ESTADISTICA DESCRIPTIVA
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
SHELENE HERNANDEZ MORALES JOHANA MIRAMON HERRERA LUIS FORERO ROLONG
CORPORACIÓN CORPORACIÓN UNIVERSITARIA UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS ADMINISTRACIÓN ADMINISTRACIÓN DE EMPRESA CUARTO SEMESTRE BARRANQUILLA 2017
Ejercicio N° 1 Se tienen 12 vendedores en una compañía. Cada uno vendió en un día las siguientes cantidades de cierto producto: 29 48 18 20 20 25 29 14 33 25 16 y 12, a) Calcule la media, mediana, moda, el cuartil tres y el decil seis. b) De los tres (3) primeros promedios solicitados ¿cual representa mejor la información? Por qué El cálculo de la media es lo mismo que el cálculo del promedio, en este caso, de las ventas de la compañía. Por lo tanto, para obtenerlo, debemos sumar el total de las ventas y dividirlo entre el número de vendedores: X= 29+48+18+20+20+25+29+14+33+25+16+1212 X= 24 es la media de la distribución La moda se refiere al valor de la muestra que más se repite, en este caso al observar los resultados obtenidos, vemos que la moda es 20 y 25, ya que ambos valores se observan dos veces Para calcular la mediana de datos desagrupados, debemos obtener el promedio de los valores centrales, ya que la mediana representa eso, el valor más central de la distribución. En este caso obtenemos el promedio del valor 6 Y 7: Me= 25+292 Me= 27 Cuartil tres: El cuartil divide la distribución en cuatro partes iguales, siendo el primer cuartil el 25%, el segundo el 50% y el tercero el 75%, por lo tanto, para el tercer cuartil debemos obtener el promedio de: Q3= 29+14+333 Q3= 763 Q3= 25.333 Decil seis: El decil divide la distribución en pedazos de 10% por lo tanto el decil 6 representa el 60% de la muestra. Para su cálculo debemos hallar la posición del decil multiplicando 0.6 (ya que es el sexto) por n= 12 0.6*12 = 7.2
Ahora que sabemos que el decil este en la posición 7.2, lo calculamos: D6= 20+ (25-20)*0.2 D6= 25.02 D6= 5
Ejercicio N° 2 Justifique las respuestas a cada uno de las siguientes afirmaciones: a) La moda se utiliza para promediar características cualitativas. Yo considero que la moda es el valor de la variable que tiene el mayor número de frecuencias o sea la que se repite y es la única medida que mide las variables cualitativas.
b) En una serie de datos cuando n es par, la mediana es igual al valor central. La mediana es el número central de un grupo de datos ordenados de menor a mayor, por lo tanto el valor central es la variable, es decir, el valor que divide en dos partes iguales. Si la cantidad de términos es par, la mediana es el promedio de los dos números centrales, si es impar hay un término que es el central y es el variable.
c) Si se desea promediar la preferencia de los estudiantes por un determinado deporte, se puede utilizar la media aritmética. Cuando nos referimos al promedio, nos estamos refiriendo al valor de la media aritmética por lo que para obtenerla sumamos los valores de xi y el resultado se divide entre los números de frecuencia. ̅ = 16 M = 16 y Md = 20 d) En una distribución simétrica puede que X
Tanto la media como la mediana coinciden en su distribución, es decir son simétricas. Si solo hay una moda el valor que más se repite.
e) En una distribución de intervalos abiertos en sus extremos, se puede utilizar la media aritmética Cuando los datos están agrupados por intervalos, la media aritmética no se puede calcular ya que el intervalo máximo no tiene límites superiores y el intervalo mínimo, no tiene límite inferior, es decir hay una distribución de frecuencias y hay intervalos abiertos.
Ejercicio N° 4 Complete:
a) La Mediana se determina ordenando los datos de menor a mayor, seleccionando el valor central b) Como se define una distribución de frecuencias, si la media, mediana y moda son iguales simétricas c) La Media Aritmética no es representativa si un valor de la variable es demasiado grande con relación a los demás d) Se debe utilizar la Media Geométrica cuando se quiere dar importancia a valores pequeños de la variable o cuando los datos muestran un comportamiento geométrico e) La Media no se puede calcular, si la distribución es de intervalos abiertos o no definidos f) Las fórmulas para calcular la Media Aritmética admiten tratamiento algebraico
Ejercicio N° 5 Complete: a) El tercer cuartil supera al 75% de las observaciones b) El resultado del quinto decil es igual a la mediana c) El percentil 30 percentil supera el 30% de las observaciones d) El Primer cuartil es superado por el 25% de las observaciones e) El segundo decil es superado por el 20% de las observaciones f) El percentil 82 percentil que supere al 82% de las observaciones
Ejercicio N°11
Un ascensor tiene capacidad para soportar un peso máximo de 700 kilos. Al utilizarse por 6 niños que pesan en promedio 22 kilos y 8 adultos que pesan en promedio 72 kilos. ¿Esta sobrecargado el ascensor? Peso Máximo= 700 Kilos 6 Niños= 22 kilos = 22 22 22 22 22 22= 132 kilos 8 Adultos= 72 kilos = 72 72 72 72 72 72 72 72= 576 kilos Total Kilos niños y adultos= = 708 kilos El ascensor tiene un sobrepeso de 8 kilos
Ejercicio N° 12 Cinco profesores trabajan en diferentes universidades por horas, con un valor de: $25.200 $20.000 $16.500 $30.000 Y $35.000 a) Obtenga el salario promedio por hora para los cinco profesores X=$ 25.200 + $20.000 + $16.500 + $30.000 + $35.000 5 = $ 25.340 salario promedio por cada profesor
b) Si cada uno trabaja 10 12 8 6 y 20 horas a la semana, calcule los sueldos totales a la semana 1. 2. 3. 4. 5.
$ 25.200* 10 horas = $252.000 sueldos totales a la semana $20.000* 12 horas= $240.000 $16.500 * 8 horas= $132.000 $30.000 * 6 horas= $180.000 $35.000 * 20 horas= $700.000
c) Calcule el promedio por horas considerando el número de trabajo semanal X= $252.000+$240.000+$132.000 +$180.000 + $700.00= $1.504.00056 horas= $26.857 salario promedio por hora
d) ¿Qué conclusión se obtiene con las respuestas (a) Y (c)? Al momento de calcular un promedio influyen directamente la cantidad de horas trabajadas por cada uno de los profesores, es necesario tener en cuenta datos como estos para realizar bien los cálculos de promedio
Ejercicio N° 16 Con los siguientes datos de una distribución de frecuencias calcule: a. Media b. Media Armónica c. Tercer Cuartil d. Quinto Decil e. Percentil 80 Ni 3 16 4 12 5 Fi
Yi-1 - Yi 2,1 – 7 7,1 – 10 10,1 – 12 12,1 – 20 20,1 – 24 Xi-1 - Xi
A. Media Yi- 1 - Yi 2,1 - 7 7,1 – 10 10,1 - 12 12,1 – 20 20,1 - 24
̅X = 3(3) + 16(19) + 4(23) + 12(35) + 5(40) /40 ̅X = 9 + 304 + 92 + 420 + 200 /40 ̅X = 1025/40 = 25,62 B. Media Armónica. M= 40/120 = 0,33
C. Tercer cuartil 3 cuartil = 3 (1+ 40)/4= 41(3) /4 = 123/4=30,75
N1 3 16 4 12 5
F1 3 19 23 35 40
D. Quinto decil 5 decil = 5 (1 + 40)/10 5(41)/10 = 205/10 = 20,5
E. Percentil 80 80 percentil = 80 (1+40)/100= 80(41) = 3280/100 = 32,8
Ejercicio N° 17 Halle la media, mediana y moda en cada uno de los siguientes conjuntos de observaciones A. 20 18 16 10 18 13 12 12 18 20 B. 11 13 13 15 15 15 17 17 19 C. 10 11 12 15 14 14 130 c) Del ejercicio (A) conteste ¿Qué pasaría con los resultados obtenidos con la aplicación de las tres medidas: (1) si a cada uno de los valores de la variable se multiplicara por 3?; (2) ¿si a cada valor se le suma 5? Media Conjunto A= 10 12 12 13 16 18 18 18 20 20 A= 10+ 12 (2)+ 13+ 16+18(3) + 20 (2) A= 10 + 24 +13 +16 + 54 + 40 = 15710= 15,7
Mediana Conjunto A= 18 + 13 = 312 = 15,5 Moda Conjunto
A= 18 Número que más se repite
Media Conjunto B= 11 + 13(2) + 15(3) + 17(2) + 19 B= 11 + 26 + 45 + 34 + 19= 1359= 15
Media Conjunto B= 15 Moda Conjunto B= 15 Numero que más se repite Media Conjunto C= 10 + 11 + 12 + 14(2) + 15 + 130 C= 10 + 11 + 12 +28 + 15 + 130 = 206 7 =29.42
Mediana Conjunto C= 15 Moda Conjunto
C= 14
a) ¿En cuál de los tres casos la media tiene poca representatividad? Tiene poca representatividad las observaciones del conjunto C ya que no hay igualdad en los intervalos.
b) En cada uno de los casos, compruebe que las sumas de las desviaciones respecto a la media aritmética es igual a cero. Conjunto A 20 18 16 10 18 13 12 12
15,7 15,7 15,7 15,7 15,7 15,7 15,7 15,7
4,3 2,3 0,3 -5,7 2,3 -2,7 -3,7 -3,7
Conjunto B 11 13 13 15 17 19
15 15 15 15 15 15
Conjunto C 10
29,42
-19,42
11
29,42
-18,42
12
29,42
-17,42
15
29,42
-14,42
14
29,42
-15,42
130
29,42
100,58
-4 -2 -2 0 2 4
Ejercicio N° 18 Con base en las siguientes medidas de posición, indique en cuales de los puntos existe una relación: a. b. c. d.
̅X = 78 ̅X = 80 ̅X = 84 ̅X =84
mediana = 84 mediana = 84 mediana = 84 mediana = 84
moda = 90 moda = 78 moda = 84 moda = 52
Ejercicio N° 22 Los siguientes datos representan el número de interrupciones diarias, en un mes. Los factores son de diversa índole, tales como un fluido eléctrico, daño en las maquinas, enfermedad o malestar al operario, etcétera. Los resultados se presentan en la siguiente tabla de frecuencias: Xi 0 1 2 4 5 7 10 Σ
f i 10 8 4 2 3 2 1 30
Calcule el promedio de interrupciones diarias en la fábrica durante el mes Xi
f i
Xi f i
f i / n
Xi (f i / n) ̅ = Σ Xi f i / n
0
10
0
0,33
0,0
1
8
8
0,27
2,1
2
4
8
0,13
1,1
=
4
2
8
0,07
0,5
5
3
2.1
15
0,10
1,5
7
2
14
0,07
0,9
10
1
10
0,03
0,3
Σ
30
63
1
6,5
El promedio de interrupciones diarias en la fábrica es de 2.1
63/
Ejercicio N° 26 Considere que una empresa cuenta con tres departamentos con diferente número de empleados. Si se realiza una encuesta para determinar el número de unidades producidas por hora, con los siguientes resultados. a. Calcule el promedio (media) de rendimiento para cada uno de los departamentos
DEPARTAMENTO 1 UNIDADES
NUMERO DE TRABAJADORES
3 5 7 8 10 11 12
2 3 6 12 4 2 1 30
∑
Media Departamento 1 DEPARTAMENTO 1 Unidades 3 5 7 8 10 11 12
∑
Empleados
Fi
Xi * Fi
2 3 6 12 4 2 1 30
2 5 11 23 27 29 30
6 15 42 96 40 22 12 233
Media Departamento 1= 6+15+42+96+40+22+12= 23330= 7.76 unidades producidas x hora
DEPARTAMENTO 2 Unidades
Empleados
2 4 5 7 8 10
3 7 14 9 3 4 40
∑
Media Departamento 2 DEPARTAMENTO 2 Unidades
Empleados
Fi
Xi * Fi
2 4 5 7 8 10
3 7 14 9 3 4
3 10 24 33 36 40
6 28 70 63 24 40
∑
40
231
Media Departamento 2= 6+28+70+63+24+40= 23140= 5,77 unidades producidas por horas
DEPARTAMENTO 3 Unidades
Empleados
4 5 7 8 9 10 12 13
6 2 12 10 14 2 3 1 50
∑
Media Departamento 3 DEPARTAMENTO 3 Unidades 4 5 7 8 9 10 12 13
∑
empleados
Fi
Xi * Fi
6 2 12 10 14 2 3 1 50
6 8 20 30 44 46 49 50
24 10 84 80 126 20 36 13 393
Media departamento 3= 24+10+84+80+126+20+36+13= 39350 = 7,86 unidades producidas por hora.
b. obtenga el promedio de unidades para el total de los 120 empleados X= 233 + 231 + 393= 857120 7.14 unidades por el total de empleados
Ejercicio N° 30 Un control de producción realizado en 50 lotes sobre el número de unidades defectuosas dio el siguiente resultado 5 2 10 12 7 9 6 3 2 3 1 0 0 8 6 3 3 5 5 7 4 5 8 7 1 5 11 9 6 4 3 2 7
4 0 10 8 8 3
0 7 8 5 3 3 9
4 4 8 2
a. Calcule la media y moda con los siguientes datos originales. ̅ =
= .
= =
b. Agrupe los datos en una tabla de frecuencia, calcule los promedios mencionados en esta unidad y compare sus resultados. Vm=
4 1 1 1 1 + + + 70 52 80 60
= 63,81 km por hora
Ejercicio N° 33 Un grupo de motociclistas realizo un recorrido y logro en la primera hora un promedio de 70kmph; en la segunda hora la media fue 52 kmph; en la tercera hora fue 80 kmph y en la cuarta 60 kmph. Halle la velocidad media. Media 70+52+80+60 /4 = 65.5Kmph
DISPERCION 1) Explique con sus palabras lo que entiende por cada una de las medidas de dispersión. Las medidas de dispersión entregan información sobre la variación de la variable, su objetivo principal es resumir en un solo valor la dispersión que pueda tener una serie de datos. Estos parámetros indican cómo se alejan los datos respecto a la media aritmética y pueden servir como indicador de variabilidad de datos.
Rango; Es la defenecía entre el menor y mayor de los datos de una distribución estadística.
Desviación media: desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable y la media aritmética. Varianza: La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.
a. Resolver los puntos 8, 16, 19, 28 y 33 8) Escriba verdadero o falso según corresponda: - El resultado obtenido al calcular la varianza se da en las mimas unidades que está dada la variable (F)
- La varianza es igual al cuadrado de la desviación estándar (V) -El coeficiente de variación se puede expresar en términos porcentuales (V) -El puntaje típico es la raíz cuadrada de la varianza (F) - La oscilación o rango se puede utilizar como medida de dispersión (V) 16) Los siguientes datos son los tiempos (en minutos) de 10 corredores en una prueba atlética de 10 kilómetros: 35 45 45 55 55 55 65 65 65 90. Complete El promedio (media) de los 10 corredores es igual a 29 minutos - La mediana del tiempo de los diez corredores es igual a 55 minutos - La moda del tiempo de los diez corredores es igual a 60 minutos - La desviación típica de los diez corredores es igual a 24, 4 minutos - El coeficiente de variación de los diez corredores es igual a 84% minutos.
19). Con la siguiente información correspondiente a una distribución simétrica, m= 5 c= constante, x1=40, n1=3 H2= 0,30 h5 = 0,05 y x5= 85, complete la tabla y calcule: ℎ=⇒=30,05=60 ==−=85−405 =9
La media de en una distribución simétrica se sitúa en el centro de la distribución, por lo tanto, en este caso, la media es 62,5 al igual que la mediana. Son iguales por ser simétrica.
/ 44,5 53,5 62,5 71,5 80,5
− ̅
3 18 42 57 60
0,05 0,3 0,7 0,95 1
∑
3 0,05 15 0,25 24 0,4 15 0,25 3 0,05 60 1
ℎ
133,5 802,5 1500 1.072,50 241,50 3.750,00
(
− ̅)2
(
− ̅)2
-18 -9 0 9 18 0
324 81 o 81 324
972 1.215,00 o 1.215,00 972
− ̅
(− ̅)2
(− ̅)2
a) Coeficiente de variación. =3.75060=62,5 2=4.374,060=72,9 =√72,9=8,54 =8, 5462,50100=13,66%
28) Una firma tiene 40 almacenes distribuidos en el territorio nacional y se cuenta con la información sobre las ventas mensuales en millones de pesos. -Calcule el coeficiente de variación
- La desviación media. - La desviación mediana.
fi
xi
xi*fi
10,1 - 20 20,1 - 30 30,1 -40 40,1-50 50,1- 60 60,1- 70
2 7 13 8 6 4
15,05 25,05 35,05 45,05 55,05 65,05
30,1 175,35 45,65 360,4 330,3 260,2
TOTAL
40
1612
Me = 40 ̅ = 30,4
S = 3,35 CV = 11% Dm = 2,25 Di= 2,48
33) En el lanzamiento de un producto, se realizó una investigación para determinar el grado de aceptación, utilizando la escala de 10 puntos. se tomaron 12 hombres y 12 mujeres con el siguiente resultado. HOMBRES 7 5 6 9 10 8 7 4 5 7 3 10 MUJ E R E S 6 4 4 3 5 6 8 6 5 5 4 6
El coeficiente de variación independiente
Hombres: ̅ = 4,3 S=79,1
CV=96%
Mujeres: ̅ = 2,16
S=2,25
CV=20%
El coeficiente de variación para el conjunto de personas: ̅ = 5.8
S=1,21
CV=20%
- Con los 24 datos construya una tabla de frecuencia y calcule el coeficiente de variación.
Xi
fi
xi*fi
3
2
6
4
4
16
5
6
30
6
5
30
7
3
21
8
2
16
10
2
20
TOTA L
24
139
̅ = 5.8
S = 1,21 CV = 20%
