LA RECTA DE MÍNIMOS CUADRADOS 13.32 Ajustar una recta de mínimos cuadrados a los datos de la tabla 13.18 usando: a) X como la variable independiente y b) X como la variable dependiente. Graficar los datos de estas rectas de mínimos cuadrados en un mismo eje de coordenadas.
X 3 5 6 8 9 11
Y 2 3 4 6 5 8 42
X^2 9 25 36 64 81 121 28
XY 6 15 24 48 45 88 336
Y^2 4 9 16 36 25 64 226
A) 𝜮Y = a0N + a1𝜮x 2 𝜮XY = a0𝜮x + a1𝜮x
B) 𝜮X = b0N + b1𝜮y 2 𝜮XY = b0𝜮y + b1𝜮y
28 = 6a0 + 42a1 226 = 42a0 + 336a1
42 = 6b0 + 28b1 226 = 28b0 + 154b1
a1 = 5/7 a0 = -1/3 Y= -1/3+5/7X, Y=-0.333+0.714X
b1 = 9/7 b0 = -1 X= 1+9/7Y, X=1+1.285Y
𝒂𝟎 =
𝒂𝟏 =
𝒃𝟎 =
𝒃𝟏 =
( 𝒀) ( 𝑿𝟐 ) − ( 𝑿) ( 𝑿𝒀) 𝑵 𝑵
𝑿𝟐
𝟐
− ( 𝑿)
𝑿𝒀 − ( 𝑿) ( 𝒀) 𝟐
𝑿𝟐 − ( 𝑿)
𝑵
=
𝑵 𝑵
𝟐
− ( 𝒀)
𝑿𝒀 − ( 𝑿) ( 𝒀) 𝑵
𝟐
𝒀𝟐 − ( 𝒀)
=
𝟐𝟖 𝟑𝟑𝟔 − (𝟒𝟐)(𝟐𝟐𝟔) 𝟏 = − = −𝟎. 𝟑𝟑 𝟔 𝟑𝟑𝟔 − (𝟒𝟐)𝟐 𝟑
𝟔 𝟐𝟐𝟔 − (𝟒𝟐)(𝟐𝟖) 𝟓 = = 𝟎. 𝟕𝟏𝟒 𝟔 𝟑𝟑𝟔 − (𝟒𝟐)𝟐 𝟕
( 𝑿) ( 𝒀𝟐 ) − ( 𝒀) ( 𝑿𝒀) 𝒀𝟐
=
154
=
𝟒𝟐 𝟏𝟓𝟒 − (𝟐𝟖)(𝟐𝟐𝟔) 𝟏𝟒𝟎 = =𝟏 𝟔 𝟏𝟓𝟒 − (𝟐𝟖)𝟐 𝟏𝟒𝟎
𝟔 𝟐𝟐𝟔 − (𝟒𝟐)(𝟐𝟖) 𝟗 = = 𝟏. 𝟐𝟖𝟓 𝟔 𝟏𝟓𝟒 − (𝟐𝟖)𝟐 𝟕
13.33 Dados los datos del problema 13.32, hallar: a) el valor de Y para X = 12 y b) el valor de X para Y = 7. a) b) Y=-1/3+5/7X X= 1+9/7Y Y=-1/3+5/7(12) X= 1+9/7(7) Y=8.235 X= 10
13.34 a) Empleando el método a mano, obtener una ecuación de la recta que se ajuste a los datos del problema 13.32. b) Empleando el resultado del inciso a), resolver el problema 13.33. 𝑋
X Y 𝑥 =𝑋−𝑋 𝑦 =𝑌−𝑌 3 2 -4 -2,67 5 3 -2 -1,67 6 4 -1 -0,67 8 6 1 1,33 9 5 2 0,33 11 8 4 3,33 𝜮X=42 𝜮Y=28 𝑋=7 𝑌=4,66666667
x2 16 4 1 1 4 16 𝜮2=42
xy 10,6666667 3,33333333 0,66666667 1,33333333 0,66666667 13,3333333 𝜮XY=30
𝒙𝒚 𝒙 𝒙𝟐 Y - 4.667 = 0.714 (X-7) Y=7.14X – 0.331 𝒚=
13.35 En la tabla 13.19 se muestran las calificaciones finales de álgebra y de física de diez estudiantes, tomados en forma aleatoria de un grupo grande. a) Graficar los datos. b) Encontrar la recta de mínimos cuadrados que se ajusta a los datos, usando X como la variable independiente. c) Encontrar la recta de mínimos cuadrados que se ajusta a los datos, usando Y como la variable independiente. d) Si la calificación de un estudiante en álgebra es 75, ¿cuál es la calificación que se espera que obtenga en física? e) Si la calificación de un estudiante en física es 95, ¿cuál es la calificación que se espera que obtenga en Álgebra?
X 75 80 93 65 87 71 98 68 84 77
Y 82 78 86 72 91 80 95 72 89 74 798
N=10
819
X^2 5625 6400 8649 4225 7569 5041 9604 4624 7056 5929 64722
XY 6150 6240 7998 4680 7917 5680 9310 4896 7476 5698 66045
Y^2 6724 6084 7396 5184 8281 6400 9025 5184 7921 5476 67675
B) 𝜮Y = a0N + a1𝜮x 2 𝜮XY = a0𝜮x + a1𝜮x
C) 𝜮X = b0N + b1𝜮y 2 𝜮XY = b0𝜮y + b1𝜮y
819 = 10a0 + 798a1 66045 = 798a0 + 64722a1
798 = 10b0 + 819b1 66045 = 819b0 + 67675b1
a1 = 688.8/1041.6 = 0.661 a0 = 29.15 Y= 29.15 +0.661X
b1 = 688.8/598.9 = 1.15 b0 = -14.39 X= -14.39 + 1.15Y
D)
E) X= -14.39 + 1.15Y X= -14.39 + 1.15 (95) X= 94.86 = 95
Y= 29.15 + 0.661X Y= 29.15 + 0.661(75) Y= 78.725 = 79
13.36 En la tabla 13.20 se muestra la tasa de nacimiento por cada mil personas desde 1990 hasta 1996. a) Graficar estos datos. b) Hallar la recta de mínimos cuadrados que se ajusta a estos datos. Asignar a los años 1990 a 1996 los números 0 a 6. c) Calcular los valores de tendencia (valores ajustados) y los residuales. d) Indicar cuál será la tasa de nacimiento en 2000, suponiendo que la tendencia actual continúa.
Año
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
Tasa de nacimiento por 1000
16,6
16,3
15,9
15,5
15,2
14,8
14,5
Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996
𝒂𝟎 =
𝒂𝟏 =
X
Y 16,6 16,3 15,9 15,5 15,2 14,8 14,5 108,8
0 1 2 3 4 5 6 21
( 𝒀) ( 𝑿𝟐 ) − ( 𝑿) ( 𝑿𝒀) 𝑵 𝑵
𝑿𝟐
𝟐
− ( 𝑿)
𝑿𝒀 − ( 𝑿) ( 𝒀) 𝑵
𝑿𝟐
𝟐
− ( 𝑿)
=
X^2
XY 0 1 4 9 16 25 36 91
=
0 16,3 31,8 46,5 60,8 74 87 316,4
𝟏𝟎𝟖. 𝟖 𝟗𝟏 − (𝟐𝟏)(𝟑𝟏𝟔. 𝟒) 𝟑𝟐𝟓𝟔. 𝟒 = = 𝟏𝟔. 𝟔𝟏 𝟕 𝟗𝟏 − (𝟐𝟏)𝟐 𝟏𝟗𝟔
𝟕 𝟑𝟏𝟔. 𝟒 − (𝟐𝟏)(𝟏𝟎𝟖. 𝟖) 𝟕𝟎 =− = −𝟎. 𝟑𝟓𝟕 𝟕 𝟗𝟏 − (𝟐𝟏)𝟐 𝟏𝟗𝟔
b) Tasa de nacimiento = 16.6 -0.357 años cod c)
Año Tasa de Natalidad Valor ajustado Residual 1990 16,6 16,6143 -0,0143 1991 16,3 16,2573 0,0427 1992 15,9 15,9003 -0,0003 1993 15,5 15,5433 -0,0433 1994 15,2 15,1863 0,0137 1995 14,8 14,8293 -0,0293 1996 14,5 14,4723 0,0277 d) Tasa de nacimiento = 16.6 -0.357 (10) = 13.03
Y^2 275,56 265,69 252,81 240,25 231,04 219,04 210,25 1694,64
13.37 En la tabla 13.21 se presenta, en miles, la población de Estados Unidos de 85 o más años, desde 1985 hasta 1996. a) Graficar estos datos. b) Encontrar la recta de mínimos cuadrados que se ajusta a estos datos. Asignar a los años 1985 a 1996 los números 0 a 11. c) Calcular los valores de tendencia (valores ajustados) y los residuales. d) Suponiendo que la tendencia actual continúe, indicar cuál será el número de personas de 85 años o más en el 2005. Año
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
85 años o más
2667
2742
2823
2885
2968
3022
3185
3306
3431
3541
3652
3762
Año
𝒂𝟎 =
𝒂𝟏 =
X
Y
1985
0
2667
1986
1
2742
1987
2
2823
1988
3
2885
1989
4
2968
1990
5
3022
1991
6
3185
1992
7
3306
1993
8
3431
1994
9
3541
1995
10
3652
1996
11
3762
66
37984
506
𝑵
𝟐
𝑿𝟐 − ( 𝑿)
𝑿𝒀 − ( 𝑿) ( 𝒀) 𝑵
XY
0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121
( 𝒀) ( 𝑿𝟐 ) − ( 𝑿) ( 𝑿𝒀)
𝑵
X^2
𝟐
𝑿𝟐 − ( 𝑿)
=
=
Y^2
0 2742 5646 8655 11872 15110 19110 23142 27448 31869 36520 41382
223496 121739566
𝟑𝟕𝟗𝟖𝟒 𝟓𝟎𝟔 − (𝟔𝟔)(𝟐𝟐𝟑𝟒𝟗𝟔) 𝟒𝟒𝟔𝟗𝟏𝟔𝟖 = = 𝟐𝟔𝟎𝟒. 𝟒 𝟏𝟐 𝟓𝟎𝟔 − (𝟔𝟔)𝟐 𝟏𝟕𝟏𝟔
𝟏𝟐 𝟐𝟐𝟑𝟒𝟗𝟔 − (𝟔𝟔)(𝟑𝟕𝟗𝟖𝟒) 𝟏𝟕𝟓𝟎𝟎𝟖 = = 𝟏𝟎𝟏. 𝟗 𝟏𝟐 𝟓𝟎𝟔 − (𝟔𝟔)𝟐 𝟏𝟕𝟏𝟔
b) Valores en miles = 2604 + 102 años cod. c) Año
Código de Año
7112889 7518564 7969329 8323225 8809024 9132484 10144225 10929636 11771761 12538681 13337104 14152644
Valores en Miles
Valor ajustado
Residual
1985
0
2667
2604,41
62,5897
1986
1
2742
2706,40
35,6037
1987
2
2823
2808,38
14,6177
1988
3
2885
2910,37
-25,3683
1989
4
2968
3012,35
-44,3543
1990
5
3022
3114,34
-92,3403
1991
6
3185
3216,33
-31,3263
1992
7
3306
3318,31
-12,3124
1993
8
3431
3420,30
10,7016
1994
9
3541
3522,28
18,7156
1995
10
3652
3624,27
27,7296
1996
11
3762
3726,26
35,7436
d) Valores en miles = 2604 + 102(20) = 4644*1000 = 4644000
CURVAS DE MÍNIMOS CUADRADOS 13.38 Ajustar una parábola de mínimos cuadrados, Y = a0+ a1X + a2X2, a los datos de la tabla 13.22.
X
Y 0 1 2 3 4 5 6 21
X^2 2,4 2,1 3,2 5,6 9,3 14,6 21,9 59,1
X^3 0 1 4 9 16 25 36 91
X^4 0 1 8 27 64 125 216 441
XY 0 1 16 81 256 625 1296 2275
X^2*Y 0 2,1 6,4 16,8 37,2 73 131,4 266,9
0 2,1 12,8 50,4 148,8 365 788,4 1367,5
𝜮Y = a0N + a1𝜮x + a2𝜮x2 𝜮XY = a0𝜮X + a1𝜮x2 + a2𝜮x3 𝜮Y = a0𝜮x2 + a1𝜮x3 + a2𝜮x4 59.1 = 7a0 + 21a1 + 91a2 *-3 266.9 = 21a0 + 91a1 + 441a2 1367.5 = 91a0 + 441a1 + 2275a2
59.1 = 7a0 + 21a1 + 91a2 266.9 = 21a0 + 91a1 + 441a2 *-13/3 1367.5 = 91a0 + 441a1 + 2275a2
266.9 = 21a0 + 91a1 + 441a2 -177.3= -21a0 -63a1 - 273a2 89.6 = 28a1 + 168a2
1367.5 = 91a0 + 441a1 + 2275a2 -1159.57= -91a0 - 394.33a1 - 1911a2 210.93 = 46.67a1 + 364a2
*-13/6
210.93 = 46.67a1 + 364a2 -194.13 = -60.67a1 - 364a2 16.8 = -14a1 a1= -1.2 89.6 = 28*(-1.2) + 168a2 a2=0.7333 R=2.51 - 1.2X + 0.733X
2
59.1 = 7a0 + 21(-1.2) + 91(0.733) a0=2.51
13.39 El tiempo requerido para llevar un automóvil al alto total a partir de que se percibe un peligro es el tiempo de reacción (el tiempo entre el reconocimiento del peligro y la aplicación del freno) más el tiempo de frenado (el tiempo necesario para que el automóvil se detenga después de la aplicación del freno). En la tabla 13.23 se da la distancia de frenado D (en pies, ft) de un automóvil que va a una velocidad V (en millas por hora, mi/h). a) Graficar D contra V. b) Ajustar a estos datos una parábola de mínimos cuadrados de la forma D = a0+ a1V + a2V2. c) Estimar D para V = 45 mi/h y 80 mi/h.
X
Y 20 30 40 50 60 70 270
X^2
X^3
54 90 138 206 292 396 1176
400 900 1600 2500 3600 4900 13900
X^4 8000 27000 64000 125000 216000 343000 783000
160000 810000 2560000 6250000 12960000 24010000 46750000
XY 1080 2700 5520 10300 17520 27720 64840
X^2*Y 21600 81000 220800 515000 1051200 1940400 3830000
𝜮Y = a0N + a1𝜮x + a2𝜮x2 𝜮XY = a0𝜮X + a1𝜮x2 + a2𝜮x3 𝜮Y = a0𝜮x2 + a1𝜮x3 + a2𝜮x4 1176 = 6a0 64840 = 270a0 3830000= 13900a0
+ 270a1 + 13900a2 + 13900a1 + 783000a2 + 783000a1 + 46750000a2
64840 -52920 11920
+ 13900a1 - 12150a1 1750a1
= 270a0 = -270a0 =
3830000 = 13900a0 -3338059.25= -13900a0 49194.75 =
+ 783000a2 - 625500a2 + 157500a2
*-45
*-368/9
+ 783000a1 + 46750000a2 -715592.6a1 - 40310000a2 67407.4a1 + 6440000a2
49194.75 = 67407.4a1 + 6440000a2 -48795.55 = - 71555.56a1 - 6440000a2
-1.096=a1 491940.75 = 67407.4(-1.096) - 6440000a2 a2= 0.08786 b) D= 41.77 -1.096V + 0.08786V
1170 = 6a0 + 270(-1.096) + 13900(0.08786) a0 = 41.77
2
c) V=45
D= 41.77 -1.096(45) + 0.08786(45) D=170.37 pies
2
V=80
D= 41.77 -1.096(80) + 0.08786(80) D=516.39 pies
2
13.40 La tabla 13-25 muestra el número de habitantes mujeres y hombres de Estados Unidos de 1920 a 1990. a) Grafique las diferencias entre estos problemas b) Encuentre la recta de mínimos cuadrados que se ajuste a la diferencia. Codifique los años 1920 a 1990 con diferencias de 10 años como números enteros del 0 al 7. c) Estime la diferencia para 1995, considerando que la tendencia continúa. Compare la respuesta con la diferencia real que es igual a 5.75. ¿Parece que la tendencia continúa? Año
1920
1930
1940
1950
1960
Poblacion Masculina
53,9
62,14
66,06
75,19
Poblacion Femenina
51,81
60,64
65,61
76,14
Diferencia
-2,09
-1,5
-0,45
0,95
Año
𝒂𝟎 =
𝒂𝟏 =
X
Y
1920
0
1930 1940
X^2
XY 0
0
1
-1,5
1
-1,5
2,25
2
-0,45
4
-0,9
0,2025
1950
3
0,95
9
2,85
0,9025
1960
4
2,66
16
10,64
7,0756
1970
5
5,38
25
26,9
28,9444
1980
6
6,44
36
38,64
41,4736
1990
7
6,23
49
43,61
38,8129
28
17,62
140
120,24
124,0296
𝑵 𝑵
𝑿𝟐
𝟐
− ( 𝑿)
𝑿𝒀 − ( 𝑿) ( 𝒀) 𝑵
𝑿𝟐
𝟐
− ( 𝑿)
=
=
1980
1990
88,33
98,93
110,05
121,24
90,99
104,31
116,49
127,47
2,66
5,38
6,44
6,23
Y^2
-2,09
( 𝒀) ( 𝑿𝟐 ) − ( 𝑿) ( 𝑿𝒀)
1970
4,3681
𝟏𝟕. 𝟔𝟐 𝟏𝟒𝟎 − (𝟐𝟖)(𝟏𝟐𝟎. 𝟐𝟒) −𝟖𝟖𝟗. 𝟗𝟐 = = −𝟐. 𝟔𝟕𝟖 𝟖 𝟏𝟒𝟎 − (𝟐𝟖)𝟐 𝟑𝟑𝟔
𝟖 𝟏𝟐𝟎. 𝟐𝟒 − (𝟐𝟖)(𝟏𝟕. 𝟔𝟐) 𝟒𝟔𝟖. 𝟓𝟔 = = 𝟏. 𝟑𝟗𝟒 𝟖 𝟏𝟒𝟎 − (𝟐𝟖)𝟐 𝟑𝟑𝟔
b) Diferencia = -2.68 + 1.39 años cod. c) Año
Población Masculina
Población Femenina
Diferencia
Valor Ajustado
Residual
1920
53,9
51,81
-2,09
-2,68
0,59
1930
62,14
60,64
-1,5
-1,28
-0,22
1940
66,06
65,61
-0,45
0,11
-0,56
1950
75,19
76,14
0,95
1,51
-0,56
1960
88,33
90,99
2,66
2,90
-0,24
1970
98,93
104,31
5,38
4,29
1,09
1980
110,05
116,49
6,44
5,69
0,75
1990
121,24
127,47
6,23
7,08
-0,85
d) Diferencia = -2.68 + 1.39(7.5) = 7.745
13.43 En la tabla 13.25 se presenta la cuenta bacteriana Y, por unidad de volumen en un cultivo, después de X horas.
a) Graficar los datos en papel semilogarítmico usando la escala logarítmica para Y y la escala aritmética para X. b) Ajustar a los datos una curva de mínimos cuadrados de la forma Y = abx y explicar por qué esta ecuación dará buenos resultados. c) Comparar los valores de Y que se obtienen con esta ecuación con los valores reales. d) Estimar el valor de Y para X = 7.
