale a afrmar que los vectores no están en la misma recta cuando se colocan con sus puntos iniciales en el origen. El segundo resultado es una conclusión del hecho de que tres vectores son linealmente independientes si y sólo si ninguno de ellos es una combinación lineal de los otros dos. Geométricamente, esto equivale a decir que ninguno de los vectores está en el mismo plano que los otros dos o, de otro modo, que los tres vectores no están en un plano común cuando se colocan con sus puntos iniciales en el origen (¿por qué?). El siguiente teorema muestra que un conjunto linealmente independiente en R" puede contener cuando mucho n vectores.

Teorema 5.3.3. Sea S (= vk,v2, . . , v,.} un conjunto de vectores en R". Si r > n, entonces S es linealmente independiente. ,

Demostración.

Se supone que

Considérese la ecuación k,v,

+ k2v2f .. . + k,v, = o


Si, como se ilustra en el ejemplo 4, ambos miembros de esta ecuación se expresan ls componentes y después se igualan las componentes corresponen términos dea dientes, se obtiene el sistema

Este es un sistema homogéneo den ecuacionesen l a s r indgnitask,, k2, . . . , k,. Como Y > n, por el teorema 1.2.1 se concluye que el sistema tiene soluciones no triviales. Por consiguiente, S = {v,, v2, . . . , v,} es un conjunto linealmente dependiente.

u

El teorema precedente establece que un conjunto en R2 con más de dos vectores es linealmente dependiente, y que un conjunto en R3 con más de tres vectores es linealmente dependiente. OBSERVACI~N.

PARA QUIENES YA ESTUDIARON CÁLCULO INDEPENDENCIA LINEAL DE FUNCIONES

Algunas veces la dependencia lineal de funciones se puede deducir a partir de identidades conocidas. Por ejemplo, las funciones f, =sen2,, f2 = cos2x y f3 = 5 forman un conjunto linealmente dependiente en F( - a , m), ya que la ecuación 5fl

+- 5f2 - f3 = 5 sen2 x + 5 cos2 x

-

5 = 5(sen2 x

+ cos2 x>

-

5

=O

O está expresado como una combinación lineal de f,, f2 y f3 con los coeficientes no todos iguales a cero. Sin embargo, tales identidades se pueden aplicar sólo en situaciones especiales. Aunque no existe ningún método general para establecer independencia lineal o dependencia lineal de funciones en F( - m, a ) ,a continuación se desarrollará un teorema que algunas veces se puede aplicar para demostrar que un conjunto de funciones dado es linealmente independiente. Si f, =A(.), f2 =&(x), . . . , f,, =f,(x) son funciones derivables n - 1 veces sobre el intervalo (- m , m), entonces el determinante

284

Espacios vectoriales generales

Supóngase, porelmomento, que f,, f2, . . . , f, son vectores linealmente dependientes en &"')(-m, m). Entonces existen escalares k,, k, . . , k,, no todos iguales a cero, tales que ,

k,f,(.x) i k , f , ( s )

+

' ' '

+ k,,f',,(s) o y=

para toda x en el intervalo (- m , m). AI combinar esta ecuación con las ecuaciones obtenidas al derivar sucesivamente n - 1 veces, se obtiene

Así, la dependencia lineal de f,, f2, . . . , f, indica que el sistema lineal

tiene una solución no trivial para toda x en el intervalo (- m, m). Esto a su vez significa que para toda x en (- m ; m) la matriz de coeficientes no es invertible o, de manera equivalente, que su determinante (el wronsluano) es cero para toda x en (- m , m). Por tanto, si el wronskiano no es idénticamente cero sobre (- m, m), entonces las funciones f,, f2, . . . , f,, deben ser vectores linealmente independientes en C("-l)(- m. m). Este es el contenido del siguente teorema:

Teorema 5.3.4. Si las funciones f,, f2, . . . , f,, tienen n - 1 derivadas continuas sobre el intervalo (- 03, m) y si el wronskiano de estas funciones no es idénticamente cero sobre (- m, m), entonces las funciones formanun conjunto linealmente independiente de vectores en &-l)(-m, m).

*Józef Maria Hoetze-Wronski (1776-1853). Matemático y filósofo polaco-francés. Wrónshi recibió su primera educación en Pomán y Varsovia. Sirvió como oficial de artilleros en el ejército prusiano en una sublevación nacional en 1794, fue hecho prisionero por el ejército ruso y una vez liberado estudió filosofia en varias universidades alemanas. Se nacionalizó fiancés en 1800 y terminó por establecerse en París, donde efectuó investigaciones en an&is que lo [levaron a publicar algunos artículos matemáticos polémicos y lo relacionaron con un famoso juicio sobre cuestiones financieras. Varios años después, su propuesta de investigación sobre la detenninación de la longitud enel mar fue rechazada por la British Board of Longitude y Wrónski volvió a sus estudios sobre filosofia mesiánica. En la década de 1830 investigó infructuosamente la factibilidad de que los tractores de oruga compitiesen con el ferrocarril y pasó sus úhimos~~enlapobrezaBastardedesutrabajomatendtiooestaba~&~e~~~ons.per menudo conteníaresultados e ideas a s ia ld o svaliosas. Algunos autom atribuyen este p a t h de m m n i m t o de toda la vida a tendencias psicótiw y a una e q m x i h de la importaradade su propio trahajo.

5.3 Independencia lineal 1 285

Ejemplo 9 Demostrar que f, = x y f2 = sen x forman un conjunto linealmente independiente de vectores en C' (- m , m). Solución. En el ejemplo 8 se demostró que estos vectores forman un conjunto linealmente independiente al observar que ninguno de ellos es un múltiplo escalar del otro. Sin embargo, para fines ilustrativos, este mismo resultado se obtendrá usando el teorema 5.3.4. El wronskiano es

Esta función e$ diferente de cero para toda x en el intervalo (- m, m) (comprobar), de modo que f, y f2 forman un conjunto linealmente independiente. A Ejemplo 10 Demostrar que f, = 1, f2 = dc y f3 = e& forman un conjunto linealmente independiente de vectores en C2(- m, m). Solución. El wronskiano es

1 e-' e Z X w(x> = O e x 2e2' O ex 4eZX

= 2e3'

Esta función es diferente de cero para toda x en el intervalo (- m, m) (comprobar), de modo que f,, f2 y f3 forman un conjunto linealmente independiente. A OBSERVACI~N. El recíproco del teorema 5.3.4 es falso. Si el wronskiano de f,, f2, . . . , f, es idénticamente cero sobre (- m , m), entonces no es posible llegar a ninguna conclusión respecto a la independencia lineal de {f,, f2, . . . , fn}; este conjunto de vectores puede ser linealmente independiente o linealmente dependiente. Se omiten los detalles de la demostración.

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 5.3 1. Explicar por qué los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes. (Resolver este problema por inspección.) a) u, = ( - 1, 2, 4) y u' = ( 5 , - 10, -2O)enR' b) u I = (3, - 1). u2 = (4, 5), u) = ( - 4, 7) enR2 c) pl = 3 - 2x + x2 y p2 = 6 - 4x + 2x' enP,

286

/'


a) 2 - x + 4 x 2 , 3 + 6 x + 2 x 2 , 2 + 1 0 x - 4 x 2b ) 3 + x + x 2 2, - x + 5 x 2 4, - 3 x 2 C) 6 - x', 1 + X 4 ~ ' d) 1 3x 3x2, x 4x2, 5

+

+

+

+

+ 6x + 3x2, 7 + 2x

- x2

S. Supóngase que vl, v2 y v3 son vectores en R3 cuyos puntos iniciales están en el origen. En cada inciso, d e t e m a r si los tres vectores son coplanares. b)v,=(-6,7,2),v2=(3,2,4),v,=(4,-1,2)

a)v,=(2,-2,0),v2=(6,1,4),v,=(2,0,-4)

6. Supóngase que vI, v2 y v3 son vectores en R3 cuyos puntos iniciales están en el origen. En cada inciso, determlnar si los tres vectores son colineales. a) v , = ( - 1 , 2 , 3 ) ,

c)

VI =

- 6 ) , v,=(-3,6,0) = (2, 3,4), vj = ( - 2 , -3, -4)

b) ~ 1 = ( 2 , - 1 , 4 ) , ~ , = ( 4 , 2 , 3 ) ,~ , = ( 2 , 7 ,- 6 )

~ 2 = ( 2 , -4,

(4, 6, 8).

v2

7. a) Demostrar que los vectores vl = (O, 3, 1, - l), v2 = (6, O, 5, 1) y v3 = (4, -7, 1, 3) forman un conjunto linealmente dependiente en R4. b) Expresar cada vector como una combinación lineal de los otros dos. 8. ¿,Para qué valores reales de

1 los siguientes vectores forman un conjunto linealmente

dependiente en R3? v,

=(a, -1

2.

;),

"

v2 = ( - L 2. a,

4).

"

vj

=

(

-A -+. a)

9. Demostrar que si {vl, v2, v3} es un conjunto de vectores linealmente independiente, entonces también {vi, v2}, {vl, v3}, {v2, v3}, {vl}, {v2} y (v3} son linealmente independientes. 10. Demostrar que si S = { v l , v2, . . . , vr} es un conjunto de vectores linealmente

independiente, entonces también todo subconjunto no vacío de S es linealmente independiente. 11. Demostrar que si {vl, v2> v3} es un conjunto de vectores linealmente independiente en un espacio vectorial V y v4 es cualquier vector en V, entonces {vl, v2, v3, v4) también

es linealmente independiente. 12. Demostrar que si {vl, v2, . . . , vr} es un conjunto linealmente independiente de

vectores en un espacio vectorial V y si vrtl, . . . , vn son vectores cualesquiera en V , entonces {vI, v2, . . . , vrtl, . . . , vn} también es linealmente independiente.

13. Demostrar que todo conjunto con más de tres vectores de P2 es linealmente dependiente. 14. Demostrar que si {vI, vz} es linealmente independiente y v3 no está en lin {vl, vz},

entonces {v,, v2, v3} es linealmente independiente. 15. Demostrar: Para vectores cualesquiera u, v y w, los vectores u forman un conjunto linealmente dependiente.

- Y, v

-w y w

-

u

16. Demostrar: El espacio generado por dos vectores en R3 es una recta que pasa por el

origen, un plano que pasa por el origen o el origen mismo.

17. ¿En qué condiciones un conjunto con un vector es linealmente independiente?

5.4 Base y dimensión / 287 18. ,$on linealmente independientes los vectores v,, v2 y v3 de la figura 3a? ¿Y los de la figura 3b? Explicar las respuestas.

tz

Figura 3 19. Usando las identidades adecuadasdondeseanecesario,determinarcuálesde siguientes conjuntos de vectores enF( - m , 03)son linealmente dependientes. a) 6, 3 sen2x, 2 cos2 x

d) cos 2x,sen2 x, cos2 x

b) x, cos x e) (3 - x)’, x2 - 6x, 5

c) l,senx, sen2x f ) O, cos3 m , s e n 5 3 n x

20. (Para quienes ya estudiuron C&urO). Usando el wronskiano,demostrarque siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes.

a) 1, x, ex

b) sen x, cos x, x senx

los

c) e’, xe‘, x’eX

d) 1, x,

los

x2

21. Con el inciso a) del teorema 5.3.1, demostrar el incisob ) del mismo teorema.

22. Demostrar el inciso b ) del teorema 5.3.2

5.4 BASE Y DIMENSI~N Es comúnimaginar a una recta como unidimensional, a un plano como bidimensional y al espacio circundantecomo tridimensional. El objetivo principal de esta secciónes hacer precisa esta noción intuitivade dimensión. SISTEMAS DE COORDENADAS NO RECTANGULARES

En geometría analítica plana se aprendió a asociar un par de coordenadas (a, b ) con un punto P en el plano alproyectar P sobreun par de ejes de coordenadas perpendiculares (figura la). Mediante esteproceso,a cada punto en el planose asigna un conjuntodecoordenadasúnico y recíprocamente,a cada par decoordenadas se asocia un punto Único en el plano. Lo anterior se describe afirmando que el sistema de coordenadas establece una correspondencia biunivocu o uno a uno entre puntos en el plano y parejas ordenadas de números reales. Aunque los ejes de coordenadas perpendiculares son los más comunes,para definir un sistema de coordenadas en el plano se puede usar cualquier par de rectas no paralelas. Por ejemplo, en la figura lb, al punto P se han asociado las coordenadas (a, 6 ) al proyectar P en forma paralela alos ejes de coordenadas no perpendiculares. De manera semejante, para defimrunsistemadecoordenadasenel espacio tridimensional es posible usar cualquier tema de ejes de coordenadas no coplanares (figura IC).

2811


a)

bI

('

1

coordenadas no rectangulares en el

El primer objetivoenestasecciónes ampliar elconceptode sistema dc coordenadas a espacios vectoriales generales. Para empezar, será de utilidad volver a plantear el concepto de sistema de coordenadas en el espacio bidimensional o en el espacio tridimensional usando vectores en vezdeejesde coordenadas para especificar el sistema de coordenadas. Esto se puede hacer sustituyendo cada eje de coordenadas por un vector de longitud 1 que apunte en la hrección positiva del eje. En la figura 2a, por ejemplo, v1 y v2 son tales vesores. Como se ilustra en esa figura, si P es cualquier punto en el plano, el vector OP se puede escribir como una combinación lineal de v1 y v2 proyectando P en forma paralela a vI y v2 a fin de que OP sea la diagonal del paralelogramo determinadopor los vectoresmIy bv2.

-

OP = a v , +- bv,

Resulta evidente que los númerosa y b en esta fórmula vectorial son precisamente las coordenadas deP en el sistema de coordenadas de la figura lb. De manera semejante, las coordenadas (a,b, c) del punto P en la figura IC se pueden obtener al expresar ¿¡? como una combinación lineal delos vectores que se muestran en la figura 26.

5.4 Base y dimensión / 289

Las escalas de mdción a lo largo de los ejes de coordenadas son ingrdentes esenciales de cualquier sistema de coordenadas. En términos generales,se intenta usar la misma escala en cada eje y situar los puntos enteros sobre los ejes una a distancia de 1 unidad entre sí. Sin embargo, esto no siempre es práctico o apropiado: para ajustar una gráfica particular sobre una página impresa o para representar cantidades fisicas con varias unidades en el mismo sistema de coordenadas (tiempo en segundos sobre un otro eje,porejemplo)sonnecesarias eje y temperatura en cientos de grados sobre escalas desiguales o escalas en que la &stancia entre los puntos enteros sea mayor o menor que 1 unidad. Cuando un sistema de coordenadas se especifica medmte un conjunto de vectores básicos, entonces las longitudes de estos vectores corresponden a las distancias entre puntos enteros consecutivos sobre los ejes de coordenadas (figura 3). Así, lo que define las direcciones positivasde los ejes de coordenadas son las direcciones de los vectores básicos, y lo que establece las escalas de medición son las longitudes de los vectores básicos.

-3 -2 -1

-?I

-1

-3

-2

Escalas diferentes. Ejes perpendiculares.

Figura3

Escalas iguales. Ejes oblicuos.

Escalas dikrentes. Ejes oblicuos.

La siguiente defínición clavehace más precisas los conceptos anterioresy permite espacios vectoriales generales. ampliar el concepto de sistema de coordenadas a

Definición.Si V es cualquier espacio vectorial y S = {vl, v2, . . . , vn} es un conjunto de vectores en V. entonces S se llama base de V si se cumplen las dos condiciones siguientes:

BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL

a) S es linealmente indepenhente. b) S genera a V. Unabase es la generalización de espacio vectorial de un sistema de coordenadas enelespacio bidimensional y en el espacio tridimensional. El siguiente teorema ayudará a ver por quées así.

,

Teorema 5.4.1. S i S = {vl, v2, . . . , vn} es una base de un espacio vectorial V, entonces todo vector v en V se puede expresar en forma zinica como v == c l v , + c2v2 + . . . + C,V,?. I

d

Demostración. Como S genera a I/', por la definición de conjunto generador se concluye que todo vector v en 1' se puede expresar como una combinación lineal de los vectores en S. Para ver que sólo existe una manera de expresar un vector como una combinación lineal de los vectores en S, supóngase que algún vector v se puede escribir como v

= ClV1

+ c,vz +

v

= k,v,

+ k,v, +

' '

. + c,vn

y también como '

+ knv,

I

Restando la segunda ecuación de la primera se obtiene

c,-kl=O,

c,-k,=Q,

. . , , c,--,,=O

es decir. C,

= k,,

c 2 = k,,

Así. las dos expresiones para v son iguales.

COORDENADAS RESPECTO A UNA BASE

...,

crt

= kn

U

Si S = {vl, v2, . . , vn }es una base para un espacio vectorial V y ,

v = c,v,

+ c*v2+

'

.

'

+ c,v,

es l a expresión que describe un vector v en términos de la base S, entonces los escalares cl, c2,. . . , e,, se denominan coordenadas de v respecto a la base S. El


vector (cl, c2, . . . , cn) en R" que se obtiene a partir de estas coordenadas se llama vector de coordenadas dev con respecto a S; se denota por (v)s = (CI,

$9

..

'

c,>

>

OBSERVACI~N. Se debe notar que los vectores de coordenadas no sólo dependen de la base S, sino también del orden en que se escriben los vectores básfcos; un cambio en el orden de los vectores básicos da por resultado un cambio correspondiente en el orden de los elementos en los vectores de coordenadas.

Ejemplo 1 En el ejemplo 3 de la sección precedente se demostró que si i=(l,O,O),

l,O),

j=(O,

y

k=(O,O, 1)

entonces S = {i, j, k} es un conjunto linealmente independiente en R3. Este conjunto también genera a R3, ya que cualquier vector v = (a, b, c) en R3 se puede escribir como v

= (a, b, c) = a(1,

O, O)

+ b(0, 1, O) + c(0, O, 1) = a i + bj + ck

(1)

Así, S es una basede R3; se denomina base estándar de R3. Al observar los coeficientes de i, j y k en (1). se concluye que las coordenadas de v respecto a la base estándar son a, b y c, de modo que (VIS

= (a, b, c>

Comparando este resultado con (1) se observaque v

= (VIS

Esta ecuación establece que las componentes de un vector v con respecto a un sistema de coordenadas rectangulares xyz ya ls coordenadas de v con respecto a la base estándar son las mismas; así, el sistema de coordenadas y la base producen precisamente la misma correspondencia unoauno entre puntos enel espacio tridimensional y ternas ordenadas de números reales (figura 4). A

Figura 4

Los resu1:ados delejemplo anterior son un caso especial de los quese presentan en el siguiente ejemplo. BASE ESTANDAR PARA R"

Ejemplo 2 En el ejemplo 3 de la sección precedente se demostró que si e , = (1, O,O, . . . , O),

e,

= (O,

1, O , . . . , O),

. . . , e,, = (O, O, O, . . . , 1)

entonces

es un conjunto linealmente independiente de R". Este conjunto también genera a R", ya que cualquier vector v = (vl. v2, . . . ,vn) en R" se puede escribir como

Así, S es una base de R"; se denomina base estándar de R". Por (2) se concluye que las coordenadas de v = (vl, v2, . . . , vn) respecto a la base estándar son v l , v2, . . . , vn, de modo que (VIS

= (u,,

u23

' ' ' 1

u,)

Como en el ejemplo 1, aquí también se tiene que v

=w 7 .

de modo que unvector v y su vector de coordenadas con respecto a la base estándar de R" son iguales. A OBSERVACI~N. En otro ejemplo se verá que un vector y su vector de coordenadas no son los mismos; la igualdad observada en los dos ejemplos precedentes es una situación especial que ocurre sólo conla base estándar de R".

En RZ y en R3, los vectores estándar básicos suelen denotarse por i, j y k, en vez de por e l , e, y e3. Aquí se usarán ambas notaciones, dependiendo de la situación particular. OBSERVACI~N.

Ejemplo 3 Sean v1 = (1, 2, l), v2 = (2, 9, O) y v3 = ( 3 , 3, 4). Demostrar que el conjunto S = v l , v,, v3 es una base deR3. Solución. Para probar que el conjunto S genera a R3 es necesario demostrar que un vector arbitrario b = (bl, b,, b 3 ) se puede expresar como una combinación lineal b = c i v l + c2v2+ c3v3


de los vectores en S. Expresando esta ecuación en términos de las componentes se obtiene

o bien, igualando las componentes correspondientes,

+ 2c2 + 3c3 = h , 2c, + 9c2 + 3c3 = h2 + 4c, = b, CI

CI

Así, para probar que S genera a R3 es necesario demostrar que el sistema (3) tiene una solución para todas las elecciones de b = (6 6-J. Para probar que S es linealmente independlente, se debe demostrar que la única solución de

,,t2,

es c1 = c2 = c3 = O. Como antes, si (4) se expresa en términos de las componentes, entonces la comprobación de la independencia lineal se reduce a demostrar que el sistema homogéneo

sólo tiene la solución trivial. Obsérvese que los sistemas (3) y (5) tienen la misma matriz de coeficientes. Así, por los incisos a), b ) y g) del teorema 4.3.4 se puede probar en forma simultánea que S es linealmente independiente y que genera a H3 al demostrar que en los sistemas (3) y (5) la matriz de coeficientes 1 2 3 1

0

posee un determinante diferente de cero. Pero

4

294

/


de modo que S es una base para R3. A Ejemplo 4 Sea S = {vl, v2. v3] la base de R3 en el ejemplo precedente.

a) Encontrar el vector de coordenadas de v = ( 5, - 1, 9) con respecto a S. b) Encontrar el vector v en R3 cuyo vector de coordenadas con respecto a la base S e s ( v ) , ~ =(-1. 3. 2). Solución de a). Es necesario encontrar escalares cl, c2, c3 tales que

v = c,v, + c2v2 + c3v3

o bien, en términos de las componentes. ( 5 , - I , 9) = c,(l, 2, 1)

+ c2(2,9, O ) + c3(3, 3,2'

Igualando las componentes correspondientes se obtiene C1

2C,

+ 2C2 f 3C3 5 + 9C2 + 3C3 = - 1

CI

Resolviendo este sistema se obtiene c1 consiguiente,

zz

+4c, = = 1,

(v)s = (1, Soluciónde h). obtiene

v

c2

9 = - 1,

c3

=

2 (comprobar). Por

- 1, 2)

Aplicando la definición delvectorde

coordenadas ( v ) ~ ,se

= ( - l ) ~+, 3 ~ + 22 ~ 3 =(-1)(1,2, 1)+3(2,9,0)+2(3, 3,4)=(11,31,7) A

Ejemplo 5

a) Demostrar que S = { 1 , x, x*, . . . . x"} es una base para el espacio vectorial Pn de polinomios de la forma a. + alx + . . . + a&'. b) Encontrar elvector de coordenadas del polinomio p a. + alx + a2x2 con respecto a la base S = { 1, x, x,} para P,. Solución de a). En el ejemplo 11 de la sección 5.2 se demostró que S genera a P2, y en el ejemplo 5 de la sección 5.3 se demostró que S es un conjunto linealmente independiente. Así, S es una base para P,; se denomina base estándar para P,. Solución de a). Las coordenadas de p = a. + a l x + a2x2 son los coeficientes = (ao,a l , a,). A escalares de los vectores básicos 1, x y x2, de modo que

5.4 Rase y dimensión 1 295 Ejemplo 6 Sean

El conjunto S = {M1,M,, M3, M4) es una base para el espacio vectorial de matrices 2 x 2. Para constatar que S genera a M,,, obsérvese que unvector (matriz) cualesquiera

se puede escribir como

Para constatar que S es linealmente independiente, supóngase que aM, + bM2 + CM, + dA4, Es decir,

'I+#

a [ 'O O 0 ]+b[O O 0

=O

: ] + d [ oO 0I]=[:

:]

Se concluyeque

Así, a = b = c = d = O, de modo que S es linealmente indepenjiente. La base S en este ejemplo se denomina base estúindar para M2,. De manera más general, la base estándar para Mnn consta de las mn matrices diferentes que tienen un solo 1 y cuyos elementos restantes son ceros. A Ejemplo 7 Si S = {vl, v,, . . . , vr} es un conjunto linealmente independiente en un espacio vectorial V, entonces S es una base para el subespacio lin (S?, ya que por definicibn de lin ( S ) e! conjunto S genera a lin (S). A DIMENSI~N

Definición. Se dice que un espacio vectorial Y diferente de cero es de dimensión finita si contiene un conjunto finito de vectores vl, v2, . . . , v,, que forma una base. Si es así, se dice que V es de dimensión infinita. Además, se considera que el espacio vectorial cero es de dimensión finita. A Ejemplo 8 Por los ejemplos 2, 5 y 6, los espacios vectoriales R", Pn y M,,,, son de dimensión finita. Los espacios vectoriales F(- m , m ) , C(- m , m ) , Cm(- m , w) y C" (- m , m) son de dimensión infinita (ejercicio 23). A

296

,I

Espacios vectoriales generales El siguiente teorema proporciona la clave del concepto de dimensión

vn} es cualquier base, entonces: a ) Todo conjunto con más de n vectores es linealmente dependiente. 6) Ningún conjunto con menos de n vectores genera a V. Demostración de a).Sea S = { w l , w 2 , . , w m }cualquier conjunto de m vectores en I,', donde m > n. Se quiere demostrar que S es linealmente dependiente. Como S = {v,, v2, . . . , vn} es una base, todo wi se puede expresar como una combinación lineal de los vectores en S, por ejemplo , ,

Wl

=

U,,V,

+ u21v2 - t . . + a,,v, + + . . . + an2v, '

w2 = a12v1 a2,v2

w,

= Ul,VI

+ a2,v2 + . . + U n m V , '

Para demostrar que S es linealmente dependente, es necesario encontrar escalares k , , k,, . . . , k,,, no todos cero, tales que

Usando las ecuaciones en (6), la expresión (7) se puede volver aescribir como (k,u,1

" k,a,2 +

' ' '

+ kmUlm)V,

+ (k1a,, + k2a,, + . . . + kma2,,,)v2 + (k,a,, + k2an2+ . . . + ~,u,,,,)v, = O

Así, a partir de la independencia lineal de S, el problema de demostrar que S es un conjunto healmente dependiente se reduce a probar que existen escalaresk,, k,, . . . , km, no todos cero, que satisfacen

+ + . . + q m k m= o a , , k , +- a2,k, + . . . + a,,k, = O a,,!%, a,,k,

an,kl

'

(8)

+ a,2k2 + . . . + anmkm= O

Pero (S) contiene más incbgnitas que &ones, de modo que la demostración está completa, ya queel teorema 1.2.1 garantiza la existencia de soluciones no triviales. Demostración de b). Sea S = {wl, w,, . . . , wm}cualquier conjunto de m vectores en V, donde m < n. Se quiere demostrar que S no genera a V. La demostración será por contradicción: Se demostrará que suponiendo que S genera a V se llega a una contradicción de la independencia lineal de {vl, v2, . . . , vn}.


Si S genera a V, entonces todo vector en V es una combinación lineal de 10s vectores en S . En particular, cada vector básico vi es una combinación lineal de los vectores en S , por ejemplo,

+

v, = a l l w l + a Z I w 2 . . . + a , , ~ , v2 = a 1 2 w l+ a22w2+ . . + am2w, '

v, = a,,w,

+ a2nW2 + . . . + c,,w,

Para obtener la contradicción, se demostrará que existen escalares k,, k2, . . . , km, no todos cero,tales que k , ~+, k2v2+ . . . + k,v, = O

(10)

Pero obsérvese que (9) y (10) son de la misma forma que (6) y (7), excepto que se han intercambiado m y n, así como las w y las v. Por tanto, los cálculos con los que se llegó a (8) ahora producen a,,k, a2,k,

+ a I 2 k 2+ . . . + a&, + a2,k2 + . . . + a2,k,

O =O =

Este sistema lineal contiene más incógnitas que ecuaciones y por el teorema 1.2.1, posee soluciones no triviales. 0 Del teorema precedente se deduce que si S = {vl, v2, . . . , v,,} es cualquier base para un espacio vectorial V, entonces todos los conjuntos en V que simultáneamente generan a V y son linealmente independientes deben tener precisamente n vectores. Así, todas las bases de Vdeben tener el mismo número de vectores que la base arbitraria S. Esto lleva al siguiente resultado, que es uno de los más importantes en álgebra lineal. 1

Teorema 5.4.3. Todas las bases de un espacio vectorial de dimensión jinita tienen el mismo númerode vectores. Para ver cómo se relaciona este teorema con el concepto de "dimensión", recuérdese que la base estándar para R" tiene n vectores (ejemplo 2). Así,el teorema 5.4.3 indica que todasa ls bases de R" tienen n vectores . En particular, cualquier base para R3 tiene tres vectores, cualquier base para R2 tiene dos vectores, y cualquier base para R' (R) tiene un vector. Intuitivamente, R3 es tridimensional, R2 (un plano) es bidimensional, y R (una recta) es unidimensional. Así, para espacios vectoriales conocidos, el número de vectores que hay en m a base es igual a la dimensión. Este hecho sugiere la siguiente definición.


Ejemplo 9 dim@") = n La base estándar tiene n vectores (ejemplo 2). dim(Pn) = n + 1 La base estándar tiene n + 1 vectores (ejemplo 5) dim(Mmn)= mn La base estándar tiene mn vectores (ejemplo 6). Ejemplo 10 Determinar una base para y la dimensión del espacio solución del sistema homogéneo 2x, + 2x,

-

x2

+ 2x,

+

x2

-

.x1

+x,=o

x3

- x, -

-

3x,

+xg =o

o xi + xq + x5 = o

2x,

- .x5

=

Solución. En el ejemplo 6 de la sección 1.2 se demostró que la solución general

del sistema dado es

Por consiguiente, los vectores solución se puedenescribir como

lo cual demuestra que los vectores "

j O

O

generan el espacio solución. Como también son linealmente independientes (comprobar), {vl, va} es una base y el espacio solución es bidimensional. A


ALGUNOS TEOREMAS FUNDAMENTALES

El resto de esta sección se dedicará a una serie de teoremas que revelan las sutiles relaciones que hay entre los conceptos de generación, independencia lineal, base y dimensión. Estos teoremas no son ejercicios vanos de matemáticas teóricas; porel contrario, son esenciales para comprender los espacios vectoriales y muchas aplicaciones prácticas del álgebra lineal se basan en ellos. El siguienteteorema,que en estelibro se denomina Teorema M&/Menos, establecedosprincipiosbásicos en los que se basan la mayoríade los teoremas subsecuentes. Teorema 5.4.4. (Teorema MádMenos). Sea S un conjunto no vacío de vectores en un espacio vectorial I/: a ) Si S es un conjunto linealmente independiente y v es un vector en V que no pertenece a [in (SI, entonces el conjunto que se obtiene al incluir v en S aún es linealmente independiente. 6 ) Si v es un vector en S que se puede expresar como una combinación lineal de los demás vectores en S, y si S - {v} denota el conjunto que se obtiene al quitar v de S, entonces S y S - { v) generan el mismo espacio;es decir,

I

lin

6s) = lin ( S - {v})

La demostración se pospone hasta el final de la sección para poder estudiar de inmediato las consecuencias del teorema. Sin embargo, el teorema se puede representar en R3 como sigue: a)

Un conjunto S de dos vectores linealmente independientes en R3 genera un plano que pasa por el origen. Si S se aumenta insertando cualquier vector v fuera de este plano (figura 5a), entonces el conjunto resultante de tres vectores todavía es linealmente independente, ya que ninguno de los tres vectores está en el mismo plano que los otros dos. 6 ) Si S es un conjunto de tres vectores no colineales en R3 que están en un plano común que pasa por el origen (figura5b), entonces los tres vectores generan el plano. Sin embargo, si de S se quita cualquier vector v que sea una combinación lineal de los otros dos, entonces el conjunto restante de dos vedores sigue generando el plano.

b)

Ninguno de los tres vectores está en el mismo

Cualquiera de los vectores se puede eliminar y los dos restantes siguen generando

Figura 5

". . -.

,".I

..

. .

.

".

I

C)

se puede eliminar y los dosrestantes


En general, para probar que un conjunto de vectores {vl, v2, . . . , v,,} es una base de un espacio vectorial V, se debe demostrar que los vectores son linealmente independientes y generan a Y, Sin embargo, si se sabe que la hmensión de Ves n (de modo que {vl, v2, . . . , v,,} contiene el número adecuado de vectores para una base), entonces basta verificar y a sea, la independencia lineal o la generación: la otra condición se cumple automáticamente. Este es el contenido del siguiente teorema.

Teorema 5.4.5. Si V es un espaciovectorialde dimensión n y si S es un conjunto en V con exactamente n vectores, entonces S es una base de I.’ si S genera a V o si S es linealmente independiente. Demostración. Supóngaseque S contieneexactamente n vectores y que genera a C’. Para probar que S es una base es necesario demostrar que S es un conjunto linealmente independiente. Pero si no es así, entonces algún vector v en S es una combinación lineal de los demás vectores. Si este vector se quita de S, entonces por el Teorema MáslMenos (teorema 5.4.46) se concluye que el conjunto restante de n - 1 vectores aún genera a V. Pero esto es imposible, ya quepor el teorcma 5.4.26 se deducequeningúnconjuntocon menos de n vectores puede generar un espacio vectorial de dimensión n. Así, S es linealmente independiente. Supóngase que S contiene exactamente n vectores y que es un conjunto iinealmente independiente. Para probar que S es una base se debe demostrar que S genera a V. Pero si ésto no es así, entonces en V existe un vector v que no está en lin (S). Si este vector seincluye en S, entoncesporelTeorema MásMenos (teorema 5 . 4 . 4 ~se ) concluye que este conjunto de n + 1 vectores aún es linealmenteindependiente.Peroesto es imposible, ya que por el teorema 5.4.2a se concluye que ningún conjunto con más de n vectores en un espacio de dimensión n puede ser linealmente independiente. Así, S genera a

v. n

Ejemplo 11 Demostrar por inspección que v I = ( - 3 , 7 ) y v2 = (5, 5 ) forman una base para R2.

Demostrar por inspección que v 1 forman una base para R3.

=

(2, O, - I), v2 = ( 4 , o, 7) y v3 = (- 1,1, 4)

Solución de a). Como ninguno de los vectores es un múltiplo escalar del otro, los dos vectores forman un conjunto linealmente independiente en el espacio bi&mensional R2 y, entonces, por el teorema 5.4.5, forman una base. Solución de 6). Los vectores v1 y v2 forman un conjunto linealmente independiente en elplano xz ($or qué?). El vector v3 está fuera del plano xz, de nlods que


el conjunto {vl, v2, v3} también es linealmente independiente. Como R3 es tridimensional, el teorema 5.4.5 indica que {vl, v2, v3} es una base para R3. A El siguiente teorema muestra que para un espacio vectorial V de dtmensión finita todo conjunto que genera a V contiene una base para V, y que todo conjunto linealmente independiente en V forma parte de alguna base para V. ~~~

~~~

Teorema 5.4.6. Sea S un conjunto de vectores en un espacio vectorial V de dimensiónjnita. a ) Si S genera a V pero no es una base de V, entonces S se puede reducir a una base de V quitando de S los vectores adecuados. 6 ) Si S es un conjunto linealmente independiente que y a no es una base para V , entonces S se puede agrandar hasta constituir una base para V insertando en S los vectores apropiados. Demostración de a). Si S es un conjunto de vectores que genera a V pero no es una base para V, entonces S es un conjunto linealmente dependiente. Así, algún vector v en S se puede expresar como una combinación lineal de los demás vectores en S. Por el Teorema Máshlenos (teorema 5.4.46), es posible quitar v de S y el conjunto resultante S ' sigue generando a V. Si S ' es linealmente independiente, entonces S' es una base para V y ya se ha terminado. Si S es linealmente dependiente, entonces es posible quitar de S ' algún vector adecuado a fin de obtener un conjunto S ' que siga generando a V. Se puede continuar quitando vectores de esta manera hasta que, por último, se llega a un conjunto de vectores enS que sea linealmente independiente y genere a V. Este subconjunto de S es una base para V. Demostración de 6).Supóngase que dim(Cr) = n. Si S es un conjunto linealmente independiente que no es UM base para V, entonces S no genera a V y existe un vector v en V que no está en lin (S). Pero por el Teorema MásMenos (teorema 5.4.4a), es posible insertar v en S, y el conjunto resultante S aún es linealmente independiente. Si S genera a V, entonces S es una base para V y ya se ha terminado. Si S no genera a V, entonces es posible insertar un vector apropiado en S para obtener un conjunto S' que siga siendo linealmente independente. Es posible continuar insertando vectoresde esta manera hasta que se llega a un conjunto con n vectores linealmente independientes en V. Por el teorema 5.4.5, este conjunto es unbase para V.

En la siguiente sección se dan ejemplos numéricos que ilustran el teorema precedente. Esta sección concluye con un teorema que muestra que la dimensión de un subespacio de un espacio vectorial V no puede exceder la dtmensión de V mismo, y que la única forma en que un subespacio puedetener la misma dimensión que Ves cuando el subespacio es todo el espacio vectorial V. En la figura 6 se ilustra esta

.-.. .

302

,I

Espacios vecloriaies generales

idea para R3. En esa figura se observa que aumenta la dimensión de subespacios sucesivamente más grandes.

Recta que Pasa por el origen 1 (1-unidirnensionalj

1

1

Origen

(dimensión O)

I

Figura 6

~~

~~~

~~

~~~

~

~~

~

Teorema 5.4.7. Si W es un subespacio de un espacio vectorial Y de dimensión ,finita. entonces dim(W) 5 dim(l.9;además, si dim(W) = dim(4, entonces W = V. *

Demostración. Sea S = { wl, w,, . . . , wm} una base para W. S puede ser una base para V o no. Si es así, entonces dim(w = &m(V) = m. Si no es así, entonces, porel teorema 5.4.66, es posible agregar vectores al conjunto linealmente independiente S a fin de convertirlo en una base para Y de modo que dim(JV) < &m( 4. Por tanto, d i m ( q 5 & m ( q en todos los casos. Si dim( W) = dim(V), entonces S es un conjunto de m vectores linealmente independientes en el espacio vectorial Vde dimensión m ;por tanto, debido al teorema 5.4.5, S es una base para V. Esto signifíca que W = Y (¿por qué?). 0

MÁS DEMOSTRACIONES Demostración del teorema 5.4.4a Supóngase que S = {y1, v2, . . . , vr} es un conjunto linealmente independiente de vectores en V y que v es un vector en I/’ fuera de lin (S). Para probar que S = {vl, v2, . . , vr, v} es un conjunto linealmente independiente, es necesario demostrar que los únicos escalares que satisfacen ,

k,v, + k2v2 +

’ ’ ‘

+ k,v, + k,,

,v = o

(1 1)

son k , = k , = . . . = k = k r+l = O. Pero se debe tener que k r+l = O; en caso contrario, v se podría despejar en (11) como una combinación lineal de vl, v2, . . . , Y,, contrakciendo la hipótesis de que v es un vector que no pertenece a lin (S). Así, (1 1) se simplifica a

k,v, + k2v2+ . . . + k , ~ ,= O lo cual, debido a la independencia lineal de v,, v,, . . . , vr , sigrufíca que k I -- k

2 -

= k =O.

(12)


Demostración del teorema 5.4.4b Supóngase que S = {vl, v2, . . . , vr} es un conjunto de vectores en V y, para ser específícos, supóngase que v, es una combinación lineal de vl, v2, . . . , v,- 1, por ejemplo

Se quiere demostrar que v,si se quita de S, entonces el conjunto de vectores restante (vl, v2, . . . , v,.-~} sigue generando a lin (9;es decir, se debe demostrar que todo vector w en lin (S) se puede expresar como una combinación lineal de {y1, v2, . . . , vr- 1}. Pero si w está en lin (S), entonces w se puede expresar en la forma

o bien, sustituyendo en (13)

que expresa a w como una combinación lineal de vl, v2, . . . ,vr-

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 5.4 1. Explicar por qué los siguientes conjuntos de vectores no son bases de los espacios vectoriales indicados. (Resolver este problema por inspección.) a) u, = (1, 2), u2 = (O, 3), uj = (2, 7) para R2 b ) u l = ( - 1 , 3 , 2 ) , u,=(6,1,1)paraR3 C) pI = 1 + x + x2, p2 = x - 1 para P2

2. LCuAles de los siguientes conjuntos de vectores son bases para R2?

a1 (2, 11, (3, 0)

b) (4,

11, (-7,

C) (0, O), (1, 3)

-8)

(d) (3,9), (-4, - 12)

3. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son bases para R3?

a) (1, O, 01, (2,2, O), (3,3, 3) b) ( 3 , 1, - 4h (2, 5, 6h (1,4, 8) C) (2. - 3 , 11, (4, 1, I ) , (0, -7, 1) d) (1, 6, 41, (2, 4, - 11, ( - 1, 2, 5) 4. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son bases para P2? a) 1 - 3 X + 2 ~ ~ , 1 + ~ + 4 ~ ~ , 1 - 7b~) 4 + 6 x + x 2- 1 , +4x+2x2,5+2x-x2 c) 1 + x + x 2 , x + x 2 , 2 d) - 4 + ~ + 3 ~ ~ , 6 + 5 ~ + 2 ~ ~ , 8 + 4 x + x ' 5. Demostrar que el siguiente conjunto de vectores es una base paran/iZ2.

[:

-0611

[-Y

-:I9

[-I:

3

[ -; :]

6. Sea Vel conjunto generado por v l = cos2 x, v2 = sen2 x, v3 = cos 2x a) Demostrar que S = { y 1 , v2, v3} no es una base para V.

b) Determinar una base para V. 7. Encontrar el vector de coordenadas de w con respecto a la base S = {u], u2}para R2

u

304

,I

Espacios vecforiales generales

a) u l = ( l , O ) . u ~ ~ ( OI ) ; , ~ = ( 3 -,7 ) c) u, = ( I , I ) , u, = ( O , 2); w = (u, h )

b)

U,

= ( 2 , -4), ~ , = ( 3 , 8 ) ;w = ( l , 1)

8. Hallar el vector de coordenadas de v con respecto a la base S = {v,, v2, vi} a) v = (2, - I , 3 ) ; V I = ( I , O, O), v, = (2, 2,O), v3 = ( 3 , 3, 3) b ) v = ( 5 . --12,3); ~ , = ( 1 , 2 , 3 ) ,v 2 = ( - 4 , 5 , 6 ) , v 3 = ( 7 , - 8 . 9 ) Y. Encontrar el vector de coordenadas de p con respecto a la base S = { p l , p2, p3}. a) p = 4 - 3x + x * ; p, = 1, p2 =x, p3 = x2 b) p = 2 - X x'; p I = 1 + X , pz = 1 + x2, p1 = X + X' 10. Determinar el vector de coordenadas de A con respecto a la base S = {A,, A,, A,, A4}.

+

En los ejercicios del 1 1 al 16, determinar la dimensión y una base para el espacio solución del sistema. 11. x , + x , - xi = o 13. x , - 4x, 3x3 - x4 = o 12. 3r, +x, +x, + x 4 = o - 2x, - x, 2x3 = o 5x, - x, xj - x4 = o 2 ~ -, 8x2 + 6x3 - 2x4 O

+

+ x, = o - 3x, + x3 = O

+

+

-x,

14.

X,

2x, - 6x2 3x,

-

+ 2 ~ =, O

+ 3x3 = O + 5x, = o x, + xj = o

15. 2x, +x,

9x, -t3x, = o

x,

16. x + y + z = O 3x+2y-2z=O 4xf3y-

z=o

6x+5y+ z=O 17. Determinar bases para los siguientes subespacios de R3. a) El plano 3x - 2y+ 5z = O. b) El plano X - = O.

c) L a r e c t a x = 2 t , y = - t , z = 4 t . d) Todos los vectores de la forma (u, 6 , e), donde b = u + c 18. Dar las dimensiones de los siguientes subespacios de p.

a) Todos los vectores de la forma (a,b, c, O). b) Todos los vectores de la forma (a,b, c, d), donde d = a + b y c = u c) Todos los vectores de la forma (u, b, c, d), donde u = b = c = d.

- b.

20. Encontrar un vector estándar básico que se pueda agregar al conjunto { v , , vz} para

obtener una base paraR3. a ) v , = ( - 1 , 2 , 3 ) v, , = ( l , - 2 ,

-2)

b ) v , = ( l , -l,O),

vz=(3,1,-2)

21. Encontrar vectores estándar básicos que se puedan agregar al conjunto {vi, v2} para

obtener una basepara p. v , = ( l , - 4 , 2 , -3),

~ , = ( - 3 , 8 , -4,6)

22. Sea { v I , v2, vj} una base de un espacio vectorial V. Demostrar que {ui, u2, u3} también es una base, donde u1= Y , , u2 = v i + v2 y u3 = v, + v2 + v3.


23. a) Demostrar que para todo entero positivo n, en F( - m , m ) se puede hallar n + 1 vectores linealmente independientes. [Sugerencia Buscar polinomios.] b) Usar el resultado del inciso a) para demostrar que F( - m , m) es de dimensión mfihita.

c) Demostrar que C( - m , dimensión m f i i t a .

m),

Cm(- m ,

m)

y C (- m ,

m)

son espacios vectoriales de

24. Sea S una base de un espacio vectorial V de dimensión n. Demostrar que si v l , v2, . . .

vr forman un conjunto linealmente independiente de vectores en V, entonces los vectores de coordenadas ( v ~ (vJS, ) ~ . . . , (v& forman un conjunto linealmente independiente en R" y recíprocamente. 25. Usando la notacióndel ejercicio 24, demostrarque si v l , v2, . . . vr generan a V, entonces los vectores de coordenadas ( v ~ ) (v,& ~ , . . , , ( v ~ generan ) ~ a R" y recípro-

camente. 26. Encontrar una base parael subespacio deP2 generado por los vectores dados. a) - 1 + x - 2x2, 3 + 3x + 6 2 , 9 b) 1 +x, x2, -2+2x2,-3x C) 1 + X - 3x2, 2 + 2~ - 6x2, 3 + 3~ - 9x2 [Sugerencia Sea S labase estándar para P2 y trabájese con los vectoresde coordenadas relativos a S; consultar los ejercicios 24 y 25.1

21. En l a figura 7 se muestran un sistema de coordenadas rectangularesxy y un sistema de coordenadas x)' con ejes oblicuos. Suponiendo que en todos los ejes la escala mide 1

unidad, encontrar las coordenadas xy de los puntos cuyas coordenadas xy se proporcionan. b) (1,O). c) (O, 1). d) (a,b). a> (1, 1).

X'

Figura 7

28. En la figura 8 se muestran un sistema de coordenadas rectangularesxy determinado por los vectoresunitarios básicos i y j y un sistema de coordenadas xy determinado por los vectores unitarios básicos u1 y u2. Encontrara ls coordenadas xy de los puntos cuyas

coordenadas xy se proporcionan.

5.5 ESPACIO RENGLÓN, ESPACIO COLUMNA Y ESPACIO NULO

Se enipezard con algunas definiciones. VECTORES R E N G L ~ NY VECTORES COLUMNA

Definicidn. Para una matriz m

X n r

los vectores

-=: [%!

' '

.

U? ,

3

Rn formados a partir de los renglones de A se denomin 1, y los vectores :II

:n

Rm

ores renglón de

fonuados a partir de las columnas de 11se denominan vedores columna

IcA. I

Ejemplo I Sea "I

'

"i

4

los vectores renglón de A son

r,=[2 I

O]

y

r,=[3

-1

41

5.5 Espacio renglón, espacio columna y espacio nulo / 307

y los vectores columna de A son

La siguiente definición caracteriza tres espacios vectoriales importantes asociados con una matriz. ~~~~

ESPACIO COLUMNA, ESPACIO RENGLÓN Y ESPACIO NULO

Definición. Si A es una matriz m x n, entonces el subespacio de R" generado por los vectores renglón de A se denomina espacio renglón de .4, y el subespacio de R"' generado por los vectorescolumna de A se denomina espacio columna de A . El espacio solución del sistema de ecuaciones homogéneo A x = O , que es un subespacio deR", se denomina espacio nulo de A . En esta sección yen la siguiente se abordarán las siguientes preguntas generales: ¿Qué relaciones existen entre las soluciones de un sistema lineal A x = b y el espacio renglón, el espacio columna y el espacio nulo de la matriz de coeficientesA ? ¿Qué relaciones existen entre el espacio renglón, el espacio columna y el espacio nulo de una matriz?

Para investigar la primera de tales preguntas, supóngase que

.

Por la fórmula (7) de la sección 1.3 se concluye que si cl, c2, . . . c, denotan los vectores columna de A , entonces el producto A x sepuede expresar como una combinación lineal de estos-vectores columna con coeficientes de x; es decir, A x = x , c I + x2c2 + . . . + X,C,

(1)

A s í , un sistema lined Ax = b de m ecuaciones conn inujgnitas se puede escribir como xlcI

de donde se concluye que A x

+ x2c2+ . . . +

=b

X,C,

=b

(2)

es consistente siy sblo si b se puede expresar como

una combinación lineal de los vectores columna deA o, equivalentemente, si y sólosi b está en el espacio columna de A . Lo anterior conduce al siguiente teorema.

Teorema 5.5.1. Un sistema de ecuaciones lineales Ax sólo si b está en el espacio columna de A .

=

b es consistente si y

Ejemplo 2 Sea Ax

= b el

sistema lineal

Demostrar que b está en el espacio columna de A , y expresar b como una combinación lineal de los veclores columna de A. Solución. Resolviendo el sistema por eliminación gaussiana se obtiene (comprobar) x, = 2 ,

x2

=

-

x3 = 3

1,

Como el sistema es consistente, b está en el espacio columna de A , además, por ( 2 ) y la solución obtenida, se concluye que

RELACIQN ENTRE LAS SOLUCIONES DE Ax = O Y LAS SOLUCIONES DE Ax=b

El siguiente teorema establece una relación fundamental entrea ls soluciones de un sistema lineal no homogéneo Ax = b y las del sistema lineal homogéneo correspondienteAx = 0 con la misma matriz de coeficientes.

spacio nulo de A, es decir, el espacio solución del sistema homogéneo A x ntonces todasolución de Ax = b se puede expresar en la forma x = X"

+ C l V l + c2vz +

' ' '

= O.

+ CkVk

y , recíprocamente, para todas las elecciones de los escalares c l , c2, . . . , ck, el vector x en esta fórmula es una solución de Ax = b. Demostración. Supóngase que x. es cualquier solución fija de Ax una solución cualesquiera. Entonces y

Ax,= b

Ax=b

Al restar estas ecuaciones se obtiene =

o

xo) =

o

Ax - A x , O

A(x

-

=

b, y que X es

5.5 Espacio renglón, espacio columna y espacio nulo / 309

lo cual indica que x - x. esunasolución del sistema homogéneo A x = O. Como vl, v2, . . . , vk es una base para el espacio solución de este sistema, entonces x - x. se puede expresar como unacombinaciónlinealdeestos vectores, por ejemplo x

-

X" = C , V ,

+ c2v2 +

' ' '

+ CkVk

Por tanto, x = xg

+

CIY]

CZVz

' ' '

+ CkVk

lo que demuestra la primera parte del teorema. Recíprocamente, para todas las elecciones de los escalares cl, c2,. . . , ck en (3) se tiene Ax

= A(x,

+ C l V i + c2v2+

t CkVk)

' ' '

O

Ax

= Ax,

+ c,(Av,) 3- C2(AV2) + .

'

.

+ Ck(AVk)

Pero x. es una solución del sistema no homogéneo y v l , v2, . . , vk son soluciones del sistema homogéneo, de modo que la idtima ecuación lndlca que ~

lo cual muestra que x es una solución de Ax = h.

0

Hay cierta terminología asociada con la fórmula ( 3 ) . El vector x. se denomina solución particular de Ax =La expresión x. + c l v l + c2v2 f . . . , + ckvkse llama solución general de A x = b, y la expresión clvl + c2v2 + . . . , + ckvk se conoce comosolución general de A x = O. Con esta terminología, la fórmula (3) establece que la solución general de A x = b es la suma de cualquier solución particular de A x = b y la solución general de A s = O. OBSERVACI~N.

Para sistemas lineales con dos o tres incógnitas, el teorema 5.5.2 posee una interpretación geométrica interesante en R2 y en R3. Por ejemplo, considérese el caso en que A x = O y Ax = b son sistemas lineales condos incógnitas. Las soluciones de Ax = O forman un subespacio de R2 y, por tanto constituyen una recta que pasa por el origen, sólo el origen o todo R2. Por el teorema 5.5.2, las soluciones de A x = b se pueden obtener sumando cualquier solución particular de Ax = b, porejemplo xo, a las soluciones de A x = O . Suponiendo que x. está colocado con su punto inicial en el origen, esto tiene elefectogeométricode trasladar el espacio soluciónde Ax = O demodo que el punto en el origen se mueve hacia la punta de x. (figura 1). Esto significa que los vectores solución de A x = b forman una recta que pasa por la punta de el punto en la punta de x*, o todo R2. (¿Puede el lector imaginar el Ú h m raso?! De marma semtjante. prrra sistemas lineales contres incligl'hits, I;I: so!ucioms de A x -= b constituyen un plano que pasa por l a punta de cuaicyjier scllnci6rr $. ~.lZicuHsrx*. una recta que pasa por la punta de x0? o todo R 3 .

~0.

310

,/


I

Espacio solución deAx = O

Figura 1

Ejemplo 3 En el ejemplo 3 de la sección 1.2 se resolvióel sistema lineal no homogéneo

x, 3- 3x, Lx,

"

2x,

+ 6x2 - 5x3 5x,

2x1

+ 6x2

+

+

t 2x5 = o 2x4 + 4x5 - 3x6 = - 1 lox, + 15x6 = 5 8x4 + 4x, + 18x6 = 6

y se obtuvo

Este resultado se puede escribir en forma vectorial como -

3r - 4s - 2t

que es la solución general de (4). Al comparar con (3), el vector

es una solución particular de (4) y

(4)

:I

5.5 Espacio rengldn, espacio columna y espacio nulo / 31 1 I-

-

3

-

-

-2

O

1 O O O

x=r

”

r-4

+

O-

-2 S

1

+t

O O

O1

”

-

es la solución general del sistema homogéneo

(comprobar). A

BASES PARA ESPACIOS RENGL~N, ESPACIOS COLUMNA Y ESPACIOS NULOS

Primero se designaron las operaciones elementales en los renglones para resolver sistemas lineales y, por ese trabajo. sabe se que al efectuar una operación elemental en los renglones de una matriz aumentada no cambia el conjunto solución dei sistema lineal correspondiente. Se concluye que realizar una operación elemental en los renglones de una matriz A no modificael conjunto solucióndel sistema lineal correspondiente A x = O o, expresado de otra forma, no cambia el espacio nulo de A . Así, se tiene el siguiente teorema.

1

Teorema 5.5.3. Las operaciones elementales en los rengr,:nes no camhrrrn el espacio nulo de una matriz. Ejemplo 4 Encontrar una base para el espacio nulo de

-iJ -;-p -:] 2

A = [

Solución.

o

2 - 1

1

El espacio nulo de A es el espacio solución del sistema homogéneo 2x, ”

+ 2x2 -

X] -

x1

+

x2

x3

+ 2x,

- 3x4

x* - 2x, x3

+x,

=o

+

=0

.xg

-xg

+

x4

=o

+ xg = o

En el ejemplo 10 de la sección 5.4 se demostró que los vectores

3 12 i Espacios vectoriales generales

1 I-1

v, =

1 O O O

-1

O -1 O 1

forman una base para este espacio. A

El siguiente teorema es el correlativo del teorema 5.5.3. Teorema 5.5.4. Las operaciones elementales en los renglones no cambian el espacio renglón de una matriz. A son r l , Demostración. Supóngase que los vectores renglón de una matriz r2, . . . , rm y sea B la matriz que se obtiene al efectuar una operación elemental en los renglones de A . Se demostrará que todo vector en el espacio renglón de R también está en el espacio renglón de A y recíprocamente, que todo vector en el espacio renglón de A está en el espacio renglón de B. Esposible concluir entonces que A y B tienen el mismo espacio renglón. Considerar las posibilidades: Si la operación en los renglones es un intercambio de renglones, entonces B y A tienen los mismos vectores renglón y, en consecuencia, tienen el mismo espacio renglón. Si la operación en los renglones es la multiplicación de un renglón por un escalar diferente de cero o es la adición de un múltiplo de un renglón a otro renglón, entonces los vectores renglón q,r2 ,..., rk de B son combinaciones lineales de rl, r2, . . . , rmj así, están en el espacio renglón de A. Como un espacio vectorial es cerrado baJo la adición y la multiplicación escalar, todas las combinaciones lineales de ri, r;, ..., rh también están en el espacio renglón de A . Por consiguiente, todovector en el espacio renglón de B está en el espacio renglón de A. Como B se obtiene a partir de A al efectuar una operación en los renglones, A se puede obtener de B al efectuar la operación inversa (sección 1.5). Así, el razonamiento anterior muestra que el espacio renglón de A está contenido en el espacio renglón de B. 0 e

1

En vista de los teoremas 5.5.3 y 5.5.4 se podría anticipar que las operaciones elementales en los renglones no deben cambiar el espacio columna de una matriz. Sin embargo, esto no es así: las operaciones elementales en los renglones pueden modificar el espacio columna. Por ejemplo, considérese la matriz

La segunda columna es un mliltiplo escalar de la primera, de modo que el espacio columna de A consta de todos los múltiplos escalares del primer vector columna. Sin embargo, si se suma -2 veces el primer renglón de A al segundo renglón, se obtiene

5.5 Espacio renglón, espacio columna y espacio nulo

i

313

Aquí nuevamente la segunda columna es un múltiplo escalar de la primera, de modo que el espacio columna de B consta detodos los múltiplos escalares del primer vector columna. Este espacio columna no es el mismo que elespacio columna de A . Aunque las operaciones elementales en los renglones pueden cambiar el espacio columna de una matriz, se demostrará que no importa cuáles sean las relaciones de independencia o dependencia lineal existentes entre losvectores columna antes de la ejecución de una operación en los renglones. esas relaciones también se cumplen para las columnas correspondientes de la matriz que se obtiene al realizar esa operación. Para precisar más este hecho, supóngase que una matriz B se obtiene al efectuar una operación elemental en los renglones de una matrizA m x n. Por el teorema 5.5.3, los dos sistemas lineales homogéneos A x = O y Bx=O

tienen el mismo conjunto solución. Así, el primer sistema tiene una solución no trivial si y sólo si lo mismo secumple para el segundo sistema. Pero si los vectores columna de A y B, respectivamente, son C],

c2,.

..

9

cn

I

,

c1, c2,.

Y

. . , c:,

entonces por (2) ambos sistemas se pueden volvera escribir como X,Cl

+ x2c2 +

xlc;

+ x2c; +

Y

o

'

.

'

+X$,

=

'

.

'

+X$:,

=o

Así, (5) tiene una solución no trivial para xl, x*, . . . , x, si y sólo si lo mismo es cierto para ( 6 ) . Esto indica que los vectores columna de A son linealmente independientes si y sólo si lo mismo es cierto para B. Aunque se omitirá la demostración, esta conclusión también es d i d a para cualquier subconjunto de los vectores columna. Así, se tiene el siguiente resultado.

Teorema 5.5.5. Si A y B son matrices equivalentes por renglones,entonces a ) Un conjunto dado de vectores columna de A es linealmente independiente si y sólo si los vectores columna correspondientes de B son linealmente independientes. b ) Un conjunto dado de vectores columna de A forma una base parael espacio columna de A si y sólo si los vectores columna correspondientes de B forman una base para el espacio columna de B.

El siguiente teorema hace posible encontrar por inspección bases para lps espacios renglón y columna de una matriz en forma escalonada.

314

Espaciosvectorialesgenerales

r

i Teorema 5.5.6. S i una

matriz R esfh en ,forma escalonada.entonces los vectoresrenglón con los unos prixipales (rs decir, k m vectnres rengkbc; dferentes de cero) forman una base para el espaciorenglón de N, y L L Y vectores columna con los unos principales de ios vectores renglón forman u m base para el espacio columna de R.

Como este resultado es casi evidente cuando se consideran ejemplos numkricos. se omitirá la demostración; Csta requiere algo más que el análisis de las posiciones de los ceros y los unos de R.

Ejemplo 5 La matriz

R=

I O

.7

o

o

O

O

l

está escrita en forma escalonada. Por el teorema 5.5.6. los vectores fi

.=[!

-2

o 31

5

‘?=[o

1 3

o

01

rj = 0

o o

I

O

forman una base para el espacio renglbn de R, y los vectores

forman una base para el espacio columna de R . A Ejemplo 6 Encontrar bases para los espacios renglón y columna de 1

A=

2 2 -1

-3 -4 -6

3

4 9 9 --4

-2 -1

-1 2

4 5 S 2 9 7 -- 5 -. 4

Solución. Como las operaciones elementales en los renglones no cambian el espacio renglón de una matriz, es posible hallar una base para el espacio renglón

5.5 Espacio renglón, espacio columna y espacio nulo

1 315

de A determinando una base para el espacio renglón de cualquier forma escalonada de A. ReduciendoA a forma escalonada se obtiene(comprobar)

Por el teorema 5.5.6, los vectores renglón diferentes de cero de R forman una base para el espacio renglón de R y, por tanto, forman una base para el espacio renglón de A. Estos vectores básicos son ',=[I

r,=[O r,=[O

-2 5 41 O 1 3 -2 -61 O O O 1 51 -3

4

Teniendo en cuenta que A y R pueden tener espacios columna diferentes, no es posible encontrar una base para el espacio columna de A directamente a partir de los vectores columna de R. Sin embargo, por el teorema 5.5.56 se concluye que si se puede hallar un conjunto de vectores columna de R que formen una base para el espacio columna de R, entonces los vectores columna correspondientes de A formarán una base para el espacio columna de A . Las columnas primera, tercera y quinta de R contienen los unos principales de los vectores renglón, de modo que

forman una base para el espacio columna de R; así, los vectores columna correspondientes de A , a saber

c, =

[ 11, -1

j],

%=[ -4

[; I] -5

forman una base para el espacio columna de A . A Ejemplo 7 Encontrar una base para el espacio generado por los vectores

316


~ , = ( 2 ,-5, -3, - 2 , 6 ) ,v 3 = ( 0 , 5 , v4 = (2, 6, 18, 8, 6 )

vI=(1, -2,0,0,3),

15, l O , O ) ,

Salvo por una variación en la notación, el espacio generado por estos vectores es el espacio renglón de la matriz

Solución.

1 - 2 o 2 -5 -3 O 5 15 2 6 1 8

o

3 6

-2 10 8

Ó 6

Reduciendo esta matriz a la forma escalonada se obtiene

I 1

-- 2

O 0 O

O O

1

_J

O

Los vectores renglón diferentes de cero en esta matriz son WI

= ( l , -2,0,0,3),

w 3 = ( 0 , O , 1, 1,O)

w,=(O, 1 , 3 , 2 , 0 ) ,

Estos vectores forman una base para el espacio renglón y por tanto forman una base para el subespacio de R5generado por vl, v2, v3 y v4. A Obsérvese que en el ejemplo 6 los vectores básicos obtenidos para el espacio columna de A consistían en los vectores columna de A , pero los vectores básicos obtenidos para el espacio renglón de A no eran todos los vectores renglón de A . El siguiente ejemplo ilustra un procedimiento para encontrar una base del espacio renglón de unamatriz A que consta completamente de vectoresrenglón de A .

Ejemplo 8 Encontrar una base para el espacio renglón de

-;y; ; -2

A = [

o

o

;]

que conste completamente de vectores renglón de A . Solución. Se transpondrá A , convirtiendo así el espacio renglón de A en el espacio columna de AT; luego se aplicará el método del ejemplo 6 para encontrar una base del espacio columna de AT; y luego se transpondrá nuevamente a fin de convertir los vectores columna de nuevo en vectores renglón. Al transponer A se obtiene

5.5 Espacio renglón, espacio columna y espacio nulo / 31 7

I

1

2 -5

O 5

O

-3 -2 6

15

-2

AT=

o 3

2 6 18 8 6

10 O

Reduciendo esta matriz a forma escalonada se obtiene O -5 O O O

'-;I

-

I;]O O

Las columnas primera, segunda y cuarta contienen los unos principales, de modo que los vectores columna correspondientes en AT forman una base para el espacio columna de AT; éstos son

c,

=

O

i

-2

Y

3

Transponiendo denuevoy vectores básicos rl = [ 1

c ~ = l2 i ]

ajustando correctamente la notación se obtienen los O

O 31,

r2=[2

-5

-3

-2

61,

Y r4=[2

6

18 8 6 1

para el espacio renglón de A . A Por el teorema 5.5.5 se sabe que las operaciones elementales en los renglones no modifican las relaciones de independencia lineal o dependencia lineal entre los vectores columna; sin embargo, las fórmulas (5) y (6) indican un resultado incluso más profundo. Debido a que estas fórmulas tienen en realidad los mismos coeficientes escalares xl, xz, . . . ,xn, se concluye quea ls operaciones elementales en los renglones no modifícan l a s fórmulas (combinaciones lineales) que relacionan vectores columna linealmente dependientes. Se omite la demostración formal.

Ejemplo 9

a) Encontrar un subconjunto de los vectores

3 IN

1


que forme una base para el espacio generado por estos vectores. b) Expresar los vectores que no pertenecen a la base como una combinación lineal de los vectores básicos. Solución de u). Se empezará por construir una matriz que tenga a v l , vz, . . como sus vectores columna:

i~

1

2 -5

O

o

-3 6 T

3

-2

3 \;

I

o

2 -1

4 -7

. , v5

5 "8 1 21

\,

\ ;

\,

\ <

La primera parte del problema se puede resolver encontrando una base para el espacio columna de esta matriz. Al reducir la matriz a la forma escalonada y denotar los vectores columna de la matriz resultante por wl, w2, w3, w4 y w5 se obtiene

i: 1

2

o o

0

0

o

0

1 O

o 1

-1

~1

1 0

Losunos principales aparecen en las columnas 1, 2 y 4, demodo que porel teorema 5.5.6 íw,,w2>w4) es una base para el espacio columna de (8) y en consecuencia

es una base para el espacio columna de (7)

Solución de 6). Se empezará por expresar w3 y w5 como combinaciones lineales de los vectores básicos w,, w2, w4. La forma más sencilla de hacer lo anterior es expresando w3 y wj en términos de los vectores básicos que tengan los subíndlces más pequefios. Así, w3 se expresará como una combinación lineal de w1 y w2, y

5.5 Espacio rengldn, espacio columna y espacio nulo

319

w5 se expresara corno una combinación lineal de w l , w2 y w4.Por inspección de (S), estas combinaciones lineales son 2w, - W? wj = w , + w2 + wq

W? =

Las expresiones anteriores se denominan ecuaciones de dependencia. Las relaciones correspondientes en ( 7 ) son v3 =

2v,

v5 = v i

-

V?

+ v2 + vq

A

El método ilustrado en el ejemplo precedente es tan importante que a continuación se resumen los pasos: Dado un conjunto de vectores S -- {vl, v2, . . . , vk} en R" con el s i p e n t e procedimiento se obtiene un subconjunto de estos vectores que forma una base para lin (S) y expresa losvectoresde S que no pertenecen a la basecomouna combinación lineal de los vectores básicos.

Paso 1. Formar la matriz A que tiene a vl, v2, . . . , vk como sus vectores columna. Paso 2. Expresar la matriz A en su forma escalonada reducida R, y sean wl, w2, . , wk los vectores columna de R. , ,

Paso 3. Identificar las columnas que contienen a los unos principales en R. Los vectores columna correspondientes de A son los vectores básicos para lin (S). Paso 4. Expresar cada vector columna de R que no contenga un uno principal comocombinación lineal delosvectores columna precedentes que contengan unos principales. (Esto se puede hacer por inspección.) Así, se obtiene un conjunto de ecuaciones de dependencia que incluyen a los vectores columna de R. Las ecuaciones correspondientes para los vectores columna de A expresan los vectores que no pertenecen a la base comocombinaciones lineales de los vectores básicos.

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 5.5 1. Enumerar los vectores renglón y los vectores columna de l a matnz


320

2. Expresar el producto Ax como una combinación lineal de los vectores c o l m m de A

3. Determinar si b está en el espacio columna de A y, en caso afirmativo, expresar b como ma combinación lineal de loa vectores columna de A .

4. Supóngase que x, = - 1, x 2 = 2 , x 3 = 4 , x4 = -3 es una solución de un sistema lineal no homogeneo Ax = b, y que elconjunto solución delsistema homogéneo Ax = O está definido por las fórmulas

x, = - 3 r + 4s-

x? =

r

x, = r,

- S,

x4

=S

a) Encontrar la forma vectorial de la solución general de Ax = O . b) Encontrar la fonna vectorial de la solución general de Ax = b. 5. Encontrar la forma vectorial de la solución general del sistema lineal dado A x = b; luego,

usar el resultado para encontrar la forma vectorial de la solución general de Ax = O. a) x I - 3x, = 1 b) x 1 x, 2x, = 5

+ +

2 x I - 6x2 = 2

XI

2x,

C)

+ +

+

+

+

.xI - 2 ~ , X , + 2 x 4 = - 1 2xI - 4x, 2x3 4x, = -2 -x, 2x, - x3 - 2x4 = 1 3x, - 6x, 3x3 6x4 = - 3

+

+ x, = - 2 + x, + 3x, = 3

.xI

d)

-2x, -x1 4x,

+ 2x, 3x3 + x4 = 4 + x, +2x, + x, = - 1 + 3x, x3 + 2x, = 3 -

-

-

6. Encontrar una base para el espacio nulo deA . -1

0

-

lx,

- 5x4 = -5

5.5 Espacio renglón, espacio columna y espacio nulo / 321 7. En cada inciso se proporciona una matriz en forma escalonada. Por inspección, Rallar las bases de los espacios renglón y columna deA .

c)

1

2

4

O

0

0

O

0

0

[: A -;

- :I [" ' :] 5

1

d)

O

O

0

-7

0

8. Para las matnces del ejercicio 6, encontrar una base para el espacio renglón de A redu-

ciendo la matnz a la forma escalonada. 9. Para las matnces del ejercicio 6, encontrar unabase para el espacio columna deA . 10. Para las matrices del ejercicio 6, encontrar una base para el espacio renglón de

A que

conste completamente de vectores renglón A de.

11. Encontrar unabase para el subespacio de I? generado por los vectores dados. a) (1, 1, -4, -31, (2, O, 2,-21, (2, - 1, 3,2) (b) ( - 1,1, -2, O), (3,3, 6, O), (9, 0,0, c) (1, 1, o, O), (0, o, 1, 11, (-2, o, 2,2), (O, -3, o, 3) 12. Determinar un subconjunto de los vectoresque formen una base para el espacio generado

por los vectores; luego, expresar cada vector que no pertenezca a la base como una combinación lineal de los vectores básicos. a)vl=(l,O,l,l), v,=(-3,3,7,1), v,=(-1,3,9,3), v4=(-5,3,5, -1) b)v,=(1,-2,0,3), ~,=(2,-4,0,6), v3=(-1,1,2,0), ~,=(O,-l,2,3) ~ ) ~ 1 = ( 1 , - 1 , 5 , 2 )~,, = ( - 2 , 3 , 1 , 0 ) , ~ , = ( 4 , - 5 , 9 , 4 ) , ~ , = ( 0 , 4 , 2 , - 3 ) , ~ , = ( - 7 , 1 8 , 2 , - 8 ) 13. Demostrar que los vectores renglónde una mabiz invertible A n X n fomm una base para R". 14. a) Sea

A=[!

i]

y considérese un sistema de coordenadas rectangulares xyz en el espacio tndimensional. Demostrar que el espacio nulo de A consta de todos los puntos del eje z y que el espacio columna constade todos los puntos enel plano v.

t1 '

Espacio nulo de A Y

3)

5.6 RANGO Y N

LQS CUATRO ESPACIOS MATRIClALES FUNDAMENTALES

Si se consideran juntas una matriz A y su transpuesta espacios vectoriales de intcrds: espacio renglón de A espacio colunlna de '4 espacio nulo de .4

A': entonces existen seis

espacio renglón deA T espacio columna de AT espacio nulo de A'

Sin embargo, al transponer una matriz sus vectores renglón se convierten en vcctores columna y sus vectores columna se convierten en vectores renglón, de modo quc, exceptoporuna diferencia en la notación,el espacio renglón de A T es el mismo que el espacio columna de A, y el espacio columna de AT es el mismo que el espacio renglón de "l. Así, quedan cuatro espacios vectoriales de interés: espacio renglón de A espacio nulo de A

espacio columna de A espacio nulo de Ai'

Estos se denominan espacios matriciales fundamentales asociados con A . S i A es una matraz 171 X n. entonces el espacio renglón de A y el espacio nulo de A son subespdcios de R" y el espacio columna dc A y cl espacio nulo de AT son subespacios dc Km. El objetivo principal en esta sección es establecer las relaciones que hay entre las dimensiones de estos cuatro espacios vectoriales. EL ESPACIO RENGLóN Y EL ESPACIO COLUMNA TIENEN LA MISMA DIMENSI~N

En el ejemplo 6 de la seccibn 5.5 se encontró que el espacio renglón y el espacio columna de la matriy

5.6 Rango y nulidad / 323

tienen, cada uno, tres vectores; es decir, ambos espacios son tridimensionales. NO es fortuito que estas dimensiones sean iguales; es una consecuencia del siguiente resultado general.

Teorema 5.6.1. Si A es cualquiermatriz,entonces espacio columna de A tienen la misma dimensión. Demostracion. deduce que

el espacio renglón y el

Sea R la farma escalonada reducida de A.Por el teorema 5.5.4 se

dim(espacio renglón de A)= dim(espacio renglón de R ) y, por el teorema 5 . 5 3 4 se concluyeque

dim(espacio columna de A) = dim(espacio columna de R ) Así, la demostración estará completa si se puede probar que el espacio renglón y el espacio columna de R tienen la misma dimensión. Pero la dimensión del espacio renglón de R es el número de vectores Merentes de cero y la dimensión del espacio columna de R es el número de columnas que contienen unos principales (teorema 5.5.6). Sin embargo, los renglones diferentes de cero son precisamente los renglones en que aparecen los unos principales, de modo que el número de éstos y el número de renglones diferentes de cero es el mismo. Esto demuestra que el espacio renglón y el espacio columna de R tienen la misma dimensión. 0 Las dmensiones de los espacios renglón, columna y nulo de una matriz son números tan importantes que existen notación y terminología especiales asociadas con ellos.

RANGO Y NULIDAD

Definición. La &mensión común del espacio renglón y del espacio columna de una matriz A se denomina rango de A y se denota por rango@); la dimensión del espacio nulo de A se denomina nulidad de A y se denota por nulidad(A). Ejemplo 1 Encontrar el rango y la nulidad de la matriz

r-l

o

14

2

"9

-4

-4

Soluciói:. La forma escalonada reducida de A es 1 O

O 1

O

0

0

O

0

0

-4 -2

-28 -12 O O

-37 -16 O O

-:I 71

324


(comprobar). Como existen dos renglones diferentes de cero (o, equivalentemente. dos unos principales), el espacio renglón y el espacio columna, ambos, son bidimensionales, demodo que rango(A) = 2. Para encontrar la nulidad de A es necesario determinar la dimensión del espacio solución del sistema lineal A x = O . Este sistema se puederesolver expresando la matriz aumentada en la forma escalonada reducida. L,a matriz resultante es idéntica a (l), excepto que contiene una liltima columna adicional de ceros y el sistema de ecuaciones correspondente es

x, - 4x, 28x, 37x, + 13x, = o x2 - 2x3 - 12x4 - 16x5 + 5x6 = O "

-

o bien, despejando las variables principales,

+ ,y2 = 2x3 + 12x4 i

.Y,

=

4 ~ , 28x4 + 37x5 - I ~ x ,

16x5- 5x6

Se concluyeque la solución general del sistema es

+ 28s + 37t x2 = 2r + 12s + 16t X, =

"€3

=

4r

-

1 3 ~

-

5u

Y

x4 = S X$

=

t

X6

=

u

o bien, de manera equivalente,

+ S

28 12 O 1

37

t l

O O

O O 1

O

-1

-

16 +U

13

O1 Los cuatro vectores del miembro derecho de (3) forman una base para el espacio solución. de modo que nulidad(A) = 4. A

El siguiente teorema muestra que una matriz y su transpuesta tienen el mismo rango.

I Teorema

5.6.2. Si A es cualquier matriz, entonces rango@) = rango(AT).

I

Demostración.

rango(A) = dim(espacio renglón de A ) SOCAT>.

o

=

dm(espacio columna de A T ) = ran-

-


El siguiente teorema establece una relación importante entre el rango y la nulidad de una matriz

Teorema 5.6.3. (Teorema de la dimensión para matrices). Si A es una matriz con n columnas, entonces

TEOREMA DE LA DIMENSI~N

rungo ( A )

I

+ nulidad ( A ) = n

Demostración. Como A tiene n columnas, el sistema lineal homogéneo A x = O tiene n incógnitas (variables), que se clasifican en dos categorías: principales y libres.

Asl. número de variables principales

variables libres

Pero el número de variables principales es elmismo que el número deunos principales en laforma escalonada reducida deA , que es el rango de A . Por tanto, número de libres

1

El número de variables libres es igual a la nulidad de A . Esto es así porque la nulidad de A es la dimensión del espacio solución de A x = O, que es igual al número de parámetros que hay en la solución general véase (3), por ejemplo , que es igual al número de variables libres. Así, rango ( A ) + nulidad ( A ) = n

0

La demostración del teorema precedente contiene dos resultados importantes de suyo.

Teorema 5.6.4. Si A es una matriz n X n, entonces: a) Rango(A)= Número de variables principales que hay en la solución de A s =

o.

b ) Nulidad(A) = Nzimero de parúmeíros que hay en la solución de As = O .

.726

,/'

Espacios vectorides genernics

Ejemplo 2 La matriz -1

'4 = -

2 3 - 7 2 - 5 4 -9

O 2 2 2

4

5 - 3 1 4

o 4 "4

6 "4

1 7

tiene seis columnas, de modo que rango@) + nulidad@) = 6 Lo anterior es consistente con el ejemplo 1, donde se demostró que rango(A) = 2 y nulidad@) = 4. A Ejemplo 3 Encontrar el número de parámetros que hay en el conjunto solución de A x = O siA es una matriz 5 x 7 de rango 3 .

nulidad(A) = n - rango(A) = 7 - 3 = 4 Así, existen cuatro parámetros. A Ahora supóngase que A es una matriz m X n de rango r ; por el teorema X m de rango r . Aplicando el teore-

5.5.2 se concluye que A T 'es una matriz n ma 5.6.3 a A y se obtiene

A '

nulidad@) = n - r , nulidad(AT)= m - r

a partir de lo cual se deducela siguiente tabla que relaciona las dmensiones de los cuatro espacios fundamentales de una matriz A de rango r. (Espacioental

I Espacio renglón d e n

VALOR MÁXIMO PARA EL RANGO

Dimensión

I

r

I

Si A es una matriz m x n, entonces los vectores renglón están en R" y los vectores columna están en Rm. Esto signrfica que el espacio renglón de A es cuando mucho de hmensión n y que el espacio columna de A es cuando mucho de dimensión m. Como los espacios renglón y columna tiene la m i s m a dimensión (el rango de A ) , se debe concluir que si m = n, entonces el rango de A es menor o igual al mínimo de m y n. Este hecho se indica escribiendo

5.6 Uav1go y nulidad

rango 04) 5 nlín ( m ,n )

1'

327

(5)

donde mín(m. n ) denota el menor de los números m y n si m si m = 11.

f

n o su valor coniún

Ejemplo 4 Si A es una matriz 7 x 4, entonces el rango de A es menor o igual que 4 y, en consecuencia, los siete vectores renglón deben ser linealmente dependientes. Si A es una matriz 4 X 7, entonces nuevamente el rango de A es menor o igual que 4 y. por tanto, 10s siete vectores columna deben ser linealmente dependientes. A SISTEMAS LINEALES DE m ECUACIONES CON n LNC~GNITAS

En secciones anteriores se obtuvo unaampliagamadeteoremas relacionados con sistemas lineales de n ecuaciones con n incógnitas (véase el teorema 4.3.4). Ahora la atención se dirigirá a sistemas lineales de m ecuaciones cn n incógnitas en los cuales m y n no necesariamente SQII iguales. El siguiente teorema establece condiciones en las que segarantiza que un sistema lineal de w z ecuaciones con n incógnitas es consistente.

Demostración. Basta demostrar las equivalencias ces por lógica se concluye que a e c. a

9

ae

hy b

9

c. ya que enton-

h . Véase el teorema 5.5.1

h e c. Se demostrar5 que si b a t á en el espacio columna de A , entonces los espacios columna de A y de [..I ' b] son iguales en realidad, a partir de lo cual se concluir6 que estas dos matrices tienen el mismo rango. Por definición. el espacio columna de una matriz es el espacio generado por sus vectores columna,de modo que los espacios columnade A y de 1 ' 4 I b l se pueden expresar c0m0

Generado { c, , c2, . . . , c, }

y

generado ( c ,, c2, . . . , c,, b }

respectivamente. Si b está en el espacio columna de A , entonces cada vector en el conjunto {cl, c2, . . , c,, b } es una combinación lineal de los vectores en {c,, c2, . . . , c n } y recíprocamente (¿por qué?). Así, por, el teorema 5.2.4, el espacio columna de A y el espacio columna de [A ! b] son iguales. ,

328

1

Espacios vectoriales generales b Supóngase que A y [A b] tienen elmismo rango Y . Por el teorema 5.4.4, existe algún subconjunto de los vectores columna de A que forman una base para el espacio columna de A . Supóngase que estos vectorescolumna son c

I

I

. ’ , c:

C ] I c2,.

Estos Y vectores básicos también pertenecen al espacio columna de dimensión r de [A I b]; por tanto, según el teorema 5.4.6a, también forman una base para el espacio columna de [A b]. Esto significa que b se puede expresar como una combinación lineal de ci,ci,... ,c; , y, en consecuencia, b está en el espacio columna de A . 0 No es dificil imaginar por qué este teorema es verdadero si el rango de una matriz se considera como el número de renglones diferentes de cero que hay en su forma escalonada reducida. Por ejemplo, la matriz aumentada del sistema

+ 2x4 = - 4

x, - 2x, - 3x, -3X,

+7X2-

2x, - 5x2 - 3x,

-3

X,+ X,=

+ 4x,

- 3x, =

7

+ 6x2 + 9x3 - 6x4 = - 1

es

I

1

- -2

-3 2 -3

- .S

-3 --1 4

6

9

2

-

7

1 --3 --6

I:J - 17

que tiene la siguiente forma escalonada reducida (comprobar):

10 O O

O i O

Debido al renglón 0

0

0

0

1

se observa que el sistema es inconsistente. Sin embargo, también es debido a este renglón que la forma escalonada reducida de la matriz aumentada tiene menos renglones cero que la forma escalonada reducida de la matriz de coeficientes. Esto hace que la matriz de coeficientes y la matriz aumentada del sistema tengan rangos distintos. Ei teorema de consistencia trata sobre las condiciones en las cuales un sistema lineal Ax = b es consistente para un vector espedfico b. El siguiente teorema tiene que ver con las condiciones en que un sistema lineal es consistente para todas las elecciones posibles de b.


Teorema 5.6.6. Si A x = b es un sistema lineal de m ecuaciones Con n incognitas, entonces lassiguientes proposiciones son equivalentes. a ) A x = b es consistente para toda matriz b m X 1. b ) Los vectores columna de A generan a R". c) rango(A) = m . Demostración. Basta probar las equivalencias a por lógica se concluye que b e c.

* b y a * c, ya que entonces

a e b. Por la fórmula (2) de la sección 5.5, el sistema A x como X,C,

+ x2c2 + . . . + X,C,

=

b se puede expresar

=b

del cual se concluye que A x = b es consistente para toda matriz b m X 1 si y sólo si b se puede expresar como una combinación lineal de los vectores columna cl, c2, . . . , c, o, equivalentemente, si y sólo si estos vectores columna generan a Rm. a e c Por la hipótesis de que A x = b es consistente para toda matriz b m X 1, y por los incisos a ) y b ) del teorema de consistencia (teorema 5.6.5), se concluyeque todo vector b en R" está en el espacio columna de A ; es decir, el espacio columna de A es todo R". Así, rango(A) = dim(R'") = m. c e a Por la hipótesis de que rango(A) = m, se concluyeque el espacio columna de A es un subespacio de R" de dlmensión m, y debido al inciso 6 ) del teorema 5.4.7, debe ser todo R". Ahora, porlos incisos a ) y 6 ) del teorema de consistencia (teorema 5.6.5) se concluye que A x = b es consistente para todo vector b en Rm , ya que b está en el espacio columna de A . [7

Se dice que un sistema lineal con másecuaciones que incógnitas es un sistema lineal sobredeterminado. Si Ax = b es un sistema lineal sobredeterminado de m ecuaciones con n incógnitas (de modo que m > n), entonces losvectores columna de A nopueden generar a R" (¿por qué?); por el último teoremase concluye que un sistema lineal sobredeterminado A x = b no puede ser consistente para ningún b posible. Ejemplo 5 El sistema lineal x1 - 2x2 = b, x2 = b, x, + x2 = b, x, + 2x2 = b, x1 + 3x2 = b, XI -

es sobredeterminado, de modo que no puede ser consistente para ninguno de IPS valores posibles de h , , h, b,, 5, y b,. La resolucióndel sistema lineal por climinación deGauss-Jordan da las condiciones exactas en que el sistema cs consistente. Se deja para el lector demostrar que la roma escalonada reducida rle l a matriz aurncntada es

(1

Entonces, el sistema es consistente s i y sólo si hi. h, condiciones 7_h! - 3h2 -5

3 h , -- 4h2 4b, - 5h2

h,

b,. h, y h , satisfacen las

-0 -C

b,%

o

~=

+ h, = li

o bien, resolviendo este sistema lineal hornogdnco,

donde Y y S son arbitrarios

A

En la fórmula (3) del teorema 5 5.2, 10s escalares c I , c2. . . . ck son parámetros cualesquiera presentes en las soluciones generales dc A x = h y de A H = O. Así, estos dos sistemas tienen el mismo número de parámetros en stus soluciones generales. Además, por el inciso h ) del teorema 5.6.4 se concluye que el nimero de tales parámetros es nulidad(A). Este hecho y el teorema de l a dimensión para matrices (teorema 5.6.3) conducen a! siguiente teorema.

En secciones anteriores se obtuvo una amplia gama de condiciones en las que se garantiza que un sistema lineal homogknel: A H = O de n ecuacioncs con n incógnitas sólo tiene la solución trivial (véase el teorema 4.3.4.j Con el siguiente teorema se obtienen algunos resultados correspondientes para sistemas de ecuaciones de m ecuacioraes con p? incógnitas. donde m y n pueden ser diferentes


Teorema 5.6.8. Si A es una matriz m X n, entonces las siguientes prOpOSiCi0nes son equivalentes. a ) A x = O sólo tiene la solución trivial. b ) Los vectores columna de A son linealmente independientes. c) A x = b tiene cuando mucho una solución (ninguna o una) para toda matriz bmxl. Demostración. Basta probar las equivalencias a por lógica se concluye que b e.c.

0

b y a e c, ya que entonces

a e b. Si cl, c2, . . . , c, son los vectores columna de A, entonces el sistema lineal A x = O se puede escribir como X,C,

+ x*c2 +

' ' '

+

X$,,

=

o

(6)

Si cl, c2, . . . , c, son linealmente independientes, entonces la ecuación anterior se cumple sólo para x1 = x2 = . . . = xn = O, lo cual sigmfica que A x = O sólo tiene la solución trivial. Recíprocamente, si A x = O sólo tiene la solución trivial, entonces (6) se cumple sólo para x1 = x2 = = x, = O, lo cual significa que cl, c2, . . . , cn son linealmente independientes. ' '

'

a e c. Supóngase que A x = O sólo tiene la solución trivial. Ax = b es consistente o no lo es. En caso de que no sea consistente, no existen soluciones de A x = b y ya se ha terminado. Si Ax = b es consistente, sea x. cualquier solución. Por la observación enunciada después del teorema 5.5.2 y el hecho de que A x = O sólo tiene la solución trivial, se concluye que la solución general de A x = b es x. + O = xo.Así, la única solución deA x = b es x,,.

Supóngaseque A x = b tienecuandomucho una soluciónpara toda matriz b m X 1. Entonces, en particular Ax = O tiene cuando mucho una solución. Así, A x = O sólo tiene la solución trivial. 0

c e a.

Un sistema lineal con más incógnitas que ecuaciones se denomina sistema fineafsubdeterminado. Si Ax = b es un sistema lineal subdeterminado consistente de m ecuaciones con n incógnitas (de modo que m < n), entonces por el teorema 5.6.7 se concluye que la solución general tiene por lo menos un parámetro (¿por qué?); por tanto, un sistema lineal subdeterminado consistente debe tener inJnidad de soluciones. Además, si A x = b es cualquier sistema lineal subdeteminado, entonces los vectores columna de A no pueden ser linealmente independientes (¿por qué?); por el teorema5.6.3 se concluye quepara un sistema lineal subdeterminado Ax = b existe alguna b para la cual el sistema tiene infinidad de soluciones. OBSERVACI~N. Por el teorema 5.6.3 también se concluye que un sistema lineal homogéneo subdeterminado tiene infinidad de soluciones; aunque este hecho ya se demostró en el capítulo 1 (teorema 1.2.1).

332

,/


Ejemplo 7 SiA es una matriz 5 x 7, entonces para toda matriz b 7 x 1 el sistema lineal Ax = b es subdeterminado. Así, A x = b debe ser consistente para alguna b, y para toda b asi la solución general debe tener 7 - r parámetros, donde r es el rango de A. A

RESUMEN

En el teorema 4.3.4 se enumeraron ocho resultados que son equivalentes a la invertibilidad de una matriz A. Esta sección concluye agregando ocho resultados más a la lista, a fin de obtener el siguiente teorema que relaciona los temas principales que se han estudiado hasta el momento. Teorema 5.6.9. Si A es una matriz n x n, y si TA:Rn+ R" es la multiplicación por A , entonces lassiguientes proposiciones son equivalentes. a ) A es invertible. b ) Ax = O sdlo tiene la solución trivial. c) La forma escalonada reducida de A es 1,. d, A se puede escribir corno un producto de matrices elementales. e ) A x = b es consistente para toda matriz b n X l . fi A x = b tiene exactamente una solución para toda matriz b n x l . g>det(A) f O . h) El rango de Zp, es Rn. I) TA es unoa uno. j ) Los vectores columna de A son linealmente independientes. k ) Los vectores renglón de A son linealmente independientes. 0 Los vectores columna de A generan a R". m ) Los vectoresrenglón de A generan a R". n ) Los vectores columna de A forman una base para R". o> Los vectores renglón de A ,forman una base para R". p ) El rango de A es n. q) La nulidad de A es O . Demostración. Por el teorema 4.3.4, se sabe que las proposiciones de la a) a la i ) son equivalentes. Para completar la demostración se probará que las proposiciones de l a j ) a la q) son equivalentes a h), al demostrar la sucesión de implicaciones b *j*k*l*m*n*o*p*q*b. b * j . Si A x = O sólo tiene la solución trivial, entonces por el teorema 5.6.8 los vectores columna de A son linealmente independientes. j * k * 1 * m * n * o. Esto se concluye por el teorema 5.4.5 y el hecho de que R" es un espacio vectorial de dimensión n. (Los detalles se dejan como ejercicio.) o

* p . Si los n vectores renglón de A forman una base para R", entonces el espacio

renglón de A es de dimensión n y el rango de A es n. p

* q. Este hecho se concluye por elteorema de la dimensión (teorema 5.6.3).

5.6 Rango y nulidad / 333 q b. Si la nulidad de A es O, entonces el espacio solución de Ax = O tiene dimensión O , lo cual significa que sólo contiene al vector cero. Por tanto, Ax = O sólo tiene la solución trivial. 0

EJERCICIOS DE LA SECCIÓY 5.6 1. Comprobar que rango(A) = rango(AT).

1

Id -!I

2. Encontrar el rango y la nulidad de la matriz;luego,comprobar obtenidos satisfacen la fórmula (4) del teorema de la dimensión.

a) A = [ !

d) A

=

1 4 3 - 2 -1

2

o 3

-a]

o

-1

b) A = [ :

5 1

-1 5

6 4

que los valores 1

-1

,-I

3

2

3

6

O

-3

9

2- 5 - 4

-3

-2 7

-2

5

2

2 1 3 , ]

c)A= 1 o

4

2

'1

3. En cada inciso del ejercicio (2), usar los resultados obtenidos para encontrar el número de variables principales y el número de parámetros que hay en la solución de Ax = O

sin resolver el sistema. 4. En cada inciso, usar la información que se proporciona en la tabla para encontrar la

dimensión del espacio renglón de A, del espacio columna de A, del espacio nulo de A y del espacio nulo de AT.

-

a)

TamañodeA Rango de A

3

C

b) 2

1

e) 2

9 x 5 2

d)

0

8)

5 x 9 6 x32x 3 O 2

4 x3 4x 3

5. En cada inciso, encontrar el valor máximo posiblepara el rango de A y el valor mínimo

posible para la nulidad de A. a) A es 4 X 4. b)Aes3

X

5.

c) A es 5

X

3.

6. Si A es una matriz m X n, ¿cuál es el valor máximo posible para su rango y cuál es el valor mínimo posible para su nulidad? [Sugerencia. Ver el ejercicio 5.1

7. En cada inciso, usar la información que se proporciona en la tabla para determinar si el sistema lineal Ax = b es consistente. En caso afirmativo, escribir el número de parámetros que hay en su solución general.

3 x 3

334

Espaciosvectoriales generar’es

8. Para cada una de las matrices del ejercicio 7, encontrar l a nulidad de A y determinar el niunero de parámetros que hay en la solución general del sistema lineal homogéneo Ax

=o 9. ¿,Quk condicionesdebensatisfacer sobredeterminado

b , , b,. b,, b, y b, paraque

el sistema lineal

3 , =~ h ;~ = h2 i- X? = 11, - 4x2 = h,

X --

x1 - 21, S

)

.yl

x, + 5

. =~ h,~

sea consistente‘! 10. Sea A= “21

“22

Demostrar que el rango de A es 2 si y sólo si uno o más de los siguientes determinantes

“2,

“21

022

‘23

“22

“23

es diferente de cero. 11. Supóngase que A es una matriz 3 X 3 cuyo espacio nulo es una recta que pasa por el

origen en el espacio tndimensional. ¿Es posible que el espacio renglón o el espacio columna de A también sea una recta que pasa por el origen? Explicar la respuesta. 12. Analizar cómo el rango de A varía con t. a)A=[; l

; i

t t

b)A=[-i

-: 3

-:]

-

13. ¿Existen valores de r y S para los cuales el rango de

[;y +] O

o

sea uno o dos? En caso afirmativo, encontrar los valores

Ejercicios complementarios / 335 14. Supóngase que A es una matnz 3 X 3 cuyo espacio columna es un plano que pasa por

el origen en el espacio tridimensional. ¿Es posible que el espacio nulo sea un plano que pasa por el origen? ¿Es posible que el espacio renglón sea un plano que pasa por el origen? Explicar las respuestas. 15. a) Demostrar: Si A es una m a h z 3

X

5, entonceslos vectores columna de A son

linealmente dependientes. b)Demostrar:Si A es unamatriz linealmente dependientes.

X

3 , entonces los vectores rengl6n de A son

5

16. Demostrar: Si A es una matrlz no cuadrada, entonces los vectores renglón de A o los

vectores zolumna de A son linealmentedependientes.

[Sugerencia Ver elejercicio

15.; 17. Usar el resultado del ejercicio 10 para demostrar que el conjunto de puntos (x, y , z) en

R3 para el que l a matriz

tiene rango 1 es la curva con ecuaciones paramétricas x = t, y = 3, z = t 3 . 18. Demostrar: Si k # 0, entonces A y kA tienen el mismo rango

O -S

COMPLEMENTARIOS

1. En cada inciso, el espacio solución es un subespacio de R", por lo que debe ser una

recta que pasa por el origen, 'unplano que pasa por el origen, todo R3 o sólo el origen. Para cada sistema, determinar cuál es el caso. Si el subespacio es un plano, encontrar una ecuación para é1 y si es una recta, encontrar las ecuaciones paramétricas. d) Ox + O y + Oz = O b) 2x - 3v +- z == O c) x - 2y 7z = O d) x i 4y 82 = O 6~ - 9 , ~ 32 = O 2x + Sy + 62 = O -4~+8y+5z=O 2x - 43' 32 = o -4xt-6.v-2z-O 3X+ y - 4 2 ~ 0

+

+

+

2. ¿Para qué valores de S el espacio solucicn de

+ sx3 = O x, + sx2 + Xj = O XI

SXI

+

x2

i

x2 i

xj = O

es una recta que pasa por el origen, un plano que pasa por el origen, sólo el origen o todo R3?

- b, a + 26) como una combinación lineal de (4, 1, 1) y (O, - 1,2). b) Expresar (3a + b + 3c, -a + 46 - c, 2a + b + 2c) como una combinación lineal de (3, - 1 , 2 ) ~ ( 1 , 4 , 1 ) .

3. a) Expresar (4a, a

+

336 i Espacios vectoriales generales c)Expresar (2a - h + 4c, 3a vectores diferentes de cero.

-

c, 4h

+ c ) como una combinación lineal de tres

4. Sea W el espacio generado por f = sen x y g = cos x. a) Demostrar que para cualquier valor de O, f, = sen (x

+ O) y

g, = cos (x

+ O ) son

vectores en W. b) Demostrar que f, y g, forman una base para W. = ( 1, 1) como una combillación lineal de v, = (1, - l), v2 = (3, O), vg = (2, 1) en dos formas distintas. b) Demostrar que el resultado del inciso anteriorno viola el teorema 5.4.1.

S. a) Expresar v

6. Sea A una matriz n X n, y sean v , , v2, . . . , vn vectores linealmente independientes en 12" expresados como matrices n X I . ¿Que debe cumplir A a fin de que Av,, Av,, . . . , Avn sean linealmente independientes?

7. ¿Una base para Pndebe cor,tener un polinomio de grado k para todo k = O, 1 , 2 , . . . , n? Justificar la respuesta. 8. Para efectos de este problema, una "matriz en tablero de ajedrez" se defmirá como una matriz cuadrada A = [ a ..] tal que II

a,,=

{

1

O

si i + j espar si i +j es impar

Encontrar el rango y la nulidad de las siguientes matrices en tablerode ajedrez: Lamatriz 3 X 3 . b) La matriz 4 X 4 . c) La matriz n X n . 9. Para efectos de este ejercicio, una "matriz en X" se d e f i á como una matriz cuadrada con un número impar de renglones y de columnas que contiene ceros en todas partes, excepto en las dos diagonales, donde tiene unos. Encontrar el rango y la nulidad de las siguientes matrices en X

p

O

0

O

11

LO. En cada inciso, demostrar que el conjunto de polinomios es un subespacio de Pn y

encontrar una base paraéste. a) Todos los polinomios en Pntales quep( -x) = p(x). b) Todos los polinomios en Pn tales quep(0)= O. 11. (Pata quienes ya esfudiaton Cdculo.) Demostrar que el conjunto de todos los polinomios en Pn que tienen una tangente horizontal en x = O es un subespacio de Pn.

Encontrar una base paraeste subespacio. 12. En algebra lineal avanzada se demuestra el siguiente criterio de determinante para el rango: El rango de una matriz A es r si y sólo si A contiene alguna submatriz r X r con determinante d$erente de cero y todas las submatrices cuadradas de tamaño su-

Ejercicios complementarios / 33 7 penor tienen determinante igual a cero. (Una submatriz de A es cualquier matriz que se obtiene al eliminar renglones o columnas de A . La matriz A en sí también se considera como una submatriz de A , ) En cada inciso, aplicar este criterio para encontrar el rango de la matriz.

13. Usando el resultado del ejercicio 12, encontrar los rangos posibles paralas matrices de

la forma

14. Demostrar: Si S es una base para un espacio vectorial V, entonces para cualesquiera vectores u y v en V y cualquier escalar k se cumplen las siguientes relaciones: a) + v), = (u), + (v>,. b) ( W , = k ( q .

"

6.1

PRODUCTOS INTERIORES En la sección 4.1 se definió el producto interior euclidiano sobre R” y se usó para extender los conceptos de longitud y distancia al espacio euclidiano n dimensional. En esta sección se usarán como axiomas laspropiedades más importantes del producto interior euclidiano para definir el concepto general de producto interior; luego se demostrará cómo los productos interiores se pueden utilizar para definir las ideas de longitud y distancia en espacios vectoriales diferentes aR”.

PRODUCTOSEnla INTERIORES GENERALES

sección 4.1, elproducto interior euclidiano de dos vectores en R” se denotó por u v. En esta sección será conveniente introducir la otra notación (u, v) para denotar este producto interior. Con esta notación, las propiedades fundamentales del producto interior euclidiano enumeradas en el teorema 4.1.2 son precisamente los axiomas de lasiguiente definición Definición. Un producto interior sobre un espacio vectorial real V es una función que asocia un número real {u, v) a cada pareja de vectores u y v en V de forma que los siguientes axiomas se cumplen para los vectores u, v y w en V y los escalares k. (1) (u, v > = (v, u) (2) ( u v, w ) = (u, w )

+

+ { v, w )

[Axioma de simetría] [Axioma de ahtividad]

339

340

/

Espacios con producto interior (3) ( k u , v ) = k( u, v ) (4) (v, v ) 2 o donde ( v , v } = O si y sólo si v = O

[Axioma de homogeneidad] [Axloma de positividad]

Un espacio vectorial real con un producto interior se denomina espacio real con producto interior. OBSERVACI~N. En el capítulo 10 se estudiarán productos interiores complejos; es decir, productos interiores cuyos valores son números complejos. Hasta ese momento se usará la expresión "espacio con producto interior" para indmr que se trata de un "espacio real con productointerior".

Debido a que los axiomas del producto interior se basan en las propiedades del producto interior eucliciiano, éste satisface de forma automática los axiomas; este es el contenido del siguiente ejemplo. Ejemplo 1 Si u = ( u l , u2, . . . . un) y v entonces la fórmula

= (vl, vz, . . . , v,J

son vectores en R",

( u , v } = U . v = U ~ U , + U 2 U * + ~ ~ ~ + U , u , '

define a (u, v) como el producto interior euclidiano sobre R". Los cuatro axiomas del producto interior se cumplen debido al teorema 4.1.2. A El producto interior euclidtmo es el producto interior más importante sobre R". Sin embargo, existen varias aplicaciones en las que resulta conveniente modificar el producto interior euclidiano ponderando sus términos de manera Iferente. En pocas palabras. si

son números reales positivos, que se denominaránpesos, y si u = ( u , , u2, . . . , un) y v = (vl, v2, . . . ,vn) son vectores en R", entonces se puede demostrar (ejercicio 26) que la fórmula

define un producto interior sobre R"; se denomina producto interior euclidiano ponderado con pesos wI, w2, . . . , wn. Para ver una forma en que puede surgir un producto interior euclidiano ponderado, supóngase que en algún experimento fisico puede obtenerse cualquiera de n valores numéricos

6. I Productos interiores 1 341

y que m repeticiones del experimento producen estos valores con varias frecuencias; es decir, x1 ocurrefi veces, x2 ocurre& veces, etc. Como en total hay m repeticiones del experimento, fl

+- f 2 + . . +

fn=m

Así, el promedio aritmético o la media de los valores numéricos observados (que

se denota por X) es

x = (f, x ) =

W I f 1x1

+ w 2 f 2 x 2 + . + W,f,X, ' '

OBSERVACI~N. Siempre se supondrá que R" tiene el producto interior euclidiano, a menos de que explícitamente se especlfique que tiene algún otro producto interior. Como se definió en la sección 4.1, R" con el producto interior euclidiano se denomina espacio euclidiano n dimensional.

Ejemplo 2 Sean u = (u1, u2) y v = (vl, v2) vectores en R2. Comprobar que el producto interior euclidmno ponderado (u, v) = 3 u , u , + 2

u 9 2

satisface los cuatro axiomas de producto interior. Solución. Primero, obsérvese que si en esta ecuación se intercambian u y v, el miembro derecho permanece igual. Por consiguiente,

Si w = (wl, w2),entonces

con lo que se establece el segundo axioma.

342 / Ffspacioscon producto interior

Luego,

con lo que se establece el tercer axioma Finalmente,

3

3

Resulta evidente que (v, v} = 3v + 2v O. Además, (v, v} = 3v f + 2v = O si y sólo si v1 = v2 = O , es decir, si y sólo si v = (vl, v2) = O. Asi, se cumple el cuarto axioma. A LONGITVD Y DISTANCIA EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR

Antes de analizar más ejemplosde productos interiores, se hará una pausa y se explicará cómoseusan los productos interiores para introducir los conceptos de longitud y distancia en espacios con producto interior. Recuérdese que en el espacio euclidiano n dimensional la longitud euclidiana de un vector u = (u1, u2, . . , un) se puede expresar en términos del producto interior euclidiano como l/uil = (u -u)'/? y la distancia euclidiana entre dos puntos cualesquiera u (vi,v2, . . . . vn) se puede expresar como d(u, v)

= /Iu - v i / =

[(u - V ) . ( r r "

= (u1,

u2, . . . , un) y v

=

v)]':

[Véanse las fórmulas (1) y (2) de la sección 4.1 .] Tomando como motivación estas fórmulas, se hace la siguiente definición

Definición. Si V es un espacio con producto interior, entonces la norma (o longitud) de un vector \\u!/en V se denota por u y se define como

!bI! = (u, u)1'2 La distancia entre dos puntos (vectores) u y v se denota por d(u, v) y se define como X(u, v) = ¡/u - VI/

Ejemplo 3 Si u = (u,: y2, . . . , U,,) y v = (v,, v2, . . . , vn) son vectores en R3 con el producto interior euchdlano, entonces

-___

/lul/= (u,

U)I'*

= ( u . u)1/2 = f l u ;

+

I

' '

+ u;

6.1 Productos interiores / 343

Y d(u, v) = //u- VI/ = (u - v, u =

V(U,-

Ul)2

+ (u*

-

v)l’2

-

u2)2

= [(u - v ) . (u - v ) y

+

‘ ’

. + (u,

- u,)l

Obsérvese que las expresiones anteriores son simplemente las fórmulas estándar para la norma y la distancia euclidianas que se analizaron en la sección 4.1 [véanse las fórmulas (1) y (2) de esa sección.] A

Ejemplo 4 Es importanteteneren mente quelanorma y la distanciadependen del producto interior que se esté usando. Si se cambia el producto interior, entonces también cambian las normas y las distancias entre vectores. Por ejemplo, para los vectores u = (1, O) y v = (O, 1) en R2 con el producto interior euclidiano se tiene 11u11 = v?TT Y d(u, v) = I/u- VI/ = /1(1,

-

1)/1=

=

1

v , mv5 =

Sin embargo, si se cambia al producto interior euclidiano ponderado (u,v ) = 3U,U, + 2u,u,

entonces se obtiene //u// = (u, u)’’’ = [ 3(1)(1)

+ 2(0)(0)]1’2 = fi

Y d(u, v)

= //u - V I / = ((1,

-

l),(l,

-

1))1’2

= [ 3 ( 1 ) ( 1 ) + 2 ( - 1 ) ( - 1 ) ] ’ ~ 2 = ~A

CIRCUNFERENCIAS Y ESFERAS UNITARIAS EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR

Si Ves un espacio con producto interior, entonces el conjunto de puntos en V que satisfacen

I I ~ I I= 1 se denomina egera unitaria o algunas veces circunferencia unitariaen y R3, estos son los puntos cuya distancia al origen es igual a l.

I/.

En R2

Ejemplo 5 a) Trazar la circunferencia unitaria en un sistema de coordenadas en R2 usando el producto interior euclidiano (u, v) = ulvl + u2v2. b) Trazar la circunferencia unitaria en un sistema de coordenadas xyz en R3 usando el producto interior euclidiano ponderado (u, v) = $ ulvl + $ u2v2. Solución de u). Si u = (x, y),entonces llull = (u, u ) ~=’ ~ ,/-, de modo que la ecuación de la circunferencia unitaria es ,/- = 1 o bien, elevando al cuadrado ambos miembros,

344 i Espacios con producto interior

Como se esperaba, la gráfka de esta ecuación es una circunferencia de radio 1 con centro en el origen (figura la).

t"

4

Figura 1

Circunferencia unitaria con norma

Circunferencia unitariacon norma 11u11=

Solución de 6).

d

m

Si u = (x, y), entonces 1 /u/ j = (u, u)li2 = ,/+x2 +$y2 , de modo

que la ecuación de la circunferencia unitaria es

6-7

Lx2 + l y 2 = 1 o bien, elevando

al cuadrado ambos miembros, x2

y2 -+"=1 9 4

La gráfica de esta ecuación es la elipse que se muestra en la figura 16. A Seríarazonableque el lectorsesienta incómodo conlosresultados obtenidos en el últimoejemplo.Auncuandolasdefinicionesdelongitud y distancia se reducen a las definiciones estándar cuando se aplican a R2 con el producto interior euclidiano, es necesario recurrir a la imaginación para pensar que l a "circunferencia" unitaria tiene forma elíptica. Sin embargo, aunque los productos interiores no estándar distorsionan los espacios conocidosy conducen a valores extraños de longitudes y distancias, muchos de los teoremas básicosde la geometríaeuclidianaaúnsonválidosenestosespacios poco comunes. Por ejemplo, es un hechobásico de la geometría euclidiana es que la suma de las longitudes dedos de los lados de un triángulo es por lo menos tan grande como la longitud del tercer lado (figura 2a). Después se verá que este resultado se cumple en todos los espacios con producto interior, sin importar cuán poco comúnpuedaser el productointerior. Como otroejemplo, recuérdese el teorema de la geometría euclidiana que establece que la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es iguala la suma de los cuadrados de los cuatro lados (figura 26). Este resultado también es válido en

6.1 Productos interiores / 345

todos los espacios con producto interior, sin importar cuál terior (ejercicio 20).

a)

Figura 2

PRODUCTOS INTERIORES GENERADOS POR MATRICES

1 " + V/I

sea el producto in-

b)

/1u/1+ b'l/

Ilu + V/12 + l/u- V / l 2 = 2(/lu1I2+ /lV1l2)

El producto interior euclidiano y el producto interior euclidiano ponderadoson Casos especiales de una clase general deproductos interiores sobre R", que se describirán a continuación. Sean

U=

[q

y

v = [ q un

Un

vectores en R" (expresados como matrices n X l), y sea A una matriz invertible n x n. Sepuede demostrar (ejercicio30) que si uv es el producto interior euclidiano sobre R", entonces la fórmula

u u, v) = Au .Av

define un producto interior; se llama producto interior sobre R" generado por A . Si se recuerda que el producto interior euclidiano u v puede escribirse como el producto matricial v'u [véase (7) en la sección 4.11, se concluye que otra forma de escribir (3) es

-

(u, v ) = (AV)T'4U


Ejemplo 6 El producto interior sobre R" generado por la matriz identidad n es el producto interior euclidiano, ya que al sustituir A = I en (3) se obtiene (u, v) = Iu.Iv

X

n

= u.v

El producto interior euclidiano ponderado (u, v) = 3ulvl + 2 3 v 2 que se analiz6,en el ejemplo 2 es el producto interior sobre R2 generado por

346

Espaciosconproducto interior

debido a que al sustituir esta matriz en (4) se obtiene

= 3u,u,

+ 2u2u2

En general, el producto interior euclidiano ponderado {u, v ) = "IU1L'!

+ W7U2U2 f

' '

+ W,U,U,

es el producto interior sobre R" generado por

A-

1 0 .

\$O

0 1

(comprobar). A En los siguientes ejemplos se describirán algunos productos interiores sobre espacios vectoriales Qferentes a R".

Ejemplo 7 Si

son dos matrices cualesquiera 2 X 2, entonces la siguiente fórmula define un producto interior sobre M22 (comprobarlo):

Por ejemplo, si

entonces ( U , V ) = 1( - I )

+ 2(0) + 3(3) + 4(2) = 16

6. I Productos interiores / 347

Ejemplo 8 Si p = a.

+ a,x -1 u2x2

and

q = bo + b,x

+ b2x2

son dos vectores cualesquiera en P,, entonces la siguiente fórmula define un producto interior sobre P, (comprobar): ( P >S > = aobo + a,b, + 4 9

La norma del polinomio p con respecto a este producto interior es llPll = (P, P Y

=

VGF2-G

y la esfera unitaria en este espacio consta de todos los polinomios p en P, cuyos coeficientes satisfacen la ecuación I I pI I = 1, que elevada al cuadrado queda como

Ejemplo 9 (Para quienes y a estudiaron Cúlculo). Sean f = A x ) y g funciones continuas en C [a,b ] ,y se define

= g(x)

dos

Se demostrará que esta fórmula define un producto interior sobre C [a, 61 al comprobar los cuatro axiomas de producto interior para las funciones f =Ax), g = g(x) y S = s(x) en C [a,b]: b

(1)

(f9

g) =

i,

f ( x M 4 dx =

[

g(x)f@) dx = (g, f )

lo cual demuestra que se cumple el axioma l .

I,

b

(2) ( f + g,

S)

=

cf(x> + g(x))s(x) dx

b

=

I,

b

f ( x > W dx

= (f, S > + (g, S >

+

g(x)s(xl dx

348 / Espacios con producto interior

esto demuestra que el axioma 2 es válido. (3) ( k t g >=

j6

m)g(X)

dx = k

Jab

f(n)g(x)dx

= k(f, g)

con lo que queda demostrado que se cumple el axioma 3 . (4) Si f =Ax) es cualquier función en C [a, b ] ,entoncesf(x) 2 O para todo x en [a,b ] ;por consiguiente,

Además, debido a que$(x) 2 O y f =Ax>es continua sobre la, 61, se concluye que 1,”fZ(x)dx = si y sólo si Ax) = O para todo x en [ a , 61. Por tanto, se tiene que (f, f ) = 1,” fZ(x>dx = O si y sólo si f = O . Así se demuestra que se cumple el axioma 4. A Ejemplo 10 (Para quienesya esfudiaron Cálculo). Si C [a,b ] tiene el producto interior definido en el ejemplo precedente, entonces la norma de una función f = Ax) con respecto a este producto interior es

y la esfera unitaria en este espacio consta de todas las funciones f en C [a, b ] que satisfacen la ecuación llfll= 1, que cuando se eleva al cuadrado queda como lUbf2(x)dx = 1

A

(Para quienes y a estudiaron Cálculo). Como los polinomios sonfuncionescontinuas sobre (-m, m) entoncessoncontinuassobrecualquier intervalo cerrado [a, 61. Así, para todos estos intervalos el espacio vectorial P, es un subespacio de C [a, bj, y la fórmula (6) define un producto interior sobre P,. OBSERVACI~N.

OBSERVACI~N. (Para quienes y a estudiaron Cálculo). Recordar que en Cálculo la longitud de ara de una curva y =Ax) sobre un intervalo [a,b] está definida por la fórmula

L

=

Este concepto de longtud de arco no se debe confundir con Ilfll, que es la longitud (norma) de f cuando f se considera como un vector en C [a,b].Las fórmulas (7) y (8) son bastante diferentes.

6.1 Productos interiores / 349 ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS PRODUCTOS INTERIORES

En el siguiente teorema se enumeran algunas propiedades algebraicas básicas de los productos interiores. Teorema 6.1.1. Si u, v y w son vectores en un espacio real con producto interior y k es cualquier escalar, entonces: a ) (O, v) = (v, O ) = O b) (u, v + w ) = (u, v)+ (u, w) c) (u, kv) = k( u, v) d ) ( u - v, w ) = (u, w) - (v, w ) e) (u, v - w ) = (u, v) - (u, w ) I

Demostración. Se demostrará el inciso 6) y la demostración de los demás incisos se deja como ejercicio.

(u, v + w )

= = =

(v + w, u) (v, u) + (w, u ) (u, v) + (u, w )

[por simetría]

[por aditividad] p o r simetría]

0

El siguiente ejemplo ilustra d m o se pueden usar el teorema 6.1.1 y las propiedades que definen los productos interiorespara efectuar cálculos algebraicos con éstos. A medida quese estudie el ejemplo, será instructivo que el lector justifiquepasos. los Ejemplo 11 ( u - ?v, 3u + 4v)

(u, 3u + 4v) - (2v, 3u + 4 v ) = (u, 3u) + (u, 4v) - (2v, 3u) - (2v, 4v) = 3(u, U) 4( U, V ) - 6 ( ~ , U 8) ( ~V), = 311~11~ + 4(u, V )- 6 ( ~V,) - 8 ( ( ~ / ( ~ =

+

3(lu112- 2(u, V ) - 811vI12 A

Como el teorema 6. l.1 es un resultado general, se tiene la garantía de que se cumple para fodos los espacios reales con producto interior. Este es el verdadero poder del desarrollo axiomático de los espacios vectoriales y los productos interiores: un sólo teorema demuestra una multitud de resultados de una vez. Por ejemplo, sin necesidad de ninguna demostración adicional se tiene la garantía de que las cinco propiedades dadas en el teorema 6.1.1 son verdaderas para el producto interior sobre R" generado por cualquier matriz A [fórmula (3)]. Por ejemplo, para este producto interior se comprobará el inciso b) del teorema 6. l . 1 : (u, v + w )

(v + w)TATAu + wT)ATAu [Propiedad de la transpuesta] = (V'A~AU) + (w'A 9 ~ )[Propiedad de la multiplicaciónde matrices] =

= (VT

= (u, v)

+ (u, w )

350

Espacios con producto interior

Será instructivo para el lector comprobar los demás incisos del teorema 6.1.1 para este producto interior.

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 6.1 1. Sea (u, v) el producto interior euclidiano sobreR2, y sean u = (3, -2), v = (4, 5),

w=(-1,6)yk=-4,Encontrar a) (u, v ) = (v, U ) d)(ku,v)=k(u,v)=(u,kv)

b)(u+v.w)=(u,w)+(v,wj e) (O.v}=(v,O)=O

(c) ( I I , V + W ) = ( U , V ) + ( U , W )

2. Repetir el ejercicio 1 para el producto interior euclidiano ponderado (u, v) 5U2V2.

= 4u,v,

+

3. Calcular (u, v) usando el producto interior del ejemplo 7

4. Calcular (p, q) usando el producto interior del ejemplo 8. a) p = - 2 + x + 3 x 2 , q=4-7x2 b) p = - 5 + 2 x + x 2 , 5. a) Usando la fórmula (7), demostrar que (u, v) = 9u,vl

q=3+2x-4x2

+ 4u2v2 es el producto interior

sobre R2 generado por

b) Con el producto interior del inciso a), calcular (u, v) si u = (-?,2) y v = ( I , 7). 6 a) 7Jsar la fórmula (3), para demostrar que (u, v) = Su,vi

- u,v2 - u2vl + 10u2v2es el

producto interior sobre R2 generado por

b) Usando el producto interior del inciso a), calcular (U, v) si U = (o, -3) y v = (6,2). 7. Sean u = ( u , , u2) y v = ( Y , , v2). En cada inciso, la expresión dada es un producto in-

terior sobre R2. Encontrar una matriz que lo genere. a) (u, v ) = 3u,u, + 5u2u2 b) ( u , v ) = 4u,u, + 6 u p 2 8. Sean u = (U,, U*) y v = (v,,v2). Comprobando que se cumplen los axiomas de producto in-

terior, demostrar que las siguientes expresiones definen productos interiorcs sobreR2. a) (u. v ) = 3u,u, + 5 1 y 2 b) ( U , v ) = 4u,u, + u2ul + u l u 2 + 4u:Uz 9. Sean U = ( u , , u2, u2) y v = (v,, v , vJ. Determinar cuáles de las siguientes expresiones son productos intenores sobre RS . Para las que no 10 sean, enumerar 10s aXiomas que no se cumplen.

6.1 Productos interiores / 351 a) ( uv,) C) ( U , V )

+ u3u3 = ~ u , u+, u2u2 + ~ u , u , = ulul

b) (u, v ) = .:u: + + U$: d ) ( U , V ) = u I u I - u2u2 + ~ 3

~

3

10. En cada inciso, usando el producto interior sobre R2, encontrar llwll donde w = (- 1, 3 ) .

a) El producto interior euclidiano. b) El producto interior euclidiano ponderado (u, v) = 3u,v, 4- 2u2v2,donde u = (u,, u2) Y v = (VI > v,). c) El producto mterior generado por la matriz A = [ -1

'1 3

11. Con los productosinteriores del ejercicio 10, hallar d(u, v) para u = (- 1,2) y v = (2,5).

13. SeaMz2con el producto interior del ejemplo 7. En cada inciso, encontrar lv11.

14. Sea P, con el producto interior del ejemplo 8. Hallar d(p, 9).

p = 3 - x q+=x 2* +, 5 x * 15. SeaMZ2con el producto interior del ejemplo 7. Encontrar d(A, B).

16. Supóngase que u, v y w son vectores tales que (u, v ) = 2,

(v, w ) = -3, (u, w)

= 5,

I I ~ I I= 1,

IIVII = 2,

llwll= 7

Evaluar la expresión dada. a) ( u + v , v + wb) ) ( 2 ~ - ~ , 3 ~ + 2 ~ )

4 IIU + VI1

e) I12w

-

vll

C)

f)

(u-v-~w,~u+v) j l u - 2v + 4w/l

17. (Para quienes ya estudiaron CcUCurO). Sea el espacio vectorial P, con el producto

interior ( P, 9 ) =

J: p(x)q(x)

dx

a) Determinar llpll para p = 1, p = x y p = 2. b) Encontrar d(p, q) si p = 1 y q =x.

18. Trazar la circunferencia unitaria en R2 usando el productointerior dado. b) ( u , v ) = 2u,u, + u2u2 a) ( u , v ) = $u,u, + &u2u2 19. Encontrar un producto interior euclidiano ponderado sobre R2 para el cual la circunferencia unitaria sea la elipse que se muestra en la figura 3 .

352

1'


"c">ii

Figura 3

20. Demostrar que la siguiente identidad se cumple para vectores en cualquier espacio con producto interior.

+ VI/* + //u

//u

- V/IZ

+ 21jv112

= 2//U1l2

21. Demostrar que la siguiente identidad se cumple para vectores en cualquier espacio con producto interior.

(u, v ) = +l/u + vil2 - allu - vil2

22.

Demostrar que (U,

= u l v l + u2v3 + u3v2+ u4v4 no

es un producto interior sobre M2,.

23. Sean p = p ( x ) y q = q(x) polinomios en P,. Demostrar que

(P?9 ) =p(O)q(O)+ P ( M % )+p(l)q(l) es un producto interior sobre P, 24. Demostrar: Si (u, v) es un producto interior euclidiano sobre R" y si A es una matnz n X n, entonces

(u, .4v) = ( A T U , V ) [Sugerencia Usar el hecho de que (u, v) = u . v = vTu.] 25. Comprobar el resultado del ejercicio 24 para el producto interior euclidiano sobre R3 y

26. Sean u = (u1, u,,

.

. . , un)y

v = (y1, v2, . . . , v,). Demostrar que

( u , v ) = W I U I U ,+ W2U2U*

+

' ' '

+ w,u,u,

es un producto interior sobre R" si wl, w2,. . . , w n son números reales positivos. 27.

calcular (p, q) para los vectores p = p ( x ) y q = q(x) en P3. a) p = 1 - x + x x z + 5 x 3 q=x-3x2 b)p=x-5x3

q =2

+ 8x2

6.2 Ángulo y ortogonalidad en espacios con producto interior / 353 28. (Para quienes ya estudiaron C6lculo). En cada inciso, usarel producto interior

(f, g) =

Io1

f(x)g(x) dx

para calcular (f, g) de los vectores f =Ax) y g = g(x) en C [O, 11 . b) f = x , g = e "

a) f = c o s 2 mg,= s e n 2 m

Tr C)

f = t a n -4x ,

g= 1

29. Demostrar que el producto interior delejemplo 7 sepuede escribir como (U, tr( U%).

=

30. Demostrar que la fórmula (3) define un producto interior sobre R". [Sugerencia Usar

la otra versión de la fórmula (3), definida por (4).] 31. Demostrar que la matriz (5) genera el producto interior euclidiano ponderado (u, v ) = w l u l u l

+ w2u2u2 +

'

'

+ wu,u,,

sobre R".

32. Demostrar los incisos a) y d)del teorema6. l. l. 33. Demostrar los incisos c) y e ) del teorema 6. l. l.

6.2 ÁNGULO Y ORTOGONALIDAD ENESPACIOS CON

PRODUCTO INTERIOR En esta sección se definirá el concepto de ángulo entre dos vectores en un espacio con producto interior, y esta idea se usará para obtener algunas relaciones básicas entre vectores en un espacio con producto interior, incluyendo una relacibn geométrica fundamental entre el espacio nulo y el espacio columna de una matriz. DESIGUALDAD DE CAUCHYSCHWARZ

Recuérdese por la fórmula (1) de la sección 3.3 que si u y v son dos vectores diferentes de cero en R2 o en R3 y 8 es el ángulo entre estos vectores, entonces u v

= llull llvll cos

o

(1)

o bien, de otra manera, cos

o = - u.v

llull llvll

En el primer objetivo de esta sección es definir el concepto de ángulo entre dos vectores en un espacio general con producto interior. Para que la definición sea razonable, sería bueno que fueseconsistente con la fórmula (2) cuando se aplique al caso especial de R2 y R3 con el producto interior euclidiano.A s í , se quiere que la definición del ángulo 8 entre dos vectores diferentes de cero en un espacio con producto interior cumpla la relación

354

1

Espacios con producto interror

Sin embargo, debido a que /cos 8 1 5 1, no hay ninguna posibilidad de que ( 3 ) se cumpla, a menos de que se tenga la certeza de que toda pareja de vectores diferentes de cero en unespacio con producto interior satisface la desigualdad

Afortunadamente será posible demostrar que así es, usando la siguente generali zación del la desigualdad de Cauchy-Schwarz (véase el teorema 4.1.3).

Teorema 6.2.1, Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Si u y v son vectores en un espacio real con producto interior, entonces

Demostración. De antemano se advierte a lector que la demostración aquí presentada depende de una argucia sutil que no es fácil motivar. Si u = O, entonces (u. v) = (u, u) = O, de modo que los dos miembros de (4) son iguales. Supóngase ahora que u f O . Sean a = (u, u), b = 2(u, v). c = (v, v) y sea t cualquier número real. Por el axioma de positividad, el producto interior de cualquier vector consigo mismo siempre es positivo. Por consiguiente,

o 5 ((tu + v), (tu + v ) ) = (u, u ) t 2 + 2(u, v)t + ( v , v ) =

at2

+ bt + c

Esta desigualdad indica que el polinomio cuadrático at2 + bt + c no tiene raíces reales o tiene una raíz real repetida. En consecuencia, su discriminante debe satisfacer la desigualdad b2 - 4ac 5 O. Expresando los coeficientes a, b y c en térmiv) 5 O o bien, de manera nos de los vectores u y v se obtiene 4(u, v)’ - 4(u,,.()U cquivalente, 5

(u,

( u , u ) ( v v, ?

Extrayendo raíz cuadrada a ambos miembros y aplicando el hecho de que (u, u) y (v. v) son no negativos se obtiene l(u, v)l

5: (u,

u)”2(v,


I(K

v)l

5

llull llvll

Y)”?

6.2 Angulo y ortogonalidad en espacios con producto interior / 355

con lo que se completa la demostración.

U

Para referencia, se observa que la desigualdad de Cauchy-Schwarz se puede escribir de otras dos formas:

p T Z K T - 1

m[

(5) (6)

La primera de estas fórmulas se obtuvo en la demostración del teorema 6.2.1, y la segunda se obtiene de la primera aplicando el hecho de que llull2 = (u, u)y llV1l2 = (v,v).

Ejemplo 1 La desigualdad de Cauchy-Schwarz para R" (teorema 4.1.3) se concluye como un caso especial del teorema 6.2.1 tomando a (u, v) como el producto interior euclidiano u v. A PROPIEDADES DELA LONGITUD Y LA DISTANCIA EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR

Losdos teoremas siguientes demuestran que las propiedades básicas de la longitud y la distancia establecidas en los teoremas 4.1.4 y 4.1.5 para vectores en el espacio euclidiarro n dimensional son válidas en espacios generales con producto interior. Este hecho es una evidencia deque las definiciones de producto interior, longitud y &stancia están bien elegidas.

Teorema 6.2.2. Si u y v son vectores en un espacio V con producto interior y si k es cualquier escalar, entonces: a)

llull 2 0 b) llull = O si y sólo si u = O c ) llkull = Ikl llull d ) I ~ u + 5 ~~u~~ + Ilvll (Desigualdad del triúngulo)

~

~~~~

1

Teorema 6.2.3. Si u, v y w son vectores en un espacio V con producto interior y si k es cualquier escalar, entonces: a) b) c) d;

d ( u , v2 ) O d(u,v)=Osiysólosiu=v d ( u , v )= d(v, U ) d ( u ,V ) 5 d(u, W ) + d ( w , v ) (Desigualdad del triángulo)

I

Se demostrará el inciso d) del teorema 6.2.2 y la demostración de los demás incisos de este teorema, así como la demostración del teorema 6.2.3, se dejan como ejercicio.


Demostración del teorema 6.2.2d Por definición, llu

+

VI12 =

(u

+ v, u + v )

=

(u, u ) + 2(u, v )

9

(u, u )

+ (v, v )

+ 2/(u, v)l + (v, v )

l l ~ l l l l ~ (v, l l +v> = llU1l2 + 2llull I b ! l + 11vIl2

5

(u, u >+ ~

= (llull

[Propiedaddel valor absoluto]

[~or(4)1

+ /lv11)2

Extrayendo raíz cuadrada se obtiene

l b + VI1 Illull + llvll 0 ÁNGULO ENTRE VECTORES

A continuación se mostrará cómo se puede usar la desigualdad de Cauchy-

Schwarz para definir hgulos en espacios generales conproducto interior. Supóngase que u y v son vectores diferentes de cero en un espacio V con producto interior. Si ambos miembros de la fórmula (6) se dividen entre llull llvll se obtiene

',


Luego, si 8 es un ángulo cuya medida en radianes varía de O a x, entonces cos 8 asume todos los valores entre - 1 y 1 (inclusive) exactamente una vez (figura 1).

Así, por (7) existe un h g d o 8 único tal que

Se define a 8 como el ángulo entre u y v. Obsérvese que en R2 o en R3 con el producto interior euclidiano, la expresión (8) concuerda con la fórmula usual para el cosen3 del ángulo entre dos vectoresdiferentes de cero fórmula (2).

6.2Ángulo y ortogonalidad en espacios con producto interior / 357 Ejemplo 2 Sea R4 con el producto interior euclidiano. Encontrar el coseno del ángulo 0 entre los vectores u = (4, 3, 1, -2) y v = (-2, 1, 2, 3). Solución.

Se deja para el lector comprobar que I(u(/=

m,

jlvll =

m,

y

( u , v ) = -9

de modo que cos

o = -(u, - v)

II~IIIIVII-

ORTOGONALIDAD

-

9

mm

3

A

"

=

2 f i

El ejemplo 2 esen esencia un ejercicio matemático, ya que hay relativamente poca necesidad de encontrar ángulos entre vectores, excepto en R2 o en R3 con el producto interior eucli&ano. Sin embargo, un problema de importancia capital en todos los espacios con producto interior es determinar si dos vectoresson ortogonales; es decir, si el ángulo entre ellos es 0 = n/2. Por (8) se concluyeque si u y v son vectoresdferentes de cero en un espacio con producto interior y 0 es el ángulo entre ellos, entonces cos 0 = O si y sólo si (u, v) = O. De manera equivalente, para vectores diferentes de cero se tiene 0 = n/2 si y sólo si (u, v) = O. Si por acuerdo se considera el ángulo entre u y v como n/2 cuando uno de los vectores es O o ambos vectores son O, entonces se puede afirmar sin excepción que el ángulo entre u y v es n / 2 si y sólo si (u, v) = O. Este hecho sugiere la sigwente definición. Definición. Dos vectores u y v en un espacio con producto interior se denominan ortogonales si (u, v) = O.

Obsérvese queen el caso especial en que (u, v) = u v es el producto interioreuclidiano sobre R", la definición anterior se reduce a la definición de ortogonalidad en el espacto euclidlano n dunensional proporcionadaen la sección4. l. También se hace notar que la ortogonalidad depende del producto interior; dos vectores pueden ser ortogonales con respecto a un producto interior pero pueden no serlo con respecto a otro. Ejemplo 3 Si M,, tiene el producto interior del ejemplo 7 de la sección precedente, entonces las matrices

son ortogonales, ya que ( U , V ) = 1(O)

+ O(2) + 1(O) + 1(O) = O

A

Ejemplo 4 (Para quienes y a estudiaron Cálculo). Sea Pz con el productointerior

358 / Espacios con producto interior y sea

p=x,

q=x2

Entonces

Debido a que (p, q) = O, los vectores p = x y q = x2 son ortogonales con respecto al producto interior dado. A En la sección 4.1 se demostró el teorema de Pitágoras para vectores en el espacio euclidiano de dimensión n. El siguiente teorema amplía este resultado a vectores en cualquier espacio con producto interior. Teorema 6.2.4. (Teorema de Hfágoras generalizado). Si u y v son vectores ortogonales en un espacio con producto interior, entonces IlU + V I 2 = lIU1l2

Demostración.

+ llv112

La ortogonalidad de u y v indica que (u, v) = O, de modo que

Ejemplo 5 (Para quienes ya estudiaron Cálculo). En el ejemplo 4 se demostró que p = x y q = x2 son ortogonales con respecto al producto interior

I

sobre P2. Por el teorema de Pitágoras se concluye que IIP + 9!12= llP112 + 1I41l2

Así, por los cálculos en el ejemplo 4 se tiene

6.2 Ángulo y ortogonalidad en espacios con producto interior / 359

Este resultado se puede comprobar porintegración directa:

COMPLEMENTOS Si Ves un plano que pasa por el origen de R3 con el producto interior euclidianc, entonces el conjunto de todos los vectores que son ortogonales a cada vector en V ORTOGONALES forman la recta L que pasa por el origen y es perpendicular a V (figura 2). En términos de álgebra lineal, se dice que la recta y el plano son complementos ortogonales entre sí. La siguiente definición amplía este concepto a espacios generales con producto interior.

Figura 2

todo vector en V .

I

Definición. Sea W un subespaciode un espacio V con producto interior. Se dice que un vector u en Ves ortogonal a W si es ortogonal a todo vector en W, y el conjunto de todos los vectores en V que son ortogonales a W se denomina complemento ortogonalde W. Recuérdeseque en geometría elsímbolo I seusa para indicar perpendicularidad. En álgebra lineal, el complemento ortogonal de un subespacio IV se denota por W*(que se lee como " W perpendicular"). En el siguiente teorema se enumeran las propiedades básicas de los complementos ortogonales. Teorema 6.2.5. Si W es un subespacio de un espacio V de dimensión finita con producto interior, entonces a ) W' es un subespacio de V. b ) El Único vector común a W y WL es O . c ) El complemento ortogonal de WL es W; es decir, (WL)I

= W.

360

Espaciosconproducto interior

Se demostrará el inciso a ) , y la demostración de los demás incisos se deja como ejercicio. Demostración de a).Primero obsérvese que (O, w) = O para todo vector w en W , de modo que WLcontiene por lo menos al vector cero. Se quiere demostrar que WLes cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar; es decir, se quiere demostrar que la suma de dos vectores en WL es ortogonal a todo vector en W y que cualquier múltiplo escalar de un vector en W" es ortogonal a todo vector en W. Sean u y v dos vectores cualesquiera en W L , sea k cualquier escalar y sea w cualquier vector en W. Entonces por la definición de W" se tiene (u, w) = O y (v, w) = O. Usando las propiedades básicas del producto interior se tiene

(u+v,w)=(u,w)+(v,w)=0+0=0 (ku, w ) = k(u, w ) = k(0) = o

lo cual demuestra que u + v y ku estjn en W" .

0

Debido a que por el inciso c ) del teorema precedente W y W'- son complementos ortogonales entre sí, se dirá que W y WL son complementos orto-

OBSERVACI~N.

gonales.

El siguente teorema fundamental establece un vínculo geométrico entre el espacio RELACI~N nulo y el espacio renglón de una matriz. GEOMÉTRICA ENTRE EL ESPACIO NULO Y Teorema 6.2.6. Si A es una matriz m X n, entonces: EL ESPACIO RENGLÓN a ) El espacio nulo de A y el espacio renglón de A son complementos ortogonales en R" con respecto al producto interior euclidiano. b ) El espacio nulo de A T y el espacio columna de A son complementos ortogonales en Rm con respecto al producto interior euclidiano. Demostración de a). Se desea demostrar que el complemento ortogonal del espacio renglón de A es el espacio nulo de A . Para lograr esto es necesario demostrar que si un vector v es ortogonal a todo vector en el espacio renglón, entonces Av = O y, recíprocamente, si Av = O, entonces v es ortogonal a todo vector en el espacio renglón. Supóngase primero que v es ortogonal a todo vector en el espacio renglón de A . Entonces, en particular v es ortogonal a los veetores renglón r,, r2, . . . , rn de A: es decir

Pero por la fórmula (1 1) de la sección 4.1, el sistema lineal Ax presar en notación de producto punto como

=

O se puede ex-

6.2 Ángulo y ortogonalidad en espacios con producto interior 1 361

de modo que por (9), v es una solución de este sistema y, por tanto, está en el espacio nulo de A . Recíprocamente, supóngase que v es un vector en el espacio nulo de A , de modo que Av = O . Por (10) se concluyeque r l . v= r2.y =1.. . = r,.v = O Pero si r es cualquier vector en elespacio renglón de A , entonces r se puede expresar como una combinación lineal de los vectores renglón de A , por ejemplo r = c,r, + c2r2+ .

'

. + c,r,

Por tanto,

r - v = (cIrI+ c2r2+ . . . + c,r,)-v = c l ( r I .v) + c2(r2.v) + . . . + c,(r, v)

-

=o+o+...+o=o con lo cual se demuestra que v es ortogonal a todo vector en el espacio renglón de A.

Demostración de b). Como el espacio columna de A es el espacio renglón de AT (excepto por alguna diferencia en la notación), esta demostración se concluye al aplicar el resultado del inciso a ) a A T. 0 El ejemplo siguiente muestra cómo se puede usar el teorema 6.2.6 a fin de encontrar una base para el complemento ortogonal de un subespacio del espacio euclidiano de dimensión n o n dmensional.

Ejemplo 6 Sea W el subespacio de R5 generado por los vectcres w1 = (2, 2, - 1, o, 11, w , = ( l , 1, - 2 , 0 , " l ) ,

w* = ( - 1, - 1, 2, -3, l),

w 4 = ( 0 , 0 , 1 , 1, 1)

Encontrar una base para el complemento ortogonal de W.

Solución. El espacio Wgenerado por wl, w2, w3 y w4 es el mismo que el espacio renglón de lamatriz

362


2

L

1 O

o

2 - 1 1

o

-2

- l0

1

- 31

1

-1

'

1

y, por el inciso a) del teorema 6.2.6, el espacio nulo de A es el complemento ortogonal de W. En el ejemplo 4 de la sección 5.5 se demostró que

] O

0

forman una base para este espacio nulo. Expresando estos vectores en la misma notación que wl, w2, w3 y w4 se concluyeque los vectores "I

= i1,1,

o, o, 0)

y

v 2 = ( - l , O , -1,o, 1)

forman una base para el complemento ortogonal de W. Como comprobación, calculando los productos punto necesarios, el lector puede veniicar que v1 y v2 son ortogonales a w l , w2, w3 y w4. A

+.

Teorema 6.2.7. Si A es una matriz n X n, y si TA 1 R" R" es la multiplicación por A , entonces lassiguientes proposiciones son equivalentes. a ) A es invertible. b ) Ax = O sólo tiene la solución trivial. c ) La forma escalonada reducida deA es I,, d) A se puede escribir como un producto de matrices elementales, e ) ifx = b es consistente para toda matriz b n X 1. fi A x = b tiene exactamente una solución para toda matriz b n X 1. S> deffJ f o. h ) Id rango de 7> es Rn. i ) TA es uno a uno. j ) Los vecfores columna de A son linealmente independientes. k) Los vectores renglón de A son linealmente independientes. I) Los vectores columna deA generan a R". m) Los vectores renglón de A generan a Rn. n) Los vectores columna de A forman una base para R". o) Los vectores renglón deA forman una basepara R". p) El rango de A es n. q) La nulidad de A es O. r) El complemento ortogonal del espacio nulo de A es Rn. S) El complemento ortogonal del espacio renglón deA es (O) .

6.2 Ángulo y ortogonalidad en espacios con producto interior

363

Este teorema relaciona todos los temas principales estudiados hasta el momento. Se deja como ejercicio para el lector demostrar que en cualquier espacio V con producto interior, el espacio cero { O ) y todo el espacio V son complementos ortogonales. Entonces, si A es una matriz n X n, afirmar que Ax = O sólo tiene la solución trivial es equivalente a decir que el complemento ortogonal del espacio nulo de A es todo R" o, de manera equivalente, que el espacio renglón de A es todo R". Este hecho permite agregar dos nuevos resultados a los 17 resultados mencionados en el teorema 5.6.9.

RESUMEN

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 6.2 1. En cada inciso, determinar si los vectores dados son ortogonales con respecto al producto

interior euclidiano. a) u = ( - 1 , 3, 2), v = (4, 2, - 1) c) = ( U l , U 2 r Uj), v = (O, O, 0) e) u=(O, 3, -2, I), v = ( 5 , 2, -1, O)

b ) u = ( - 2 ,- 2 ,- 2 ) , v = ( l , 1, 1) d ) u = ( - 4 , 6 , -10, l), ~ = ( 2 1,, - 2 , 9 ) f ) u = ( a , b), v = ( - b , a)

2. Sea @ con el producto interior euclidiano, y sea u = ( - 1, 1, O, 2). Determinar si el vector u es ortogonal al conjunto de vectores W = {w,, w2, w3), donde w, =(O, O, O, O), w2 = (1, - 1,3J y w3 = (4, O, 9,2). 3. Sean R2, R3 y

@ con el producto interior euclidiano. En cada inciso, hallar el coseno del ángulo entre u y v. a) u = ( I , -3), v = (2, 4) b) U = ( - I , O), v = ( 3 , 8) c) u = ( - 1 , 5, 2), v = (2, 4, -9) d) U = (4, 1, 8), v = (1, O, - 3 ) e ) u = ( l , O , l,O), v = ( - 3 , -3,-3, -3) f) u = ( 2 , 1, 7, - I ) , v = ( 4 , 0 , 0 , 0 )

4. Sea P2 con el producto interior del ejemplo 8 en la sección 6.1. Encontrar el coseno del

ángulo entre p y q. a) p = - 1 + 5x + 2x2, q = 2 + 4x - 9x2

b) p = X - x2, q = 7

+ 3x + 3x2

5. Demostrar que p = 1 - x + 2x2 y q = 2x + .? son ortogonales con respecto al producto

interior del ejercicio 4. 6. Sea M22 con el producto interior del ejemplo 7 en la sección 6. l . Encontrar el coseno del ángulo entre A y B.

7. Sea A = [ -1

'1

3

364 / Espacios con producto interior ¿Cuáles de las siguientes matrices son ortogonales a A con respecto al producto interior del ejercicio 6?

8. Sea R3 con el producto interior euclidiano. ¿Para qué valores de k son ortogonales u y v? a) u = ( 2 , 1 , 3 ) , v = ( l , 7 , k ) b) u = ( k , k , l ) , v = ( k , 5 , 6 )

9. Sea con el producto interior euclidiano. Encontrar dosvectores de norma 1 que sean ortogonales a los tres vectores u = (2, 1, -4, O), Y = (- 1, - 1,2,2) y w = (3,2,5,4). 10. En cada inciso, con el producto interior euclidiano comprobar que la desigualdad de Cauchy-Schwarz se cumple para los vectores dados. a) u = (3, 2), v = (4, - 1) b ) ~ = ( - 3 , 1 , 0 ) , ~ = ( 2 -,1 , 3 ) C) ~ = ( - 4 , 2 ,I), v = ( 8 , -4, -2) d) u = ( O , - 2 , 2 , I ) , v = ( - l , - 1 , 1, I ) 11. En cada inciso, comprobar que la desigualdad de Cauchy-Schwarz se cumple para los

vectores dados. a) u = (-2, 1) y v = (1, O), usando el producto interior del ejemplo 2 en la sección 6. l .

usando el producto interior del ejemplo 7 en la sección 6.1. c) p = - 1 + 2x + 2 y q = 2 - 4 2 usando el producto interior dado en el ejemplo 8 de la sección 6.1, 12. Sea W la recta en R2 cuya ecuación es y = 2x.Encontrar una ecuación para

WL

13. a) Sea W el plano en R3 cuya ecuación es x

- 2y - 32 = O. Encontrar las ecuaciones paramétricas para WL b) Sea Wla recta en R3 con ecuaciones paramétricas n=2t,

J'"

-st,

z=4t

("<<
D e t e m ~ a una r ecuación para WL 14. Sea

2

-1

A=[:

a] 2

a) Encontrar bases para el espacio renglón y el espacio nulo de A . b) Comprobar que todo vector en el espacio renglón es ortogonal a todo vector en el espacio nulo (como garantiza el teorema 6 . 2 . 6 ~ ) . 15. Sea A la matriz1 ejercicio 14.

a) Encontrar bases para el espacio columna de A y el espacio nulo de AT b) Comprobar que todo vector en el espacio columna de A es ortogonal a todo vector en el espacio nulo de AT (como garantiza el teorema 6.2.6b).

6.2 Ángulo y ortogonalidad en espacios con producto interior / 365 16. Encontrar una base para el complemento ortogonal del subespaciode R" generado por los vectores a) vI = (1, - 1, 3), v2 = (5, -4, -4), v3 = (7. -.6, 2 1 b) V I = (2, O, - l), vZ = (4, O, -2) c)v,=(l,4,5,2),v2=(2,1,3,0),v3=(-1,3,2,2) d)~,=(l,4,5,6,9),~~=(3,-2,1~4,-1),~~=(-I,0,-1,-2,-1), v4 = (2, 3, 5, 7, 8) 17. Sea V un espacio con productointerior. Demostrar que si u y v son vectores ortogonales en Vtales que llull= llvll= 1, entonces ~ l u- V I I =

a.

18. Sea V un espacio con producto interior. Demostrar que si w es ortogonal tanto a u, como a u2, entonces es ortogonala k,u, + k2u2 paratodos los escalares k , y k2. Interpretar geométricamente este resultadopara el casoenque V es R3 con el producto interior euclidiano. 19. Sea V un espacio con producto interior. Demostrar que si w es ortogonal a cada unode los vectores u,, u2, . . . , u,, entonces es ortogonal a todo vector en lin {u,, u2, . . . ,u }, .

20. Sea {v,, v2, . . . , v,} una base para un espacio V con producto interior. Demostrar que el vector cero es el Úmco vector en V que es ortogonal a todos los vectores básicos. 21. Sea {w,, w2, . . . , w,}una base para un subespacio CV de V. Demostrar que WL consta de todos los vectores en V que son ortogonales a todos los vectores básicos. 22. Demostrar la siguiente generalización del teorema 6.2.4. Si v,, v2, . . . , Y, son vectores ortogonales por parejas en un espacio V con producto interior, entonces

23. Demostrar los siguientes incisos del teorema6.2.2: a) Inciso a). b) Inciso b). c) Inciso e). 24. Demostrar los siguientes incisos del teorema6.2.3: a) Inciso 4). b) Inciso b). c) Inciso c). d) Inciso S,

25. Demostrar el inciso b ) del teorema 6.2.5. 26. Demostrar: Si u y v son matricesn

X

1 y A es una matriz invertiblen

X

n, entonces

[vTATAu]25 (urATAu)(v*A*Av) 27. Por medio de la desigualdad de Cauchy-Schwm, demostrar que para todos los valores reales de a , b y 8 ,

366 i Espacios con producto interior 29. Demostrar que la igualdad se cumple en la desigualdad de Cauchy-Schwarz si y sólo si u y v son linealmente dependientes.

30. (Para quienes y a estudiaron Ccilculo). Sea C [O, x]con el producto interiol ( f , g) = i h d x ) dx

Y sea f, = cos nx ( n = O , 1, 2, . . . ). Demostrar que si k # I, entonces fk y fi son ortogonales con respecto al producto interior dado.

31. (Para quienes y a estudiaron Chkulo). Seanfix) y g(x) funciones continuas sobre [O, 11 . Demostrar:

[Sugerencia Usar

la desigualdad de Cauchy-Schwarz.]

32. Mediante métodos vectoriales, demostrar que el triángulo inscrito en una circunferencia, de modo que uno de sus lados es el diámetro de la circunferencia, debe ser un triángulo rectángulo. [Sugerencia Expresar los vectores AB y BC de la figura 3 en términos de u y

v. 1

a)

33. Con respecto al producto interior euclidiano, la norma de los vectores u = (1, y v = ( - 1, 3 ) es igual a 2, y el ángulo entre u y v mide 60° (figura 4). Encontrar un producto interior euclidiano ponderado con respecto al cual u y v sean vectores unitanos ortogonales.

Figura 4

6.3 Bases ortonormales; proceso de Gram-Schmidt; descomposición QR / 367

6.3 BASES ORTONORMALES; PROCESO DE GRAM-SCHMIDT;

DESCOMPOSICIóN QR En muchos problemascon espacios vectoriales, quien resuelve el problema puede elegir cualquier base que juzgue pertinente para el espacio vectorial. En espacios conproductointerior, la solución de un problemaamenudo se simplGca bastante al elegir una base en la que los vectores sean ortogonales entre sí. En esta sección se mostrará cómo es posible obtener las bases.

BASES ORTOGONALES Y ORTONORMALES

DefinicMn.Un conjunto de vectoresenun espacio con producto interior se denomina conjunto ortogonal si todas las parejas de vectores distintos en el conjunto son ortogonales. Un conjunto ortogonal en el que cada vector tiene norma 1 se denomina conjunto ortonormal. Ejemplo 1 Sean u1 =(O,

1,0),

u , = ( l , O , l),

u , = ( l , O , -1)

y supóngase que R3 tiene elproducto interior euclidiano. Seconcluye que el conjunto de vectoresS = {ul, u2, u3} es ortogonal, ya que (u1, u2) = (ul, u3) = (u2, u3) = O. A Si v es un vector no nulo en un espacio con producto interior, entonces por el inciso c ) del teorema 6.2.2 el vector 1

mv tiene norma 1, ya que

El procesode multiplicar un vector v diferente de cero por elrecíprocode su longitud para obtener un vector de norma 1 se denomina normalizacidn de v. Un conjunto ortogonal de vectores no nulos siempre se puede convertir en un conjunto ortonormal al normalizar cada uno de sus vectores. Ejemplo 2 Las normas euclidianas de los vectoresen el ejemplo 1 son

I I Y I I = 1,

IIu211 =

f i 9

En consecuencia, al normalizar u u2 y u3 se obtiene

11~311=

u5

36% í Espacios con producto interior

El lector debe comprobar que el conjunto S mostrar que (v,,

v2)

=

{vl, v2, v3> es ortonormal, al de-

= ( V I , v3) = ( v 2 , v3) = 0

IlVlll = llvzll

= llv3ll = 1 A

En un espacio con producto interior, una base que consta de vectores ortonormales se denomina base ortonormal,y una base que consta de vectores ortogonales se denomina base ortogonal. Un ejemplo conocido de una base ortonormal es la base estándar para R3 con el producto interior euclidiano: i=(l,O,O),

k=(O,O, 1)

j = ( O , l,O),

Esta es la base asociada con los sistemas de coordenadas rectangulares (figura 4 de la sección 5.4). En términos más generales, en R" con el producto interior euclidiano, la base estándar e , =(1,0,0, . . . , O), e 2 = ( 0 , 1,0, . . . , O),

. . . , e,=(0,0,0, . . . , 1)

es ortonormal.

COORDENADAS RELATIVAS A BASES ORTONORMALES

El interés de encontrar bases ortonormales para espacios con producto interior es motivada en parte porel siguiente teorema, que muestra cuán excepcionalmente sencillo es expresar un vector en términos de una base ortonomal.

u = (u, V , > V l

Demostracion. presar como

+ (u, v& + . . . + (u,v,)v,

Como S = {vl, v2, . . . , v n > es una base, un vector u se puede ex-

La demostración se completará probando que k, Para todo vector vi en S se tiene

=

(u, vi) para i = 1, 2, . . . , n.

6.3 Bases ortonormales; proceso de Gram-Schmidt; descomposición QR / 369

(u, V i ) = (k,v, + k2V2 + . . . + kv,, V i > = k,(v,, v,)+ k2(v2, vi) + . . . + k,,(v,, v,)

Como S = {vl, v2, . . . , v,,} es un conjunto ortonormal, se tiene (v,, vi) = llv,l12= 1

(v,, vi) = 0

y

ifj#z

Por consiguiente, la expresión anterior para (u, vi) se simpllfica a

Usando la terminología y la notación presentadas en la sección 5.4, los escalares (u, v,), (u,

v,), . . , (u, vn> f

en el teorema 6.3.1 son las coordenadas de u con respecto a la base ortonormal S = {VI' V2' . . Vn>Y ' i

(u)s = ((u, VI ), (u, v,), .

' '

, (u, vn))

es el vector de coordenadas de u con respecto aesta base. Ejemplo 3 Sean VI

=(O, 1, O),

v2 = ( - 4 57

o

9

3 51,

v3 = (& o, 6,

Es fácil comprobar que S = {vl, vz, v3} es una base ortonormal para R3 con el producto interior euclidiano. Expresar el vector u = (1, 1, 1) como una combinación lineal de los vectores en S y hallar el vector de coordenadas (u),. Solución.

Por consigmente, debido al teorema 6.3.1, setiene u = V I -kv,

+ %v3

es decir,

OBSERVACI~N. La utilidad del teorema 6.3.1 debe resultar evidente a partir de este ejemplo si se considera que para bases no ortonormales suele ser necesario resolver un sistema de ecuaciones a fin de expresar un vector en términos de la base.

Las bases oflonormales para espacios con productointerior son Convenientes porque, C O I ~ Ose muestra en e i siguiente teorema. muchas fórmulas conocidas se cumplen para csas bases

~~~~

~

La demostración se deja para los ejercicios

N6tese que el miembro derecho de la igualdad en el inciso a) es la norma delvectorde coordenadas ( u ) ~conrespecto al producto interior ewclidiano sobre H",y que el miembro derecho de la igualdad en el inciso c) es el . trabajando con bases ortonormales. producto interior euclidiano de (u), y ( v ) ~Así, el cálculo de normas y productos interiores generales se puede reducir al cálculo de normas y productos interiores euclidianos de los vectores de coordenadas. OBSERVXCIQN.

Ejemplo 4 Si R' tieneelproducto vector u = ( I , 1, 1) es I/u//= (u u)

interior euclidiano, entonces la normadel

'1, d m = \ , ?

Sin embargo, si se hace que R' tenga la base ortonormal S del ejemplo anterior, entonces por ese ejemplo se sabe que el vector de coordenadas de u con respecto a S es (a),5

=(1

1

"X,

k)

Ea norma de u también se puede calcular a partir de este vector usando el inciso a ) del teorema 6.3.2. Así, se obtiene

COORDENADAS RELATIVAS A BASES ORTOGONALES

Si S = ( v l . va. . . . . vn) es unabase ortogonu1 para un espacio vectorial V. entonces al normalizar cada uno de sus vectores se obtiene la base ortonormal

6.3 Bases ortonormales; proceso de Gram-Schmidt; descomposición QR / 371 Así, si u es cualquier vector en V, por el teorema 6.3.1 se concluye que

que, debido al inciso c) del teorema 6. l .1 se puede volvera escribir como

Esta fórmula expresa u como una combinación lineal de los vectores en la base ortogonal S. En los ejercicios se dan algunos problemas que requieren el empleo de esta fórmula. Es evidente que si v,, vz y v3 son tres vectores diferentes de cero mutuamente perpendiculares en R3, entonces ninguno de los vectores está en el mismo plano que los otros dos; es decir, los vectores son linealmente independientes. El siguiente teorema generaliza este resultado. Teorema 6.3.3. Si 5' = (v,, v,, . . . , v,) es un conjunto ortogonal de vectores no nulos en un espacio conproductointerior,entonces S es linealmente independiente. Demostración.

Supóngase que k , ~ +, k2vz

+

I

..

+ k,v,

(2)

=O

Para demostrar que S = (vl, v2, . . . , vn} es linealmente independiente, es necesario probar que k , = k, = . . = k, = O. Para todo vi en S, por (2) se concluye que '

(k,v, + k2v2+ . . . + k,v,, v,) = ( O , v,)

=O

o, de manera equivalente,

Por la ortogonalidad de S se concluye que = O cuando j esta ecuación se reduce a

f

i, de modo que

k,(v,, V I ) = O Como se supone que los vectores en S son diferentes de cero, entonces <(¡, vi) f O por el axioma de positividad en la definición de producto interior. Por consiguiente, k , = O. Como el subíndice i es arbitrario, se tiene k , = k, = . . . = kn = O; así, S es linealmente independiente. 0

3 72

I


Ejemplo 5 En el ejemplo 2 se demostró que los vectores

forman un conjunto ortonormal con respecto al producto interior euclidiano sobre R3. Por el teorema 6 . 3 . 3 , estosvectores forman un conjunto linealmente independiente, y como R3 es tridimensional, entonces por el teorema 5.4.6a se tiene que S = {vI.v2, v3} es una base ortonormal para R3. A PROYECCIONES ORTOGONALES

A continuación se desarrollarán algunos resultados que serán de utilidad para obtener bases ortogonales y bases ortonormales para espacios con producto interior. En R2 o R3 conel producto interior euclidiano, geométricamente resulta obvio que si W es una recta o un plano que pasa por el origen, entonces todo vector u en el espacio se puedeexpresar como UM suma

u = w,

+ w2

donde w1 está en W y w2 es perpendicular a W (figura 1). Este resultado es un caso especial del sigwente teorema general cuya demostración se da a final de esta sección

r

~~~

~~~~

~

Teorema 6.3.4. (Teorema de proyección). Si W es un subespacio de dimensión j n i t a en un espacio V con producto interior, entonces todo vector u en V se puede expresar de manera única como u=w,+w,

donde w I está en W y w2 está en W L .

El vector w en el teorema precedente se denomina proyección ortogonal de u sobre W y se denota por proy, u. El vector w2 se denomina componente de u ortogonal a W y se denota por proywl u. Así, la fórmula (3) en el teorema de proyección se puede expresar como

Como w2 = u - w se concluye que

6.3 Bases ortonormales; proceso de Gram-Schmidt; descomposicidn QR

I'

3 73

Figura 2

El siguiente teorema, cuya demostración se pide en los ejercicios, proporciona fórmulas para calcular proyecciones ortogonales.

I

6)

Si {vl, vz, . . . , vr} es una base ortogonal para W y u es cualquier vector en V, entonces

Ejemplo 6 Sea R3 conelproducto interior euclidiano, y sea W elsubespacio Por (6), la generado por los vectores ortonormales v1 = (O, 1, O) y vz = (-+,O,$). proyección ortogonal de u = (1, 1, 1) sobre W es

ProY

+ (u, v2)v2 = (1)(0. 1, 0) + (-6)(-9, o, g)

u = (u, v, )v,

-("

25,

1

"& 3

25)

La componente de u ortogonal a W es proy,, u = u -proy,.u

=

(1, 1, 1) - (&, 1,

--&) = (+&,t?, gj

ObsCrvese que p r o y p u es ortogonal tanto a vi comoa v2, de modo que este vector es ortogonal a todo vector en el espacio W generado por v1 y v2, como debe ser. A

374

/’

Espacios con productointerior

DETERMINASe ha CIÓN DE BASES ORTOGONALES Y BASES ORTONORMALES

visto que las bases ortonormales poseen varias propiedades útiles. El siguiente teorema, que es el resultado principal de esta sección, muestra que todo espacio vectorial no nulo y de dimensión finita tiene una base ortonormal. La demostración de este resultado es muy importante, ya que proporciona un algoritmo, o método, para convertir una base arbitraria en una base ortonormal. ~~

~~~~

~~~

Teorema 6.3.6. Todo espacio no nulo de dimensión finita con producto interior tiene una base ortonormal. Demostración. Sea T’ cualquier espacio no nulo de hmensión finita con producto interior, y sea (u1, u2. . . . , un} cualquier base de V. Basta demostrar que Y tiene una base ortogonal, ya que los vectores enla base ortogonal se pueden normalizar a fin de obtener una base ortonormal para V. La siguiente serie de pasos produce una base ortogonal {vl, v2, . . . , v,} para V Paso 1. Sea v1 = ul. Paso 2. Como se ilustra en la figura 3, se puede obtener un vector v2 que sea

ortogonal a vI calculando la componente de u2 que sea ortogonal al espacio Wl generado por vl. Se aplica la fórmula (7): /

v2= u2 - proyw, u2 = u2-

\

(U2’VI)

V l 1I2

Por supuesto, si vz = O, entonces v2 no es un vector básico. Pero ést0 no puede suceder, ya que por la fórmula precedente para v2 se concluiría que

la cual establece que u2 es un múltiplo de ul, contradiciendo la independencia lineal de la base S = {u1, u2,. . . , U,,). Paso 3. Para obtener un vector v3 que sea ortogonal tanto a v, como a v2, se calcula la componente de u3 ortogonal al espacio W2 generado por v1 y v2 (figura 4). Por (7),

v3= u3 - proyw, u3 = ug - (u3’v1) vl-

IF112

(u3’v2) v2 P2u2

Como en el paso 2, la independencia lineal de u l , u2, . . . , u, asegura que v3 # O. Los detalles se dejan como ejercicio. Paso 4. Para determinar un vector v4 que sea ortogonal a v,, v2 y v3, se calcula

la componente de u4 ortogonal al espacio W3 generado por v l , v2 y vj. Por (71,

6.3 Bases ortonormales; proceso de Gram-Schmidt; descomposición QR /I 3 75

v4= u4- proyw u4 = u4-

v2 -

3

' Figura 4

Continuando deesta manera. despuésde n pasos se obtiene un conjunto ortogonal de vectores, {vl, v2, . . . , vn). Como la dimensión de V e s I? y todo conjunto ortogonal es linealmente independiente, el conjunto ( v l , v2, . . . , vn} es una base ortogonal para V. 0 La construcción precedente paso a paso para convertir una base cualesquiera en una base ortogonal se denomina proceso de Gram-Schmidt*(página 376).

Ejemplo 7 Considérese el espacio vectorialR3 con el producto interior euclidiano. Aplicar el proceso de Gram-Schrmdt para transformar los vectores básicos u = (1, 1, l), u2 = (O, 1, 1) y u3 = (O, O, 1) en una base ortogonal { v l , v2, v3}; luego. normalizar los vectores básicos ortogonales para obtener una base ortonormal { q Q2.

q31.

Solución.

3 76


Paso 3. v3= u3 - proyw, u3 = u3= (0,

o,

1) -

(U3'vl)

P12

(u3'y2)

P2I2

f (1, 1, 1) = # [--$+,*)

Así, 2' 2

forma unabase ortogonal para R3. Las normas de estos vectores son

de modo que una base ortonormal para R3 es

*Jiirgen Pederson G r m (189-1916) h e un actuario dank.Recibió su primera instmw5ón en escuelas pubhcas, Despub de terminar el bachillerato obtuvo lamaestría en makmáticas con complementada con tutores particulares. apecializacion en álgebra modema, que estaba en pleno &sa~~ollo. Gram trabajó & p ~ & como actuario para la H&a Lifi Insurance Company, dondedesa~rollól o s cimientos matemálicosde los seguros contra accjdemte para la compañía Skjold Fue miembro de la junta d i v a de H&a y dirigió la conpñía Skjold basa 1910, cuando se convirtió en directordela Danish Insurance bard Durante el tiempo que trabajó como actuario obtuvoel Doctorado en Filosofia con base en su tesis "On Serie Development Utilizing the M Squares Method". Fue en estatesis que plantaí por primera vezsus contribuciones alproceso de Gram-SchmidtC m terminb por interesarse en teoría ab&acta de okmeros y h e galardonado con la medalla deoro concedida por la Royal Danish Society of Scienca and L , e t í a s debido aSILS investigacionesen ese c a m p . Sin embargo, durante toda su vida también mantuvo un interés sobre la interacción entre a ls maiemáticas teinicas y a ls matemáticas aplicadas, cuyo resuitado fueron cuatro tratados sobre administracón de bosques daneses. Gram falleció una tarde enun choque en bicicleta cuando se dirigía una a reunión de laRoyal Danish Society. *ErhmdtSchmidt(1876-1959) h e un m a k d c o alemán. En 1905 Schmidt recibió su grado de doctor en la universidad de Gotinga, donde estudió bajo la asesoría de uno de los grandes matemáticos: David Hilbert En 1917 decidió S a dar clases en la Univasidad de krlín, ciudad en la que permaneció por el resto de su vida Schmidt realizó importanks contribuciones avarios campos makmáticos, pero es más conocido por haber *pado muchas ls ideas dispersas de Hilbert en un concepto general (denominado espacio de Hilbert), que es iündamzntal en el dea estudio de espacios vedonales de dimensión idmita. Schmidt dsrribió por primera vez el proceso que lleva su nombre enun articulo sobre ecuaciones integrales publicado en 1907.

6.3 Bases ortonormales; proceso de Gram-Schmidt; descomposición QR 1 377 OBSERVACI~N. En elejemplo precedente se usó el procesodeGram-Schmidt para obtener una base ortogonal; luego, una vez que se obtuvola base ortogonal, se normalizó para obtener una base ortonormal. De otra manera, es posible normalizar cada vector básico de la base ortogonal en cuanto se obtiene generando, así, paso a paso la base ortonormal. Sin embargo, este método presenta la ligera desventaja de producir más raíces cuadradas que manejar. El proceso de Gram-Schmidt con normalización ulterior no sólo convierte una base cualesquiera{ u 1 , ~2, . . . , U,} en una base ortonormal {Sl, q,, . . . , q,}, sino que también lo hace de modo que para k 2 2 se cumplan las siguientes relaciones:

{ q,, q,, . . . , qk} es una base ortonormal para el espacio generado por {u1, Up

...>

Uk}.

qk es ortogonal a { u l , u 2 , . . . , U k - l } . Se omiten las demostraciones, pero estos hechos debenser evidentes después de un análisis profundo de lademostración del teorema 6.3.6. DESCOMPOSICIÓN QR

Se plantea el siguiente problema. Problema. Si A es una matriz m X n con vectores columna linealmente independientes, y si Q es la matriz con vectores columna ortonormales que se obtienen al aplicar el proceso de Gram-Schdt a los vectores columna de A , ¿qué relación, en caso de haber alguna, existe entre A y Q?

Para resolver este problema, supóngase que los vectores columnaA de son ul, %, . . . , u,,

y que los vectores columna ortonormales de Q son q,, q2, . . . , 9,; así, A=[ul I

u2

I '.. I

y

U,]

Q=[q, 1

92

I ' . . I S,]

Por el teorema 6.3.1 se concluye que ul, u,, . . . , u, se pueden expresar en términos de q,, q,, . . . , q, como

u2 = ( U 2 > 91)91

+ (u23

'..+ q,)q, 92h2 + + ( u 2 , q,h,

u,

+ (u,,

q2h2

u1 = ( U I > q,)q, + ( U I > 9 2 h 2 +

= ( u n ,q1)91

(u13

' ' '

+ . . . + ( u , , q,)q,

Recordando de la sección 1.3 que el j-ésimo vector columna de un producto de matrices es una combinación lineal de los vectores columna del primer factor con coeficientes provenientes de laj-ésimacolumna de segundo factor, se concluye que estas relaciones se pueden expresar en forma matricial como

3 78 1 Espacios con producto interior

o, más brevemente, como

Sin embargo, una propiedad del proceso de Gram-Schmidt es que paraj 2 2, el vector qj es ortogonal a ul, u*, . . . , u.. así, los elementos abajo de la diagonal J 1' principal de R son cero.

Se deja como ejercicio demostrar que los elementos dela diagonal de R son diferentes de cero, de modo que R es invertible. Así, (S) es una factorización de A en el producto de una matriz Q con vectores columna ortonormales y una matriz triangular superior invertible R. La expresión (8) se denomina descomposición QR de A . En resumen, se tiene el siguiente teorema.

Teorema 6.3.7. (Descomposición QR). Si A es una matriz m X n con vectores columna linealmente independientes, entonces A se puede factorizar como A

= QR

donde Q es una matriz m X n con vectores columna ortonormales y R es una matriz triangular superior invertible n X n.

Recuérdese por el teorema 6.2.7 que si A es una matriz n x n, entonces la invertibilidad de A equivale a la independencia lineal de los vectores columna; así, toda matriz invertible posee una descomposición QR. OBSERVACI~N.

E.jemplo 8 Encontrar la descomposición QR de

Solución. Los vectores columna de A son

Aplicando el proceso deGram-Schmidt con normalización ulterior a estos vectores columna se obtienen los vectores ortonormales (véase el ejemplo7)

6.3 Bases ortonormales; proceso de Gram-Schmidt: descomposición QR / 3 79

y por (9), la matriz R es

A

FUNCIÓN DE LA DESCOMPOSICIÓN QR EN ÁLGEBRA LINEAL

En años recientes, la descomposición QR ha adquirido una importancia cada vez mayor como fundamento matemático de una amplia gama de algoritmos numéricos prácticos, incluyendo un algoritmo bastante usado para calcular eigenvalores de matrices grandes. Los algoritmos se analizan en libros de texto relacionados con los métodos numéricos del álgebra lineal.

DEMOSTRACI~NADICIONAL

Demostración del teorema 6.3.4. La demostración se efectúa en dos partes. Primero es necesario encontrar vectores w1 y w2 con las propiedades enunciadas y luego demostrar que estos vectores son únicos. Por el proceso de Gram-Schmidt, existe una base ortonormal { v l , v2, . . . , vn} para W. Sean W ] = (u, V I b ,

+ (u, v2)v2 + ' . . + (u, v,)v,

(10)

Y

w2=u-w1

(11)

Se concluye que w1 + w2 = w1 + (u - wl) = u, de modo que queda por demostrar que w1 está en W y que w2 es ortogonal a W. Pero w1 está en W porque es una combinación lineal de los vectoresbásicos para W. Para demostrar que w2 es ortogonal a W es necesario probar que (wz, w) = O para todo vector w en W. Pero si w es cualquier vector en W, se puede expresar como una combinación lineal w = k,v,

+ k2v2 + . . . + knvn

380

./


de los vectores básicos v, v2, . . . , v,. Así, (w2, W ) = ( U - w,,W ) = ( U , W ) - {w].w j

Pero

(u, w) = (U, k , ~ + , k2v2+ . . . f k , ~ , , ) = k!(U, VI>

+ k2(U,

v2)

+

‘

..

+ k,(U, Vil)

y por el inciso c) del teorema 6.3.2

(w,,

= (u, w)v , )k,

+ (u. v2)k, +

’ ’ ’

+ (u, v,)k,

Así, (u, w} y (wl, w) son iguales, de modo que (12) produce (w2, w) = O, que es lo que quería probarse. Para ver que (IO) y (11) son los únicos vectores con las propiedades enunciadas en el teorema, supóngase que también es posible escribir

donde w i está en W y w i .es ortogonal a W. Si de (13) se resta la ecuación u=w,+w,

se obtiene

o = (w;

-

o bien,

wl)

+ (w;- w2)

w1- w;= w; - w?

(14)

Como w2 y wi son ortogonales a W, su diferencia también es ortogonal a W, ya que para cualquier vector w en W se puede escribir (w,w; - w2>= (w,w;) - (w,w2) = o - 0 = o Pero w; - w2 es un vector en W. ya que por (14) es la diferencia de los dos vectores w1 y W; que están en el subespacio W. Así, w; - w2 debe ser ortogonal a sí mismo; es decir, (w;

-

w2,

w; - w2) = o

Pero esto significa que w i - w2 = O por el axioma 4 en la definición de producto interior. Así, w; = w2 y, por (14), w; = w l . O

EJERCICIOS DE LA SECCION 6.3 1. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son ortogonales con respecto al pro-

ducto interior euclidiano sobre R2?

6.3 Bases ortonormales;proceso de Gram-Schmidt; descomposición QR 1 381 a) (0,I). (2,O) C) ( - I/\‘%

-

b) ( - l/V% I / f i ) , I / f i ) , (l/V‘Z l / d ? )

l / d ) d) (0,O). (O, 1)

2. ¿Cuáles delos conjuntos del ejercicio 1 son ortonormales con respecto al producto

interior euclidiano sobre R2? 3. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son ortogonales con respecto al pro-

ducto interior euclidiano sobre R3?

4. ¿Cuáles de los conjuntos del ejercicio 3 son ortononnales con respecto al producto

interior euclidiano sobre R3? 5. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de polinomios son ortononnales con respecto al producto interior sobre P2 que se analizó en el ejemplo 8 de la sección 6. l ? I 1

a) $ - f x + + x 2 , $ + Q x - $ x ’ ,

+ -x2, v5v5

b) 1 , -x

$+$x+$x2

x2

6. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de matrices son ortononnales con respecto al producto interior sobre M22que se analizó en el ejemplo 7 de la sección 6. l? a)

b,

[:, 3 [; -4 [-: !]> [:!] [; [bi [P PI. [Y -;I 3

5

3

5

7. Comprobar que el conjunto de vectores dado es ortogonal con respecto al producto interior euclidiano; luego, normalizando los vectores convertirlo en un conjunto ortonormal. a) ( - 1, 21, (6, 3) b) -11, (2, 0, 21, (0, 5, 0) C) (i &, i), ( - f , b O), ($,$, - f )

Demostrar que {x, y}es ortononnal sí R2 tiene el producto interior (u, v) = 3u,vl

+

2u2v2, pero que no es ortononnal sí R2 tiene el producto interior euclidiano.

9. Comprobar que los vectores v, = (-+,4,0),v2 =($,$,O ), v2

=

(O, O , 1)foman una

base ortonomal para R3 con el producto interior euclidiano; luego, mediante el teorema 6.3.1, expresar cada uno de los siguientes vectores como una combinación lineal de V , ’ v2 Y v3. a) (1, - 1, 2) b) (3, - 7 , 4) C) (+, -%$I 10. Comprobar que los vectores

VI=(^, -1323 -11,

~ , = ( - 2 , 2 , 3 , 2 ) ,v , = ( l , 2 , 0 ,

-I),

v,=(I,O,O,

1)

3817

1


11.

12. Sea I? con el producto interior euclidiano, y sea S = w = (++j , w 2 = (5.4) > > a)l Deternlinar los vectores u y

{MI ,

w?]la base ortonormal con

v cuyos vectores de coordenadas son (u), = (1, 1) y (v),

=(-1,4).

b) Calcular Ilull, d(u. v) y {u, v) aplicando e1 teorema 6.3.2 a los vectores de coordenadas (u), y (v)& luego, comprobar los resultados mediante cálculos directos sobre u y v. 13. Sea H' con el producto interior euclidimo, y sea S = {w), w,, w3}la base ortononnal 4 3 IV, = (1, O, 0 ) y w3= (O,y,y). con w,= (O, - ((),-I,*), ' I F '. a ) Encontrar los vectores u, v y w cuyos vectores de coordenadas son (u), = (-2, 1, 2), (v), = (3, o, - 2 ) v (w), = ( S , -4, 1). b) Calcular 11~11, d(u, W) y (w,v} aplicando el teorema 6.3.2 a los vectores de coordenadas ( u ) , (v).~y (w)& luego, comprobar los resultados mediante cálculos directos sobre u y v. 14. En cada inciso, S representa alguna base

ortotlorma1 de u11 espacio tetradimensional con producto interior IJsar l a información que se proporciona para encontrar IIuII, IIv WII, IIv + w11 Y (v, w). a) (u), = ( - 1. 2, I , 3 ) , (vjS = (0, - 3 , I , 5), ( w ) = ~ ( - 2. - 4. 3, 1) b) (U), = (O. O. - 1. - l ) , (v),,= (5, 5. - 2, -2). (w),, = (3, O. " 3 . O)

IS. a) Demostrar que los vectoresv, = (1, -2, 3, -4), v2 = (2. I, -4, -3), Y? = (-3, 4, I , -2) y v4 = (4, 3, 2, I foinan una base ortogonal para R;' con el piducto kt&or

cuclidlano. b) Usando ( 1 ), expresar u = (- 1,2,3, 7 ) como una conlbinaclón lineal de los vectores cn el inciso a). 16. Sea R2 con el producto interior euclidiano. Usando el proceso de Gram-Schmidt, transfonnar Is base (u,, u2} en una base ortonormal. a! u , = ( I . -3L u 2 = ( 2 . 2 ) b) u , = ( l . O ) , u 2 = ( 3 . - 5 ) 17. Sea H'

con el producto interior euclidiano. Con el proceso de Gram-Schmidt, transformar la base { u I .u,, u3}en una base ortononnal. a) u , = ( 1 , I , I ) , u Z = ( - 1 , 1.0). u,=(1,2. I ) b ) u , = ( I . O , O ) . ~ 2 = ( - 3 , 7 ,-2). u ; = ( O . ~ . I )

18. Sea R4 con el producto interior euclidiano. Usando el proceso de Gram-Schmidt, transformar la base {u1,u,, u3, u4} en una base ortononnal

6.3 Bases ortonormales; proceso de Gram-Schmidt; descomposición QR / 383 u,=(O,2,1,0), & = ( I ,

-1,O,O),

u 3 - ( l , 2 , O-, l )u, 4 = ( 1 , 0 , 0 , 1 )

19. Sea R3 con el producto interior euclidiano. Encontrar unabase ortonormal para el subespaciogeneradopor(0, 1,2),(-1,0, l)y(-1, 1,3). 20. Sea R3 conelproducto interior u, v = ulv! + 2u2v2+ 3u3v3.Con elproceso de GramSchrmdt,transformarul=(1,1,1),~=(1,1,0),~=(1,0,O)enunabaseortonormal. 21. El subespacio de R3 generado por los vectores u1 = (+,O,-+) y u2 = (O, 1, O) es un plano que pasa por el origen. Expresar w = (1,2, 3 ) en la forma w = w I + w2, donde w1 está en el plano y w2 es perpendicular al plano.

22. Repetir el ejercicio 21 con u1 = (1, 1, 1) y u2 = (2, O,

- 1).

con el producto interior euclidiano. Expresar w = (- I , 2, 6, O) en la fonna w = wl+w,,dondewlestáenelespacioWgeneradoporul=(-1,O,1,2)yu2=(O,1,O, I), y w2 es ortogonal a W.

23. Sea

24. Encontrar la descomposición QR de la matnz

a)

[: -:I 1 0 2

1 2 0

1

2

1

1

-1 1

o 3 1

O[

-1

0

1

1

1

0

1

1

1

25. Sea {vI, v2, v3) una base ortonormal para un espacio V con producto interior. Demos-

trar que si w es un vector en V, entonces llw112 = (w, v1)2+ (w, v2)2+ (w, v ~ ) ~ . 26. Sea {vl, v2,. . . , vn} una base ortonormal de un espacio Vcon producto interior. Demostrar que si w es un vector en Y, entonces llw112 = (w, vl)' + (w, vJ2 + . . . + (w, v ~ ) ~ . 27. En el paso 3 de la demostración del teorema 6.3.6, se afirmó que "la independencia lineal de {u1,u*,.. . , u,,}asegura que v3 # O". Demostrar esta afirmación. 28. Demostrar que los elementos en la diagonal de R en la fórmula (9) son difaentes de cero.

Aplicando el proceso de Gram-Schmidt, transformar la base estándar S = { I , x, 2)en una base ortonormal. (Los polinomios en la base resultante son los tres primeros polinomios normalizados de Legendre.)

381 ' Espacios con producto interior 30. (Para quienes y a estudiaron Crslculo). llsando el teorema 6.3.1, expresar los siguientes polinomios como una combinación lineal de los tres polinomios normalizados de Legendre (ejercicio 29). a) I + x + 4x4. b) 2 - 7x2 c) 4 + 3x.

31. (Para quienes y a estudiaron Crslculo).Sea P 2 con el producto interior

c'

( P , 4)= J,

P(X)Y(X)

&

Aplicando el proceso de Gram-Schmidt, transformar l a base estándar S = { 1, x, 2)en una base ortonomal

32. Demostrar el teorema 6.3.5 33. Demostrar el teorema 6 . 3 . 2 ~ 34. Demostrar el teorema 6.3.26.

35. Demostrar el teorema 6 . 3 . 2 ~

6.4 MEJOR APROXIMACIóN; MíNIMOS CUADRADOS En esta sección se mostrara la manera de utilizar las proyecciones ortogonales para resolver ciertos problemas de aproximación. Los resultados obtenidos en esta sección titnen aplicaciones diversas tantoen matemáticas como en ciencias.

PROYECCIONES ORTOGONALES CONSIDERADAS COMO APROXIMACIONES

Si P es un punto en el espacio tridimensional ordinario y W es un plano que pasa por el origen, entonces el punto Q en W más próximo a P se ob-tiene al trazar una perpendicular de P a W (figura la). Por tanto, si se hace u = UP, la &stancia entre P y Westá definida por

l b - PO' Y,

UII

En otras palabras, de todos los vectores w en W, el vector w = proy, u minimiza la distancia IIu - wll (figura lb).

(It

Figura 1

Q es el punto en N más próximo a P.

h)

11u - wli es minimizada por w = proywu.

6.4 Mejor aproximación; mínimos cuadrados / 385

Hay otra forma de pensar esta idea. Considerar que u es un vector fijo cuya aproximación se desea obtener por medio de un vector en W. Cualquier aproximación w de este tipo dará por resultado un "vector de error" u-w

el cual, a menos de que u esté en W, no se puede hacer igual a O . Sin embargo, eligiendo w =proyw u

es posible hacer que la longtud del vector de error Ilu - wll

=

l b - ProY,

UII

sea tan pequeña como se quiera. Así, w = proy, u se puede describir como la ''mejor aproximación" para u por medio de vectores en W. El siguiente teorema precisará estas ideas intuitivas.

Teorema 6.4.1. (Teorema de la mejor aproximación). Si W es un subespacio de dimensión j n i t a de un espacio V con producto interior, y si u es un vector en V, entonces proy, u es la mejor aproximaciónpara u desde W en el sentido de que Ilu -ProY,

UII

<1111

- WII

para todo vector w en W diferente de proy, u. Demostración.

Para todo vector w en W se puede escribir u - w = (u -proyw u) + (proy, u - w)

(1)

Pero proyw u - w, por ser una diferencia de vectores en W, está en W, y u proy, u es ortogonal a W, de modo que los dos términos en el miembro derecho de (1) son ortogonales. Así, por el teorema de Pitágoras (teorema 6.2.4), Ilu - wl12 = 11u -pray, u1I2 + Ilproy~u - w1I2

si w que

f

proyw u, entonces el segundo término de esta suma es positivo, de modo

o, de manera equivalente, 11u - WII > 11u - pray, 4

1

o

Después, se proporcionarán aplicaciones de este teorema.

386 , Espacios con producto interior

SOLUCIóN DE SISTEMAS LZNEALES POR MÍNLMOS CUADMDQS

Hasta ahora se han tratado principalmente sistenlas de ecuciones lineales consistentes. Sin embargo. los sistemas lineales inconsistentes también son importantes en aplicaciones fisicas. Una situación común es que algún problema fisico conduzca a un sistema 'lincal A x = b quedesde un punto de vista teórico debeser consistente. aunqueno lo es debido a que"erroresdemedición"en los elementosde A y b perturban bastante al sisten~a parahacerlo inconsistente. E n situaciones como éstas se brlsca un valor de x que esté "Io n h próximo posible" de ser una solución en el sentido de que redczca el valor de jbgx = bll con respecto al producto interior euclidiano. Lacantidad Ib4x = bll se puedeconsiderarcomounamedidadel"error"que resulta al considerar a x como una solucibn aproximada del sistema lineal A x = b. Si el sistema es consistente y x es una solución exacta, entonces el error es cero. ya que (PIX -= bjl 1 1 0 1 1 = O. En general, mientras más grande sea el valor de 1c4x = bjl, mas deficiente será la aproximación de x a una solución del sistema. ~

Problema de mínimos cuadrados. Dado un sistema lineal A x

~

~~

~

~~~~~~~

b de m ecuaciones con 17 incógnitas. encontrar un vcctor x. si es posible. que reduzca a 1C.l~ = $11 con rcspcct~a l producto interioreuclidiano sobre I?'". El \rector se denomina solucibn por mínimos cuadrudos de A x = b. o f u m < \ ~ . % < * H h ~Para

sea e

7-

..I x

-

comprender el origcn dc la expresión t~inirnosc!mlrudos.

ir. que se puede considerar como un hector de error que se obtiene de

la aprosinmcim x. Si e cu;i&ados

+P

=

r n m i n u m a llell

.

=

( e , . e2.

=- ( ~ f t e $

.

. c,,~),entonces una soluciónpor minimos )?I

1 por tanto, también m i n i m i a a

t . . t e 2 de donde proviene la cspresión r n i m m m cuadrdoa. t71 Para resolver e1 problema de mínimos cuadrados, sea I f ' el espacio columI-ta de A . Para todanlatri/: n X 1 . el producto - { X es una combinación lineal de los xzcctorcs crrlunrna dc ..! h i . cuando x \,aria sobre !?n. el vector .'Zx varía sobre todas las combinacroncs 1:nealcs posibles dc los \'cctorcs columna de ;1; es decir. . la \.aria sobrc lodo cl cspacio columna il'.Geométricamente, resolver el problema dc mínimos cuadrados equivale a encontrar u11 vector S en R n tal que <.lx sea el Lector CPI i f . m i s prbxiino a b ( f i g m 2).

cf

-:-

Una solucicin por mínimos cuadrados x produce el m i s próximo a b.

Por el teorema de la mejor aproximación (teorema 6.4.1) se concluye que el vector en W mis próximo a b es la proyección ortogonal de b sobre M.'. Así, para

6.4 Mejor aproximación, mínimos cuadrados /’ 387

que un vector x sea una solución por mínimos cuadrados de Ax = b, este vector debe satisfacer (2)

Ax = proy, b

Se podría intentar determinar soluciones por mínimos cuadrados de Ax = b calculando primero el vector proyw b y luego resolviendo (2); sin embargo, existe un método mejor:Por el teorema de proyección(teorema 6.3.4)y la fórmula (5) de la sección 6.3 se concluye que b - A x = b -proywb es ortogonal a W. Pero W es el espacio columna de A , de modo que por el teorema 6.2.6 se concluye que b - Ax está en el espacio nulo de A T . Por consiguiente, una solución por mínimos cuadrados de Ax = b debe satisfacer ATx(b - A X )= O

o, de manera equivalente, ATAx = ATb

(3)

Esta expresión se denomina sistema normal asociado conAx = b y las ecuaciones individuales se denominan ecuaciones normales asociadas con Ax = b. Así, el problema de hallar una solución por mínimos cuadrados de Ax = b se ha reducido al problema de encontrar una solución exacta del sistema normal asociado. Nótense las siguientes observaciones sobre elsistema normal: En el sistema normal hay n ecuaciones con n incógnitas (comprobar). El sistema normal es consistente, ya que se satisface con una solución por mínimos cuadrados de Ax = b. El sistema normal puede tener infinidad de soluciones, en cuyo caso todas éstas son soluciones por mínimos cuadrados de Ax = b. Con base en estas observaciones y la fórmula (2) se tiene el siguiente teorema.

Teorema 6.4.2. Para cualquier sistema lineal Ax

=

b, el sistema normal aso-

ciado

ATAx = ATb es consistenle y todas las soluciones del sistema normal son soluciones por mínimos cuadrados de Ax= b. Además, si W es el espacio columna de A y x es cualquier solución por mínimos cuadrados de Ax = b, entonces la pro-yección ortogonal de b sobre W es proy, b = A x

UNICIDAD DE LAS SOLUCIONES POR M~NIMOS CUADRADOS

Antes de ardizar algunos ejemplos numéricos, se establecerán condiciones que garantizan que un sistema lineal tiene sólo una solución por mínimos cuadrados. Sc nccesitari el siguienic tcorema

Teorema 6.4.3. S'¡ '4 es una matriz tt1 nes son equivalentf~s.

X

n, entonces las siguientes proposicio-

c ) A tiene vectores columna linealmente independientes d) ATA es invertible. llerrmsfracicin.

Se demostrará que a 3 h y h

3

a.

a

3 h : Supóngase que los vectores columna de A son linealmente independientes. La matriz A',I es de tamaño n x n, de modo que, para demostrar que esta matriz cs invertible, sc debe probar que el sistema lineal A'Ax = O sólo tiene la solución trivial. Pero si x es cualquier solución de este sistema, entonces A x está en el espacio nulo de A 7 'y también está en el espacio columna de A . Por el teorema 6.2.6 los espacios son complementos ortogonales. de modo que el inciso b) del teorenla 6.2.5 indica que A x = O . Pero -4 tiene vectores columna linealmente independientes. de modo que x = O por el teorema 5.6.8.

b 3 a : Supóngase que ATA es invertible. Para demostrar que A tiene vectores columna linealmente independientes, por el teorema 5.6.8. basta probar que A x = O sólo tiene la solución trivial. Pero si x es cualquier solución de A x = O , entonces A ?,I x = A TO = O. de modo que x = O debido a la invertibilidad de A 'A. 0 El siguiente teorema es una consecuencia directa de los teoremas 6.4.2 y 6.4.3. Se omiten los detalles.

Teorema 6.4.1. (Unicidad de las soluciones por mínimos cuadrados). Si A es una matriz 111 X n con vectores columna linealmente independientes, entonces para toda tnatrrz b de n X 1 e l sistenm lineal A x = b frene una sola solucibn por lt1íniv1o.s cundrados. E.sta solucicin est6 dada por

I

Las fórmulas (4) y ( 5 ) poseen varias aplicaciones teóricas, pero no son eficaces para efectuar cálculos numéricos. Las soluciones por mínimos cuadrados de A x = b se calculan mejor usando eliminación gaussiana o eliminación de Gauss-Jordan para resolver las ecuaciones normales: la proyección ortoORSERVACI~N.

6.4 Mejor aproximación, mínimos cuadrados

/'

389

gonal de L sobre el espacio columna de A se obtiene calculando Ax, donde x es la solución por mínimos cuadrados de A x = b.

y encontrar la proyección ortogonal de b sobre el espacio columna de A

Solución. Aquí,

Obsérvese que A tiene vectores columna linealmente independientes, de modo que de antemano se sabe que existe una solución por mínimos cuadrados única.

de modo que en este caso el sistema normal ATAx = A*b es

Resolviendo este sistema se obtiene la solución por mínimos cuadrados

Por ( 9 , la proyección ortogonal de b sobre el espacio columna de A es

Ejemplo 2 Encontrar la proyección ortogonal del vector u .= ("3, el subespacio de R4 generado por los vectores

" 3 , 8, 9) sobrc

390 1 Espacios con producto interior

Solucidn. Para resolver este problema se aplica primero el procesode GramSchmidt con el fin de convertir { u l , u2, u3} en una base ortonormal y luego se aplica el método usado en el ejemplo 6 de la sección 6.3. Sin embargo, el siguiente método es mejor. El subespacio W de R4 generado por u l , u2 y u3 es el espacio columna de la matriz

-1

A = [ 3

o

2

1

-1

Entonces, si u se expresa como un vector columna, es posible determinar la proyección ortogonal de u sobre W encontrando una solución por mínimos cuadrados del sistema A x = u y, luego, calculando proy, u = Ax a partir de la solución por mínimos cuadrados. Los cálculos son como sigue: El sistema Ax = u es 3 1 O 1

de modo que 3

ATA=

1

[-1

ATu =

3 1 -1

1 2

0 1

O

2

1 2 0

0 1 2

3

1

"

1 i

O

I 1 -1

En este caso, el sistema normal ATAx = A

-4

11 6 -4

1 1

-3 -3 8 9

es

10

6 7 O

-4 0 6

6.4 Mejor aproximacibn, mínimos cuadrados

/

391

Resolviendo este sistema se obtiene que la solución por mínimos cuadrados de A x = u es

(comprobarj, de modo que

o bien, en notación horizontal (lo cual es consistente con el planteamiento original del problema), proy,u = (-2, 3, 4. O). A OPERADORES PROYECCIóN ORTOGONAL

En la sección4.2 se analizaron algunos operadoresproyección ortogonal básicossobre R2 y R3 (tablas 4 y 5 ). El concepto de operador proyección ortogonal se puede extender a espaciosgeneralesconproductointeriorcomo se muestraenseguida. Definición. Si W es un subespacio de Rm. entonces la transformación P:Rm+ W que aplica cada vector x en Rm en su proyección ortogonal proy, x en W se denomina proyección ortogonal de Rmsobre W. Se deja como ejercicio demostrar que las proyecciones ortogonales son operadores lineales. Por la fórmula (5) se concluye que la matriz estándar para la proyección ortogonal de Rmsobre IV es [ P 1 = A ( A 'A) ' 4 ' ~

(6)

donde A se obtiene usando cualquier base para W como sus vectores columna Ejemplo 3 En la tabla 5 de la sección 4.2 se demostró que la matriz estándar para la proyección ortogonal de R3 sobre el plano xy es

Para darse cuenta de que lo anterior es consistente con la fórmula (6), considérense los vectores unitarios a lo largo de los ejes x y y positivos como base para el plano xy, de modo que A=

[ie]

392

3


Se deja para el lector comprobar que ATA es la matriz identidad 2 x 2; así, (6) se simplifica a

[: o

[P]-AAT=

:][I 1

0

O 1

o]=[: 0

o

0

"1 0

lo cual concuerda con (7). A

Ejemplo 4 Hallar la matriz estándar para la proyección ortogonal P de R2 sobre la recta 1 que pasa por el origen y forma un ángulo 8 con el eje x positivo. Solución. La recta I es un subespacio unidimensional de R2. Como se ilustra en la figura 3, se puede tomar v = (cos 8 , sen 8 ) como una base para este subespacio, de modo que

Se deja para el lector comprobar que ATA es la matriz identidad 1 x 1; así, (6) se simplifica a [ P I =AAT=

[i:::] [ cos e

,p

sen 6 1 =

1.

cos2 e sen o COS e sen e cos 6 sen2 8

[

7';

PIX)

1L

+ Figura 3

RESUMEN

El teorema 6.4.3 permite agregar un resultado adicional al teorema 6.2.7.

Teorema 6.4.5. Si A es una matriz n X n, y si TA:R" -+ R" es la multiplicación por A , entonces las siguientes proposiciones son equivalentes. a ) A es invertible. b ) Ax = O sólo tiene la solución trivial. c ) La forma escalonada reducida de A es I,,, d) A puede escribirse como un producto de matrices elementales, e ) Ax = b es consistente para toda matriz b n X 1, f,l A H = b tiene exactamente una solución para toda matriz b n X 1. g ) det(A) f O .

6.4 Mejor aproximación, mínimos cuadrados / 393

h) El rango de TA es R". i) TA es uno a uno. j ) Los vectores columna de A son linealmente independientes. k) Los vectoresrenglón de A son linealmente independientes. r) Los vectores columna deA generan a R". m ) Los vectores renglón deA generan a R". n ) Los vectores columnade A forman una base para R". o ) Los vectores renglón de A forman una base para R". p ) El rango de A es n. q) La nulidad deA es O . r ) El complemento ortogonal del espacio nulo de A es R". S ) El complemento ortogonal del espacio renglón deA es (O). t) ATA es invertible.

Este teorema relaciona los temas más importantes estudiados hasta el momento.

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 6.4 1. Hallar el sistema normal asociado conel sistema lineal dado.

2. En cada inciso, encontrar det(ATA)y aplicando el teorema 6.4.3, determinar si A tiene

vectores columna linealmente independientes.

3. Encontrar la solución por mínimos cuadrados del sistema lineal

Ax

= b y hallar la

proyección ortogonalde b sobre el espacio columna de A .

4. Determinar la proyección ortogonal de u sobre el subespacio de R3 generado por los

vectores v, y v2. a) u = (2, 1, 3); v1 = (1, 1, O), v2 = (1, 2, 1) b ) u = ( l , -6,l); ~,=(-1,2,1), v2=(2,2,4)

394 / Espacios con producto interior 5. Encontrar la proyección ortogonalde u sobre el subespacio de I? generado por los vectores v,, v2 y vj. a) ~ = ( 6 , 3 , 9 , 6 ) ;~ , = ( 2 ,I , I I, ) ,

b)u=(-2,0,2,4);

~ ~ ~ ~ ( l . IO) , , ~l , ,= ( - 2 . - 1 . 0 . - I ) v , - ( l , l . 3 , 0 ) , v,=(-2, - I , -2,1), V , - ( - 3 . " I , 1,3)

6. Hallar la proyección ortogonal de u = (5, 6, 7 , 2) sobre el espacio solución de sistema lineal homogéneo

7. Usando la fórmula (6) y el método del ejemplo 3, encontrar la matriz estándar de la

proyección ortogonal P:K2 -+ U ' sobrc a) el eje x. b) el ejey. [Nota Comparar los resultados con la tabla 4 de La sección 4.2.1 8. Por medio de la fórmula (6) y el método del ejemplo 3 , determinar la matriz estándar de la proyección ortogonalP r R 3 -+R3 sobre a)el plano x z . b) el planoyz. [Nofa Comparar los resultados con la tabla 5 de la secci6n 4.2.1

9. Sea We1 plano con ecuación 5x - 3y + I = O a) Encontrar una base para W. b) Con la fórmula (6); encontrar la matriz estándar para la proyección ortogonal sobrc

W. c) Usar la matriz obtenida en el inciso b) para determinar la proyección ortogonal de un punto Po(xo,y,,, z,,) sobre W. d) Encontrar la distancia entre el punto P & l , -2, 4) y el piano W,y comprobar el resultado mediante el teorema 3.5 -2 10. Sea Cz, la recta con ecuaciones paramktricas

a) Encontrar m a base para W. b j Por medio de l a fórmula (6), encontrar la matriz estándar para la proyección ortogonal sobre W. c) Usar la matriz obtenida en el inciso b) para encontrar la proyecci6n ortogonal de un punto Po(xo,yo, zo) sobre W. d) Hallar la distancia entre el punto Po(2, 1, - 3 ) y la recta W.

11. Para los sistemas linealesdel ejercicio 3, comprobar que ei vector de error AY - b que resulta de la soluciónpor mínimos cuadrados F es ortogonal alespacio columna de A . 12. Demostrar: Si A tiene vectores columna linealmente independientes y si Ax = b es consistente, entonces la solución por mínimos cuadrados de Ax = b y la solución exacta de Ax = b son iguales.

6.5 Matrices ortogonales; cambio de base

1

395

13. Demostrar: Si A tiene vectores columna linealmente independientes y si b es ortogonal al espacio columnade A , entonces la solución por mínimos cuadrados deAx = b es x = O.

+ W la proyección ortogonalde R" sobre un subespacio W. a) Demostrar que [PI2= [PI . b) ¿Qué indica el resultado del inciso a) con respecto a la composición P o P? c) Demostrar que [PI es simétrica. d) Comprobar que las matnces en las tablas 4 y 5 de la sección 4.2 tienen las propiedades indicadas en los incisos a) y c).

14. Sea PB"

15. Sea A una matriz m

X n con vectores renglol linealmente independientes. Encontrar una matnz estándar para la proyección ortogonal de Rn sobre el espacio renglón de A . [Sugerencia Empezar con la fórmula (6).]

6.5 MATRICES ORTOGONALES; CAMBIO DE BASE Una base que es adecuada para un problema puede no ser para otro, de modo que en elestudio de los espacios vectoriales unproceso común es cambiar de una base a otra. Debido a que una base es la generalización a espacios vectoriales de un sistema de coordenadas, el cambio de base es semejante a cambiar de ejes de coordenadas en R2 y R3. En esta sección se estudiarán varios problemas relacionados con el cambio de base. También se obtendrán propiedades de las matricescuadradas que tienenvectores columna ortonormales. Estasmatrices surgen en diversos contextos, incluyendo problemas en los que hay un cambio de una base ortonormal a otra.

MATRICES ORTOGONALES

Las matrices cuyas inversas se pueden obtener por transposiciones son tan importantes que existe una terminología asociada con ellas. Definición. Una matriz cuadrada A con la propiedad A-l'AT

se denomina matriz ortogonal. Por la definición anterior se concluye que una matriz cuadradaA es ortogonal si y sólo si A A ~ = A ~ A = I

(1)

De hecho,por el teorema 1.6.3 se concluye que una matriz cuadrada A es ortogonal si A A T = I, o bien, A TA = I.


Ejemplo 1 La matriz

"1

"

7

1 0 0

=[O 0

1

0~ A

0

1

Ejemplo 2 Recordar que en la tabla 6 de la sección 4.2, la matriz estándar para la rotación de R2 en sentido contrario a las manecillas del reloj por un ángulo 8, es A = [

O sen0

COS

1

-sen0 cos 0

Esta matriz es ortogonal para todas las elecciones de 8 ,ya que

De hecho, es fácil comprobar que todas las "matrices de reflexión" en lastablas 2 y 3 y todas las "matrices de rotación" en las tablas 6 y 7 de la sección 4.2 son matrices ortogonales. A Obsérvese que para las matrices ortogonales en los ejemplos 1 y 2, tanto los vectores renglón como los vectores columna forman conjuntos ortonormales con respecto al producto interior euclidlano (comprobar). Este hecho no es fortuito; es una consecuencia del siguiente teorema.

Teorema 6.5.1. Las siguientes proposiciones son equivalentes para una matriz

A n x n.

a ) A es ortogonal. b ) Los vectores renglón de A forman un conjunto ortonormal en R" con el producto interior euclidiano. c ) Los vectores columna de A forman un conjunto ortonormal en R" con el producto interior euclidiano. Demostración. Se probará la equivalencia de a ) y b), y la equivalencia de a ) y c ) se deja como ejercicio para el lector.

a e b: El elemento en el i-ésinlo renglón y la j-ésima columna del producto matricial A A T es el producto punto del i-ésimo vector renglón de A y el j -

6.5 Matrices ortogonales; cambio de base

i

397

Por tanto, A A =~I si y sólo si

r l - r l = r 2 . r 2 = .. .= rn-rn= 1 Y ri-rj=O CuandoiZj

que son verdaderas si y sólo si rl, r2, . . . , rn es un conjunto ortonormal en R".

0

OBSERVACI~N. En vista del teorema 6.5.1 parece más apropiado denominar matrices ortonormales a las matrices ortogonales. Sin embargo, no se hará así por respeto a la tradición histórica.

ALGUNAS PROPIEDADES BASICAS DE LAS MATRICES ORTOGONALES

En el siguiente teorema se enumeran algunas propiedades básicas adicionales de las matrices ortogonales. Las demostraciones son directas y se dejan para el lector. Teorema 6.5.2. a) La inversa de una matriz ortogonal es ortogonal. b) Un producto de matrices ortogonales es ortogonal. c) S i A es ortogonal, entonces det(A) = 1 o det(A) = - 1. Ejemplo 3 La matriz

es ortogonal, ya que sus vectores renglón (y columna) forman conjuntos ortonormales en R2. Se deja para el lector verificar que det(A) = 1. Intercambiando los renglones se obtiene una matriz ortogonal para la cual det(A) = - 1. A MATRICES ORTOGONALES COMO OPERADORES LINEALES

En el ejemplo 2 se vio que las matrices estándar para los operadores reflexión y rotación básicos sobre R2 y R3 son ortogonales. El siguiente teorema ayudará a explicar este hecho

398

i


Teorema 6.5.3. S; A es una matriz n son equivalentes.

X

n, entonces las SigUienteS proposiciones

a ) A es ortogonal. h ) &4xll = llxll para todo x en R". c)Ax.Ay=x.yparatodoxyyenR".

Demostración.

Se probará la serie de implicaciones a * b * c

a 3 b : Supóngase que A es ortogonal, demodo que ATA fórmula (8) de la sección 4.1,

b

3 c:

Supóngase que A x

=x

= I.

* a. Entonces por la

para todo x en H". Por el teorema 4.1.6 se tiene

c 3 a: Supóngase que A x * Ay = x fórmula (8) de la sección 4.1 se tiene

*

y para todo x y y en R". Entonces por la

que se puede volvera escribir como x.(A~AY-~)=o

X . ( A ~ A- q Y = o

O

Como la expresión anterior es verdadera para todo x en R", en particular se cumple si x

= (A 7A

-

1)y

de modo que

-

( A ' A- I)y (A 'A

-

/)Y

=O

a partir de lo cual se puede concluir que

(¿por qué?). Así, (2) es un sistema homogéneode ecuaciones lineales que se cumple para todo y en R". Pero esto significa que la matriz coeficientes debe ser cero (¿por qué?), de modo que ATA = I y, en consecuencia,A es ortogonal. 0 Si T:R" 4 R" es la multiplicación por una matriz ortogonal A, entonces T se denomina operador ortogonal sobre R". Por los incisos a ) y 6) del teorema precedente se concluye que los operadores ortogonales sobre R" son precisamente

6.5 Matrices ortogonales; cambio de base / 399

los operadores que no modifican las longitudes de todos los vectores. Como las reflexiones y las rotaciones de R2 y R3 tienen esta propiedad, este hecho explica la observación en el ejemplo 2 de que las matrices estándar para las reflexiones y rotaciones básicas de R2 y R3 son ortogonales. MATRICES DE COORDENADAS

Recordar por el teorema 5.4.1 que si S = {vl, v,, . . . , vn} es una base para un espacio vectorial V, entonces todo vector v en V se puede expresar de manera única como una combinación lineal de los vectores básicos, porejemplo, v

= k,v,

+ k2v2+ . . . + k,V,

Los escalares k,, k,, . . . , kn son las coordenadas de v con respecto a S, y el vector

(v)s = (k,,

k2,

' ' '

>

k,)

es el vector de coordenadas de v con respecto aS. En esta sección será conveniente enumerar las coordenadas como elementos de una matriz n x l . Así, la matriz

se define como la matriz de coordenadasde v con respecto aS. CAMBIO DE BASE

En las aplicaciones es común trabajar conmásdeun sistema de coordenadas, y suele ser necesario conocer la relación entre las coordenadas de un punto o vector fijo y los diversos sistemas de coordenadas. Como el concepto de base es la generalización de un sistema de coordenadas a espacios vectoriales, se llega a considerar el siguiente problema. Problema del cambio de base. Si la base de un espacio vectorial se cambia de cierta base inicial B a una base nueva B', j d m o está relacionada la matriz de coordenadas inicial [vlB de un vector v con la nueva matriz de coordenadas [ v ] ~ , ? 1

Por sencillez, este problema se resolverá para espacios bidimensionales. La solución para espacios n dimensionales es semejante y se deja al lector. Sean

B

= {U,, U*}

y

B'

=

{u;, u;}

las bases inicial y nueva, respectivamente. Serán necesarias las matrices de coordenadas para los nuevos vectores básicos con respecto a la base inicial. Supóngase que las matrices son

400

/


Es decir,

+ bu, = cul + dU2

u; = "U1 u;

Ahora, sea v cualquier vector en V y sea

la nueva matriz de coordenadas, de modo que

Para determinar las coordenadas iniciales de v es necesario expresar v en términos de la base inicial B. Esto se logra al sustituir (4) en ( 6 ) . Así se obtiene v

= k,(au,

+ bu, j + k,(CU, + d U 2 )

O

v

= (k,"

+ k,c)u, + (k,b + k,d)U2

Entonces, la matriz de coordenadas inicial para v es

['IB

=

i"'" + k2c1 k,b + k,d

que se puede escribir como

o bien, por ( 9 ,

Esta ecuación establece que la matriz de coordenadas inicial [VI, se obtiene al multiplicar la nueva matriz de coordenadas [vIBt por la izquierda por la matriz

Las columnas de esta matriz son las coordenadas de los nuevos vectores básicos con respecto a la base inicial [véase (3)]. Así, se tiene la siguiente solución para el problema del cambio de base.


Sulución delproblema del cambio de base. Si se cambia la base para un espacio vectorial, V de una base inicial B = {u1, u2, . . . , U,,}a una base nueva B' = {u;& ,...,un] entonces la matriz de coordenadas inicial [VI, de un vector [VI está relacionada con la nueva matriz de coordenadas [ V ] ~ 'del mismo vector v por medio de laecuación [VIB

= P[VI/?'

(7)

donde las columnas de P son las matrices de coordenadas de los nuevos vectores básicos con respecto a la base inicial; es decir, los vectores columna de P son ]E,[uilE,

MATRICES DE TRANSICI~N

' ' '

>

[uAIB

La matriz P se denomina matriz de transición de B' a B y se puede expresar en términos de sus vectores columna como

Ejemplo 4 Considerar las bases B = {u1, u2} y B' = {u;,ui} paraR2, donde u1 = (1, O);

u2 = (O, 1);

U'(1, 1);

u' = (2, 1)

a) Encontrar la matriz de transición de B' a B b) Por medio de (7), hallar [vIB si

Solución de a), Primero es necesario encontrar las matrices de coordenadas de 10s nuevos vectores básicos u1y u2 con respecto ala base inicial B. Por inspección, I

,

+

u; = u, u2 u; = 2u, + u2

de modo que

Así, la matriz de transición de B' a B es


Solución de b). Mdante (7) y la matriz de transición determinada eninciso el a),

Como comprobación, debe ser posible recuperar el vector v a partir de [vIB o de [ V ] ~ ' .Se al lector demostrar que - 3 u; + 5 u; = u; + 2 u; = v = (7, 2). A

Ejemplo 5 Considerar los vectores u1 = ( 1 , O ) , u2 = (O, I), u; = (1, l), u;,= (2, 1). En el ejemplo 4 se encontró la matriz de transición de la base B' = { ul, u; } para R2 a la base B = (u1 u*>. Sin embargo, también se podría pedir la matriz de transición de B a B'. Para obtener esta matriz, simplemente se cambia el punto de vista y se considera a B' como la base inicial y a B como la base nueva. Como de costumbre, las columnas de la matriz de transición son las coordenadas de los nuevos vectoresbásicos con respecto a la base inicial. Igualando las componentes correspondientes y resolviendo el sistema lineal resultante, el lector debe poderdemostrar que ~

u, = - u ;

+ u;

u2 = 2u;

-

u;

de modo que

Así, la matriz de transición de B a B' es

Si se multiplican entresí la matriz de transición deB' a B obtenida en el ejemplo 4 y la matrizde transición deB a B'obtenida en el ejemplo5, se encuentra

lo cual muestra que Q = Pfortuito.

l.

El siguiente teorema demuestra que este hecho no es

Teorema 6.5.4. Si P es la matriz de transición de una base B' a una base B, entonces: a ) P es invertible. b ) P- es la matriz de transición de B a B'. Demostración. Sea Q la matriz de transición de B a B'. Se probará que PQ entonces se concluirá que Q = P" para completar la demostración.

=Iy


Suponer que B = {ul, u2, . . . , U,} y que

..

Cl I

PQ =

..

C2 I

.. Por (7) rx1B

-:I

Cnn

= p[xlB'

Y [XIB, = Q[xIB

para todo x en V. Multiplicando la ecuación inferior por P por la izquierda y sustituyendo la ecuación superior se obtiene

1 x 1 =~ ~ Q [ X ] B

(9)

para todo x en V. Con x = u1en (9) se obtiene

O

De manera semejante, la sustitución sucesiva de x = u2, . . . , u, en (9) da

. ,... (. '

O

Por consiguiente, PQ =I. En resumen, si P es la matriz de transición de una base B' a una base B, entonces para todo vectorv se cumplen las siguientes relaciones:

... ..

."I

404

I


CAMBIO DE BASE ORTONORMAL

El siguiente teorema muestra que c.11 un espacio con producto interior, la matriz de transición de una base ortonormal a otra es o; togonal. Teorema 6-55. Si P es la maMz de lransición de una base ortonormal a otra base ortorzormal para un espacioconproductointerior, entonces I-' es una matriz ortogonal; es decir,

Demostración. Suponer que Ves un espacio n dimensional con producto interior y que P es la matriz de transición de una base ortonormal B' a una base ortonormal R. Para demostrar que P es ortogonal se aplicará el teorema 6.5.36 y se probará que llPxll = llxll para todo vector x en R". Recordar por el teorema 6 . 3 . 2 ~que para cualquier base ortonormal de V, la norma de cualquier vector u en Ves igual a la norma de su vector de coordenadas en R" con respecto al producto interior euclidiano. Así. para cualquier vector u en I se tiene

donde la primera norma es con respecto al producto interior sobre V y las normas segunda y tercera son con respecto al producto interior euclidiano sobre R". Ahora. sea x cualquier vector en R", y sea u el vector en V cuya matriz de coordenadas con respecto a la base B' es x: es decir, = x. Así, por (12), liull =

ilPxll

IIXII =

con lo que se demuestra que P es ortogonal ROTACIóN DE EJES COORDENADOS

0

Ejemplo 6 (Aplicación a la rotación de ejes de coordenados.) En muchos problemas se proporciona un sistema de coordenadas rectangulares x y , y al mover este sistema en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen por un ángulo se obtiene un nuevo sistema de coordenadas rectangulares x". Cuando se hace lo anterior, cada punto Q en el plano posee dos conjuntos de coordenadas: las coordenadas (x, y ) con respecto al sistema xy y las coordenadas (xt,Y ' ) con respecto al sistema x" (figura la). AI introducir los vectores unitarios u, y u2 a lo largo de los ejes x y y positivos y los vectores unitarios u l y u2 a l o largo de los ejes x' y y' positivos, esta rotación se puede considerar como un cambio de una base inicial B = {u1, u*} a una base nueva B' = { u;, u; } (figura l b ) . Así, las nuevas coordenadas (x'. y ' ) y las coordenadas anteriores (x, y ) de un punto Q están relacionadas por medio de 1

,


[;:I

= p"[

;]

Y

Y

\ "

I '

\ Figura 1

d)

[u;I R =

cos H

[sen

De manera semejante, por la figura Id, se observa que las componentes de u; en la base inicial son cos (O + n12) = -sen O y sen (O + n12) = cos 8, de modo que

1

- sen

[4lS

=

cos

e

Así, la matriz de transici6rl de H ' a E cs 0

-sen 0

sen H

cos 8

COS

I

406 1 Espacios con producto interior

Observar que P es una matriz ortogonal, como seesperaba, ya que B' y B son bases ortonormales. Así, cos O sen 0 -sen O cos O

p-1 = p r =

1

de modo que (13) produce

o bien, de manera equivalente, x' =

y' =

x cos O "x

+ y sen 9

senO+ycos 8

Por ejemplo, si los ejes se hacen girar 8 = n14, entonces como sen:

7T

4

% - 1

= cos - = -

4 v 5

la ecuación (14) se convierte en

[;:I

=

Por tanto, si las coordenadas iniciales de un punto Q son (x, y) = (2, - l), entonces

de modo que las nuevas coordenadas de Q son (x',y') = (11

A- 31a).A

O B S E R V A C I ~ N . Nótese que lamatrizde coeficientes en (14) esigual a la matriz estándar para el operador lineal que hace girar los vectores en R2 por un ángulo -8 (tabla 6 de la sección 4.2). Este hecho era de esperarse, ya que la rotación de los ejes de coordenadas por un ángulo 8 con los vectores de R2 fijos tiene el mismo efecto que hacen girar los vectores por un ángulo -8 con los ejes fijos.


Y

Figura 2

Ejemplo 7 (Aplicación a la rotación de los ejes de coordenadas en el espacio tridimensional.) Suponerque un sistemadecoordenadasrectangulares xyz se hace girar alrededor de su eje z en sentido contrario a las manecillas del reloj (mirando sobre el eje z positivo) por un ángulo 9 (figura 2). Si se introducen los vectores unitarios u , , u2 y u 3 a l o largo de los ejes x, y y z positivos, y los vectores unitarios ul, u2 y u3a lo largo de los ejes x!, y' y z' positivos, la rotación se puede considerar como el cambio de la base anterior B = {ul, u2: u3} a la base nueva B' = { u;, u;, u; >. En vista del ejemplo 6 debe ser obvro que D

1

Además, como u\ se alarga 1 unidad sobre el ejez' positivo, LU;lB =

[!]

Por tanto, la matriz de transición de B' a B es cos 6 P = [sei0

y]

-sen8 O co; 8

y la matriz de transición de B a B' es

cos 8 sen 8 O

(comprobar). Así, las nuevas coordenadas y', z') de un punto Q sepueden calcular a partir de sus coordenadas anteriores (x,y , z ) por medio de (XI,

408

1;

Lspacios con producto interior

cos 0 sen H O -sen8 cos 8 O O o 1

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 6.5 1. Demostrar que

1 2 " 25

5

16 25

es una matriz ortogonal, a) calculando ATA. b) usando el inciso b ) del teorema 6.5. l . c) usando el inciso c ) del teorema 6.5.1. 2. Encontrar la inversa dela matriz del ejercicio l . 3. Determinar cuáles de las siguientes matnces son ortogonales. Para las que sí sean, encontrar la inversa

O

O

1/%6

4. Comprobar que las matrices de rotación y las matrlces de reflexión en las tablas 2 y 3

de l a sección 4.2 son ortogonaies. 5. IIallar la matriz de coordenadas de w con respecto a la base S = {u,.u2} para R2. a) u I = (1, O), u2 = (O, I ) ; w = (3, - 7 ) b) u , = (2, -4), u2 = (3, 8); w = (1, 1) c) 11, = (1, l), u: == (O, 2); w = (a, 6)

6. Encontrar la matriz de coordenadas de v con respecto a la base S = {v,, v2, v3} a) v = (2, - I . 3 ) ; v i = (I,O . O), v2 = ( 2 , 2. O), v3 = ( 3 , 3 , 3) b) v (5, - 12, 3); V , == ( 1 , 2, 3), v 2 z.( "4. 5. 6), ~3 = (7, - S , 9) 7. determinar la matnz decoordenadas de p con respecto a S = { p i , p,, p,} a) p = 4 - 3x + x L ; p I = I , p2 = X , p3= x2 b)p=2--x+x2; p l = l + x , p2=I+x2, p3=~x+x2 8. Encontrar la matriz de coordenadas para A con respecto a S = {A,, A,, A,,A 4 j

O

112 O

6.5 Matrices ortogonales; cambio de base 9. Considerar las matrices de coordenadas

a) Hallar w si S es la base del ejercicio 6(a). b) Encontrar q si S es labase del ejercicio 7(a) c) Determinar B si S es la base del ejercicio 8.

10. Considerar las bases B = {U,, u2} y B' = {vl, v2} para R2, donde

a) Hallar la matriz de transición de B' a B. b) Encontrar la matriz de transición de B a B'. c) Determinar la matriz de coordenadas [w],, donde

y usando (1 I), calcular W ~ I . d) Comprobar las respuestas mediante el cálculo directo de [w],~ 11. Repetir las instrucciones del ejercicio 10 con

; I, +I,

12. Considerar las bases B = {u,,u2, u3} y B' = {vI,v2, v3) para R3, donde ul=[;a].

u2=[

.+], .;=[

a) Encontrar la matriz de transición de B' a B. b) Determinar la matnz de coordenadas [w],, donde

w=[;!] y usando (1 1), calcular [wlBt. c) Comprobar las respuestas mediante el cálculo directo de [w],,. 13. Repetir las instrucciones del ejercicio 12 con el mismo vector w, pero con

3 "1 vj=

l

/'

409

410

/

Espaclos con producto interior

a> Hallar la matriz de transición de B' a B. b) Encontrar la matriz de transición de B a B'. c) Calcular la matriz de coordenadas [pIR,donde p = -4

+ x, y usando 1l), calcular

b1,"

d) Comprobar las respuestas calculando directamente [p],~. 15. Sea Vel espacio generado por f, = sen x y f, = cos x. a) Demostrar que g, = 2 sen x + cos x y g, = 3 cos x forman una base par V. b) Determinar la matriz de transición de B' = {g,,g2) a B = {fl, f,} .

c) Encontrar la matnz de transición de B a B . d) Calcular la matnz de coordenadas [h], , donde h = 2 sen x (1 l), calcular [h],~. e) Comprobar las respuestas calculando directamente [h],~

-

5 cos x, y usando

16. Sea un sistema de coordenadas rectangulares x)' obtenido al girar un sistema de coordenadas rectangulares xy en sentido contrario a las manecillas del reloj por un ángulo 0 = 3~14. a) Determinar las coordenadasx y del punto cuyas coordenadasxy son (-2,6).

b) Encontrar las coordenadas xy del punto cuyas coordenadasx'y' son (5,2). 17. Repetir el ejercicio 16 con O = x13 18. Sea un sistema de coordenadas rectangulares xyz' obtenido al girar un sistema de coordenadas rectangulares xyz en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del eje z (mirando sobre el eje z) por un ángulo 6 = d 4 . a) Encontrar las coordenadas x'y!z' del punto cuyas coordenadasxyz son (- 1,2,5).

b) Determinar las coordenadas xyz del punto cuyas coordenadasxyz' son (1,6,

- 3).

19. Repetir el ejercicio 18 para una rotación de 0 = z13 en sentido contrario a las maneci-

llas del reloj alrededor del ejey (mirando a lo largo del eje y positivo hacia el origen). 20. Repetir el ejercicio 18 para una rotación de B = 3 ~ 1 4en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del eje x (mirando a lo largo del eje x positivo hacia el origen). 21. a) Un sistema de coordenadas rectangulares x'y'z' se obtiene al girar un sistema de

coordenadas xyz en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del eje y por un ángulo O (mirando a lo largo del eje y positivo hacia el origen). Encontrar una matriz A tal que

donde (x, y , z) y ( 2 , y', z') son las coordenadas del mismo punto en los sistemas xyz y x'y'z', respectivamente. b) Repetir el inciso a) para una rotación alrededor del eje x.

6.5 Matrices ortogonales; cambio de base I' 41 1 22. Un sistema de coordenadas rectangularesx'lyIIz'' se obtiene al girar primero un sistema

de coordenadas xyz en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del eje z por un ángulo'de60° (mirando a lo largo del eje z positivo hacia el origen) para obtener un sistema de, coordenadas xyz', y luego al girar el sistema de coordenadasxyz' en sentido contrario alas manecillas del reloj alrededor del eje y por un ángulo de 4 5 O (mirando a lo largo del eje y positivo hacia el origen). Encontrar una matriz A tal que

donde (x, y , z) y (x", y " , z") son las coordenadas q z y x"y"z" y del mismo punto, respectivamente. 23. ¿Qué condiciones deben cumplira y b para que la matriz

[ zz ] sea ortogonal? 24. Demostrar que una matriz ortogonalA tiene una de las dos formas posibles:

cos 0 A = [sen 0

-

sen0 cos 0

1

o

A=

[

cos 0 -sen 0

-senO] - cos 0

donde O S 8 < h. [Sugerencia. Empezar con una matriz general A = (a..) 2 X 2, y I) aplicar el hecho de que los vectores columna formanun conjunto ortogonal enR'.] 25. a) Aplicar el resultado del ejercicio 24 para demostrar que la multiplicación por una matriz ortogonal2 X 2 es una rotación o una rotación seguida de una reflexiónalrededor del eje x. b) Demostrar que la multiplicación por A es una rotación si det(A) = 1 y una rotación seguida de unareflexión si det(A) = - l. 26. Usar el resultado del ejercicio 25 para determinar si la multiplicación por A es una

rotación o una rotación seguida de una reflexión. En cada caso, encontrar el ángulo de rotación.

27. El resultado del ejercicio 25 tiene unanálogoparamatricesortogonales 3 X 3: se puede demostrar que la multiplicación por una matriz ortogonal A 3 X 3 es una rotación alrededor de algún eje fijo si deyA) = 1 y que es una rotación alrededor de algún

eje fijo seguidade una reflexión con respecto a algún planode coordenadas si det(A) = - l . Determinar si la multiplicación porA es una rotación o es una rotación seguida de una reflexión. 3

2

412 iEspacios con producto interior 28. Con el resultado del ejercicio 27 y el inciso b ) del teorema 6.5.2, demostrar que una composición de rotaciones siempre se puede efectuar mediante una simple rotación con respecto a algún eje idbneo. 29. Demostrar la equivalencia de las proposiciones u)y c) del teorema 6.5.1

1

1 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1. Sea conelproducto interior euclidiano. a) Obtener un vector d que sea ortogonal a u1= ( I , O, O, O) y a u4 = (O, O,O, 1) y forme ángulos iguales COR u2 = (O, 1, O, O) y u3 = (O, O, 1 O). b) Encontrar un vector x = (x,, x*, x3, x4) de longitud 1 que sea ortogonal a los vectores u1 y u4 del inciso a) y tal que el coseno del ángulo entre x y u2 sea el doble del coseno del ángulo entre x y u3. 2. llemostrar que si x es un vector diferente de cero en Rn, entonces la matriz n

X

n

es ortogu:;al y simétrica. 3. Sea A x = O un sistema de m ecuaciones con n inc,ógnitas.Demostrar que

es una soluci6n del sistema si y sólo si el vector x = (x,, xz, . . . , x,) es ortogonal a lodo vector renglón de A con el producto interior euclidiano sobre R". 4. Aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para demostrar que si a l , u2, . . . , a , son

números reales positivos, entonces

5. Demostrar que si x y y son vectores en un espacio con producto interior y c es

cualquier escalar, entonces i/cx + y y

= (.2I/xjlZ

+ 2c( x, y ) + I/y/l2

6. Sea R3 con el producto interior euclidiano. Encontrar dos vectores de longitud 1 que sean ortogonales a todos y cada uno de los vectores u , = (1, 1, - I ), u2 = (-2, - 1,2) y u3 = ( - 1 , o, X).

Ejercicios complemenfarios i 413 7. Encontrar un producto interior euclidiano ponderado sobreRn tal que los vectores v , = ( l , O , O , . . . O) )

v , = ( O , ~ , O, . . . , O ) vi = (O, O, v?, . . . , O)

v,

=

(O, O,

o,

. . .,

d i)

formen un conjunto ortonormal. 8. ¿Existe algún producto interior euclidiano ponderado sobre R2 para el que los vectores

(1,2) y (3,

- 1) formen un conjunto ortonormal? Justificar la respuesta.

9. Demostrar: Si Q es una matriz ortogonal, entonces cada elemento de Q es igual a su cofactor si det(Q)= 1 y es el negativo de su cofactor si det(Q) = - l . 10. SI u y v son vectores en un espacio V con producto interior, entonces u, v y u - v se pueden considerar como los lados de un "triángulo" en V (figura 1). Demostrar que la ley de los cosenos se cumple para cualquiera de estos triángulos; es decir, IJu- vil2 = llul12+ llv112 - 2llull llvll cos 8, donde 0 es el ángulo entre u v v.

11. a) En R3, los vectores (k, O, O), (O, k, O) y (O, O, k) forman las aristas de un cubo con diagonal ( k , k, k ) (figura 4 de la sección 3.3). De manera semejante, en Rn,los vectores

se pueden considerar como las aristas de un "cubo" con diagonal (k, k, . . . , k). Demostrar que cada una de las aristas anteriores forma un ángulo igual a Q con la diagonal, donde cos 0 = l 1 6 . b) (Para quienes ya estudiaron Crilculo.)¿Qué sucede con el ángulo Q en el inciso a) cuando la dimensión de Rn tiende a infinito? 12. Sean u y v vectores en un espacio con producto interior. a) Demostrar que llull = Ilvll si y sólo si u + v y u - v son ortogonales.

b) Proporcionar una interpretación geométnca del resultado anterior en R2 con el producto interior euclidiano.

13. Sea u un vector en un espacio V con producto interior, y sea {v,, v2, . . . , vn) una base ortonormal para V. Demostrar que siaies el ángulo entre u + vi, entonces cos2 a , + cos2 ff2

+

' ' '

+ cos2 a, = 1

14. Demostrar: Si (u, v ) ~ y (u, v)* son dos productos interiores sobre un espacio vettorial V, entonces la cantidad (u, v) = (u, Y), + (u, también es un producto in-

terior.

41 4


15. Demostrar que el producto interior sobre Rn generado por cualquier matriz ortogonal es

el producto interior euclidiano. 16. h c o n t r a r a, b y c tales que la matriz

sea ortogonal. ¿Son únicos los valores de a, b y c ? Explicar la respuesta 17. Demostrar el inciso c) del teorema 6.2.5.

7

CAPITULO

EIGENVALORES, EIGENVECTORES 7.1

EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Si A es una matrizn X n y x es un vector enR", entonces no hay ninguna relación geométrica general entre el vector x y el vector Ax vgura la). Sin embargo, a menudo existen ciertos vectores x diferentes de cero tales que x y Ax son múltiples escalares entre si yigura lb). Estos vectores surgen de manera natural en el estudio de vibraciones, sistemas eléctricos, genética, reacciones químicas, mecánica cuántica, esfuerzo mecánico, economía y geometria. En esta sección se mostrará cómo encontrarestos vectoresy , en seccionesposteriores, se abordarán algunas de sus aplicaciones. AX

AX

Figura 1

REPASO DE EIGENVECTORES Y EIGENVALORES

Se empezará con un repaso de algunos conceptos mencionados en las secciones 2.3. y 4.3.

R" se denomina eigenvector de A si Ax es un múltiplo escalar de x; es decir, Ax= Ax

para algún escalar A. El escalar A se denomina eigenvalor de A, y se dice que x es un eigenvector de A correspondiente a A. 415

4I 6

"

Eigenvalores, eigenvectores

En R2 y H 3 , la multiplicación por A mapea cada eigenvector x de A (en caso de haber alguno) sobre la misma recta que pasa por el origen que x. Dependiendo del signo y la magnitud del eigenvalor A correspondiente a x, el operador lineal A x = Ax hace que x se comprima o alargue por un factor A, con un cambio de dirección en caso de que sea R negativo (figura 2).

Ejemplo 1 El vector x =

[:I

es un eigenvector de

correspondiente al eigenvalor , I= 3 , ya que

Para encontrar los eigenvalores de una matriz A n bir como Ax

=

X n , A x = Ax

se vuelve a escri-

dlx

o bien, de manera equivalente.

Para que A sea un eigenvalor, debe existir una solución diferente de cero para esta ecuación. Sin embargo, por el teorema 6.2.7, la ecuación (1) tiene una solución Merente de cero si y sólo si

Esta expresión se denomina ecuaciún caracteristica de A ; los escalares que satisfacen esta ecuación son los eigenvalores de A . Al desarrollar det(A1 - A ) se obtiene un polinomio en A, denominadopolinomio característico deA .

7.I Eigenvalores y eigenvectores / 41 7 Se puede demostrar (ejercicio 15) que si A es una matriz n X n, entonces el polinomio característico de A es de grado n y el coeficiente de 1" es 1; es decir, el polinomio característico de una matriz n x n es de laforma

Por el teorema fundamental del álgebra, la ecuación característica

tiene cuando mucho n soluciones &stintas, por lo que una matriz n X n tiene a lo sumo n eigenvalores distintos. Sería conveniente que el lector revise el ejemplo 6 de la sección 2.3, donde se encontraron los eigenvalores de una matriz 2 X 2 resolviendo la ecuación característica. En el siguiente ejemplo se usa una matriz 3 X 3 . Ejemplo 2 Encontrar los eigenvalores de

Solución. El polinomio característico de A es

A det(A1-A)

= det[

O -4

-1

A

o -

1

17 A - 8

]

= A3 - 8A2

+ 17A-

4

Por consigwente, los eigenvalores de A deben satisfacer la ecuación cúbica

Para resolverestaecuaciónseempezarábuscandosolucionesenteras.Esta sotarea se puede simplificar bastante aprovechando el hecho de que todas las luciones enteras (en caso de que haya) de una ecuación polinomial con coeficientes enteros

A* + C,A"

+ . . + c, = o '

deben ser divisores del término constante, cn. Así, las únicas soluciones enteras posibles de (2) son los divisores de -4, es decir, +1, 22, +_4. Sustituyendo sucesivamente estos valores en (2) se observa que 1 = 4 es una solución entera. En consecuencia, 1 - 4 debe ser un factor del miembro izquierdo de (2). Dividiendo 1 -4 entre A3 -%I2 + 171 - 4 se observa que (2) se puede volver a escribir como

418

Bigenvalores. tigenvectores

(A-4)@-4A+

1)=0

Así. las otras soluciones de (2) satisfacen la ecuación de segundo grado que se

puede resolver aplicando la fórmula cuadrática. Así, los eigenvalores de A son

EIGENVALORES DE MATFUCES TRIANGULARES

Ejemplo 3 Encontrar los eigenvalores de la matriz triangular superior

A=[

0

u22

023

a24

Solucicin. Recordando que el determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal principal (teorema 2.2.2), se obtiene

det(A1 -

=

( A - “ 1 1 ) ( A - “ 2 2 ) ( A - a j j ) ( A- U 4 . l )

Así, la ecuación característica es

(A--u,~)(~~-~~~~~(A~11~3)(A“a,~)=o

y los eigenvalores son

i, = u,,.

A = u:?,

A = 1133,

A = UJJ

que son precisamente los elementos de la diagonal de A . A El siguiente teorema general debe ser evidente a partir de 10s cálculos efectuados en el ejemploprecedente.

Teorema 7.1.1. Si A es una matriz triangular (triangular superior, triangular inferior o diagonal) n X n, entonces los eigenvalores de A son los elementos de la diagonal principal de A .

7.1 Eigenvalores y eigenvectores / 419 Ejemplo 4 Por inspección, los eigenvalores de la matriz triangular inferior

OBSERVACI~N. En problemas reales, la matriz A a menudo es tan grande que el cálculo de la ecuación característica no es práctico. Como resultado, para obtener eigenvalores se aplican varios métodos deaproximación.

EIGENVALORES COMPLEJOS

Es posible que la ecuación caracteristica de una matriz con elementos reales tenga soluciones complejas. Por ejemplo, el polinomio característico dela matriz

es

demodo que la ecuación característica es A2 + 1 = O, cuyas soluciones son los números imaginarios 1 = i y 1 = -i. Así, es forzoso considerar eigenvalores complejos, inclusive para matrices reales. Esto, a su vez, conduce a considerar la posibilidad de espacios vectoriales complejos; es decir, espacios vectoriales en que se permite que los escalares asuman valores complejos. Estos espacios vectoriales se analizarán en el capítulo 10. Por ahora se permitirán eigenvalores complejos, pero el análisis de eigenvectores se limitará a matrices con eigenvalores reales. El siguiente teorema resume el análisis realizado hasta el momento.

Teorema 7.1.2. Si A es una matriz n X n y 1 es un número real, entonces las siguientes proposiciones son equivalentes a) 6) c) 6)

DETJCRMINACIÓN DE BASES

PARA EIGENESPACIOS

A es un eigenvalor de A : El sistema de ecuaciones @I - A)x = O tiene soluciones no triviales En R” existe un vector x diferente de cero tal que Ax = Ax. A es una solución de la ecuación característica det(AI - A ) = O .

Ahora que ya se sabe cómo obtener los eigenvalores, se abordará el problema de determinar eigenvectores. Los eigenvectores de A correspondientes a un eigenvalor son los vectores x diferentes de cero que satisfacenA x = Ax. De manera equivalente, los eigenvectores correspondientes a 1 son los vectores Werentes de cero en el espacio solución de (AI - A)x = O . Este espacio solución se denomina eigenespacio de A correspondiente a A.

420


Ejemplo 5 Encontrar bases para los elgenespacios de

Solucion. LA ecuación característica de A es A3 - 5A2 + SA - 4 = O o bien, en forma factorizada, (A - 1)(A - 2)2 = O (comprobar); así los eigenvalores de -4 son A = 1 y I, = 2, de modo que existen dos eigenespacios de A . Por definición,

es un eigenvector de A correspondiente a A si y sólo si x es una solución no trivial de (11 - A)x = O; es decir, de

Si A

= 2,

entonces ( 3 ) se convierte en

Resolviendo este sistema se obtiene (comprobar) x, = "S,

x2 =

t,

x3 = S

Así, los eigenvectores de A corresponhentes a 1 = 2 son los vectores diferentes de cero de laforma x=[-;]=[-!]+[;];.[

-Y

1

Como

son linealmente independientes, estos vectores forman una base para el eigenespacio correspondiente a A = 2. Si 1 = 1, entonces ( 3 ) se convierte en

7.1 Eigenvalores y eigenvectores / 421

Resolviendo este sistema se obtiene (comprobar)

[";I de modo que

=.y[

-; 1

[-T]

es una base para el eigenespacio correspondiente a L EIGENVALORES DE LAS POTENCIAS DE UN MATRIZ

= l.

A

Una vez que se han determinado los eigenvalores y los eigenvectores deuna matriz A , es fácil encontrar los eigenvalores y los eigenvectores de cualquier potencia entera positiva de A ; por ejemplo, si 1 es un eigenvalor de .4 y x es un eigenvector correspondiente, entonces A2x = A ( A x ) = A(Ax) = A(Ax) = il(dx) = A2x

lo cual demuestra que L2 es un eigenvalor de A 2 y que x es un eigenvector correspondiente. En general, se tiene el siguiente resultado Teorema 7.1.3. Si k es un entero positivo, 1 es un eigenvalor de una matriz A y x es un eigenvector correspondiente, entonces Lk es un eigenvalor de A k y x es un eigenvector correspondiente. Ejemplo 6 En el ejemplo 5 se demostró que los eigenvalores de

son 1 = 2 y L 1, de modo que por el teorema 7.1.3 tanto L l7 = 1 SOR eigenvalores deA7. TambiCn se demostró que x

= 27 =:

128 como 1 =

122 1 Eigenvalores, eigenvectores

son eigenvectores de A correspondientes al eigenvalor A = 2, de modo que por el teorema 7.1.3 también son eigenvectores de A7 correspondientes a 1 = 27 = 128, De manera semejante, el eigenvector

de A correspondiente al eigenvalor A pondiente a A = l7 = 1. A

EIGENVALORES E INVERTIBILIDAD

=

1 también es un eigenvector de A7 corres-

El siguiente teorema establece una relación entre los eigenvalores y la invertibilidad de una matriz.

Teorema 7.1.4. Una matriz cuadrada A es invertible sí y sólo si 1 = O no es un eigenvalor de A . Demostración. Supóngase que A es una matriz n = O es una solución de laecuación característica

X

n y obsérvese primero que A

si y sólo si el término constante c, es cero. Así, basta demostrar que A es invertible si y sólo si cn f O. Pero

o bien, haciendo 1 = O, det(-A)=c,,

o

(-l)”det(A)=c,

Por la última ecuación se concluye que det(A) = O si y sólo si c, vez significa que A es invertible si y sólo si c, f O. 0

=

O, y esto a su

Ejemplo 7 La matriz A del ejemplo 5 es invertible, ya que tiene eigenvalores A = 1 y 1 = 2, ninguno de los cuales es cero. Se deja que el lector verifique esta conclusión demostrando que det(A) Z O. A

7.1 Eigenvalores y eigenvectores / 423 El teorema 7.1.4 permite agregar otro resultado al teorema6.4.5.

RESUMEN

Teorema 7.1.5. Si A es una matriz n X n, y si TA:Un+ R" es la multiplicacrbn por A , entonces las siguientespoposiciones son equivalentes. a) A es Invertible. b ) A x = O sólo tiene la solución trivial. c ) La forma escalonada reducida de A es In, d) A se puede escribir como un producto de matrices elementales. e ) A x = b es consistente para toda matriz b n X 1. fi A x = b tiene exactamente una solución para toda matriz b n X 1 . g ) de@!) f O. h ) El rango de TA es R". i ) TA es uno a uno. j> Los vectores columna de A son linealmente independientes. k ) Los vectores renglón de A son linealmente independientes. I) Los vectores columna de A generan a U". m ) Los vectores renglón de A generan a R". n ) Los vectores columna de A forman una base para R". o ) Los vectores renglón de A forman una base para R". p ) El rango de A es n. q ) La nulidad de A es O. r ) El complemento ortogonal del espacio nulo de A es R". S) El complemento ortogonal del espacio renglón de A es ( O 1. t) A'A es invertible. u ) A = O no es un eigenvalor de A .

Este teorema relaciona los temas más importantes estudiados hasta el momento

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 7.1 1. Encontrar las ecuaciones caracteristicas de las siguientes matnces:

2. Encontrar los eigenvalores de las matrices del ejercicio 1 3. Encontrar bases para los eigenespacios de las matnces del ejercicio 1 4. Determinar las ecuaciones características de las siguientes matrices.

a)

L: 1 11 -2

1 O

424


-4

-2

5. Obtener los eigenvalores de las matrices del ejercicio 4.

6. Hallar las bases de los eigenespacios de las matnces del ejercicio 4.

7. Encontrar las ecuaciones características de las siguientes matrices:

8. Determinar los eigenvalores de las matrices del ejercicio 7.

9. Encontrar las bases de los eigenespacios de las matrices del ejercicio 7

10. Por inspección, hallar los eigenvalores dea lssiguientes matrices:

11. Encontrar los eigenvalores de A' para

O

3

7

0

0

11

O 0 0 12. Encontrar los eigenvalores y bases para los eigenespacios deA25 para -1

A=[-;

-2

-2

-f I]

13. Sea A una matnz 2 X 2. La recta que pasa por el origen de R2 es inwuiante bajo A si

Ax está sobre la recta cuando x también lo está. Encontrar las ecuaciones de las rectas en R2, en casode haberlas, que son invariantes bajo la m a w dada.

14. Encontrar det(A) dadoque A tiene ap@) como su polinomio característico b) p ( a ) = a4 - l 3 7 a) p(a) = a3- 2a2 + l. + 5

+

[Sugerencia Véase la demostración del teorema7.1.4.1

15. Sea A una matriz n

X n. a) Demostrar que el polinomio característico deA es de grado n. b) Demostrar que el coeficiente de 1' en el polinomio Característico es 1.

7.1 Eigenvalores y eigenvectores / 425 16. Demostrar que la ecuación característica de una matriz A 2 como A2 - tr(A)1, + det(A) = O, donde tr(A)es la traza de A.

X

2 se puedeexpresar

17. Usando el resultado del ejercicio 16, demostrar que si

entonces las soluciones dela ecuación característica deA son (u + d ) t v ( u - d)'

+ 4bc I

Usando el resultado anterior, demostrar queA a) tiene dos eigenvalores reales distintos si (a - d)2 + 4bc > O b) tiene un eigenvalor real si (a - d)2 + 4bc = O. c) no tiene eigenvalores reales si (a - q2+ 4bc < O. 18. Sea A la matriz del ejercicio 17. Demostrar quesi (a - d)2 + 4bc > O y b f O, entonces

los eigenvectoresde A correspondientes a los eigenvalores

Al

+d)+v

=$[(u

( u - d ) 2 + 4bc

]

y

/I2

=

[ ( u+ d ) - d ( u - d)2+ 4bc

son

respectivamente. 19. Demostrar: Si a, b, c y d son enteros tales que a + b = c + d, entonces

tiene eigenvalores enteros, a saber, 1,= a + b y L2 ejercicio 17.1

=a

- c.

[Sugerencia Vease el

20. Demostrar: Si 1 es un eigenvalor de una matnz invertible A y x es un eigenvector co-

rrespondiente, entonces 111 es un eigenvalor de A" diente.

y x es un eigenvector correspon-

21. Demostrar: Si 1 es un eigenvalor de A, x es un eigenvector correspondiente y S es un escalar, entonces 1 - S es un eigenvalor de A - SZ y x es un eigenvector correspon-

diente. 22. Encontrar los eigenvalores y bases para los eigenespaciosde

Luego,usando10s ejercicios 20 y 21, encontrar los eigenvalores y basespara eigenespacios de c) A + 21. a) A-'. b) A - 31.

10s

326

,/


23. a) Demostrar que si A es una matriz cuadrada, entonces A y AT tienen los mismos eigenvalores. [Sugerencia Considerar la ecuación característica det(A.1 - A) = O.] b) Demostrar que A y AT no necesariamente tienen los mismos elgenespacios. [Sugerencia IJsando el resultado del ejercicio 18, encontrar una matnz 2 X 2 para la cual A y AT tengan eigenespaclos diferentes.I

7.2 DIAGONALIZACI~N En esta sección se vera cómo encontrar un base para R" integrada por eigenvectores de una matpiz dada A n x n. Las bases se pueden usar para estudiar las propiedades geométricas de A y para simplrficar varios cálculos numéricosdonde aparece A . Estas bases también revisten importanciaJsica en una amplia gama de aplicaciones, algunas de las cuales serán consideradas después en este texto.

EL PROBLEMA DE LA DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES

El objetivo principal de esta sección es mostrar que los dos problemas siguientes, que a simplc vista parecen muy diferentes, en realidad son equivalentes. Problema del eigenvector. Dada una matriz A n R" integrada por eigcnvectores de A?

X

n, jexiste una base para

Problema de diagonalización (Forma matriciag. Dada una matriz A n jexiste una matriz invertible P tal que P-IAP sea una matriz diagonal?

X

n,

El segundo problema sugiere la siguiente terminología.

Definición. Se dice que una matriz cuadrada A es diagonalizable si existe una matriz invertible P tal que P"AP es una matriz diagonal; se &ce que la matriz P diagonaliza a A , El siguiente teorema muestra que el problema del eigenvector y el problema de diagonalización son equivalentes. Teorema 7.2.1. Si .-I es una matriz n s o n equivalentcs.

X

n. entonces las siguientes proposiciones

a ) A es diagona/izahle. h ) '4 lime n eigenvectores linealrnente independientes.

Demostración de a +-6): Como se supone que A es diagonalizable, entonces existe

una matriz invertible

7.2 Diagonalización / 427

P=

PI1

PI2

'..

P21

P22

...

Pnl

Pn2

' ' '

tal que P-lAP es diagonal, por ejemplo,P- 'AP = D, donde

D=

Por la fórmula P-'AP

=D

se deduce que A P = PD; es decir,

Si ahora p,, p,, . . . , p, denotan los vectores columna de P, entonces por ( I ) las columnas sucesivas de A P son Alpl, A,p,, . . . ,Anp,. Sin embargo, por la fórmula ( 3 ) de la sección 1.3, las columnas sucesivas de A P son Ap,, Ap,, . . . , Ap,. Así, se debe tener AP,

= alp,,

A P , = il2p-2, . .

3

AP,

Anpn

(2 1

7

Como P es invertible, no todos sus vectores columna son cero; así, por (2) se concluye que A,, A,, . . . , A, son eigenvalores de A, y que p l , p,, . . . , p, son los eigenvectores correspondientes. Como P es invertible, por el teorema 7.1.5 se concluye que p l , p,, . . . , p, son linealmente independientes. Por tanto, A tiene n eigenvectores linealmente independientes. b * a: Supóngase que A tiene n eigenvectores linealmente independientes, p,, p2, . .. . , p,, con los eigenvalores correspondientesA,, A,, . . . , A,, y sea

PI1

PI2

P2l

P22

P ~ IP n 2

'.'

.

' '

' "

Pnn

la matriz cuyos vectores columna son p,, p,, . . . , p,. Por la fórmula ( 3 ) de la sección 1.3, los vectores columna del producto A P son

428


Pero

de modo que

AP

=

donde D es la matriz diagonal que tiene los eigenvalores A,, A 2 , . . . , A, sobre la diagonal principal. Como los vectores columna de P son linealmente independientes, P es invertible; así, (3) se puede volver a escribir como P-lAP = D; es decir, A es diagonalizable.

u

PRQCEDIMIENTO PARA DIAGONALEAR UNA MATRIZ

El teorema precedente garantiza que una matriz A n X n con n eigenvectores linealmente independientes es diagonalizable, y la demostración proporciona el siguiente método para diagonalizar a A .

I Paso 1. Paso 2. Paso 3.

Encontrar n eigenvectores linealmente independientes de A, por ejemplo, pl, P,, . .. . , P,. Formar la matriz P con pl, p2, . _.. , p, como sus vectores columna. Entonces, la matriz P"A P será diagonal con Al, A,, . . . , A, como sus elementos diagonales sucesivos, donde A, es el eigenvalor correspondiente a p, para i = 1, 2, . . . ,n.

Para efectuar elpaso 1 de este procedmiento, primero es necesario determinar si una matriz dada A n x n tiene n eigenvectores linealmente indepenlentes, y luego se requiere un método para encontrarlos. Ambos problemas se pueden manejar a la vez determinando las bases de los eigenespacios de A . Después, en esta sección se mostrará que los vectores básicos, como conjunto combinado, son linealmente independientes, de modo que si en total hay n vectores así, entonces A es diagonalizable y los n vectores básicos se pueden usar como los vectores columna de la matriz de diagonalización P. Si hay menos de n vectores bhsicos, entonces la matriz A no es diagonalizable.

7 . 2 Diagonalización / 429

Ejemplo 1 Encontrar una matriz P que diagonalice a

Solución. En el ejemplo 5 de la sección precedente, se encontró que la ecuación característica de A es

(A - l)(A - 2)* = o

=[-;I,

y se determinaron las siguientes bases para los eigenespacios:

L=2:

p,

p2=[;]

En total hay tres vectores básicos, de modo que la matriz A es diagonalizable y

diagonaliza a A . Como comprobación, el lector debe verificar que 1

p-lAp=[-:

o

- ~ ] [;~ :I[ ; 2

0

0 - 2

-1

0 - 2

:I=[:: ;

2 0 0

;]A

No existe ningún orden de preferencia para el orden de las columnas de P. Como el i-ésimo elemento de la diagonal de P-lAP es un eigenvalor para el iésimo vector columna de P, al cambiar el orden de las columnas de P simplemente se cambia el orden de los eigenvalores sobre la diagonal de P-lAP. Entonces, si en el ejemplo 1 se hubiera escrito -1

P=[

En el ejemplo 1 se hubiera obtenido

-2

o ; ;]

430


o o

2

Ejemplo 2 Encontrar una matriz P que diagonalice a

Solución.

El polinomio característico de A es A-1 det(A.l-~A)= - 1 3

o

O

A-2 -5

O 1-2

= ( A - l)(A-2)2

de modo que la ecuación característica es

( A - 1 ) ( A 2)* = o -

Así, los eigenvalores de A son il = 1 y 1 = 2. Se deja para el lector demostrar que bases para los eigenespacios son

Como A es una matriz 3 no es diagonalizable.

X

3 y en total sólo hay dos vectores básicos, entonces A

Otra solución. Si sólo se quiere determinar si una matriz es diagonalizable y no importa determinar realmente una matriz de diagonalización P, entonces no es necesario calcular las bases de los eigenespacios; basta encontrar las dimensiones de los eigenespacios. Para este ejemplo, el eigenespacio correspondiente a A = 1 es el espacio solución del sistema

La matriz de coeficientes tiene rango 2 (comprobar). Así, la nulidad de esta matriz es 1 y, por el teorema 5.6.4, el espacio solución es unidimensional. El eigenespacio correspondente a il= 2 es el espacio solución del sistema

7.2 Diagonalización / 431

Esta matriz de coeficientes también tiene rango 2 y nulidad 1 (comprobar), de modo que el eigenespacio correspondiente a A = 2 también es unidimensional. Como los eigenespacios producen un total de dos vectores básicos, la matriz A no es diagonalizable. A En el ejemplo 1 se establece la hipótesis de que los vectores columna de P, que están integrados por vectores básicos de los distintos eigenespacios de A , son linealmente independientes. En el siguiente teorema se aborda esta cuestión. Teorema 7.2.2. Si v l , v,, . . , vk son eigenvectores de eigenvalores distintos A,, A,, . . ,A,, entonces { v ~v,, , . linealmente independiente.

A correspondientes a

,

,

, ,

, vk}es un conjunto

Demostración. Sean vl, v,, . . . , vk los eigenvectores de A correspondientes a eigenvalores distintos A,, A,, . . . , A,. Se supondrá que v19v,, . . . , vk son linealmente dependientes y se llegará a una contradicción. Entonces la conclusión será que v l ,v,, . . . ,vk son linealmente independientes. Como por definición un eigenvector es diferente de cero, {vl }es linealmente independiente. Sea r el mayor entero tal que { v , , v,, . . . , vr} sea linealmente independiente. Como se está suponiendo que {vl, v,, . . . , vk} es linealmente dependiente, r satisface 1 5 r < k. Además, por la definición de r, { v l ,v,, . . . , vr+,} es linealmente dependiente. Así, existen escalares c,, c, . . . , c,.+~, notodos iguales a cero, tales que CIVl

+ c2v* +

' ' '

+ e,.+ ]V,..+

I

=

o

(4)

Multiplicando por A ambos miembros de(4) y usando

se obtiene ClA1V,

+ c2A,v, +

' ' '

+ cy+lAr+]V,+

Multiplicando por Ar+, ambosmiembrosde resultante, se obtiene

1

=

o

(5)

(4) y restando de (5) la ecuación

Como { v l ,v,, . . . , vr} es un conjunto linealmente independiente, esta ecuación indica que

132


y como Al, A2, . . . ,

son distintos, seconcluye que c,="z="'=cr=()

Sustituyendo estos valores en (4) se obtiene

Como el eigenvector v,.+~es diferente de cero, se concluyeque

Las ecuaciones (6) y (7) contradicen el hecho de que no todos los c l , c 2., . . , c,+,, son cero; esto completa la demostración. 0 OBSERVACI~N. El teorema 7.2.2 es un caso especialde un resultado más son eigenvalores distintos y que en cada general: Supóngase que A,, ,I2, . . . uno de los eigenespacios correspondientes se elige un conjunto linealmente independiente. Si después estos vectores se unen en un solo conjunto, el resultado aún es un conjunto linealmente independiente. Por ejemplo, si se eligen tres vectores linealmente independientes de un eigenespacio y dos vectores linealmente independientes de otro, entonces los cinco vectores forman un conjunto linealmente independiente. Se omite la demostración.

,,I,

Como una consecuencia del teorema 7.2.2 se obtiene el siguiente resultado importante. Teorema 7.2.3. Si una matriz A n A es diagonalizable.

X

n tiene n eigenvalores distintos, entonces

Demostración. Si v l , v2, . . . , v, son los eigenvectores correspon&entes alos eigenvalores distintos Al, A,, . . . , An, entonces por el teorema 7.2.2 se tiene que vl, v2, . . . , v, son linealmente independientes. Así, A es diagonalizable debido al teorema 7.2.1. 0

Ejemplo 3 En el ejemplo 2 de la sección precedente se vio que

tiene tres eigenvalores distintos, A A es diagonalizable. Además,

= 4,

A

=

2

+ fi,A

=

2 - A.Por consiguiente,

7.2 Diagonalización / 433 4

0

o

o

:I

2-v3

para alguna matriz invertible P. Sise desea, la matriz P puede determinarse usando el metodo del ejemplo 1 de esta sección. A

Ejemplo 4 Por el teorema 7.1.1, los eigenvalores de una matriz triangular son los elementos desu diagonal principal. Así, una matriz triangular con elementos distintos en la diagonal principal es diagonalizable. Por ejemplo, -

A=[

-2

es una matriz diagonalizable. A

MULTIPLICIDAD GEOMÉTRICA Y MULTIPLICIDAD ALGEBRAICA

El teorema 7.2.3 no determina completamente el problema de diagonalización, ya que es posible que una matriz A n X n sea diagonalizable sin tener n eigenvalores distintos. En el ejemplo 1 se vio esto, donde la matriz dada 3 X 3 tenía sólo dos eigenvalores distintos, a pesar de lo cual era diagonalizable. Lo que realmente importa para que una matriz sea diagonalizable son las dimensiones de los eigenespacios: la suma de estas dimensiones debe ser cuando mucho n a fin de que una matriz n X n sea diagonalizable. Los ejemplos 1 y 2 ilustran este hecho, las matrices de estos ejemplos tienen la misma ecuación característica y los mismos eigenvalores, pero la matriz del ejemplo 1 es diagonalizable porque la suma de las dimensiones de los eigenespacios es 3, y la matriz del ejemplo 2 no es diagonalizable porque la suma de las dimensiones de los eigenespacios sólo es igual a 2. La profundización en el estudio de las condiciones para diagonalización se deja para cursos más avanzados, aunque se mencionará un teorema importante que dará una comprensión más completa de las condiciones. Se puede demostrar que si A. es un eigenvalor de A , entonces la dimensión del eigenespacio que corresaparece como factor ponde a Ao.no puede exceder el número de veces que A - io en el polinomio característico de A . Así, en los ejemplos 1 y 2 elpolinomio característico es

(A- ])(A- 2 ) 2 Por tanto, el eigenespacio correspondiente a A = 1 es cuando mucho (y, por tanto, exactamente) unidimensional y el eigenespacio correspondiente a A= 2 es a lo sumo bidimensional. En e! ejemplo 1, el eigenespacio correspondiente a A = 2 en realidad es de dimensión 2, lo cual da por resultado condiciones para la diagonalización, pero en el ejemplo 2 el eigenespacio sólo es de dimensión 1, lo cual indica que no hay condiciones para la diagonalización. Existe una terminología que relaciona las ideas anteriores. Si A. es un eigenvalor de una matriz A n X n, entonces la dimensión del eigenespacio corres-

434

,'

Eigenvalores,eigenvectores

pondiente a ,lo se denomina multiplicidad geométrica de A, y el número de veces que A - ,lo aparece como factor en el polinomio característico de A se denomina mulfiplicidad algebraica de A . El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, resume el análisis precedente. Teorema 7.2.4. Si A es una matriz cuadrada, entonces: a ) Para todo eigenvalor de A la multiplicidad geométrica es menor o igual que la multiplicidad algebraica. 6 ) A es diagonalizable si y sólo si la multiplicidad geométrica es igual a la multiplicidad algebraica para todo eigenvalor.

CÁLCULO DE LAS POTENCIAS DE UNA MATRIZ

En matematicas aplicadas se presentan muchos problemas en los que es necesario calcular potencias grandes de una matriz cuadrada. Esta sección concluirá mostrando cómo se puede usar la diagonalización para simplificar los cálculos. Si A es una matriz n X n y P es una matriz invertible, entonces (P"AP)2

= P"APP"AP

=P-

' A M P = P"A2P

De manera más general, para cualquier entero positivo k (8)

' A P ) k ( P - ' A k P= P -

Por la ecuación (8) se concluye que si A es diagonalizable y P-lAP matriz diagonal, entonces 'AkP-

lAP)k = (P

=

di

=

D es una (9)

DespejandoA k de esta ecuación se obtiene I

I

La última ecuación expresa la k-ésima potencia de A en términos de la k-ésima potencia de la matriz diagonal D. Pero calcular dc es fácil; por ejemplo, si O

4 O

entonces

...

7.2 Diagonalización / 435 Ejemplo 5 Usando (lo), encontrar A 13, donde

i]

o

A=[!

-2

Solución. En el ejemplo 1 se mostró que la matriz A es diagonalizada por

o

-1

:

-2

:I

y]

D=P"..=[:

2 0 0

Así, por (lo),

[-p A [

o

A'3=PD13P"

=

- 8190

:l[:

-2

O

213

o :3

:'.I[-: o

1

0 1 0

2 I] -1

(11)

-16382

8191 8192

=

8191

O

16383

Con el método del ejemplo precedente casi todo el trabajo consiste en diagonalizar A . Una vez hecho ésto, se puede usar para calcular cualquier potencia de A . Así, para calcular A loo0 basta cambiar el exponente de 13 a 1000 en laexpresión (11). OBSERVACI~N.

EJERCICIOS DE LA SECCION 7.2 1. Sea A una matriz 6 X 6 con ecuación característica12(1- 1)(A las dimensiones posibles para los eigenespacios deA? 2. Sea

- 2)3 = O. ¿Cuáles son

a) krlxwnlrar los eigellvalores de 11. b) Para cada eigenvalor 1, determinar el rango de a l matriz111 - <4 c) ¿,Esdiagonalizable A? Justificar In respuesta.

En los qercicios del 8 al 1 1. hallar una matriz P que diagonalice a A, y determinar P" AP.

3 cncontrar una matri7 P que diagonalice a A , y determinar P"AP

'I o3

18. Con el mktodo del ejercicio 5 , calcular A", donde

19. Usar el metodo del ejercicio 5 para calcular A", donde

A=

[-A

: -"]

o

15

-2

20. En cada inciso, calcular la potencia indicada de

21. Encontrar 4 "

SI II

3

es un entero positlvo y -1

4j o

7.3 Diagonalización ortogonal / 43 7 22. Sea

Demostrar las siguientes proposiciones: -+ 4hc > O. a) A es diagonalizable si (a b) A no es diagonalizable si (a - 4' + 4hc < O. [Sugerencia.Véanse los ejercicios 17 y 18 de la sección 7.1 . ] 23. En el caso en que la matnz A del ejercicio 22 es diagonalizable, encontrar una matriz P que diagonalice a A . 24. Demostrar que si A es una matriz diagonalizable, entonces el rango de A es el número de eigenvalores diferentes de cero de .4. 25. Demostrar: Si A es invertible y diagonalizable, entonces A" es diagonalizable y una

matriz P que diagonalice a A también diagonaliza a A".

7.3 DIAGONALIZACIÓN ORTOGONAL En esta sección se abordará el problema de determinar una base ortonormal para R" con el producto interior euclidiano,integrada por eigenvectores de una matriz dada A n x n. Eltrabajo ya realizado sobre matricessimétricas y matrices ortogonales desempeñará un papel importante aquí.

PROBLEMADE LA DIAGONALIZACION ORTOGoNAL DE UNA MATRIZ

es demostrar que los dosproblemas siguientes

El primer objetivodeestasección son equivalentes.

Problema del eigenvector ortonormal Cada una matriz A de n x n, ¿existe una base ortonormal para R" con el producto interior euclidiano integrada por eigenvectores de A? ~~~~

~~

Problema de la diagonalización ortogonal vorma matricial). Dada una matriz A n X n, ¿existe una matriz ortogonal P tal que la matriz P"AP = PTAP es diagonal? En caso de que exista la matriz. entonces se dice que A es diagonalizable ortogonalmente, y se dice que P diagonaliza ortogonalmente a A .

Para el segundo problema es necesario considerar dos preguntas' e o

¿Qué matrices son diagonalrmbles ortogonalmente? LCómo encontrar una matriz ortogonal a fin de efectuar la diagonalización?

438 / Eigenvalores, eigenvectores

Con respecto a la primera pregunta, se observa que no hay ninguna posibilidad de diagonalizar ortogonalmente una matriz A a menos de que A sea simétrica (es decir, A =AT).Para darse cuenta de este hecho, supóngase que P'AP

=D

(1)

donde P es una matriz ortogonal y D es una matriz diagonal. Como P es ortogonal, PPT = PTP = I, de modo que (1) se puede escribir como

Como D es una matriz diagonal, se tiene D ambos miembros de (2) se obtiene

=

DT,de modo que al transponer

A T = (PDPT)T= (PT)TDTPT = PDPT = A

así que A debe ser simétrica. CONDICIONES

PARA DIAGONALIZACI~N ORTOGONAL

El siguiente teorema muestra que toda matriz simétrica es, de hecho, diagonalizable ortogonalmente. En este teorema, y durante el resto de esta sección, ortogonal sigruficará ortogonal con respecto al producto interior euclidiano sobre R"

Teorema 7.3.1. Si A es una matriz n x n, entonces las siguientes proposiciones son equivalentes. a) A es diagonalizable ortogonalmente. b) A tiene un conjunto ortonormal de n eigenvectores. c> A es simétrica.

Demostración de a * 6: Como A es diagonalizable ortogonalmente, existe una matriz ortogonal P tal que P"AP es diagonal. Como se vio en lademostración del teorema 7.2.1, los n vectores columna de P son eigenvectores de A . Puesto que P es ortogonal, estos vectores columna son ortonormales (véase el teorema 6.5.1), de modo que A tiene n eigenvectores ortonormales. b * a Supóngase que A tiene un conjunto ortonormal de n eigenvectores { p p2, . .. . , p,}. Como se vio en la demostración del teorema 7.2.1, la matriz P con estos eigenvectores como columnas diagonaliza a A. Debido a que estos eigen-

vectores son ortonormales, P es ortogonal y, por tanto, diagonaliza ortogonalmente aA. a * c) En la demostración de a * b se probó que una matriz A n x n diagonalizable ortogonalmente es dagonalizada ortogonalmente por una matriz P n X n cuyas columnas forman un conjunto ortonormal de eigenvectores de A . Sea D la matriz diagonal

7.3 Diagonalización ortogonal / 439 D = P “AP Así, A

= PDP-]

o bien, ya que P es ortogonal, A

= PDPT

Por consiguiente, A T = (POPT)’= PDTPT= PDPT= A

lo cual demuestra que A es simétrica. c + a ) La demostración de esta parte rebasa el alcance de este texto, por lo que se omitirá. 0

ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS MATRICES SIMÉTRICAS

El siguiente objetivo es establecer un procedimiento para diagonalizar ortogonalmente una matriz simétrica, pero antes de hacerlo se requiere un teorema crucial sobre eigenvalores y eigenvectores de matrices simétricas. Teorema 7.3.2. Si A es una matriz simétrica, entonces: a ) Todos los eigenvalores de A son números reales. 6) Eigenvectores de eigenespacios diferentes son ortogonales. Demostración de a).La demostración del inciso a ) , que requiere resultados sobre espacios vectoriales complejos, se analizará en la sección 10.6. Demostración de 6). Sean v1 y v2 eigenvectores correspondientes a eigenvalores distintos A , y A, de la matriz A . Se quiere demostrar que v, v, = O. La demostración de este hecho requiere empezar con la expresión Av, * v,. Por la fórmula (8) de la sección 4.1 y la simetría de A se concluye que

Pero v, es un eigenvector de A correspondiente a Al y v2 es un eigenvector de A corresponhente a A,, de modo que (3) produce la relación A , V ] . v2 = V ]

que se puede volvera escribir como

A*vz

-130

Eigenvalores, eigenvectores ( A

-

A2)(VI

.v2) =o

(4)

Pero A l - 1, f O, ya que se supone que A, y A2 son distintos. Así, por (4) se concluye que v1 v2 = O. 0 +

O B S E R V A C I ~ N . El lector

debe recordar que hasta el momento se ha supuesto que todas las matrices tienen elementos reales. De hecho, en el capitulo 10 se verá que el inciso a) del teorema 7.3.2 es falso para matrices con elementos complejos.

DIAGONALIZACION DE MATRICES SIMÉTRICAS

Como una consecuencia delteorema precedente se obtiene el siguiente procedimiento para diagonalizar ortogonalmente una matriz simétrica.

Paso 1. Baso 2. Paso 3.

Encontrar una base para cada eigenespacio de A . Aplicar el proceso de Gram-Schmidt a cada una de estas bases a fin de obtener una base ortonormal para cada eigenespacio. Formarlamatriz P cuyas columnasson los vectores básicos obtenidos en el paso 2; esta matriz diagonaliza ortogonalmente a A .

La justificación de este procedimiento debe ser evidente: El teorema 7.3.2 asegura que los eigenvectores de eigenespacios drferenfes son ortogonales, mientras que la aplicación del proceso de Gram-Schmidt asegura que los eigenvectores obtenidos del murno eigenespacio son ortonormales. Así, todo el conjunto de eigenvectores obtenidos con este procedimiento es ortonormal.

Ejemplo 1 Encontrar una matriz ortogonal P que diagonalice a

Soluci6n.


det(A1-A)=det

["-: 1: -2

A-4

-2

=(A-2)2(A-8)=0

Así, los eigenvalores de A son A = 2 y il = S. Por el método usado en el ejemplo S de la sección 7.1, se puede demostrar que uF[-;]

y

%=[

-;]

7.3 Diagonalizacidn ortogonal / 441 forman una base para el eigenespacio correspondiente a X = 2. Aplicando el proceso de Gram-Schmidt a {u1, u2$ se obtienen los siguientes eigenvectores ortonormales (comprobar):

v,

[

=

-

l/v? y

l/ofi]

El eigenespacio correspondiente a X

=8

v2=

tiene a

como base. Aplicando el proceso de Gram-Schmidt a {u3} se obtiene

I

Finalmente. usando a v l , v2 y v3 como vectorescolumna se obtiene -l/u2 l/v?

p = [

-116 116

l/V5 l/v3

2 / d

1/%5

-

O

que diagonaliza ortogonalmente a A . (Como comprobación, el lector debe verificar que PTAP es una matriz diagonal.) A

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 7.3 1. Encontrar la ecuación característica de la matriz simétrica dada, y luego por inspección

determinar las dimensiones de los eigenespaclos

df

2

: '1 2

4

4

4

0

0

e ) [4 O o] 0 0 0 0 0 0 0 0

f)

o

[-: ; 2

0

-1

0

; -I

-;I

En los ejercicios del 2 al 9, encontrar una matriz P que diagonalice ortogonalmente a A , y determinar P"AP.

442 / Eigenvalores, eigenvectores

6. A =

[

1 1 0 I 1 O] O 0 0

‘1

::

I!]

7. A = [ : !

-7

3 1 0 0

8. A = [ ’ O 0 o0 0

9. A = [

O 0 0 0 10. Suponiendo que b f O, encontrar una matriz que diagonalice ortogollalmente a

11. Demostrar que si A es cualquier matnz m ortonormal de n eigenvectores.

X

para matrices simétncas 2

X

O

n, entonces ATA tiene un conjunto

12. a) Demostrar que si v es cualquier matnz n X 1 e I es lamatrizidentidad entonces Z - w Tes diagonalizable ortogonalmente. b) Encontrar una matrizP que diagonalice ortogonalmente aI - w Tsi

13. Usando el resultado del ejercicio

n

X

n,

17 en la sección 7.1, demostrar el teorema 7 . 3 . 2 ~

2.

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1. a) Demostrar que si O < 0 < n,entonces A=

[

1

cos 0

-sen 0

sen 8

cos 8

24O

no tiene eigenvalores y en consecuencia no tiene eigenvectores. b) Proporcionar una explicación geométrica del resultado del inciso a) 2. Encontrar los eigenvalores de

con elementos no negativosen la diagonal principal, entonces existe una matriz S tal que S’ = D. b) Demostrar que si A es una matriz diagonalizable con eigenvalores no negativos, entonces existe una matnz S tal que S’ = A . c) Encontrar una matriz S tal que S’ = A si

3. a) Demostrar que si D es unamatrizdiagonal

O

O

O - 70 7 O 2 4

24 O 7

24

Ejercicios complementarios / 443 4. a) Demostrar: Si A es una matriz cuadrada, entonces A y AT tienen los mismos eigen-

valores. b) Demostrar que A y AT nonecesariamentetienenlosmismoseigenvectores. [Sugerencia Usando el ejercicio 18 de la sección 7.1, encontrar una matriz A 2 tal que A y AT tengan eigenvectoresdiferentes.]

X

2

5. Demostrar: Si A es una matriz cuadrada y p(1) = det(1Z - A ) es el polinomio característico de A, entonces el coeficiente de 1"" enp(1) esel negativo dela traza deA .

6. Demostrar: Si b

O, entonces

#

no es diagonalizable. 7. En algebra lineal avanzada se demuestra el teorema de Cayley-Hamilton, que establece que una matriz cuadradaA satisface su ecuación característica;es decir, si

co+cla+c~a~+~~~+c~~,~-~+a~=o es la ecuación característica de A , entonces col

+ c,A + c2A2+ . . . + cn- ,A"-' + A" = O.

Comprobar este resultado para O

1

1

-3

0

3

En las ejercicios 8, 9 y 10, usar el teorema de Cayley-Hamilton enunciado en el ejercicio7. 8. Usando el ejercicio 16 de la sección 7.1, demostrar

paramatrices2

X

el teoremadeCayley-Hamilton

2.

9. El teorema de Cayley-Hamilton proporciona un método eficiente para calcular potencias de una matnz. Por ejemplo, si A es una matriz2 X 2 con ecuación característica co

+

entonces cJ

+

a2

=o

+ c,A + A2 = O, de modo que

A 2 = -cIA - c o l

Multiplicando todo por A se obtiene A3 = -c,A2 - e&, que expresa A3 en términos de A2 y A , y multiplicando todo por A2 se obtiene A4 = -c1A3 - c a z , que expresa A4 en términos de A3 y A2. Continuando de esta manera es posible calcular potencias consecutivas deA expresándolas simplemente en términos de potencias inferiores. Usando este procedimiento, calcular A2, A 3 , A4,

y

As

444 1 Eigenvalores, eigenvectores

para

10. Usando el método del ejercicio precedente, calcularA3 y A4 para

11. Encontrar los eigenvalores de la matriz

12. a) En elejercicio 15 de la sección 7.1 se demostró que si A es unamatriz n X n, entonces el coeficiente de A" en elpolinomio característico de A es 1. (Un polinomio con esta propiedad se denomina mdnico.) Demostrar que la matriz

demuestraque todo polinomio mónico esel polinomio característico de alguna matriz. La matriz de este ejemplo se denomina mutriz acompmlunfe de p(ll). Sugerencia Evaluar todos los determinantes del problema sumando un múltiplo delsegundorenglónalprimerrenglón a fm de introducir un cero en la parte superlor de la primera columna, y luego desarrollar por cofactores a lo largo de la primera columna b) Encontrar una matriz con polinormo característico p(L) = 1 - U + ,I2 + 3L3 + 1'. 13. Una matm cuadrada A se denomina nilpotente si A" = O para algún entero positivo n.

¿,Quépuede afirmar el lector sobre los eigenvalores de una matriz nilpotente? 14. Ikmostrar: Si A es una matriz n

X II y n

es impar, entonces A tiene por lo menos un

eigenvalor real.

15. Encontrarunamatriz A de 3 elgenvectores correspondientes

respectivamente.

X

3 que tenga los eigenvalores 1 = O, 1 y

- 1 con

Ejercicios complementarios / 445 16. Supóngase que una matriz A 4 X 4 tiene los eigenvalores A l = 1, l 2= -2, 1, = 3 y = -3. a) Usando el ejercicio 14 de la sección 7.1, encontrar dei;.A). b) IJsando el ejercicio 5 de esta sección, determinar tr(A). 17. Sea A una matriz cuadrada

elgenvalores de A?

tal que A3 = A. ¿Qué puede afirmar el lector sobre los

8

CAPITULO

TRANSFORM4CIONES LINEALES 8.1

TRANSFORMACIONESLINEALESGENERALES En las secciones 4.2 y 4 . 3 se estudiaron Iransformaciones lineales de R" a R". En esta sección se definirán y estudiarán transformaciones lineales de un espacio vectorial V a un espacio vectorial W. Los resultados tienen aplicaciones importantes en fisica, ingeniería y varias ramas de las matemáticas.

DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA

Recuérdese que una transformación lineal de R" a Rm se definió como una función w , , x2,

. . . ,x,)

=(

y , w2,. . . , w m )

en la cual las ecuaciones que relacionan a wl, w2,. . . , wm y xl, xz, . . . , x, son lineales. Luego se demostró que la transformación T:Rn i* R" es lineal si y sólo si a ls siguientes relaciones se cumplen para todos los vectores u y v en R" y cualquier escalar c (véase elteorema 4.3.2): T(u + v) = T(u) + T(v) T(cu) = cT(u) Definición. Si T:V * W es una función de un espacio vectorial V a un espacio vectorial W, entonces T se llama transformación libzealde Va W si para todos los vectores u y v de V y todos los escalares c se cumple que

+

a) T(u v) = T(u) b) T(cu) = cT(u)

+ T(v)

En el caso especial donde V = W, la transformación lineal T:V * V se denomina operador lineal sobre V. 44 7

Estas propiedades se usarán como punto de partida para el estudio de las transformaclones linealcs generalcs. EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES

E,jemplo 1 Debido a que la definiciónanteriordetransformaciónlinealsebasaenel teorema 43.2, l a s transformacioneslinealesde R" aR",segúnsedefinieronenla sección 4.2, también son transformaciones lineales bajo esta definición más general. A las transformacioneslinealesde Hn a R" selesllamará trunsformucwnesmatricides, ya que se pueden efectuar por m d o de multiplicación de matrices. A Ejemplo 2 Sean G ' y E' dos espacios vectoriales cualesquiera. El mapeo T:V + W tal que ?'(v) = O para todo v en V es una transformación lineal denominada transformación cero.Para darse cuenta que 7' es lineal, obsérvese que

P(u + v ) = o, 7'(u) = o.

T(v) = o,

y

T ( k u )= o

Por consiguicnte. T ( u + V) = T ( u ) + T ( v )

y

T ( k u )= k T ( u ) A

Ejemplo 3 Sea J'cualquier espacio vectorial. El mapeo I:V + V definido por I(v) v se llama operador identidad sobre b'. La comprobación de que I es lineal sc dejacomo qercicio. A =

Ejemplo 1 Sea I' cualquier espacio vectorial y k cualquier escalar fijo. Se deja como ejercicio comprobar que la función 7 I.' + C'definida por T(v) = kv

es un operador lineal sobre 1'. Este operador lineal se conoce como dilatación de P. con factor k si k > 1, y como contracción de V con factor k si O < k < 1 Geométricamente. la dilatación "estira" a cada vector de T' por un factor k . y la contracción de L '"comprime" a cada vector de I' por un factor k (figura 1). A

8. I Transformaciones lineales generales / 449 Ejemplo 5 En la sección 6.4 se definió la proyección ortogonal de R"' sobre un subespacio W. [Véase la fórmula (6) y la definición precedente a ésta en dicha sección.]Las proyecciones ortogonales también se pueden definir enespacios generales con producto interior como sigue: Supóngase que W es un subespacio de dimensión finita de un espacio V con producto interior; entonces la proyección ortogonal de Vsobre W es la transformación definida por

(figura 2). Por el teorema 6.3.5 se deduce que si S = {WI, w2, . . . , w,)

es cualquier base ortonormal para W , entonces T(v)está definido por la fórmula T ( v ) =proyw v

= (v,

wI)w,-1 (v, w2)w2+ . . . + ( v . w,)~,

La demostración de que T es una transformación lineal es consecuencia de las propiedades del producto interior. Por ejemplo, T(u + v)

+ v, Wl)Wl+ (u + v, w2)w*+ + (u + v, WJW, = (u,W,)Wl + (u, w2)w2 + . + (u, WJW,

= (u

' ' '

' '

+ ( v , WI)W,+ ( v , W2)WZ + =

T(u)

' ' '

+ (v, WJW,

+ T(v)

De manera semejante, T ( h ) = kT(u). A Ejemplo 6 Comouncasoespecialdelejemplo anterior, sea V = R3 con el producto interior euclidiano. Los vectores w 1 = (1, O, O) y w2 = (O, 1, O) forman una base ortonormal del plano xy. Por tanto, si v = (x, y , z) es cualquier vector en R3, entonces la proyección ortogonal de R3 sobre el plano xy está dada por T(v)

= (v,

w,)WI + (v, W2)WZ

= x ( 1 , o, 0) + Y a 1, 0) = (X>Y , 0)

$50

7iansjorrnaclones lineales

(Véase Pa figura 3 .) A

F~~~~~

IProyección ortogonal de R3 sobre el plano I xy.

Ejemplo 7 Sea S = {wl, w2, . . . , w,,} una base deun espacio vectorial V de dimensión n, y sea (V).? =

( k , , k2 , . .

' 1

el vector de coordenadas con respecto a S de un vector v en Y; así v = k,w, + k2w2 + . . . + k,w,,

Se define 1': L' -+ K" como la función que mapea v en su vector de coordenadas con respecto a S; es decir,

La función T es una transformación lineal. Para darse cuenta de que así es, supóngase que u y v son vectores en Y y que

Así,

Pero u+V

+ d,)w,+ (c2+ d,)w, + . . . + (c, + dn)w, ku = (kc,)w, + (kc2)w2+ + kc,)^, =

(c.,

I

.

.

de modo que (u + v ) = ~ ( c , + d , , c2 + d,, . . . , C,

(kuj,

=

( k c , , kc,, . . . , kc,)

+ d,,)

8.1 Transformaciones linealesgenerales / 451

Por consiguiente,

Al expresar estas ecuaciones en términos de T. se obtiene

T(u + v) = T(u)+ T(v)

y

T(ku) = kT(u)

lo cual demuestra que T es una transformación lineal. A Los cálculos del ejemplo anterior también se pudieron haber realizado usando matrices de coordenadas en lugar de vectores de coordenadas; es decir,

OBSERVACI~N.

Y

T(p) = T ( p ( x ) )= x p ( x ) = cox

+ c1x2 +

' ' '

+ C,X,+l

La función T es una transformación lineal, ya que para cualquier escalar k y polinomios cualesquiera p1 y pz en P, se tiene

Y

Ejemplo 9 Sea p = p ( x ) = co + cIx + . . . + c,$' un polinomio en P , y sean a y b n, escalares cualesquiera. Se deja como ejercicio demostrar que la funclon T definida Por T(p) = T ( p ( x ) )= p ( u x

+ b) = co + c,(ax + b ) + . . . + c,(ax + b)"

4.52

Transformaciones lineales

Ejemplo 10 Sea V un espacio con producto interior y sea vo cualquier vector fijo en V. Sea T:V + R la transformación que mapea un vector v en su producto interior con vo; es decir, T(v) = (v, vo )

Por las propiedades de producto interior, T ( u + v) = ( u + v,

Vo>

= (u, vo)

+ ( v , vO)= T(u) + T(v)

Y

T ( k u ) = (ku, v")

= k( u,

vo>= kT(u)

de modo que T es una transformación lineal. A

Ejemplo 11 (Para quienes y a estudiaron Cálculo). Sea V = C1(-m, m) el espacio vectorial de funciones con primeras derivadas continuas sobre (- m , m), y sea W = F( - m , m) el espacio vectorial de todas las funciones con valores reales definidas sobre (- C Q , m). Sea D:V + W la transformación que mapea una función f =fix) en su derivada; es decir, D(f) =

y(.,

Por las propiedades de derivación se tiene que

Y

D(kf)

= kD(f)

Así. D es una transformación lineal. A

Ejemplo 12 (Para quienes ya estudiaron Crilculo). Sea V = C(- m, m) el espacio vectorial de funciones continuas sobre (- m , m), y sea W = C1(- m , m) el espacio vectorial de funciones con primeras derivadas continuas sobre (- m , m). Sea J:T' + W la transformación que mapea f =Ax) en la integral

Por ejemplo, si f = 2 entonces

Por las propiedades de la integración se tiene que

8.1 Transformaciones lineales generales / 453

J ( c f ) = j : c f ( t ) d t = ~ [O f ( t ) d r = c J ( f )

de modo que J es una transformación lineal. A Ejemplo 13 Sea TM,, su determinante; es decir

+R

la transformación que mapea una matriz n

X

n en

T(A) = det(A)

Esta transformación no satisface ninguna de las propiedades necesarias para ser una transformación lineal. Así, en el ejemplo 1 de la sección 2.3 se vio que det(A, + A 2 ) # det(A,) + det(A2) en general. Además, det(cA)= c"det(A), de modo que det (cA) f cdet ( A ) en general. Por tanto, T no es una transformación lineal. A

PROPIEDADES DE LAS

TRANSFORMACIONES LINEALES

Si T:V + W es una transformación lineal, entonces para vectores cualesquiera v1 y v2 en V y escalares cualesquiera c1 y c2 se tiene que

T(c,v,+ c2v2) = T(c,v,)+ T(c,v,)

= c,T(v,)

+ CJ(V2)

y de manera más general, si vl, v2, . . . , v, son vectores en V y cl, c2,. . . , c, son escalares. entonces

T(c,v,+ c2v2 +

' ' '

+ c,v,)

= c,T(v,)

+ c2T(v2)+

'

. . + c,T(v,)

(1)

La fórmula (1) algunas veces se describe diciendo que las transformaciones lineales conservan las combinacioneslineales. En el siguiente teorema se enumeran tres propiedades básicas comunesa todas las transformaciones lineales. Teorema 8.1.1. Si T:V + W es una transformación lineal, entonces a) T(0) = o b ) T( - v) = - T(v)para todo v en V. c) T(v - w) = T(v)- T(w) para todo v y w en V.

454

,'

Transformacioneslineales Demostración.

Sea v cualquier vector en V. Como Ov = O, se tiene T ( 0 ) = T(0v) = OT(V) = o

io cual demuestra el inciso a). Tambitn, T( -v)

=

T((" 1)v) = ( - l)T(v) = - T(v)

lo cual demuestra el inciso 6). Finalmente, v - w = v + (- 1)w; así T(v - w)

= = =

lo cual demuestra el inciso e),

T(v

+ (-

1)w)

T(v) + ( - l)T(w) Z(V) - T(w)

0

En palabras, el inciso a ) del teorema anterior establece que una transformación lineal mapea O en O. Esta propiedad es útil para identificar transformaciones que no son lineales. Por ejemplo, si % es un vector fijo diferente de cero en R2, entonces la transformación T(x)= x

+ x,,

tiene el efecto geométrico de trasladar cada punto x en una dirección paralela a x. por una distancia llxo/l (figura 4). Esta no es una transformación lineal, ya que T(0) = xo, de modo que T no mapea O en O .

8.I Transformaciones lineales generales

DETERMINACIóN DE TRANSFORMACIONES LINEALES A PARTIR DE LAS IMÁGENES DE LOS VECTORES BÁSICOS

/

455

El teorema 4.3.3 demuestra que si 7 es una transformación matricial, entonces es posible obtener la matriz estándar de T a partir de las imágenes de los vectores estándar básicos. Mencionado de otra manera, una transformación matricial está completamente determinada por las imágenes de los vectores estándar básicos. Este es un caso especial de un resultado más general: Si T:V + W es una transformación lineal, y si { v l ,v2, . . . , vn} es cualquier base de V, entonces la imagen T(v) de cualquier vector v en V se puede calcular con las imágenes

de los vectores básicos. Esto se hace al expresar primero a v como una combinación lined de los vectores básicos, por ejemplo, v

= C,Vl

+ C2V* +

' '

. + c,v,

y luego usar la fórmula (1) para escribir

Expresado en palabras, una transformación lineal está completamentedeterminada por lasimágenes de vectores básicos cualesquiera.

Ejemplo 14 Considerar la base S = {vl, v2,v3} para R3, donde v1 = (1, 1, l), v2 = (1, 1, O), v3 = ( 1, O, O); y sea T:R3+ R2 la transformación lineal tal que

Obtener una fórmula para T ( x l ,x2, x3);luego, usar esta fórmula para calcular T(2, - 3 , 5). Solucidn. Primero, x = (x1, x2, x3) se expresa como una combinación lineal de v1 = (1, 1, l), v2 = (1, 1, O) y v3 = ( 1, O, O). Si se escribe

entonces la igualación de las componentes correspondientes produce

456

,/'


Por tanto. T(.u,, x2, x i

+ ( x 2 - -Y3 IT@,) + (x, - X 2 ) T ( V 3 ) O) + (x2 - -Y3 )(2, - 1 ) + (x, - x2)(4,3 )

= -u,T(v,) = -u,( -

1,

(4a,

-

2.5

- x j , 3.Yl

-

4s2

+ x3)

A partir de esta fórmula se obtiene T(2.

COMPOSICIONES DE TRANSFORMACIONES LINEALES

~~

3. 5 ) = (9. 2 3 ) A

En la sección 4.2 se definió la composición de transformaciones matriciales. La siguiente definición amplía elconcepto a transformaciones lineales generales.

7,:

Definición. Si Ti: I/ + V y V + W son transformaciones lineales, la composición de T2 con TI denotada por T . o T I (que se lee como " T , seguida de 7;"). es la función definida por la fórmula

I donde u es un vector en U. Nótese que esta definición requiere que el dominio de T, (el cual es 1),' contenga al recorrido de T,;este hecho es esencial para que la expresión T,(T,(u))tenga sentido (figura 5). El lector debe comparar (2) con la fórmula (18) de la sección 4.2. OBSERVACI~N.

Figura 5

El siguiente resultado muestra que la composición de dos transformaciones lineales es una transformación lineal. y 12:1. -+. W son transformaciones lineales, entonces (Tz T I ) :li + W también es una transformación lineal.

Teorema 8.1.2. S i 1',: 5 + 0

Uemostracibn. Si u y v son vectores en U y c es un escalar, entonces por (2) linealidad de T, y T . se deduce que

la

8. I Transformaciones lineales generales

I

45 7

Y

Ejemplo 15 Sean T,:P, definidas por las fórmulas

+

P, y T,:P,

T I ( P ( 4 )=x&)

-+

Y

P, las transformaciones lineales

T,(P(X)) = P(2X

+ 4)

Entonces la composición (T, T,):P, + P, está definida por la fórmula 0

En particular, si p ( x ) = co + cIx. entonces

Ejemplo 16 Si T:V + Ves cualquier operador lineal y si Z:V + Ves el operador identidad (ejemplo 3), entonces para todos los vectoresv en V se tiene ( T o I)(v) =

T(Z(v))= T ( v )

( I o T ) ( v ) = I ( T ( v ) )= T ( v )

En consecuencia, T , I e I o T I son iguales a 0

r; es decir, A

Esta secciónconcluye haciendo notar que las composicionessepueden definir para más de dos transformaciones lineales. Por ejemplo, si T I : U+ V,

T2 V+ W,

son transformaciones lineales, entonces la como ( T 3 o T2 o

)(u>=

y

T 3 : W+Y

composición T3 T2 T I se define 0

T3(T2(Tl(u)))

0

(4)

158 ;’ Transformaciones lineales

Composición de trestransformaciones lineales.

Figura 6

EJERCICIOS DE LA S E C C I ~ N8.1 1. Con la definición de operador lineal proporcionada en esta sección, demostrar que la función T S 2 + R2 deffida por la fórmula T(x,, 3)= (x, + 2.5, 3x, - x2) es un ope-

rador lineal. 2. Por medio de la definición de transformación lineal que se dio en esta sección, demostrar que la función TB3 + R2 expresada por la fórmula T(x,,%, x3) = (2x, - x2 + x3, x2 - 4 5 ) es una transformación lineal.

En los ejercicios del 3 al 10, determinar si la función es una transformación lineal. Justificar las respuestas. 3. T: V + R, donde Ves un espacio con producto interior y T(u) = IIuII. 4. T:R3+ R3, donde vo es un vector fijo en R3 y T(u)= u X vo

5. ‘M2*

+

MZ3,donde B es una matnz fija 2

6. TM :,

+ R, donde

7. TM,,

+ M,,

X

3 y T(A)= AB

T(A)= &(A).

donde F(A) = A T

8. TM2, + R, donde

9. KP,

+ P,,

donde

a) T(u, + u,x + u Z x 2 )= a,, + a,(x + I ) + u2(x + 1)’ b) T(a,, + u,x + u g 2 ) = (ao+ 1) + ( a ,+ 1)x + (u2 + 1)x2 10. T:F(-m, 00) ? * F ( - w , a) KH.4) = 1

+f(4

m),

donde b) T(f(x))

= f(x

+ 1)

I

8.1 Transformaciones lineales generales 11. Dcmostrar que la función T en el ejemplo 9 es un operador lineal 12. Considérese la base S = {y1, vz) para HZ,donde v, = ! .

j

1 v2 = ( I , O), y sea T:Rz +

R2 el operador lineal tal que T(v,)= (1, -2)

y

T ( v , ) = ( - 4 , 1)

Obtener una fórmula para T ( x l ,x2) y usarla para encontrar T(5, - 3 ) .

13. Considérese la base S = {vl, v2} para R2, donde v1 = (-2, 1) y v2 = (1, 3), y sea TB2 R3 la transformación lineal tal que -f

Encontrar una fórmula para T ( x l ,x2) y usarla para calcular T(2, - 3) 14. Considérese la base S = {vl, v2, v3} para R3, donde v1 = (1, 1, 1 ), vz = ( 1 , 1 , O) y v3 = ( 1, O, O) y sea TB3+ R3 el operador lineal tal que

Obtener una fórmula para T ( x l ,x2, x3) y usarla para calcular T(2,4, - 1) 15. Considérese la base S = {vI,v2, v3} para R3, donde v1 = (1, 2, l), vz = (2, 9, O) y v3 =

(3, 3 , 4 ) y sea TB3+ R2 la transformación lineal tal que

hallar una fórmula para T ( x l ,xz, x3) y usarla para evaluar T(7, 13, 7) 16. Sean vl, v2 y v3 vectores en un

lineal para la que

espacio vectorial V y T:V += R3 una transformación

1

459

460 / Transformacionzs lineales

a) Encontrar ( T , 0 T J A ) , donde A

=

[::]

b) ¿Puede el lector obtener (T2 0 T,)(A)?Explicar la respuesta 20. Sean T,:P, + Pn y T,:P, + Pn l o s operadores lineales definidos por T , ( p ( x ) )= p ( x - 1) y T,(p(x)) = p ( x + 1). Encontrar ( T I 0 T,)(p(x)) y (T2 0 T,)(p(x)).

21. Sea T,:V + V la dilatación T,(v) = 4v. Encontrar un operador lineal T,:V T I 0 T , = I y T, 0 TI = 1.

+

V tal que

22. Suponer que a lstransformaciones heales TI.Pz + P2 y T2F3+ P, están defindas por las fórmulas T,(p(x)) = p(x + 1 ) y T2(p(x))= x&). Encontrar (T, 0 Tl)(ao+ aix+ up’). 23. Sea qo(x) un polinomio fijo de grado m ,y la función T con dominio Pn definida por la fórmula T(p(x))= p(q,(x)). a) Demostrar que T es una transformación lineal. b) ¿Cuál es el codominio de T , 24. Con la definición de T3 0 T2 0 TI dada por la fórmula (4), demostrar que a) T3 T2 0 TI es una transformación lineal. b) T 3 o T 2 o T I = ( T 3 0 T 2 ) o T l c) T 3 0 T 2 0 T 1 = T 3 0 ( T 2 0 T I ) 0

25. Sea T:R3+ R3 la proyección ortogonal de H3 sobre el plano q. Demostrar que T 0 T = T

26. a) Sean T :V + W una transformación lineal y k un escalar. La función ( k g :V + W se define como (k1](v)= k(T(v)). Demostrar que kT es una transformación lineal. b) Encontrar ( 3 T ) ( x , ,x 2 ) si T:R2 + R2 está expresada por la fórmula T ( x l , xz) = @x1 - X,’ x2+x1>.

27. a) Sean T,:V + W y T2:V + W transformaciones lineales. Las funciones ( T , + T2):Y W y ( T I - T J :V + W se definen como (TI + T 2 ) W =

(T, - T2)W

=

+

+ T2W

TI(V) - TAv)

Demostrar que T I + T2 y T , - T2 son transformaciones lineales. b) Encontrar (TI + T2)(x, y ) y (TI - í“,)(x, y ) si TI2’ + R2 y T2:R2+ R2 están definidas por las fórmulas TI@, y ) = (2y, 3x) y T2(x,y ) = (y,x). 28. a) Demostrar que si a l , a2, b , y b, son escalares cualesquiera, entonces la fórmula m

, Y ) = @,x

+ blY, a2x + b2Y)

defme un operador lineal sobre R2. b) ¿La fórmula F(x,y ) = (up? + b,y2,‘.u, Explicar la respuesta.

+ b p 2 )define un operador lineal sobre R2?

29. (Para quienes y a estudiaron Cálculo). Sean D(f) = f’(xj

y

J(f) = j ; i ( t j dt

8.2 Núcleo y recorrido í 461 las transformaciones linealesde los ejemplos 11 y 12. Encontrar (J 0 0x0 para a) f(x) = x'

+ 3x + 2

b) f(x) = senx

c) f(x) = x

30. Sea {v,, v,, . . . , vn} una base de un espacio vectorial V y sea T V +- Wuna transformación lineal. Demostrar que si T(v,)= T(v,) = ' . . = T(v,) = O, entonces T es la transfor-

mación cero. . . . , vn} una base de un espacio vectorial V y sea T:V -* V un operador lineal.Demostrar que si T(v,) = v,, T(v,) = v,, . . . , T(vn)= Y", entonces T es la transformación identidad sobre V.

31. Sea {v,, v,,

8.2 NúCLEO Y RECORRIDO En esta sección se ampliarán algunas propiedades básicas de las transformaciones lineales que generalizan propiedades, y a obtenidas en el texto, de las transformaciones matriciales.

NÚCLEO Y RECORRIDO

Recuérdese que si A es una matriz m x n, entonces el espacio nulo de A consta de todos los vectores x en R" tales que Ax = O y, por el teorema 5.5.1, el espacio columna de A consiste en todos los vectores b en Rm para los cuales existe por lo menos un vector x en R" tal que Ax = b. Desde el punto de vista de las transformaciones matricides, el espacio nulo de A consta de todos los vectores x en R" que la multiplicación por A aplica o mapea en O, y el espacio columna consta de todos los vectores en Rm que son imágenes de por lo menos un vector en R" bajo la multiplicación por A . La siguiente definición amplía estas ideas a transformaciones lineales generales. ~~

~

Definición. Si T:V + W es una transformación lineal, entonces el conjunto de vectores en V que T mapea o transforma en O se denomina núcleo (kernel o espacio nulo) de T, y se denota por ker(7). El conjunto de todos los vectores en W que son imágenes bajo 7' depor lo menos un vector en V se denomina recorrido de T y se denota por R(7). Ejemplo 1 Si TA:R" + R"' es la multiplicación por la matriz A m X n, entonces por el análisis que precede a la definición anterior, el núcleo de 'T es el espacio nulo de A y el recomdo de T, es el espacio columna de A. A Ejemplo 2 Sea T:V + W la transformación cero (ejemplo 2 de la sección 8.1). Como T mapea todo vector de Ven O, se concluye que ker(Q = V. Además, como O es la Única imagen bajo T de los vectores en V, se tiene que R ( n = { O } . A Ejemplo 3 Sea I:V + Vel operador identidad (ejemplo 3 de la sección 8.1). Como I(v) = v para todos los vectores de V, todo vector en Ves la imagen de algún vector

462


(a saber, éI mismo); así, R ( 0 = V. Como el linico vector que I mapea en O es O, se concluye que ker(l) = ( O } . A Ejemplo 4 Sea 1':R3 * K3 la proyección ortogonal sobre el plano xy. El núcleo de 7' es el conjunto de puntos que T transforma en O = (O, O, O); se trata de los puntos sobre el eje z (figura l a ) . Como T mapeatodo punto de R3 en el plano x y , el recorrido de T debe ser algún subconjunto de este plano. Pero todo punto (xo, yo,O) en el plano xy es la imagen bajo í" de algún punto; de hecho, es la imagen de todos los puntos sobre la recta vertical que pasa por (xo, yo, O) (figura lb). Por tanto, R ( n es todo el plano xy. A

Y

Ejemplo 5 Sea T:R2 -z R2 el operador lineal que hace girar a todo vector en el plano xy por un ángulo 8 (figura 2). Como todo vector en el plano xy se puede obtener al girar algún vector por un ángulo 8 (¿por qué?), se tiene que R(T) = R2. Además, el Único vector que gira en O es O, de modo que ker(T) = { O } . A

Ejemplo 6 (Para quienes ya estudiaron CúZcuZo). Sea V = C1(-CQ, CQ)el espacio vectorial de funciones con primeras derivadas continuas sobre (- m , m ) , sea W = F(- CQ.m) el espacio vectorial de las funciones con valores reales definidas sobre ( - m , CQ) y sea D:V W la transformación derivación D a = f(x). El núcleo de D es el conjunto de funciones en V cuya derivada es cero. Por Cálculo, se trata del conjunto de funciones constantes sobre (- CQ, 00). A

8.2 Núcleo y recorrido / 463 PROPIEDADES DEL NÚCLEO Y DEL RECORRIDO

En todos los ejemplos anteriores, ker(7) y R(7) resultaron ser subespacios. En los ejemplos 2, 3 y 5 fueron el subespacio cero o todo el espacio vectorial. En el ejemplo 4 el núcleo era una recta que pasa por el origen y el recorrido era un plano que pasa por el origen; ambos son subespacios de R3. Nada de lo anterior es fortuito; es una consecuencia del siguiente resultado general. Teorema 8.2.1. Si T:V -i. W es una transformación lineal, entonces: a) El núcleo de T es un subespacio de V. b) El recorrido de T es un subespacio de W. Demostración de a).Para demostrar que ker(7) es un subespacio se debe probar que contiene por lo menosa un vector y es cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar. Por el inciso a) del teorema 8.1.1, el vector O está en ker(7'), de modo que este conjunto contiene por lo menos un vector. Sean v, y v2 vectores en ker(7') y sea k cualquier escalar. Entonces T(v,

+ v2) = T(v,) + T(v2) = O + O = O

de modo que v1 + v2 está en ker(7). También, T(kv,) = kT(v,) = M) = O

de modo que

kv, está en ker(T).

Demostración de 6). Como T(0) = O, existe por lo menos un vector en R(7). Sean w, y w2 vectores en el recorrido de T y k cualquier escalar. Para demostrar esta parte es necesario probar que w, + w2 y están en el recorrido de T; es decir, se deben encontrar vectores a y b en Vtales que T(a) = w, + w2 y T(b) = k w , . Como w, y w2 están en el recomdo de T, en V existen vectores al y tales que T(al) = w, y T(%) = w2. Sean a = a, + % y b = ka,. Entonces

kw,

Y T(b) = T ( k a , )= kT(a,) = kw,

con lo cual se completa la demostración. 0 RANGO Y NULIDAD DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

En la sección 5.6, el rango de una matriz se definiócomo la dimensiónde su espacio columna (o renglón) y la nuhdad como la dunensión de su espacio nulo. La siguiente definiciónextiende estas definicionesatransformaciones lineales generales. Definición. Si T:V -i. W es una transformación lineal, entonces la dimensión del recorrido de T se llama rango de T y se denota por rango (7'); la dimensión del núcleo se denomina nulidad de T y se denota por nulidad (7).

464

1

Transjormaciones lineales

Si A es una matriz m x n y TA:R" Rm es la multiplicación por A, entonces por el ejemplo 1 se sabe que ker(T) de 7> es el espacio nulo. deA y que el recorrido de es el espacio columna de A . Por tanto, se tiene la siguiente relación entre cl rango y la nulidad de una matriz y el rango y la nulidad de la transformación matricial correspondiente. -+

7'

Teorema 8.2.2. Si A es una matriz m por A , entonces:

X

n y TA :R"

+

Rm es la multiplicación

a ) Nulidad ( T A )= Nulidad (A) b ) Rango ( 7 ' ~ =Rango ) (A).

Ejemplo 7 Sea T4:R6+ R4 la multiplicación por A = [

-

1

3 2 4

2

-7 -5 -9

0

2 2 2

4

5

o 4 -4

-

1

6 -

4

Encontrar el rango y l a nulidad de TA En elejemplo 1 de la sección 5.6 sedemostró que rango ( A ) = 2 y nulidad (A) = 4. Así, por el teorema 8.2.2 se tiene rango ( T A )= 2 y nulidad (A) = 4. A Solución.

Ejemplo 8 Sea T:R3 + R3 la proyección ortogonal sobreel plano xy. Por el ejemplo 4, el núcleo de T es el eje z, que es unidimensional, y el recorrido de T es el plano xy, que es bidimensional. Por lo tanto,

nulidad ( T ) = 1 y rango ( 7 ) = 2 A TEOREMA DE LA DIMENSIóN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

Recuérdesepor el teoremade la dimensión para matrices (teorema 5.6.3) que si A es una matriz con n columnas, entonces rango (A) + nulidad ( A ) = n El siguiente teorema, cuya demostración sepospone hasta el final de la sección, extiende este resultado a transformaciones lineales generales. Teorema 8.2.3. (Teorema de la dimensidn para transformaciones lineales). Si T:c' W es una transforrnación lineal de un espacio vectorial V de dimensión n a un espacio vectorial W, entonces -+

rango(T) + nulidad(T) = n

8.2 Núcleo y recorrido / 465

Expresado en palabras, este teorema establece que para transformaciones lineales la suma del rango y la nulidad es igual a la dimensión del dominio. OBSERVACI~N. Si A es una matriz m X n y TA:Rn+ R"' es la multiplicación por A, entonces el dominio de TA es de dimensión n, demodo que en este caso el teorema 8.2.3 concuerda con el teorema 5.6.3.

Ejemplo 9 Sea T:R2 + R2 el operador lined que hace girar a cada vectordel plano xy por un ángulo 8. En el ejemplo 5 se demostró que ker(7) = { O } y que R(T) = R 2 . Así, rango ( r ) + nulidad ( T ) = O + 2 = 2 lo cual concuerda con el hecho de que el dominio de T es bidimensional. A DEMOSTRACIóN ADICIONAL Demostración del teorema 8.2.3. Se debe demostrar que dim(R(T))

+ dim(ker(T)) = n

La demostración se proporcionará para el caso en que 1 Idim(ker(7)) < n. Los casos dim(ker(2)) = O y dim(ker(7)) = n se dejan como ejercicios. Supóngase que dim(ker(7)) = r, y sea v l , . . . , v, una base para el núcleo. Como {vl, . . . , v,) es linealmente independiente, el teorema 5.4.66 establece que existen n - r vectores, v,+~,. . . ,vn, tales que {vl, . . . , v,, v , + ~ ., . . , v,} es unabase de V. Para completarla demostración, se probará que los n - Y vectores en el conjunto S = { T(V,+~),. . . , T(v,)} forman una base para el recorrido de T.Entonces se concluirá que dim(R(T)) + dim(ker(T)) = ( n - r )

+r =n

Primero se demostrará queS genera el recorrido de7'. Si b es cualquier vectoren el recorrido de T.entonces b = T(v) para algún vector v en V. Como { v , , . . . , v,, v , + ~ ., . . , vn} es una base para V, entonces el vector v se puede escribir como v = ClV1

+ . . + c,v, + c,+ 1v,+ 1 + . . . + c,v, '

En virtud de que v l , . . . , v, están en el núcleo de T, se tiene T(v1) = O, de modo que

..=

T(v,)

=

b = T(v) = c,+ ,T(v,+ ,) + . . . + c,T(v,)

Así, S genera el recorrido de T Por último, se demostrará que S es un conjunto linealmente independiente y que, en consecuencia, forma una base para el recorrido de T. Supóngase que alguna combinación lineal de los vectores en S es cero; es decir,

466

i

Transformaciones lineales k,,

, T(v,+

+ . . . + k,T(V,)

1)

Se debe demostrar que kr+, = . . . = k, de nuevo como T(k,.+ ,v,+ I

=

=

o

(2)

O . Como T es lineal, (2) se puede escribir

+ . . . + k,v,)

=O

lo cual establece que k,+lvr+l + . + k,v, está en el núcleo de T. Por consiguiente, este vector se puede escribir como una combinación lineal de los vectores básicos (vl.. . . , v,.}, por ejemplo, '

k,

+

Iv,

+ . . . + k,v,

= k,v,

+ . . . + k,~,

Así,

k,vl+ . . . + k,v,

-

k , , 1~,, I - . . . - k,v, = O

Como {vl, . , v,} es linealmente independiente, todas las k son cero; en particular, krtl= . . = k, = O, con lo que se completa la demostración. 0 '

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 8.2 1. Sea T:R2+ H 2 el operador lineal defiuido por la expresión

i,Cuáles de los siguientes vectores están en K( T)? a) (1, -4). b) ( 5 , O ) . c) (-3, 12).

2. Sea TI??+ R' el operador lineal del ejercicio 1. 2,Cuáles de los siguientes vectores están en ker( T)? a) (5, 10). b) ( 3 , 2 ) . c) (1, 1). 3. Sea T@

+ K3

l a transfonnación lineal definida por l a expresión

¿Cuáles de los siguientes vectores están en K( T)? a) (0,0,6). b) ( I , 3,O). c ) (2,4, 1). 4. Sea TJr'

+ R3 la transformación lineal del ejercicio 3. (,Cuáles de los siguientes vcctores están enker(T)? a) ( 3 , -8,2, O). b) ( O , O, O, 1). C) (O, -4, 1, O).

5. Sea T:P, + P, la transformación lineal definida por T(p(x)) = xp(x). ¿Cuáles de los

siguientes vectores están en ker(T)? a) x3. b) O. c) 1 +x.

8.2 Núcleo y recorrido / 467 6. Sea TF, + P, la transformación lineal delejercicio vectores están en R( o? a) x + x ? b) 1 + x . c) 3 -2.

5. ¿Cuáles de los siguientes

7. Encontrar una base para el núcleo

a) del operador lineal del ejercicio l. b) de la transformación lineal del ejercicio 3. c) de la transformación lineal del ejercicio 5. 8. Encontrar una base para el recorrido b) de latransformación lineal del ejercicio 3. a) del operador lineal el ejercicio 1. c) de la transformación lineal del ejercicio 5. 9. Comprobar la fórmula (1) del teorema de la dimensión para b) latransformaciónlinealdel a) el operador lineal del ejercicio 1. c) la transformación lineal del ejercicio 5.

ejercicio 3.

En los ejercicios del 10 al 13, sea T la multiplicación por la matnz A . Encontrar a) una base para el recorrido de T. b) una base para el núcleo de T. c) 1 rango y la nulidad de T. d) el rango y la nulidad de A .

[i -i] -1

10. A =

1:

2

11. A =

0

1 3

-1 2

-a]

-

4 -2 0 3

5 !

-1 5

0

o o

1

9 -1 -1 8

14. Describir el recorrido y el espacio nulo de la proyección ortogonal sobre

a) el plano xz. b) el plano yz. c) el plano cuya ecuación es y = x. 15. Sea V cualquier espacio vectorial y sea T:V + V definida por T(v) = 3v.

a) ¿Cuál es el núcleo de T?

b) ¿Cuál es el recorrido de 77

16. En cada inciso, usando la información proporcionada para obtener la nulidadde T.

a) T A + ~ R? tiene rango 3. b) TP4 + P, tiene rango 1. c) El recorrido de TR' -D R3 es R3. d) TMZ2+ M,, tiene rango 3. X 6 tal que A x = O sólo tiene la solución trivial, y sea TR' multiplicación por A . Encontrar el rango y la nulidad de A .

17. Sea A una matriz 7

18. Sea A una matriz 5

+ R7 la

X 7 con rango 4. a) ¿Cuál es la dimensión del espacio solución de Ax = O? b) ¿Es consistente A x = b para todos los vectores b en R'? Explicar la respuesta

89. Sen 1'8' I.'u11u transformación lineal de R' a cualquier espacio vectorial. Demostrar que el nrhcleo de T es una I-eecta que pasa por el origen, un plano que pasa por el origen, S 6 1 0 el or'lgen o todo R3

20. Sen 7'. I.; -3. R 3 una transformación l~nealde crlalquicr espac~ovcctorial a R 3 . Demostrar quc el recomdo dc 1" es una recta qrx pasa por el origen, un plano que pasa por el arrgen, sólo e¡ orlgen o todo I? 21. sea T:R'

+

Hi la multlpiicacion por

a) Ikmostrar que el nilcleo de 7' es una recta que pasa por el origen y encontrar ecuacrollcs paramétncas de Csta. b) Ikmostrar que elrecorrido de T es un plano que pasa por el origen y encontrar una

ecuación de Cste. 22. Demostrar: Si f v , . v 2 , . . , v n ) es una base para V y w , , w2, . . . , w nson vectores en I+', no necesariamente distintos, entonces existe una transfommción lineal T:l' + W tal que 7'(vlj = w,,T(v7) = w:, . . . , T(v,) = wn. 23. Lknostrar el teorema de la dimensión en los casos en que b) dim(ker(7')) = n. a) dim(ker(T)) = O 21. Sea 7'1.'

-3. I" u 1 1 operadorlineal sobre un espacio vectorial V de dimensión finita. Ilemostrar que H ( T ) = s i y sólo SI keI(7') = {O} I.'

25. (Para quienes ya estudiaron Cálculo). Sea DFp,-3. P2 l a transformación derivación I)( p) = p'(x).Describir el núcleo de 13. 26. (Para quienes ya estudiaron Cálculo). Sea J:P, .I@) = p ( x ) dx. Describir el núcleo de J.

+

R l a transformación integraci6n

27. (Pura quienes y a estudiaron Cálculo). Sea D:V -., W la transformación derivación [I( p) =,f(x). donde I' = C2( - 00,m ) v W = F( - 00,m). Describir el núcleode D o D.

8.3 TRANSFORMACIONES LINEALES INVERSAS En la seccibn 4.3 se analizaron las propiedades de las transformaciones lineales uno a uno de R" a R". En esta sección se extenderán tales ideas a transformaciones lineales generales. TRANSFORMACIONES LLNEALES UNO A UNO

Recuérdese de la sección 4.3 que una transformación lineal de R" a R" se denomina uno a uno o biunivoca si mapea vectores distintos de R" en vectores distintos de R"'. La siguiente definición generaliza esta idea.

8.3 Transformaciones lineales inversas

I'

469

~~

Definición. Una transformación lineal T:V + W se llama uno a uno si 7 mapea vectores distintos de Ven vectores distintos de W. Ejemplo 1 Recuérdese por el teorema 4.3.1 que si A es una matriz n X n y TA :Rn + R" es la muitiplicación por A , entonces T> es uno a uno si y sólo si A es una matriz invertible. A Ejemplo 2 Sea T:Pn + Pn+l la transformación lineal T(p1 = T ( p ( x ) )= x p ( x )

analizada en el ejemplo S de la sección S. l . Si p = p ( x ) = Cg + c,x +

' '

.

+ c,xn

y

= y(x) = do

+ d , +~. . . + d,,x"

son polinonlios distintos, entonces difieren en por lo menos un coeficiente. Así,

también difieren en por lo menos un coeficiente. Por tanto, T es uno a uno, ya que mapea polinomios distintos p y q en polinomios distintos T(p) y T(q). A

Ejemplo 3 (Para quienes y a estudiaron Cálculo). Sea

la transformación derivación analizada en el ejemplo 11 de la sección S. l . Esta transformación lineal no es uno a uno, ya que mapea en la mismafunción a funciones que dlfieren por una constante. Por ejemplo. D ( x 2 )= D(x2

+ 1) = 2x

A

El siguiente teorema establece una relación entre una transformación lineal uno a uno y su núcleo.

Teorema 8.3.1. Si T:l/ + W es una transformación lineal, entonceslas siguientes proposiciones son equivalentes. a ) T es uno a uno. b ) El núcleo de T sólo contiene al vector cero; esdecir. ker(7) = { O } . c) Nulidad ( r ) = O . "

.l.-_"."

Denzostrraclhn. Se deja como ejercicm ficil demostrar la equivalcncia de h ) y c); l a dzmostración se completará probando !a equi:.alcncia di:0) v h).

4 70 i Transformaciones lineales

a =$ 6: Supóngase que T es uno a uno, y sea v cualquier vector en ker(7). Como v y O , están en ker(7), se tiene T(v)= O y T(0) = O. Pero esto indica que v = O , ya que T es uno a uno; asi, ker(7) sólo contiene al vector cero. b

* a: Supóngase que ker(7) = O y que v y w son vectores distintos en V"

es decir. (1)

w#O

Para demostrar que T esuno a uno es necesario probar que T(v) y T(w) son vectores dstintos. Pero si este no fuese el caso, entonces se tendría T(v) = T(w) T(v)- T(w) = o T(v - w) = o lo cual indica que v - w está en el núcleo de T. Como ker(T) = O , se tiene que v-w=o lo cual contradice (1). Así, T(v)y T(w) deben ser hstintos. 0

Ejemplo 4 En cada inciso, determinar si la transformación lineal es uno a uno, encontrando el núcleo o la nulidad y aplicando el teorema 8.3.l . a) T:R2 + R2 hace girar a cada vector por un ángulo 8. b) T:R3 + R3 es la proyección ortogonal sobre el plano xy. c) T:R6 .+ R4 es la multiplicación por la matriz

7 2 0 2 - 5 2 4 4 -9 2 -4

1 6 -4

1 7

Solución de u). Del ejemplo 5 de la sección 8.2, ker(7")= { O ) , así que T es uno a uno.

Solución de b). Del ejemplo 4 de la sección 8.2, ker(7') contiene vectores diferentes de cero, de modo que T no es uno a uno. Solución de c). Del ejemplo 7 de la sección 8.2, nulidad (7') uno a uno. A

=

4, así que T no es

8.3 Transformaciones lineales inversas / 471

En el caso especial en que T es un operador lineal sobre un espacio vectorial de dimensiónjnita, entonces se puede agregar otra proposición al teorema 8.3.1. Teorema 8.3.2. Si V es un espacio vectorial de dimensión finita, Y 1':v I/ es un operador lineal, entonces lassiguientes proposiciones son equivalentes. -+

a ) T es uno a uno. b ) ker(T) = ( O } . c) Nulidad (7') = O. d) El recorrido de T es V; es decir, R(T) = V. Demostración. Sesabe que a), b ) y c ) son equivalentes, de modoquela demostración se puede completar probando la equivalencia de c ) y d). c * d. Supóngase que dim@') = n y que nulidad (7') = O. Por el teorema de la dimensión (teorema 8.2.3) se concluyeque

rango(7') = n - nulidad (7') = n Por definición, rango(T) es la dimensión del recorrido de T. así que el recorrido de T tiene dimensión n . Ahora, por el teorema 5.4.7 se concluye que el recorrido de 1' es V, ya que los dos espacios tienen la misma dimensión.

* c. Supóngase que dim(V) = n y que R(T) = V. Por estas relaciones se concluye que dim(R(T)) = n, o bien, de manera equivalente, que rango (7') = n. entonces, por el teorema de la dimensión (teorema 8.2.3) se concluyeque d

nulidad ( r )

=n

- rango(T) = n

ji

-- n = O. -,

Ejemplo 5 Sea TA:R4+ R4 la multiplicación por 1

3

-2 -4 1

1

4

Determinar si TA es uno a uno. Solución. Como se hizo notar en el ejemplo 1, el problema dado es equivalente a determinar si A es invertible. Pero det(A) = O, ya que los dos primeros renglones de A son proporcionales y, en consecuencia,A no es invertible. Por tanto, TA no es uno auno. A TRANSFORMACIONES LINEALES INVERSAS

Enla sección 4.3 sedefinió la inversa deun operadormatricial uno a uno TA:R" R" comoel operador matricial TA-1:Rn"* R", y se demostró que si w es la imagen de un vector x bajo TA, entonces TA-I mapea w de regreso en x. A continuación, estas ideas se extenderán a transformaciones lineales generales.

+.

472

i


Recuérdese que si T:V "* W es una transformación lineal, entonces el recorrido de T, denotado por R(T), es el subespacio de W que consta de todas las imágenes bajo T de los vectores en V. Si T es uno a uno, entonces cada vector v en V tiene una imagen ÚnIca w = T(v) en R ( 0 . Esta unicidad del vector imagen permite definir una nueva función, denominada inversa de T, denotada por T- l . que mapea w de regreso en v (figura 1).

Se puede demostrar (ejercicio 19) que T- : R(T) + V es una transformación lineal. Además, por la definición de T" se concluye que T - '(T(v)) = i" '(w) = v

de modo que T y T u l , cuando se aplican consecutivamente en cualquier orden, cancelan entre sí el efecto que tienen. Es importante notar que si T:V + W es una transformación lineal uno a uno, entonces el dominio de T- es el recorrido de T. Éste puede ser o no todo W. Sin embargo, en el caso especial en que T:V "* Ves un operador lineal uno a uno, por el teorema 8.3.2 se concluye que R(T) = V. es decir, el dominio de Tes todo V.

OBSERVACI~N.

Ejemplo 6 en el ejemplo 2 se demostró que la transformación lineal T:Pn -+ P,+l definida por

n P) = T(P(.Y)) = es uno a uno; así, T tiene inversa. Aquí, el recorrido de T no es todo P,,,; en vez de ello, R(7) es el subespacio de P,+, que consta de los polinomios con término constante cero. Este hecho es evidente a partir de la fórmula para T: T(C,

+ C'X + . . . + C , Y )

= cox

+ c,x2 + . . . + C,X"+

Se concluyeque T- ' : R ( q -c Pn está definida por la fórmula T - '(cox + c,x2 + .

' '

+ c,x"

+

1)

= c*

+ c1x + . . . + c&?

Por ejemplo, en elcaso en que n = 4, T-l(2x - x2

+ 5x3 + 3x4) = 2 - + 5x2 + 3x3 X

A

8.3 Transformaciones lineales inversas / 473

Ejemplo 7 Sea T:R3 + R3 el operador lineal definido por la fórmula T(X1, X2, X3) = (3x1

+

X2,

"2x1 - 4x2

+ 3x3,

5x1

+ 4x2 - 2x3)

Determinar si T es uno a uno; en caso afirmativo, encontrar T- '(x,, x2, x3). Solución. Por el teorema 4.3.3, la matriz estándar para T es 3

[TI=

-2

1

0

-4

(comprobar). Esta matriz es invertible y por la fórmula (1) de la sección 4.3, la matriz estándar para T" es 4

-2

-3

[T"]=[T]-'= -12

7

10

Se concluye que

Expresando este resultado en notación horizontal se obtiene

INVERSASDE COMPOSICIONES

El siguiente teorema muestra que la composición de transformaciones lineales uno a uno es uno a uno, y relaciona la inversa de la composición con las inversas de las transformaciones lineales individuales.

Teorema 8.3.3. Si T , : U

+

V y T2:V + W son transformaciones lineales uno a

uno, entonces: a)

T, TIes uno a uno. 0

h) (T2 0 Tl)-I =

r;'

0

Ti-].

Demostración de a). Se quiere demostrar que T2 o T, transforma vectores distintos de U en vectores distintos de W. Pero si u y v son vectores distintos de U, entonces T I @ )y Tl(v)son vectores distintos de V ya que T , es uno a uno. Lo anterior y el hecho de que T2es uno a uno indican que

474 1 Transformaciones lineales

Y

T,(TI(U))

T,(T,(V))

también son vectores distintos. Pero estas expresiones también se pueden escribir como

de modo que T2 T, transforma u y v en vectores distintos de W. Demostración de (6).

Quiere demostrarse que

(T,~T,)~'(w)=(T,~~T,')(w) para todo vector w en el recomdo de T, T I .Para este propósito, sea o

de modo que la meta es demostrar que u =(T,

'

0

T,- l)(w)

Pero por ( 3 ) se concluye que (T, 0 T,)(uj = w

o bien, de manera equivalente, T,(T,(u)) = w

Ahora, aplicando 2";'a cada miembro de esta ecuación y luego bro del resultado, se obtiene (comprobar)

T;'a cada miem-


En otras palabras, el inciso b) del teorema 8.3.3 establece que la inversa de una composición es la composición de las inversas en orden invertido. Este resultado se puede extender a composiciones de tres o más transformaciones lineales; por ejemplo,

En el caso especial en que TA, TB,y Tc, sean operadores matriciales sobre R", entonces la fórmula (4) se puede escribir como

8.3 Transformacioneslineales inversas / 475


En palabras, esta fórmula establece que la matriz estándar para la inversa de una composición es el producto de las inversas de las matrices estándar de los operadores individuales en orden invertido. En los ejercicios se proporcionan algunos problemas en los que se usan las fórmulas (4) y (S).

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 8.3 1. En cada inciso, encontrar ker(Z') y determinar si la transformación lineal T es uno a Uno.

a) T :R2+ R2, donde T(x, y ) = ( y , x) b) T :R2+R2, donde T(x, y ) = (O, 2x + 3y) c) T : R 2 + R 2 , donde T(x, y) = (x + y , X - y ) d) T :R2 +R 3 , donde T(x,y ) = (x, y, x + y ) e) T :R2+ R', donde T(x, y ) = (x - y, y - x, 2x - 2y) f) 2': R 3 +R 2 , donde T(x,y, z) = (x + y + z, x - y - z)

2. En cada inciso, sea T.&2 -* R2 la multiplicación por A . Determinar si T tiene inversa; en caso afirmativo, hallar

3. En cada inciso, sea

TX3+ R3 la multiplicación por A . Determinar si T tiene inversa; en caso afirmativo, encontrar

1

4 1 5 2 a ) A = [ - 1 1 21 ol ]

" A = [ - ;

;

i]

1

0

1

c ) A = [ O1 11 0I]

.)A=[:

4. En cada inciso, determinar si la multiplicación por A es una transformación lineal uno

a uno.

-:]

476 / Transformaciones lineales 1

1

-7

3

5

2 -

1

3

0

'1

c) A

=

0

S. Sea 1'8'

-+ R~ la proyección ortogonalsobre la rectay = x (figura 2). a) Encontrar el núcleo de T. b) ¿,Es Tuno a uno? Justificar la conclusión.

Figura 2 6. Sea FA2 + R2 el operador lineal T(x,y) = ("x, y ) que refleja cada punto con respecto al eje y (figura 3).

a) Encontrar el núcleo de T. h) ¿Es T u n o a uno? Justificar la conclusión.

ry

I

Figura 3

7. En cada inciso, usando la información dada determinar si T es uno a uno. b) TBn + R"; rango ( T ) = n - 1 a) T:Rm + R"; nulidad(T) = O. c) TRm -+ R"; n < m . d) TBn + Rn; R( T)= R". 8. En cada inciso determinar si la transformación lineal T es uno a uno.

a) 7 :P2+P,, donde T(u,+ a , x + u 2 x 2 )= x(ao + a,x+ a$) b) T : P2-+P2, donde T ( p ( x ) )= p ( x 1)

+

9. Sea A una matriz cuadrada tal que det(A) = 0 LLa multiplicación por A es una transformación lineal? Justificar la conclusión. 10. En cadainciso determinar si eloperador lineal T X n afirmativo, encontrar ~ " ( x , ,xz, . . . ,x,,). 7 '(XI, x2, . . . , x n ) . a) T ( . x , , x 2, . . . , .x , j ) = ( 0 , ~ l , ~. 2. .r, x = - , ) c) í"(x,, x*,. . . , x,,) = (x2, x3, . . . x,, XI )

-+

Rn es uno a uno;encaso

~

b) T(x,,xL,. . . , x , ) = j x , , ~ . , ~ ,I . . . , . x ? , x i )

1

11. Sea TAn + Rn el operador lineal definido por la fórmula qx,,

x*, . . . , x , )

= (a,x1,a,x,,

. . . , a,,x,)

a) ¿En qué condiciones T tiene inversa?

8.3 Transformacioneslineales inversas / 477 b) Suponiendo que se cumplen las condiciones determinadas en el inciso a), encontrar una fórmula para T"(xl, x2, . , xn). 12. Sean Tl:R2+ R2 y T2@ + R2 los operadores lineales definidos por las fórmulas

T , ( x ,y ) = (x + y, x'

"

T,(x, y ) = (2x + y. x

y

y)

-

2y)

a) Demostrar que T I y Tz son uno a uno.

T," (x,y ) , T;' (x,y ) y (Tz TI)-' (x, y )

b) Encontrar fórmulas para

0

c) Comprobar que ( T 20 13. Sean T;P, + P , y Tz:P, +

= T I p 10

P, las transformaciones lineales definidas por las fórmulas

a) Encontrar fórmulas para

q-' @(x)), í?;I

b) Comprobar que (T2 0 T I ) - ¡= 14. Sean

T2-l.

0

@(x)) y

(T2 O T 1 ) - ' @ ( x ) )

T2-I

TAR^ + R3, T g R 3 + R3 y T p R 3 + R3 las reflexiones con respecto al plano x y , al

plano xz y al plano yz, respectivamente. Comprobar la fórmula (5) para estos operadores lineales. 15. Sea TPl + R2 la función definida por la fórmula

T M x ) ) = (P(O), P( I )I a) b) c) d)

Encontrar T( 1 - 2x). Demostrar que T es una transformación lineal. Demostrar que T es uno a uno. Encontrar T"(2,3) y trazar su gráfica.

16. Demostrar: Si V y W son espacios vectoriales de dimensiones finitas tales que dim W <

dim V, entonces no existe ninguna transformación lineal uno a uno T:V + W. 17. En cada inciso, determinar si el operador lineal TMZ2+ MZ2es uno a uno. En caso

afirmativo, encontrar

T(x, y ) = Demostrar que T es uno a uno para todo valor real de k y que T" = T.

18. Sea TR2 + R2 el operador lineal defindo porlafórmula

(x

+ /y, -y)

19. Demostrar que si T:V + Wes una transformación lineal uno a uno, entonces T":R(T) +

Ves una transformación lineal.

20. (Para quienes ya estudiaron CruCulo). Sea JPI + R la transformación integración 1

J(p) = j-, p(x)dx. Determinar si J es uno a uno. Justificar la ccnclusión.

478

,,


8.4 MATRICES DE TRANSFORMACIONES LINEALES GENERALES En esta sección se demostrará que si V y W son espacios vectoriales de dimensiones3nitas (nonecesariamente R" y Rm),entonces con un poco de ingenio cualquier transformación lineal T:V -+ W .se puede considerar corno una tran$ormación matricial. La idea básica es trabajar con las matrices de coordenadas de los vectores, en vez de hacerlo con los vectores mismos.

MATRICES DE TRANSFORMACIONES LINEALES

Supóngase que V es un espacio vectorial n dimensional y que W es un espacio vectorial m dimensional. Si se eligen bases B y B' para V y W,respectivamente, entonces para todo x en V la matriz coordenadas [xIB es un vector en R" y la matriz coordenadas [ T ( x ) ] pes un vector en Rm (figura 1). A es un vector en V (n-dimensional)

Figura 1

un A es en vector

T

X

I

I

i

un A es en vector W (m-dimensional)

A es un

[x18

R"

T(x)

[ Tt4h

vector en

R~

Si, como se ilustra en la figura 2, se completa el rectángulo sugerido en la figura 1, se obtiene una aplicación de R" a Rm, que se puede demostrar es una transformación lineal. Si se deja que A sea la matriz estándar de esta transformación, entonces

La matnz A en (1) se denomina matriz para T con respecto a las bases B y B'. T mapea Ven W

X

I

T

T(x) I

i

t

Figura 2

i La multiplicación por A mapea R" en R"

8.4 Matrices de transformaciones lineales generales / 479

Después, en esta sección se darán algunos usos de la matriz A en (l), pero primero se mostrará cómo se puede calcular. Para este efecto, supóngase que B = {u1, u2, . . . , U,,} es una base para el espacio n dimensional V, y que B' = {vl, v2, . . . , vm} es una base para el espacio m dimensional W . Se trata de encontrar una matriz m X n

A=

que (1) se cumpla para todos los vectores x en V. En particular, se quiere que esta ecuación sea verdadera para los vectores básicos ul, u*,. . . , U,,; es decir,

tal

A[uI]B=[T(ul)]B'~

A[u21B=[T(u2)1Br,

...)

A[unlB=[T(un)lBr

Pero O' 1 O

de modo que

I '

'

] =

O

a11

a12

a2 1

a12

am2

(2)

380

"


Sustituyendo estos resultados en (2) se obtiene

lo cual demuestra que las columnas consecutivas de A son las matrices de coordenadas de

con respecto ala base B'. Así, la matriz para T con respecto a las bases B y B' es

Esta matriz por lo común se denota con el símbolo [

IR', B

de modo que la expresión precedente también se puede escribir como

y por (1) esta matriz tiene la propiedad

Nótese que en la notación [qF8el subíndice derecho es una base para el dominio de T y que el subíndice izqulerdo es una base para el espacio imagen de T (figura 3 ) .

OBSERVACI~N.

, E

44

Además, obsérvese cómo el subíndice B parece "cancelarse" en la fórmula (4a) (figura 4).


MATRICES DE OPERADORES LINEALES

En el caso especial donde V = W (de modo que T:V + V es un operador lineal), es común tomar B = B' al construir una matriz para T. En este caso la matriz resultante se denomina matriz para T con respecto a labase B y se denota por [ q ~en, vez de [ ~ BB.I Si B = {u1, u,, . . . u,}, entonces en este caso las fórmulas (4) y (4a) se convierten en

Y

En términos informales, las expresiones (4a) y (5a) establecen que la matriz para T multiplicada por la matriz de coordenadas para x es la matriz de coordenadas para í"(x). Ejemplo 1 Sea T:P, * P, la transformación lineal definida por

Encontrar la matriz para T con respecto a las bases estándar

u, = 1,

u* =x; v1

=

1,

v2

=x,

v3 = x 2

Solución. A partir de la fórmula dada para T se obtiene

T(u,)= T(1) = (x)jl) = x T(U2) =

T(x) = (x)(x) = x2

Por inspección es posible determinar las matrices de coordenadas para T(u,) y T(u,) con respecto aB'; éstas son

482

'


Ejemplo 2 Sea T:P, -+ P, la transformación lineal del ejemplo 1. Demostrar que la matriz

[a y] o 0

1 TI,..,=

(obtenida en el ejemplo 1) satisface (4a) para todo vector x Solución.

=a

+ bx en P ,

Como x = p (x) = a + bx, se tiene

T(x)= xp(x)

= ax

+ hx2

Para las bases B y B' del ejemplo I, por inspección se concluyeque

[ T(x)],.= [ax

Por tanto,

+ bx2] =

[:I a

de modo que (4a) se cumple. A Ejemplo 3 Sea T:R2+ R3 la transformación lineal definida por


Encontrar la matriz para la transformación T con respecto alas bases B = { ul,u2} para R2 y B' = {vl, v2, v3}para R3, donde

Solución. A partir de la fórmula para T,

Expresando estos vectores como combinaciones lineales de vl, v2 y v3 se obtiene (comprobar) T(u,) = v 1 - 2v3,

T(u2)

= 3v,

+ v2

Así,

de modo que

Ejemplo 4 Sea T R 2 + R2 el operador lineal definido por T(

[;;I)

=

[

-

+

"1

2x, + 4x2

y sea B = {ul, u2} la base, donde

a) Encontrar [ q ~ . b) Comprobar que (5a) se cumple para todo vector x en R2 Solución de a ) . Por la fórmula dada para T,

-

v3

484


Por consiguiente,

En consecuencia,

Solución de b).

Si

x=

[:;I

es cualquier vector en R2, entonces por la fórmula dada para T

=

[

x1

-2x1

+ x2

+ 4x2]

Para encontrar [xIB y [T(x)IB,es necesario expresar (6) y (7) como combinaciones lineales de u1 y u2.Esto conduce a las ecuaciones vectoriales

Igualando los elementos correspondientes se obtienen los sistemas lineales

+ k , = x, k , + 2 k , = x2 k,

Y

+ c2 = x, + c , + 2c, = -2x, + 4x2 c1

x2

Resolviendo (10) para k , y k, se obtiene k , = 2 x 1 -x2,

de modo que rx1B =

k2=

[

-X,

2x, - x2 -x1 +x2]

+X,

8.4 Matrices de transformaciones lineales generales i 485

y resolviendo (1 1) para c1 y c2 se obtiene CI

= 4 X l - 2x2,

C2

= -3Xl

+ 3x2

de modo que

Así,

de modo que (5a) se cumple. A MATRICES DE OPERADORES IDENTIDAD

Ejemplo 5 B = {u1,u2, . . . , U,,} es cualquier base para un espacio vectorial V de dimensión finita e I:V * Ves el operador identidad sobre V, entonces I ( U , ) = UI, I(u2)= u2, . .

. , I(un)= u,

Por consiguiente,

Así,

... ...

'..

... 1 En consecuencia, la matriz de operador identidad con respecto a cualquier base es la matriz identidad de n X n. Este resultado se pudo haber anticipado a partir de la fórmula (5a), ya que la fórmula produce [zlB[xlE = E])'('[

= ['IR

lo cual es consistente con el hecho de que [Ijs= I. A

Se deja como ejercicio demostrar el siguiente resultado

186

1


Teorema 8.4.1. Si TR" + Rm es una transformación lineal y si B y 8'son las bases estándar para R" y R", respectivamente, entonces [TI,,,. = [ T I

(12)

Este teorema, establece que en el caso especial en que T transforma R" en Rm,la matriz para T con respecto a las bases estándar es la matriz estándar para T. En este caso especial la fórmula (4a) de esta sección se reduce a [ T ] x = T(x)

POR QUÉ SON IMPORTANTES LAS MATRICES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

Haydos razones esenciales para estudiar matrices de transformaciones lineales generales, una teórica y otra bastante práctica: A menudo es posible contestar preguntas teóricas acerca de la

o

estructura de transformaciones lineales generales sobre espacios vectoriales de dimensión finita estudiando simplemente las transformaciones lineales. estas cuestiones se consideran con más detalle en cursos más avanzados de álgebra lineal. aunque se abordarán en secciones ulteriores de este texto. Estas matrices hacen posible calcular imágenes de vectores usando multiplicación matricial. Los cálculos sepuedenefectuar rápidamente en computadora.

A fin de enfocar la segunda idea, sea T Y + W una transformación lineal. Como se muestra en la figura 5, la matriz [TIFB se puede usar para calcular T(x) en trespasos aplicando el siguiente procedimiento indirecto:

1) Calcular la matriz coordenadas [x]~. 2) Multiplicar xB por la izquierda por para obtener [T(x)lBl. 3) Reconstruir T(x) a partir de su matriz coordenadas [T(x)]p.

[nBB

Ejemplo 6 Sea T:P, + P2 el operador lineal definido por T ( p ( x ) )= P(3X - 5)

es decir, T(co + c I x + c2x2)= co + c1(3x- 5 ) + c2(3x -


a) Encontrar T , con respecto ala base B = { 1, x, 2}. b) Aplicando el procedimiento indirecto, calcular T( 1 + 2x + 3 2 ) . c) Comprobar el resultado delinciso b) calculando directamente T(l + 2x + 3x2). Solución de u). Por la fórmula para T. T( 1)

=

T ( x ) = 3~ - 5,

1,

T ( x 2 )= ( 3 -~5)’

= 9x2 -

de modo que

3 0 +~ 25

[2 1

Por tanto.

Solución de 6). 2x + 3x2 es

La matriz de coordenadas con respecto a B para el vector p = 1 +

Así, por (5a)


+

T( 1 + 2~ + 3x2) = 66 - 8 4 ~ 27x2

Solución de c ) . Por cálculo directo T(l

+ 2~ + 3x2) = 1 + 2 ( 3 -~ 5) + 3(3x 5)2 = 1 + 6~ - 10 + 27x2 - 9 0 + ~ 75 = 66 8 4+ ~2 7 ~ ’ -

-

lo cual concuerda con el resultado del inciso b). A

488 / Transformaciones lineales

MATRICES DE A continuación se enunciarán dos teoremas que son generalizaciones de la COMPOSICIONES fórmula (21) de la sección 4.2 y de la fórmula (1) de la sección 4.3. Se omiten las Y TRANSFORMA- demostraciones. CIONES INVERSAS Teorema 8.4.2. Si T , :U + V y T,: V + W son transformaciones lineales y si B. B" y B' son bases para U,V y W, respectivamente, entonces [ T, T, I B ' J O

=

[ T2 IB'.B"[ TI I

B 3

(13)

Teorema 8.4.3. Si T:V + V es un operador lineal y si B es una base para V, entonces la siguientes proposiciones son equivalentes. a) T es uno a uno. b) [qB es invertible.

I Además, cuando estas condiciones equivalentes secumplen

I

OBSERVACI~N. En la expresión (13), nótese cómo el subíntllce interior B" (la base para el espacio intermedo I? parece "cancelarse", quedando como Subindices sólo las bases para el dominio y el espacio imagen de la composición (figura 6 ) .

Figura 6

Esta cancelación de Subindices interiores sugiere la siguiente extensión dela fórmula (13) a composiciones de tres transformaciones lineales (figura 7).

El siguiente ejemplo ilustra el teorema 8.4.2.

Ejemplo 7 Sea T I P , + P, la transformación lineal definida por TI(P(X))= .vP(x) y sea T2:P2+ P , el operador lineal definido por

8.4 Matrices detransformaciones lineales generales I 489

(T, 0 TI)@, + CIX)

= (3x

-

= C0(3X

+ CI(3X - 5)) 5) + Cl(3X - 5)*

5)(c, -

(16)

En este ejemplo, P , desempeña el papel de U en el teorema 8.4.2 y P, desempeña los dos papeles de V y W, por tanto, en (13) se puede tomar B' = B", de modo que la fórmula se simplifica a (17)

[ T, TI l B ' , B = [ T2 IB'[ TI IB',B O

Se elegirán B = { 1, x} como la base para P , y B' = { 1. x, x,} como la base para P,. En los ejemplos 1 y 6 se demostró que

Así, por (17) se concluye que

Como comprobación, [T, TilFB se calculará directamente a partir de la fórmula (4). Como B = { 1, x}, por la fórmula (4) con u1 = 1 y u, = x se concluye que

Aplicando (16) se obtiene (T, Tl)(l) = 3x - 5 0

y

[-a]

(T2 T,)(x) =( 3 ~ 5), 0

= 9x2 - 3

Como B' = { 1, x, 2}, a partir de ésto se concluye que

w

2

0

T ~ ) ( = ~ N ~ ~

y

w

2

0

[

~ ~ ) ( x )= 1 ~,

0 +~ 25

490


Sustituyendo en (19) se obtiene

[; -5

7',1,,

=

25 -3;]

lo cual concuerda con (18). A

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 8.4 1. Sea TP,+ P3 la transformación lineal d e f ~ d por a T(p(x)) = xp(x).

a) Encontrar la matriz para T con respecto a las bases estándar B = {U,, U*, ~

3

)

B' =

y

~ 2 vi. ,

vql

donde UI= I,

u2 = x ,

v,

v2 =x,

=

1,

u3 = x > vj = x 2 ,

v4 =x3

[uFB

b) Comprobar que la matnz obtenida en el inciso a) satisface la fórmula (4a) para todo vector x = c o + cIx + e$ en Pz. 2. Sea T:P, + P, la transformación lineal defmida por

T(a, + a , x + U 2 X 2 ) = (a, + a , ) - (2a, + 3 q ) x

a) Encontrar la matriz para T con respecto a las bases estándar B = { 1, x , 2)y B' = 1, x paraP2 y P I . b) Comprobar que la matriz [qF8 obtenida en el inciso a) satisface la fórmula (4a) para todo vector x = c o + c I x+ cp2 en P2. 3. Sea TPz + P, el operador lineal definido por

T(a,

+ a,x + a$)

= U,)

+ a , ( x - 1) + u2(x

-

1)*

a) Encontrar la matnz para T con respecto a la base estándar B = { 1, x , 2)para P,. b) Cotnprobar que la matriz [7JBobtenida en el inciso a) satisface la fórmula (5a) para todo vector x = a,,+ a,x + u p 2 en Pz. 4. Sea T X 2 .+ R2 el operador lineal definido por

y sea B = u l , u2 la base para la cual

a) Encontrar [qe. b) Comprobar que la fórmula (5a) secumple para todo vector x en R2.

8.4 Matrices de transformaciones lineales generales / 49 I 5. Sea T:R2+ R3 definido por

a) Encontrar la matriz [TIpB con respecto a las bases B = { ul, u2} y B' = {v,, V2, donde

V3),

b) Comprobar que la fórmula (4a) secumple para todo vector

en R2 6. Sea TJ3 + R3defmido por T(x,, x, x3) = (xl - x, xz - x,, x1 - x3). a) Encontrar la matriz para T con respecto a la baseB' = {vl, v,, v3}, donde v , = ( l , O , l),

v 2 = ( 0 , 1, I ) ,

v 3 = ( 1 . 1,O)

b) Comprobar que la fórmula (5a) secumple para todo vector x = (x,, x*, x3)en R3. 7. Sea TP2 + P, el operador lineal definido por T(p(x)) = p ( k + 1); es decir,

T(c,

+

CIX

+ c2x2) = cg + c1(2x + I ) + cz(2x + 1)2

a) Encontrar [ T I B con respecto a la base B = { 1, x, 2). b) Aplicar el procedimiento indirecto ilustrado en la figura 5 para calcular T(2 - 3x + 4.2). c ) Comprobar el resultado obtenido en el inciso b) calculando directamente T(2 - 3x + 4.2). 8. Sea TP,+ P, la transformación lineal definida por T@(x)) = xp(x

T(c,

+ c , x + c$)

= X(C"

- 3); es decir,

+ c,(x - 3) + c2(x - 3)2)

a) Encontrar [qpB con respecto a las bases B = { 1, x, ?} y B = { 1, x, 2,?}. b) Aplicar el procedimiento indirecto ilustrado en la figura 5 para calcular T(l + x

2).

c) Comprobar el resultado obtenido en el inciso b) calculando directamente T( 1 + x

2).

-


c) Encontrar una fórmula para T

d) Aplicar la fórmula obtenida en el inciso c) para calcular T 3 - 2

10. Sea

A =

[-i

:]

o

1

5

la matnz de of T : R"R3

con respecto a las bases

(d)Usarlafórmulaobtenidaen(c)paracalcularT

(c) Encontrar una fórmul ~ a r a T [ [ ] ) .

m ) . 11. Sea A =

la matnz de of T :Pz -+ P, con respecto a la base

E = {v,, v2, v i ) , donde v I = 3x + 3x2, v2 =

-

1

+ 3x + 2x2,vj = 3 + 7x + 2 2 .

a> Encontrar [T(V,)l,,[T(v,)l, y [T(V3)1*. b) Obtener T(v,), T(vJ y T(v3). c) Hallar una fórmula para T(uo+ a l x + U$). d) Aplicar la fórmula obtenida en el inciso c) para calcular T( 1 + 2). 12. Sea T, PI+ P, la transformación lineal d e f ~ d por a

y sea T2P2+- P, el operador lineal definido por T,(p(xj) = p ( 2 x + 1)

8.4 Matrices de transformaciones lineales generales / 493 SeanB= {l,x}y B ' = {I,x,x?} lasbasesestándarparaP,yP,. a) Encontrar T2O TI l B : B ? r 2 1 B ' > y [ TIl B ' , B . b) Escribir una fórmula que relacione las matrices del ixiso a). c) Comprobar que las matrices del inciso a) satisfacen la fórmula enunciada en el inciso b). 13. Sea T,:P, + P, la transformación lineal definda por

T,(co + c,x) = 2c0 - 3c,x

y sea T2F2+ P, la transformación lineal definda por T,(co+ c,x

+ c2xZ) = 3c0x + 3

4

+ 3c2x3

SeanB={1,x},B"=(1,x,~}yBm={1,x,~,~}.

a) Encontrar [ T2 o TI ] B ' . B , [ T21B',B"i Y [ TI1B':B. b) Escribir una fórmula que relacione las matrices del incisoa). c)Comprobar que las matrices delinciso a) satisfacen la fórmulaplanteada en el inciso b). 14. Demostrar que si T:V + W es la transformación cero, entoncesla matriz T con respecto

a bases cualesquiera para V y W es una matnz cero. 15. Demostrar que si T:V + V es una contracción o una dilatación de V (ejemplo 4 de la sección 8. l), entonces la matriz para T con respecto a cualquier base para V es una

matriz diagonal. 16. Sea B = {v,, v2, v3, v4) una base para un espacio vectorial V. Encontrar la matriz con

respecto a B del operador lineal T V + V defindo por T(v,)=v2, T(v,)= v,, T(v3)= v4, T(v4)= V I . 17. (Para quienes y a estudiaron C6lculo). Sea D I P , + P, el operador derivación D(p)= p'(x). En los incisos a) y b), encontrar la matriz D con respecto a la base B =

{PI,P,. PJ

(b) p, = 2, p2 = 2 - 3x, p3 = 2 - 3x + 8x2 c) Usar la matriz del incisoa) para calcularD(6 - 6x + 242). d) Repetir las instrucciones del inciso c) para la matriz del inciso b). a) p, = 1, p2 = x , p3 = x 2

18. (Para quienes ya estudiaron CcuCurO).En cada inciso,B = {f,,f2, f,} es una base para

un subespacio V del espacio vectorial de funcionescon valores reales defindas sobre la recta real. Encontrar la matriz con respecto a B del operador derivaciónD:V -D V. a) f, = 1, f2 = senx, f3 = cos x c) f, = e2x, f2 = x e Z x , f3 = x 2 e Z X

b) f, = 1, f2 = e x , f3 = e 2 x

19. Demostrar: Si B y B' son las bases estándar para R" y R"', respectivamente, entonces la

matnz de la transformación lineal T8" + R"' con respecto a las bases B y B' es la matriz estándar para T.

494


8.5 SEMEJANZA La matriz de un operador lineal T:V + V depende de la base elegida para V. Uno de los problemas fundamentalesdel álgebra lineal es elegir una base para V que simplijque la matriz para T; por ejemplo, diagonal o triangular. En esta sección se estudiará esteproblema.

ELECCIÓN DE BASES A FIN DE OBTENER MATRICES SIMPLES PARA OPERADORES LINEALES

Las bases estándar no necesariamente producen a ls matrices más simples para operadores heales. Por ejemplo, considérense el operadorlineal TR2 += R2 definido por T([r:l)

=

[

-

2x, 'I'

+ 4x, '2]

y la base estándar B = {el, e2>para R2, donde

Por el teorema 8.4.I, la matriz para T con respecto a esta base es la matriz estándar para T; es decir, TI,

=[TI =

[ V e , ) I T(e2)l

de modo que

En comparación, en el ejemplo 4 de la sección 8.4 se demostró que si

entonces la matriz para T con respecto ala base B' ={ ul, u2} es la matriz diagonal

Esta matriz es más "simple" que (2) en el sentido de que las matrices diagonales poseen propiedades especiales que no tienena lsmatrices generales. Uno de los temas principales en cursos más avanzados de álgebra lineal es determinar la "forma más simple posible" que se puede obtener para la matriz un operador lineal al elegir la base correcta. Algunas veces es posible obtener una

8.5 Semejanza / 495

matriz &agonal (como se acaba de hacer, por ejemplo); otras veces es necesario establecer una matriz triangular o de alguna otra forma. En este texto sólo será posible mencionar la importancia de este tema importante. El problema de determinaruna base que produzcala matriz más simple posible para un operador heal T V V se puede atacar encontrando primerouna matriz para T con respecto a cualquier base; por ejemplo una base estándar, cuandosea posible, y luego cambiando la base de manera que se simplifique la matriz. Antes de prosegw será de utilidadrepasar algunos conceptos sobre cambio de base. con esta idea, Recuérdese por la ftrmula (8) de la sección 6.5 que si B = {ul, u2, . . . , un} y B' = { u ,u ,. . . ,u son bases para un espacio vectorial V, entonces la matriz de transición de B"a B está definida por la fórmula

-

, ,

1

L}

1

p

=

[[u;],

j

[u;],

j

' ' '

: [ull,]

Esta matriz posee la propiedad de que para todo vector v en P[VIB' = [VI,

es decir, la multiplicación por P mapea la matriz coordenadas para v con respecto a B' en la matriz coordenadas para v con respecto a B [véase la fórmula (7)] en la sección 6.51 . En el teorema 6.5.4 se demostró que P es invertible y P" es la matriz de transición de B a B'. RELACI~N ENTRE LAS MATRICES DE TRANSICI~N Y LOS OPERADORES IDENTIDAD

El siguiente teorema proporciona otro punto de vista útil sobre las matrices de transición; muestra que la matriz transición de una base B' a una base B se puede considerar como la matriz operador identidad. Teorema 8.5.1. Si B y B' son bases para un espacio vectorial V de dimensión finita y si I:V + V es el operador identidad, entonces [qBpes la matriz de transición de B' a B. Demostración. Supóngase que B = {u1, u2, . . . , un} y B' = # , { u ,u ,. .. ,u }son bases para V. Usando el hecho de que I(v) = v para todo v en V, por la fórmula (4) de la sección 8.4, con B y B invertidas, se concluyeque

Así, por (5), se tiene [IjBg' transición de B' a B. 0

=

P, lo cual demuestra que [JIBB' es la matriz

El resultado de este teorema se ilustra en la figura l .

Figura 1

I

Base = B'

Base = B

[ Z ] B , B 8 es la matriz de transici6n de B' a B.

I

496

' Transformacrones lineales

EFECTO DEL CAMBIO DE BASES SOBRE MATRICES DE OPERADORES LINEALES

Ahora ya es posible considerar el problema principal de esta sección. Problema. Si B y B' son dos bases para un espacio vectorial V de Imensión finita y si T:V + V es un operador lineal, ¿qué relación existe, si la hay, entre las matrices [goy [ qF?

Esta pregunta se puede contestar considerando la composición de los tres operadores lineales sobre V que se ilustra en la figura 2.

I

Y

Figura 2

V

V

V

V

Base = B'

Base

I

I'

=B

Base

V = B

Base

=

B

En esta figura v primero es mapeado en sí mismo por el operador identidad, luego v es mapeado en T(v) por T,luego T(v) es mapeado en sí mismoporel operador identidad. Los cuatro espacios vectoriales de la composición son los mismos (a saber, 4; sin embargo,a ls bases para los espacios varían. Como el vector inicial es v y el vector final es T(v),la composición es la misma que T; es decir, T = 1 0T a l

(7)

Si, como se ilustra en la figura 2, a los espacios vectoriales primero y último se asigna la base B' y a los dos espacios de enmedio se asigna la base B, entonces por ( 7 ) y la fórmula (15) de la sección 8.4 (con un ajuste apropiado en los nombres de las bases) se concluye que [ TIB',B' = [ I o T o l l B ' , B r

= [IIB',R[ TIB,B[llE,E'

(8)

o bien, en notación más simple,

Pero por el teorema 8.5.1 se deduce que [dBY,esla matriz transición de B' a B y que, en consecuencia. I B'B es la matriz transmon de B a B'. Luego, si se hace P = [ABB"entonces P" = [AEB,de modo que (9) se puede escribir como [TI,,

=P

'[ T],P

En resumen. se tiene el siguiente teorema.

Teorema 8.5.2. Sea T:V + V un operador lineal sobre un espacio vectorial V de dimensiónfinita, y sean B y B' bases para V. Entonces I

I

I donde P es la matriz de transicion de B' a B.

.. .

8.5 Semejanza / 497

Advertencia. Cuando se aplica el teorema 8.5.2 es fácil olvidar si P es la matriz transición de B a B' (incorrecto) o de B' a B (correcto). Puede ser útil escribir (10) en la forma (9), teniendo en mente que los tres subindices "interiores" sonlos mismos, y que los dos subindices exteriores son los mismos:

Una vez que se domina este patrón, basta recordar que P transición de B' a B y que P" = [AFBes su inversa.

Ejemplo 1 Sea TR2

-

=

[ARB' es la

matriz

R2 definido por

T(

[:I) [ :

4 3

-2::

=

Encontrar la matriz T con respecto a la base estándar B = {el, e,} para R2, y luego ap!icqr el teorema 8.5.2 para encontrar la matriz T con respecto a la base B' = { U I . U}, ~donde y

u;=[;]

u;=[;]

Solución. En esta sección ya se demostró ver (2) que

Para encontrar [

a partir de (10) es necesario encontrar la matriz transición

[ver (5)]. Por inspección,

+ e2 u; = e, + 2e2

u;

= e,

498

7iansformaciones lineales de modo que

Así, la matriz transición de B' a B es

El lector puede comprobar que

de modo que por el teorema 8.5.2 la matriz T con respecto a la base B' es

lo que concuerda con (4). A SEMEJANZA

La relación enla fórmula (10) es tan importante que existe terminología asociada con ella.

Definición. Si A y B son matrices cuadradas, se dice que B es semejante a A si existe una matriz invertible P tal que B = P"AP. OBSERVACI~N.

Nótese que la ecuación B

=

P- 'AP se puede volver a escribir

como

Haciendo Q = P"

se obtiene

que establece que A es semejante a B; por tanto, B es semejante a A si y sólo si A es semejante a B; así, en general, simplemente se &rá que A y B son semejantes. INVARIANTES BAJO SEMEJANZA

Las matrices semejantes a menudo tienen propiedades en común; porejemplo, si A y B son matrices semejantes, entonces A y B tienen el mismo determinante. Para darse cuenta de que así es, supóngase que B

= P"AP

8.5 Semejanza / 499 Entonces det(B) = det( P"AP) -

1

det ( P)

= det(

P")det(A)det( P)

det ( A )det ( P) = det ( A )

Se hace la siguiente definición.

Definición. Sediceque una propiedaddelasmatrices cuadradas es invariante bajo semejmzu si tal propiedad es comparbda por dos matrices semejantes cualesquiera.

una matriz cuadrada es un invaEn los términosde esta definición, el determinante de riante bajo semejanza. En la tabla 1 se enumeran otros invariantes bajo semejanza importantes. La demostración dealgunos de los resultados de la tabla1 se proporciona en los ejercicios. Por el teorema 8.5.2 se concluye que dos matrices que representan al mismo operador lineal T:V + V con respecto a dos bases diferentes son semejantes. Entonces, si B es una base para V y la matriz [qB posee alguna propiedad que no varía bajo semejanza, entonces para toda base B' la matriz [qEtiene la misma propiedad. Por ejemplo, para dos bases cualesquiera B y B' se debe tener

Por esta ecuación se concluye que el valor del determinante depende de T, pero no de la base particular que se usa para obtener la matriz para T. Así, el determinante se puede considerar como una propiedad del operador lineal T; de hecho, si V es un espacio vectorial de dimensión finita, entonces el determinante del operador lineal T se puede dejnir como

TABLA l. Znvariantes bajo semejanza Descripción

Propiedad Determinante

A y P"AP tienen el mismo determinante.

Invertibilidad

A es invertible si y sólo si P- 'AP es invertible.

A y P"AP tienen el mismo rango.

Nulidad

A y P-lAP tienen la misma nulidad.

Traza

A y P"AP

tienen la misma traza.

Polinomio característico A y P"AP tienen el mismo polinomio característico. Eigenvalores

A y P"AP tienen los mismos eigenvalores.

Dimensión del eigenespacio

Si 1 es un eigenvalor de A y P"AP, entonces el eigenespacio de A correspondiente a 1 y el eigenespacio de P"AP correspondiente a 1 tienen la misma dimensión.

d e t ( T ) -= det([ T I R )

donde B es cualquier base para V. Ejemplo 2 Sea T:R2+ R2 definido por

[

T ( [ ~ J )=

14zI]

-2::

Encontrar det(7). Solución. Puede elegirse cualquier base B y calcular det( [ TIB). Si se considera la base estándar, entonces por el ejemplo 1

de modo que det(T)=

Si se hubiese elegido la base B' obtenido

=

1 '1 -2

=6

{u1, u2} del ejemplo 1, entonces se hubiera

Por tanto

det(T)=

1 1 2 o

lo cual concuerda con el cálculo precedente.

UN EJEMPLO GEOMÉTRICO

4

0 =6 3

A

Ejemplo 3 Sea 1 la recta en el plano xy quepasa por elorigen y forma un ángulo con el eje x positivo, donde O 5 8 < n. Como se ilustra en la figura 3 , sea T:R2 + R2 el operador lineal que mapea cada vector en su reflexión con respecto a la recta 1.

8.5 Semejanza / 501

a) Encontrar la matriz estándar para T. b) Encontrar la reflexión del vector x = (1, 2) con respecto a la recta 1 que pasa por el origen y forma un ángulo 8 = n/6 con el eje x positivo. Solución de a). Se podría proceder como en elejemplo 5 de la sección 4.3 e intentar construir la matriz estándar a partir de la fórmula

B' = {u;,u;} es labase que consta de un vector unitario u;a lo largo de 1y de un vector unitario i2perpendicular a I (figura 4).

f'

Una vez que se ha encontrado [TJEse efectúa un cambio de base para enLos cálculos son como sigue: contrar [qB.

T(u;)= U ;

y

T(u;)=

-U;

de modo que

Por tanto,

Por los cálculos en el ejemplo 6 de la sección 6.5, la matriz transición de H' a B es

.. . .

502 1 Transformaciones lineales

Por la fórmula (10) se deducs que [ T I , = P[T],,P" Así, por (12) la matriz estándar para

[ T I = P[ T],#P"

=

T es

[cos 8 sen8

-senO][l cos 8 O

O][ -1

cos 8 sen8 -sene cos 0

cos2 8-sen28 2 sen8cos 8 2 sen e cos 8 sen28 - cos2 8

cos 28 sen28

1

sen 28 -cos 28

Solución de b). Por el inciso a) se concluye que la fórmula para T en notación matricial es

Sustituyendo 8 = n/6 en esta fórmula se obtiene

de modo que

EIGENVALORES DE UN OPERADOR LINEAL

Los eigenvectores y los eigenvalores sepueden definir para operadores lineales también como matrices. Un escalar A se denomina eigenvalor de un operador lineal T:Y + V si en V existe un vector x diferente de cero tal que Tx = Ax. El vector x se denomina eigenvector de T correspondiente a A. De manera equivalente, los eigenvectores de T correspondientes a A son los vectores diferentes de cero en el núcleo de AI - T (ejercicio 15). Este núcleo se denomina eigenespaciu de T correspondiente a A. Se puede demostrar que si V es un espacio vectorial de dmensión finita y B es cualquier base para Y, entonces l. Los eigenvalores de T son iguales a los eigenvalores de [ TIB. 2. Un vector x es un eigenvector de T correspondiente a A si y sólo si su matriz coordenadas [x]B es un eigenvector de [ TIB correspondiente a A.

8.5 Semejanza

1'

503

Se omiten las demostraciones.

Ejemplo 4 Encontrar eigenvalores y bases para los eigenespacios deloperador lineal T:P, + P, definido por

= { 1, x, x2} es

Solución. La matriz Tcon respecto a la base estándar B

(comprobar). Los eigenvalores de T son 1 = 1 y 1 = 2 (ejemplo 5 de la sección 7.1). También por ese ejemplo, el eigenespacio de [ T J Bcorrespondiente a 1 = 2 tiene la base [u1, u,}, donde

y el eigenespacio de I T J B correspondiente a 1 = 1 tiene la base { u3}, donde

Las matrices ul, u, y u3 son las matrices de coordenadas con respecto aB de p1 = - 1

+2

,

p2 = x,

p3 =

-

2

+ x + x2

Así, el eigenespacio de T B correspondiente a 1 = 2 tiene la base

y el correspondiente a 1 = 1 tiene la base

(p3)

=

(-2 +x+x2}

Como comprobación, el lector debe usar la fórmula dada para T a fin de verificar que í"(PI) = 2P,> T(P,) = 2P, Y T(P3) = P3. A

Ejemplo 5 Sea T:R3-, R3 el operador lineal definido por

504

/


Encontrar una base para R3 con respecto a la cual la matriz para T sea diagonal. Solución. Primero se encontrará la matriz estándar para Tr luego se buscarh un

cambio de base que diagonalice la matriz estándar. Si B = {el, e2,e3>denota la base estándar para R3, entonces


,

(

I

Ahora se quiere cambiar de la base estándar B a una nueva base B' = {uI,u2,u3}a finde obtener una matriz diagonal para T. Si se hace que P sea la matriz transición de la base desconocida B' a la base estándar B, entonces por el teorema 8.5.2 las matrices T y [qB' se relacionan mediante

En el ejemplo 1 de la sección 7.2 se encontró que la matriz la expresión (1 3) es diagonalizada por

o

-1

P=[

o

1

1

o

-21 1$

9

,

Como P representa la matriz transición de la base B' = (ul,u2,u,>a la base estándar B = {el, e2, e,},las columnas de P son [ u;]B, [ &IB, y [ u3IB, de modo que

Por tanto, u;

=

( - l)e,

+ (O>e,+ (l)e3 =

U; =

(O)e, + (I)e,

U; =

(-2)e,

+ &Ve3 =

[:I

8.5 Semejanza i 505

1

+ (I)e2 + (])e3 =

son vectores básicos que producen una matriz diagonal para [í''IP. Como comprobación, en seguida se calculará directamente [í''IB'.Por la fórmula dada para T se tiene que T(u;) =

[-p]

= 2u;,T(&)

=

[i]

=2

4,

Esto es consistente con (14), ya que

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 8.5 En los ejercicios del 1 al 7 encontrar la matnz T con respecto a B, y usando el teorema 8.5.2 para calcular la matriz T con respecto a B'. 1. T.R2 + R2 está definido por

B = {u,,u2} y B ' = {vl, v2}, donde

T(u;)

=

[-y]

= U;

506 í Transformaciones lineales

2. TR2 + R2 está definido por

3. TR2 + R2 es la rotación de 45O conrespectoalorigen; ejercicio 1.

4.

[; I)

B y B son las basesdel

TR3+ R3 está definido por T(

[]3x'-,:X+I + 7x3

B es la base estándar para R3 y B = {v,, v2, v3}, donue

5. TB3+ R3 es la proyección ortogonal sobreel plano q, B y B' son como en el ejercicio 4.

6, TB2 + R2 está definido por T(x) = 58;B y B son las bases del ejercicio 2 7. TP,+ P , está definido por T(ao + a,x) = a. + a,(x + 1); B = {p,, pz} y B = {q,, q2}, donde p, = 6 + 3x, p2 = 10 + 2 x , q, = 2, q2 = 3 + 2x. 8. Encontrar det(T)

a) T :R2-+R2, donde T(x,,x,) = (3x,- 4x,, b) T : R3-+R3, donde T ( x , , x,, x3)= (x1-x,, c) T :P2+ P,, donde T(p(x))= p ( x - 1)

-x1 + 7x,) x, - xj, xj - xI)

9. Demostrar que las siguientes características son invariantes bajo semejanza

a) Rango.

b) Nulidad.

Invertibilidad. c)

10. Sea TP4+ P4 el operador lineal definido por la fórmula T@(x)) =p(2x + 1).

a) Encontrar una matnz para T con respecto a alguna base conveniente; luego, usando el resultado del ejercicio 9, encontrar el rango y la nulidad de T. b) Con el resultado del inciso a), determinar si T es uno a uno. 11. En cada inciso, hallar una base para R2 con respecto a la que la matriz para T sea diagonal.

8.5 Semejarlza

a) T(

[:I)

=

”1

[

2x, + 4x2

b) T (

[:I) [ =

+

- 4x1 3x1 x2

12. En cada inciso, encontrar una base para R3 con respecto a la que la matriz para T sea

diagonal.

13. Sea TP,-* P, defindo por T(u,

+ U,X + a2x2)= (5u0 + 6 ~ +, 2u2)- + ~ u , ) x+ (uo- 2u2)x2 (U,

a) Encontrar los eigenvaloresde T.

b) Hallar bases para los eigenespaciosde T

14. Sea TMZ2+ Mz2 definido por

.([:;I)= [

u+ dc]

b -2c 2c

a) Encontrar los eigenvalores de T. b) Obtener las bases para los eigenespacios de T. 15. Sea 1 un eigenvalor de un operador lineal T V + V. Demostrar que los eigenvectores de T correspondientesa I son los vectores diferentes de cero enel núcleo de II T.

-

16. Demostrar que si A y B sonmatricessemejantes,entonces

A’ y BZ tambiénson semejantes. De manera más general, demostrarque Ak y Bk son semejantes, dondek es un cualquier entero positivo. X n, y sea B = {v,, v,,. . . , vn} una base para un espacio vectorial V. Demostrar que si C[x], = D[x], para todo x en V, entonces C = D.

17. Sean C y D matrices m

18. Sea I una recta en el plano xy que pasa por el origen y forma un ángulo 8 con el eje x positivo. Como se ilustra en la figura 5, sea TB2 + R2 la proyección ortogonal de R2 sobre 1. Con el método del ejemplo 3, demostrarque

[ I]) [ =

cos2 e sene cos

e

sen O cos sen2e

[Nota Ver el ejemplo 5 de la sección 4.3.1

t”

y (X.”) \

1

e]

[;]

i

507


EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS X n, B una matriz n X 1 diferente de cero y x un vector en R" expresado en notación matricial. ¿Es T(x) = Ax + B un operador lineal sobre R"? Justificar la respuesta.

L. Sean A una matriz n

2. Sea A=

[

cos 8 sen8

-sen0 cos 0

1

a) Demostrar que A'=

[

cos 28 sen20

-sen28 cos 20

y

-sen30 cos 30 sen30

A3=[

cos 30

1

b) Conjeturar la forma de la m a w A" para cualquier entero positivo n. c) Considerando el efecto geométrico de TB2 + R2, donde T es la multiplicación por A , obtener geométricamente el resultado del inciso b). 3. Sea vo un vector fijo en un espacio V con producto interior, y sea T:V -D V definido por T(v) = (v, vo)vo. Demostrar que T es un operador lineal sobre V.

4. Sean Y ,., Y,,I . . . , v m vectores fijos en R", y sea TR" + Rmla función definda por T ( x ) = (x * v,, x . v2, . . . , x * vm),donde x . vi es el producto interior euclidiano sobre R". a) Demostrar que T es una transformación lineal. b) Demostrar que la matriz con vectores renglón vl, v2, . . . , vm es la matriz estándar para T . 5. Sean fe,, e2, e3, e4} la base estándar para @ y T@ + R3 la transformación lineal para

la cual T ( e , ) = (1, 2. 11, V e , ) = (1, 3, O),

7Ye2)=(O, 1, O), T(e,) = (1, 1, 1)

a) Encontrar bases para el recomdo y el núcleo de T. nulidad de T.

b) Encontrar elrango

6. Supóngase que los vectores en R3 se denotan por matrices de 1 R3 por -1

m x ,

x2

%I)

=

[x,

x2

%I/

2 4-

3 O I] 2 2 5

a) Encontrar una base para el núcleo de T.

b) Encontrar una base para el recomdo de T .

X

y la

3, y definase TR3-D

Ejercicios complementarios / 509 7. Sean B = {v,, v,, v3, v4} una base para un espacio vectorial V y T:V + V el operador lineal para el que T(V,) = V I v2 + v3 3v4

+

+

T(v,) = V I - v2 + 2v, + 2v, T(v,) = 2v, - 4v2 SV, + 3v, T(v,) = -2v1 + 6v2 - 6v3 - 2 ~ 4 a) Encontrar el rango y la nulidad de T.. b) Determinar si T es uno a uno.

+

8. Sean V y W espacios vectoriales, T, TI y T, transformaciones lineales de V a W y k un

escalar. Nuevas transformaciones, TI + T, y kT, se definen mediantelas fórmulas (TI + T2)(x) = T d X ) + T2(x) (kT)(x) = k(T(x))

a) Demostrar que (TI + T,): V W y kT: V + W son transformacioneslineales. b) Demostrar que el conjunto de todas las transformaciones lineales de V a W con las operaciones del incisoa) forman un espacio vectorial.

9. Sean A y B matnces semejantes. Demostrar lo siguiente: a) y B~ son semejantes. b) Si A y B son invertibles, entonces A" y B" son semejantes 10. (Teorema alferna&ivode Fredholm). Sea T:V + V un operador lineal sobreun espacio vectorial n dimensional. Demostrar que se cumple exactamente una de las siguientes

proposiciones: i) La ecuación T(x) = b tiene una solución para todos los vectoresb en V. ii) Nulidad de T > O. 11. Sea TM,,

+ M,,

el operador lineal definido por

Encontrar el rango y la nulidad de T. 12. Demostrar: Si A y B sonmatrices semejantes y si

C y D son matrices semejantes,

entonces A y C son matrices semejantes. 13. Sea TM,, + M,, el operador lineal defindo por T(M) = MT. Encontrar la m a w para

T con respecto ala base estándar para M2,. 14. Sean B = {u1,u2, u3}y B' = {v,, v,, v3} bases para un espacio vectorial V, y sea

P=[!

-

j

ij

la matriz transición de 6' a B a) Expresar v l , v2, v3como combinaciones lineales de ul, u2,u3.

51 O

_/'

lransformaciones lineales

b) Expresar u , , u*, u3 como combinaciones lineales de v,, v2, vj 15. Sean B = {u,, u2, u3} una base para

un espacio vectorial V y T:V

* Y un operador

lineal tal que -3

4

7

Encontrar [TIB',donde 8 = {vl, v2, v3] es la base para Y definida POI

16. Demostrar que las matrices

son semejantes, pero que

[-1 -:I

y

[

-I

2 1

o]

no lo s o x 17. Supóngase que T: V + Ves un operador lineal y que B es una base para V tal que para cualquier vector x en V

Encontrar [ TI,. 18. Sea T:V + Vun operador lineal, Demostrar que T es uno a uno si y sólo si det(l")

f

O

19. (Para quienes ya esfudimon Cálculo). m ) + F( - m , QJ)definida por D ( f ) =f'(x) es una transformación lineal. h) Encontrar una base para el núcleo de D. c) Demostrar que l a fimción que satisface la ecuación D ( f ) = A x ) forma un subespacio bidimensional de C 2 ( - m , m ) , y encontrar una base para este subespacio.

a) Demostrar que la función D:C2(- m ,

r:J

20. Sea TP2 + R3 la función d e f ~ d por a la fórmuia

T ( P ( - d )=

P(0)

a) Encontrar T(x' + 5x + 6). b) Demostrar que T es una transformación lineal c) Demostrar que T es uno a uno. d) Encontrar

Ejercicios complementarios 1 51 1

e) Trazar la gráfica del polinomio del mciso d). 21. Sean xl, x, y,x3 números reales distintos tales que x , < x, < x3, y sea TP, +R3 la función definida por la fórmula

a) Demostrar que T es una transformación lineal. b) Demostrar que T es uno a uno. c) Comprobar que si a l ,a2 y a3 números reales cualesquiera, entonces

donde

d) ¿Qué relación existe entre la gráfica de la función

a,P,(x)+ @2(4

+ @,(X)

Y 10s puntos (X1>al),(x,.

a2) Y (x3,a,)?

22. (Para quienes y a estudiaron CcuCub).Sean p ( x ) y q(x) funciones continuas,y sea V el subespacio de C( - m , 00) que consta de todas las funciones que son derivables dos

veces. L:V * V se define como

a) Demostrar que L es un operac'or lineal. b) Considérese el caso especial en que p ( x ) = O y q(x) = l . Demostrar que la función $(x) = c, sen x + c2 cos : es el espacio nulo de L para todos los valores reales de c, y c2. 23. (PWQquienes y a estudiaron CcuCub). Sea D P n + P, el operador derivación D(p) = p'. Demostrar que la matriz para D con respecto a la base B = { 1, x, 2,. . . ,X} es -0 1 o o ' ' _ O O 2 O " ' O O O O 3 " ' O

.. .

.. .

.. .

o1

.. .

0 O O O " ' n 0 0 0 0 " ' 0

-5 I 2

'


24. (Para quienes ya estudiaron Cdkulo). Puede demostrarse que para cualquier número

real c, los vectores (x

I , 1 - l ' , --.

~~

c.)>

...,

2!

(x

~

c.)" I2 !

formanuna base para P,,. Encontrar la matriz para eloperadorderivacion qerclcio 23 con respecto a esta base. 25. (Para quienes ya estudiaron Cálculo). Sea J:P,

+=

P,,

del

la transformación integración

definida por (u,,+a,x+"'+cl,,x")d.~=a,,s+-.u u1 2

2

donde p = U + +.. estándar para P,, y Pn+,.

.

+...+a,*"" n+ I

+ a,.". Encontrar la matriz para J con respecto a las bases

9.1

APLICACIONES A LAS ECUACIONESDIFERENCIALES Muchas leyes de fisica, química, biología y economia están descritas en términos de ecuaciones diferenciales; es decir, ecuaciones en lasque aparecenfunciones y sus derivadas. El objetivo de esta sección es ilustrar una forma en que se puede aplicar el álgebra lineal para resolver ciertos sistemas de ecuaciones diferenciales. El alcance de esta sección es corto, aunque ilustra un área importante de aplicación del álgebra lineal.

TERMINOLOGÍA Una de las ecuaciones diferenciales más simples es

donde y =fix) es una función desconocida a determinar, y' = dy/dx es su derivada y a es una constante. Como casi todas las ecuaciones diferenciales, (1) tiene infinidad de soluciones; se trata de las funciones de la forma y

(2 1

= tea'

donde c es una constante cualesquiera. Cada función de esta forma es una solución de y' = ay, ya que y'

= caeaX -

QY

514

/

Temas complementarios Recíprocamente, toda solución de y' = ay debe ser una función de la forma cem (ejercicio 7). de modo que (2) describe las soluciones de y' = ay. La expresión (2) se denomina solución general de y' = ay. Algunas veces el problema físico que genera una ecuación diferencial impone alguna condición agregada que permite aislar unasolución particular de la solución general. Por ejemplo, si se requiere que la solución de y' = ay cumpla la condición agregada y(0)

=3

(3 )

es decir, y = 3 cuando x = O, entonces al sustituir estos valores en la solución general de y = ce" se obtiene un valor para c, a saber,

Así,

es la única solucih de y' = a-v que satisface la condición agregada. Una condición como (3), que especifica el valor de la solución en un punto, se denomina condición inicial, y el problema de resolver una ecuación diferencial sujeta a una condición inicial se denominaproblema con valor inicial.

SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

En esta sección se explica cómo resolver sistemas de ecuaciones diferenciales de la forma

donde y1 =fi(x), y z =&(x), . . . ,yn =&(x) son funciones que serán calculadas y las a,, son constantes. En notación matricial, (4) se'puede escribir como

o, más brevemente, como Y' = A Y

Ejemplo 1

a) Escribir el siguiente sistema en forma matricial:

9.1 Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales / 515 3y1

Y; = Y;

=

-2Y2 5Y3

Y; =

b) Resolver el sistema. c) Obtener una solución del sistema que cumpla las condiciones iniciales y , (O) 1, YZ(0) = 4 Y Y3(0) = -2.

=

Solución de a).

o

3

0 -2

O

0

Y1 Y2 Y3

o bien, 3

y' =

0 -2 O 0

o

Y

Solución de 6). Debido a que en cada ecuación hay sólo una función desconocida, las ecuaciones se pueden resolver individualmente. Por (2) se obtiene y I = cle3x y 2 = c2e y, = c3e5x


Solución de c).

A partir de las condiciones iniciales dadas, se obtiene I = y,(O) = Cleo= c , 4

= y2(0)= czeo= c2

- 2 = y,(O) = e j e o = c,

de modo que la solución que satisface las condiciones iniciales es

o bien, en notación matricial.

516

Temas complementarios

El sistema delejemplo precedente es fácil deresolver porque para cada ecuación sólo hay una función desconocida, y este hecho se debea que lamatriz de coeficientes (5) para el sistema es diagonal. Sin embargo, ¿cómo manejar un sistema

Y' = A Y en el que la matriz A no es diagonal? La idea es sencilla: se intenta hacer una sustitución para Y con la que se &tenga un nuevo sistema con una matriz de coeficientes diagonal; se resuelve este nuevo sistema más simple y luego se usa esta solución para determinar la solución delsistema original El tipo de sustitución que se tiene en mente es


o, más brevemente.

En esta sustitución, los coeficientesp,, son constantes por determinar de forma que el nuevo sistema con las funciones desconocidas ul, u2, , , . , un tenga una matriz de coeficientes diagonal. Se deja como ejercicio para el lector derivar cada ecuación en (6) y obtener

Y' = PU' Si se efectúan las sustituciones Y = PU y

Y = P U en el sistema original Y' = A Y

9.1 Aplicaciones a las ecuaciones dqerenciales / 517 y si se supone que P es invertible, se obtiene

PU'

= A(PU)

o bien, U'

= (P"AP)U

o bien,

U'

= DU

donde D = P-lAP. La elección de P resulta evidente ahora; si se quiere que la nueva matriz de CoeficientesD sea diagonal, P se debe elegir a P como una matriz que dagonalice a A . PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Lo anterior sugiere el siguiente procedimiento para resolver un sistema Y' =AY

con una matriz de coeficientes diagonalizableA .

-

Paso 1.

Encontrar una matriz P que diagonalice a A .

Paso 2.

Hacer las sustituciones Y = PU y Y = P V para obtener unnuevo "sistema diagonal" I/" = DU, donde D = P"AP.

Paso 3.

Resolver V = DU.

Paso 4.

Determinar Y a partir de la ecuación Y = PU.

Ejemplo 2

a) Resolver el sistema Y;= Y,+

Y2

y; = 4yI - 2y2 b) Encontrar la solución que cumpla las condiciones iniciales Y l ( 0 )= 1, Y2(0>= 6. Solución de a).

La matriz de coeficientes para el sistema es

518

1

Temas complementarlos

Como se explicó en la sección 7.2, A es diagonalizada por cualquier matriz P cuyas columnas sean eigenvectores de A linealmente independientes. Como det( dl - A ) = los eigenvalores deA son A

d"1 -4 = 2,A =

I

-1 =d2+d-6=(A+3)(d-2) a+Z1

- 3 . Por definición,

es un eigenvector de A correspon&ente a A si y sólo si x es una solución no trivial de (Al - A)x = O, es decir, de

Si A

= 2.

este sistema se convierte en

Resolwendo este sistema se obtiene x1

= 1,

x2 = t

de modo que

Asi,

es una base para el eigenespacio correspondiente a A lector puede demostrar que

= 2.

De manera semejante, el

es una base para el eigenespacio correspondiente a A = -3 . Así,

9.I Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales / 5 19

diagonaliza a A y

[:,

D=P"AP=

-;I

Por consiguiente, la sustitución Y=PU

Y'

4

= PU'

produce el nuevo "sistema diagonal"

Por (2), la solución de este sistema es u , = c,e2"

u2 = c2e p 3 x

u=

O

de modo que la ecuación Y = PU produce como soluciónpara Y a Cle2"

- 1, e

-3x

c,e2*+ 4 c2e -- 3x 2

o bien,

I

y , = c l e 2 x- $c2e - 3 x y2 = c l e 2 x+ c2e - 3 x Solución de 6).

Si las condiciones iniciales dadas se sustituyen en (7), se obtiene c, - $c2 = 1

c,+ c 2 = 6

La solución de este sistema es c , = 2,

c2 = 4

de modo que por (7) la solución que satisface las condiciones iniciales es

En esta sección se ha supuesto que la matriz de coeficientes de Y = AY es diagonalizable. En caso de no serlo, se deben usar otros métodos para resolver el sistema. Estos métodos se analizan en textos más avanzados.

520 /' Temas complementarios

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 9.1 1. a) Resolver el sistema Y ; = Y1 + 4.h = 2y, + 3y,

y;

b) Encontrar la solución que satisface las condiciones inicialesyl(0) = O,y,(O) = O. 2. a) Resolver el sistema

y; = y,

+ 3v2

y; = 4.h

+ 5Y,

b) Encontrar la solución que satisface las condiciones inicialesyl(0) = 2, y2'(0)= l . 3. a) Resolver el sistema

y;=

4y,

+ y3

y; = - 2 v , +y, Y; = -2%

+ Y3

b) Encontrar la solución que satisface las condiciones iniciales y ,(O) = - 1, y2(0)= 1,

Y,(O) = 0. 4. Resolver el sistema

5. Resolver la ecuación diferencial y" - y'

- 6y = O. [Sugerencia. Hacer y , = y ,

y= 2 y' y

luego demostrar que Y ; =Y2

y; = y '

-Y'

+ 6~ = 6.~1+ y21

7. Demostrar: Toda solución de y' = ay es de la forma y = cP. [Sugerencia.Sea y una soluci6n y demostrar quef(x)e-ares constante.] 8. Demostrar: Si A es diagonalizable y

=AX)

9.2 Geometría de los operadores lineales sobre R2 1 521 satisface Y' = A Y , entonces todo yi es una combinación lineal de dlx,db,. donde A,, A,, . . . ,A,, son eigenvaloresde A .

. .

, dm,

9.2 GEOMETRíA DE LOS OPERADORES LINEALES SOBRE R * En la sección 4.2 se estudiaron algunas propiedadesgeometricas de los operadores lineales sobre R2 y R3. En esta sección se estudiarán con mayor profundidad los operadores lineales sobre R2. Algunas de las ideasque se presentarán poseen importantes aplicaciones al campo en desarrollo de la elaboración de grájicas por computadora.

+.

Si T:R2 R2 es el operador matricial cuya matriz estándar es

entonces

Existen dos interpretaciones geométricas igualmente aceptables de esta fórmula. Los elementos de las matrices

[;I

ax + by [U+dYl

y

se pueden considerar como componentes devectores o como coordenadas de puntos. Con la primera interpretación, T transforma flechas en flechas y con la segunda, puntos en puntos (figura 1). L a elecciónde cualquiera de estas interpretaciones es una cuestión subjetiva.

t'

o

(ax + by, cx + d y ) \

\ \ \

\

\

\ (X,Y)

Figura 1

...

. .. .

"

-. . ...

,

-.

.

...

I T mapea vectores en"-4 vectores.

...

.

X

T mapea puntos en puntos.

b

522

/

Temascomplementarios

En esta sección, los operadores lineales sobre R2 se considerarán como transformaciones de puntos en puntos. Una manera de representar el comportamiento de un operador lineal es observar su efecto sobre los puntos de figuras sencillas en el plano. Por ejemplo, en la tabla 1 se muestra el efecto de algunos operadores lineales básicos sobre un cuadrado unitario que se ha coloreado parcialmente

‘ABLA 1

Operador

Matriz estándar

Reflexión con respecto al eje y

[-A

Y]

Reflexión con respecto al eje x

[A

-Y]

0

-sen0

Efecto sobre el cuadrado unitario 4 .) 1

.:I,

,

I

.

! I, .

1,

Reflexión con respecto a la recta ?/=X

Rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj por un ángulo

COS

sen0

1

cos 8

En la sección 4.2 se analizaron reflexiones, proyecciones, rotaciones, contracciones y dilataciones de R2. A continuación se considerarán otros operadores lineales básicos sobre R2.

9.2 Geometría de los operadores lineales sobre R2

EXPANSIONES Y COMPRESIONES

523

Si la abscisa de cada punto del plano se multiplica por una constante positiva k, entonces el efecto es expandir o comprimir cada figura del plano en la dirección x. Si O < k < 1, el resultado es luna compresión, y si k > 1, una expansión (figura 2). Un operador así se denomina expansión (o compresión) en la dirección x con factor k. De manera semejante, si la ordenada de cada punto delplano se multiplica por una constante positiva k, se obtiene una expansión (o compresión) en la dirección y con factor k. Se puede demostrar que las expansiones y las compresiones a lo largo de los ejes de coordenadas son transformaciones lineales.

p; Figura 2

I (Cuadrado unitario) I I(Compresión) k = 4

[(Expansión) k = 2

Si T:R2 + R2 es una expansión o una compresión en la dirección x con factor k, entonces


De manera semejante, la matriz estándar para una expansión o una compresión en la dirección y es

Ejemplo 1 Supóngase que el plano xy primero se expande o comprime por un factor k , en la hrección x y que luego se expande o comprime por un factor k, en la dirección y. Encontrar un solo operador matricial que efectúe ambas operaciones. Solución. Las matrices estándar para las dos operaciones son

Expansión x (compresión)

....

.

Expansión y (compresión)

524

,I


Así, la matriz estándar para la composición de la operación x seguida de la operación y es

En el caso especial en que k , y k, son iguales, por ejemplo k , (2) se simplifica a

= k, = k,

nótese que

que es una dilatación o una contracción (tabla 8 de la sección 4.2). A

DESLIZAMLENTOS CORTANTES

Figura 3

Un deslizamiento cortante en la dirección x con factor k es una transformaciónque mueve cadapunto (x, y ) paralelo al eje x en unacantidad ky hastala nueva posición (x + ky, y>.Bajo unatransformacióndeeste tipo, los puntos que están sobre el eje x no se mueven porque y = O. Sin embargo, a medidaqueseavanzaalejándose del eje x, la magnitudde y aumenta,de modo que aquellos puntos más alejados del eje x recorren una mayor distancia que los puntos más próximosa él.

Cuadrado unitario.

Oblongamiento en la direcciónx con factor k.

Un deslizamiento cortante en la dirección y con factor k es una transformación que mueve cada punto (x, y ) paralelo al eje y en una cantidad IQC hasta la nueva posición (x, y + h). Bajo una transformación de este tipo, los puntos que están sobre el eje y permanecen fijos, y los puntos alejados del eje y recorren una mayor distancia que los puntos próximos a él. Se puede demostrar que los deslizamientos cortantes son transformaciones lineales. Si T:R2 + R2 es un deslizamiento cortante con factor k en la dirección x, entonces

9.2 Geometría de los operadores lineales sobre R2 / 525


De manera semejante, la matriz estándar para un deslizamiento cortante en la Irección y con factor k es

La multiplicación por la matriz identidad 2 X 2 es el operador identidad sobre R2. Este operador se puede considerar como una rotación de Oo, como un deslizamiento cortante a lo largo de cualquiera de los dos ejes con k = O, o como una compresión o expansión a lo largo de cualquiera de los dos ejes con factor k = l . OBSERVACI~N.

Ejemplo 2

a) Hallar una matriz de transformación de R2 en R2 que primero efectúe un deslizamiento cortante en la dirección x con factor 2 y luego realice una reflexión con respecto ay = x. b) Encontrar una matriz de transformación de R2 en R2 que primero efectúe una reflexión con respecto ay = x y luego un deslizamiento cortante en la dirección x con factor 2. Solución de a). La matriz estándar para el deslizamiento cortante es

y para la reflexión es

Así, la matriz estándar para el deslizamiento cortante seguido de la reflexión es A , A , = [O1

Solución de b).

'][I 0 0

'1 = [ y :] 1

La reflexión seguida del deslizamiento cortantese representa como

526


En el último ejemplo, nótese que A ,A2 f A# de modo que el efecto de aplicar primero el deslizamiento cortante y luego la reflexión es diferente al efecto de aplicar primero la reflexión y luego el deslizamiento cortante. Este hecho se ilustra geométricamente en la figura 4, donde se muestra el efecto de las transformaciones sobre un cuadrado unitario.

t' 11. I

-.

Figura 4

Ejemplo 3 Demostrar que si T R 2 + R2 es la multiplicación poruna elemental, entonces la transformación es una de las siguientes:

matriz

a> Un deslizamiento cortante a lo largo de un eje de coordenadas.

Una reflexión con respecto a y = x. Una compresión a l o largo de un eje de Coordenadas. Una expansión a lo largo de un eje de coordenadas. Una reflexión con respecto a un eje de coordenadas. f) Una compresión o expansión a l o largo de un eje de coordenadas seguida de una reflexión con respectoa un eje de coordenadas.

b) c) d) e)

Solución. Debido a que al realizar una sola operación en los renglones de una matriz identidad 2 x 2 se obtiene una matriz elemental 2 x 2, ésta debe tener una de las formas siguientes (comprobar):

9.2 Geometría de los operadores lineales sobreR2 / 527

[-b :] [A =

-;,I [A =

-:][A

:,I

Como k , > O, el producto en (3) representa una compresión o expansión a l o largo del eje x seguida de una reflexión con respecto al eje y, y (4) representa una compresión o expansión a l o largo del eje y seguida de una reflexión con respecto al eje x. En el caso en que k = -1, a ls transformaciones (3) y (4) simplemente son reflexiones con respecto a los ejes y y x, respectivamente. A Las reflexiones,rotaciones, expansiones, compresiones y deslizamientos cortantes son, todas, operadores lineales uno a uno. Este hecho es evidente geométricamente, ya que todosestos operadores mapean puntos distintos en puntos distintos. Esto también se puede comprobar de manera algebraica al verificar que las matrices estándar de los operadores son invertibles. Ejemplo 4 Intuitivamente resulta evidente que si el plano xy se comprime por un factor en la direccióny , entonces el plano xy se debe expandir por un factor 2 en la drección y a fin de que cada punto regrese a su posición original. En efecto, esto es asi porque

i

representa una compresión en la direccióny con factor

es una expansión en la dirección y con factor 2. PROPIEDADES GEOMÉTRICAS

i,y

A

Esta secciónconcluye con dos teoremas que permiten conocer más las propiedades geométricas de los operadores lineales sobre R 2 .

DE LOS

~~~"

OPERADORES LINEALES SOBRE R2

Teorema 9.2.1. Si T:R2 + R2 es la multiplicación por una matriz A invertible, entonces el efecto geométrico de T es el mismo que el de una sucesión idónea de deslizamientos cortantes,compresiones, expansiones y reflexiones.

528

/'

Temas complementarios Demostración. Como A es invertible, sepuede reducir a la identidad mediante una sucesión finita de operaciones elementales en los renglones. Una operación elemental en los renglones se puede efectuar multiplicando por la izquierda por una matriz elemental. Así, existen matriz elementales E,, E*, . . . , Ek tales que EA.

' '

E,EIA

=1

Despejando A se obtiene

o bien, de manera equivalente, A = E ~ ]-E - 1 . . . E L1 1

2

( 51

Esta ecuación expresa a A como un producto de matrices elementales (ya que por el teorema 1.5.2 la inversa deuna matriz elemental también es elemental). El resultado se concluye ahora por el ejemplo 3. 0

Ejemplo 5 Suponiendo que k , y k, son positivos, expresar la matriz diagonal

como un producto de matrices elementales y describir el efecto geométrico de la multiplicación por A en términos de expansiones y compresiones. Solución. Por el ejemplo 1 se tiene que

lo cual demuestra que la multiplicación por A tiene el efectogeométrico de expandir o comprimir por un factor de k , en la dirección x y luego expandir o comprimir por un factor de k, en la direccióny . A

Ejemplo 6 Expresar A =

I: :]

como un producto de matrices elementales y luego describir el efecto geométrico de la multiplicación por A en términos de deslizamientos cortantes, compresiones, expansiones y reflexiones.

9.2 Geometría de los operadores lineales sobre R2 / 529 Solución. A se puede reducir a I como sigue:

I veces al segundo. I I - 4.

.

.

Las tres operaciones consecutivas en los renglones se pueden efectuar al multiplicar por la izquierda sucesivamente por

Invirtiendo estas matrices y aplicando (5) se obtiene

Leyendo de derecha a izquierda y observandoque

[:-;][:-y][: =

;]

se concluye que el efecto de multiplicar por A es equivalente a 1) efectuar un deslizamiento cortante por un factor de 2 en la dirección x, luegd 2) expandir por un factor de 2 en la dirección y, luego 3 ) reflejar con respecto al eje x, y finalmente 4) efectuar un deslizamiento cortante por un factor de 3 en la dirección y.

Las demostraciones de algunos incisos del siguiente teorema se analizan en los ejercicios.

Teorema 9.2.2.S T:R2 + R2 es la multiplicación por una matriz invertible, entonces: a ) La imagen de una recta es una recta. b ) La imagen de una recta que pasa por el origen es una recta que pasa por el orrgen. c ) Las imágenes de rectas paralelasson rectas paralelas. d) La imagen del segmento de recta que une los puntos P y Q es el segmento de recta que une las imágenes de los puntos P y Q. e ) Las imágenes de tres puntos están sobre una recta si y sólo si los puntos son colineales.

530


Por los incisos c), 6)y e) se concluye que la multiplicación por una matriz invertible A 2 X 2 transforma triángulos en triángulos y paralelogramos en paralelogramos. OBSERVACI~N.

Ejemplo 7 Trazar la imagen del cuadrado con vértices P,(O, O), P2(l, O), P3(0, 1) y P4( 1, 1) bajo la multiplicación por

[-:--:I[:] =[:I [ -f .-:I[:] [ -:] [-i -:][:I [ -:] I :-:I[ :] [I]

Solución. Como

=

=

=

la imagen del cuadrado es un paralelogramo con vértices (O, O), (- 1, 2), (2, - 1) y ( 1 , 1) (figura 5). A

Ejemplo 8 Según el teorema 9.2.2, la matriz invertible

transforma la recta y = 2x + 1 en otra recta. Encontrar su ecuación. Solución. Sea (x, y ) un punto sobre la recta y bajo la multiplicación por A . Entonces

=

2x

+ 1 y sea (x', Y ' ) su imagen

9.2 Geometría de los operadores lineales sobre R2 1 531

de modo que

Sustituyendo en y

= 2x + 1 se obtiene

-2x‘

+ 3y’ = 2(x’ - y ’ ) + I


Así,

(XI,

y’) satisface

y=$x+i

que es la ecuación buscada.

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 9.2 1. Encontrar la matriz estándar para la transformación lineal plana T X 2 + R2 que mapea

un punto (x,y) en (véase la figura 6) a) su reflexión con respecto a la rectay =-x. b) su reflexión con respecto al origen. c) su proyección ortogonal sobreel eje x. d) su proyección ortogonalsobre el eje y.

4

2. En cada inciso del ejercicio 1, usar la matriz obtenida para calcular T(2, 1). Comprobar

las respuestas geométricamente graficando lospuntos (2, 1) y T(2, 1). 3. Encontrar la matriz estándar para eloperadorlineal punto (x, y , z) en su reflexión con respecto al plano

a)

-*y

b) x z .

C) YZ.

TB3 + R3 quetransforma un

Figura 6

5317

i'

7ema.y contplernentnrros

1. En cada inciso del ejercicio 3 , usar la matriz obtenida para calcular T( I , 1, I ) . Comprobar las respuestas geom6tricamentc. graficando los vectores (1 1, 1 ) y T( I , 1, 1 ) ~

5. Encontrar la matriz estándar para el operador lineal 7 X 3 + R3 que a ) hace girar cada vector 90' en sentido contrario a las manecillas del reloj con respecto al e ~ ze (mirando a lo largo del eje z positivo llacia e1 origen). b) hace girar cada vector 90' en sentido contrario a las manecillas del reloj con respecto al eje x (mirando a lo largo del eje x positivo hacia el origen). c) hace girar cada vector 90' en sentido contrario a las manecillas del reloj con res-

pecto al ejev (mirando a lo largo del eje y positivo hacia el origen). 6. Trazar l a iInagen del rectángulo con vértices (O, O), (1, O), (1,2) y (O, 2) bajo a) una rellexión con respecto al q e x. b) una reflexión con respecto aleje y. c) una compresión con factor k = en la direcclóny. d) una expansion con factor k = 2 en la dirección x. e) un deslizamiento cortante con factor k = 3 en la dirección x . t) un deslizamiento cortante con factor k = 2 en l a direccióny.

a

7. Trazar la imagen dei cuadrado con vértices (O,O), multiplicación por A=

(1, O ) , (O, I ) y ( I , 1) bajo la

[ -;y ]

8. Encontrar la matriz que hace girar un punto (x,y) con respecto al origen por un hlgulo

de a) 45"

b) 90"

C)

180"

d ) 270"

e ) -30"

9. Encontrar la matriz queproduce un deslizamiento cortante con u11 factor de

a) k = 4 en a l dirección y.

b] k = -2 en la dirección x.

1o. Encontrar l a matnz que comprime o expande con un factor de a ) f en la dirección y. b) 6 en la direction x.

11. E n cada inciso, describir el efecto geonlétrico de la multiplicacion por dada.

l a matriz

como un producto de matriceselementales y luego describir el 12. Expresarlamatriz efecto de lamultiplicaci6n por la matriz dadaen términos de compresiones, expansiones, reflexlones y deslizamientos cortantes.

13. En cada inciso. encontrar una sola matriz que efectúe la sucesión de operxiones que se

mdica:

9.2 Geometría de los operadores lineales sobre R2 / 533

a) Comprimir por un factor de $ en la dirección x, luego expandir por un factor de 5 en ladirección y. b) Expandir por un factor de 5 en la dirección y, luego efectuar un deslizamiento cortante por un factor de 2 en la direccióny. c) Reflejar con respecto a y = x, luego girar por un ángulo de 180'. 14. En cada inciso, encontrar una sola m a & que efectúe la sucesión de operaciones que se

indica: a) Reflejar con respecto al eje y, luego expandir por un factor de 5 en la dirección x y luego reflejar con respectoa y = x. b) Girar 30°, luegoefectuar un deslizamientocortante por un factor de -2 enla dirección y y luego expandir por un factor de 3 en la dirección y. 15. Por inversión de matnces, demostrar lo siguiente:

a) La transformación inversa de una reflexión con respecto a y = x es una reflexión con respecto a y = x. b) La transformación inversa de una compresión a lo largo de uno de los ejes de coordenadas es una expansión a l o largo de ese eje. c) La transformación inversa de una reflexión con respecto a uno de los ejes de coordenadas es una reflexión con respecto a ese eje. d) La transformación inversa de un deslizamiento cortante a l o largo de uno de los ejes de coordenadas es un deslizamiento cortante a lo largo de ese eje. 16. Encontrar la ecuación de la imagen de la rectay = -4x

+ 3 bajo la multiplicación por

17. En los incisos del a) ale), obtener la ecuación de la imagen de la rectay = 2x bajo a) un deslizamiento cortante con factor 3 en la dirección x. b) una compresión con factor $ en la dirección y.

c) una reflexión con respecto a y = x. d) una reflexión con respecto al ejey. e) una rotación de 60°. 18. Encontrar la matnz para un deslizamiento cortante en la dirección x que transforma el triángulo con vértices (O, O), (2, 1) y ( 3 , O) en un triángulo rectángulo cuyo ángulo recto

está en el origen. 19. a) Demostrar que la multiplicación por

transforma cada punto del plano sobre larectay = 2x. b) Con base en el inciso a) se concluye que los puntos no colmeales (1, O), (O, 1) y ( - 1, O) se transforman en una recta. ¿Este hecho viola el inciso 2) del teorema 9.2.2'? 20. Demostrar el inciso a) del teorema 9.2.2. [Sugerencia Una recta en el plano tiene uná ecuac~ón dela forma Ax + By + C = O, donde tanto A como B no son cero. Con el

534 i Temas complementarios método del ejempio 8, demostrar que la imagen de esta recta bajo la multiplicación por la matriz invertible

tiene la ecuación A'x + By + C = O, donde A' = (dA - c B ) / ( ~ d bc)

y

B' = ( - bA

+ u B ) / ( u -~ bc)

Luego, demostrar que ni A' ni B son cero afin de concluir que la imagen es una recta,] 21. Usando la sugerencia del ejercicio 20, demostrar los incisos b ) y c ) del teorema 9.2.2. 22. En cada inciso, encontrar la matriz estándar para el operador lineal í?A3 + R3 descrito por la figura 7.

c

4

4

d

b)

Figura 7

23. En R3, el deslizamiento cortanfe en la a'ireccibn xy con factor k es la transformación lineal que mueve cada punto (x,y , z) paralelo al plano xy a la nueva posición (x + kz, y + kz, z). (Véase la figura 8.) a) Encontrar la matriz estándar del deslizamiento cortanteen la dxecciónxy con factork. b) ¿Cómo d e f d a el lector el deslizamiento cortante en la dirección xz con factor k y el deslizamiento cortante en la dirección yz con factor k? Encontrar la matriz est&dar para cada una de estas transformaciones lineales.

. ..

".

~. ~

."

t; 1

4.

. ."

"'ir + k z , y + kz. )I

.

. .

,'

"

.~ ",."

Figura 8 24. En cada inciso, encontrar por inspección todos los eigenvectores linealmente independientes que sea posible (mediante una representación del efecto geométrico de la transformación sobre R'). Para cada uno de los eigenvectores, encontrar por inspección el eigenvalor correspondiente; luego comprobar los resultados calculando los eigenvaiores y bases para los eigenespacios partir de la matriz estándar de la transformación.

9.3 Ajuste de datos por mínimos cuadrados

I’

535

Reflexión con respecto al eje x. Reflexión con respecto al eje y. Reflexión con respecto a y = x. Deslizamiento cortante en la direcciónx con factor k. Deslizamiento cortante en la direccióny con factor k. f) Rotación por un ángulo O.

a) b) c) d) e)

9.3 AJUSTE DE DATOS POR MíNIMOS CUADRADOS

En esta sección se usarán resultados sobre proyecciones ortogonales en espacios vectoriales con producto interior a fin de obtener una técnica para ajustar una recta u otra curva polinómica a un conjunto de puntos en el plano determinados experimentalmente. AJUSTE DE UNA CURVA A DATOS EXPERIMENTALES

Un problema común en el trabajo experimental es obtener una relación matemátic a y = f i x ) entre dos variables x y y mediante el “ajuste” de una curva a puntos en el plano correspondientes a diversos valores de x y y determinados experimentalmente, ejemplo por (~I,~~I),(-y2,Y2),”‘,(~,,Y,)

La forma general de la curva y =Ax) que se debe ajustar se decide con base en consideraciones teóricas o simplemente en el patrón descrito por los puntos. Algunas posibilidades son (figura 1)

4

Figura 1

y=a+bx

b)

y =a

+ bx + cx2

c)

y =a

+ bx + cx2 + dx’

a) Una recta: y = a + bx. b) Un polinomio cuaddtico: y = a + bx + cx2. c) Un polinomio cúbico: y = a + bx + cx2 + &. Debido a que los puntos se obtienen experimentalmente, suele haber algún “error” de medición en los datos, lo cual imposibilita encontrar una curva de la forma deseada que pase por todos los puntos. Así, la idea es elegir la curva (determi-

536


nando sus coeficientes) que mejor se "ajuste" a los datos. Se empezará con el caso más simple: ajustar una recta a los puntos de datos. AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS DE UNA RECTA

Supóngase que se quiere ajustar una recta y=a+bx

a los puntos determinados experimentalmente

Si los puntos de datos son colineales, la recta debe pasar por todos los n puntos y, así, los coeficientes desconocidos a y b deben satisfacer y, = a + bx, y, = a

+ bx2

y,, = a + bx,,

Este sistema se puede escribir en forma matricial como

o, en forma abreviada, como Mv=y

donde

Si los puntos de datos no son colineales, entonces es imposible encontrar los coeficientes a y b que satisfagan exactamente el sistema (1); es decir, el sistema es inconsistente. En este caso se buscará una solución por mínimos cuadrados v

= v* =

[;:I

La recta y = a* + b*x cuyos coeficientes provienen de una solución por mínimos cuadrados se denomina recta de ajuste por mínimos cuadrados a los datos. Para

9.3 Ajuste de datos pormínimos cuadrados / 537

explicar esta terminología, recuérdese que una solución por mínimos cuadrados de (1) minimiza IIY

-

Mvll

(3 )

Si el cuadrado de (3) se expresa en términos de componentes, se obtiene IIy -MV(/'

= ( y , - a - bx,)'

+ ( y z- a

- bx212 + . . .

+ ( y , - a - bx,12

(4)

Si ahora se hace d , = I,v

-U

-

~ x Jd2 , =

-U

- hx-21,

. . . , d,, = ly,, - a - h ~ , /

entonces (4) se puede escribir como 1Iy - Mvll'

= d:

+ d: + . . . -td:

(5)

Como se ilustra en la figura 2, di se puede interpretar como la distancia vertical entre la recta y = a + bx y el punto (xi,vi).Esta distancia es una medda del "error" en el punto (xi,y j ) , que resulta del ajuste inexacto de y = a + bx a datos. Como (3) y (5) son minimizadas por el mismo vector v*, la recta deajustepor mínimos cuadrados minimiza la suma de los cuadrados de estos errores; de ahí la denominación recta de ajuste por mínimos cuadrados.

I d, mide el error vertical en el ajuste de l a recta por mínimos cuadrados. ~

Figura 2

ECUACIONES NORMALES

~~

Recuérdese por el teorema 6.4.2 que las soluciones por mínimos cuadrados de (1) se pueden obtener al resolverel sistema normal asociado M TMv= M T y

cuyas ecuaciones se denominan ecuaciones normales. En los ejercicios se demostrará que los vectores columna de M son linealmente independientes si y sólo si los n puntos de datos no están en unarecta vertical en el plano xy. En este caso, por el teorema 6.4.4 se concluye que la solución por mínimos cuadrados es única y está dada por

,

538 / Temas complementarios

v*

= ( M T M ) - "Ty

En resumen, se tiene el siguiente teorema.

Teorema 9.3.1. Sean (xl, y l ) , (x2, y& . . . , (x,, y,) puntos de u1 conjunto de dos o más datos, no todos en unarecta vertical, y sean

Entonces existe una recta de ajuste por mínimos cuadrados tinica y = a*

+ b*x

al conjunto de datos. Además,

está dejinidapor la fórmula

que expresa el hecho de que v normales

=

v* es la única solución de las ecuaciones

Ejemplo 1 Encontrar la recta de ajuste por mínimos cuadrados a los cuatro puntos ( O , l), (1, 3), (2, 4) y (3,4). (Véase la figura 3.)

0:

Figura 3

~

-

- 1 0

1

2 X

3

4

9.3 Ajuste de datos por mínimos cuadrados / 539 Solución. Se tiene

M T M = [4

6

'1

14

rll

L41

De modo que la recta buscada es y

=

l .5 + x. A

Ejemplo 2 La ley de Hooke en física establece que la longitud x de un resorte uniforme es una función lineal de la fuerza y que se le aplica al resorte. Si se escribe y = a + bx, entonces el coeficiente b se denomina constante del resor6.1 pulgadas de lonte. Supóngase que un resorte particular sin estirar mide gitud (es decir, x = 6.1 cuando y = 0). Luego, al resorte se aplican fuerzas de 2, 4 y 6 libras, encontrándose que las longitudes correspondientes son 7.6, 8.7 y 10.4 pulgadas, respectivamente, (ver la figura 4). Encontrar la constante de este resorte.

x,

Figura 4

+

Fuerzay

I

6.1

I

7.6

8.7

10.4

540 i Temas complementarios

Solución. Se tiene

10.4

Y

donde los valores numéricos se redondearon hasta una cifra decimal. Así, el valor estimado de la constante del resorte es b* = 1.4 Ib/pulg. A

AJUSTE POR MINIMOS CUADRADOS DE UN POLINOMIO

La técnica descrita para ajustar una recta a puntos de datos se generaliza fácilmente al ajuste de un polinomio de cualquier grado específico a puntos dedatos. A continuación se intentará ajustar un polinomio de grado fijo m y = a,

+ a,x+ . . . + a,xm

a n puntos

Al sustituir los n valores de x y y en (8) se obtienen las n ecuaciones

o bien, en forma matricial, Mv=y

donde

Como antes, las soluciones de las ecuaciones normales

(8)

9.3 Ajuste de datos por mínimos cuadrados 1 541

M TMv = M Ty

determinan los coeficientes de los polinomios que minimizan IIY - Mvll

En los ejercicios se analizan condiciones que garantizan la invertibilidad de MTM. Si MTM es invertible, entonces las ecuaciones normales tienen una solución única v = v* definida por v*

= ( M T M ) - 1MTy

Ejemplo 3 Según la segunda ley del movimiento de Newton, un cuerpo próximo a la superficie terrestre cae verticalmente según la ecuación s=s,+u,t+~gt*

(10)

donde S

so

vo g

= Desplazamiento vertical hacia abajo con respecto a algún punto fijo. = Desplazamiento inicial en el instante t = O. = Velocidad inicial en el instante t = O. = Aceleración de la gravedad en la superficie terrestre.

Supóngase que se efectúa un experimento de laboratorio para evaluar g usando la ecuación anterior. Se suelta unpesocon desplazamiento y velocidad iniciales desconocidos, y en ciertos instantes se mide la distancia recorrida a partir de algún punto de referencia fijo. En particular, supóngase que en los instantes t = O. 1, 0.2, 0.3, 0.4 y 0.5 segundos se encuentra que el peso ha recorrido S = -0.18, 0.31, 1.03. 2.48 y 3.73 pies, respectivamente, a partir del punto de referencia. Encontrar un valor aproximado de g usando estos datos. Solución. El problema matemático es ajustar una curva cuadrática S

= a,

+ a,t + a2t2

a los cinco puntos experimentales: (0.1, -0.18), (0.2, 0.31), (0.3, 1.03), (0.4, 2.48), (0.5, 3.73)

Los cálculos necesarios son 1 t,

M=

t; 1 t2 t; 1 t3 t: 1 t, t i 1 t5 t:

(1 1)

542

1


-0.18

2.48 3.73 Y =(MTM)

V* =

~

' M T y"-

[

0.400.35 16.1

-

Por (10) y (1 1) se tiene a2 = +a, de modo que el valor estimado de g es g = 2a: = 2(16.1)

= 32.2

pies/s2

Si se desea, también es posible estimar el desplazamiento y la velocidad iniciales del peso: so = a: = -0.40 pies u. = a: =

0.35 piesls

En la figura 5 se muestra la gráfka los cinco puntos experimentales, asi como el polinomio de aproximación.

-1

Figura 5

0

1 2 . 3 4 . 5 Tiempo /(en segundos)

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 9.3

6

9.4 Problemas de aproximación: series de Fourier / 543 3. Encontrar el polinomio cuadrático que se ajusta mejor a los puntos (2, O), (3,

- 1 lo),

(5, -48) y (6, -76). 4. Encontrar el polinomio cúbico que se ajusta mejor a los puntos (- 1, (1 > -4), (2, 1) Y (3,221.

- 14), (O,

-S),

Demostrar que la matriz M en la ecuación (2) tiene columnas linealmente independientes si y sólo si porlomenosdos de los números xl, x2, . . . , xn son distintos. Demostrar que las columnasde la matriz Mn x (m + 1)enlaecuación (9) son linealmente independientes si n > m y por lo menos m + 1 de los números x , , x2, . . . , x,, son distintos. SeaM la matriz de la ecuación (9). Usando el ejercicio 6, demostrar que una condición suficiente para que la matriz MM sea invertible es que n > m y por l o menos m + 1 de los númerosx ] ,x2, . . . ,xn sean distintos. El propietano de unaempresaenrápidocrecimiento encuentra que para los cinco primeros meses del año las ventas (en miles) son $4.0, $4.4, $5.2, $6.4 y $8.0. El propietario grafica estas cifras y conjetura que para el resto del año la curva de ventas puede ser aproximada por un polinomio cuadrático. Encontrar el polinomio cuadrático de ajuste por mínimos cuadrados ala curva de ventasy usarlo para proyectar las ventas de los doce meses del año.

9.4 PROBLEMAS DE APROXIMACIóN: SERIES DE FOURIER En esta sección se usarán los resultados de proyecciones ortogonales en espacios con producto interior para resolver problemas que requieren la aproximación de una función dada por funciones más simples. Estos problemas surgen en una variedad de aplicaciones de ingenieria y ciencias.

MEJORES APROXIMASIONES

Todos los problemas que se estudiarán en esta sección son casos especialesdel siguiente problema general. I

I

Problema de aproximación. Dada una función f que es continua sobre un posible" a f usando sólo intervalo [a, 61, encontrar la "mejor aproximación funciones de unsubespacio específico W de C[a,61.

A continuación se presentan algunos ejemplos deesos problemas:

a) Encontrar la mejor aproximación posible a eX sobre [O, 11 por un polinomi0 de la formaa. + a l x + a g 2 .


b) Encontrar la mejor aproximación posible a sen nx sobre [ - 1, 1I por una fun+ u3e3.‘. ciónde la forma u. + ulc? + c> Encontrar la mejor aproximación posible a x sobre [O, 2x1 por una función de la forma clo + u , sen x + a2 sen 2x + h, cos x + 6, cos 2x. En el primer ejemplo, W es el subespacio de C[O, 11 generado por 1, x y x;, en el segundo ejemplo, W es el subespacio de C[- 1, 11 generado por 1, @, e& y e3x; y en el tercer ejemplo, U’ es el subespacio de C[O, 2n] generado por 1, sen x, sen 2x, cos x y cos 2x MEDICIONES DEL ERROR

Para resolver problemas de aproximación de los tipos precedentes es necesario precisar matemáticamente la expresión “mejor aproximación sobre [u, b]”; para este efecto se requiere una manera exacta de medir el error que resulta cuando una función continua es aproximada por otra sobre [a. 61. Si sólo se quisiera la aproximación de,flx) en un simple punto xo, entonces el error en x. por una aproximación g(x) sería simplemente error =Axo) - g(xo) que algunas veces se denomina desviación entre f y g en x. (figura 1). Sin embargo, se quiere la aproximación sobre todo el intervalo [u, b], no en un solo punto. En consecuencia, en una parte del intervalo una aproximación g, afpuede tener desviaciones más pequeñas con respecto a f que una aproximación g, a f ; y en otra parte del intervalo bien puede ser al contrario. ¿Cómo decidir cuál es la mejor aproximación global? Lo que se requiere es alguna forma para medir el error global en una aproximación g(x). Una posible medida del error global se obtiene integrando la desviación Axo) - g(xo) sobre todo el intervalo [a, b]; es decir,

error =

Figura 1

Desviación entref y g en X O .

l

(f(x)- g(x)( dx

9.4 Problemas de aproximación: series de Fourier i 545

Geométricamente, (1) es al área entre las gráficas def(x) y g(x) sobre el intervalo [a,b] (figura 2); mientras mayor sea el área, mayor es el error global.

El área entre las gráficas d e f y g sobre [u, b ] mide el error al aproximarfpor g sobre [a,b ] .

Si bien la expresión (1) es natural y geométricamente atractiva, casi todos los matemáticos y científícos suelen inclinarse por la otra medida del error, denominada error cuadrriticomedio. I

I

error cuadráticomedio

I

I

El error cuadrático medio recalca el efecto de errores mayoresdebido a la elevación al cuadrado y posee la ventaja adicional de permitir aplicar la teoría de los espacios con producto interior. A fin de ver cómo es posible llevar a cabo lo anterior, supóngase que f es una función continua sobre [a, b] que se desea aproximar por una función g de un subespacio Wde C[a,b ] ,y supóngase que en C [a,b] se define el producto interior

J'

h

(f,

8) =

f(xlg(x) dx

Se concluye que

Ilf

- 81)' = ( f - g, f

-

g) =

[ f(x) - g(x)I2 dx = 'error cuadrático medio

de modo que minimizar el error cuadrático medio es l o mismo que minimizar llf - g1I2. Así, el problema de aproximación planteado informalmente al ihicio de esta sección se puede volvera plantear más precisamente como sigue: APROXIMACI~ IN POR MÍNIMOS CUADRADOS

Problema de aproximaciónpor mínimos cuadrados. Sea f una función que es continua sobre un intervalo [a,b ] ,sea C[a,b] con el producto interior

y sca Lt' un subespacio de dimensión finita de C[a, b]. Encontrar una función g em CV que minimice

i

Como Ilf -- gl12 y I(f - gl( son minimizados por la misma función g, el problema precedente equivale a buscar una función g en W que sea la más próxima a f. Pero por el teorema 6.4.1 se sabe que g = proywf es la función (figura 3).

Así. se tiene el siguiente resultado. ~

~

~~~

~~~

~

~

~

Solución del problema de aproximación por mínimos cuadrados. Si f es una función continua sobre [u, b ] y W es un subespacio de dimensión finita de C[u, bl, entonces la función g en W que minimiza el error cuadrático medio

es g = proym: f. donde l a proyección ortogonal es conrespecto al producto interior

La función g = proypvf se denomina aproximación por minimos cuadrados a f desde W.

Una función de la forma t(X)

+ C'2 cos 2x + . + c, cos nx + d , senx + d , sen2x + . . + d , sennx

= co t

L',

cos x

' '

se denomina polinomio trigonométrico; si c, y que [(x) es de orden n . Por ejemplo. [(x) = 2

+ cos x

~

(2)

u ,'no son cero, entonces se dice

3 cos 2x

+ 7sen4s

9.4 Problemas de aproximación: series de Fourier

1

547

es un polinornio trigonométrico con

El orden de t(x) es 4. Por (2) resulta evidente que los polinomios trigonomktricos de orden mcnor o igual que n son las diversas combinaciones lineales posibles de

. . . , cos nx, senx,sen2x,

1, cos x, cos 2x,

. . . , sennx

13)

Se puede demostrar que estas 2n + 1 funciones son linealmente independicnles y que en consecuencia para cualquier intervalo [ a , b ] forman una base para subespacio de dimensión (2n + 1) de C[a, 61. A continuación se considerará el problema deencontrar la aproximación por mínimos cuadrados de una función continuaflx) sobre el intervalo [O, 2 z I por u11 polinomio trigonométrico de orden menor o igual que n. Como ya se mencionó, Ea aproximación por minimos cuadrados a f desde W es la proyección artogonal dc T sobre W. Para encontrar esta proyección ortogonal es necesario delerminar m a base ortonormal g o , g,, . . . , k,,para W, después de lo cual es posible calculan I n proyección ortogonal sobre W a partir de la fórmula

[vease el teorema 6.3.5). Es posible obtener una base ortonormal para kt/ medianhe la aplicación del proceso de Gram-Schmidt a la base (31, usando el producto interior

Así se obtiene (ejercicio 6) la base ortonormal 1 m'

1

go = - g, = -cos x, g,,

,=

Si se introduce la notación

VG

1

1 . . . , g, = __ cos nx,

G

1

senx, . . . , g2, = __ sennx

6

5411

,/

lemas complementarios

entonces al sustituir ( 5 ) en (4) se obtiene a0 projcvf = ; +[ u , cos x

+ . . . + u,?cos nx] + [ h ,senx + . . . +- h, sennx]

. L

donde

En resumen.

Los nimeros de f.

ao, a19,

. , , a,,,b,, . . . , b,, se denominan coeficientes de Fourier*

Ejemplo 1 Encontrar la aproximación por mínimos cuadrados de Ax) [O, 2 nl por

= x

sobre

a) un polinomio trigonométrico de orden menor o g iu a lque 2; b) un polinomio trigonométrico de orden menor o g iu a lque n.

*Jean Soptiste Joseph Fourier (1768-1830) fue un matemático y fisico francés que descubrióa ls series que llevan su nombre e ideas relacionadas cuando trabajaba en problemas de difksión del calor. Este descubrimiento es uno de los más importantes en la historia de l a s matemáticas; es la piedra angular de muchos campos de investigación matemática y una herramienta básica en muchas ramas de la ingeniería. Fourier, un activista político durante la revolución francesa, fue encarcelado por haber defendido a muchas victimas durante la Epoca del Terror. Después se convirtió en favorito de Napoleón, quien l o nombró barón y conde.

9.4 Problemas de aproximación: series de Fourier / S49

Solución de a).

Para k = 1,2, . . . al integrar por partes se obtiene (comprobar) 2rr

Así, la aproximación por mínimos cuadrados a x en [O, 23t] por un polinomio trigonométrico de orden menor o igual que 2 es a x--"o + a , cos x + a 2 cos 2x + b , senx + b2sen 2x 2

o bien, por (7a), (7b) y (7c), x=

7r -

2 senx - sen2x

Solución de b). La aproximación por mínimos cuadrados a x en [O. 2n] por un polinomio trigonométrico de orden menor o igual que n es U

x=O

2

+ [ a ,cos x + . . . + a, cos nx] -t [b, sinx + . . . + b,

o bien, por (7a), (7b) y (7c),

+-

3

n - 2 (sen X

sen nx +...+"--n

+

(sen X +

T -

2

"

2 (sen X

n - 2 sen X

4

sennx]

Es natural esperar que disminuya el error cuadrático medio a medida que aumenta el número de términos en la aproximación por mínimos cuadrados u

fQ

2

+ 2 íuk cos kx + b, sen kx) k=l

Es posible demostrar que para funciones f en C[O, n] el error cuadrático medio tiende a cero cuando n -+ + m ; este hecho se denota con 7-

f(x) =

U

2

i-

(uk

cos

kx + bksenkx)

k-l

El miembro derecho de esta ecuación se denomina serie de Fourier parafsobre el intervalo C[O, f r ] . Estas series son importantes en ingenieria, ciencias y matemáticas. A

DE LA SlECCIibN 9.4 a . Encontrar la aprcxirnacibn por mínimos cuadrados deAx) = 1 + x sobre el intervalo [O, Z.X]

por

a;) un polinemio trigonomktrico de orden menor o igual que 2.

b) un pclinomio trigonomttrico de orden menor o igual que n. 2. ihconlrar ? a aproximacián por minimos cuadrados deflx) = x2 sobre el intervalo

io, 2x1 por a) un polinomio trigonomktricode orden menor o igual que 3.

tm p d i n o m i ~trigonomktrico de orden menor o igual que ?J.

;:)

3.

Encorttrar la aproximación por mínimos cuadrados de x sobre el intervalo [O, I ] por m a fimcibn de la forma a + b 2 . iincontr-arcl error cnadrático medio de la aproximación.

3) G ,;

4. a ) finzontrar la aproximación por

mínimos cuadrados de di sobre el intervalo [O, 11 por un polinomio de la forma a. + a,x. h)Encontrar el error cuadrático medio de la aproximación.

J.

:*) I:ncc;nhar la aproximación por mínimos cuadrados de sen z x sobre el intervalo [ i I w, un gollllornio da: la forma u. + u , x + u$. b ) ~ ~ n m ~ t .elr aerror r cuadrático medio de la aproximación. L

:.;.,

- 1,

L

ia/i,cdi¿mtcel proceso de Gram-Schmidt, obtener la base ortonomal(5) a partir de la ¡;;!.;c. ( 3 ) .

9.5 Formas cuadrát~cas 5.51 7. Efectuar las integraciones en (7a), (7b) y (7c). 8. Encontrar la serie de Fourier deAx) = ~t - x sobre el intervalo [O, 2x1

9.5 FORMAS CUADRÁTICAS Hasta el momento en este texto se ha hecho énfasis en decir, ecuaciones de la.forma

/as e c r t ~ ~ i o nlinedes: e.~ es

El miembro izquierdo de esta ecuación,

es una función de n variables, denominada forma lineal. En una,f¿)rmaírneul Ius variables están elevadas a la primera potencra y en la expresicin no hay producfos de variables. En esta seccicin se estudiarán funciones en las que los tirrnrnos .\(IF? cuadrados de variables o productos de dos variables. Estasfuncrones apnrcvn en una gama de aplicaciones, incluyendo geometría, vibraciones de srstemas vwchnicos, estadística e ingeniería eléctrica. I

FORMAS CUADRÁTICAS CON DOS VAKIABLES

Una forma cuadrática con dos variables, x y y , sedefinecomouna se puede escribir como uxz

cxprcs~5nque

+ 2hXj. + cy*

(1;

Ejemplo 1 Las siguientes expresiones son formas cuadráticas en x y

Si se acuerda suprimir los corchetes en las matrices de I se puede escribir en forma matricial como

X

,

y

l . entonces ( I )

(Comprobar multiplicando las matrices.) Nótese que la matriz 2 X 2 en (2) es simétrica, que los elementos en la diagonal son los coeficientes dc los ttrrnlnor, :d cuadrado y que cada uno de los elementos fuera de la diagonal principal es a i mitad de coeficiente deltérmino del producto x y .

S52

1


Ejemplo 2 2x2

FORMAS CUADRÁTICAS CON n VARIABLES

+ ~ X J -J 7v2= [X

[: -:][;I

y]

Lasformascuadráticas nose limitan a dosvariables. A continuaciónsedefineuna forma cuadratica general. Definicibn.Unaforma cuadrritica con las n variables xl, x2, . . . , x,, es una expresión que se puede escribir como

I dondeA es una matriz simétrica den X n. Si se hace

entonces (3) se puede escribir de manera más abreviada como x TAx

(4)

Además, es posible demostrar que si las matrices en (4) se multiplican, la expresión resultante es dela forma

donde

denota la suma de los términos de la formaa l p . ,donde xi y xj son variables &ferentes. Los términos a$zc, denotan términos de producto cruzado de la forma cuadrática.

9.5 Formas cuadráticas / 553

Las matrices simétricas son útiles, aunque no esenciales, para representar formas cuadráticas en notación matricial. Así, para la forma cuadrática 2x2 + 6xy - 7 3 del ejemplo 2, el coeficiente del término de producto cruzado se podría separar en 5 + 1 o 4 + 2 y escribir

O

Sin embargo, las matrices simétricas producen en general los resultados más simples, de modo que siempre se usarán. Así, cuando una forma cuadrática se denote por xTAx se entenderá que A es simétrica, aun cuando no se especifique. OBSERVACI~N. Si se usa el hecho de que A es simétrica; es decir, A = AT, entonces (4) se puede expresar en términos delproducto interior euclilano mediante

xTAx = xT(Ax) = ( A x , x) = (x, A x )

Ejemplo 3 La siguiente expresión es una forma cuadrática en xl, x2 y x3: x:

+ 7x:

-

3x:

+ 4x,x2 - 2x,x3 + 6x,x,

= [x,

x2 x3]

Nótese que los coeficientes de los términos al cuadrado aparecen sobre la diagonal principal de la matriz 3 X 3, y que cada uno de los coeficientes de los términos de producto cruzado están separados a la mitad y aparecen en las posiciones fuera de la diagonal como sigue:

t : : Coeficiente de A

Posiciones en la matriz A a12 y a21

XlX3

PROBLEMAS EN QUEAPARECEN FORMAS CUADRÁTICAS

'13

y '31

'23

Y

'72

El estudio de formas cuadráticas es un tema extenso que sólo se puede mencionar en esta sección. A continuación se presentan algunos problemas matemáticos importantes relacionados con las formas cuadráticas.

554


Encontrar los valores máximo y mínimo de la forma cuadrática X'AX si x está restringido de modo que

¿Qué condiciones debe satisfacer A para que una forma cuadrática cumpla la desigualdad xTAx > O para todo x f O? Si xTAx es una forma cuadrática con dos o tres variables y c es una constante, ¿qué perfil tiene la gráfica de la ecuación xTAx = c? Si P es una matriz ortogonal, el cambio de variable x = Py convierte la ) Pero P'AP es una matnz forma cuadrática xTAx en ( P Y ) ~ A ( P=~y'(PTAP)y. simétrica si A lo es, de modo queyr(P'AP)y es una nueva forma cuadrática con las variables de y . Es importante saber si P se puede elegir de modo que esta nueva forma cuadrática no contenga términos de producto cruzado. En esta sección se estudiarán los dos primeros problemas, y en las secciones siguientes se estudiarán los dos últimos. El siguiente teorema proporciona una solución al primer problema. Ea demostración se pospone hasta el final de la sección.

Teorema 9.5.1. Sea A una matriz simétrica n x n cuyos eigenvalores en orden decreciente son A , IA2 2 . . 2 An. Si x se restringe de modo que llxll = 1 con respecto al producto interior euclidiano sobre R", entonces: a)

A, 2 X ~ A X2 A,.

b ) xTAx = A,, si x es un eigenvector de A correspondiente a An y xTAx = 1, si x es un eigenvector de A correspondiente a A,.

Por este teorema se concluye que sujeta a la restricción ( ( X I /= (x:

+x;

+ ... +x

y=1

,I,

la forma cuadrática xTAx tiene un valor máximo de (el eigenvalor más grande) y un valor mínimo de I n (el eigenvalor más pequeño).

Ejemplo 4 Encontrar los valores máximo y mínimo de la forma cuadrática x: 4-x;

+ 4x,x,

.Y:

sujeta a la restricción T x; = 1, y determinar los valores de x1 y ocurren el máximo y el mínimo. Solución. La forma cuadrática se puede escribir como

x: + x i

+ 4x,x2 = X'AX


= [x,

xz

en que

I

9.5 Formas cuadráticas 1 555

det( dZ - A ) = det [A,,

=d2”d-3=(d-3)(d+

A2:1]

1)=0

Así, los eigenvalores de A son L = 3 y L = - 1, que son los valores máximo y mínimo, respectivamente, de la forma cuadrática sujeta a la restricción. Para encontrar los valores de x1 y x2 en que ocurren estos valores extremos es necesario encontrar los eigenvectores correspondientes a estos eigenvalores y luego normalizarlos para satisfacer la condición x: t = 1. Se deja al lector demostrar que dos bases para los eigenespacios son

<

Normalizando cada uno de estos eigenvectores se obtiene

Así, sujeto a la restricción x: = 3,

+

<

= 1, el valor máximo de la forma cuadrática es A

que ocurre si x1 = I/J z , x2 = 1/ J z , y el valor minim0 es

=

- 1, que ocurre

si x1 = l/&, x2 = - l/&. Además, se puede obtener otras bases para los eigenespacios al multiplicar por -1 los vectores básicos anteriores. Así, el valor máximo, A = 3, también ocurre si x1 = - 1/&,

L = -1, también ocurre si x1 = - 1/&, MATRICES POSITIVAS DEFINIDAS Y FORMAS CUADRÁTICAS

xz =

x2 = l/&.

-l/fi

y el valor mínimo,

A

Definicih. Una forma cuadrática xTAx se denomina positiva definida si x*Ax > O para todo x f O, y una matriz simétrica A se denomina matriz positiva definida si xTAx es una forma cuadrática positiva definida.

El siguiente teorema es el resultado principal sobre matrices positivas definidas. Teorema 9.5.2. Una matriz simétrica A es positiva definida si y sólo si los eigenvalores de A son positivos. Demostración. Supóngase que A es positiva definida y sea A cualquier eigenvalor de A . Si x es un eigenvector de A corresponhente a A, entonces x f O y A x =Ax, de modo que

o < X ~ A X= x r a x = axrx

= a11x112

(6)

donde llxll es la norma euclidiana de x. Como llx112 > O, se deduce que L > O, qui es lo que se quería demostrar.

556

/'


Recíprocamente, supóngase que los eigenvalores de A son positivos. Se debe demostrar que xTAx > O para todo x f O . Pero si x f O , es posible normalizar x para obtener el vector y = x/llxll con la propiedad de que llylj = 1. Ahora, por el teorema 9.5.1 se concluye que

donde I n es elmenor eigenvalor de A . Así,

Multiplicando por lx112 se obtiene xTAx > O que es lo que se quería demostrar. U

Ejemplo 5 En el ejemplo 1 de la sección 7.3 se demostró que la matriz simétrica

El siguiente objetivo es proporcionar un criterio que se pueda usar para determinar si una matriz simétrica es positiva definida sin necesidad de encontrar sus eigenvalores. Para esto será de utilidad introducir algo de terminología. Si all

A=

[a;l

an,

"2

". ".

an2

...

a12

::j ann

es una matriz cuadrada, entonces las subm&¿ces principales de A son las submatrices formadas a partir de los r primeros renglones y de las r primeras columnas de A para r = 1,2, . . . , n. Estas submatrices son r-

1

9.5 Formas cuadráticas / 557

Teorema 9.5.3. Una matriz simétrica A es positiva definida si y sólo si el determinante de toda submatriz principal es positivo. Se omite la demostración. Ejemplo 6 La matriz

es positiva definida, ya que 2

121=2,

-

;I

2 =3,

-1

-3

-1

2

4 =I

-3

4

9

todos son positivos. Así, se garantiza que los eigenvalores de A son positivos y que xTAx > O para todo x # O . A OBSERVACI~N.

Una matriz simétrica A y la forma cuadrática xTAx se deno-

minan positiva semidefinida negativa dejinida negativa semidefinida indefinida

si xTAx 2 O para todo x. si xTAx < O para x # O . si xTAx 5 O para todo x. si xTAx tiene valores tanto positivos como negativos.

Los teoremas 9.5.2 y 9.5.3 se pueden modificar de manera evidente a fin de que sean válidos para los tres primeros tipos de matrices. Por ejemplo, una matriz simétrica A es positiva semidefinida si y sólo si todos sus eigenvalores son no negativos. También, A es positiva semidefinida si y sólo si todas sus submatrices principales tienen determinantes no negativos. OPCIONAL Demostración del teorema 9.5.la.Como A es simétrica, por el teorema 7.3.1 se concluye que existe una base ortonormal para R" que consta de eigenvectores de A .

558

;'


Supóngase que S' = { vl, v2, . . . , v,,) es esa base, donde vl es el eigenvector correspondiente al eigenvalor A,. Si ( , } denota el producto interior euclidiano, entonces por el teorema6.3.1 se concluye que para cualquier x en R" x = (x, V l > V l

+ (x, v2)v2+

' ' '

+ (x, v,)v,

Por tanto, A x = (x, VI)AV,

+ (x,v2)Av2+ . . . + (x, v,)Av, v,)d.,v, + . . . + (x, v,)d,v, + v2)v2+ . . . + a,(x, v,)v,

= (x, V I ) h l V ~+(x, =

al(x,

Se concluye que los vectores de coordenadas para x y A x con respecto a la base S son (4s

(Ax),

=

((x,

VI),

= (LAX,

(x, v2) . . . , (x, va>>

VI), d2(x, v,), . . . , U

X ,

v,))

Así, por el teorema 6.3.2ay el hecho de que llxll = 1 se obtiene (IXI(Z =

(x, Ax)

=

(x,

VI),

+ (x, V2)*

dI(X,v 1 ) 2 + &(x,

+ (x, V,)* = 1 v2)2 + + &(x, v,)2 f.

I

'

' ' '

Con estas dos ecuaciones y la fórmula (5) se puede demostrar que xTAx sigue.

5

1, como

+ d,(x, v2)2 + . . . + &(x, V,)* S al(x, + a,(x, v2)2 + . . + A , ( ~V,)2 , = v 1 ) 2 + (x,v2)* + . . . + (x, v,)2)

xTAx = (x,Ax) = d,(X, v,)*

I

=

dl

La demostración de que An xTAx es semejante y se deja como ejercicio.

Demostración de teorema 9.5.lb. Si x es un eigenvector de A correspondiente a I, y llxll = 1, entonces xTAx = (x, Ax) = (x, d l x ) = h , ( x , X > = d l ~ ~=xk~1 ~ 2

De manera semejante, xTAx = An si 11x11 = 1 y x es un eigenvector de A correspondiente a I,. 0

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 9.5 1. ¿Cuáles de las siguientes a) x' - t 6 . r y

expresionesson formas cuadráticas? b) 5 ~ :- 2.x:

+

4

~

~

~

c) 2 4x:

-

3x5 + x;

-

5.r,x3

9.5 Formas cuadráticas / 559 d) x:

-

7x:

+ x: + 4x,x2x3

e) xIx2 - 3xlx3 + 2x2x3

f)

X:

-

+

6 ~ : .xI

-

5x2

8 ) (x I - 3x2 h) (xI - x ~ + ) ~ 2(xI + 4x2)’ 2. Expresar las siguientes formas cuadráticas en la notación matricial xTAx, donde A es

una matriz simétrica. a) 3x:

+ 7xi

b) 4x:

-

9 x i - 6xlx2

c) 5x:

+ 5xIx2

d) - 7 ~ 1 %

3. Expresar la siguientes formas cuadráticas en la notación matricial x’Ax, donde A es

una matriz simétrica. a) 9x: -x2 C)

+

~1x2

e) x:

+ 4x: + 6 x 1 ~ 2- 8 ~ 1 . ~+3

b) x:

~ 2 x 3

+~2x3

+ x:

- x: - x i

+X:

- 3 ~ -: 5xIx2+ 9 ~ 1 . ~ 3

d) V?X: -

~1x3

+ 2x,x, - 10x,x4+ 4 ~ ~ x 4

+ 2\fh1x2

-

8 ~ ~ 1 x 3

4. En cada inciso, encontrar una fórmula para la forma cuadrática en la que no aparezcan

5. En cada inciso, encontrar los valores máximo y mínimo de la forma cuadrática sujeta a la restricción x! +’ x; = 1 y determinar los valores de x1 y xz en los que ocurren los valores máximoy mínimo. b) 7x: 4x: xlxz c) 5x: 2x2 - xIx2 d) 2.r: +x: + 3X,X2 a) 5x: -x:

+

+

+

6. En cada inciso, hallar los valores máximo y mínimo de la forma cuadrática sujeta a la restncción x: + + = 1 y determinar los valores de xl, .xz y .x3 en los que ocurren los valores máximosy mínimos.

44

a) x: + x i c) 3x:

+ 2x:

-

2xlx2

+ 4x,x3 + 4x2x3

+ 2x: + 3x: + 2x,x3

b) 2x:

+ x;

+x:

+ 2xlx3 + 2x,x2

7. Mediante el teorema 9.5.2, determinar cuáles de las siguientes matnces son positivas

definidas.

8. Con el teorema 9.5.3, determinar cuáles de las matrices del ejercicio 7 son positivas

definidas. 9. Usando el teorema 9.5.2, determinar cuáles de las siguientes matrices son positivas def~das.


560

1

IO. Por medio del teorema 9.5.3, determinar cuides de las matrices del ejercicio 9 son posidefinidas. tlvas 11. En cada inciso, clasificar la forma cuadrática como posltiva defmida, positiva semide-

finida, negativa definida, negativa semidefinidao indefinida. .Y; + .Y: b) - 3 ~ : C) ( X , - x2)* d j --(xl - xz)' e) .x: --x: f ) x,xz

--X:

a)

12. En cada Inciso, clasificar la matnz como positiva definida, positiva semidefinida, nega-

tiva definida, negativa semidefinida o indefinida. a)

d)

[

-:-:-81

O

0

1

O 0 0 e) [O O O]

fj

[A y O 0 1

O 0 0

13. Sea X'AX una forma cuadrática en x I ,x ,x,; definir T:Rn+ K por T(x) = x'dx. a) Demostrar que T(x + y) = T(x) + 2x Ay + ?"(y). b) Demostrar que T ( b ) = pT(x). c) ¿,Es T una transformación lineal? Explicar l a respuesta.

F.'

14. En cada inciso, encontrar los valores de k con los que la forma cuadrática es positiva

definida. a) x: + kx: c) 3 x i + .x:

-

4.x1x,

b) 5 ~ + :

X: + kx: + 4 ~ ~ -x 2 ~ ~ x 3~ x , x , -

+ 2 4 + 2x1x3+ 2k.rzx3

15. Expresar la forma cuadrática (c,x, + czyz

+

,

. .

+ C~X,)~ en notación matricial xTAx,

donde A es simétrica.

se denomina media aé la muestra de x,, x2, . . . ,xn, y

se denomina variancia de la muestra. a)Expresar la forma cuadrática S', enla notación matricial xTAx, donde A es simétrica. b) ¿,Es S', una forma cuadrática positiva definida? Explicarla respuesta. 17. Cnmpletar la demostración del teorema 9.5. I probando que I n 5 xTAx si llxll = 1 ya, = xTAx si x es un eigenvector de A correspondiente a An.

9.6 Diagonalización de formas cuadráticas; secciones cónicas 1 561

9.6 DIAGONALIZACIÓN DE FORMAS CUADf3ÁTICAS; SECCIONES

C~NICAS En esta sección se mostrará cómo eliminar, cambiando las variables, los términos de producto cruzado que hay en unaforma cuadrática, y los resultados se usarán para estudiar las gráJcasde secciones cónicas.

DIAGONALIZACIÓN DE FORMAS CUADRÁTICAS

Sea

xTAx = [xI x2

..

'

x,]

una forma cuadrática, donde A es una matriz simétrica. Por el teorema 7.3.1 se sabe que existe una matriz ortogonal P que diagonalizaaA; es decir,

:I

donde Al, A2, . . . ,A,, son los eigenvalores deA . Si se hace

Y=

Y"

donde y,, y,, . . . ,y, son variables nuevas,y si en (1) se efectúa la sustituciónx = P y , entonces se obtiene X~A= X ( P Y ) ~ A P= Y yTPTAPy= yTDy

Pero

56.2

7emas complementarios

que es una forma cuadrática sin términos de producto cruzado. En resumen, se liene el siguiente resultado.

Teorema 9.6.1. Sea xTAx una forma cuadrática en las variables xl, x,, . . . , x,, donde A es simétrica. Si P diagonaliza ortogonalmente a A y si las nuevas variables -y1, y,, , . , , y , están dejnidas por la ecuación x = P y , entonces al sustituir esta ecuación en xTAx se obtiene x T A x = y7By =

donde A,. A2.

..

a,?; + A2y; + . . + A,;. '

. .A , son los eigenvalores de A y

a, o

D=P%P=

I10 o .

" '

0

d2 . . . O .

o

...

,;

Se dice que la matriz P de este teorema diagonafiza ortogonafmente la forma cuadrática, o que reduce f aforma cuadrática a una suma de cuadrados.

Ejemplo 1 Encontrar un cambio de variable que reduzca la forma cuadrática x: - x i - 4x,x2 + 4x2x3a una suma de cuadrados, y expresar la forma cuadrática en términos de las nuevas variables. Solución.

La forma cuadrática se puede escribir como

La ecuación característica de la matriz 3 x 3 es 2 - 1

2

o

2

A -2

o -2

a-tl

=a3-9d=A(d+3)(A-3)=O

de modo que los eigenvalores son A = O, A = -3, A = 3. Se deja al lector demostrar que las bases ortonormales de los tres eigenespacios son

9.6 Diagonalización de formas cuadráticas; secciones cónicas

I'

563

Así, la sustitución x = Py con que se eliminan los términos de producto cruzado es

o bien, de manera equivalente, x , = Qy,- iY, - UY3 2 x2 = +y, - QY2 + %Y3 x3 = Q y ,+ QY2 + +Y3

La nueva forma cuadrática es


- 3y: + 3Y: A Hay otros métodos para eliminar los términos deproducto cruzado de una forma cuadrática, perono serán analizados aquí. Dos de los métodos, la reducción de Lagrange y la reducción de Kronecker se estuhan en textos más avanzados. OBSERVACI~N.

SECCIONES CÓNICAS

A continuación se aplicará l o aprendido hasta ahora sobre formas cuadráticas al

estudio de ecuaciones de la forma ax2 + 2bxy

+ cy2 + dx + ey + f = O

(2)

donde a, 6, . . . ,f son, todos, números reales y por lo menos uno de los números a, b, c es diferente de cero. Una ecuación de este tipo se denomina ecuación cuadrcibica en x y y , y ax2 + 2bxy

+ cy2

se denominaforma cuadrtitca asociada.

Ejemplo 2 En la ecuación cuadrática 3x2 + 5 x y - 7y2 + 2x + 7 = o

las constantes en (2) son

564

lentas cumplernentarios 0

= 3.

h :r

2

2,

L‘

z: ---

7

,(

d=2,

f=7 A

p=o,

Ejemplo 3

4x2

-

5.v’

i8v+

I\’

+y =o

9=o

4x’

-

5y’

xv

Las gráfkas de ecuaciones cuadráticas en x y y se denominan cónicas o secciones cónicas. Las cónicas más importantes son las elipses, circunferencias, hipdrbolas y parábolas; estas curvas se denominan cónicas no degeneradas. Las demás cónicas se denominan degeneradas e incluyen los puntos simples y 10s pares de rectas (véase el ejercicio 15). Se dice que una cónica no degenerada está en posición normal con respecto a los ejes de coordenadas si su ecuación se puede expresar en una de las formas dadas en l a figura 1.

k
x‘ k’

k>l

?”

[’- 1; k. 1 > O

””

Fhperbola

Figura 1 (continúa en la página 565)

-

k=l

9.6 Diagonalización de formas cuadráticas; secciones conicas / 565

.v2 = kx Parábola

x2 = ky

Parábola

Figura 1

Ejemplo 4 La ecuación x2

y2 -+-= 4 9

x2

y2

lesdelaforma-+-= k2 l 2

1 con k = 2 , 1 = 3

Por tanto, su gráfíca es una elipse en posición normal que corta el eje x en (-2, O) Y (2,O) Y al ejey en (O, -3) Y (0, 3). L a ecuación x2 - S 2 = - 16 se puede escribir de nuevo como ,912 - x2/16 = 1, que

es de la forma glk - x2/1= 1, con k

=

J2,1= 4. Por tanto, su gráfica es

una luperbola en posición normal que corta al ejey en (O, - JiT y (O, J2 1. La ecuación 5x2 + 2y = O se puede volvera escribir como x2 = - *y. que es de la forma 2 = ky con k = Como k < O, su gráfíca es una parábola en posición normal cuyas ramas se abren hacia abajo, A

3.

IMPORTANCIA DEL TÉRMINO DE PRODUCTO CRUZADO

Obsérvese que ninguna cónica en posición normal tiene término xy (es decir, término de producto cruzado) en su ecuación; la presencia de un término xy en la ecuación de una cónica no degenerada indica que la cónica no está rotada en la posición normal y ha girado (figura 2a). También, ninguna cónica en posición normal tiene a la vez un término x* y un termino x o un termirno y 2 y un t.Cr;runo y . Si no hay ténnino de producto cruzado. entonces la aparici6n de cualquiera de estas parejas en la ecuación de una cónica degeneradaindica que la cónica est6 trasladada fuera de la posición nonnal (tigura 33).

566 / Temas complenzentarios

Una técnica para identificar la gráfica de una cónica no degenerada que no esté en posición normal consiste en girar y trasladar los ejes de coordenadas xy a fin deobtener un sistema de coordenadas x y con respecto al cual la cónica esté en posición normal. Una vez hecho lo anterior, la ecuación de la cónica en el sistema x y es de una de las formas dadas en la figura 1, por lo que se puede identificar fácilmente.

h)

c.)

piq

Rotación y traslación

Ejemplo 5 Como la ecuación cuadráttica 2 x 2 + + * - 1 2 ~ - 4 , ~ +1 8 ~ 0

contiene términos 2, x, 3 y y pero no contiene término de producto cruzado, su gráfica es una cónica que no está en la posición normal y se ha trasladado pero no ha girado. Esta cónica se puede colocaren posición normal trasladando de manera apropiada los ejes de coordenadas. Para lograrlo, primero se agrupan los términos x y y. Así, se obtiene

+

(2x2 - 1 2 ~ ) ( y 2- 4y) + 18 = O

o bien, 2(x2

-

6 ~ +) ( y 2- 4y)

-

18

Completando el cuadrado* en ambas expresiones entre paréntesis se obtiene 2(x2 - 6~ + 9) + ( y 2- 4~ + 4)

o bien, 2(x - 3)2

+(y

-

-

18

+ 18 + 4

2)* = 4

* Para completar al cuadrado una expresión de la forma x2 + px se suma y resta la constante @/2)2para obtener

9.6 Diagonalización de formas cuadráticas; secciones cónicas / 567

Si los ejes de coordenadas se trasladan por medio de las ecuaciones de traslación x"x-3,

y'=y-2

entonces (3) se convierte en 2x'2

+ y'* = 4

o bien, X -+"=I I2

2

Y'* 4

que es la ecuación de una elipse en posición normal en el sistema x?. Esta elipse se muestra en la figura 3. A

Figura 3

ELIMINACIóN DEL TÉRMINO DE PRODUCTO CRUZADO

A continuación se mostrará cómo identlficar cónicas que no están en la posición normal por haber girado. Si en las matrices 1 x 1 se omiten los corchetes, entonces (2) se puede escribir en forma matrlcial como

O

xTAx+Kx+ f = O

donde

Ahora, considérese una cónica C cuya ecuaciónen coordenadas xy es x'Ax+Kx+ f = O


Se quiere girar los ejes de coordenadas xy de modo que la ecuación de la cónica en el nuevo sistema x’y’ no contenga término deproducto cruzado. Esto sepuede lograr como se muestra enseguida.

Paso 1.

Encontrar una matriz

que diagonalice ortogonalmente la forma cuadrática xTAx. Paso 2.

Intercambiar las columnasde P , encasodesernecesario,para hacer det(P) = 1 . Esto asegura que la transformación ortogonal de coordenadas x

= Px‘,

esto es,

[;]

=p[;:]

es una rotación.

+

+f =O

+

+f =O

(Px‘)7A(Pxr) K ( P x ’ )

o bien, ( x ‘ ) ~ ( P ~ A P ) x(KP)x’ ’

(6)

Como P diagonaliza ortogonalmente a A ,

londe A , y A, son eigenvalores de A . Así. (6) se puede volver a escribir como

,

[donde d ‘ = dp, + ep21 y e’ = dp,, + ep,,). Esta ecuación no contiene término je producto cruzado.

9.6 Diagonalización de formas cuadráticas; secciones cónicas / 569

Este análisis se resume en el siguiente teorema.

Teorema 9.6.2. (Teorema de los ejes principales para R'). Sea ax2

+ 2bxy + cy2 + dx + ey + f

=O

la ecuación de una cónica C,y sea

xrAx

= ax2

+ 2bxv + cy2

la forma cuadrcítica asociada. Entonces los ejes de coordenadas se pueden girar de modo que la ecuación de C en el nuevo sistema de coordenadas x y sea de la forma jl,xr2

+ A2yI2+ d'x' + e'y'

tf =O

donde 1, y A2 son los eigenvalores de A . La rotación se puede efectuar mediante la sustitución

x

= Px'

donde P diagonaliza ortogonalmente a xTAx y det(P) = l .

Ejemplo 6 Describir la cónica C cuya ecuación es 52 - 4xy + 8 3 - 3

=O

Solución. La forma matricial de esta ecuación es

X'AX - 36 = O

donde


de modo que los eigenvalores de A son 1 = 4 y 1 = 9. Se deja para el lector demostrar que bases ortonormales para los eigenespacios son

570

/'


Asi, P=

[

2'l v' V 33

-

"7

2/v3

diagonaliza ortogonalmente a aTAx. Además, det(P) transformación ortogonal de coordenadas x

=

1, demodoque

la (8)

= Px'

es una rotación. Sustituyendo (S) en (7) se obtiene ( P x ' ) ~ A ( P x' ) 36 = O o

( X ' ) ~ ( P ' A P ) X-' 36 = O

Como PTAP=

lo 4 0 9]

esta ecuación puedeescribirse como

o

+

4 ~ " 9 ~ ' '- 36

1

O

O

que es la ecuación de la elipse mostrada en la figura 4. En esa figura. los vectores v, y v 2 son los vectores columna de P. A

9.6 Diagonalización de formas cuadráticas; secciones cónicas 1 571

Ejemplo 7 Describir la cónica C cuya ecuación es 20 80 5x2-4xy+8y2+-~--y+4=0

v5v5

Solución. La forma matricial de esta ecuación es xTAx+Kx+4=0

donde

Como se muestra en el ejemplo 6,

di ,onalizaortogonalmente a xTAx. Sustituyendo x = Px’ en (9) se obtiene

+

(PX’>~A(PX’)K(Px’)

+4 =O

o bien, ( X ’ ) ~ ( P ~ A P+ ) X(KP)x’ ’ +4 =O

(10) se puede escribir como

+

4 ~+ 9’ ~~” 8 ~-’ 3 6 ~ ‘ 4 = O

Para que la cónica esté en posición normal es necesario trasladar los ejes x y Procediendo como en el ejemplo 5, (1 1) se vuelve a escribir como 4(x’2 - 2x’) + 9(y’2 - 4y’) = -4

Completando los cuadrados se obtiene 4(d2 - 2 ~ +‘ 1) + 9 ( ~-’ 4y’ ~

+ 4)

-4

+ 4 + 36


o bien, 4 ( ~' I)2

+ 9( y'

-

2)'

= 36

Si los ejes de coordenadas se trasladan mediante las ecuaciones de traslación

y

=X'

-

1,

y'

= j/

"

2

entonces (12) se convierte en

+

4 ~ ' ' 9yn2 ~ = 36

o bien.

que es la ecuación de la elipse mostrada en la figura 5. En esa figura, los vectores v1 y v2 son los vectores columna de P. A

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 9.6 1. En cada inciso, encontrar un cambio de variable que reduzca la forma cuadrática a una

suma o diferencia de cuadrados, y expresar la forma cuadrática en términos de las nuevas variables. a) 2x: + 2.4 - 2x,x2 b) 5.4 2x2 + 4x,x2 c ) 2x,x2 d) -3n: + 5 x t i- 2,r,s,

+

9.6 Diagonalización de formas cuadráticas; .secciones cónicas 1 573

2. En cada inciso, encontrar un cambio de variable que reduzca la forma cuadrática a una Suma 0 diferencia de cuadrados, y expresar la forma cuadrática entérminos de las nuevas variables. a) 3.4 + 4xz + 5x: + 4x1x2- 4~2x3 b) 2.4 + 5 ~ + : 5 4 + 4x,-x2- 4x,X3 - 8X2X3 C) - 5x: + X: - X: + 6 1 , + ~ 4~~ 1 x 1 d) 2~1x3+ 6x2~3 3. Encontrar las formas cuadráticas asociadas a las siguientes ecuaciones Cuadraticas.

a) 2-x2- 3sy + 4y’

-

7x

+ 2.v + 7 = O

b) x’ - xy + 5x + 8y - 3 = O e) y 2 + 7x - 8v - 5 = O

d ) 4x2 - 2 ~ = ’ 7

c) 5xy = 8

4. Encontrar las matnces de las formas cuadráticas del ejercicio 3.

5. Expresar cada una de las ecuaciones cuadráticas del ejercicio 3 en la forma matricial

X’AX

+ Kx + f = O.

6. Identificar las siguientes cónicas. a) 2s’ + 5y2 = 20 b) 4x2 9y2= 1 e) x2 + y 2 - 25 = O f) 7y2- 2x = O ‘ 2 i) y - s 2 = o J ) X - 3 = -y2

+

c) x2 - y 2 - 8 = O

d) 4y2 - 5x2 = 20 h) 3~ - 1 ly2 = O

g) -x2 = 2y

7. En cadainciso,la cónica estará enposiciónnormalpormedio de una traslación. Identificar la cónica y proporcionar su ecuación en el sistema de coordenadas trasladado. b) x’ - 16y2+ 8n + 1 2 8 = ~ 256 a) 9x2 + 4,v’ - 36.x - 24y + 36 = O C) -y2 - 8 s - 14.v + 49 = O e) 2x2 - 3y2 6x 20y = -41

d ) x 2 + y 2 + 6 s - ~ O < V +1 8 = 0 f ) x2 + 1 0 +~ 7~ = -32

+ +

8. Las siguientes cónicas no degeneradas están rotadas fuera de l a posición normal y han grado. En cada inciso, grar los ejes de coordenadas para eliminar el términox y . Identificar la c h i c a y proporcionar su ecuación en el sistema de coordenadas queha girado. a) 2 s 2 - 4 x , v - y 2 + 8b=)0x 2 + 2 x y + y 2 + 8 ~ + y = O c) 5x2 + 4sy + S$ = 9 d ) 1 1x 2 + 2 4 . + ~ 4-V’ ~ - 15 = O

En los ejercicios del 9 a 14, trasladar y girar los ejes de coordenadas, en caso de ser necesario, a fin de que la cónica esté en posición normal. Identificar la cónica y proporcionar su ecuación en el sistema de coordenadas final. 9. 9s’ - 4Xy + 6 ) ~ - ~10s - 20,V

10. 3x2 - 8.w~- 1 2 ~ ’ 3 0 . ~- 64,~= O

5

11. 2 x 2 - 4 ~ . ~ - y 2 - 4 x - 8 v = - 1 4 13.

X‘ -

6xy - 7 ~ + ’ 1 O X + 2~3+ 9

12. 21x’

O

+ 6sy + 13y2

-

+

1 1 4 ~ 34.v + 73 = O

+

14. 4 ~ ’ 20.~1) 2 5 ~ ’- 15s - 6y = O

15. La gráfica de una ecuación cuadrática en x y y puede, en ciertos casos, ser un punto,

una recta o un par de rectas. Estas cónicas se denominan degenerodas. También es posible que ningún valor real de x y y satisfaga la ecuación. En estos casos la ecuación no tiene gráfica; se dice que representa una c h i c a imaginaria. Cadauna de las siguientes expresiones representa una cónica de-generada o imaginaria. Cuando sea posible, trazar la gráfica. a) x* -.v2 = O b) S’ + 3y2 + 7 = O C) 8 x 2 + 7 y 2 = O d)x2-2xy+,v’=O

e) 9 x 2 + 1 2 s y + 4 y 2 - 5 2 =f0) s ’ + y 2 - 2 x - 4 y -=5

574

1


9.7 SUPERFICIES CUADRICAS Enestasección se aplicarán las técnicas de diagonalizaciónobtenidas en la sección precedente a ecuaciones cuadráticas con tres variables, y los resultados se usarán para estudiar superficies cuádricas.

SUPERFICIES CUÁDRKAS

Una ecuación de la forma ax2 + by2 + cz2 + 2dxy

+ 2exz + 2fyz + gx + hy + iz + j = O

donde notodos los coeficientes a, 6, cuadrútica en x, y , y z; la expresión ax2

.

.

.

(1)

, f son cero se denomina ecuación

+ by' + cz' + 2dxy + 2exz + 2f y z

se denominaforma cuadrútica asociada. La ecuación (1) se puedeescribir en forma matricial como [x y o

z]

[:;:I[:] d

b f

y

[:I

+[g h

i] y

+j=O

xTAx+Kx+j=O

donde

Ejemplo 1 La forma cuadrática asociada con la ecuación cuadrática

+

3x2 + 2y2 - z 2 + ~ X , V

- 8yz + 7~ + 2 y + 3~ - 7 = O

~ X Z

es 3x2

+ 2y2

- z2

+ 4xy + 3xz

-

8yz A

Las gráfkas de ecuaciones cuadráticas con variables x, y y z se denominan superficies cuúdricas. Las ecuaciones más simples de superficies cuádncas ocurren cuando estas superficies se colocan en ciertas posiciones normales con respecto a los ejes de coordenadas. En la figura 1 se muestran las seis superficies cuádricas básicas y las ecuaciones de estas superficies cuando éstas se colocan en las posiciones normales mostradas en la figura. Si una superficie cuádrica es cortada por un plano, entonces la curva de intersección se denomina traza del plano sobre la superficie. Para ayudar a conceptualizar las superficies cddricas de la figura 1, se muestran y describen las trazas formadas por planos cuúdricas o

9.7 Superjcies cuádricas

/I

575

paralelos a los planos de coordenadas. La presencia de uno o más términos de producto cruzado xy, xz y yz en la ecuación de una cuádrica indica que la cuádrica está fuera de la posición normal y se ha girado; la presencia de ambos términos x2 y x, 2 y y o z2 y z en una cuádrica sin término de producto cruzado indica que la cuádrica está trasladada fuera de la posición normal.

Ecuación

Superficie

Superficie

Ecuación

Cono elíptico

'

Los trazos en los planos de coordenadas son elipses, así como los trazos en los planos paralelos a los planos de coordenadas.

IHiperboloide I Ide unahoja 1

"

Y A

V'

2'

m'

n2

"+""=

I'

1

El trazo en el plano xy es un punto (el origen), y los trazos en los planos paralelos al plano xy son elipses. Los trazos en los planos yz y xz son pares de rectas que se cortan en el origen. Los trazos en los planos paralelos a éstos son hipérbolas.

I

Paraboloide elíptico

El trazo en el plano xy es una elipse, así como los trazos en los planos paralelos al plano xy. L o s trazos en los planos yz y xz son hipérbolas, as¡ como los trazos en los planos paralelos a éstos.

IHiperboloide de I dos hojas

I

x ' - = -z' - + - -"' I'

m'

n2

Vo hay trazoen el plano x y .

En los planos paralelos al )lano x y , que cortanla uperfkie, los trazos son :lipses. En los planosyz yxz os trazos son hipérbolas, a s í :om0 los trazos en los planos malelos a éstos.

I El trazo en el plano xy es un punto (el origen), y los trazos en los planos paralelos y por encima del plano xy son elipses. Los trazos en los planos yz y xz son parábolas, a s í como los trazos en los planos paralelos a éstos.

Paraboloide hiperbólico 1

V2

-~ y'

x'

" "

m'

I'

El trazo en el plano xy es un par de rectas que se cortan en el origen. Los trazos en los planos paralelos al plano xy son hipérbolas. Las hipérbolas por encima del plano xy se ls abren en la dirección y, y a que es^ por abajo lo hacen :n la dirección x. Los trazos m los planos yz y xz son mrábolas, a s í como los trazos :n los planos paralelos a éstos.

576

/'


Ejemplo 2 Describir la superficie cuádrica cuya ecuación es 4x2 + 3 6 ~ '- 9z2 - 1 6 -~216~1+304 = 0 Solución. Al reagrupar los términos se obtiene 4 ( ~ '- 4x1

+ 36(,~'- 6 ~ ) 9z2 -

--

304

Completando el cuadrado de los binomios entre paréntesis se obtiene 4(x2 - 4~

+ 4) + 3 6 ( ~ '

-

6.y

+ 9)

-

9 2 = -304

+ 16 + 324

O

4 (~ 2)2 + 36(y - 3)' - 9z2 = 36 O

(x

-

9

2)'

Z2

+(y-3)2--=

4

1

Trasladando los ejes por medio delas ecuaciones de traslación

se obtiene

que es la ecuación de un hiperboloide de una hoja. A ELIMINACIÓN DE LOS TÉRMINOS DE PRODUCTO CRUZADO

El procedimiento para identificar cddricas que están fuera de la posiciónnormal y se han girado, es semejante al procedimiento para las cónicas. Sea Q una superficie cuádrica cuya ecuación en coordenadas xyz es xTAx+Kx+j=O

(2)

Se quiere girar los ejes de coordenadas xyz de modo que la ecuación de la cuádrica en el nuevo sistema de coordenadas xlylz' no contenga términos deproducto cruzado. Esto se puede efectuar como sigue:

Paso 1. Paso 2.

Encontrar una matriz P que diagonalice ortogonalmente a xTAx. Intercambiar dos columnas de P, en caso de ser necesario, a fin de hacer det(P) = 1. Esto asegura que la transformación ortogonal de coordenadas

9.7 Super-cies cuádricas i 577

es una rotación.

Paso 3.

Sustituir ( 3 ) en (2). Así se obtiene una ecuación para la cuádrica en coordenadas x'y'z' sin términos de producto cruzado. (La demostración es semejante a la de las cónicas y se deja como ejercicio.)

El siguiente teorema resume este análisis.

Teorema 9.7.1. (Teorema delos ejes principales paraR3). Sea ux2

+ by2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + gx + hy + iz + j = O

la ecuación de una cuádrica Q, y sea xTAx = ax2 + by2 + cz2

+ 2dxy + 2exz + 2fyz

la forma cuadrática asociada. Los ejes de coordenadas se pueden girar de modo que la ecuación de Q en el sistema de coordenadas x'y'z' sea de la forma

donde A,, A2 y A3 son los eigenvalores de A . La rotación se puede efectuar por medio de la sustitución x

= Px'

donde P diagonaliza ortogonalmente a xTAxy det(P) = l .

Ejemplo 3 Describir la superficie cuádrica cuya ecuación es 4x2

+ 4y2 + 4z2 + 4xy + 4xz + 4yz

-

3

=

o

Solución. La forma matricial de la ecuación cuadrática anterior es X'AX

-

3

=O

donde

Como se muestra en el ejemplo 1 de la sección 7.3, los eigenvalores de A son 1 = 2 y A = 8, y A es diagonalizada ortogonalmente por la matriz

5 78

1


1

O

donde los dos primeros vectores columna en P son eigenvectores correspondientes I= 2 y el tercer vector columna es un eigenvector correspondiente a 1 = 8. a, Como det(P) = I (comprobar), la transformación ortogonal de coordenadas x = Px’ es una rotación. Sustituyendo estaexpresión en (4) se obtiene ( P x ’ ) 7 A ( P x ’) 3 =o

o bien, de manera equivalente, (x’)7(P?4P)x’- 3 = O

Pero

[: :] 2

PTAP=

0

0

de modo que (5) se convierte en

o bien, 2s’* + 2y’*

+ 82”

=3

La ecuación anterior se puede volvera escribir como z!?

-+-+-=I 312

3/2

318

que es la ecuación de un elipsoide. A

EJERCICIOS DE LA SECCION 9.7 1. Encontrar las formas cuadráticas asociadas con las siguientes ecuaciones cuadráticas a)

Y‘+ 2y2 -- zz + 4.ry - 5.v~+ 7 1 + 22 = 3

C) X!’

e ) 3:’

+ + + 3.~2 Y 2

)JZ

-

1 14y

+9 =O

+

+

+

b) 31’ 7z’ 2.uy - 317 4.1.2 - 3x = 4 d ) .xz +.v‘ - z’ = 7 f ) 2 2 2x2 +y2 2x -y 3z = o

+

2. Encontrar las matrices de las formas cuadráticas del ejercicio 1

+

+

9.8 Comparación de procedimientos para resolver sistemas lineales / 579 3. Expresar cada una de las ecuaciones cuadráticas dadas en el ejercicio 1 en la forma matncial X'AX + Kx + j = O.

4. Identificar las siguientes cuádricas.

b) 2x2 + 6y2 - 3z2 = 18 e) 16x2 + y 2 = 162

+ 9y2 + 4z2 - 36 = O d) 9x2 4y2 - z2 = O g)x2+y2+z2=25 a) 36x2

+

6x2 - 3y2 - 2z2 -- 6 = O f ) 7x2 - 3y2 + z = o

C)

5. En cada inciso, determinar las ecuaciones de traslación que colocan la cuádrica en

posición normal. a) 9x2

+ 36y2 + 4z2

-

18x - l44y - 242

+

C) 3 ~ -' 3y2 - z2 + 4 2 ~ 144 O e) x 2 + 16y2 + 2x - 32y - 16z - 15 = O

+ 153 = O

+ +

+

b) 6x2 3y2 - 2z2 12x - 18y - 8z = - 7 d) 4x2 9y2 - Z' - 54y - 5 0 =~ 544 f) 7 x 2 - 3 y 2 + 1 2 6 ~ + 7 2 y + ~ + 1 3 5 ~ 0

g ) ~ ~ + y ~ + ~ ~ - 2 ~ + 4 ~ - 6 ~ = 1 1

6. En cada inciso, encontrar una rotación x = Px' que elimina los términos de producto cruzado. Identificar la cuádrica y escribir su ecuación en el sistema xyz'. a) 2x2 + 3y2 + 23z2 72xz 150 = O b) 4x2 + 4y2 + 4z2 + 4x-v + ~ C) 1 4 4 +~ 1~ 0 0 ~ 812' ~ - 2 1 6 -~ 5~4 0 ~ 7202 = O d) 2xy + z = O En los ejercicios del 7 al 10, trasladar y girar los ejes de coordenadas a fin de colocar la cuádrica en posición normal. Identificar la cuádrica y escribir su ecuación en el sistema de coordenadas final.

+

7.

+

+

+ 4yz

X Z

-

5=O

~ X Y + ~ X Z + ~ Y Z - ~ X - ~ Y - ~- 9 Z =

8. 7x2

+ 7y2 + 10z2

-

2xy

- 4x2

+ 4yz - 1 2 +~ 12.y + 602 = 24

9. 2 ~ ~ - 6 ~ + 1 0 ~ + ~ - 3 1 = 0 10. 2x2

+ 2y2 + 5z2

-

4xy - ~

+ 2yz + 1 0 -~ 26y - 22 = O

X Z

11. Demostrar el teorema 9.7.1.

9.8 COMPARACI~N DE PROCEDIMIENTOS PARA RESOLVER SISTEMAS LINEALES En esta sección se analizarán algunos aspectos prácticos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, invertir matrices y encontrar eigenvalores. Aunque ya antes se analizaron métodos para efectuar estos cálculos, los métodos no son aplicables directamente a la solución por computadora de problemas en gran esca!a que se presentan en aplicaciones del mundo real.

CONTEO DE OPERACIONES

Debido a que las computadoras están limitadas en el número de cifras decimales que pueden manejar, redondean o truncan casi todas las cantidades numéricas. Por ejemplo, una computadora diseñada para almacenar ocho cifras decimales puede registrar como .66666667 (redondeado) o como .66666666 (truncado). En cualquier caso se introduce un error denominado error por redondeo.

3

580 i Ternas complementarros

Las consideraciones prácticas principales al resolver problemas de álgebra lineal en computadoras digitales son reducir el tiempo de computadora O, así el costo) necesario para obtener Ea solución y disminuir inexactitudes debidas a errores por redondeo. Asi, un buen algoritmo de cómputo usa el menor número de operaciones posibley efectria tales operaciones de modo que reduce el efecto errores de por redondeo. En estetexto se han estudiado cuatro métodos para resolver un sistema lineal, A x = b, de n ecuaciones con n incógnitas: 1. Eliminación de Gauss con retrosustitución, 2. Eliminación de Gauss-Jordan. 3. Calculando A". obtener x = .-I b, y 4. La regla de Cramer.

Para comparar estos métodos como herramientas de cómputo es necesario saber cuántas operaciones aritméticas requiere cada uno. En una computadora moderna grande, los tiempos de ejecución representativos en microsegundos (1 microsegundo = segundos) para las operaciones aritméticas básicas son Multiplicación División Adición Sustracción

1.O microsegundo

=

= 3 .O microsegundos = 0.5 microsegundos =

0.5 microsegundos

En este análisis se agruparán las divisiones y las multiplicaciones (tiempo medo deejecución = 2.0 microsegundos), y también se agruparán las sumas y las sustracciones (tiempo medio ejecución de = 0.5 microsegundos). Las multiplicaciones o divisiones se denominarán "multiplicaciones", y las adiciones y sustracciones, "a&ciones". En la tabla 1 se muestra el número de operaciones necesarias para resolver un sistema lineal A x = b de n ecuaciones con n incógnitas aplicando cada uno de los métodos analizados en el texto, así como el número de operaciones necesarias para invertir a A o para calcular su determinante por reducción de renglones.

Método

Número de adiciones

' + $n * - gn

Resolver Ax = b por eliminación de Gauss-Jordan

in

Resolver Ax = b por eliminacióngaussiana

gn3

ResolverAx = b como x =,4K1b

n3 - n2

+ gn2

-

gn

1

~

Encontrar det(A) por reducciónde renglones Resolver Ax = b por laregla de C m e r

3.4

X

n Número de multiplicaciones

TABLA 1 Conteo de operaciones para una matriz invertible A n

-

n 3 + n2

in' +in

i n 4 - I n 3 - Ln2 6

3

+1

6n

9.8 Comparación de procedimientos para resolver sistemas lineales / 581

Obsérvese que los métodos de eliminación de Gauss-Jordan y de eliminación gaussiana proporcionados en el texto poseen el mismo conteo de operaciones. No es dificil entender por qué esto es así. Ambos métodos empiezan con la reducción de la matriz aumentada a la forma escalonada por renglones. Esto se denomina fase hacia adelante o pase hacia delante. Luego la solución se termina por retrosustituci.ón en la eliminación gaussiana y continuando la reducción hasta la forma escalonada reducida en la eliminación de Gauss-Jordan. Esto se denomina fase hacia atrris o pase hacia atrás. Resulta que el número deoperaciones necesarias para la fase hacia adelante es elmismo, sin importar que seuse retrosustitución o la reducción se continúe hasta llegar a la forma escalonada reducida. Así, los métodos de eliminación gaussiana y de eliminación de GaussJordan proporcionados en el texto poseen el mismo conteode operaciones. OBSERVACI~N.Existe una

variante común de la eliminación de Gauss-Jordan, menos eficazquelapresentada en eltexto.Enelmétododeltexto,la matriz aumentada primero se expresa en forma escalonada reducida mediante la introducción de ceros abajo de los unos principales; luego, la reducción se completa mdante la introducción de ceros arriba de los unos principales. Un procedimiento opciord es introducir ceros abajo y arriba de un 1principal una vez obtenido éste. El método requiere n3 "2

n 2

n2 adiciones

y

n3 2

-

+2

multiplicaciones

que son valores mayores que los aquí obtenidos para toda n 2 3. Para ilustrar cómose calculan los resultados de la tabla 1, se obtendrá el conteo de operaciones para la eliminación de Gauss-Jordan. Para llevar a cabo este análisis se requieren las siguientes fórmulas de la suma de los n primeros enteros positivos yla suma de los cuadrados de losn primeros enteros positivos:

1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + + 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6

En los ejercicios se analizan métodos de obtención de estas fórmulas. También se requieren las fórmulas para la suma de los n - 1 primeros enteros positivos y la suma de los cuadrados de los n - 1 primeros enteros positivos. Las fórmulas se pueden obtener sustituyendo n - 1 por n en (1) y (2).


CONTEODE OPERACIONES PARA LA ELIMINACIóN DE GAUSSJORDAN

Sea Ax = b un sistema de n ecuaciones lineales con n incóptas, y supóngase que que el sistema tiene una solución única. También supóngase, para simplificar las cosas, que para escribir la matriz aumentada [A I b] en forma escalonada reducida no se requiere ningún intercambio de renglones. Esta hipótesis se justifica porel hecho de que los intercambios de renglones se efectúan como regstro de operaciones en una computadora y requieren mucho menos tiempo que las operaciones aritméticas. en el Comonoserequiere ningún intercambio de renglones, el primer paso procesodeeliminacióndeGauss-Jordanesintroducir un 1 principal en elprimer renglón multiplicando los elementos de este renglón por el recíproco del elemento de la izquierda en el renglón.Este paso se representa de manera esquemática como sigue:

A es invertible, de modo

1

x

x

’ . ‘

x

x i x

O

O

O

”.

O

0 ; . X I

1

1

O O

O O

O O

..’ .’.

denota una cantidad que se calculará denota una cantidad que no se calcula Eltamañodelamatrizesn X ( n + 1 )

.

I

‘

I

.

I

O

o ; .

O

o ; .

I

Obsérvese que el 1 principal simplemente se registra y que no requiere cálculos: sólo es necesario calcular los n elementos restantes en el primer renglón. A continuación se presenta una descripción esquemática de los pasos y el número de operaciones necesarias parareducir [A 1 b] a forma escalonada por renglones. X

Paso 1

8

O

n multiplicaciones O adiciones

O

O

Paso l a

O

n multiplicaciones/renglón

X

n a&ciones/renglón n - 1 renglones que requieren

X

cálculos

X

Lo x Paso 2

x

..’ x

x

X

1

I

n(n - 1) multiplicaciones n(n - 1) adiciones

I


n - 1 multiplicaciones/renglón n - 1 adiciones/renglón n - 2 renglones que requieren cálculos

Paso 2a

I. .

.

o o o o

.

x x

x x

." " '

x x

n - l)(n

-

2) multiplicaciones

O

Paso 3

O

X

. ..

. ..

.. .

n - 2 multiplicaciones O adiciones

I

n - 2 multiplicaciones/renglón n - 2 adiciones/renglón n - 3 renglones que requieren cálculos

Paso 3a

...

I

.. . X

n - 2)(n - 3) multiplicaciones

X

Paso (n - 1)

O O

..

..

..

..

..

I

2 multiplicaciones O adiciones

I

X O

Paso

2 multiplicaciones/rengló~ 2 adicioneshenglón 1 renglones que requieren cálculos

( n - l)a

I multiplicación

O adiciones

1

'

o o ". 1 o o o '.' o 0

'

I

'

'1

o j o

1 ; x

584

1’


Así, el número de operaciones necesarias para completar pasosconsecutivos es como sigue:

Pasos 1 y l a Multiplicaciones: n + n(n - 1) = n’ Adiciones: n(n - 1) = n2 - n Pasos 2 y 2a Multiplicaciones: ( n - 1 ) + (I? - I )(n - 2) = ( n - 1 )’ Adiciones (n-I)(n-2)=(n-l)’-(n1) Pasos 3 y 3a Multiplicaciones: ( n - 2) i( n - 2)(n - 3) = ( n - 2)’ ( n - 2)(n - 3) = (n - 2)’ - ( n - 2) Adiciones: Pasos (n - 1) y (n - l)a Multiplicaciones: 4 ( = 2’ ) Adiciones: 2(=2’-2) Paso n Multiplicaciones: I ( = I ’ ) Adiciones: O ( = 1 2 - 1) Por consiguente, el número total de operaciones necesarias para expresar [A

I b] en forma escalonada reducida es

+ ( n I)’ + ( n 2)’ + . . . + 1 [n’ + ( n - 1)’ + ( n - 2)‘ + . + 1 2 1

Multiplicaciones: n’ Adiciones:

-

-

’

’

-[n+(n-l)+(n-2>+”’+1]

o bien, aplicando las fórmulas (1) y (2),

Multiplicaciones: Adiciones:

n(n

+ 1)(2n + 1) - n 3 +-+n2 n

n(n +

(5 1

”

6 1)(2n + 1) 6

3

2

6

n(n + 1) - n 3 2 3

n

3

(6)

Así se completa el conteo de operaciones para la fase hacia adelante. Para la fase hacia atrás es necesario escribir la forma escalonada de [A 1 b] en forma escalonada reducida mediante la introducción de ceros por arriba de los 1 principales. A continuación se muestran las operaciones:

9.8 Comparación de procedimientos para resolver sistemas lineales i 585

Paso 1

'1

O

O

'..

@

0

1

O

" '

0

o o

" '

0

I

. .

. .

1 . .

f

.

.

o o o -0 o o Paso

o1 x ojx ojx

.

". ".

.

I

.

'

1

.

I

ojx

o

1

j

O

O

... o o j x

o 1 o o

0

" '

1

.

..

...

1 ...

o o o o o o

" '

I I

.

. '

'.'

n

o ojx o ojx .

" '

n - 1 multiplicaciones

. I .

. .

1

.

.

I

.

1 adiciones

1 n n

'

'

-

-2

-

multiplicaciones 2 adiciones

1 o j o

o

I / .

Paso (n - 2) . .

.

. .

.

. .

.

Paso

.

l

.

.

I

.

.

I

.

o o o o1 0 o o o ... o 1 ; . '1 o o . . ' o o I x o 1 o ..' o 0 1 0 " '

( n - 1)

.. . 1

o o . ..

. ..

o

1 . ..

o o o ,o o o

.

'

'

I

.

I

.

'.' " '

0 ;

.

I

0 .

1 adición

' '

1 o j o

o

1

j

0-

Así, el número de operaciones necesarias para la fase hacia atrás es Multiplicaciones: ( n - 1) + ( n - 2) + . . . + 2 Adiciones: (n- l)+(n-2)+...+2+

+1 1

o bien, aplicando la fórmula ( 3 ) , Multiplicaciones: Adiciones:

(n - l)n ~

2

n2 2

- "-

n 2

( n - 1)n "n2 n 2 2 2

"

Así, por ( 9 , (6), (7) y (S), el conteo total de operaciones para la eliminación de Gauss-Jordan es

586

/


COMPARACI~N DE METODOS PARA RESOLVER SISTEMAS LINEALES

En aplicaciones prácticas no es raro encontrar sistemas lineales de milesde ecuaciones con miles de incógnitas. Así, la tabla 1 reviste especial importancia para grandes valores de n. Unhecho verdadero para polinomios es que para grandes valores de la variable, un polinomio puede ser bien aproximado por su término de grado más alto; es decir, si ak f O, entonces u.

+ u,x + . . . + q x k -

ukxk

parax grande

(ejercicio 12). Así, para grandes valores de n, el conteo de operaciones en la tabla 1 se puede aproximar como se muestra en latabla 2. Por la tabla 2 se deduce que cuando n es grande los mejores métodos para resolver A x = b son la eliminación gaussiana y la eliminación de Gauss-Jordan. E1 método de multiplicar porA"es bastante peor que los anteriores (requiere el triple de operaciones), y el método más ineficaz de los cuatro es la regla de Cramer.

TABLA 2 Conteo aproximado de operacionespara una matriz invertible n x n con n grande I

I

Método

Número de

adiciones

Resolver Ax = b por eliminación de GaussJordan

i T -

n3

Resolver Ax = b por eliminación gaussiana

EncontrarA-l reduciendo [A

I

I] a [I /A]"

multiplicaciones

"

3 =n3

Resolver A x = b como x = A"b

%n3

Encontrar det(A) por reducción derenglones

=-

Resolver A x = b por la regla de Cramer

i T -

n3 3

n4 3

n3

x-

3


En la observación a continuación de la tabla 1 se mencionó que si la eliminación de Gauss-Jordan se efectúa mediante la introducción de ceros arriba y abajo de los unos principales tan pronto como se obtienen éstos, entonces el conteo de operaciones es

OBSERVACI~N.

n3

"-

2

n 2

adiciones

y

n3 n2 +multiplicaciones 2 2

-

= n3/2 operaciones, que es 50% mayor que las n3/3 multiplicaciones necesarias para efectuar el método presentado en el texto. Lo mismo secumple para las adic';ones. Es razonable preguntar si sepueden crear otros métodos para resolver sistemas lineales que pudieran requerir sigmficativamente menos operaciones que las = n3/3 adiciones y multiplicaciones necesarias en la eliminación gaussiana y en la eliminación de Gauss-Jordan. La respuesta es un "sí" categórico. En años recientes se han creado métodos que requieren = Cnq multiplicaciones, donde q es ligeramente mayor que 2.5. Sin embargo, estosmétodos tienen poco valor práctico, ya que su programación es complicada, la constante C es muy g r a d e y el número de adiciones necesarias es excesivo. En pocas palabras, en la actualidad no existe ningún método práctico para resolver sistemas lineales generales que mejore sigruficativamente elconteo de operaciones de la eliminación gaussiana y del método de eliminación de Gauss-Jordan presentado en el texto. Así, para n grande este procedimiento requiere

EJERCICIOS DE LA SECCION 9.8 1. Encontrar el número de adiciones y multiplicaciones necesarias para calcular AB si A

esunamatrizm

X

nyBesunamatrizn x p .

2. Usando los

resultados del ejercicio 1, encontrar número el de adiciones y multiplicaciones necesarias para calcular Ak por multiplicación directa si A es una matriz n X n.

3. Suponiendo que A es una matriz n X n, usar las fórmulas de la tabla 1 para determinar el número de operaciones necesarias para efectuar los procedimientos dela tabla 3.

Tabla 3

Resolver Ax

"

. . . ."

=b

por la reglade Cramer

588 / Temas complementarios 4. Suponiendo un tiempo de ejecución en computadora de 2.0 microsegundos para las

multiplicaciones y de 0.5 microsegundos para las adiciones, usar los resultados del ejercicio 3 para escribir los tiempos de ejecución en segundos necesarios para efectuar los procedimientosde la tabla 4. Tabla 4

5. Obtener la fórmula

n(n + 1) 1 +2+3+,..+n=----2

[Sugerencia Sea Sn = 1 + 2 + 3 + . . . + n. Escribir lostérminosde S, enorden invertido y sumar las dos expresiones para S,.] 6. Usando el resultado del ejercicio 5, demostrar que

1+2+3+...+(n-l)=-

(n - 1)n 2

7. Obtener la fórmula

12+22+32+...+n2=

n(n

+ l)(2n + 1) 6

realizando los pasos siguientes. a) D e m o s t r a r q ~ e ( k + l ) ~ - p = 3 3 k 2 + 3 k + 1 . b) Demostrar que [2' - 1 3 ] + [33 - z3] + [43 - 33] + . . . + [ ( n + 1)3 - n 3 ] = ( n + 1)'

-

1

c) Aplicando a) a cada término del miembro izquierdo de b), demostrar que (n+1)3-~=3[12+22+32+~..+n2]+3[1+2+3+~..+n]+n

d) Resolver la ecuación del incisoc) para l 2 + 22 + 32 + . . ejercicio 5 y luego simplificar. 8. Usando el resultado del ejercicio 7, demostrar que

12+22+32+'"+(n")

-

-

(n - l)n(2n 6

-

1)

.

+ ,'n usar el resultado del

9.9 Descomposiciones L U

589

9. Sea R la forma escalonadade una matriz invertiblen X n. Demostrar que para resolver el sistema lineal Rx = b por retrosustitución se requieren n2 n "multiplicaciones

2

2

n2 "- n

2

2

adicisnes

10. Demostrar que para reducir una matriz invertible de n X n a I, aplicando el método del

texto se requieren n3 "-

3

n 3

multiplicaciones

n3 n2 n -" + - adiciones

3

2

6

[Nota Supóngase que no se requiere ningún intercambio de renglones.] 11. Considérese la variante de la eliminación de Gauss-Jordan en que se introducen ceros arriba y abajo de un 1 principal tan pronto como se obtiene éste, y sea A es una matriz invertible n X n. Demostrar que para resolver un sistema lineal A x = b usando esta versión de la eliminación de Gauss-Jordanse requieren

n3 n 2 +multiplicaciones 2 2

-

n3 n -"

2

2

adiciones

[Nota Supóngase que no se requiere ningún intercambio de renglones.] 12. (Paru quienes ya estudiaron C&lculo).Demostrar que si p ( x ) = u. + a , x + . . . + a,.", donde ak # O, entonces

[Nota Este resultado justifica la aproximación grande.]

a.

+ u,x + .

. .

+ ukx" = ".,u

para

x

9.9 DESCOMPOSICIONES LU Con la eliminación gaussiana y la eliminación de Gauss-Jordan se resuelve un sistema lineal operando sistemáticamente sobre la matriz aumentada. En esta sección se analizar&un método difrente basado en la factorización de la matriz de coejkientes en un producto de dos matrices: una triangular inferior y otra


de coe3cientes en un producto de dos matrices: una triangular inferior y otra triangular superior. Este método es adecuadopara computadoras digitales y * constituye una base paramuchos programas de cómputo prácticos.

SQLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES POR FACTORIZACIÓN

Se procederá en dos partes. Primero se mostrará cómo un sistema lineal Ax = b se puede resolver fácilmente una vez que A se factoriza en un producto de dos matrices: una triangular inferior y otra triangular superior. Luego se mostrará cómo obtener la factorización. Si una matriz A n x n se puede factorizar en un producto de matrices n X n como A=LU

donde L es triangular inferior y U es triangular superior, entonces el sistema lineal Ax = b se puede resolver comosigue:

Paso 1.

Volver a escribir el sistema Ax

=b

como

LUX = b

Paso 2.

Definir una nueva matriz y de n

X

(1)

1 por

ux=y

Paso d.

Usar (2) para volver a escribir (1) como Ly tema para y.

Paso 4.

Sustituir y en (2) y despejar x.

(2) =

b y resolver este sis-

Aunque este procedmiento reemplaza el problema de resolver el simple sistema Ax = b por el problema de resolver los dos sistemas Ly = b y Ux = y, éstos se resuelven fácilmente porque las matrices de coeficientes son triangulares. El siguiente ejemplo ilustra este procechmiento. Ejemplo 1 Después, en esta sección se obtendrá la factorización

Usando este resultado y el método antes descrito, resolver el sistem;,

*

En 1979, los ArgonneNationalLaboratoriesdesarrollaronuna importante biblioteca,denominada LINPAK, de programas de Algebra lineal independientes de la máquina. Muchos de los programas de t a l biblioteca est&? basadosen los métodos que se analizan en esta sección.

9.9 Descomposiciones LU / 591

Solución. (3) se vuelve a escribir como

Como se especifica en el paso 2 anterior, y,, yz y y3 se definen por la ecuación

de modo que (3) se puede volver aescribir como

o bien, de manera equivalente, 2Y I =2 -3Y, + Y 2 =2 4,Vt - 3J)2 + 7Y3 = 3

El procedimiento para resolver este sistema es semejante a la retrosustitución, excepto que las ecuaciones se resuelven de arriba hacia abajo, en vez de abajo hacia arriba. Este procedmiento, denominado srustitucidn hacia adelante, produce

(comprobar). Sustituyendo estos valores en (5) se obtiene el sistema lineal

o bien, de manera equivalente, x,

+ 3x2 + x2

x, = 1

+ 3x, = 5 x3 = 2

Resolviendo este sistema por retrosustitución se obtiene la solución x,=2,

(comprobar). A

x2=-l,

x3=2

592

i Temas complementarios

DESCOMPOSICIONES LU

Ahora que ya se ha visto cómo un sistema lineal de n ecuaciones en n incógnitas sepuederesolver factorizando la matriz de coeficientes, se volverá al problema de obtener la factorización. Para originar el método, supóngase que una matriz '4 n X n se ha reducido a una forma escalonada U mediante una sucesión de operaciones elementales en los renglones. Por el teorema 1.5.1, cada una de estas operaciones se puede efectuar multiplicando por la izquierda poruna matriz elemental apropiada. Así, es posible encontrar matrices elementales E,, E,, . . . , Ek tales que E L .' . E 2 E , A = U

(6)

Porel teorema 1.5.2, E,, E , Ek son invertibles, demodo que es posible 2' '. multiplicar sucesivamente por la izquierda ambos miembrosde la ecuación (6) por '

para obtener A = E ; 'E,

1

. . . E"

(7)

k

En el ejercicio 5 se ayudará al lector a demostrar que la matriz L definida por L = E" ] E - 1 . . . I

1

2

(8)

es triangular lnferior en el supuesto de que para reducir A a U no se efectúe ningún intercambio de renglones. Suponiendo que este es el caso, sustituyendo (8) en (7) se obtiene A= LU

que es una factorización de A en un producto de una matriz triangular inferior y una matriz triangular superior. El siguiente teorema resume el resultado anterior. Teorema 9.9.1. Si A es una matriz cuadrada que se puede reducir a una forma escalonada U sin aplicarningúnintercambio de renglones, entonces A se puede factorizarcomo A = LU, donde L es una matriz triangular inferior. Definición. Una factorización de una matriz cuadrada A como A = LU, donde L es triangular inferior y I/ es triangular superior, se denomina descomposición LU o descomposición triangular de A : Ejemplo 2 Encontrar una descomposición LU de 2 A=[-:

-: 6

2J

Solución. Para obtenerunadescomposición LU, A = LU, A se reducirá a una forma escalonada iJ, y luego L se calculará a partir de (8). Los pasos son:

9.9 Descomposiciones LU / 593

Reducción a la forma escalonada

Matriz elemental que corresponde a la operación Inversa de la matriz elemental en los renglones

Paso 1 1

3

Paso 2

Paso 3 -4

Paso 4

Paso 5

o

1


Así,

Y> por (8):

oj[o

o 1

-3 2

de modo que

0

1 0 0 1

1

O 0 7

0

[-:-: !I=[ 2

0

6

2 -3 4

0

-3

:][A ; 7

'1

O 0 1

es una descomposición LU de A . A

PROCEDIMIENTO PARA ENCONTRAR DESCOMPOSICIONES LU

Como se muestra en este ejemplo,casitodoel trabajo para obtener una descomposición LU se invierte en el cálculo de L . Sin embargo, todo este trabajo se puede eliminar llevando un registro cuidadoso de las operaciones usadas para reducir A a U. Como se supone que no se requiere ningún intercambio de renglones para reducir A a U, entonces sólo se realizan dos tipos de operaciones: la multiplicación de un renglón por una constante diferente de cero y la adición de un múltiplo de un renglón a otro renglón. La primera operación se usa para introducir los unos principales y la segunda para introducir ceros abajodelosunos principales. En elejemplo 2 los multiplicadores necesarios para introducir los unos principales en renglones consecutivos son:

3para el primer renglón 1 para el segundo renglón

f para el tercer renglón Obsérvese que los elementos diagonales sucesivos en L eran precisamente los recíprocos de los multiplicadores (figura 1).

9.9 Descomposiciones L U / 595

Luego, obsérvese que para introducir ceros por abajo del 1 principal en el primer renglón se realizaron las siguientes operaciones: sumar 3 veces el primer renglón al segundo renglón sumar -4 veces el primer renglón al tercer renglón y para introducir el cero por abajo del 1 principal en el segundo renglón se efectuó

la siguiente operación sumar 3 veces el segundo renglón al tercer renglón Ahora se observa que en cada posición abajo dela &agonal principal de L (en tipo negro) el elemento es el negativo del multiplicador en la operación con que se introdujo el cero en esa posición en U (figura 2).

L=[p-JJ Figure 2

En resumen, se tiene el siguiente procedimiento para obtener una descomposición L U de u a matriz cuadrada A , en el supuesto de que A se pueda reducir a la forma escalonada sin efectuar ningún intercambio de renglones.

Paso 1.

Reducir A a una forma escalonada U sin efectuar ningún intercambio de renglones y sin perder de vists los multiplicadores usados para introducir los unos principales y de los multiplicadores usados para introducir los ceros abajo de los unos principales. Paso 2. En cada posición a lo largo de la diagonal principal de L escribir el recíproco del multiplicador con que se introdujo el uno principal en esa posición de U. Paso 3. En cada posición por abajo de la diagonal principal de L escribir el negativo del multiplicador usado para introducir el cero en esa posición de U. Paso 4. Formar la descomposiciónA = L U. Ejemplo 3 Encontrar una descomposición LU de

”;[; -; ;] 6

-2

O


Solucidn. Se empezará por reducir A a forma escalonada sin perder de vista a los multiplicadores.

-

multiplicador = 4

/-

1

"

-

c-multiplicador =

[ ," $ i] 1

-9 multiplicador = - 3

-1.

t-multiplicador

=$

t-multiplicador

=

-

t-multiplicador

=

1

8

real, dado que en el tercer renglon ya

Al construir L a partir de los multiplicadores se obtiene la descomposición LU. 6

A=LU=

0

0

1 O

-$

j[O A /] *

9 2 O [3 8

Esta sección concluyecon un breve análisis de dos preguntas fundamentales sobre las descomposicionesL U: 1. ¿Toda matriz cuadrada tiene una descomposición L I/? ¿Es posible que una matriz cuadrada tenga más de una descomposición L U?

2.

Ya se sabe que si una matriz cuadrada A se puede reducir a la forma escalonada sin aplicar ningún intercambio de renglones, entonces A tiene una descomposición L U. En general, si para escribir A en forma escalonada se requiere intercambiar renglones, entonces no existe ninguna descomposición L U de A . Sin embargo, en esos casos es posibIe factorizar A en laforma A = PLU

9.9 DescomposicionesLU 1 597

donde L es triangular inferior, U es triangular superior y P es la matriz que se obtiene al intercambiar los renglones de I,, de forma idónea (ver el ejercicio 17). Cuando no hay restricciones adicionales, las descomposiciones LU no son únicas. Por ejemplo, si

y los elementos diagonales de L son diferentes de cero, entonces es posible desplazar los elementos diagonales del factor izquierdo al factor derecho escribiendo

que es otra descomposición triangular de A .

EJERCICIOS DE LA SECCION 9.9 1. Usar el método del ejemplo 1 y la descomposiciónLU

[-:-:I=[-: u][:, -:]

para resolverel sistema 3x,

-2x,

-

6x2 = O

+ 5x, = 1

2. Usar el método del ejemplo 1 y la descomposiciónLU

para resolverel sistema

598 / Temas complementarios 3x1 - 6x2 - 3x3 =

+ 6x3 = -22

2x1 -4x1

-3

+ 7x2 + 4x,

3

=

En los ejercicios del 3 al 10, encontrar una descomposición LU de la matriz de coeficientes; luego, usar el método del ejemplo 1 para resolver el sistema

=[-;I 11. Sea 2 A=[-:

-; 1

-

a]

a) Encontrar una descomposiciónLU de A b) Expresar A en la forma A = L,DU,, donde L , es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal principal, U , es unamatriz triangular superior y D es una matnz diagonzl. c) Expresar A en la forma A = L2U2, donde L, es una matriz tnangular inferior con unos en la diagonal principal y U2es una matriz tnangular superior. 12. Demostrar que la matriz

no tiene descomposiciónLU. 13. Sea

a) Demostrar: Si A f O entonces A tiene una descomposiciónLU única con unos en la diagonal principal de I.. b) Encontrar la descomposiciónLU descrita en el inciso a).

9.9 Descomposiciones LU / 599 14. Sea Ax = b un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas, y supóngase que A es una matriz invertible que se puede escribir en forma escalonada sin efectuar ningún intercambioderenglones. ¿Cuántas adiciones y cuántasmultiplicacionessonnecesarias para resolver el sistema aplicando el método del ejemplo l ? [Nota Contar las sustracciones como adiciones y las divisiones como multiplicaciones.] 15. a) Demostrar: Si L , y L, son matrices triangulares inferiores n X n, entonces también

L,L, es triangular mferior. b) El resultado del inciso a) es un caso especial de un resultado general que establece que el producto de un número finitode matrices triangulares mferioreses triangular inferior. Usando este hecho, demostrar que la matriz L en (8) es triangular inferior. [Sugerencia Véase el ejercicio 27 de la sección 2.4.1 16. Usando el resultado del ejercicio 15b), demostrar que el producto de un número finito de matnces triangulares superiores es triangular superior. [Sugerencia Considerar las transpuestas.] 17. Demostrar: Si A es cualquier matriz n X n, entonces A se puede factorizar como A =

PLU, donde L es triangular inferior, U es triangular superior y P se puede obtener intercambiando en forma adecuada los renglones de I,. [Sugerencia Sea U la forma escalonada de A y efectuar primero todos los intercambios de renglones necesarios en la reducción deA a U.] 18. Factorizar

como A = PLU, donde P se obtiene a partir de Z3 al intercambiar de manera apropiada los renglones, L es triangular inferior y U es triangular superior.

CAPITULO

10

ESPACIOS VECTORLALES COMPLEJOS

10.1 NÚMEROS COMPLEJOS Hasta el momento sólo se han considerado espacios vectoriales para los cuales los escalares son números reales. Sin embargo, en muchas aplicaciones importantes de vectores es aconsejable dejar que los escalares sean números complejos. Un espacio vectorial que permite escalares complejos se denomina espacio vectorial complejo, y uno que sólo permite escalares reales se denomina espacio vectorial real. Una ventaja de pvrmitir escalares complejos es que todas las matrices con elementos escalares complejos tienen eigenvalores, lo cual no es cierto si solamente se permiten escalares reales. Por ejemplo, la matriz

tiene al polinomio característico

de modo que la ecuación característica, A2 + 1 = O, no tiene soluciones reales y por tanto carece de eigenvalores. En las tres primerassecciones de este capítulo se repasarán algunas de las propiedades básicas de los números complejos, y en secciones ulteriores se analizarán espacios vectoriales complejos. 601

602 / Espacios vectoriales complejos

NÚMEROS COMPLEJOS

Como x2 2 O para todo número real x, la ecuación x2=

-1

no tiene soluciones reales. Para manejar este problema, los matemáticos del siglo XVIII introdujeron el número "imaginario" i = l / r-" 1

que sesupone tiene la propiedad

pero que de otra forma podía considerarse como un número real. Expresiones de la forma a + bi

donde a y b son números reales reciben el nombre de "números complejos", los cuales se operan según las reglas normales dela aritmética, con la propiedad adlcional de que i2 = - l . A principios de siglo XIX se aceptaba que un número complejo a + hi

se considerará como otro símbolo para el par ordenado

de números realesy que las operaciones deadición, swtmcción, multiplicación y &visión se definieran sobreestos pares ordenados de modo que se cumplieran las leyes conocidas de la aritmética y además i2 = - l . Este enfoque es el que se seguirá en el texto. Definición. Un nrimero complejo es un par ordenado de números reales, denotado por (a,b ) o a + bi. Ejemplo 1 A continuación se presentan algunos ejemplos de números complejos f:n ambas notaciones: Par ordenado (3>4) (- 1,2) (0, 1)

(290) (4, -2)

Notación equivalente 3 + 4i - 1 +2i

O+i 2 + Oi 4

+ (-2);

Para facilitar las cosas, los tres últimos números complejos en general se abreviarán como

I O.I Núnteros complejos / 603

O+i=i,

A

2 + 0 i 4=+2 (, - 2 ) i = 4 - 2 i

Geométricamente, un número complejo se puede considerar como un punto o un vector en el plano xy (figura 1).

ty

t

Figura 1

I Un número complejo se puede considerar como un punto o un vector. I Ejemplo 2 En la figura 2a algunos números complejos se muestran como puntos y en la figura 2b, como vectores. A

I

t

- 4 - 32

Figura 2

EL PLANO COMPLEJO

b)

Q)

Algunas veces es conveniente usar una sola letra, como z, para denotar un número complejo. Así, se podría escribir z=a+bi

El número real a se denomina parte real de z y el número real b, parte imaginaria de z. Estos números se denotan por Re(z) eIm(z), respectivamente. Por tanto, Re(4 - 3i) = 4

'e

Im(4 - 3i) = - 3

Cuando los números complejos se representan geométricamente en,un sistema de coordenadas q v , el eje x, el eje y y el plano se denominan eje real: .+e imaginario y plano complejo, respectivamente (figura 3).

604 / Espacios vectoviales complejos

t

Figura 3

OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS

I

Eje imaginario

(Parte real de z)

Así como se define que dos vectores en R2 son iguales si tienen las mismas componentes, también dos números complejosson iguales si tanto sus partes reales como sus partes imaginarias son iguales:

Definición. Dos números complejos u + bi y c cribe como a + bi

=c

+ di son iguales, lo que se es-

+ di,

Si b = O, entonces el número complejo a + D i se reduce a a + Oi, que se escribe simplemente como a. Así, para cualquier número real a, a=a+Oi

de modo que los números reales se pueden considerar como números complejos cuya parte imagmaria es cero. Geométricamente, los números reales corresponden a puntos sobre el eje real. Si se tiene a = O, entonces a + bi se reduce a O + bi, que en general se escribe como bi. Estos números complejos, que corresponden a puntos sobre el eje imaginario, se denominan nrimeros imaginarios puros. Así como la adición de vectores en R2 se realiza sumando las componentes correspondientes de los vectores, también la adición de números complejosse realiza sumando las partes y las imaginarias: (u

+ bi) f (c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d)i

(1)

Las operaciones de sustracción y multiplicación por un número real también son semejantes a las operaciones vectoriales correspondientes en R 2 :

I

(a

+ bi) - ( c + d i ) = (a - c ) + ( D - d)i

I k(a + bi)

= (ka) t (kb)i,

k real

I

I

(2)

(3)

Debido a que las operaciones de adición, sustracción y multiplicación de un número complejo por un número real son semejantes a las operaciones correspon-

1O.1 Números complejos 1 605

dientes para vectores en R2, las interpretaciones geométricas conocidas de estas operaciones se cumplen para números complejos (figura 4). Por la expresión (3) se deduce que (- l)z + z = O (comprobar), de modo que ( - l)z se denota por -z y se denomina negativo de z.

Solución. z,+zz=(4-5i)+(-l+6i)=(4-1)+(-5+6)i=3+i

zl-zZ=(4-5i)-(-l +6i)=(4+ 1)+(-5-6)i=5- lli 32, = 3(4 - 5i) = 12 - 15i - z Z = ( - 1 ) z z = ( - 1 ) ( - 1 + 6 i ) = 1 -6i A

Suma de dos números complejos. Diferencia de

dos números complejos.

f’ I Figura 4

f’ (k >O)

Producto de

(k

un números complejo

O)

z y un número real

k.

Hasta ahora se ha encontrado un paralelismo entre los números complejos y los vectores en R2. Sin embargo, a continuación se definirá la multiplicación de números complejos, una operación que no tiene análogo vectorial en R2. Para originar la definición, se desarrollará el producto (a

+ bi)(c + di)


siguiendo las reglas algebraicas de costumbre, pero considerando a i2 como - 1. Así, se obtiene (a

+ bi)(c + di) = ac + bdi2 + adi + bci =

(OC -

b d ) + (ad + b ~ ) i

lo cual sugiere la siguiente definición: (a

+ bi)(c + di)= (ac - b d ) + (ad + bc)i

Ejemplo 4 (3

+ 2i)(4 + Si) = (3 ' 4 2 ' 5 ) + (3 . 5 + 2 '4)i = 2 + 23i -

(4-i)(2-32)=[4.2-(-1)(-3)]+[(4)(-3)+(-1)(2)]i = 5 - 14i i 2 = ( O + i j ( O + i j = ( O ~ O - 1 ~ 1 ) + ( O ~ 1 + 1 ~ O ) i =- 1 A

Se deja como ejercicio comprobar las siguentes reglas de aritmética compleja: ZI

+ z 2 = z2 + z, z1z2

ZI

=z2z*

+ (z2 + z3 j = ( z *+ z 2 )+ z3 Zl(ZZZ3j =

z1(z2

(z1z2)z3

+ Zj) = ZlZ2 + z,z3 o+z=z

z+(-z)=O l.z=z

Estas reglas permiten multiplicar números complejos sin necesidad de aplicar &rectamente la fórmula (4). Siguiendo el procedimiento usado para originar esta fórmula, basta multiplicar cada término de a + bi por cada término de c + di, hacer i2 = - 1 y simplificar. Ejemplo 5 (3

(5 i(I

+ 2i)(4 + i) = 12 + 3i + 8i + 2i2 = 12 + 1 l i 2 = 10 + 1 l i 4i)(2 + 32) = 10 + 15i i $i2 = 10 + 14i + $ = 9 + 14i + i)(I 2i) = i(1 2i + i - 2i2) = i(3 i) = 3i i2 = 1 + 3i -

-

-

-

-

-

-

-

A

1O.1 Números complejos / 607 OBSERVACI~N. A diferencia de los números reales, en los números complejos no existe ordenamiento según el tamaño. Así, los símbolos de orden <, 5 , > y no se usan con números complejos. Ahora que ya se han definido la ahción, la sustracción y la multiplicación de números complejos, es posible sumar, restar y multiplicar matrices con elementos complejos y multiplicar una matriz por un número complejo. Sin entrar en detalles, se observa que las operaciones y terminología matriciales analizadas en el capítulo 1 se cumplen sin ningún cambio para matrices con elementos complejos.

Ejemplo 6 Si

entonces

AB=[ =

-i][

[

I+i

4 2- i- 3 i

'qi] +

!.i+(-i).(2-3i)

1 . ( 1 - i) ( - i ) . 4 (1 +i).(l -i)+(4-i).4

(I + i ) . i + ( 4 - i ) . ( 2 - 3 i )

=[

-3-i 4-13i

1 -5i 18-4i

EJERCICIOS DE LA SECCION 10.1 1. En cada inciso, graficarel punto y trazar el vector que corresponde al número complejo

dado. a) 2

+ 3i.

b) 4.

c) -3

2. Expresarcadanúmerocomplejo reales.

- 2i.

d) -Si.

del ejercicio 1 como un parordenadodenúmeros

3. En cada inciso, usar la mformación proporcionada para encontrar los números reales x

YY. a) x - i y = -2+3i

b) ( x + y ) + ( x - y ) i = 3 + i

4. Dado que z , = 1

a) z+, z ,

- 2i y z2 = 4 + S i , encontrar c) 42,

b) z-Iz 2

d) -z2

e) 32, +4z,

f)

2 1

5. En cada inciso, resolver para z.

a) z + ( l - i ) = 3 + 2 i

b) - 5 z = 5 + 1 0 i

c) ( i - z ) + ( 2 ~ - 3 i )-=2 + 7 i

- 9222

608 i Espacios vectoriales complejos 6. En cada inciso, trazar los vectores z,, z2, z , + z2 y z1 - z2. a) z1 = 3 + i, z2 = 1 4i b) z , = -2 + 2i, z2 = 4 + 5i

+

7. En cada inciso, trazar los vectores z y k z . a)z=l+i,k=2

c) z = 4 + 6 i , k = $

b)z=-3-4i,k=-2

8. En cada inciso, encontrar los números reales k , y k2 que satisfagan l a ecuación

a) k l i + k , ( l + i ) = 3 - 2 i

b) k , ( 2 + 3 i ) + k 2 ( l - 4 i ) = 7 + 5 i

9. En cada inciso, encontrar z,z2, z12y z:.

a)

2,

= 3i. z2 =

1

-

b) z, = 4

i

+ 6i,

z, = 2

-

3i

c ) zl = 9(2 + 4i), z2 = i(1 - 5i)

10. Dado que z1 = 2 - 5 i y z, = - 1 - i, encontrar

a) z l - z,z2

11. (1

+ 2i)(4

15. [ (2

17. ( I

-

b) (zl

+ 32,)'

c) [zI+ ( I + z 2 ) I 2

12. (2 - i)(3

6i)2

+ i)(&+ $)I2

16.

+ i + i 2 + i3)'""

d) iz, - z:

+ i)(4

-

2i)

(a+ i) - i a ( l + ai)

18. (3 - 2i)2 - (3

+ 2i)'

19. Sea

Encontrar a) A + 3iB

b) BA

c) A B

d) B2 - A2

20. Sea

Encontrar a) A(BC)

b) ( B C ) A

21. Demostrar que a) Im(iz) = Re(z).

c ) (CA)B2

b) Re(iz) = - Im(z).

d) (1 + i)(AB) + (3 - 4i)A

I O. 1 Números complejos / 609 22. En cada inciso, resolver la ecuación aplicando la fórmula cuadrhtica y comprobar los resultados sustituyendo las soluciones enla ecuación dada. a) z2+2z+2=0 b) z2-z+ 1 = 0 23. a) Demostrar que si n es un entero positivo, entonces los únicos valores posibles de in son 1, -1, i y -i.

b) Encontrar iZso9. [Sugerencia El valor de in se puede determinar a partir del residuo cuando n se divide entre 4.1 24. Demostrar: Si zlzz = O, entonces zI = O o z2 = O.

25. Usar el resultado del ejercicio 24 para demostrar lo siguiente: Si zzl = zz2 y z # O ,

entonces z1 = zz. 26. Demostrar que para los números complejoszl, z2 y z3 a)

z,+ z2 = z2 + zI

b) z ,

+ (z2+ z3)= (z,+ z2)+ z3

27. Demostrar que para los números complejoszl, zz y z3

4 zlz2= z2zl

b) zl(z2z3) = (zIz2)z3

28. Demostrar que zl(z2+ z3) = z1z2+ z i t 3para los números complejos z I ,zz y z3. 29. En mecánica cuántica,a lsmatrices de Dirac* son 1

0

0

0

O

P= o o

1 0 0

0

0

O O

O 0

( Y , =

O - i

i

o

-1

o

o

>

':

(Y,=

-1

O - i i 0 , O O 0 0

CU, =

o

1

o

1

0

0

y

"I

o ' 0

0

0

1

0

o

0 - 1

1

0

0

0

0

o

,o

-1

a) Demostrar que p2 = 4= a: = 4 = I, b) Dos matrices A y B se denominan anticonmui&*vus si AB = dos matrices de Dirac cualesquiera son anticonmutativas.

0

- BA. Demostrar que

*Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984) fisico teórico inglés que instrumentó una nueva forma de mecánica cuántica y una teoría que predijo el "espín"de electrón y la existencia de una particula atómica fundamental denominada positrón. En 1933 fue galardonado con el premio Nobel de fisica y en 1939, con la medalla de oro de la Royal Society.

61 O / Espacios vectoriales complejos

10.2 MóDULO; CONJUGADO COMPLEJO; DIVISIÓN ~~

El objetivo principal en esta sección es definir la división de números complejos.

CONJUGADOS

ComLEJOs

Seempezaráconalgunasideaspreliminares. z = a + bi escualquiernúmerocomplejo,entonces el conjugado de z, denotado por z,(que se lee como"z barra"), se define como z=a-bi

En palabras, se obtiene invirtiendo el signo de la parte imaginaria de z. Geométricamente, t es la reflexión dez con respecto al eje real (figura 1).

i+=n-bi

~~~~

Figura 1

Conjugado de un número complejo.

I

Ejemplo 1

z=i

Z=3-2i Z= -4+2i -i

z=4

z=4 A

z=3+2i z = -4-2i

El últimorenglóndelejemplo 1 ilustrael hecho deque un númerorealesigual a suconjugado. Para serprecisos, se puededemostrar (ejercicio 22) que z = Z si y SÓIO si z es un número r d .

OBSERVACI~N.

Si un número complejo z se considem como un vector en R2, entonces la norma o longitud de vector se denomina módulo(o valor absoluto) de z. En pocas palabras: MÓDULO

Defhicibn.El mddulo de un número complejo z = a + bi, denotado por Iz/ , se define como

10.2 Módulo; conjugado complejo; división / 611

de modo que el módulo de un número real es simplemente su valor absoluto. Así, el módulo de z también se llama valor absoluto de z. Ejemplo 2 Encontrar z si [zl = 3 - 4i. Solución. Por (1) con a = 3 y b = -4,

(zI

= , / m = J z s = 5 .

El siguiente teorema establece una relación básica entre

i

A

y Izl.

Teorema 10.2.1. Para cualquier número complejo z,

Demostración.

Si z = a + bi, entonces ZZ = (a

D I V I S I ~ NDE NÚMEROS COMPLEJOS

+ bi)(a - bi) = a2- abi + bai - b2i2 = a2 + b2 = 1zI2 0

A continuación se abordará la división de números complejos. El objetivo es definir la división como la inversa de la multiplicación. Así, si z2 # O, entonces la definición de z = zl/zz debe ser tal que

El procedimiento será demostrar que (2) tiene una solución única para z si z2 f O, y luego z1/z2 se definirá como este valor de t.Igual que con los números reales, no se permite la división entre cero. Teorema 10.2.2. Si z2 única, que es

f

O, entonces la ecuación (2) tiene una solución

1

z=-zz 1z212

Demostración. Sean z = x puede escribir como

-

+ i y , z, - x1 + iY1 Y 22 = x2 + iy2. Entonces (2) se

x1

+ iyl = (x2 + iy2)(x+ iy)

612

/

Espacios vectoriales complejos

o bien x] + i,vl

+ i(y2x + xzy)

= (xzx ---v2y)

o bien, igualando las partes reales e imaginarias.

o bien,

Como z2 = x2 + zy2 f O, se concluye que x2 y y 2 no son cero a la vez, de modo que

Así, por la regla de Cramer (teorema 2.4.3), el sistema (4) tiene la solución ímica

Por tanto,

Así, para z2 f O se define I

10.2 Módulo; conjugado complejo; división / 613 OBSERVACI~N. Para recordar esta fórmula, multiplicar por Z el numerador y el denominador de z,/z2:

Ejemplo 3 Expresar 3 + 4i 1 -2i

en laforma a + bi. Solución. Por ( 3 ,con z1 = 3 + 4 i y z2 = 1 - 2i, 3 + 4i 1 - 2i

1

11

"

-

(3

1 5

- 2iI2

=-(-5+

+ 4i)( 1

1

-

2i) = - (3 + 4i)( 1

5

+ 2i)

1Oi)= - 1 + 2 i

Otra solución. Así como en la observación precedente, el numerador y el denominador se multiplican por el conjugado del denominador: 3 +4i 1 -2i

-

+

3 +4i 1 +2i -5 1Oi = -I+2i 5 1 -2i 1 +2i

A

Los sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes complejos se presentan en vanas aplicaciones. Sin entrar en detalles, se observa que los resultados sobre sistemas lineales estudiados en los capítulos 1 y 2 se cumplen sin cambio para sistemas con coeficientes complejos. Ejemplo 4 Aplicando la regla de Cramer, resolver ix

+ 2y = 1 - 2i

4x-iy= -1 +3i


Y=

1' -'"'I ;1 -21

Así, la solución es x = i , y

- (i)(-1 +3i)-4(1 i( - i) - 2(4)

=

- 2 i ) -" -7+7i -1-i -7

1 - i. A

PROPIEDADESDE Esta sección concluye con la enumeración de algunas propiedades del conjugado LOS NÚMEROS complejoqueserándeutilidad en seccionesulteriores. COMPLEJOS Teorema 10.2.3. Para números complejos cualesquiera z, z1y Z2 a)

b)

Z]

+ z,

m

= 2,

+ z2

1

"

= Z,

- z2

Se demostrará el inciso a) y lo demás se deja como ejercicio. Demostración de a). Sean z1 = al z1

+ b,i y z2 = u2 + b2i; entonces

+ z2 = (al + a z ) + (b, + b,)i = (a, + a 2 )- (b, + b2)i = (a, - b,i) =

z, + z, 0

+ (u2- b,i)

Es posible ampliar el inciso a) del teorema 10.2.3 a n términos y el inciso c) a n factores. En pocas palabras,

OBSERVACI~N.

z,+z2+.~~+z,=z,+z2+~'~+~, Z]Z2.

. . z,

"

= z,z*.

. .Z"

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 10.2 1. Encada inciso hallar

.

a ) z = b2 )+z7=i -c3) -z5=i 5 i

2. En cada inciso encontrar IzI. a)z=i b)z=-7i c)z=-3-4i

d)z=-i

d)z=l+i

e ) z = -9

e)z=-8

f)z=0

f)z=O

1 O. 2 Módulo; conjugado complejo; división / 615 3. Comprobar que z

a) z = 2 - 4 i

= kl2para

c) z=*-V%

b) z -=3 + 5 i

4. Dado que z, = 1 - 5i y zz = 3 + 4i, encontrar

b) 5,/z2

a) zI/zz

c) z l / &

e) zl/lzzl

d) (z1/z2)

f) Iz,/z21

5. En cada inciso, encontrar l/z.

b) z = 1 -5i

a) z = i

c) z = -

-i 7

6. Dado que z, = 1 + i y zz = 1 - 2i,encontrar

En los ejercicios del 7 al 14, realizar los cillculos y expresar el resultado en la forma a + bi. i I+i

7. 10.

13.

8.

2+i i( - 3 4i)

11.

+

i

(1 - i)(l

2+i

14.

- 2i)(l + 2i)

2 (1 - i)(3 + i )

1

____9. ___ V3+i

(1

- i)(V3 - i)

1-2i 3 + 4i

(3

12.

+ 4)’

1

i(3 - 2i)(l

+ i)

5i

15. En cada inciso, resolver para z.

a) iz = 2 - i

b) (4 - 3i)F =

16. Aplicar el teorema 10.2.3 para demostrar las siguientes identidades:

a) z+=z-Si

b)

-

z= -iZ

i+Z c) -= I-z

-1

17. En cada inciso, trazar el conjunto de puntos enel plano complejo que satisfacen la ecuación. a) I z ( = 2

b) l z - ( l + i ) / = 1

c) Iz - i ( = ( z + i (

d) I m ( Z + i ) = 3

18. En cada inciso, trazar el conjunto de puntos en el plano complejo que satisfacen la(s)

condición (condiciones)dada(s). a) Iz

+i l s 1

19. Dado que z = x

a) Re(G)

b) 1 < bl < 2

c) (2z - 4il < 1

d) JzI5 )z

+ iJ

+ Q, encontrar b) Im(c)

c) Re(i5)

d) Im(i5)

20. a) Demostrar que si n es un entero positivo, entonces los únicos valores posibles de (1li)”son 1, - 1 , i y -i. b) Calcular ( l/i)2s09. [Sugerencia.Véase el ejercicio 23(b) de la sección 10.1,]

616 / Espacios vectoriales complejos 21.Demostrar: 1

I bj -(z - 5) = Im(zj

+ Z ) = Re(z)

a) -(z 2

2i

si y sólo si z es un número real

22. Demostrar: z =

23. Dado que z, = x, + iyl y z2 = x2 + 'y2,encontrar

24. Demostrar: Si

(i)2= 2,entonces z es real o imaginario puro.

25. Demostrar que Iz; = j

1

26. Demostrar:

a)

"

z,

-

z, = z I - z2

-

= I,:,

b)

c) (zl/z2) = Z,/Z2

d)

=z

-

27. a) Demostrar que z 2 = (i)2.

-

b) Demostrar que si n es un entero positivo, entonces Z " = ( 1j". c) ¿Es verdadero el resultado del inciso b) si n es un enteronegativo?Explicarla respuesta.

En los ejercicios del 28 al 31, resolver el sistema de ecuaciones lineales aplicando la regla de Cramer. 29. x, + x 2 = 2 x , - x2 = 2i

28. ix, - ix, = - 2 2x, x2 = i

+

+

30. xI x, + x3 = 3 x, x, - x j = 2 2i x, --,+x,= -1

31. ix, x,

+

+

XI

+ 3x, + (1 + i)x3 = - i + ix, + 3x, = -2i + x, + xj = o

En los ejercicios 32 y 33, resolver el sistema de ecuaciones lineales por eliminación de Gauss-Jordan. 32.

[

- l" +i

" -2 -i][~~]=

[:]

33.

[

"If2

"[;;]=[:I 1

34. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por eliminación de Gauss-Jordan

x, + ix,

+ (1 i)x, + 2ix3 = O + ( - I + 2i)x, - 3ix3 = O

-x1

2x,

- ix, = O

-

10.3 Forma polar; teorema de De Moivre / 61 7 35. En cadainciso, aplicar la fórmuladelteorema

1.4.5 paracalcularlainversadela matriz y comprobar el resultado demostrandoque AA - = A - ' A = I.

'

36. Sea&) = a. + alx + a,x2 + . . . + anX"un polinomio en el que los coeficientes a,,,a , , a2, . . . , an son reales. Demostrar que si z es una soluci6n de l a ecuación p ( x ) O,

entonces también

lo es.

37. Demostrar: Para cualquier número complejo z,IRe(z)l 5 Izi e IIm(z)l

5

Iz/.

38. Demostrar que

IRe(z)l + IIm(z)l

~

v5 [Sugerenciu Sea z = x

+ iy y aplicar el hecho de que (bl - b1)22 O.]

39. En cada inciso aplicar el método del ejemplo 4 de la sección 1.5 para encontrar A"

comprobar el resultado demostrando que AA"

y

= A"A = 1.

i

O

2-i

i

-i

10.3 FORMA POLAR; TEOREMA DE DE MOIVRE En esta sección se analizará una forma para representar números complejos usando propiedades trigonométricas. El trabajo efectuado conducirá a una fórmula fundamental para potencias de números complejos y a un método para encontrar raíces n-ésimas de números complejos.

FORMA POLAR DE UN NúMERO COMPLEJO

Figura 1

Si z = x + iy es un número complejo diferente de cero, r = (z(y 8 mide el ángulo entre el eje real positivo y el vector z, entonces, como se sugiere en la figura 1,


de modo que z = x + iy se puedeescribir como z=rcos e+irsenB

o bien, como

I

I

Esta expresión se denominaforma polar de z.

ARGUMENTO DE UN NúMERO COMPLEJO

El ángulo 8 se denomina argumento de z y se denota por

e = arg z El argumento de z no está determinado de manera única porque se puede sumar o restar a 8 cualquier múltiplo de 2z para obtener otro valor del argumento. Sin embargo, sólo existe un valor del argumento en radianes que satisface

Esta expresión se llama argumento principalde z y se denota por

e = Arg z Ejemplo 1 Expresar los siguientes números complejos en forma polar usando sus argumentos principales: (a)z=l+d%

b)z=-1-

I

Solución de u). El valor de r es r = \ z l = w = + T = 2

ycomox= l y y = fi,por(l)seinfiereque

10.3 Forma polar; teorema de De Moivre

/

619

así, cos 8 = 112 y sen O = 6 1 2 . El Único valor de O que satisface estas relaciones y cumple elrequisito - n < 8 In es O = n/3 (= 60") (véase la figura 2a). Entonces, una forma polar de z es

Solución de h). El valor de r es

1 -i

- 1 = *COS

e

- 1 = *sene

de modo que cos O = - 1f f i y sen O = - 11f i . El Único valor de que satisface estas relaciones y cumple el requisito - n e 8 5 n es O = - 3 ~ 1 4 (= - 135') (figura 26). Por tanto, una forma polar de z es

-+isenINTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA MULTIPLICACIÓN Y LA DMSIÓN

"1 4

A

A continuación se mostrará cómosepueden usar las formas polares para obtener interpretaciones geométricas de la multiplicación y la división de números complejos. Sean z, =?,(cos 0,

+ i sene,)

y

z2 = r,(cos 6,

+ i sen e,)

Multiplicando, obtiene se Z,Z,

= r,r2[(cos-0,COS

e,

-sene, sene,)

+ i(sen0, cos 0, + C O S e, sene,)]

620 / Espacios vectorialescomplejos

Recordando las identidades trigonométricas cos(8, + O,) sen(0, + 8,)

=

cos S, cos O, - sen 8, sen S,

= sen O,

cos S,

+ cos 8, sen 8,

Se obtiene zlz2= r,r,[cos(S, + O , )

+ isen(8, + O,)]

que es una forma polar del número complejo con módulo rlrz y argumento 8, +- 8,. Así, se ha demostrado que lv21

= IZllIZ2l

Y

arg(z,z2) = arg z1 + arg z2 (¿Por qué?) En palabras, el productode dos números complejos se obtiene al multiplicar sus módulos y sumar sus argumentos (figura 3).

Figura 3

Producto de dos números complejos.

I

Se deja como ejerciciodemostrar que si z2 # O , entonces

~~


1O. 3 Forma polar; teorema de De Moivre / 621

Y

arg

k)

= arg z1 - arg z2

En palabras, el cociente de dos números complejos se obtiene al dividir sus módulos y restar sus argumentos (en el orden adecuado). Ejemplo 2 Sean

Las formas polares de estos números complejos son

(comprobar), de modo quepor (3) zlzz =4[cos(t+:) =4

[ y

+isen('+:)]

-1

c o s - + i s e n= - 4[O+i]=4i 2

T T V 3 1 =cos-+isen-=--+--i 6 6 2 2

Como comprobación, zlz2 y z1/z2 se calcularán directamente sin usar las formas polares dez1 y z2:

.- .

.

622

/


lo cual concuerda con el resultado previo. A El número complejo i tiene módulo 1 y argumento n / 2 = (90"), por tanto, el productoiz tiene el mismo módulo que z, pero su argumento es 90" mayor que el de z. En resumen, al multiplicar z por i gira en sentido contrario a las manecillas del reloj por un ángulo de 90" (figura 4).

t'

Figura 4

FÓRMULA DE DE M O W

I Al multiplicar por i,

z gira 90' en sentido contrario a las manecillas del reloj.

I

Si n es un entero positivo y z = r(cos O + i sen e ), entonces por la fórmula (3),

-

.~=r"[cos(8+8+...+8)+isen(8+8+...+8)] n factores n términos n términos

Z"=Z.Z.t..

o bien, z" = r"(cos no

+ isen ne)

Además, si z f O, se define z-" = l/z". En el caso especial en que r = 1, se tiene z = cos O + J sen O, de modo que (6) se convierte en (cos 8

+ i seno)" F cos n8 + i sen no

expresión que se denomina fórmula de De Moivre*. Aunque (7) se obtuvo suponiendo que n es un entero positivo, en los ejercicios se demostrará que esta fórmula esválida para todos los enteros n. *Abraham De Moivre (1667-1754) matemáticofrancés que realizóimportantescontribucionesa probabilidad, estadísticay trigonomehia. Desarrollóel concepto de eventos estadísticamente independientes, escribió un tratado hndamentalsobre probabilidady ayudó a transformar la trigonometría de unarama de lageometríaauna rama del análisis a través del empleo de los númeroscomplejos. A pesar de su importante trabajo, a duras penasse a ¡sarreglaba paravivir como tutor y asesor sobre juegos y seguros.

1O. 3 Forma polar; teorema de DeMoivre / 623

DETERMINACI~N DE LAS RAICES n-ÉSIMAS

A continuación se mostrará cómo usar la fórmula de De Moivre para obtener raíces de números complejos.Si n es un entero positivo y si z es cualquier número complejo, entonces la raíz n-ésima de z se define como cualquier número complejo w que cumple la ecuación

Una raíz n-ésima de z se denota por zlln. Si z # O, entoncesa ls fórmulas para las raíces n-ésimas zdese pueden obtener como sigue. Sean w=p(cosa+isena)

y

z=r(cosO+isen8)

Si se supone quew satisface (8), entonces por(7) se concluye que pn(cos n a

+ i sen na) = r(cos 8 + i sen 8)

(9)

Al comparar los módulos delos dos miembrosse observa quep = r o bien, que

6denota la n-ésima raíz real positiva de r. Además, para que en (9) se donde " cumplan las igualdades cos n a = cos 8 y sen n a = sen 8, los ángulos n a y 8 deben ser igualeso diferir por un múltiplo de2n. Es decir, n a = 8 + 2 k r ,k = 0 ,

+ 1 , t 2, . . .

O

8

a=-+-

n

2!cr , n

k=0, k l , 2 2 , .

Así, los valoresde w = p (cos a + i sen a) que satisfacen(8) están dados por

w=('h[cos(!+~)+isen(~+~)],

k=0, k l , k2, . . .

Aunque hay muchos valores de k, se puede demostrar (ejercicio 16) que k = O , 1, 1 producen valores distintos de w que satisfacen (8), y que todasa ls d e b elecciones dek producen réplicas de esos valores.En consecuencia, existen exactamente n diferentes raícesn-ésimas de z = r(cos 8 + i sen e), y están dadas por 2, . . . , n

-

= l / n = , [ , , s ( 8, t ~2km )+iSen(!+~)],

k=O,1,2,,..,n-l

(IO)


Ejemplo 3 Encontrar las raíces cúbicas de -8. Solución. Como -8 está sobre el eje real negativo se puede usar 0 = ?t como argumento. Además, r = bl = 1-81 = 8, de modo que una forma polar de -8 es -8=8(cos v+isen.rr)

Por (10) con n = 3 se deduce que

[ (3-+cos

25") + i s e n

(3-+-

2 3 ] ,

k = O , 1,2

Así, las raíces cúbicas de -8 son

2(cos7r+isen7r)=2(-1)= -2

Como se muestra en la figura 5, las tres raíces cúbicas de -8 obtenidas en el ejemplo 3 son equilstantes, ya que están separadas por una lstancia de n13 radanes (= 120') sobre la circunferencia de radio 2 con centro en el origen. Este hecho no es fortuito. En general, por la fórmula (10) se concluye que las raíces nésimas de z están sobre la circunferencia de radio "&(=.fi)y son equidstantes, separadas por una distancia de 2 nln radianes. (¿Puede el lector darse cuenta de por qué esto es así?) Así, una vez que se ha determinado una raíz n-ésima de z, las demás n - 1 raíces se pueden generar si esta raíz se hace girar sucesivamente en incrementos de 2 nln radianes.

4'

Figura 5

Las raíces cúbicas de -8.

I O. 3 Forma polar; teorema de De Moivre / 625

Ejemplo 4 Encontrar las raíces cuartasde 1. Solucidn. Se podría aplicar la f6miila i.U.:¡ j . 1.c. vez de ello, se observa quew = 1 es una raíz cuarta de 1, de modo que las tres raíces restantes se pueden generarsi esta raíz se hace girar en incrementos de 2 d 4 = n/2 radianes (= 90'): En la figura 6 se observa quelas raíces cuartasde 1 son 1. i, -1, "i

A

4" /

/

EXPONENTES COMPLEJOS

\ \

Estasecciónconcluyeconalgunoscomentariossobrenotación. En estudios más detallados de números complejos se definen los exponentes complejos y se demuestra que

I o+ cos

i sen8=eie

donde e es un número real irracional definido aproximadamente por e = 2.7 1828. . . (Para quienes ya estularon Cálculo, en el ejercicio18 se proporciona una demostración de este hecho.) Por la expresión(1 1) se concluye que la forma polar z = r(cos 8

+ i sen 8)

se puede escribir de manera más breve como

Ejemplo 5 En el ejemplo 1 se demostró que

626 i Espacios vectoriales complejos

Por (12), la expresión anterior también puede escribirse como

Es posible demostrar que los exponentes complejosobedecen las mismas reglas que los exponentes reales, de modo que si z1 = rleiBl

Y

z2= r2ei*2

son números complejos diferentes de cero, entonces

Pero estas son justamente l a s fórmulas (3) y (5) escritas en otra notación. Por ultimo, se obtendrá una fórmula útil para expresar 2en notación polar. Si z

= rei* = r(cos

O

+ i sen e)

entonces

Z = r(cos 9 - i sene) Recordando las identidades trigonométricas sen(- O) = -sen 0

y

COS(

la expresión (13) se puede volver aescribir como


-

e) = COS e

10.3 Forma polar; teorema de De Moivre

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 10.3 1. En cada inclso, encontrar el argumento principal de z. a)z=l

b)z=i

d ) ze=) lz+=i- l + d ? i

c)z=-i

2. En cada inciso hallar el valor de O = arg( 1

b) - a < O s a

a) O
f)z=l-i

-

hi)que satisface la condicióndada.

c)

--SO<--

rr 6

1l a

6

3. En cada inciso expresarel número complejo en forma polar usando su argumento principal. a) 2i

b) - 4

c) 5 + 5 i

4. Dado que z, = %(cosn14

d) - 6 + 6 d ? i

e) - 3

-

3i

f) 2 f i - 2 i

+ i sen n / 4 )y z2 = COS nl6 + i sen n16) obtener una forma

polar de

5. Expresar z, = i, z2 = 1

-

f i i y z3 =

&+ i en forma polar y aplicar los resultados para

encontrar z,z2/z3.Comprobar los resultados efectuando los cálculos sin usar formas polares.

6. Usar la fórmula (6) para hallar

7. En cada inciso, encontrar todasa lsraíces y trazarlas como vectores en el plano complejo. b) (1

a) (-i)'12

+ V'%)'12

c)

(i)'I3 d)

e) ( -

f) ( - 8

8. Usar el método delejemplo 4 para encontrar todas las raíces cúbicas de 1

9. Usar el método del ejemplo 4 para hallar las raíces sextas de l . 10. Obtener las raíces cuadradas de 1 + i y expresar los resultados en forma polar.

11. En cada inciso encontrar las soluciones de la ecuación. a)

z4 - 16 =

O

b) z4I3 = - 4

12. Calcular cuatro soluciones de la ecuación fi + 8 = O y con los resultados, factorizar z4 + 8 en dos factores cuadráticos con coeficientes reales.

+ 8V3i)1/4

I'

627

628

i


14. En cada inciso, usando (6), calcular la potencia indicada

a) ( I

+I)'

b) (-2*+2i)")

15. En cada inciso, encontrar Re@) e h ( z ) .

16. a) Demostrar que todos los valores de

en la fórmula (10) son diferentes. b) Demostrar que los valores enteros de k distintos de k = O, 1,2, . . . ,n - 1 producen valores de z"" que son réplicas de los producidos por la fórmula (IO).

17. Demostrar que la fórmula (7)es válida si n = O o r~ es un entero negativo. 18. (Para quienes ya estudiaron Cdkulo). Para demostrar la fórmula (1 l), recuérdese l a

serie de Maclaurin para 8

a) Sustituyendo X = i o en esta serie y simplificando, obtener la fórmula

b) Usando el resultado del inciso a), obtener (1 1)

19. Obtener la fónnula (5)

10.4

ESPACIOS VECTORIALES COMPLEJOS

PROPIEDADES BASICAS DE LOS ESPACIOS VECTORIALES COMPLEJOS

En espacios vectorides complejos, las combinaciones lineales se definen exactamente como en los espacios vectoriales reales, excepto que los escalares son complejos. En pocas palabras, un vector w se denomina combinación lineal de los vectores vl, v,, . , v,. si se puede expresar en l a forma , ,

+

w = k,v, k2v2 + . . .

donde k,, k,, . . . , kr son números complejos.

+k,~,

1O. 4 Espacios vectoriales complejos / 629

Los conceptos de independencia lineal, conjunto generador, base, dimensión y subespacio permanecen sin ningún cambio para espacios vectoriales complejos, y los teoremas obtenidos en el capítulo 5 siguen siendo válidos. El espacio vectorial real más importante es R", que es el espacio de n-adas de números reales, donde la adición y la multiplicación escalar se efectúan por coordenadas. El espacio vectorial complejo más importante es C", que es el espacio de n-adas de números complejos, donde la adición y la multiplicación escalar se efectúan por coordenadas. Un vector u en C" se puede escribir en notación vectorial

o en notación matricial

donde u, = a ,

+ b,i,

u2 = a ,

+ h,i,

. . . , u, = a,

+ h,i

Ejemplo 1 Si u = (i, 1

+ i, -2)

y

v = ( 2 + i, 1 - i, 3 + 2i)

entonces u+v

= (i, 1

+ i,

-2)

+ ( 2 + i, 1 - i, 3 + 2i) = (2 + 2i, 2, 1 + 2i)

Y

i u = i ( i , 1 + i , - 2 ) = ( i z , i + i 2 , - 2 i ) = ( - 1 , - 1 ti,-2i) A

En C n , así como en R", los vectores e , = ( 1 , 0 , 0 , . . . , O), e,=(0,

1,0, . . . , O),

. . . , en=(O,O,O,

forman una base. Ésta se denomina base estúndar para n vectores, Cn es un espacio vectorial n dimensional.

. . . , 1)

P.Como en esta base hay

No se debe confundir el número complejo i = & con i el vector i = (1, O,O) de la base estándar para R3 (véase el ejemplg 3 de la sección 3.4). El número complejo i siempre se escribirá en cursivas y el vector i, en negritas.

OBSERVACI~N.

630 i Espacios vectoriales complejos

Ejemplo 2 En el ejemplo 3 de la sección 5.1 se definió el espacio vectorial M,,,, de matrices m X n con elementos reales. El análogo complejo de este espacio es el espacio vectorial de matrices con elementos complejos y las operaciones de adición de matrices y multiplicación escalar. Este espacio se denomina complejo M,,,,,. A Ejemplo 3 Si fi(x) y fz(x) son funciones con valores reales de la variable x, entonces la expresión

se denomina función con valores complejos de la variable x. Algunos ejemplos son

f(x) = 2x + ix3

y

g(x>= 2 sen x

+ i cos x

(1)

Sea Vel conjunto de las funciones con valores complejos que están definidas sobre la recta. Si f = fi(x) + iJ2(x) y g = gl(x) + ig2(x) son funciones como las mencionadas y k es cualquier número complejo, entonces la función suma f + g y el múltiplo escalar kf se definen por

Se puede demostrar que V junto con las operaciones establecidas es un espacio vectorial complejo. Se trata del análogo complejo del espacio vectorial F(- m, m) de funciones con valores reales analizado en el ejemplo 4 de la sección 5. l . A

Ejemplo 4 (Para quienes ya estudiaron Crilculo). Si Ax) =S,(.) + &(x) es una función con valores complejos de la variable real x, entonces se dice que f es continua si f , ( x ) y f2(x) son continuas. Se deja como ejercicio demostrar que el conjunto de todas las funciones continuas con valores complejos de una variable real x es un subespacio del espacio vectorial de todas las funciones con valores complejos de x. Este espacio es el análogo complejo del esuacio vectorial

I O. 4 Espacios vectoriales complejos / 63 I C(-m, 00) analizado en el ejemplo 7 de la sección 5.2 y se denomina cornplejo C(- 00, m). Unejemplo bastante relacionado es el complejo C[a, b], el espacio vectorial de todas las funciones con valores complejos que son continuas sobre el intervalo cerrado [a, b ] . A

Recuérdese que en R" el producto interior euclidiano de dos vectores

se definió como

y que la norma (o longitud) euclidiana de u se definió como llull = (u u)l'2 =

vu:+

u;

+ . . + u; '

Desafortunadamente, estas definiciones no son apropiadas para vectores en C". Por ejemplo, si (3) se aplicase al vector u = (z, 1) en C2, se obtendría

((u(\ =

VFZ = v% = o

de modo que u sena un vector dverente de cero con longitud cero, situación a todas luces contradictoria. PRODUCTOS INTERIORES EUCLIDIANOS COMPLEJOS

Para extender correctamente los conceptos de norma, distancia y ángulo a C" es necesario modificar un poco el producto interior. ~~

~

~

~

~

~

~~~~

Definicih. Si u = ( u l , u2, . . . , un) y v = ( v l , v2, . . . , vn) son vectores en Cn, entonces su producto interior euclidiano complejo u * v se define por

donde i

1' 2'""

inson los conjugados de vl,v2, . . . ,vn.

Nótese que el producto interior euclidiano de vectores en C" es un número complejo, mientras que el producto interior euclidiano de vectores en Rn es un número red. OBSERVACI~N.

Ejemplo 5 El producto interior euclihano complejo delos vectores


u=(-ii,2, 1 +3i)

y

v = ( l -i,O,

I +3i)

es

+ (2)(0) + (1 + 3i)(l + 32) + i) + (2)(0) + (1 + 3i)(l - 3i)

u - v = (-i)(l - i) = (-i)(l -

- i - 22 + 1 - 9'2 I z I 1 - i

A

En el teorema 4.1.2 se mencionaron las cuatro propiedades principales del producto interior euclidiano sobre Rn. El siguiente teorema es el resultado correspondiente para el producto interior euclidiano complejo sobre C n

Teorema 10.4.1. Si u, v y w son vectores en C? y k es cualquier número complejo, entonces: a) b) c) d)

u.v=v.U (u+v).w=u.w+v.w (ku).v = k(u.v) v.v?O.Ademas,v.v=O

siysófosi v=O.

Obsérvese la diferencia entre el inciso a) de este teorema y el inciso a ) del teorema 4.1.2. Se demostrarán los incisos a ) y d) y los demás se dejan como ejercicio. Demostración de a).Sean u = (ul, u2, . . . , un) y v = ( v , , v2, . . . ,v,). Entonces

Y

v. u = U I U I + U2ü2-t . '

'

+ unü,

de modo que

v.u

= UIUl

-

= ulul

+ u2u2 - + ' . . + Unün

+

+-

' ' '

VnUn

+ ü*uz+ . . . + Ü,,un = U l Ü l + u2ü2+ . . + unü, '

=

u.v

[Teorema 10.2.3, incisos a) y c)] [Teorema 10.2.3, inciso e)]

I O. 4 Espacios vectoriales complejos / 633

Demostración de 4.

Además, la igualdad se cumple si y sólo si lvll = Iv21 = . . . = lvnl = O. Pero esto es cierto si y sólo si v1 = v2 = . . . = v, = O, es decir, si y sólo si v = O. 0

OBSERVACI~N.

Se deja como ejercicio demostrar que

u (kv) = k(u .v) para vectores en C". Hacer la comparación con la fórmula correspondiente

.

u . (kv) = k(u v)

para vectores en R".

NORMA Y DISTANCIA EN

Por analogía con (3), la normaeuclidiana (o longitud euclidiana) de un vector u = (u1, uz, . . . , un) en Cn se define por

P

y la distancia euclidiana entre los puntos u = (u1, uz, . . . , un) y v = ( v l ,v2, . . . , vn) se define por

Ejemplo 6 Si u = (i, 1 + i, 3) y v = (1 - i, 4, 4i), entonces

llull

=m=2v3

Y

d(u, v)

=

VIi - (1 - i)I2+ 1(1 + i) - 212 + 13 - 4iI2

= ~ I - 1 + 2 i ) 2 + I - 1 + i ( 2 + 1 3 - 4 i ( 2 = ~ 5 + 2 + 2 5 = ~ =A4 ~

El espacio vectorial complejo Cn con la norma y el producto interior antes defihdos se denomina espacio n euclidiano complejo.

634

,/


EJERCICIOS DE LA SECCIóN 10.4 1. S e a n u = ( 2 i , 0 , - 1 , 3 ) , v = ( - i , i , 1 + i , - l ) y w = ( l + i , - i , - 1 + 2 i , O ) . E n c o n t r a r a) u - v

b) i v f 2 w

d) 3 ( u - ( I + i ) v )

c) - w + v

e) - i v + 2 i w

f) 2 v - ( u + w )

2. Sean u, v y w los vectores del ejercicio 1. Encontrar el vector x que satisface

u - v + ix = 2ix + w. 3.

Sean u, = (1 - i , i, O), u2 = (22, 1 + i, 1) y u3 = (O, 22, 2 - i). Encontrar escalares c,, que c,u, + c2uz + c3u3= ( - 3 + i, 3 + 2i, 3 - 4i).

cz y c3 tales

4. Demostrar que no existen escalares c,, c2 y c3 tales que

c,(i, 2 - i, 2

+ i) + c2(1+ i, -2i, 2) + 4 3 , i, 6 + i) = (i, i, i)

5. Encontrar la norma euclidiana de v si

a) v = ( l , i )

b) v = ( l + i , 3 i , 1)

c) v = ( 2 i , 0 , 2 i + 1, - 1 )

d) v = ( - i , i , i , 3 , 3 + 4 2 )

6. Sean U = (3i,O, -i), v = (O, 3 + 44 -2i) y w = (1 + i, 22, O), Encontrar d) 113~- 5~ + wI I

1 e ) -w llwll

7. Demostrar que si v es un vector diferente de cero en Cn, entonces (l/llvll)v tiene noma

euclidiana l . 8. Encontrar todos los escalares k tales que I l k v l l = 1, donde v = (32,4i) 9. Encontrar el producto interior euclidiano u * v si a) u = (-i, 3i), v = (3i,2i) b) u = (3 - 4i, 2 i, -6i), v = (1

+

+ i, 2 - i, 4)

c) u = ( l - i , l + i , 2 i , 3 ) , v = ( 4 + 6 i , - 5 , - 1 + i , i ) En los ejercicios 10 y 11 se proporciona un conjunto de objetos junto con las operaciones de adición y multiplicación escalar. Determinar cuáles conjuntos son espacios vectoriales complejos bajolas operaciones dadas. Para los que no lo sean, mencionar todos los axiomas que no se cumplen. 10. El conjunto de todas las temas de números complejos (z,, z2, z3) con las operaciones

Y

10.4 Espacios vectoriales complejos / 635 11. El conjunto de todas las matncescomplejas de 2 X 2 de la forma

con las operaciones matmiales normales de adición y multiplicación escalar. 12. ¿Es Rn un subespacio de Cn? Explicar la respuesta 13. Aplicando el teorema 5.2.1, determinar cuáles de los siguientes

conjuntos son subespacios de C3. a) Todos los vectores de la forma (2, O, O). b) Todos los vectores de la forma (z, i, i) c) Todos los vectores de la forma (zl, z2, z3), donde z3 = z1 + z2. d) Todos los vectores de la forma (zl, z2, z3),donde z3 = z1 -t z, + i. "

14. Aplicando el teorema 5.2.1, determinar cuáles de los siguientes conjuntos son subes-

pacios del complejoMZ2: a) Todas las matnces complejas de la forma

donde z1 y z2 son reales. b) Todas las matrices complejas de la forma

donde z1 + z4 = O. c) Todas las matricescomplejas A 2 X 2 tales que = A , donde 2 es lamatriz cuyos elementos son los conjugados de los elementos correspondientes de A. 15. Aplicando el teorema 5.2.1, determinarcuálesde

los siguientes conjuntos son subespacios del espacio vectorial de las funciones con valores complejos de la variable real x: a) Todas lasf tales queA1)= O. b) Todas lasftales queA0) = i . c) Todas las f tales quef(-x) = f ( x ) d) Todas las f de laforma k , + k2 elx, donde k , y k, son números complejos.

16. ¿Cuáles de los siguientes vectores son una combinación lineal de u = (i, -i, 32) y v = (2i, 4i,O)? a) (3i,3i, 3i) b) (442i, 6i) c) (i, 5i, 6i) d) (O, O, O)

17. Expresar cada uno de los siguientes vectores como una combinación lineal de u = (1, O, - z), v = (1 + i, 1, 1 - 2i) y w = (O, i, 2). a) (1, 1, 1)

b) (i, O, - i )

C) (O, O, O)

d) ( 2 - i, 1, 1 + i)

18. En cada inciso, determinar si los vectores dados generan a C3

636 / Espacios vectoriales complejos a) v I = (i, i, i), v2 = (22, 2i, O), v3 = (3i, O, O) b) V , = ( 1 + i, 2 - i, 3 + i), vi = (2 + 3i, O, 1 - i) c) V, = (1, O, -i), v2 = (1 + i, 1, 1 - 24, v3 = ( O , i, 2) d) v I = (1, i , O), v 2 = ( 0 , -i, I), v 3 = ( 1 , O, 1) 19. Determinar cuáles de las siguientes fünciones están enel espacio generado por f = e”

a) cos x

y

g=e-””

b) sen x

x

c)cos

+ 3i sen x

20. Explicar por qué los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes.

(Resolver este problema por inspección.) a) u , = ( I - - i , i ) y u 2 = ( 1 + i , -1)enC2 b) u, = (1, - i), u2 = (2 + i, - l), u) = (4, O) en C 2 c) A =

[

J

2i

y

’j]

O

=

[

2

0

en el complejo

21. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores en C3 son linealmente independientes?

+

+

= (1 -i, 1, O), u2= (2, 1 i, O), u3 = (1 i, i, O) b)u,=(I,O,--i), u2=(l+i,l,l-2i), u3=(0,i,2) c)u,=(i,O,2-i), u2=(0,1,i),n,=(-i,-1-4i,3)

a) u,

22. Sea V el espacio vectorial de todas las funciones con valores complejos de la variable

real x. Demostrar que los siguientes vectores son linealmente dependientes. f=3

+ 3i cos 2x,

g =sen2 x

+ i cos2 x,

h = cos2 x

- isen* x

23. Explicar por qué los siguientes conjuntos de vectores no son bases para los espacios

vectoriales indicados. (Resolvereste problema por inspección.) a) u , b) u ,

= (i, 2i), u2 = (O, 32), u3 = (1, 7i) para C’ = ( - 1 i, O, 2 - i). u2 = (1, -i, 1 i) para C3

+

+

24. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son bases para C2?

b) (1 + i, l), (1 + i, i ) d) (2 - 32, i), (3 + 2i, - I )

a) (2i, -i), (4i, O) c) (O,O), (1 + i, 1 - i )

25. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son bases paraC3? a) (1, O, O), (i, i, O), (i, i, i)

c)(i,O,2-i), (O,l,i), ( - i , - 1 - 4 & 3 )

b) (1, O, -i), (1 - t i , 1, 1 - 2i), (O, i, 2) d)(I,O,i),(2-i,1,2+i),(O,3i,3i)

En los ejercicios del 26 al 29, determinar la dimensión y una base para el espacio solución del sistema. 26.

x, ( 1 - i)x,

28. x, ix,

+

+ (1 + i)x, = O

+

2x2 = O

(2 - i)x2 x2

+ 3ix,

+ ( 2 + 2i)x2 +

=o

=O 3ix3 = O

2x1 - (1

27.

(-1 + i ) x , 29. x, ix,

+

+

x, = o

+ x, = O 4x3 - 2ix, = O

ix, - 2ix3

+ 3x, +

+ i)x2 = O

10.5 Espacios complejos con producto interior / 637 30. Demostrar: Si u y v son vectores en el espacio n euclidiano complejo, entonces

u.(h)=k(u.v)

31. a) Demostrar el inciso b ) del teorema 10.4.1. b) Demostrar el inciso c) del teorema 10.4.1. 32. (Para quienes ya estudiaron C&lculo).Demostrar que el complejo C( - m , m ) es un subespacio del espacio vectorial de funciones con valores complejos de una variable real. 33. Establecer la identidad

-4111

4

- vil2

+ -1i1 + iv1I2 4i llu -

-

para vectores enel espacio n euclidiano complejo.

10.5

ESPACIOSCOMPLEJOS CON PRODUCTOINTERIOR En la sección 6.1 se dejnió el concepto de producto interior sobre un espacio vectorial rzal usando como axiomas las propiedades básicas del producto interior euclidiano sobre R". En esta sección se dejnirán productos interiores sobre espacios vectoriales complejos usando como axiomas las propiedades del producto interior euclidiano sobre C".

ESPACIOS UNITARIOS

La siguiente definición es originada por el teorema 10.4.1 Definición. Un producto interior sobre un espacio vectorial complejo V es una función que asocia un número complejo (u, v) a cada par de vectores u y v en V de modo que los siguientes axiomas se cumplen paralos vectores u, v y w en V y los escalares k. -

1) ( u , v ) = ( v , u )

2) ( u + v, w ) = (u, w ) + (v, w ) 3) (ku, v) = k( u, v ) 4) ( v , v ) r 0 y ( v , v ) = O siysólosi v = O I

Un espacio vectorial complejo con un producto interior se llama espacio con producto interior complejo o espacio unitario. Las siguientes propiedades adxionales se deducen de inmediato a partir de los cuatro axiomas de producto interior:


(i) ( O , v > = ( v , O > = O (ii) (u, v + w ) = (u, v ) + (u, w ) (iii) (u. kv) = %(u,v )

Como sólo iii) difiere de los resultados correspondientes para productos interiores reales, se demostrará y las otras demostraciones se dejan como ejercicio. (u, kv) = (kv, u) = k(v, U )

k( V , u )

[ h o m a 31 [Propiedad delos conjugados]

k(u, v )

[Axioma I ]

"

=

[Axioma 11

-

Ejemplo 1 Sean u = (u1, u2, . . . , un) y v = (vl, v2,. . . , vn) vectores en P. Por el teorema 10.4.1, el producto interior euclidiano (u, v) = u v = u1ulVl +u2V2+...+unVn satisface todos los axiomas de producto interior. A

Ejemplo 2 Si

son matrices cualesquiera 2 X 2 con elementos complejos, entonces la sigwente fórmula define un producto interior complejo sobre elcomplejo (comprobar):

Por ejemplo, si

entonces

10.5 Espacios complejos con producto interior / 639

Ejemplo 3 (Para quienes ya estudiaron Cdlculu). Si Ax) = fl(x) + if2@) es una función con valores complejos de la variable real x y si fl (x) y f2(x) son continuas sobre [a, b ] , entonces

JUhf(4

U ID +

dx =

[fl(4

b

if2(x)ldx =

h

fl(4

dx + i l ,

f2(4

dx

En palabras, la integral de Ax) es la integral de la parte real de f más i veces la integral de la parteimaginaria de f: Se deja como ejercicio demostrar que si las funciones f = f l ( x ) + iJ2(x) y g = gl(x) + ig2(x) son vectores en el complejo C[a, b ] , entonces la siguiente fórmula define un producto interior sobre el complejo C[a,b ] :

En espacios con producto interior complejo, así como en espacios con producto interior real, la norma (o longitud) de un vector u se define por

y la distancia entre dos vectores u y v se define por

Se puede demostrar que con estas definiciones los teoremas 6.2.2 y 6.2.3 siguen siendo verdaderos en espacios con producto interior complejo (ejercicio 35). Ejemplo 4 Si u = (ul, u2, . . . , un) y v = (vl, v2,. . . , vn) son vectores en C" con el producto interior euclidmno, entonces

Y

640 1 Espacios vectoriales complejos

Obsérvese que estas expresiones son justamente las fórmulas para la norma y la distancia euclidianas analizadas en la sección 10.4. A

Ejemplo 5 (Para quienes y a estudiaron Cálculo). Si el complejo C[O, k] tiene el producto interior del ejemplo 3 y si f = elm, donde m es cualquier entero, entonces con auxilio de la fórmula (15) de la sección 10.3 se obtiene

CONJUNTOS ORTOGONALES

Las definiciones deconceptoscomo vectores ortogonales, conjunto ortogonal, conjunto ortonormal y base ortonormal se aplican sin cambio a espacios unitarios. Además, el teorema 6.2.4, los teoremas de la sección 6.3 y el teorema 6.5.4 aún son válidos en espacios con producto interior complejo, y el proceso de Gram-Schmidt se puede usar para convertir una base cualesquiera de un espacio con producto interior en una base ortonormal. Ejemplo 6 Los vectores u = (i, 1)

y

v = (1, i)

en 62 son ortogonales con respecto al producto interior euclidiano, ya que u.v=(i)(i)+(1)(5)=(i)(l)+(l)(-i)=o

A

Ejemplo 7 Considérese el espacio vectorial C3 con el producto interior euclidiano. Aplicar el proceso de Gram-Schmidt para transformar los vectores básicos u1 = ( i , i , i ) ,u2 = (O, i , i), u3 = (O, O, i ) , en una base ortonormal.

Solución.

Paso 1.

v I = u, = (i, i, i)

1O.5 Espacios complejoscon producto interior / 641

Así.

forma una base ortogonal para 6 3 . Las normas de estos vectores son

de modo que una base o r t o n o d para C3 es

Ejemplo 8 (Puru quienes ya estudiaron Cúfcufo).Sea el complejo C[O,2 n ] con el producto interior del ejemplo 3, y sea W el conjunto de vectores en C[O, 2 n ] de la forma elmr = cos mx

+ i sen mx

donde m es un entero. El conjunto W es ortogonal porque si

son vectores dstintos en W, entonces

642

/

Espacios vectoriales complejos 1

-

-sen [k-1

=

(O)

-

(k - l ) x

k- 1

i(0) = O

Si se normalizacada vector del conjuntoortogonal W. se obtiene un conjunto ortonormal. Pero en el ejemplo 5 se demostró que cada vector en W tiene norma f i , dc modo que los vectores

forman un conjunto ortonormal en el complejo C[O, 2 n ] . A

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 10.5 1. Sean u = ( u , , u 2 ) y v = (v], v2). Demostrar que (u, v) = 3u, 324

i

1 1

+2u

i

2 2

define un

producto interior sobre p.

2. Calcular (u, v) usando el producto interior del ejercicio l . a) u = (2;. - i), v = ( - i, 3;) b) u = ( O , O), v = ( 1 - i, 7 - 5i) c) u = ( 1 + i, I - i), v = ( 1 - i. 1 + i) d) u = (3i, - 1 + 2 i ) , v = (32, - 1 + 2i) 3. Sean u = ( u , , u 2 )y v = (v,,v2). Demostrar que (u, v )

=

u,Ü,

+ ( 1 -t- i)u,Ü2 + ( 1 - i)u,u,- + 3u2Ü2

define un producto interior sobre C 2 4. Calcular (u, v) usando el producto interior del ejercicio 3 a)

U=

C) U =

b) u = (O, O), v = ( 1 - i, 7 - 5i) d ) u = (3i. - 1 2i), v = ( 3 , - 1 + 2i)

(2i, - I ) , v = ( - i, 3i) (1 + i, 1 - i), v = (1 - i, 1 + i )

+

5. Sean u

= ( u , , u z ) y v = (vl, v2). Determinar cuáles de las siguientes expresiones son productos interiores sobre p.Para las que no lo sean, enumerar los axiomas que no se cumplen.

a) ( u , v ) = u,Ü, d) (u, v ) = 2u,U,

-

b) (u, v ) = u,ü, - u p 2

+ iu,ü, + iu,ü, + 2u,ü2

+

c ) { u , v ) = (uI/2(ul(2 e) (u, v ) = 2u,ü, + iu,ü2- iu,ü,

+ 2u,ü,

10.5 Espacios complejos conproducto interior / 643 6. IJsando el producto interior del ejemplo 2, encontrar (U, V) si

- " 7. Sean u = ( u I ,u2, u3)y v = (vl,v2, v3).¿(u, v) = yvI+~v2+u3v3-iu3v,define un pro-

ducto interior sobre C3?En caso negativo, enumerar todos los axiomas que no se cumplen. 8. Sea Vel espacio vectorial de las funciones con valores complejos de la variable real x , y sean f =&(x) + z&(x) y g = g l ( x ) + ig,(x) vectores en V. ¿La expresión (f3

g) = (fl(0) + ifAO))(g,(O)+ ig,(O))

define un producto interior sobre P En caso negativo, enumerar todos los axiomas que no se cumplen. 9. Sea c" con el producto interior del ejercicio 1. Encontrar I(w((si

a) w = ( - i , 3 i )

b) w = ( l - i , l + i )

c) w = ( O , 2 - i )

d) w=(O,O)

10. Para cada vector del ejercicio 9, usando el producto interior euclidiano encontrar I(w(( 11. Usando el producto interior del ejercicio 3 , encontrar llwll si a) w = ( l , -i) b) w = (-li , 1 +i) c) w = ( 3 - 4 i , O ) 12. Usando el producto interior del ejemplo 2, encontrar

d) w=(O,O)

l!,4(( si

13. Sea C2 con el producto interior del ejercicio 1. Encontrar d(x, y) si b) x = ( l - i , 3 +2i), y = ( l + i , 3 ) .a) x = ( l , l ) ,y = ( i , -i) 14. Repetir l a s instrucciones del ejercicio 13 usandoel producto interior euclidianosobre

c.

15. Repetir las instrucciones del ejercicio 13 usando el producto interior del ejercicio 3.

16. Sea el complejo MZ2con el producto interior del ejemplo2. Encontrar d(A, B ) si

17. Sea C3 con el producto interioreuclidiano.¿Para qué valores complejos de k los vectores u y v son ortogonales? a) u = ( 2 i , i , 3 i ) , v = ( i , 6 i , k ) b) u = ( k , k , l + i ) , v = ( l , - 1 , l - i )

644

i


18. Sea n/r.2 con el producto interior del ejemplo 2. Detenninar cuáles de las siguientes matrices son ortogonales a

19. Sea C" con el producto interior euclidiano. Demostrar que para todos los valores de 0

20. Sea ('? con el producto interioreuclidiano.¿Cuálesdelossiguientes ortononnales? a) (i, O),(O,

1 - i)

b)

('

- -v5'

), (v5"* ) (

v5

"

C '

21. Sea con el producto interioreuclidiano.¿Cuáles ortonornlales?

c)

conjuntos son

), (

"

v5'v5

--r

v2'

de los siguientes conjuntos son

22. Sea

Demostrar que {x, y) es un conjunto ortonomal si C2 tiene el producto interior (u, v ) = 3u,ü,

+ 2u2ü2

pero no es ortonomal siC* tiene el producto ulterior euclidiano 23.

es un conjunto ortogonal en C4 con el producto interior euclidiano. Normalizando cada uno de estos vectores, obtenerun conjunto ortonomal. 24. Sea C 2 con el productointerioreuclidiano.Usandoel transformar la base {u,, u2} en una base ortonomal.

a) u I = (i, - 3 4 , u2 = (2i, 22)

proceso de Gram-Schmidt,

b) u I = (i. O), u2 = (32, - 5 ; )

)

"

v5

(d) (i,O), (0,O)

1O. 5 Espacios complejos con producto interior i 645

c3con el producto interioreuclidiano. Usando el proceso de Gram-Schmidt, transformar la base { u l , u2, ug}en una base ortonormal. a) uI = (i, i, j), u2 = ( - i , i, O), uj = (i, 22, i) b) u1= (i, O, O), u2 = (3i, 7i, - 2 4 ,

25. Sea

26. Sea C4 con el productointerioreuclidiano. Usando el proceso de Gram-Schmidt, transformar la base { ul, u2, u3, u4} en una base ortonormal.

u, = ( O , 2i,i, O),

u3 =(i, 2i, O, -i), u,=(i,

u 2 = ( i , -i, O, O),

27. Sea C3 con el productointerioreuclidiano.Encontrarunabase subespacio generado por (O, i, 1 - i) y (-i, O, 1 + 2).

O, i, i)

ortonormal para el

28. Sea C4 con el producto interior euclidiano. Expresar w = (-i, 22,6i, O ) en la forma w = w, + w2, donde el vector w, está en el espacio W generado por u1= (-i, O, i, 2;) y u2 = (O, i, O, i), y w2 es ortogonal a W.

29. a) Demostrar: Si k es un número complejo y (u, v) es un producto interior sobre un es-

pacio vectorial complejo, entonces (u

-

kv,

u

-

k v ) = (u, u)

- i (u, v)

-

k(u,v)+kk(v,v). b) Usando el resultadodelincisoa),demostrar

que O

I (u, u) -

k (U, V)

-

k(u,v)+kz(v,v). 30. Demostrar que si u y v son vectoresen un espacio con producto interior complejo,entonces KU.

v)l’

5

(u3U X V , v )

Este resultado,denominado desigualdad de Cauchy-Schwarz para espacios con producto interior complejo, difiere de su análogo real (teorema 6.2.1) en que es necesario incluir un signo de valor absoluto en el miembro izquierdo. [Sugerencia Sea k = (u, v)/(v, v) en la desigualdad del ejercicio 29b).] 31. Demostrar: Si u = ( u I ,u2, . . . , un>y v = (v,,v2, . . . , v,,) son vectores en c”,entonces lUlÜI

+ U’ü2 +

‘ ’ ’

+ U,ünl 5 (jU,/’+ / U 2 / ’ +

’ ‘

.

+ lu,12)1’2(/u,/2 + IU2l2 +

‘ ’ ‘

+ JU”J2)”2

Esta es la versión compleja de la desigualdad de Cauchy analizada en el ejemplo 1 de la sección 6.2. [Sugerencia Usar el ejercicio 30.1 32. Demostrar queenla desigualdad deCauchy-Schwm paraespacios vectoriales complejos la igualdad se cumple si y sólo si u y v son linealmente independientes. 33. Demostrar que si (u, v) es un producto interior sobre un espacio vectorial complejo, entonces (O, v ) = (v, O ) = o

u3

= (0,4i. i )


(u, v

+ w) = (u, v) + (u, w )

35. Los teoremas 6.2.2 y 6.2.3 siguen siendo verdaderos en espacios con producto interior

complejo. En cada inciso, demostrar que así es. . Teorema 6.2.2d. a) Teorema 6 . 2 . 2 ~ .b) Teorema 6.2.2b.c) Teorema 6 . 2 . 2 ~d) b) Teorema 6 . 2 . 3 ~ .f) Teorema 6.2.36. g) Teorema 6 . 2 . 3 ~h). Teorema 6.2.3d. 36. En el ejemplo 7 se demostró que los vectores

forman una base ortonormal para C3.Usando el teorema 6.3.1, expresar u = ( 1

- i, 1 +

i, 1) como una combinación lineal de estos vectores.

37. Demostrar que si u y v son vectores en un espacio con producto interior complejo, entonces

, vn} es una base ortonormal para un espacio V conproducto 38. Demostrar: Si {v v 1’ 2 ” ” interior complejo y SI u y v son vectores cualesquiera en V, entonces

[Sugerencia.Aplicando el teorema 6.3.1,expresar u y w como combinaciones lineales de los vectores básicos.]

=A(.) + If,(.) y g = g , ( x )+

39. (Para quienes ya estudiaron Crflculo).Demostrar que si f ig2(x)son vectores en el complejo C[a,b ] , entonces la fórmula

define un producto interior complejo sobre C[a,b] 40. (Para quienes ya estudiaron Ccflculo). a) Sean f =&(x) + if,(.) y g = g l ( x )+ igz(x) vectores en C[O, 1J , que tiene el producto

interior

Demostrar que los vectores e2 m’mx

,

m = o,

* 1, +2,

forman unconjunto ortogonal. b) Obtener un conjunto ortonormal normalizandolos vectores del inciso a).

-

1 O. 6 Matrices unitarias, normales y hermitianas / 647

10.6 MATRICESUNITARIAS,NORMALES Y HERMITIANAS Para matrices con elementos reales, las matrices ortogonales (Ap1 = A T ) y las matrices simétricas (A = AT) desempeñaron un papel importante en el problema de diagonalización ortogonal (sección 7.3). Para matrices con elementos complejos, las matricesortogonales y simétricas son relativamente poco importantes; son reemplazadas por dos nuevas clases de matrices, la matrices unitarias y hermitianas. que se analizarán en esta sección.

MATRICES UNITARIAS

Si A es una matriz con elementos complejos, entonces la transpueda conjugada de A , que se denota por A*, se define como

donde

es la matriz cuyos elementos son los conjugadoscomplejosde

mentos correspondientes en A y

los ele-

ATes la transpuesta de 2 .

Ejemplo 1 Si

entonces

de modo que

Las propiedades básicas de la operación conjugada transpuesta son semejantes a las de la transpuesta:

Teorema 10.6.1. Si A y B son matrices con elementos complejos y k es cualquier número complejo, entonces: a ) (A*)* = A b ) ( A +B)* = A * +B* c) ( M ) * = kA* d ) (AB)* = B*A* Las demostraciones se dejan como ejercicios. Recuérdese que una matriz con elementos reales se denomina ortogonal si A" =AT.Los análogos complejos de las matrices ortogonales se llaman matrices unitarias, y se definen como sigue:

648 / Espacios vectoriales complejos ~~

A con elementoscomplejos se denomina

Definición. Unamatrizcuadrada unitaria si I

El siguiente teorema es similar alteorema 6.5.1.

Teorema 10.6.2. Si A es una matriz n X n con elementos complejos, entonces las siguientes proposiciones son equivalentes. a ) A es unitaria. b ) Los vectores renglón de A forman un conjunto ortonormal en c" con el producto interior euclidiano. c ) Los vectores columna de A forman un conjunto ortonormal en c" con el producto interior euclidiano.

Ejemplo 2 Los vectores renglón de la matriz

r

l+i l+i ~-

A=

2

2

1-i

-l+i 2

"

son r1 =

l+i

2

I). l+i

r2 =

(?. -+) 1-i

-l+'

Con respecto al producto interior euclihano sobre Cn,se tiene

Y

i i -"" -0

2

2


de modo que los vectores renglón forman un conjunto ortonormal en unitaria y

c.Así. A es

El lector debe comprobar que la matriz (2) es la inversa de la matriz (1) probando q u e m * = A*A =I. A

DIAGONALIZACIÓN UNITARIA

Recuérdese que una matriz cuadrada A con elementos reales se llama diagonalizable ortogonalmente si hay una matriz ortogonal P tal que P"AP (= P'AP) sea diagonal. Para matrices complejas se tiene un concepto análogo. Definición. Una matriz cuadrada A con elementos complejos se denomina diagonalizable unitariamente si existe una matriz unitaria P tal que P"AP (= P*AP) es diagonal; se dice que la matriz P diagonaliza unitariamente a A .

Hay dos preguntas a considerar: ¿Qué matrices son diagonalizables unitariamente?

¿Cómo determinar una matriz unitaria P a fin de efectuar la diagonalkación? Antes de responder estas preguntas se observa que las definiciones ya proporcionadas de los conceptos eigenvector, eigenvalor, eigenespacio, ecuación caracterí3ica y polinomio característico se cumplen sin cambio en espacios vectoriales complejos. MATRICES HERMITIANAS

En la sección 7.3 se vio que a ls matrices desempeñaban un papel fundamental en el problema de diagonalizar ortogonalmente una matriz con elementos reales. Los análogos complejos más naturales de las matrices simétricas reales son las matrices hermitianas*, que se definen como sigue: Definición. Una matriz cuadrada A con elementos complejos se denomina hermifiana si A =A*

*Charles Hermite (1822-1901) matemático francés que realizó contribuciones fundamentales al álgebra, a la teoría de matrices y a varias ramas del análisis. Es conocido por usar integrales para reso1ver:una ecuación polinómica general de quinto grado. También demostró que el número e (la base de los logaritmos naturales) no es raíz de ninguna ecuación polinómica con coeficientesracionales.

650

.I


Ejemplo 3 Si i -5 2+i

l+i z;i]

1

-i

i l+i

-5 2-i

1-i 2+i 3

A = [ Li 1-i

entonces

I=[ de modo que

lo cual significa que A es hermitiana. A Es fácil reconocer las matrices hermitianas por inspección: los elementos de la diagonal principal son números reales (ejercicio 17),y la "imagen especular" de cada elemento de ladiagonal principal es su conjugado complejo (figura 1).

MATRICES NORMALES

Las matrices hermitianas poseen muchas propiedades, aunque no todas, de las matrices simétricas reales. Por ejemplo, así como a ls matrices simétricas reales

son diagonalizables ortogonalmente, se verá que las matrices hermitianas son diagonalizables unitariamente. Sin embargo, a pesar de que las matrices simétricas ls únicas matrices con elementos reales que se pueden diagonalizar reales son a ortogonalmente (teorema 7.3.1), las matrices hermitianas no constituyen toda la clase de matrices diagonalizables unitariamente; es decir, existen matrices &agonalizables unitariamente que no son hermitianas. Para explicar por qué es así se necesita la siguiente definición: Definición. Una matriz cuadrada A con elementos complejos se denomina normal si AA*

= A*A


Ejemplo 4 Toda matriz hermitiana A es normal, ya que AA* = AA matriz unitaria A es normal, ya que AA * = I = A *A. A

= A*A,

y toda

Losdos teoremas siguentes son los análogos complejos de los teoremas 7.3.1 y 7.3.2. Se omiten las demostraciones. Teorema 10.6.3. Si A es una matrizcuadradacon elementoscomplejos, entonces las siguientes proposiciones son equivalentes: a) A es diagonalizable unitariamente. 6 ) A contiene un conjunto ortonormal de n eigenvectores.

~~

Si A es una matriznormal,entonces eigenespacios diferentes de A son ortogonales. 10.6.4.

los

eigenvectores de

El teorema 10.6.3 establece que una matriz cuadrada A conelementos complejos es dagonalizable unitariamente si y sólo si es normal. El teorema 10.6.4 será crucial para obtener una matriz que diagonalice unitariamente una matriz normal. PROCEDE MIENTO DE DIAGONALIZACIÓN

En la sección 7.3 se vio que una matriz simétrica A es diagonalizada ortogonalmente por cualquier matriz ortogonal cuyosvectores columna sean eigenvectores de A . De manera semejante, una matriz normal A es diagonalizada por cualquier matriz unitaria cuyos vectores columna sean eigenvectores de A . El procedimiento para diagonalizar una matriz normal es como sigue: Paso 1. Paso 2. Paso 3.

Encontrar una base para cada eigenespacio de A. Aplicar el proceso de Gram-Schmidt a cada una de estas bases a fin de obtener una base ortonormal para cada eigenespacio. Formar la matriz P cuyas columnas son los vectores básicos obtenidos en el paso 2. Esta matriz diagonaliza unitariamente aA.

La justificación de ese procedimiento debe ser evidente. El teorema 10.6.4 asegura que eigenvectores de eigenespacios diferentes son ortogonales, y la aplicación del proceso de Gram-Schnudt asegura que los eigenvectores del mismo eigenespacio son ortonormales. Así, todo el conjunto de eigenvectores obtenido con este procedimiento es ortonormal. El teorema 10.6.3 asegura que este conjunto orton o d de eigenvectores es una base. Ejemplo 5 La matriz


es diagonalizable unitariamente porque es hermitiana y, por tanto, es normal. Encontrar una matriz P que diagonalice unitariamente a A . Solución. El polinomio característico de A es

det(AZ-A)

a-2

= det

-I-i

1-3

-l+i

1

=(a-2)(a-3)-2=a2-5a+4

de modo que laecuación característica es

y los eigenvalores son 1 = 1 y 1 = 4. Por definición,

es un eigenvector de A correspondiente a 1 si y sólo si x es una solución no trivial de

[

a-2 -l+i

-'il[;;]=[;] A-3

Para encontrar eigenvectores correspondientes a 1 = 1, este valor se sustituye en (3):

[

- I- + l i

-l-i][;:]=[;] -2

Resolviendo este sistema por eliminación de Gauss-Jordan se obtiene (comprobar) x, =(-1

"QS,

x2=s

Así, los eigenvectores de A correspondientes a ;1= 1 son los vectores diferentes de cero en 62 de la forma

x=

[

( - 1 - i)s]+ll-i]

10.6 Matrices unitarias, normales y hermitianas / 653

Por tanto, este eigenespacio es unidimensional con base u=

[

-'l-i]

En este caso el proceso de Gram-Schmidt es de un solo paso; la normalización de este vector. Como

el vector

es una base ortonormal del eigenespacio correspondiente a il = l . Para encontrar los eigenvectores correspondientes a il = 4, este valor se sustituye en (3):

[

-l+i

-"i][;;] 1

=

[o]

Resolviendo este sistema por eliminación de Gauss-Jordan se obtiene (comprobar) x, =

x*

=S

de modo que los eigenvectores de A correspondientes a il = 4 son los vectores diferentes de cero en C? de laforma

X = [(?)S]

S

=S

Así, el eigenespacio es unidimensional con base

654 1 Espacios vectoriales complejos

Aplicando elproceso de Gram-Schmidt (es decir, normalizando este vector) se obtiene

Por tanto,

r-

-1-i

diagonaliza a A y P”AP=

EIGENVALORES DE MATRICES HERMITIANAS Y SIMÉTRICAS

[A y]

l+i -

A

En el teorema 7.3.2 se estableció que los eigenvalores de una matriz simétrica con elementos reales son números reales. Este importante resultado es un corolario del siguiente teorema más general. ~~

Teorema 10.6.5. reales.

Los eigenvaloresde

una

matriz hermitiana son números

Demostración. Si A es un eigenvalor y v es uneigenvector correspondiente de una matriz hermitiana A n X n, entonces

Av = Av

Multiplicando por la izquierda cada miembro de esta ecuación por el conjugado transpuesto de v se obtiene

Se demostrará que ambas matrices v*Av y v*v 1 x 1 tienen elementos reales, de modo que por (5) se concluirá que debe ser un número real. Tanto v*Av como v*v son hermitianas, ya que (v*Av)* = v*A*(v*)* = V*AV

I O.6 Matrices unitarias, normales y hermitianas / 655

Y (v*v)*

= v*(v*)* = v*v

Como las matrices hermitianas tienen elementos reales sobre la diagonal principal * y como v * ~ vy v v son 1 x 1, se concluye que estas matrices tienen elementos reales, con lo cual se completa la demostración. 0 Teorema 10.6.6. Los eigenvalores deuna reales son números reales.

matriz simétrica con elementos

Demostración. Sea A una matriz simétrica con elementos reales. Debidoa que los elementos de A son reales, se concluye que A=A

Pero esto indica que A es hermitiana, ya que

Así, por el teorema 10.6.5,A tiene eigenvalores reales.

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 10.6 1. En cada inciso, encontrar A*.

c) A = [7i O

-3i]

d) A = '22

'23

2. ¿Cuáles de las matrices siguientes son hermitianas?

3. Encontrar k, I y m de modo que A sea una matrizhennitiana

0

656 / Espacios vectoriales complejos 4. Aplicando el teorema 10.6.2., determinar cuáles de las siguientes matrices son unitarias. r

i

-1

I -

"

v5 c) ["i 1 - 1

-

d)

+ i] I + i

0

v% -

i

i __

v5 1

v5

L

5. En cada inciso, comprobar que la matriz es unitaria y encontrar su inversa.

d)

6. Demostrar que la matriz

es unitaria para todo valor real de 8.

En los ejercicios del 7 al 12, encontrar una matriz unitaria P que diagonalice a A y determinar P"AP. A=[l';

';;I

,.A=[;

-;]

, . A = [ 2 - 62 i

2 +42 i r

[3(11

3 : ~

11. A =

[

5 O O

1

i -

2

i --

v5v5

0 -1

-l+i

-I-i

O O

12. A =

v5

1 -

13. Demostrar que los eigenvalores de la matriz simétrica

2

--Z

i

0

- v5

0 2

no son reales. ¿Este hecho viola el teorema 10.6.6? 14. Encontrar una matnz 2 X 2 que sea hennitiana y unitaria y cuyos elementos no sean

todos números reales.

-

i

3

1 -

3 f i

4+3i

v5

Ejercicios complementarios / 657 "

15. Demostrar: Si A es una matriz n X n con elementos complejos, entonces

lb'.

,

'!

=

__

det(A). [Sugerencia Primero demostrarque los productos cl ": son los conjugados de los productos elementales de A con sign J

'

.

:

: :: ;igno

16. a) Aplicando el resultado del ejercicio 15, demostrar que si A es una matriz n

X

n con

elementos complejos, entonces det(A*) = det(A). b) Demostrar: Si A es hermitiana, entonces det(A) es real. c) Demostrar: Si A es unitaria, entonces Idet(A)I = l . 17. Demostrar que los elementos sobre la diagonal principal de una matriz hermitiana son

números reales. 18. Sean

matnces con elementos complejos. Demostrar que b) (A B)* = A * + B* c) (kA)* = kA* a) (A*)* = A

+

d) (AB)* = B*A*

19. Demostrar: Si A es invertible, entonces tambiénA* lo es, en cuyo caso (A*)" = (A")*. 20. Demostrar que si A es una matriz unitaria, entonces también A* es unitaria 21. Demostrar que una matriz n x n con elementos complejos es unitaria si y sólo si sus

renglones forman un conjunto ortonormal en C" con el producto interior euclidiano. 22. Usando los ejercicios 20 y 21, demostrar que una matriz n X n es unitaria si y sólo si sus columnas forman un conjunto ortonormal en C" con el producto interior euclidiano. 23. Dzmostrar: Si A = A*, entonces para todo vector x en C", el elemento en la matriz x Ax de 1 X 1 es real. 24. Sean 1 y p eigenvalores distintos de una matriz hermitiana A.

a) Demostrar que si x es un eigenvector correspondiente a 1 y y 'es un eigenvector * * correspondiente a p , entonces x*Ay = 1 x y y x Ay = px*y. b) Demostrar el teorema 10.6.4. [Sugerencia Restar las ecuaciones en el inciso a).]

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1. Sean u = (uI,u2, . . . , u,) y v = (ul, u2, . . . , u,) vectores en C", y sean u = (üI,i d 2 , . . . , u,) y v = (U1, ü*, . . . , u,). a) Demostrar: u.V = Ü.V. b) Demostrar: u y v son ortogonales si y sólo si ii y 7 son ortogonales.

658 / Espacios vectoriales complejos 2. Demostrar que si la matriz

es diferente de cero, entonces es invertible. 3. Encontrar una base para el espacio solución del sistema

4. Demostrar: Si a y b son números complejos tales que

+ lb12 = 1 y si O es un número

real, entonces

es una matriz un~taria

S. Encontrar los eigenvalores de la matriz

donde = 6. a) Demostrar que si z es un número complqo diferente de 1, entonces

Sugerencia Sea S la suma del miembro izquierdo de la ecuación y considérese la cantidad S - zS. b) Usando el resultado del inciso a), demostrar que si z" = 1 y z # 1, entonces 1 + z + =2 + . . . + z"-l = 0

c) Usando el resultado del inciso a), obtener la identidad trigonométrica de Lagrange 1 sen[ (n + +)O] 1 +cosO+cos2o+~~~+cosnO"+ 2 2sen(O/2)

para O < O < 277. [Sugerencia Sea z = cos O + i sen O.] 7. Seaw=e2n1'3.Demostrarquelosvectoresvl= ( l / f i ) ( l , 1, 1 ) , v 2 = ( 1 / f i ) ( 1 , w , w

y v3 = ( I / f i ) (1, w2, w 4 ) forman un conjunto ortonormal en el inciso b) del ejercicio 6.1

2)

~ 3 [Sugerencia .

usar

Ejercicios con~picmentnrios// 659 8. Demostrar que si U es una matriz unitaria n X n y lz,l= 1z2/= . . . = Iz,I = 1, entonces

el producto

también es unitario. 9. Supóngase que A* = -A. a) Demostrar que id es hermitiana. b) Demostrar que A es diagonalizable unitariamente y que tiene eigenvalores imaginarios puros.

10. a) Demostrar que el conjunto de números complejos con las operaciones (a

+ bi) + (c + di) = (a + c) + ( b + d ) i

y k(a + bi) = ka

donde k es un número real, es un espacio vectorial real b) ¿Cuál es la dimensión de este espacio?

+ kbi

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS EJERCICIOS DE LA SECCIóN 1.1 (Página 27) 1.

a),

2 . 4, b), c)

c), f )

3. a) x = $

+jt

x2 = S

x I = i r - 0s + i t x2 = r

u = $q - $r + Qs - QI w=q

xj = t

X)

x=r y=s

b) x I = {S - 4t

y=t

+f

=S

x, = t

z=t o

[. 1

c)

0

S.

a) 2 x , 3x,

2

0 - 1

3

1

0

1

=O

-

7

4x2 = o x2 = 1

1

o

-1 0

b) 3x, 7x,

1

+

x, - 2x2

2

i] O -

+ +

d) 0

2X) = 4x, = x3 =

[:y 1

5

3

-3

7

'1

c) 7x1 + 2x2 x1

d)

+

X) -

+ 2x2 + 4x,

XI

x3

- 2y = 5

5 I

=

7

= x, =

3 4

= -2

x2

6. a) x

=

3x4 =

b) Sea x = r, entonces t -y = 5. Al despejar y se obtieney = it - 5.

8. k = 6: infinidad de soluciones k # 6: no hay soluciones

Ningún valor de k produce una solución. 9. a) Las rectas no tienen punto de intersección común. b) Las rectas se intersecan exactamente en un punto c) Las tres rectas coinciden.

661

1.

a) iildeíXd,J c) 5 x 5

b) 4 P) 5

X X

2 2

e ) hdefmdad) g ) Indefinida

Indefinida h) 5 X 2

~] 5

d)

[

2.

a = 5,

-7

-28

-21

-7

b = - 3, c = 4, d = 1

-141 -35

Respuestas a los ejercicios / 663

e)

[-::] [y -A] [ 3

a

e)

g)

f)

[

1:

9

a

45 -11 17

l;] 13

9 -13 O

[

f) 21 17 35] 17

1 2 1

g)

[

I:]

h)

-6

[

-:

9

- 13

1

2 -4

-1

h)

[:n

y]

-6

6 -2:

24

I:]

16

i) 61 (j) 35 (k) 28

7 . a) [67 41

411

b) [63 67

571

c)

F:] 67

d)

[ :] 63

[24 e)

56 971

f)

663 1 Respuestas a los ejercicios

IO. a) [67 [64 [63 b) [6 [6 [63

41 411 = 3[6 -2 21 591 = 6[6 -2 67 571 = 0[6 -2 - 6 701 = 6[3 -2 17 311 =0[3 - 2 = 7[3 - 2 41 1221

--:

13. . ) A = [ !

14. a) .

-3

r

i],x=[:],b=[-a]

3x, - xz + 2x3 = 2 4x, + 3x, + 7x3 = - 1 -2x, x, 5xs = 4

+

.

41 - 2 [O 1 31 + 7[7 7 51 41 + 5 [O 1 31 + 4[7 7 51 41 + 4[0 1 31 + 9[7 7 51 71 - 2[6 5 41 +4[0 4 91 71 + 1[6 5 41 + 3[0 4 91 71 + 7[6 5 41 + 5[0 4 91

b)

3w - 2~

4 b)A=l5

0

2 o

-5 3

+

1

3 O 9 1

z =O

5w

+2y-2z=O 3 w +x + 4 y + 7 z = O --2w+5~+ y+6~=0

+

I S.

16. a)

[--;

-15 -111 -15

b)

o

44

2

355 3

25 23

24

17. a) A , , esunamatrizde2 X 3 y B , , esunamatriz 2 X 2. A , , B , , noexiste

a,,

o

o

O a , , O

21.

o o

o o

0

a55

o

o

o o

a)

‘66

1 -8 -1 1


o

a,,

o

a21

'22

0

a31

a32

a33

'41

'42

'43

a51

a52

a53

'61

'62

a63

[

'1

a,,

al2

0

'21

a22

'23

u32

a33

o

o 0

'44

o o

a54 a64

'1 1 1 2 1 3

2 3 4 5

22. a)

b)

4 5 6 7 5 6 7 8

.I

18. OA y A0 no puedentener

4

1

o

[;

1-

0

o o

o o

o o

el mismo tamaño.

-1

-1

I:].

19.

o o

o

'34

o 0

a a4 a45 4 3

o o

a54

o

-1

'56

a66 a65

1

4 8 9 2 7 16 64-

20. a) Un ejemplo es

b) Un ejemplo es

o

o

['

O

r1

o

:] kl

1

666 / Respuestas a los ejerciclos

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 1.5 (Página 83) 2. a) Sumar tres veces el primerrenglón al segundo renglón b) Multiplicar por el tercer renglón. c) Intercambiar el primer renglón y el cuarto renglón. d) Sumar veces el tercer renglón al primer renglón.

1. c), 4 , f ,

3

+

3.a)

["

'1 [:1 :]

O

o1 O

1

0

b)

O

1

O

c)

0

[

"1

y

d)

o I

-2

[A y 2

0

1

4. No, porque C no se puede obtener efectuando unasola operación en los renglones de B

5. a)

[ -: -:] [-:

z]

5

2

b)

c) N o e s invertible

[-i 8 81 1

c)

b) No es invertible

2

0

1

-

P

2

0

O

O

o - o o

1

-1

k

O

k2

0

o -I o o

0

0

-

0

0

1

O

0

k'l

kl

k2

0

"

O

0

o

2

-1

L

0

8. a)

-

1

-

I-

-

1

"

o 0

1 -

k3 0

o , -

1

k4

-

b)

1

k3

1 - 0

kl

0

0

-

-1 k

“lu Respuestas a los ejercicios 1 667 16. b) Sumar - 1 veces el primer renglón al segundo renglón. Sumar - 1 veces el primer renglón al tercer renglón. Sumar - 1 veces el segundo renglón al primer renglón. Sumar el segundo renglón al tercer renglón.

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 1.6 (Página 92)

17. b , = b2

16. b , = 2b2

11 -6 -15

12 -8

+ b3

73

27 -18 -38

1

-21

9

19. 6 , = b3

18. No hay restricciones

+ b,,

b2 = 26,

22. a) sólo la solución trivial x 1 = x, = x3 = x4 = O; invertible b) Intinidad de soluciones; no es invertible

-35


1. a)

2. a)

[’ y] [“ -:I [ 0

b)

4 4

10

b) A z = rl

oi,O], o

o o & 4.

b), c)

5. a)

8. a) No conmuta

[ F] -1

b)No es invertible c)

-1

-2; 60

I::

I:]

20

-16

A”-r

9” O O

o o

’

\

:],

3k O *O] 0

A-.=[:

o o

16

6. u = 11,b= - 9 , c = - 1 3

b) Conmuta

10. a)

[i

4k

7. ~ = 2 , b =- 1

; O

-

$ 0 - 0 b ) [O i

61

-

O 0 1

7

/’ “__

.

-

+ 6,

+

668 / Respuestas a los ejercicios

11. a)

[:!: 1::

3 0 0 5 O]

1::][0

O

a32 a33

O

c) Es simétrica

20. a) Es simétrica b) No es simétnca 24.

a) x , = $ , x , =

-*

¡,x,=

IY. n -2( I + n )

b) No

7

b) x , = - + , X , =

d) No es simétrica -3

-$,X,=

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DEL CAPíTULO 1 (Página 102) I. x ' = i x + + y , y ' =

-+x+$

2. x ' = x c o s ~ + y s e n ~ , y ' = - x s e n ~ - ~ . i v c o s ~ 4. 3 monedas de 1 centavo, 4 de 5 centavos y 6 de I O centavos

3. Una respuesta posible es x, - 2x, - x3 - x, = o x, 5x2 2x, = o

+

+

S. x = 4, y = 2, z = 3

b)a#O,b=2 d)a=O,b#2

7. a) a f O , b # 2 C) a = O , b = 2 -I,c= 1

10. a = 2 , b =

12. a) Z =

6. Infmidad si a = 2 o a =

[y:

ninguna en caso contrario

8. x = $ , y = 9 , 2 = +

11. a) X =

-::]X

--%

6

b) z1 = z2 =

0

Y.

IC=[:

:]

b) X =

1

-3i

-37

- X , - 7x2+ Ilx, 1 4 ~ , lox2 - 26x3

+

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 2.1 (Página 114) I.

a) 5

b) Y

2. Impar a)

3. 22

c) 6

d) 10

b) Impar c) Par S. S2

4. O

d) Par

e) Par

f ) Par

7. a Z - 5 a + 2 1

6. - 3 f i

12. -c4+c3-16c2+8c-2 16. 275

f) 2

e) O

13. a) a = 1 , a = -3

17. a) = - 120

b) = -120

3

18. x="--

b)

a=

t

m

10. - 4

9. -65

8. O

11. -123

-2,~=3,a=4

4

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 2.2 (Pagina 120) I.

a) -30

7 . 33

b) -2

8. 39

Y. 6

c)

O

d) O 10. -Q

3. a ) - S

b) - 1

I t . -2

12. a) - 6

c) 1

4. 30

b) 72

c) - 6

5. 5

6. -17

d) 18

Respuestas a los ejercicios / 669 EJERCICIOS DE LA SECCIóN 2.3 (Página 129j 1.

a) det(2A)= -40=2'det(A)

b) det(-2A)=-208=(-2),det(A)

2. det A B = - 170 = (det A)(det B ) 4. a) Invertible b) N o es invertible c) No es invertible d) No es invertible

S. a) - 189 b) - f c) 12.

a)k=-

5 2 m 2

-3

d)

b) k = - 1

- & e)

6. Si x = O, los renglones primero y tercero sonproporcionales. Si x = 2, los renglones primero y segundo son proporcionales

7

14. a)

[""

c) ["3

-2

a-2][::]=[:] -1

at-3 -I


I["'] 1 3 x,

=

"

Respuestas a los ejercicios

670

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DEL CAPíTULO 2 (Página 145)

13. a) Deben intercambiar las columnas i-ésima yj-ésima. h) L a i-ésima columna se debe dividir entre c. c) I,a~-ksimacolumna se debe sumar "c veces a la i-ésima colu~nna 1%

18.

a) k3 + ( - a l l

A=

a)

-

~ +u

a22- a33)12+ ( a l l a 2 ,+ u11a33 + u22a33 - a 1 2 ~-2 a1 1 3 ~-3 u1 ~ (alla23a32 + 412u21u33 + a13a22u31 - u11a22a33 - a12u23u31

I-:],[y],

-5,1=2,1=4;

[I":]

b)

A=

[-!]

I;

~

~

)

~

- u13'21432)

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 3.1 (Página 157) +

3 . a) PIP2= ( - I ,

-

P

- 1)

b)

e ) s = ( - 5 , 12, -6)

P1P2=(-7,

6. a) ( - 2 , 1, -4) d) (80, -20, - 80) 8. c , = 2 , c 2 = - l , c , = 2

c)

f) P I P 2 = ( l r-1, -2)

4. a) Q(5, IO, - 8) es una respuesta posible. b) Q( - 7 , - 4, - 2) es una respuesta posible.

p,p;

= (2, 1) + g) P,P, = ( - a ,

-2)

d)

- b , -c)

h)

b) ( - 10, 6 4 ) c) ( - 7 , 1, 10) e ) (132, -24, - 72) f) ( - 7 7 , 8, 94) I O . c, = c, = c 3 = o 1 1 . a)

2

7 . x = (-9,

(3, -i, -f)

'

-9

2. a)

b)

fl

3. a) V%

1. k =

fl b) 2b)

*x 4

c) 5

d ) 2~

b)x= - l , y = 3

2

c)

f) 6

e) 3V%

d) 3 f l

fi+ac ) 4 f i

d

)

a

e)

(-

3

8. Una esfera de radio 1 con centro en (xo, y,, z 0 )

6

-

--)m 4

t, 9)

12. a) x' = 5,y' = 8

L)

4,4

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 3.2 (Página 162) a) 5

= (a,b, c)

5 . a) P( - 1, 2, - 4) es una respuesta posible. b) P(7, -2, -6) es una respuesta posible.

b) (23 4 ,

1.

p,p; = (a, b)

f) 1



11.

4v5

b

6. a)

b)

5

c)

18

-

m

x 43

d)

9. a) 102

m cos e, = 3 m , 3 ', 10

e, = -,10

COS

12. Elángulorecto

=O

COS

b) 1252/5

c) 170

d) 170

está en B.

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 3.4 (Página 187) b) ( - 14, -20, - 82) e) (-44, 55, -22)

1. a) (32, -6, -4)

d) (O, 176, -264)

2. a) (18, 36, - 18) 8. a) -10 II.

a) No

13.

(-,

b) Sí

c) No

-),4

m m'a a

17. a) -

2

b)

a 3

fi

3. a)

9. a) -3

b) -110

-- 3

6

b) (-3, 9, -3)

C) (27, 40, -42) f) (-8, -3, -8)

b) 3

d) -3

c) 3

c) O

b)

e) - 3

4. a)

b ) m 2 10, a) 16

f) 0

b) 45

12.

(--,-

3

19. a)

-

6

m

1 2 m 16* 49

15* 2 ( v x u )

2

23. a ) m = ( O , l , O ) y n = ( 1 , 0 , 0 )

--

m

m

b)

3

b)(-l,O,O)

21. a)

m

c)(O,O,-I)

b) 0

-

40'19

28.(-8,0,-8)

31. a ) j

b)&

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 3.5 (Página 198) 1.

a) -2(x + 1) + (y - 3) - (z + 2) = O b) (x - 1) 9(y - 1) 8(2 - 4) = O c) 2z = o d)x+2y+3z=O

+

+

2. a) - 2 x + y - z - 7 = 0 b)~+9~+&-42=0 c) 2z = o d)x+2y+3y=O

3. a) (O, O, 5) es un punto en el plano y n = (-3, 7, 2) es un vector normal de modo que -3(x - O) + 70, - O) + 2(z - 5) = O es una forma punto-normal; otros puntos y otras normales producen otras respuestas correctas.

672

1


4. a) 2y

-

z

+ 1=o

b)

X

+ 9V - 5z - 26 = O

S. a) No son paralelos

b) Son paralelos

c) Son paralelos h . a) Son paralelos X.

7. a) No son perpendiculares b) Son perpendiculares

b) No son paralelos

a) Son perpendiculares

b) No son perpendiculares

11. a)

X = -12-7t,y= -41 - 2 3 t , z = t b)x=$t,y=O,z=t

10. a ) x = 5 + t , y =- 2 + 2 t , z = 4 - 4 t

b ) ~ = 2 t , ~- t~, Z== -3t 12.

9. a) x = 3 + 2 t , y =- I + t , z = 2 + 3 t b)x= -2+6t,y=3-6t,z= -3-2t c) x = 2 , v = 2 + t , z = 6 d)x=t,y= -2t,z=3t

+

a) (-2, 4, 1) .(x I , y - 2, z - 4) = O b)(-l,4,3).(X-2,;,~+5)=0 c) (-1,O,O).(.x-5,y+2,z])=O d) (a, h, C) * (x, Y , Z) = 0

13. a) Son paralelos

b) No son paralelos

15. a) (x,y, z) = ( - 1, 2, 3) + t(7, - 1, 5) ( - m < t < +m) b ) ( x , y , z ) = ( 2 , 0 , - l ) + t ( l , 1, 1) ( - m < t < +m) c) (x,y,z)=(2,-4,l)+t(O,O,-2) (--co
14. a) Son perpendiculares

b) No son perpendiculares

d ) (.x,~v, Z ) = (O, O, O) 17. 2 ~ + 3 y - 5 ~ + 3 6 = 0

b) x-x,=O

19. a) z - z o = O

22.

18. a)

(-y, -9,y)

z=O

b) y = O

c) y - y , = O

23.y+22-9=0

27. x + ~ v + ~ z1 8- = 0

+ t ( ~b,,

(-m

C)

c) x = O

20. 7 ~ + 4 y - 2 ~ = 0 21. 5 ~ - 2 ~ + ~ - 3 4 = 0

24. x - y - 4 ~ - 2 = 0

28. ( ~ - 2 ) + ( y + I ) - 3 ( ~ - 4 ) = O

26. x = % t - 2 , y -=% t + 5 , z = t 29. 4 ~ + 1 3 ~ - ~ - 1 7 = 0

30. 3 ~ + 1 0 ~ + 4 ~ - 5 3 = 031. 3 ~ - ~ - ~ - 2 = 032. 5 ~ - 3 , ~ + 2 ~ - 5 = 0 3.3. 2 ~ + 4 v + 8 ~ + 1 3 = 0 36. ~ - 4 ~ + 4 ~ + 9 = 307 .

3)

b) 39. a)

42. a)

$

b)

x-3

-q1g

c)

4

z + y3 - x3 + 22 - 2 I =3

-y+ -2

40.

a)

b) -6

1

2

m

b) O

C)

x=g+&t,.Y=-#-$t,Z=f X = -$t, y = O, z = t

2 -

6

-

-

2

6

43.

a) X - & 1 7 = 0 y x + 4 z - 2 7 = 0 esunarespuestaposible b) x - 2y = O y - 7.v + 2z = O es una respuesta posible.

44.

a) 0

-

35"

b) 0

-

79"

45. 0

-

75"

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 4.1 (Página 215) I. 2.

a) ( - 1 , 9, - 11, 1) d) (-90, -114,60, -36)

(g,d,$,g)

h. a)

m

3.

b)

(-13, 13, -36, -2) f ) (27, 29, -27, 9)

b) (22, 53, - 19, 14) e ) (-9,-5,-5,-3)

~,=1,c,=I,c,=-I,c,=1

m +V%

c) 4V'%

+m)

d)

C)

5. a)

m

e)

b)3 1

c) 13 2

d ) f i

di 3 v 5 3V5'3di

Respuestas a los ejercicios 1 673

8. k =

r$

11.

a)

14.

a) Si

9. a) 7

c) 7

b) 14

b) 2-

c)

b) No

c ) Sí

fi

d) 11

10. a)

d) 10

d) No

15. a) k = -3

f) Sí

e ) No

19. x , = ~ , x , = -l,x3=2

16. S $ ( - 3 4 , 4 4- 6, , l l )

b) k = -2, k = -3

20. -6

33. a) Medida euclidiana de la "caja" en R": a , a2 . . . a ,

+ a: +

b) Longltud de la diagonal: \'a?

' ' '

+ ai


2. a)

3.

4.

b) No lineal; R2 -+ R3 d) No lineal; R4 + R2

a) Lineal; R3 + R2 c ) Lineal; R3 -+R'

['

3

[i -1 a)

S. a)

[-P

- 1

b)

['

O]

o

8. a) (-1,-2)

13. a)

( (

c)

[-: I:]

d)

[I

0

d)

1

y

:]

1

1

1

[" :] O

O

-8

[I O

1

3 -- O] 1

b,

[

7

2 1

o -1

b)

c)

"1

-

o

[

d)

O 1

O

+

+ 4x, 3x, + 5x2 + 7x3]

-2x,

6x1

x2

-

d)

x3

[

-x,

+

2x, 7x,

+ 4x2]

O

O 1

O -1

x2

+ 8x2

(b) T(2,1, -3)=(0, -2,O)

(b) (1,2)

3fi2 +4,3

~

1 2 1 5 O]

O

a) (2,O) (b) (O, - 5 )

12. a)

[:-1 111

c) [l

1

[ :] [ -

b)

I : ] ; T ( - 1 , 2 , 4 ) = ( 3-, 2-, 3 )

7. a) T ( - 1 , 4 ) = ( 5 , 4 )

IO.

'1

1

[: -:] 1

6. a)

o0

"35

1 0 0 0

-y

c ) (2, - 1 )

11. a) (-2, 1,O)

___

+tfi)

-2, ",", ___

9. a) (2,

-5, -3)

c) (O, 1, 3)

b) ( - 2 , 0 , 3 )

?v5

3 - 4 v- 3 f i - 4

b) (O, 1 , 2 v 5 )

b) (2, 5, 3)

c ) (-1,

-2,2)

-v5

c) (-2, - 5 , 3)

674

Respuestasa los ejercicios

15. a)

(

-2,-

v 5 + 2 -1+2v5 2

'

2

b) ( - 2 l h , I , O)

c ) (1,

2. 2)

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 4.3 (Página 252) 1. a) No es uno a uno

e) Esuno auno

b) Es uno a uno c) Es uno a uno f) Esunoauno g) Esunoauno

3. Por eJemplo, el vector (1, 3) no está en el dominio. J.

Por ejemplo, el vector ( I , 6,2) no está en el dominio

d) Es uno a uno

Respuestas a los ejercicios / 675 S. a) Es uno a uno;

-!I

[! 3

[

o

-1

[I

1

-2

c) Es uno a uno, -

6 . a) Es uno auno,

; T-

5

,(MI,,w2)= (+x, - $x,

o ] ; T P L ( w , w,) ,

+xl

+ $x2)

-xl)

= ( -X,,

b) No es uno a uno

d) No es uno a uno

4

I:]; T"(w,,

w2,w3) = (x, - 2x,

+ 4x3, - X I + 2x2 - 3x3,

-X1

3% - 5x3)

d) No es uno a uno

b) Rotaciónporelánguio - n/4. d) Reflexión con respecto al plano yz

7. a) Reflexión con respecto al eje x. e) Contracción por un factor de f e) Dilatación por un factor de 5.

.

8. a) Lineal

b) No lineal

c) Lineal

d) Lineal

9. a) Lineal

b) No lineal

e) Lineal

d) No lineal

10. a) Lineal

b) No lineal

12.

11. a) Lineal

a) Para una reflexión con respecto al ejey. T(e,)=

[

b) No lineal

[J

b) Para una reflexión con respecto al plano xz. T(e,)= O r1

I

Por tanto, T = O

Lo

y T(e,) =

T(e2)=

I.

0

11

[-!)

[-:P]

y ve3)=1].

[A] [:l. y í-(e,)=

d) Para una proyección ortogonalsobre el plano z. T(e,)=

e) Para una rotación en un ángulo positivo 0, T(el) = cost) -sen% sen% COS e

[

Portanto, T =

0 01 -1 O

C) Para unaproyecciónortogonal sobre el eje x. T(e,)=

Por tanto, T =

[y].

1.

I

Portanto, T =

[b :].

676 i Respuestas a los ejercicios

L:i 111

f ) Para una dilatación por un factor k 2 1, T ( e , )= O , T(e,) = k

b) T(e,) =

[a], [!I, [!l. y T(e,)

T(e,) =

16. a) Transformaciónlineal de R 2 + R 3

[:I

Ix.

a)

a=

1;

ti).

a)

L=

1;

a=

- 1;

b)

a= 1;

[!] [!] [i] y

[:I

c)

a=

b)L= I;

L = o;

=

1

Portanto, T = [O

[i]

d)

[i] [!I y

0

0

O

O]

=

[I O

. Por tanto, T =

L: : :I O

O 0 0

b)Transformaciónlineal

1;

, T(e,)

de R3 + R 2

L = 3; todos los vectores en R2 son eigenvectores

k

O


EJERCICIOS DE LA SECCIóN 5.1 (Página 263) 1. No es un espacio vectorial. No se cumple el axioma 8.

2. No es un espacio vectorial. No se cumple el axioma 10. 3. No es un espacio vectorial. No se cumplen los axiomas 9 y 10. 4. El conjunto es un espacio vectorial bajo las operaciones dadas. 5. El conjunto es un espacio vectorial bajo las operaciones dadas.

6 . No es un espacio vectorial. No se cumplen los axiomas 5 y 6. 7. El conjunto es un espacio vectorial bajo las operaciones dadas. 8. No es un espacio vectorial. No se cumplen los axiomas 7 y 8.

9. No es un espacio vectorial. No se cumplen los axiomas 1, 4, 5 y 6. 10. El conjunto es un espacio vectorial bajo las operaciones dadas. 11. El conjunto es un espacio vectorial bajo las operaciones dadas. 12. El conjunto es un espacio vectorial bajo las operaciones dadas. 13. El conjunto es un espacio vectorial bajo las operaciones dadas.

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 5.2 (Página 274) 1. a), c)

2 b)

3. a), b), d)

3 6. a) Recta, x = - L t , y = - -t, z=t 2 2 b) Recta; x = 21, y = t, z = O

C) El origen d) El origen e) Recta; x = -3t,y = -2t, z = t f) Plano; x -3y + z = O 7 . a), b), d)

4. b), 4 , e)

5. b) a),

/’

677


678 X.

a) ( - 9 , -7, - 1 5 ) = - 2 u + v - 2 w b)(6, 1 1 , 6 ) = 4 ~ - 5 ~ + ~ c) (O, o, O) = ou + ov ow c) d ) (7, 8, 9) = Ou - 2u + 3w

9.

+

a) - 9 - 7x - 15x2 = -2p, + p2 - 2p3 b) 6 + 1 I X + 6x2 4p, - 5p2 + pi o = op, + op, + op, d) 7 + 8~ + 9x2 = Op, - 2pZ + 3p3

b) Los vectores no generan. d) Los vectores generan.

11. a) Los vectores generan. c) Los vectores nogeneran.

12. a), c), e)

13. No

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 5.3 (Página 285) 1. a) u2es un múltiplo escalar de u , . c) p2 es un múltiplo escalar de p l . 3. Ninguno

2. d)

4. d)

S. a) No están en un plano. b) Están en un plano.

7 . b)

17:Si

V , = $v, -

b) Por el teorema 5.1.3, los vectores son linealmente independientes d) B es un múltiplo escalar de A .

6. a) No están en la misma recta. b) No están en la misma recta. c) Están en la misma recta.

+,, v2 = f ~ +, $v3, v,

=

-&, + gV2

8.

a = -1 a = 1 27

y sólo si el vector es diferente de cero.

18. a) Son linealmente independientes porque vl, v2 y v3 no están en el mismo plano cuando se colocan con puntos iniciales en el origen. b) No son linealmente independientes porque v,, v2 y v3 están en el mismo plano cuando se colocan con puntos iniciales en el origen.

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 5.4 (Página 303) 1. a) Una base para R2 tiene dos vectores linealmente independientes. b) Una base para R3 tiene tres vectores linealmente independientes.

c) Una base para P2 tiene tres vectores linealmente independientes. d) Una base para MZ2tiene cuatro vectores linealmente independientes 2. a), b)

3. a), b)

7 . a) ( w ) = ~ (3,

-

7)

8. a) ( v ) ~ = ( 3 , -2, 1)

10. (A),= ( - 1, 1, - 1, 3 ) 12. Base: ( -&

4. c), d)

6. b) Dos vectores cualquiera v l , v2, v,

c) (w), = ( a , b) ( v ) = ~ ( - 2 , O, 1)

9. a) (pis = (4,

11. Base: (1, O, 1); dimensión= 1

-$, I , O), (O, - I , O, 1); dimensión = 2

-3,

1)

b) (PIS = (0,2, - 1)

SUS

SUS

Respuestas a los ejercicios / 679 13. Base: (4, 1, O, O), (-3, O, 1, O), (1, O, O, 1); dimensión= 3 14. Base: (3, I , O), ( - 1, O, 1); dimensión= 2 16.

Base: (4, -5, l);dimensión= 1

17.

15. No es base, dimensión = O

a)

(g,

c) (2,

1, 0),(-5,0, 1) - 1, 4)

18.

a) tndimensional 'b) bidimensional c) unidimensional

20.

4

{ v l , v2, e l ) o { v l , v2, e 2 )

b) (1, l , O ) , ( O , O , 1) d) (1, 1, O), (O, 1, 1)

19. tndimensional

b) {vl, v2, e l l 0 { v I 1v2, e21 0 { v I ,v2, e31

21. { v l , v2, eZre 3 ) o { v l , v2, e2, e41 0. { v , , v2, e3, e4) 26. a) Una respuesta posible es { - 1 + x - 2x2, 3 + 3x + 6x2, 9) b) Una respuesta posible es { 1 x, x2, - 2 + 2x2}. c ) Una respuesta posible es { 1 x - 3x2}.

+

+

27. a) (O, f i )

b) (1, O)

c) ( - 1, f i )

d)

( a - b,

fib)

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 5.5 (Pagina 319)

1. r l = ( 2 , - 1 , O , l ) , r 2 = ( 3 , 5 , 7 , - 1 ) , r 3 = ( 1 , 4 , 2 , 7 ) ; c l =

3. a)

[;:]=[:I-[-:]

[:I

3 ,c2=

b) b no es el espacio columna de A

[-I

[I1 [-!I

5 ,c3= 7 ,e4=

680

/


O 1

b) rl = [l

-3

c) rl = [ I

2

d) rl = [l 2

O

4

1 O

O], r,=[O

1

51, r z = [O

-3

O], cI =

[;]M [-;]

O], r3 = [O

[-;Ilc4=[-,1

- 1 51, r2 = [O

1 4

31, r3 = [O

O

1

-31, r,

=

[O

O

O

I],

O 1 -7],r4=

[O

O

O

I],


EJERCICIOS DE LA SECCIóN 5.6 (Página 333) 1. Rango ( A )= Rango (AT)= 2 2. a) Nulidad = 1, rango = 2; n = 3. c) Nulidad = 2, rango = 2; n = 4. e) Nulidad = 2, rango = 3; n = 5 . 3. a) 2; 1

b) 1; 2

4. a) 3; 3; O; O

c) 2; 2 b) 2; 2; 1; 1 f, O; o; 4; 4

e) 2; 2; 3; 7

b) Nulidad = 2, rango = 1; n = 3. d) Nulidad = 3, rango = 2; n = 5.

d) 2; 3

e) 3; 2

c) 1; 1 ; 2 ; 2 g) 2; o; 4

5. a) Rango = 4, nulidad = O b) Rango = 3, nulidad = 2 6. Rango = &(m, n), nulidad = n - mín(mj n )

7. a) Sí, O b) No c) si, 2 d) Sí, 7

d) Nulidad = 7, número de parámetros = 7 e) Nulidad = 7, número de parámetros = 7 f , Nulidad = 4, número de parámetros = 4 g) Nulidad = O, número de parámetros = O

sí, 4 si, 0

9. b , = r, b, = S, b,

c) Rango = 3, nulidad = 0

8. a) Nulidad = O, número de parámetros = O b) Nulidad = 1, número de parámetros = 1 c) Nulidad = 2, número de parámetros = 2

e) No

f, 8)

d) 2; 2; 7; 3

= 4s

- 3r, b, = 2r - S, b, = 8s - 7r

12. a) Rango ( A ) = 1 si t = 1; rango ( A ) = 2 si t = -2; rango ( A ) = 3 si t = 1, -2 b) Rango ( A ) = 2 si t = 1,312; rango ( A ) = 3 si f f 1,312

682 / Respuestas a los ejercicios 13. El rango es 2 si r = 2 y s = 1

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DEL CAPíTULO 5 (Página 335) 1. a) Todo R3 b) Plano: 2~ - 3 y + z = O c) Recta: x = 2t, y = t, z = O d) El origen: (O, O, O)

2. Una recta que pasa por e1 origen: S = -2 Un plano que pasa por el origen: S = 1 Sólo el origen: S f 1, -2 Todo R3;ningún valor de S

3. a) 4 4 , 1, l)+b(O,-1,2)b) ( u + c ) ( ~ ,- 1 , 2 ) + b ( 1 , 4 , 1) C) a ( 2 , 3 , 0 ) + b ( - l , 0 , 4 ) + ~ ( 4 , -1, 1)

S. a) v = ( - 1 + Y)V,+ (3 - r)vz + rv3; cualquier r

7. No

6. A debe ser invertible

9. a) Rango = 2, nulidad = 1 b) Rango = 3, nulidad = 2 c) Rango = n + 1, nulidad = n

8. a) Rango = 2, nulidad = 1

b) Rango = 2, nulidad = 2 c ) Rango = 2, nulidad = n - 2 1 1 . (l,x2,x3,x4,x5,x , .6. . , X")

12. a ) 2

b) 1

c)2

13.0,1,0

d)3

2

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 6.1 (Página 350) a) 2

b) 11

c ) -13

3. a) 3

b) 56

4. a)

I.

d) - 8 -

29

e) O

b) - 15

2. a) -2

5 . b) 29

b) 62 6.

c) -74

d) 8

e) O

b) - 42

7. a) 9. a) 10. a)

13. a) 17. a) x2

y2

18. a) "+"=I 4 16

19. (u, v ) = c , v ,

+ u2vz

22. No se cumple el axioma 4.

27.

a)

-E

b) O

28. a) O

b) 1


EJERCICIOS DELA SECCIóN 6.2 (Página 363) 1. a) Sí

b) No 1

3. a) --

v5

c ) Sí

3 m

b) --

c) O

f) Sí

e ) No

d) No

4. a) O

16. a)

[

b)

[E], [a]

12.y= -$x

c)

[I:],

-

3

1o

vi

b) k = -2, k =

13. a) x = t , y = - 2 t , z =

[! 1.

33. (u, v ) = tu,v,

19 6. a) - b) 0

b) O

7. a) Ortogonales b) Ortogonales 8. a) k = c) Ortogonales d) No son ortogonales Y. -t#7(-34,44, -6, 1 1 )

2. No

-1 -1 1

O O

+ Qu,v,

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 6.3 (Página 380) 1. a), b), d)

2. b)

3 . b), d)

4.

b), d)

S. a)

6.

-

3 -3t

b) 2 x - 5 y + 4 z =

O

684

/'


r l

r 1

11

24. a)

L

1 -

v5

v5

1 -

d)

v5 O

f) Las columnas no son linealmente independientes 1 29. v I = -,v2

a

v5

=-

=

+ x + 4x2 = g V 5 vi + &% V5 2 - 7x2 = --

30. a) 1 b)

3

V , - g q g " ,

v2

+

v3 c) 4 + 3 x = 4 v 5 v , + v z v 2

31. v, = 1, vz = d ( 2 x - l), v3 = d 5 ( 6 x 2 - 6x + 1)


S 1

Respuestas a los ejercicios / 685 2. a) O; los vectores columna no son linealmente independientes. b) O; los vectores columna no son linealmente independientes.

4. a)

(%,E,#)b) (-5,

5. a) (7,2, 9, 5)

-4, -9)

6. (O, - 1, 1, 1)

7. a)

[::] [:y ]

8. a)

b)

b)

(-y, -j,V,F)

[A : "1 [:y :] b)

O 0 1

O 0 1

9. a) v I = (1, O, - 5), v2 = (O, 1, 3)

b)

[

10

55

3%] [ [-;$ -i]

43 "3%

44x0

c)

"

36

35

4

IO.

a) v I =(2, -1,4)

b)

21

+ %Yo

- &o

4E 15

+ %YO + b o ] - 35x0 + &Yo + %o %O

2

-3i

"

21

8 -

-

&x0 C) [-&X,

21

15. P=AT(AAT)"A


- &Yo

+ #izo

+&Yo-&zo]

&x0 - &Yo

+ &o


18. a) 19.

( t f i ,3v5,5)

a) (-&$u5,2,

20. a) ( - l , b & $ v 5 )

cos 0 O 21.

a) A = [

O

1

sen0 O 23. u'

+ b2 =

$a,3) $--$a) (b) ( l - & b , 6 , -$-ifi) (b) (1, -ia,:fi) b) ( --$v5,

-sení3

1

O cos O

-

O ,)A=[:

26. a) Rotación

O

cos0 se:0] -sení3 cosí3

b) Rotación

27. a) Rotación seguida de una reflexión b) Rotación

u 22.

2

5

12

O

" 4

4

2

"

v5 -f i a


12. b) Las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares si y sólo si los lados del paralelogramo tienen la misma longitud. 2

1 c = -;

16. a = O, b = --,

no son ímicos

G V 5


c)

b)a2-8a+ 16=0 e) L2 = O

a) A 2 - 2 A - 3 = o d)A2+3=0

2. a) L = 3 , L = - 1 d) No hay eigenvaloresreales

C) a

b)a=4 e) 1= O

3. a) Baseparaeleigenespaciocorrespondiente

a2-

f)

= m , a = -VE

=1

a A = 3:

[;] ;

base para el eigenespacio correspondiente a A = - 1:

b) Base para el eigenespacio correspondiente a

4. a) a3- 6L2 + 1 1 1 - 6 = o c) v + g a 2 + + + 8 = 0 e) a3- 6a2 12L - 8 = o

+

a = 1:

-v5

[+(I5 +15fi)

;I=fi:base

a A = O:

b)a3-2a=o d)a3-a2-a -2=0 f) A3 - 2L2 - m + 36 = o

5. a) a = 1 , a = 2 , ; 1 = 3 b) a = o , n = f l , a = d ) a = 2 e) a = 2 f) a = - 4 , a = 3

i

[-"I

a:

e) Base paraeleigenespaciocorrespondiente

f) Base para el eigenespacio correspondiente a

[:I

[+I;

a:

base para el eigenespacio correspondiente a 1= -

b) A = O : base

[PI

[t ]

a = 4:

c) Base para el eigenespacio correspondiente a L =

d) No hay eigenespacios.

12=0

f) a 2 - 2 a + 1 = o

+(-1 + 2 f i )

1

C)

a = -8

;I-= a:base

[+(I5 -:fi)] $(-1 - 2 ~ 5 )


[It]

d ) .=?:base[

f ) A = -4: base [-!];A=':

base[-;j

c) il= - 8: base

7 . a)

x.

9.

a)

(a - 1)2(n+ 2)(il+ a=I,a= -2,a=

a) A. = I : base

13. a ) y = x

c)

[i]

y y=2x

I) =

o

b)

)]

e) L=2:base

[I!]

(a - 4)2(i12+ 3) = o

b) i l = 4

-1

y [:];A=

-;];A=

-l:base[

c) y = O

14. a ) - 5

-2;base[

b) Nohayrectas

-:]

3'

b) A'="[.

O

b) 7

a, = 3:

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 7.2 (Página 435) 1. 1 , 2 o 3

2. a) 1 = 3,A = 5 b) Parda = 3, el rango de 31 - A es 1 y la nulidad es 2. Para1 = 5, el rango de 51 - A es 2 y la nulidad es 2. c) .4 es diagonalizable, ya que los eigenespacios producen un total de tres vectores básicos. 3. No es diagonizable

4. No es diagonizable





10. p = [

O 1 01

-1

o

0l ] ; P - ' A P = [ OO 1 0 O] 0

1

O 0 2

[A y :]

21. A" = PD"P"

b)

30 o] 0

O 0 2 14. No es diagonizable

1y :] [A 1: c)

o

O 0 1

O 0 1

3

A];P-'A.-[.

1 0 0

13. F =


20. a)

y

ll.P=["i

:] [E d)

-1

o

"1

-1

=

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 7.3 (Página 441) 1. a) b) c) d) e) f)

A2 - 5A = O; A= O: unidimensional; A = 5: unidimensional A3 - 2 7 A - 54 = O; A = 6 : unidimensional ; A = - 3 : bidimensional A3 - 3A2 = O; A = 3 : unidimensional ; A = O: bidimensional A3 - 12A2+ 3 6 A - 3 2 = O; A = 2: bidimensional,;A = 8: unidimensional A4 - SA3 = O; A = O: tridimensional; A = 8: unidimensional A4 - SA3 + 22A2 - 24A+ 9 = O; A = 1: bidimensional; A = 3 : bidimensional

; P"AP=

[:i]

5. P = [

-a y :];

P"AP=

s o 2

['H

O -3

O

:]

-50


690

I

o

-

o

\%

o

0

1

0

v5 1

25

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DEL CAPíTULO 7 (Página 442) 1. b) La transformación rota u11 h g u l o 0 los vectores; por consiguiente, si O < 0 < x , entonces ningún vector diferente de cero es transformado en un vector en la misma dirección o en dirección opuesta. l

750 375 A4

=

[ SO], 125

=

i

0

3 . c) [O 2 1 1 0 0 3

2. L=kconmultiplicidad 3.

[

1875 625

A 3 = [ 2 575

Y. A * = [ ' :

3750

o],:,


-3 -15

150 50]. -8

10

IO

-24

15


+ 9x2 + 24x3, 14x1

15. T(x~,X,,

X-,)

= (-41x1

16. T(2vl

3v,

+ 4 ~ 3 =) ( -

17. a) b) c) d)

-

+d

6)

0

0

R2; espacio imagen: R2; (T-, T2 0 T,)(x, y) = (3x - 2y, X) R2; espacio imagen: la recta y = $x; ( T3 0 T, Tl)(x, y) = (4y, 6y) 0

b) Dominio: U

- 7,

3x2 - 8x3); T(7, 13, 7) = (-2, 3)

R2;espacio imagen: R2; (T20 Tl)(x, y) = (2x - 3y, 2x + 3y) R2; espacio imagen: la recta y = gx; (T2 Tl)(x, y) = (4x - 12y, 3x - 9y) R2; espacio imagen: R2; (T2 í“,)(x, y) = (2x + 3y, x - 2y) R2;espacio imagen: the line x = O; (T, 0 Tl)(x, y) = (O, 2x)

Dominio: Dominio: Dominio: Dominio:

18. a) Dominio:

19. a)

10,

-

0

b) (T, 0 T,)(A) no existe porque T,(A) no es una matriz 2 X 2.

20. (Tl O T,)@(X)) = PW; (T2 TI )@(x)) = P(X) O

22. (T, 0 T,)(u,

21. T,(v) = ;V

26.

b) (3T)(xI,

27. b) (TI 28.

X*)

= (6x1

U,X

- 3x2,3x2

+ TZ)(X,y) = (3.~3 4x1;

b) No lineal

+

29. a) 4

(T2

+ a2x2)= (uo-tc 1+ uz)x + (ul + 2u2)x2+ u2x3

+ 3x1) - T~)(x,Y) = (Y, 2x1

b) 3415

c) 1

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 8.2 (Página 466) l . a), c)

3. a), b), c)

2. a)

4. a)

5. b)

c) No existe base.

10. a)

11. a)

[i],[p] [-91 b)

[i] [:],[!I ‘b)

c) Rango ( T ) = 2; nulidad ( r ) = 1

c) Rango(T)=l;nulidad(T)=2

692 / Respuestas a los ejercicios 15. ker(T) = { O } ; R(7') = V

14. a) Rango: Plano xz,espacio nulo; ejey b) Rango: Plano yz; espacio nulo; eje x

c) Rango: Plano y = x , espacio nulo; la recta x = - t , x = t, z = O 16. a) Nulidad (7') = 2 c) Nulidad (I?= 3

17. Nulidad (I") = O; Rango (7')

b) Nulidad ( T )= 4 d) Nulidad ( r ) = 1

=6

18. a) Dimensión = Nulidad ( r ) = 3 b) No. Para que A x = b sea consistente para todo b en R5, se debe tener R(7') = R5. Pero R(r) f R5, ya que

rango (7') = dim R(73 = 4

25. ker(D) consta de todos los polinomios constantes.

26. ker(J) consta de todos los polinomios de la forma h.

27. ker(D o D)consta de todas las funciones de la forma ax + b.


a) ker(T)=(O};7esunoauno.

b) ker(T)={X[-:]];

c)ker(T)=

d) ker(T)= { O } ; T e s u n o a u n o

d) T"

{ O } ; Tesunoauno.

[I.] [-::::::y:: ] =

:I}

-

{

5.

a) ker(T) = k [

6.

a) ker(T) = { O }

-

7 . a) T e s u n o a u n o . 8.

a) T es uno a uno.

1 0 . a)

4x, - 5x,

Tnoesunoauno

4. a) No es uno a uno b) No es uno a uno c ) Uno a uno

+ 2x,

b) T no es uno a uno porque ker(T) # { O }

b) T es uno a uno por el teorema 8.3.2.

b) T n o e s u n o a u n o .

t) T es unoauno.

c) Tnoesunoauno.

d) Tnoesunoauno.

9. No. A no es invertible.

Tno es uno a uno. b) T"(x,, x2,xj, . . . , x,,) = (x,,, x,c) T - y x , , x 2 , x 3 , . . . ,x,) = (X", X I , X,? , . , >x,- I )

I,

x , - 2 . . . . , xl)


15. a) (1,

- 1)

d) T"(2, 3) = 2

17. a) Tno es uno a uno.

c ) Tesunoauno. T-'

+X

b) T es uno a uno. T"

[::I=[; ;.I 20. J no es uno a uno porque J(x) = J(x3).


694

/


+ SX',

b, T:~I) = 16

+ 5 1 +~19x2, T(v,)

c) T(a, + u,x

+ u2x2)= 2 3 9 ~ 1~246 1 +~ 2~ 8 9 +~ ~

d) T( 1

+ x')

= -6

-

5x

-

11 :]

= 22

12. a) [T,oT,],,,,=

+

T(v,) = 7 + 4 0 ~ 15x2

+

2 -0 1 ill^, ~ ~ 247~2 61~0

+ 56x + 14x2 2

1 1 1 4 , [ T 2 I B . =[oO o2 4 , [ Tl BI ' , B = [ i

S]

-

3

X+

8

b,

~

T

1

+~1 0~7 ~

X2

12

Z

a

T

~

~

B

~

,

B


1 4.

0

0

-; 1

0

0

-~],[*lB,=

1

4

[-; -;

-%I

s. [TI,=

[ ] [ ] o 0

1 o ,[TI,,= 0 0

o

1 1 O 0 0

~

~

T

~

~

Respuestas a los ejercicios / 695 1

1

1

O 2 4

6

8

O 0 0

8 3 2

donde B es labase normal b) T es uno a uno de P4;rango(T) = 5 y nulidad

O 0 0

O 1 6

( r ) =O.

1

c) u; = 13. a) il=

14. a)

[í‘IB

10. a)

8. a) det(T) = 17 b) det(T) = O c)det(T) = 1

1

=

, u; =

[ij, [!I, [-PI u; =

-

4, a = 3

a= I, a=

-2,

u;

=

b) Rase para el eigenespacio correspondiente a a = - 4: - 2 + $x + x,; base para el eigenespacio correspondiente a J. = 3 : 5 - 2x + x’

a=

-1

b) Base para el eigenespacio correspondiente a base para el eigenespacio correspondiente a

a = 1:

a = - 2:

base para el eigenespacio correspondiente a 1 = 18. b)

-

1:

[-: 3 ;

[-::I

(3 + y ,G4+ 5)

-

~

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DEL CAPíTULO 8 (Página 508) 1. NO. T(x, + x’) = A(x, + x2) + B # (AX, T(cx) = cAx B f c(Ax + B ) = cT(x).

+

2. b) A”

=

i

cosn0 -senno senno cosn0

+ B ) + (Ax, + B ) = í‘(x,) + í‘(x,),

1

5. a) T(e,) y dos cualquiera de í‘(e,), T(e,), y

T(e,) constituye una base para el rango; ( - 1,1,

es una base parael kernel. b) Rango = 3 nulidad = 1 6 . a)

(-4,

--Y, 11,

y si c # 1, entonces

b) (1,0, 0) y (-2, 1, O)

7. a) Rango ( r ) = 2 y nulidad ( T ) = 2

b) T no es uno a uno.

O, 1)

696


/'

1 0 0 0

1 1 . Rango = 3, nulidad = 1

13.

14. a) v, = 2u, + u,, v, = - u 1 + u, + u3,v, = 3u, + 4u, + 2u, b) uI = -2v, - 2v, v3, u, = 5v, + 4v, - 2v3, u3 = -7v, - 5v,

+

A oy

-4 15. [ T I E = [ 19.

[l!]

..

..

+3

d) - 3 2

1

o

e)

-1

-2 -1

~

o 1 o o ." o o 1 o ." o o o 1 ." ..

A]

-1 17. [Z']B=[!

c) e'

b) x

20. a)

-y]

+ 3v3

o o o 1 o o o 4 o

0O O

O

25.

..

o o o o '.' o o o o " '

.. .

1 O-

-o

" '

o o

" '

O

" '

O

$ '.. .. .. . .

O

o o ..'

1 n+l


a) y , = cle5"- 2c,e-" y, = c , $ x + c,e-"

b) y , = O y, = O

3. a) y , = --,eZ' + c3e3x y2 = clex+ 2c,e2" - c3e3" y, = 2c,eZ"- c3e3"

5. y

+ c2e-Z'

= cle3*

2. a) y , = cle7"- 3c,e-" y, = 2c,e7"+ 2c,e-"

b) y , = eZ'- 2c3" y, = ex - 2e2" 2e3" y 3 = - 2e2" 2e3+

+

+

6. y = c,eX+ c2e2' + c3e3"


b) y I - - 4L~ e y, =

+

7x+se-x - me 27 - X

4. y , = (c, + c2)e2" cje& y, = - c2eh c3eSx y, = - cleZ' c3e"

+ +


6. a) b) c) d) e) r)

Rectángulo con vértices en (O, O), (1, O), (1, -2), (O, -2). Rectángulo con vértices en (O, O), (- 1, O), (- 1,2), (O, 2). ). Rectángulocon vértices en (O, O), (1, O), (1, ), (O, Cuadrado con vértices en (O, O), (2, O), (2,2), (O, 2). Paralelogramo con vértices en (O, O), (1, O), (7,2), (6,2). Paralelogramo con vértices en (O, O), (1, -2), (1, O), (O, 2)

7. Rectángulo con vértices en (O, O), (-3, O), (O, 1). (-3, 1) 1 1

11. a) Expansión por un factor 3 en la dirección x. b) Expansión por un factor c) Deslizamiento cortante por un factor 4 en la direcciónx.

'1

o 12* a) [O

o

'][O

- 5 en la dirección y.

; expansión en la dirección y por un factor de 3, luego expansión en la dirección x porun

factor d e 2 ; oblongamiento en la dirección x por un factor de 4, luego oblongamientoen la dirección

; expansión en la dirección y por un factor de -2, luego expansión en la dirección x por un factor de 4, luego reflexión con respecto a y = x

d)

:][A :]

[1 y] [

-

; oblongamiento en la dirección x por un factor de -3, luego expansión en la direccióny por un factor de 18, luego oblongamientoen la direccióny por un

factor de 4

17. a ) y = f x

16. 1 6 y1-1 x - 3 = 0 18.

-I

[:-:] .

. ..

~

b) y = x

c)y=ix 1

19. b) No. A no es invertible.

. .. .

22. a)

d) y = -2x 0

0

698 1 Respuestas a los ejercicios 1 k O

d)

a=

1:

[A] e)

a=

1:[~]

f ) ( O entero imparmúltiplo de

T)

A=

--

1:

( O entero par múltiplo de x) A. = 1: ( O no múltiplo entero de

T)

no hay eigenvalores

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 9.3 (Página 542) 1. y = + + $ x

2. ~ = $ + Q x

4. y = - 5 + 3 x - 4 x 2 + 2 x 3

3. y = 2 + 5 x - 3 x 2

8. y = 4 - .2x +- .2x2;si x = 12, entonces y = 30.4 ($30.4 miles

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 9.4 (Página 550) 1. a) ( 1 + ~ ) - 2 s e n x - s e n 2 x

2. a)

4 ~ +’ 4 cos x + cos 2x +

b) $7r2+4 4.

4T

1 1 3. a) --+-eX 2 e-1

coskx k2

a) (4e- 10)+(18 -6e)x

3

cos 3x - 4 x senx - 23r sen 2x - -sen 3x 3

x--

k=l

+-

b) ( 1 + m ) - 2

b)

(3 - e)(7e - 19) 2

b)

1 12

3-e 2e-2

6 b) 1 - -

3 5. a) -x T

T 2


9

3. a) A = [ - :

4. a)2x2

-B

3

+ 5y2 - 6xy

-4 b)

b) 7x:

[-: 1

+ 5x,x,

-5

5

o +

9

c ) A = [ $1

c) x 2 - 3y2 + 5z‘

z

O1

:]

s O

8.

“ 2 -sen(kx) k

k= I

Respuestas a lcs ejercicios / 699 d)

- 2x:

+ 3x: + 7x1x2+ x1x3+ 12x2x3

5. a) valor máximo = 5 at -t (1, O); valor mínimo = 11

b) valor máximo =

valor mínimo =

-

+m

1 en -t (O, 1)

-1

2

11

-m

-1

2

valor mínimo =

d) valor máximo =

7-m 2

~

(

en*

3+m )

1

% 5 i z z ' -

I

7

(-,v3v%v% -, -) (-,v%v%v3 -, -) 1

6. a) valor máximo = 4en -t b) valor máximo = 3 en

1

2

1

-

c) valor máximo = 4 en?

7. b)

+ 2x1x3+ 2x,x4 + 2x,x3 + 2x2x4+ 2x3x4

e) 2x1x,

o,-

9. a)

11. a) Positiva def-mida. d) Negativa semidefinida.

*

2

1

; valor mínimo =

; valor mínimo = 0 en

A)

1

;valor mínimo = 2en-t

b) Negativa definida. e) Indeffida.

12. a) Indefinida. b) Indefinida. e) Positiva y negativa semidefinida.

-

c) Positiva semidefinida. f , Indefinida.

c) Positiva definida. f , Positiva definida.

d) Indefinida.

13. c) No. T(kx) # kT(x), a menos de que k = 1. 14. a) k > 4

b) k > 2

c)

-1 ___

1

n(n 16. a) A =

-

-1 n(n - 1)

-1 n

-1

-1

n(n

-

-&m
1)

-I

...

~

1) n(n - 1) -1 ~

n(n

-

1)

n(n

-

1)

. . . ___ n(n

-

1)

b) Positiva s e m i d e f ~ d a



3. a) 2x2 - 3xy+ 4y2

b) x z - x y

c) 5xy

d) 4x2 - 2y'

e ) y2

Respuestas a los ejercicios 1 701

f) Parábola 7.

a) 9x” + 4 ~= ‘36,~ elipse c) yf2= 8x’, parábola e) 18y” - 12x” = 419, hipérbola

b) x” - 16y” = 16, hipérbola d) x” +y” = 16, circunferencia f) y’ = -+x’2, parábola

8. a) fipérbola, ecuaciones posibles son b) 3x’2 - 2y’2 8 = o, - 2x’2 3y’2 8 = o

+

+

12. 6x”’

+ 1ly”’

elipse

= 66,

+

2 V w 2 9x’ - 7y’ = o, 2V5y12 7x’ 2 v 5 y Q - 7x’ - 9y’ = o, 2v5Xf2 - 9x’

+

4-p

- y’2

= 3, A’ , ,

-

=3

IO. 13~”’- 4 ~ = “81,~ hipérbola

11. 2x”’ - 3y”’ = 24, hipérbola

= O, hipérbola

14. m x ” - 3y’ = O, parábola

13. 4y“’

elipse

- x”’

15. a) Dos rectas que se cortan, y = x y y = --x.

b) No existe gráfica. d) La gráfica es la recta y = x.

c) La gráfica es el simple puntoO).(O, e ) La gráfica consta de dos rectas paralelas

3 2 x + -y = 2 2.

,m m

f-)

La gráfica es el punto (1,2)


+

2y2 - z2 dc)) Xx2y++yx2z -+zy2z e) 3z2+ 3x2

1. a) x2

2. a)

[:

o -4

3. a) [x y z ]

+ 4xy - 5yz

-!] [

[:

b) 3x2 + 7z2 + 2xy - 3x2 + 4yz f-) 2z2

b)

-

+ 2xz + y2 O ’ L

-2

c)

[i

P

d) i

2 2

o -4

+ 9y’ = o + 7y’ = o

d) Hipérbola; ecuaciones posibles son

+ 3y‘2 = 9, 3x‘2 + 7y’2 = 9

9. 2xn2+y”’ = 6,

Parábola; ecuaciones posibles son

+

c) Elipse; ecuaciones posibles son 7x’2

e) Circunferencia j ) Circunferencia

d) fipérbola i) Parábola

c) Bpérbola h) Parábola

b) Elipse g) Parábola

6. a) Elipse

-;]r]+[7

-1

2

O 21 [:]--3=o

0

[i y :] o

-1

4. a) Elipsoide. b) Hiperboloide de un manto. c ) Kperboloide de dos mantos. d) Cono elíptico. e) Paraboloide elíptico. f) Paraboloide hiperbólico g) Esfera.

5. a) 9x" + 3 6 ~+' 4zt2 ~ =elipsoide. 36, ~ - 2zI2 = 18, luperboloide de un manto. b) 6 ~+'3yt2 3x12 - 3y0 - z72 = 3, luperboloide de dos mantos. d) 4x'* + 9y'2 - z'* = O, cono elíptico.

+ 16y" - 162' = O, paraboloide elíptico. f , 7xt2- 3yI2+ z' = O, paraboloide hiperbólico. g) x'2 + y'2 + 2'2 = 25, esfera.

e) x"

6. a) 252' - 3yf2- 5 0 ~-' ~150 = O, hiperboloide de dos mantos b j 2 2 + 2y'' + 82'' - 5 = O, elipsoide. C) 9 ~+ 4y'' ' ~ - 362' = O, paraboloide elíptico. d) ,Y'? - y'2+ z' = O, paraboloide hlperbólico.

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 9.8 (Página 587) 1. Multiplicaciones: mpn; adiciones: mp(n - 1).

2. Multiplicaciones: ( k - l)n3; adiciones: (k

-

l)(n3 - n2).

3.

n=5 Resolver Ax Jordan Resolver Ax

=

=

b por eliminación de Gauss

65 50

I +:

reduciendo [A I I] a [IIA"]

Encontrar A"

=b

como x =A" b

+: 100 X:

Encontrar det(A) por reducción de renglones

150

I

X:

=

b aplicando la regla de Cramer

+: X:

X:

430 375

X:

383,250 343,300

X:

t :

810

+:

980,100

+:

+~:

x:

990,000

i :

x : 1,010,000

x:

900 1100

+:

X:

t:

285

+:

+:

+:

x : 1,000,000

x: Resolver Ax

383,250 343,300

+:

+:

n = 1000

n = 100

n=lO

b por eliminación de Gauss-

X:

Resolver Ax

I

328,350 333,399

+: 33,163,350 X:

33,673,399

+:

x:

333,832,500 334,333,000 333,832,500 334,333,000 998,001,000 1,000,000,000 999,000,000 1,001,000,000 332,833,500 333,333,999

f : 33,316,633 X IO4 X:

33,366,733 X IO4

Respuestas a los ejercicios 4. n=10

I

n=100

I

I

/

n=1000

Tiempo de ejecución

I

Resolver A x Jordan

=

Resolver Ax

b por eliminación de Gauss

=

b por eliminación

de Gauss-

Encontrar A-’ reduciendo [A 1 I] a [IIA”] Resolver A x

=

b como x

=

A” b

I

x 1.55

X

2.84

X

3.50

X

10-4

1.05 X 1 0 - ~

1 0 - ~ 2.41

Encontrar det(A) por reducciónde renglones

1.03 X 1 0 - ~

Resolver Ax

6.18 x 1O-4

=b

aplicando la regla de Cramer

X

90.3 x

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 9.9 (Pagina 597) 1. x ] = 2, x2 = 1

3.

XI

= 3, x2 = - 1

9.

X]

= - 3, x2 = 1, x3 = 2,

1 18. A = P L U =

0

o o [o

x4

3

o

0 2

XI

= -2,

4.

XI

= 4, x2 = - 1

x2

x3

= -3

10. x, = 2, x2 = - 1, x3 = o, x4 = 0

=1

Ji3 0 1

= 1,

2.

0

1 - 3

o o

o J

0

!J

I

,878

836

2.49

2499

83.9

I

834

X

IO3

703



31

2.

a) (2,3)

4.

a) 5 + 3 i

5.

a) 2

+ 3i

c ) (-3,

b) (-4,O)

-2)

b) - 3 - 7 ic ) 4 - 8 i b)

-

1

-

2i

d ) (O, -5) d) - 4 - 5 i

3. a) x = - 2 , y =- 3 e) 19+14i

b) x = 2 , y = 1

f ) - =2 - E 2. 1

c) - 2 + 9 i

31

t

t c)

7 . a)

,

I

k 2z = 2

+ 21

++3i

z = 1 + 1

t

8. a) k , = -5, k2 = 3 b) k , = 3, k , = 1 10.

a)9-8i

13. - 2 6 +

18i

9.

b) - 6 3 + 1 6 i 14.

-

+

a) zlz,= 3 3i, 2: = -9, z i = -2i b) zlzz= 2 6 , ~ := -20 48i, z: = - 5 - 12i c ) z,z2 = y - i, z: = 8 - 3 + 44, z: = - 6 - 21

1 - lli

c ) -32-24i

IS.

-g+i

+

d)22+19i 16. ( 2 + ~)

11. 76-88i

+ i(1 - f i )

12. 26-18i 17. O

18. -24i

Respuestas a los ejercicios / ,705

19. a)

[

1 +36 i 12i 7i] - 3 + b, [ 33--25ii

13+13i -8+12i -33-22i O 7 + 9i - 6 + 61

-16-

I

2 + 1Oi 6 - Si -1i_

22 - l i -5-4i 9- i

2+5i1

3+3i 1 3 + 3 i 6 +c) 5 i ] 9 - 5l

+

3+8i

1

[

b)

16i

6 + 2i -1+6i

1'

+ 1"-j5i

-11

-9-

1 v 5 b) z = - k - - - i 2 2

22. a) z = - 1 k i

f 9 + i 12+2i . i ;18-2i 13+

:

'

c)

[

1

1

23. b) i

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 10.2 (Página 614) 1. a) 2 - 7 i d) i 4.

a)

b) -3 + 5 i e) - 9

--%-gi

b)

f)o

g+gi

5. a) - i

b) & + A i

8.

9

c)

c) 7i

2. a) 1 d ) f i

g-#i

625

14. $2

6251

-8

15.

, X

b)

b) 7 e)8

c) 5 0 0

d) -u+u' 25 25[ e)

6. a) f + f i

b) - f + + i

'r)

. -1-24' 10. - # + & i

13. - & + h i 17. a)

c) -5i

a) - 1 -2i

1;i

11.

b)

O c) g+yi

C)

s d) f + + i

7.

i+ij

1+v3. 4

25l 25

,

X

1-v3

-+-4

a

6 - j

Y.

12. - & - A i

1

, X

d)

, X

y = -2

706 / Respuestas a los ejercicios 34.

x,

= -(I - i)t,x,=

35. a)

- i t , x ,= t

[ -: f] [-y ii] b)

1+ i

-7+6i 1 +2i

I

-i

5-i -i

1+4i 1


b) ~ / 2 c) - 7r/2

a) O

);(

3. a) 2[cos

+ isen(:)]

d) ~ / 4 e ) 2 ~ / 3 f ) - rr/4

COS P + i m;]

b)

+hen(:)]

c) 5./I[cos(;)

d) 12[cos(T)+isen($)]

e ) 3G[cos(-?)+isen(-?)] 4. a) 6 [ c o s ( S ) c) ‘[cos( 2 5. 1

7.

-6)

6. a) -64

\‘2

a)

_ _+

-

f) .[cos(-:)

+isen(%)]

Ll

v2

+isen(

b) - i

Ty

2. a ) 5n/3

b) :[cos(;)

-E)]

+isen(-:)]

+isen(;)]

d) :[cos(%)

+isen($)] 1+v%

c) - 6 4 f i - 6 4 i

d)

-- 2048

b) - ~ / 3 c) 5 ~ / 3


8.

11. a) 2 2 ,+ 2 i

b) +(2+2i),+(2-2i)

+ +

+ +

12. Las raíces son+ (2Il4 2'14i), (2,14 - 2,14i) y la factorización es z4 8 = (2' - 2'142 z3l2).(z2 2'142 23/2).

+

+

13. z gira 90' en el sentido de las manecillasdelreloj

14. a) 16

b)

3i

b) Re(z) = -3, Im(z) = O c) Re(z) = O, Im(z) = - fi d) Re@)= - 3, Im(z) = O

15. a) Re(z) = -3, Im(z) = O

EJERCICIOS DE LA SECCl6N 10.4 (Página 6 3 4 ) 1. a) (34 -i,-2

- i, 4) c) (-1-2i,2i,2-i, -1) e) ( - 3 + 2 i , 3 , - 3 - 3 4 i ) c2 = 0 , c 3 = 2 - i

3. cl = - 2 - i , 6. a)

fl

5. a)

b) fi+V%

8. Todo Iklal que

f

2. (2

b ) ( 3 + 2 i ,- 1 - 2 i ,- 3 + 5 i , -i) d)(-3+9i,3-3i, -3-6i,12+3i) f) (-1-5i,3i,4, -5) ~

c) f i + f i i 9. a) 3

b) 2 6 d)

b) 2-27i

c)

m

c) -5

fi

+ i, O,

-3

+ i, -4i)

d)

e) (!-$,O)

f) 1

- 1Oi

10. El conjunto es un espacio vectorial bajolas operaciones dadas. 11. No es un espacio vectorial. No se cumple el axioma 6; es decir, el conjunto no es cerrado bajo la multiplicación escalar. (Por ejemplo, multiplicar por i).

12. NO,R" no es cerrado bajo la multiplicacibn escalar.(Multiplicar un vector diferente de cero de R" por i.) 13. a)

14. b)

15. a), d)

16. a), b), d)

17. a ) ( 3 - 2 i ) u + ( 3 - i ) v + ( l + 2 i )bw) ( 2 + i ) u + ( - l + i ) v + ( - l - i ) w c) ou + ov ow d)(-5 - 4i)u (5 2i)v

+ +

+

18. a) Sí

b) No

20. a) u2= iu,

c) Yes

d) No

+ (2 + 4i)w

19. a), b), c)

b) Tres vectores en un espacio bidimensional c) A es un múltiplo escalar de B.

708 i Respuestas a los ejercicios 22. f - 3g - 3 h = O

21. b), c)

26. ( - 1 - i, 1); dimensión = 1

25. a), b), c), d)

28. ( 3 t 6i,

-

23. a) Tres vectores en un espacio bidkensional b) Dos vectores en un espacio tridimensional

3i, 1); dimensión = 1

24. a), b)

27. (1, 1 - i);dimensión = 1

29. (jz,-+, 1, O), (-$, 2i, O, 1); dimensión = 2

EJERCICIOS DE LA SECCIóN 10.5 (Página 642) 2. a)

b) O

- 12

c) 2i

+ 5i

4. a) - 4

d) 37

b) O

c) 4 - 4 i

d) 42

S. a) No se cumple el axloma 4. b) No se cumple el.axioma 4. c) No se cumplen los axiomas 2 y 3 d) No se cumplen los axiomas 1 y 4. e) Este es un producto interior. 6.

-

9 - 5i

9. a) 11. a)

7. No se cumplen los axiomas 1 y 4

fl

b)

VÍ6 c) VÍ6

b) 2 V 5

~

14. a) 2

d) O

15. a) 2 G

b) 2 v 3

18. a), b), c)

c) 5

d) O

20. b)

2 1. b),

10. a)

VÍ6 b) 2 b)

12. a) 3 V Í 6

16. a) 7 v 3

b) 2 v 3

[

-2i l f i 3-i

2. b), d), e )

O

b)

[

d) O

13. a)

m

b) 2 f l

b) 2%6

17. a) -8i

C)


1. a)

%6

c)

4 T’:i

5 +3 71 i

-1-i

i

3. k = 3 + 5 i , Z = i , m = 2 - 4 i

I-:] [TI2

“

-i

(111

c)

1 4. a), b)

d)

‘13

a21

%] ‘23

b) Paraninguno


b) A"=

5.

L

3-i -

2 m 4 - 3i -

7. P =

2v-E 5i 2 m

"

8. P =

; P"AP=

[o4

0

2]

"

v5v5

r

1

i

71; O

O O

1 v3

-1 P"AP = O

O

-0

O

5

:I

-2

710 13. 14.


a = 2 +- i

[ -:d]

n ; no, porque A contiene elementos complejos.

es una posibilidad.

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DEL CAPíTULO10 (Página 657)

3.

r]

1, ol

es una posibilidad.

1

5.

A = 1, w, o?

(= O )

10. b) Dimensión = 2

ÍNDICE

Adición de vectores, 150,205, 257-258 627 Adjunta, 135-136 +ngulo de rotación, 228 e g u l o entre vectores, 114,536 Angulos directores, 174 Anticonmutativa, 609 Aplicaciones, 5 13-579 a formas cuadráticas, 5 5 1-578 a ecuaciones diferenciales, 5 13-519 a problemas de aproximación, 543-549 a series de Fourier,546-549 Aproximación pormínimos cuadrados, 384-393, 535-543, 545-546 +bol de permutaciones, 108-109 Area de un paralelogramo, 180 Argz, 618 Argumento, 6 18 principal, 6 18 Argumento principal,6 18 Argumento principal, 618 Axioma de aditividad, 552,339 Axioma de homogeniedad,339 Axioma de simetría, 239,638 Axiomas: para espacios conproducto interior, 339,63 1 para un espacio vectorial, 259-260 Base, 290,291 cambio de, 398-400

coordenadas relativasa una, 290, 399 normal, 246,291,292,294 Base e s t á n d a r : parahfin, 295 para o", 628 para Pn, 294 p a r a p , 292 p a r a p , 292 Base normalde Pn,294 Base ortogonal, 368 Base ortonormal, 367-377

C(-

, + ),268,630

C[a,b], 268,630

Cambio de base,399-401 Cauchy, Augustin Louis,208 cero: matriz, 64 subespacio, 266 transformación, 448 vector, 150,205 Cerrado bajo la adición, 266 Cerrado bajo la multiplicación escalar, 266 Circunferencia unitaria, 343 C . 132 628 base normal de,628 Cociente de números complejos, 6 11614 Codominio, 2 18

d:

Coeficientes, 50 Coeficientes de Fourier, 548 Columna: de una matriz, 47 espacio, 307 vector, 306 Combinación lineal, 50,270,627 Complemento ortogonal,359,360 Componente: a lo largo de un vector, 169-173 ortogonal a una subespacio, 372-373 ortogonal a un vector, 169-170 deunvector, 152,155,185 Compresión, 523-524 Condición inicial, 5 14 Cónica imaginaria, 573 Cónica no degenerada,564 Conjugada transpuesta, 547 Conjugado, 77 propiedades del, 614-615,626 Conjunto ortogonal, 367 conjunto ortonormal (devectores), 367, Cono elíptico, 575 Contracción (operador), 230, 448 Coordenada (S): de un punto, 154 de un vector, 399 ejes de, 154-155 independiente de las, 685 matriz de, 399 planos de, 154 Cosenos directores, 174

711

712 / hdice Cramer, Gabriel, 140 De Moivre, Abraham, 622 Desarrollo por cofactores, 131-135 Descomposiciónde un vector, 169 Descomposición LU, 589-598 DescomposiciónQR, 377-380 teorema de, 378 Descomposición triangular, véase descomposiciónLU Desigualdad de Cauchy 355,366,645 Desigualdad de Cauchy-Schwa, 208, 354,645

Det, 112 Desigualdad de Schwarz, véase desigualdad de Cauchy-Schwa Desigualdad del triángulo, 209 Desviación, 544 Determinante (función): de un operador lineal, 499 de una matriz 2 X 2,111-1 12 deunamatriz3 ~ 3 111-112 , definición, 111 derivada de, 146-147 desarrollo por cofactores de, 132 Diagonal principal, 49 Diagonalizable, 426 ortogonalmente, 58 unitariamente, 649 Diagonalización ortogonal, 437 Diferencia de vectores, 37 Dilatación, 230, 406 Dimensión, 292,298 Dirac, Paul Adrien Maurice, 609 Distancia: en un espacio vectorial complejo con producto interior, 639 entre puntos, véase Distancia entre vectores entre planos paralelos, 196-199 entre rectas paralelas, 196-199 entre un punto y una recta 173 entre un punto y un plano, 196-199 entre vectores, 206-207, 341-342

Distancia euclidiana, 207,80 División de números complejos, 61 1613

Dominio, 2 18 Ecuación característica, 127,416,649 Ecuación cuadráiicas: e n ~ y y551-552 , enx,yyz,574

Ecuación diferencial, 513-519 condición inicial para una, 5 14 problema con valor inicial, 5 14 solución general, 5 14 solución particular, 5 14 Ecuación lineal, 2 1 solución de una, 22

Ecuaciones de dependencia, 3 19 Ecuaciones de traslación, 157 Ecuaciones normales, 387 Ecuaciones paramétricas, 193-194 Ecuaciones simétricas, 202 Eigenespacio, 419-420, 502-503 de un operador lineal, 502-503 Eigenvalor, 127 248,413, 502 de un operador lineal, 502-503 Eigenvalores complejos, 418419,601 Eigenvector, 127,248,413,502 de un operador lineal, 502-503 Eje de rotación, 228 Eje imaginario, 603 Eje regal, 603 Elementos, 47 Eliminación de Gauss-Jordan, 33-34, 579, 580,586

Eliminación gaussiana, 2942,142,579, 580,586

Elipse, 564 Elipsoide, 575 Equivalente por renglones, 80, 81 Error cuadrático medio, 545 Error por redondeo, 41 Escalar, 47,149 Esfera unitaria, 343 Espacio euclidiano n dimensional, 633 Espacio generado, 272 Espacio lineal generado, 272-273 Espacio n euclidiano, 203-2 15 complejo, 633 Espacio vectorial complejo con producto inhior, 632,637 Espacio nulo (kernel), 307 Espacio renglón, 307 Espacio unitario, 637 Espacio(s) vectorial(es): axiomas de, 257-258 base de, 290-295 complejos, 258,601,627-633 de dimensión fita, 295-298 de dimensión infinita, 295 definición de, 258-259 dimensión de, 298 reales, 257-258,601 subespacio de un, 265 Espacio vectorial con producto interior, 339 distancia en un, 341-342,639 norma en un, 341-342,639 Espacio vectorial de dimensión finita, 295-298

Espacio vectorial real con producto interior, 339-340 Espacios vectoriales complejos, 258, 601, 627-628

Espacios vectoriales de dimensión infinita,

295

hpacios vectoriales generales, 257-337 Expansión (o compresión), 522-523 Fase. hacia adelante, 580 Fase hacia atrás, 580 Forma cuadrática, 551-558 indefinida, 557

negativa definida, 557 negativa semidefinida, 557 positiva d e f i d a , 555 positiva semidefinida, 557 Forma cuadrática asociada, 55 1-552, 563,574

Forma escalonada, 29-30,33-34 Forma escalonada reducida, 29-30, 33-34, 124

Forma general de un plano, 191 Forma lineal, 55 1 Forma polar, 617-6 18 Fórmula de De Moivre, 622-623 Fourier, Jean Baptiste Joseph, 548 Función con valores complejos, 628-629 integral de una, 639 Función(es): con valores complejos, 628-629 con valores vectoriales, 447 continuas, 267 determinante, 112 dominio de una, 2 18 iguales, 218 valor de una, 32 Invariante bajo semejanza, 499 Inversa: deunamatriz, 66-68,85,137-139 de una matriz 2 X 2,66,68 Inversión en una pennutación, 109 Inverso aditivo, véase Negativo de un vector Jordan, Wilhelm, 34

Kernel, 46 1 Lagrange, Joseph Louis, 176 Ley conmutativa: para la adición, 62 para lamultiplicación, 62 Ley de cancelación, 64 Leyes asociativas, 62 Leyes distributivas, 23 Longitud euclidiana, 207, 633 Longitud (norma) de un vector, 161, 207, 343,633

Mapeos, 218,240 MathemahcsMagmme, 34 Matrices de Dirac, 609 Matrices iguales, 22

Índice / 713 negativa semidefinida, 557 normal, 220-22 1 notación para vectores, 2 12-213 orden de una, 48 ortogonal, 62 positiva d e f ~ d a 555 , positiva semidefinida, 555 producto de, 49-50 rango de una 323-324,336 renglones de una, 47 semejante, 498-499 Simétrica, 97-98,437 suma de, 49 sustracción de, 49 tamaño de una, 47 transpuesta de una, 57-58 traza de una, 104 triangular, 95 triangular inferior, 95 triangular superior, 95 unitaria, 647-649

Matrices semejantes, 498-499 Matriz acompañante, 444 Matriz antisimétrica, 102 Matriz aumentada, 25,327 Matriz cuadrada, 48 Matriz de coeficientes, 56,327 Matriz de Householder, 105 Matriz de transición, 401 Matriz diagonal, 94,495 Matriz diagonalizable ortogonalmente, 437

Matriz diagonalizable unitariamente, 649

Matriz elemental, 75-78 Matriz hermitiana, 649-650 Matriz identidad, 65 Matriz (matrices): acompañante, 444 anticonmutativa, 609 aumentada, 25,327 antisimétrica, 102 cero, 64 columnas de una, 47 con elementos complejos, 607 conjugada transpuesta de una, 646 cuadrada, 48 de coeficientes, 56,327 de cofactores, 136-137 de coordenadas, 287-291 de Householder, 105 de transformación, 218,447 de transición, 40 1 de una transformación lineal, 481496

definición de, 24, 47 diagonal, 666,495 diagonal principal de una, 49 diagonalizable, 426,438, 649 diagonalizable odogonalmeente, 437 diagonalizable unitariamente, 649 diagonalizable ortogonalmente, 437 diagonalizable unitariamente, 649 elemental, 75-76 elementos en una, 47 equivalente por renglones, 80,81 espacio columna de una, 47 espacio renglón de una, 307 forma escalonada de una, 29-30, 33-34

forma escalonada reducida de una, 29-30, 33-34, 124

hermitiana, 647,649 indefinida, 557 identidad, 65 igualdad de, 49 inversa, 66-68, 85 inversión de, 80 invertible, 66-68, 85, 137-139 multiplicación por un escalar de una, 49-50

negativa d e f ~ d a557 ,

1 X 1.47

Matriz i n d e f ~ d a557 , Matriz invertible, 66-68,85, 137-139 Matriz normal, 220-22 1 Matriz ortogonal, 395 Matriz simétrica, 97-98,437 Matriz triangular, 95 Matriz triangular inferor, 95 Matriz triangular superior, 95 Matriz unitaria, 647-648 Medida euclidiana, 217 Mejor aproximación, 384-385 Menor, 131 M . 131

M":,

260

Módulo, 610 Muestra: media de la, 560 variancia de la, 560 Multiplicación por.4 (como una trasfomación): defmición), 220 espacio nulo, 307 recorrido, 46 1 Multiplicación de números complejos, 604,609

Multiplicación por bloques, 59 Multiplicidad algebraica, 433 Multiplicidad geométrica, 433 Múltiplo escalar, 49-50,204,257-258, 630

n-ada ordenada, 203 Negativa definda, 557 Negativa semidef~da,557 Negativo: de un número complejo, 604 de un vector, 15 1 Nilpotente, 44 Norma, 161,207,343,633

Norma euclidiana, 207,633 Normal a un plano, 189-190 Normalización de un vector, 367-368 Nulidad de una transformación, 463-465 Número complejo imaginario puro, 604 Número(s) complejo(s), 258,418-419, 601-606

argumento de,6 18 argumento principal de, 6 18 conjugado de un, 6 1O, 6 14-615 división de, 6 11-6 13 forma polar de, 6 17-618 imaginario(s) puro(s), 604 iguales, 604 módulo de, 610 multiplicación de, 604,605 negativo de, 604 parte imaginaria de, 419,602,603 parte real de, 603 raíces de, 622-625 suma de, 604-605 sustracción de, 604 valor absoluto de, 61 1 Número imaginario, 602 Números complejos iguales, 604 Operador identidad, 222,448 Operador lineal, 219,447 determinante de un, 499 matriz de un, 481-490 Operador proyección, 225 Operador rotacional, 228 Operaciones (elementales) en los renglones, 26 Operaciones inversas, 76-77 Operaciones normales en R", 205 Operadores reflexión, 223 Orden: de una matriz cuadrada, 49 de un polinomio trigonométrico, 546 Origen, 153 Par ordenado, 203-204 Parribola, 565 Paraboloide elíptico, 575 Paralologramo, 181 Parte imaginaria, 418,602,603 Parte real, 603 Pase hacia adelante, 580 Pase hacia atrás, 580 Permutación, 108 inversión en una, 109 Permutación impar, 109 Permutación par, 109 Pesos, 333 Pitágoras, teorema generalizado, 358 Plano: ecuación general del, 191 forma punto-normal, 190 forma vectorial del, 193 Plano complejo, 603

714 / hdice Plano xy, 154 Plano xz, 154 Planoyr, 154 Pohnomio característico, 416,649 Polinomio mónico, 444 Polinomio trigonométrico, 546 orden de un, 546 Polinomios de Legenbre, 384 Polinomios de Legendre normalizados, 3 84

Posición normal, 564,574 Positiva definida, 555 matriz, 5 5 5 Positiva semidef~da,557 principal, 21.28 Problema con valor inicial, 514 Proceso de Gram-Schmidt, 375-376,

ecuaciones paramétricas de la, 37194

ecuaciones siqétricas de la, 202 forma vectorial de la, 195 Reducción de Kronecker, 563 Reducción de Lagrange, 563 Reflexiones, 222-226 Regla de Cramer, 139-142 Regla de la mano derecha, 179 Regla de la mano izquierda, 179 R", 292

base normal de, 292 Renglón, 47 Retrosustitución hacia atrás, 36-38 Rotación: de ejes, 404-407 de vectores, 227-230

440441,640-641

Producto: de matrices, 49-50 de matrices invertibles, 68 de números complejos, 604,605 de un vector por un escalar, 151-152,204,257-258

Producto cruz de vectores, 175-187

Producto elemental, 110 con signo, 111 Producto elemental con signo, 111 Producto interior: axiomas del, 339,637 euclidiano, 164, 205,631 Producto interior euclidiano, 164,206, 637-641

como producto de matrices, 2 12-2 13 ponderado, 272 propiedades de, 164, 167-169,63 1 Producto interior euclidiano ponderado, 340

Producto punto, véase producto interior euclidiano Promedio aritmético (media), 341 Proyección ortogonal, 169,372 operador, 225 Punto inicial, 131, 149 Punto-normal, 190 Punto terminal, 149 Puntos e n F , 203-205 Raíces latentes, 127 Raíz (de un número o complejo), 621625

Raíz n-ésima, 622-625 Rango: de una matriz, 322-323,336 de una transformación, 462 9,291

base normal de, 29 1 Recorrido, 461 Recta:

Schmidt, Erhardt, 376 Schwan, Hermann Amandus, 208 Sección cónica (cónica), 563-572 degenerada, 564,573 no degenerada, 564 Sección cónica degenerada, 564,573 Series de Fourier, 546-549 Sistema consistente, 38,56,90,307 Sistema de coordenadas derecho, 154, 180

Sistema de coordenadas rectangulares, 154-155

Sistema de ecuaciones lineales, 21-25 consistente, 23,38,90,307 inconsistente, 23 solución de un, 22 Sistema homogéneo, 38-40,269 Sistema inconsistente, 23 Sistema lineal, 22 Sistema lineal indeterminado, 33 1 Sistema lineal sobredeterminado, 331 Sistema normal, 387 Solución: conjunto, 23 de un sistema, 22 de una ecuación lineal, 23 espacio, 269 Solución general, 309, 513 Solución trivial, 38 Soluciones no triviales, 38 Soluciones particulares, 309, 514 Subespacio, 265,628 Submatrices principales, 556 Submabiz, 32 Suma: de cuadrados, 562 de matrices, 50 de números complejos, 604-605 de vectores, 150,205,257-258 Superficie cuádrica, 574-578 Sustitución hacia adelante, 591 Sustracción: de matrices, 49

de números complejos, 604 de vectores, 15 1,205 Tamaiío de una matriz, 47 Teorema alternativo de Fredholm, 509 Teorema de Cayley-Hamilton, 443 Teorema de la dimensión, 464 Teorema de la mejor aproximación, 384 Teorema de los ejes principales: para R2,569-570 p a r a 9 , 577 Teorema de proyección, 372 Teorema de Piagoras generalizado, 358 Términos del producto cruz, 552, 565-568

Transformación lineal, 220,22 1 matriz de una, 481-496 Transformaciones inversas, 468-474 Transpuesta, 401 propiedades de la, 71 Traza de una matnz,104 Triple producto escalar, 181 Tripleta ordenada, 203 Valor absoluto, 610 Valores caracteristicos, 127 Valores propios, 127 Variables libres, 30 Variables principales, 30 Vedofles), 149,202,203-337, 627-646

adición de, 150,204,257-258,627 ángulo entre, 164,356 cero, 150,204

combinación lineal de, 270,627 componente vectorial a lo largo de un, 170-173 componente vectorial ortogonal a un, 169-171

columna, 306 de coordenadas, 399 d e f ~ c i ó nde, 257-258 descomposiciónde, 170 diferencia de, 205 destancia entre, 206-207,341-342, 633

en o", 628-633 en R", 203-2 15 equivalentes, 150 iguales, 150,204 imagen de un, 2 19 inverso aditivo,de, véase vectotfes), negativo de linealmente dependientes,

,

277-279

linealmente independientes, 279-287,628

longitud de un, 161,207, 342,633

múltiplo escalar de un, 204, 257-258,630

Indice 1 715 negativo de un, 15 1 norma de un, 161,207,342,633 norma euclidianade, 207,633 normalización de,367-368 ortogonal, 167-168,357-359,640 ortonormal, 367,640 producto cruz de, 175-176 punto inicial de. un, 131, 149 punto terminal de un, 149 renglón, 306

solución, 269-270 unitario normal, 178-179

Vectores equivalentes, 150 Vectores iguales, 150,204 Vectores linealmente dependientes (conjunto de), 277-279 Vectores geométricos, 149-152 Vectores linealmente independientes (conjunto de),277

Vectores normales unitarios, 178-179 Vectores ortogonales, 167-168, 357-358,640 Vectores renglón, 306 Wronskiano, 334

Yuster, Thomas, 34

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