PREMI ASURANSI
12/11/2012
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
1
PREMI PREMI TAHUNAN AHUNAN •
•
•
Prem Premii tung tungg gal sang sanga at jar jarang ang terap erapan ann nya. Biasa Biasan nya prem premii diba dibay yar seca secarra berk berkal ala, a, misa misaln lny ya tiap tiap tahun ahun,, enam enam bula bulan n sek sekali, ali, at atau aupu pun n sebu sebula lan n sekali dan dilakukan pada permulaan tiap selang waktu. Pemba embay yaran aran prem premii asu asurans ansi jiw jiwa seum eumur hidup idup,, misa misaln lny ya, dapa dapatt dila dilak kukan ukan tiap tiap perm permul ulaa aan n tahun ahun seum seumur ur hidu hidup. p. Asur Asuran ansi si sepe sepert rtii ini ini dise disebu butt Asur Asuransi ansi biasa biasa (Ordin (Ordinary ary Life Life Insu Insurrance). ance).
12/11/2012
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
2
PREMI PREMI TAHUNAN AHUNAN •
•
•
Prem Premii tung tungg gal sang sanga at jar jarang ang terap erapan ann nya. Biasa Biasan nya prem premii diba dibay yar seca secarra berk berkal ala, a, misa misaln lny ya tiap tiap tahun ahun,, enam enam bula bulan n sek sekali, ali, at atau aupu pun n sebu sebula lan n sekali dan dilakukan pada permulaan tiap selang waktu. Pemba embay yaran aran prem premii asu asurans ansi jiw jiwa seum eumur hidup idup,, misa misaln lny ya, dapa dapatt dila dilak kukan ukan tiap tiap perm permul ulaa aan n tahun ahun seum seumur ur hidu hidup. p. Asur Asuran ansi si sepe sepert rtii ini ini dise disebu butt Asur Asuransi ansi biasa biasa (Ordin (Ordinary ary Life Life Insu Insurrance). ance).
12/11/2012
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
2
•
•
Pemba embay yaran aran prem premii mung mungki kin n pula pula terba terbata tas, s, misaln misalnya ya,, selama selama maksim maksimum um 20 tahun tahun;; asurans asuransii sepe seperrti ini ini dis disebut ebut As Asur uran ansi si Deng Dengan an Pemba embay yaran aran Ter erba bata tass (Limited-Payment Life). Bila si tert ertangg anggun ung g mati mati sebel ebelum um jang jangk ka waktu aktu 20 thn thn maka aka dia dia diang iangg gap telah elah meny enyeles elesai aik kan pembay pembayar aran an premin preminya. ya. Sema Semaki kin n seri sering ng prem premii diba dibay yar, ar, untu untuk k besa besarr san santuna tunan n yang ang sam sama, a, mak maka maki makin n kecil ecil prem premii berkalanya.
12/11/2012
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
3
–
Berikut perubahan besar premi bersih untuk asuransi seumur hidup bagi seorang berusia 20 tahun (CSO 2,5%) dengan santunan Rp. 1000,- : Rencana Asuransi
Premi dibayar seumur hidup
Rp. 12,49
Premi lunas pada usia 85
Rp. 12,52
Premi lunas pada usia 65
Rp. 13,50
Premi lunas pada usia 60
Rp. 14,17
Pembayaran premi selama 30 tahun
Rp. 16,53
Pembayaran premi selama 25 tahun
Rp. 18,58
Pembayaran premi selama 20 tahun
Rp. 21,76
Pembayaran premi selama 15 tahun
Rp. 27,19
Pembayaran premi selama 10 tahun
Rp. 38,9
Premi tunggal 12/11/2012
Premi Bersih
Rp. 338,68 MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
4
–
Tingkat bunga juga mempengaruhi besarnya premi. Makin tinggi tingkat bunga maka makin rendah premi yang harus dibayar untuk besar santunan yang sama. Misal: Usia waktu polis dikeluarkan adalah 20 tahun Rencana Asuransi
i = 2%
i = 2,25%
i = 2,5%
i = 3%
Asuransi biasa
Rp. 13,86
Rp. 13,15
Rp. 12,49
Rp. 11,29
Asuransi seumur hidup dg 10 kali pembayaran
Rp. 45,72
41,74
38,19
32,15
Asuransi seumur hidup dg premi tunggal
Rp. 414,08
Rp. 374,11
Rp. 338,68
Rp. 279, 26
Asuransi berjangka 10 tahun
Rp. 2,79
Rp. 2,78
Rp. 2,77
Rp. 2,75
Endowmen sampai usia 65 tahun
Rp. 17,05
Rp. 16,23
Rp. 15,46
Rp. 14,02
Endowmen 20 tahun
Rp. 41,99
Rp. 40,92
Rp. 39,87
Rp. 37,85
12/11/2012
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
5
•
Simbol untuk cara pembayaran premi mirip dg simbol jenis asuransinya. premi bersih tahunan untuk Ax n Px premi bersih tahunan untuk Ax dg pembayaran
P x
maksimal n kali P x1:n premi bersih tahunan untuk A1x:n P x:n premi bersih tahunan untuk Ax:n P x premi bersih tahunan untuk A x:n dg pembayaran
m
premi maksimum m kali ( m n) 12/11/2012
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
6
•
•
Dalam mengerjakan soal, sebaiknya hindari penggunaan simbol demi kesederhanaan, gunakan saja P. Dan gunakan rumus dasar berikut:
Nilai tunai premi yang akan datang = Nilai tunai santunan (benefit) yang akan datang 12/11/2012
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
7
CONTOH 1. Hitunglah premi bersih tahunan untuk asuransi biasa dengan santunan Rp. 2juta bagi orang berusia 30 tahun! Jawab: Misalkan premi bersih tahunan P. Menurut persamaan dasar di atas diperoleh: P.a30 2.106 A30 P 2.10
6
2.106 12/11/2012
A30 a30 182403, 4951 10594280,39
Rp. 34.434, 33
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
8
2. Hitunglah premi bersih tahunan untuk asuransi endowmen sampai usia 65 tahun bagi orang berusia 30 tahun dengan pembayaran premi 20 kali, besar santunan Rp. 1 juta,-! Jawab: Misalkan premi bersih tahunan P. Maka, 6
P.a30:20 10 A30:35 M 30 M 65 D65 P 10
6
A30:35 a30:20
106
D30 N 30 N 50 D30
12/11/2012
M 30 M 65 D65 N 30 N 50
Rp. 31.282, 21
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
9
PEMBAYARAN BEBERAPA KALI SETAHUN DAN ASURANSI MEMBESAR
12/11/2012
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
10
ANUITAS TENTU DIBAYAR BEBERAPA KALI SETAHUN •
•
•
Jika m menyatakan frekuensi pembayaran dalam setahun; artinya jika m = 2, mk pembayarannya tiap semester, jika m = 4, maka pembayarannya kuartalan, dan bila m = 12, maka pembayarannya bulanan. Dimisalkan nominal pembayaran setahun adl Rp. 1,-, jadi tiap pembayaran besarnya Rp. 1,-/m, dan tingkat bunganya i%. Pembayaran dapat dilakukan pada awal tahun atau akhir tahun.
12/11/2012
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
11
m
1
1
v
2
v v m 1 2 1 n n 1 i m 1 i m m
an
m
sn
m
n
m
1
atau m
an
v v 2
m
v s1 n
m
an .s1
12/11/2012
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
12
m
an
1 m
m
1 i an 1 m
m
1 i an .s1
diketahui an van maka, m
an
m
1 i van s1
1 i 12/11/2012
1 m
1 m m
m
an s1
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
13
i = 2,5%
m
m
s1
m
s1
i = 6% m
1/ m
1,025
s1
m
s1
1/ m
1,025
2
1,0062114
1,0187114
1,0147815
1,0447815
3
1,0082876
1,0166209
1,0197410
1,0397410
4
1,0093268
1,0155768
1,0222269
1,03772269
12
1,0114072
1,0134905
1,0272108
1,0322108
12/11/2012
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
14
Misal: Untuk n 10, dan i 2,5%, diperoleh a10 8,752064 4
a10 9,077876 dan a10 9,134088. 4
Untuk n 10, dan i 6%, diperoleh a10 7,360087 4
a10 7, 634080 dan a10 7, 746101.
12/11/2012
4
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
15
CONTOH Hitunglah nilai tunai suatu anuitas tentu akhir dengan pemba yaran bulanan selama 15 tahun bila besar pembayaran setahun adalah Rp. 300.000,- dan tingkat bunga 6%! Jawab: 12
Nilai tunai 300000.a15
12
300000.a15 .s1
300000 9,712249 1,0272108 Rp. 2.992.958,12
12/11/2012
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
16
Hitunglah premi tunggal bersih untuk asuransi seumur hidup bagi orang berusia 30 tahun, dengan santunan pada waktu mati si tertanggung berupa 240 kali pembayaran bulanan sebesar Rp. 100.000,- yang akan dibayarkan oleh perusahaan asuransi kepada pewarisnya, pembayaran pertama dimulai pada akhir tahun si tertanggung meninggal! Gunakan i = 2,5%.
12/11/2012
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
17
Jawab: Jumlah pembayaran setahun adalah 12 x Rp. 100.000,- = Rp. 1,2 juta. Pembayaran sebanyak 240 kali, atau 20 tahun, merupakan anuitas tentu awal, anuitas awal karena pembayaran harus segera dilakukan pada akhir tahun si tertanggung meninggal, jadi permulaan tahun pertama sesudah mati. Misalkan besar premi tunggal bersih tersebut A30 untuk santunan sebesar Rp. 1,-, maka premi tunggal bersih tersebut adalah = 1200000.a20 . A30 12
1200000. 1 0, 025
1/12
12 M 30
a20 .s1 .
D30
182403, 4951 1200000 1,0134905 15,589162 440800,58 Rp. 7.845.392,88 12/11/2012
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
18
ANUITAS HIDUP DIBAYAR BEBERAPA KALI SETAHUN •
•
Anuitas hidup adl anuitas tentu yg dikaitkan dg peluang hidup, pembayaran hanya dilakukan bila orang yg memiliki anuitas tsb masih hidup. Diketahui, peluang hidup setahun adl px, dan n px menyatakan peluang seseorang berusia x akan mencapai usia x +n. Dalam konteks kali ini, n menyatakan bagian tahun, misal: semester, triwulan, kuartal, atau bulan.
12/11/2012
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
19
Misal, a x( m) menyatakan nilai tunai anuitas hidup awal seumur hidup bagi orang berusia dg pembayaran m kali setahun dg jumlah pembayaran setahun Rp. 1,-. Dg menggunakan
x
prinsip dasar, untuk menghitung nilai tunainya sbb: Nilai tunai pembayaran pertama adl
1
; nilai pembayaran kedua yg dilakukan
m
kemudian jk orang tsb masih hidup adl dilakukan
tahun
m
1 m
2
1
1
.v m . 1
p x ;
nilai tunai pembayaran ketiga yg
m
tahun dari sekarang jk orang tsb masih hidup adl
m
1 m
2
.v m . 2
p x ;
dan
m
seterusnya. Jadi, ( m)
a x
1
1 v m
12/11/2012
1 m
2
.1 m
px
v
m
.2 m
px
.... MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
20
(m) x
a
ax
a x( m ) ax (m) x
a
a
( m) x
m 1
Anuitas hidup berjangka:
2m m 1
a x( :mn ) a x( m n) n | a x( m )
2m 1
a x:n
m Anuitas hidup tertunda: n
|a
(m) x
n Ex .a
( m) x n
(m) ( m) | a E . a n x n x x n
12/11/2012
m 1 n E x ax n 2 m m 1 n E x ax n 2 m
m 1
2m
1 n E x
a x( :mn ) a x( m n) n | a x( m )
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
a x:n
m 1
2m
1 n E x
21
CONTOH •
Hitunglah nilai tunai suatu anuitas seumur hidup dg pembayaran Rp. 100.000,- tiap akhir bulan bagi seseorang berusia 30 tahun bila 240 pembayaran pertama dilakukan tanpa memperhatikan apakah orang tersebut mati atau masih hidup!
12/11/2012
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
22
–
Pembayaran 240 pertama mrpkan anuitas hidup dan sesudahnya mrpkan anuitas hidup seumur hidup. Besar pembayaran setahun = 12 x Rp. 100rb = Rp. 1,2jt. Nilai tunainya adl
(12) (12) 20 | a30 1, 2.10 6 a20 s1 1, 2.106 a20
12
20 E30 a50
11
24
Diketahui: a20 12
s1
1 vn
1 1, 025
i
20
0,025
15, 589162
1, 0114072
20 E 30
D50 D30
0,53521944
a50 a50 1 15, 316571
Jadi,nilai tunainya adl 1, 2.106 15, 76699098 8, 443035463 Rp.29.052.031, 73, 12/11/2012
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
23
ANUITAS HIDUP MEMBESAR Misal Ia x menyatakan nilai tunia pada usia x suatu anuitas hidup awal yg membesar dg pembayaran pertama Rp. 1,-, pembayaran kedua Rp. 2,-, ketiga Rp. 3,- dst naik sebesar Rp. 1,- tiap tahun seumur hidup. Shg, 2 3 n Ia 1 2 vp 3 v . p 4 v . p ... n 1 v x . n px ... x 2 x 3 x
1 2v
12/11/2012
l x 1 l x
3v
2
lx 2 lx
4v
3
lx 3 lx
... n 1 v
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
n
lx n lx
...
24
kalikan ruas kanan dg
Ia x
12/11/2012
v xl x x
v l x 1 D x
2
D
x
v x 1lx 1 x
v lx
v x
diperoleh
x
v
3
v x 2 lx 2 x
v lx
4
v x 3l x 3 x
v lx
... n 1
v x n lx n x
v lx
...
2 Dx 1 3Dx 2 4 Dx 3 ... n 1 Dx n ...
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
25
Karena
Dx Dx 1 Dx 2 Dx 3 ... Dw N x 1 Dx 1 Dx 2 Dx 3 ... Dw N x 2 Dx 2 Dx 3 ... Dw N x 3 Dx 3 ... Dw N x
............................................... ............... N w
Dw
_______________________________ w
N
x i
Dx 2 Dx 1 3Dx 2 4Dx 3 ... w x 1 Dw
i 0
S x
w
N
x i
i 0
sehingga,
Ia x 12/11/2012
S x D x
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
26
Anuitas membesar berjangka:
Ia x:n
1 D x
S x S x n n.N x n
Anuitas membesar ditunda: n
| Ia x
S x n D x
Anuitas membesar berjangka yg ditunda: m
| Ia x:n
12/11/2012
1 D x
S x m S x m n n.N x m n
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
27
CONTOH •
Seseorang berusia 30 tahun mempunyai suatu anuitas hidup dg pembayaran tiap permulaan tahun sebesar (rupiah) 100, 90, 80, 70, 60, 50, 50, 50, 50 dan seterusnya 50 tiap tahun selama hidupnya. Hitunglah nilai anuitas tsb!
12/11/2012
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
28
•
Jawaban contoh tsb terdiri atas tiga bagian: Anuitas seumur hidup sebesar 100 tiap tahun mulai usia 30 tahun dikurangi dengan anuitas membesar berjangka sampai usia 34 tahun yang ditunda setahun dengan pembayaran 10 pada usia 31, 20 pada usia 32, 30 pada usia 33 , 40 pada usia 34, dan 50 pada usia 35, kemudian dikurangi dengan anuitas seumur hidup dengan pembayaran 50 tiap tahun dimulai usia 35. Jika nilai tunai seluruhnya adl B, maka
12/11/2012
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
29
B 100.a30 10. 1| Ia 30:4 50. 5 | a30 100
1 D30 1 D30 10 D30
N 30 D30
10
1 D30
S31 S35 4 N 35 50
N 35 D30
100 N30 10S31 10S35 40 N 35 50 N 35 100 N30 10S31 10S35 10 N 35 10 N30 S31 S 36 10
10 10.594.280,39 176.219.738, 75 129.618.700,18 440.800,58
Rp.1.346,23 12/11/2012
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
30
ASURANSI MEMBESAR •
Misal (IA)x menyatakan nilai tunai atau premi tunggal bersih suatu asuransi yg membesar bagi orang berusia x dengan santunan sebesar Rp. 1,- bila x mati pada tahun pertama, sebesar Rp. 2,- jika mati pada tahun kedua, Rp. 3,- jika mati pada tahun ketiga, dan seterusnya. Santunan asuransi dibayarkan pada akhir tahun mati.
12/11/2012
MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
31
IA x v
d x l x
2v
1
d x 1
2
lx
3v
3
d x 2 lx
... w x 1 v
w x 1
dw lw
...
v d v l x 1
x
x2 x 3 w x 1 v d v d w x v d w 2 3 ... 1 x x 1 x2
x
12/11/2012
1 D x
1 D x
C
x
2Cx 1 3Cx 2 ... w x 1 Cw
M x M x1 M x 2 ... M w
R x D x MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.
32
