SEGUNDO BIMESTRE
TRIGONOMETRÍA
1
Secundaria
Í nd ice
Pág
Capítulo 1 Razones trigonométrica recíprocas
109
Capítulo 113 2. Razones Trigonométricas de ángulos complementarios Capítulo 3. Razones trigonométricas de ángulos agudos de 37º - 53º 117
4. Aplicaciones en el T.R. con ángulos agudos de 37º - 53º Capítulo 121 5. Razones trigonométricas de ángulo agudo de 45º
Capítulo
6. Razones trigonométricas de ángulos agudos de 30º y 60º
125
Capítulo 128
1ro Sec.
1
Razones Trigonométricas Recíprocas
OBJETIVOS: -
Analiza y comprende las razones trigonométricas recíprocas
-
Deducir y familiarizarse con todas las razones trigonométricas
MOTIVACIÓN
TRIGONOMETRÍA
Debemos saber que nuestra geografía es muy accidentada, dentro de esta gama de accidentes geográficos contamos con distintos planos inclinados como las montañas, picos, quebradas y otros. Para observar esto basta con ver una foto de nuestra serranía, es decir cualquier paisaje natural de nuestro territorio peruano y podemos notar que en estas montañas, picos y quebradas se pueden formar triángulos con sus respectivos ángulos.
109
1ro Sec. En un triángulo rectángulo ABC recto en C(C=90º), para lo cual definiremos las seis razones trigonométricas. A
c
b
B
a
θ
C
Con respecto al ángulo q tenemos: Notamos que hay 3 valores que son inversos de los otros así:
Senθ = b c a Cosθ = c b Tgθ = a a Ctgθ = b c Secθ = a c Cscθ = b
Senθ = b c
Cosθ = c b
Cosθ =
a c
c Secθ = a
Tgθ =
b a
Cgθ =
TRIGONOMETRÍA
Si multiplicamos dos a dos estas razones trigonométricas, entonces tenemos:
senθ csc θ =
b c x = 1 ⇒ senθ cscθ=1 c b
cos θ secθ =
a c x = 1 ⇒ cos θ secθ=1 c a
tgθ c tgθ =
b a x = 1 ⇒ tgθ ctgθ=1 a b
110
a b
1ro Sec.
Resolviendo en clase 1 Calcular secf si:
Calcular E = sena+ctgq 4 si: csca = 2 ∧ tgθ =
2 3
3
Resolución:
Resolución:
Rpta:
Rpta:
2 Calcular sena si: csca= 5
4
Resolución:
Si: cscq=4 ∧ secf=3 Calcular: R=8senq - 3cosf
Rpta:
Rpta:
111
TRIGONOMETRÍA
cosφ =
3
1ro Sec.
Ahora en tu cuaderno 3x 9
5. Calcular «a» si: tg(a+40º) ctg(2a+20º)=1
7. Calcular: E =
6. Calcular «a» si: cos(2a-30º) sec(a+20º)=1
8. Calcular E=5tga – 3ctgb Si: ctgα =
5 8
Si: sen45º csc3x=1
∧
ctgβ =
2 3
Para reforzar 1. Calcular : csca; senα =
3 si: 7
a) 3/7 b) 7/3 d) 7/4
5. Calcular " a " si: sen(3a-20º) csc(a+60º)=1 2
c) 4/7 e) 2/9
6. Calcular: R =
2. Calcular tga; si: ctga = 3/4
TRIGONOMETRÍA
a) 1 b) 1/2 d) 4/3
a) 20° b) 30° d) 50°
Si: sec θ =
c) 3/4 e) N.A.
a) 3/8 3. Calcular E =5senq - 3cosa
Si: cscq = 3/2
c) 40°
sen 2α + cos 2 θ 3
8 4 ∧ cscα= 6 3
b) 8/3
d) 4/3
c) 6/5 e) 2/9
seca = 3 7. Calcular «a+5°». Si: tg (2a-10°)ctg80º=1
a) 2/3
b) 3/7
d) 4
c) 10/9 a) 45º
e) N.A.
b) 50º
d) 60º
c) 55º e) N.A.
4. Calcular «x» en: tg(2x-30º) ctg50º=1 8. Calcular : «a-b» Si: sec(a-b+5°) cos30º=1 a) 40º
b) 80º
d) 50º
c) 30º a) 45º
e) N.A.
b) 35º
d) 25º
112
c) 20º e) N.A.
1ro Sec.
2
Razones Trigonométricas de Ángulos Complementarios
OBJETIVOS: •
Reconocer las razones trigonométricas complementarias.
•
Relacionar las medidas de los ángulos en las razones trigonométricas complementarias (90º).
•
Resolver problemas aplicando criterios de las razones trigonométricas complementarias
EL TEOREMA DE PITÁGORAS EN LA TRIGONOMETRÍA
Usando muchos señalaban en una cuerda trozos proporcionales a los números 3, 4 y 5, la cuerda la ponían bien tensa, sujeta por dos estacas y juntaban los extremos. El resultado era una escuadra llamada «TRIÁNGULO EGIPCIO» que servía a los constructores de templos.
Pitágoras de Samos, que conoció esta cuerda, «experimento» las relaciones entre los valores numéricos 3, 4 y 5 descubriendo su famoso teorema al comprobar que el cuadrado de 5 era igual a la suma de los cuadrados de 3 y 4.
El importantísimo teorema descubierto por Pitágoras, el cual se le llamó REGLA DE ORO DE LA GEOMETRÍA, fue demostrado dos siglos después de Euclides. La más conocida e intuitiva de las demás demostraciones es la del matemático hindú Bhaskara hace más de ocho siglos y medio.
Una aplicación del teorema de Pitágoras nos lleva a la famosa relación trigonométrica. 2
2
sen α + cos α = 1
Llamada REGLA DE ORO DE LA TRIGONOMETRÍA. Pitágoras de Samos
113
TRIGONOMETRÍA
En el antiguo Egipto existían los llamados «TENSORES DE CUERDAS» llamados harpedonaptas, los cuales aprovechaban para formar ángulos rectos, una propiedad del triángulo rectángulo.
1ro Sec. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B (B=90º), para lo cual definiremos las seis razones trigonométricas las seis razones trigonométricas del ángulo A y ángulo C.
C θ
b
a
α
c
A
En el gráfico
* el ángulo A = a
* el ángulo C = q
TRIGONOMETRÍA
senα =
a = cos θ b
cos α =
c = senθ b
tgα =
a = tgθ c
c tgα =
c = tgθ a
sec α =
b = csc θ c
csc α =
b = sec θ a
∴
sena = cosb
tga = ctgb
seca = cscb
Estas propiedades se cumple para ángulos complementarios. Aplicación: sen40º será igual a cos50º tg30º será igual a ctg60º sec55º será igual a csc35º
114
B
1ro Sec.
Resolviendo en clase 1
3 Si: tg(2x-10º) = ctg(3x+10º)
Si:
sen30º = cos2x
Calcular : «x»
Calcular : 2x-5º
Resolución: Resolución:
Rpta:
2 Si: cos3x = sen2x
4 Si: sec2x - csc40º = 0
Calcular x - 5º
Calcular:
x − 5º 2
Resolución:
Resolución:
Rpta:
Rpta:
115
TRIGONOMETRÍA
Rpta:
1ro Sec.
Ahora en tu cuaderno 5. Si: sec θ =
17 . Calcular csca 8
7. Si: cos α =
Sabiendo además que q + a = 90º
3 4 ∧ tgβ = 5 7
Calcular senq • ctgf Donde a + q = 90º b+f=90º
6. Si: a + q = 90º 4 tgθ = . Calcular ctga 3
8. Calcular : M=
sen35º cos 55º
Para reforzar 1. Si: Calcular «x»
5. Si :a+q=90º ∧ b + f = 90º.
cos3x = sen60º
TRIGONOMETRÍA
a) 10º b) 15º d) 25º 2. Si: tg5x = ctgx Calcular x – 5º
Sabiendo senθ =
3 5
3
∧
ctgβ =
5 7 3
4
a) 5 b) c) 8 7 d)
3 7
6. Calcular: M =
a) 20º b) 10º c) 15º d) 25º e) 30º 3. Si: sec(2x – 30º) = csc(3x+30º) Calcular : x+2º
4. Si: a+q = 90º ∧ senα =
Calcular cosa • tgf
c) 20º e) 30º
a) 20º b) 10º d) 16º
7 3
e)
sen71º cos19º
a) 0 b) 1 d) –1
c) 2 e) 1/2
7. Reducir: R=
c) 18º e) 14º 2 5
sen15º tg62º cos 21º sen69º cos75º ctg28º
a) 2 b) 3 d) 0
c) –1 e) 1
8. Si:
Calcular : cosq.
tg(2x+5º) – ctg(2x – 15º) = 0
a)
2 2 2 b) 5 c) 3 4
d)
5 2
Calcular «x» a) 0º b) 15º d) 25º
2 2
e)
116
c) 20º e) 30º
1ro Sec.
3
Razones Trigonométricas Ángulos Agudos de 37° - 53°
OBJETIVOS: •
Reconocer la proporcionalidad de los lados del triángulo rectángulo 37º - 53º
•
Calcular las razones trigonométricas de los ángulos 37º - 53º
•
Aplicar las razones trigonométricas en el cálculo de expresiones
INTRODUCCIÓN En este capítulo el alumno reconocerá las razones trigonométricas de los ángulos agudos 37º y 53º. Así como su aplicación. Para poder definir las razones trigonométricas se harán de acuerdo a las definiciones ya conocidas.
53º 5K
3K
37º 4K
Entonces: sen37º =
cos 53º = C.O. 3K ⇒ sen37º= H 5K
∴
sen37º=
3 5
tg37º =
De la misma forma podemos calcular las demás razones trigonométricas. Formemos el siguiente cuadro: R.T.
sen cos tg.
37º 3 5 4 5 3 4
53º 4 5 3 5 4 3
3 5 ⇒ sec53º= 5 3
3 4 ⇒ ctg37º= 4 3
Ejemplos: 1. Calcular: P = sen37º + tg53º RESOLUCIÓN:
R.T.
csc
De acuerdo al cuadro tenemos:
sec
Resolviendo:
ctg
NOTA:
⇒P=
3 4 + 5 3
El símbolo indica que los valores numéricos de las R.T. que lo tienen, deben ser invertidos.
⇒P=
9 + 20 29 ∴ P= 15 15
Ejemplos: sen37º =
3 5 ⇒ csc37º= 5 3
Rpta.: 29/15
117
TRIGONOMETRÍA
PRINCIPIOS TEÓRICOS: Para definir las razones trigonométricas de 37º y 53º utilizaremos el triángulo rectángulo cuyo lados son proporcionales a 3, 4 y 5.
1ro Sec. 2. Calcular: Q = 3.sec53º
Simplificando:
Resolución:
Tenemos que sec 53º =
5 3
Resolviendo: 3.
15 ∴ Q=5 3
Rpta.: 5
∴ E= 3
Rpta.: 3
Resolución: Tenemos que: x+
3 5 = 4 4
x=
5 3 2 1 − ⇒ x= ∴ x = 4 4 4 2
Resolviendo:
Determinar el valor de : K = 5cos37º + 3tg53º Resolución: Tenemos que:
⇒ K = 5• 4 + 3• 4 3 5
Simplificando: ⇒ K= 4 + 4 ∴ K = 8
3 3 + 2 2
7. Hallar «x» si: x + tg37º = csc 53º
⇒ Q = 3• 5 3
⇒Q=
E=
Rpta.: ½
8. Calcular: P= 8ctg53º+20•sen37º Resolución: Tenemos que:
Rpta.: 8
P = 8 • 3 + 20• 3 5 4
sen53º
TRIGONOMETRÍA
4. Calcular el valor de: Q = ctg37º Resolución: Tenemos:
Resolviendo: P = 6+12 Rpta.: 18
Simplificando:
9. Determinar el valor de si: Q Q=10cos53º+3sec53º+4sec37º
4 ⇒Q= 5 4 3
5.
∴Q =
3 5
Resolviendo: Q=6+5+5
Calcular el valor de: G = 5sen37º+3ctg37º+10cos53º Resolución: Tenemos que:
G = 5• 3 + 3• 4 + 10• 3 3 5 5
∴ G= 13
Simplificando: G=3+4+6 Rpta.: 13
⇒ Q = 16
∴ Q = 16 = 4
Rpta.: 4 10. Calcular:
K = csc 2 53º −ctg 2 53º
Resolución: Realizando los reemplazos: 2
5 3 K = − 4 4
E = tg37º + ctg53º
2
Simplificando:
Resolución: Tenemos que: E=
Resolución: Tenemos que: Q = 10• 3 + 3• 5 + 4 • 5 4 3 5
Rpta.: 3/5
6. Determinar el valor:
P = 18
3 + 4
3 4
118
K=
25 9 − 16 16
Rpta.: 1
∴ K=
16 16
1ro Sec.
Resolviendo en clase 1 Calcular las expresiones:
3 Calcular: K=3tg53º+5cos37º
E1 = 10 sen 37º
Resolución:
E 2 = 15 cos 53º
Resolución:
Rpta:
2 Hallar el valor de:
4 Determinar el valor de: T=
Q = tg37º + sen 53º Resolución:
Resolución:
Rpta:
Rpta:
119
sen53º sec 37º
TRIGONOMETRÍA
Rpta:
1ro Sec.
Ahora en tu cuaderno 5. Hallar el valor de: K = tg 2 37º +1
6. Calcular:
2
2
B = cos 37º+cos 53º
7.
Calcular P + Q
8.
Hallar : T = tg37º•sec53º•ctg37º•cos53º
P = 9•csc37º Q = 25cos53º
Para reforzar 1. Calcular :
5. Hallar:
E= 35 cos53º a) 24
b) 22
d) 21
c) 20
a) 1
e) 25
d) 5
TRIGONOMETRÍA
b) 7
d) 10
c) 8
a) 4
e) 12
b)
c) 2 e) 6
7. Hallar el valor de: Q=
1 5 c) 4 4
d) 4
a)
3 e) 4
S = 10 • cos37º
R = 3 • csc37º b) 12
d) 14
sen53º sec 37º
5 4 b) 4 5
d) 5
4. Hallar el valor de R + S si:
a) 13
b) 3
d) 1
R = ctg 2 53º +1
a) 5
e) 4
Q = 5cos37º – 5cos53º
3. Hallar el valor de:
c) 3
P = ctg53º + sec37º
Q =5sen37º + 4tg37º a) 6
b) 2
6. Calcular P/Q si:
2. Calcular el valor de:
A = cos53º•sec53º+sen37º•sec53
c) 4 e)
2 5
8. Calcular: E = 4•tg37º + 5cos53º a) 5
c) 10
b) 6
d) 8
e) 15
120
c) 7 e) 9
1ro Sec.
4
Aplicaciones en el T.R. con Ángulos Agudos de 37° - 53°
OBJETIVOS: • Aplicar las razones trigonométricas de 37º - 53º en el cálculo de los lados de un triángulo. • Calcular distancias y alturas utilizando razones trigonométricas de 37º - 53º.
INTRODUCCIÓN En esta parte del capítulo el alumno utilizará las razones trigonométricas para resolver problemas de la vida diaria, como son las distancias entre dos puntos o la altura de un objeto con respecto a una superficie.
Resolución de Triángulo Rectángulo: Tenemos el siguiente triángulo
x
C.O.
a(H)
α
Donde : a : valor conocido α : 37º ó 53º
⇒ del triángulo: ⇒ pero como:
⇒ x = a•sen37º es decir x = a 3 5
senα =
x ⇒ x=asenα a
a=37º ó 53º (tomemos 37º)
∴ x = 3 •a 5
* Nótese que la razón trignométrica se forma con «x» (incógnita) y «a» (valor conocido).
121
TRIGONOMETRÍA
PRINCIPIOS TEÓRICOS:
1ro Sec.
Resolviendo en clase 1 Calcular «x»:
3 Calcular «Z»
20
15
z
37º
37º
x
Resolución: Resolución:
Rpta:
Rpta:
TRIGONOMETRÍA
2 Hallar «y»:
4 Calcular el valor de x + y. Si:
y
53º
25
y
x
53º
16
Resolución: Resolución:
Rpta:
Rpta:
122
1ro Sec.
Ahora en tu cuaderno 7. Del gráfico. Calcular la distancia H si d=30m.
5. Se observa la parte más alta de una asta, hallar su altura si la distancia entre el observador y el asta es 18m.
d H
asta
37º 53º 18m
8. Se observa la parte más alta de un faro, hallar d.
6. Del gráfico. calcular «d»:
16m 20m
53º
53º d
TRIGONOMETRÍA
d
Para reforzar 1.
2.
Calcular «x» si:
Calcular el área del triángulo
53º
x
a
10
8
37º
a) 5 b) 6 d) 10
c) 7 e) 8
2
2
a) 32u b) 14u 2 d) 24u
123
2
c) 64u 2 e) 40u
1ro Sec.
3. Calcular
6. Calcular la altura del muro si:
"x" 2
H
30
x
53º 12m
37º
a) 9 b) 12 d) 14
4.
a) 20m b) 18m d) 16m
c) 10 e) 16
c) 17m e) 10m
7. Hallar la longitud de la escalera apoyada:
Calcular la altura del edificio si:
escalera
53º
53º 18m
1,2m
TRIGONOMETRÍA
a) 24m b) 20m d) 30m
c) 28m e) 26m
a) 1,5m b) 1m d) 1,8m
7. Del gráfico, hallar «x»
c) 2m e) 3m
8. Calcular «y» si:
60m
y
30
37º
37º
x
a) 70m b) 80m d) 50m
a) 18 b) 15 d) 20
c) 100m e) 90m
124
c) 24 e) 21
1ro Sec.
5
Razones Trigonométricas de ÁngulosAgudo de 45°
OBJETIVOS: • • •
Reconocer la proporcionalidad de los lados de un triángulo rectángulo de 45º. Calcular las razones trigonométricas del ángulo de 45º Aplicar las razones trigonométricas en el cálculo de expresiones
INTRODUCCIÓN En esta parte del capítulo el alumno reconocerá la proporcionalidad del triángulo rectángulo cuyos ángulos agudos sean 45º. Utilizando los conceptos de razones trigonométricas se obtendrán para 45º.
PRINCIPIOS TEÓRICOS
Para definir las razones trigonométricas de 45º utilizaremos el triángulo:
K 2
K
45º K
Entonces: sen45º =
C.O. K 1 ⇒ sen45º = ∴ sen45º = H K 2 2
De la misma forma podemos calcular las demás razones trigonométricas. Formemos el siguiente cuadro: sen cos tg
NOTA: El símbolo Ejemplos:
45º 1 2 1 2
csc
1
ctg
sec
indica que los valores de las R.T. que lo tienen, deben ser invertidos.
sen45º =
1 ⇒ csc 45º = 2 2
cos 45º =
1 ⇒ sec 45º = 2 2
tg45º=1 ⇒ ctg45º=1
125
TRIGONOMETRÍA
45º
1ro Sec.
Resolviendo en clase 1 Calcular : P + Q
3 Determinar el valor de: Q = sen45º•sec45º•ctg45º
P = 2 • cos 45º Q = tg 3 45º
Resolución:
Resolución:
Rpta:
Rpta:
TRIGONOMETRÍA
2 Calcular:
4 Calcular «x» si: 2
2
K=sec 45º•csc 45º
x • ctg45º = sec 2 45º +2tg45º
Resolución:
Resolución:
Rpta:
Rpta:
126
1ro Sec.
Ahora en tu cuaderno 5. Calcular:
7. Calcular:
T = (sec 2 45º + csc 2 45º )2tg45º
P = 2 cos45º
8. Calcular:
6. Hallar el valor de: M = sec 4 45º + tg45º
P=
sec 45º•csc 45º•tg45º ctg45º
Para reforzar 1. Calcular : M.N
5. Determinar el valor de:
2 M = sec 45º +3tg45º
a) 4 b) 2 d) 8
c) 12 e) 14
6. Si
2. Si N: representa el número de artículos a comprar. M: el costo de cada artículo en soles Hallar el costo total, sabiendo que: N = 5 sec 4 45º M=2sen 2 45º a) 20 b) 21 d) 23
A: representa el número de artículos a comprar
B: representa el costo de cada artículo en soles
Hallar el costo total si:
c) 22 e) 24
2
c) S/.40 e) S/.120
10 sen245º m
7. Calcular: 8 sec245º m
a) 40 b) 41 d) 43 4. Hallar:
2
A = 10csc 45º y B=4cos 45º
a) S/.20 b) S/. 60 d) S/.10
3. Calcular el perímetro de:
c) 6 e) 10
cos 2 45º + csc 2 45º sen 2 45º
a) 4 b) 5 d) 7
c) 42 e) 44
c) 6 e) 8
8. Calcular M + N Si: 2 M = 4cos 45º 2 N = 8csc 45º
T = sec 2 45º + csc 2 45º
a) 2 b) 4 d) 8
Q=
c) 6 e) 10
a) 16 b) 18 d) 17
127
c) 20 e) 19
TRIGONOMETRÍA
a) 10 b) 11 d) 13
R = (sec 2 45º )2ctg45º
N M = 2 • csc 45º
1ro Sec.
6
Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos de 30º - 60º
OBJETIVOS: •
Reconocer los triángulos notables por la medida de sus ángulos agudos
•
Reconocer los triángulos notables por la proporcionalidad de sus lados
•
Calcula los lados de un triángulo notable usando razones trigonométricas
•
Determina las razones trigonométricas de los ángulos (30º y 60º)
MOTIVACIÓN LOS CATETOS Y LA HIPOTENUSA ¿Sabía Ud. que Pitágoras y los demás geómetras griegos se ocuparon tanto del triángulo, porque lo usaban mucho en la construcción?. Así fue ellos los que inventaron las cubiertas de dos aguas. Eso les permitió ensanchar mucho las naves de los templos y los grandes salones.
TRIÁNGULO NOTABLE Se denominará triángulo notable, a aquel triángulo rectángulo cuyos ángulos son conocidos y además sus lados son proporcionales. Triángulo Notable (30º - 60º)
30º
TRIGONOMETRÍA
Descubrieron la manera de repartir el peso de la techedura entre tres vigas, de tal manera que el trabajo que realizaba cada una al trabajar conjuntamente, era muy inferior que les correspondería si se distribuyese entre las tres colocadas como vigas planas. Y según el trabajo que hacen, así las nombraron: a la dos vigas que sostienen la llamaron catetos, porque tiende a ir hacia abajo (Kaziemi); y a la viga de abajo la llamaron hipotenusa porque es la que tira (tenosa) por abajo (hipo) de las otras dos para que no se abran.
a
2a 60º 3a
R.T.
30%
60º
Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante
½ 3/2 3/3 3 2 3/3 2
3/2 ½ 3 3/3 2 2 3/3
128
1ro Sec.
Resolviendo en clase 3
Calcular:
E = 3cos60º - sen30º
M=2cos60º -
3 sen60º
Resolución:
Resolución:
Rpta:
2
Calcular :
Rpta:
4
Calcular: R=
Calcular :
3 ctg60º
Resolución:
Resolución:
Rpta:
Rpta:
129
2 2 N=5cos 60º - 3sen 30
TRIGONOMETRÍA
1
MATERIAL DIDACTICO TIPEADO COMPLETO , LIBROS Y COMPENDIOS EN CDS ( TODO NIVEL ) 2009-2012 MILES DE HOJAS TIPEADO EN : PAGEMAKER (P) O WORD (W)
INICIAL: *KINDER Y PREKINDER TRILCE 2007 EN 1DVD (CIENCIA -AMBIENTE, COMUNICACIÓN INTEGRAL, LOGICO MATEMATICO, PERSONAL SOCIAL, RELIGION) (P) * 3 - 4 - 5 AÑITOS INICIAL SACO 2007 EN 1 DVD ( APRESTAMIENTO, COMUNICACIÓN, LOGICO MATEMATICO, PERSONAL SOCIAL, RAZ VERBAL, RAZ MATEMATICO, MOTOR FINO, CIENCIA Y AMBIENTE , INGLES ) (P) *INICIAL COLEGIO STO. DOMINGO DE CHIMBOTE (W) * INICIAL PAMER 3-4-5 AÑOS Y OTROS.
PRIMARIA : LIBRO COVEÑAS 2008 A COLORES EN 2 DVDS (P) PRIMARIA TRILCE 2004 EN 6 CDS (P) PRIMARIA SAN IGNACIO 2005 EN 6 CDS ( WORPERFECT ) PRIMARIA TRILCE 2007 EN 6 CDS (P) PRIMARIA SACO OLIVEROS 2007 EN 6 CDS (P) PRIMARIA COLEGIO STO DOMINGO DE CHIMBOTE (W) PRIMARIA COLEGIO VIRGEN DE GUADALUPE DE CHIMBOTE (W) PRIMARIA COLEGIO CLARET (WORD-COLERL DRAW) PRIMARIA COLEGIO 200 MILLAS (w) CONCURSO MATEMATICAS PRIMARIA EN 1 CD (P) PRIMARIA SACO OLIVEROS 2010 (W) PRIMARIA TRILCE 2010 (W) PRIMARIA TRILCE 2012 A COLORES (INDESING)
SECUNDARIA : LIBRO SEC. COVEÑAS 2008 EN 1 DVD (P) SECUNDARIA TRILCE 2005 EN 7 CDS (W) -SEC. COLEGIO LETORNEAU 2005 MATEM. Y CIENCIAS EN 1 CD (W) SECUNDARIA SAN IGNACIO 2005 EN 5 CDS (WORPERFECT) SECUNDARIA PROVIDENCIA 2005 EN 5 CDS (W) SECUNDARIA TRILCE 2007 (GORDITOS) EN 6 CDS (P) SECUNDARIA SACO OLIVEROS 2007 EN 9 CDS (P) BANCO SEC. COLEGIO TERESA GONZALES 2005 DE CAÑETE EN 1 CD (W) BANCO SEC. COLEGIO ALBORADA 2005 DE SURCO EN 1CD (P) 300 SIMULACROS , TAREAS Y FAST TEST SEC. TRILCE EN 1 CD (P) SEC. TRILCE 2008 (1RO-4TO TEST EVAL.X TEMA/5TO SM-PUCP) (P) SECUNDARIA COLEGIO STO TORIBIO DE CHIMBOTE 2008 ( W ) SEC. COLEGIO VIRGEN DE GUADALUPE DE CHIMBOTE 2008 ( W ) PAMER PAMER SELECCIÓN TALENTOS 2009 - 2011 TODOS LOS CURSOS EN 5 CDS (P) SECUNDARIA COLEGIO INTEGRAL DE TRUJILLO 2005 ( W ) SECUNDARIA COLEGIO PITAGORAS 1º2º3º4º5º (WORPERFECT) -SECUNDARIA COLEGIO 200 MILLAS (w) SECUNDARIA TRILCE 2012 A COLORES (INDESAING) SECUNDARIA SACO OLIVEROS SELECCIÓN 2009 – 2011 TODOS LOS CURSOS 6 CDS (P)
ACADEMIAS : 60 SIMULACROS ANUAL- SAN MARCOS ACADEMIA CCV. 2004 (P) -ACADEMIA CIRCULO SAN MARCOS-UNI 2003 EN 1 CD (P) -ACADEMIA MAKARENKO 2002 SAN MARCOS EN 1 CD (P) -ACADEMIA APPU 2003 SAN MARCOS-UNI 34 BOLET.EN 1 CD (W)
-ACADEMIA MIR 3 CICLOS SAN MARCOS 2003 EN 1 CD (W) -ACADEMIA STA ANITA 2005 VER+REP SAN MARCOS EN 1 CD (W) -ACADEMIA CESAR VALLEJO 2005 ANUAL EN 1 CD (P) -ACADEMIA ADUNI 2 SEMESTRALES 2005-6 EN 1 CD (P) -ACADEMIA SACO OLIVEROS 2007 ANUAL EN 8 CDS (P) -ACADEMIA SACO OLIVEROS 2007 SEMESTRAL EN 4 CDS (P) -ACADEMIA SACO OLIVEROS 2007 VERANO EN 2 CDS (P) -ACADEMIA MAKARENKO 2006 REPASO-VERANO SM-UNI EN 1 CD (P) -ACADEMIA CCV 1 REPASO UNI 2006 +ACADEMIA CCV 1 REPASO UNI ESPECIAL 2006 +ACADEMIA CCV 1 REPASO SM TRADICIONAL 2006 EN 1 CD (P) -CENTRO PRE UNIVERSITARIO DE LA UNIVERSIDAD JOSE FAUSTINO DE HUACHO 2 SEMESTRALES+2 VERANO S 2005-20066 (W) o PRE_CATOLICA ELITE 2001-2-3 RV-RM EN 3 CDS (W) -PRESANMARCOS 2006 VERANO EN 1 CD (W) -CEPREUNI 2005 , 6 SEMINARIOS ( A –X– G–T–F–Q ) EN 1 CD (P) -CEPREUNI 2006-7,6 SEMINARIOS (A – X – G – T – F – Q ) EN 1 CD (W) o ACADEMIA SEMESTRAL PAMER UNI 2005 TEO-PRACT 4 CDS -ANUAL-SEMESTRAL UNI ACADEMIA PITAGORAS -OLIMPIADAS ESCOLARES TRILCE 2002-2003-2004-2006 (P) -CENTROPREUNIVERSITARIO DE LA UNIVERSIDAD DEL CENTRO 2002-2003-2004-2005-2007-2008 EN 1 DVD (W-P-COREL DRAll- W) -15 CURSOS MULTIMEDIA TRILCE :APTITUD –MATEMATICA-CIENCIAS-HUMANIDAES EN 1 DVD ACADEMIA SACO OLIVEROS 1 DVD (P), MUCHOS MAS. Ubíquenos en : Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). Teléfonos: 988961526 (movistar) 144*7432 (nextel) Correo:
[email protected]
1ro Sec.
Ahora en tu cuaderno 5.
Calcular «x» en: 4sen30º + x =csc30º
7.
Calcular :
6.
Calcular «y» en: (y - 2) cos60º = y
8.
Calcular M + N
Si :
E = 3sen30º - 5cos60º
M = sec60º - 1
N =
3 tg30º + 1
Para reforzar 1. Calcular:
5. Calcular: E = 2cos60º – tg30º
a) 0
b) 1
E=
c) 2
d) 3
a) 1
e) 4
TRIGONOMETRÍA
b) 1
d) 3
c) –1 e) 3
6. Calcular «x» en:
tg60º M= tg30º
a) 0
b) 0
d) 2
2. Calcular:
tg30º ctg60º
sen60º- cos30º+ 3 tg30º = x+1
c) 2
a) –1
e) 4
d) 2
b) 1
c) 0 e) 3
7.
3. Calcular : R = sec60º +
a) 0
2a+sen30º= 3 ctg60º
3 csc60º
b) 1
d) 3
c) 2
a) 4/3
b) 2/3
c) 1/4
e) 4
d) 3/2
e) 2/4
8. Calcular M + N Si:
4. Calcular «x» en:
xsec60º = 2csc30º a) 20
Calcular «a» en:
b) 21
d) 24
c) 12 e) 25
130
M = sen30º cos30º + tg30º
N = cos60º sen60º + ctg60º
a)
3 / 2 b) 3/4
c) 1
d)
3
e) 0
