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Geometría Analítica
UNIDAD IV
LA LÍNEA RECTA 1.
INTRODUCCIÓN Todos tenemos la idea intuitiva de los que es una recta. Las propiedades fundamentales de la recta recta de acuerdo a los axiomas de Euclides Euclides son: 1. Por dos puntos distintos pasa una y sólo una recta. 2. Dos rectas distintas se cortan en un sólo punto o son paralelas.
2.
LA PENDIENTE DE UNA RECTA La inclinación de una recta que interseca el eje X es el menor ángulo, ángulo, mayor o igual que 0°, que forma la recta con la dirección positiva del eje X. La inclinación de una recta horizontal es 0. De acuerdo con esta definición, la inclinación i nclinación de una recta es tal que: 0 180 , o, en radianes, 0
En la siguiente figura, la inclinación de la recta L se indica mediante flechas curvadas. MX es el lado inicial y ML es el lado terminal. terminal. Y
Y L
O
M
L
X
O
M
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación, es un número que mide que tan inclinada está la recta y hacia dónde está inclinada.
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X
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Usualmente se denota con la letra m a la pendiente; para encontrar la pendiente de una recta no vertical tomamos dos puntos P (x 1 ; y 1 ) y Q (x 2 ; y 2 ) de la recta y calculamos el cociente: m
y 2 y 1 x 2 x 1
OBSERVACIONES
La pendiente es positiva cuando la recta está inclinada hacia la derecha. La pendiente es cero cuando la recta es horizontal. La pendiente es negativa cuando la recta está inclinada hacia la izquierda. Conforme el valor absoluto de la pendiente es mayor, la recta está más inclinada. Una recta vertical no tiene pendiente.
Ejemplo: Observe las siguientes rectas y sus pendientes. Y Y Y P (2;7) Q (1;2) Q (-1;3)
X
X X
m
3.
73 2 (1)
4 3
m
P (2;-4)
P (-2;-3)
4 2 6 2 1
m
Q (1;-3)
3 ( 3) 0 2 1
ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIENDO LA PENDIENTE Y UN PUNTO DE ELLA Consideremos el problema de encontrar la ecuación de la recta no vertical L que pasa por un punto P (x 1 ; y 1 ) y tiene pendiente “m”. Si Q (x ; y ) es cualquier otro punto de la recta, se debe satisfacer:
y
y 1 m (x x 1 ) 42
m
y y 1 x x 1
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Luego:
(1) Y
Q (x ; y ) P (x 1 ; y 1) X
Esta forma de la ecuación de la recta se llama ecuación punto-pendiente de la recta, ya que la obtuvimos conociendo la pendiente y un punto de ella, y recíprocamente si vemos una ecuación de ese tipo, podemos saber por qué punto pasa la recta y qué pendiente tiene. Ejemplo: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por (4; 1) y tiene pendiente -2 Resolución: m 2
(x 1 ; y 1 ) (4; 1)
y (1) (2)(x 4)
si queremos simplificarla: y 1 2x 8
y 2x 7
Podemos escribir la ecuación de una recta de varias maneras, dependiendo de los datos que sepamos de ella, y recíprocamente, si tenemos la ecuación de una recta, podemos llevarla a distintas formas, y obtener de esas expresiones distintas informaciones acerca de la recta.
4.
ECUACIÓN PENDIENTE - ORDENADA AL ORIGEN Es cuando conocemos la pendiente m y el punto donde corta al eje Y , que usualmente se denota con la letra b y se llama ordenada al origen. Tomando el punto P (0;b ) y la pendiente dada, sustituimos en la ecuación (1) y obtenemos: y b m (x 0)
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y mx b
que también puede escribirse como Ejemplo:
(2)
Encontrar la ecuación de la recta que tiene pendiente 3 y que corta al eje Y en el punto – 1. Resolución
5.
m 3
b 1
y
3x (1)
y
3x 1
ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIENDO DOS PUNTOS DE ELLA Veamos ahora como encontrar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos P (x 1 ;y 1 ) y Q (x 2 ; y 2 ) dados. Conociendo dos puntos de la recta, podemos encontrar su pendiente: m
y 2 y 1 x 2 x 1
Ahora, tomando como punto fijo cualquiera de los dos que conocemos, podemos sustituir en la ecuación (1) y obtener:
y y1
y 2 y 1 (x x 1 ) x 2 x 1
(3)
Ejemplo: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P (4; 1) y Q (8;3) Resolución Luego:
6.
y
Hallemos (1) 1(x 4)
m
1 3 4 1 48 4
y
x 5
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA La ecuación general de la recta se obtiene pasando todos los términos de la ecuación a un solo miembro de manera que este quede igualado a cero. Ax By C 0
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(4)
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Ejemplo: Escribir y 4x 5 en la forma general Resolución: Hacemos la transposición respectiva y obtenemos: 4x y 5 0
7.
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS 7.1.- RECTAS PARALELAS Sean las ecuaciones generales de las rectas: L: Ax + By + C = 0 L1: A1x + B1y + C1 = 0 Si: L// L1
m
Pero: m =
Luego:
A B
= m1 A 1 B1
y m1 = -
A A 1
B B1
C C1
7.2.- RECTAS COINCIDENTES Dos rectas coinciden si tienen un punto común y la misma pendiente. Sean las ecuaciones generales de las rectas: L
:
Ax + By + C = 0
y
L1
:
A1x + B1y + C1 = 0
Si
:
L y L1 son coincidentes, entonces se cumple: A B C A 1 B 1 C 1
Entonces dos rectas serán coincidentes sí y sólo si sus coeficientes correspondientes son proporcionales.
7.3.- RECTAS PERPENDICULARES Sabemos que si: L L 1 m.m1 1
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Siendo las ecuaciones generales de: L : L1
Ax + By + C = 0 : A1x + B1y + C1 = 0
Pero: m= -
A B
Ù
m =-
A
1
1
B
1
Reemplazando: A B
A 1 B1
( )(
)=-1 A . A1 + B . B1 = 0
De donde:
7.4.- RECTAS OBLICUAS Geométricamente, dos rectas se interceptan en uno y solamente en un punto en el caso de que no sean paralelas. Analíticamente, si las rectas L y L1 no son paralelas, entonces: A B A 1 B 1
, o sea,
AB1 – A1B
0
Donde:
8.
L
:
Ax + By + C = 0
L1
:
A1x + B1y + C1 = 0
FORMA NORMAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA La forma normal de la ecuación de una recta es: X . Cosω + Senω – p = 0 En donde p es un número positivo, numéricamente igual a la longitud de la normal trazada desde el origen a la recta, y ω es la medida del ángulo positivo menor que 360º medido a partir de la parte positiva del eje x a la normal.
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L
P1 (x 1; y 1 ) P ω
X
0
Donde: *
OP1 L (OP1 : Normal)
*
0º ω 360º
* p : siempre positivo * m = tg ω (en cualquier cuadrante)
REDUCCIÓN A LA FORMA NORMAL La forma general de la ecuación de una recta: L : Ax + By + C = 0 puede reducirse a la forma normal. x cos ω + y sen ω – p = 0 Dividiendo cada término de L por que precede al radical r se escoge como sigue: a) Si C 0, r es de signo contrario a C. b) Si C = 0 y B 0, r y B tienen el mismo signo. c) Si C = B = 0, r y A tienen el mismo signo.
9.
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA La distancia “d” de un punto P1 = (x1; y1) a una recta cuya ecuación es Ax + By + C = 0, se obtienen de la siguiente manera:
Ax1 By1 C d=
2
2
A B
Nota: En este caso “d” es la distancia no dirigida Distancia Dirigida de un punto a una Recta.
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La distancia dirigida “d” de un punto P = (x1 ; y1) a una recta cuya ecuación es Ax + By + C = 0, se obtiene de la siguiente manera:
Ax By C 1
d=
1
2
2
A B
Donde el signo del radical se elige de acuerdo a lo siguiente: Siendo r =
2
2
A B
, entonces:
a) Si C 0, r es de signo contrario a C. b) Si C = 0 y B 0, r y B tienen el mismo signo. c) Si C = B = 0, r y A tienen el mismo signo.
SI LA RECTA NO PASA POR EL ORIGEN: “d” es positiva o negativa según que el punto P1 y el origen estén en lados opuestos o del mismo lado de la recta.
SI LA RECTA DADA PASA POR EL ORIGEN: “d” es positiva o negativa según que el punto P1 esté arriba o debajo de la recta. y L
P1 d>0 d<0
P1
X
0
y
L
P1 d>0
X
0 d<0
P1
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10. DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS La distancia entre las rectas paralelas: L1
:
Ax + By + C1 = 0
L2
:
Ax + By + C2 = 0
Está dada por la fórmula:
C C 2
d =
1
2
A B
2
y
L
1
L
2
P d X
0
11. LA BISECTRÍZ DE UN ÁNGULO Las bisectrices de los ángulos sumplementarios formados por las rectas que se interceptan. L1 L2
: :
A1x + B1y + C1 = 0 A2x + B2y + C2 = 0
y
Tienen por ecuaciones:
d
=
A1x B1y C1 2
2
A1 B1
A2 x B2y C2 2
2
A 2 B2
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y P (x;y) d
L
d
1
2
2
d
2
d P (x;y)
L
1
L
1
x
0 L
:
Bisectriz
L’
:
Bisectriz
L'
P equidista de las rectas L1 y L2, es decir:
d d 1
2
Para la bisectriz L’ : d1 = d2
12. RECTAS VERTICALES Las ecuaciones anteriores sirven para representar cualquier recta excepto a las rectas verticales ya que estas no tienen pendiente. Sin embargo, las ecuaciones para las rectas verticales son muy sencillas, ya que todos los puntos de ella tienen la misma coordenada X o abscisa Así la ecuación de la recta vertical que pasa por el punto (h ; k ) es x = h Ejemplo: La recta vertical que pasa por (3 ; 2) tiene por ecuación: x = 3
13. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS Consideremos dos rectas que se cortan en el punto A como se observa en la figura. Y L 2
L 1
A 2
1
O
50
X
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En el triángulo ABC 1 2
1 2 1
Así que para encontrar el ángulo formado por las dos rectas, restamos los ángulos que forman ellos con la parte positiva del eje X . Podemos también expresar a la tangente de directamente en términos de las pendientes de las rectas L1 y L 2 tan tan( 2 1 )
tan 2 tan 1 1 tan 2 .tan 1
51
m 2 m 1 1 m 2.m 1
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NIVEL I: BÁSICO 1. Hallar la intersección de la rectas: x+9y –6=0 9x –y –21=0 a)
3 0; 2
3 b) 0; 2
c)
5 ;0 2
d)
5 3 ; 2 2
e) (0;7)
2. El punto (-3;5) pertenece a la recta: 3x – 2y + k = 0. Hallar: “k”. a) 8
b) 2
c) 17
d) 6
e) 19
3. Si la ecuación lineal de la recta L es: 5x+3y –4=0 y el punto (2;k) pertenece a dicha recta. Hallar: K a) 0
b) -1
c) -2
d) -3
e) -4
4. Una recta tiene un ángulo de inclinación de 135° y pasa por lo puntos P(5; -1) y Q(k;3). Hallar “k”. a) -1
b) 0
c) 1
d) 2
e) -2
5. Una recta pasa los puntos (-3;1), (0;4) y (8;n). Hallar “n”. a) 6
b) 12
c) 4
d) 8
e) 7
6. Hallar la ecuación de la recta “L” que pasa por el punto (1;2) y que es perpendicular a la recta: 3x 4y 12 0 a) 4y + 3x – 10 = 0 d) 4x + 3y – 10 = 0
b) 3x – y + 20 = 0 e) x + y – 20 = 0
c) x + y – 10 = 0
7. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento AB, si A(7;9) y B( -5;7). a) x + y = 0 d) 4y + 3x – 7 = 0
b) x - y = 0 e) 4y + 3x + 7 = 0
c) y + x – 7 = 0
8. Hallar el área del triángulo determinado por las rectas de ecuaciones y = x, y = 6, y = 2x. a)
6 2
b)
10 2
c)
20 2
d)
9 2
e)
18 2
9. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento AB, si A(0;0) y B( -6;-8) a) x - y + 8 = 0
b) 3x + 2y - 8 = 0
d) 3x + 4y + 25 = 0
e) x + y = 0
52
c) 3x - 4y - 25 = 0
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10. Hallar “k” para que las rectas
y + 3 - 2k x + 8 = 0 k + 1 y - x - 5 = 0
sean
perpendiculares a) 2
b) -2
c)
1 3
d)
2 3
e) 4
11. Determine la pendiente la recta, cuya ecuación es: y mx 5 , para que pase por el punto de intersección de las rectas: y = -3x - 5 ; y = 4x + 2 a)
12. Si
1 7
b)
L1 : 2y - kx - 3 = 0
-
1
c) 7
7
y
L : k + 1 y - 4x + 2 = 0 . 2
perpendiculares y si “ m1" a)
8 3
b)
d) -7
15 4
y "m2" son
c)
e) 1
Son las ecuaciones de dos rectas
sus pendientes, halle el valor de 35
d)
6
53
24 5
e)
48 7
m1 + m2
.
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NIVEL II: INTERMEDIO 13. De la figura, halle: “K” y (k;7a)
a) b) c) d) e)
6a 7a 8a 9a 10a
0
(3a;0)
x
14. Hallar “k” del gráfico. a) b) c) d) e)
6.5 8 15 7.5 4
Y
(-10;k)
X
37º
15. Hallar la pendiente de la recta “L”
a)
b)
1
Y
1
L
3
3
c) 3 d) 3 e)
30º
3
X
3
16. Hallar el área del trapecio sombreado. a) b) c) d) e)
78 2 78 3 2 50 3 2
Y
m 3
(10;k)
100 2 100 3 2
(16;0)
54
X
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17. Hallar la pendiente de la recta “L”. a)
b)
c)
1
Y
3
L
3 3
3 3
d) 3 e) 3
30º
X
18. Hallar “n” de la figura
Y
L
a) 11 b) 11 c) 11 d) 2 11 e) 2 11
(6;n)
-5
X
10
19. Hallar el área del triángulo sombreado. a) b) c) d) e)
Y
46 2
y 2x 12 0
20 2 40 2 18 2 36 2
X
20. Hallar el área del triángulo sombreado. A) B) C) D) E)
100 2 2
Y
y x 10 0
20
yx
50 2 25 2 40 2
X
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NIVEL III: APLICACIONES
21. Un alumno de TECSUP modela el siguiente grafico, halle la ecuación de la recta , si P = (3,5)
L p
x
22. La resistencia de un conductor metálico aumenta al aumentar la temperatura. Dicho aumento depende de la elevación de la temperatura y del coeficiente térmico de resistividad alfa . La resistencia (R) para una variación de temperatura (T) (en grados centígrados) está dada por: R Ro T , donde Ro es la resistencia a la temperatura de referencia (generalmente 20° C) y es el coeficiente de temperatura de la resistencia. Una resistencia de 1000 pies de alambre de cobre N° 14 a 20°C es 2,6 , a 75°C es 3,1 Encontrar: a) La ecuación de la resistencia versus la temperatura b) El valor de la resistencia a una temperatura de 45°C. c) El valor de la temperatura cuando el conductor registra una resistencia de 4,2 . d) Dé la interpretación de la pendiente de la recta y de la intersección de la recta con el eje Y.
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23. Un ciclista se mueve en línea recta sobre una autopista. En el instante t=1,0 s se encuentra viajando a V=1,0 m/s y 3,0 s más tarde la hace a con una rapidez de V= 7,0 m/s. Considere que la relación entre la rapidez del ciclista y el tiempo es lineal. Encontrar:
a) b) c)
La ecuación de movimiento. La rapidez con la cual inicia su movimiento el ciclista. El tiempo que ha transcurrido hasta el momento en que el ciclista viaja V= 20 m/s. Dé la interpretación física de la pendiente de la ecuación de la recta.
d)
24. En la figura se muestran 2 resortes de longitud inicial 3pulg. La relación entre la fuerza aplicada y la deformación de un resorte es F K d . a) Halle las ecuaciones para I y II. b) Si se cuelga en el resorte I un peso de 0,5N y en el resorte II un peso de 0,4N, ¿cuál es la distancia L(cm) que separa a ambos resortes?
F (N) I
0,9
II
0,8 0,7 0,6 0,5
0,5 N
0,4 0,3 0,2 0,1
L
d (cm) 1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,4 N
10
25. La resistencia de 1 000 pies de alambre de cobre N° 14 a 20°C es 2.6 , a 75°C es 3.1 . la resistencia R es función lineal de la temperatura t dada por R = R 0 + at, donde R 0 es la resistencia a 0°C y a es una constante. Obténgase R y a, para el alambre, tomando en cuenta los datos previos.
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26. La fuerza F (en libras) ejercida sobre un resorte es una función lineal de la distancia x que el resorte se estira: F = kx (k = constante). Si k = 1.5 lb/pies para un cierto resorte, trácese la gráfica de F contra x variando desde x = 0pies hasta x = 6pies. 27. El peso “normal” de una persona es una función lineal de su estatura. El peso está dado aproximadamente por la fórmula W = 0.97H – 100, cuando W se expresa en kilogramos y H en centímetros. Grafíquese W contra H , desde H = 150cm (4pies 11pulg) hasta H = 200cm (6pies 7 pulg).
28. A partir de la siguiente figura:
F
a) Determine las ecuaciones que relacionan a las variables F y d de los gráficos 1 y 2.
GRÁFICO 1
b) ¿Para qué valor de d, la distancia vertical entre los gráficos 1 y 2 es 5?
5 4 GRÁFICO 2
32.0° d
15
a
29. A partir de la siguiente gráfica indique el valor de la máxima tensión:
U (voltios) R
15
85 7
12
t (s)
40
60° -20 (75,-20)
30. La temperatura de congelación del agua es 0°C (o 32°F). La temperatura de ebullición es de 100°C (o 212°F). Utilice esta información para encontrar una relación lineal entre la temperatura en °F y la temperatura en °C. ¿Qué incremento de temperatura en °F corresponde a un incremento de temperatura de 1°C?
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