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Actividad de Aprendizaje 2. Equivalencias Trigonométricas Consultando el video de apoyo de Ríos, Julio. Funciones Trigonométricas en un triángulo rectángulo, podemos realizar los siguientes ejercicios.
Realiza el siguiente ejercicio: 1.
Haciendo uso de las funciones trigonométricas de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, escriba las fórmulas que dan los elementos desconocidos de los siguientes triángulos rectángulos, en términos de los datos que aparecen
dentro de un círculo.
1. Ángulo A Tan θ = Cateto opuesto/Cateto adyacente Tan A= a/b= A= tang-1 (a/b)= Ángulo A = arc tang (a/b). Para encontrar c tenemos que: Sen θ = o/h = Sen A= a/c por lo que encontramos que: c= a/Sen A. 3. Ángulo B b= Cateto opuesto a= cateto adyacente c= Hipotenusa Para encontrar c tenemos: Sen θ = o/h Sen B= b/c c= b/Sen B Encontrando A opción 1:
Tan θ = cateto opuesto/cateto adyacente Tan B= b/a, despejando a: a= b/tan B Encontrando A, opción 2: Cos θ = cateto adyacente/hipotenusa Cos B= a/c; despejando a: a= c*Cos B 5. Ángulo B Cateto opuesto= b Cateto adyacente= a Hipotenusa= c Cos θ = cateto adyacente/hipotenusa Para encontrar c tenemos: CosB= a/c despejando se tiene: c= a/cos B.
Para encontrar b: Sen θ = cateto opuesto/hipotenusa Sustituyendo en la fórmula: Sen B= b/c despejando tenemos: b= c* Sen B. O también se puede encontrar de la siguiente forma: Tan θ = cateto opuesto/cateto adyacente Tan B= b/a despejando b tenemos: b= a* Tan B.
7. Ángulo F Cateto opuesto= f Cateto adyacente= d Hipotenusa= e Cos θ = cateto adyacente/hipotenusa Cos F= d/e
Para encontrar f encontramos que: Sen θ = o/h Sen F= f/e, despejando f tenemos: f= e*sen F f también se puede encontrar de la siguiente forma: Tan θ = cateto opuesto/cateto adyacente Tang F= f/d, despejando f tenemos: f= d* tang F.
2.
Resuelva el triángulo rectángulo ACB. En caso de usar regla de cálculo, redondee los datos a tres cifras significativas.
Aplicando el teorema de Pitágoras: A) si utilizamos el ángulo A encontramos: a= cateto opuesto b= cateto adyacente c= hipotenusa a2 + b2 = c2 Despejando: a2 = c2 – b2 a= a la raíz cuadrada del resultado de la resta del cuadrado de cada termino.
B) Utilizando el ángulo A se tiene: a= cateto opuesto b= cateto adyacente c= hipotenusa a2 + b2 = c2 Despejando a: a2 = c2 – b2 a= a la raíz cuadrada del resultado de la resta del cuadrado de cada termino. Para encontrar b se tiene: b2 = c2 – a2 b= a la raíz cuadrada del resultado de la resta del cuadrado de cada termino. C) Utilizando el ángulo A se tiene: a= cateto opuesto b= cateto adyacente c= hipotenusa a2 + b2 = c2 Despejando b: b2 = c2 – a2 b= a la raíz cuadrada del resultado de la resta del cuadrado de cada término.
D) Utilizando el ángulo A se tiene: a= cateto opuesto b= cateto adyacente c= hipotenusa a2 + b2 = c2 Despejando c: a2 + b2 = c2 c= a la raíz cuadrada del resultado de la resta del cuadrado de cada término. E) Utilizando el ángulo A se tiene: a= cateto opuesto b= cateto adyacente c= hipotenusa a2 + b2 = c2 Despejando a: a2 = c2 – b2 a= a la raíz cuadrada del resultado de la resta del cuadrado de cada termino. Para encontrar b: Despejando b: b2 = c2 – a2 b= a la raíz cuadrada del resultado de la resta del cuadrado de cada término.
Utilizamos operaciones complementarias haciendo uso de las funciones trigonométricas y aplicadas a los triángulos rectángulos ACB, teniendo como referencia el ángulo A en todos los triángulos rectángulos. A) Ángulo A: b= cateto adyacente c= hipotenusa Cos θ = cateto adyacente/hipotenusa Cos A= b/c, despejando A tenemos: A= cos-1 (b/c)= A= arc Cos b/c
Para encontrar “a” se tiene: SenA= a/c Despejando a tenemos: a= c*Sen A También se puede encontrar a de la siguiente forma: tang A= a/b Despejando a se tiene: a= b*Tan A
B) Sen A= a/c, encontrando c se tiene que: c= a/Sen A Encontrando b: Tan A= a/b Despejando b tenemos: b= a/Tan A También podemos encontrar b de la siguiente forma: Cos A= b/c Despejando b: b= c*Cos A
C) Ángulo A Encontrando el ángulo A Sen A= a/c Despejando A A= Sen -1 a/c A= arc Sen a/c Encontrando b Cos A= b/c Despejando b se tiene: b= c*Cos A También se puede encontrar b de la forma: Tan A= a/b
Despejando b: b= a/Tan A
D) Ángulo A Tang A= a/b Despejando A A= Tan-1 a/b A= arc Tan a/b
Encontrando c: Sen A= a/c c= a/Sen A También se puede encontrar c de la siguiente forma: Cos A= b/c c= b/Cos A
E) Ángulo A a= Cateto opuesto b= Cateto adyacente c= Hipotenusa Para encontrar “a” se tiene: Tan A= a/b Despejando a: a= b* Tan A
Para encontrar c: sen A= a/c Despejando c: c= a/Sen A También se puede encontrar c de la siguiente forma: cos A= b/c Despejando c: c=b/Cos A
Al Comparar las funciones trigonométricas de A con las de B para los triángulos rectángulos se tiene que:
A) Sen A = a/c = Cos B B) Cos A = b/c = Sen B C) Tan A = a/b = Cot B D) Csc A = c/a = Sec B E) Sec A = c/b = Csc B F) Cot A = b/a = Tan B
3.
Durante un aterrizaje, el piloto desea pasar 10 m arriba de una pared de 25 m de altura y tocar tierra 200 m más allá de la pared. Halle el ángulo de descenso.
Utilizando las funciones trigonométricas se tiene: Tomando como referencia el ángulo A se tiene: b= Cateto opuesto = 35 m. a= Cateto adyacente = 200 m. c= Hipotenusa Para encontrar el ángulo de descenso se utiliza: Tan= Cateto opuesto/cateto adyacente Sustituyendo en la fórmula Tan A = 35/200 = 0.175 A= tang-1 (035/200) A= arc tan (0.175) A= 9.920 Habiendo calculado el ángulo A se tiene: La suma del ángulo A más la suma del ángulo B = 900 mA + mB = 900 Sustituyendo: 9.920 + mB = 900 Despejando mB: mB= 900 - 9.920 = 80.080 es el ángulo de descenso.
Utilizando el teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2 Considerando al ángulo B tenemos: a= Cateto opuesto= 200m b= cateto adyacente= 35m c= hipotenusa para encontrar c: (200)2 + (35)2 = c2 40000 + 1225 = c2 | 41,225 = c2 203.03 = c c= 203.03m Para encontrar el ángulo B se tiene: Tan θ = Cateto opuesto/cateto adyacente Sustituyendo en la fórmula Tang B = 200/35 B= tang-1 (200/35) B= arc tang (200/35) B= 80.080 es el Angulo de descenso.
4. Hallar los valores de las funciones trigonométricas de los siguientes números reales (use la Tabla II, que se encuentra en el archivo de apoyo o funciones en Excel).
a) Sen 0.2 b) Tan 0.10 c) Sec 1.17 d) Sen 1.327 e) Tan 0.235 f) Sec 1.073 Nota: Las fórmulas
5.
Resolver:
sen2 u (1 + cot2 u)
1
de adjuntan en archivo Excel.
Cotx= cotx/senx Sen2 u (1+cot2 u) Ξ 1 Sen2 u + Sen2 u cot2 u Ξ 1 Al utilizar la fórmula de identidad se tiene: Sen2 u + Sen2 u (cot u/sen u)2 Ξ 1 Sen2 u + Sen2 u (cot2 u/sen2 u) Ξ 1 Sen2 u + Sen2 u cot2 u/ sen2 u Ξ 1 Al eliminar términos semejantes se tiene: Sen2 + cot2 u Ξ 1 Sen2 + cot2 u = 1 Por lo tanto se tiene que: 1=1
Bibliografía.
BALDOR; Aurelio, Geometría plana y del espacio y trigonometría; México, Publicaciones cultural, 1992, 8va reimpresión, 423p. Estrada,
