ÁLGEBRA – LETRAS LETR AS
POLINOMIOS: VALOR NUMÉRICO DIVISIÓN DE POLINOMIOS TERI2XA
DESARROLLO DEL TEMA
Concepto
Método de Horner
Se utiliza cuando el divisor es de segundo grado o más y se opera sólo con los coeficientes. Los pasos más importantes son: 1. En una línea horizontal escribir los coeficientes del dividendo con su propio signo. 2. En una columna escribir coeficientes del divisor con signos cambiados excepto el primero, que conserva su signo. 3. Separar en el dividendo tanto tanto coeficientes coeficientes como unidades tenga el grado del divisor. divisor.
Es aquel conjunto de números y letras relacionados entre si por las operaciones aritméticas de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación o una combinación de ellas en un número limitado de veces, con la condición de que los exponentes de las variables deben de ser números naturales. A.
B.
Polinomio con una variable
Sea el polinomio de una variable P(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–1x + an; a0 ≠ 0 Donde: x : vari variable able n : grad grado o (n es natur natural) al) ao: coeficiente principal (a 0 ≠ 0) an: término independiente
Ejemplo: Dividir:
÷
Valor numérico
7
Es aquel valor que se obtiene al reemplazar las variables por constantes. C.
D.
5
10
9 14
–9
–3
P(x) es un polinomio, se cumple: P(0) = Término independiente P(1) = Suma de coeficientes
Polinomio Mónico
6
3
Es el polinomio cuyo coeficiente principal es igual a 1.
14 7
7 7
2
1
Coeficientes del cociente
División de polinomios
11
–5
–6 3
–3
8
–8
Coeficientes del residuo
Q(x) = 3x2 + 2x + 1; R(x) = 8x – 8
Es la operación que consiste en obtener una expresión llamada cociente y residuo, conocidas otras dos llamadas dividendo y divisor. divisor. En toda división se cumple la siguiente identidad. Algoritmo tmo de D(x) = d(x)q(x) + r(x) Algori la división
Teorema del resto
q(x) = Cociente
Este teorema nos permite calcular directamente el residuo de la división de un polinomio cualquiera entre un divisor de primer grado o transformable a él. El resto de dividir: P(x) es el valor numérico que se ax + b b obtiene al calcular P – , donde – b se obtiene de igualar a a
r(x) = Residuo
a cero el divisor y despejar "x".
D(x) = Dividendo Elementos de una división
21
3
Valores numéricos notables
Si
21x4 + 5x3 + 10x2 + 11x – 5 7x2 – 3x + 3
d(x) = Divisor
CATÓLICA EXTENDIDO 2018-I
1
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POLINOMIOS: VALOR NUMÉRICO - DIVISIÓN DE POLINOMIOS
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1 Sea el polinomio: P(X) = (xn – 1 + 2x n – 2 + n)n, si 2n veces su término independiente es igual a la suma de sus coeficientes, entonces "n" es: A. 1 C. 3 B. 2 D. 4
para todo valor de "x". Halla el valor de P(4). A. 17 C. 19 B. 18 D. 32 Resolución Sea P(x) = ax + b ∧ P(6x) = 6ax + b → P(P(x)) = a(ax+b)+b = a²x+ab+b
Problema 3 Si: P(P(P(x)) = 27x + 52, calcule: P(–1). A. 1 C. –4 B. 4 D. 5
Resolución T.I. = P(o) = nn n Σ = P(1) = (1 + 2 + n) n n n → 2 . n = (3 + n) \ 2n = 3 + n → n = 3
Luego: a²x + ab + b – 6ax – b = –9x + 21 → (a² – 6a)x + ab = –9x + 21 → a² – 6a = –9 ∧ ab = 21
Resolución Como P(P(x))) es lineal, entonces: P(x) es lineal. Luego P(x) = ax + b.
Respuesta: C. 3 Problema 2 Sea P(x) un polinomio lineal tal que verifica la relación P(P(x)) – P(6x) = – 9x+21
(a – 3)2 = 0 → a = 3 ∧ 3b = 21 b=7
\ P(4)
Respuesta: C. 19
→
→
Entonces:
= 3(4) + 7 = 19
P(P(P(x))) = a³x + a²b + ab + b 27x + 52 = a³ + a²b + ab + b a=3 b=4 ∧ P(x) = 3x + 4 \ P(–1) = –3 + 4 = 1
P(x) = 3x + 7
Respuesta: A. 1
EJERCICIOS DE CLASE
Nivel I
Nivel II
6 4 1. De la división indicada x + 7x – 1 , x3 + x – 1 calcula Q(x) – x.R(x)
5. Sean los polinomios C(x) = x 2 – 2x + 1; A(x) = x + 5;
A. –x3 – 5x2 B. –5x2 + 6x + 1
M(x) = x2 – 3x + 2; I(x) = x2 + x + 4. Halla Q(x) si se cumple que I(x) = C(x).Q(x) + A(x) M(x) 2 A. x – x – 2 C. x2 + x – 2 B. x2 + 3x + 2 D. x2 – 3x + 2
C. 7x3 – 5x2 + 6x + 1 D. –7x3 + 5x2 – 6x – 1
2. Si Q(x) y R(x) son los polinomios cociente y residuo de la división siguiente
10x5 + 3x4 – 17x3 – x2 – 5 . 2x3 + 3x2 – x – 2
6. Determina el valor de "n" en el trinomio 3x2 + nx + 9, con la condición de que al dividir entre (x + 2) se obtiene el mismo resto que al dividir (2x 2 + 3x + 3), entre el
Calcula 3Q(x) – 2R(x). A. 5x2 – 6x + 3 B. –6x 2 – 9x + 1
C. 27x2 + 7 D. 3x2 + 11
mismo binomio. A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
3. Si P(x) = 6x – 5, calcula el valor de 3 2 7. Luego de dividir x – 5x + 6x – 2 se obtiene de residuo x2 – x + 1 R(x), halla R(1). A. – 4 C. 3 B. –3 D. 5
M = –[P(0) + P(1)] A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
4. Si P(x) = P(x – 2) + Q(x) P(5) = 3 Q(5) = b, halla P(3). A. b – 3 C. 3 – b B. b + 3 D. 1 – b
CATÓLICA EXTENDIDO 2018-I
ax4 – (a + b)x3 + (2a + b)x2 – bx – a ax2 – bx + a Halla la suma de coeficientes del cociente. A. – 1 C. 1 B. 0 D. 2
8. En la división
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POLINOMIOS: VALOR NUMÉRICO - DIVISIÓN DE POLINOMIOS
9. Si P(x) = 3nx2 + 5x – 7. Halla el valor de "n", si P(2) = 27. A. 2 C. 4 B. 1 D. 5
13. Si P(x) = 2x b – c + 1 + 3xa + b – 4 + 7xa – 3 es completo y ordenado descendentemente, halla a + b + c. A. 1 C. 5 B. 3 D. 6
10. Junior decide llevar al teatro a todos sus alumnos,
14. Si la división:
4
3
x5 + x4 – 10x3 + ax2 + bx entre x3 – 2x2 + x es exacta, halla ab. A. 13 C. 65 B. – 5 D. – 65
2
si lleva 5x + 15x + 25x + 10x – 40 dólares y el precio de cada entrada es 5(x + 2) dólares. Calcula con cuántos alumnos asistieron, si gastó todo su dinero. A. x3 + x2 + 3x – 4
C. 5x3 + 5x2 + 15x – 20
B. x3 – x2 – 3x + 4
D. x3 + x2 + 3x – 5
3x4 – x3 + 2x2 + ax +a . x2 + x – 1 El residuo no es de primer grado. Calcula dicho resto. A. 13 C. 20 B. 17 D. 22
15. En la siguiente división
4 3 2 11. Halla el valor de a , si la división 2x + 3x + x + ax + b b x2 + 2x + 3 es exacta.
A. –1/9 B. 4
16. Al efectuar la división:
C. 1 D. –2
8x5 + 14x4 + 5x3 + 16x2 + 3x + 2 4x2 + x + 3 el residuo es de la forma: (5a + 4b)x + (a +2b)
12. Sea P(x) = x 3 + 2x 2 – x, y Q(x) = x 2 + x – 1, si r(x) es el resto al dividir P(x) ÷ Q(x), halla el resto al dividir P(x).(Q(x))2
a b
halla E = a .
÷ r(x)
A. 0 B. 1
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A. 2 C. 2 D. 3
B.
3
1 2
C. 1 4 D. 4
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