La parábola
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. Elementos de la parábola •
Foco Es el punto fijo F.
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Directriz Es la recta fija d. d.
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Parámetro: la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p. Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Vértice Es el punto de intersección de la parábola con su eje. Radio vector Es vector Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco. Cuerda: Distancia entre dos puntos de la parábola sin pasar por el foco Diametro:El Diametro:El segmento entre dos puntos de la parábola pero pasando pro el foca
Una p ar áb o la se define como el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de una recta y un punto fijos. El punto fijo se llama f o c o y y la recta fija se llama directriz de la parábola. de
n
m
B Foco P F
p
q
V X
D
L
Y directriz
La distancia del vértice V al al foco F F se se denota con con p p,, esto es d V , F p, y es igual que la distancia del vértice V a a la directriz d V , F d V , L
P
o sea:
p
F B
A
p V p
L
L,
AB es lado recto de la parábola.
D
La cuerda perpendicular al eje de simetría de una parábola por el foco, se llama lado recto de de la parábola.
Longitud del lado recto de una parábola La longitud PQ PQ del del lado recto de la parábola adjunta, se calcula como sigue:
PQ PF FQ 2PF F P
Q
p
Pero:
PF PS PS 2 p
V p L
S
D
R
Entonces:
PQ 4 p
Si el eje de simetría de la parábola es vertical y su vértice coincide con el origen, las coordenadas del foco son F 0, p , la ecuación de la directriz es y p. Por lo que, si P x, y es cualquier punto de la parábola entonces se satisfacen las siguientes relaciones: d P, F d P , L
y P x, y 2
2
x 0 y p F (0,p (0,p)) p x
yp 0 1 2
2
2
x 2 y p y p
O p Q
y = p
L
2
x 2 y p y p x 2
X²=4py (si la parábola parábola se habré para para arriba) x²=-4py(si la parábola se habré para abajo)
4 py
2
Dada la parábola X²=8Y calcular su vértice, su foco y la recta directriz. x²=8y x²=4py 4p=8 P=2 V(0,0) F(0,P) F(0,2) Y=-2
Si el eje de simetría de la parábola es vertical y su vértice es V h, k , las coordenadas del foco son F h, k p , y la ecuación de la directriz es y k p. Por lo que, si P x, y es cualquier punto de la parábola, entonces se satisfacen las siguientes relaciones:
F h, k p
y
d P, F d P , L P x, y 2
2
x h y k p 2 2 x h y k p
k y=k-p
y k p 0 1 2
2
y k p
p 2
p 0
Q
2
x h y k p y k p x
h 2
(x-h)²=4p(y-k) (si la parábola se habré para arriba) (x-h)²=-4p(y-k) (si la parábola se habré para abajo)
x h 4 p y k
2
Dada la parábola (x-3)²=8(y-2), calcular su vértice, su foco y la recta directriz. (x-3)²=8(y-2), (x-h)²=4p(y-k) h=3,k=2 V(3;2) 4p=8 P=2 F( h, k+p) F(3;4) Y=k-p Y=0
Si el eje de simetría de la parábola es horizontal y su vértice coincide con el origen, las coordenadas del foco son F p, 0 , la ecuación de la directriz es x p. Por lo que, si P x, y es cualquier punto de la parábola entonces se satisfacen las siguientes relaciones: y d P, F d P , L
P x, y
Q L
2
x p y p O
2
x p 1 0 2
2
p x F ( p,0 p,0 )
2 x p y 2 x p
2
x p y 2 x p
= x p
y 2 4 px
2
Dada la parábola 6y²=12x calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
y²=2x y²=4px 4p=2 P=1/2 V(0,0) F(p,0) F(1/2,0) X=-1/2
Si el eje de simetría de la parábola es horizontal y su vértice es V h, k , las coordenadas del foco son F h p, k , y la ecuación de la directriz es x h p. Por lo que, si P x, y es cualquier punto de la parábola, entonces se satisfacen las siguientes relaciones: y Q
d P, F
d P, L
P x, y 2
2
x h p y k p
k
1 0 2
2
p 2 2 x h p y k x h p
F h p, k
0
x h p
h
x
2
2
x h p y k x h p
L 2
y k 4 p x h x = h p p
2
Hallar la ecuación de la parábola con vértice v(1,4) y F(3,4)
Distancia entre VF P=2 (y-k)²=4p(x-h) (y-4)²=4(2)(x-1) y²-8y+16=4x-8 y²-8y-4x+24=0
Ecuación general de la parábola (y-k)²=4p(x-h) y²-2yk+k²=4px-4ph=0 y²+Dx+Ey+F (eje el de las X) (x-h)²=4p(y-k) x²-2xh+h²=4py-4pk=0 x²+Dx+Ey+F x²+Dx+Ey+ F (eje el de las y)
Ejemplo 3
Solución
2 Graficar la parábola y 8 x 6 y 7 0 y obtener la forma canónica de su ecuación. Además obtener la longitud del lado recto y las coordenadas del vértice y del foco de la parábola.
2
y 3 8 x 2
4
2
V 2, 3
-5
-4 -4
-3 -3
-2 -2
-1 -1
1 -2
-4
F 0, 3
-6
-8
-10 -10
La longitud del lado recto es:
8
2
Graficar la parábola 2 x 4 x 5 y 12 0 y obtener la forma canónica de su ecuación. Además Además obtener la longitud del lado recto y las coordenadas del vértice y del foco de la parábola. 2
Ejemplo 1
15
Solución
2
5
x 1 y 2 2
12.5
10
V 1, 2
F 1,
7.5 7.5
21
8
5
2.5 2.5
La longitud del lado recto es:
5 2 -6
-4
-2
2
4
Ecuación de la parábola que pasa por 3 puntos
P1(-2,1)
Y²+Dx+Ey+F=0
P2(1,2)
(1)²+D(-2)+E(1)+F=0
P3(-1,3)
(2)²+D(1)+E(2)+F=0 (3)²+D(-1)+E(3)+F=0
-2D+E+F=-1 D+2E+F=-4 -D+3E+F=-9 Resolvemos el sistema de ecuaciones F=4 D=2/5 E=-21/5 Remplazamos los valores el la ecuación original Solución 5y²+2x-21y+20=0
