8. Comport. tiempo-def. Consolidación unidimensional

Inge Inge nierí niería a Geo téc nic nic a.

8. Com po rta miento tiempo -deforma c ión. Consoli Consolida da ción unidime unidime nsional nsional

CAPITULO 8

C O M PO RTAM IENT IENTO O TIEM IEM PO -D EFO RM AC IÓ N. C O NSO NSO LIDAC IÓN UNIDIME UNIDIMENS NSION ION AL Tom ado de: Co d uto, Dona ld, Ge ote c hnica l Eng Eng ineering ineering , USA, 199 1999. 9. Da s, Braja Braja M ., Fund am en to s d e Ing en ierí iería Ge ot éc nic a . Tho m son Lea Lea rning rning . US USA, 2001 2001

8.1 Introducción. Cua nd o se se a plic plic an c arga s estátic estátic as a los m iem bros d e una estr estruc uc tura, tura, tales c om o viga s y columnas, los resultados ocurren virtualmente tan rápido como las cargas son a p lic lic ad a s. Sin emb a rgo, las d efo rm a c iones en los suelos alg una s ve c es oc urren urren m uc ho más lentamente, especialmente en arcillas saturadas. Muchos años, o aún décadas, pueden ser requeridas para que el asentamiento total ocurra en un suelo, así los ingenieros geotécnicos a menudo necesitan evaluar ambos, la magnitud y la tasa de asentamiento por consolidación. En este capítulo se extiende lo estudiado en el c ap ítulo 7 y se se d esarr esarroll olla a la hab ilid lid ad pa ra presenta presenta r curvas tiem tiem po -d eforma c ión.

8.2 La La teoría teoría de co nsoli nsolida da ción d e Terza erza ghi. El proc proc eso eso d e c onsoli onsolid d ac ión c om ienza enza c uand o se se c oloc a un rell relleno eno o a lguna o tra tra carga produce un incremento en los esfuerzos totales verticales, Δσz. Inicialm Inicialm ente , esta esta inc reme nto d e c arga en llevad llevad o c omp letamente po r la la presi presión d e p oros, oros, el valor ini inic c ial d e u e es igual a Δσz. Así el esfuerzo vertical efectivo σ’ z, inmed inmed iatam ente d espués espués de ap lic lic ar la la c arga no c am bia su su valor original original,, σ’ z0. El exc exc eso eso d e la presi presión d e p oro produc e un increm increm ento loc aliz alizad o e n la la c arga total, induc iendo de este este m od o un g rad iente hidráuli hidráulic c o. No ob stante, algo d e la presi presión d e poro comienza a fluir alejándose de la zona en que ha sido cargado. Este flujo causa que el exceso de la presión de poro se disipe lentamente, que el esfuerzo vertical efectivo se incremente, y que el suelo se consolide. Después que suficiente tiempo ha pa sad o, ue →0, σ’ z→ σ’ zf, y el asentam asentam iento po r c onsoli onsolid d ac ión, δc → (δc ) últ . Es im po rtante rec onoc er que esta esta teo ría no e s una sim ple d esc esc ripc ión em pír píric a d e los datos de asentamientos obtenidos en campo; es un método racional basado en un m od elo fís físic o d el proc eso eso d e c onsoli onsolid d ac ión. Es Esta es una d istinc tinc ión imp ortante, p orque ilustr lustra a la d iferenc ferenc ia entre un em piri pirism o ordena d o y e l de sarroll arrollo o d el entend im iento m ás fund fun d am ental del c omp ortam ortam iento d el suel suelo. o. Se nec esi esitan va rios pa rám etros d el suelo suelo p ara imp lementa r la la teo ría d e c onsoli onsolid d ac ión, estos son normalmente obtenidos de un programa de caracterización del sitio, inc luyendo ensayo ensayo s d e c onsoli onsolid d ac ión e n el labo rato rio, y po r co nsi nsiguiente están están sujeto ujeto s a muchas fuentes de error (i.e. ¿son las muestras realmente representativas?, ¿cuáles

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Ing enierí eniería Ge oté c nica

Pa tricia tricia d e Ha sbun

son los efectos de la alteración del suelo?), por consiguiente sus respuestas no son exac tas. tas. Sin em ba rgo , la va lide lide z de esta esta te oría oría ha sid o c onfir onfirm ad a, y es la b ase ase p ara e l c álc ulo ulo d e c asi asi toda s las relac iones asentam asentam iento-tiem ento-tiem po .

Suposiciones. La teoría de la consolidación está basada en ciertas suposiciones que simplifican lo q ue se se refiere refiere al estrato estrato c om p resible: esible: 1. El suelo es homogéneo (C c / (1+e 0), C /r (1+e 0) y k son constantes a lo largo del estrato. 2. El sue sue lo e stá sa tura tu rad d o ((S S = 100%). 100%). 3. El asentam asentam iento e s d eb id o única m ente a los c am bios en la relac ión d e va c íos, os, y estos cambios ocurren sólo cuando un poco de la presión de poros es extraída de los vacíos (i.e. las partículas sólidas individuales y el agua son incompresibles), 4. La ley d e Da rc y es válid válid a. 5. La c arga ap lic lic ad a c ausa ausa un inc inc rem ento instantá instantá neo e n el esfuer esfuerz zo vertic vertic al total, Δσz. Después, el esfuerzo vertical total, σz, en todos los puntos permanece c onstante onstante c on el ti tiem po . 6. Inmediatamente después del cargado, el exceso de la presión de poros, u e , e s constante con la profundidad, e igual a Δσz. Esto es generalmente cierto c uando la c arga es deb ida a un rel rellleno am plio, plio, pero pero no c uando e n deb ida a un área área p equeña c argada , tal c omo una funda funda c ión. 7. El fluj flujo o d e a gua es en una sola d irec c ión (i.e. (i.e. en la d irec c ión d e la c om presi presión). 8. El proc eso eso d e c onsoli onsolid d a c ión es unidime nsional, nsional, c om o ya se d isc isc utió an tes. tes.

C onsoli onsolida da c ión unidime unidime nsi nsiona l. La teo ría d e Terzag erzag hi sup sup one q ue el exce so d e la p resión resión d e p oros fluye fluye sólo verticalmente, hacia arriba o abajo, y la consolidación ocurre únicamente en la dirección vertical. En otras palabras, no hay drenaje horizontal y no existe deformación horiz horizontal. Es Esta c ond ic ión en llama d a, c onsoli onsolid d ac ión unid unid imensional imensional y y se muestra en la figura 8.1 8.1.. Uno de los parámetros más importantes en el análisis de la consolidación unidimensional es la longitud de la trayectoria de drenaje más larga, H d r . Esta e s la distancia más larga que alguna molécula de agua de la presión de poro en exceso tendría que viajar para salir fuera del suelo consolidado. Existen dos posibilidades, ver figura 8.2 8.2..





Si el estr estrato ato po r encima y p or de ba jo d el suelo suelo c onsoli onsolid d ánd ose ose e s m uc ho m ás pe rm ea ble, entonc entonc es el ag ua d e la p resi esión d e p oro en exce so d renaría enaría hac ia arri arriba y ab ajo. Es Esta c ond ic ión es c onoc ida c om o doble drenaje y H d r es igual a la m itad de l espe espe sor del e strato trato c onsoli onsolid d ánd ose. ose. Si el estr estrato ato po r deb ajo es m enos pe rme able, tal c omo un lec lec ho d e roc a, entonc es tod a el agua d e la p resi esión d e p oro en exceso exceso tend ría que viajar viajar hac hac ia arriba, esta condición es conocida como drenaje sencillo . En En e ste c a so, H d r e s igual a l esp esp esor esor d el estrato estrato c onsoli onsolid d á nd ose. ose. 8-2

Inge niería Geo téc nic a.

8. Com po rta miento tiempo -deforma c ión. Consolida ción unidime nsional

(a) Co nsolid ac ión.

(b) Drena je.

Figura 8.1. Con so lid a c ión unid imen siona l tiene la s siguient es ca ra c terístic a s: a) El asentam iento por c onsolida ción se a sume que oc urre única mente en la d irec c ión v ertical, b) e l agua de la presión d e p oro en exc eso se a sume q ue esc ap a solamente fluyendo ve rtica lmente. Tom a do d e Cod uto, Donald, Geo tec hnica l Eng inee ring , p . 425.

En ambos casos, H d r , es medido en una línea recta, incluso aunque la trayectoria real de flujo sea una ruta más larga que pasa alrededor de las partículas de suelo. Esto lo hac em os pa ra ser co nsistentes c on la d efinic ión d e la ley d e Da rc y.

Figura 8.2. Cálc ulo de la longitud m á s larga d e trayec toria d e d renaje, H d r, para p rob lema s de c onsolid a c ión unidimen sional. Tom a do d e Co duto , Dona ld , Geote c hnic al Enginee ring, p. 425.

El valor de H d r , tiene un e fec to signific ativo en el tiem po req uerido pa ra c om pletar el proceso de consolidación. En igualdad de condiciones, el tiempo es proporcional a H d r 2 . Así, si un estrato d e 6m d e e sp esor req uiere 10 año s p a ra c onsolida rse to ta lme nte , un estrato de 12m del mismo suelo (doble espesor) requeriría 40 años (4 veces más de tiempo).

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Ing eniería Ge oté c nica

Pa tricia d e Ha sbun

D e r iv a c ió n d e la e c u a c i ó n d e la c o n so lid a c i ó n u n id i m e n sio n a l. Estud iar ap arta d o 6.10 d el libro Fund a me nto s d e Ingeniería G eo té c nica , Braja Da s. Como ya se había discutido en el capítulo 7, el aplicar un esfuerzo total adicional Δσz sob re el terreno ind uc e un p resión de p oros en exc eso, u e . Inmediatamente después de la aplicación de esta carga, la cual se asume que ocurre instantáneamente, u e , es constante con la profundidad (suposición 6). La tasa de consolidación depende de la d isipa c ión d e e sta presión d e p oro en e xc eso y d e la c orrespo nd iente transferenc ia de e sfue rzos a la s p a rtíc ula s sólid a s. La figura 8.3a muestra un estrato de arcilla de espesor H d r loc alizad a entre d os estrato s d e a rena alta m ente p erme a bles. Si el estrato d e a rc illa s es som etid o a una p resión creciente Δσ, la p resión d e p oro de l ag ua e n c ualquier punto A e n el estrato d e a rc illa aumentará. Para consolidación unidimensional, el agua será expulsada en dirección vertic al ha c ia los estrato s d e a rena .

Figura 8.3 (a) Estra to d e a rcilla som etido a c onsolid a c ión. (b) Flujo d e a gua en A d uran te la c onsolid a c ión . Tom a do d e Da s, Bra ja , Funda me ntos d e Ing eniería Geo téc nica , p. 175.

La figura 8.3b m uestra el flujo d e a gua a travé s d e un eleme nto p rism átic o e n A. Para el elem ento d e suelo mo strad o:

velocidad de salida del agua   velocidad de entrada del agua   velocidad del cambio de volumen  Sustituyend o en esta expresión las veloc ida d es y ap lic and o la s sup osicione s a nteriores, resulta la siguiente ec uac ión: k  ue 2



 w  z 2

8-4



e 1  e0 t 1

(8.1)



C o e fic ie n t e s q u e d e te rm in a n la v e l o c i d a d d e c o n so lid a c i ó n .



C o e f ic i e n t e d e c o m p re sib ilid a d , a v .

Este coeficiente se considera constante para un rango estrecho de incremento de la presión. Representa la pendiente de la curva de compresibilidad, graficada en escala natural. av 

e e   ' ue

(8.2)

Donde: ∂(∆σ’)

: ca m bio en la p resión efec tiva.

El coeficiente de compresibilidad, a v , depende de la presión actuante, no es una constante y mide la razón de la variación de la relación de vacíos con la presión. Un valor alto de a v es característico de un suelo muy compresible, mientras que los suelos no susc ep tibles a grand es c am bios d e v olume n p resenta n va lores ba jos d e a v . Como el cambio en la relación de vacíos es causado por el incremento en el esfuerzo efec tivo (i.e. el d ec rem ento e n la p resión d e p oro en e xc eso). Sustituyend o la ec ua c ión 8.2 ( ∂e = -av ∂u) en la ec uac ión 8.1, la ec uac ión d iferenc ial del proc eso d e c onsolid ac ión unid ime nsiona l c on flujo ve rtic al es entonc es:

ue k (1  e0 )  2ue  t av  w  z 2

(8.3)

Esta ec uac ión e stab lec e una relac ión e ntre la p resión e n exc eso d e la hidrostátic a , u e , la p rofund id ad , z, y el tiem po , t.



C o e f ic i e n t e d e v a ria c i ó n v o lu m é t ric a , m v .

Este c oe fic iente rep resenta físic am ente la c om presibilid ad d el suelo, relac ioná ndola a su volumen inic ial, y está d ad a p or la ec uac ión: mv 

av

1  e0

(8.4)

Al sustituir la ec uac ión 8.4 en la ec uac ión 8.3, se ob tiene la va riac ión d e la presión d e po ro e n exceso c on el tiem po , en función d el coe fic iente d e va riac ión volumétric a: 2 k  ue ue k (1  e0 )  2ue   av  w  z 2 mv  w  z 2 t

8-5

(8.5)





C o e f ic i e n t e d e c o n so lid a c ió n , c v .

El coeficiente c v es llamado el coeficiente de consolidación pues contiene las propieda d es del m aterial q ue g ob iernan el proc eso d e c onsolid ac ión, este c oefic iente está d ad o p or la e c ua c ión 8.6. Si se realiza un a nálisis d im ensional de d icha ec ua c ión, se observará que c v tiene d im ensiones d e L2T-1 o m 2 / s. cv 

k mv  w



k 1  e0  av  w

(8.6)

Sustituye nd o c v en la ec uac ión 8.5, se ob tiene:

ue  2u e  cv 2 t  z

(8.7)

La ec uac ión 8.7 es la e c uac ión d e Terzag hi para la c onsolid ac ión unidime nsiona l. Podría también ser escrita de igual manera en tres dimensiones, pero la mayoría de las vec es en la prác tic a d e la inge niería se a sume que la c onsolid ac ión e s unid ime nsional. Básic am ente, la e c uac ión e s una forma de la e c uac ión d e la d ifusión d e la Físic a Matemática. Muchos fenómenos de difusión física se describen por medio de esta ec uac ión, por ejemp lo, el flujo d e c alor en un cue rpo sólid o. La “ c onstante d e d ifusión” para el suelo es c v . Note q ue llam am os a c v una constante. Realmente no lo es, pero debemos asumir que lo es, esto es, que k, a v , y e 0 son constantes para hacer que la ec uac ión sea linea l y de fá c il solución.

So lu c i ó n d e la e c u a c i ó n d e la c o n so lid a c i ó n u n id im e n sio n a l. La solución de la ecuación 8.7 requiere el establecimiento de dos condiciones de contorno o borde para “z ” y una condición inicial para u e . Para la condición de d rena je sim ple c on z t igua l a la p rofund id ad a la pa rte supe rior del estrato c om presible, y H igua l al esp esor de l estrato c om presible, tend ríam os lo siguient e: 1. Para z = z t , u e = 0 para t = 0 (la presión de poro en exceso es cero en la parte sup erior d el estrato c om p resible). Esto p a rec ería ser una v iolac ión d e la sup osic ión 6, y más correctamente describe las condiciones inmediatamente después de t=0. Esta d isipa c ión inic ial d e la presión d e po ro en exce so e stab lec e un grad iente hidráulico que permita que el proceso continúe. 2. Para z = z t + H, i = du e / d z = 0 (el gradiente hidráulico es cero en el fondo del estrato compresible). Esto es porque consideramos la condición de drenaje sen c illo. 3. Para t = 0, u e = Δσz (inmediatamente después de colocar la carga, el esfuerzo vertic al ap lic ad o e s llevado c om pletame nte po r la p resión d e p oro en exceso, es igual al cambio en el esfuerzo total, Δσz, y es constante con la profundidad). Esto es una reafirm ac ión d e la sup osición 6. Para el caso de drenaje doble, añada simplemente al modelo de drenaje la imagen d el espe jo a la m itad inferior de l estrato c om presible. 8-6



Una solución analítica basada en estas condiciones de contorno produce la siguiente fórmula de serie infinita para e u a cualquier punto en un estrato compresible (Means y Pa rc he r, 1963):  ( 2 N 1)     4 ( 2 N  1) zdr 4   ue   z   sen  e 2 H dr  N  0  ( 2 N  1)   

2

 2



T v 



   

(8.8)

El pa rám etro T v es c onoc ido c omo el fa c tor tie m po : T v 

cvt 2

H dr

(8.9)

Donde. u e : presión de poro en exceso. Δσz : c am bio e n los esfuerzos totale s d eb id os a la ap lic ac ión d e c arga (relleno). zd r : distanc ia vertic al d esde el punto m ás c erc ano a la frontera de d renaje. Hd r : distanc ia m ás larga d e la trayec toria d e d renaje. e : log a ritm o b a se na tural = 2.7183. c v : coe fic iente d e c onsolid ac ión. t : tiem po de sd e q ue se a plic a la c arga. Tv : fac tor tiem po . El término se n en la ecuación 8.8 debe estar en radianes. La sumatoria tiene un valor de 1 para t = 0, y un valor de cero para t = ∞, lo que significa que u e tiene un valor inicial igual a Δσz y al final un valor igua l a c ero. Ca da incremento d e N en la ec uac ión 8.8 prod uc e un peq ueño c am bio progresivo en la suma toria. De e ste m od o, la suma toria sólo nec esita c ontinuar hasta que los c am bios incrementales sean despreciables. Frecuentemente esto ocurre para un valor de N m eno r q ue 10, a unq ue a lguna s vec es son ne c esa rios m á s inc reme ntos.

A p lic a c i ó n d e la e c u a c i ó n d e c o n so lid a c ió n u n id im e n sio n a l. La ecuación 8.8 describe la presión de poro en exceso, u e , producida en un suelo sujeto a un incremento instantáneo en los esfuerzos totales, Δσz. Inmediatamente d espués que la c arga es ap lic ad a, u e = Δσ z, entonc es u e d isminuye g rad ualme nte c on el tiempo, y eventualmente se vuelve igual a cero. Al final de este proceso, el agua subterránea regresaría a su condición hidrostática. El tiempo requerido para este proc eso y la ap lic ab ilid ad d e esta ec uac ión pa ra prob lemas prác tic os de pe nde de m uc hos fac tores, inc luyend o el tipo d e suelo.

8-7



A rc illas y lim os. La presión de poro en exceso es disipada solamente cuando fluye algo de la presión d e p oro d esd e la zona d el suelo q ue e stá siend o c a rg a d a . La s a rc illa s y los lim os tienen una baja permeabilidad, k, así que el agua fluye muy lentamente a través de estos suelos, y se requiere un tiempo muy largo para regresar a la condición hidrostática. La teoría de la consolidación refleja esto a través del uso de un coeficiente de consolidación bajo, c v . Usando estos valores de c v b a jos en las ec ua c ione s 8.8 y 8.9 se demuestra que años o aún décadas serian requeridas para disipar completamente la presión d e p oro en e xc eso y reg resar a la c ond ic ión hidrostátic a. Nuestra suposición que la carga es aplicada instantáneamente no está demasiado lejana de la realidad, porque la duración de la construcción es probablemente muy c orta c om pa rad a c on el tiem po req uerid o p ara d isipa r la p resión d e p oro e n exc eso. Por ta nto , los a ná lisis d esc rito s en este c a pítulo so n a p lic a ble s a esto s suelo s. Usa ríam os estos métodos para calcular la disipación de la presión de poro en exceso y así desarrollar curvas de consolidación asentamiento vrs. tiempo.

A re n a s y g ra v a s. La permeabilidad, k, de las arenas y las gravas es mucho mayor que la de las arcillas y lim os, así su c om po rtam iento tiem po -d eformac ión es c orrespo ndientem ente d iferente. La permeabilidad en las arenas es comúnmente de alrededor 1,000,000 de veces mayor que la de las arcillas, y de acuerdo a la ecuación 8.6, c v es p rop orc iona l a k. Si c oloca m os este valor alto d e c v en las ecuaciones 8.8 y 8.9 parece claramente que el exceso de la presión de poro se disipa rápidamente, quizás en unos pocos minutos o m eno s. Esta es m ucho m ás ráp id a que la ta sa d e c onstruc c ión, así el asentam iento po r c onsolida c ión oc urre virtualmente ta n ráp ido c om o la c arga es ap lic ad a. Por consiguiente, no es necesario conducir análisis de tasa de consolidación en suelos a renosos y gravo sos. Sim plem ente p od em os c alc ular el asenta m iento últim o p or consolidación, ( δc ) últ , usando los métodos descritos en el capítulo 7 y suponiendo que este oc urre tan ráp ida m ente co mo la c arga es ap lic ad a. El uso d e la s ec ua c iones 8.8 y 8.9 pod ría ser ted ioso si se h ac e a m a no, p ero m uy fá c il si se utiliza una c om puta d ora. Cuand o una c omp utad ora no e stá d ispo nible, la p resión d e p oro en exc eso tam bién puede ser calculada usando la figura 8.4, que presenta curvas de u e /Δσz pa ra varios valores d e Tv . Estas fueron d esarrollad as d e la e c uac ión 8.8. Note c om o e l proc eso d e consolidación (i.e. la disipación de la presión de poro en exceso) ocurre muy ráp id am ente en la p arte supe rior e inferior po rque la p resión d e p oro en e xc eso d rena m ás ráp id am ente allí. Sin em ba rgo , el proc eso e s m uc ho m ás lento en e l ce ntro p orque este está m ás alejad o d e las fronteras de d rena je.

8-8



Figura 8.4. u e /Δσz p ara va rios va lores d e Tv c on d re n a je d o b le . Pa ra el ca so d e d renaje senc illo, use solame nte la mitad supe rior de este d iagrama . Tom ad o d e Co duto , Donald , Geotec hnica l Engineering, p. 432.

8.3 C á lculos de a se ntam ientos por consolida c ión vrs. tiem po . Ahora que tenem os la ec uac ión 8.8 y som os c ap ac es d e c alc ular la presión d e p oro en exceso como una función de la profundidad y el tiempo, también podemos calcular los asentamientos por consolidación, δc , como una función del tiempo, t, desde que se aplica la carga. Graficar por anticipado los asentamientos vrs. tiempo es muy valioso para los ingenieros geotécnicos porque ello nos ayuda a tener un plan apropiado de medidas de mitigación. Por ejemplo, si el peso de un relleno propuesto producirá una c ierta ca ntid ad d e asentam iento, pe ro d ic ho asentam iento fuera prác tic am ente c om pletad o a ntes d el inic io d e la c onstrucc ión d e c ualquier edific io, el imp ac to sob re este e d ificio sería m ínim o. Sin em b a rg o, si el a senta m iento c ontinúa p a r m uc hos a ños después de la construcción del edificio, entonces podría ser necesario proveer algún tipo d e funda c ión d iferente o alguna otra m edida pa ra evitar da ños en el edific io. Para calcular el asentamiento por consolidación, δc , a un tiempo particular, nec esitam os c onoc er el esfuerzo ve rtic al e fec tivo, σ’ z. Al inic io d e la c onsolid ac ión (t=0, δc = 0), σ’ z = σ’ z0; al final de la consolidación (t = ∞, δc = (δc ) últ ), σ’ z = σ’ zf. Entre estos tiempos, σ’ z pued e ser ca lc ulad o usand o la siguiente ec uac ión:

 ' z   ' zf  ue

(8.10)

Donde: σ’ z : esfuerzo vertic al efec tivo a c ualquier tiem po d el proce so d e c onsolid ac ión. σ’ zf : esfuerzo v ertic al e fec tivo al final d e la c onsolid ac ión.

u e : presión de po ro en e xc eso.

8-9



El esfuerzo vertical efectivo, σ’ z, varía con la profundidad, así deberíamos calcular el asentamiento a un tiempo “ t” usando las siguientes versiones revisadas de las ec uac ione s utilizad as pa ra e l cá lculo de l asentam iento últim o p or co nsolid ac ión: Pa ra suelos norma lmen te c onsolid a d os ( σ’ z0 = σ’ c ):

 c 

C c

1 e

  ' z   '   z 0 

H log

0

(8.11)

Para suelos preconsolidados – caso I ( σ’ z0 < σ’ z < σ’ c ):

 c 

C r

 1 e

  ' z   '   z 0 

H log

0

(8.12)

Pa ra suelo s p rec on solida d os – c a so II ( σ’ z0 < σ’ c < σ’ z):

 c 

 C r

  'c  C c   '     H log z     z 0  1  e0   'c  

  1  e H log  ' 

0

(8.13)

Donde: δc

Cc Cr e0 σ’ z0 σ’ z σ’ c H

: asentam iento p or consolid ac ión al tiem po t. : índ ic e d e c om presión. : índ ic e d e rec om presión. : relac ión de v a c íos inic ial. : esfuerzo e fec tivo vertica l inicial. : esfuerzo efec tivo ve rtic al a l tiem po t. : esfuerzo de preconsolidación. : esp esor d el estrato d e suelo .

Las ecuaciones 8.11 a 8.13 necesitan ser seleccionadas cuidadosamente, porque la selecc ión a de c uad a pued e va riar co n am bos, la profundidad y el tiem po. Por ejemp lo, para un punto dado el suelo puede ser preconsolidado caso I durante las etapas tem pranas d e c onsolida c ión, y entonce s c am biar a p rec onsolida do c aso II c uando σ’ z alcance a σ’ c . Esto ta m bién a yuda a d efinir un nuevo p arám etro, el g ra d o d e c o n so lid a c i ó n , U, que es el porcentaje del asentamiento último por consolidación que ha ocurrido a un cierto tiem po de spués d e c argad o el suelo: U  Donde: U δc (δc )últ

 c ( c )últ

x 100%

: grad o d e c onsolida c ión (en po rc entaje). : asentam iento p or consolid ac ión. : asentam iento últim o p or co nsolid ac ión. 8-10

(8.14)



Es necesario considerar dos caminos para desarrollar curvas asentamiento-tiempo: una que explícitamente considera la disipación de la presión de poro pero requiere una c om putad ora, y otro métod o simp lific ad o q ue pue de ser resuelto m anualmente.

Solución sim plific a da . Esta solución introduce una suposición adicional para simplificar la solución: para el propósito d el c álculo de la d isipa c ión d e u e , se asume que la deformación vertical, εz, d eb id a a la c onsolid ac ión e n el estrato c om presible e s prop orcional al esfuerzo ve rtic al efectivo, σ’ z. En otras palabras, la curva esfuerzo-deformación es lineal. Esto no es tot a lme nte c ierto, su relac ión es log a rítmic a c om o ya se d isc utió en el c a pítulo 7. Sin embargo, esta suposición simplifica los cálculos de un manera significativa porque la deformación vertical se hace proporcional al descenso en la presión de poro en exceso ( εz ∞ -u e ). Así, un cierto descenso en u e a una profundidad en un estrato compresible produce la misma deformación equivalente a un descenso de u e a otra profundidad. La suposición puede ser confusa ya que esta se aplica sólo al cálculo de la tasa de asentamiento. El valor de (δc )últ permane c e sin c am bios, y está to da vía ba sad o en las ecuaciones no lineales vistas en el capítulo 7. La única diferencia en los resultados obtenidos de este método simplificado y de la solución más precisa basada en un programa de c álculo es la forma d e la c urva a sentam iento-tiem po . Con esta nueva suposición de simplificación, U se hace igual a la mitad del área de cada curva T v indicada en la figura 8.4. Por consiguiente, podemos desarrollar una relación única entre U y T v , como se muestra en la figura 8.5. Esta relación también pue d e ser rep resenta d a p or la siguiente ec uac ión ajustad a (a d ap ta d a d e Terzag hi, 1943):

Figura 8.5. La línea sólida es la fun c ión d e U vrs. T v p ara el an álisis simp lifica d o d e la c onsolid a c ión unidime nsional. El área som b read a rep resenta el ra ngo d e va lores ob tenido s d e la soluc ión c om pu tarizad a m á s prec isa . Tom ad o de C od uto , Donald , Geo tec hnica l Engineering , p . 442.

8-11



Para Tv ≤ 0.217 (U ≤ 52.6%): U 

4T v 

x 100%

(8.15)

Para Tv > 0.217 (U > 52.6%):  0.085 T     0.933  U  1  10   x 100%   v

Donde: U Tv

(8.16)

: grad o d e c onsolid ac ión (%) : fac tor tiem po .

Las ec uac iones anteriores tam bién p ued en ser de spe jad as para Tv : Para Tv ≤ 0.217 (U ≤ 52.6%):

4  U %  T v      100 

2

(8.17)

Para Tv > 0.217 (U > 52.6%): T v  1.781  0.933 log100  U % 

(8.18)

La figura 8.5 tam bién m uestra el rang o d e va lores d e U vrs. T v ob tenidos d e una solución computacional más precisa. La diferencia entre estos dos métodos es a menudo pequeña, pero puede ser bastante significativa, especialmente durante los estados tem pranos d e c onsolid ac ión.

C o rre c c ió n p a ra e l p e río d o d e c o n stru c c ió n . En realidad, la mayoría de las cargas aplicadas a los suelos no ocurren instantá nea m ente. Estas usualmente son ap lic ad as durante el p roc eso d e c onstruc c ión que pue d e durar al m enos m eses o sem ana s. Por ejem plo, las c arga s d eb id as al peso d e nuevos relleno s son imp artid as tan ráp id am ente c om o el relleno es c onstruid o. Un método simple para calcular asentamientos durante y después del período de construcción es suponer la carga aplicada a una tasa uniforme, entonces ajustar el tiempo “t” en los c álc ulos de asentam iento, d e la siguiente form a: Para t ≤ t c : t adj 

8-12

t

2

(8.19)



Para t > t c : t adj  t  Donde: t t c t a dj

t c

2

(8.20)

: tiem po d esd e el inic io d e la c onstruc c ión : durac ión d el períod o d e c onstruc c ión (i.e. tiem po hasta el final de la construcción). : tiempo ajustado.

Entonc es, ejec ute el c álc ulo d e la ta sa d e a senta m iento usand o t a d j y el valor d e H relleno presente al tiempo t . Por ejemplo, si un relleno de espesor 6 m será colocado a una tasa uniforme para un período de 30 días, podríamos calcular el asentamiento a un t =20 días usando t a d j = 20/ 2 = 10 días y H relleno = 6m (20/30) = 4m (i.e. la cantidad de relleno presente a t = 20 días).

8.4 El coe ficiente de c onsolida c ión, c v . La teo ría d e Terzag hi agrupa tod as las prop ied ad es d el suelo (ad em ás d e la d istanc ia de drenaje) en un solo parámetro, el coeficiente de consolidación, c v . De todos los pa rám etros de esta e cua c ión, la p erme ab ilida d, k , es la q ue va ría m ás am pliam ente, y po r tanto es el fac tor m ás im po rtante . Por esta razón, c v , es m uy pe que ño e n las arc illas y m uy grand e e n las arena s. Así, nec esitam os tener alguna form a de m ed ir c v , antes d e q ue p od am os de sarrollar un análisis asentamiento-tiempo. Un método para hacerlo sería evaluar cada uno de los pa rám etros de la ec uac ión 8.6 y calc ular c v , pe ro e sto ra ra s ve c es se ha c e. En luga r d e ello, los ingenieros usualmente miden la tasa de consolidación en un ensayo de consolidación en el laboratorio y calculan c v por la ejecución de un análisis asentam iento-tiem po hac ia atrás. Deb id o a que H d r en el labo ratorio e s m uy peq ueña, la tasa de consolidación es mucho más rápida que la de campo, pero c v sería en teoría, igual q ue el valor en c am po . En principio, esta sería una manera simple de obtener c v a partir de datos de laboratorio asentamiento-tiempo. Las condiciones de esfuerzos en la muestra del lab oratorio son t ales que la relac ión U vrs. Tv son exac tam ente las mo strad as en la línea g ruesa (soluc ión sim plific a d a ) d e la figura 8.5 y e n las ec ua c iones 8.15 y 8.16. Por consiguiente, podríamos esperar que una simple selección del punto apropiado de la curva de laboratorio asentamiento-tiempo, establecería los valores correspondientes d e U , t y T v , y usaríam os la e c uac ión 8.9 y c alc ular c v . En la p rác tic a, esta lab or es lige ram ente m ás c om plic ad a po rque el co mp ortam iento asenta m iento-tiem po es leveme nte d iferente que el de c am po . Por esta razón, esto e s necesario desarrollar métodos especiales con curvas apropiadas para interpretar los datos de laboratorio. Uno de ellos es el m é t o d o d e l a r a í z c u a d r a d a d e l t i e m p o d esa rrollad o p or Tay lor (1948), el q ue se d esc ribe a c ontinua c ión:

8-13



1. Grafique la deformación del suelo vrs. la raíz cuadrada del tiempo, como se m uestra e n la figura 8.6. 2. La porción inicial de la curva debería ser medianamente recta. Extrapole hac ia a trás pa ra t  0. Ub ique a sí el p unto A. 3. Com enzand o d esd e el punto A, dibuje una línea que interc ep te en el eje d e la s a b sc isa s a 1.15 t . 4. El punto d onde la línea d ibujada en el numeral 3 interc ep ta la c urva del laboratorio (denominado punto B en la figura 8.6), representa el 90% del t 90 c orrespo nd iente a U=90 % .

grad o d e c onsolida c ión. Lea el tiem po

5. Usand o la ec uac ión 8.9, T v = 0.848 (el va lor teó ric o p a ra U = 90%), t = t 90 y H d r = a la mitad de la altura de la muestra (las muestras del laboratorio tienen d oble drenaje), c alcule c v : 2

cv 

0.848 H dr t 90

Figura 8.6. Méto do de Taylor de la raíz cua d rad a d el tiemp o p a rca ca lc ular c v a través de da tos de labo rato rio ob tenidos d e un ensayo de co nsolid ac ión. Tom ad o d e Co duto , Dona ld , Ge ot ec hnica l Engineering, p . 449.

8-14



Casagrande presentó otro método usado comúnmente para calcula c v a través de datos de laboratorio (Holtz y Kovacs, 1981), llamado m é t o d o d e l lo g a ritm o d e l tie m p o . El proc ed im iento p ara c alcular c v es el siguiente: 1. Dibujar un gráfic o d eforma c ión vrs. log tiem po . 2. Extienda las porciones de la línea recta de las consolidaciones primaria y secundaria hasta que se intersecten en A. La ordenada de A representada por d 10 0 ind ic a la d eforma c ión final del 100% d e la c onsolid ac ión p rima ria. 3. La porción curva inicial de la gráfica vrs. log t es aproximada a una parábola sob re la esc ala natural. Selec c ione tiem po s t 1 y t 2 sobre la porción curva tal que t 2 = 4 t 1 . Haga la diferencia de las deformaciones del espécimen durante el tiempo t 2 – t 1 igual a x . 4. Dibuje una línea horizontal DE tal que la distancia vertical DB sea igual a x. La d eforma c ión a la línea DE es d 0 (i.e. la de form ac ión p ara 0% d e c onsolid ac ión). 5. La ordenada del punto F sobre la curva de consolidación representa la deformación al 50% de consolidación primaria, d 5 0 , y su abscisa representa el tiempo correspondiente t 50 . 6. Para un grado de consolidación promedio del 50%, T v = 0.197, y utiliza nd o la ec uac ión 8.9 c alcular c v : 2

cv 

0.197 H dr t 50

Figura 8.7. Determinac ión de l 0% y d el 100% d e c onsolid ac ión prima ria en una c urva d e c onsolida ción po r el méto do d e Ca sa grande d el log aritmo d el tiempo p ara de terminar c v , a travé s d e d a tos de la borato rio o b tenido s de un ensayo de c onsolida ción. Tom ad o d e Juárez Ba d illo y Rico Rod rígu ez, Mec á nica d e Suelo s, To mo I, p . 279.

8-15



La mayoría de los ingenieros geotécnicos prefieren el método de la raíz cuadrada del tiem po po rque p erm ite que la siguiente c arga sea c oloc ad a ta n pronto sea alc anzad o el t 90, mientras que el métod o d el log aritmo de l tiem po req uiere d ejar la c arga hasta que se id entifique t 100. Dad o q ue los ensayo s d e c onsolid ac ión d e to d as form as son m uy lentos, gene ralme nte requieren d ías pa ra c om pleta rlos, esta d iferenc ia pue d e te ner un im pa c to signific ativo en el c osto d e la ejec uc ión d el ensayo . La figura 8.8 presenta una correlación aproximada entre c v y el límite líquido. Aún cuando este gráfico no es un substituto de la ejecución de ensayos de laboratorio, pue d e ser usad o p ara revisar la rac iona bilida d de los resultad os d e lab oratorio y p ara estim a c iones p relim inares. La ta b la 8.1 p resenta a lguno s va lores m ed id os. Note q ue ha y alguna discrepancia entre estas dos referencias.

Figura 8.8. Co rrela c ión a proxima da entre c v y el límite líquido. Los suelos normalmente c on solid ad os ina ltera do s ge neralment e se gra fic an a l c entro d e la zona som brea da , los suelos p reco nsolid ad os inalterad os en la p arte supe rior, y los suelos remold ea do s en la p arte inferior. (U.S. Nav y, 1982). Tom a do d e Co d uto , Do na ld, Geo te c hnic al Eng ineering, p. 450.

La ec uac ión d e c onsolid ac ión unidime nsional d e Terzag hi está ba sad a en q ue c v es una c onsta nte. Sin emb a rgo, en realida d v a ría c on los esfuerzos efe c tivos c om o se describe en la ecuación 8.6, donde c v está en función del coeficiente de compresibilidad a v (= ∂e/∂(Δσ´) que depende del cambio en la presión efectiv a . Este efecto podría ser visto calculando c v para cada uno de los diversos incrementos de carga del ensayo de consolidación. La figura 8.9 muestra valores medidos a diversos esfuerzos efectivos para varios suelos. Note el cambio repentino en c v p a ra e l e sfuerzo d e p rec onsolida c ión, lo cua l es explic ad o p or el c am bio d e pe ndiente en la g ráfic a e vrs σ’ z (la p end iente es C r a un lad o de la c arga d e prec onsolid ac ión, y C c al otro lad o). Por esta razón, los suelo s p rec onsolid a d os tiene n va lores d e c v de cinco a diez veces m ás grand es que aq uéllos suelos en c ond ic ión norma lm ente c onsolid ad a. 8-16



Ta b la 8.1. Valores me d ido s d e c v . (Ada p ta do d e Holtz y Kova c s, 1981). Tom a do d e Co d uto, Dona ld , Ge ote c hnica l Engineering , p . 450.

Figura 8.9. Co eficiente d e c onsolida c ión p ara v arios suelos c om o u na función d el esfuerzo efec tivo. (Terza ghi, Pec k y Me sri, 1996). Tom ad o de Co d uto, Dona ld , Geo tec hnica l Eng inee ring, p . 451.

8-17



Esto hace posible escribir una nueva versión de la ecuación 8.7 donde c v es variable, pero esta ecuación requeriría una solución numérica para calcular u e (i.e., no tendría una soluc ión d irec ta c om o la d e la e c uac ión 8.8 ). Sin em ba rgo , pod ría d esarrollarse software para calcularlo, aunque tales análisis son rara vez hechos en la práctica. En lugar de ello, simplemente evaluamos c v para un esfuerzo efectivo igual al σ’z en c am po , y c onsid eram os que é ste será c onstante .

8.5 Prec isión en la s pred icc ione s d e los ase ntam ien tos y la tasa de c onsolida c ión. Como cualquier otro análisis geotécnico, las predicciones de tasa de asentamiento e stá n sujeta s a m uc hos errores. En el c a so d e los asenta m iento s p or c onsolid a c ión las fuente s d e e rror son:  

    

Diferencias entre el perfil de suelo usado en el análisis y el perfil real de suelo, espe c ialmente la id entific ac ión a propiada del e strato roc oso. Diferencias entre las propiedades ingenieriles de las muestras de suelo y las propiedades promedio de los estratos que ellas representan (i.e., son ellas verda d erame nte rep resenta tiva s). La a lterac ión d e la s m uestras. Errores induc ido s d eb ido a las téc nica s d e e nsa yo e n el la b orato rio. Errores en la eva luac ión d e σc ’ . La supo sic ión que la c onsolid ac ión e n el c am po es unid im ensiona l (i.e., que no hay d eforma c ión horizontal). Diferenc ias entre la te oría d e la c onsolid ac ión d e Terzag hi y el com po rtam iento rea l de los suelos en e l ca m p o.

El índice de compresión, C c , y el índice de recompresión, C r, varían ampliamente dentro de un depósito de suelo, incluso en aquéllos que parecieran se medianamente uniformes. Kulhawy, Roth y Grigoriu (1991) reportaron coeficientes de variación en C c d el 26 al 52%. Esto signific a q ue va lores d e C c de una m uestra de suelo ob tenida al azar podrían tener un 30 a 56% de probabilidad de estar dentro del 20% del C c real del estrato . Esta inc erteza pue d e ser signific ativam ente red uc id a po r el ensayo d e m ás d e una muestra para cada estrato, pero esto todavía representa una fuente importante d e error en n uestro a ná lisis. Afortunadamente, los análisis de asentamiento consisten de la una suma del asentamiento de múltiples estratos, lo cual introduce un efecto promedio de las incertezas de los ensayos. Aún así, el error en las predicciones de asentamientos por consolidación son generalmente del orden del 25 al 50%, incluso cuando se sigue un proceso cuidadoso muestreado y ensayo. Los asentamientos por compresión sec und a ria son a ún m eno s p rec isos, tiene n errores d e a lred ed or d el orde n d el 75% (Fox 1995). Necesitamos considerar estos errores potenciales cuando fijamos valores de asentamientos admisibles, e incorporar un factor de seguridad apropiado en estos va lores a dm isibles. Estos m árge nes d e e rror ta m b ién rem arc a n la utilid a d d e m onitorea r los asentamientos reales en campo, puesto que comparándoles con los predichos, si fuera necesario, podría modificarse el diseño de acuerdo a los valores obtenidos en campo. 8-18



Una fuente de error especialmente importante en el cálculo de la tasa de asentamiento es la evaluación de nuestra longitud más larga de la trayectoria de drenaje, H d r . El tiem po req uerid o p ara a lc anzar la c onsolid ac ión tota l es prop orcional a 2 , así hasta pequeños errores en este valor pueden producir cambios significativos H dr en la ta sa d e c onsolid ac ión c alc ulad a. Este p rob lema pued e ser com pletam ente engañoso, porque un estrato de arcilla compresible que parecer ser homogéneo frec uent em ente c ontiene c a p a s a reno sa s horizonta les y de lga d a s. Si esta s c a p a s son c ontinuas, o m uy ce rc ana s, la p ermea bilid ad horizontal p ued e ser m ucho m ayor que la pe rm ea bilida d vertic al ( k x > > k y ). A c onsec uenc ia d e ello, la p resión d e p oro en exc eso ge nerad a en la arcilla p uede move rse ha c ia a rriba o d eb ajo hasta las c ap as d e a rena c erca nas, y esc ap ar a trav és d e e llas c om o se m uestra en la figura 8.10.

Figura 8.10 Efec to d e c ap a s horizonta les d elga da s d e a rena sob re la ta sa d e c onsolida c ión. Tom ad o d e Co duto , Dona ld, Geo tec hnica l Engineering, p. 452.

Por ejemp lo, co nsid ere un estrato d e a rc illa d e 8 m de espe sor c on d ob le d rena je. Si este contiene capas delgadas de arena continuas cada 2 m, entonces H d r es realmente 1/4 del valor aparente, y el tiempo requerido para la consolidación será (1/4)2 = 1/16 del valor calculado. Esto ilustra la importancia de la identificación de los pe que ños d etalles c uand o se lleva la b itác ora d e los sond eo s explorato rios. El método de análisis presentado en este capítulo también está basando en que el drenaje sólo ocurre verticalmente. Esta suposición pierde su validez cuando el área cargada es pequeña, tal como una fundación estructural. En tales casos, mucho del drenaje es horizontal, incluso si no existen capas delgadas de arena, y el asentamiento po r c onsolid ac ión es c orrespo ndientem ente m ás ráp id o. Otra fuente potencial de error ocurre en suelos que no están completamente sa turad os. Por ejem plo, a lguno s suelos orgá nic os tienen S < 100%, aún c ua nd o p ued a n estar localizados debajo del nivel freático. Las burbujas de agua en estos suelos se c om prime n ráp id am ente, ac elerand o así el proce so d e c onsolida c ión. Algunas veces es posible hacer predicciones de tasas de asentamiento de mediana precisión cuando cargas extensas son colocadas a sitios muy uniformes, con 8-19



prog ram as de ensayo y e xplorac ión e xtensos. En to d o c aso, las no uniform id ad es en la s condiciones del subsuelo de la mayoría de sitios, combinadas con las limitaciones económicas de la exploración y ensayos, introduce sustancialmente mayor error. Así, no e s inusual que la ta sa d e a sentam iento real sea la mitad d e la ta sa p red ic ha, o d os vec es la tasa predicha .

8.6 De termina ción de l coeficiente de pe rm e a bilida d a pa rtir de los da tos de la prueb a de consolida ción. El c oefic iente d e pe rme ab ilid ad “medio” que gobierna el flujo de agua durante el intervalo d e c om presión p ara un c ierto increme nto d e c arga, rep resentad o a travé s de una prueba de consolidación, puede calcularse a partir de la expresión 8.21 que resulta d e igua lar las ec ua c iones 8.6 y 8.9: k  mv  w cv

(8.21)

Donde: mv 

av

(1  e0 )

;

cv 

T v t

2 H dr

El coeficiente de variación volumétrica, m v , deberá ser calculado evaluando el c oefic iente d e c omp resibilid ad , a v ( = ∂e/∂(Δσ’), para el cambio de esfuerzo efectivo adecuado; y la determinación del coeficiente de consolidación, c v , se hace a través d el mé tod o d el logaritmo d el tiem po d e Ca sag rand e, por lo que: cv 

0.197 t 50

8-20

2 H dr

8. Comport. tiempo-def. Consolidación unidimensional

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