ACTIVIDAD de la sesión 03
1). La fábrica de muebles “La Moderna” produce dos tipos de modelos de muebles: modelo
Virginia y modelo Mónaco; utilizando dos procesos, de construcción y pintado. La utilidad unitaria del modelo Virginia es de $ 200 y del modelo Mónaco es de $ 240. La tabla siguiente, proporciona los datos básicos del problema.
Tiempo de fabricación por modelo PROCESOS Construcción Pintado
Modelo Virginia 6 8
Modelo Mónaco 12 4
Capacidad horaria disponible 120 64
Con la información indicada se pide: Formular el modelo matemático de programación lineal que optimice la utilidad de la fábrica, y hallar su solución utilizando el método gráfico. SOLUCIÓN: | X | Y | Capacidad Horaria Disponible | | Modelo Virginia | Modelo Mónaco | | Construcción | 6 | 12 | 120 | Pintado | 8 | 4 | 64 | | 200 | 240 | | X≥0 Y≥0
Restricciones Restricciones 6X + 12 Y≤ 120 l’ 8X + 4 Y ≤ 64 l”
FO = 200 X + 240 Y maximizar
R1. 6X + 12 Y = 120 6X + 12 Y = 120 6 X = 120 12 Y = 120 X = 120/6 Y = 120/12 X = 20 Y = 10
R2. 8X + 4 Y = 64 8X + 4 Y = 64 8 X = 64 4 Y = 64 X = 64/8 Y = 64/4 X = 8 Y = 16 Hallar B: Reemplazando:
6 X + 12 Y = 120 6 X + 12 Y = 120 8 X + 4 Y = 64 (-3) 6(4) + 12 Y = 120 6 X + 12 Y = 120 24 + 12 Y = 120 -24 X - 12 Y = - 64 12 Y = 120 - 24 -18 X = - 72 12 Y = 96 X = 72/18 Y = 96/12 X=4Y=8 Z = 200 X + 240 Y A (8,0) = 200 (8) + 240 (0) = 1600 B (4,8) = 200 (4) + 240 (8) = 2720 C (0,10) = 200 (0) + 240 (10) = 2400 X: Fabricar 4 muebles modelo Virginia. Y: Fabricar 8 muebles modelo Mónaco. Para obtener una utilidad de 2720.
2). Una compañía manufacturera, produce cuatro diferentes tipos de productos metálicos que deben maquinarse, pulirse y ensamblarse. Las necesidades específicas de tiempo (en ho ras) para cada producto son las siguientes: Tipo de Producto Producto I Producto II Producto III Producto IV
Maquinado 3 2 2 4
Pulido 1 1 2 3
Ensamble 2 1 2 1
La compañía dispone semanalmente de 480 horas para maquinado, 400 horas para el pulido y 400 horas para el ensamble. Las ganancias unitarias por producto son $6, $4, $6 y $8 respectivamente. La compañía tiene un contrato con un distribuidor en el que se compromete a entregar semanalmente; por lo menos 50 unidades del producto I; 100 unidades como mínimo de cualquier combinación de los productos II y III, según la producción; pero entregar sólo un máximo de 25 unidades del producto IV.
Formule el Modelo matemático de Programación Lineal que permita determinar las unidades de cada producto que debería fabricar semanalmente la compañía, a fin de cumplir con todas las condiciones del contrato y optimizar su ganancia total. Solución:
¿Qué es lo que vamos a Minimizar?
x1 = la Cantidad a fabricar del producto I x2 = la Cantidad a fabricar del producto II x3 = la Cantidad a fabricar del producto III x4 = la Cantidad a fabricar del producto IV
Min W = 6x 1 + 4x2 + 6x3 + 8x4…….(1) Sujeto a: 3x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 < 480 1x1 + 1x2 + 2x3 + 3x4 < 400 2x1 + 1x2 + 2x3 + 1x4 < 400 x1 > 50 x2 + x3 > 100 x4 < 25 x1, x2, x3, x4 > 0
3). Un ganadero utiliza diariamente, por lo menos 800 kg. de alimento especial, el cual es una mezcla de maíz y soya, con las siguientes composiciones: Componente del alimento especial Maiz Soya
Kg. de nutrientes por kg. de alimento Proteínas 0.09 0.06
Fibra 0.02 0.06
Costo del Componente($/Kg) 0.30 0.90
Los requerimientos dietética diario del componente especial, requieren por lo menos un 30% de proteínas; y a lo mucho un 5% de fibra. Formule el modelo matemático de programación lineal, que permita al ganadero determinar la cantidad en kg. de los componentes del alimento especial, a fin de minimizar el costo diario de la mezcla. Solución: Modelo matemático F.Objetivo M IN { C = 0.3X + 0.9Y } Sujeto a : R1) X + Y
800
R2) 0.09X + 0.6Y
0.3(X + Y)
R3)0.02 X + 0.06Y
0.05(X + Y)
R4) X , Y
0
4.) La señora Morales tiene una dieta a seguir, la cual reúne los siguientes requisitos alimenticios.
Al menos 4 mg. de vitamina A Al menos 6 mg. de vitamina B A lo más 3 mg. de vitamina D
Así mismo, la dieta está formada por pan, queso, huevo, y carne. La tabla siguiente nos da los requerimientos por vitamina en mg. así como el costo: Contenido en mg por gramo de producto
PRODUCTO
COSTO
VITAMINA A
VITAMINA B
VITAMINA D
PAN
40
0.20
0.18
0.10
QUESO
31
0.15
0.10
0.14
BUEBOS
19
0.15
0.40
0.15
CARNE
53
0.30
0.35
0.16
Solución:
¿Qué es lo que vamos a Minimizar?
x1 = la Cantidad a comprar de PAN x2 = la Cantidad a comprar de QUESO x3 = la Cantidad a comprar de HUEVO x4 = la Cantidad a comprar de CARNE
Min W = 40x1 + 31x2 + 19x3 + 53x4…….(1) Sujeto a: 0.20x1 + 0.15x2 + 0.15x3 + 0.30x4 > 4 0.18x1 + 0.10x2 + 0.40x3 + 0.35x4 > 6 0.10x1 + 0.14x2 + 0.15x3 + 0.16x4 > 3 x1, x2, x3, x4 > 0
