Referat Operaţii cu mulţimi. Formulele lui De Morgan
Cuprins Cuprins..................................................................................................................................................4 Introducere............................................................................................................................................5 Capitolul I.............................................................................................................................................6 Operaţii cu mulţimi...............................................................................................................................6 §1.1 Reuniunea mulţimilor...................................................................................................................6 §1.2 Intersecţia mulţimilor...................................................................................................................7 §1.3 Diferenţa a două mulţimi..............................................................................................................8 §1.4 Complementara unei submulţimi.................................................................................................9 §1.5 Produsul cartezian.......................................................................................................................10 §1.6 Diferenţa simetrică a două mulţimi............................................................................................11 §1.7 Legile lui De Morgan.................................................................................................................13 §1.8 Proprietăţi ale operaţiilor cu mulţimi.........................................................................................14 Capitolul II..........................................................................................................................................17 Exerciţii propuse.................................................................................................................................17 Bibliografie.........................................................................................................................................21
4
Introducere
Noţiunile de mulţime şi de element al unei mulţimi nu pot fi definite. Aşa cum scria Cantor, creatorul teoriei mulţimilor, o mulţime este „o colecţie de obiecte ( numite elementele mulţimii) de natură oarecare, bine determinate şi bine distincte”.
Vom nota, de regulă, mulţimile cu litere mari, iar elementele lor cu litere mici ale alfabetului latin. Dacă A este o mulţime şi x un element al său, atunci vom scrie x∈ A, iar dacă y nu este un element al mulţimii A, vom scrie y∉ A. Aşa cum rezultă din fraza de mai sus, elementele unei mulţimi sunt distincte, adică un element nu se poate repeta de mai multe ori. De asemenea, elementele unei mulţimi trebuie să fie bine determinate. Există două moduri de definire a unei mulţimi.
♦ Numind individual elementele sale. În acest caz mulţimea se indică scriind între acolade elementele sale {a,b,c,...}. De exemplu, A= {1,2,3,...,9}. ♦ Indicînd o proprietate caracteristică doar elementelor mulţimii date. Mulţimile definite în acest mod se vor nota prin A={x | P(x)}, Adică mulţimea acelor obiecte x, pentru care are loc proprietatea P(x). De exemplu, B={x | x ∈ R, 2x2+x-1=0}. O mulţime definită după primul mod se zice că este dată sintetic sintetic, iar o mulţime definită în al doilea mod se zice că este dată analitic. O mulţime care are un număr finit de elemente se numeşte mulţime finită. In caz contrar mulţimea se numeşte infinită. Mulţimea care nu are nici un element se numeşte mulţime vidă şi se notează ∅. Dacă fiecare element el unei mulţimi A aparţine mulţimii B, atunci A se numeşte submulţime submulţime a mulţimii B şi se notează A ⊆ B.
5
Capitolul I
Operaţii cu mulţimi §1.1 §1.1 Reuniu Reuniune nea a mulţimil imilor or Definiţie Definiţie: Se numeşte reuniunea a
două mulţimi A şi B, mulţimea mulţimea tuturor elementelor ce aparţin cel puţin uneia dinte ele. Notăm: A∪ B Citim: mulţimea A reunită cu mulţimea B Deci: A∪B = {x│x ∈ A sau x∈ B} Grafic, reuniunea a două mulţimi este reprezentată în fig. I, prin porţiunea evidenţiată.
Exemplu Exemplu: A={1,5,6,8,10} şi B={5,8,9,12,17}, atunci
A∪B={1,5,6,8,10}∪{5,8,9,12,17}={1,5,6,8,9,10,12,17}, adică: A
B
9
10 1
5 6
17 8
12
AUB
Observaţie:
Aşa cum am definit reuniunea 6
a două mulţimi putem defini reuniunea unui număr finit de mulţimi, dacă A1, A2, A3,...,An sunt n mulţimi, atunci reuniunea lor va fi: A1∪A2∪A3∪...∪An. Exemplu Exemplu :A={2,4,5,7,9}, B={1,2,4,7,11,20} şi C={20,22}, atunci A∪B∪C={2,4,5,7,9}∪{1,2,4,7,11,20}∪{20,22}={1,2,4,5,7,9,11,20,22}.
§1.2 §1.2 Inte Inters rsec ecţia mulţimilo milor r Definiţie Definiţie: Se numeşte intersecţia a două mulţimi A şi B, mulţimea tuturor
elementelor care sunt comune celor două mulţimi. Notăm: A∩ B Citim: mulţimea A intersectată cu mulţimea B Deci: A∩B = {x | x ∈ A şi x∈ B} Grafic, intersecţia a două mulţimi este reprezentată în fig. II prin porţiunea evidenţiată.
Exemplu Exemplu: A={1,2,3,4,5} şi B={2,4,7,8}, atunci:
A∩B={1,2,3,4,5}∩{2,4,7,8}={2,4}, adică: A
1
5
B
2 3
7 4
8
A∩B
7
Notă: În fig. II.c) avem mulţimile A şi B, care nu au în comun nici un element,
adică A∩B=∅, atunci mulţimile A şi B se numesc disjunctive. Observaţie: Aşa cum am definit intersecţia a două mulţimi putem defini intersecţia unui număr finit de mulţimi, dacă A1, A2, A3,...,An sunt n mulţimi, atunci intersecţia lor va fi: A1∩A2∩A3∩...∩An. Exemplu Exemplu: A=(- ∞ ,1] şi B=(-2,3), atunci A∩B=(- ∞ ,1]∩(-2,3)=(-2,1], adică:
§1.3 Diferenţa a două mulţimi Definiţie Definiţie: Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte diferenţa dintre mulţimea A şi
mulţimea B mulţimea tuturor elementelor care aparţin lui A şi care nu aparţin lui B. Notăm: A\B (sau A-B) Citim: diferenţa dintre mulţimea A şi mulţimea B Deci: A\B ={x | x ∈ A şi x ∉ B} Grafic, diferenţa dintre mulţimea A şi mulţimea B este reprezentată în fig. III, prin
porţiunea evidenţiată. Exemplu Exemplu: A={a,b,c,d,e} şi B={b,e,f,g,h,k}, atunci:
A\B={a,b,c,d,e}\{b,e,f,g,h,k}={a,c,d},
8
B\A={b,e,f,g,h,k}\{a,b,c,d,e}={f,g,h,k}, adică: A
c a
d
B f
b
e
h
k
g
A\B
B\A
§1.4
Comple Complemen mentara tara unei unei submu submullţimi Definiţie Definiţie: Fie dată mulţimea A şi B o submulţime a lui A. Submulţimea lui A
formată din acele elemente ce nu aparţin lui B se numeşte complementara lui B în raport cu A. Notăm: CAB (sau A-B) Citim: complementara lui B în raport cu A. Deci: CAB = {x | x ∈ A şi x∉ B, A⊂ B } Grafic, complimentara unei submulţimi B în raport cu mulţimea A este reprezentată în fig. IV, prin porţiunea evidenţiată. Exemplu Exemplu: Fie A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} şi B={3,7,8}, atunci CAB={1,2,3,4,5,6,7,8,9}-{3,7,8}={1,2,4,5,6,9}, adică: 1 7 9 A a B 4 5 8 6 3 2
CAB
9
§1.5 Produsul cartezian Definiţie Definiţie: Mulţimea formată din toate perechile ordonate (x; y) care au primul
element din mulţimea A şi al doilea element din mulţimea B se numeşte produs cartezian al mulţimilor A şi B. Definiţie Definiţie: O pereche (x; y) se numeşte ordonată dacă (x; y) ≠ (y; x), pentru x ≠ y şi (x; y) = (y; x), pentru x = y. Definiţie Definiţie: Două perechi ordonate (x, y) şi (u, v) sunt egale, dacă şi numai dacă x = u şi y = v. Notăm: A × B Citim: produs cartezian al mulţimii A cu mulţimea B Deci: A × B = {(x, y)|x ∈ A şi y∈ B} Imaginea Imaginea, intuitivă a produsului cartezian a două mulţimi este în figura de mai jos.
Exemplu Exemplu: Se dau mulţimile: A={1;2;3}; B={3;4;5}.
Calculaţii A×B şi reprezentaţi în sistemul ortogonal de axe: A×B={1;2;3}×{3;4;5}={(1,3);(2,3);(3,3);(1,4);(2,4);(3,4);(1,5);(2,5);(3,5)} şi reprezentăm în figura de mai jos:
10
Prin analogie, produsul cartezian a trei mulţimi, este o mulţime de triplete: A×B×C = {(x, y, z)|x ∈ a, y ∈ B, z∈ C} Imaginea, Imaginea, intuitivă produsului cartezian a trei mulţimi este în figura de mai jos.
Observaţie, prin produsul cartezian
al mulţimilor X 1 , , X 2 , , …, X n, înţelegem mulţimea
sistemelor numerice ordonate ( x x1 , , x2 , , …, xn) cu xi ∈ X i, ∀ i = 1 , n , adică X1×X2×...×Xn={( x x1 ,x ,x2 ,...,x ,...,xn) | xi ∈ Xi, ∀ i = 1 , n } Notă, numărul de elemente (perechile produsului cartezian A×B) este egal cu numărul de elemente a lui A îmulţite cu numărul de elemente ale lui B card (A×B) = card A*card B Exemplu Exemplu: Fie A={1,2} şi B={3,4}; A×B={1,2}×{3,4}={(1,3);(1,4);(2,3);(2,4)}; Vom nota: numărul de elemente a mulţimii A cardA=2, numărul de elemente a mulţimii B cardB=2. Numărul de elemente al mulţimii A×B card(A×B)=2*2=4. Prin urmare card (A×B) = card A*card B
§1.6 Diferenţa simetrică a două mulţimi
11
Fie date mulţimile A şi B, iar diferenţa dinte aceste mulţimi este reprezentată în figura de mai jos: Definiţie Definiţie: Se numeşte diferenţa simetrică a mulţimii A şi B, reuniunea
diferenţelor A - B şi B - A. Notăm: Diferenţa simetrică cu ∆ şi se defineşte prin relaţia A ∆ B =(A-B) ∪ (B-A). Grafic, diferenţa simetrică dintre mulţimea A şi mulţimea B este reprezentată în fig.V, prin porţiunea evidenţiată.
Exemplu Exemplu: A={ ϕ ,η , µ ,ϖ , τ } şi B={ α ,η , λ ,ϖ , ϑ , ξ }, atunci:
A ∆ B ={ ϕ , µ , τ } ∪ { α , λ , ϑ , ξ }={ ϕ , µ ,τ , α , λ , ϑ , ξ }, adică: A
A\B
B
τ AB
ϕ B\A µ
ξ
ϖ η η
α
ϑ
12
§1.7 Legile lui De Morgan
Augustus De Morgan (27 iunie 1806 - 18 martie 1871) 1871) a fost matematician britanic, celebru
pentru contribuţiile contribuţiile sale în logica matematică, matematică , motiv pentru care este considerat Logic întemeietorul logicii formale. formale. În anul 1847 prezintă în scrierea sa Formal Logic ceea ce ulterior vor fi denumite "Legile lui De Morgan" (în teoria mulţimilor). mulţimilor). Aceasta face parte din cadrul celor mai mari contribuţii ale sale la reformarea logicii matematice.
Fie E o mulţime nevidă, iar A, B sunt submulţimi a mulţimii E. Legea I
Legea II
CE(A∪B)=(CEA) ∩ (CEB);
CE(A∩B)=(CEA) ∪ (CEB)
Grafic, legile lui De Morgan sunt reprezentate în fig. VI
şi fig.VII, prin porţiunea
evidenţiată. Ambele legi a lui De Morgan vor fi demonstrate prin exemplu următor: Fie mulţimea E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} şi două submulţimi ale ei: A={2,4,6,8,10}, B={3,6,9}. Lege Le ge a I: A∪B={2,4,6,8,10}∪{3,6,9}={2,3,4,6,8,9,10}, CE(A∪B)= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}\{2,3,4,6,8,9,10}={1,5,7}, CEA={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}\{2,4,6,8,10}={1,3,5,7,9}, CEB={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}\{3,6,9}={1,2,4,5,7,8,10}, (CEA)∩(CEB)= {1,3,5,7,9}∩{1,2,4,5,7,8,10}={1,5,7}; CE(A∪B) = {1,5,7} = (CEA) ∩(CEB); Rezultatul acestei legi este în figura de mai jos, prin porţiunea evidenţiată: 13
Lege Le ge a II I I: A∩B={2,4,6,8,10}∩{3,6,9}={6},
CE(A∩B)= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}\{6}={1,2,3,4,5,7,8,9,10}, CEA={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}\{2,4,6,8,10}={1,3,5,7,9}, CEB={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}\{3,6,9}={1,2,4,5,7,8,10}, (CEA)∪(CEB)= {1,3,5,7,9}∪{1,2,4,5,7,8,10}={1,2,3,4,5,7,8,9,10}; CE(A∩B) = {1,2,3,4,5,7,8,9,10} = (CEA) ∪ (CEB) Rezultatul acestei legi este în figura de mai jos, prin porţiunea evidenţiată:
§1.8 Pr Proprietăţi al ale op operaţiilor cu cu mulţimi Ι
0
Oricare ar fi mulţimea A, atunci: ♦ A∪∅= A; ♦ A∩∅=∅ ; ♦A-A =Ø; 14
♦A∪A=A – idempotenţa reuniunii; ♦ A∩A=A – idempotenţa intersecţiei; ♦ A∆A=∅; ♦ A∆∅= A; ΙΙ
0
Dacă A, B sunt două mulţimi, atunci: ♦ A∪B=B∪A – comutativitatea reuniunii; ♦ A∩B=B∩A – comutativitatea intersecţiei; ♦ A∆B=B∆A – comutativitatea diferenţei simetrice; ♦ A/B ≠ B/A ♦ AxB ≠ BxA ♦ A∩CEA=∅; ♦ CE(CEA)=A; ♦ A∪CEA=E; ♦ CA(A∩B)=A-B; ♦ A∆B=(A∩ Β )∪( Α ∩B); ♦ A∆B=(A∪B) ∩( Α ∪ Β );
Ι ΙΙ0 Dacă A,B,C sunt trei mulţimi, atunci: ♦ (A∪B)∪C=A∪(B∪C) – asociativitatea reuniunii; ♦ (A∩B)∩C=A∩(B∩C) – asociativitatea intersecţiei; ♦ A∆(B∆C)=(A∆B)∆C – asociativitatea diferenţei simetrice; ♦ A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) – distributivitatea reuniunii fată de intersecţie; ♦ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) – distributivitatea intersecţiei fată de reuniune; ♦ A∩(B∆C)=(A∩B)∆(A∩C) – distributivitatea intersecţiei faţă de diferenţă
simetrică;
♦ (A-B)-C=A-(B-C); ♦ (A∩B)-C=(A-C) ∩(B-C) ♦ (A∩B)-C=A∩(B-C)=(A-C)∩B; ♦ (A∪B)-C=(A-C)∪(B-C); 15
♦ A-( B∩C)= (A-B)∪(A-C); ♦ A-(B∪C)=(A-B)-C; ♦ A-B=A∩CEB; ♦ Ax(B∪C)=(AxB)∪(AxC);
♦ Ax(B-C)=AxB-AxC. ♦ Ax(B∩C)=(AxB)∩(AxC);
Vom demonstra, ca model, distributivitatea reuniunii faţă de intersecţie, adică A∪(B∩C)= (A∪B)∩(A∪C) Fie x∈ A∪(B∩C). Avem: x ∈ A∪ (B∩ C)
⇒ x ∈
∈ B) şi ( x x ∈ A sau x ∈ C)
A sau x∈ B∩C ⇒ x∈ A sau ( x x ∈ B şi x ∈ C) ⇒ ( x x ∈ A sau x
⇒ x ∈
A∪B şi x∈ A∪C ⇒ x∈ (A∪B)∩(A∪C). Deci
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C). Fie x∈ (A∪B)∩(A∪C). Avem: x ∈ (A∪B)∩ (A∪ C)
∈ C)
⇒ x ∈
⇒ x ∈
A∪B şi x∈ A∪C ⇒ ( x x ∈ A sau x ∈ B) şi ( x x ∈ A sau x
A sau ( x x ∈ B şi x ∈ C) ⇒ x ∈ A sau x ∈ B∩C ⇒ x ∈ A∪( B∩C). Deci
(A∪B)∩(A∪C) ⊂ A∪(B∩C). Din cele două incluziuni rezultă A∪(B∩C)= (A∪B)∩(A∪C).
16
Capitolul II
Exerci Exer ciţii prop propus use e Completaţi următorul rebus:
orizontal: 1. O mulţime este formată din ........ 2. Din mulţimile {1,2,3,4} şi {3,4} obţinem mulţimea {1,2,3,4} prin operaţia de ........ 3. Mulţimea vidă este ........ în orice mulţime. 4. Mulţimea numerelor naturale N este o ........ a mulţimii numerelor întregi Z. 5. Numărul întreg -5 este un element ce ........ mulţimii Z. 6. N, N*, Z, Z* sunt mulţimi de ........ 7. Operaţie cu mulţimi ce nu este comutativă vertical: 8. Ce cuvînt apare pe vertical notat cu V? 1. Care din operaţiile următoare sunt adevărate şi care sunt false? a) (A∈ B şi B ∈ C) ⇒ A ∈ C; b) (A ⊆ B şi B∈ C) ⇒ A∈ C; c) (A ≠ B şi B ≠ C) ⇒ A ≠ B; d) (A ⊆ B şi B ⊆ C şi C ⊆ A) ⇒ A=B=C; e) x ={x}; 17
2. Să se determine mulţimile A şi B astfel încât să fie îndeplinite condiţiile: a) A∪B= {1,2,3,4,5,6,7}; b) A∩B= {3,4 }; c) A∩{5,6,7 }=Ø; d) {1,2 }
∩B=Ø. 3. Să se determine mulţimile A şi B astfel încât să fie îndeplinite condiţiile: a) A∪B= {0 {0,2,4,6,8}; b) A∩B= {2,4 {2,4 }; c) A\ B={0,8 }. 4. Să se afle A şi B ştiind că sunt îndeplinite simultan condiţiile: a) A∪B= { 1,2,3,4,5,6,7} b) A∩B={2,6,7 } c) A\B={1,4}. 5. Reprezentaţi într-un sistem ortogonal de axe: a) {1;0 {1;0}} × {-1;2 {-1;2}; }; b) {0; {0; 2 }×{-1;1}; c) { 3 }×{1;-1;2}; d) {-1;2;3}×{4}; e) (1;2)×{3}; f) {2 {2}×[1;3]; g) (1 (1;2) ×( ×(2;3); h) [[--2;3]×[1;4]; j) R×{1}; k){2}×R; l){0}×R; m) R× R×{0}; 6. Determinaţi mulţimile A şi B ştiind că: A × B = {(1;2),(2;3),(2;5),(1;5),(1;3),(2;2)}. 7. Se consideră mulţimile: A={0,1,2,3}, B={2,3,4,5}. Se cere să se determine mulţimile: a) A∩B; b) A∪B; c) A \ B; d) B\A ; e) A ∆ B; f) A∩B; g) A x B. 8. Să se efectueze operaţiile dintre mulţimile date în tabelul de mai jos. Sa se ilustreze eventual prin diagrame. A={0;1;2;3;4;5} B={0;2;4;6} C={1;2;3;5;6;7} A∪ B A∪C A∩ B A∩C B/A A∪(B∩C A∩(B/C A/(B∩C) ) ) (A∪B)/ C
(B∩C)/ A
(A∪B)/ C
B∩C C/A B/(A∪B)
C∩(A/B A∩B∩C )
9. Sa se afle mulţimile A şi B ştiind că sunt îndeplinite simultan condiţiile: A B = { 0;1;2;3;5;7;8;9} A B = {1;2;5;8} A / B = { 3;7}
18
10. Se dau mulţimile: A={x ∈ Q| x2-12x+35=0}, B={x ∈ Q| x2+2x-35=0} şi C={x ∈ Q| (x2+1)(7x-1)=0}. Să se afle mulţimile A, B, C, A∪B, A∪B∪C şi A∩B∩C. 2n + 1
11. Să se compare mulţimile A şi B, dacă A={x ∈ Q| x = n + 4 ;n∈ N*} şi B={x ∈ A| x<2}. 12. Să se determine mulţimile A, B, A∪B, A∩B, A\B, B\A, A ∆ B, A∪( B\A), A\ (B\A), A × B, B × A, (A∪B) ×A, B ×( A\B), unde 8n − 18 n 2 − 48n + 16 9 a) A={x ∈ N| x = 2n − 9 ; n ∈ N} şi B={x∈ Z| x = ; n ∈ N}; 3n − 8 2n + 1
3n + 1
b) A={x ∈ Q| x = 2n − 3 ; n ∈ N} şi B={x∈ Q| x = 3n − 2 ; n ∈ N}; 13. Dintre cei 112 dalmaţieni, 60 au o pată neagră pe urechea stângă, 24 au o pată neagră pe urechea dreaptă şi restul au urechile albe. Câţi dintre ei au pete pe ambele urechi? 14. Într-o clasă de elevi, 16 ştiu foarte bine limba engleză, engleză, 20 foarte bine franceza iar 8 ştiu foarte bine şi engleza şi franceza. Câţi elevi sunt în clasă? 15. Să se determine următoarele mulţimi scriind elementele lor între acolade: ∈
3
∈
∈
10
∈
a) A={x N* x N};
b) B={x N* x N};
3 ∈ * x − 1 c) C={x N N};
3 ∈ x − 1 d) D={x Z Z};
∈
12
e) D={x ∈ Z x − 2 ∈ Z};
∈
16
f)D={x ∈ Z 2 x − 3 ∈ Z};
16. Deteminaţi: a) A∩ N; b) A∩Z; c) A∩Q; d) A∩(R\Q), iar mulţimea A este dată mai jos: −1 − 18 8 1 4 1 2 −2 0 A= − 2 ; 0, (1) ; − 2 ; 5 ; 14 ; (−3) ; (−4) ;1,2(5) ; − 7 ; 64 ; − ; 3 + 5 ; − 2 9 4
17. Să se efectueze: a) [-6;5) ∪ { 5}; b) (-3;4) ∪ {-3:4 }; c) (-2;7) ∪ [4; 8]; d) (- ∞ ;6) ∪ (4;+ ∞ ); e) (-5;3) ∪ [0;6). 19
f) [-5;5] ∩ [1;8); g) (-6;2] ∩ [2;6);
h) [0;8) ∩ [5;7];
i) (-4;6) ∩ [5;7);
j) (-3;4] ∩ [4;6). 18. Determinaţi a, b ştiind că: a) [a;b] ∩ (2;6)=[4; 5,5]; b) (a,8) ∩ (3;b)=[4;6]; 19. Să se compare mulţimile: 5
a) A={x ∈ R| |x-1|+|x-2|>5} şi B={x ∈ R x − 4 >-1}; b) A={x ∈ Z| x2+11x+20=n2, n ∈ N} şi B={-16,5 }; 20. Să se determine mulţimile: a) A={x ∈ Z| min(x+1,4-0,5x) ≥ 1}; b) B={x ∈ Z| max(x-2,13-2x) ≤ 6}; c) C={x ∈ Z| max( 20 − x ,
45 − 2 x )>13}; 3
20
Bibliografie
I.Goian, P.Sirbu, A.Topala „Grupuri şi inele” Chişinău-2005 CEP USM; C.Năstăsescu, C.Nita, GH. Rizescu „Algebra, manual de clasa a IX-a” Editura didactică şi pedagogică, R.A., Bucureşti, 1997; I.Goian, R. Grigor, V Marin, F. Smarandache „Algebra în exerciţii şi probleme pentru liceu” www.jalobean.itim-cj.ro www.didactic.ro www.sclipireamintii.info www.slideshare.net www.fs.gallup.unm.edu www.ro.wikipedia.org www.clopotel.ro www.studentie.ro www.oonicescu.ro www.edituracaba.ro
21
