INTRODUCCIÓN Con este trabajo se revisaran los fundamentos del álgebra lineal, que son los vectores y sus componentes magnitud y dirección. Los productos vectoriales tienen diversas aplicaciones, sobre todo en las ramas de la física y el cálculo. En diferentes libros se encuentra el concepto de vector; en la mayoría de ellos se representa como una línea que apunta hacia alguna parte. En diferentes áreas de las ciencias se utilizan los vectores para facilitar la información que se tiene de algún fenómeno, proyecto o situación que se plantea, debido a que ofrece la información de manera general y ordenada, podría decirse que es un símbolo general que facilita la representación de un problema. Cabe mencionar que existen diferentes métodos para resolver problemas, evitando el uso de los vectores; sin embargo, éste enseña a representar la información de manera ordenada, general y simple, en muchos de los casos.
OBJETIVOS
Afianzar mediante ejercicios prácticos los conocimientos adquiridos en launida d 1 del programa de Algebra Lineal.
Entender el concepto de matriz y reconocer los diferentes elementos que la componen.
Realizar las operaciones algebraicas básicas con matrices y sus propiedades.
Comprender e identificar la aplicación de los diferentes métodos para la solución de los problemas propuestos
EJERCICIOS DEL 8 AL 14 DE FEBRERO (semana 1) Ejercicio 1 1. De un ejemplo de alguna magnitud de su cotidianidad que pueda ser representada por un vector, recuerde que debe cumplir con el hecho de tener una magnitud y una dirección. RTA: una de los vectores que más uso a diario es la distancia para desplazarme ya sea en algún vehículo o a pie, porque siempre tiene una magnitud que sería la distancia en metros o kilómetros y la dirección de acuerdo hacia donde nos desplazamos. En mi caso mi trabajo queda a 17 kilómetros de mi casa en la dirección Sur. 1. Encuentre la magnitud y dirección de los siguientes vectores: � = (4,4) � = (−1, −√3) magnitud v =( 4,4)
‖v‖=‖(4,4)‖=√ ( 4 2 ) + ( 42 ) = √16+16=√ 32= √16 √ 2=4 √ 2 direccion v=(4,4)
arctg
( yx )=arctg ( 44 )=arctg 1=45 °
∅=360 °−45 °=315
magnitud v =(−1,−√ 3)
‖v‖=‖(−1,−√ 3)‖=√ (−12 ) + ( −√ 32 ) =√ 1+3= √ 4=2 direccion v=(−1,−√ 3)
arctg
( yx )=arctg ( −√−13 )=arctg( √13 )=60°
∅=360 °−60 °=300
EJERCICIOS DEL 15 AL 28 DE FEBRERO (semana 2 y 3) Ejercicio # 3
Proy vu
3. Calcule
sabiendo que: a ¿ u=2 i+ j ; v =i−2 j
Proy v u=
u.v |v|
u . v=( 2 i+ j ) ∙(i−2 j)
u . v=2−2 u . v=0
Proy vu =0 b ¿ u=αi−βj ; v =i+ j α y β reales y positivos , con α < β
u=ai−βj v =i+ j
u . v=a−β v =√ 12 +12= √ 1+1= √2
Proy v u=
u . v a−β = |v| √2 c ¿u=2 i−3 j+4 k ; v=−2 i−3 j+5 k
u= (2,−3,4 ) v =(−2,−3,5 ) u . v=(−4 +9+20 )=25 Proy v u=
u.v |v| Proy v u=
25 25 25 = = 2 2 √(−2) +(−3) +5 √ 4+ 9+25 √38 2
Proy v u=
25 √ 38 25 √38 . = 38 √ 38 √ 38
EJERCICIOS DEL 29 DE FEBRERO AL 6 DE MARZO (semana 4) Ejercicio # 2
2. Dada la matriz
(
1 −2 4 A= 2 0 3 1 1 5
)
a) Exprese la matriz como una matriz triangular superior, haciendo uso únicamente de operaciones elementales.
(
(
)
1 −2 4 2∗1 F −F 1→ F 2= 0 2 −5/2 2 1 1 5
)
(
1 −2 4 F 3−F 1→ F 3= 0 2 −5/2 0 −1 1
(
)
1 −2 4 2 F 3+ F 2 → F 3= 0 2 −5/2 0 0 −1/2 b) Calcule
A 2−3 B
(
)
15 −5 2 B= 2 0 0 1 6 5
(
)
sabiendo que
)(
1 −2 4 1 −2 4 A 2= A ∙ A= 2 0 3 ∙ 2 0 3 1 1 5 1 1 5
)
(
1∗1+ (−2∗2 )+ 4∗1 (1∗−2 )+ (−2∗0 ) +4∗1 1∗4+ (−2∗3 )+ 4∗1 A = A ∙ A= 2∗1+ 0∗2+3∗1 (2∗−2 )+ 0∗0+3∗1 2∗4+0∗3+3∗5 1∗1+1∗2+5∗1 ( 1∗−2 ) +1∗0+ 1∗1 5∗4+5∗3+5∗5 2
(
( 1−4+ 4 ) (−2+ 0+4 ) ( 4−6+20 ) 2 A = A ∙ A= ( 2+0+3 ) (−4+ 0+3 ) ( 8+ 0+15 ) ( 1+2+5 ) (−2+0+1 ) ( 20+ 15+25 )
)
)
(
1 2 18 A = A ∙ A= 5 1 23 8 −1 60 2
(
15 −5 2 3∗B= 2 0 0 1 6 5
(
)
) )
45 −15 6 3∗B= 6 0 0 3 18 15
(
)(
1 2 18 45 −15 6 2 A −3 B= 5 1 23 − 6 0 0 8 −1 60 3 18 15
(
)
)
−44 17 12 A 2−3 B= −1 1 23 5 −19 45
EJERCICIOS SEMANA 7 AL 13 DE MARZO (semana 5) Ejercicio # 1
1. Encuentre la matriz inversa de
(
1 1 1 1 1 2 −1 2 A= 1 −1 2 1 1 3 3 2
)
haciendo uso del
método de Gauss Jordán y Luego por el método de los determinantes. −1
Recuerde que: t
A y (AdjA )
A =
1 ∙ Adj A , donde | A|
| A|
es el determinante de
es la matriz transpuesta de la adjunta.
Método de Gauss Jordan
Para calcular matriz invertible apuntemos la matriz A y también escribamos a su derecha una matriz identidad:
(
1 1 1 11 1 2 −1 2 0 1 −1 2 1 0 1 3 3 20
0 1 0 0
0 0 1 0
F 2 → F 2−F 1
F 3 → F 3−F 1
0 0 0 1
)
(
1 1 1 1 1 0 1 −2 1 −1 0 −2 1 0 −1 0 2 2 1 −1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
)
F 4 → F 4−F 1
F 1→ F 1−F 2 F 3 → F 3+ 2 F 2
F 4 → F 4−2 F 2
(
1 0 0 0
0 3 0 2 −1 0 0 1 −2 1 −1 1 0 0 0 −3 2 −3 2 1 0 0 6 −1 1 −2 0 1
)
(
1 1 F 1→− F 3 0 3 0 0
2 −1 0 3 0 −1 1 1 −2 1 −2 0 1 −2/3 1 3 0 6 −1 1 −2
F 1→ F 1−3 F 3
(
F 2 → F 2+2 F 3 F 4 → F 4−6 F 3
(
0 0 −1 3 0
0 0 0 1
)
−1 1 2 −1 −1 1 0 1 0 3 3 −2 0 0 1 −2/3 1 3 0 0 0 3 −5 2 1 0 0
−1 1 0 0
2 1 −1 1 0 1 0 F4→ F 4 3 1 3 0 0 1 −2 /3 0 0 0 1 −5 3
F 1→ F 1−2 F 4 1 F 2 → F 2+ F 3 3 2 F 3 → F 3+ F 4 3
1 −1 3 −2 3 2 3
1 −2 3 −1 3 2 3
0 0 0 1 3
)
1 −2 3 −1 3 2
0 0 0 1
)
( 7 3 4 A−1= 9 1 9 −5 3
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
7 3 0 4 0 9 0 1 1 9 −5 3
−1 3 −1 9 −2 9 2 3
−1 3 −4 9 1 9 2 3
−2 3 1 9 2 9 1 3
)
( ) −1 −1 3 3 −1 −4 9 9 −2 1 9 9 2 2 3 3
−2 3 1 9 2 9 1 3
EJERCICIOS SEMANA 14 AL 20 DE MARZO (semana 6) Ejercicio # 1 1. Calcule el determinante de la matriz haciendo uso de menores y cofactores.
|
1 −1 2 0 3 1 4 0 A= 2 −1 5 0 0 0 0 2 0 0 0 −1
|
0 0 0 3 4
Desarrollaremos por la Fila5
| A|=a54 C54 + a55 C 55
| A|=−1 (−1 )5+4
|
| | | |
1 −1 2 0 3 1 4 0 5 +5 +4 (−1) 2 −1 5 0 0 0 0 3
5 +4
a54 C 54 =−1 (−1 )
|
1 −1 2 0 3 1 4 0 2 −1 5 0 0 0 0 2
1 −1 2 0 3 1 4 0 2 −1 5 0 0 0 0 3
Expandimos lamatriz por 3 de laúltima fila y obtenemos
|
|
1 −1 2 a54 C54 =−1 (−1 )5 +4 (−3) 3 1 4 2 −1 5
( ( 1∗1∗5 ) + (−1∗4∗2 )+ ( 2∗3∗−1 ) ) −¿ a54 C 54=−1 (−1 ) 5 +4
a54 C54 =−1 (−1 )
5+4
(−3) ¿
(−3)[ ( 5−8−6 ) −(−15−4 +4 ) ]
a54 C54 =−1 (−1 )5 +4 (−3)(−9+15) 5 +4
a54 C54 =−1 (−1 )
(3)(6)
a54 C54 =18
5+5
a55 C55=4(−1)
|
|
1 −1 2 0 3 1 4 0 2 −1 5 0 0 0 0 2
Expandimos la matriz por (2)de la última fila y obtenemos
5 +5
a55 C55=4 (−1 )
|
5 +5
(−2 ) [ ( ( 1∗1∗5 ) + (−1∗4∗2 )+ ( 2∗3∗−1 )) −( (−1∗3∗5 ) + ( 1∗4∗−1 )+ ( 2∗1∗2 ) ) ]
5+5
(−1 ) [ ( 5−8−6 )−(−15−4+ 4 ) ]
a55 C55=4 (−1 ) a55 C55=4 (−2 )
a55 C55=4 (−1 )5 +5 ( 2 ) (−9+ 15) 5 +5
a55 C55=4 (−1 )
( 2 ) (6)
a55 C55=48
| A|=a54 C54 +a55 C 55 | A|=18+48
| A|=66
|
1 −1 2 (−1) 3 1 4 2 −1 5
BIBLIOGRAFÍA
Unidad 1. Vectores, Matrices y Determinantes http://campus03.unad.edu.co/ecbti04/mod/lesson/view.php? id=4909&pageid=1019
