1 Probabilidade e Estatística I
Resolução da Atividade Aberta 2 – Valor: 5,0 pontos Entrega até: 12/09/2012 OBS.: Entregar as resoluções juntamente com as respostas!
Questão 1: (0,5 pts) Seja a variável aleatória X igualmente provável de ter valores iguais a 1 1 3 , e . Determine a média e o desvio-padrão de X. 8 4 8
Solução:
Seja a distribuição de X: x
1/8
1/4
3/8
Total
p(x)
1/3
1/3
1/3
1,0
xp(x)
1/24
1/12
3/24
6/24=0,25
x2p(x)
1/192
1/48
9/192
14/192
3
6
Logo, E ( X ) xi p( xi )
24
i 1
E ( X ) 2
Tem-se:
3
0,25 14
x p( x ) 192 0,073 2 i
i
i 1
Var Va r ( X ) E ( X ) E ( X ) 0,073 (0,25) 0,0104 2
2
2
Var r ( X ) 0,0104 0,102 dp( X ) Va
Resp.: A média é 0,25 e o desvio-padrã desvio-padrão o 0,102. Questão 2: (0,5 pts) Um caça-níquel tem dois discos que funcionam independentemente um do
outro. Cada disco tem 10 figuras: 4 maçãs, 3 bananas, 2 peras e 1 laranja. Uma pessoa paga R$ 80,00 e aciona a máquina. Se aparecerem 2 maçãs ganha R$ 40,00, se aparecerem 2 bananas, ganha R$ 80,00; R$ 140,00 se aparecerem 2 peras; e ganha R$ 180,00 se parecerem 2 laranjas. Qual o ganho médio dessa pessoa em uma única jogada?
© T.F.Bogutchi – PUC-MG / 2012-2
2 Probabilidade e Estatística I
Solução:
Sejam os eventos sobre o tipo de fruta: M = maçã; B = banana; P = pera; L = laranja. Tem-se as seguintes probabilidades, sendo o evento, por exemplo, MM = (M,M) – maçã no primeiro resultado e maçã no segundo resultado: Probabilidades 1 fruta 2 frutas iguais P(M) 0,4 P(MM) 0,16 P(B) 0,3 P(BB) 0,09 P(P) 0,2 P(PP) 0,04 P(L) 0,1 P(LL) 0,01 Total 1,00 0,30
Logo, a P(outros) = P(2 frutas diferentes) = 1 – P(2 frutas iguais) = 1 – 0,30 = 0,70 Considere o evento G = ganho liquido do jogador ( G é obtido pelo resultado de quanto recebe na jogada menos o valor da jogada). A distribuição de probabilidades de G é: Resultado da jogada
Paga
Recebe
R$ 80,00 R$ 40,00 R$ 80,00 R$ 80,00 R$ 80,00 R$ 140,00 R$ 80,00 R$ 180,00 R$ 80,00 R$ 0,00 Total
P(MM) P(BB) P(PP) P(LL) P(Outros)
Ganha (g) -R$ 40,00 R$ 0,00 R$ 60,00 R$ 100,00 -R$ 80,00
P(g) 0,16 0,09 0,04 0,01 0,70 1,00
gP(g) -R$ 6,40 R$ 0,00 R$ 2,40 R$ 1,00 -R$ 56,00 -R$ 59,00
Então o ganho médio é dado por E (G ) gp( g ) = - R$ 59,00, ou seja, o jogador deve perder em média, 59 reais. Questão 3: (0,5 pts)
Bateladas que consistem em 50 molas helicoidais, provenientes de um
processo de produção, são verificadas com relação à conformidade em relação aos requerimentos dos consumidores. O número médio de molas não conformes em uma batelada é igual a cinco. Considere que o número de molas não conformes em uma batelada, denotado por X, seja uma variável aleatória binomial. a) Quais são os valores de n e p? b) Qual é a P( X ≤ 2)? c) Qual é a P( X ≥ 49)?
© T.F.Bogutchi – PUC-MG / 2012-2
3 Probabilidade e Estatística I
Solução:
Seja X : número de molas helicoidais não conformes Cada mola pode ser não conforme ou conforme, ou seja, cada mola é um ensaio de Bernoulli. As 50 molas da batelada são independentes, logo, X ~ Bin (n, p) a) Molas da batelada: n = 50 e E(X) = 5, mas E(X) = np, logo p = 0,10 Então, X ~ Bin (50; 0,1) b) P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X =1) + P(X = 2) = 0,11173 Donde, 50 P(X = 0) = 0,10 0,950 = (1)(1)(0,00515) = 0,00515 0 50 P(X = 1) = 0,110,949 = (50)(0,1)(0,00573) = 0,02863 1 50 P(X = 2) = 0,12 0,9 48 = (1225)(0,01)(0,00636) = 0,07794 2 c) P(X ≥ 49 ) = P(X = 49) + P(X = 50) = 0,000 Pois, 50 P(X = 49) = 0,149 0,91 = (50)(0,000)(0,9) 0,000 49
50 P(X = 50) = 0,1500,90 (1)(0,000)(1) 0,000 50 Questão 4: (0,5 pts) Um determinado artigo é vendido em caixa ao preço de R$ 20,00 cada. É
característica de produção que 20% destes artigos sejam defeituosos. Um comprador fez a seguinte proposta: de cada caixa escolhe 25 artigos, ao acaso, e paga por caixa: R$ 25,00 se nenhum artigo, dos selecionados, for defeituoso; R$ 17,00 se um ou dois artigos forem defeituosos; R$ 10,00 se três ou mais forem defeituosos. O que é melhor para o fabricante: manter o seu preço de R$ 20,00 por caixa ou aceitar a proposta do consumidor?
© T.F.Bogutchi – PUC-MG / 2012-2
4 Probabilidade e Estatística I
Solução:
1) Proposta do fabricante: 25 x R$ 20,00 = R$ 500,00 Cliente pode levar em média, 5 artigos com defeitos por caixa. 2) Proposta do cliente. X: número de artigos com defeitos; X ~ Bin (25; 0,20) a) P(X = 1 ou X = 2) = P(X=1) + P(X = 2) = 0,0944 Pois, 25 P(X = 1) = 0,2010,8024 = 0,0236 1 25 P(X = 2) = 0,202 0,8023 = 0,0708 2 b) P(X ≥ 3) = 1 – P(X < 3) = 1 – [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)] = 1 – 0,0982 = 0,9018 25 Dado que P(X=0) = 0,2000,8025 = 0,0038 0 Dessa maneira, o cliente quer pagar: R$ 10,63 por artigo, em média, pois x
R$ 17,00
R$ 10, 00
Total
p(x)
0,0944
0,9018
~ 1,0
xp(x)
R$ 1,61
R$ 9,02
R$ 10,63
Então o cliente pagará em média, 25 * R$ 10,63 = R$ 265,75 por caixa. Comparando as propostas o fabricante não deve aceitar a do cliente, pois a sua é melhor.... Questão 5: (0,5 pts) De acordo com a Divisão Estatística Vital do Departamento de Saúde dos
Estados Unidos, a média anual de afogamentos acidentais neste país é de 3 por 100.000 indivíduos. Determinar a probabilidade de que em uma cidade com 300.000 habitantes se verifiquem: a) Nenhum afogamento. b) No máximo 2 afogamentos. c) Mais de 4 e menos de 8 afogamentos. Solução:
X: numero de afogamentos por 100.000 habitantes; X ~ Pois (3) Se X : numero de afogamentos por 300.000 habitantes, então X ~ Pois (9)
© T.F.Bogutchi – PUC-MG / 2012-2
5 Probabilidade e Estatística I
Com P( X k )
e k k !
a) Nenhum afogamento. P( X 0)
e 9 9 0 0!
e 9 0,000123
b) No máximo 2 afogamentos. P( X 2)
e 9 9 0 0!
e 9 91 1!
e 9 9 2 2!
0,000123 0,023612 0,070835 0,09457
c) Mais de 4 e menos de 8 afogamentos P(4 X 8) P( X 5) P( X 6) P( X 7) 0,06073 0,16335 0,11084 0,33491
Questão 6: (0,5 pts) Uma companhia emprega 800 homens com menos de 55 anos. Suponha
que 30% carreguem um marcador no cromossomo masculino que indique um risco crescente de pressão sanguínea alta. a) Se 10 homens na companhia forem testados em relação ao marcador nesse cromossomo, qual será a probabilidade de exatamente um homem ter esse marcador? b) Se 10 homens na companhia forem testados em relação ao marcador nesse cromossomo, qual será a probabilidade de mais de um homem ter esse marcador? Solução:
Seja, X: número de homens com menos de 55 anos com marcador no cromossomo da amostra. Tem-se: N = 800; r = 30% de 800 = 240; n = 10 Podem ser feitas as seguintes contagens: Podem ser feitas as seguintes contagens:
800 = a quantidade de amostras sem reposição que podem ser retiradas; 10 240 = numero de maneiras em que os k sucessos podem ocorrer; k 800 240 = numero de maneiras em que os fracassos podem ocorrer. k 10
Logo, a)
© T.F.Bogutchi – PUC-MG / 2012-2
6 Probabilidade e Estatística I
240 800 240 240 560 21 1 10 1 1 9 3,35799 x10 0,1201 P( X 1) 22 2,79647 x10 800 800 10 10
b) P(X > 1) = 1 – P(X ≤ 1) = 1 – [P(X=0) + P(X =1 )] = 1 – (0,0276 + 0,1201) = 0,8523
Dado que,
240 800 240 240 560 20 0 10 0 0 10 7,70938 x10 0,0276 P( X 0) 22 2,79647 x10 800 800 10 10 Questão 7: (0,5 pts) O tempo entre as chamadas para uma loja de suprimento de encanamentos
é distribuído exponencialmente, com um tempo médio de 15 minutos entre as chamadas. Solução:
X: tempo entre as chamadas, em minutos
1 E(X) = 15 X ~ Exp 15 Lembrando que se X ~ Exp(α), então P(X ≤ x) = F(x) = 1 – e
x
e P(X > x) = e x
a) Qual é a probabilidade de não haver chamadas dentro do intervalo de 30 minutos? Significa que as chamadas chegarão após os 30 minutos: P(X > 30 ) = e
1 ( 30) 15
e 2 0,1353
b) Qual é a probabilidade de que no mínimo uma chamada chegue dentro do intervalo de 10 minutos? Significa que será 1 – a probabilidade de nenhuma chamada em 10 minutos, ou seja, 1 – P(X > 10) = F(10) P(X < 10 ) = 1 - e
1 (10) 15
© T.F.Bogutchi – PUC-MG / 2012-2
1 e 0,667 1 0,5134 0,4866
7 Probabilidade e Estatística I
c) Qual é a probabilidade de que a primeira chamada chegue dentro de 5 a 10 minutos depois da loja aberta? P(5 < X < 10 ) = P(X < 10) – P(X < 5) = 1 1 (10 ) (10 ) 15 1 e 15 0,4866 0,2835 0,2031 = 1 e
d) Determine o comprimento de um intervalo de tempo, tal que exista uma probabilidade igual a 0,90 de haver no mínimo uma chamada no intervalo. P( X < x ) = 0,90 1 e
1 ( x ) 15
Tomando a função inversa:
x 15
0,90 e
x 15
ln(0,10)
0,10
x 15
2,30258
Logo, x = 34,54 minutos aproximadamente. Questão 8: (0,5 pts) O diâmetro do ponto produzido por uma impressora é normalmente
distribuído com uma média de 0,002 polegadas e um desvio-padrão de 0,0004 polegadas. Solução:
X: o diâmetro do ponto da impressora, em polegadas X ~ N (0,002; 0,0004) a) Qual é a probabilidade de o diâmetro de um ponto exceder 0,0026 polegadas? 0,0026 0,002 P(X > 0,0026) = P Z = P(Z > 1,5) = 0,5 – P(0 < Z < 1,5) = 0,5 – 0,4332 0 , 0004
(utilizando valor da Tabela 3 anexada às Anotações de Aula da Unidade 2) Logo, P(X > 0,0026) = 0,0668 (≈ 6,7%) b) Qual é a probabilidade de um diâmetro estar entre 0,0014 e 0,0026 polegadas? 0,0026 0,002 0,0014 0,002 P(0,0014 < X < 0,0026) = P Z = P(-1,5 < Z < 1,5) 0 , 0004 0 , 0004
=2 P(0 < Z < 1,5) = (2)(0,4332) = 0,8664 ( pela simetria da Normal) Logo, P(0,0014 < X < 0,0026) = 0,8664 (≈ 86,7%) © T.F.Bogutchi – PUC-MG / 2012-2
8 Probabilidade e Estatística I
c) Que desvio-padrão do diâmetro é necessário para que a probabilidade do item (b) seja 0,995? Do item (b) quer: 0,0026 0,002 0,0006 0,0014 0,002 0,0006 P(0,0014 < X < 0,0026) = P Z Z P 0,0006 0,0006 2,81 =0,995 P Z 0,9975
0,0006 2,81
0,000214
Questão 9: (0,5 pts) Uma impressora de alta capacidade imprime páginas com pequenos erros
de qualidade de impressão, em um teste de 1.000 páginas de texto, de acordo com uma distribuição de Poisson, com média de 0,4 por página. Aproxime a probabilidade de mais de 350 páginas conterem erros (um ou mais). Solução:
X: no de erros por pagina; X ~ Pois(0,4), Então a probabilidade de um ou mais erros por página é: P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – 0,67 =0,33, pois P(X = 0) =
e 0, 4 0,4 0 0!
e 0,4 0,670
Agora, defina Y: numero de paginas com mais ou um erros Y ~ Bin (1000; 0,33) E E(Y) = np = (1000)(0,33) = 330 e Var(Y) = np(1-p)= (1000)(0,33)(0,67) = 221,1, ou seja, dp(Y)=14,869 Dessa maneira, podemos utilizar que a variável com um ou mais erros por página pode ser aproximada por uma Normal com média 330 e desvio-padrão 14,869, ou seja, Y ≈ N(330; 14,869)
Para preservar a continuidade,
P(Y > 350) ≈ P Z
350,5 330 14,869
(8,38%)
© T.F.Bogutchi – PUC-MG / 2012-2
P(Z > 1,38) = 0,5 – P(0< Z < 1,38) = 0,5 – 0,4162 = 0,0838
9 Probabilidade e Estatística I
Questão 10: (0,5 pts) O tempo que uma célula leva para se dividir (processo chamado de mitose)
é normalmente distribuído com um tempo médio de uma hora e um desvio-padrão de 5 minutos. Solução:
X: tempo par a célula se dividir, em minutos; X ~ N(60; 5), a) Qual é a probabilidade de uma célula se dividir em menos de 45 minutos?
P(X < 45) = P Z
45 60 5
= (Z < - 3) = P(Z > 3) = 0,5 – P(0 < Z < 3) = 0,5 – 0,4987 = 0,0013
b) Qual é a probabilidade de uma célula levar mais de 65 minutos para se dividir?
P(X > 65) = P Z
65 60 5
= P(Z > 1) = 0,5 – P(0 < Z < 1) = 0,5 – 0,3413 = 0,1587
c) Em que tempo, aproximadamente, 99% de todas as células completaram a mitose? P(X > x) = 0,99 P(Z > z) = 0,99 P(Z < z) = 0,01 = P(Z > z) = 0,01
P(0 < Z < z) = 0,49 z = 2,33 e por simetria, z = -2,33 z
x
x z x = (-2,33)(5) + 60 = 48,35 minutos.
Isso significa que 99% das células completam a mitose em 48,35 minutos.
© T.F.Bogutchi – PUC-MG / 2012-2
