Academia Preuniversitaria Preuniversitaria
"JOHN NEPER" NEPER" DE INGENIERIA. INGENIERIA.
x 2
+ y 2 = r 2
2. For Forma Ordinaria: +i el centro de la
CIRCUNFERENCIA
circ circun unfe fere renc ncia ia no est' est' en el orig origen en de
DEFINICIÓN: Es el lugar geométrico de un
coordenadas, sino en el punto C(- .) y es
punto P(x,y) del plano R 2, de tal manera que se
de radi radio o r- ento entonc nces es la ecua ecuaci ci*n *n de la
muev muevee mant manten enié iénd ndos osee siem siempr pree igua iguall a una una
circunferencia ser'!
cantid cantidad ad consta constante nte r (r → radio) de un punto Y
fijo fijo C del del plan plano o deno denomi mina nado do cent centro ro de la
P ( x , y )
misma Es decir!
r
(C, P) = r} C = { P( x, y) ∈ R 2 " d (C
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA Y
L
y –
C (h k )
k
E n la f g u ra : C e n r! : C (h ,k )
k
" a # $! : r P u n ! ! % e n & r $ ' ! : P ( x , y )
N
B
A
H
X
O E
C
( x − h)2
+ (y − k)2 = r 2
r L T
U
X → Centro de la circunferencia
#
C
#
CU
#
BO
#
AE
→ Radio (C$ % r) → Cuerda → &i'metro
#
LN
→ Recta ormal
#
LT
→ Recta angente
LA
+i se desa desarro rroll llaa la ecua ecuaci ci*n *n ordi ordina nari riaa de la Para Para pasa pasarr de la ecua ecuacci*n i*n ordi ordina nari riaa a la ecuaci*n general!
x 2
+ y2 + x + E y + = 0
( x − h)2
circunferencia con centro en el origen Y
+ (y − k)2 = r 2 x 2 − 2xh + h2 + y2 − 2y k +
k2
−
r2
x 2
k2
−
r 2) = 0
+
y2
2yh + 2y k + (h2
= − 2h
+
E
= − 2k
= h2 + k 2 − r 2
r
−
=0
&e donde!
P ( x ;y )
y
DE
circunferencia se o/tiene la ecuaci*n general!
FORM FORMAS AS DE LA ECUAC ECUACIÓ IÓN N DE UNA UNA CIRCUNFERENCIA ecuaci ci*n *n de la 1. Forma Canónica: Es la ecua
(0;0)
ECUACIÓN GENERAL CIRCUNFERENCIA.
am/ién!
r
x
X
h
=− r
=
k
2
2
=−
E 2
+ E 2 − * 2
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&)
PROBLEMAS
0 1allar el 'rea de la regi*n triangular som/reada + 2 - 2 . / x . 2 0 y / 1 3 0 Y A
"5
E) 0"2
< En el gr'fico R, + y son puntos de tangencia +i r % 2 y 4(02,9)- calcule la ecuaci*n de la circunferencia de di'metro C
Y A
B 0
C
6
X
H
" 2 Calcular m, si el punto (2-) pertenece a la circunferencia!
x 2
+
y2
+
2x + my + 24 = 0
3) 02
4) 05
&) 6 02
E) 07
3)
C) 6 05
4)
1allar la ecuaci*n de la circunferencia que es tangente a la recta 5x 8 y 8 2 % 9 y su centro pertenece a las rectas x 8 y % 5 y x % y
x 2
+ y2 −
x 2
+
x 2
+ y2 + 4x + 2y + 1 = 0
x 2
+ y2 − 2x − y + / = 0
x 2
+ y 2 − = 0
3) 4) C) &) E)
y2
0
x − y + = 0
C) &) E)
T
X
B
x 2
+ y2 − /0x + 2*y − 2y = 0
x 2
+ y2 − /*x − 2*y +
x 2
+
y2
x 2
+
y2
−
x 2
+
y2
− /* x − 2*y − 20 = 0
−
/*x /x
−
−
2 = 0
/*y − 2* = 0
2*y + 27 = 0
mB 8
= 5*9
7 +eg=n la figura, la , >E % E4 y ?> % 29 1alle la ecuaci*n de la
− 2x + y + 5 = 0
circunferencia C
Y B E
5 En la figura, :! y % 2x 6 5 Calcule la pendiente de la recta
L/
2
3) 4)
C (h , k )
C)
A(0,a)
L
L
3) 2
;"00
4) <"
C) 5"
8
0
/
&) E)
( x − *) 2
+ ( y − ) 2 = /7
( x − *) 2
+ ( y − 7) 2 =
( x − ) 2
+ ( y − *) 2 = /
( x − ) 2
+ ( y − 7) 2 = /7
( x − *) 2
+ ( y − ) 2 = /
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X
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1. &emostrar que la ecuaci*n de la circunferencia, A(a/ ;a2) B(b/ , b2) donde los puntos
1. +i R % @ y >3 % 2<, calcular la ecuaci*n de la circunferencia
Y
y
son extremos de uno de los di'metros, es!
x −
2
a/ + b/
2
a2 + b 2
y −
2
= (a/ − b/)2
2
A
" X
0
R!o"#ción: Rpta!
Y 2. En la figura, >P % 02 y >! centro Calcular la B ( /, 2)
ecuaci*n de la circunferencia
r
Y
C (h , k)
r
r
r
A (a / , a 2 )
X
0
109 0
a/
+ b/ 2
∧
k=
X
Rpta!
Por punto medio del A B , se tiene!
h=
P
a2 + b2
'. :a ecuaci*n de una circunferencia es!
2
( x − 1)
2
+ ( y + ) 2 = 5
Por distancia entre dos puntos! 2
2r = d(A,B) =
⇒
r=
/
( a/ − b/) + ( a2 − b2 ) 2
( a/ − b/ ) + ( a2 − b2 )
2
2
1allar el centro y el radio Rpta!
2
(. :a ecuaci*n de una circunferencia es! ( x + 2)
:uego la ecuaci*n de la circunferencia es!
x − ∴
a/
+ b/ 2
2
x − a/ + b/ 2
+ 2
y −
a2 + b 2
2
2
=
2
+ ( y − *) 2 =
1allar el centro y el radio
r2
2 + y − a2 + b 2 = ( a/ − 2
Rpta!
). 1allar el 'rea de la regi*n som/reada Y
( x / 0 ) 2 ( y . 7 ) 2 3 *
$ro%"ma &or D!arro""ar. 1. &emostrar que la ecuaci*n de la circunferencia de centro (, .) y que pasa por un punto (a, /) es!
( x − a)
2
+
( y − b)
2
=
( a − h) 2
+
( b − k) 0
R!o"#ción: $RACTICA
X
Rpta!
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11. En la figura, >34C es un rom/o y P, y R *. 1allar el 'rea de la regi*n triangular som/reada + 2 - 2 . / x . 2 0 y / 1 3 0 A
Y
puntos de tangencia +a/iendo que >: % 09 y >C % <, calcule la ecuaci*n de la circunferencia Y
P
L
A
B 0
B
"
X
H
Rpta!
X
C
0
Rpta!
+. Calcular la ecuaci*n de la circunferencia, si el 'rea de la regi*n triangular equil'tera >34 es
* 1 u2
12. En la figura es punto de tangencia, 3 % (9 ,B) y 4 % (9,2) &etermine la ecuaci*n de la
(P es punto de tangencia)
circunferencia
Y
C
Y
A
A
r B
0
P
B
X
X
T
Rpta! Rpta!
,. +e tiene la circunferencia! x2 + y2 + *x − y − /2 = 0 1allar el perAmetro del cuadrado circunscrito a
1'. +e
x 2
tiene
la
C !
− /2x + y2 − /y + 54 = 0
dica circunferencia
Calcule la ecuaci*n de la recta que pasa por el
Rpta!
centro de
C y el punto P(9,)!
Rpta!
-. Calcular la ecuaci*n de la circunferencia de centro C(2,6 2) y es tangente a la recta! :! x 8 5y 6 B % 9
1(. En el gr'fico, la ecuaci*n de la recta es 1 x + /2 L : y = − *
Rpta!
la circunferencia C
1. Calcular la ecuaci*n de la circunferencia de centro (6 0,0) que es tangente a la recta que pasa por (5,9) y (9,6 5) Rpta!
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, calcule la ecuaci*n de
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Y
2. En el gr'fico, es punto de tangencia si P = 1
, determine la ecuaci*n de la
circunferencia
P (7,/) X Rpta!
T 109
1). Calcular la ecuaci*n de la circunferencia que pasa por el punto 3(9,2) y es tangente en el origen a la recta :! y % 6 2x Rpta!
Rpta!
21. Calcular m, si el punto (2-) pertenece a la
1*. Calcular la ecuaci*n de la circunferencia inscrita
circunferencia!
x 2
en el cuadrado 34C& si los puntos 3(60,2) y C(@,67) son los extremos de una de las
3) 02
diagonales del cuadrado
E) 07
+
y2
+
2x + my + 24 = 0
4) 05
C) 6 05
&) 6 02
Rpta!
1+. 1allar el valor de . para que la circunferencia 2 x 2 + 2y2 − 4k x + 7y + /0 = 0 ,
x 2
radio
de
la
circunferencia
+ y2 + (n − *)x + ny + y = 0 ,
cuyo
centro pertenece a la recta del la ecuaci*n!
x − 1y + *
5x 8 y 8 2 % 9 y su centro
pertenece a las rectas x 8 y % 5 y x % y 3)
Rpta!
el
tangente a la recta
+ y2 − x − y + = 0 x 2 + y2 − 2x + y + 5 = 0
represente a una circunferencia
1,. Calcular
22. 1allar la ecuaci*n de la circunferencia que es
=0
C)
x 2
x2
+
y2
+
4x
+
4)
2y + 1 = 0
&)
+ y2 − 2x − y + / = 0 x 2 + y 2 − = 0 E) x 2
2'. En la figura, :! y % 2x 6 5 Calcule la pendiente
Rpta!
de la recta
1-. $na circunferencia de radio
2 2<
L/
, tiene su
2
centro en la recta : ! 5x 8 y % 2 y es tangente a la recta
L / : x + y + * = 0
Calcular la suma
C (h , k )
de las a/scisas de los posi/les centros de la circunferencia Rpta!
A (0 ,a ) L
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L
/
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3)
;"004) <"
E)
0"2
C) 5"
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&) "5
2(. En el gr'fico R, + y son puntos de tangencia +i r % 2 y 4(02,9)- calcule la ecuaci*n de la circunferencia de di'metro C
Y
C
A 6 " 0
3) 4) C) &) E)
T
x 2
+ y2 − /0x + 2*y − 2y = 0
x 2
+ y2 − /*x − 2*y +
x 2
+
y2
x 2
+
y2
−
x 2
+
y2
− /*x − 2*y − 20 = 0
/*x
−
/x
−
−
2*y + 27 = 0
mB 8
2). +eg=n la figura, la ?>
%
29
1alle
2 = 0
/*y − 2* = 0
y
X
B
la
= 5*9 , >E % E4 ecuaci*n
de
la
circunferencia C
Y B E 8
0
3) 4) C) &) E) 6
( x − *) 2
+ ( y − ) 2 = /7
( x − *) 2
+ ( y − 7) 2 =
( x − ) 2
+ ( y − *) 2 = /
( x − ) 2
+ ( y − 7) 2 = /7
( x − * ) 2
+ ( y − ) 2 = /
X
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