PODRUŽNICA MATEMATIČARA KRALJEVO ŠKOLA ZA MATEMATIČKE TALENTE
5. RAZRED TEMA 1. – SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
x<8 } i B = { y | y N i 3<=y<=7}. Odrediti skupove: 1. Dati su skupovi: A = { x | x N i x< A B ; A B ; A/B; B/A; A / B B / A ; A B / A B . skupovi vi:: A = { a | a N i a <= 7 }; }; B = { | b N i ! < < " } . Odredi e#e$e%te 2. Dati su skupo skup skupaa &' &' ako (e & = { ) | c N i ) = a * * ' a A i b B } . 3. Odrediti skup + ako (e { ,'-'3 } + = {-'3 } i ako (e + {-'3'!' {-'3'!' }. Odrediti Odrediti sva $ou0a $ou0a re1e%(a. 4. Odrediti ro(eve x i y ako (e { 2','-'3'! } { x'y'-'3' } = { 2','-'3 }. e#e$e%te skupa skupa ako (e: 4/ = { 5'8 }; 6/ = {-'3 }; 4 6 = ;4 6 = {x |x 5. Odrediti e#e$e%te i x<,2 }. 6. eka (e A = { ,'-'3'! }; B = {,'3' } ;& = { -'!''5}; D = { ,''5'7 }. Odrediti skup + ako (e + A ; + 8 B D 9 = ; 8 A &9/ + = {-}. 7. kakvo$ su od%osu skupovi A i B ako (e A B = A i A B = B .Dati su skupovi: A = { a'')'d }' B ={ a'd'e'< }' & ={'e'<' }. Odrediti skup tako da (e: A' 8 A B 9 / = ' 8 A &9 / = ' { ) } / = { ) } . !.eka (e A B & = { ,'-'3'!''5}' A B9 & = { ,'! }' B/& = { -''5 }' &/A = . Odrediti skupove A' B i & . 1". 1". Dati su skupovi:A = { x | x i x <=7 }' B = {y | y i < = y < " } ' & = { > |> i -<><=5}. Odrediti A B9/&. 11. Odrediti skup A takav da (e >a $a ko(i skup B ispu%(e%a (ed%akost:A/B9 B A9 = A B.
12 12.. Dati su skupovi:4 = { a'')'d } i = { a')'e }. Odrediti skup +' ako (e + 4 i +=. 13 13.. a pravo( p date su redo$ ta?ke A' B' &' D. Odrediti:A& BD9/A&/AB9. 14 14.. a pravo( p date su redo$ ta?ke A' B' & i D. Odrediti:A&/BD9 A&/B&9 AD/BD9. skup :{' a' }. 15 15.. @o#iko podskupova i$a skup:{' ZADACI ZA UVEŽ#AVANJE 1. Odrediti e#e$e%te skupova A i B ako (e A B = { a'')'d'e } i A/B = { a' } i ako (e A 8B/A9 = { )'e )'e }. 2. Dati su skupovi:A = { a'')'d'e }' B = { a'd'< }' & = { 'e'<' } i D = {a'<'' }. Odrediti skup ako se >%a: A' 8B D9 = ' 8A 8A &9/ = i {)} / ={ ) } . 3. Dati su skupovi:A = { x | x i x < = 7 } ' B = { x | x i <=x<=5 } ' & = { x | x '
KONKURSNI ZADACI 1. eka (e = { ,'-'3'!''5'7'8'"',2 }. 6osto(e #i takvi skupovi A i B >a ko(e vai A B = i A B= ' pri ?e$u su >irovi e#e$e%ata skupova A i B (ed%aki. 2. kakvi$ od%osi$a su skupovi A' B i & ako (e: B/A = ' &/A = i B/& = B. 3. @o#iko podskupova i$a skup = {,' -' 3' !}
PODRUŽNICA MATEMATIČARA KRALJEVO ŠKOLA ZA MATEMATIČKE TALENTE
5. RAZRED TEMA 2. – VENOVI DIJA$RAMI I PRIMENE 1. Ose%?e%e skupove opisati preko skupov%i opera)i(a:
2. 1ko#i i$a 52 %astav%ika od ko(i 3" pi(e kau' -8 pi(e ?a( a ,5 pi(e i ?a( i kau. C$a #i i ko#iko %astav%ika ko(i %e pi(u %i ?a( %i kau 3. a pis$e%o( vei i> $ate$atike postav#(e%a su 3 >adatka. vaki u?e%ik re1io (e ar (eda% >adatak' a %iko %i(e re1io tre0i >adatak. 6rvi >adatak re1i#o (e - u?e%ika' a drui -7 u?e%ika. (i -2 (e re1i#o oa >adatka. @o#iko ke u?e%ika radi#o veu @o#iko u?e%ika (e re1i#o sa$o prvi >adatak 4. (ed%o$ predu>e0u i$a 3 rad%ika. (i -2 ovori stra%e (e>ike' a ,, >%a ste%orai(u' a ,2 %e >%a %i (ed%o %i druo. @o#iko rad%ika >%a i ste%orai(u i stra%e (e>ike 5. Odree%i ro( u?e%ika #etovao (e u Budvi' Baru i #)i%(u. 6ri tro$e' 3 u?e%ika (e poseti#o sa$o Bar' 5 sva tri $esta' sa$o Budvu' ,2 Bar i #)i%(' 8 Bar i Budvu' ,- #)i%( i Budvu' a 7 sa$o #)i%(. @o#iko (e u?e%ika #etova#o @o(e $esto (e i#o %a(vi1e' a ko(e %a($a%(e pose0e%o
6. (ed%o$ ode#(e%(u i$a 3- u?e%ika od ko(i ,3 ?ita E@eke)F' ,5 Eeve%F' a ,, E6o#etara)F. 6ri to$e 3 u?e%ika %e ?ita(u %i(eda% od ova tri #ista. Od o%i ko(i ?ita(u Eeve%F %(i ?ita E@eke)F' a ! ?ita(u i E6o#etara)F. a$o (eda% u?e%ik ?ita sva tri #ista. @o#iko u?e%ika i> to ode#(e%(a ?ita(u sa$o E@eke)F i E6o#etara)F. 7. (ed%o$ ode#(e%(u . ra>reda G u?e%ika u>i$a EDe?i(e %ovi%eF i#i E4ate$ati?ki #istF. EDe?i(e %ovi%eF u>i$a dup#o vi1e u?e%ika %eo E4ate$ati?ki #istF' a ro( u?e%ika ko(i u>i$a(u oa ?asopisa (e ,/3 u?e%ika ko(i ?ita(u E4ate$ati?ki #istF. @o#iko u?e%ika ?ita svaki od ?asopisa' a ko#iko oa' ako 8 u?e%ika %e u>i$a %i (eda% ?asopis . Deset u?e%ika (e odovara#o $ate$atiku' io#oi(u i e$i(u. Hetvoro (e odovara#o io#oi(u' petoro e$i(u' a 1est u?e%ika $ate$atiku. Ieda% od %(i (e odovarao sva tri pred$eta' a po dva u?e%ika sa$o po (eda% pred$et. @o#iko (e u?e%ika odovara#o ta?%o dva pred$eta !. ode#(e%(u ko(e i$a 3 u?e%ika svaki u?e%ik oave>%o u?i ar (eda%' a#i %a(vi1e dva stra%a (e>ika: ,8 u?e%ika u?i e%#eski' ,5 ruski' a ,3 %e$a?ki (e>ik. 6ri to$e ! u?e%ika u?i e%#eski i %e$a?ki' 5 e%#eski i ruski. @o#iko u?e%ika u?i sa$o (eda% stra%i (e>ik' a ko#iko u?e%ika u?i i ruski i %e$a?ki (e>ik 1". a a#ka%sko$ ko%resu $ate$ati?ara svaki od ,22 u?es%ika ovori ar (eda% od tri stra%a (e>ika: ruski ovori 7 $ate$ati?ara' ruski i ra%)uski -8' e%#eski i ra%)uski ovori 3!' a sa$o ra%)uski ; sa$o dva stra%a (e>ika ovori !" u?es%ika' a sva tri (e>ika ovori ,, $ate$ati?ara. @o#iko u?es%ika ovori ra%)uski (e>ik' ko#iko sa$o e%#eski' a ko#iko %e ovori ra%)uski 11. vi u?e%i)i (ed%o ode#(e%(a su ?#a%ovi ar (ed%e od sek)i(a: ko1arka1ke' re)itatorske i#i $ate$ati?ke. sve tri sek)i(e u?#a%(e%o (e 5 u?e%ika; 5 u?e%ika su ?#a%ovi po dve sek)i(e' a po 5 u?e%ika su ?#a%ovi sa$o po (ed%e sek)i(e. @o#iko u?e%ika i$a u to$ ode#(e%(u 12. Od 72 u?e%ika . ra>reda -7 su ?#a%ovi dra$ske sek)i(e' 3- peva u oru' a -- se avi se avi sporto$. dra$sko( sek)i(i i$a ,5 ?#a%ova ora' a u oru peva 5 sportista' dok (e 8 sportista u dra$sko( sek)i(i. Jri u?e%ika su ?#a%ovi sve tri sek)i(e. @o#iko u?e%ika %i(e %i u (ed%o( sek)i(i' a ko#iko u?e%ika se avi sa$o sporto$ 13. Dva%aest u?e%ika u?i tri stra%a (e>ika. vaki (e>ik u?i po 8 u?e%ika' a po dva (e>ika po dva u?e%ika. @o#iko (e>ika u?e osta#i u?e%i)i 14. a i>#et (e kre%u#o 52 u?e%ika od ko(i -/3 pi(e koka*ko#u' a !/, sok i koka*ko#u. @o#iko u?e%ika pi(e sa$o sok 15. %ase#(u i$a 8 %ovi u#i)a. K#ektri?%u stru(u i$a 5 u#i)a' ka%a#i>a)i(u !' a vodovod 5 u#i)a. Da #i posto(i u#i)a ko(a i$a sve i%sta#a)i(e' ako se >%a da pos#ed%(e tri u#i)e i$a(u sa$o po (ed%u od dati ko$u%a#%i potrea KONKURSNI ZADACI 1. Dati su skupovi A' B' &. 6rika>ati Le%ovi$ di(ara$o$ s#ede0e skupove: a9 A B/&9; 9 A B9 B &9 & A9; )9 A/B9 B/&9 &/A9; d9 A B/&9 9 A/B &99. 2. vaki u?e%ik u ode#(e%(u radi u ar (ed%o( sek)i(i: re)itatorsko(' #iterar%o( i#i $ate$ati?ko(. 6o>%ato (e da u svako( sek)i(i i$a isti ro( u?e%ika' a osi$ toa ro( u?e%ika ko(i rade u sve tri sek)i(e (ed%ak (e ro(u u?e%ika ko(i rade u dve sek)i(e i (ed%ak (e ro(u u?e%ika ko(i rade u po (ed%o( sek)i(i. @o#iko (e u?e%ika u to$ ode#(e%(u' ako se >%a da (e %(iov ro( ve0i od -2' a $a%(i od !2 3. a turisti?ko$ skupu svaki od u?es%ika ovori ar (eda% od tri stra%a (e>ika. va tri (e>ika ovore - u?es%ika; " ovori sa$o ra%)uski i e%#eski' ,3 ra%)uski i ruski' ,- ruski i e%#eski' -" sa$o e%#eski' 5 sa$o ra%)uski (e>ik i 7 sa$o ruski (e>ik. @o#iko ukup%o i$a u?e%ika
PODRUŽNICA MATEMATIČARA KRALJEVO ŠKOLA ZA MATEMATIČKE TALENTE
5. RAZRED TEMA 3. – LO$IČKO%KOM#INATORNI ZADACI 1. vaka od tri devo(?i)e odara#a (e i %apisa#a u svesku ,2 ra>#i?iti prirod%i ro(eva. Ma%i$#(ivo (e da su pri to$e svake dve devo(?i)e >apisa#e ta?%o 3 (ed%aka ro(a i %i(eda% ro( %i(e >apisa% u sve tri sveske. @o#iko ukup%o ra>#i?iti ro(eva se %a#a>i u sveska$a 2. ud od 8 #itara %apu%(e% (e e%>i%o$. @ako ova( e%>i% pode#iti %a dva (ed%aka de#a koriste0i sa$o dva pra>%a suda >apre$i%e 3 #itra i #itara 3. (ed%o( kov%i)i %ov)a i#o (e !22 >#at%i 1ipki. Od svake 1ipke se isku(e ,2 dukata i preosta%e >#ata to#iko da se od preostatka od -2 1ipki i>#i(e (ed%a %ova 1ipka. @o#iko (e ukup%o iskova%o dukata od !22 1ipki 4. @o#iko pradedova i$a(u svi tvo(i pradedovi 5. @o#iko %a$ %a($a%(e teova trea da i %a tera>i(a$a $o#i i>$eriti sve )e#oro(%e tei%e od , do ,3 k @o#ika (e tei%a sva#o od ti teova 6. @ako se po$o0u sudova od 3 i #itara sa ?es$e $oe >avatiti 5 #itra vode 7. tri korpe %a#a>i se ,-' ,! i -- (auke. Jrea sa tri prea)iva%(a i>(ed%a?iti ro( (auka u korpa$a' pri ?e$u se i> (ed%e u druu korpu $oe prea)iti ta?%o o%o#iko (auka ko#iko u to( korpi ve0 i$a. . Nasporedi ,2 ta?aka %a dui tako da %a svako( ude po ! ta?e. !. Dva put%ika kre0u se r>i%o$ od 5 k$ %a sat (eda% druo$ u susret. Cstovre$e%o sa %osa prvo od %(i po#e0e $uva' r>i%o$ od , k$ %a sat i kada doe do druoa vra0a se prvo$ i tako sve do %(iovo susreta. @o#iko 0e rasto(a%(e pre0i $uva ako (e po?et%o rasto(a%(e put%ika i#o 7- k$ 1". Hetiri uske >a ! da%a s%esu 8 (a(a. @o#iko 0e (a(a s%eti ,22 usaka >a ,22 da%a Ma ko#iko 0e da%a ,22 usaka s%eti ,22 (a(a @o#iko usaka 0e >a ,22 da%a s%eti !22 (a(a 11. (ed%o( odi%i i$a 3 utorka. @o(i (e datu$ prve suote u (a%uaru 12. iko#a sa si%o$ i 6etar sa si%o$ su i#i %a riare%(u. iko#a (e u#ovio rie ko#iko i %(eov si%' a 6etar tri puta vi1e %eo %(eov si%. vi >a(ed%o u#ovi#i su 3 ria. iko#i% si% se >ove ora%. @ako se >ove 6etrov si% 13. kuti(i se %a#a>i ,22 (ed%aki k#ikera ko(i se ra>#iku(u sa$o po o(i: 32 )rve%i' 32 >e#e%i' 32 e#i i ,2 )r%i. @o#iko %a($a%(e k#ikera trea u>eti da i $eu %(i$a i#o %a($a%(e k#ikera iste o(e
14. Boris' Du1a%' Li1%(a i 4i#i)a sede u isto( k#upi. Na>red%i stare1i%a %e e#i da Du1a% i Boris sede (eda% do druoa da %ei pri?a#i. a ko#iko %a?i%a se $ou ra>$estiti ova ?etiri u?e%ika 15. 4arko i L#ada su %a pi(a)i kupi#i #ue%i)e. 4arko 3 k' a L#ada - k #ue%i)e. Jada i$ se pridruio a1a i sva tro(i)a >a(ed%o po(edu svi k #ue%i)e svi su po(e#i pod(ed%ak deo9. a1a (e p#atio ,2 di%ara. @ako 0e 4arko i L#ada pode#iti ta( %ova) 16. @o(o$ )iro$ se >avr1ava proi>vod ,"" sed$i)a 17. 6orodi)a 6eri0 ko(u ?i%e ota) 8 k9' $a(ka 5 k9' si% 2 k9 i k0erka !2 k9 trea da se ?a$)e$ prea)i preko reke. @ako to da urade ako (e %osivost ?a$)a ta?%o ,22 k 1. kuti(i se %a#a>e ,2 )rve%i' -2 e#i' 32 >e#e%i i !2 p#avi ku#i)a. @o#iko %a($a%(e ku#i)a trea i>vu0i da i s$o i#i siur%i da s$o i>vuk#i %a($a%(e ku#i)a iste o(e
KONKURSNI ZADACI
1. Ma ko#iko (e >ir prvi ,"" par%i ro(eva ve0i od >ira prvi ,"" %epar%i ro(eva 2. uari su %apa#i 1u$u i svakoa da%a (e i#o dva puta vi1e >arae%o drve0a %eo pretod%o da%a. Ma ko#iko da%a (e i#a >arae%a ?etvrti%a 1u$e' ako (e )e#a 1u$a i#a >arae%a pos#e 8 da%a 3. ri%(aku se %a#a>i - #ad%i 1tuka. Ied%a 1tuka se >asiti kad po(ede tri i#o #ad%e' i#o site 1tuke. @o#iko (e %a(vi1e $ou0e da u ri%(aku osta%e 1tuka a da sve udu site
PODRUŽNICA MATEMATIČARA KRALJEVO ŠKOLA ZA MATEMATIČKE TALENTE
5. RAZRED TEMA 4. – SKUPOVI TAČAKA 1. prostoru su date ! %eko#i%ear%e ta?ke. @o#iko %a(vi1e pravi i ko#iko %a(vi1e rav%i (e odree%o dati$ ta?ka$a 2. (ed%o( >e$#(i posto(i ,22 aerodro$a od ko(i (e svaki pove>a% redov%o$ #i%i(o$ sa i#o ko(i$ drui$. @o#iko i$a ukup%o avio%ski #i%i(a 3. a ko#iko de#ova de#e rava% 3 prave a)rta( sve $ou0e s#u?a(eve. 4. Date su ! prave od ko(i se svake dve seku i od ko(i %iko(e tri %e pro#a>e kro> istu ta?ku. @o#iko i$a prese?%i ta?aka @o#iko (e dui odree%o prese?%i$ ta?ka$a a ko#iko (e o#asti pode#(e%a rava% dati$ prava$a 5. @o#iko se %a(vi1e o#asti (ed%e rav%i $oe doiti ako se seku pravi te rav%i i to tako da se u (ed%o( ta?ki seku %a(vi1e dve prave 6. rav%i (e dato ,""5: a9 para#e#%i pravi; 9 ko%kure%t%i pravi. a ko#iko (e o#asti pode#(e%a rava% dati$ siste$o$ pravi 7. Doka>ati da (e du ko%veksa% skup ta?aka. . Da #i su u%i(a i presek dva kvadrata ko(i pripada(u isto( rav%i ko%veks%i skupovi ta?aka !. a)rta( skupove ta?aka A i B tako da: a9 A i B su ko%veks%i i A B (e ko%veksa% skup; 9 A i B su ko%veks%i' a A B (e %eko%veksa% skup ta?aka; )9 A i B su ko%veks%i' a A B (e %eko%veksa% skup; d9 A i B su %eko%veks%i' a A B (e ko%veksa% skup. 1". 6osto(e #i ko%veks%i skupovi A i B takvi da (e: a9 A B %eko%veksa%' A P B ko%veksa% skup; 9 A B (e ko%veksa%' a A P B %eko%veksa% skup ta?aka. 11. 6osto(e #i ko%veks%i skupovi ta?aka A i B takvi da su %(iova u%i(a i %(iov presek takoe ko%veks%i skupovi ta?aka 12. Qta sve $oe iti presek (ed%o kru%o prste%a i (ed%e prave 13. @o(e iure %asta(u kao presek (ed%o trou#a i (ed%o kvadrata 14. @o#iko (e %a(vi1e rav%i odree%o sa ,2 %eko#i%ear%i ta?aka 15. Ba1tova% (e u svo$ vrtu >asadio ," rua u " redova' tako da (e u svako$ redu i$ao po rua. apravi ski)u %(eovo vrta 16. @o#iko di(ao%a#a i$a: a9 petouao; 9 tri%aestouao
17. 6ov#a?e0i ! prave pode#i dati kru %a %a(ve0i $ou0i ro( de#ova. KONKURSNI ZADACI
1. a te#eo%sku )e%tra#u (e prik#(u?e%o "" te#eo%a. 4ou ki se te#eo%i pove>ati tako da svaki od %(i i$a direkt%u ve>u sa ,3 drui te#eo%a 2. Qta sve $oe iti presek (ed%o o1tro u#a i kvadrata 3. a ko#iko ora%i?e%i i ko#iko %eora%i?e%i o#asti de#e rava% pet pravi ako se svake dve od %(i $euso%o prese)a(u
PODRUŽNICA MATEMATIČARA KRALJEVO ŠKOLA ZA MATEMATIČKE TALENTE
5. RAZRED TEMA 5. – KRU$ I PRAVA 1. a)rta( kru i pravu: a9 ko(a a se?e; 9 ko(a a dodiru(e; )9 ko(a a %e se?e. Oe#eiti i >apisati 1ta (e presek dati skupova ta?aka. 2. @o%strui1i ta%e%tu t u dato( ta?ki 4 date kru%i)e k. 3. a(ve0e rasto(a%(e date ta?ke A od kru%i)e (e )$' a %a($a%(e - )$. C>ra?u%a( po#upre?%ik te kru%i)e. 4. @o%strui1i du 4=3 )$. @o%struisati kruove k 4' r=3 )$9 i k , ' r=- )$9. @ro> ta?ke preseka dati kru%i)a ko%strui1i >a(ed%i?ku se?i)u i odredi %(e%a )e%tra#%a odsto(a%(a d, i d-. 5. 6rava p %or$a#%a (e %a R' a prese?%a ta?ka (e 4. Odredi kru%i)u ko(a pro#a>i kro> ta?ku 4 i dodiru(e pravu R. @o#iko ukup%o re1e%(a i$a 6. @o%strui1i %eko#iko kruova ko(i dodiru(u datu pravu p u dato( ta?ki 4. @o#iko re1e%(a i$a. 7. Date su ta?ke A i B. @o%strui1i ta?ku & ko(a (e (ed%ako uda#(e%a i od A i od B. @o#iko re1e%(a i$a >adati pro#e$ . Date su tri kru%i)e po#upre?%ika , )$' - )$ i ! )$. a)rta( kru%i)e tako da sve tri kru%i)e i$a(u sa$o (ed%u >a(ed%i?ku ta?ku 6. @o%strui1i sva $ou0a re1e%(a. !. Date su dve para#e#%e prave a i . Odrediti skup svi ta?aka u rav%i ko(e su pod(ed%ako uda#(e%e od dati pravi. Odrediti skup svi kruova ko(i dodiru(u date prave. 1". Date su ta?ke A i B. @o%strui1i ta?ku & ko(a (e od ta?ke A uda#(e%a 3 )$' a od ta?ke B ! )$. 11. @o%strui1i ko%)e%tri?%e kruove ?i(i su po#upre?%i)i - )$ i 3 )$. @o%strui1i o%u tetivu ve0e krua ko(a dodiru(e $a%(i kru. 12. Date ta?ke A i B su prese?%e ta?ke date prave p i krua k. Odrediti kru k ako (e )e%tra#%o odsto(a%(e prave p (ed%ako - )$. 13. 6rave p i R su $euso%o %or$a#%e i seku se u ta?ki 4. @o%strui1i ar tri krua ko(i sadre ta?ku 4 i dodiru(u pravu p. @akav (e $euso%i po#oa( doi(e%i kruova 14. ko$ su $euso%o$ po#oa(u ta%e%te kru%i)e ko%struisa%e kro> kra(%(e ta?ke (ed%o pre?%ika krua
15. @o%strui1i kru k O' r=- )$9 i pravu p ?i(e (e )e%tra#%o rasto(a%(e: a9 d=, )$; 9 d=- )$; )9 d=3 )$. poredi d i r. Odredi presek krua i prave. KONKURSNI ZADACI 1. Data (e prava p i ta?ka 4 %a %(o(. Odrediti skup ta?aka ko(e su >a 3 )$ uda#(e%e od: a9 ta?ke 4; 9 prave p; )9 ta?ke 4 i prave p. 2. Dati su prava p i ta?ka 4 %a rasto(a%(u )$ od %(e. Odredi u isto( rav%i skup svi ta?aka ko(e su od prave p uda#(e%e 3 )$' a od ta?ke 4 ! )$. 3. Data su dva ko%)e%tri?%a krua. Odrediti pravu p ko(a prese)a date kruove tako da (e presek: a9 u%i(a dve dui sa pra>%i$ preseko$; 9 u%i(a dve dui sa %epra>%i$ preseko$; )9 (ed%a du; d9 pra>a% skup ta?aka.
PODRUŽNICA MATEMATIČARA KRALJEVO ŠKOLA ZA MATEMATIČKE TALENTE 5. RAZRED
TEMA 6. – $RA&OVI 1. Ma @a0u' ata1u i 4i#i)u $a$a (e ispek#a tri ko#a?a: sa siro$' vi1%(a$a i (auka$a. @a0a %e (ede %i ko#a? sa siro$ %i sa (auka$a; ata1a %e vo#i ko#a? sa (auka$a. @o 0e po(esti ko#a? 2. Jri pri(ate#(a: Be#i0' Suti0 i &r%kovi0 sre#a su se (ed%oa da%a u radu. Ieda% od %(i' )r%okosi re?e Be#i0u: THud%o' sva tro(i)a i$a$o ra>#i?itu o(u kose e#u' )r%u i utu9' a %i(ed%o$e od %as o(a kose %e odovara pre>i$e%uU. @o(u o(u kose i$a svaki od pri(ate#(a 3. Jri %astav%ika C#i0' Diki0 i L#adi0 preda(u e$i(u' $ate$atiku i io#oi(u u Beoradu' ovo$ adu i @ra#(evu. O %(i$a i$a$o s#ede0e podatke: C#i0 %e ivi u Beoradu' a Diki0 %e ivi u ovo$ adu. Beoraa%i% %e preda(e $ate$atiku. O%a( 1to ivi u ovo$ adu preda(e e$i(u. Diki0 %e preda(e io#oi(u. @o(i pred$et i u ko$e radu preda(e svaki od ti %astav%ika 4. Qest radova pove>a%o (e tako da svaki par radova i$a direkt%u saora0a(%u ve>u i to i#i e#e>%i?ku i#i autousku a#i %e oe9. 4oe #i se sa siur%o10u tvrditit da posto(e tri rada ko(i su $euso%o pove>a%a saora0a(%i$ ve>a$a iste vrste 5. Od tri auto$oi#a +' V i M (eda% (e )rve%' drui (e eo' a tre0i (e p#av. Odovori ko(e (e o(e svaki auto$oi#' ako (e sa$o (ed%o od tvre%(a ta?%o: + (e )rve%; V %i(e )rve%; M %i(e p#av 6. @o(a se od iura %a s#i)i $oe %a)rtati (ed%i$ pote>o$
7. parku 6 se %a#a>i (e>ero i tri ostrva A' B i & ko(a su $euso%o pove>a%a sa 7 $ostova kao %a s#i)i9. 4oe #i se po0i i> %eko $esta u parku i pre0i svi 7 $ostova' a da se pri to$ preko svako $osta pree sa$o (ed%o$
. ta?ki A %a s#i)i9 %a#a>i se araa >a auto$oi#e >a ?i10e%(e s%ea. Da #i (e $ou0e da $a1i%a o?isti s%e i> )e#o rada i da pri to$ svako$ u#i)o$ proe sa$o (ed%o$
!. Dat (e p#a% #aviri%ta. 4ou #i se po#a>e0i i> soe ro( , oi0i sve soe tako da se kro> svaka vrata proe sa$o (eda% put. ko(o( soi i se >avr1io oi#a>ak 1". Dat (e $%oouao sa % stra%a i ko%struisa%e su sve %(eove di(ao%a#e. Ma ko(e vred%osti % se doi(e%a iura $oe %a)rtati (ed%i$ pote>o$ 11. Jri devo(?i)e: A%a' Bi#(a%a i Leri)a sakri#e su u dep po (eda% od tri pred$eta: u$i)u' o#ovku i prste%. Qta (e ko(a devo(?i)a sakri#a' ako (e sa$o (ed%o od tvre%(a ta?%o: A%a (e sakri#a u$i)u; Bi#(a%a %i(e sakri#a u$i)u; Leri)a %i(e sakri#a prste% 12. Auto$oi# kre%e i> $esta A i e#i da proe svi$ putevi$a ko(i spa(a(u radove A' B' &' D i K i da pri to$ %i (ed%i$ pute$ %e proe dva puta' a da se pri to$ vrati u A. Da #i (e to $ou0e 13. Doka>ati da se sve u#i)e u Beoradu $ou oi0i tako da se kro> svaku u#i)u proe ta?%o dva puta.
KONKURSNI ZADACI
1. rupa u?e%ika privati#a se vodi?ke s#ue u @ra#(evu. Loa rupe (e oe#eio %a(>%a?a(%i(e spo$e%ike ku#ture u radu. Da #i (e $ou0e pro0i sve spo$e%ike' a da se svako$ u#i)o$ proe sa$o (ed%o$ a ko(e raskrs%i)e vodi?i $ora(u kre%uti
2. Jri pri(ate#(a Mora%' 4ika i L#ada su proesori $ate$atike' i>ike i e$i(e u @ra#(evu' La#(evu i Beoradu. 6o>%ato (e s#ede0e: Mora% %e radi u Beoradu' a 4ika %e radi u La#(evu; Beoraa%i% %e preda(e $ate$atiku; La#(eva) preda(e i>iku' 4ika %e preda(e e$i(u. @o(e pred$ete i u ko$ radu
preda(e svaki od %(i 3. Jri a#eri%e A%a' Lera i @a0a ira(u %a 1ko#sko( priredi. Ied%a (e u )rve%o(' drua u e#o(' a tre0a u p#avo( a#(i%i. Odrediti o(u %(iovi a#(i%a' ako (e sa$o (ed%o od s#ede0i tvre%(a ta?%o: A%a (e u )rve%o( a#(i%i; Lera %i(e u )rve%o( a#(i%i; @a0a %i(e u p#avo( a#(i%i.
PODRUŽNICA MATEMATIČARA KRALJEVO ŠKOLA ZA MATEMATIČKE TALENTE
5. RAZRED TEMA 7. – MALA KOM#INATORIKA 1. C> rada A u rad B vode 3 puta' a i> rada B u rad & vode - puta. C> rada A u rad & $oe se sti0i (edi%o ako se ide kro> rad B. a ko#iko ra>#i?iti %a?i%a put%ik $oe sti0i i> rada A u rad & 2. C> rada A u rad B vode puteva' a i> rada B u rad & vode 3 puta. C> rada A u rad & $oe se sti0i (edi%o ako se ide kro> rad B. a ko#iko ra>#i?iti %a?i%a put%ik $oe sti0i i> rada A u rad & 3. C> rada A u rad B vode 3 puta' i> rada B u rad & - puta i i> rada & u rad D ! puta. a ko#iko %a?i%a se $oe sti0i i> A u D pro#a>e0i kro> radove B i& i e> vra0a%(a u rad u ko$e s$o ve0 i#i 4. @o#iko se ra>#i?iti tro)ire%i ro(eva $oe %apisati )ira$a: ,' -' 3' !' ako se )ire: a9 $ou po%av#(ati; 9 %e $ou po%av#(ati. 5. @o#iko se dvo)ire%i ro(eva $oe %apisati ako )ira deseti)a $oe iti ,' -' 3' !' a )ira (edi%i)a 7' 8' " 6. @o#iko ra>#i?iti de#i#a)a i$a ro(: a9 -2; 9 35; )9 2! 7. apisati sve ko$i%a)i(e sa tri ?#a%a ?i(i su e#e$e%ti sa$o#as%i)i. . 6otre%o (e %apraviti >%a?ke u o#iku trou#a' kvadrata i#i krua' tako da %a svako( >%a?ki ude %apisa%o s#ovo 0iri#i)e i (ed%a )ira. @o#iko se takvi ra>#i?iti9 >%a?aka $oe %apraviti !. @o#iko se ?etvoro)ire%i ro(eva de#(ivi sa - $oe %apisati tako da )ira i#(ada ude prost ro( a )ira stoti%a %epara% ro( 1". %eki$ >e$#(a$a (e oi?a( da se detetu da(e %eko#iko i$e%a $oe i (ed%o9. a ko#iko %a?i%a se
$oe %a>vati dete ako (e ukupa% ro( i$e%a ko(e do#a>e u o>ir ,2 a dete doi(a %a(vi1e 3 i$e%a 11. a ko#iko se ra>#i?iti %a?i%a $oe sastaviti spisak ko(i sadri 7 u?e%ika 12. Du1a% (e s#avio roe%da% i po>vao druove i druari)e. vi osti su se rukova#i sa Du1a%o$ i $euso%o. Ieda% od osti(u prero(ao (e rukova%(a i utvrdio da (e i#o ,-2 rukova%(a. @o#iko (e osti(u i$ao Du1a% 13. @o#iko se ra>#i?iti trou#ova $oe doiti spa(a%(e$ te$e%a sed$ou#a 14. a vr p#a%i%e vode puteva. a ko#iko %a?i%a se $oe pute$ popeti %a vr i si0i u pod%o(e: a9 ako %i(e vaa% redos#ed povratka; 9 ako se vra0a$o pute$ ko(i$ se %is$o pe#i; )9 ako se vra0a$o pute$ ko(i$ s$o se pe#i. 15. 6o d%ev%o$ rasporedu da%as su predvie%i s#ede0i ?asovi: e%#eski (e>ik' istori(a' $ate$atika' i>ika i io#oi(a. a ko#iko ra>#i?iti %a?i%a (e $ou0e %a$estiti d%ev%i raspored ako (e predvie%: a9 , ?as $ate$atike; 9 - ?asa $ate$atike u #oku9; )9 - ?asa $ate$atike 16. @o#iko se ra>#i?iti ro(eva $oe %apisati )ira$a ,' -' 3 i ! ako se upotree %eke od %(i i#i sve' a ro(evi $ou iti %a(vi1e ?etvoro)ire%i. KONKURSNI ZADACI 1. 6otre%o (e %apraviti >%a?ke u o#iku krua %a ko((i$a pi1e i#i (ed%o s#ovo 0irir#i)e i#i dva s#ova #ati%i)e. @o#iko se takvi >%a?aka $oe %apravitit 2. @o#iko i$a ?etvoro)ire%i ro(eva ?i(a (e prva )ira para% ro(' drua )ira prost ro(' tre0a )ira %epara%' a ?etvrta s#oe% ro( 3. @o#iko se ra>#i?iti tro)ire%i ro(eva $oe %apisati ako se koriste )ire 2' ,' -' 3' !' i ako se: a9 )ire $ou po%av#(ati; 9 )ire %e $ou po%av#(ati PODRUŽNICA MATEMATIČARA KRALJEVO ŠKOLA ZA MATEMATIČKE TALENTE
5. RAZRED TEMA . – U$AO 1. C>ra?u%a( uao W ko(i (e 8 puta ve0i od svo: a9 ko$p#e$e%t%o u#a X; 9 svo upored%o u#a Y. 2. Na>#ika dva sup#e$e%t%a u#a (e --Z. C>ra?u%a( u stepe%i$a te u#ove. 3. Dva u#a su ko$p#e$e%t%a. C>ra?u%a( u stepe%i$a >ir u#ova ko(i su sa %(i$a sup#e$e%t%i. 4. Ieda% od u%akrs%i u#ova (e os$i%a pu%o u#a. @o#iki (e %(eov upored%i uao 5. @o(i (e uao (ed%ak tre0i%i svo upored%o u#a 6. Odrediti uao W ako (e o% >a -/3 ve0i od odovara(u0e sup#e$e%t%o u#a X. 7. C>ra?u%a( u stepe%i$a ko$p#e$e%t%e u#ove W i X ako (e: a9 W >a ,8Z ve0i od X; 9 W pet puta ve0i od X; )9 W (ed%ak po#ovi%i u#a X. . Mir dva sused%a u#a i>%osi 8/" pravo u#a' a (ed%a od %(i (e >a ?etvrti%u pravo u#a ve0i od druo. C>ra?u%a( te u#ove. !. C>ra?u%a( uao <)Od ako (e: a9
)9 ra?u%a( $er%e ro(eve dva sup#e$e%t%a u#a ako (e: a9 uao W >a -5Z ve0i od u#a X; 9 uao W 8 puta ve0i od u#a X. 12. Na>#ika dva upored%a u#a W i X (ed%aka (e po#ovi%i o1tro u#a Y. Doka>ati da (e uao ko$p#e$e%ta% sa X (ed%ak ?etvrti%i u#a Y. 13. C>ra?u%a( uao ko(i (e: a9 sup#e$e%ta% svo(o( os$i%i; 9 ko$p#e$e%ta% svo(o( peti%i. KONKURSNI ZADACI 1. C>ra?u%a( dva sup#e$e%t%a u#a ako (e $er%i ro( (ed%o u#a (ed%ak tre0i%i $er%o ro(a druo u#a. 2. ao W (e ve0i od svo ko$p#e$e%t%o u#a ta?%o >a o%o#iko >a ko#iko (e $a%(i od svo sup#e$e%t%o u#a. C>ra?u%ati uao W. 3. Dati su sup#e$e%t%i u#ovi W i X pri ?e$u (e uao sup#e$e%ta% sa W (ed%ak u#u ko$p#e$e%t%o$ sa X. @o#iki su u#ovi W i X u stepe%i$a
PODRUŽNICA MATEMATIČARA KRALJEVO ŠKOLA ZA MATEMATIČKE TALENTE
5. RAZRED TEMA 1". – ODA#RANI ZADACI SA OPŠTINSKI' TAKMIČENJA MLADI' MATEMATIČARA 1(6). ?etvoro)ire%o$ ro(u \,,\ u$esto >ve>di)a staviti odovara(u0e )ire tako da doi(e%i ro( ude de#(iv sa 35. Odrediti sva $ou0a re1e%(a. 2(6). Mir u#a W i %(e$u upored%i u#ova (e 3,-Z. Odrediti uao W i %(e$u uporeda% uao X. 3(6). Odrediti sve vred%osti prirod%o ro(a % tako da (e ispu%(e%a %e(ed%akost: ,/3<%/,-<3/!. 4(6). vi deset )iara su e#e$e%ti %eko od skupova A' B i &. Odrediti skupove A' B' & ako su ispu%(e%i s#ede0i us#ovi: A B C A C {2'3} ; B C {2'-'3} ; A B {2'3'"} ; A P B {!'} i B P A {,'-'7} . 5(6). Oko okru#o sto#a trea rasporediti tro?#a%e porodi)e $u' e%a i dete9 tako da udu ispu%(e%i s#ede0i us#ovi: a9 a kra(evi$a isto pre?%ika di(a$etra#%o suprot%o9 sede i#i dva $ua i#i dve e%e i#i dva deteta; 9 H#a%ovi svake porodi)e sede (ed%a do druoa %a tri sused%e sto#i)e9; )9 Dve osoe isto po#a dve $u1ke i#i dve e%ske osoe9 %e $ou sedeti (ed%a do drue. a)rtati trae%i raspored sa %a($a%(i$ ro(e$ osoa. 6(7). $esto >ve>di)a u ro(u -3\\ %api1i odovara(u0e )ire tako da doi(e%i ro( pri de#(e%(u sa 7' 8 i " da(e ostatak 5.
7(7). 6ov#a?e0i ! prave pode#iti dati kru %a %a(ve0i $ou0i ro( de#ova. (7). Odrediti sve proste ro(eve p >a ko(e (e ta?%a %e(ed%akost: 8/53<,/p<-/. !(7). Odrediti sve prirod%e ro(eve ?i(i (e proi>vod )iara (ed%ak -8. 1"(7). ao x ve0i (e od svo sup#e$e%t%o u#a y >a to#iko >a ko#iko (e uao y ve0i od svo ko$p#e$e%t%o u#a >. Odrediti u#ove x' y i >. 11(). Dat (e skup A koa ?i%e svi de#io)i ro(a 5. Odrediti skup B u ko(i u%k)i(a x9=-x[,"88 pres#ikava skup A. Jrae%o pres#ikava%(e prika>ati di(ara$o$. 12(). Na>#ika dva upored%a u#a (e !/7 ve0e u#a. Odrediti trae%e upored%e u#ove. 13(). L#ada i ]a>a trea da pode#e 8,5 di%ara. @ada L#ada potro1i 3/ svo de#a' a ]a>a 3/7 svoa de#a' osta%u i$ (ed%ake su$e %ov)a. @o#iko %ov)a (e doio svako od %(i pri to( pode#i. 14(). Du1a%' u?e%ik os%ov%e 1ko#e $%oio (e %a svo$ ra?u%aru s#ede0e ro(eve: ro( svo(i odi%a' ro( ra>reda u ko(i ide' ro( odi%a svo(e $a(ke i (o1 (eda% tro)ire%i prirod%i ro(. @ra(%(i re>u#tat (e io 333 333. @o#iko odi%a i$a Du1a%' a ko#iko %(eova $a(ka 15(). Dat (e %i> ro(eva ' a' ' )' d' e' ' 5' ' . Odrediti %epo>%ate ro(eve tako da >ir svaka tri u>astop%a ?#a%a %i>a ude ,. 16(!). Odrediti %epo>%atu )iru x' ako se >%a da (e ko#i?%ik ro(a 3-x5 i 5 )eo ro(. 17(!). 6ut%ik (e prvo da%a pre1ao 3/8 predvie%o puta' druo da%a /,- predvie%o puta' a tre0e da%a ! k$ vi1e od ,/5 predvie%o puta i tako stiao do )i#(a. @o#ika (e dui%a to puta 1(!). Dve prave se seku u ta?ki i ora>u(u ?etiri u#a. Mir u%akrs%i o1tri u#ova i>%osi -/,, (ed%o od tupi u#ova. Odrediti $er%e ro(eve svako od ta ?etiri u#a. 1!(!). @akav sve $%oouao trouao' ?etvorouao' ...9 se $oe doiti kao ra>#ika skupova ta?aka dva(u o1trou#i trou#ova o>ir u>eti i ko%veks%e i %eko%veks%e $%oou#ove i svaki $ou0i s#u?a( i#ustrovati odovara(u0i$ )rteo$. 2"(!). ]a%a) (e pokida% %a de#ova' tako da u svako$ de#u i$a(u 3 a#ke. @o#iko %a($a%(e a#ki se $ora iskovati i po%ovo sastaviti da i se od pet dati de#ova $oao sastaviti #a%a) ko(i 0e i$ati dva s#ood%a kra(a 21(!"). @o(i prirod%i ro( a ,22ati da (e >ir prvi ,222 prirod%i ro(eva de#(iv sa 77. 23(!"). Naspo#ae$o sa dva pe1?a%a sata. @od prvo' sav pesak is)uri i> (ed%e po#ovi%e u druu >a rav%o - $i%uta' a kod druo >a -2 $i%uta. @ako 0e$o po$o0u ova dva pe1?a%a sata %a((ed%ostav%i(e i>$eriti vre$e od 32 $i%uta 24(!"). ai >ir dva u#a ko(i su sup#e$e%t%i sa dva ko$p#e$e%t%a u#a. 25(!"). Date su prave a i tako da (e a||. a pravo( a date su ta?ke A' B' & i D' a %a pravo( ta?ke K' ^ i . @o#iko (e ko%veks%i ?etvorou#ova odree%o ti$ ta?ka$a. 26(!1). Odrediti ra>#o$ak (ed%ak 7/,3 kod koa (e >ir ro(io)a i i$e%io)a (ed%ak ,!2. 27(!1). apisati ro( , 222 222 kao proi>vod dva prirod%a ro(a u ?i(e$ se dekad%o$ >apisu %e po(av#(u(e %i (ed%a %u#a. 2(!1). O1tar uao W i 1esti%a %(e$u upored%o u#a su ko$p#e$e%t%i u#ovi. C>ra?u%ati uao W. 2!(!1). @vadrat ?i(a (e stra%i)a 5 )$ pode#(e% (e %a kvadrat%e )e%ti$etre. @o#iko se dui' a ko#iko kvadrata $oe uo?iti %a tako doi(e%o( s#i)i 3"(!1). 6o$o0u vae trea i>$eriti sve )e#oro(%e tei%e od , do ,3 k. @o#iko %a$ (e %a($a%(e teova >a to potre%o
31(!2). Dati su skupovi A' B i & Le%eovi$ di(ara$o$. 6redstavi ose%?e%i skup pri$e%(u(u0i opera)i(e ' i P %a skupove A' B i &. 32(!2). ud i voda u %(e$u su te1ki , k. Ako se od#i(e -/7 te?%osti ukup%a tei%a se s$a%(i >a ,/!. C>ra?u%ati tei%u suda. 33(!2). C> kvadrata AB&D (e ise?e%a %(eova ?etvrti%a. 6reosta#u iuru pode#i %a ?etiri podudar%a de#a. 34(!2). Odrediti sve proste ro(eve p ko(i >adovo#(ava(u %e(ed%a?i%u 3/,5</p<-/7. 35(!2). Hetiri prave (ed%e rav%i seku se u (ed%o( ta?ki i ?i%e redo$ u#ove ,' -' 3' !' ' 5' 7 i 8. Ako (e <, = -3Z,_' <3 = 55Z!_ i <5 = !3Z32_' i>ra?u%a( osta#e u#ove. 36(!3). api1i ar pet ra)io%a#%i ro(eva ve0i od 3/!' a $a%(i od !/. 37(!3). parku su se susre#a tri drua: proesor Be#i0' pisa) &r%kovi0 i #ekar Suti0. EMa%i$#(ivo' (eda% od %as (e )r%okos' drui i$a e#u' a tre0i i$a utu kosu' a#i %i(eda% od %as %e$a o(u kose %a ko(u uka>u(e %(eovo pre>i$eF ` re?e )r%okosi. E pravu siF ` s#oi se Be#i0. @o(u o(u kose ia$ svaki od %(i 3(!3). Odrediti ro( ko(i pode#(e% sa ,!3 da(e ostatak ,3-' a pode#(e% sa ,!! da(e isti ko#i?%ik i ostatak ,28. 3!(!3). Odredi e#e$e%te skupova A' B i & ako vae (ed%akosti: A B &={ ,' -' 3' !' ' 5 }; A &9 B &9= ; APB={ ,' 3' }; &PB={ -' ! }; A B9P&={ 5 }. 4"(!3). Na>#ika u#a W i %(e$u upored%o u#a (e 35Z. C>ra?u%ati uao Y ko(i (e ko$p#e$e%ta% u#u . 41(!4). Qta (e ve0e: ,/,8, i#i ,,/,""! 42(!4). @o#iko podskupova i$a skup A={ ,' -' 3' ! } 43(!4). ao W (e sup#e$e%ta% sa u#o$ a ko$p#e$e%ta% sa tre0i%o$ u#a . Odrediti u#ove W i .
