Ingeniería Ingen iería Indus Industrial trial UNT
Proyecciones estereográficas
Ing. Norberto D. Ñique G.
Introducción La proyección estereográfica ha sido ampliamente usada en el trabajo cristalográfico por muchos muchos años y además ha sido escrita escrita en numerosos numerosos textos textos que conciernen conciernen difracción, cristalografía y mineralogía. Recientemente este método ha ido incrementando su empleo en simultáneo con las investigaciones realizadas en microscopia electrónica de barrido (SEM) y de transm tra nsmisi isión ón (TE (TEM) M), donde algunas de sus aplicaciones son de alta especialización. Algunas aplicaciones de la proyección estereográfica están generalmente rela re laci cion onad adas as co con n la lass investigaciones estructurales (determinación de la estructura).
Este método de proyección se usa con el objeto de: • Repre Representa sentarr direccione direccioness y planos planos espec específic íficos os dentro dentro de un cristal cristal,, así como las correspondientes relaciones angulares entre ellos. • Rea Realiz lizar ar una una proyecc proyección ión del del crist cristal al sobre sobre un un plano plano geomé geométri trico, co, de tal tal man manera era que se conserven las relaciones angulares. • Propo Proporcion rcionar ar un mapa de plano planoss y direc direccion ciones. es. • Visualiz Visualizar ar y discutir las relaciones entre planos y direcciones en un cristal. • Análisis de patrones de difracción difracción de Rayos Rayos X y de haces de electrones. • Repre Represent senta a esquem esquemátic áticament amente e la sime simetría tría de una red. • Dete Determina rminarr ángulos ángulos entre plano planoss y direc direccion ciones es de de un cris cristal. tal.
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA La proyección estereográfica proyecta el cristal sobre un plano geométrico cons co nserv ervan ando do la lass re rela laci cion ones es an angu gula lare ress. Es una herramienta muy útil en el campo de la metalurgia debido a que permite, como se menciono anteriormente: 1. Visualiz Visualizar ar y discu discutir tir las relaciones relaciones entre los planos y las direcciones direcciones (familia) (familia) en un cristal. 2. Ayud Ayuda a en el análisis de rayos X y patrones de difracción de electrones. 3. Permite representar representar esquemáticamente esquemáticamente la simetría de una red, etc. El propósito de esta sección es concentrarse sobre la correspondencia geométrica entre planos y direcciones cristalográficas y sus proyecciones estereográficas. La proyección estereográfica puede ser realizada para cualquier tipo de estructura cristalina, pero para una mejor explicación sólo nos centraremos en la estructura cúbica debido a su mayor simplicidad.
Los puntos A y B se ven proyectados a diferentes puntos sobre un plano, dependiendo del foco de proyección.
Gnomónica:
cuando el foco de proyección se encuentra en el centro de la esfera Es ter eo gr áfic a:
Si el foco de proyección se encuentra en la base de la esfera.
Or to g ráfi ca :
El foco de proyección se encuentra en el infinito.
Cubos referenciales en los que se aprecian las tres familias de planos correspondientes a cristales cúbicos
“El plano y su dirección perpendicular a él, tienen los mismos índices”. Por lo tanto, en la proyección estereográfica un plano puede ser identificado por su la intersección en la esfera de referencia (polo)
hkl hkl
Relación entre la proyección estereográfica y esférica para un cristal cúbico
Mg. Ing.Norberto D. Ñique G.
Proyección de planos y polos
Proyección estereográfica cubica 001
Mg. Ing. Norberto D. Ñique G.
Proyección estereográfica cubica 100
Mg. Ing.Norberto D. Ñique G.
Mg. Ing. Norberto D. Ñique G.
Los ángulos pueden medirse contando los grados a lo largo de una latitud o a lo largo de una longitud, pero existe una diferencia. La figura de la derecha muestra una figura tridimensional del cuadrante derecho superior con los tres puntos localizados. En la figura de la izquierda y con la red de Wulff se tiene un ángulo de 60° entre A y B (latitud), en la figura de la derecha este es α ’. Notese que si A y B son polos este no es el ángulo entre los planos representados por los polos, este ángulo seria α que es el ángulo entre las normales de los planos el cual se debe originar en el centro de la esfera. A diferencia del ángulo entre B y C el cual es de 30° el cual corresponde a β . Por lo tanto las mediciones de ángulos se realizan en una longitud o círculos mayores o en todo caso en el ecuador.
PROYECCIÓN Proyección estereográfica 001 ESTEREOGRÁFICA El polo de la proyección va al centro
011 101
111
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA Proyección estereográfica 100
101 111
011
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA Red de Wulff
Latitudes (círculos menores)
Longitudes círculos máximos
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA Construcción de una proyección estereográfica Red de Wulff + un papel transparente
45o
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA Proyección estereográfica 100
45o
En el interior de esta figura se han trazado 4 rectas y 4 curvas. Todos ellos constituyen las proyecciones de círculos que pasan por el centro de la esfera de referencia, llamados círculos máximos. De esta manera la proyección queda dividida en cuatro cuadrantes - a través de un eje N-S -(001) – (001) y un eje O-E, (010) – (010).
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA La intersección de un plano con la esfera de referencia determina un círculo máximo
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA El polo de un plano debe estar a 90° de todas las direcciones que contenga el plano
_
La proyección del plano (010), se encuentra a 90° desde el polo (010) y es la recta vertical que contiene a_ los _ polos (100), (101) (001), (101) y (100). La proyección del plano (110), se encuentra a 90° desde el polo (110) y su proyección es la recta que contiene a los polos (110), (111), (001), (111) _ y (110). _ _ _ La proyección del plano (011), se encuentra a 90° desde el polo (011) y su proyección es la recta que contiene a los polos (100), (111), (011), (111) y(100). _ _ _ _ _
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA De manera analítica, para determinar el plano de un polo conocido, se procede a llevar el polo de la proyección hasta el ecuador de la red; luego se mide 90° sobre éste, y la longitud que pase por ese punto es el plano buscado. El procedimiento inverso permite hallar el polo de un plano específico.
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA Medición de ángulos entre polos En el sistema cúbico se cumple que el ángulo que forma dos planos es el mismo que forman sus polos. Para medir el ángulo entre los planos representados por los polos A y B: 1. Primero se identifica los polos A y B usando una hoja de papel translúcido sobre la red de Wulff.
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA Medición de ángulos entre polos En el sistema cúbico se cumple que el ángulo que forma dos planos es el mismo que forman sus polos. Para medir el ángulo entre los planos representados por los polos A y B: 1. Primero se identifica los polos A y B usando una hoja de papel translúcido sobre la red de Wulff. 2. Luego se coloca un alfiler en el origen de la red de Wulff y se gira el papel translúcido sobre la red de Wulff hasta que ambos puntos caigan sobre alguna línea longitudinal. El ángulo verdadero, , puede entonces medirse a lo largo de esa longitud.
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA Zona de planos Se llama zona de planos, al conjunto de planos que tienen una línea de intersección común. A la línea de intersección se le denomina eje de zona.
Los polos de estos singulares planos son coplanares, es decir, están sobre un plano (uvw). Por lo tanto, el eje de intersección de éstos planos o eje de zona, estará dado por el polo [uvw]. El eje de zona es, perpendicular a los polos de los planos pertenecientes a la zona. Así se cumple:
h.u + k.v + l.w = 0
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA Zona de planos Ejemplo, en la proyección estereográfica (001): Si el eje de zona es [010], los planos de la zona serían: (100), (101), (001), (101) _ y (100). _
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA Zona de planos Segundo ejemplo: Si el eje de zona es [111], los planos mostrados en la figura pertenecen a la zona de planos.
Proyección estereográfica 100
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA Ubicación de un polo [hkl] en la proyección estereográfica (001) Procedimiento, ejemplo polo (211): 1. Determinar el cuadrante al cual pertenece el polo. El polo (211), estará en el cuadrante donde h, k y l son positivos.
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA Ubicación de un polo [hkl] en la proyección estereográfica (001) Procedimiento, ejemplo polo (211): 2. Determinar que planos contiene a la dirección buscada. Para esto, consideramos al polo buscado (uvw)=(211) como un eje de zona, y determinamos los planos (hkl) que contiene a este eje de zona según: h. u
h. u
2h h = 0,
k = - 1,
h = - 1,
k = 1,
kv
kv
k
l . w 0 l. w 0 l
l =1 l =1
0
==>
( 0 11)
==>
( 1 11 )
_ _ Tanto el plano (011) como el plano (111) contiene al polo (211), y por lo tanto, la intersección de ambos planos, determinan la ubicación del polo (211).
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA Ubicación de un polo [hkl] en la proyección estereográfica (001) Procedimiento, ejemplo polo (211): 2. Determinar que planos contiene a la dirección buscada. Para esto, consideramos al polo buscado (uvw)=(211) como un eje de zona, y determinamos los planos (hkl) que contiene a este eje de zona según: h. u
h. u
2h h = 0,
k = - 1,
h = - 1,
k = 1,
kv
kv
k
l . w 0 l. w 0 l
l =1 l =1
0
==>
( 0 11)
==>
( 1 11 )
_ _ Tanto el plano (011) como el plano (111) contiene al polo (211), y por lo tanto, la intersección de ambos planos, determinan la ubicación del polo (211).
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA Ubicación de un polo [hkl] en la proyección estereográfica (001) Procedimiento, ejemplo polo (211): 3. Para verificar su posición se mide el ángulo existente entre el polo (211) obtenido, y otros dos polos conocidos, tales como: (101) y (111), en forma gráfica y se compara con el obtenido en forma analítica.
111].[ 211]
[ 111] . [ 211]
2 1 1
ar c. c os
3 6 cos 4 18
cos
19. 47
101].[ 211] 2 1
[ 101] . [ 211]
2 6 cos
30
cos
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA
_ Ubicación de un polo [231] en la proyección estereográfica 100 1. El polo pertenece al cuadrante donde, h y l son positivos y k es negativo. 2. El polo se encuentra en el plano (111), debido a que cumple: u kv l w
0 1x(
2 ) 1x( 3 ) 1x( 1 ) 0
3. Para establecer la ubicación del polo [231], se determina el ángulo que forma este polo con un polo conocido que se encuentre en el plano (111), tal como el polo [110]. -
231 . 110 2 31 . 110 cosθ 2
3
14 2cosθ
θ
arc.cos
5 28
θ 19. 1
Se mide 19.1°, a partir del polo [110] y en la longitud que corresponde al plano (111), y la ubicación del polo queda determinado
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA Ubicación de un polo [302] en la proyección estereográfica 100 1. El polo [302] esta en el cuadrante donde h k l son positivos. 2. El polo [302] se encuentra en el plano (010), debido a: u kv l w
0 0x( 3
) 1x( 0 ) 0x( 2 ) 0
3. Para establecer la ubicación del polo [302], se determina el ángulo que forma este polo con el polo [100] que se encuentre en el plano (010). 1 00 . 302 3
1 00 . 302 cos
13 cos
arc. cos
3 13
33. 69
0
Se mide 33.7°, a partir del polo [100] y en la longitud que corresponde al plano (010), y la ubicación del polo queda determinado
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA Medición del ángulo entre una dirección y un plano El ángulo entre un plano y una dirección es el existente entre la misma dirección y su proyección en el plano.
Ejemplo: Determinar el ángulo formado por la dirección [011] y el plano (111), en una proyección estereográfica (001). Procedimiento: 1. Determinar el polo [011] de la dirección evaluada. 2. Determinar la longitud del plano (111) con su respectivo polo.
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA Medición del ángulo entre una dirección y un plano 3. Trazar la longitud que une el polo del plano evaluado (111) con el polo de la dirección evaluada [011]. 4. La intersección de las dos longitudes obtenidas en los pasos (2)y(3), determinan la proyección de la dirección sobre el plano. 5. Por último, se determina el ángulo entre el polo de la dirección evaluada [011], y el polo correspondiente a la proyección de esta dirección sobre el plano, obtenido en el paso (4).
