Lampiran 1 SMP Kelas IX
Bahan Ajar Matematika
Bab 3
Disusun Oleh :
Chusnul Fatimah NPM : 2170407200
Sub Pokok Bahasan
Pendahuluan Pernahkan kamu melihat tendangan bola kearah gawang? Tahukah kamu bahwa lintasan bola yang melambung akibat tendangan pemain membentuk grafik
fungsi
kuadrat.
Dalam
pertandingan sepak bola, bola yang melambung akibat tendangan para pemain, lintasannya memenuhi fungsi
Gambar : Meriam melepaskan pelurunya
kuadrat. Begitu pula lintasan peluru yang
ditembakkan
dari
sebuah
meriam. Contoh diatas merupakan beberapa penerapan konsep fungsi kuadrat yang sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. sehari-hari.
Gambar : Lintasan bola yang di tendang kearah gawang
11
KOMPETENSI DASAR 3.3 Menjelaskan fungsi kuadrat dengan menggunakan tabel, persamaan, dan grafik 4.3 Menyajikan fungsi kuadrat menggunakan tabel, persamaan, dan grafik
INDIKATOR 3.3.1 3.3.2 3.3.3 4.3.1 4.3.2
Menjelaskan fungsi kuadrat Menentukan persamaan sumbu simetri dari grafik fungsi kuadrat Menentukan nilai optimum dari grafik fungsi kuadrat Menggambar grafik fungsi kuadrat dengan menggunakan tabel Menggambar grafik fungsi kuadrat dengan menggunakan rumus.
MATERI POKOK 1. Fungsi kuadrat 2. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
PETA KONSEP
Fungsi Kuadrat
Menentukan Fungsi Kuadrat
Grafik Fungsi Kuadrat
Sumbu Simetri
Aplikasi Fungsi Kuadrat
12
URAIAN MATERI
A. Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat dapat digunakan untuk memodelkan banyak fenomena kejadian nyata seperti lintasan tendangan bola, lintasan peluru meriam seperti gambar diatas. Kini akan kita pelajari lebih lanjut mengenai fungsi kuadrat dan grafiknya. Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang pangkat tertinggi bagi pada tiap fungsi diatas sama dengan dua. Dengan demikian, bentuk umum fungsi kuadrat dapat didefinisikan sebagai berikut
Definisi
= + +
Fungsi kuadrat dalam adalah suatu fungsi yang ditentukan oleh dengan bilangan real dan
,,
≠0
Dengan : adalah variabel atau peubah adalah koefisian dari adalah koefisian dari adalah konstanta persamaan
CONTOH 1
Berikut ini adalah beberapa contoh dari fungsi kuadrat: a. dengan nilai , b. dengan nilai dan c. dengan nilai dan
= 6 + 8 = 9 = 2 + 1
= 1 = 6, dan = 8 = 1 = 9 = 2 =1
B. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
) Seorang manajer menangani promosi dan keuangan sebuah h a i p grup music. Dari beberapa pengalaman pertunjukkan u r u bi sebelumnya diperoleh bahwa pendapatan dari sebuah r n a pertunjukkan berdasarkan harga tiket diprediksi seperti s u t a seperti pada grafik di samping r ( n a Grafik prediksi pendapatan di samping berbentuk t a p a grafik fungsi kuadrat. Pada awal kenaikan harga ti ket maka d n e diperoleh bahwa pendapatan juga makin naik. Akan tetapi, P 20 40 60 80 Harga tiket (ribuan rupiah) ketika harga tiket terus naik maka pendapatan menjadi turun Grafik fungsi kuadrat ditulis dengan notasi . Grafik dari fungsi kuadrat menyerupai parabola, sehingga dikatan juga sebagai fungsi parabola. Bagaimanakah cara menggambar fungsi kuadrat pada bidang kartesius? Untuk mengambar grafik fungsi kuadrat pahami penjelasan materi dibawah ini.
100 80 60 40 20
= = + +
13
Ada dua cara untuk menggambar grafik fungsi kuadrat yaitu menggunakan tabel dan menggambar grafik fungsi kuadrat dengan menggunakan rumus. 1. MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI KUADRAT MENGGUNAKAN TABEL
Untuk menggambar grafik funsi kuadrat menggunakan tabel, kalian buatlah tabel dari pasangan berurutan yang memenuhi persaman, plotlah setiap titik, dan hubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah garis/kurva mulus. CONTOH 2
= 4
Gambarlah grafik fungsi kuadrat Penyelesaian : Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat Langkah 1 : Kita buat tabel untuk menyajikan nilai dipilih nilai bilangan bulat.
dan . Untuk mudahnya , 4 1 1 4 ∙ 1 5 1,5 0 0 0,0 0 4 ∙ 0 1 3 1,3 1 4 ∙ 1 2 4 2,4 2 4 ∙ 2 3 3 3,3 3 4 ∙ 3 4 0 4,0 4 4 ∙ 4 5 5 5,5 5 4 ∙ 5 Langkah 2 : Gambarkan titik-titik 1,5, 0,0, 1,3, 2,4, 3,3,4,0 dan 5,5. Pada bidang kartesius (Gambar 1)
Gambar 1
14
Langkah 3 : Hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva (Gambar 2)
Gambar 2 Berdasarkan grafik fungsi kuadrat diatas, kita dapat simpulkan beberapa hal berikut: 1. Grafik fungsi kuadrat tersebut berbentuk parabola yang membuka keatas 2. Grafik fungsi tersebut memotong sumbu di titik dan , sehingga dan disebut sebagai pembuat nol fungsi . Parabola juga memotong sumbu di titik
3.
0,0
4,0
=0 =4 0,0 Parabola tersebut simetri (setangkup) terhadap garis = 2, sehingga garis = 2
disebut sebagai sumbu simetri . 4. Karena parabola membuka keatas maka ada satu titik yang terendah. Titik tersebut diberi namatitik puncak atautitik balik . Karena titik tersebut adalah titik terendah, maka disebut titik balik minimum grafik fungsi kuadrat . Dari grafik tersebut titik balik minimum fungsi adalah . Jika parabola membuka ke atas maka titik puncaknya adalah titik terendah (nilai minimum). Jika parabola membuka ke bawah maka titik puncaknya adalah titik tertinggi (nilai maksimum). 5. Dari titik balik tersebut selanjutnya disebut sebagai nilai minimum fungsi, hal ini karena nilai tersebut adalah nilai fungsi yang paling kecil
2,4
4
2. MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI KUADRAT MENGGUNAKAN TABEL
= + +
Selain menggunakan tabel grafik , grafik fungsi kuadrat dapat juga digambar dengan menggunakan perpotongan titik-titik penting yang dilalui oleh grafik grafik tersebut. Titik-titik penting tersebut adalah titik potong grafik dengan sumbu , titik potong dengan sumbu
, serta titik balik.
15
Untuk menentukan titik-titik tersebut, diperlukan cara penyelesaian yang berkaitan dengan persamaan kuadrat
= + + adalah sebagai berikut: 1. Mencari titik potong grafik dengan sumbu Titik potong grafik fungsi kuadrat = + + dengan sumbu diperoleh jika = = 0 atau + + = 0. Dengan kata lain kita mencari pembuat nol fungsi dari fungsi kuadrat. Penyelesaian + + = 0 menggunakan pemfaktoran, melengkapi kuadrat sempurna, atau menggunakan rumus kuadrat sehingga diperoleh nilai dan . Koordinat titik potong adalah ,0 dan ,0. Nilai diskriminan persamaan kuadrat + + , yaitu = 4 , menentukan banyaknya titik potong dengan sumbu . a. Jika > 0 grafik fungsi kuadrat tersebut memotong sumbu di dua titik yang berbeda. b. Jika = 0 grafik fungsi kuadrat tersebut memotong sumbu di satu titik atau menyinggung. c. Jika < 0 grafik fungsi kuadrat tersebut tidak memotong sumbu 2. Mencari titik potong grafik dengan sumbu Titik potong grafik fungsi kuadrat = + + dengan sumbu diperoleh jika = 0 sehingga = 0 = ∙ 0 + ∙ 0+ = . Jadi, titik potong grafik dengan sumbu adalah titik 0,. Letak titik potong sumbu tergantung dari nilai , yaitu: a. Jika > 0 grafik fungsi kuadrat tersebut memotong sumbu positif b. Jika = 0 grafik fungsi kuadrat tersebut melalui 0,0 c. Jika < 0 grafik fungsi kuadrat tersebut memotong sumbu negatif
Langkah-langkah menggambar grafik
3. Menentukan pasangan koordinat titik-titik balik, Cara 1
Absis titik adalah
= +2
merupakan titik potong Ordinat titik , yaitu diperoleh dengan + ke dalam mensubtitusikan = 2 + ) fungsi kuadrat, yaitu = ( 2
,
dimana dan pada sumbu .
Absis adalah koordinat mendatar suatu titik dalam sistem koordinat kartesius yang merupakan jarak titik ke sumbu dihitung sepanjng garis yang sejajar sengan sumbu Ordinat adalah koordinat mendatar suatu titik dalam sistem koordinat kartesius yang merupakan jarak titik ke sumbu dihitung sepanjng garis yang sejajar sengan sumbu
16
Cara 2
= 2 disebut juga persamaan dengan Ordinat titik adalah = 4 = 4
Absis titik adalah sumbu simetri.
Jenis titik puncak parabola tersebut ditentukan oleh tanda dari , yaitu: a. Jika b. Jika
> 0 , maka jenis titik puncak adalah titik balik minimun < 0 , maka jenis titik puncak adalah titik balik maksimum
Selanjutnya, karena sumbu simetri melalui titik puncak, maka dapat disimpulkan
= + + mempunyai . Dengan nilai optimumnya adalah = . simetri = 2 4
bahwa persamaan sumbu simetri
sumbu
Biasanya konsep sumbu simetri dan titik puncak parabola banyak digunakan untuk menentukan letak dan ketinggian suatu objek seperti ketinggian bola saat ditendang atau lemparan 4. Mensketsa grafik fungsi kuadrat bedasarkan langkah 1, 2 dan 3 Buatlah titik-titik pada koordinat kartesius sesuai dengan koordinat titik-titik yang sudah kalian temukan pada langkah 1, 2 dan 3. Kemudian dari titik tersebut hubungkan dengan garis sehingga membentuk sketsa grafiknya. CONTOH 3
= 2 8 ! = 0, yaitu:
Gambarlah grafik fungsi kuadrat Penyelesaian : 1. Mencari titik potong grafik dengan sumbu Titik potong pada sumbu diperoleh jika
2 8 = 0 4 + 2 = 0 = 4 atau = 2
2,0 dan 4,0 = 0, yaitu:
Jadi , titik potong grafik dengan sumbu adalah 2. Mencari titik potong grafik dengan sumbu Titik potong grafik dengan sumbu diperoleh jika
= = 0 20 8 = 8
0,8 ,
Jadi , titik potong grafik dengan sumbu adalah 3. Menentukan pasangan koordinat titik-titik balik,
2 = 1 = = 2 2 ∙ 1 4 ∙ 1 ∙ 8 4 2 = 4 = 4 = 4∙1
17
= 4 4+ 32 = 36 4 = 9 Jadi, koordinat titik baliknya adalah 1,9
4. Mensketsa grafik fungsi kuadrat bedasarkan langkah 1, 2, dan 3
Gambar 3 CONTOH 4
= + 2 + 3 ! = 0, yaitu:
Gambarlah grafik fungsi kuadrat Penyelesaian : 1. Mencari titik potong grafik dengan sumbu Titik potong pada sumbu diperoleh jika
+ 2 + 3 = 0 2 3 = 0 3 + 1 = 0 = 3 atau = 1
1,0 dan 3,0 = 0, yaitu: = = 0 + 20 + 3 =3 Jadi , titik potong grafik dengan sumbu adalah 0,3 Menentukan pasangan koordinat titik-titik balik, , 2 = 1 = = 2 2 ∙ 1 4 2 4 ∙ 1∙ 3 = 4 = 4 = 4 ∙ 1
Jadi , titik potong grafik dengan sumbu adalah 2. Mencari titik potong grafik dengan sumbu Titik potong grafik dengan sumbu diperoleh jika
3.
18
= 44+ 12 = 16 4 = 4 Jadi, koordinat titik baliknya adalah 1,4
4. Mensketsa grafik fungsi kuadrat bedasarkan langkah 1, 2, dan 3
Gambar 4
RANGKUMAN
1. Fungsi Kuadrat memiliki bentuk fungsi , 2. Langkah-Langkah menggambar grafik fungsi menggunakan tabel a. Membuat tabel untuk menyajikan nilai dan b. Gambarkan titik-titik yang diperoleh dari langkah pertama c. Hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva mulus 3. Langkah-langkah menggambar grafik fungsi menggunakan rumus a. Mencari titik potong grafik dengan sumbu b. Mencari titik potong grafik dengan sumbu Y c. Menentukan pasangan koordinat titik-titik balik,
= + + ≠ 0
Titik balik 4. Sumbu simetri
− , −
,
= − . Dengan nilai optimumnya adalah = −
.
19
LATIHAN 1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat di bawah ini menggunakan tabel, serta tentukan persamaan sumbu simetrinya! a. b. 2. Gambarlah grafik fungsi kuadrat di bawah ini menggunakan rumusdan tentukan nilai maksimum atau minimumnya! a. b. 3. Sebuah peluru ditembakkan vertical ke atas. Tinggi setelah . Fungsi dalam ditembakkan ditentukan oleh meter dan dalam detik. Gambarkan grafiknya dengan menggunakan tabel dengan daerah asal ! 4. Suatu benda bergerak di sepanjang garis lurus dari titik yang ditentukan oleh rumus , dimana jarak m dan waktu detik. Gambarkan grafikknya menggunakan rumus, serta tentukan persamaan sumbu simetri dan nilai maksimum atau minimumnya!
= 12 = 8 16 + 6 = 2 + 9 = 6 9
ℎ = 20 5 ℎ {|0 ≤ ≤ , ∈ } = 4 + 12
DAFTAR PUSTAKA Salamah, umi. 2018. Berlogika dengan matematika untuk kelas ix smp dan mts . Solo: PT tiga serangkai pustaka mandiri Subchan, dkk. 2018. Buku Guru Matematika untuk SMP/Mts Kelas 9. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan Wagiyo, dkk. 2008. Pegangan Belajar Matematika untuk SMP/Mts Kelas 9. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional
20
