9 Métodos Numéricos Matrices

MÉTODOS NUMÉRICOS DESARROLLO DESARROLL O DEL TEMA Ejercicios del Libro: Ejercicio 9.1 a) Escriba Escriba en forma forma matricial matricial el conjunto conjunto siguient siguiente e de ecuacion ecuaciones: es: Solución: 50 = 5x3 + 2x2 10  x1 = x3 3x2 + !x1 = 20 "l ordenar #uedar$a: 2x2 + 5x3

= 50

+

= 10

%1 !%1 + 3%3

%3

= 20

Forma matricial:

b) Escriba Escriba la trans&u trans&uesta esta de de la matri' matri' de coeficie coeficientes( ntes( Solución 0 1 ! = 50 2

0 3 = 10

5 1 0 = 20

Facultad de Ciencias Informáticas

Métodos Numéricos, Septiembre del 2016

Ejercicio 9.2 *iertas matrices estn definidas como sigue

En relación con estas matrices res&onda las ®untas siguientes: a) ,*ules son las dimensiones de las matrices "= 3 % 2

.= 3 % 3

*= 3 % 1

/= 2 % 

E= 3 % 3

= 2 % 3

= 1 % 3 b) dentifi#ue las matrices cuadradas4 columna  renglón( .  E son cuadradas * es columna  es fila c) ,*ules son los 6alores de los elementos a124 b234 d324 e224 f 12  g12A12 = 7

B23 = 7

D32 = Solo tiene 2 filas

E22 = 2

12 = 0

12 = 7

d) Ejecute las o&eraciones siguientes: 1) 8E9 + 8.9

2) 8"9 + 89

3) 8.9  8E9

)  ; 8.9

5) 8E9 ; 8.9

7) <*>

) 8.9 ; 8"9

!) 8/9>

?) 8"9 ; <*

10) 89 ; 8.9

11) 8E9> 8E9

12) <*> <*

1 !E" # !B"

2


E

1

5

8

4

3

7

=7

2

3

+ B= 1

2

7

4

0

6

1

0

4

+4 7 +1 4 +1 1

=¿

+3 2+ 2 0+ 0 5

+ 3 + 7 =¿ 6+ 4 8 7

Métodos Numéricos, Septiembre del 2016 5

8

15

8

4

10

5

0

10

2 !A" # !F" @as dimensiones de las matrices no coinciden4 &or lo tanto no se &uede efectuar la o&eración(

3 !B" $ !E"

B

4

3

7

1

5

8

=1

2

7

− E= 7

2

3

1

0

4

4

0

6

−1 1− 7 1− 4

3

∗4 7∗1 4∗1

5

4

=¿

−5 2− 2 0− 0

−8 7 −3 =¿ 4− 6 7

3

−2 −1

−6 −3

0

4

0

−2

4) 7 % !B" 4

3

7

∗B =1

2

7

1

0

4

7

28

=7

21

49

14

49

0

28

7

& E ' B 1

5

8

4

3

7

E= 7

2

3

∗ B =1

2

7

4

0

6

0

4

1

1

=¿

( )*+, T

C

=¿ 3

6

1

∨¿

7 B ' A 4

3

7

4

7

54

76

B= 1

2

7

∗1

2

= 41

53

1

0

4

5

6

24

31

3

∗3 2∗ 2 0∗ 0

∗ 3∗7 =¿ 6∗ 4 8 7

17

13

74

33

25

75

22

12

52



- !D",

D

T

9

−1

4

7

3

7

−6

5

=

9 A ' * @as dimensiones de las matrices no coinciden4 &or lo cual no se &uede efectuar la o&eración(

1 / ' B Ao existe matri' (

11 !E", !E"

E

T

1

7

4

=5

2

0

66

19

53

19

29

46

8

3

6

6

53

46

109

¿ 1|∗¿ 3 ∨¿∨6∨¿∨1∨¿

9

18

3

18

36

6

3

6

1

B

1

5

8

E= 7

2

3

4

0

=

12 )*+, )*+

T

C

=|3

6



!



9.7 Dadas las ec0aciones 0.5 x1

− x =−9.5 2

1.02 x 1

−2 x =−18.8 2

a es0ela en forma r4fica. x 2

=0.5 x + 9.5 1

x 2=

1.02 2

+

x 1

18.8 2

=0.51 x + 9.4 1

b *alc0le el determinante: D

|

=

0.5

1.02

|

−1 =( 0.5 ) (−2 )−(−1 ) ( 1.02 )=−1 + 1.02 −2

D=0.02

c *on base en los incisos a) 5 b), 608 es de eserarse con resecto de la condicin del sistema; /ebido a #ue las l$neas tienen &endientes mu similares  el determinante es tan &e#ueCo4 #ue se &uede es&erar #ue el sistema estar$a mal condicionado

d es0ela or medio de la eliminacin de incnitas.

(−2)[ 0.5 x − x =−9.5 ] 1

2

"


1.02 x 1

−2 x =−18.8 2

x 2= 0.5 x1 + 9.5

− x +2 x = 19 1

2

1.02 x 1

−2 x =−18.8

0.02 x 1

= 0.2

x 1=


x 2= 0.5 ( 10 ) + 9.5

2

x 2= 5 + 9.5

x 2= 14.5

0.2

=10

0.02

*om&robación: 0.5 x1

− x =−9.5

(

0.5 10 5

1.02 x 1

2

)−( 14.5 ) =−9.5

−2 x =−18.8 2

(

1.02 10

−14.5 =−9.5

10.2

−9.5=−9.5

)−2 (14.5 )=−18.8

−29 =−18.8

−18.8 =−18.8

e es0ela otra e< ero modifi>0e lieramente el elemento a11 a 0.52. /nterrete res0ltados.

(−2)[ 0.52 x − x =−9.5 ] 1

1.02 x 1

2

−2 x =−18.8 2

x 2= 0.5 x1 + 9.5

−1.04 x + 2 x =19 1

1.02 x 1

2

x 2= 0.5 (−10 )+ 9.5

−2 x =−18.8 2

x =−5 + 9.5

−0.02 x =0.2

2

1

x 1

=

−0.2 0.02

x 2= 4.5

=−10

*om&robación: 0.5 x1 0.5

− x =−9.5

1.02 x 1

2

(−10 )−( 4.5 )=−9.5

1.02

6

−2 x =−18.8 2

(−10 )− 2 ( 4.5 )=−18.8


−5 −4.5 =−9.5

−10.2 −9=−18.8

−9.5=−9.5

−19.2 =−18.8


nter&retación: el DecDo de #ue un ligero cambio en uno de los coeficientes de los resultados en una solución radicalmente diferente ilustra #ue este sistema es mu mal condicionado(

#



9.8 Dadas las ecuaciones siguienes 10 x1

+ 2 x − x =27 2

3

$1 %

−3 x −6 x + 2 x =−61.5$2 1

2

3

% x 1+ x 2 + 5 x3 =−21.5

$3 %

a) Resuel!a "o# eli$inaci%n de &auss si$"le. E'ec(e odos los "asos del clculo. &rimero traba'amos con la ecuaci(n $1% ) $2%, a la $1% la multiplicamos por 2

( 2 )[ 10 x + 2 x − x =27 ] 1

2

3

−3 x −6 x + 2 x =−61.5 1

20 x1

2

3

+ 4 x −2 x =54 2

3

$!%

−3 x −6 x + 2 x =−61.5 1

17 x1

2

3

−2 x =7.5 2

lue*o multiplicamos la ecuaci(n $1% por " ) restamos con la ecuaci(n $3%

( 5 )[ 10 x +2 x − x =27 ] 1

2

3

x 1+ x 2 + 5 x3 =−21.5 50 x1

+ 10 x −5 x =135 2

3

$"%

x 1+ x 2 + 5 x3 =−21.5 51 x 1

+ 11 x =113.5 2

+raba'amos con las nueas ecuaciones $!% ) $"% ) multiplicamos a la ecuaci(n $!% por -3

(−3 ) [ 17 x −2 x =7.5 ] 1

51 x 1

2

+ 11 x =113.5 2

. $6



−51 x + 6 x = 22.5 1

2

51 x 1

+ 11 x =113.5

17 x 2

=136

2

/ora empeamos a despe'ar en las ecuaciones $6%, $!%, $1% 10 x1

+ 2 x − x =27

17 x1

−2 x =7.5

17 x 2

=136

2

3

2




17 x 2

x 2=


=136

136 17

x 2=8 17 x1

−2 x =7.5

17 x1

=2 ( 8 )+ 7.5

x 1=

2

8.5 17

x 1=0.5 10 x1

+ 2 x − x =27 2

3

x 3=10 ( 0.5 ) + 2 ( 8 ) −27 x 3=−6

*) Susiu+a los #esulados en las ecuaciones o#iginales a ,n de co$"#o*a# sus #es"uesas.

10 x1

(

+ 2 x − x =27

10 0.5

2

−3 x −6 x + 2 x =−61.5

3

1

) + 2 ( 8 )−(−6 ) =27

−1.5 −48 −12=−61.5

=27

−61.5 =−61.5

x 1+ x 2 + 5 x3 =−21.5

( 0.5 ) + ( 8 ) + 5 (−6 )=−21.5 0.5

3

−3 ( 0.5 )−6 ( 8 ) + 2 (−6 )=−61.5

5 + 16 + 6 =27 27

2

+ 8 −30=−21.5

−21.5 =− 21.5

10



9.- E$"lee la eli$inaci%n de &auss/0o#dan "a#a #esol!e# el sise$a siguiene1

+ − x =1

2 x 1 x 2

5 x1

3

+ 2 x + 2 x =−4 2

3

+ + =5

3 x1 x 2 x3

(−5 ) ( 1 )=−5 + 5 =0

( )= − + = − (− ) ( − ) = + = ( − ) ( )= − − = −

No utilice pioteo Compruebe sus respuestas con la sustituci(n en las $142 ecuaciones ori*inales

(

|)

2

1

−1

1

5

2

2

−4

3

1

1

5

( |) −1

1

2

2

2

5

2

2

−4

3

1

1

5

5

0

0

1

−1

1

2

2

2

−1

9

2

2

2

−1

5

7

2

2

2

(−3 )

0

$-

−13 $142%

1

−1

$-!% 1 $%

2

2

base 2

1

−9

−1

5

2

2

( (

3

4

0

1

0

0

−9 −2

5

2

=

2

−3 3

2

1

2

1

3

2

5

2

0

1

1

2

2

9

2

1

1

1

2

7

0

1 2

9

1

2

2

13

2

10

1

−9

13

0

0

1

−5

−1 2 5 2 7 2

2

11

0

0

0

0

4

13

1

2

2

( ) ( )= + = 1

−6

0

2

1

13

4

13

+ 1=

2

1

2

−6

0

2

4

2

1

1

13 base

1

9

2

2

1

2

( − ) ( ) = + = − − = ( ) ( ) + = − ( ) (− )= − = ( − ) ( )=− + =−

|) |)

0

5

2

1

1

2

1

3

( |) 0

2

1

2

() (− ) ( − ) = + = − ( − ) ( )= + =

$-2%

$-

1

5

(−3 ) ( 1 )=−3 + 3 =0

( |) 1

1

5

$-"% $-3%

1

1

(−5 )

0

6



( | ) 1

0

0 14

0

1

0

0

0

−32 1 −5

x 1=14 x 2=−32 x 3=−5

Comprobaci(n5

+ − x =1

2 x 1 x 2

(

2 14

5 x1 + 2 x 2+ 2 x 3=−4

3

) + (−32 )−(−5 )=1

(

5 14

−32 + 5 =1

) + 2 (−32 ) + 2 (−5 )=−4

−64 −10 =−4

28

70

1= 1

−4 =−4

+ + =5

3 x1 x 2 x3

( ) + (−32 )+ (−5 )=5

3 14

42 −32−5 =5 5

=5

12

9 Métodos Numéricos Matrices

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