Academia Preuniversitaria Preuniversitaria
"ADUNI" Ingenieros. Ingenieros.
Preparación Exclusiva Exclusiva para la UNT…! UNT…!
Docente: Ing. Miguel Gonzáles López
1CIRCUNFERENCIA Si se desarrolla la ecuación ordinaria de la circunferencia se obtiene la 2
Es el lugar geométrico de un punto P(x,y) del plano R ,
ecuación general:
de tal manera manera que se mueve mueve mante mantenié niéndo ndose se siemp siempre re igual igual a una
Para pasar de la ecuación ordinaria a la ecuación general:
cantid cantidad ad consta constante nte r (r → radi radio) o) de un punt punto o fijo fijo C del del plan plano o denominado centro de la misma. Es decir:
( x − h)2
(C, P) P) = r } C = { P( x, y) ∈ R / d (C 2
Y
L
N
+ (y − k)2 = r 2
− 2xh + h2 + y2 − 2y k + k 2 − r 2 = 0 x 2 + y2 − 2yh + 2y k + (h 2 + k 2 − r 2) = 0 De donde:
D
O E
C
=−
U
h
D
=−
C
•
CU
•
BO
•
AE
→ Centro de la circunferencia → Radio (CU = r) → Cuerda → Diámetro
•
LN
→ Recta Normal
•
LT
→ Recta Tangente
=−
2k
= h2 +
F
E
=−
k
2
X •
E
2h
k2
− r2
También:
r L T
+ D x + E y + F = 0
y2
x 2
B
A
+
x 2
r
2
+ E2 − 4F
D2
=
2
Demostrar que la ecuación de la circunferencia, donde los puntos
A(a1 ;a2)
y
B(b1 , b2)
son extremos de uno de los diámetros,
es: 2 x − a1 + b1 y − 2
a2
+ b2 2 ( a1 − b1)2 + ( a2 − b2 ) 2 = 2 4
Y B ( b1
Es la ecuación de la circunferencia con centro en Y y
x
(
y
;
, b
)
C
( h
r
el origen. P
2
r
r
)
, k ) A
1(
a2
,
r ( 0 ; 0
r
) x
Por punto medio del A B , se tiene:
h=
x 2
+
y 2
X
0
X
= r2
a1
+ b1 2
Si el centro de la circunferencia no está en el
⇒
origen de coordenadas, sino en el punto C(h; k) y es de radio r; entonces la ecuación de la circunferencia será:
r k
C
( h
y
y
,
)
k– k )
H
E
n
l a
f i g u
x −
C
e
n
t r o
R
a
d
i o :
P
u
n
t o
:
:
∴
C r
G
x
e
X
( x −
h)2
+ (y −
a2 + b2 2
r=
1 2
( a1 − b1)
2
+(
a2
− b2) 2
2
( a1 − b1 ) + ( a2 − b2 )
2
Luego la ecuación de la circunferencia es:
Y x (
k=
Por distancia entre dos puntos:
2r = d(A, B) B) =
P
∧
a1
+ b1 2 + y − 2
a2 + b2 2
2
= r 2
2 2 2 2 x − a1 + b1 + y − a 2 + b 2 = ( a1 − b1 ) + (a2− b 2 ) 2 2 4
:
Demostrar que la ecuación de la circunferencia de centro (h, k) y que pasa por un punto (a, b) es:
k)2
=
r2
Academia Academia Preuniversitaria Preuniversitaria “ ADUNI" INGENIEROS. INGENIEROS.
2 2 2 2 ( x − a) + ( y − b) = ( a − h) + ( b − k)
R. Descartes Descartes # 198 - Urb. La Noria. Noria.
Teléfono
509007
1
Academia Preuniversitaria
"ADUNI" Ingenieros.
Preparación Exclusiva para la UNT…!
Y A
Si R = 7 y OA = 25, calcular la ecuación de la circunferencia.
r
Y B
A
R
0
X
Rpta:
X
0
P
Rpta:
Se tiene la circunferencia:
En la figura, OP = 12 y O: centro. Calcular la ecuación de la circunferencia. Y
+ y2 +
x 2
4x
− 6y − 12 = 0
Hallar el perímetro del cuadrado circunscrito a dicha circunferencia. Rpta:
r
Calcular la ecuación de la circunferencia de centro C(2,– 2) y es tangente a la recta: L: 3x + 4y – 8 = 0 Rpta: 3
0
º
0
P
X
Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (– 1,1) que es tangente a la recta que pasa por (4,0) y (0,– 4).
Rpta:
Rpta:
La ecuación de una circunferencia es:
( x − 3) 2 + ( y + 6 )
2
=
7
En la figura, OABC es un rombo y P, Q y R puntos de tangencia. Sabiendo que OL = 10 y OC = 5, calcule la ecuación de la circunferencia .
Hallar el centro y el radio. Rpta:
Y
P
L
La ecuación de una circunferencia es:
( x + 2) 2 + (y − 4 ) 2= 9
Q
Hallar el centro y el radio.
A
Y ( x
+
2
1
0
)
2
X
C
0
Hallar el área de la región sombreada.
B
R
Rpta.:
Rpta:
+
En la figura T es punto de tangencia, A = (0 ,8) y B = (0,2). Determine la ecuación de la circunferencia C . Y
A X
0
Rpta:
B
Hallar el área de la región triangular sombreada. x 2 +2 y x – 1 6 y – Y A
X
T Rpta: Se tiene la C :
x 2
− 12x + y 2 − 16y + 75 = 0 .
Calcule la ecuación de la recta que pasa por el centro de C y el B 0
H
punto P(0,3): Rpta:
X
Rpta:
L : y = − Calcular la ecuación de la circunferencia, si el área de la región triangular equilátera OAB es
2
4 3 u2
En el gráfico, la ecuación de la recta es calcule la ecuación de la circunferencia C .
(P es punto de tangencia)
Academia Preuniversitaria “ ADUNI" INGENIEROS.
R. Descartes # 198 - Urb. La Noria.
Teléfono
509007
3 x 4
+ 12 ,
Academia Preuniversitaria
"ADUNI" Ingenieros.
Y
Preparación Exclusiva para la UNT…!
En la figura, L: y = 2x – 4. Calcule la pendiente de la recta
L1
.
2
C ( 8 , 1
)
A
X
A)
Calcular la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(0,2) y es tangente en el origen a la recta L: y = – 2x. Rpta:
9/11
( 0 , a )
L
B) 5/3
C) 4/3
1
D) 3/4
E) 1/2
En el gráfico R, S y T son puntos de tangencia. Si r = 2 y B(12,0); calcule la ecuación de la circunferencia de diámetro TC.
Y
Calcular la ecuación de la circunferencia inscrita en el cuadrado ABCD si los puntos A(–1,2) y C(7,–6) son los extremos de una de las diagonales del cuadrado.
C
A S
Rpta:
R
Hallar
el
+
valor
2y2
−
de
k
para
que
5k x + 8y + 10 = 0
,
la
circunferencia
represente
a
una
circunferencia.
Calcular
+
0
A)
el
y2
radio
de
+ (n − 4)x + ny +
recta del la ecuación:
la
circunferencia
y = 0
, cuyo centro pertenece a la
x − 3y + 4
= 0.
x 2
T
+ y2 − 10x +
24y − 2y = 0
x 2
Rpta:
Según la figura, la Una circunferencia de radio
2 2m
, tiene su centro en la recta L : L 1 : x + y + 4 = 0 4x + 3y = 2 y es tangente a la recta . Calcular la suma de las abscisas de los posibles centros de la circunferencia.
mB K
PQ = 6 3
Y B E
, determine la
A) B) C) T 3 0
K
0
P
Q
= 74º , OE = EB y KO = 20. Halle la
ecuación de la circunferencia C .
Rpta:
En el gráfico, T es punto de tangencia si ecuación de la circunferencia.
D)
º
E)
Rpta:
X
B
+ y2 − 14x − 24y + 29 = 0 x 2 + y2 − 14 x − 14y − 24 = 0 C) x 2 + y2 − 16x − 24y + 28 = 0 D) x2 + y 2 − 14x − 24y − 20 = 0 E) B)
Rpta:
x 2
, k )
L
Rpta:
2 x 2
( h
X
( x − 4 ) 2 + ( y − 6 ) 2= 18 ( x − 4 ) 2 + ( y − 8 ) 2= 20 ( x − 6) 2 + ( y − 4 ) 2= 16
( x − 6) 2 + ( y − 8 ) 2= 18
( x − 4) 2 + (y − 6 ) 2= 16
Calcular m, si el punto (2;3) pertenece a la circunferencia:
x 2 A) 12
B) 14
+ y2 + 2x + my + 25 = 0 C) – 14
D) – 12
E) 16
Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta 4x + 3y + 2 = 0 y su centro pertenece a las rectas x + y = 4 y 3x = y. A) C) E)
x2
+ y2 − x − y + 9 = 0
B)
x 2
+ y2 + 5x + 2y + 3 = 0
D)
x 2
+
y 2
x2
+ y2 − 2x + 6y + 7 = 0
x2
+ y2 − 2x − 6y + 1 = 0
−9=0 Academia Preuniversitaria “ ADUNI" INGENIEROS.
R. Descartes # 198 - Urb. La Noria.
Teléfono
509007
3
