Act 10 Trabajo Colaborativo Dos Aportes Maria Campos Programacion Lineal Grupo 62

PROGRAMACIÓN LINEAL

ACT:10 TRABAJO COLABORATIVO NUMERO DOS

MARÍA SANTOS CAMPOS LOZANO

CODIGO: 3975841

GRUPO: 100404!"

EDGAR MAURICIO ALBA VALC#CEL TUTOR

UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL NACIONAL ABIERTA $ A DISTANCIA %UNAD& ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS' TECNOLOGIA E INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA DE SISTEMAS MA$O 03 DE 01

INTRODUCCION

En la Programaci Programación ón Lineal Lineal adquirimo adquirimoss una una formaci formación ón básica básica para nuesra carre rrera de ingenier!a r!a de sisema" adquirie riendo un conocimien conocimieno o de ipo eórico# eórico# Tiene como ob$ei%o ob$ei%o &ormular" &ormular" obener ' anali(ar soluciones a problemas de programación lineal# La programación lineal es una )cnica maemáica que se uili(a para la solución de diferenes ipos de problemas" ano eóricos como prác prácic icos os"" en di%er di%ersa sass área áreass del del cono conoci cimi mien eno o## El )*io )*io en su aplicación a problemas reales sofisicados ' comple$os es a%alado por gran canidad de insiuciones producoras de bienes ' ser%icios en muc+os pa!ses del mundo#

,# T-LLER .#/ Desarrollar los siguienes e$ercicios por El 0)odo -lgebraico 1( MA)IMIZAR P1,234,.5 6U7ETO 3458 92 3:.5;2 3" 5 ;2 : Paso , se planea la función ob$ei%o ' las resricciones correspondienes< 0a*imi(ar P1,23 4 ,.5 RE6TRICCIONE6

345<92

3:.5;2

3;2" 5;2 no negai%idad : Paso . elaboramos el grafico correspondiene a las resricciones con el fin de precisar la región facible ' deerminar los punos que la conforman< 312 5192 345892 512 3192 312 512 3:.5;2

51,2 31.2

=2"92>

 -=/2 .2> #

?=92#2> Región facible

: Paso @ resol%emos el sisema de ecuaciones para deerminar las coordenadas del puno - as!< 345192=,>*=.> 3:.512=.> .34.51,.2=@> 3:.512=.> @31,.2 3:1 ,.2 @ 31/2 reempla(amos * en =,> para +allar 5 /245:92=,> 5192:/2 51.2  -1=3" 5> Las coordenadas son -=/2".2> Paso /< con los punos de la región facible 2=2"2>A -=/2".2>A?=92"2>

0a*imi(amos la función ob$ei%o PUNTOS DE CORTE

)

$

10)*1$

2=2 2>

2

2

2

?=92 2>

92

2

922

 -=/2 .2>

/2

.2

9/2

"

#

"

: Paso B la ma*imi(ación es 922 para 3:/2 ' 5:.2 ( MA)IMIZAR P1B*49' 6u$ea a< 34'82 @*4.'8..2 .*4@'8.,2 3 5;2 6OLUCIN : Paso , planeamos la función ob$ei%o ' las resricciones correspondienes< 0a*imi(ar P1B*49' R es ri cciones< 34'82 @*4.'8..2 .*4@'8.,2 3 5;2" 5; 2 no negai%idad

: Paso . se elabora el grafico correspondiene a las resricciones con el fin de precisar la región facible ' deerminar los punos que las conforman# 312 512 34582 512 312

312 51,,2 @34.58..2 51,2 31..2@

312 51F2 .*4@'8.,2 512 31,2B

,.2

,22 2  -=2#F2>92

?=@2#B2

/2 .2

Región facible

2 .2

/2

92

2

,22

,.2

: Paso @ resol%emos el sisema de ecuaciones para deerminar las condenadas del Puno ? ' C as!< Para b enemos< 34512=,>*=:.> .34@51.,2=.> :.3:.51 :,92=@> .34@51.,2 =.>

51B2 Reempla(amos ' en =,> para +allar a 3 34B212=,> 312:B2 31@2 ?1=3" 5> Las coordenadas son< ?=@2"B2> Para C enemos< 34512=,>*=:.> @34.51..2=.> :.3:.51 :,92=@> @34.51..2=.>

3192 Reempla(amos 3 en =,> para +allar a 5 924512=,> 512:92

51.2

C:=3" 5> Las coordenadas =92".2>

son<

C

Paso / con los punos de la región facible O=2"2>A -=2"F2>A ?=@2"B2>A C=92".2>A D=..2@"2> 0a*imi(amos la función ob$ei%o<

PUNTOS DE CORTE

)

$

10)*1$

2=2 2>

2

2

2

 -=2"F2>

2

F2

/.2

?=@2"B2>

@2

B2

/B2

C=92".2>

92

.2

/.2

D=..2@"2>

..2@

2

,,22@

"

: Paso B la ma*imi(ación es /B2 para 3:@2 ' 5:B2 @# ma*imi(ar  G1/3:,25 6u$eo a< 3:/5;/ .3:58. 3 5;2 6olución : Paso , planeamos la función ob$ei%o ' las resricciones correspondienes< 0a*imi(ar G1/3:,25 Resricciones 3:/';/ .*:'8. 3;2" 5;2 no negai%idad

: Paso . se elabora el grafico correspondiene a las resricciones con el fin de Precisar la región facible ' deerminar los punos que las conforman#

312 51 :, 3:/5;/ 512 31/

312 51 :. .3:58. 512 31,

5

2x-y=2

No +a' región facible x-4y=4

A(1,0)

B(4,0)

X

: Paso @ no se puede resol%er el sisema de ecuaciones por que no +a' inersección Enre las resricciones#

4( M+,+-+./: G1F*4@' 6u$eo a< @3:5;:. 3458H 3:51 :, 3" 5;2 6OLUCIN : Paso , planeamos la función ob$ei%o ' las resricciones correspondienes< 0inimi(ar P1F*4@' R es  ri cciones< @34'; :. *4'8H *:'1 :, 3 ;2" 5;2" 5;2 no negai%idad : Paso . se elabora el grafico correspondiene a las resricciones con el fin de precisar la región facible ' deerminar los punos que las conforman# 312 51. @3:5;:. 512 31.@

312 51H 3458 H 512 31H

312 51, *:'1 :, 512 31:,

51H:/ 51B

,.

@*:'1 :.

,2

 *:'1 :, 9

?=/"B>

/

.

región facible 34'1 H

 -=2",> O=2"2>

2 .

/

9



C=H"2>

,2

,.

: Paso @ resol%emos el sisema de ecuaciones para deerminar las condenadas del puno ? as!< Para b enemos< 3451H=,> 3: 51 :,=.>

.*1 31. 1 31/

51H:/ 51B Reempla(amos * en =,> para +allar a ' /4'1H=,> ?1 =3" 5> Las coordenadas son< ?=/"B> : Paso / con los punos de la región facible O=2"2>A -=2",>A ?=/"B>A C=H"2> 0a*imi(amos la función ob$ei%o< PUNTOS DE CORTE

)

$

7*32

2=2 2>

2

2

2

 -=2 ,>

2

,

@

?=/ B>

/

B

/@

C=H 2>

H

2

9@

"

"

"

"

: Paso B la ma*imi(ación es @ para *12 ' 51, B# Un fabricane de $uguees que esa preparando un programa de producción para dos nue%os ar!culos mara%illaJ ' fanásicoJ debe uili(ar la información respeco a sus iempos de consrucción que se proporcionan en la siguiene abla# Por e$emplo cada $uguee mara%illa requiere dos +oras en la maquina - las +oras de raba$o disponibles de los empleados por semana son< para la maquina - F2+oras para la ? /2 +oras para erminadas H2 +oras# 6i las uilidades de cada $uguee mara%illa ' cada $uguee fanásico son de /2#222 ' 92#222 respeci%amene KCuanas unidades de cada uno deben fabricarse por semana con el ob$eo de 0a*imi(ar las uilidades KCual seria la uilidad má*ima

MAUINA A

MAUINA B

TERMINADO UTILIDADES

0-R-MILL-

.

,

,

/2#222

&-NT6TICO

,

,

@

92#222

TIE0PO DI6PONI?LE

F2

/2

H2

6OLUCIN : Paso , planeamos la función ob$ei%o ' las resricciones correspondienes< 0inimi(ar G1/222234922225 R es  ri cciones< .34';F2 *4'8/2 *4@'8H2 3 ;2" 5; 2 no negai%idad : Paso . se elabora el grafico correspondiene a las resricciones con el fin de precisar la región facible ' deerminar los punos que las conforman#

312 51F2 .345870  512 31@B

312 51/2 3458 /2 512 31/2

312 51@2 34@'8H2 512 31 H2

5 F2 92 B2 /2  -=2"@2>

?=,B".B>

@2 .2 ,2

C=@2",2>

2 ,2

.2

@2

D=@B"2>

/2

: Paso @ resol%emos el sisema de ecuaciones para deerminar las condenadas del puno ? 5 C as!< Para b enemos< 3451/2=,>*=:,> 34@51H2=.> :3:51:/2=@> 34@51H2=.>

.51B2 51B2. 51.B Reempla(amos *5en =,> para +allar a 3 34.B1/2=,> 31/2:.B 31,B ?1=3" 5>

Las coordenadas son< ?=,B".B> Para C enemos< 3451/2=,>*=:.> .3451F2=.> :.3:.51:/2=@> .3451F2=.>

X=30

Reempla(amos 3 en =,> para +allar a 5 @2451/2 =,> 51/2:@2 5 1,2 C1=3" 5> Las coordenadas son< C=@2",2>

: Paso / con los punos de la región facible O=2"2>A -=2"@2>A ?=,B".B>A C=@2",2>A D=@B"2> 0a*imi(amos la función ob$ei%o< PUNTOS DE CORTE

)

$

40000)*"00002

O=2 2>

2

2

2

 -=2"@2>

2

@2

,22222

?=,B".B>

,B

.B

.,22222

C=@2",2>

@2

,2

,22222

D=@B"2>

@B

2

,/22222

"

: Paso B la má*ima uilidad se obiene cuando se fabrican ,B $uguees mara%illa ' .B $uguees fanásicos generando as!  .#,22#222

2.

TALLER

3.5

1. MAXIMIZAR Z

= X1 + 2x2

Su jet !

2X1+X2 "# 2X1+3X2"12 X1, X2 $ 0 S%L&'I.

S1 S2

X1 2 2+3

X2 1 1

S1 1 0

S2 0 1+3

0 0

Z

-1

-2

0

0

1

0

X2

S1

S2

Z

 *

S1

0

1

- 1+3

0

4

0u.t 2 1 .1 45 256   -1) y

S2

X1 1 1+3 2+3

1

0

1+3

0

4

Z

1+3

0

0

2+3

1

#

R e,-./, 3 + (6 e,-./, 1 .1 45 256  2) 0u.t 2

Z

 * #

4

R e,-./, 2 0ut.134 5  256  1+3

2

L

,ue7 t*.

e8!

X2

S1

S2

Z

 *

0

1

- 1+3

0

4

X2

X1 1 1+3 2+3

1

0

1+3

0

4

Z

1+3

0

0

2+3

1

#

S1

94 5 :ue t5458  4456 e8 4e . t*. ,ue7 8 5, ,5 ,e-t758, y 8 e te,e u, 85u3/, / 2t10! e. 7.56 0;x05 4e Z e8 #, u,45 X2= 4, S1=4, X1=S2=0.

2. MAXIMIZAR Z

= - X1 + 3X2

Su jet ! X1 + X2 "

< -X1 + X2 " 4 X1, X2 $ 0

S1

X1 2

X2 0

S1 1

S2 -1

0

 * 2

S2

2+3

1

0

1+3

0

4

Z

-1

-2

0

0

1

0

X1

X2

S1

S2

Z

 *

2 -1

0 1

1 0

-1 1

0 0

2 4

S1 S2

Z

R e,-./, 1 + (6 e,-./, 2 0ut.4 5 256  -1)

R e -./, 3 + (e. 6 e ,-./, 1 1 .1 45 256  3) 0u.t 2

4

Z

0

L

X1 S1 X2

0

,ue7 t*.

1

1#

e8!

X2

S1

S2

Z

 *

0 1 0

1 0 3

-1 1 0

0 0 1

2 4

2 -1

4

Z

3

1#

94 5 :ue t5458  4456 e8 4e . t*. ,ue7 8 5, ,5 ,e-t758, y 8 e te,e u, 85u3/, / 2t10! e. 7.56 0;x05 4e Z e8 1#, u,45 X2= 4, S1=2, X1=S2=0. 3. MAXIMIZAR Z

= #X1 + 2X2

Su jet ! X1  X2 "

1 X1 + 2X2 " # X1 + X2 " 5 X1, X2 $= 0

S1

X1

X2

S1

1

-1

1

 

S2

S3

Z

 *

0

0

0

1

R e,-./, 2 + (6 e,-./, 3 1 .1 45 256  - 1), 0u.t 2

S3

0 0

1 2

-1

Z

0

-10

#

S2

0  

1 0

-1

1

0 0

3 4

0

0

1

#

6 e,-./, 3 + (6 e,-./, 1 1 .1  45 25e -1) y 0u.t 2 6 e ,-./, 4 + (6 e,-./, 1 1 .1 45 256  #) 0u.t 2

94 5 :ue >, :ue4 u, 44 56  ,e-t75, 8e 35,tu!

X1

X2

S1

S2

S3

Z

 *

-1

1 1

1 0 - 1+2

0 1 0

0 -1

S3

1 0 0

1+2

0 0 0

1 3 2

Z

0

-10

#

0

0

1

#

X1

X2

S1

S2

S3

Z

 *

0 0 1

1 1 - 1+2

1 0 0

-1

S3

1 0 0

1+2

0 0 0

4 0 2

Z

0

0

3

0

5

1

2#

X1 S2

X1 S2

L

X1 S2 X2 Z

 

t*. ,ue7

1

e8!

X1

X2

S1

S2

S3

Z

 *

1 0 0 0

0 0 1 0

1 1

1 0 0 0

-1 1

0 0 0 1

4 0 2

- 1+2

3

1+2

5

2#

R e ,-./, 3 0u.t 2 1 .1 45  256  1+ 2

R e ,-./, 1 + R e ,-./, 2, 6 e,-./, 2 +(6 e ,-./, 3 1 .1 45 256   -1) y 0u.t 2 6 e,-./, 4 + (6 e,-./, 3 1 .1 45 256  10) 0u.t 2

94 5 :ue t5458  4456 e8 4e . t*. ,ue7 8 5, ,5 ,e-t758, y 8 e te,e u, 85u3/, / 2t10! e 7.56 0;x05 4e Z e8 2#, u,45 X1= 4, X2=2, y S1=S2=S3=0

3. E?EM@L%, @R %BLEMA 9E @R %AR AMA'I%  LI EAL (MET%9% SIM@LEX)

FORMA ESTÁNDAR DE UN MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL '8e6e8 u e e @66/ Le e 8u B6 e8t6, :ue et6e8 e  :ue 8ue 6! C C C C C C C

Min sa

c1x1 + c2x2 + ... + cnxn a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 ... ... ... a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b xi != "# i = 1# 2# ...# n $  %= n

Mt6ete e86t !

Min cTx s.a Ax = b x != "   ex8te D6 e ee6 e 8u6 :ue u e e @L 7ee  e 8u B6 e8t;6! C C

E&EMPLO P' Max

() + 2* + , C C C C C

sa

8) + 9* + :, %= " ) + 2* 0 9, != ; 2) 0 8* + , =  )#* != " , 3 IR 

1. Se6e e8 8*e e76 u 6*e e x/  u e /. S -x' e8  Bu/ *jet7  x6 y x/ e8  8u/ /t -x/' != -x', 6 t x Bt*e. 0-x/' %= 0 -x', 6 t x Bt*e. E 8eue! x/ e8 t*D F e 0-x' 2. ' 6e8t6/ e t G= uee 8e6 e7  u eu/ e u 4 4 u84 u (ue7) *aiab3 43 567)a  et7,  eBete u e  Bu/ *jet7. 3. ' 6e8t6/ e t H= uee 8e6 e7  u eu/ e u u8 u (ue7) *aiab3 43 3xc3s6  et7,  eBete u e  Bu/ *jet7. 4. Se6e e8 8*e e86*6 u 76*e *6e e 8   Be6e e 8 76*e8  et78.

'8e6  8uete t/! ) = x1# * = x2# , = x9 0 x8# s1 = x 567)a'# s2 = x: 3xc3s6' , e 6*e @) uee 8e6 e86t e B6 e:u7ete ! C C C

Min sa<

C C

0 (x1 0 2x2 0 x9 + x8 + "x + "x: 8x1 + 9x2 + :x9 0 :x8 + x = " x1 + 2x2 0 9x9 + 9x8 0 x: = ; 2x1 0 8x2 + x9 0 x8 =  xi != "# i=1#2#9#8##:.

E&EMPLO< Re87e6 e 8uete 6*e e @66/ Le ut e MDt Sex! C C C C C

Max 8"/1 + :"/2 s.a. 2/1 + 1/2 %= >" 1/1 + 1/2 %= 8" 1/1 + 9/2 %= (" 1 != " 2 != " @6 e6 6 e MDt Sex, e8 ee86 e76 e e  8u B6t e8t;6, 6  u eB8 9# 8#  != "  8 6e8et78 *aiab3s 43 567)a  6  6e8t6/ 1, 2 y 3. 9e e8t B6 :ue eB  t*  e Dt e  8uete B6!

1

2

9

8



2

1

1

0

0

1

1

0

1

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