DIFRACŢIA LUMINII PRINTR-O FANTĂ 1. Scopul lucrării 1.1. Se măsoar ă distribuţia intensităţii luminoase difractate prin fante de l ărgimi variabile. 1.2. Se măsoar ă lungimea de undă a radiaţiei difractate. 1.3. Se verifică corespondenţa dintre teorie şi experiment în ceea ce prive şte poziţiile şi intensităţile maximelor de intensitate luminoas l uminoasă.
2. Teoria lucrării Difracţia [1-5] reprezintă un ansamblu de fenomene specific undelor, care apare la propagarea acestora într-un mediu cu neomogenit ăţi spaţiale pronunţate (de exemplu trecerea lor prin fante transparente pentru unda studiat ă, practicate în ecrane opace, trecerea undei lângă frontiera unui corp, etc). Fenomenul de difrac ţie este mai pronunţat când lungimea de undă a undei este comparabil ă cu dimensiunea obiectului difractant. În sens restrâns, difrac ţia reprezintă fenomenul de ocolire a obstacolelor de mici dimensiuni de c ătre undă, fenomen echivalent cu îndep ărtarea de la legile opticii geometrice. Unda rezultată prin difracţie, este rezultatul interferenţei undelor difuzate de fiecare punct al corpului difractant. Precizăm că dacă difracţia nu poate fi înţeleasă decât pe baza interferenţei undelor difuzate, fenomenul de interferen ţă poate fi însă explicat f ăr ă a face apel la difracţie (de exemplu inelele lui Newton, interferometrul Fabry-Perot, etc). În studiul fenomenelor de difracţie, distingem două proceduri experimentale: a) Difrac ţ ie ie în lumină paralel ă sau difrac ţ ie ie Fraunhofer , dacă direcţiile tuturor undelor care compun frontul de und ă incident pe ecranul cu fant ă sunt paralele; acesta corespunde unei distan ţe infinite dintre sursa undelor şi ecran între ecran şi observator. Obţinerea luminii paralele se realizează fie cu un fascicul laser direct, fie cu un sistem de lentile (care transformă undele divergente din surs ă, în unde plan paralele). b) Difrac ţ ie ie în lumină convergent ă sau difrac ţ ie ie Fresnel , când distanţele sus menţionate sunt finite. Acesta este cazul real întâlnit în practic ă, difracţia Fraunhofer fiind doar o aproximaţie care simplifică calculele. Din punct de vedere teoretic, figura de difrac ţie poate fi determinată prin două metode: principiul Huygens-Fresnel Huygens-Fresnel şi, într-un mod general, prin teoria lui Kirchoff [2-5]. S ă consider ăm difracţia luminii provenită de la o surs ă, printr-o fantă transparentă plan paralelă de lărgime a, practicat ă în ecranul opac E (vezi fig. 1.a). Razele difractate sub unghiul ϕ sunt for ţate să interfereze cu ajutorul lentilei convergente L dim fig 1.b. Imaginea real ă de difracţie care apare pe ecranul E, aflat la distan ţa D de fantă (vezi fig. 1.b) este prezentat ă în partea de jos a figurii 2.
1
(a)
(b)
Fig. 1 a) Imaginea luminii difractate printr-o fant ă plan paralelă. b) Schema de principiu a instalaţiei experimentale pentru studiul difrac ţiei printr-o fantă.
Fig. 2 - Dependenţa imaginii difractate de poziţie, în planul ecranului E
Calculele prezentate în [2,3] arat ă că dacă lumina cade sub unghiul de inciden ţă ϕ 0 , atunci intensitatea luminii difractate sub unghiul ϕ , este dată de: I
=
2 I 0 ⋅ sin ε ε 2
(1)
unde I 0 este intensitatea luminii incidente pe ecran, iar mărimea ε este dată de: π ⋅ a ⋅ si n ϕ − s i n ϕ ( 0) λ Pentru o incidenţă normală, avem ϕ 0 = 0 şi obţinem: ε
=
ε
=
π ⋅ a ⋅ s i n ϕ λ
(2) (3)
2
Fie x, distanţa m ăsurată fa ţă de maximul de intensitate central notat MC pe ecranul E din fig. 1. Dacă unghiul ϕ de difracţie este mic (sub circa 5 ° ), vom avea si n ϕ ϕ = x iar
D
ultima relaţie devine: ε
=
π ⋅ a ⋅ si n ϕ λ
π ⋅ a ⋅ x λ D
(4)
În figura 2 este prezentat pentru claritate dependen ţa intensităţii luminoase în func ţie de parametrul adimensional ε , normată la intensitatea maximului central, 2 I ( ε ) = I = sin ε . Se observă că ea prezint ă minime de intensitate (notate m , m ,. . în n
I 0
1
ε 2
funcţie de depărtarea faţă de MC) şi maxime notate M1, M 2 ,. . Condiţia
d I n d ε
=
2
0 care ofer ă
aceste extreme conduce la urm ătoarele ecuaţii: s in ε = 0; ε = tg ε (5) Prima ecuaţie descrie minimele de intensitate m1, m2 ,. . din figura 2; ea are soluţiile: ε = nπ , n ∈ Z (6) sau, introducând (4) în (6) ob ţinem poziţiile x ale minimelor: xm = λ ⋅ D ⋅ n, n ∈ Z
(7)
a
În ceea ce prive şte ecuaţia transcendentă ε = tg ε din (5), ea ofer ă maximele secundare M1, M 2 ,. . Pentru primele trei maxime, soluţiile ecuaţiei sunt indicate în tabelul 1: Tabelul 1 Poziţiile şi intensităţile luminoase, în mărimi normate, pentru primele 3 maxime secundare ale func ţiei I n ( )
Ordin maxim ε = poziţie maxim I n ( ε )
1 4,493 0,0472
2 7,725 0,0168
3. Dispozitivul experimental Schema de principiu a instala ţiei folosite este prezentată în fig 3:
Fig. 3 - Schema instalaţiei experimentale 3
3 10,904 0,00834
Laserul L cu heliu-neon fixat pe bancul optic gradat B emite lumin ă roşie cu puterea de circa 1 mW. Suportul S permite fixarea diafragmei cu fante (cod 46991), prin intermediul a 2 cleme elastice.Intensitatea luminii difractate este m ăsurată prin intermediul fotodiodei F şi a aparatului de măsur ă A. Suportul fotodiodei este prevăzut cu o incint ă protectoare care împiedică lumina zilei să cadă pe fotodiodă şi să perturbe măsuratorile. Această incintă este prevazută cu o fantă îngustă practicată în ecranul negru opac, care permite m ăsurarea fluxului de lumină doar pe o zon ă de lăgime Δ x mică. Suportul S şi F pot fi deplasate şi fixate pe bancul optic, respectiv pot fi deplasate pe verticală şi fixate prin intermediul şuruburilor prezentate în fig. 4:
a)
b)
Fig. 4 a) şurub pentru fixarea componentelor instalaţiei pe bancul optic; b) şurub pentru fixare după ajustarea pe în ălţime a componentelor instalaţiei.
Distanţa x la care se m ăsoar ă intensitatea luminii difractate în planul ecranului E (care coincide cu cel al fotodiodei F este m ăsurată pe rigla gradat ă din figura 5. Sistemul permite deplasarea fotodiodei în direcţia riglei gradate prin rotaţia manetei din stânga figurii.
Fig. 5 - Vernier de măsur ă al distanţei x
4
4. Modul de lucru Pornirea lucr ării se face OBLIGATORIU sub îndrumarea cadrului didactic. Se interzice cu DES ĂVÂR ŞIRE studentului să priveasc ă în direcţia razei laser; în caz contrar, pot rezulta leziuni ireversibile ale retinei ochiului. Pentru pornire se execut ă următorii paşi: 4.1. Se introduce alimentatorul laserului în borna din stânga figurii 6.a) de mai jos, iar ştecherul corespunzător al alimentatorului se introduce în priza laboratorului. 4.2. Se introduce cheia de contact a laserului (indicat ă în dreapta figurii 6.a). Din poziţie neconectată (fig a) cheia este r ăsucită în sensul acelor de ceas (privind spre cheie) cu 90o , pînă ajunge în poziţia conectată (figura b)).
a) Laser închis
b) Laser pornit
Fig. 6 Poziţia cheii-comutator de oprire (pozi ţia a) - pornire (pozi ţia b) a laserului.
În partea opusă cheii de contact, laserul este prev ăzut cu un filtru atenuator acţionat de un buton declanşator asemănător celor de la aparatele foto (vezi fig. 7.a); in pozi ţie neapăsată, raza laser este atenuat ă iar in poziţie apăsată este neatenuat ă. Pentru obţinerea unui semnal maxim la aparatul de măsur ă se recomandă ca intensitatea razei laser s ă fie maximă, adică butonul să fie apăsat. 4.3. Se poziţionează suportul S al diafragmei la circa 10 cm de cap ătul de ieşire al fascicolului laser. Se fixeaz ă diafragma cu codul 46991 în suportul S cu ajutorul lamelelor elastice din suport. Diafragma are 3 fante de l ărgimi diferite, notate ca în tabel:
a)
b)
Fig. 7 a) Selector putere laser : SEL = liber = putere mică. SEL = ap ăsat = putere mărită. b) reper pentru lectura poziţiei x pe scala gradată. 5
Tabelul 2 Corespondenţa cod fantă – lărgime fantă la diafragma 46991
Cod fantă Lărgime fantă (mm)
A 0,12
B 0,24
C 0,48
Se deplasează pe verticală laserul si se roteşte in plan orizontal, astfel ca fascicolul s ău să cadă pe mijlocul axei fantei studiate, şi să fie paralel cu bancul optic B. Eventual se deplasează diafragma cu fante in suport pentru ca fascicolul s ă cadă corect. 4.4. Se porneşte aparatul de măsur ă apăsând butonul ON/OFF. Se apas ă repetat butonul MAN/AUTO până când sus in dreapta ecranului apare indica ţia mV; precizăm că aceast ă indicaţie de lucru este relativ ă; scala de măsur ă este aleasă (prin apăsarea butonului MAN/AUTO) exclusiv din condiţia ca semnalul indicat s ă fie maxim şi să nu depăşească capătul de scală. 4.5. Se fixează suportul F al fotodiodei la distan ţă cât mai mare faţă de suportul S. Se măsoar ă cu ajutorul riglei gradate ata şată bancului optic B, distanţa D dintre planele diafragmei cu fante şi al fotodiodei. Se reglează si se fixeaz ă cu ajutorul şuruburilor poziţia fotodiodei F astfel ca lumina laserului s ă cadă pe fanta vertical ă practicată in suportul său. Prin rotaţia manetei ataşată riglei fotodiodei (vezi fig. 5) se translateaz ă vernierul pentru ca imaginea de difracţie să cadă pe fanta fotodiodei. Dacă nu se observă unde se află lumina difractată, se foloseşte o foaie albă de hârtie pusă in faţa fotodiodei ca ecran temporar, se aliniază sistemul şi apoi se scoate foaia de hârtie din sistem. 4.6. Se deplaseaz ă vernierul milimetric astfel încât să se ajungă la marginea din dreapta sau stânga a sistemului de franje de difrac ţie. se roteşte apoi vernierul, pentru ca fotodioda să se deplaseze c ătre maximul central de difrac ţie. Cu declanşatorul filtrului laser apăsat se translateaz ă vernierul uniform (şi lent în vecin ătatea extremelor) pentru a parcurge toată imaginea de difracţie. Urmărind indicaţia voltmetrului digital, se noteaz ă ca la punctele G şi H ale protocolului, poziţiile maximelor si minimelor de intensitate şi ordinul acestora; la maxime se noteaz ă şi intensitatea U F măsurată în volţi, pe aparatul digital. Ordinul maximului este socotit faţă de maximul de intensitate central: primul la dreapta (stânga) faţă MC are ordinul 1, al doilea are ordinul 2, etc. Pentru ca rezultatele ob ţinute să fie corecte, se recomand ă insistent ca studen ţii să respecte urm ătoarele indicaţii: • Studentul(a) care cite şte indicaţia aparatului de măsur ă s ă p ăstreze o pozi ţie cât mai fixă in faţa instalaţiei (pentru a evita ca ca luminii reflectate pe corpul studentului s ă intre (ca semnal parazit) alături de lumina difractată in fotodetector). • Diafragma 46991 cu fante, trebuie deplasat ă manual in suportul S astfel ca axa verticala a fiecărei fante studiate, sa se afle in planul vertical care trece prin bancul B. • Planele diafragmei si ale fotodiodei s ă fie perpendiculare pe axa bancului optic. • Lumina laserului s ă cadă uniform pe toat ă lăţimea fiecărei fante. Pentru a verifica aceast ă condiţie, se plaseaz ă în faţa fotodiodei foaia albă de hârtie folosită ca ecran temporar, si se mişcă uşor diafragma pe orizontal ă (fiind fixată cu lamelele elastice) până când imaginea 6
de difracţie de pe ecran apare la fel de clar în stânga şi în dreapta maximului central; aceast ă observaţie se adreseaz ă în special la lucrul cu fanta C. • Dacă nu a fost detectat ă la timp poziţia unui maxim sau minim, se rote şte in sens invers celui folosit până atunci maneta riglei până ce se revine într-o pozi ţie anterioar ă extremului, si apoi se rote şte in sens invers pentru a relua baleierea extremelor de intensitate. ATENŢIE! Deoarece şurubul vernierului are cursă moartă, se roteşte până când reperul fotodiodei începe s ă se deplaseze. • Pozi ţia x pe rigla fotodiodei se cite şte pe cât posibil cu precizie de zecime de mm; la nevoie, se solicit ă tehnicianului din laborator o lupă. 4.7. Se măsoar ă respectând indicaţiile de mai sus, pentru fanta C, de 3 ori, pozi ţiile primelor 3 minime. Datele sunt trecute in tabelul 3: Tabelul 3 Poziţiile minimelor de intensitate
Poziţie faţă de MC Ordin minim Poziţie Măsur. 1 x Măsur. 2 riglă Măsur. 3
3
Stânga MC 2
1
Dreapta MC 2
1
3
4.8. Se m ăsoar ă (cu indicaţiile de la punctele 4.1 - 4.6 ), pentru cele 3 fante, pozi ţiile xmaxim primelor 3 maxime de intensitate, pentru maximul central, şi intensităţile U F corespunzătoare. Datele se trec în tabelul 4: Tabelul 4 Poziţiile şi valorile maximelor de intensitate.
Poziţie faţă de MC Ordin maxim Fanta X_maxim A U F (mV) Fanta X_maxim B U F (mV) Fanta X_maxim C U F (mV)
Stânga MC 2
3
MC
1
Dreapta MC 2
1
3
5. Prelucrarea datelor experimentale 5.1. Folosind datele din tabelul 3, se completeaz ă tabelul 5, necesar calculului lungimii de undă a laserului folosit în lucrare. Tabelul 5 Determinarea lungimii de undă a laserului din pozi ţia minimelor de intensitate Măsuratoarea 1 Măsuratoarea 1 Măsuratoarea 1
Ordin maxim xm n (mm) λ (nm)
1
2
3
1
2
7
3
1
2
3
Distanţa medie
a minimului de ordin n se calculează cu relaţia:
x mn
x s n − xd n
(8) 2 unde sn şi dn reprezintă poziţiile citite pe rigla fotodiodei pentru minimele de ordin n, la stânga ( x s n ) , respectiv la dreapta ( xd n ) maximului central. Lungimea de und ă se calculeaz ă xnm
=
cu relaţia (7). Cu cele 9 valori calculate pentru ea, se calculeaz ă media şi abaterea pătratică medie, prezentând rezultatele sub forma λ = ( λ ± σ λ ) nm .
5.2. Folosind datele din tabelul 4, se completeaz ă tabelul 6. Tabelul 6 Comparaţia experiment teorie pentru maximele de intensitate
Ordin maxim x Mne (mm) x Mn t (mm)
Fanta A 2
1
3
1
Fanta B 2
3
1
Fanta C 2
3
k xM I ne k I
Distanţa x Mne la care apar maximele de ordin n, se calculeaz ă similar relaţiei (8), unde x sn şi xdn reprezintă poziţiile citite pe rigla fotodiodei pentru maximele de ordin n, la stânga ( x sn ) , respectiv la dreapta ( xdn ) maximului central. Distanţele x Mn t reprezintă predicţiile teoretice la care se observ ă maximele de ordin n; ele se calculeaz ă cu relaţia (4): x M n t = λ Dε (9) π a
unde lungimea de und ă este cea ob ţinută la punctul 5.1 iar parametrii ε şi a sunt extraşi din tabelul 1 respectiv 2. Parametrul k xM este definit prin: k xM =
x ne x nt
(10)
El reprezintă o evaluare a acurateţii teoriei, fiind la modul ideal egal cu unitatea. Parametrul I ne este definit prin: I k
(11)
I k I = ne I nt
(12)
I ne
=
I 0 unde I k este (pentru o fantă dată) intensitatea maximului de ordin k , iar I 0 intensitatea maximului central. Comparaţia teorie-experiment se face prin intermediul parametrului k I
definit prin:
Predicţia teoretică I n t a intensităţii normate este oferită de ultima linie a tabelului 1. Se calculează media şi abaterea medie a parametrilor k xM şi k I , prezentând rezultatele sub forma statistică standard. 8
6. Întrebări
Care este diferenţa dintre difracţie şi interferenţă? Dar între difracţie şi refracţie? Ce influenţă are difracţia optică asupra imaginii v ăzute pe suprafaţa unui CD sau DVD pe care cade lumina? Ce se petrece când înclin ăm suprafaţa lor sub unghiuri de incidenţă diferite? Cum influenţează fenomenul de difracţie, capacitatea unui instrument optic de a distinge două puncte foarte apropiate dintr-o imagine? Lumina unui laser este proiectat ă pe un ecran circular de diametru d. Cum influen ţează difracţia mărimea imaginii obţinute pe un ecran aflat la o distanţă oarecare de ecran? Ce se petrece cu imaginea de pe ecranul din fig.1.b, dac ă diametrul fascicului laser, incident în centrul fantei, este mai mic decât lăţimea fantei a; dar dac ă este mai mare?
7. Precizarea conţinutului referatului Referatul va cuprinde un rezumat al teoriei, descrierea montajului experimental, tabelele de date 3-6, calculele statistice de la punctele 5.1 şi 5.2 de parametri, şi r ăspunsul la întrebările de la punctul 6.
Bibliografie 1) Colectiv, Breviar de fizică, Ed Printech, 2006. 2) C Moţoc, Fizică vol 1, Ed All, Bucureşti, 1998. 3) Constantin Roşu, Curs de optică electromagnetică, Ed Bren, 2003. 4) Crawford F., Curs de fizică Berkeley-unde, Ed Didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1983. 5) Site enciclopedic, Http://en.wikipedia.org ; cuvinte cheie: diffraction.
9
