FACULTAD DE INGENIERIA U.Na.M.
Fecha: 07-04-14
Alumnos: Gómez , Alam Alam Lorenzetti, Renzo Matvichuck , Marco Paniagua , Gustavo
T. P. Nº 6
Vº Bº
Asignatura: MECANISMOS Y ELEMENTOS DE MAQUINAS Tema: Tornillos de ajuste
PROBLEMA N° 1:
Se tiene una cabeza de cilindro con un recipiente a presión usando 10 pernos y un sello de empaque confinado. El diámetro de sellado efectivo tiene 150 mm. Otras dimensiones son
estática de
El cilindro se usa para almacenar gas a una presión
. Se han seleccionados pernos ISO clase 8.8 con un diámetro de
espacio entre pernos aceptable. ¿Cuál es el factor
Esto Esto proporciona un
que resulta de esta selección?
Igura 1.1: Presentación del problema
El diámetro efectivo de sellado
es es el que se
encuentra definido por el diámetro del empaque confinado. La presión que existe dentro del cilindro determinada por este diámetro
actúa sobre el área
, ya que, a partir del empaque y
hacia afuera no hay gas, y por ende, tampoco habrá presión.
Figura 1.2: Diámetro efectivo de sellado y diámetro total de la tapa.
Entonces, sobre ésta área estará actuando una fuerza , que tenderá a destapar al cilindro y puede calcularse como:
Cada uno de los 10 pernos que dujetan la tapa del cilindro, “ven” partes iguales de esta fuerza, es decir,
que se distribuye en igual magnitud, en cada tornillo; por lo tanto, la carga externa de tracción que actúa en cada perno tiene un valor de:
Por lo tanto, se van a realizar los cálculos para un solo perno que será aplicable para los otros 9, al ser todos los pernos ISO clase 8.8 u de diámetro mayor nominal
Con estos valores, se puede obtener
ciertas características importantes del perno entrando en las tablas 8-11 (pag. 477) y 8-1 (pag. 456), ambas del libro Diseño en Ingeniería Ingeniería Mecánica-J.E.Shigle Mecánica-J.E.Shigley, y, C.R.Mischke-Editorial C.R.Mischke-Editorial McGraw Hill 2002-Sexta Edición. Edición. De la primera tabla, con el dato de la clase del tornillo (8.8) sacamos que:
Material de construcción del perno: acero al medio carbono.
En la segunda tabla, con el dato del diámetro nominal del tornillo tenemos 2 posibilidades, que la rosca sea de paso fino o de paso grueso. En nuestro caso, seleccionamos la rosca de paso grueso ya que es más económica y no se va a encontrar comprometida al ser el esfuerzo en el perno
menor que la
resistencia de prueba, es decir, que el área de esfuerzo
PERNO
de tensión de una rosca de paso grueso alcanzará para
CHAPAS
soportar la tensión aplicada. Entonces:
TUERCA
Figura 1.3: Fuerzas aplicadas en el perno y en las uniones
Como puede observarse en la siguiente Figura 1.3, cada perno estará sometido a las fuerzas y donde P es la carga externa debido a la presión interna existente en el cilindro, y Fi es la fuerza de pre-carga o fuerza de sujeción que se ha utilizado para ajustar la tuerca en el momento de armar la conexión. Esta fuerza, según Shigley & Mischke (2002) en su sexta edición de Diseño en ingeniería mecánica, puede calcularse como:
{
Donde
es la carga de prueba. En nuestro caso, nos interesa que la tapa del cilindro pueda ser
extraída, por lo tanto, será una conexión no permanente, y la fuerza de pre-ajuste valdrá:
Como habíamos dicho, al apretar la tuerca, el perno se estira, de esta manera se produce la fuerza de sujeción; contrariamente, como consecuencia de este estiramiento del perno, los elementos a unir se comprimen. Entonces, ambas partes del sistema están deformándose y al considerarlos que se encuentran en su estado elástico, tendrán una relación de rigidez. Rigidez del sujetador (perno):
El agarre de una conexión, o zona de sujeción es el espesor total del material sujetado; en este caso, como consideramos que no hay arandela, estará dado por la suma de los espesores de ambos elementos a unir.
La rigidez de la parte de un perno dentro de la zona de sujeción consistirá en general en dos partes: la de la parte del cuerpo
sin rosca (
y la de la parte roscada
del perno (
equivale a la rigidez de dos resortes en serie:
Figura 1.4: Dimensiones de secciones roscadas y no roscadas
. Así, la constante de rigidez
Como puede apreciarse en la Figura 1.4, hemos considerado que la longitud roscada y la sin roscar son iguales, es decir,
. Además, el perno, al estar construido con acero al medio carbono,
podemos obtener su coeficiente de elasticidad de la Tabla E-5 de Diseño en Ingeniería Mecánica-J.E.Shigley,
C.R.Mischke-Editorial McGraw Hill 2002-Sexta Edición. (
. Entonces:
Rigidez de los elementos:
Existen 2 elementos incluidos en el agarre del sujetador, a los cuales los hemos considerado de igual
espesor (
y que están construidos del mismo material: fundición de hierro, cuyo
módulo de elasticidad es
Diseño en Ingeniería Mecánica-J.E.Shigley,
C.R.Mischke-Editorial McGraw Hill 2002-Sexta Edición-Tabla E.5-pag. 1183).
Este par actúa como resorte de compresión en serie, por lo tanto, la rigidez total del conjunto (
puede calcularse conociendo las rigideces de cada elemento ( módulo de Young (
que al tener el mismo espesor y el mismo
Estas rigidez k de los elementos e obtienen mediante experimentación, ya que la compresión se difunde entre la cabeza del perno y la tuerca sobre un área no uniforme. Se ha demostrado que esta área no
uniforme es equivalente a un cono con un ángulo de la mitad de su ápice . Según Shigley & Mischke (2002) es recomendable la utilización de
para elementos de acero endurecido, de fundición de hierro o de
aluminio. En este caso será entonces:
Donde D es el diámetro de la cabeza del perno, que según la Tabla E-29 de Diseño en Ingeniería Mecánica-J.E.Shigley, C.R.Mischke-Editorial McGraw Hill 2002-Sexta Edición tiene un valor de
si consideramos a ésta como una cabeza hexagonal regular. Entonces:
[[ ] [ ] ][]
Finalmente,
Tensión en la unión:
Como dijimos anteriormente, al aplicarse la carga P, tanto el perno como los elementos sufren una
deformación ( de igual magnitud, con la única diferencia de que el perno tracciona, mientras que los elementos se descomprimen. Así:
Donde cumplirse que:
es la parte de P tomada por el perno y
la tomada por los elementos. Entonces, debe
En definitiva, la carga resultante en el perno puede expresarse como:
Mientras que la carga resultante en los elementos conectados corresponderá a:
Donde C representa la fracción de la carga P soportada por el perno:
Y (C-1) será entonces, la fracción de la carga externa P soportada por los elementos:
Factor de diseño:
Como la carga es estática, el esfuerzo de tensión en el perno debe ser menor a la resistencia de prueba del mismo. Entonces:
Despejando el factor de diseño n o factor de seguridad llegamos a que:
( ) Lo anterior significa que la carga P se necesita incrementa 6,13 veces para llevar
a
PROBLEMA N° 2
En la figura del problema anterior los pernos tienen un diámetro de ½ pulg. Y la placa de la cubierta es de acero con D=1/2 pulg. El cilindro se hizo de fundición de hierro, con 5/8 de pulg. Y un módulo de elasticidad de 18 Mpsi. La arandela SAE de ½ pulg. Que se va a utilizar debajo de la tuerca tiene DE de 1.062 pulg. Y un espesor de 0.095 pulg. Determine la rigidez del perno y de los elementos de unión y la constante de la unión C. Rigidez del perno:
La rigidez de la porción de un perno que está dentro de la zona de sujeción generalmente consta de dos partes: la de la porción no roscad y de la porción roscada. Por lo tanto, la constante de rigidez del perno es equivalente como la suma de dos resortes en serie.
La rigidez de las porciones no roscada y roscada del perno en la zona de sujeción es:
=área transversal de esfuerzo de tensión0
=0.1419
Tabla 8.2 pag 370
=longitud de la porción roscada de agarre
=área transversal de diámetro mayor del sujetador
=longitud de la porción no roscada del sujetador
=0,625 in
E=30Mpsi
Rigidez de los elementos de unión:
Los elementos de unión todos ellos actúan como resortes de compresión en serie, y por lo tanto, la constante elástica total de los elementos de unión es:
La rigidez de los elementos es difícil de evaluar, excepto por experimentación, debido a que la compresión se extiende progresivamente entre la cabeza del perno y la tuerca y, en consecuencia, el área no es uniforme.
Figura 2.1: método del cono de presión de Rotscher para un caso genérico
Con
la ecuación de rigidez para cada porción troncocónica es:
d=0,5in l=1.22in Rigidez Arandela: D=0,75 in t1=0,095in
Figura 2.3: Cono de Rostcher para el problema planteado
E=30Mpsi
Rigidez placa de cubierta:
D=
=0,859in
t2=0,5in E=30Mpsi
Rigidez cilindro:
t3=0,015in E=18Mpsi
D=0,75 E=18Mpsi l/2=0,61in
Sumando como resortes en serie
Constante de unión:
PROBLEMA N°3
La fuerza esta aplicada de manera tal que sobre el conjunto de pernos se genera un esfuerzo cortante. Si bien es cierto que existe un esfuerzo axial en el perno debido a la precarga del mismo, este tipo de esfuerzo no merece gran estudio. Se debe considerar una precargar de ajuste que mantenga firme la unión, y centrarse en verificar el esfuerzo cortante y de aplastamiento que sufre las uniones. La Fuerza aplicada es de 2500 lbf, como se ve en la figura3.1. Esta fuerza genera dos tipos de cortantes, un cortante primario y otro secundario los cuales analizaremos por individualmente. Cortante primario:
Existen seis pernos soportando la carga, debido a la simetría de la configuración cada perno absorbe el mismo esfuerzo cortante primario. Esto nos permite realizar el análisis sobre uno solo de estos pernos y realizar una inferencia respecto a las conclusiones sobre los demás. El cortante primario sobre uno de los pernos, será entonces:
Los pernos a utilizar son pernos 5/8-11 UNC, estándares SAE grado 2 con acero de mediano carbono. Se puede obtener ciertas características importantes del perno entrando en las tablas 8-11 (pag. 477) y 8-1 (pag. 456), ambas del libro Diseño en Ingeniería Mecánica-J.E.Shigley, C.R.Mischke-Editorial McGraw Hill 2002Sexta Edición.
Buscando en las correspondientes tablas, podemos obtener sus propiedades las cuales
utilizaremos para el análisis:
= 0.6250 in.
Sy=57 Kpsi.
Calculamos el área la cual resiste el cortante:
Con el área podemos calcular el cortante primario:
Corte secundario:
Existe un cortante secundario, que se produce debido al momento que genera la fuerza aplicada a una distancia del centro de configuración de pernos. La fuerza total se encuentra aplicada a una distancia de 5 in del centro de la configuración:
Al aplicarse el momento a la configuración del problema, son los cuatro pernos exteriores que absorben el total del cortante. Es por eso que calculamos el esfuerzo cortante secundario, en partes iguales de cuatro como el que ve cada perno externo de la configuración:
Cortante total:
Los pernos más comprometidos son los pernos ubicados en los extremos, estos absorben corte primario como secundario y es por esto que analizamos sobre ellos nuestro análisis. Para conocer el verdadero corte actuante, o esfuerzo cortante total sobre uno de estos pernos (en magnitud los esfuerzos son iguales, por lo que nos interesa verificar únicamente uno) debemos componer los dos cortantes, tanto el primario como el secundario:
√ Sabiendo que nuestro Sy es igual a 57 Kpsi podemos determinar el coeficiente de seguridad del perno, para esto tenemos en cuenta el teorema de la máxima distorsión, donde actuando cortante puro, el valor de fluencia será:
Entonces nuestro factor de seguridad para el cortante en el tornillo será:
Podemos calcular el coeficiente de seguridad para el aplastamiento en el tornillo, que tomara como área proyectada el producto del diámetro no minal del tornillo por el espesor que comprometa más el sistema es decir el menor, en nuestro caso es el de 3/16 in.
⁄
La fuerza que actúa sobre esta área es:
Entonces el factor de seguridad en este caso será:
También se deben verificar el aplastamiento en ambos materiales, tanto en el canal como en las placas laterales, la fuerza que actúan es 784 lbf en todos los casos, los que se modifica es el área proyectada y el límite de fluencia de cada pieza. El área proyectada en el caso del canal será la misma que la utilizada en el tornillo, entonces el coeficiente de seguridad del aplastamiento en el canal es:
⁄ En el caso del aplastamiento en las placas, tenemos que el área proyectada será:
⁄
Entonces el coeficiente de seguridad dado en este caso será:
Nuestro factor de diseño queda determinado por el coeficiente de seguridad menos, el que nos brinda el aplastamiento en el canal. Nuestro factor de diseño será entonces:
PROBLEMA N° 4
La unión atornillada que se muestra en la Fig. 1, la misma está sometida a una carga cortante de tensión de 20 kip. Los pernos SAE
grado 5 y el material estirado en frio AISI 1015. Determine el factor de
seguridad de la conexión para todos los modos posibles.
Figura 4.1: Vista superior
Figura 4.2: Vista frontal
Datos del Problema:
Propiedades del tornillo: SAE Grado 5: (Fuente: Tabla 8-4, Diseño en ingeniería mecánica 8va Edición, Shigley-Mischke) Tornillos con tuerca Hexagonal:
Propiedades de las Juntas: SAE Grado 5: ( Fuente: Tabla A-20, Diseño en ingeniería mecánica 8va Edición, Shigley-Mischke) Material Tipo: AISI 1015 HR
Primeramente describiremos cual es la resistencia a la fluencia cortante producida por la energía de distorsión es la siguiente:
A continuación iremos analizando los distintos tipos de fallos que se pueden producir en el esquema visto en la Figura 4.1 Falla del bulón por Cortante Puro:
Corresponde a al esfuerzo que se puede producir en el tornillo. Podemos calcular con la siguiente expresión, en donde, A corresponde al área de la sección transversal de todos los tornillos en el grupo. En este caso se toma el diámetro D, es del diámetro nominal del tornillo en vez del diámetro del agujero.
Figura 4.3: Cabeza del tornillo. (Hexagonal recortada)
Entonces el corte puro total que se produce en todos los tornillos son:
De esta manera, hallamos el factor de seguridad por corte puro en los tornillos: Figura 4.4: Vista lateral del esfuerzo aplicado al conjunto
Fallo por aplastamiento:
En la siguiente Figura 4.5 Se ilustra una falla por aplastamiento en los tornillos, este esfuerzo por lo general se llama esfuerzo de aplastamiento, resulta complicado debido a la distribución de la carga en la superficie cilíndrica del tornillo. Los valores exactos de las fuerzas que actúan en el tornillo se desconocen y por lo tanto se puede suponer que las componentes de las fuerzas están distribuidas de manera uniforme sobre las áreas de contacto proyectada del tornillo.
Donde el área proyectada de un tornillo es es el diámetro de perno.
Figura 4.5: Falla por aplastamiento
. Aquí, es el espesor de la placa más delgada y
Como podemos observar que el espesor de la placa más delgada es:
()
Una vez calculado la tensión de aplastamiento, procedemos a calcular el factor de seguridad para el aplastamiento en los tornillos:
Verificación de fallas en la junta más comprometida:
En la siguiente figura se observa uno de los elementos o placas en donde se produce la ruptura por tensión pura. El esfuerzo de tensión es:
Donde A es el área neta de la placa, es decir, el área reducida por una cantidad igual área de todos los agujeros del tornillo. Para materiales frágiles y cargas estáticas, y para materiales dúctiles o frágiles cargados a fatiga deben incluirse los efectos de concentración de esfuerzos. Los efectos de la concentración de esfuerzos no se tienen en cuenta en el diseño estructural, porque las cargar son estáticas y los
Figura 4.6: ruptura por tensión pura
materiales dúctiles. En nuestro ejercicio podemos observar que la cantidad de agujeros son tres a los que tenemos que descontar del área total.
()
Una vez calculado la tensión de aplastamiento, procedemos a calcular el factor de seguridad para el aplastamiento en las placas:
Verificación de aplastamiento en las juntas:
Por último se verifica el esfuerzo de aplastamiento en las juntas, debido a la compresión que se produce en las mismas.
() El signo negativo se debe a que la fuerza de es de compresión.
Una vez calculado la tensión de aplastamiento, procedemos a calcular el factor de seguridad para el aplastamiento en los en las juntas:
PROBLEMA N° 5
En la Figura 5.1 se muestra la sección de la unión con empaque y esta cargad por una fuerza repetida
. Los elementos tienen
Todos los pernos se han precargado con cuidado hasta
cada uno. Se emplean arandelas de acero endurecido de 0.134 in de espesor bajado de la cabeza y de la
tuerca. ¿Cuál es la longitud de los pernos que se debe usar? a) Encuentre kb, km, y C b) Con base al criterio de falla de Goodman, encuentre el factor de seguridad que protege contra una falla por fatiga. c) Mediante el empleo del criterio de falla de Gerber, determine el factor de seguridad que proteja contra la falla por fatiga d) Encuentre el factor de carga que protege contra el exceso de la carga de prueba.
Figura 5.1: Problema planteado .
A continuación primeramente se extraerán todos los datos que nos brinda el problema, son los siguientes: Datos del Problema:
Tornillo:
SAE grado 5 UNF
Elementos o juntas:
¾ in 16
Material: Fundición N° 40
Arandela:
De esta manera primeramente determinaremos la Longitud de tornillo que se debe usar para este análisis:
En la siguiente Figura 5.2 podemos observar el tornillo y también la descripción de las distintas longitudes que se utilizan para el cálculo.
Figura 5.2: Longitudes del tornillo a utilizar.
El cálculo que se realiza para calcular la longitud total del total del perno a usar es el siguiente:
El valor de
como se puede observar en la Figura 2.3, que corresponde al ancho de la tuerca se
determinó su valor de la Tabla A-31 ( Fuente: Tabla A-31, Diseño en ingeniería mecánica 8va Edición, Shigley-Mischke) donde de tomo una tuerca Hexagonal regular con arandela.
Figura 2.3: Dimensiones de la tuerca.
Una vez hallado el valor de la longitud del perno, adoptamos un valor estandarizado que se puede encontrar con más facilidad en el mercado, sacado de la Tabla A-17. 31 ( Fuente: Tabla A -17, Diseño en ingeniería mecánica 8va Edición, Shigley-Mischke)
Ahora procedemos a calcular las constantes de Rigidez para cada uno de los elementos, que entran en juego las arandelas y a su vez los elementos de unión, que en este caso son ambas juntas. La expresión que relaciona tanto a las constantes de rigidez de las arandelas y juntas corresponde a la siguiente:
Como en este caso tenemos los siguientes datos para calcular el
correspondiente al total.
( )
Ahora procedemos a calcular la rigidez perteneciente al Perno:
Partimos de lo siguiente, considerando la Figura 5.2 Longitud roscada (series pulgadas):
Longitud de agarre del sujetador:
Longitud de la parte útil sin rosca:
Longitud de la parte útil roscada:
Ahora determinamos el Área tanto de la parte roscado como así también de la parte sin roscar:
Área parte roscada:
Área parte sin roscar:
Extraído de la Tabla 8-1 de
Diseño en ingeniería mecánica 8va Edición, Shigley-Mischke
Rigidez del Sujetador:
La constante C será, que representa la forma que se distribuye la fuerza aplicada tanto en el tornillo como así también en los elementos:
La resistencia límite a la fatiga
del perno lo extraemos de la Tabla 8-7,como así también su
Por lo tanto de esta manera hallamos el factor de seguridad mediante el método de Goodman:
Otra forma de hallar el factor de seguridad, es utilizando la teoría de Gerber:
:
[ ] *√ + Por lo tanto, el coeficiente de seguridad con el que se trabaja con esta teoría será:
Es decir, que el perno está trabajando 3,6 veces por debajo del límite permitido.
Se recomienda verificar la posibilidad de fluencia usando la resistencia de prueba. Entonces:
