Nombre: ………………………………………………… Sección: ……………
6to. de Primaria
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Teoría de Conjuntos George Cantor Nació en San Petersburgo (Rusia). Su madre era rusa y su padre un comerciante danés. En 1856 la familia se trasladó a Wiesbaden (Alemania). Fueron 6 hermanos. La disciplina en la familia era muy estricta y en la familia había verdadera obsesión por el éxito. Su padre quería que estudiase ingeniería, pues había demanda de ingenieros y estaban bien pagados, sin embargo, a Cantor no le gustó la idea y estudió matemática. Estudió en el politécnico de Zurich y en Berlín. Sus profesores en Berlín fueron Weierstras, Kummer y Kronecker. Demostró que no todos los conjuntos infinitos son del mismo tamaño donde los conjuntos que todos diríamos que tienen más elementos, tienen los mismos. Sus teorías fueron muy controvertidas en su época y tuvo enfrentamiento con otros matemáticos. Murió en 1918 en un sanatorio mental.
Idea de Conjunto Cuando observamos a nuestro alrededor nos damos cuenta que existen muchos elementos que presentan características comunes que nos permite clasificarlos en grupos y realizar un estudio especializado ya sea en la naturaleza (árboles, piedras, animales, etc.) o en la sociedad (casa, carros, personas, camisas, etc.). Todo grupo nos da idea de conjunto, así por ejemplo en la semana deportiva se concentran todos las aulas del colegio formando un gran conjunto de alumnos y profesores. De la misma manera cuando sus maestros participan en un trabajo o en un desfile se puede observar conjuntos de profesores y de profesoras, pero si consideramos a todos sólo tendremos un conjunto de profesores, lo cual indica que también podemos formar conjuntos cuyos elementos no necesariamente tienen características comunes, por ejemplo podemos formar un conjunto cuyos elementos sean un lapicero, una carpeta y un automóvil.
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Representación de conjuntos A los conjuntos se les nombra con una letra mayúscula de nuestro alfabeto y se les represen ta entre llaves o gráficamente por medio del diagrama de Venn, por ejemplo: Represento el conjunto formado por los seis primeros números primos:
Entre llaves
Diagrama de Venn
A = {2; 3; 5; 7; 11; 13 }
A 7
Los elementos cuando son números se separan por punto y coma y cuando no lo son, se separan por comas.
11 5
2
3 13
Represento el conjunto formado por los países que forman la Comunidad Andi na de Naciones. Entre llaves
Diagrama de Venn
B = { …………………………………………. …………………………………………. }
Determinación de conjuntos Determinar un conjunto es señalar en forma precisa cuales son los elementos que lo forman. Usaremos dos maneras:
Cardinal de un número: n(A) señala el número de elementos de un conjunto.
a. Determinación por extensión Cuando se enumera o describe uno a uno los elementos que lo forman. Ejemplo: C = { 9 ; 7 ; 11 ; 5 } b. Determinación por comprensión Cuando se menciona una característica común de los elementos. Esquema: C = {F(x)/x, tiene cierta característica} F(x): indica la forma del elemento. Ejemplo:
C = { x/x es un número primo menor que 13}
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01.- Represento, mediante diagramas de Venn, los siguientes conjuntos.
A = {x/x
N x ≤ 19, x es impar}
2
B = {x /x
N x es impar 4 ≤ x < 11}
02.- Determino por extensión y comprensión los siguientes conjuntos. El conjunto formado por las letras de la palabra responsabilidad. El conjunto de los múltiplos de 3 menores que 21. El conjunto de los divisores del número 30. El conjunto de los meses del año' que tienen 31 días. El conjunto de las vocales de la palabra perseverante El conjunto de los números pares mayores que 3 y menores o iguales que 10.
A = {r, e, s, p, o, n, a, b, i, d, l}
A = { x/x es una letra de la palabra responsabilidad }
03.- Uno con una flecha los conjuntos determinados por extensión con el mismo determinado por comprensión: 3
E = {1;2;3;4;6;8;12;24}
{x /x N 3 ≤ x < 6}
F = {27;64;125}
{x/x es un número par, 9 < x < 10}
G = {2;3;5;7;11;;13;17;19}
{2x-1/x N 20 ≤ x ≤ 20}
H = {n;e;a;l;s}
{x/x es un divisor del número 24}
I = {39;41;43;45;47}
{x/x es una letra de la palabra NEALS}
J = {
{ x N/x es un número primo x < 20}
}
K = {Paris}
{x/x es la capital de Francia}
04.- Determino por extensión:
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"B es el conjunto de los planetas del sistema solar". "C es el conjunto de los números pares; mayores que 10 pero menore s que 30". "A es el conjunto de los 5 últimos presidentes que gobernaron el Perú".
05.- Determino por comprensión:
"A es el conjunto de alumnos de tu colegio". "B es el conjunto de números naturales impares menores que 20". "C es el conjunto de profesores varones de mi colegio".
06.- Determino por extensión: A = {x/x N x < 6} B = {x/x es un número par, x < 12} C = {x/x es una vocal de la palabra murciélago} D = {x/x N, 3 < x < 9} E = {x+1/x N x ≤ 3} F = {2x/x N x < 4}
06.- Represento mediante diagramas de Venn, los siguientes conjuntos: A = {x2 -2/ x N 4 < x ≤ 10} B = {x/x es un múltiplo de 2 7< x <33} C = {x/x es un divisor del número 37} 07.- Analiza el siguiente diagrama y escribe Verdadero (V) o Falso (F)
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Operaciones con Conjuntos Intersección de conjuntos Dados dos conjuntos A y B se llama intersección de A y B al conjunto formado por los elementos que pertenece a A y a B.
Notación: A intersección B
AB
Intersección de dos o más conjuntos significa obtener un nuevo conjunto formado por todos los elementos comunes a los conjuntos considerados. AB={x/xA y xB} Gráficamente: Sea los conjuntos: A = { n, i, l, s, i, t, o } B = { z , u, l, e, i, k, a } A
B
La intersección es otro conjunto formado por los elementos comunes que pertenecen a esos dos conjuntos a la vez.
Casos particulares de intersección:
Si: B es subconjunto de A BA Entonces: A B = B
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A y B no tienen elementos comunes, Entonces: A B = A B = { } A y B reciben el nombre de conjuntos DISJUNTOS
La intersección de un conjunto A con él mismo, es el propio conjunto A. AA=A
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01.- Observo el diagrama y determino por extensión cada conjunto:
A = { ………………………………………………………………………………………… } B = { …………………………………… } C = { ……………………………………………………………………… } D = { …………………………………… } E = { …………………………………… } A B = { ………………… } A C = { ………………… } B E = { ………………… } A B E = { ………………… } A C E = { ………………… } A C D = { ………………… } C D = { ……………… } 02.- Sean los conjuntos: J = {7; 8; 9; 10; 11} ; A = {9; 10}
;
P = {10; 11; 12; 13}
;
R = {4; 5}
Efectuar la operación de intersección y construir su gráfica de : J A
J P
P R
A P
A R
03.- Dado el diagrama adjunto, escribir A = { …………………………………………..} B = { …………………………………………..} C = { …………………………………………..}
A
B
.7 .8
.3
.1 .2
.5 .4
.10 C 04.- Dado el diagrama adjunto, escribe (V) o (F) según convenga. 8
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R S = {2; 1}
(
)
S T = {3; 9}
(
)
T R = {1; 3}
(
)
R S T = {1}
(
)
T S = {1; 9}
(
)
R T = {1; 3}
(
)
R
S
.6 .5
.3
.7
.2 .1
.15
.8
.9 .16
T 05.- Dado el siguiente diagrama escribe el conjunto intersección de:
A C
C D B
C D
A B
A D
B D
A
.4
C .1
.6
.9
.2 .8
B
D .3 .7
.11 .10
06.- Dado los conjuntos: A = {x N/ 3 x < 6} B = {x/x N x < 4} C = {x + 1/x N y 5 > x > 2}. Efectúa y construye su diagrama de: A B
A C
B C
07.- Dado los conjuntos A = {x N/ 2x+1 ≤ 11} B = { x N / x ≤ x+1 < 6} C = {x+2/x N 0 < x ≤ 5 } Efectúa y construye los diagramas respectivos de: A B A C B C A B C
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Unión de Conjuntos Dados dos conjuntos A y B se llama unión de A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B. AUB={x/xA ó xB}
Notación: A unión B
AB
Gráficamente: Sean los conjuntos: A = { 3, 8, 10, 11 } B = { 2, 8, 3, 6, 9} Simbolizamos: A B = {2, 3, 6, 8, 9, 10, 11} Casos particulares de intersección:
Si: B es subconjunto de A Entonces: A B = A A B = { 1, 3, 5, 7, 9}
01.- Dados los conjuntos J = {7; 8; 9; 10; 11} A = {9; 10} P = {10; 11; 12; 13} R = {4; 5}
La unión de un conjunto A con él mismo, es el propio conjunto A. Si A y B son disjuntos, entonces: A B = { p, u, n, o, i, l, a, v, e }
Entonces: A A = A
Efectuar la operación indicada y construye la gráfica de:
JA
JP
AP
AR
02.- Dados los conjuntos: 10
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M = {x N/ 6 > x 3} N = {x + 1/x N x < 4} P = {x/x N 1 x 3} Efectúa y construye su diagrama de:
MN
MP
NP
03.- Dados los diagramas, hallar la unión de:
A B = { ………………………………………………………… } B C = { ………………………………………………………… } A C = { ………………………………………………………… } C D = { ………………………………………………………… } (B A) D = { ……………………………………………… } D (A B C) = { ……………………………………… } 04.- Dados los conjuntos: A = {a, c} C = {x/x es una vocal}
B = {d, e, c, b} D = {d, e, f}
Unir con una flecha las uniones equivalentes AB
{a, e, i, o, u}
BC
{a, d, e, f, i, o, u}
CD
{c, e}
(A B) D
{c, d, e, f}
(A B) (C D)
{a, b, c, d, e}
C (A D)
{a,b,c,d,e,i,o,u}
05.- Dados los conjuntos: R = {x N/ 2 < x < 8} T = {8; 9}
S = {1; 2; 3; 4} V = {5; 6}
Efectúa y construye su diagrama respectivo: RS ST S (T V) 06.- Dados los conjuntos E = {2 + x/x N 2 < x < 8} F = {x N/ 3 > x} G = {x N/ 3 < x < 7} H = {3; 6} Efectúa y construye los diagramas de: EF
EG
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G H
(G H) F
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Diferencia de Conjuntos Restar es sinónimo de quitar. El resultado de la sustracción se llama diferencia. Si estos conceptos lo llevamos a nuestro estudio de los conjuntos tenemos que: Se llama diferencia entre un conjunto A y otro B, al conjunto formado por todos los elementos de A que no pertenecen a B. Notación: Diferencia entre A y B
A–B
A – B = { x/ x A y x B }
¡Ojo…! Los elementos de la intersección no se consideran parte de la diferencia.
Veamos un ejemplo: Sea:
Además: A = {e, r, s, n } B = { r, n, m, a}
Simbolizamos:
A – B = { m, a }
A–B≠B–A
Se lee: El conjunto A menos el conjunto B
Casos particulares de la diferencia: Los conjuntos que intervienen en la operación diferencia pueden: intersectarse, uno estar incluido en el otro o ser disjunto.
Si B A entonces: A – B = {a, e, o}
Si A y B son disjuntos, entonces: A–B =A
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01.- Dados los conjuntos: A = { 10 , 11, 12, 13, 14, 15, 16 } B = { x/x N 6 < x < 13, x es par } C = { x/x N 10 < x < 16, x es impar } D = { 14, 15, 16, 17, 18 } Una con flechas los conjuntos equivalentes: B–A
{8, 10, 12}
B–C
{11, 13}
C–D
{10, 12, 14, 16}
A–D
{8}
A–C
{10, 11, 12, 13}
02.- Observa el diagrama y expresa por extensión cada conjunto:
A – B = { ……………………………………… } C – A = { ……………………………………… } B – C = { ……………………………………… } B – A = { ……………………………………… } C – D = { ……………………………………… } B – D = { ……………………………………… } D – A = { ……………………………………… } D – B = { ……………………………………… } (A D) – (C B) = { ……………………………………… } (A C) – D = { …………………… } (A C D) – (A – C) = { ……………… } (B C) – (B C D} = {……………… } C – {A B D} = {……………… } D – {A B C} = {……………… }
03.- Colorea la región que representa las operaciones indicadas
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A (B – C)
(H G) - I
(D E) – F
J-K
04.- Grafica los conjuntos y hallar la diferencia A = {2x-1/x N 0 < x < 5} B = {x/x N 4 ≤ x < 8} C = {x-2/x N 2 < x ≤ 6} D = {6, 4, 2} *B–C
*A–B
* (C D) – (A B)
05.- Dados los conjuntos: A = {x/x N 10 < x < 15} B = {x/x N 15 < x ≤ 18} C = {x/x son los cinco primeros números primos} D = {x/x son los 5 primeros números impares de 2 cifras} 06.- Dado el diagrama, hallar:
C–A C–B B–A B – (A C) (A B) – C
Diferencia Simétrica
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6to. de Primaria
La diferencia simétrica de los conjuntos A y B es otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B, pero no a ambos. Simbolizamos:
A
B
= (A–B)(B–A)
o
también
A
B=(A
B ) – ( A B)
Veamos un ejemplo:
A
B = {e, s, m, a}
Casos particulares de intersección: Los conjuntos que intervienen en la operación diferencia simétrica pueden: intersectarse, uno estar incluido en el otro o ser disjuntos.
A B = (A-B) (B-A) A B = {40, 50, 60} A B = {40, 50}
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A B = (A-B) (B-A) A B = {a, e, o} {i, u} A B = {a, e, i, o, u}
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01.- Dado el diagrama, escribo dentro del paréntesis (V) si la operación es correcta y (F) si no lo es:
C D = {31; 37} A B = {2; 3; 11; 13; 17} B C = {5; 11; 13; 7; 23} A C = {2; 3; 5; 17; 19; 23; 29} (A B) D = {2;3;31} (B C) A = {17; 19} (A B C) D= {7;29; 31; 37} (C D) (A B C) = {2; 3; 5; 13; 29; 31; 37}
( ( ( ( ( ( ( (
…… …… …… …… …… …… …… ……
) ) ) ) ) ) ) )
02.- Dados los conjuntos: P = {x N/ 2
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Complemento de un conjunto A todos los elementos que pertenecen al conjunto U, para ser igual al conjunto A complemento del conjunto A. Simbolizamos: Entonces: Se lee:
A’
ó
se les llama
Ac
A’ = {x/x U x A}
El complemento del conjunto A.
01.- Dado el diagrama, expreso por extensión cada conjunto:
A’ = { ……………………………………………………………………………………………} B’ = { ……………………………………………………………………………………………} C’ = { ……………………………………………………………………………………………} (A – B)’ = { ………………………………………………………………………………… } (B – C)’ = { ………………………………………………………………………………… } (A B C)’ = { ………………………} (A C)’ (A B C) = { …………………………………………………………} (A B)’ – C = { …………………………} [ (B C) – (A C) ]’ = { ……………………………………………………………} 02.- Designando: A: el conjunto de todos los nacidos en el Perú. B: el conjunto de todos los nacidos en la selva amazónica peruana. C: el conjunto de todos los nacidos en Iquitos. El diagrama de Venn que se relaciona correctamente los tres conjuntos es:
c)
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Relaciones entre Conjuntos Relación de Pertenencia () , ()
Observemos: U
¿El 16 a que conjunto pertenece? 16
B
16
C
16
D
16
U
Leemos
Simbolizamos
33 pertenece a A 4 no pertenece a A
Completar:
* 33 …… C * 9 …… B
33 A 4 A
* 53 …… A * 16 …… D
Relación de Inclusión () , ()
Un conjunto A esta incluido o es subconjunto de otro B, si todos los elementos de A pertenecen también al conjunto B. De los conjuntos arriba, observamos: El conjunto A es subconjunto del conjunto U Simbolizamos:
A
U
El conjunto A no es subconjunto del conjunto D Simbolizamos:
A
D
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6to. de Primaria
Importante Los símbolos () , () relacionan un elemento con un conjunto. Los símbolos () , () relacionan un conjunto con otro conjunto.
01.- Observar el diagrama y escriba en los espacios en blanco:
U = { …………………………………………………………………… } A = { ……………………………………… } B = { ……………………………………… } C = { ……………………………………… } D = { ……………………………………… }
8 ……… {8;14} ……… 20 ……… A ……… 18 ………
A C B U D
02.- Completar los espacios en blanco con los símbolos:
, , ,
24 ……… B D ……… U {10, 16}……… C
A = {(x+1)2/x N 1 ≤ x < 5 } = …………………………………………………………… B={
x /x N 8 ≤ x < 15, x es par} = …………………………………………………………… 2
C = {x/x N 3 < x ≤ 6} = …………………………………………………………… D = { 4 ; 25} 25 ……… A 6 ……… B D ……… A C ……… B
6to. de Primaria
20 ……… B {4, 5} ……… C B ……… A {3, 4} ……… C
{4, 5} ……… A 16 ……… B D ……… C 9 ……… D
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A
04.- Dado el diagrama, responde ó
B D
E A B C E
( ( ( (
) ) ) )
B D A D
D B D A
05.- Observa y responde E C D B
( ( ( (
) ) ) )
D B A A
E B C D
( ( ( (
06.- Dado:
) ) ) )
( ( ( (
) ) ) )
C
A A E C
A
ó
C
A C A E
B
E
D
A = {2x/x N 1 ≤ x < 5} B = {x/x N, x es par 3 < x < 8} C = { 2, 8}
Escribir (V) o (F) AB BA
( ……… ) ( ……… )
07.- Dado el diagrama escribir:
8 ……… A 9 ……… B C ……… B
BC 8B
( ……… ) ( ……… )
B = C ( ……… ) 2 C ( ……… )
, , ,
A ……… B A ……… C {9, 11} ……… U
{8, 15} ……… D C ……… D 15 ……… B
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6to. de Primaria
Problemas con Conjuntos Reconocimiento de Zonas en un Diagrama de Venn Euler
Veamos una situación común: Son estudiantes que estudian Aritmética y Algebra Se pueden dar diferentes situaciones:
Álgebra
Aritmética IV
Sólo Álgebra
Sólo Aritmética Álgebra y Aritmética Ninguno de los dos
Zona I: Los que solamente estudian Algebra También se dice que estudian Algebra exclusivamente Zona II: Los que estudian ambos cursos Zona III: Los que solamente estudian Aritmética También se dice que estudian Aritmética exclusivamente Zona IV: Los que no estudian ninguno de los dos cursos.
01.- Sombrea las zonas según sea el caso:
“los que usan azul”
6to. de Primaria
“los que usan rojo”
“los que usan azul y rojo
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“los que usan sólo rojo”
“los que no usan azul o rojo”
“los que usan azul o rojo”
02.- Reconoce las zonas a) b) c) d) e) f) g) h) i)
Sólo A Sólo B A B AyB AóB no A no B ni “A” , ni “B”
……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ………………………………………
03.- Sombrea las zonas según sea el caso:
Los Hinchas de Alianza y Cristal
Los que son hinchas al menos de dos equipos
Los que son hinchas de Alianza pero no de Cristal
Los que son hinchas de un solo equipo
Los hinchas de Cristal y Cienciano pero no de Alianza
Los que son hinchas a lo mas de dos equipos
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6to. de Primaria
BLOQUE I 01.- Ricardo comió huevos y frutas en el desayuno todas las mañanas en el mes de diciembre. Si 17 mañanas comió huevo y 25 mañanas comió frutas. ¿Cuántas mañanas comió ambas cosas? a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
e) NA
02.- Un aula de 6to. Grado tiene 30 alumnos, quienes practican al menos uno de estos dos deportes: natación o fútbol. Si el 60% practica natación y el 70% practica fútbol, ¿cuántos alumnos practican ambos deportes? a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
e) 13
03.- De 100 personas que leen por lo menos 2 ó 3 libros, notamos que 55 leen Comercio y Expreso, 35 leen Expreso y Bocón y 60 leen Comercio y Bocón. ¿Cuántas personas leen los 3 diarios? a) 25
b) 26
c) 28
d) 29
e) 30
04.- De 120 amigos que tengo 92 juegan ajedrez y 32 juegan nintendo. ¿Cuántos juegan ambas cosas a la vez, si todos juegan por lo menos algunos de esos entretenimientos? a) 2
b) 4
c) 5
d) 6
e) 8
05.- En una sección del 5º grado de educación secundaria se observó que los alumnos están pensando estudiar el próximo año Medicina ó Computación. Si 7 estudiarán ambas cosas y 19 estudiaran Medicina. ¿Cuántos estudian solamente Medicina? a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) NA
06.- En una reunión de 40 personas, se observa que 18 son hombres. Veinte personas usan lentes y 5 mujeres no usan lentes. Halle la suma de la cantidad de hombres que no usan lentes más la cantidad de mujeres. a) 37
b) 30
c) 50
d) 40
e) 22
07.- En una encuesta a 20 niños se informó que: 8 estudian y trabajan y 5 sólo estudian. ¿Cuántos niños sólo trabajan? a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) NA
08.- Entre 18 personas: 9 comen pescado y 6 comen pescado y mariscos. ¿Cuántos comen mariscos? a) 12
b) 13
c) 15
d) 18
e) NA
09.- En un aula de 30 alumnos, 10 estudian computación y religión y 25 religión. ¿Cuántos estudian un solo curso? a) 18
b) 20
c) 22
d) 21
e) NA
10.- Doce camiones transportan ladrillos o arena para una construcción. Si 5 camiones transportan sólo ladrillos, 6 transportan ladrillos y arena. ¿Cuántos camiones transportan sólo arena? a) 2
b) 1
c) 3
d) 5
e) NA
BLOQUE II
6to. de Primaria
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01.- Según el diagrama señale los elementos de los conjuntos solicitados. a) Practican fútbol: b) Practican básquet: c)
Practica natación:
d) Practican fútbol y básquet e) Practican básquet y natación f)
Practican natación y fútbol
g) Practican fútbol y básquet solamente h)
Practican básquet y natación solamente
i)
Practican natación y futbol solamente
j)
Practican solo futbol
k) Practican solo natación l)
Practican básquet solamente
m) Practican solo un deporte n) Practican solamente dos deportes o) Practican los tres deportes p) Practican por lo menos dos deportes q) Practican futbol ó básquet r)
Practican natación ó básquet
s)
Practican fútbol ó natación
02.- 60 alumnos rinden un examen que consta de 3 partes, se sabe que: 10 aprobaron solo la primera parte, 20 aprobaron la primera parte, 25 aprobaron la segunda parte, 21 aprobaron la tercera parte, 6 aprobaron la segunda y tercera parte, pero no la primera, 7 aprobaron las dos primeras partes y 3 aprobaron las tres partes. ¿Cuántos desaprobaron en las tres partes? a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
03.- En una escuela de 135 alumnos, 90 practican fútbol, 55 básquet y 75 natación, además 20 alumnos practican los 3 deportes, 50 alumnos practican solo un deporte y 10 no - practican ninguno. ¿Cuántos alumnos practican al menos dos deportes? a) 76
b) 80
c) 75
d) 82
e) 70
04.- De 55 alumnos se obtuvo la siguiente información: 32 estudian el curso A, 22 estudian el curso B y 45 estudian el curso C, 10 alumnos estudian los tres cursos y 24 alumnos estudian exactamente dos cursos. ¿Cuántos alumnos exactamente estudian un curso? a) 21
b) 19
c) 11
d) 5
e) 4
05.- En una competencia con 12 pruebas, participaron 42 atletas; siendo los resultados: 4 conquistaron medalla de oro, plata y bronce, 6 de oro y plata, 8 de plata y bronce, 7 de oro y bronce. ¿Cuántos atletas conquistaron solo una medalla? a) 21
b) 22
c) 23
d) 35
e) NA
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6to. de Primaria
Problemas Olimpiadas de Matemáticas 01.- Si:
A = { x N/ 3
b) 5
c) 6
d) 2
e) 1
02.- Si: P = { 1; 2; 3; 4 } Q = { 7; 8; 3; 4 } El cardinal de (P – Q) Q es: a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
03.- Considerando estos conjuntos: A = { a, b, c, d } B = { b, c, d, e, f } C = { b, c, d, e, f } Hallar: (A B) C a) { e, f } b) { a, b, c, d, e } C) { b, c, d } d) { a, b, c, d } e) { a, b, c, d, e, f} 04.- Dado los A={ B={ C={
conjuntos: 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 } 2; 4; 6; 8 } 3; 5; 6; 7; 8 }
Hallar: A – (C – B) a) {2; 5; 7} b) {3;4;6;8} c) {2; 4; 6; 8} d) {4; 6; 8} e) N.A. 05.- Cierto grupo de alumnos rindieron examen de aritmética y álgebra el resultado fue:
46 aprobaron sólo aritmética 30 aprobaron álgebra 15 aprobaron aritmética y álgebra 8 no aprobaron examen alguno
¿Cuántos alumnos hay en el grupo? a) 76 d) 82
b) 78 e) 84
c) 80
04.- Si: A B = { 5; 6; 8; 10; 11; 12; 13 } A - B = { 5; 6} B A = { 8; 12}
a) 8
b) 10
c) 12
d) 13
e) 14
05.- En un grupo de 100 estudian 49 no llevan el curso de aritmética y 53 no siguen el curso de computación. Si 27 alumnos no siguen computación ni aritmética. ¿Cuántos alumnos llevan exactamente uno de tales cursos? a) 24 b) 30 c) 36 d) 48 e) 64 06.- Un club tiene 48 jugadores de futbol, 25 de básquet y 30 de vóley. Si el número total de jugadores es 68 y solo 13 de ellos practican los tres deportes. ¿Cuántos practican sólo dos deportes? a) 8 b) 9 c) 11 d) 12 e) 13 07.- Un club de deportes tiene 38 frontonistas, 15 pimponistas y 20 tenistas. Si el número total de jugadores es 58 y solo 3 de ellos practican los tres deportes. ¿Cuántos jugadores practican solamente un deporte? a) 42 b) 43 c) 44 d) 45 e) 46 08.- Si: Calcular: a) 44 d) 51
A = {4, 5, 6, …, 48} B = {2n/nZ ; 6
c) 39
09.- Si:
A = { números naturales } B = { números pares } C = {1, 3, 2, 5, 7, 9,10} Hallar: n[(A-B)C] a) {1,5,7,9} c) 3
b) {1,2,7,9,10} d) {1,3,5,7} e) 5
10.- Si:
U = {a,b,c,d,…,z} B = {letras de la palabra tiburón} A = {vocales} Hallar: A’B a) {1,t,b} d) {a,e}
b) {t,b,u} e) {t,b,r,n}
c) {i,u,o}
Calcule: n(A) + n(B) + n(B-A)
6to. de Primaria
25
Producto Cartesiano
Diagrama
Vemos que Micaela para llegar al parque tiene 2 caminos (h1 , h2) y para ir del parque al colegio tiene 3 caminos (c1 , c2 y c3) Sean los conjuntos: A = {h1 , h2} B = {c1 , c2 , c3} Las diferentes formas que tiene Rina de llegar al colegio pasando por el parque son: (h1 c1), (h1 c2), (h1 c3), (h2 c1), (h2 c2), (h2 c3) Cada uno es un par ordenado y todas las combinaciones forman el producto cartesiano. Simbolizamos: AxB = { (h1 c1), (h1 c2), (h1 c3), (h2 c1), (h2 c2), (h2 c3) } Además: n(AxB) = n(A) x n(B)
El Producto cartesiano se representa gráficamente por: 26
6to. de Primaria
Diagrama de Flechas AxB
Diagrama cartesiano AxB
Tabla de doble entrada AxB
Veamos el caso AxA Si: A = { 2 , 3 , 5}, veamos como es el producto cartesiano AxA AxA = {2 , 3, 5} x {2 , 3, 5} = { (2;2), (2;3), (2;5), (3;2), (3;3), (3;5), (5;2), (5;3), (5;5) }
A
2
3
5
01.- Dados: A = {2x-3/x N 4 ≤ x ≤ 6} B = {x/x es un dígito par del número 52 746} C={
x /x es un múltiplo de 3 10
Hallar y construir el diagrama de flechas, diagrama cartesiano y la tabla de doble entrada.
02.- Completar la tabla de doble entrada y determinar el producto cartesiano
6to. de Primaria
27
17
7
13
5
11
3
7
1
B A
2
3
5
D E
2
4
6
8
AxB = {
}
DxE = {
}
03.- Dados los conjuntos: A ={2;4} B = {3;5} C = {6, 8, 10} D = {1, 7, 9, 11} Hallar: a) n(AxB) b) n(BxC) c) n(AxC
d) n(BxD) e) n(BxC) f) n(DxD}
04.- Dados los conjuntos: A = {11, 12, 13} B = {12, 14} C = {9, 10, 15} Hallar y construir los diagramas correspondientes: a) b) c) d)
AxB AxC BxC CxC
05.- Dados los conjuntos: A = {4x-2/x N 2 ≤ x < 5} B = {x/x es un dígito impar del número 61 279} C = {x/x N 5 < x < 8} Hallar: a) b) c) d)
AxB BxA (BC) x (CA) CxC
e) BxC f) (AC)x(BC) g) BxB
28
6to. de Primaria
Sistema de Numeración Decimal Lectura
Desde inicios de la humanidad, el hombre necesitó inventar alguna forma para representar cantidades. Necesitaba saber cuántos animales tenía o cuántos miembros tenía su familia. Posiblemente para cada animal que quería contar extendía un dedo de la mano o tallaba una señal en los troncos de los árboles o en una roca. De esta forma apareaba cada objeto con una señal. Todas las civilizaciones han utilizado símbolos para representar cantidades sobre las cosas qué contaban. Llamamos Numerales a dichos símbolos. Por mucho tiempo los investigadores se preguntaron el modo cómo los incas podían resolver sus cálculos. El hallazgo de tablas con casillas llamadas yupana (del verbo Yupay, que significa hacer cuentas) junto a los quipus nos da una respuesta definida. Hay yupanas de piedras, de madera o hueso. Cada casilla que representa esta yupana tiene un valor y para calcular se colocan en ellas granos de maíz u otras semillas. Si la yupana era pequeña se podían usar granos de quinua. Este ingenioso artificio a diferencia de otros aparatos o máquinas de cálculo (cómo los ábacos orientales) maneja cuentas móviles o reemplazables y se rige por una sola regla "Poner la menor cantidad de granos para representar un número". Usa los cuatro primeros números primos (1; 2; 3; 5) y combinan ingeniosamente el sistema binario, ternario, quinario y forma así el sistema decimal como se muestra en el gráfico superior. Otro aporte de los incas a la humanidad, son las líneas de Nazca que se trataría de un calendario astronómico.
6to. de Primaria
29
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL NUMERACIÓN. Es la parte de la Aritmética que nos enseña a expresar y escribir correctamente los números y puede ser hablada o escrita. NÚMERO. Es un ente matemático que nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza, el cual nos da la idea de cantidad. NUMERAL. Es la representación simbólica del número. Ejemplo: 4, IV, IIII, CUATRO Clase de los millones Centena Decena Unidad de millón de millón de millón CMLL DMLL UMLL 100 000 000 10 000 000 1 000 000
Clase de los millares Centena Decena Unidad de millar de millar de millar CM DM UM 100 000 10 000 1000
1
465
Clase de las unidades Centena Decena Unidad C 100
D 10
U 1
869
Un millón cuatrocientos sesenta y cinco mil ochocientos sesenta unidades
El número 1 465 869 se puede descomponer por: El orden del valor posicional: Notación desarrollada
1 UMLL
+
4 CM
+ 6 DM
+ 5 UM + 8 C
1 000 000 + 400 000 + 60 000 + 5 000 + 800
Descomposición polinómica:
1x10
6
+
4x10
5
4
3
+6D
+ 0U
+ 60 2
+ 0 1
+ 6x10 + 5x10 + 8x10 + 6x10 + 0x100
Centena de millar de millón
Decena de millar de millón
Unidad de millar de millón
Centena de millón
Decena de millón
Unidad de millón
Profundicemos:
CMMLL 100 000 000 000
DMMLL 10 000 000 000
UMMLL 1 000 000 000
CMLL 100 000 000
DMLL 10 000 000
UMLL 1 000 000
El número: 812 364 740 132 Se lee:
“Ocho cientos doce mil trescientos sesenta y cuatro millones setecientos cuarenta mil ciento treinta y dos” Además:
999 999 999 999 + 1 = 1 000 000 000 000 ( UN BILLÓN)
30
6to. de Primaria
I.- Escribir el numeral 1) Doce billones doce mil dieciocho 2) Dieciocho trillones veinte mil cuatro millones ochenta y siete 3) Noventa y nueve millones trescientos quince mil doscientos diecinueve. 4) Treinta billones treinta y cinco mil treinta millones diecisiete mil ocho. 5) Veintiséis millones diez mil diez. 6) Un trillón trescientos mil dos billones seiscientos mil setecientos millones quinientos dos mil setecientos ocho. 7) Cuarenta y seis trillones tres.
dos mil
8) Veinticinco mil ciento veintiocho trillones trescientos cincuenta y seis mil cuatrocientos veinticinco billones ochocientos treinta y seis mil cuatrocientos veinticinco millones trescientos cuarenta y ocho mil doscientos seis unidades.
II.- Escribe literalmente 1) 81 610 258 740 000 015 032 2) 66 555 879 234 004 011 024 3) 4 078 624 508 124 357 258 4) 369 025 021 14 333 156 789 340 5) 21 000 400 698 015 532 891 237 6) 6 237 159 870 021 011 369 7) 300 000 000 000 000 000 000 8) 67 157 508 100 010 326 325
6to. de Primaria
31
Descomposición de un número Tres formas de descomponer un número 1.- DESCOMPOSICIÓN POR ORDEN DE CADA DÍGITO 3 456 734 3UMLL
+
4CM
+
5DM
+
2.- DESCOMPOSICIÓN POR
6UM
+
7C
+
3D
+
4U
NOTACIÓN DESARROLLADA
3 456 734 3 000 000
+
400 000
+
50 000
+
6 000 +
700
+
30
+
4
3.- DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA 3 456 734 3 x 106 + 4 x 105 + 5 x 104 + 6 x 103 + 7x 102 + 3 x 101 +
4 x 100
DESCOMPONER POR EL ORDEN DE CADA DÍGITO 1)
9 654 219 011
3)
28 019 782 147
2)
258 354 250 000
4)
301 020 000 000
DESCOMPONER POR NOTACIÓN DESAROLLADA 1)
54 097 652 458
3)
37 582 127 154
2)
12 000 007 000
4)
305 000 698 011
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA 1)
8 974 128 174
4)
40 302 741 000
2)
5 076 137 789
5)
236 080 000 312
3)
305 000 000 009
6)
12 006 309 857
32
6to. de Primaria
01.- Ordene adecuadamente y escriba la superficie de los países que se muestren: ARGENTINA
7D 3 UMi 1UM 6DM 2C 4U 7CM
COLOMBIA
4U 8UM 1CM 3DM 1D 9C 1 UMi
PERÚ
5UM 5U 8DM 1 UMi 2C 1D 2CM
02.- Escriba como se lee las superficies de los tres países: Argentina: ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Colombia: ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Perú: ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 03.- Descomponga en su notación desarrollada: 57 467 201 = 50 000 000 + 7 000 000 + 400 000 + 80 000 + 5 000 + 200 + 3 134 569 402 = 75 872 098 = 234 387 926 783 = 6 352 521 983 368 = 04.- Escriba como se leen los siguientes números, según el orden de las flechas:
05.- Descomponer el número por descomposición polinómica: a. b. c. d.
67 358 093 32 567 834 232 345 642 453 234 674
6to. de Primaria
33
06.- Ubicar en el tablero de valor posicional los siguientes números: MILLONES NÚMEROS
CMLL
DMLL
MILLARES UMLL
CM
DM
UNIDAD
UM
C
D
U
28 329 873 198 321 345 32 984 567 12 894 342 07.- Observa el número y escribe en el casillero la cifra que corresponda según su valor posicional: 25 146 664
32 657 894
318 245 248
76 834 210
08.- Une cada número con su equivalente:
09.- Encierra los números menores que 5 DM mill
10.- Escriba el número que corresponde al siguiente desarrollo:
5 107 2 106 8 105 2 104 6 103 7 102 5 101 8 100 = 3 108 4 106 5 105 7 104 2 103 5 102 1 101 4 100 = 7 109 3 106 7 107 2 105 5 103 1 101 4 100 = 11.- Lea y escriba a) 2 420 239 211 345 946 498 b) 5 563 554 853 323 352 631 34
6to. de Primaria
Notación Científica ¿Cuál es la medida del radio de la tierra? Observemos:
Aprendemos:
Coma decimal 6
400 000
=
6,4 x 10
Se usa la notación científica para escribir números muy grandes o muy pequeños. Esto se expresa como un par de factores uno de ellos es un decimal entre 1 y 10, y el otro factor es una potencia de 10.
6
6 cifras Otros ejemplos: Coma decimal 2 7 000 000
=
2,7 x 10
7
7 cifras Coma decimal 180 000 000
=
1,8 x 10
8
8 cifras
01.- Escribe los números dados, en notación científica: a. b. c. d. e.
56 000 9 800 00 76 000 000 56 000 000 876 000 000
02.- Efectuar:
2
3
400 x 3000 = 4 x 10 x 3 10 5 = 4 x 3 x 10 5 = 12 x 10 1 5 = 1,2 x 10 x 10 6 = 1,2 x 10
Ahora Usted
a) b) c) d) e) f) g)
5 600 x 2 000 3 900 x 7 000 64 000 x 4 700 65 000 000 x 6 000 000 4,5 x 109 x 40 000 000 8 2 x 10 x 34 000 000 x 80 000
6to. de Primaria
35
Adición y Sustracción
ADICIÓN. La adición de dos números naturales es la operación mediante la cual se reúnen dos o más números llamados sumandos, en uno solo llamado suma. a + b
=
d
Sumandos
Suma
PROPIEDADES 1. CLAUSURA. La suma de dos números naturales es otro número natural. Ejemplo: 1 243 + 126 = 1 369 2. CONMUTATIVA. El orden de los sumandos, no altera la suma.
a+b=b+a Ejemplo:
7 392 + 1 270 = 1 270 + 7 392 8 662 = 8 662
3. ASOCIATIVA. Si agrupamos los sumandos en forma diferente, se obtiene siempre la misma suma. (a+b) + c = a + (b+c) Ejemplos:
(5 + 2) + 8 = 5 + (2 + 8) 7
+8=5+ 15 = 15
10
4. ELEMENTO NEUTRO. Existe un único número llamado cero, tal que todo número sumado con cero resulta el mismo número. a+0=0+a=a Ejemplo:
1 245 + 0 = 0 + 1 245 = 1 245
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6to. de Primaria
BLOQUE I 01.- Demuestra que sabes sumar: a)
7429968 + 57583 639406 107
b)
687 + 945 568 213
c)
6912 987 5764 4933
+
BLOQUE II 02.- Un camión realiza tres viajes: En el primero lleva 1600 latas de aceites, en el segundo 2720 y en el tercero 4109. ¿Cuántas latas de aceite transportó? 03.- ¿Cuál es la suma de todos los números de 2 cifras menores que 25? 04.- ¿Cuál es la suma de todos los números impares comprendidos entre 100 y 150? 05.- El menor de cinco hermanos tiene 20 años y cada uno le lleva 3 años al que sigue. ¿Cuál es la suma de las cinco edades? 06.- Jorge tenía 12 000 soles y por cada año que pasó duplicó la cantidad que tenía el año anterior. ¿Cuántos soles tendrá si han transcurrido 5 años?
Sustracción La sustracción de de dos números naturales: uno mayor llamado minuendo (a) y otro número menor o igual al anterior llamado sustraendo (b); da como resultado otro número natural llamado diferencia (d).
a minuendo
–
b
=
sustraendo
d diferencia
PROPIEDAD M: minuendo S: sustraendo D: diferencia M =S+D
6to. de Primaria
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Una de las aplicaciones con las operaciones básicas en los números naturales es el complemento aritmético. Complemento Aritmético CA(N) El complemento aritmético de un número natural positivo es igual a la cantidad de unidades que le falta a dicho número para ser igual a una unidad del orden inmediato superior. Ejemplo: CA(3) CA(28) CA(560) CA(6340)
= 101 – 3 = 7 =102 – 28 = 72 =103 – 560 = 440 =104 – 6 340 = 3 660
En general Sea el número N que tiene K cifras. K
CA(N) = 10 - N Calcular:
CA(235) CA(418) CA(653) CA(4020)
CA( abcd ) = 2 516 Hallar a+b+c+d
Carl Friedrich Gauss Niño prodigio de clase obrera que llegó a ser el mejor matemático de su tiempo. Todavía hoy, dos siglos después de su nacimiento, sus ideas y sus innovadores métodos siguen siendo actuales. Su personalidad era contradictoria, era un hombre frío y concentrado en su trabajo, un perfeccionista que no permitía que sus trabajos fueran publicados antes de que estuviesen totalmente pulidos y revisados. Sobre la infancia de Gauss se cuentan innumerables anécdotas sobre su temprana genialidad (él mismo solía decir que había aprendido ha contar antes de hablar). Una de las historias más famosas es que cuando tenía diez años, estando en clase de aritmética, su profesor le propuso el problema de sumar los cien primeros números naturales 1+2+3............+100. Mientras que todos los alumnos se devanaban los sesos con la interminable suma, Gauss (que descubrió el camino rápido) escribió un solo número en la pizarra ante la perplejidad del profesor. Como podéis suponer Gauss fue el único que dio la respuesta correcta. Por lo que el profesor le regaló un libro de aritmética que Gauss leyó (y corrigió) rápidamente. A lo largo de la historia ha habido varios niños prodigio en matemáticas pero la mayoría se limitaban a una gran capacidad de cálculo, sin embargo, Gauss iba mas allá, alcanzando elevadas cotas de razonamiento, invención e innovación. Gauss estudió Matemáticas y llegó a ser catedrático de Matemáticas de Kazán, catedrático de Astronomía de Gotinga. Se interesó e hizo descubrimientos en casi todas las ramas de las Matemáticas.
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6to. de Primaria
Ahora resolveremos interesantes problemas conociendo la suma (S) y la diferencia (D) de dos números. Sean A y B dichos números donde A > B. Entonces:
A (mayor) =
SD 2
B (menor) =
SD 2
Verificando: Si los números fueran 24 y 18, entonces la suma (S) será 42 y la diferencia (D) será 6, luego: 24 = nº mayor = Es decir: 24 = 24
42 6 2 ¡Comprobado!
18 = nº menor =
42 6 2
Es decir: 18 = 18
¡Comprobado!
Resuelvo los siguientes problemas. 1. Dos números suman 85 y la diferencia de los mismos es 35. ¿Cuáles son dichos números? 2. Las edades de Micaela y Nicanor suman 20 años. Cuando Nicanor nació, Micaela tenía 4 años. ¿Cuál es la edad de Micaela? 3. Cuando Raquel nació, Sofía tenía 9 años. Si hoy sus edades suman 37 años, ¿qué edad tendrá Sofía dentro de 5 años? 4. Las edades de Pedro y María suman 66 años y hace 9 años Pedro era mayor que María por 10 años. ¿Cuál es la edad de María? 5. Cuando Verenise nació, Diana tenía 9 años. Si hoy sus edades suman 43 años, ¿qué edad tendrá Verenise dentro de 7 años? 6. Entre Tanira y Alfredo tienen S/. 90. Si Alfredo le obsequia S/. 8 a Tanira, entonces ambos tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tiene Alfredo? 7. Nicanor y Aquiles tienen juntos S/. 160. Si Aquiles le da S/. 14 a Nicanor, ambos tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto dinero tiene Nicanor? 8. Hace 5 años Juana era 5 años mayor que Juan. Si actualmente sus edades suman 57 años, ¿cuál será la edad de Juana dentro de 12 años?
6to. de Primaria
39
Operaciones Combinadas I.- Resolver: 17 539 + 12 783 – 9 530 – 1 360
{ 1 832 – [ 123 + (639 – 427) + 241] }
431 825 – 260 718 + 532 057
385 + {481 – [323 – (81+114)] }
(753 – 598) + {817–(236+181)+14}
{93 741 + (48 683 – 29 739) }
II. Resuelva: a) Rina vende su bicicleta en S/.350, y perdiendo S/.250. ¿Cuánto le costó su bicicleta?
b) Un comerciante vende productos por S/.580 000. Si por esa mercadería pagó S/.296 925. ¿Cuánto es su ganancia?
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6to. de Primaria
Multiplicación
Propiedades de la multiplicación 1.- Asociativa Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: (a x b) x c = a x (b x c) Por ejemplo: (3 x 5) x 2 = 15 x 2 = 30 3 x (5 x 2) = 3 x 10 = 30 Los resultados coinciden, es decir: (3 x 5) x 2 = 3 x (5 x 2) 2.- Conmutativa Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: axb=bxa Por ejemplo: 5 x 8 = 8 x 5 = 40 3.- Elemento neutro El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que: ax1=a Ejemplo: 8 x 1 = 8 4.- Distributiva del producto respecto de la suma
6to. de Primaria
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Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: a x (b + c) = a x b + a x c Por ejemplo: 5 x (3 + 8) = 5 x 11 = 55 5 x 3 + 5 x 8 = 15 + 40 = 55 Los resultados coinciden, es decir: 5 x (3 + 8) = 5 x 3 + 5 x 8 5.- Elemento absorbente El producto de todo número natural multiplicado por cero es cero. Ejemplo: 28 x 0 = 0
I.- En los siguientes casos señala la propiedad que se cumple: a) 5 . 6 = 6 . 5
........................................
b) 17 . 8 = 8 . 17
........................................
c) (6 . 2) . 3 = 6 . (2 . 3)
........................................
d) 7 . (8 . 9) = (7 . 8) . 9
........................................
e) 3 . 1 = 1 . 3 = 3
........................................
f) 10 . 1 = 1 . 10 = 10
........................................
g) 5 . (6 + 4) = 5 . 6 + 5 . 4
........................................
h) 4 . (7 + 5) = 4 . 7 + 4 . 5
........................................
II.- Une con una flecha cada par de expresiones equivalentes. 6 . (7 + 5)
7 . (4 + 5)
5 . (8 + 6)
7 . (9 + 8)
(7 . 4) + (7 . 5)
(6 . 7) + (6 . 5)
3 . (10 + 3)
(3 .10) + (3 . 3)
(3 . 4) + (3 . 7)
(5 . 8) + (5 . 6)
7 (9 + 8)
10 . (5 + 3)
(10 . 5) + (10 . 3)
4 . (8 + 7)
(4 . 8) + (4 . 7)
3 . (4 + 7)
42
6to. de Primaria
III.- En cada una de las siguientes operaciones, indicar la suma del menor producto parcial y el producto.
a.
3 25x 45
b.
539x 83
c.
97 532 x 37
d.
73 468 x 756
e.
49 597 x 968
f.
83 578 x 734
IV.- Resolver las operaciones: a. { [721 x (936 – 916) + 142] – 240} x 2 b. { (45 007 x 14) + (1 593 x 73) } x 25 c.
{(123 x 43) – (729 + 496) } + (98 x 73)
d. { (14 383 + 32) x 22 – (13 243 x 2) x 3 } x 2
PROBLEMITAS a) ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado cuyo lado mide 62m.? b) Si al primer factor de 12 x 6 se le aumenta 4. ¿En cuánto aumenta el producto? c) Entre Carolina y Lucy tienen 750 soles. Si lo que posee Carolina es el cuádruple de lo que tiene Lucy. ¿Cuánto tiene Carolina? d) Juanito lava 4 autos en 1 hora, mientras que su amigo Carlitos lava el triple en el mismo tiempo, ¿Cuántos autos lavarán entre los dos en 6 horas? e) Tengo 177 soles y compro 3 camisas de 27 soles cada una. ¿Cuánto dinero me queda? f)
g)
La bodega «El huevo de oro» ha recibido 9 cajones de 50 huevos cada uno. Si de éstos ha vendido 236 huevos, ¿Cuántos huevos quedan? En cuánto aumenta el producto de 15 x 12 si cada factor aumenta en 1?
6to. de Primaria
43
División
División Exacta La división exacta es la operación que permite encontrar el factor desconocido de una multiplicación en la que se conocen el producto y el otro factor.
División Inexacta
Se cumple: D=dxq+r
01.- Don Pedro tiene 4 hijos y 11 nietos, y quiere dejarles su herencia por igual a todos. ¿Cuánto recibirá cada uno si la herencia total es de SI. 18 450? 02.- Sandra compró una computadora en 24 cuotas. ¿Cuánto tiene que pagar por cada cuota si se sabe que la computadora costó S/. 3 288? 03.- Paola y Juan compraron un carro con S/. 35 780. ¿Cuánto dinero aportó cada uno si se sabe que ambos pagaron igual monto? 04.- Para realizar una excursión, 33 alumnos de un aula reunieron SI. 11 550. ¿Cuánto aportó cada uno si los montos fueron iguales? 44
6to. de Primaria
05.- Nicanor tiene S/. 240 y Micaela tiene S/. 270, ambos ahorran la tercera parte de lo que tienen, pero en una sola cuenta. ¿Cuánto ahorraron ambos? 06.- Un profesor tenía 385 fichas de trabajo, si distribuye entre sus alumnos 8 fichas cada uno le sobran 17, ¿Cuántos alumnos recibieron las fichas? 07.- Mateo compró 123 computadoras a S/. 615738, ¿Cuánto le costó cada computadora? 08.- 138 personas se tienen que repartir un premio de la TINKA corresponde a cada uno?
de S/. 131100, ¿Cuánto le
09.- A una soga de 60 metros de longitud se le hacen 11 cortes para tener pedazos de 5 metros cada uno. ¿Cuántos cortes deben hacerse si se tomara la mitad del largo de la soga para tener pedazos de 5 metros cada uno? 10.- Si: D (dividendo), d (divisor), q (cociente). Además: D=63 ; d=9 Hallar: q=? 11.- En una división d=5; q=8; r=3 Hallar D=? 12.- Un grupo de 500 alumnos de un colegio debe preparar 200 folletos para la feria de ciencias. Cada folleto tiene 25 hojas de trabajo y 15 hojas de ilustraciones. Si el costo de cada hoja es de S/. 0,50; ¿a cuánto asciende el monto a pagar? Si se dividen el gasto, ¿cuánto aporta cada alumno? 13.- Jorge trabaja en una biblioteca y tiene que colocar 5 600 libros en estantes. En cada estante debe poner 75 libros. ¿Cuántos estantes utilizará? ¿Cuántos libros quedan para otro estante? 14.- Una fábrica de galletas envasa sus productos de la siguiente manera: un paquete contiene 10 cajas; una caja, 24 sobres; un sobre, 8 tiras y una tira, 6 galletas. Si la producción del día es 1 152 000 galletas, ¿cuántos paquetes se envasan al día? 15.- David tiene un terreno cuadrado de 196 m 2 de área y quiere cercarlo con tres hileras de alambre de púas. Si cada metro de alambre cuesta S/. 1,50, ¿cuánto gastará David? 17.- Completar los espacios vacíos y reconstruye las operaciones:
6to. de Primaria
45
Potenciación Definición: La potenciación es una multiplicación abreviada de factores iguales. El producto se llama potencia. Además, el factor que se repite se llama base y la cantidad de veces que se repite el factor se llama exponente.
bn b b ... b P n veces exponente base
n
b =P
potencia
Ejemplo: Todos ellos tienen los factores iguales y se puede escribir de la siguiente manera:
2 2 2 2 2 2 26 6 veces
4 4 4 43 3 veces
Propiedades de la Potenciación 1.- Producto de potencias de igual base:
bn bm bn m 2.- Potencia de potencia
(bn )m bnm 3.- Cociente de potencias de igual base:
an m
a
an m
n>m
4.- Potencia de un producto:
(a b)n an bn 5.- Exponente cero:
b0 1 ; con b > 0
46
6to. de Primaria
I.- Completar la tabla: Potencias 35
Base
Exponente
Desarrollo
Valor
3
5
3x3x3x3x3
243
27 104 63 44 56 II.- Completar la tabla: Nombre
Potencia
Cinco elevado a la cuarta Siete elevado al cubo Ocho elevado al cuadrado Doce elevado al cuadrado Dos elevado a la octava Cuatro elevado a la sexta Diez elevado a la séptima
III.- Completar la tabla: Potencia
Escriba como se lee:
36 105 78 97 254 86
IV.- Operar: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)
112 152 172 64 83 105 26 94 203 124 133
58
6to. de Primaria
47
V.- Aplicar propiedades y efectuar:
33 32 (32 )2 370 (4 2 3)2 [(465 7616 )0 ]8 (870 1500) (107 105 ) 32 62 22 24 22 32 82 55 53 (52 )4
Radicación Definición: La radicación es la operación inversa a la potenciación, que nos permite hallar la base; quien a su vez es la raíz de la radicación.
Índice
n
a b
porque
bn a
radical raíz radicando
Observación 1: el índice “n” debe ser un número natural mayor que UNO (n>1). Relación entre la Potenciación y la Radicación 3 3 125 5 esto es porque: 5
125
ATENCIÓN
11
121 11
42
144 12
9 3
169 13
16 4
196 14
25 5
225 15
36 6
3
49 7
82
3
64 8
27 3
3
81 9
64 4
3
125 5
100 10
48
6to. de Primaria
BLOQUE I
BLOQUE II
I.- Operar:
Hallar las raíces:
81 3 8
a)
a)
100 = 10 = Porque 102=100
b)
169 =
c)
121 =
b)
16. 64 49. 9
c)
16 3 8 25
d)
121 4 9 36
e)
49 25 16 81
d) 3 216 =
144
e) 3 125 =
f)
9 g)
3
25
f) 4 625 =
27 16 169
g) 5 243 =
36( 4 81 49)
h) i)
100
144 100 36 49
BLOQUE III 01.- hallar “x” en: x4 256 a) 5
b) 2
c) 3
d) 4
e) 1
02.- Hallar el valor de E: E = (3 27 a) 0
36 3 729) 3 64
b) 3
c) 4
d) 2
e) 5
03.- Operar: a) 34 9 64 5 3 216 9 50 100 b) (42 3 27 3) 3 (53 25 3 64) c) [(63 3 216 42 ) ( 400 20 80 )] 3 8 d) {93 25 [(3 729 300 26 ) 3 343]} 5 e) (1 2 3 4 ... 11 12) (3 1 3 8 3 27 3 64 3 125 3 216 3 343)
6to. de Primaria
49
BLOQUE IV
Resuelva las siguientes operaciones:
2 2
a) 375 5 3 2 x 3 2 x 45 3 x 7 6 4
2 b) 120 24 4 5
144 2 x 32 7 x 4 14
3 c) 180 45 x 3 x 5 7 x 6:3 196 :7 2 x 2
4 2 d) 3 x 270 3 3
25 4
2 2 2 e) 5 x 6 2 5 x 3 15 2 x 6 5 3
f)
169 x 4 62 5 23 x 3 32
4 3 g) 18 x 30 26 15 12 2 x 4 16
h)
18 15 7 x 2 17 52 3 42 15
i)
60 18 3 17 x 32 2 x 62 52
50
6to. de Primaria
Problemas Olimpiadas de Matemáticas 01.- De la suma de 837 y 415, sustraer 1035. a) 217 d) 227
b) 216 e) 226
a) 216 d) 123
b) 512 e) 312
c) 326 08.- Calcular:
(103 102 ) (53 52 )
02.- Efectuar:
16 x 25 24 x11 12 x 50):(2 x 22 ) a) 16 d) 20
c) 622
b) 4 e) 24
c) 8
a) 2 d) 9
b) 3 e) 12
c) 7
09.- Calcular:
53 52
03.- En la siguiente sustracción:
22 a) 5 d) 2
b) 4 e) 6
c) 3
Los dígitos que faltan en el sustraendo son:
10.- En una fábrica se ensamblan 72 bicicletas diariamente. ¿Cuántos días tiene que emplear para ensamblar 25 920 bicicletas?
a) 1 ; 2 y 3 d) 8 ; 7 y 9
a) 120 d) 720
b) 2 ; 4 y 5 e) 2 ; 1 y 5
c) 6 ; 2 y 4
b) 360 e) 144
c) 180
04.- El signo correcto (> ; < ó =) en cada espacio vacío es:
11.- Hallar el valor de P:
I) 4 685 + 12 498
36 584 – 20 918
E=
81 256 81 256
II) 32 187 – 6 943
12 458 + 11 978
a) 10 d) 40
b) 20 e) 50
a) > ; = d) > ; >
b) = ; < e) > ; <
c) < ; <
12.- Hallar el valor:
05.- La suma de dos números es 15 287 y uno de ellos es 3 984. ¿Cuál es el otro número? a) 10 703 d) 10 503
b) 12 303 e) 10 603
c) 11 303
06.- ¿Cuál de estos resultados es mayor? I) 125 x 9 x 11 III) 23 x 200 a) I d) IV
II) 16 x 25 x 4 IV) 25 x 35 x 8
b) II c) III e) No se puede precisar
07.- Efectuar:
c) 30
E= a) 4 13.- Si:
3(2 4x5) 2
b) 8
c) 6
256
e) 16
9 25
P=
3
Q= 2
d) 2
4
64
2
Hallar: P Q a) 225 d) 223
b) 128 e) NA
c) 353
252 169 256
6to. de Primaria
51
Sistema de Numeración No Decimal
Al conjunto de principios, reglas y convenios que permiten la correcta formación, lectura y escritura de los números, se le denomina, SISTEMA DE NUMERACIÓN. Al sistema numérico que actualmente usamos se le llama indoarábico, de base diez o decimal, que los árabes aprendieron de los hindúes y llevaron a España en el siglo XIII. Con los diez símbolos básicos: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 0; podemos formar numerales que representen a cualquier número.
Principios fundamentales 1° Orden: Es el lugar que ocupa una cifra dentro de un numeral, considerado de derecha a izquierda.
Unidades de 1er. orden Unidades de 2do. orden Unidades de 3er. orden 2° Base de un Sistema de Numeración: Es el número que indica la cantidad de unidades necesarias de un orden cualquiera, para formar una unidad del orden inmediato superior. En base 10:
10 unidades forman 1 decena. 10 decenas forman 1 centena. 10 centenas forman 1 unidad de millar.
En base 5:
5 unidades forman 1 decena. 5 decenas forman 1 centena. 5 centenas forman 1 unidad de millar.
Ejemplo: Representamos el siguiente conjunto de unidades en base 10 (decimal) y en base 5.
52
6to. de Primaria
En Base 10
En Base 5
Formación de un Sistema de Numeración: Podemos formar sistemas de numeración distintos al de base 10; para lo cual debemos tener en cuenta que: 1° La base debe ser un número natural mayor que 1. 2° La base debe ser mayor que cualquiera de sus cifras. 3° Si la base es n, usamos el cero y (n - 1) cifras significativas, es decir: 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; … (n-1) cero
Cifras significativas “n” cifras en total
Ejemplo: en base 5 usamos las cifras: 0; 1; 2; 3; 4 Sistemas de numeración más usados Base 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Sistema Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octanario Nonario Decimal
Cifras significativas 0, 1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
CAMBIO DE BASE 10 A BASE “n” Ejemplo: Expresar 14 unidades en el sistema ternario. Base 3:
Divisiones sucesivas
C 1
D 1
U 2
14=112 (3)
Se lee: 1, 1, 2 en base 3
6to. de Primaria
53
CAMBIO DE BASE “n” A BASE 10
Se logra por descomposición polinómica. Ejemplo: Expresar 756 (8) a base 10 756(8) = 7x82 5x81 6x80 448
40
= 494
6
756(8) = 494
CAMBIO DE BASE “n” A BASE “m”
Se convierte el número de base “n” al de base 10; y de aquí al sistema de base “m ” Dicho de otra manera: Primero se pasa a base decimal y luego a la base deseada. Ejemplo: Expresar 110011
(2)
a base 3
Paso 1: 110011
Paso 2: (2)
= 1.25+1.24+0.23+0.22+1.21+1 = 51 110011
(2)
= 1220
(3)
Cuando no se escribe la base se supone que es en base 10 Cuando las cifras de un numeral están representadas por letras, se le coloca una barra a dicho numeral. La primera cifra de la izquierda en un numeral debe ser distinta de cero. Los paréntesis representan una cifra.
Ejemplo: Determinar el valor que puede tomar “a” en cada caso
a2 (5)
Dado que “a” es una cifra de la base 5, solo podrá tomar los valores: 1, 2, 3, 4. Ahora, no puede ser cero, porque es la primera letra del numeral
a(a 2) (4)
Analicemos (a+2): dado que es una cifra de La base 4, “a” sólo podría ser 1, porque si fuera 2, (a+2) sería “4”, lo cual es imposible. Tampoco podría ser cero, porque “a” aparece a la izquierda del numeral, y no puede ser cero.
54
6to. de Primaria
01.- Agrupar los siguientes elementos en base 3, base 5 y base 7 y complete el cuadro: BASE 3
BASE 5
BASE 7
02.- Representar los siguientes números en base (10).
a. b. c. d. e. f.
121(3) 52(7) 63(8) 52(9) 12(3) 53(9)
g. h. i. j. k. l.
111011(2) 526(8) 334(6) 62(9) 1116(8) 234(9)
03.- Representar los siguientes números en base: a. 17 a base (2) b. 24 a base (3) c. 318 a base (4) d. 152 a base (5) e. 465 a base (6) f. 125 a base (7) g. 811 a base (8) h. 356 a base (2) i. 1024 a base (2) 04.- Hallar el valor o valores de “a” en cada uno de los siguientes casos.
6to. de Primaria
55
a. 1a0(2)
b. 45a(6)
c. (2a) (2a)(4)
d. (2a) (2a) (2a)(5)
05.- Expresar en el sistema decimal la expresión siguiente:
E 12345 256 8 a) 174
b) 194
c) 230
d) 310
e) 368
c) 2
d) 3
e) 4
c) 2
d) 3
e) 4
c) 2
d) 3
e) 4
c) 2
d) 3
e) 4
d) 12
e) 10
06.- Hallar “A”, si: 45 = 2A1 (4) a) 0
b) 1
07.- Hallar “B”, si: 212(3) 2B a) 0
b) 1
08.- Hallar “B”, si: 426(7) 3B20(4) a) 0
b) 1
09.- Hallar “A”, si: 494 A56(8) a) 6
b) 7
10.- Siendo a) 15
135 6 ab. Hallar a + b b) 14
c) 13
11.- El menor de los números dados a continuación es: a)
52 8
12.- Si
b)
1215
b) 5
d)
142 6
e)
124 8
c) 6
d) 7
e) 8
x1x5 123 8 , halla el valor de “x”
a) 1
b) 2
14.- Si: a) 3
1 2203
53n 102 6 . Hallar el valor de “n”
a) 4 13.- Si
c)
c) 3
d) 4
e) 5
d) 6
e) 7
pqp7 221; hallar el valor de “p + q” b) 4
c) 5
15.- Hallar el valor de (a+b+c) sabiendo que:
1011 4 abc5 a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 11
56
6to. de Primaria
Múltiplos y Divisores De un Número Natural MÚLTIPLO DE UN NÚMERO Se obtienen multiplicando dicho número por cada uno de los números naturales. Además debemos indicar que el «0» (cero) es múltiplo de todos los números. Ejm: Encuentre los múltiplos de 2. Entonces se multiplican los números naturales por 2 de la siguiente forma: Por 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ........ N. Naturales 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 ........ Múltiplos de 2
Representemos de la siguiente forma: M(2) = {0; 2; 4; 6; 8; 10; ....} Observación: A los múltiplos de 2 se le llama Par. Y a aquellos que no son múltiplos de 2 se le llama Impar. DIVISORES DE UN NÚMERO Un número es divisor de otro cuando la división entre dichos números es exacta. El número 1 es divisor de todos los números. Así como el número es divisor de sí mismo. Ejemplo: 28
4
0
7
Observa que es una división exacta. Entonces se afirma que: “4 es divisor de 28” Ejm: Halla los divisores de 12. Entonces busco los factores de 12. 12 x 1 = 12 6 x 2 = 12 4 x 3 = 12
Estos factores dan como resultado 12
Además si divides 12 entre 1; 2; 3; 4; 6; 12 obtienes divisiones exactas. Entonces podemos concluir que los factores de 12, también son sus divisores. Se representa: D(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
6to. de Primaria
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NÚMERO DE DIVISORES DE UN NÚMERO NATURAL Para saber cuántos divisores tiene un número natural se procede de la siguiente manera: 1. 2.
Se descompone el número en sus factores primos. Al exponente de cada factor primo se le suma 1, el resultado de cada una de estas operaciones se multiplican, dándonos como resultado el número de divisores.
Ejemplos: * Hallar el número de divisores de 24. Solución a) Descomponemos el número 24, en sus factores primos. 2 4 1 2 6 3 1
2 2 2 3
24 = 2 x 2 x 2 x 3 24 = 23 x 31 ……….Factores Primos
b) Al exponente de cada factor primo, se le suma 1, así: 3+1=4 4x2=8 1+1=2 # de divisores de 24 es: 4 x 2 = 8
01.- Escribe 6 múltiplos de: M(7) = {.........................................} M(9) = M(11)=
{.........................................}
M(13)=
{.........................................}
02.
{.........................................}
- ¿Cuáles de éstos números son múltiplos de 10?
1260 3408 2700 6500
1306 2004 1050 3201
4560 3000 4007 4003
5603 4050 7000 1560
03.- Escribe los múltiplos de 11 comprendidos entre: 30 y 180. { .............................................................} 04.- Escribe los múltiplos de 13 comprendidos entre: 25 y 160. { .............................................................}
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6to. de Primaria
05.- Halla los elementos de cada conjunto: A = Conjunto de los múltiplos de 5 menores que 72. B = {x/x es múltiplo de 7 y 32 < x < 70} C = {x/x es múltiplo de 19 y 50 < x < 120} D = {x/x es múltiplo de 12 y 70 < x < 110} 06.- Halla los divisores de: * D(8) = {...................................................................} * D(36) = * D(42) =
{...................................................................}
* D(64) =
{...................................................................}
{...................................................................}
* D(120) = {...................................................................} * D(80) = {...................................................................} 07.- Hallar el número de divisores de los siguientes números: a) 126 b) 128 c) 360
d) 750 e) 1200 f) 500
Criterios de Divisibilidad Definición de Divisibilidad Es una parte de la teoría de números, que permite analizar las condiciones que debe tener un número para ser divisible entre otro. Criterios de Divisibilidad Las reglas de divisibilidad nos permiten encontrar divisores de un número en forma rápida. & Divisibilidad por 2.- Un número es divisible por 2 si su última cifra es par. Ejemplos: 70 ; 164 ; 92 ; 4280. & Divisibilidad por 3.- Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. Ejemplos: 132 1+3+2 = 6
; 615 6+1+5 = 12
& Divisibilidad por 4.- Si sus dos últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 4. Ejemplos: 5800 ; 7348 ; 636 ; 72. & Divisibilidad por 5.- Si su última cifra es 0 ó 5. Ejemplos: 775 ; 420 ; 905 ; 6100. & Divisibilidad por 6.- Si es divisible por 2 y por 3 a la vez. Ejemplos:
4236 ; 78 ; 588.
6to. de Primaria
59
& Divisibilidad por 7.- Un número será divisible por 7 si cumple con la siguiente regla: a) Multiplicamos cada una de las cifras del número dado de derecha a izquierda por los siguientes factores: 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; 2; .......... etc. b) Sumamos los números enteros obtenidos. Si el resultado final es cero o múltiplo de 7 el número dado será entonces divisible por 7. Ejemplos: ¿Es
626 934
Veamos: 6 2 6
divisible por 7? 9
3
4 x
-2 -3 -1 2 3 1 - 12 - 6 - 6 + 18 + 9 + 4 Sumando los enteros obtenidos: - 12 - 6 - 6 + 18 + 9 + 4 = 7 626 934 es divisible por 7. & Divisibilidad por 8.- Si sus tres últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 8. Ejemplos: 36000 ; 5168 ; 336. & Divisibilidad por 9.- Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Ejemplos: 72 7+2 = 9
;
3015 3+0+1+5 = 9
& Divisibilidad por 10.- Si su última cifra es cero. Ejemplos: 80 ; 720 ; 1400 ; 21870. & Divisibilidad por 11.- Un número es divisible por 11 si la diferencia. Entre la suma de las cifras que ocupan los lugares impares y la suma de las que ocupan los lugares pares (Comenzando por la derecha) es cero o múltiplo de 11. Dado:
abcde
Se cumple:
°
(e + c + a) - (d + b) = 11
Ejemplo: 34903 (3+9+3) – (0+4) = 11 Entonces: 34903 es múltiplo de 11 Ejemplo 1:
¿Cuántos números de dos cifras son divisibles por 13?
60
6to. de Primaria
o
N( 63 ) = 1 14 – 1 = 13
Solución: o
N = 13 = 13k 10 < 13k < 100
Respuesta: 13
Ejemplo 3:
10 13k 100 < < 13 13 13
Indicar cuántos de los siguientes números son divisibles por 3 y 2 a la vez. I. 123 III. 222 II. 64 IV. 480
0,76 < k < 7,69 K = 1, 2, 3, …, 7 Luego: N = 13, 26, 39, … , 91 Respuesta:
Solución I.
123 no es divisible por 2.
II.
64 es divisible por 2 pero no de 3.
Ejemplo 2:
III.
222 = 2 y 3 (2+2+2 = 6 = 3 )
Del 1 al 100 averiguar, la cantidad de números son múltiplos de 7, pero no de 9.
IV.
480 = 2 y 3 (4+8+0 = 11 = 3 )
o
Hay 7 números de dos cifras 13
o
o
o
o
o
o
Respuesta:
Solución
222 y 480 son divisibles por 2 y 3
1ero: o
Ejemplo 4:
1 < 7 <100 1 < 7k < 100
¿Cuál es el menor dígito que debe restarse a 761 para obtener otro número de 3 cifras que sea divisible por 9?
1 100 k 7 7 0,14 < k < 14,28 K = {1, 2, 3, …, 14} n(k) = 14
Solución: Tenemos:
2do:
o
761 – x = 9
o
o
9 (7+6+1) – x = 9
o
1< 63 <100
o
14 – x = 9
1 63k 100 63 63 63
x=5
0,01
Respuesta: El menor dígito es 5.
Graficando:
Sabiendo que:
Ejemplo 5:
o
2n45n 9 Hallar “n” Solución: Por criterio entre 9: o
o
o
o
7 x 9 63 Luego
o
n( 7 ) = 14
6to. de Primaria
2+n+4+5+n= 9 o
n+1 = 9 Respuesta: El valor es: n = 8
61
01.- ¿Qué dígito debe colocarse en el espacio para que el número sea divisible entre 3? a) 503....7
d) 42...32
b) 99....25
e) 6....435
c) 13....1
f) 7....4
02.- ¿Qué dígito debe colocarse en el espacio para que el número sea divisible por 6? a) 37__
e) 352__
b) __46
f) 78__
c) 53__
g) 31__8
03.- Halla los elementos de cada conjunto: A = { xN/ 23 < x < 38; “x” es divisible por 4} B = { xN/ 47 < x < 85; “x” es divisible por 9} C = {xN/ 52 < x < 67; “x” es divisible por 5} D = {xN/ 23 < x < 32; “x” es divisible por 3} E = {xN/ 70 < x < 90; “x” es divisible por 8} F = {xN/ 106 < x < 133; “x” es divisible por 11} 04.- Marca con un aspa si consideras que el número A de la columna izquierda es divisible por alguno de los números de la fila horizontal superior. Número A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Par
3366 455 792 626 813 3 401 734 104 265 49 347 18 046 3 588 5 712 69 575 775 8 046 43 767 48 265 2 235 5 080 2 528 6 180 2 585 392 4 496 72 110
05.- ¿Cuántos números de tres cifras son divisibles por 7? a) 120 b) 128 c) 125 d) 130
e) 150
62
6to. de Primaria
06.- ¿Cuántos numerales de tres cifras que terminan en 6 son múltiplos de 7? a) 2 b) 3 c) 12 d) 13 e) 15 o
4n27 = 9
07.- Calcular n + p + a si: a) 10
b) 11
o
;
a1a5 =11
;
o
343pp = 8
c) 12
d) 13
e) 14
c) 7
d) 8
e) 9
d) 8
e) 9
d) 1
e) 5
d) 6
e) 8
c) 9
d) 15
e) NA
c) 8
d) 2
e) 3
c) 2
d) 3
e) 6
c) 6
d) 5
e) 3
d) VFF
e) FVF
o
08.- Hallar "n" si 12n7 = 9 a) 5 b) 6 o
o
09.- Calcular x + y si: 13x8 = 9
; 36y4 = 8
a) 5
c) 7
b) 6
o
10.- Hallar el menor valor de "a" si: 3a4a = 9 a) 4 b) 3 c) 2 o
m36 + 103m = 7
11.- Calcular el valor de “m” si a) 2 b) 4
c) 5
12.- Hallar la suma de valores de "m" para lo cual: o
52m3m1 = 3 a) 18
b) 12 o
13.- Hallar "p" si: 17p1 = 11 a) 6
b) 7
14.- Responder x + y si: a) 4
o
8xyx5y = 88
b) 8 o
15.- Hallar “m” si: 4m2m5 = 7 a) 2 b) 4
16.- Responder: (V) o (F) a las siguientes afirmaciones: I. II. III. a) FVV
10 136 es múltiplo de 9 2585 es múltiplo de 11 15 600 es múltiplo de 125 b) VVV
6to. de Primaria
c) FFF
63
Números Primos y Compuestos
Respuesta: Sólo 1 grupo, porque 29 solo tiene 2 divisores: el 1 y el mismo número. La razón es muy fácil: el número 29 solo puede ser descompuesto como 29x1, entonces 29 no admite más divisores que la unidad y él mismo. Estamos frente a un NÚMERO PRIMO. NÚMERO PRIMO Llamado también primo absoluto, se define como aquel número que tiene 2 divisores: la unidad y él mismo. Ejemplo: D(2) = { 1; 2} D(3) = { 1; 3} 2, 3 y 11 son Primos D(11) = {1; 11} NÚMEROS COMPUESTOS Se llama así a los números que tienen más de dos divisores. Ejemplo:
D(4) = { 1; 2; 4} D(6) = { 1; 2; 3; 6} D(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
4, 6 y 11 son compuestos
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESI) Son aquellos números que tienen a 1 como divisor común: D(4) = { 1 ; 2 ; 4} D(15) = { 1 ; 3 ; 5; 15}
4 y 15 Son números primos entre sí
DC(4,15) = { 1 }
64
6to. de Primaria
Descomposición de un número en sus factores primos: (Teorema de Gauss) “Todo número compuesto puede ser expresado como la multiplicación de sus factores primos, elevados a exponentes positivos”. Procedimiento: 1800 900 450 225 75 25 5 1
2 2 2 3 3 5 5
1 800 = 2x2x2x3x3x5x5 3 2 2 1 800 = 2 x 3 x 5
factores o divisores primos
CRIBA DE ERATÓSTENES 1. Buscaremos los números primos menores que 100 a partir de la tabla: Procedimientos a. b. c. d. e. f.
Elimino el Dibujo un Dibujo un Dibujo un Dibujo un Dibujo un
uno, porque sé que no es primo. círculo alrededor del 2 y elimino los números múltiplos de 2. círculo alrededor del 3 y elimino los múltiplos de 3. círculo alrededor del 5 y elimino los múltiplos de 5. círculo alrededor del 7 y elimino los múltiplos de 7. círculo alrededor de todos los números que no han sido eliminados.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Escribo los números que están en los círculos, que son los números primos menores que 100. …………………………………………………………………………………………………………… ¿Cuántos números primos menores que 100 hay? ………………………… ¿Cómo averiguo si un número es primo o no?
6to. de Primaria
65
Ejemplo: averiguar si 227 es primo o no a. b.
Extraigo la raíz cuadrada del número dado, tomando solo la parte entera. Divido el número dado entre todos los números primos menores o iguales a 15 (en este caso no tomamos 15 porque no es primo). Si todas las divisiones efectuadas son inexactas, el número dado es primo.
c.
227 15,... Solo tomamos la parte entera 15 donde los primos menores de 15 son: 2; 3; 5; 7; 11; 13 227
2
1
113
227 2
3
227
75
5
2
227
45
3
7 32
227 11
227
13
7 20
6
17
Por lo tanto 227 es un número primo.
Hazlo Tú ¿El número 191 es un número primo o no?
¿Cómo averiguo la cantidad de divisores que tiene un número? a. Descompongo el número en sus factores primos. b. Expreso el número de la siguiente forma: x
y
z
N=A .B .C c.
Adiciono uno a cada exponente, y luego lo multiplico. El resultado es el número de divisores. N° de divisores: (x + 1) (y + 1) (z + 1)
Ejemplo: 180 90 45 15 5 5 1
2 2 3 3 5
2
2
180 = 2 x 3 x 5
1
Entonces: Nro. de divisores = (2+1)(2+1)(1+1) = 18
Hazlo Tú ¿Hallar el número de divisores de 128?
66
6to. de Primaria
01.- Descomponer los siguientes números en sus factores primos: 27; 48; 75; 540y 1260 01.- Completa con números primos, de manera que se cumpla la igualdad en cada caso: 114 = …… + ………
100 = …… + ………
140 = …… + ………
164 = …… + ………
02.- Determinar el número de divisores de los siguientes números: 27
48
75
540
1260
03.- Encierra con color azul los números compuestos y de color rojo los números primos: 685
240
827
131
291
983
04. Halla los elementos de cada caso: A = {xN/8 < x < 26; “x” es número primo} B = {xN/15 < x < 38; “x” es número primo} C = {xN/10 < x < 40; “x” es número compuesto} D = {xN/15 < x < 60; “x” es número compuesto} 05.- Completa los cuadros con V (Verdadero) o F (Falso): 48 es un número primo. 147 es un número compuesto (8 + 7) es un número primo. Los números primos son divisibles entre 1. 203 es un número primo. Todo número primo tienes dos factores. 158 es un número primo. La suma de 2 números primos también puede ser un número primo.
06.- Determinar la cantidad de divisores compuestos de los siguientes números: 360; 144 En general, el nº de divisores de un número compuesto N cumple con la siguiente fórmula:
nºD(N) = Dp + Dc + 1 Dp: Divisores primos Dc: Divisores compuestos
6to. de Primaria
Ejemplo: 60 = 22x3x5 nºD = Dp + Dc + 1 (3)(2)(2) = 3 + Dc + 1 Dc = 8
67
Mínimo Común Múltiplo ¿Gran problema? Los micros de la línea A que pasan por el colegio de mi hermana salen cada 10 minutos y los de la línea B que pasan por mi colegio salen cada 15 minutos. Si acaban de salir juntos, ¿qué tiempo más debemos esperar para salir juntos y llegar pronto a nuestros colegios?
¿Qué es el mínimo común múltiplo? El MCM de dos o más números es el menor MÚLTIPLO COMÚN diferente de cero de los números dados.
Ejemplo: Busco los múltiplos comunes de: 16 y 24 M(16) = { 0 ; 16; 32; M(24) = { 0 ; 24;
48
; 64; 80;
48 ; 72;
96
96
; 112; ...}
; 120; ...}
MC(16, 24) = {0; 48; 96; ...} "48" es el menor múltiplo común diferente de cero. Entonces: MCM (16; 54) = 48 "48" es el menor múltiplo común diferente de cero. Entonces: Interpretación de los múltiplos comunes: Supongamos que Raquel visita al dentista cada 16 días y Erika lo hace cada 24 días. Si el 1 de abril ambas tienen cita, se volverán a encontrar dentro de 48 días, o dentro de 96 días, y así sucesivamente. ¿Por qué la fecha más próxima para el reencuentro es de 48 días? Respuesta Porque en ese transcurso, Raquel habrá regresado al consultorio 3 veces, exactamente y Erika 2 veces exactamente, es decir el menor número que contiene exactamente a 16 y 24 es 48
68
6to. de Primaria
¡Puedes resolver el problema de los microbuses! A partir de las 8 de la mañana salen micros de la línea "A" cada 10 minutos y de la línea "B" cada 15 minutos, entonces: M(10) = {0; 10; 20; 30 ; 40; 50; 60; ...} M(15) = {0; 15; 30; 45; 60; 75; 90; ...} Para que ambos microbuses vuelvan a salir juntos, basta con determinar el menor múltiplo común (diferente de cero) de 10 y 15, que viene a ser 30 minutos. Esto es lo mismo que hallar el: MCM (10 y 15) = 30
Procedimiento práctico para hallar el mínimo común múltiplo (MCM) Descomposición de factores primos. g. Efectúo la descomposición de los números en sus factores primos comunes y no comunes. h. Continúo hasta dejar los números en la unidad. i. El producto de los factores primos comunes y no comunes es el MCM. Por ejemplo: Hallar el MCM de 18; 48 y 120. 18 9 9 9 9 3 1 1
- 48 - 120 - 24 - 60 - 12 - 30 - 6 - 15 - 3 - 15 - 1 - 5 - 1 - 5 - 1 - 1
2 2 2 2 3 3 5
MCM = 24 x 32 x 5 MCM (18; 48; 120) = 720 PROPIEDADES DEL MCM 1.- Si dos números son PESI, entonces su MCM es el producto de los números A y B. ¿Cuál es el MCM de 25 y 14? Como 25 y 14 no tienen factores en común, Luego: MCM(25, 14 ) = 25 x 14 = 350 2.- Si dos números son divisibles, entonces su MCM es el mayor de ellos. ¿Cuál es el MCM de 54 y 9? Como 54 es divisible por 9, entonces su MCM es el mayor de ellos. Luego: MCM(54,9) = 54 3.- El producto de dos números es igual al producto de su MCD por su MCM AxB = MCD x MCM PRÁCTICA 01. Hallar el MCM de los siguientes números: a) 180 y 240 b) 12 – 18 – 30 c) 15 – 20 – 50 d) 8 – 18 – 42 – 60 02. ¿Cuál es el número más pequeño que tiene como divisores a 15, 25, 30 y 40 03. Hallar el MCM de: a) 90 y 300 b) 108, 192, 224) c) 112, 224, 280 d) 180 – 324 – 720)
6to. de Primaria
69
Máximo Divisor
Común
Como ves, 6 es el mayor divisor común. Entonces M.C.D (6; 12; 18) = 6
Si tengo dos fardos de tela de 48 m y 56 m y los debo cortar en partes iguales para obtener banderolas del mismo tamaño, ¿cuál sería la mayor longitud que podría tener cada banderola?
Veamos los divisores de 48 y 56: D(48) = { 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48 } D(56) = { 1; 2; 4; 7; 8; 14; 28; 56 } Para que ambas telas puedan ser divididas en banderolas de igual longitud y que esta longitud sea la mayor posible; solo se determina el mayor divisor común de 48 m y 56 m que viene a ser 8 m. Por ejemplo: Busco los divisores comunes de 6; 12; 18. D(6) = { 1; 2; 3; 6 } D(12) = { 1; 2; 3; 4; 6; 12 } D(18) = { 1; 2; 3; 6; 9 ; 18 }
DC(16,12,18) = { 1; 2; 3; 6 } MCD = 6
¿Qué es el máximo común divisor? El M.C.D. de dos o más números es el "MAYOR DIVISOR" común de los números dados.
Procedimientos prácticos para hallar el máximo común divisor (M.C.D.) 1. Por descomposición en factores primos: a. b. c.
Efectúo la descomposición de los números en sus factores primos COMUNES. Continúo hasta que los cocientes sean primos entre sí. El producto de los factores comunes, es el M.C.D. buscado.
Por ejemplo: Hallo el M.C.D. de 18, 30 y 48. Entonces: M.C.D(18; 30; 48) = 2 x 3 M.C. D(18; 30; 48) = 6
70
6to. de Primaria
2. Por divisiones sucesivas: (Algoritmo de Euclides) Veamos el procedimiento con un ejemplo: Hallo el M.C.D. de 702 y 414. a. Se colocan en forma horizontal los números dados. (ver el cuadro) b. Se divide 702 ÷ 414, escribiendo el cociente y el residuo donde indica el cuadro. c.
El residuo obtenido en la primera división pasa a ser divisor, efectuando una nueva división de 414 ÷ 288, procediendo como en el paso (b).
d. El último residuo que NO ES CERO, es el M.C.D.
Cocientes 702 Residuos
1 414 288
1 288 126
2 126 36
3 36 18
2
18 0
M.C.D. (702; 414) = 18 CUIDADO Este método es aplicado al cálculo del M.C.D. solo de dos números.
Propiedades del M.C. D. 1.- Si un número es divisible por otro, el M.C.D. de AMBOS ES EL MENOR DE ELLOS. Ejemplo: ¿Cuál es el M.C.D. de 36 y 12? 36 es divisible entre 12, entonces: El M. C. D. (36, 12) = 12 2.- Si dos o más números son PESI, su MCD es la unidad Ejemplo: ¿Cuál es el MCD de 45 y 64? Como 45 y 64 son primos entre sí, entonces: MCD(45; 64) = 1 3.- Si se divide varios números por su MCD, los cocientes son Números Primos entre sí (PESI). Ejemplo: Sea el MCD(21; 14; 28) = 7 21 ÷ 7 = 3 14 ÷ 7 = 2 28 ÷ 7 = 4
Son números PESI
6to. de Primaria
71
01.- Hallar el MCD de los siguientes números, por descomposición en factores primos.
42 – 60
MCD = ……….
60 – 48 – 96
130 – 250 – 320
60 – 150 – 375 – 525
MCD = ……….
MCD = ……….
MCD = ……….
02.- Hallar el MCD de los siguientes números, por el algoritmo de Euclides.
30 y 24
450 y 168
350 y 120
MCD = ……….
MCD = ……….
MCD = ……….
03.- Hallar el MCD de los siguientes números, por descomposición en factores primos. a) 486 y 540 b) 195 y 702 c) 350; 120 y 240 04.- Calcular el MCD de: A 243 184
y
B 1215 273
05.- El producto de dos números es 6912 y su MCM es 288. Hallar el MCD de dichos números. 06.- ¿En cuanto excede el MCM de 24 y 180 al MCD de 42 y 96?
PROBLEMAS RESUELTOS CON EL M.C.D. Y M.C.M. 72
6to. de Primaria
01.- Carlos va al gimnasio cada 3 días, Luis cada 5 días y Marco cada 15 días. Si los tres se encuentran el 31 de enero, ¿en qué fecha se encontrarán nuevamente? Solución 3 – 5 – 15 1–5–5 1–1–1
3 5
MCM(3;5;15) = 3x5 = 15 Fecha de nuevo encuentro: 31 + 15 = 15 de febrero
Respuesta: Se encontrarán el 15 de febrero 2
2
2 3 5
MCM(360;1050;720) = 2x3x5 = 30
02.- Parcelo tres lotes de terreno de 360 m , 1050 m posible. ¿Cuántas parcelas obtendré en total?
y 720 m
2
de área, en la mayor superficie
Solución 360 – 1050 – 720 180 – 525 – 360 60 – 175 – 120 12 – 35 – 24
Número de parcelas: 360: 30 = 12 1050: 30 = 35 720: 30 = 24
71
Respuesta: 71 parcelas dd 03.- ¿Cuál es el volumen del cubo más pequeño que se puede formar con ladrillos de 5 cm de ancho, 6 cm de largo y 3 cm de alto?
Solución Sea “L” la arista del cubo: Se deduce que: o
L= 6
L = MCM(6;5;3)
o
L= 5 o
L= 3
o
L = 30
El cubo más pequeño tendrá un volumen: 3 Vcubo = LxLxL = 30 x 30 x 30 = 27 000 cm
6to. de Primaria
73
42. Calculo la menor cantidad de alumnos que asistieron al estadio. 01.- Un número es 51 y otro su tercera parte. Calcular el producto del MCM por el M.C.D. de dicho números. a) 345 d) 765
b) 865 e) 600
c) 867
02.- ¿Cuál es el menor número que al ser dividido entre 5, 7, 8, y 12 deja como residuo 3? a) 843 d) 890
b) 865 e) 700
a) 210 d) 100
b) 110 e) 80
c) 200
09.- Melissa va al cine cada 12 días; Mariafé cada 15 días y Paty cada 10 días. ¿Cada cuántos días se encuentran las tres en el cine? a) 40 días d) 80 días
b) 50 días e) 30 días
c) 60 días
c) 845
03.- Tres rollos de cable, que miden 165, 90 y 60 metros respectivamente, se dividen en el menor número posible de trozos de igual longitud. ¿Cuál es la longitud de cada trozo?
10.- Tenemos 48 cuadernos, 72 libros y 144 lapiceros. Necesitamos empaquetarlos en bolsas que contengan la misma cantidad de artículos. ¿Cuál es la mínima cantidad de bolsas que se necesitan?
a) 10 d) 20
a) 22 d) 25
b) 13 e) 25
c) 15
04.- De tres personas que se encuentran en un consultorio, se sabe que una de ellas asiste cada 3 días, la otra cada 5 días y la otra cada 7 días, ¿cuántos días deben transcurrir como mínimo para que vuelvan a encontrarse en el consultorio? a) 110 días d) 105 días
b) 100 días e) 90 días
c) 125 días
05.- Tres cables que miden 210 cm, 300 cm y 420 cm se dividen en el menor número posible de partes de igual longitud. El número total de partes es: a) 32 partes d) 31 partes
b) 28 partes e) 30 partes
c) 33 partes
06.- Tres taxistas recorren un velódromo. El primero tarda 6 minutos en dar una vuelta, el segundo 8 minutos y el tercero 9 minutos. Si los 3 parten del mismo punto, ¿cuántos minutos deben trascurrir para que los tres se vuelvan a encontrar en el mismo punto? a) 70 minutos c) 64 minutos
b) 72 minutos d) 75 minutos
b) 23 e) NA
c) 24
11.- De una empresa de transportes: 3 ómnibus salen de la misma estación en diferentes direcciones. El primero tarda 8 días en regresar, el segundo tarda 12 días y el tercero 9 días, ¿después de cuantos días volverán a coincidir los tres ómnibus en la estación?. a) 58 d) 72
b) 60 e) 78
c) 62
12.- Cuatro ciclistas salen al mismo tiempo del mismo lugar. El primero demora 80 segundos en dar una vuelta, el segundo demora 100 segundos, el tercero demora 120 segundos y el cuarto demora 150 segundos. ¿Después de cuanto tiempo volverán a encontrarse los 4 ciclistas en el punto de partida? a) 20 min d) 30 min
b) 50min e) 60 min
c) 25 min
e) 74 minutos
07.- Hallar la menor distancia que se puede medir exactamente con 3 barras de aluminio que miden 2, 5, y 8 metros respectivamente: a) 40 m d) 80
b) 40 e) 75
c) 50
08.- Los alumnos de mi colegio para asistir al estadio, se pueden repartir en grupos de 21, 30 ó 74
6to. de Primaria
Fracciones I.- Definición de fracción Cuando un entero se divide en dos o más partes iguales, a una o más partes de dicha división se le denomina Fracción.
Observe esta figura que se ha dividido en partes iguales. La parte pintada es una fracción de toda la figura. ¿Qué parte esta pintada? 2 partes de 7 La fracción sería:
2 7
II.- Términos de una fracción
III.- Lectura y escritura de una fracción Veamos unos ejemplos:
1 5 2 3 3 4 3 5
6to. de Primaria
Un quinto dos tercios Tres cuartos Tres quintos
3 Tres quinceavos 15 3 Tres octavos 8 8 Ocho onceavos 11 1 Un décimo 10
75
1.- Escribe la fracción y la lectura, que representa la parte sombreada en cada figura:
……………………………
……………………………
……………………………
……………………………
……………………………
……………………………
……………………………
……………………………
2.- Colorea o escribe las fracciones
76
6to. de Primaria
2.- Escribe el nombre de cada fracción:
13 25 9 121 9 31 4 13
14 15 21 31 17 37 1 111
……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ………………………………………………
……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ………………………………………………
IV.- COMPARACIÓN DE FRACCIONES Este procedimiento es útil para señalar si una fracción es menor o mayor a otra. Además agrupar de menor a mayor un grupo de fracciones. Ejemplo: Comparar las fracciones del conjunto:
3 1 ; ; 4 8
1 ; 2
5 16
Homogenizando las fracciones: Multiplicamos los numeradores y denominadores convenientemente: Tendremos:
Luego:
34 1 2 ; ; 4 4 82
1 8 28
12 2 8 ; ; 16 16 16
;
;
5 16
5 16
Ordenamos de menor a mayor:
2 5 8 12 ; ; ; 16 16 16 16
V. Clasificación de las fracciones según su numerador y denominador
6to. de Primaria
77
A) Fracción Propia Definición: Una fracción es propia si el numerador es menor que el denominador Ejemplo:
4 es una fracción propia, porque 4 < 9 9
B) Fracción Impropia Definición: Una fracción es impropia si el numerador es mayor que el denominador
3 es una fracción impropia, porque 3 > 2 2
Ejemplo:
C) Fracción igual a la unidad En el caso que el numerador y denominador sean iguales será igual a la unidad
4 =1 4
Ejemplo:
D) Fracciones Homogéneas Definición: Dos o más fracciones son homogéneas si tienen igual denominador Ejemplo:
3 2 y son homogéneas, porque tienen el mismo denominador 7 7 E) Fracciones Heterogéneas Definición: Dos o más fracciones son heterogéneas si tienen diferente denominador Ejemplo:
3 4
y
1 son heterogéneas, porque tienen diferente denominador 2
VI. FRACCIONES EQUIVALENTES Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de sus términos cruzados son iguales Ejemplo:
6 9 8 12
72
72
Veamos:
* Juan recibe
3 de una torta 4
* Pepo recibe
6 de torta 8
Ambos reciben igual cantidad de torta ¿Cómo genero fracciones equivalentes? Se puede generar nuevas fracciones equivalentes al original, multiplicando o dividiendo por un mismo número al numerador y denominador de la fracción. Ejemplo: Dar 2 fracciones equivalentes a:
32 6 42 8
3 4
3 5 15 4 5 20
Luego dos fracciones equivalentes a
3 6 15 y serían: 4 8 20
78
6to. de Primaria
01.- Comparar las siguientes fracciones y ordenarlas de menor a mayor
01
5 7 7 5 ; ; ; 3 12 9 36
02
4 7 11 8 ; ; ; 25 100 50 5
03
7 3 5 1 3 5 ; ; ; ; ; 24 8 12 4 2 6
04
3 1 3 7 13 ; ; ; ; 5 12 4 30 15
05
7 8 11 1 ; ; ; 250 500 100 25
02.- Tomando la fracción inicial, proponga 5 nuevas que sean equivalentes a la primera.
01 02
7 9 4 5
03.- Encierre con un mismo color las fracciones que sean equivalentes.
3 4
2 9
1 2
14 63
70 140
a) La fracción
2 4
12 15
3 5
7 56
3 24
11 88
2 7
12 16 10 35
10 18
4 5
5 9
4 24
20 180
15 20
1 6
2x 3 15 es equivalente a . ¿Cual es el valor de "x" 7 21
b) Zuleika toma y Martha,
1 8
6 10
5 7 15 de litro de gaseosa, Paola, de litro; Rosa, de litro 8 9 17
8 de litro. ¿Quien tomó menos gaseosa? 12
c) Elena practica natación durante 75 minutos y Paty durante
5 4
horas.
¿Quien practica más tiempo? ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
6to. de Primaria
79
Al sumar o restar fracciones se encontrará con dos tipos de sumas de fracciones:
Suma de fracciones homogéneas Suma de fracciones Heterogéneas ADICIÓN DE FRACCIONES HOMOGENEAS
Un grupo de fracciones homogéneas se reconoce cuando tienen todos los mismos denominadores. Al sumarse, se escribe como resultado una fracción con el mismo denominador y cuyo denominador es la suma de todos los numeradores. Debe quedar claro que la suma de fracciones homogéneas es la suma de fracciones más fácil que pueda haber. Veamos en forma gráfica:
+ 3 6
+
= 2 6
=
5 6
Ejemplo:
3 5 2 10 17 17 17 17 ADICIÓN DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS Observa el siguiente ejemplo:
2 7 7 3 5 6 PASO Nº 1 M.C.M. (3, 5, 6) = 30 PASO Nº 2
x
Recuerda: F. Heterogéneas son aquellas que poseen diferentes denominadores
x
x
2 7 7 20 42 35 3 5 6 30
SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS
7 2 72 5 9 9 9 9
Atención: Para restar Fracciones Homogéneas restamos los numeradores y conservamos el mismo denominador
80
6to. de Primaria
SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS Veamos:
14 3 7 8
PASO Nº 1
MCM (7, 8) = 56 PASO Nº 2
(X) 14 3 112 21 31 7 8 56 56
* MÉTODO DEL ASPA Este método resulta eficaz para cualquier suma o diferencia de dos fracciones heterogéneas. “El resultado se obtiene multiplicando en aspa los términos cruzados y colocando como denominador el producto de ambos denominadores”. Veamos unos ejemplos:
3 2 (3)(5) (2)(4) 15 8 23 4 5 (4)(5) 20 20 * HOMOGENIZANDO DENOMINADORES Sin duda, sumar o restar fracciones resulta más fácil, si ellas son Homogéneas. Este método consiste en Transformar las fracciones del problema todas, en fracciones homogéneas. Ejemplo: Operar:
3 1 1 1 4 2 6 12 33 + 43 9 + 12
6to. de Primaria
1 6 1 2 1 + + = 26 62 12 9 6 2 1 3 6 2 1 18 + + = = = …… Respuesta 12 2 12 12 12 12 81
I.- Operar las siguientes expresiones de manera rápida, utilizando el método del aspa a)
3 2 4 5
b)
7 1 9 3
c)
6 1 11 2
d)
f)
3 4 7 5
g)
1 3 2 5
h)
5 2 7 9
i)
k) 2
1 2
l)
1 2 3
m) 5
4 7 7 12 3 1 4 3
e)
2 1 13 3 1 3
j) 2
Importante
3 4
Todo número entero tiene como denominador la unidad 5 Así: 5 = 1
II.- Habilidad operativa: a)
480 1500 1400 60 500 700
b)
3 5 9 6 12 11 12 11
c)
13 5 3 7 4 9 4 9
d)
37 27 8 12 45 39 45 39
III.- Resuelva utilizando le método mas conveniente:
a)
1 2 1 5 - 4 3 2 6
d)
1 2 7 5 5 10 20 4
g)
1 2 7 5 4 9 12 108 4 3
b)
2 1 5 9 - - 3 2 6 12
e)
7 1 5 3 - 8 2 16 4
h)
3 2 2 1 25 125 5
c)
2 3 1 7 5 2
f)
2 3 1 10 50 20
i)
7 3 1 3 100 50 250
III.- Operar y verificar si el resultado es una fracción propia o impropia a)
2 5 1 3 6 12
b)
4 3 7 8 4 16
c) 1
3 12 4 5
d) 2 1 2
5 1 10 4
IV. Como toda fracción propia es menor que la unidad, diga en los siguientes ejercicios cuanto hay que añadir a cada una de las fracciones siguientes, para que sean iguales a la unidad:
a)
15 18
b)
25 33
c)
1 9
d)
3 8
e)
8 9
f)
15 17
g)
25 38
h)
1 3
82
6to. de Primaria
01.- ¿Cuánto le falta a a)
3 8
b)
1 8
3 1 para ser igual a ? 8 2 5 c) d) 1 8
02.- Encontrar el valor de A – B, si:
a)
3 3 A 5 4 7 b) 10
1 10
03.- ¿Cuánto hay que restar a a)
8 45
b)
2 45
1 4 B 4 5 c)
5 10
d)
3 4
3 4 para obtener ? 5 9 3 7 c) d) 45 45
3 resulta 2. ¿Cuál es la fracción? 4 11 3 c) d) 4 4
04.- Si a una fracción se le resta a)
3 4
05.- Si:
b)
5 3 1 8 8
A=
Hallar: A+B
9 1 , a) 8 8
3 2
y b)
B=
3 1 1 2 2
A–B
2 3 , 8 8
c)
18 2 , 8 8
d)
18 3 , 8 8
d)
13 8
06.- Hallar “x”
a)
3 4
1 1 1 5 x 2 8 6 6 5 10 b) c) 6 12
7.- Resolver: a)
3 1 3 7 13 5 12 4 30 15
c)
7 8 11 1 250 500 100 25
6to. de Primaria
b)
7 3 5 1 3 5 24 8 12 4 2 6
83
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RACIONALES
I.- MULTIPLICACIÓN
Para multiplicar dos fracciones se multiplican numerador y denominador con denominador.
numerador
con
Ejemplo:
1 3 13 3 4 5 4 5 20 Ejemplo:
8 9 89 72 12 15 2 15 2 30 5
Si el resultado es una fracción que se puede simplificar, se simplificará tanto al numerador como al denominador.
Fracción de un número Observa las cuadrículas que han pintado Gabriela y Miguel.
He pintado los 2/5 del total de cuadrículas.
2 de 30 = 12 5
Para calcular los
2 de 30 5
6 2 2 30 , simplificando: 30 = 2 x 6 = 12 Podemos expresarlo así: 5 5
84
6to. de Primaria
Los Números Mixtos Las fracciones impropias pueden ser expresadas como números mixtos. Un número mixto está formado por una parte entera y otra parte fraccionaria.
Para transformar una fracción impropia en número mixto se divide el numerador entre el denominador.
El cociente es la parte entera y el resto o residuo es el numerador. Se conserva el mismo denominador. MÉTODO PRÁCTICO
Para transformar una fracción impropia en número mixto se divide el numerador entre el denominador.
Ejemplo: Convertir el número mixto 3 2 a fracción impropia 5 PASO 1
PASO 2
Se multiplica el denominador por el entero
Al producto obtenido se le suma el numerador
3 x 5 = 15
15 + 2 = 17
6to. de Primaria
PASO 3 Se escribe la fracción conservando el denominador
17 5
85
I.- Efectuar las siguientes operaciones por el método del aspa
a)
4 2 6 x x 6 5 9
b)
5 6 3 x x 7 8 9
c)
4 6 2 x x 10 8 9
d)
2 5 2 x x 4 6 2
e)
1 5 8 10 x x x 5 8 5 8
II.- Hallar el valor de:
2 5 de 3 6 1 3 de e) 3 4 a)
2 1 de 5 2 2 4 de f) 3 7 b)
c)
2 3 de 4 8
d)
3 4 de 16 15
III.- Resuelve: a)
2 5 x 4 6
b)
3 6 x = 5 3
c)
6 7 x 8 6
d)
8 6 x 5 7
=
e)
5 9 x 9 4
f)
6 3 9 x x = 4 3 9
g)
8 20 x = 4 5
h)
5 6 2 x x = 4 5 3
=
=
IV.- Calcula lo siguiente: a) Los 2/5 de los 10/3 de 1 200 b) Los 3/7 de los 4/5 de 840 c) Los 5/12 de los 3/25 de 600
La mitad de la tercera parte de los 2/5 de 3
1 1 2 1 1 2 1 1 2 3 1 de de de 3 = 3 2 3 5 2 3 5 235 5
d) La mitad de la tercera parte de los 4/3 de 8 e) La quinta parte de los 10/9 de los 6/7 de 21/16 IV. Resuelva 1.
Un joven profesor tiene 26 años si se disminuye la edad en sus 2/13. ¿Qué edad dice tener? a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) N.A.
2.
Patty tiene 15 años, le gusta aumentar su edad en sus 2/5 frente a sus amigos. ¿Qué edad dice tener? a) 16 b) 17 c) 18 d) 21 e) N.A.
86
6to. de Primaria
3.
Simplificar:
2 5 3 3 7 23 110 a) 21/25 4.
b) 12/19
c) 5/11
d) 13/14
e) 1/7
c) 11/28
d) 13/17
e) 11/30
Si se sabe que:
4 13 2 1 8 2 5 13 5 6 B 15 26 7 A
Calcular AxB a) 5/19 5.
b) 7/20
Se reparte 3/5 de herencia?
una
a) S/. 36 200 d) S/. 34 500 6.
b) 18
c) 15
d) 10
e) 12
b) 32 kg
c) 22 kg
d) 12 kg
e) 10 kg
Claudio recibe 3/4 de barra de chocolate y le da 2/5 de su parte a su hermana Lorena. ¿Cuánto chocolate come Lorena? a) 3/10
9.
c) S/. 36 300
De un cajón de tomates se han podrido 6 kg que son 3/11 de los que había. ¿Cuántos kilogramos de tomates contenía el cajón? a) 15 kg
8.
b) S/. 32 500 e) S/. 32 600
¿Cuál es la edad de Diana si dice tener la mitad de los 3/5 de 40 años? a) 17
7.
herencia. Si la herencia es de S/. 60 500. ¿A cuánto ascendía la
b) 4/10
c) 5/10
d) 1/10
e) 7/8
Si los 3/4 de mi dinero son 150 soles. ¿Cuánto me quedará si gasto dos nuevos soles del total del dinero a) S/.200
b) S/.198
c) S/.202
d) S/. 204
e) NA
10. Raúl gasta un cuarto de su dinero en una corbata, y del resto presta un tercio. ¿Qué parte del dinero le queda? a) 5/12
6to. de Primaria
b) 5/7
c) 2/3
d) 1/2
e) NA
87
II.- DIVISIÓN DE FRACCIONES
La división de dos fracciones es igual al producto de la fracción dividiendo por el inverso de la fracción divisor. Ejemplo:
2 4 3 15
Importante Otra forma de presentar una división de fracciones es la siguiente: El resultado de dividir será:
Fracción divisor Fracción dividendo Solución
2 4 3 15
=
2 15 3 4
=
2 15 3 4
=
30 5 = 12 2
Se invierte
El producto de los extremos será el nuevo numerador y el producto de medios será el nuevo denominador. Así:
01. -Halla el cociente en las siguientes divisiones: a)
3 4 : 4 6
b)
2 1 : 5 5
c)
3 2 : 7 9
d)
4 1 : 5 2
e)
6 2 : 10 8
f)
5 4 : 6 5
g)
2 3 : 3 4
h)
64 16 : 25 5
02.- Halla el cociente de las siguientes divisiones:
a) 2
1 17 8
2 e) 6 8 7
b) 8
f) 3
4 5
1 1 3 6 2
c) 27
g) 2
6 8
1 1 2 9 3
d) 6
3 4
3 1 h) 2 1 7 2
03.- Resolver las siguientes divisiones: 88
6to. de Primaria
a)
4 12 1 4
e)
24 7 12
70 i) 5 17 04.-
b)
36 8 12 9
f)
3 4 4 5
j)
c)
g)
3 1 2
k)
8 12 4 5 12 25 8 10 6 3 5
d)
h)
l)
6 9 3 5
27 5 9 6 5 1 2
Se repartió 8/5 de un bizcocho entre 4 niños. ¿Qué parte del bizcocho recibió cada uno?
a) 4/5
b) 3/5
c) 1/5
d) 1/3
e) 2/5
05.- Si en minuto se lee una página de un libro. ¿Cuántas páginas se leerán en 60 minutos? a) 60
b) 40
c) 50
d) 20
e) 30
06.- Los 9/13 de la cosecha de tomates se han distribuido entre 6 personas. ¿Qué parte le tocó a cada una? a) 6/45
b) 1/26
c) 5/26
d) 3/26
e) 2/13
07.- Con la leche de un envase de 3/4 de litro se han llenado 7 vasos. ¿Cuál es la capacidad de cada uno? a) 4/17
b) 1/28
c) 3/26
d) 3/16
e) 3/28
08.- Un obrero ha tardado 8 días en hacer los 4/9 de un trabajo. ¿Qué parte del trabajo efectuó diariamente? a) 6/23
b) 3/10
c) 1/18
d) 5/18
e) 3/17
09.- ¿Cuántos pasos da un alumno para ir a la escuela que está a 320 metros de su casa si en cada paso avanza 2/3 de metro? a) 150
b) 320
c) 680
d) 480
e) 180
b) 1/4
c) 1/3
d) 4/3
e) NA
10.- Hallar 2E Si: E =
1 1
a) 3/4
1 2
6to. de Primaria
89
Potenciación
de
Fracciones Notación:
n a an = b b n Ejemplos: 2
2 3 = 9 3 a) = 16 4 4 2 3
1 b) 2
=
13 = 2 3
1 8
I. Calcula el valor de las siguientes potencias: 3
1 d) 3
5
8 h) 9
4
11 b) 12
2
3 c) 2
3
3 f) 5
2 g) 3
2 a) 3
3
1 e) 9
4
0
II. Una con líneas los respectivos pares. 1 3 3 9 2 2
2
4 9
2
1 1 2 3 9 3 1 1 1 2 3 6
2 9
2
49 81 29 12
90
6to. de Primaria
1 1 1 4 2
2
Radicación
de
Fracciones Para calcular la raíz de una fracción, buscamos la fracción que elevado al índice de la raíz sea igual que la primera. Ejemplo: 2
49 7 144 12
porque
49 7 12 144
Luego: n : índice r : raíz
a : b
n
radicando
a r b
Ejemplo: Calcula las raíces de las siguientes fracciones: 2
2 2 = 3 3
a)
4 9
d) 3
2 8 2 = 3 = 27 3 3
2
1 1 = 4 4
b)
1 = 16
e) 3
4 64 4 = 3 = 125 5 5
3
2
5 5 = 2 2
c)
25 = 4
h) 5
1 1 1 = 5 = 2 32 2
5
3
I. Halle el equivalente:
169 144
a)
d)
g)
81 100 3
1 216
6to. de Primaria
b)
100 64
c)
e)
3
8 125
f)
h)
4
16 81
i)
121 144 3
4
27 1000
10000 625
91
II. Reducir a su menor expresión: 12
a)
d)
9 4 16 81
5 4
3 5
b)
40
3
27 1 x 8 125
c)
1 2
1
12
e)
3
32 3 e) 500
4 3 9
III. Simplificar
1 1 a) 2 3 1 1 3 4
2
1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 4 5 2160 b) 1 1 1 23 3 4 45
2 1 2 2 5 c) 3 1 1 27 20 5
d)
3 1 1 1 35 5 3 4 6 1 1 3 2 3 2
Operaciones Combinadas
No olvides solución: 1º) 2º) 3º) 4º)
el
orden
de
División Multiplicación Suma Resta
y ….. si tenemos RADICACIÓN y POTENCIA el orden sería el siguiente… 1º) 2º) 3º) 4º) 5º) 6º)
Radicación Potencia División Multiplicación Suma Resta
y con los signos de agrupación: 92 1º)
Paréntesis 2º) Corchete 3º) Llaves
6to. de Primaria
Ejemplo:
1 5 4 2 5 4 7 4 2 4 7 4 4 7 4 7 4 1 1 1 = = = = = = 2 2 9 5 9 39 15 9 30 9 39 3 2 41 3 3 5 5 4 4 2 4 2 4 4 4
I.- Efectuar: 12 1 3 24 7 6 . 2 25 8 8 18 10 14 2 1 1 b) 4 3 6 7 5 7 1 4 c) 12 18 6 9 1 9 3 3 d) 4 5 25 12 8
10.
a)
7
5
2
13
7
x e) 9 4 3 21 26
f)
02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09.
3 5 5 6
2
11.
2
12.
1 3 1 2 5 4 4 2 3 3 1 1
2
1 6 2 1 x 2 5 3
2
1 2
1 1 2 4 14. 1 1 5 1 3 2 2
2 1 7 4 3 6 6 1 2 1 53 2 4 23
1
2 3
9 1 8 7 1 4 2 3 2 2
3
1 3
16.
12 1 3 24 7 6 2 25 8 8 18 10 14 4 2 2 92 33 62 42 : 3 7 8 3 1 1 2 2 3 4 8 3 10 8 10 4 2 4
1 2
1 3 1 4 2 4 10 3 1 7 5 2 13 7 : 9 4 3 21 26
6to. de Primaria
1
15. 3
1 6 43 3 1 2 5 98
2
25 1 2 1 3 3 49 2 5 2 4 8
13. 2
II.- Efectuar: 01.
0 1 3 1 3 2 8 4 2 5 7
3 3 5 3 1 R 23 1 1 5
1 2 4
2
17.
4 4 1 R (2 1 81 ).(1 ).(2 ). 7 9 3 93
Resuelve y descubre la figura oculta:
a)
5 2 de 6 3
2 1 f) 1 3 2 1 4 3 5 10
b)
2 5 2 3 1 2 7 6 6
5 6 3 g) 1 1 4 6 5 8
c)
2 125 1 5 4 13
h)
d)
2 1 3 110 5 4 5 3 4 4
4 16 1 3 81 3 i) 216 5 1 3 512 8 4
e)
3
4 3 8 1 81 27 3
2
2
2
16 1 27 3 2 3 1 3 9 2 125 5 7 14 2
94
6to. de Primaria
Problemas De Planteamiento Sin duda en esta parte del capítulo, el alumno deberá mostrar todas sus destrezas para plantear la solución de los problemas:
01.- ¿Cuánto le falta a la mitad de los 4/5 de los 2/3 de 3 para ser igual a los 2/9 de los 3/2 de la mitad de los 5/7 de 21? a) 7/10
b) 17/10
c) 10/17
d) 17/11
e) 17/12
Solución: Sea “x” lo que le falta:
1 4 2 2 3 1 5 3x 21 2 5 3 9 2 2 7 4 5 x 5 2 5 4 17 x x= 2 5 10
Clave: b
02.- Luis vende 1/5 de la cantidad de juguetes que tiene, luego 1/6 lo regala a unos amigos y los 76 que le quedan los guarda. ¿Cuántos juguetes tenía inicialmente Luis? a) 60
b) 70
c) 80
d) 100
e) 120
Solución: Sea “T” la cantidad inicial Entonces:
1 T 5 1 Regala : T 6 Vende
:
Queda
: 76
Luego:
1 1 T T 76 T 5 6 11 T 76 T 30
76 = T –
76 =
6to. de Primaria
11 T 30
19 T 30
120 = T
Clave: e
95
01.- Al convertir A) 8
139 n a número mixto, se obtiene m . El valor de (m + n – p) es: p 12 B) 6
C) 10
D) 5
02.- El producto del numerador y denominador de la fracción irreducible de A) 30
B) 35
C) 40
425 es: 510
D) 60
03.- El número de octavos que hay en 25 3 disminuido en el número de cuartos que hay en 12 1 es: 4
A) 80
B) 120
2
C) 156
D) 200
04.- Calcula la suma de la mayor y la menor de las siguientes fracciones: A) 2/3 05.- La fracción
B) 7/12
C) 5/8
5 10 15 7 16 ; ; ; ; 8 12 20 8 24
D) 3/2
M es irreducible y M es un número impar menor que 38 y mayor que 25. Calcula la 24
suma de los valores que puede tomar M. A) 132
B) 154
C) 112
D) 95
06.- El enunciado verdadero es: A)
x 42 x6 4 24
B)
n 7 n 14 20 10
C)
7 2 13 10 5 10
D)
3 4 5 6 4 4 3 6
07.- Si al numerador de una fracción se le suma 12, la fracción queda multiplicada por 3. ¿Cuál es el numerador? A) 14 B) 5 C) 12 D) 6
1 3 2 2 2 08.- Calcula el valor de M = 1 3 1 2 2 2 1
A) 18
B) 21
09.- El resultado de
C) 25
2
2+
es:
2
2 2
2 2
A) 15/8
B) 17/9
D) 30
5 3 C) 26/9
D) 26/15
10.- David compra 1/4 de tonelada de papaya, 3/5 de 100 kg de piña y 7/8 de 104 kg de manzana. ¿Cuántos kilogramos de fruta ha comprado? A) 198 kg
B) 289 kg
C) 323 kg
D) 401 kg
96
6to. de Primaria
Problemas Olimpiadas de Matemáticas 01.- Un ciclista recorre la tercera parte de lo que le falta recorrer. Si luego camina la mitad de la distancia ya recorrida. ¿a que distancia de la meta se encuentra?. La distancia total es 120. a) 80m
b) 90m
c) 15m
d) 75m
e) 45m
02.- Carlos cosecha los tomates solamente en los 2/3 de su terreno. Si su terreno esta limitado por un cuadrado cuyo lado mide 30m. ¿Cuantos metros cuadrados falta cosechar? a) 150m
b) 100
c) 300
d) 200
e) 600
03.- Para hacer dulce de melocotón, la receta dice que se debe usar 3/4 kg de azúcar por cada kilo de melocotón. ¿Cuantos gramos de azúcar se necesitará para hacer un dulce con 4 kilos y medio de melocotón? a) 3250
b) 3750
c) 3375
d) 2625
e) NA
04.- Al numerador y al denominador de una fracción se le aumenta y se le disminuye cinco unidades, respectivamente; entonces, resulta la inversa de la fracción inicial. Calcula la diferencia de sus términos. a) 3
b) 4
c) 5
d) 7
e)
05.- Dos hermanos gemelos conversan acerca de su edad: Si el doble de tu edad más los 2/3 de la mía suman 48, ¿cuanto suman las edades de los gemelos? a) 24
b) 36
c) 48
d) 30
e) 18
06.- Efectuar:
1 1 1 1 1 1 6 1 7 1 8 1 9 ... 1 49 a) 1/49
b) 1/7
c) 3/7
d) 5/49
e) 4/49
07.- Un agricultor sembró 1/3 de su terreno con zanahorias y 1/4 del trerreno con lechugas. ¿Que fracción del total del terreno le queda por sembrar? a) 6/7
b) 3/4
c) 5/12
08.- A partir de la suma de fracciones homogéneas: inspección). a) 1
b) 2
c) 3
d) 2/9
e) 5/8
2 1 Q 8 . Halle X+P–Q. (Intente hacerlo por x 3 P 3 d) 5
e) 8
09.- Si tengo S/.360 y gasto 2/6 de lo que tengo, además presto 1/3 de lo que me queda; ¿Cuánto dinero preste? a) S/.80
b) S/. 90
c) S/.100
d) s/.120
e) S/.160
10.- Una lata de pintura rinde para 50m2. Si con los 2/5 de los 3/4 de 20 latas se han pintado los 2/3 de los 3/4 de una pared, ¿Cuál es el área de la superficie de la pared en m2? a) 800 b) 600 c) 300 d) 500 e) 308
6to. de Primaria
97
Números Decimales DEFINICIÓN Es todo número racional representado por una fracción cuyo denominador es una potencia de 10.
1 = 0,01 se lee: “un centésimo” 100 8 = 0,0008 se lee: “ocho diez milésimos” 10000 Lectura de un decimal
Millonésimos
Diezmillonésimos
Cienmillonésimos
Milmillonésimos
Billonésimo
0
0
9
1
2
2
7
8
2
6
2
Diezmilésimos
0
Milésimos
2
Centésimos
1
Décimos
3
Enteros
Cienmilésimos
Valor posicional de las cifras de un número decimal
0,
0
2
7
5
4,
1
5
6
8
9
0,
0
0
0
0
0,
0
0
0
3
0,
0
0
3
2
0,
0
1
2
2,
0
0
0
0
0,0032: treinta y dos diezmilésimos 0,0275312: doscientos setenta y cinco mil trescientos doce, diez millonésimo. 0,0000000912: novecientos doce billonésimos.
98
6to. de Primaria
II.- COMPARACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES Para comparar dos números decimales establecemos las relaciones “menor que”, “igual” o “mayor que”. Para esto se iguala con cero el número de cifras decimales, se elimina la coma decimal y lo números se comparan como si fueran números naturales. Ejemplo: Compara 0,3 y 0,37 Solución: Agregamos un cero al decimal: 0,3 = 0,30 Ahora los dos decimales tienen igual cantidad de cifras decimales, es decir: 0,30
y
0,37
Como los dos números tienen igual cantidad de cifras decimales, borramos la coma decimal, obteniendo: 30 < 37 0,3 < 0,37
III.- REDONDEO Y APROXIMACIONES La aproximación es un método de reducción de términos en un número decimal. El también llamado redondeo se da, de acuerdo al último término que se desea mencionar. Por ejemplo: Aproximación al décimo Aproximación centésimo Aproximación milésimo Etc. APROXIMACION AL DÉCIMO Sea el decimal:
0,2541 Si deseáramos REDONDEAR el decimal solo hasta el décimo, debemos hacer una aproximación. Entonces si el numero a la derecha del décimo es igual o mayor que 5, entonces el décimo aumentara en una unidad. En caso fuera menor que 5 simplemente no se alterara y se escribirá solo hasta el centésimo. Aumenta en 1
En el ejemplo:
0,2541 = 0,3 Mayor o igual a 5 No aumenta
Otro ejemplo:
El mismo método se utiliza cuando se quiere aproximar al centésimo, milésimo, etc.
0,6498 = 0,6
Menor que 5 Aproximando al centésimo
6to. de Primaria
Aproximando al milésimo 0,7658 = 0,766 0,8954 = 0,895 2,4865 = 2,487
99
0,563 = 0,56 0,258 = 0,26 0,519 = 0,52
I.- Completar el siguiente cuadro Lectura
Forma decimal
Forma fraccionaria
Diez centésimas Ciento treinta milésimas Setenta y dos cienmilésimas Cuatro diezmillonésimas Novecientos veinticuatro cienmillonésimas Doce billonésimos Cincuenta y cuatro cienmillonésimas Tres cienmilésimas Cuatro milésimas Tres milmillonésimas Cuatrocientos cienmilésimas Tres millonésimas Trescientos veinticuatro billonésimas
Colocar > o < según corresponda: 1) 62,508
(
)
62,52
2) 015,36
(
)
113,58
3) 6,3
(
)
8,2
4) 51,36
(
)
71,23
5) -612,75
(
)
613,5000
6) 13,89
(
)
13,891
7) 12,10
(
)
12,01
8) 15,08
(
)
15,03
9) 14,07
(
)
14,56
10) 51,36
(
)
-58,36
Colocar verdadero o falso: 1) 3/8 = 0,375
……… (
)
2) 5/9 = 0,425
……… (
)
3) 4/20 = 0,2
……… (
)
4) 7/8 = 0,5
……… (
)
5) 5/11 = 0,4545
……… (
)
6) 3/8 = 0,47
……… (
)
7)
……… (
)
9/22 = 0,4090
100
6to. de Primaria
Redondear al décimo
Redondear al diezmilésimo
0,7774
0,01923468593
0,0045656
0,09187865774
0,081439
0,10243487565
0,002978
0,054235464567
Redondear al milésimo
Redondear al cienmilésimo
2,98785
0,3498785
0,12463
0,12434463
0,37844673
0,37845673
0,7624678
0,7624633778
Fracción Generatriz Sabemos que todo decimal, ya sea limitado o ilimitado periódico, procede de una fracción. La fracción irreductible de la que procede dicho decimal se llama Fracción Generatriz del número decimal o simplemente Generatriz. Encontramos Tres casos: 1er. Caso: Cuando el número decimal es finito o limitado Se convierte a fracción decimal donde el numerador es el número que resulta al quitar al número decimal la coma, y el denominador es la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal. Luego simplifique hasta obtener una fracción irreductible. Ejemplo:
0,45
45 9 100 20
2do. Caso: Cuando el número decimal es infinito periódico puro Para hallar la fracción generatriz de una expresión decimal periódica pura se pone por numerador el periodo y, por denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo. La fracción resultante se simplifica hasta obtener el equivalente irreductible. Si el decimal tuviese parte entera, se puede utilizar la notación de número mixto ó también colocar en el numerador todo el número y restarle la parte que no se repite y como denominador tantos nueves como cifras tiene la parte periódica. Ejemplo: Ejemplo:
2 9 125 1 1,25 99 0,2
3er. Caso:
6to. de Primaria
101
Cuando el número decimal es infinito periódico mixto Para hallar la fracción generatriz de una expresión decimal mixta se pone por numerador la parte no periódica seguida del primer periodo, menos la parte no periódica (todo el número menos la parte que no se repite). Y Como denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo, seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica, simplificando después hasta hallar la equivalente irreductible. Ejemplo: 0,383 =
383 38 345 23 900 900 60
Ejemplo: 4,23615 =
423615 423 423192 35266 99900 99900 8325
01.- Hallar la fracción generatriz de:
02.- Hallar la fracción generatriz de: a) 0,46
a) 0,6
b) 3,6
b) 0,33
c)
c) 0,125
0,324
d) 2,14
d) 0,13
e) 1,62
e) 0,234
f)
0,004
f ) 0,136
g) 16,460
g) 3,4
h) 0,0003
h) 1,26
i)
2,0450
i) 2,45
j)
0,02
j) 1,35431 03.- Halle la fracción generatriz de:
04.- Halle la fracción generatriz de:
a) 0,2
h) 0,563
a) 0,324
e) 0,4325
b) 0,5
i) 0,1263
b) 0,1692
f ) 1,32
c) 0,8
j) 1,42
c) 0,4326
g) 1,426
d) 0,42
k) 2,37
d) 0,2128
h) 2,062
e) 0,38
l) 0,14
f ) 0,45
m) 0,26
g) 0,312
n) 0,243
102
6to. de Primaria
Operaciones con Decimales I.- ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN Para sumar o restar decimales, se ordenan los números uno debajo del otro de tal manera que la coma decimal quede ubicada en una línea vertical. Ejemplos: 3,4 + 0,2
35,6 + 0,726
45,85 – 37,634
II.- MULTIPLICACIÓN DE DECIMALES Resuelve: 8,6 x 2,3 Para multiplicar números decimales se procede de la siguiente manera: 1. Se copian los números verticalmente. 2. Se multiplican dichos números como si fueran números naturales. 3. En el producto separamos tantas cifras decimales como cifras decimales tienen el multiplicando y el multiplicador juntos, comenzando por la derecha. Veamos: Factores Multiplicando Multiplicador
8,6 2,3
x
2 5 8 1 7 2 Producto
1 9 ,7 8
III.- DIVISIÓN DE DECIMALES Se pueden encontrar tres situaciones: a) División de un número decimal entre un número natural b) División de un número natural entre un número decimal CASO 1 División de un número decimal entre un número natural Resuelve: 19,32 ÷ 12 Procedamos de la siguiente manera: 19, 32
12
6to. de Primaria
103
-12
1
7
19, 32 -12
12 1,
7 3
19, 3 2 - 12
12
19, 3 2
1,6
-12
73
73
-72
72
12
12 1,61
12 -12 0
CASO 2 División de un número natural entre un número decimal Resuelve: 84 ÷ 0,03 Procedamos de la siguiente manera: 84
0,03
8400 -6
Como el divisor tiene dos cifras decimales, entonces le agregamos al dividendo dos ceros y quitamos la coma decimal del divisor.
3 2
2
8400 -6
3 2800
24 - 24 0 CASO 3 División de dos números decimales
RECUERDA Para dividir 2 números decimales, se suprime la coma del divisor y se corre la coma del dividiendo tantos lugares a la derecha como cifras decimales tenga el divisor. Si es necesario se agregan ceros.
Ejemplo: A) 64,68
4,2
1 cifra decimal
104
6to. de Primaria
6 4 6, 8 4
4 1
2 ,4
Se corre la coma 1 lugar a la derecha.
2 2 2
0 1
6
-
8
-
BLOQUE I 01.- Resolver: a) 372,47 + 5,6 + 40,05 b) 26,3 + 472.0 + 15,467 c) 328,5 – 16,9 d) 6,58 – 0,247 02.- Resolver a) 2,83 + 16,4 + 193,42 b) 124,8 + 2,54 + 0,612 c) 6,24 + 6,39 + 0,693 d) 3,58 – 0,6 e) 41,231 – 26,5 f) 62,3 – 56,4 g) 0,368 – 0,2514 h) 4,2 – 0,01839 i) 0,6 – 0,0002 03.- Resolver: a) 6,42 – 0,54 + 32,8 – 2,6 b) 10,6 – 21,46 + 12,5 – 0,451 c) -56,4 – 6,78 – (0,36 + 4,8) d) -0,47 – (2,87 + 2,6) – 58,1 04.- Multiplicar:
05.- Multiplica en forma abreviada a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)
54,2716 x 10 54,2716 x 100 54,2716 x 1 000 54,2716 x 10 000 0,42 x 10 6,42 x 100 76,53 x 1 000 6,4 x 10 000 0,0008 x 10 0,0008 x 100 0,0008 x 1000 0,0008 x 10 000
06.- Resuelva las siguientes operaciones combinadas a) b) c) d) e) f)
13,6 – 0,59 + 3,5 x 0,2 25,3 – (0,06 x 8,5) + 3,6 0,65 x 8,3 – 2,5 x 0,04 (65,2 – 23,85) x (19,06 – 21) (6,4 x 0,08) - (6,04 x 3,5) 7,2 + 3,6 x (4,36 – 3,8)
07.- Resolver los siguientes problemas a) ¿Qué número es igual a 5 veces la suma de 2,852 y 0,8?
a) 15,4 x 3,4 b) ¿Qué número es 10 unidades menor que el producto de: b) 2,72 x 6,04 18,5 y 35,86? c) 6,7 x 0,02 d) 2,8 x 0,6 c) Un metro de tela cuesta 32,75 soles. ¿Cuál será el e) -4,89 x 18 importe de 6 m? f) 36,54 x 2,7 g) 26,3 x 15 d) Un litro de leche cuesta 1,35 soles. ¿Cuál será el costo de h) 0,76 x 28 = 3,45 litros? i) -42,6 x 13,5 e) He comprado tres cuadernos a 2,75 soles cada uno y 8 lapiceros a 1,50 soles cada uno. ¿Cuánto tuve que pagar en total? f) Un obrero gana 3,40 soles por hora. ¿Cuánto ha ganado en 6 días, si trabajo 6 horas cada día?
6to. de Primaria
105
g) Cada luna de una ventana mide 30cm de ancho por 50cm de alto. ¿Cuál será su precio a razón de 0,18 soles el centímetro cuadrado? h) Se compra 5 docenas de navajas a 1,35 soles cada navaja. ¿Cuánto se invirtió? i) Cada rueda de una bicicleta recorre en una vuelta 12,56 m. ¿Cuál será la longitud recorrida en 2 417 vueltas? j) Cada día Nataly hecha en su alcancilla 2,75 soles. ¿Qué dinero echará al cabo de 31 días? k) En una división sin resto el divisor es 26,86 y el cociente 31,5. ¿Cuál es el dividendo? l) ¿Cuál es el dividendo de una división exacta, si el cociente es 0,005 y el divisor 0,078 5? BLOQUE III 01.- Calcule los cocientes de estas divisiones a) 75 : 10
b) 75 : 100
c) 75 : 1 000
d) 826 : 10
e) 826 : 100
f) 826 : 1 000
g) 1740 :10
h) 1 740 :100
i) 1 740: 1 000
j) 12 : 10
k) 12 : 100
l) 12 : 1000
02.- Efectúa estas divisiones a) 69 : 1 000
b) 783 : 100 000 c) 174 : 1 000 000
d) 8 076 : 10 000 e) 273 : 100 000 03.- Calcula estas divisiones a) 67 200 : 10
b) 36,300 : 1 000
c) -69 800 : 10 000
d) 34700: 100 000
04.- Realiza las divisiones a) 0,6 : 10 d) 345,8 : 1 000 g) 4,39 : 100 j) 0,38: 1 000
b) e) h) k)
0,45 : 10 0,7 : 100 6,30 : 1000 3,37 : 10 000
c) 6,67 : 10 f) 0,35 : 100 i) 0,9 : 1 000
05.- Halla el cociente decimal exacto de: a) 59 : 2 d) 165 : 6 f) 675 : 48
c) 43 : 8 e) 99 : 18 h) 9,721 : 16
b) 87 : 4 g) 134 : 25 i) 3,675 : 75
06.- Calcule el cociente decimal de estas divisiones aproximado hasta las milésimas: a) 7 : 12 b) 263 : 15 c) 568 : 23
d) 24 : 11 e) 381 : 9 f) 1 236 : 23
g) 48 : 7 h) 44 : 6 i) 57 091 : 19
07.- Efectúa las divisiones: a) 73,5 : 3 e) 115,7 : 13
b) 48,9 : 12 f) 247,3 : 93
c) 7,408 : 8 g) 10 342,175 : 34
d) 56,214 : 9 h) 2 435,11 : 6
106
6to. de Primaria
08.- Averigua el cociente de estas divisiones: a) 34 : 0,06 e) 18 553 : 3,37
b) 53 : 0,002 f) 1 062 : 2,2
c) 285 : 3,6 g) 430 : 1,153
d) 65 : 0,8 h) 8 632 : 21,09
09.- Halla el cociente de estas divisiones: a) 45,4 : 2,7 b) 9,71 : 0,0005 c) 3,86 : 2,35 e) 319,77 : 4,412 f) 1 795,03 : 1,14
d) 8,162 : 0,03
IV.- POTENCIACIÓN DE DECIMALES Para elevar un número decimal a una potencia, se eleva como si fuese entero y de la derecha del resultado se separan con una coma tantas cifras como exprese el producto del exponente por el número de cifras decimales que tenga la base.
0,003 2
Ejemplo:
Basta elevar el cuadrado de 3 = 9 y separar seis cifras decimales (3 x 2 = 6) exponente
(0,003) Base Ejemplo: Ejemplo:
2
= 0,000 009 potencia
0,005 3 = 0,000000125 0,00024 = 0,0000000000000016
01.- Efectuar las siguientes operaciones: a) 0,003 0,004 2
c)
e)
g)
4
(0,01)7 (0,01)5 (0,02)2 (0,009)2 (0,0003)3 0,00012 0,0008 0,000024
6to. de Primaria
b) 0,3 0,001 5
d)
f)
h)
2
(0,006)2 (0,002)5 (0,000004)2 (0,08)2 (0,00001)6 (0,2)3 (0,001)3 0,000125 0,005 0,0025 0,0015
i)
(0,2)6 (0,01)2 (0,00001)3
107
V. RADICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES 0,25 25 102 25 102 5 102 5 101 0,5
Efectuar las siguientes operaciones: a) 0,81
b) 0,0225
c)
0,0289
d)
1,69
e)
5,29
f)
37,21
g)
6,25
h)
104,04
i)
40,96
j)
0,027
k)
0,512
l)
3
3
Problemas Diversos 01.- Calcula. ( ( ( ( ( (
) ) ) ) ) )
3
1,728
Completa el apellido de un gran científico e ingeniero peruano
13,5 x 100 426,1 : 10 12,4 x 100 2,4 : 1 000 0,4261 x 100 135 : 1 000 2,4 x 1 000 I
Escribe V o F según las afirmaciones sean verdaderas o falsas. 02.- La fracción generatriz de 0,96 es 03.-
(0,6)2 =
24 25
4 9
04.- 0,566... está entre 0,60 y 0,655... 05.- La mitad de un número decimal es otro decimal. ( ) 06.- El doble de un número decimal es un número entero. 07.- El triple de un número decimal puede ser entero. ( )
(
)
(
)
(
)
(
)
Resuelve los problemas y marca la alternativa correcta. 08.- Un reloj se atrasa 0,666... minutos cada hora ¿Cuánto se atrasa en una semana? A) 1 hora
B) 1 hora 20 minutos
C) 1 hora 30 minutos D) 1 hora 52 minutos
09.- ¿Cuál es la superficie de un lienzo que mide 9,9 m de largo por 5,416 m de ancho? A) 53,62 m2
B) 53,6184 m2 C) 53,46 m2
D) 30,6323... m2
10.- ¿Cuál es el área del rombo? A) 58,266 m2
B) 58,5 m2
C) 117 m2
D) 116,532 m2
108
6to. de Primaria
11.- ¿Cuánto mide el lado de una pileta de forma octogonal si su perímetro mide 36,48 m? A) 4 m
B) 4,56 m
C) 4,65 m
D) 5,46 m
12.- Una reacción química que produce calor hace que la temperatura de las sustancias que reaccionan aumente en 2,22...°C cada minuto. Si al iniciarse la reacción la temperatura era de 25 °C, calcula la temperatura luego de 18 minutos. A) 45 °C
B) 65 °C
C) 40,22... °C D) 88,88... °C
13.- Carlitos toma 0,63 litros de leche al día. El litro de leche cuesta S/. 2,97. ¿Cuánto destina su mamá a este rubro mensualmente? A) S/. 66,6
B) S/. 65,56
C) S/. 56,43
D) S/. 56,13
14.- Un tubo de PVC (cloruro de polivinilo) de 6,2 m de largo, se corta en 8 pedazos iguales. ¿Cuál es la longitud de cada pedazo? A) 0,7 m
B) 0,77 m
C) 7,5 m
D) 77,5 cm
15.- Si Paola y Esteban reúnen su dinero, cuentan con S/. 188,75. ¿Cuál es la diferencia de lo que tienen si Paola tiene el cuádruple de lo que tiene Esteban? A) S/. 37,75
B) S/. 141,56 C) S/. 151
D) S/. 113,25
Problemas Olimpiadas de Matemáticas 01.- Calcule: ab Si:
a b 0,969696... 11 3
a) 3
b) 4
c) 8
d) 6
e) 7
02.- Si se cumple: R = 0, 1 0, 2 0, 3 ... 0, 8 S = 0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + … a) 5 b) 4 c) 37/9
Calcular “R+S” d) 6
e) 10/9
03.- Si:
31
0,pmn
Calcule m+n+p
mn a) 15
b) 16
c) 17
d) 18
e) 29
c) 18
d) 16
e) 17
04.- Determine axb Si: 0,1a a) 13
b 11 b) 14
05.- ¿Cuál es el decimal que resulta al efectuar la siguiente operación? E = (0,18333…) x (0,1515…) ÷ (0,111…) a) 0,5 b) 0,25 c) 0,2 d) 0,375
6to. de Primaria
e) 0,22
109
Razones RAZÓN Es la comparación que se puede establecer entre dos cantidades. A) RAZON GEOMÉTRICA Es la comparación de dos cantidades mediante una división. Ejemplo: Se tiene 2 hermanos: César de 15 años y Neals 5 años; se puede decir que la edad de César contiene 3 veces la edad de Neals.
En general para dos cantidades A y B se tiene:
A K B Elementos de una razón
Antecedente Consecuente Valor de la razón aritmética Valor de la razón geométrica
: : : :
15 ; A 5;B 10 ; r 3;K
Conceptos Importantes Cuando se tiene los enunciados como: “la razón de….” ; “la relación de….” ; “son entre sí …..” ; “son proporcionales ….” ; en cualquiera de los casos se refiere a una razón geométrica. Cuando se tiene la relación:
A se lee: “A es a B” B
Cuando se tiene la razón geométrica:
A 4 B 5
A 4k B 5k
Cuando se tiene la razón geométrica:
A 2 B 7
Cantidad Mayor B Cantidad Menor A
B) RAZON ARITMÉTICA 110
6to. de Primaria
Es la diferencia entre dos cantidades. En cuanto uno es mayor que la otra. Antecedente
Consecuente 43km – 20km = 23km Razón aritmética
Ejemplo: Comparar las edades de Nataly y Vanesa; si Nataly tiene 13 años y Vanesa 10 años.
Ejemplos: 01.- Dos números son entre sí como 7 es a 3. Hallar el menor de los números sabiendo que suman 80 Solución: Sean los números: A y B Entonces:
A 7 B 3
Por Propiedad : A = 7k B = 3k Por dato : A + B = 80 Reemplazando : 7k + 3k = 80 10k = 80 K=8
A = 7(8) = 56 B = 3(8) = 24
El menor es 24
02.- Dos números son proporcionales a 3 y 5. Si la diferencia de ellos es 64, hallar el doble del mayor. Solución: Sean los números: A y B Entonces:
A 3 B 5
Por Propiedad : A = 3k B = 5k Por dato : A + B = 64 Reemplazando : 5k - 3k = 64 2k = 64 K = 32
A = 3(32) = 64 B = 5(32) = 160 El doble del mayor = 2(160) = 320
6to. de Primaria
111
01.- Interpretar los enunciados por diferencia: a) Comparar las edades de Paty y Teresa; si Paty tiene 21 años y Teresa 17 años. b) Comparar los ahorros de José y Tito. Los ahorros de José son S/.200 y los ahorros de Tito son S/.183. c) Comparar camisas de Nilsito y Danielito. Nilsito tiene 12 camisas y Danielito 7 camisas. 02.- Si el menor de dos hermanos tiene 12 años y la razón entre sus edades es como 4 a 9, ¿cuántos años tiene el mayor? A) 16 B) 21 C) 24 D) 27 03.- En una fiesta, la razón entre el número de niñas y niños es de 2 a 3. Si 30 son niños, ¿cuántos asistieron a la fiesta? A) 70 B) 60 C) 50 D) 40 04.- Dos números son entre sí como 5 es a 7. Si la suma de dichos números es 36, ¿cuál es el número mayor? A) 15 B) 21 C) 20 D) 35 05.- En una reunión, la razón entre el número de peruanos y el número de extranjeros es de 7 a 4. Si en total hay 220 asistentes, el número de extranjeros es: A) 80 B) 100 C) 120 D) 140 06.- Por cada 2 chocolates que compro, llevo 3 manzanas a mi hijo. Si he llevado 12 manzanas, ¿cuántos chocolates compré? A) 10 B) 8 C) 14 D) 6 07.- Al descomponer 96 en dos partes que son proporcionales a 5 y 7, ¿cuál es la cuarta parte de la mayor? A) 8 B) 12 C) 14 D) 16 08.- Dos números están en la relación de 7 a 10. Si su diferencia es 15, el número mayor incrementado en 20, es: A) 60 B) 25 C) 70 D) 35 09.- La suma de dos números es a su diferencia como 5 es a 2. La razón entre dichos números es: A) 7/3 B) 5/4 C) 9/8 D) 7/11 10.- ¿Cuáles son los dos números cuadrados perfectos cuya relación es de 4 a 9 y que sumados dan 52? A) 24 y 54 B) 28 y 63 C) 16 y 36 D) 9 y 36 11.- Un edificio de 36 m de altura da una sombra de 21,6 m de longitud. ¿Cuántos metros mide, a la misma hora, la sombra de un árbol de 3,5 m de altura? A) 2,1 B) 1,75 C) 1,8 D) 2,4 12.- Para construir una casa en 60 días se necesitan 12 obreros. Si se contrata sólo a 8, ¿cuánto tiempo más tardarán en construirla? A) 30 B) 40 C) 20 D) 24
112
6to. de Primaria
Proporción 1. PROPORCION ARITMETICA. Es cuando se comparan (dos razones aritméticas iguales). 18 – 12 = 10 - 4 Términos extremos Términos medios En general:
a -
b
= c - d
PROPORCIÓN ARITMÉTICA Proporción Aritmética DISCRETA
Proporción Aritmética CONTINUA
a–b=c–d
a–b=b–c
(Términos medios diferentes)
d: cuarta diferencial
(Términos medios iguales)
b: Media diferencial o media aritmética de a y c c: Tercera Diferencial de a y b
2. PROPORCIÓN GEOMETRICA. Se llama así cuando se comparan dos razones geométricas iguales.
18 12 3 2
En general:
1º término 2º término
a c b d
3º término 4º término
Términos extremos: a y d Términos medios: byc
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA Proporción Geométrica DISCRETA
Proporción Geométrica CONTINUA
a c b d
a b b d
(Términos medios diferentes)
d: cuarta proporcional de a, b y c
6to. de Primaria
(Términos medios iguales)
b: Media Proporcional de a y c c: Tercera Proporcional de a y b
113
BLOQUE I 01.- Completar los números que faltan en las siguientes proporciones aritméticas: a) 42 –
= 63 – 23
b) 128 – 80 = c)
– 27
– 27 = = 83 – 15
02.- Hallar el valor de "x" en cada una de las proporciones aritméticas siguientes. a) 7 – x = 4 – 3
d) 9 – 6 = x – 1
b) 6 – 1 = 9 – x
e) 12 – 6 = 7 – x
c) x – 1 = 6 – 3
f) x – 4 = 11 – 9
NOTA Escribe el número que falta:
5 20 4 ?
De Forma Práctica:
Se nota que multiplicando por 4 A ambos miembros de la fracción, se podrá obtener el número pedido 03.- Hallar los números que completan las siguientes proporciones geométricas: a)
3 27 7 ?
b)
13 91 4 ?
c)
? 7 18 2
d)
11 ? 5 45
e)
5 65 ? 117
f)
11 66 5 ?
g)
16 8 8 ?
h)
? 42 3 91
04.- Hallar los números que completan las siguientes proporciones geométricas: a)
15 20 16
b)
12
18 24
c)
9
12 36
05.- Hallar “x” a)
35 x 28 12
b)
12 8 21 x
c)
45 x 20 8
114
6to. de Primaria
d)
126 27 56 x
e)
x 156 30 72
f)
100 x x 25
BLOQUE II
a) b) c) d)
¿Cual es la razón entre la cantidad de naranjas y los vasos de jugo que prepara Luis? Halla la razón entre la cantidad de naranjas y los vasos de jugo que piensa preparar Ana. ¿Como son las razones que formaron Ana y Luis? Ayuda a Luis a encontrar la cantidad de vasos que puede obtener de 30 naranjas?
BLOQUE III 01.- Calcular la media diferencial de 31 y 13. a) 22 b) 20 c) 25 d) 30
e) 12
02.- Determinar la media proporcional de 9 y 25. a) 15 b) 10 c) 20 d) 18
e) 12
03.- ¿Cuál es la tercera diferencial de 30 y 23? a) 16 b) 15 c) 14 d) 13
e) 12
04.- Calcular la cuarta proporcional de 36, 12 y 9. a) 3 b) 5 c) 7 d) 9
e) 11
05.- ¿Cuál es la tercera proporcional de 9 y 12? a) 16 b) 15 c) 20 d) 18
e) N.A.
06.- Hallar la media proporcional de 4 y 9. a) 6 b) 7 c) 8
e) 10
d) 9
07.- Hallar la media proporcional de 12 y 27. a) 18 b) 16 c) 12 d) 15
e) 21
08.- Hallar la cuarta proporcional de 15, 20 y 18. a) 36 b) 21 c) 24 d) 28
e) 32
09.- Hallar la cuarta proporcional de “a”, “a x b” y “b”. a) b b) 2b c) b2 d) a2
e) a x b
10.- Hallar la cuarta proporcional de 8, 15 y 10. a) 36 b) 25 c) 30 d) 40
e) 15
Magnitudes Proporcionales
6to. de Primaria MAGNITUD
Es todo aquello que puede ser medido. MAGNITUDES PROPORCIONALES
115
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES Veamos un ejemplo 116
6to. de Primaria
Si dos hombres hacen una obra en ocho días, la mitad de hombres, es decir un hombre, lo hará en doble número de días, es decir en 2x8 = 16 días. En general, si hay más hombres trabajando, harán la obra en menor número de días. El número de hombres (A) es una cantidad inversamente proporcional al número (B) de días empleados en el trabajo, porque si multiplicamos a una de ellas por un número, la otra cantidad (B) queda dividida por el mismo número. Recíprocamente, si dividimos a una de ellas, la otra cantidad queda multiplicada. Haciendo una tabla, tenemos:
Nº de Hombres Nº días
÷2
x4
x2
x2
2
1
4
8
8
16
4
2
x2
÷4
÷2
÷2
16 1
Graficando:
I.- Marca con un aspa reconociendo la proporcionalidad directa o inversa. INVERSA DIRECTA El número de kilogramos de pecanas y su costo El número de obreros de una empresa y el trabajo realizado La edad de una persona y su peso El número de libros y su costo Metros de tela y su costo El número de obreros y el tiempo que se emplea para terminar una obra 07 La velocidad de un auto y el tiempo empleado para unir dos pueblos II.- Completa cada tabla, luego encierra con rojo las que expresen una relación directamente proporcional y con azul las que expresen una relación inversamente proporcional. 01 02 03 04 05 06
Nº de Personas Litros de agua consumida (l)
6to. de Primaria
4 8
6
28 16 117
Kilómetros recorridos (km) Tiempo transcurrido (s)
30
Largo del cuadrado (cm) Ancho del cuadrado (cm) Días Trabajadores
21 7
5 11
22 3
121 4
45
15 12 24
8
1
III.- Responda 01) A es directamente proporcional a B. Complete el siguiente cuadro. A
16
B
4
32
8
20 12
36
20
02) A es directamente proporcional a B complete el siguiente cuadro. A
40
B
5
400 10
800
1600
20
125
03) Si: “P” y “Q” son inversamente proporcional complete el siguiente cuadro. P
10
Q
6
5
20
15 30
2
04) Si: “M” y “N” son inversamente proporcional completa el siguiente cuadro: M
4
N
250
100
150
200
250
10
05) Dadas las magnitudes velocidad de un móvil y el tiempo que demora en recorrer un mismo tramo. Completa el cuadro: Velocidad
20
Tiempo
12
40
60
10 60
06) Dados las magnitudes “números de sillas” y tiempo de su fabricación, completa el cuadro.
Obra
40
Tiempo
5
80
8 2
3
7
118
6to. de Primaria
Regla de Tres Simple REGLA DE TRES Es una aplicación de la proporcionalidad donde al comparar dos o más magnitudes se determina un valor desconocido. Se considera como magnitud dependiente a la magnitud que contiene a la incógnita. REGLA DE TRES SIMPLE A su vez pueden ser:
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
1.A. – REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA. Se aplica cuando las cantidades que se dan como dato son directamente proporcionales, es decir hay una relación directa entre ambas. Se dice que dos cantidades son directamente proporcionales si cuando una de ellas aumenta en valor, la otra también lo hace. También si una de ellas disminuye la otra disminuirá. Disposición Práctica a
b x=
x
c c
a. c b
1.B. – REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA. Se aplica cuando las cantidades que se dan como dato son inversamente proporcionales, es decir hay una relación inversa entre ambas. Se dice que dos cantidades son inversamente proporcionales si cuando una de ellas aumenta en valor, la otra disminuye. También si una de ellas disminuye la otra aumentará de valor. Ejemplos de inversa: Obreros Velocidad
Nro. de días de trabajo Tiempo
Disposición Práctica
a
b a.b =x.c
x
6to. de Primaria
c
119
BLOQUE I 01. A) B) C)
Coloca (V) ó (F) Tiempo – obra – D.P. Obreros – h/d – I.P. Días – obras – I.P.
( ( (
02. a) b) c)
Coloca (V) ó (F) Días – h/d – D.P. h/d – obreros – I.P. obreros – obra – D.P.
( ( (
) ) )
03. d) e) f)
Coloca (V) ó (F) Día – obreros – I.P. Obrero – rendimiento – I.P. Rendimiento – Dificultad
( ( (
) ) )
) ) )
BLOQUE II 1. Tres camiones cargan 1500 kg de mercadería, cinco camiones, ¿Cuánto cargarán? 2. Una docena de camisas cuesta 300 soles. Una decena, ¿cuánto costará? 3. Cinco tuberías llenan un deposito en 24 minutos, ocho tuberías. ¿Cuántos minutos demorarán? 4. Si 20 obreros demoran 12 días en hacer una obra, Cuánto demorarán 15 obreros? 5. Un grupo de 15 vacas tiene alimentos para 6 días, si se desea que el alimento dure 9 días, indicar cuántas vacas se deben vender. 6. Un grupo de 18 campesinos demoraron 8 días en sembrar una chacra ¿Cuánto hubieran demorado 24 campesinos? 7. Un niño dio 960 pasos en 192m. Cuántos pasos debe dar para recorrer 960m? 8. Un caño vierte 630 lt de agua en 10 minutos. ¿Cuántos litros vierte en 75 minutos?. 9. Para una fiesta de matrimonio se preparan 14 mesas para 9 invitados cada una. ¿Cuántas mesas deben preparar si estos son para 6 invitados cada una?. 10. Diez barriles iguales contienen 80 lt de vino. Cuántos barriles son necesarios para almacenar 320 Lt de vino?. BLOQUE III
1. Se compro una docena de camisas pagando s/ 240. Cuánto se pagará por 3 decenas de camisas? a) S/.540
b) 600
c) 360
d) 670
e) 580
2. El Profesor Pepe demora 20 minutos en preparar 32 gr. de ronsoco, Cuánto demora en preparar 240 gr. de ronsoco?. a) 120 min b) 150
c) 90
d) 180
e) 200
3. Un ómnibus interprovincial cubre una distancia de 800Km en 10 horas, Qué distancia recorrerá en 14 horas?. a) 1180 km
b) 1200
c) 960
d) 1120
e) 1000
4. Seis amigos demorarán 45 minutos en hacer una tarea, Cuánto se hubieran demorado 9 amigos?. a) 24 min
b) 67 1/2
c) 30
d) 48 ½
5. 1/3 de un jabón se gasta en 5 días Cuánto dura todo el jabón?. a) 18 días
6.
b) 10
c) 12
d) 8
e) 18
e) 15
Un caño arroja 40 litros de agua en 25 minutos. ¿Cuántos litros arrojará en 5 minutos? 120
6to. de Primaria
a) 8
b) 10
c) 20
d) 25
e) N.A.
7. Un grupo de 18 obreros demoran 4 días en hacer una hora. Qué parte de la obra hacen los obreros en 3 días?. a) 3/4 b) 2/5
c)
5/8
d) 1/4
e) 1/2
8. Seis caballos tienen ración para 15 días, si se aumenta 12 caballos más ¿Para cuántos días alcanzará la ración anterior?. a) 10 días b) 8
c) 5
d) 6
e) 9
9. Si para pintar 54 m2 de superficie son necesarios 24 galones de pintura. Cuántos serán necesarios para pintar 18 m2?. a) 72 b) 8
c) 6
d) 24
e) 12
10. 20. Un vehículo pesa 270 Kg. Cuánto pesará un modelo de juguete hecho a escala 1:100 del mismo material? a) 0,27 kg
b) 2,7
c) 27
d) 54
e) 27000
11. Un reloj se atrasa 2 minutos cada hora. Dentro de cuanto tiempo las agujas del reloj volverán a dar la hora exacta. a) 24 días
b) 12
c) 15
d) 1
e) 5
12. Cien naranjas cuestan S/.90, ¿cuánto costarán 2 docenas?. a) S/. 21,6
b) 22,8
c) 23,5
Regla
d) 5
e) 23,6
de
Tres
Compuesta Resulta de compararse más de dos magnitudes. Se compara siempre la magnitud dependiente con otra, independiente de las demás. Sea A, B y C tres magnitudes, donde B es la magnitud dependiente (contiene a la incógnita). Sean: A y B magnitudes DP B y C magnitudes IP Disposición Práctica Magnitudes
A
B
C
D
x
E
Valores Correspondientes
x B.
6to. de Primaria
D C . A E 121
01.- Treinta obreros en 20 días trabajando 8 horas diarias pueden hacer 600 m de zanja. ¿En cuántos días 24 obreros trabajando 10 horas diarias harán 450 m de zanja? Solución: Obreros
Días
h/d
Obra
30
20
8
600
24
X
10
450
Se cumple que:
(obreros)(días)(h / d) k (obra) Reemplazando:
(30)(20)(8) (24)(x)(10) 600 450
x = 15 días
01. Si 3 alumnos pueden resolver 20 problemas en 5 horas, para resolver 40 problemas de la misma dificultad, ¿cuántas horas se demorarán 5 alumnos de igual rendimiento? 02.- Si 20 máquinas pueden hacer 5 000 envases en 50 días, ¿en cuántos días 50 máquinas pueden hacer 10 000 envases?. 03.- Si 3 gatos comen 3 ratones en tres horas, ¿cuántos ratones comerán 9 gatos en 2 horas?. 04.- Si 5 sastres pueden hacer 10 ternos en 8 días, trabajando 2 horas diarias, ¿en cuántos días 10 sastres podrán hacer 50 ternos si trabajan 5 horas diarias?. 05.- Si 20 obreros pueden hacer 500 metros de una carretera en 50 días, ¿cuántos obreros podrán hacer 2 000 metros de carreteras en 10 días?. 06.- Si 7 monos, comen en 14 días 7 plátanos, ¿en cuántos días, 14 monos comerán 28 plátanos?. 07.- Si 16 señoras pueden confeccionar 40 camisas en 20 días, trabajando 9 horas diarias, ¿en cuántos días 40 señoras, podrían confeccionar 50 camisas si trabajaran 6 horas?. 08.- Si con 6 máquinas se pueden hacer 250 pares de zapatos en 2 días trabajando 5 horas diarias, para hacer en la misma cantidad de días 1 000 zapatos trabajando 6 horas diarias, ¿cuántas máquinas se necesitarán?. 09.- Si 20 obreros hacen en 40 días 500 metros de una carretera, ¿en cuántos días 50 obreros harán 5 000 metros de carretera?. 10.- Si con 50 obreros se pueden construir 5 casas en 100 días, ¿en cuántos días 80 obreros podrán hacer 10 casas?. 122
6to. de Primaria
Tanto por Ciento Concepto: Son las centésimas partes tomadas de un número. Ejemplo:
20 x 15 1 00 20 centésimos tomados de 15.
20% x 15 =
40% x 20 =
40 x 70 1 00 40 centésimos tomados de 70.
FORMULA FUNDAMENTAL DE PORCENTAJES
P%N = R Donde: P : es el porcentaje a calcular N : es el número del cual se halla el porcentaje R : el resultado CASO I P: conocido N: conocido R: incógnita Ejm.
Hallar el 70% de 8000
P%N =R 70% 8000 = R
70
(
1 ) 8000 = R 100
R = 5600
CASO II P: conocido N: incógnita R: conocido Ejm:
6to. de Primaria
¿25% de qué número es 60? P%N = R 25% N = 60 25 (
1 ) N = 60 100
N = 240
123
CASO III P : incógnita N : conocido R : conocido Ejemplo:
¿Qué % de 120 es 48?
P%N = R P % 120 = 48 P.120/100 = 48
P = 40
Rpta: es el 40%
Descuentos y Aumentos Sucesivos DESCUENTOS SUCESIVOS I.- Si se tuviera que hacer dos descuentos sucesivos del a% y del b% se podría calcular el descuento único, rápidamente con esta fórmula:
ab DU a b % 100 Ejemplo: Dos descuentos sucesivos del 15% y del 25%, equivalen a un descuento único de: Usando la fórmula:
ab DU a b % = 15 25 (15)(25) % = 40 375 % = (40-3,75)% = 36,25% 100 100 100 AUMENTOS SUCESIVOS En el caso de tener dos aumentos sucesivos del a% y del b%, el aumento único equivalente se puede calcular con esta formula:
ab AU a b % 100 Ejemplo: Dos aumentos sucesivos del 24% y del 16%, equivalen a un aumento único de: Usando la fórmula:
(24)(16) ab 384 AU a b % = 24 16 % = (40+3,84)% = 43,84% % = 40 100 100 100
124
6to. de Primaria
BLOQUE I 01.- ¿Qué porcentaje de 480 es 24? a) 10%
b) 4%
c) 7%
d) 3%
e) 5%
c) 4%
d) 3%
e) 5%
c) 30%
d) 20%
e) 50%
c) 2%
d) 8%
e) 10%
c) 35%
d) 30%
e) 25%
c) 8%
d) 15%
e) 12%
c) 7%
d) 15%
e) 20%
c) 3 500
d) 2 000
e) 3 000
c) 20
d) 40
e) 30
c) 350
d) 200
e) 450
d) 50
e) 24
d) 16
e) 20
02.- ¿Qué porcentaje de 200 es 8? a) 10%
b) 7%
03.- ¿Qué porcentaje de 84 es 42? a) 15%
b) 10%
04.- ¿Qué porcentaje de 0,36 es 0,0072? a) 3%
b) 5%
05.- ¿Qué porcentaje es 52 de 13? a) 10%
b) 20%
06.- ¿Qué porcentaje de 80 es 4? a) 5%
b) 10%
07.- ¿Qué porcentaje de 0,04 es 0,0028? a) 10%
b) 5%
08.- Hallar el 50% de 6 000. a) 600
b) 500
09.- Hallar el 2% del 6% de 35 000. a) 42
b) 35
10.- ¿El 20% de que número es 70? a) 150
b) 250
12.- Hallar el 3% del 2% del 1% de 8 000 000. a) 48
b) 30
c) 35
13.- Hallar el 10% del 20% del 30% de 2 000. a) 10
b) 12
c) 14
14.- ¿Qué porcentaje de 50 es el 20% del 30% de 100?
6to. de Primaria
125
a) 10%
b) 5%
c) 12%
d) 20%
e) 45%
c) 120%
d) 350%
e) N.A.
15.- ¿Qué porcentaje de 156 es 780? a) 400%
b) 500%
BLOQUE II 01.- Dos descuentos sucesivos del 20% y 40% equivalen a un descuento único de: a) 60%
b) 52%
c) 48%
d) 50%
e) 30%
02.- Dos aumentos sucesivos del 10% y el 20% equivalen a un único aumento de: a) 30%
b) 31%
c) 32%
d) 33%
e) 34%
03.- Dos descuentos sucesivos del 10% y del 30%, equivalen a un descuento único de: a) 39%
b) 37%
c) 35%
d) 33%
e) 31%
04.- María compra una cartera y le hacen dos descuentos sucesivos del 20% y el 30%. Si pagó S/. 11,20, ¿cuánto costaba la cartera? a) S/. 18
b) S/. 20
c) S/. 24
d) S/. 28
e) S/. 30
05.- Dos aumentos sucesivos del 10% y el 20%, equivalen a un aumento único de: a) 30%
b) 31%
c) 32%
d) 33%
e) 34%
06.- Un horno microondas cuesta $ 420. El vendedor descuenta el 10%, pero por una pequeña "yaya", rebaja el 5% al nuevo precio. ¿Cuánto se pagó, finalmente por el horno? a) $378
b) $ 345,50
c) $ 395,20
d) $ 359,10
e) $ 369,10
07.- En lugar de descontar sucesivamente el 10% y luego el 20% a un artículo cuyo valor es S/. 360, se puede hacer un único descuento de: a) 38%
b) 30%
c) 28%
d) 26,6 %
e) 32 %
08.- En un gran almacén de ropa, se ofrecen descuentos sucesivos del 20% y 30% en el departamento de lencería. ¿Cuál sería el descuento único? a) 44%
b) 50 %
c) 64 %
d) 54 %
e) 36 %
09.- Un empleado gana S/. 500; si se le aumenta el 20% y luego se le descuenta el 20% de su nuevo sueldo, entonces el empleado recibirá: a) S/.420
b) S/. 520
c) S/. 460
d) S/. 480
e/ S/. 560
10.- Dos descuentos sucesivos del 28% y 75% equivalen a un único descuento de: a) 68%
b) 93%
c) 82%
d) 46%
e) 86%
126
6to. de Primaria
Interés Simple Definición Es una operación que consiste en calcular la ganancia o interés de un capital o suma de dinero, por ser prestado por un determinado tiempo y a una determinada tasa de interés. C = Capital t = Tiempo r = Tasa de Interés (o rédito) I = Interés M = Monto (M = C + I)
Capital (C). Dinero o bien que se presta o impone. Tiempo (t). Es el número de años, meses o días durante el cual se presta e invierte el capital. Se considera un año comercial de 360 días. Tasa (r). Es el tanto por ciento de ganancia del capital respecto a un periodo de tiempo. También se le conoce como rédito. Interés (I). Es la ganancia, utilidad o beneficio que se obtiene por el préstamo del capital. Monto (M). Es la suma del capital prestado más el interés ganado.
FÓRMULA PARA CALCULAR EL INTERÉS SIMPLE
C.r.t 100 C.r.t I 1200 C.r.t I 36000 I
t años t meses
t días
Cálculo del interés Hallar el interés que produce un capital de S/.1 500 prestado al 8% anual, durante 3 años. Solución: Datos: C = 1500 ;
r = 8%
;
t=3
;
I=?
Reemplazamos los datos en la fórmula para calcular el interés en años. I=
6to. de Primaria
C.r.t 1500 8 3 = = S/.360 100 100
127
Cálculo del Capital Hallar el capital que prestado al 0,5% mensual durante 2 años ha producido un interés de S/.420. Solución: Convertimos la tasa de interés mensual en anual 0,5% x 12 = 6% anual Reemplazamos los datos en la fórmula para calcular el capital en años. Datos: C=? ;
r = 6%
;
t=2
;
I = 420
Reemplazamos los datos en la fórmula y despejamos C I=
C.r.t 100
C=
100 420 100 I = = S/. 3500 62 rt
Cálculo de la Tasa de interés A qué % anual se prestó un capital de S/.850 que en 1 año y 3 meses ha producido S/.127,50 de intereses? Solución: Convertimos la tasa de interés en anual: 1 año y 3 meses = 15 meses Datos: C = 850 ;
r=?
;
t = 15
;
I = 127,50
Reemplazamos los datos en la fórmula y despejamos r% Usamos la fórmula para calcular la tasa en meses. I=
C.r.t 1200 I 1200 127,5 r% = = = 12% 100 850 15 Ct
Cálculo del tiempo Hallar el tiempo que estuvo prestado S/.7 200 que al 5% ha producido S/.1800 de intereses. Solución Datos: C = 7200 ;
r = 5%
;
t=?
;
I = 1800
Reemplazamos los datos en la fórmula y despejamos t: I=
C.r.t 100 I 100 1800 t= = = 5 años 100 C r% 7200 5
128
6to. de Primaria
01. Hallar el interés producido por S/. 3 200 colocado al 4% durante 1 año, 6 meses. a) S/. 144
b) S/. 150
c) S/. 164
d) S/. 192
e) S/. 136
02. Hallar el interés producido por S/.1800 prestados al 6% durante 2 meses. a) S/. 18
b) S/. 15
c) S/. 24
d) S/. 19
e) NA
03. ¿Cuál es el capital que ha producido un interés de S/.360 a un 8% anual, durante 1 año y 4 meses a) S/. 2144
b) S/. 3150
c) S/. 3375
d) S/. 3152
e) S/. 1364
04. ¿A qué % diario estuvo prestado S/. 4800 para producir un interés de S/.300 durante 3 meses 10 días? a) 21%
b) 31%
c) 22,5%
d) 31,5%
e) 64%
05. Hallar el tiempo en que estuvo colocado un capital de S/.5 700 que al 8,25% produjo intereses por S/.313,50. a) 9 meses
b) 3 meses
c) 5 meses
d) 8 meses
e) 4 meses
06. Hallar el interés que produce un capital de S/.930 prestado al 14% anual durante 5 años. a) S/.650
b) S/.345
c) S/.763
d) S/.651
e) S/.444
07. Hallar el interés producido por S/.6 250 colocado al 8% durante 2 años, 9 meses. a) S/.1650
b) S/.1335
c) S/.1276
d) S/.1375
e) S/.433
08. Hallar el capital que prestado al 6% mensual durante 2 años 8 meses ha producido un interés de S/.136 a) S/.650
b) S/.560
c) S/.760
d) S/.850
e) S/.439
09. Hallar el capital que ha producido S/.1240 de intereses prestado al 12% durante 1 año 4 meses y 20 días.
6to. de Primaria
129
a) S/.7750
b) S/.7670
c) S/.7440
d) S/.7889
e) S/.4439
d) 850
e) 400
10. Calcular el interés en el siguiente caso: C = S/. 2700 r = 5% anual t = 6 años a) S/. 450
b) 810
c) 800
11. Hallar el tiempo en que estuvo colocado un capital de S/.1680 que al 5% produjo intereses por S/.21. a) 9 meses
b) 3 meses
c) 5 meses
d) 8 meses
e) 4 meses
12. ¿Cuál será el capital que ha producido un interés de S/.480 al 30% anual durante 2 años? a) S/.750
b) S/.600
c) S/.400
d) S/.800
e) S/.900
13. Cuál es el interés que produce un capital de S/.1100 al 9% anual durante 3 años? a) S/.752
b) S/.246
c) S/.234
d) S/.297
e) S/.942
14. A qué r% estuvo prestado S/.3000 para producir un interés de S/.33,75 durante 90 días? a) 4,5%
b) 3,5%
c) 7,5%
d) 8,5%
e) 2,5%
d) 350
e) 400
15. Calcular el interés en el siguiente caso: C = S/. 2 500 r = 4% anual t =3 años a) S/.270
b) 280
c) 300
130
6to. de Primaria
Capítulo 1: Teoría de Conjuntos
03
Capítulo 2: Producto Cartesiano
26
Capítulo 3: Sistema de numeración decimal
29
Capítulo 4: Adición y sustracción en N
36
Capítulo 5: Multiplicación y División en N
41
Capítulo 6: Potenciación y radicación en N
46
Capítulo 7: Sistema de numeración no decimal
52
Capítulo 8: Divisibilidad
57
Capítulo 9: Números primos y compuestos
64
Capítulo 10: MCM – MCD
68
Capítulo 11: Fracciones
75
Capítulo 12: Números Decimales
98
Capítulo 13: Razones y Proporciones
110
Capítulo 14: Magnitudes Proporcionales
116
Capítulo 15: Tanto por Ciento
123
Capítulo 6: Interés Simple
127
6to. de Primaria
131
