7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO
1. La Oficina de Planificación Familiar de la Municipalidad A desea determinar la proporción de familias con un ingreso familiar inferior a $ 200.000. En una muestra aleatoria de 90 familias 18 presentaron un ingreso familiar inferior a $ 200.000. 1.1) Estime con 98% de confianza confianza la proporción proporción de familias familias con un ingreso familiar inferior inferior a $ 200.000 en la Municipalidad A. 1.2) ¿Qué tamaño muestral se requiere para asegurar con una confianza del 95% que el error en la estimación de la proporción de familias con ingreso inferior a $200.000 no excederá de 0,05?
==
1.1) Solución: Sean: “Cantidad de de familias con un ingreso familiar inferior a $200.000 en Municipalidad A” “Proporción de familias con un ingreso familiar inferior a $200.000 en Municipalidad A”
Debido a que el problema habla de proporción, debemos utilizar la siguiente fórmula para determinar el intervalo confidencial:
Nota: El valor de
−− = ± − = , ; = ; = = , ; =, Con:
se calcula dividiendo la número de datos de la muestra que cumplen la característica que nos da el problema, en este caso, las familias con ingreso familiar inferior a $200.000, dividido por el tamaño de la muestra. Reemplazando, obtenemos:
,, =, ±, ,,∙,; , =, ,, =, ±, ,,∙, ,, =[,;,] [,;,] =,; ≤,; = =,; =, = −
Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:
Respuesta: El intervalo
tiene un 98% de contener a la proporción de familias con un ingreso familiar inferior a $ 200.000 en la Municipalidad A. 1.2) Solución: El ejercicio nos otorga los siguientes datos:
Ya que estamos tratando con proporciones, utilizamos la fórmula de error está dada por:
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7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Reemplazando:
, ≥, ,,∙, → √ √ ≥ ,, ,∙, →≥,≈
Respuesta: Para asegurar que el error en la estimación de la proporción de familias con ingreso inferior a $200.000, no exceda a 0,05, el tamaño de la muestra debe ser igual a 246, considerando una confianza del 95%.
2.- Se realizan estudios sobre la contaminación producida por descargas de aguas residuales, en cuerpos fluviales cordilleranos, para medir si estos cumplen con la norma establecida por el decreto 90/2000, que establece niveles de concentración conce ntración de Plomo de a lo más 0.02 mg/l. En una muestra aleatoria de tamaño 20, de volúmenes de agua de 50 ml. cada uno, obtenidas en días distintos, se encontró un nivel medio de concentración de plomo de 0,28 mg/l, con una desviación estándar de 0,01 mg/l. Bajo el supuesto de que las observaciones provienen de una población normal, estime el nivel medio de concentración de plomo en estas aguas, con una confianza del 90%. Analice los valores estimados en función de la norma. 2) Solución: Sea:
=
“Concentración de Plomo en cuerpos fluviales cordilleranos”
Del enunciado del ejercicio se desprenden los siguientes datos:
=20 ̅ =0,28 =0,01 1=0,90 ~ ; −− =̅ ± − ;− ∙ √ √ ,, =0,28±;; , ∙ 0,√ √ 202001 ; ;; , =1,7291 ,, =0,28±1,7291∙ 0,√ √ 202001 ,, = [,,;, ] [,,;, ] Se supone que:
Debido a que desconocemos la varianza de la distribución, utilizaremos la siguiente fórmula para obtener el intervalo de confianza:
Reemplazando:
Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:
Respuesta: El intervalo
tiene tiene un 90% de contener el nivel medio de concentración de plomo en las aguas residuales, en cuerpos fluviales cordilleranos.
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7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Reemplazando:
, ≥, ,,∙, → √ √ ≥ ,, ,∙, →≥,≈
Respuesta: Para asegurar que el error en la estimación de la proporción de familias con ingreso inferior a $200.000, no exceda a 0,05, el tamaño de la muestra debe ser igual a 246, considerando una confianza del 95%.
2.- Se realizan estudios sobre la contaminación producida por descargas de aguas residuales, en cuerpos fluviales cordilleranos, para medir si estos cumplen con la norma establecida por el decreto 90/2000, que establece niveles de concentración conce ntración de Plomo de a lo más 0.02 mg/l. En una muestra aleatoria de tamaño 20, de volúmenes de agua de 50 ml. cada uno, obtenidas en días distintos, se encontró un nivel medio de concentración de plomo de 0,28 mg/l, con una desviación estándar de 0,01 mg/l. Bajo el supuesto de que las observaciones provienen de una población normal, estime el nivel medio de concentración de plomo en estas aguas, con una confianza del 90%. Analice los valores estimados en función de la norma. 2) Solución: Sea:
=
“Concentración de Plomo en cuerpos fluviales cordilleranos”
Del enunciado del ejercicio se desprenden los siguientes datos:
=20 ̅ =0,28 =0,01 1=0,90 ~ ; −− =̅ ± − ;− ∙ √ √ ,, =0,28±;; , ∙ 0,√ √ 202001 ; ;; , =1,7291 ,, =0,28±1,7291∙ 0,√ √ 202001 ,, = [,,;, ] [,,;, ] Se supone que:
Debido a que desconocemos la varianza de la distribución, utilizaremos la siguiente fórmula para obtener el intervalo de confianza:
Reemplazando:
Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:
Respuesta: El intervalo
tiene tiene un 90% de contener el nivel medio de concentración de plomo en las aguas residuales, en cuerpos fluviales cordilleranos.
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3.3.- Se estáestudiando la du ración ración de ciertos proc esos pro ductiv os y se tom a una m uestra aleatoria, de tamaño 10. Se define como "Proceso Corto” cuando su duración es menor que 5 minu tos, los datos obtenidos, en en minu tos, fueron: 3
5
8
6
10
5,5
4
4,2
4,5
2
3.1) 3.1) Se pide estimar estimar por in tervalo de confianza del del 98% 98% la proporción de Procesos Cortos. 3.2) ¿Cuál deb ería ser el tam añ o de la m ues tra si l a pro po rc ión esti mad a dis mi nu yen en un 10% y utilizamos utilizamos u n 95% de confianza manteniendo manteniendo el mism o error probable antes de la modificación? 3.3) 3.3) Estimar la varianza varianza de dichos tiempo s con u n nivel de confianza del 99%. 99%.
3.1) Solución: Sea:
==
“Muestra del tiempo de duración de ciertos procesos productivos” “ Proporción Proporción con Procesos Cortos (duración menor a 5 minutos) ”
Debido a que el problema nos habla de proporción, debemos utilizar la siguiente fórmula para determinar el intervalo confidencial: confidencial:
−− = ± − = , ; = ; = = , ; =, ,, =, ±, ,,∙,; , =, ,, =, ±, ,,∙, ,, =[,;,] Con:
Reemplazando, obtenemos:
Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:
Respuesta: Este intervalo tiene un 98% de contener a la verdadera proporción de “Procesos cortos”
3.2) Solución: Lo primero que debemos hacer en este ítem es determinar una nueva variable, como se ve a continuación: " Proporción Proporción con Procesos Cortos disminuida en un 10%”
=
=, ∙ =, ∙ , =, = − ∙ = , ∙ ,,∙, =,∙ ,,∙, =,
En seguida, calculamos el error probable de p que se mantiene, con la siguiente fórmula:
Luego de esto, ya tenemos lo necesario para determinar el tamaño de la muestra, lo que se realiza despejando la fórmula que sigue:
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′ ′ , ∙ , , =− → ,=, → = ,,, =,≈ : =,; =, ; ′ =,; ′ =, ; , =, Respuesta: El tamaño de la muestra debe ser 8, si la proporción disminuye en un 10% y se mantiene
el error probable antes de la modificación, con un 95% de confianza. 3.3) Solución: Para empezar calculamos la varianza muestral, la que determina con la siguiente fórmula:
∑ , ∑ , = = =,
Debido a que el problema hace referencia a la varianza, el intervalo confidencial está dado de la siguiente forma:
()− = ;− , −; =; =,; =, ∗ , ∗ , ∗ , ∗ , ( ), = ; , , ; , = , , , ( ), =[,;,] [,;,] Con:
Reemplazando:
Respuesta: Existe un 99% de que el intervalo
contenga a la varianza poblacional
de los procesos productivos.
4.- En cualquier proceso de enlatado, el fabricante pierde dinero si las latas contienen más o menos de la cantidad que se especifica en la etiqueta. Por esta razón se vigila constantemente la cantidad de producto enlatado. Considere una compañía que produce un cemento de hule de secado rápido en latas de aluminio etiquetadas con un peso de 32 onzas. Se toma una muestra de 34 latas, las cuales se pesan, obteniendo un peso promedio de 31,18 onzas y una desviación estándar de 0,645 onzas. Considere que el peso de las latas se distribuye normal. 4.1) A un inspector de control de calidad le interesa probar si la varianza del peso de las latas es superior a 0,4 (onzas)2. Utilice una significación de 5%. 4.2) ¿Cuál debe ser el mínimo tamaño de muestra que se debe utilizar si se desea estimar el peso real promedio de las latas de cemento de hule? Se está dispuesto a cometer un error máximo de 0,2 onzas con una confianza del 95%. Sabiendo por estudios anteriores que la varianza del peso de las latas es 0,4096 (onzas)2 Página 128
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4.1) Solución: Sea:
= ~ ;
“Cantidad de cemento en una lata, en onzas”
Las hipótesis que nos interesan contrastar son:
Con:
=34 =0,645 =0,05 1 ;
;
;
HH:: σσ >0,=0,44 1 3 41 0 , 6 45 = → = 0,4 =34,3221 −; − = ; , =47,400 ={ | > −; − } → = | >47,400 á =,; =,; =,; =, =, == − √ , ≥− , ,√ → √ ≥ ,∙, , → ≥, ≈
Entonces, el estadístico de prueba es:
El Punto Crítico, se determina de la siguiente forma:
La Región Crítica:
Respuesta: Como
, no se rechaza la hipótesis nula, es decir, la varianza de la cantidad de cemento en una lata no es superior a 0,4 (onzas) 2 . 4.2) Solución: El problema nos otorga la siguiente información:
Debido a que estamos trabajando con el peso real promedio de las latas de cemento de hule, y que conocemos la varianza ( , la fórmula del error está dada por:
Reemplazando:
Respuesta: El mínimo tamaño de la muestra que se debe utilizar si se desea estimar el peso real
promedio de las latas de cemento de hule, es igual a 40.
5.- Se requiere que la resistencia a la ruptura de una fibra sea menos de 150 psi. Se sabe que la desviación estándar de la resistencia a la ruptura es 3 psi. En una muestra aleatoria de 25 trozos de fibra se obtiene una resistencia media a la ruptura de 148 psi y una desviación estándar de 2,8 psi.
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7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO
5.1) ¿Puede considerarse aceptable este tipo de fibra? Use α = 0, 05. 5.2) Determine el tamaño de la muestra necesario para estimar la resistencia media de este tipo de fibra con un nivel de confianza del 95% y un error de estimación de 0,5 psi.
= ~ (; =) =; =; =,; = ,; = HH:: μ=150 μ<150 = ̅ √ → = 148150 3√ 25 =3,33 − =, =1,645 ={ | <− } → = | <1,645 =, ; =, ; = == ∙ − √ , =, ∙ √ → √ = ,,∙ → =,≈
5.1) Solución: Sea:
“Resistencia a la ruptura de una fibra” Con:
Las hipótesis que nos interesan contrastar son:
Entonces, como conocemos la varianza, el estadístico de prueba es:
El Punto Crítico, se determina de la siguiente forma: La Región Crítica:
Respuesta: Debido a que
, hay suficiente información para rechazar la hipótesis nula, es decir, es aceptable este tipo de fibra, con un 5% de significación. 5.2) Solución: El ejercicio proporciona los siguientes datos:
Como consecuencia que estamos trabajando con la resistencia media de este tipo de fibra, y que conocemos la varianza ( , la fórmula del error está dada por:
Reemplazando:
Respuesta: El tamaño de la muestra necesario para estimar la resistencia media de este tipo de fibra
con un nivel de confianza del 95% y un error de estimación de 0,5 psi, es 139.
6.- El administrador de una flota de automóviles está probando dos marcas de neumáticos radiales. Instala un neumático de cada marca al azar en las ruedas traseras de 8 automóviles y los usa hasta que los neumáticos se desgastan. Los datos de la duración de los neumáticos, en kilómetros, se presentan a continuación:
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7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Automóvil Marca 1 Marca 2
1 2 36.925 45.300 34.318 42.280
3 4 36.240 32.100 35.500 31.950
5 6 37.210 48.360 38.015 47.800
7 8 38.200 33.500 37.810 33.215
=,
6.1) Basándose en la información presentada, rechazaría la hipótesis que las duraciones promedios de ambas marcas de neumáticos radiales son iguales, use . 6.2) Estime un nivel de confianza del 90%, la proporción de neumáticos de la Marca 1, que presentan una duración superior a 37.500 kilómetros. 6.1) Solución: Debido a que el problema nos pide probar que ambas marcas de neumáticos radiales poseen promedios iguales, o en su defecto diferentes, utilizaremos la siguiente notación: “Diferencia entre la distancia que dura la Marca 1 y la Marca 2 de neumáticos, en kilómetros”
=
Automóvil Marca 1 Marca 2 D
1 36.925 34.318 2.607
2 45.300 42.280 3.020
3 36.240 35.500 740
4 32.100 31.950 150
5 37.210 38.015 - 805
6 48.360 47.800 560
7 38.200 37.810 390
8 33.500 33.215 285
=8 =868 =1290,03 HH:: μμDD =0≠0 868003 =1,903 = ̅ √ → = 1290, √ 8 −; − =; , =2,3646 = | <−; − ó −; − < → = | <2,3646 ó 2,3646< =
Las hipótesis que nos interesan contrastar son:
Entonces, como desconocemos la varianza, el estadístico de prueba es:
El Punto Crítico, se determina de la siguiente forma:
La Región Crítica:
Respuesta: Debido a que
, no hay suficiente información para rechazar la hipótesis nula, es decir, las duraciones promedios de ambas marcas de neumáticos radiales son iguales, con un 5% de significación. 6.2) Solución: Sea: “Proporción de neumáticos de la Marca 1, que presentan una duración superior a 37.500 kilómetros”
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7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO
De la muestra que nos expone el ejercicio, podemos calcular el estimador , ya que tres de los ocho automóviles con los neumáticos de la Marca 1 superan los 37.500 kilómetros, lo que llevado a los números es .
/
Debido a que el problema nos pide proporción, debemos utilizar la siguiente fórmula para determinar el intervalo confidencial:
− = ±− =, ; = ; = =, ; =, , =,±, ,∙,; , =, , =,±, ,∙, , =[,;,] [,093;,656] Con:
Reemplazando, obtenemos:
Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:
Respuesta: El intervalo
tiene un 90% de contener la proporción de neumáticos de la Marca 1, que presentan una duración superior a 37.500 kilómetros.
En la manufactura de semiconductores, es común el uso de un proceso de grabado por remojo químico para eliminar el silicio de la parte posterior de las obleas antes de la metalización. La rapidez de grabado es una característica importante en este proceso y se sabe que es una variable aleatoria con distribución normal. Se compararon dos soluciones de grabado diferentes, usando dos muestras aleatorias de obleas, una para cada solución. La rapidez de grabado (milipulgadas/minuto), observada fue la siguiente: 7.-
Solución 1 Solución 2
9,9 9,4 9,3 9,6 10,2 10,6 10,3 10,0 10,3 10,1 10,2 10,6 10,7 10,4 10,5 10,0 10,2 10,7 10,4 10,3
7.1) Apoyan los datos la afirmación de que la rapidez media de grabados es la misma para ambas soluciones, use α = 0, 05 7.2) Estime con un nivel de confianza del 90% la rapidez media de grabado para la solución 1. 7.1) Solución: Sea:
==
“Rapidez de grabado de la Solución 1, en milipulgadas/minuto” “ Rapidez de grabado de la Solución 2, en milipulgadas/minuto”
Lo primero será determinar el tamaño de la muestra, la media y desviación estándar de ambas muestras:
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== =,=, =,=,
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En seguida, debemos contrastar las siguientes hipótesis, para determinar si estas muestras poseen varianzas poblacionales iguales o diferentes:
:: =≠ , = → = , =, −; −; − =;;, =, ={ | >;;,} → = | >4,026 ∈ :: =≠ +( ) = + = + ∙ , + ∙ , = + =, = ,,∙ , + =, = | >; − = + 2 ={ | >; ,} → = | >2,1009 ∈
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:
El punto crítico está dado por: La Región Crítica:
Resultado: Debido a que , no hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, las varianzas poblacionales de ambas soluciones son iguales. Continuando con el desarrollo del ejercicio, procedemos a contrastar las siguientes hipótesis:
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:
Reemplazando, obtenemos:
Finalmente, la Región Crítica:
Respuesta: Como
, en conclusión hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, la rapidez media de grabado no es la misma, con α = 0,05.
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7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO
7.2) Solución: Debido a que el problema nos pregunta por la media de grabado para la Solución 1, debemos utilizar la siguiente fórmula para determinar el intervalo confidencial:
− = ±−; − ∙ √ =,; = ; =, ; =, , =,±; , ∙ ,√ ; ;, =, , =,±; , ∙ ,√ , =[,;,] [,;,] Con:
Reemplazando, obtenemos:
Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:
Respuesta: El intervalo
para la solución 1.
tiene un 90% de contener la rapidez media de grabado
8.- La resistencia mínima especificada, transcurridos 28 días, de un hormigón para pavimento de 20 cm de espesor es de 250 kg/cm². En dosificaciones con materiales provenientes de la cantera A y B, las resistencias se distribuyen aproximadamente normal. Se realizan 16 ensayos con materiales de la cantera A y 32 ensayos de la cantera B, obteniendo al término del tiempo especificado, en pruebas de roturas a la compresión, las siguientes resistencias:
Resistencia Cantera A
200 - 218 2
218 - 236 4
236 - 254 5
254 - 272 4
272 - 290 1
Resistencias Cantera B 218 220 225 230 235 237 241 245 269 270 270 272 272 274 276 278 250 254 255 258 260 262 264 268 280 285 289 290 290 290 295 300 Ayuda:
∑ =; ∑ =
8.1) El ingeniero sospecha que la resistencia media de las dosificaciones proveniente de la cantera A está muy por debajo de la resistencia media de aquellas dosificaciones provenientes de la cantera B. ¿Qué concluiría usted respecto a la sospecha del Ingeniero, con α = 0,01? 8.2) Con nivel de significación del 2,5%, ¿Puede usted afirmar que las dosificaciones cuyo material proviene de la cantera B que está bajo la resistencia mínima especificada es de un 20%? 8.1) Solución: Sea:
Página 134
==
“ Resistencia de los Materiales provenientes de la cantera A ” “ Resistencia de los Materiales provenientes de la cantera B ”
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Lo primero será determinar el tamaño de la muestra, la media y desviación estándar de ambas muestras:
= ∑ = =, ∑ ∑ = ∑ = = =, :: =≠ , = → = , =, −; −; − =;;, ≈;;, =, ={ | >; ; ,} → = | >3,6865 ∈ :: =< + = + = +
[[ − ]] [[ ]] [[] ] = =, ; =,
Para A:
Para B:
En seguida, debemos contrastar las siguientes hipótesis, para determinar si estas muestras poseen varianzas poblacionales iguales o diferentes:
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:
El punto crítico está dado por:
La Región Crítica:
Resultado: Debido a que , no hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, las varianzas poblacionales de ambas muestras son iguales. Continuando con el desarrollo del ejercicio, procedemos a contrastar las siguientes hipótesis:
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:
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Reemplazando, obtenemos:
∙ , + ∙ , = =, + = ,,∙, + =, = | <; − = + 2=46 ={ | <; ,} → = | <2,4102 ∈ ̂ ̂=8/32 :: ≠0,=0,2200 = : = =,; = → = ,,,∙, =, =0,025 = | <− → ={ | <,} → = | <2,24
Finalmente, la Región Crítica:
Respuesta: Como
, en conclusión hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, se concluye que lo sospechado por el Ingeniero es real, o sea, la resistencia media de A está muy debajo de la resistencia media de B. 8.2) Solución: Sabemos que la resistencia mínima especificada es 250 kg/cm², por ende, podemos calcular el estimador , o sea, la proporción de la muestra de los materiales provenientes de la cantera B, que cumplen la condición de ser inferiores a la resistencia mínima especificada. Lo que llevándolo a números es igual a Las hipótesis a contrastar son:
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:
La Región Crítica (Con
):
Respuesta: Debido a que
, no hay suficiente información para rechazar la hipótesis nula, es decir, las dosificaciones que están bajo la resistencia mínima, en la cantera B, representan el 20%.
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La utilización de materiales sintéticos tales como nylon, poliéster y látex en la producción de telas, ha provocado debates acerca de la calidad y resistencia de estas fibras comparadas con las fibras naturales. Un fabricante de una nueva fibra sintética asegura que en promedio su producto (Y) posee una mayor resistencia a la tracción que las fibras naturales (X). Para tal efecto se seleccionan al azar 10 fibras sintéticas y 12 fibras naturales, a cada una de las cuales se les midió la resistencia a la tracción. Los resultados muestrales obtenidos se dan a continuación: 9.-
= ; = ; = ; = =,= =12 = =10 :: =≠ = → = = =,=, −; −; − ; ; , ={ | >; ; ,} → = | >3,9117 ∈ :: =< +( ) = + = + + ∙ =, = ∙+
¿Confirman estos datos lo asegurado por el fabricante? Fundamente adecuadamente su respuesta y use ? 9) Solución: Sean:
“Resistencia a la tracción de las fibras naturales, en Kg” ; “Resistencia a la tracción de la nueva fibra sintética, en Kg” ;
En seguida, debemos contrastar las siguientes hipótesis, para determinar si estas muestras poseen varianzas poblacionales iguales o diferentes:
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:
El punto crítico está dado por: La Región Crítica:
Resultado: Debido a que , no hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, las varianzas poblacionales de ambas soluciones son iguales. Continuando con el desarrollo del ejercicio, procedemos a contrastar las siguientes hipótesis:
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos la siguiente expresión:
Reemplazando, obtenemos:
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= , =, + ∙ =0, 0 5 = | <; − = + 2=20 ={ | <;,} → = | <1,7247 ∈
Finalmente, la Región Crítica (Con
Respuesta: Como
):
, en conclusión existe suficiente información para rechazar la hipótesis nula con un 10% de significación, es decir, podríamos concluir que el fabricante estaría en lo cierto, ya que la nueva fibra sintética posee mayor resistencia a la tracción que las fibras naturales.
10.- En una planta industrial se quiere determinar cuál de dos tipos de fuentes de energía, gas o electricidad, produce más energía útil a menor costo. Una medida de la producción económica de energía, llamada “inversión de planta por quad suministrado” , se calcula dividiendo la cantidad de dinero (en dólares) invertida por la planta en la fuente de energía en cuestión y la cantidad suministrada de energía (en quads, miles de billones de unidades térmicas británicas [BTU]). Cuanto menor sea este cuociente, menos pagará una planta industrial por la energía suministrada. Se seleccionaron muestras aleatorias de 11 plantas que utilizan electricidad y 16 plantas que utilizan gas y se calculó la inversión de la planta por quad para cada una. Los datos se presentan en la tabla: ELECTRICIDAD 14,15
9,57
7,76
9,28
8,60
17,13
16,66 10,14
9,18
GAS
15,05 18,22 12,50
9,72
5,35 8,46
7,78
4,38
10,11 8,45 7,91 11,03 10,70 9,40
9,67 9,21
15,3
12,1
Asumiendo normalidad en la inversión por quad suministrado 10.1) ¿Se podría afirmar que existe diferencia significativa entre los promedios de inversión de planta por quad suministrado para estos dos tipos de fuentes de energía, con un nivel de significación de 0,10? 10.2) Estime con una confianza del 99% la proporción de plantas de gas que invierten más de 10 [BTU]. 10.1) Solución: Sean:
== == =,=, =,=,
“Inversión de una planta eléctrica por quad suministrado” “Inversión de una planta a gas por quad suministrado”
Lo primero será determinar el tamaño de la muestra, la media y desviación estándar de cada muestra:
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En seguida, debemos contrastar las siguientes hipótesis, para determinar si estas muestras poseen varianzas poblacionales iguales o diferentes:
:: =≠ , = → = , =, −; −; − =; ; , =, ={ | >; ; ,} → = | >2,5437 ∈ :: =≠ +( ) = + = + + ∙, =, = ∙,+ = ,,∙, + =, =0, 1 0 = | <; − = + 2=25 ={ | <;,} → = | <1,7081 ∈
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:
El punto crítico está dado por: La Región Crítica:
Resultado: Debido a que , no hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, las varianzas poblacionales de ambas soluciones son iguales. Continuando con el desarrollo del ejercicio, tenemos que contrastar las siguientes hipótesis:
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos la siguiente expresión:
Reemplazando, obtenemos:
Finalmente, la Región Crítica (Con
Respuesta: Como
):
, en conclusión existe suficiente información para rechazar la hipótesis nula con un 10% de significación, es decir, se puede afirmar que existe una diferencia significativa en el promedio de inversión de planta por quad suministrado por estos dos tipos de energía.
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7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO
̂
10.2) Solución: Lo primero, será determinar el estimador , el que corresponde al número de plantas a gas que invierten más de 10 quad, en la muestra, dividido en el tamaño de la muestra, que llevado a los números es igual a .
1016⁄
Luego, el intervalo confidencial está dado por:
− = ±− =,; = ; = =,; =, , =,±, ,∙, ; , =, , =,±, ,∙, , =[,;,] [,;,] Con:
Reemplazando, obtenemos:
Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:
Respuesta: El intervalo tiene un 90% de probabilidad de contener a la proporción de plantas de gas que invierten más de 10 [BTU].
El PM10 (material particulado respirable), son partículas de diámetro menor o igual a 10 micrones. Por su tamaño, el PM10 es capaz de ingresar al sistema respiratorio del ser humano; mientras menor es el diámetro de estas partículas mayor es el potencial daño en la salud; es por esta razón, que diariamente se monitorea la calidad del aire, 3 C M AQI (μg/m ) calculando un Índice de calidad de Aire (AQI por sus siglas en 0 – 50 2 5 Inglés). Un AQI de 100 para PM10, corresponde a un nivel de 150 50 – 100 9 5 PM10 en microgramos por metro cúbico (promediado en 24 100 – 150 11 11 horas). Se toman muestras aleatorias independientes del AQI, de tamaño 150 – 200 15 13 40, correspondientes a dos comunas C y M, del Gran Santiago, en 200 – 300 3 4 meses de invierno, obteniendo la siguiente información: 300 – 550 0 2 Suponiendo válidos los supuestos necesarios: 11.1) Estime el mínimo tamaño de muestra que se debe considerar para estimar el AQI 3 promedio en la comuna M, considerando un error de estimación de a lo más 18 μg/m y una confianza de 95%, si de estudios previos se sabe que la desviación estándar del 3 AQI es de 110 μg/m . 11.2) ¿Es posible asegurar que el porcentaje de episodios en que el AQI es de al menos 200 (episodio dañino para la salud) es superior al 4% en la comuna C, con 5% nivel de significación? 11.3) ¿Es posible, afirmar que no existen diferencias significativas en el índice de calidad medio del aire en ambas comunas en estudio, con un nivel de significación del 1%? 11.-
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7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO
== ≤; =, ; = =− ∙ √ ≥, ∙ √ → √ ≥, ∙ → ≥,≈ ̂ 3⁄40 :: >0, =0,0044 0 4 = ̂ :̂= 403 =0,075; =40 → = 0, 00750, ,04∙400,96 =1,1296 =0, 0 5 = | <− → ={ | <,} → = | <1,645 ∈
11.1) Solución: Sean:
“ Cantidad de material particulado en la comuna C” “Cantidad de material particulado en la comuna M”
El enunciado del problema nos otorga la siguiente información:
Ya que el conocemos la varianza, y estamos estimando el AQI promedio en la comuna, la fórmula del error está dada por:
Reemplazando:
Respuesta: El tamaño de la muestra debe ser como mínimo de 144.
11.2) Solución: Con los datos entregados por la tabla, podemos determinar el estimador , que corresponde a la cantidad de episodios de la muestra, en que el AQI es de al menos 200, dividido en el tamaño de la muestra, lo que llevado a los números es igual a . Luego, las hipótesis a contrastar son:
El estimador de prueba a utilizar es:
La Región Crítica (Con
:
Respuesta: Como
, en conclusión no existe suficiente información para rechazar la hipótesis nula con un 5% de significación, es decir, se puede afirmar que el porcentaje o proporción de episodios en que el AQI es de al menos 200, es equivalente o menor al 4% en la Comuna C. 11.3) Solución: Para este ítem lo primero que debemos hacer es calcular el tamaño de la muestra, la media y desviación estándar, de cada muestra: 3
AQI (μg/m )
C
M
0 – 50 50 – 100 100 – 150
25 75 125
2 9 11
5 5 11
150 – 200
175
15
13
200 – 300 300 – 550
250 425
3 0
4 2
= = 40
40
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=, = =, = = =,
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7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO
En seguida, debemos contrastar las siguientes hipótesis, para determinar si estas muestras poseen varianzas poblacionales iguales o diferentes:
:: =≠ , = → = , =, −; −; − =; ; , ≈; ; , =, ={ | >; ; ,} → = | >2,2958 ∈ :: =≠ = + → = ,, =, , + , , + + = = , , =,≈ + + =0, 0 1 = | <; − → ={ | <; ,} → = | <2,6536 ∈
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:
El punto crítico está dado por: La Región Crítica:
Resultado: Debido a que , hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, las varianzas poblacionales de ambas soluciones son diferentes. Continuando con el desarrollo del ejercicio, tenemos que contrastar las siguientes hipótesis:
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos la siguiente expresión:
Después para calcular los grados de libertad tenemos la siguiente fórmula:
Finalmente, la Región Crítica (Con
):
Respuesta: Como
, en conclusión no existe suficiente información para rechazar la hipótesis nula con un 1% de significación, es decir, se puede afirmar que no existen diferencias significativas en el índice de calidad medio del aire en ambas comunas en estudio.
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12.- Una empresa de telecomunicaciones realizó un estudio a fin de comparar el tráfico mensual de los clientes que han tomado los planes A ó B y conocer la opinión de éstos respecto de los servicios prestados por la empresa. Para este efecto, tomó de cada plan, una muestra aleatoria de 121 clientes. La información recolectada, se presenta a continuación: Plan A Tiempo (min) 60 a 100 100 a 140 140 a 180 180 a 220 220 a 260 N° de clientes 13 32 30 27 19 Tiempo (min) N° de clientes
120 a 156 20
Plan B 156 a 192 192 a 228 26 33
228 a 264 30
264 a 300 12
Además 98 clientes del plan A y 80 del plan B evaluaron satisfactoriamente los servicios prestados por la empresa. 12.1) Estime, con un nivel de confianza del 95% el tiempo medio de tráfico de los clientes del plan B. 12.2) Si el Gerente de la empresa se planteó la hipótesis: “el porcentaje de clientes que evalúa satisfactoriamente los servicios prestados por la empresa es igual en ambos planes”, ¿Qué concluye, si utilizó un nivel de significación del 1%?
12.3) Docime la hipótesis de que el tiempo de tráfico de los clientes del plan A, es una v.a. con distribución normal de varianza 2500 (min2).
==
12.1) Solución: Sea:
“ Tiempo tráfico mensual de los clientes que han tomado el plan A , en minutos” “ Tiempo tráfico mensual d e los clientes que han tomado el plan B, en minutos”
Lo primero será calcular el tamaño, media y desviación estándar de cada muestra dada:
60100 100140 140180 180220 220 260 ̅ =162,3140
Para A
80 13 120156 138 20 120160 3230 156192 174 26 192228 210 33 200240 2719 228264 246 30 264 300 282 12 =121 =121 =49,8792 =206,4296 =44,4336 − = ±−;− ∙ √ : 1=0,95 Para B
Dado que el problema nos pide estimar el tiempo medio de tráfico de los clientes del plan B, utilizaremos la siguiente fórmula para poder determinarlo
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Evaluando:
, =206,4296±;, ∙ 44,√ 1421336 : ;, =1,9799 , =206,4296±1,9799∙ 44,√ 1421336 , =[,;,] [,;,]
Respuesta: El intervalo
tiene un 95% de probabilidad de contener el tiempo
medio de tráfico de los clientes del plan B.
12.2) Solución: Ya que el ejercicio nos entrega la cantidad de clientes, de cada plan, que evalúa satisfactoriamente los servicios prestados por la empresa, podemos determinar las proporciones respectivas de las muestras:
98+80 = 178242 =0,7355 = 12198 = 12180 → ̂ = 121+121 :: ≠= 98 80 121 121 = ̂1 + 1 = 0,73550,26451211 + 1211 =2,6234 =, =2,575 − =0, 0 1 = | <− ó >− → = | <2,575 ó >2,575 ∈
Definimos las hipótesis a contrastar
El estadístico de prueba está dado por:
El Punto Crítico corresponde a: La Región Crítica (Con
:
Respuesta: Como
, se llega a la conclusión que existe suficiente información para rechazar la hipótesis nula con un 1% de significación, o sea, el gerente de la empresa no se encontraba en lo correcto cuando planteaba que el porcentaje de clientes que evalúa satisfactoriamente los servicios prestados por la empresa es igual en ambos casos. 12.3) Solución: Sea:
=
=2500; =50 ̅ = 162, 3 1 ; :: ~~;; =2500 =2500 =0,05
“ Tiempo tráfico mensual de los clientes que han tomado el plan A, en min.”
Las hipótesis a contrastar son:
Con:
Nota: Debido a que el ejercicio no nos entrega los grados de libertad suponemos
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7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO
∞ +∞
Luego, se crea una tabla con los intervalos que abarcan todos los números del conjutno de los reales, es decir, desde el al , donde también se adiciona la frecuencia absoluta y la probabilidad de cada uno de ellos:
′− ′
=
í
< −,
<, , ; , ,; , , , ,; , ; , , ,; , ; , , ,; , ; , , ; −, ,; , > >,
=,, =,,, , =,,, , =,,, , =,,, , =,,, , =,, f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
> , =∗ , ,, ,, ,, ,, ∑ = ∑ =
, , , , , , ,
=∗ , , , , , , ,
En seguida, como se debe cumplir que , se procede a modificar la tabla, lo que se lleva a cabo sumando las dos primeras filas y las dos últimas filas, quedando expresado de la siguiente forma:
=
Posteriormente, se aplica la fórmula para calcular el estadístico de prueba:
+ , + , + , + , = = , , ,= , , , ,
={ | > −; }
= =ú =ú
Además, la región crítica está definida de la siguiente forma: Con:
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7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Debido a que ocupamos el estimador de la media, el valor de es igual a uno y el número de filas después de la modificación es cinco, por lo tanto, reemplazando tenemos:
={ | > − ; } ,, , = ,,, , ,, = ,, = ,,∗, +, =, =, ∈ ⇔ <, ó >, ∈ ⇔ >, ó <, ∈⇔ >,
Ya que el valor del nivel de confianza no es entregado por el ejercicio, tenemos que interpolar para determinarlo:
Resultados: Caso 1:
La hipotesis nula se rechaza si
Caso 2:
La hipotesis nula no se rechaza si
Considerando que el nivel de significación debe ser el menor posible para que la estimación sea adecuada, por lo que es correcto elegir el caso 2, ya que así se cumple lo antes expuesto. Respuesta: Ya que
, es decir, no existe información suficiente para rechazar la hipotesis nula, por lo tanto, el tiempo de tráfico de los clientes del plan A se distribuye normalmente con varianza igual a 2500 min 2 .
13.- En el mercado existen dos tipos de plásticos (A y B), los que son utilizados en la fabricación de diversos artículos. Una variable importante que se maneja es su tensión de ruptura (en psi) y por lo tanto se ha diseñado un experimento para medir la variable en ambos tipos. Los resultados en 41 ensayos de plástico A fueron los siguientes:
Tensión de Ruptura
144 a 150 5
150 a 156 12
156 a 162 16
162 a 168 8
Por otro lado, en 25 ensayos realizados para registrar la tensión a la ruptura en el plástico B, se obtuvo un promedio de 154 psi con desviación estándar de 5,2 psi. 13.1) Considerando un nivel de significación del 5% y la información que entregan los datos. ¿Hay evidencia suficiente para cuestionar lo especificado por el fabricante, quién señala que el valor medio de la tensión a la ruptura del plástico A es de 155,5 psi? 13.2) El ingeniero de procesos tiene la sospecha que el plástico A tiene una tensión media a la ruptura más alta de lo que se observa para el plástico B. Admitiendo como válidos
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7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO
los supuestos de normalidad de las variables en estudio y considerando un niel de significación del 5% ¿Qué puede concluir usted respecto de la sospecha del ingeniero de procesos? 13.3) Con un nivel de significación del 2,5% ¿Muestran los datos la evidencia suficiente para corroborar que efectivamente la distribución de probabilidad de la tensión a la ruptura del plástico tipo A es de tipo normal con media 155,5 psi y varianza 25 (psi) 2. 13.4) Con un 5% de nivel de significación, ¿es posible corroborar que más de un 30% de las unidades del plástico A presentan una tensión a la ruptura superior a 160 psi?
== ′− ′
13.1) Solución: Sea:
“Tensión de ruptura del tipo de plásticos A, en psi” “Tensión de ruptura del tipo de plásticos B, en psi”
̅=156,95 =5,63 =41 = =, = = :: =155, 5 ≠155,5 = : =; =, ; =, → = ,,√ , =, =0,05 = | <−; − → ={ | <; ,} → = | <2,0211 144 – 150 150 – 156 156 – 162 162 – 168
147 153 159 165
5 12 16 8 41
Para :
Para :
Las hipótesis a contrastar son:
Luego, como desconocemos la varianza el estadístico de prueba se determina de la siguiente forma:
La Región Crítica (Con
):
Respuesta: Debido a que
, no existe suficiente información para rechazar la hipótesis nula, es decir, no hay evidencia suficiente para cuestionar lo especificado por el fabricante, el que señaló que el valor medio de la tensión a la ruptura del plástico A es de 155,5 psi, con un 5% de significación. 13.2) Solución: Debemos contrastar las siguientes hipótesis, para determinar si estas muestras poseen varianzas poblacionales iguales o diferentes:
:: =≠
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Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:
, = → = , =, −; −;− =;;, =, ={ | >; ; ,} → = | >2,1460 ∈ :: => +( ) = + = + ∙ , + ∙ , = + =, = ,,∙ + =, = | >; − = + 2=64 ={ | >;,} → = | >1,6690 ∈
El punto crítico está dado por:
La Región Crítica:
Resultado: Debido a que , no hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, las varianzas poblacionales de ambas muestras son iguales. Continuando con el desarrollo del ejercicio, procedemos a contrastar las siguientes hipótesis:
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:
Reemplazando, obtenemos:
Finalmente, la Región Crítica:
Respuesta: Como
, en conclusión hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, las sospechas del ingeniero de proceso están en lo correcto, ya que por los resultados obtenidos el plástico A tiene una tensión media a la ruptura más alta de lo que se observa para el plástico B.
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13.3) Solución: Las hipótesis a contrastar son:
:: ~~ =155, =155,55;; =25 =25
=0,025 ∞ +∞ Con
Luego, como queremos probar que se distribuye normalmente, se crea una tabla con los intervalos que abarcan todos los números del conjunto de los reales, es decir, desde el al , donde también se adiciona la frecuencia absoluta y la probabilidad de cada uno de ellos:
′− ′
=
í <, < , , , ,; , ; , , , ; , ; , , ,; , ; , , ; , ,; , >, >
=,, =,,, , =,,, , =,, , , =,, , , , =, f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
, , , , , ,
=∗ , , , , , ,
>
En seguida, se sabe que cuando estamos haciendo bondad de ajuste se debe cumplir que , por lo tanto, se procede a modificar la tabla, lo que se lleva a cabo sumando las dos primeras filas y las tres últimas filas, quedando expresado de la siguiente forma:
, =∗ , ,, ,, = ∑ = ∑ = + , =, = = ,, + , , ,
Posteriormente, se aplica la fórmula para calcular el estadístico de prueba:
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Además, la región crítica está definida de la siguiente forma:
= =ú =ú ={ | > ,;} ={ | >,} ∈ = ̂ ∗n ′− ′ = ′− +i 100 nNi i− ∗41 160 = 156 +6 1001617 → =67,48% = ̂ = 10010067,48 =0,3252 ::>0,=0,33 ̂ 3 = → = 0, 302520, ,341∙0,7 =0,7266 =0, 0 5 = | >− → ={ | >,} → = | >1,645 ∈
={ | > −; }
Con:
Debido a que no se utiliza ningún estimador, el valor de es igual a cero y el número de filas después de la modificación corresponde a tres, por lo tanto, reemplazando tenemos:
Respuesta: Como
, se concluye que no existe evidencia suficiente para rechazar que la tensión a la ruptura del plástico tipo A se distribuye normalmente con una media de 155,5 psi y una varianza de 25 psi 2 , con un nivel de significación de 0,025. 13.4) Solución: Sea: “Proporción de las unidades del plástico A que presentan una tensión a la ruptura superior a 160 psi” Estimaremos el valor de , lo que lo llevamos a cabo por medio de fórmula de percentil, como se ve a continuación:
144 – 150 150 – 156 156 – 162 162 – 168
5 12 16 8 41
5 17 33 41
Luego, las hipótesis a contrastar son:
El estadístico de prueba esta dado por:
La Región Crítica (Con
:
Respuesta: Como
, no existe suficiente información para rechazar la hipótesis nula con un 5% de significación, es decir, no se puede corroborar que más de un 30% de las unidades del plástico tipo A presentan una tensión a la ruptura superior a 160 psi.
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14.- El encargado de control de calidad de una empresa exportadora revisó al azar un conjunto de 700 cajas, registrando el número de unidades defectuosas encontradas en cada caja, obteniendo la siguiente información:
N° de defectuosos 0 1 2 N° de cajas 542 140 10
3 8
= =,
Si históricamente la cantidad de defectuosos por caja, se ha comportado de acuerdo a un modelo binomial de parámetros y . Evalúe usted si la evidencia muestral permite corroborar que la variable en cuestión persiste en comportarse de acuerdo al modelo histórico, con nivel de significación igual a 0,05.
=
14) Solución: Sea: “Número de unidades defectuosas por caja” Las hipótesis que nos interesan contrastar son:
HH:: ~~ =3;=3;=0,=0,0088 =0,05 = − ; =,,, =, ,− ; =,,, , , =, =∗ , , , =, ,, , =, , = , , =, , > , =∗ , ,, ,, = ∑ = ∑ = + , + , =, = = , , , , Con
Luego, la probabilidad se determina de la siguiente manera, ya que se quiere probar si de forma binomial, como se ve a continuación:
se distribuye
En seguida, como se debe cumplir que , se procede a modificar la tabla, lo que se hace sumando las dos últimas filas, como se muestra ahora:
Posteriormente, se aplica la fórmula para calcular el estadístico de prueba:
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> −; } ={ | =, ; = =ú =ú > ,;} ={ | >,} ={ | ∈
Además, la región crítica está definida de la siguiente forma:
Con:
Debido a que no ocupamos ningún estimador, el valor de es igual a cero, y el número de filas después de la modificación es tres, por lo tanto, reemplazando tenemos:
Respuesta: Como
, en consecuencia no existe evidencia suficiente para rechazar que la cantidad de defectuosos por caja sigue el modelo histórico, o sea, distribución binomial con tamaño de la muestra 3, y probabilidad de éxito igual a 0,08, con un nivel de significación de 0,05.
15.- En una empresa de acuicultura se quiere hacer un estudio sobre el nivel de parásitos en la producción de doradas. Para ello, se tomó una muestra de 5 individuos cada día, repitiendo el experimento durante 550 días. De cada muestra se analizaron los peces determinando cuantos de ellos contenían parásitos. ¿Se ajusta a un modelo de distribución Binomial con 5% de significación?
=
Nº de individuos con parásitos Frecuencia Observada
0 17
1 81
2 152
3 180
4 104
5 16
= = ∑ ∑∗ = ∗+∗+∗+∗+∗+∗ = =, = → = = , =, HH:: ~~ =5;=5;=0,=0,551717 =, = − ;=,,,…, =, ,− ;=,, ,… ,
18) Solución: Sea:
“Número de individuos con parásitos”
Luego, como el ejercicio no nos entrega el valor de
, procedemos estimar el valor:
Además, de la tabla de distribuciones discretas sabemos que la media de la distribución binomial está dada por la siguiente fórmula, teniendo cuidado con el es el número de veces que se repite el experimento, es decir, en este caso toma el valor de 5:
Las hipótesis que nos interesan contrastar son:
Con
Luego, la probabilidad se determina de la siguiente manera, ya que se quiere probar si de forma binomial, como se ve a continuación:
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se distribuye
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, , =, =∗ , , , =, , , , =, , , , =, , , , =, ,, , =, , = = = > + , + , = = , , , , + , + , =, + , , , , > −; } ={ | =, ; = =ú =ú ={ | > ,;} ={ | >,} ∈
Ya que todos los sucesos cumplen con , la tabla no se modifica. Posteriormente, se aplica la fórmula para calcular el estadístico de prueba:
Además, la región crítica está definida de la siguiente forma:
Con:
Debido a que utilizamos el estimador de por lo tanto, reemplazando tenemos:
, el valor de es igual a uno, y el número de filas es seis,
Respuesta: Como
, en consecuencia no existe evidencia suficiente para rechazar la hipotesis nula, es decir, el número de individuos con parásitos se distribuye en forma binomial, con un nivel de significación de 0,05.
16.- Se propone que el número de defectos en las tarjetas de circuito impreso sigue una distribución Poisson. Se reúne una muestra aleatoria de 60 tarjetas de circuito impreso y se observa el número de defectos. Los resultados obtenidos son los siguientes:
=
Número de defectos 0 1 2 3 o más
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Frecuencias observadas 32 15 9 4 Página 153
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Evalúe si estos datos muestran suficiente evidencia para decir que provienen de una distribución Poisson, con un nivel de significación igual a 0,05. 16) Solución:
Sea:
=
“Número de defectos en las tarjetas de circuito impreso”
:: ~~ 3 =̅ = ∑ ∗ = 0∗32+1∗15+2∗9+3∗4 = 60 4 =0,75 −, − ∙ 0, 7 5 ∙ = 0! ;=0, 1,2,… = 0! ;=0,1,2,… −, ∙, =, =∗ , ! −, ∙!, =, , −, ∙!, =, , ó á = ∑ < ==, ∑,= =∗ , ó á ,, = ∑ = + , + , =, = = , , , , ={ | > −; }
Las hipótesis a contrastar son:
Ya que el ejercicio no nos entrega el valor de lambda, procedemos a estimarlo a partir de los datos tabulados:
Luego, la probabilidad se determina de la siguiente manera, ya que se quiere probar si distribución Poisson, como se ve a continuación:
tiene una
Puesto que la frecuencia esperada en la última celda es menor que 5, se combinan las dos últimas filas.
Posteriormente, se aplica la fórmula para calcular el estadístico de prueba:
Además, la región crítica está definida de la siguiente forma:
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