SOLUSI LATIHAN 4.3 HALAMAN 119
1.
a) Semua vektor yang berbentuk (a, 0, 0) 0) Misal V1 = (a1, 0, 0)
V2 = (a2, 0, 0)
W = V1 + V2 = (a1 + a2, 0, 0) terletak dalam W
- kV 1 = k a,0,0
ka,0,0 terletak pada W
3
Jadi W sub ruang dalam R
b) Vektor yang berbentuk (a, 1, 1 , 1) Misal V 1
W V 1
a1 ,1,1 dan V 2 a2 ,1,1
V 2 a1 a2 ,2,2 bukan vektor dalamW 3
Jadi vektor yang berbentuk (a, 0, 0) bukan sub ruang R c) (a,b,c), dimana b = a + c Jadi vektornya baru bisa ditulis (a, a+c, c) ambil U = (a1, a1 + c1, c1) dan V = (a2, a2+c2, c2) U + V = (a1 + a2 , a1 + c1 + a2+c2, c1 + c2 ) memenuhi Ambil k skalar
k U = k (a1, a1 + c1, c1) = ( k a1, k(a1 + c1), k c1) memenuhi 3
Jadi sub ruang R
d) Semua vektor yang berbentuk berbentuk (a,b,c) ; b = a + c + 1 Jadi bisa ditulis (a, (a + c + 1), c) ambil U (a, ( a1+c1+1), c1)
V (a2 , a2
c2 1, c2 )
U V a1 a2 , a1 a2
Adalah vektor (a, b, c)
c1 c2 2, c1 c2
Ternyata b = a1 + a2 +c1 + c2 + 2 tidak memenuhi, jadi bukan sub ruang.
2.
a) Semua matriks yang berbentuk
a1 c1
a c
b
; a, b, c, d Z
d
b1
ka k V 1 d 1 kc1
Ambil V
kb1
untuk k bilangan bulat ka1 ,
kd 1
kb1 , kc1 , kd 1 Z
bukan sub ruang b) Semua matriks yang berbentuk
a1 c1
a c
b1
Ambil U
a1 d 1 0 d 1
a1 a2 c1 a2
b
; a + d = 0
d
a2
V
c2
b2
a2 d 2 0
d 2
b1 b2
U V
a1 a2 d 1 d 2 0
d 1 d 2
= a1 d 1 a2
d 2
= 0 + 0 = 0 memenuhi
ka1
kU
kc1
kb1
ka1 kd 1
kd 1
= k a1 d 1 = k (0) = 0 memenuhi Jadi merupakan sub ruang dari M22 c) Semua matriks matriks berbentuk berbentuk 2 x 2
A
a c
A At
b
a At d c
A At
b
, supaya
d
cb
Ambil A1
a 1 c1
b1
dimana b1 c1
d 1
2.
a) Semua matriks yang berbentuk
a1 c1
a c
b
; a, b, c, d Z
d
b1
ka k V 1 d 1 kc1
Ambil V
kb1
untuk k bilangan bulat ka1 ,
kd 1
kb1 , kc1 , kd 1 Z
bukan sub ruang b) Semua matriks yang berbentuk
a1 c1
a c
b1
Ambil U
a1 d 1 0 d 1
a1 a2 c1 a2
b
; a + d = 0
d
a2
V
c2
b2
a2 d 2 0
d 2
b1 b2
U V
a1 a2 d 1 d 2 0
d 1 d 2
= a1 d 1 a2
d 2
= 0 + 0 = 0 memenuhi
ka1
kU
kc1
kb1
ka1 kd 1
kd 1
= k a1 d 1 = k (0) = 0 memenuhi Jadi merupakan sub ruang dari M22 c) Semua matriks matriks berbentuk berbentuk 2 x 2
A
a c
A At
b
a At d c
A At
b
, supaya
d
cb
Ambil A1
a 1 c1
b1
dimana b1 c1
d 1
a2 A2 c2 A1 A2
kA1
b2
dimana b c 2 2 d 2 a a 1 2 c1 c2
ka 1 kc1
b1 b2
b1 b2 = c1 c2
d 1 d 2
kb1
kb1 kc1 memenuhi
kd 1
Jadi merupakan sub ruang M22 d) Semua matriks 2 x 2 Misal A
a c
b
, supaya
det( A) ad bc 0
d
a1 Ambil A1 c1 A1 A2
det( A) 0
b1
a1d 1 b1c1 0 dan d 1
a a 1 2 c1 c2
A2
a 2 c2
b2
a d b c 0 2 2 2 2 d 2
b1 b2
d 1 d 2
= a1 a2 d 1 d 2 b1 b2 c1 c2 = a1d 1 a2 d 2
a2 d 1 a1d 2 b1c1 b2 c2 b1c2 b2 c1
= (a1d 1 b1c1 ) (a2 d 2
b2 c2 ) (a2 d 1 b2 c1 ) (a1d 2 b1c2 )
=0+0=0 = a2 d 1 b2 c1 a1d 2
b1c2 0 (tidak memenuhi)
Jadi bukan sub ruang dari M22
3.
a) Semua polinomial a0
a1 x a2 x 2 a3 x 3 a0 0 W
Ambil p dan q merupakan polinom-polinom yang terletak pada W
p x
a0
q x b0
a1 x a2 x
2
a3 x
3
a0 0
b1 x b2 x 2 b3 x 3 b0 0
p q x a0 b0 (a1 b1 ) x (a2 b2 ) x 2 (a3 b3 ) x 3 dimana a0
b0 0 0 0 memenuhi
kp x k (a0 ) (ka1 ) x (ka2 ) x 2
(ka3 ) x 3
k (a0 ) k 0 0 memenuhi Jadi merupakan sub ruang dari P3 b) W ( x) a0
a1 x a2 x 2 a3 x 3 , a0 a1 a2 a3 0
Ambil p x dan q x pada W
p x b0
b1 x b2 x 2 b3 x 3 b0 b1 b2 b3 0
q x c0
c1 x c2 x 2 c3 x 3 c0 c1 c2 c3 0
p q x b0
c0 b1 c1 x b2 c2 x 2 b3 c3 x 3
Kita selidiki
b0 c0 b1 c1 b2 c2 b3 c3 0 (b0
b1 b2 b3 ) c0 c1 c2 c3 0 0 0 memenuhi
Ambil skalar k
kp x kb0 kb1 x kb2 x 2 Akan diselidiki apakah kb0
kb3 x 3
kb1 kb2 kb3 0
k (b0 b1 b2 b3 ) k (0) 0 memenuhi Jadi merupakan sub ruang P3 (W)
c) p x
a0
a1 x a2 x 2
Ambil k = bilangan pecahan
a3 x 3 , a0 , a1 , a 2 , a3 Z
kpk k (a0 ) (ka1 ) x (ka2 ) x 2 (ka3 ) x 3 sehingga diperoleh ka1 , ka2 , ka3 , ka0 tidak semuanya
Z
d) Polinomial W x a0
a1 x
a0 , a1 R
Ambil p x b0
b1 x , b0 , b1 R
q x q0
, q 0 , q1 R
q1 x
p q x b0 q0 b1 q1 x x
; b0 b1
q0 R
q1 R
k p x kp x kb0 kb1 x x , kb0 , kb1 R Jadi merupakan sub ruang
4.
a) Semua f sehingga f x 0
x
f 1 x 0 , x f 2 x 0 , x
f 1 f 2 x 0 0 f x1 x2 0 kf x tidak semuanya
0 , ambil k = negatif
Maka kf x 0 tidak memenuhi b) Semua f 0 0
f 1 f 2
f 0 f (0) 0
kf 1 kf 0 k .0 0 Merupakan sub ruang c) Semua f 0 2
f 1 f 2
f 1 0 f 2 (0) 2 2 2 tidak memenuhi
Jadi bukan sub ruang d) Semua fungsi konstan: f x c , c = konstant f 1 f 2
f 1 x f 2 ( x)
kf 1 kf 1 x k .c, konstan
c1 c2 konstan
Jadi merupakan sub ruang e) Semua f yang berbentuk k 1
f 1 f 2
k 2 sin x , k 1 , k 2 adalah bilangan riil
(k 1 k 2 sin x) (k 2 k 3 sin x) = k 1
kf 1 k (k 1
k 2 k 2 k 3 sin x memenuhi
k 2 sin x)
= kk 1 kk 2 sin x , kk 1 , kk 2 adalah bilangan Riil Jadi merupakan sub ruang
5.
Tentukan kombinasi linier U 1,1,3 dan V 2,4,0 a)
3,3,3 Ambil W 1 , 2 3
1U 2 V 3,3,3 1 1,1,3 2 2,4,0 3,3,3 1
2 2 3 ........(1)
1 4 2 3 ........ 3 1 3
(2)
............. (3)
1 1 1 1 subtitusi pada 2) 2
1 4 2 3
1
3,3,3 U V b)
4,2,6 1 ,1,3 2 2,4,0 1
2 2 4
1 4 2 2 3 1 0 6
1 4 2 2
1 2 subtitusi pada 4 2
4
2
1
4,2,6 2U V c)
1,5,6 1 1,1,3 2,4,0 1
2 2 1
1 4 2 5
2 4 2
5
3 1 6
4 2
1 2
2
7
7 4
Karena 2 memberi nilai yang berbeda maka 1,5,6 tidak dapat ditulis sebagai kombinasi linier dengan 1,1,3 dan 2,4,0 d)
0,0,0 1 1,1,3 2 2,4,0 1 2 0 1 2 0 6 0 0 6 0 6 0 0 6
0
1 2 0 0 6 0 0 6
0
0 0
Karena baris ketiga nol, maka tidak ada solusi jadi bukan kombinasi linier.
6.
Ungkaplah bilangan berikut sebagai kombinasi U 2,1,4 V 1,1,3 , W 3,2,5 Ambil P 1 2,1,4 2 1,1,3 3 3,2,5 P adalah konstanta a) 5,9,5 dalam bentuk matriks
2 1 1 1 4 3
3 5 2 5
9 5
2 1 3 5 1 1 2 9 0 1 1 5
3 2 1 0 3 2 1 2 0 1 1
13 2 5 5
2 0 0
1
3
1 1
1 3 1
2 0 0
1
3
1
0
2 13 3 0 5 0 5
5
2 4 0 0 1
0 1
1 3 , 2
1
3
1
1 3 2 3
0
1
0
1
0
0 1
13 3 2 3
2
5
1 4 0 1 0
2 0 0
0 0 1
0
0 1
1
3
1
1 3
0
1
13 3 1 5
3
4 1
4 , 3 1
P 1 3U 4V W b) P2 = (2, 0, 6)
2 1 1 1 4 3 2 0 0 2 0 0
1 1 1 0 1 0
3 2 5
3 2 1 3 2 2 1 0 1 1 2 0 0 3 2 1 2 6 0 1 1 2 0 1 1 2
2 2 2 1 3 1 3 2 3 0 1 1 3 2 3 0 1 2 0 1 2 3 4 3 0 0 8 0 0 1 4 , 2 0 , 3 2 1 2 3
2
P 1 4U 2W c) P3 = (0, 0, 0)
2 0 0 0 0 1 0 0 1 0 , 2 0 , 3 0 0 0 1 0 P 3 0U 0V 0W
2
1
2
1
3
1
1 3
0
1
2 3 2 2
d) P4 = (2, 2, 3)
2 1 1 1 4 3
1 3 2 2 1 3 2 2 2 1 1 2 2 1 3 2 1 2 1 0 1 1 5 0 3 1 1 1 2
3 2 5
2 1 0
1
3
1 1
1 3 1
2 0 0
0
0
1
0
0 1
P 4
2 2 3 1 1 0 2
1 2 1 2
1
3
1
1 3 2 3
0
2 2 3 0 1 3 0 2
1 1 0
0
1 3 1 2 1 1 2
1
1
1 2
, 2
1
1
2
2
, 3
1
1 1 U V W 2 2 2
7. Nyatakan sebagai kombinasi linier dari P 1 2 x 4 x 2 P 2 P 3 a) 5 9 x 5 x 2 5 9 x 5 x 2
1 x 3x 2
3 2 x 5x 2
1 P 1 2 P 2 3 P 3 1 (2 x 4 x 2 ) 2 (1 x 3 x 2 ) 3 (3 2 x 5 x 2 )
Diperoleh tiga persamaan 2 1
2 3 3 5
1 2
2 3 9
4 1 3 2
5 3 5
Dalam matriks diperluas diperoleh;
2 1 1 1 4 3
3 5
2 9 dari soal (6) diperoleh matriks tereduksi 5
5
1 2
1 0 0
3
0 0 1
4 1 3 , 2 4 , 3 1 1
0
0 1
Jadi
5 9 x 5 x 2 3 P 1 4 P 2 P 3 b) 2 6 x 2
1 P 1 2 P 2 3 P 3
Diperoleh tiga persamaan 2 1 2
1 2
3 3 2
2 3 0
4 1 3 2
2 1 1 1 4 3 1 0 0
1
5 3 6
3
2
2
0 dari soal 6a diperoleh matriks eselon tereduksi
6
5
0 0 0
0 1
dalam bentuk matriks
4
1 4 , 2 0 , 3 2 2 0
2 6 x 2 4 P 1 2P 3 c) 0 1 P 1 2 P 2 3 P 3 dari soal 6c diperoleh
1
2 3 0
Jadi 0 0 P 1 0 P 2 d) 2 2 x 3 x 2
1 P 1 2 P 2 3 P 3 diperoleh 3 persamaan:
2 1 2
3 3 2
1 2
2 3 2
2 1 3 2
0P 3
5 3 3
Dari soal 6d diperoleh 1
8.
A=
Jadi 2 2 x 3 x 2
1 1
0 2
2
B=
3
1 2
1
1 P 1 P 2 2 2
1
1 2
1
2
2
P 3
C=
4
1
, 3
, 2
4 2 0 2
Nyatakan vektor tersebut di atas sebagai ko mbinasi linier dari a)
6 0
3
P
8
1 1
6 3 P 0 8
2
0 2 3
4 2 0 2 4
1
4 6
2 2 3
2 0 0 1 2 3 4 2 8 dalam matriks 1 3 1 0 0 0 1 0 0 0
6
0
4
1
10
1
2
2
7
1 9 0 3 0 5 0
0
0
2
1
0
1
0
1
0
1
0
4
1
10
0
12
0
13
0
4
1
2
2
0
4
2 6
1 9 0 12 0 13 0
1
2 , 1 , 1
1
Jadi P 2 A B C
1 3 0 0 0 8 0 6
0 1 0 0
0
4
1
10
2
4
4
14
4
6
10 9 1 20 1 13
9 6 10 6
b)
1 5
Q
7
1 1 1
4 2 4 0 2
2
0 3 2
1
4 1 2 1 2 7
2 5 3 4 2 1
Dalam matriks diperluas
1 2 1 3
1 0 0 0
0
4
1
2
2
0
4
2
0
4
1
10
0
1
0
26
1 1 7 0 5 0 1 0
0
4
1
10
2
4
4
14
1 1 9 0 4 0 4 0
0
4
1
10
0
24
0
26
1 9 14 32
1 9 1 12 16 13
Karena , bertentangan pada garis 3 & 4 maka tidak ada nilai , , yang memenuhi Jadi Q bukan kombinasi linier dari A, B, C
c)
0 0 R 0 0
d)
S
0 A 0 B 0C
6 1 dalam matriks ditulis 8 8
1 2 1 3
0
4
1
2
2
0
4
2
6
1 1 0 8 0 8 0
0
4
1
10
2
4
4
14
1 13 0 2 0 26 0 6
0
4
1
10
0
24
0
26
13 24 26 6
1 0 0 0
0
4
1
10
0
1
0
1
1 13 0 1 0 1 0 6
0
0
1
0
0
1
0
0
2
3 1 0
Jadi 2 , 3 , 1 S 2 A 3 B C
9
a) V 1
1,1,1
V 1 2,2,0
Ambil U u1 , u 2 , u3
u1 , u2 , u3 1,1,1 2,2,0 3,0,0 2 3 u1 2 u 2 u3
1 2
u
1 3
u1 u 2 u3
u3
u3
3 Jadi V 1 ,V 2 ,V 3 merentang R
Apakah , , konsisten ? , maka harus diselidiki bahwa
1 2 3 B 1 2 0 mempunyai invers, kita lihat Det (B) = 1(0)+2(0)+3(-2) 0 . 1 0 0 Jadi ada invers B
V 1 ,V 2 ,V 3 konsisten akibat dari itu V 1 ,V 2 ,V 3
3
merentang R . b) V 1
2,1,3
V 2
4,1,2
Ambil U u1 , u 2 , u3
u1 , u2 , u3 2,1,3 4,1,2 8,1,8 2 4 8 u1
1 u2
V 3
8,1,8
3 2 8 u3
2 4 8 u 1 1 1 1 u2 0 3 2 8 u 3 0
2
4
3
3
4
4
3 u1 2 u1 u2 0 2 5u u3 1 0 2
6
12
3
3
12 12
2 u1 u2 2 9 b1 3b3 2 3
u1
1 3 0 6 u1 2u 2 2 1 u1 u 2 0 3 3 2 5 u u u 0 0 0 4 3 1 2 3 2 Pada baris 3 diperoleh; 0 5 2 u1 4u2
3u3 (mustahil)
V 1 ,V 2 ,V 3 tidak merentang R 3 c) V 1 3,1,4
V 2
2,3,5 V 3 5,2,9
V 4
1,4,1
b1 , b2 , b3 3,1,4 2,3,5 5,2,9 1,4,1 3 2 5 b1
3 2 4 b2
3 persamaan dengan 4 anu
4 5 9 b3 Dalam bentuk matriks
3 2 5 1 1 3 2 4 4 5 9 1 20 4 12 8 0 44 44 44 0 7 7 7
b1
20 4 12 8 b2 12 36 24 48 12 15 27 3 b3
1 4b1 12b2 4b1 0 3b3 0
4b1
12b2 3b3
1 1 1 1 3b2 b1 11 1 1 1 1 (3b3 4b1 ) 7 2 3
5 3
1 3
1 b1 3
1 0 0
2
5
1
3
3
3
1
1
1
0
0
0
3 1 3b2 b1 11 1 1 (3b3 4b1 ) 3b2 b1 7 11 1
b1
Karena baris ke 3 diperoleh 0
1 7
3b3 4b1
3
Jadi V 1 ,V 2 ,V 3 tidak merentang R
10. f cos 2 x dan g sin 2 x a) cos 2 x cos 2 x sin 2 x k 1 cos 2 x k 2 sin 2 x k 1 1
k 2
1
f dan g merentang b)
3 x 2
cos 2 x
k 1 cos 2 x k 2 sin 2 x
Tidak ada k 1 dan k 2 yang memenuhi, jadi
f dan g merentang c)
2
2
1 k 1 cos x k 2 sin x 1 cos 2 x sin 2 x untuk k 1 = 1 , k 2 = 1
Jadi f dan g merentang d)
sin x k 1 cos 2 x k 2 sin 2 x Tidak ada k 1 dan k 2 yang memenuhi Jadi f dan g tidak merentang.
11. Apakah polinom-polinom berikut P2 P 1 1 2 x x 2
P 2
3 x2
1 11
3b2 b1 mustahil
P 3
5 4 x x 2
P 4
2 2 x 2x 2
Ambil U a, b, c
a, b, c 1 1 2 x x 2 2 3 x 2 3 5 4 x x 2 4 2 2 x 2x 2 1 3 2
5 3 2 4 a
2 1 0 2
4 3 2 4 b
1 2 1
3
5
0
4
1
1
1 0 0
3 5 1 1 0
0
matriks utamanya adalah
1 2 3 2 4 c
2 1 3 5 2 1 3 5 2 2 0 6 6 6 0 1 1 1 2 0 4 4 4 0 1 1 1
2 1 0
Karena baris terakhir pada matriks utama yang telah direduksi semuanya nol Jadi P 1 , P 2 , P 3 , P 4 tidak merentang P2
12.
V 1 2,1,0,3
V 2
3,1,5,2
V 3
1,0,2,1
Yang mana vektor berikut berada lin V 1 ,V 2 ,V 3 a)
2,3,7,3 u1 2,3,7,3 2,1,0,3 3,1,5,2 1,0,2,1 2 3 2 3
5 2 7
Dalam matriks
2 3 1 2 1 1 0 3 0 5 2 7 3 2 1 3
6 9 3 6 6 6 0 18 0 5 2 7 6 4 2 6
6 9 3 6 2 3 1 3 0 15 3 12 0 15 3 12 0 5 2 7 0 5 2 7 0 5 5 0 0 0 7 7 2 0 0 0
3
1
0
9
5
2
0
1
2 9 0 7 0 1 0 3
3
0
0
1
5
0
0
1
3
2 1 0 5 0 1 0
0
0
0
1
1
0
0
1
6
1 1 1
3 , 1 , 1
U 1
3V 1 V 2 V 3
Jadi U berada dalam lin V 1 ,V 2 ,V 3 1
U 2
b)
0,0,0,0 0V 1 0V 2 0V 3 0V 4
U 2 berada dalam lin V 1 ,V 2 ,V 3 U 3
c)
1,1,1,1 V 1 V 2 V 3
Dari bagian a dapat diperoleh matriks diperbesar
2 3 1 1 6 9 3 3 6 9 3 3 1 1 0 1 6 6 0 6 0 15 3 3 0 5 2 1 0 5 2 1 0 5 2 1 3 2 7 1 6 4 2 2 0 5 5 1 6 0 0 0
9
3
3
0
9
6
5
2
0
7
1
0
Dari barisan
U 3
2 3
dan dari baris (4) 0 bertentangan. Jadi tidak ada
V 1 V 2 V 3
V 1 ,V 2 ,V 3 .
dengan demikian U 3 tidak berada dalam lin
d)
U 4
4,6,13,4
Dari bagian a dapat diperoleh matriks diperbesar
2 3 1 4 6 9 3 12 6 9 3 12 1 1 0 6 0 15 3 48 6 6 0 56 0 5 2 13 0 5 2 13 0 5 2 13 3 2 7 4 6 4 2 8 3 2 1 4 6 0 0 0
9
0
3 12 2 9 9 0 2 13 0 7 7 0
2 0 0 0
0
0
0
0
1
0
0
1
0 5
Jadi U 4
3 0 5 0
1 4 2 1 1 0 2 13 0 1 1 0
3 0 5 0
1 4 0 0 0 15 1 1
6
3 1 0
3 , 3 , 1
3V 1 3V 2 V 3 dengan demikian maka U 4 berada dalam lin
V 1 ,V 2 ,V 3 13.
Cari sebuah persamaan untuk bidang yang direntang oleh vektor-vektor : U 1,1,1 dan V 2,3,5 Misalkan persmaan tersebut adalah ax by cz 0 Direntang oleh U a b c 0 V 2a 3b 5c 0
1 2
1
1
3
5
0
1 0 0
a 8c 0
a 8c
b 7c 0
b 7c
1
1
1
7
0
1 0 0
0
8
1
7
0
0
Subtitusi pada persamaan 8cx 7cy cz 0
kalikan
1 dimana c 0 c
8 x 7 y z 0
merupakan persamaan bidang yang direntang oleh U
dan V .
14.
Cari persamaan parametrik untuk garis yang direntang oleh vektor U = 2,7,1 Jawab:
x, y, z 2,7,1 x 2 , y
15.
7 , z dimana
Perhatikan vektor-vektor pemecahan dari sebuah sistem konsisten tak homogen terdiri m persamaan linier n bilangan tak diketahui tidak membentuk sub grup n
dari R
a11 x1 a12 x2
... a1n xn b1
an1 x1 an 2 x2
... amn xn bm
Atau dalam notasi matriks, Ax b . Kita misalkan solusi dari persamaan ini adalah
s1 s 2 S s n
n
pada R
Solusi vektor pada S memenuhi x1
s1 , x2 s2 ,
xn
sn
Misalkan W himpunan vektor pemecahan dan s1 , s 2 adalah vektor-vektor padaW Kalau W subruang dari R n maka harus diperlihatkan bahwa s1 + s 2 , k s1 merupakan vektor-vektor pada W. Karena s1 dan s 2 merupakan vektor pemecahan maka kita peroleh As1
b dan As2 b
A s s1 As1 As 2
bb 2b Dimana 2b b s1
s2 tidak pada W. n
Jadi W bukan sub ruang dari R
16.
Dari contoh 8 V adalah himpunan semua fungsi bernilai riil yang didefenisikan pada seluruh garis riil, f f ( x) dan g g x adalah dua fungsi pada V ke sebarang bilangan riil dan didefinisikan
f g x f x g x (kf ) x kf x Seperti pada gambar
Perhatikan bahwa himpunan fungsi-fungsi berikut adalah sub ruang dari vektor di atas a) Semua fungsi kontinu di semua titik Ambil f f x fungsi kontinu pada V g g x fungsi kontinu pada V
f g x f x g x juga kontinu di v kf x kf x ; f x kontinu di V
kf x juga kontinu
Jadi fungsi kontinu merupakan sub ruang pada V b) Semua fungsi-fungsi terdefenisikan disemua titik Ambil f f x f ' f ' x ada g g x
g ' g ' x ada
f ' g ' x f ' x g ' x ada kf ' x kf ' x
k f ' x ada Jadi fungsi terdeferensialkan merupakan sub ruang V c) Fungsi terdeferensial yang memenuhi f ' f 0 Ambil f f x
f ' f ' x dimana f ' x 2 f x 0
g g x
g ' g ' x dimana g ' x 2 g x 0
f ' g ' x f ' x g ' x dan f g x f x g x f ' g ' x 2 f g x f ' x g ' x 2 f x 2 g x
f ' x 2 f x g ' x 2 g x 00 0 memenuhi kf ' x kf ' x
kf x kf x
kf ' x 2kf x k f ' x 2 f x k .0 0 memenuhi Jadi merupakan sub ruang V
SOLUSI LATIHAN 4.4 HALAMAN 156
1.
a)
U 1 1,2 dan U 2
3,6 pada R 2
Tak bebas linear karena U 2 b) U 1 2,3 , U 2
3U 1
(U 2 hasil kali skalar V1)
5,8 , U 3 6,1 pada R 2
k 2,3 k 2 5,8 k 3 6,1 0,0 2k 1
5k 2 6k 3 0
3k 1 8k 2
2 5 3 8 2 5 0 1
k 3 0 6 15 0 6 16 0 2 10 0 0 1
6 0 1 6 20
6 15 18 0 0 0 1 20 0 0 1 0 53 0 k 1 53k 3 0 0 0 1 20 0
18 0 2 106 20
k 2
20k 3 0
k 2
20t
t k 3 k 1
53t
Karena k 1, k 2 dan k 3 tidak semuanya nol maka tak bebas linier. c) P 1 2 3 x x dan P 2 2
6 9 x 3x 2
Tak bebas linear karena P 2 diperoleh dari perkalian skalar P 1 yaitu P 2
3 P 1 1 2
d) A
3
0
1 3 pada M22 2 0
B
Tak bebas linear karena B merupakan perkalian skalar dari A yaitu B = -A
2.
Tunjukkan yang tak bebas linear dari himpunan vektor berikut: a)
2, 1,4 , 3,6,2 , 2,10,4 2 3 2 0 1 6 10 0 4 2 4 0 10 15 0 15 0 4 1 0 0
b)
10 22 0
2 3 2 12 0 4
0
2 3 2 0 0 0 15 22 0 0 0 4 0 0
12
0
2 20
0
10 0 0 0 15 0 0 4
22 0
0
5 0 0 0 0
0
0
6
0
22 0
1
0
0
0 0 0
0 k 1
0 1 1
0 0
k 2 k 3 0 maka bebas linear.
3,1,1 , 2, 1,5 , 4,0,3 3 2 1 1 1 5 0 1 0
0
0 5 0 1 1 0 1 5
4 0 3
0
1
0
1
1
1
0 0 1 0 0 0
4 0 3
0
0 5 0 1 1 0 1 0
0 1
4 0 1
0
0 5 0 1 1 0 0 1
4
0
0
0
1
0
0
0 0 0 k 1 1
0 0
1
0
k 2 k 3 0
Jadi bebas linear
6 c) 6,0,1 , 1,1,4 0 1 k 1 d)
1 4
0 25 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 4 0 1 0 0
k 2 0 bebas linear
1,3,3 , 0,1,4 , 5,6,3 , 7,2,1 karena pada R 3, sedang banyak vektor ada 4 sehingga r n vektor tersebut tidak bebas linear (teorema 8)
3.
c)
4,4,0,0 , 0,0,6,6 , 5,0,5,5 4,4,0,0 0,0,6,6 5,0,5,5 0,0,0,0
4 4 0 0
0
5
0
0
6
5
6
5
0
4 0 0 0
0 0 0
0
5
0
5
6
0
0
0
0
0 0 0
1 0 0 0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0 0 0 0 0 0
Jadi bebas linear d)
3,0,4,1 , 6,2,1,2 , 1,3,5,1 , 3,7,8,3 3 6 1 3 0 2 3 7 4 1 5 8 1 2 1 3
0 0 4 12 0 0 2 3 7 4 0 0 9 1 0 1 2 1 3 0
0 0 4 12 0 18 27 63 0 18 2 8 1 3 1 2 0 0 0 0 0 18 1 2 k 1
0
0 1 0 0 0 0 0 18 0 1 2 0
1
3
0 0
22 14
1
3
0 0 0 0 0 0 1
0
0 0
0
1
3
0
29
55
0
2
8
1
3
0
1
3
0
0
1
9
0
7
2
0
0
0
0
0
0 0 0 0 0 0 1
0
1
0
0
0
0
1
0
9
0
0
2
0
0
0
0
k 2 k 3 k 4 0
4. a) 2 x 4 x 2 , 3 6 x 2 x 2 , 2 10 x 4 x 2
2 x 4 x2 3 6 x 2 x 2 2 10 x 4 x 2 0
2 3 2 0 1 6 10 0 4 2 4 0 Jadi bebas linear.
2 2 4
3
2
0
12
20
0 dari soal (2) a 0
2
4
0
b) 3 x x 2 , 2 x 5 x 2 , 4 3x 2
3 x x2
2 x 5 x2 4 3x2 0
3 2 4 0
dari 2.b diperoleh 0
0 0 5 3 0
Jadi bebas linear. c)
2 2 6 x , 1 x 4 x
6 x2 1 x 4x2 0
6 0 Jadi bebas linear. d) 1 3 x 3x 2 ,
4 x
x
2
, 5
6 x
2
3x , 7
2 x
x2
1 3 x 3 x2 x 4 x2 5 6 x 3 x2 7 2 x x2 0
1 3 3
0
5
7
0
1
6
2
0 dari 2d akan diperoleh r n (teorema 8)
4
3
1
0
vektor
tersebut tak bebas linear.
5. a)
2,4 sin2 x. cos x 2
1 4
4 sin x 2 cos 2
2
x
2 2 sin x 2 cos x 2
2
2 2 sin x cos x 2
2
Jadi tak bebas linear karena salah satu vektor dapat diperoleh dari 2 vektor b) x, cos x x cos x 0 0
bebas linear
c)
1, sin x, sin 2 x sin x sin 2 x 0 0
d)
bebas linear
cos 2 x, sin2 x, cos 2 x cos 2 x sin2 x cos 2 x 1 1 cos 2 x sin 2 x cos2 x dipenuhi jadi tidak bebas linear
e)
1 x 2 , x 2 2 x , 3 1 x2 x2 2 x 3 0 1 0 3 0 1 0 3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
3 0
0 0 3
1 3
1 3
1 x2 x2 2 x 1
tidak bebas linear.
6.
2
f)
0, x, x tak bebas linear karena salah satu vektor ada nol.
a)
V1
1,0, 2
V2
V3
3,1,2
1, 1,0
Terletak dalam satu bidang jika vector tersebut dapat di nyatakan sebagai kombinasi linear
1,0, 2
3,1,2
3
0
2
0 0
1, 1,0
0
1
3
0
1
1
2
0
1
3
1 0
0
1`
0
1
0
0
1
0
1
0
1 0
0
0
0
0
1
0
1 0
0 1
0
0
1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 Karena 3 vektor tersebut bebas linear
vector itu tidak terletak dalam satu
bidang b)
V1
2, 1,4 V2
2
4
2
0
1 2
7
0
4
3
V3
4,2,3 2 2
4
2
0
2
4
2
0
4
4
0
0
8
16
0
5
10 0
0
0
6 0
2,7, 6
1
2
1
0
1
2
1
0
1
0
1
2
0
0
1
2
0
0 1
2
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0 0
0
0
3 ,
2,7, 6
0
5
10 0
3 0
2
3 2, 1,4
2 4,2,3
Jadi, V1 , V2 & V3 sebidang.
7. a)
V1
3, 6,9
V1
3 1, 2,3
V2
2, 4,6 V2
V3
2 1, 2,3
1,1,1 V3
1,1,1
V1 dan V2 segaris tapi V3 tidak jadi V1, V2 & V3 tidak segaris.
b)
V1
2, 1,4
V2
4,2,3
V3
2,7, 6
V1 , V2 & V3 tidak segaris karena ketiganya tidak ada yang berkelipatan.
V 1 4,6,8
c)
V1
2 2,3,4
V2
2V1
V2
V3
2,3,4 V2
2, 3, 4 V3
2,3,4
1 2,3,4
V3
Karena ketiganya berkelipatan (dapat diperoleh 2 vektor dengan mengalikan skalar pada salah satu vector yang lain). Jadi V1 , V2 & V3 segaris.
8.
V1
1
,
2
1
,
1
V2
2
2
Tak bebas jika V1
V2
Tak bebas jika V1
V2
V3
1
1
,
1 2
1
,
2 1
2 1
2 1
2
1
2
2 1
1
4
2
4
1
2
1
2
4
3
4
4
))
1
1
2
2
2
4
1
2
1
1
1
4
1
1
2
1 1 ( ( 2 2
3
1
2
, ,
1 4
V3
2 1
V3
1
, ,
2
1 2
,
1 2
,
1 2
,
1 2
,
4
3 3
9
a).
V1
4
4
3
.
4
4 3
3
1
4
4
3
1
4
4
1
2
1
16
1
1
4
9.
1
3
4
4
1
3
1
1
4
4
2
0,3,1, 1
V2
V3
6,0,5,1
4, 7,1,3
4
Tak bebas linear pada R jika salah satu vector dapat diperoleh dari dua vector yang lain V1 6 0
V2 4 7
5
1
1
3
V3 0
1
3
0
7
1
0 0
1
V1
1
14
6
0
0
0
0
0
0
Tidak bebas linear
0
6
9
V3 .
0
14
21
7
0
0
0
7
6
6
3
3
14
14
0 7
V2
6
14
7
2
0 14
0
21
7
6
3
7
3
1
3
1 0
3
1
1 3 0 0
3
0
7
0 1
1
1
2 3 7
2 7
b)
2
V1
7
7
V2 3 2
10.
2
V3
7
3
7
V2
V1
3 7
V3
V3
2 7 2 7
V2
2
V3
3
V1 V2
2
V3
2
V2
3
V1 V1
V1 , V2 , V3 himpunan vector bebas linear Jadi
k 1V1
k 2 V2
k 3V3
0
hanya dipenuhi untuk k 1 Jadi V1 , V2 k 1
11.
k 2
k 1V1
k 2 V2
k 3
0
0
0 bebas linear
V1, V3
k 1V1
V2 , V3
k 2 V2
k 3V3
0V1
k 3V3
V2
k 2 V2
0V2
V3
k 3V3
0V3
S
k 2
0V2
0V2 0V3
0 bebas linear 0 bebas linear
bebas linear bebas linear
V1 , V2 ,..., Vn himpunan vector bebas linear, perlihatkan bahwa masing-
masing sub himpunan S dengan satu atau lebih vector yang bebas linear Jawab : Dik : S himpunan vector bebas linear maka,
k 1V1 k 1
k 2 V2 k 2
k 3
k 3V3 ...k n Vn
... k n Vn 0
0
dipenuhi
untuk
Ditunjukkan bahwa k 1V1 dipenuhi untuk k 1
k 2
0 atau k 1V1
...k n 1
k 2 V2
... k n 1Vn 1
0 juga
0 dimana V1, V2 ,..., Vn 1 subset dari S
Bukti: Andaikan himpunan bagian itu bergantung linear (tidak bebas linear). Menurut teorema maka keseluruhan vector dari himpunan S tak bebas linear. Suatu kontradiksi, pengandaian di atas benar, jadi haruslah himpunan bagian dari S bebas linear.
12.
V1 , V2 , V3 himpunan vector tak bebas linear pada ruang vector V1. Buktikan V1, V2 , V3 , V4 juga tak bebas linear dimana V4 sebarang. Vektor
bahwa
lain di dalam V. Bukti: V1 , V2 , V3 tak bebas linear k 1V1
k 2 V2
k 3V3
0
dimana k 1, k 2 , k 3 tidak semuanya nol
V 4 adalah vektor lain di dalam V Jadi k 1V 1 k 2V 2 k 3V 3 k 4V 4 diambil k 1 k 2
k 3
Misal: C 1
k 2
k 1
V 2
k 1, k 2 , k 3 tidak semua nol maka bisa
0
V 1
0 karena
k 1
V 3
k 1
k 4 k 1
C 2
V 4
V 1 C 1V 2 C 2V 3 C 3V 4
0
k 3
C 3
k 1
k 4 k 1
0
Terpenuhi dengan: k 1 1
k 2
C 1
k 3
C 2
k 4
C 3
Terbukti bahwa skalar-skalar tersebut tidak semuanya nol. Jadi V1 , V2 , V3 , V4 tak bebas linear.
13.
V 1,V 2 ,
,V r himpunan vektor tak bebas linear pada ruang vektor V, buktikan
V 1,V 2 ,
,V r 1,
,V n juga tak bebas linear, dimana V r 1,
,V n juga dalam V
Bukti;
V 1,V 2 ,
,V r tak bebas linear, maka terdapat skalar 1 , 2 ,
, r yang tidak
semuanya nol, sedemikian sehingga:
1V 1 2V 2
r V r 0
Kemudian kita ambil skalar :
n 1 n 2
m 0
maka kita dapatkan
persamaan:
1V 1 2V 2
r V r r 1V r 1 r 2V r 2
nV n 0
Dimana terdapat; i
0
( i antara 1 , 2 ,
, p )
Jadi n vektor tersebut tak bebas linear.
15.
V 1,V 2 bebas linear dan V3 tidak terletak pada lin V 1,V 2 maka V 1,V 2 ,V 3 bebas linear. Buktikan! Dik: V 1 ,V 2 bebas linear, maka terdapat skalar 1 , 2 yang semuanya nol, sehingga;
1V 1 2V 2
0
V 3 adalah vektor yang tidak terletak pada lin V 1,V 2 dengan demikian V 3 tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari V1 dan V2. Jadi 1V 1 2V 2 0 0 3V 3
3V 3 0
0 jika 3V 3 0 maka
3 = 0
Terbukti bahwa V 1,V 2 ,V 3 hanya dipenuhi dalam 1V 1 2V 2
1 2
3 0 . Jadi V 1,V 2 ,V 3 bebas linear.
3V 3 0 untuk
16. u, v, w adalah vektor sebarang, maka ada skalar 1 , 2 , 3 sehingga,
1u 2v 3w 0 u v 1u 2v 0 1u 2v; 1 0 u
2 1
v
u v tak bebas linear. Demikian juga dengan u w dan w u
21. Himpunan S dua vektor atau lebih adalah bebas linear
tidak ada vektor s
yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dalam vektor S lainnya. Bukti: misal S = V 1, V2, . . . , Vr adalah sebuah himpunan dengan dua vektor atau lebih.
Andaikan S tak bebas linear berdasarkan teorema 6a paling tidak satu vektor S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear kontradiksi dengan pernyataan semula.
Andaikan S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear S tak bebas linear (kontradiksi dengan S bebas linear).
SOLUSI LATIHAN 4.5 HALAMAN 163
1. a)
u1 1,2 , u2 0,3 , u3 2,7 untuk R
2
Karena pada R 2 besarnya hanya bisa dua vektor. Jadi u1, u2 , u3 bukan basis untuk R 2 b)
u1
1,3,2
u2 6,1,1 R
3
Pada R 3 harus tiga vektor didalamnya.
u1,u2 bukan basis pada R 3. c) P 1 1 x x 2 , P 2 x 1 untuk P2 Sebuah basis pada P2 mempunyai 3 vektor,
P 1, P 2 bukan basis pada P2. 7 1 1 1 6 0 3 0 5 1 d) A E B C D untuk M22. 2 9 2 3 1 7 1 7 4 2 Sebuah basis pada M22 mempunyai 4 vektor .
A, B, C , D, E bukan basis pada M22 2. a)
2,1 , 3,0 pada R 2 Ambil x, y 2,1 3,0 2 3 x 1 0 y
2 1
3 x
1 = y 0
0
0
3
y , y tunggal
x 2 y 3
= x 2 y y
1 0
0 1
y x 2 y 3
x v1 v2 kombinasi linear (membangun R 2)
Ambil x 0,0 0 0
jadi v1 v2
0 bebas linear
Kesimpulannya V 1,V 2 basis pada R . 2
b) V 1 4,1
7,8
V 2
2
Ambil x pada R x V 1 V 2
4,1 7,8 x, y 4 7 x 8 y
Matriks diperbesar
1 0
0
1 8 x 4 y 0 1
1 8 y 0 25
4 7 1 8
x
y
y 8 32 y
25 x 4 y
1
25
33 y 8 x 25 x 4 y 25
Karena dan tunggal 2
Jadi x V 2 V 2 membangun R 2
x sebarang pada R
Ambil x 0,0
V 1 V 1 0 ; 0 0 bebas linear Jadi V 1 ,V 2 basis pada R . 2
y x 4 y 25
c) V1 = 0,0
2
V2 = 1,3 pada R 2
Ambil x pada R
x 0,0 1 1,3 1 y 2
0 0
x 3
1 y 0 1 3
x 0
0
x y y
0 x y mustahil 2
Jadi V 1 ,V 2 tidak membangun R
2
Dengan demikian V 1,V 2 bukan basis pada R . d) V1 = 3,9
V2 =
4, 12 2
Ambil x sebarang pada R x V 1 V 2 3 4 x 9 12 y
Karena
1 3
V 1 1,3
1 4
V 2
1,3
1
1 V 1 V 2 3 4
Merupakan kombinasi linear atau V 1 ,V 2 tak bebas linear. 2
Jadi V 1 ,V 2 bukan basis pada R .
3.
3
Basis pada R
a) V1 = 1,0,0 , V2 = 2,2,0
V3 = 3,3,3
Ambil x sebarang pada R 3 Akan ditunjukkan bahwa x V 1 V 2 V 3 sebagai kombinasi linear dan
V 1 V 2 V 3
0 , 0 (bebas linear)
1,0,0 2,2,0 3,3,3 x1, x2 , x3 Dalam matriks diperbesar
1 1 2 3 x1 0 2 3 x2 0 0 0 3 x 0 3
x1 x2 x2 x3 , , 2 x 3 3
0
0
2
0
0
1
x1 x2 1 x2 x3 0 x3 3 0
0
0
1
0
0
1
x1 x2 x2 x3 2 x3 3
3 jadi V 1,V 2 ,V 3 membangun R
Ambil x 0,0,0, 0
0 V 1 V 2
V 3 0 hanya dipenuhi :
0 jadi V 1 ,V 2 ,V 3
0 bebas linear. Dengan demikian V 1 ,V 2 ,V 3 merupakan basis pada R . 3
b) V 1 3,1,4 , V 2 2,5,6 , V 3 1,4,8 Ambil x sebarang pada R
x 1V 1 2V 2
3
3V 3
Dalam matriks diperoleh;
3 2 1 1 5 4 4 6 8
x1
1 x2 0 x3
Matriks koefisien A =
5 4 x2
3 2 1 1 5 4 4 6 8
Det A 340 24 2 16 18 6 20
316 2 24 26 48 48 26 26 Det A 0 A mempunyai invers. Dengan demikian x 1V 1 2V 2 dapat
dinyatakan sebagai kombinasi linear, dan 1V 1 2V 2
3V 3
3V 3 0
bebas linear dengan demikian V 1,V 2 ,V 3 merupakan basis pada R 3 c)
V 1 2,3,1 , V 2 4,1,1 , V 3
0,7,1
Matriks koefisien
2 A 3 1
4 1 1
0
7 det A = 2(8) + (4)(-4) 1 =16-16 =0
Karena Det A = 0 maka A tidak mempunyai invers dengan demikian V 1,V 2 ,V 3 tidak bebas linear.
Bukan basis pada R 2. d) V 1 1,6,4 , V 2
2,4,1 , V 3 1,2,5 3
Ambil x sebarang pada R
x 1V 1 2V 2
3V 3
Dalam matriks diperoleh
1 2 1 6 4 2 4 1 5
x1
x2 selidiki matriks koefisiennya x3
1 2 1 2 DetA 22 28 30 1 6 16 A = 6 4 4 1 5 22 44 22 0 Karena det A = 0 maka A tidak mempunyai invers oleh karena itu V 1,V 2 ,V 3 tidak bebas linear. Jadi V 1,V 2 ,V 3 bukan basis pada R 3
4.
Basis pada P2 a) 1 3 x 2 x 2 , 1 x 4 x 2 , 1 7 x V 1
1,3,2 ,
V 2 1,1,4 , V 3
1,7,0
Ambil x sebarang pada P2 x a, b, c
Misal a bx cx2
x 1V 1 2V 2 3V 3 Dalam matriks yang diperbesar
1 3 2
a
1
1
1
7
4
0
c
1
1
1 A = 3 2
1 4
b selidiki matriks koefisiennya
7 Det A 28 14 0 12 27 0 28 14 14 0
Karena det A = 0 maka tidak mempunyai invers, Jadi V 1,V 2 ,V 3 tidak bebas linear dengan demikian bukan basis pada P2.
b) 4 6 x x 2 ,
1 4 x 2 x 2 , 5 2 x x 2
V 1 4,6,1 , V 2
1,4,2 , V 3 5,2,1
Dari soal 3d Menunjukkan bahwa bukan basis pada P2. c) 1 x x 2 , x x 2 , x 2 P 1 1,1,1 ; P 2 0,1,1 , P 3 0,0,1 Dari 3a maka P 1, P 2 , P 3 basis pada P2 d)
4 x 3x 2 , 6 5 x 2x 2 , 8 4 x x 2 P 1 4,1,3 ; P 2 6,5,2 , P 3 8,4,1 Dari 3b
5.
3 6 3 6
P 1, P 2 , P 3 basis pada P2
0 1 1 0
0 8 1 12 4 1
0
2
Ambil P pada M22 sebarang sehingga:
P aM 1 bM 2 cM 3 dM 4 a, b, c, d skalar
3 a 3
0 1 0 8 1 b c d 6 1 0 12 4 1 6
x1 2 x3 0
x2
x4
Untuk melihat apakah bebas linear, anggaplah;
aM 1 bM 2 cM 3 dM 4
0
Yakni:
3 a 3
0 1 0 8 1 b c d 6 1 0 12 4 1 6
0
0 2 0
0
0
a d 0
2a b 2c 0 SPL a b 3c d 0 2a c 2d 0 Dalam matriks diperbesar
1 0 2 1 1 1 2 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 0 0
0
2 3 1 1 2 0
4
1 0 0 1 0 0 0 1 2 2 1 0 0 1 3 2 1 0 0 0 1 4 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
0
0
1 0 0 0 0 0 0
0
0
1
0
1
2
2
0
0
1
0
0
1
4
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
a 0, b 0, c 0, d 0
M 1, M 2 , M 3, M 4 bebas linear A, b, c, d = tunggal maka M 1 , M 2 , M 3, M 4 mb V dengan demikian, merupakan basis pada M22.
6.
2
V1 = cos x , V 2 a) V 3
sin2 x V 3 cos 2 x
V 2 V 1 jadi tidak bebas linear
Dengan demikian S V 1,V 2 ,V 3 bukan basis untuk V b) Ambil 2 vektor sebarang pada V 1 ,V 2 ,V 3
V 1 V 2
P
P vektor sebarang pada V
V1, V2 membangun V Ambil P = 0
V 1 V 2 0
cos 2 x sin2 x 0 Hanya memenuhi 0 jadi V1, V2 bebas linear. Dengan demikian V1, V2
basis pada V.
7.
Mencari basis dan Dimensi x1 x2 x3
0
2 x1 x2 2x3 0 x1 x3 0 Misal x2
x3
t
u , t dan u parameter
x t x1 t 2 x1 x2 2 x3 2t x2 2t x2 0
x1 t 1 x 0 t 0 2 x3 t 1
1 Basisnya 0 dimensinya = 1 1 8.
3 x1 x2 x3 x4
0
5 x1 x2 x3 x4
0
3 1 5 1
0
3 0 x1
1
1
1
1
0 1 1 4
x3
3 4 1 4
15 5 0 15 3 1 0 0
0 0
0
1
1
1 4 1 4
5
5
3
3 0
0 0 1
0
3 1 1 1 0 0 8 2 8
0
0
x2
1
4
x3 x4
Misal x4 1
x1
x2
x3
P
4
t
P
1 4
P t
1 1 1 x1 4 P 4 P 0 4 0 x 1 2 P t 1 P t p 1 t 1 x3 4 4 0 4 0 P P 1 1 t x4 0 t 0
1 4 1 Basisnya , 4 1 0
0 1 0 1
Dimensinya = 2 9. x1 4 x2
3 x3 x4 0
2 x1 8 x2 6 x3 2 x4
1 4 2 8
3 6
1 2
1 4 0 0 0 0
x1 4 x2 3 x3 x4 x3
q
x2
p
x1 4 p 3q r
0
ambil x4
p,q,r skalar
3
1
0
0
r
0
0
x1 4 p 3q r 4 p 3q r p x2 p 0 0 x 0 q 0 q 3 r x4 0 0 r 4 3 1 1 0 0 p q r 0 1 0 0 0 1 Basis 4,1,0,0; 3,0,1,0, 1,0,0,1 Dimensinya = 3
10. x1 3 x2
x3 0
2 x1 6 x2 2 x3 3 x1 9 x2
1 3 2 6 3 9 x1 3 x2
0
3x3 0 1 2 3
3 1 0 1 3 1 0 0 1 3 1 0 0 0 0 0 0 1 3 1 0 0 0 0 0 0 1
x3 0
x1 3 p q
x2
p
x3
q
p q parameter
x1 3 p q 3 p q 3 1 x p 2 p 0 p 1 q 0 x q 0 q 0 1 3 Dimensinya : 3,1,0 ; Dimensinya = 2
11.
2 x1 x2 3x3
x1 5 x3
0
0
1,0,1
x2 x3
1 0 0
2 1 3 0 1 0 5 0 1 1 0 5 0 2 1 3 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
0
0
5
0
1
7
0
0
8
1 0 0 x1
0
x2
0
x3
0
0
5
0
1
7
0
1
1
0
0
0
5
1
7
0
1
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
Jadi tidak ada basisnya dan dimensinya.
12.
x y z 0 3 x 2 y 2 z 0 4 x 3 y z 0 6 x 5 y z 0
1 3 4 6
1
1
2 3
2 1
5
1
0
0 0 0
1 1 1 0 1 5 4 1 5 0 1 5
x 4 z ambil z = t y 5 z
y 5t
x 4t 4 y 5t t 5 z t 1
1 0 0 0 0 0 0
t = parameter
x 4t
z t
0
1
1
1
5
0
0
0
0
1 0 0 0 0 0 0 0
0
4
0
1
5
0
0
0
0
0
0
0
Basisnya 4, 5,1 dimensinya = 1 13.
3
Tentukan baris sub ruang R a)
Bidang 3 x 2 y 5z 0 3 x 2 y 5 z x
2
x
2
misal y t , z p
t , p parameter
5 y z 3 3 5 t p 3 3
y t
z p
2 5 2 2 5 5 3 p x 3 t 3 p 3 t 3 3 0 y t t 0 t 1 p z p 0 p 0 1 Basisnya = 2 ,1,0 , 3 b)
x – y = 0 misal y = p
5 3 ,0,1 dimensinya = 2 z=q
x=y
x=p
x p p 0 1 0 y q p 0 p 1 q 0 z 0 0 q 0 1
y=p z=q Basisnya: 1,1,0 , 0,0,1 Dimensinya = 2 c)
Garis x 2t , y t , z 4t
x 2t 2 y t t 1 z 4t 4 Basisnya 2, 1,4 Dimensinya = 2
d)
Vektor berbentuk a, b, c dimana b = a + c
a a a 0 1 0 b a c a c a 1 c 1 c c 0 c 0 1 Besarnya = 1,1,0 , 0,1,1 dimensinya = 2
14.
4
Tentukan dimensi sub ruang berikut; R a)
vektor berbentuk a, b, c,0 a 1 0 0 b a 0 b 1 c 0 c 0 0 1 0 0 0 0 Dimensinya = 3
b)
a, b, c, d dimana d = a + b dan c = a – b a a a 0 1 0 b b 0 b 0 1 c a b a b a 1 b 1 d a b a b 1 1 Dimensinya = 2
c)
a, b, c, d ; a = b = c = d
a a 1 b a 1 c a a1 d a 1 Dimensinya = 1 15. P3 yang terdiri polinomial a0 a1 x a2 x 2 a3 x3
a0 0
a0 0 0 0 0 0 0 a 0 a 0 1 0 1 1 a a 0 a a 0 a 0 1 0 2 1 3 0 2 2 a a 0 0 0 0 1 3 3 Dimensinya = 3
16.
Dik v1, v2 , v3 adalah basis untuk ruang vektor V, perlihatkan u1, u2 , u3 adalah juga sebuah basis, dimana u1 v1 , u2
v1 v2 , dan
u3
v1 v2 v3
u1 v1 v1 0 0 1 0 0 u v v v v 0 v 1 v 1 v 2 1 2 1 2 1 2 3 0 u v v v v v v 1 1 1 3 1 2 3 1 2 3 Karena v1 , v2 , v3 basis
u1, u2 , u3 juga salah satu basis.
17. Perlihatkan bahwa ruang vektor semua fungsi bernilai riil yang didefenisikan pada garis riil adalah ruang vektor berdimensi tak berhingga. Bukti: Andaikan ruang vektor berdimensi berhingga yaitu n. V v1, v2 , v3 ,
, vn .
v1, v2 ,
, vn bebas linear karena merupakan basis pada V
Ambil n+1 adalah vektor bebas linier
V 1 v1, v2 , v3 , , vn , vn 1menurut
teorema 9. V1 tidak bebas linear.
kontradiksi dengan n+1 vektor bebas linear. Kesimpulan : dimensinya tak berhingga.
18. Buktikan sub ruang dari ruang vektor berdimensi berhingga adalah ruang vektor berdimensi berhingga. Bukti : Defenisi: dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefenisikan sebagai banyaknya vektor pada basis untuk V. Misal S v1, v2 , v3 ,
, vn ruang vektor berdimensi berhingga, dimensinya = n
Ambil s1 S dengan demikian s1 juga berhingga, oleh karena itu ruang vektor s1 juga berdimensi berhingga. Ambil: s1 v1, v2
, vr , karena S s1 r n . S berhingga
S berdimensi berhingga
s1 berhingga.
S 1 berdimensi berhingga
19. V adalah ruang dari ruang vektor W berdimensi berhingga . Buktikan dimensi (V)
dim (W)
Bukti: Misal: W V 1,V 2 ,
,V N dimensinya = n (berhingga)
Ambil V W V v1, v2 ,
dim (W) = n
, v p karena V
W
p n . Dimensinya juga berhingga yaitu dim (V) =P Dari p n dim (V)
dim (W). (terbukti) 3
20. Buktikan bahwa sub ruang R hanyalah garis-garis melalui titik asal, bidang3
bidang melalui titik asal, sub ruang nol, dan R itu sendiri. Bukti: S R3
V 1,V 2 ,V 3 sub ruang R 3 yaitu:
S 1
V 1 berdimensi satu hanya garis melalui titik asal
S 2
V 1 ,V 2 berdimensi dua bidang melalui titik asal
