Abancay es una pequeña ciudad con una población de aproximadamente 20,000 habitantes. L a base tributaria anual por el impuesto im puesto predial asciende a $550 millones. Las recaudaciones anuales por alimentos y medicinas así como por ventas generales es de $35 y $55 millones, respectivamente. El consumo anual de gasolina local se estima en 7.5 millones de galones. El concejo municipal desea desarrollar las tasas tributarias con base en cuatro metas principales: 1. Los ingresos fiscales deben ser por lo menos de $16 millones para satisfacer los compromisos financieros de la ciudad. 2. Los impuestos sobre alimentos y medicinas no deben exceder el 10% de todos los impuestos recaudados. 3. Los impuestos sobre las ventas generales no deben exceder el 20% de todos los impuestos recaudados. 4. El impuesto sobre la gasolina no debe exceder de 2 centavos por galón. g alón. SOLUCION: Definición de Variables de Decisión: X p:
cantidad de tasas tributarias sobre la propiedad
X a:
cantidad de tasas tributarias sobre los alimentos y las medicinas
X v v:
cantidad de tasas tributarias sobre las ventas generales
X g
cantidad de tasas tributarias sobre la gasolina en centavos por galón.
Restricciones:
Las metas del concejo municipal se expresan entonces como: Ingresos fiscales: Se calculan de la siguiente forma:
550xp + (Asociando el impuesto predial a la variable xp) 35xa + (Asociando las recaudaciones por los alimentos y las medicinas a la variable x a) 55xv + (Asociando las recaudaciones por las ventas a la variable xv) 0.075xg (Asociando las recaudaciones por el consumo de gasolina en centavos por galón (7.5/100=0.075) a la variable variable xg) >=16 (Como en el problema nos dice "Por lo menos " utilizamos la restricción mayor igual. Quedando la restricción para el impuesto predial: 550xp + 35xa + 55xv + 0.075x g >=16
Restricciones: Impuestos sobre alimentos y medicinas: Se calculan de la siguiente forma:
Nos dicen que impuestos sobre alimentos y medicinas ( 35xa) no deben exceder el 10% de todos los impuestos recaudados Todos los impuestos recaudados son: 550xp + 35xa + 55xv + 0.075xg
Su 10% es: 0.1(550x p + 35xa + 55xv + 0.075xg)
Como no deben de exceder se utilizará restricción menor igual (<=) y la restricción quedaría así: 35xa <= 0.1(550xp + 35xa + 55xv + 0.075xg) 35xa <= 55xp + 3.5xa + 5.5xv + 0.0075x g 0 <= 55xp - 31.5xa + 5.5xv + 0.0075x g
Restricciones: Impuestos sobre las ventas: Se calculan de la siguiente forma:
Nos dicen que impuestos sobre las ventas ( 55xv) no deben exceder el 20% de todos los impuestos recaudados Todos los impuestos recaudados son: 550xp + 35xa + 55xv + 0.075xg
Su 20% es: 0.2(550x p + 35xa + 55xv + 0.075xg)
Como no deben de exceder se utilizara restricción menor igual (<=) y la restricción quedaría así: 55xv <= 0.2(550x p + 35xa + 55xv + 0.075xg) 55xv <= 110xp + 7xa + 11xv + 0.015xg 0 <= 110xp + 7xa - 44xv + 0.015xg Restricciones: Impuesto sobre la gasolina: Se calculan de la siguiente forma:
Nos dicen que impuestos sobre la gasolina ( xg) no deben exceder 2 centavos por galón Como la variable xg esta en centavos tenemos:
xg <= 2 No negatividad: Estas variables como son tasas tributarias no pueden ser negativas: Xp, Xa, Xv, Xg >=0
Estas restricciones se simplifican entonces como: 550xp + 35xa + 55xv +0.075xg
>= 16
55xp - 31.5xa + 5.5xv +0.0075xg
>= 0
110xp + 7xa - 44xv +0.015xg
>= 0
xg
<= 2
Xp, Xa, Xv, Xg >=0
Cada una de las desigualdades del modelo representa una meta que el concejo municipal aspira satisfacer. Es muy probable, sin embargo, que lo mejor que se puede hacer sea una solución compromiso que implique estas metas conflictivas. La forma en que la programación de metas determina una solución compromiso es convertir cada desigualdad en una meta flexible en la cual la restricción correspondiente pueda ser violada, si es necesario. En función del modelo de Abancay, las metas flexibles se expresan como sigue: 550xp + 35xa + 55xv +0.075xg
+S1- - S1+ = 16
55xp - 31.5xa + 5.5xv +0.0075xg +S2- - S2+ 110xp + 7xa - 44xv +0.015xg xg
+S4- - S4+
=0
+S3- - S3+ = 0 =2
Xp, Xa, Xv, Xg >=0 Si- y Si+ >=0; i=1, 2, 3, 4 Las variables no negativas Si- y Si+, i= 1, 2, 3, 4 son variables de desviación que representan las desviaciones por debajo y por arriba del lado derecho de la restricción i . Las variables de desviación Si- y Si+, son dependientes por definición, y de ahí que no pueden ser las variables básicas al mismo tiempo (de acuerdo con la teor ía del método simplex). Esto significa que en cualquier iteración simplex, no más de una de las dos variables de desviación puede asumir un valor positivo. Si la desigualdad i-ésima original es del tipo <= y su Si- >=0, entonces se satisface la meta i -ésima; en caso contrario, no se satisface la meta i . En esencia, la definición de S i- y Si+, permite satisfacer o violar la meta i-ésima a voluntad. Éste es el tipo de flexibilidad que caracteriza a la programación de metas cuando se busca una solución compromiso. Lógicamente, una buena solución compromiso busca minimizar la cantidad por la que se viole cada meta.
Función Objetivo:
En el modelo de Abancay, dado que las tres primeras restricciones son del tipo >= y la cuarta es del tipo <=, las variables de desviación S1-, S2-, S3- y S4+ representan las cantidades por las cuales se violan las metas respectivas. Por lo tanto, la solución compromiso busca satisfacer en cuanto sea posible los siguientes cuatro objetivos:
Minimizar G1 = s1Minimizar G2 = s2Minimizar G3 = s3Minimizar G4 = s4+ Función Objetivo:
En el modelo de Abancay, dado que las tres primeras restricciones son del tipo >= y la cuarta es del tipo <=, las variables de desviación S1-, S2-, S3- y S4+ representan las cantidades por las cuales se violan las metas respectivas. Por lo tanto, la solución compromiso busca satisfacer en cuanto sea posible los siguientes cuatro objetivos:
Minimizar G1 = s1Minimizar G2 = s2Minimizar G3 = s3Minimizar G4 = s4+ En lindo:
Planteamos el modelo de la siguiente forma: Min S11 + S21 + S31 + S42 st 550xp + 35xa + 55xv +0.075xg
+S11 - S12 = 16
55xp - 31.5xa + 5.5xv +0.0075xg +S21 - S22 = 0 110xp + 7xa - 44xv +0.015xg
+S31 - S32 = 0
xg
+S41 - S42 = 2
Porque el Lindo no reconoce los signos + y – en las variables. Se reemplazo el signo menos “ -” por 1 y el más “+” por 2.
Interpretación:
Como los valores de S12 =0, S22 =1.6, S32 =3.2, y S41 =0, Son mayores o iguales que cero satisfacen las metas. Y la Función objetivo es cero se cumplen todas la metas En conclusión las tasas tributarias que satisfacen las metas son: Para los predios (xp)
=
0.029
Para los alimentos y medicinas (x a)
=
0
Para las ventas (xv)
=
0
Para la gasolina (xg)
=
2
