TRILCE
Capítulo
LEYES DE EXPONENTES
1
ECU CUA ACI CIO ONES EXP XPO ONENCI ALES
Es la operación matemática que tiene por objetivo encontrar una expresión llamada potencia (p), conociendo previamente otras dos expresiones denominadas base (b) y exponente (n).
1.
b base ; b b p ; donde n exp o nente ; n p potencia ; p
2.
: bases iguales. a m. an
amn
4 2 4 2 x6 Ejemplo : x . x x
: bases iguales.
n
am an
Así pues, pues, en 23 = 8 : 2 es la base, 3 es el exponente y 8 es la potencia.
x10
Ejemplo :
x
7
am n ; a = 0
x10 7 x 3
3.
.
1.
(a m )n a m.n ao 1 ; a = 0 o Ejemplo : 5o 1 ; (3) 1 ;
Ejemplo : (x 2 )5 x 2 . 5 x 10 o
7 1
4.
: exponentes iguales. an b n = (ab)n
2. a1 = a
Ejemplo :
a3 b3 c3 (abc)3 Ejemplo : 41 4
(x 2 . y 3 )5 (x 2 )5 . (y3 )5 x10 . y15
3. 5.
: exponentes iguales.
an = a.a.a. ...... . a ; n 2
an
"n" veces
bn
a b
n
;b=0
Ejemplo : 7 3 7 . 7 . 7 343 Ejemplo : 4.
. a n
Ejemplo : 21
1 21
x3 1
an
1 2
;
x 3 y y
;a=0
3 2
1 32
1
x 4 3 y
3
2
4 2 8 (x ) x (y 3 )2 y6
9
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lgebra : Es una de las operaciones matemáticas inversas a la potenciación cuyo objetivo es encontrar una expresión llamada raíz (b), conociendo otras dos expresiones denominadas radicando (a) e índice (n).
1.
: índices iguales. n
Ejemplo :
n
Así pues : en raíz.
a b ; donde n a b
3
signo radical Índice ; n Radicando
2.
3
n
a. b
x . 3 y 3 xy
: índices iguales.
n n
Raíz ; b
64 4 : 3 es el índice, 64 el radicando y 4 la
n
a. b
x
Ejemplo :
y
a n a ;b=0 b b x y
: 3. 1.
.
a, b , n
m n
n
a b a bn
Ejemplo :
Ejemplos : n
3
2004 existe en
a
6
x x
2.
n
n
1. 2.
a m b m a m b ; a > 0
3.
m
b ; ab 0 a
a n mk a nk ; k Z
.
32 no existe en .
Es aquella ecuación donde al menos uno de sus miembros no es una expresión algebraica, así pues tenemos:
. n
am
m an
2 (8) 3
a
3 8 (2)2 4
n
x
3
Como base y exponente a la vez Ej. 2x x 5 ; xx 3
c)
Afectada por algún operador Ej. Logx2 x 1 ; Cos(2x) 0,5
a ; n # impar an | a | ; n # par
|a| : valor absoluto de "a", significa el valor positi vo de "a".
Ejemplo :
Formando parte de algún exponente Ej. 5x1 125 ; 23 16
2
n
*
a)
b)
Ejemplo :
3.
3 2
a b
8 2 8 (2)
: Debemos tener en cuenta que dentro del conjunto de los números reales no se define a la radicación cuando el índice es par y el radicando negativo, como en los ejemplos : 4
x
m.n
a b a bn
9 3 9 32 3
3
a
x 3 x ;
Es la ecuación trascendente que presenta a su incógnita formando parte de algún exponente. 2 Ejemplo : 5 x 1 25
x2 |x|
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:
Transformando al segundo miembro se tendrá : a
x
a
y
x
3
y ; a > 0; a = 1
3
33
x
x
Ejemplo : 7 x 1
5 x 7 x 1 5 x 2x = 6 x=3
: Para resolver algunas ecuaciones trascendentes, a veces es necesario recurrir al proceso de comparación comúnmente llamado método de analogía, el cual consiste en dar forma a una parte de la igualdad tomando como modelo la otra. Veamos un ejemplo : Ejemplo :
x
x3
3
3
x
3
3
3 (representa un valor de "x").
Sin embargo, debemos indicar que el método de analogía sólo nos brinda una solución, pudiendo haber otras, sino veamos el siguiente ejemplo : En :
x
Pero x
x
x
2 =
4
2 se observa que x = 2 4
4 , con lo cual tenemos :
4 de donde : x = 4.
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lgebra
01. Calcular : A + B; sabiendo que : A ( 2
3)
0
1 ( ) 2 2
6 5
0
06. Si el exponente de "x" en : 1
216
a
3
a2
1
B
1 1 2 ( ) 2 ( )4 2 3
a) 5 d) 20
a
xb
x b es 4, entonces el exponente de "x" en :
a 1 2b (x ) .
4 d) 16
b) 10 e) 25
c) 15
b) 2 e) 1
07. Sabiendo que : Reducir : n
02. Reducir :
2x 1 3
24 x
.3
(3 ) 8 3x
a
c) 8
n 1 0 . .
a
33
3 2 x
a) a0
4 b) a
2 d) a
e) a 1
c) a
08. Simplificar : a) 1 12 d) 3
c) 337
b) 318 e) 3
33 33 3 3
24
.......
03. Reducir :
4 32 1 9 U 16 b) 50 e) 32
1 5
a) 3 d)
b) 9 e)
3
3
3
c) 27
3
09. Hallar el valor de " " , si el exponente final de "x" en : c) 16
x x 3
5
x es la unidad. Además : 3
04. Simplificar : a b a 2b b 6 . 16 . 3 18 a b
a) 2 d) 8
3
3 3 n3
"n" radicales
a) 48 d) 64
33
b) 4 e) 12
a) 10 d) 25 c) 6
5
b) 15 e) 30
c) 20
10. Hallar el exponente final de :
x x x ...... x x
05. Sabiendo que :
3 f (x) x Calcular : M f (x)
f ( x )
3
x
100 radicales
x 2 / 3
a)
, para : x = 3. d) c) 31
a) 31 / 2
b) 3
d) 31 / 3
e) 31 / 2
399 390 1 2100 1 2100 1
b)
e)
299 299 1 3100
c)
1
3100
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2100 1 2100
11. Hallar "x" :
19. Resolver :
4 x. 8 x 1 22x 1.163x 2 a) 1/3 d) 5/3
12. Al resolver : 16
b) 2/3 e) 4/3 3 2x
8
4 2x
p q
a)
5
5
d)
5
5
2
b) 3 e) 6
b)
5
2
2. x
25
5
5
5
4
77
7
13. Resolver : x 2 3 x
c)
1
20. Resolver : x7
c) 4
3
3
e) 5 x
.
Indique : p + q.
4
5
c) 4/5
se obtiene la fracción irreductible :
a) 2 d) 5
x
x
x
a) 7
b) (
17 d) ( ) 7
e)
1 7
7
1 ( ) )7
c)
1 7
7
5 21. Calcular :
a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
2 (11) 4 5 3 0
0
3
8 5
1
14. Resolver :
9x 2 32x 240 a) 2
b) 3
d) 0,3
d)
1 2
c) 0,5
2
3
x
9 c) 2
1 4
b) 15 e) 18
3
1
b) 3 2
6
9
d) 3
e) 3
x
4
.
b)
d) 27
e) 3
c)
3
4 x 3 5
c) 3
9
a) 1
b) 33
d) 4
e) 324
45x
2y
.
3
1
23. Reducir :
6 5
.52
5
2 3 y
c) 318
24. Calcular :
18. Resolver : x 13 x
x
a) 25 d) 50
x
1
a) 9
c) 10
1
17. Hallar "x", de : x x 9
a) 3
3
3
16. Resolver : x x 672 ; e indicar : E
a) 12 d) 9
c) -1
1 1 1 1 9 3 1 9 3
b) 4 e)
b) 1 e) 2
22. Reducir :
e) 6
15. Calcular "x", si : a) -3
a) 0 d) -6
b) 20 e) 1
x
x13
37
x
x
10 n
1 x
8
2 n1
5n
3 1
c) 13 a) 2 d) 4
b) 8 e) 16
c) 64
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lgebra 25. Sabiendo que :
P(x) 5 x Calcular : N P(5) a) 51 / 5 d)
P(5)
x 5
5x
3
e) 5
5x
b) 3 e) 10
c) 21
31. Resolver :
34 x. 96 x . 2710 x 814 x a) 4 d) 7
. c) 51 / 3
b) 51 / 5
5
a) 6 d) 8
b) 5 e) 8
c) 6
32. Resolver :
813
3
2x
274
2x
26. Si el exponente de "x" en : a) 2 a
x b1. x c es 5, entonces el exponente de "x" en :
b) 4
c)
a
ab c
a) 1 d) 4
d)
(x 5 a 1 )a
b) 2 e) 5
1 4
1 2
e) 8
33. Resolver :
c) 3
4
27. Reducir :
x 2 2x
7
x
7
a n
a) 0 d) 3
n n 1
a
b) 1 e) 4
c) 2
34. Resolver : n2
n a) a
b)
d) a n 1
e) a n
c)
a
n
4 x 1 48 22x 3
a
n
a) 1 d) 4
28. Simplificar :
b) 2 e) 5
c) 3
35. Calcular "x", si : 55 55 5 5 5 5
55
..........
5
5
5 5 n 5
3
6
5
x
5
"n" radicales
a) 5
b) 10
d) 5 5
e)
c) 25
a) 1
b)
d) 3
e)
5
1
c) 2
2 1 4
a
29. Si : a a 1 , entonces el equivalente reducido de : a
aa
36. Hallar "x" : (2 x )2 232 .
(a 1)(a 1) es :
a) 1
b) a
d) a2
e)
a
a) 4 d) 2
c) 1/4
b) 8 e) 32
c)16
a 37. Hallar "x" en :
30. En la siguiente ecuación : 6 3
x
2 3
x
2 3
2
x .......
3
x
2
x
k
El miembro de la izquierda consta de "n" radicales. Si :
k
80 3
n
y x
n 2
a) 9 d) 6
515 5 x 5 x 1 5 4
b) 12 e) 10
5
c) 92
. Calcular : (n+x).
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Prof. Jimmy Espinoza Ramírez - 991122751 / 975767059 38. Hallar "x" de :
44. Reducir : x
a) 5
1
b) 5
d) 5 4
x
625 1
E
5
2
c) 5
3
39. Resolver :
3
x
3x
3x2
n
a)
7
b)
8
d)
13
e)
15
c)
b) 1
d) mnp
e) x mnp
11
40. Resolver :
M
d)
x
a) d)
1
e)
3
9
3
3
2n1. 4 2n 1 8 n 2 16 . (2n ) 3
d)
e)
3
x
M 8 a) 2 2 d) 8
b)
.
4x x
2
12
b) 22
d) 22
e) 23
4x
d)
2
b)
2 2
e) 2
2 2
2
2
x
xx
c) x x
2 2
2 2 8
2 6
c) 2
2m
m
2n c) 23
b) 1 e) -4
3 9 3 3 1 3 3 3 9 2 2
1 3 3
2 c) 2
2
1 x
48. Calcular :
x2
43. Mostrar el equivalente de :
2
. 1 x
2
n
33
a) 2
x
4m 4n
a) 21 d) 2
(0,5)
a) 2
8
2
2
1 x
e) 4
c) 2,5
2x 3 2
2
1 x
47. Si : m + n = 2mn ; reducir :
42. Reducir :
x
e) x
x
3
b) 3,5
c) x
b) x 1
c) 9
a) 4,5
px x
46. Calcular :
41. Simplificar :
M
m
39
b) 2
3 3
nx
a) 2
a) x 2
xx
p
mx
45. Efectuar :
64
m p . nm . pn
Sabiendo que :
e) 5 5
6.3 x
mm . n n . p p
2 1
a) 2
b)
d) 8
e)
2 / 2
c) 1/2
2
49. Hallar el valor de :
E
c) 4
3
para : x 2
a) 4
d)
1 4
x 1
x
8x
.
x 1
x
8x
.
x 1
.....
2
b) 16
e)
c)
1 2
1 16 15
lgebra 50. Simplificar :
55. Hallar "x" de :
2 3 n 2 7 2 7 2 7 ..... 2 7 n . 4 7 3 4 4 2 4 3 4n 7 7 7 ..... 7
x a)
2
d)
2
a)
2
e)
56. Resolver ecuación :
d)
4
2
c) -
3n
1 2
3
x 2
1 2
3
x2
1 2
Entonces el cociente de las soluciones es :
1 2n
a) -1 d) 2
n e) 2n 1
1
c) 4 2 2 1
2
x2
b) 2n
n
2
b) 2 2
Señale el exponente de 7.
2
(x 2 )2
2
b) 0 e) 3
c) 1
57. Calcular "x" en : 51. Hallar "x" en :
mx 27 27
a) 6 d) -8
x 1
39
a
x , siendo : m x x
b)
n
d) nn
e)
n
c) 8
52. Indique "x" en :
.
n
a) n
58. Si : x
x 1 3
xx
xx
x2
b) 7 e) -7
a
n x
2 x 1 4
.
a
2 3x
c)
n
n
n
/ x 1 ; y además : x
1 ; a 0
x
x
x 1
x
x
x
Calcular : 2x. a) 1/5 d) -2/5
b) 3/5 e) 1
c) -4/5
a) 1/4 d) 1/2
53. Resolver :
2 3
a)
d)
19 2 1 9
2 x 3
9 . 4
b)
9 x 4
76 3
2 3
19 x
c) 1
59. Hallar "x", en :
8 27
c)
27
0
8
x
a)
5 d)
e) 2
54. Si :
1
x 2x
b)
4
2 4
e)
2
2
2;x0
1 2
2
2
b) 4 e) 0
1 x 1 x x
1 / 2
x1 / 2 x
1 / 2 x
c) 2 a) 2 d) 2
b) 4 5 e) 8
c)
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2
c)
60. Hallar "x" : (x > 0).
2 2x 2 2y 4 , y 2x y 6 , el valor de 2x 2y es :
a) -4 d) -2
b) 2 e) 1/8
5
4
