IMAGINEA ŞI PREIMAGINEA UNEI MULŢIMI PRINTR-O FUNCŢIE Fie funcţia f : D →C şi mulţimile A şi B, A ⊂ D şi B ⊂ C . Definiţii Numim imaginea mulţimii A prin funcţia f mulţimea Numim
f ( A) = { y ∈C ∃ x ∈ A a .î . y = f ( x )} = { f ( x ) x ∈ A} . imaginea funcţiei f sau mulţimea valorilor funcţiei f, notată Im f Im f = f ( D ) = { f ( x ) x ∈ D} .
, mulţimea
Numim preimaginea mulţimii B prin funcţia f sau imaginea reciprocă a mulţimii B prin f, mulţimea f −1 ( B ) = { x x ∈ D ∧ f ( x ) ∈ B} . Exemple 1. Fie f : R → R , f ( x ) = −2 x + 1 . a) Să se determine imaginea prin funcţia f a fiecărei dintre mulţimile: ∞) ; D = ( − ∞,0 ) ; E = [ − 2,2] ∪ ( 3,5 ) . A = { − 1,0,1} ; B = [ − 1,3] ; C = [2,+ b) Să se determine preimaginea prin funcţia f a fiecărei dintre mulţimile: ∞) ; H = ( −∞,−3] . F = [ − 2,2] ; G = [−1,+ a)
f ( − 1) = 3 f ( 0) = 1 ⇒ f ( A) = { − 1,1, 3} . f ( 1) = − 1
f ( B ) ={ y ∃x ∈[−1,3] a.î . y = f ( x )}
Fie y ∈ f (B ) ⇒ ∃x ∈[−1,3] a.î. y = f (x ) y = −2 x +1
Punând condiţia x ∈[ −1,3] rezultă −1 ≤
⇒ x=
1− y ≤3 2
− 2 ≤1 − y ≤ 6 − 3 ≤ −y ≤ 5 −5 ≤ y ≤ 3 ⇒
1− y 2
y ∈[−5, 3]
⇒ f ( B ) = f ( [ −1,3] ) = [ − 5,3] .
f (C ) ={y ∃x ∈[2,+ ∞) a.î . y = f ( x )}
Fie y ∈ f (C )
⇒
∃x ∈[2, ∞)
a.î. y = f (x)
⇒
y ∈( −∞,−3] ;
x=
1− y ≥2 2
⇒
y ≤ −3
⇒
f (C ) = f ( [2,+∞ ) ) = ( − ∞,−3] . f ( D ) ={y ∃x ∈( −∞,0 ) a.î . y = f ( x )}
Fie y ∈ f (D ) ⇒ ∃x ∈( −∞,0 ) a.î. y = f (x) ⇒ x = f ( D) = f ( (− ∞ ,0) ) = (1,+∞ ) . f ( E ) ={ y ∃x ∈[−2,2] ∪(3,5) a.î . y = f ( x )}
1
1− y <0 2
⇒
y >1
⇒
y ∈(1,+∞ ) ;
Fie y ∈ f (E ) ⇒ ∃x ∈[ − 2,2] ∪( 3,5) a.î. y = f (x)
⇒
y ∈( − 9,−5) ∪[ − 3,5]
⇒
⇒
−2 ≤
1− y 1− y ≤ 2 sau 3 < <5 2 2
f ( E ) = ( − 9,−5) ∪[ − 3,5] .
b) f
−1
( F ) = {x x ∈R ∧ f ( x ) ∈[ − 2,2]} = {x x ∈R ∧ − 2 ≤ −2 x +1 ≤ 2}
f
−1
(G ) = {x x ∈R ∧ f ( x ) ∈[−1,+∞ )} = {x x ∈R ∧ − 2 x +1 ≥ −1}
f
−1
( H ) = {x x ∈R ∧ f ( x) ∈( −∞,−3]} = {x x ∈R ∧ − 2 x +1 ≤ −3}
⇒ f −1 ( F ) = − , . 2 2 1 3
⇒ ⇒
f
−1
f
(G ) = ( −∞,1] .
−1
( H ) = [2,+ ∞) .
2. Să se determine imaginea funcţiei f : R → R , f ( x ) = 3 . Observăm că pentru orice x ∈ R avem f ( x) = 3 . Rezultă Im f = {3} . 3. Fie funcţia f : [ − 6,8] → R , având graficul reprezentat în figura de mai jos. Determinaţi imaginea funcţiei.
3 -6
8 -4
Im f = [ − 4,3]
4. Fie funcţia f : {−1, 0, 1, 2} →{a , b, c , d } reprezentată prin diagrama următoare. Precizaţi imaginea funcţiei şi preimaginea mulţimii {b, c} . -1
a
0
b
1
c
2 Im f ={a, b, c} ;
f
−1
d
({b, c}) = {−1,1, 2} .
RESTRICŢII ALE UNEI FUNCŢII. PRELUNGIREA UNEI FUNCŢII 2
Fie funcţia
f : D →C
şi o mulţime A ⊂ D .
Definiţii Funcţia g : A → C cu proprietatea g( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ A se numeşte restricţia funcţiei f la mulţimea A şi se notează g = f A , iar funcţia f se numeşte prelungirea funcţiei g de la mulţimea A la mulţimea D. O funcţie poate avea mai multe restricţii. Exemplu Funcţia f : R → R , f ( x) = x −1 . Restricţia funcţiei la mulţimea ( −∞,0 ) este funcţia g : ( − ∞,0) → R , g ( x) = x −1 . ∞) este funcţia h : [1,+ ∞ ) →R , h( x) = x −1 . Restricţia funcţiei la mulţimea [1,+ O funcţie poate fi restricţie pentru mai multe funcţii.. Exemplu Fie funcţiile f1 , f 2 : {1, 2, 3} →{a, b, c} reprezentate prin diagramele următoare. 1
f1
a
1
f2
a
2
b
2
b
3
c
3
c
Funcţia g : { 1, 2 } →{ a, b, c } reprezentată prin diagrama de mai jos este o restricţie a funcţiilor f1 şi f 2 la mulţimea { 1, 2 } . a 1 b 2 c
3
