Introducción al Algebra Abstracta Ulises Martinez Araiza
[email protected] www.ulisesmartinez.com
Introducción al Algebra Abstracta
Contenido Contenido ............................................................................................................................................ 2 1. Introducción a los Sistemas Algebraicos Abstractos ....................................................................... 3 2. Propiedades de las Operaciones Binarias ....................................................................................... 4 3. Grupos ............................................................................................................................................. 6 4. Campos ............................................................................................................................................ 7 5. Anillos .............................................................................................................................................. 8 6. Función o Mapeos ........................................................................................................................... 9 7. Referencias .................................................................................................................................... 11
2
Ulises Martinez Araiza
[email protected] www.ulisesmartinez.com
Introducción al Algebra Abstracta
1. Introducción a los Sistemas Algebraicos Abstractos El concepto de espacio vectorial es una generalización matemática desde el espacio físico tridimensional. Los elementos de un espacio vectorial son llamados vectores. Estos sistemas matemáticos son llamados sistemas abstractos. Una matriz es un arreglo de números los cuales pueden ser tratados como objetos únicos. La formulación de matrices de un problema es muy compacta y elegante. Son bastante útiles en muchos campos, tales como la solución de sistemas de algebra lineal y ecuaciones diferenciales. Un sistema algebraico consiste de un conjunto de elementos junto a un conjunto de operaciones cerradas y un conjunto de axiomas o postulados. Las operaciones son maneras de combinar elementos para producen otros elementos. Una operación es cerrada si el resultado de combinar dos elementos del sistema produce un elemento del mismo sistema. Si una operación combina dos elementos para producir un solo elemento, esta es llamada una operación binaria. Los Axiomas son ciertas restricciones apropiadas en las operaciones, es decir, las propiedades que las operaciones satisfacen con respecto de los elementos del sistema. En el álgebra abstracta, podemos generalizar g eneralizar los conceptos de sistemas ordinarios de algebras de números a conjuntos y operaciones arbitrarias. Podemos asumir que los elementos de un conjunto no son números necesariamente y las operaciones pueden ser formas arbitrarias de combinar los elementos.
3
Ulises Martinez Araiza
[email protected] www.ulisesmartinez.com
Introducción al Algebra Abstracta
2. Propiedades de las Operaciones Binarias Estas son algunas propiedades importantes de las operaciones binarias que son requeridas normalmente para satisfacer a los sistemas algebraicos. 1. Asociatividad Una operación ∗ es asociativa si:
∗ ( ∗ ) = ( ∗ ) ∗ Para elementos ,, cuanlquiera de un conjunto.
2. Conmutatividad La operación ∗ es conmutativa si:
∗ =∗ 3. Distributividad La operación ∘ es distributiva sobre la operación ∗ si:
∘ ( ∗ ) = ( ∘ ) ) ∗ ( ∘ ) ) 4. Existencia del elemento identidad Un elemento es llamado identidad con respecto a la operación ∗ si:
∗ = ∗ = Para cualquier elemento perteneciente al conjunto considerado. La identidad es ú nica para cada operación. 5. Existencia del inverso El elemento ′ es el inverso de con respecto a la operación ∗ si:
∗ = ∗ = Cada elemento tiene un único inverso en cada operación asociativa. En los números reales, tanto la adición como la multiplicación son asociativas y conmutativas, y la multiplicación es distributiva sobre la adición. La identidad de la adición 4
Ulises Martinez Araiza
[email protected] www.ulisesmartinez.com
Introducción al Algebra Abstracta
es cero y la identidad de la multiplicación es 1. Las propiedades de una operación dependen del conjunto de elementos considerados.
5
Ulises Martinez Araiza
[email protected] www.ulisesmartinez.com
Introducción al Algebra Abstracta
3. Grupos Un grupo es un sistema algebraico {.∗} que tiene una operación binaria ∗ sobre los elementos del conjunto y satisface los siguientes axiomas:
∗ es asociativa.
Existe un elemento identidad en .
Cada elemento en tiene un inverso en .
Grupos conmutativos Si adicionalmente a los tres axiomas anteriores, ∗ también satisface la conmutatividad, el grupo es llamado un grupo conmutativo o un grupo abeliano.
6
Ulises Martinez Araiza
[email protected] www.ulisesmartinez.com
Introducción al Algebra Abstracta
4. Campos Un campo es un sistema algebraico {, +,∙} +,∙} con dos operaciones binarias cerradas (+) y (∙), llamadas adición y multiplicación respectivamente, sobre los element os del conjunto y satisfaciendo los siguientes postulados:
El sistema {,+} es un grupo conmutativo cuya identidad es denotada por 0 y se llama cero.
El conjunto ⊂ con elementos diferentes de cero forman un grupo conmutativo {,∙} cuya identidad es denotada por 1 y se llama unidad.
La multiplicación (∙) es distributiva sobre la adición (+).
Estas operaciones no son necesariamente la adición y la multiplicación ordinaria, aunque estas usen los mismos nombres y símbolos.
7
Ulises Martinez Araiza
[email protected] www.ulisesmartinez.com
Introducción al Algebra Abstracta
5. Anillos Un anillo es un sistema algebraico {, +,∙} +,∙} con dos operaciones binarias cerradas (+) y (∙), llamadas adición y multiplicación respectivamente, sobre los elementos del conjunto y satisfaciendo los siguientes postulados:
Para todo ,, ∈
( + ) + = + ( + ) + =+ ( ∙ ) ∙ = ∙ ( ∙ ) ∙ ( + ) = ∙ + ∙ ( + ) ∙ = ∙ + ∙ Existe un elemento 0 ∈ , llamado cero, tal que por cada ∈ :
+0 = 0+ =
Por cada elemento ∈ , existe un elemento ∈ , llamado negativo de , tal que:
+ () = () + = 0 an illo conmutativo si: se dice que es un anillo
∙ =∙ Un campo se puede definir en términos de un anillo de la siguiente manera: Un anillo conmutativo con un elemento unidad (1) es llamado un campo si por cada elemento ∈ diferente de cero, tiene un inverso multiplicativo − ∈ , tal que:
∙ − = − ∙ = 1
8
Ulises Martinez Araiza
[email protected] www.ulisesmartinez.com
Introducción al Algebra Abstracta
6. Función o Mapeos Una función desde el conjunto en el conjunto es la correspondencia (o regla) en la cual se asocia cada elemento ∈ con un elemento único ∈ . La notación convencional para denotar las funciones es la siguiente:
: → Una función también se le puede decir mapeo. Esto es porque se le puede dar una descripción geométrica a una función. Sean y dos conjuntos definidos como:
= { , 2 , 3 , 4 , 5 } = {, 2 , 3 , 4 } Sea una función de a , definida por:
( ) = (2) = (3 ) = 2 (4 ) = 3 (5) = 4 Podemos representar este mapeo geométricamente como:
Podemos decir que cada elemento de es mapeado a un único elemento de por el mapeo . Se debe considerar que pueden existir muchas funciones desde un conjunto a otro. Algunas correspondencias no pueden ser descritas como funciones o mapeos, ya que estas pueden asociar más de un elemento al conjunto de la definición. Dominio, Imagen y Rango de un mapeo
Dado un mapeo: 9
Ulises Martinez Araiza
[email protected] www.ulisesmartinez.com
Introducción al Algebra Abstracta
: → El conjunto es llamado el dominio de y el conjunto es llamado la imagen (o condominio) de . El subconjunto de es llamado el rango de y es definido por:
= { = ()| ∈ } Mapeos “en” y “sobre”
Si = , decimos que el mapeo desde sobre . Los mapeos “sobre” nos dicen que cada elemento de es imagen sobre algún(os) elementos de . Mapeos “muchos a uno” y “uno a uno”
Los mapeos muchos a uno son los mapeos : → que mapean mas de un elemento del conjunto a un elemento del conjunto . Si los distintos elementos de son mapeados a elementos distintos de , entonces el mapeo se dice que es uno a uno. Si adicionalmente, un mapeo uno a uno es un mapeo “sobre”, entonces se puede definir un mapeo inverso − definido desde hasta . Podemos decir entonces que es invertible o reversible. Mapeos compuestos:
Sea , y tres conjuntos y y dos mapeos tal que:
: → : → Debido a que es un subconjunto del dominio de , podemos definir directamente el mapeo : → por ( ) = [()], para todo ∈ . Escribimos simbólicamente:
= Se dice que es un mapeo compuesto de y . Si tenemos mapeos , 2 , … , es aplicado en ese orden, el mapeo compuesto se escribe como:
= − … 2
10
Ulises Martinez Araiza
[email protected] www.ulisesmartinez.com
Introducción al Algebra Abstracta
7. Referencias [1] M. C. Jain. 2008. Vector Spaces and Matrices in Physics, Second Edition. Alpha Science Intl Ltd, Delhi, India.
11
Ulises Martinez Araiza
[email protected] www.ulisesmartinez.com
