C.T. ALGEBRA 5°

5

1

PRESENTACIÓN El conocimiento es más fidedigno cuando nace de la práctica. En Matemática, no puede ser diferente. El CUADERNO DE TRABAJO GENIOMÁTIC GENIOMÁTIC de Quinto Año de Secundaria de Editorial Ingenio S.A.C., responde a la necesidad de brindar a los estudiantes condiciones favorables concretas para el aprendizaje de los contenidos del área mediante la resolución de problemas, entendiéndose por resolución de problemas el desarrollo de todo un conjunto de capacidades como la de análisis, síntesis, interpretación, comunicación ón de ideas, iniciativa, creatividad, autovaloración, etc.

CUADERNO DE TRABAJO ÁLGEBRA 5

El Cuaderno de Trabajo Trabajo GENIOMÁTIC es un complemento de los textos de Matemática GENIOMÁTIC, de Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría. Es el complemento práctico. La teoría, en sí, los recursos teóricos, herramientas y criterios que serán utilizados para resolver los problemas del cuaderno, así como los ejemplos y modelos desarrollados, están en los cuatro textos mencionados.

El CUADERNO DE TRABAJO ÁLGEBRA 5, 5, para el quinto año de educación secundaria, es complemento del libro de ÁLGEBRA 5 y 5 y ha sido elaborado por el Departamento Académico co de la Editorial Ingenio & YHO S.A.C. ubicado en Av. Tacna 407 interior 301 Cercado de Lima, Lima. Título de la obra:

Si bien los textos han sido elaborados bajo un esquema pedagógico, hemos sido cuidadosos de no encasillar al maestro ni al estudiante a un solo modo de proceder. El maestro puede diseñar su propio sistema de trabajo de aula y adecuar a su diseño los materiales de Editorial Ingenio. Sin contraponer a lo anterior y a manera de exponer los criterios con los que fueron elaborados los materiales, vamos a describir su estructura y plantear algunas sugerencias en su uso.

Cuaderno de trabajo Álgebra 5

Título de la colección: Geniomatic Educación Secundaria Director Académico: Hernán Hernández Bautista Editores Responsables: Hernán Hernández Bautista Elvis Valerio Solari Asesor Académico:

El Cuaderno de Trabajo GENIOMÁTIC consta de tres partes: Ejercicios con espacios en blanco, Tarea y Reforzando:

Elvis Valerio Solari

Diseño y Diagramación: Eduardo Tomas Tomas Granados Marcelo Norma Guadalupe Guerrero Noel Marco Antonio Lizárraga Podestá Corrección de Estilo:

Victor Francisco Bautista Victor Emilio Ventura Bismarck

Fotografía:

Yuri Hernández Oblea Hernán Hernández Bautista Páginas web

Primera edición: Tiraje:

Setiembre 2015 3000 ejemplares

EJERCICIOS CON ESPACIOS EN BLANCO Consta de 10 ejercicios, cada uno de los cuales tiene un espacio en blanco cuadrillado para que el estudiante desarrolle en esta parte el ejercicio correspondiente. Con ello el escolar no tendrá necesidad de transcribir los enunciados de los ejercicios, sino, sólo presentar el proceso de la resolución con los detalles que crea necesario, de modo que cuando sea revisado posteriormente por él mismo sea entendible y le permita recordar el modo cómo ha procedido para llegar al resultado. En la práctica se ha demostrado que el momento más adecuado para trabajar el Cuaderno es inmediatamente después del desarrollo teórico del tema, como una forma de aplicar, reforzar, ampliar y profundizar los contenidos del capítulo. Los ejercicios pueden ser desarrollados en grupos de trabajo o individualmente. De todos modos, requieren la supervisión y orientación del maestro cuando los estudiantes encuentran alguna dificultad.

Editado e impreso en los talleres gráficos de: Editorial Ingenio & YHO S.A.C. Av. Tacna N° 407 Of. 301 - Lima Telefax: (511) 426-4853 www.editorialingenio.pe E-mail: [email protected] [email protected]

TAREA Consta de 4 preguntas de repetición y aplicación. Son ejercicios para desarrollar detalladamente en el cuaderno, los mismos que serán revisados y verificados por el maestro de aula. El grado de dificultad de estas preguntas es fácil, tiene por objetivo establecer un nivel mínimo obligatorio de avance entre los estudiantes.

Impreso en Octubre 2015 Copyright © 2015 Geniomátic E.I.R.L.

REFORZANDO Consta de 15 ejercicios con alternativa múltiple distribuidos en tres niveles y ordenados ascendentemente por su grado de dificultad. Estos ejercicios cubren los diversos niveles y aplicaciones del tema tratado. Se caracterizan por su similitud a las preguntas de tipo exámenes de admisión a las universidades.

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio. Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2013-19324 ISBN: 978-612-4022-23-4

3

5

Los ejercicios de este grupo son para ampliar, ampliar, reforzar, complementar, complementar, profundizar y detallar los contenidos del capítulo. Pueden ser desarrollados en el aula mediante grupos de trabajo, en seminarios complementarios a las horas de clase habituales o como tareas domiciliarias con el desarrollo total o parcial, obligatorio o voluntario, de los ejercicios.

ÁLGEBRA 5

CAPÍTULOS

TEMAS

N° PÁGINA

Capí Capítu tulo lo 01

NÚME NÚMERO ROSS REALES REALES

En todo grupo escolar hay quienes tienen mayor interés en la Matemática y necesitan medios para desarrollar sus habilidades y destrezas. Los ejercicios de reforzando se adecuan para fines semejantes.

Capítu Capítulo lo 02 02

MULTIP MULTIPLIC LICACI ACIÓN ÓN ALGEB ALGEBRAI RAICA CA

11


DIVI DIVISI SIÓN ÓN ALGE ALGEBR BRAI AICA CA

15

RECOMENDACIONES PEDAGÓGICAS La concepción del escolar respecto a la Matemática determina en buena parte su modo de aprendizaje, por repetición o por deducción. Si piensa que en Matemática hay formas de hacer ya establecidas se limitará a repetir dogmáticamente los modelos que observa y siempre hará la pregunta “y esto cómo se hace”. En cambio, si comprende que la Matemática es una herramienta científica que le puede ayudar a resolver una diversidad de problemas, y como toda ciencia tiene sus leyes que obedecen a una razón y no a un capricho de genialidades, entonces procederá en forma lógica, hará uso de su sentido común más que las reglas aprendidas y su pregunta será “porqué esto o aquello”.


FACT FACTOR ORIZ IZAC ACIÓ IÓN N

18


MÉTODO MÉTODOSS D DEE FFACT ACTORI ORIZAC ZACIÓN IÓN

22

Capítu Capítulo lo 06

NÚMERO NÚMERO COMBIN COMBINAT ATORI ORIO O

25


BINO BINOMI MIO O DE DE NEW NEWTO TON N

28


CANTID CANTIDADE ADESS IMAG IMAGINA INARIA RIASS

31

7

Capí Capítu tulo lo 09 09

NÚME NÚMERO ROSS COMPL COMPLEJ EJOS OS

35

Por lo anterior, será más provechoso darle ideas de solución más que darle la solución, preguntarle hasta dónde ha llegado y en qué se ha “atascado” y plantearle alternativas de salida, sugerir posibles caminos, proponer algunas herramientas que puede usar y plantearle que repase ejercicios resueltos similares.


ECUA ECUACI CION ONES ES

38

Capítulo 11

ECUACIÓN DE 2° GRADO CON UNA INCÓGNITA

42

Capítulo 12

ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

45

En la resolución de problemas no hay un solo camino, generalmente hay más de uno. Todos los caminos racionales son válidos. En Geometría y Trigonometría, Trigonometría, y particularmente en los primeros años, pueden ser usados los métodos de medición directa, como ángulos y distancias.


INEC INECUA UACI CION ONES ES

49

Capítulo Capítulo 14

INECUA INECUACIO CIONES NES DE GRAD GRADO O SUPER SUPERIOR IOR

52

Capítulo 15

ECUACION ECUACIONES ES E INECUACION INECUACIONES ES CON CON VALOR VALOR ABSOLU ABSOLUTO TO

55


MATRI MATRICES CES Y DETER DETERMIN MINANT ANTES ES

59


SISTEM SISTEMA A DE DE ECUAC ECUACION IONES ES I

62


SISTEM SISTEMA A DE DE ECUAC ECUACION IONES ES II

66


SISTEM SISTEMA A DE DE INECU INECUACI ACIONE ONESS

70


SISTEMA SISTEMA DE INECUACIO INECUACIONES NES LINEALES LINEALES CON 2 INCÓGNITA INCÓGNITASS

74

La representación de situaciones problemáticas mediante esquemas o figuras es un recurso muy útil en la resolución de problemas. Representar una situación abstracta en forma de dibujos ayudará a visualizar y comprender mejor la situación. Si bien hay esquemas específicos para determinados temas matemáticos, los esquemas no deben ser limitados sólo a estos temas ni reunir determinadas condiciones para ser aceptados. Un esquema es personal, es la expresión de la forma cómo lo está comprendiendo un tema puntual. Finalmente, expresamos nuestro reconocimiento a los maestros de aula por la sacrificada y esforzada labor que realizan en las instituciones educativas del país y agradeceremos con humildad todas las sugerencias, críticas y apreciaciones que surjan de la implementación de esta propuesta pedagógica.

EDITORIAL INGENIO YHO S.A.C.


PROG PROGRA RAMA MACI CIÓN ÓN LINEA LINEALL

79


FUNC FUNCIO IONE NESS

84


TRAZ TRAZAD ADO O DE GRÁF GRÁFIC ICOS OS

88


FUNC FUNCIÓ IÓN N PAR PAR E IMP IMPAR AR

93


FUNC FUNCIO IONE NESS ESPECI ESPECIAL ALES ES

97


ÁLGE ÁLGEBR BRA A DE FUNC FUNCIO IONE NESS

101


LOGA LOGARI RITM TMOS OS

105


FUNCIÓ FUNCIÓN N EXPONEN EXPONENCIA CIALL Y LOGARÍT LOGARÍTMIC MICA A

108

CLAVE DE RESPUESTAS

4

5

112

5

5

PRESENTACIÓN El conocimiento es más fidedigno cuando nace de la práctica. En Matemática, no puede ser diferente. El CUADERNO DE TRABAJO GENIOMÁTIC GENIOMÁTIC de Quinto Año de Secundaria de Editorial Ingenio S.A.C., responde a la necesidad de brindar a los estudiantes condiciones favorables concretas para el aprendizaje de los contenidos del área mediante la resolución de problemas, entendiéndose por resolución de problemas el desarrollo de todo un conjunto de capacidades como la de análisis, síntesis, interpretación, comunicación ón de ideas, iniciativa, creatividad, autovaloración, etc.

CUADERNO DE TRABAJO ÁLGEBRA 5

El Cuaderno de Trabajo Trabajo GENIOMÁTIC es un complemento de los textos de Matemática GENIOMÁTIC, de Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría. Es el complemento práctico. La teoría, en sí, los recursos teóricos, herramientas y criterios que serán utilizados para resolver los problemas del cuaderno, así como los ejemplos y modelos desarrollados, están en los cuatro textos mencionados.

El CUADERNO DE TRABAJO ÁLGEBRA 5, 5, para el quinto año de educación secundaria, es complemento del libro de ÁLGEBRA 5 y 5 y ha sido elaborado por el Departamento Académico co de la Editorial Ingenio & YHO S.A.C. ubicado en Av. Tacna 407 interior 301 Cercado de Lima, Lima. Título de la obra:

Si bien los textos han sido elaborados bajo un esquema pedagógico, hemos sido cuidadosos de no encasillar al maestro ni al estudiante a un solo modo de proceder. El maestro puede diseñar su propio sistema de trabajo de aula y adecuar a su diseño los materiales de Editorial Ingenio. Sin contraponer a lo anterior y a manera de exponer los criterios con los que fueron elaborados los materiales, vamos a describir su estructura y plantear algunas sugerencias en su uso.

Cuaderno de trabajo Álgebra 5

Título de la colección: Geniomatic Educación Secundaria Director Académico: Hernán Hernández Bautista Editores Responsables: Hernán Hernández Bautista Elvis Valerio Solari Asesor Académico:

El Cuaderno de Trabajo GENIOMÁTIC consta de tres partes: Ejercicios con espacios en blanco, Tarea y Reforzando:

Elvis Valerio Solari

Diseño y Diagramación: Eduardo Tomas Tomas Granados Marcelo Norma Guadalupe Guerrero Noel Marco Antonio Lizárraga Podestá Corrección de Estilo:

Victor Francisco Bautista Victor Emilio Ventura Bismarck

Fotografía:

Yuri Hernández Oblea Hernán Hernández Bautista Páginas web

Primera edición: Tiraje:

Setiembre 2015 3000 ejemplares

EJERCICIOS CON ESPACIOS EN BLANCO Consta de 10 ejercicios, cada uno de los cuales tiene un espacio en blanco cuadrillado para que el estudiante desarrolle en esta parte el ejercicio correspondiente. Con ello el escolar no tendrá necesidad de transcribir los enunciados de los ejercicios, sino, sólo presentar el proceso de la resolución con los detalles que crea necesario, de modo que cuando sea revisado posteriormente por él mismo sea entendible y le permita recordar el modo cómo ha procedido para llegar al resultado. En la práctica se ha demostrado que el momento más adecuado para trabajar el Cuaderno es inmediatamente después del desarrollo teórico del tema, como una forma de aplicar, reforzar, ampliar y profundizar los contenidos del capítulo. Los ejercicios pueden ser desarrollados en grupos de trabajo o individualmente. De todos modos, requieren la supervisión y orientación del maestro cuando los estudiantes encuentran alguna dificultad.

Editado e impreso en los talleres gráficos de: Editorial Ingenio & YHO S.A.C. Av. Tacna N° 407 Of. 301 - Lima Telefax: (511) 426-4853 www.editorialingenio.pe E-mail: [email protected] [email protected]

TAREA Consta de 4 preguntas de repetición y aplicación. Son ejercicios para desarrollar detalladamente en el cuaderno, los mismos que serán revisados y verificados por el maestro de aula. El grado de dificultad de estas preguntas es fácil, tiene por objetivo establecer un nivel mínimo obligatorio de avance entre los estudiantes.

Impreso en Octubre 2015 Copyright © 2015 Geniomátic E.I.R.L.

REFORZANDO Consta de 15 ejercicios con alternativa múltiple distribuidos en tres niveles y ordenados ascendentemente por su grado de dificultad. Estos ejercicios cubren los diversos niveles y aplicaciones del tema tratado. Se caracterizan por su similitud a las preguntas de tipo exámenes de admisión a las universidades.

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio. Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2013-19324 ISBN: 978-612-4022-23-4

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5


ÁLGEBRA 5

CAPÍTULOS

TEMAS

N° PÁGINA



En todo grupo escolar hay quienes tienen mayor interés en la Matemática y necesitan medios para desarrollar sus habilidades y destrezas. Los ejercicios de reforzando se adecuan para fines semejantes.



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15

RECOMENDACIONES PEDAGÓGICAS La concepción del escolar respecto a la Matemática determina en buena parte su modo de aprendizaje, por repetición o por deducción. Si piensa que en Matemática hay formas de hacer ya establecidas se limitará a repetir dogmáticamente los modelos que observa y siempre hará la pregunta “y esto cómo se hace”. En cambio, si comprende que la Matemática es una herramienta científica que le puede ayudar a resolver una diversidad de problemas, y como toda ciencia tiene sus leyes que obedecen a una razón y no a un capricho de genialidades, entonces procederá en forma lógica, hará uso de su sentido común más que las reglas aprendidas y su pregunta será “porqué esto o aquello”.



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31

7



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Por lo anterior, será más provechoso darle ideas de solución más que darle la solución, preguntarle hasta dónde ha llegado y en qué se ha “atascado” y plantearle alternativas de salida, sugerir posibles caminos, proponer algunas herramientas que puede usar y plantearle que repase ejercicios resueltos similares.



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Capítulo 11


42

Capítulo 12


45

En la resolución de problemas no hay un solo camino, generalmente hay más de uno. Todos los caminos racionales son válidos. En Geometría y Trigonometría, Trigonometría, y particularmente en los primeros años, pueden ser usados los métodos de medición directa, como ángulos y distancias.



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Capítulo 15


55



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La representación de situaciones problemáticas mediante esquemas o figuras es un recurso muy útil en la resolución de problemas. Representar una situación abstracta en forma de dibujos ayudará a visualizar y comprender mejor la situación. Si bien hay esquemas específicos para determinados temas matemáticos, los esquemas no deben ser limitados sólo a estos temas ni reunir determinadas condiciones para ser aceptados. Un esquema es personal, es la expresión de la forma cómo lo está comprendiendo un tema puntual. Finalmente, expresamos nuestro reconocimiento a los maestros de aula por la sacrificada y esforzada labor que realizan en las instituciones educativas del país y agradeceremos con humildad todas las sugerencias, críticas y apreciaciones que surjan de la implementación de esta propuesta pedagógica.




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CLAVE DE RESPUESTAS

4

5

112

5

5

ÁLGEBRA 5


CAPÍTULOS

En todo grupo escolar hay quienes tienen mayor interés en la Matemática y necesitan medios para desarrollar sus habilidades y destrezas. Los ejercicios de reforzando se adecuan para fines semejantes. RECOMENDACIONES PEDAGÓGICAS La concepción del escolar respecto a la Matemática determina en buena parte su modo de aprendizaje, por repetición o por deducción. Si piensa que en Matemática hay formas de hacer ya establecidas se limitará a repetir dogmáticamente los modelos que observa y siempre hará la pregunta “y esto cómo se hace”. En cambio, si comprende que la Matemática es una herramienta científica que le puede ayudar a resolver una diversidad de problemas, y como toda ciencia tiene sus leyes que obedecen a una razón y no a un capricho de genialidades, entonces procederá en forma lógica, hará uso de su sentido común más que las reglas aprendidas y su pregunta será “porqué esto o aquello”. Por lo anterior, será más provechoso darle ideas de solución más que darle la solución, preguntarle hasta dónde ha llegado y en qué se ha “atascado” y plantearle alternativas de salida, sugerir posibles caminos, proponer algunas herramientas que puede usar y plantearle que repase ejercicios resueltos similares. En la resolución de problemas no hay un solo camino, generalmente hay más de uno. Todos los caminos racionales son válidos. En Geometría y Trigonometría, Trigonometría, y particularmente en los primeros años, pueden ser usados los métodos de medición directa, como ángulos y distancias. La representación de situaciones problemáticas mediante esquemas o figuras es un recurso muy útil en la resolución de problemas. Representar una situación abstracta en forma de dibujos ayudará a visualizar y comprender mejor la situación. Si bien hay esquemas específicos para determinados temas matemáticos, los esquemas no deben ser limitados sólo a estos temas ni reunir determinadas condiciones para ser aceptados. Un esquema es personal, es la expresión de la forma cómo lo está comprendiendo un tema puntual. Finalmente, expresamos nuestro reconocimiento a los maestros de aula por la sacrificada y esforzada labor que realizan en las instituciones educativas del país y agradeceremos con humildad todas las sugerencias, críticas y apreciaciones que surjan de la implementación de esta propuesta pedagógica.


TEMAS

N° PÁGINA





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Capítulo 11


42

Capítulo 12


45



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Capítulo 15


55



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101



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108

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CLAVE DE RESPUESTAS

4

112

5

5

5

CAPÍTULO

01

NÚMEROS REALES 01

Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I.

42 21

II. –0, 9 ∈Q

∈Z

A) VFF D) FVV

B) VFV

04

Se dene la operación A sobre B = {1; 2; 3} en la tabla:

0 1 2 3

III. p ∈R C) VVF E) FFF

1 1 2 3

2 2 3 1

3 3 1 3

Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) La operación es conmutativa II) Elemento neutro es 2. III) La operación es asociativa. A) VVV D) VFF 02

Con respecto a la adición, ¿cuál es las siguientes conjuntos cumple la ley de clausura? ( n ) A = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 11; 14; ...}

05

C) Solo C E) Solo A y C

Si ( a – 1) es impar entonces, ¿Cuáles de las siguientes expresiones son pares? I. a(a–1)

II. 2 a(a–1)

A) I, II y III D) I y IV

III. a2(a–1)

B) I y II E) I, II, IV

(UNAC 04 - I) IV. a2 –1

C) II y III

Determine la verdad o falsedad de los siguientes enunciados. (UNI 05 I)

C = {–2; –4; –6; –8; –10; –12; ...}

03

C) VFV E) FFV

I. Si a Q, entonces a2 Q II. Si a R/a2 Q, entonces a Q III. Si | a + b| = |a|+ |b|, entonces a, b 0

B = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; ...} A) Solo A B) Solo B D) Solo A y B

B) VVF

A) VVV D) VFF

06

B) VVF

C) VFV E) FFF

x, y, z son números reales positivos y:

I.

II.

III.

y IV. z + y = z +

V. Son verdaderos: A) I y II B) III y IV D) IV

x

x

x

(UNAC 92) C) I y IV E) V y IV

5

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Á L G E B R A

CAPÍTULO

01

NÚMEROS REALES 01

Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I.

42 21

II. –0, 9 ∈Q

∈Z

A) VFF D) FVV

B) VFV

04

Se dene la operación A sobre B = {1; 2; 3} en la tabla:

0 1 2 3

III. p ∈R C) VVF E) FFF

1 1 2 3

2 2 3 1

3 3 1 3

Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) La operación es conmutativa II) Elemento neutro es 2. III) La operación es asociativa. A) VVV D) VFF 02

Con respecto a la adición, ¿cuál es las siguientes conjuntos cumple la ley de clausura? ( n ) A = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 11; 14; ...}

05

C) Solo C E) Solo A y C

Si ( a – 1) es impar entonces, ¿Cuáles de las siguientes expresiones son pares? I. a(a–1)

II. 2 a(a–1)

A) I, II y III D) I y IV

III. a2(a–1)

B) I y II E) I, II, IV

(UNAC 04 - I) IV. a2 –1

C) II y III

Determine la verdad o falsedad de los siguientes enunciados. (UNI 05 I)

C = {–2; –4; –6; –8; –10; –12; ...}

03

C) VFV E) FFV

I. Si a Q, entonces a2 Q II. Si a R/a2 Q, entonces a Q III. Si | a + b| = |a|+ |b|, entonces a, b 0

B = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; ...} A) Solo A B) Solo B D) Solo A y B

B) VVF

A) VVV D) VFF

06

B) VVF

C) VFV E) FFF

x, y, z son números reales positivos y:

I.

II.

III.

y IV. z + y = z +

V. Son verdaderos: A) I y II B) III y IV D) IV

x

x

x

(UNAC 92) C) I y IV E) V y IV

5

7

Á L G E B R A

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

09

;

;

;

pertenece al intervalo

III) Si el perímetro de un triángulo equilátero es un número racional, entonces su área es un número irracional.

; A) Ningún número B) Solo un número C) Sólo dos números D) Solo tres números 10

+.

En los cuadros adjuntos: x, y

A es un con-

junto de resultados en las operaciones binarias y

13

B es un conjunto de números. Indicar la función que asocia a cada elemento de A el resultado correcto, en B para x = 4, e y = 2 A 1) A R B E G L Á

3) x y =

c) 5

4) x ∆ y = 2x + 3 y

d) 12

5) x

14

e) 14

y =

(UNAC 03 - II)

A) 1 → d, 2 → b, 3 → a, 4 → c, 5 → e B) 1 → d, 2 → b, 3 → a, 4 → e, 5 → c C) 1 → d, 2 → c, 3 → a, 4 → e, 4 → d, 5 → c D) 1 → e, 2 → b, 3 → a, 4 → d, 5 →c E) 1 → d, 2 → b, 3 → c, 4 → e, 5 → a

11

12

B) 1 E) 9 2

C) 4

Indicar las verdad o falsedad de las proposiciones: I) Si el volumen de un cilindro circular recto es un número irracional, entonces el producto del cuadrado del radio por la altura es un número racional necesariamente.

10

5

(UNAC 06 - II)

C) 36 E) 30

A) 120 D) 110

B) 124 E) 125

C) 100

02

Simplique:

05

Si a3 = b3, a b, calcula F =

ab

(a – b)2

(UNFV 09 - I) A) 6ab D) 4ab

B) a2 + b2

(UNA - 02)

A) 1/3 D) 1/2

C) ab

E) 2

B) – 1/3

C) – 1/2 E) – 3

1 es innito. Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

A) VVV D) VVF 15

(UNAC 08 - I) A) 2 D) 3

B) 50

Sea a y b números reales tales que, a + b = 5 y a.b = 1. hallar a3 + a– 3

III. Si r ∈〈0; 1]. Q entonces ∈〈0; 1] . Q.

NIVEL III

Halla el mínimo valor de M = 1 xy Si x + y = 1 , con x, y ∈R+.

A) 48 D) 46

Sea Q un conjunto de números racionales y el intervalo 〈0; 1]. Se dan las siguientes proposiciones: I. Todo número a en 〈0; 1] ∩ Q se puede expresar como un decimal periódico. II. Todo número a en 〈0; 1] se puede expresar en el sistema binario, en la forma: a = 0, a; a2...a1..., donde el número de cifras iguales a

(UNI 11 - II)

REFORZANDO

(UNTECS 08 - I)

la operación #, de la siguiente

maciones: I. La operación # es conmutativa. II. ((1 # 2) # 3) # 4 = 43 III. El cero es elemento neutro con la operación # A) FVF B) VFV C) FFV D) FVV E) VVV

b) 6

2)

04

halle (a2 –7)2

Halle el valor de verdad de las siguientes ar-

a) 3

y

Se dene en

Si a =

manera a # b = a + b +

B

x o y = x – x

01

IV) Un número irracional se representa en fracciones continuas simples, mediante una fracción periódica necesariamente. (UNI 94 - II)

(UNI 12 - I)

02

MÚLTIPLICACIÓN ALGEBRAICA

II) La representación de un número entero, mediante fracciones continuas simples tiene un sólo término.

Determine cuántos de los siguientes números racionales

B) VFV

C) FVV E) FFF

Dadas las siguientes proposiciones:

03

Si el polinomio y(x) = x3 + a1x2 + a2x + a3 es un cubo perfecto.

a

2

a

–3

06

Sabiendo que x +

= 3, halle

E = 13 + 12 + x3 + x2

Hallar el valor de A = a1 + a1 2 3

x

x

(SM 02)

(UNFV 12 - II)

I. Si existe n ∈N tal que n2 < 0, entonces existe n ∈N tal que n – 3 = 0 n II. Si para todo n ∈R se tiene x2 ≥ 0, existe x ∈ 〈– 1; 1〉 tal que ex < 0 III. Si existe n ∈N tal que n2 > 0 entonces existe x ∈R tal que ex < 0 Indique la secuencia correcta después de determinar si es verdadero (V) o falso (F)

A) 31 D) 36

B) 27

C) 30 E) 40

A) 19 D) 18

B) 36

C) 25 E) 23

(UNI 11 - II)

A) VVV D) VVF

B) VFV

C) FVV E) FFF

5

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Á L G E B R A

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

09

;

;

;

pertenece al intervalo

III) Si el perímetro de un triángulo equilátero es un número racional, entonces su área es un número irracional.

; A) Ningún número B) Solo un número C) Sólo dos números D) Solo tres números 10

+.

En los cuadros adjuntos: x, y

A es un con-

junto de resultados en las operaciones binarias y

13

B es un conjunto de números. Indicar la función que asocia a cada elemento de A el resultado correcto, en B para x = 4, e y = 2 A 1) A R B E G L Á

3) x y =

c) 5

4) x ∆ y = 2x + 3 y

d) 12

5) x

14

e) 14

y =

(UNAC 03 - II)

A) 1 → d, 2 → b, 3 → a, 4 → c, 5 → e B) 1 → d, 2 → b, 3 → a, 4 → e, 5 → c C) 1 → d, 2 → c, 3 → a, 4 → e, 4 → d, 5 → c D) 1 → e, 2 → b, 3 → a, 4 → d, 5 →c E) 1 → d, 2 → b, 3 → c, 4 → e, 5 → a

11

12

B) 1 E) 9 2

C) 4

Indicar las verdad o falsedad de las proposiciones: I) Si el volumen de un cilindro circular recto es un número irracional, entonces el producto del cuadrado del radio por la altura es un número racional necesariamente.

10

5

(UNAC 06 - II)

C) 36 E) 30

A) 120 D) 110

B) 124 E) 125

C) 100

Simplique:

05

Si a3 = b3, a b, calcula F =

ab

(a – b)2

(UNFV 09 - I) A) 6ab D) 4ab

B) a2 + b2 E) 2

(UNA - 02)

A) 1/3 D) 1/2

C) ab

B) – 1/3

C) – 1/2 E) – 3

1 es innito. Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

A) VVV D) VVF 15

(UNAC 08 - I) A) 2 D) 3

B) 50

III. Si r ∈〈0; 1]. Q entonces ∈〈0; 1] . Q.

NIVEL III

Halla el mínimo valor de M = 1 xy Si x + y = 1 , con x, y ∈R+.

02

Sea Q un conjunto de números racionales y el intervalo 〈0; 1]. Se dan las siguientes proposiciones: I. Todo número a en 〈0; 1] ∩ Q se puede expresar como un decimal periódico. II. Todo número a en 〈0; 1] se puede expresar en el sistema binario, en la forma: a = 0, a; a2...a1..., donde el número de cifras iguales a

(UNI 11 - II)

REFORZANDO

(UNTECS 08 - I) A) 48 D) 46

Sea a y b números reales tales que, a + b = 5 y a.b = 1. hallar a3 + a– 3

la operación #, de la siguiente

maciones: I. La operación # es conmutativa. II. ((1 # 2) # 3) # 4 = 43 III. El cero es elemento neutro con la operación # A) FVF B) VFV C) FFV D) FVV E) VVV

b) 6

2)

04

halle (a2 –7)2

Halle el valor de verdad de las siguientes ar-

a) 3

y

Se dene en

Si a =

manera a # b = a + b +

B

x o y = x – x

01

IV) Un número irracional se representa en fracciones continuas simples, mediante una fracción periódica necesariamente. (UNI 94 - II)

(UNI 12 - I)

02

MÚLTIPLICACIÓN ALGEBRAICA

II) La representación de un número entero, mediante fracciones continuas simples tiene un sólo término.

Determine cuántos de los siguientes números racionales

B) VFV

C) FVV E) FFF

Dadas las siguientes proposiciones:

03

Si el polinomio y(x) = x3 + a1x2 + a2x + a3 es un cubo perfecto.

a

2

a

–3

06

Sabiendo que x +

= 3, halle

E = 13 + 12 + x3 + x2

Hallar el valor de A = a1 + a1 2 3

x

x

(SM 02)

(UNFV 12 - II)

I. Si existe n ∈N tal que n2 < 0, entonces existe n ∈N tal que n – 3 = 0 n II. Si para todo n ∈R se tiene x2 ≥ 0, existe x ∈ 〈– 1; 1〉 tal que ex < 0 III. Si existe n ∈N tal que n2 > 0 entonces existe x ∈R tal que ex < 0 Indique la secuencia correcta después de determinar si es verdadero (V) o falso (F)

A) 31 D) 36

B) 27

C) 30 E) 40

A) 19 D) 18

B) 36

C) 25 E) 23

(UNI 11 - II)

A) VVV D) VVF

B) VFV

C) FVV E) FFF

5

11

Á L G E B R A

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

REFORZANDO

11

NIVEL III

13

Determinar el valor de

Si se cumple:

Entonces el valor numérico de

01 (CEPRE UNI 09 - II)

+ A) 1/5 D) 13/10

B) 1/2

C) 1 E) 2

12

B) 8

14

C) 16 E) 1

04

B) 4

El polinomio x3 + 3 x2 + A x + B es divisible por (x + 4) y ( x – 2), entonces el valor de A – B es: (FV - 07)

A) –2 D) 1

C) 5 E) 7

B) –1

C) 2 E) 0

(CEPRE SM 08 - I)

A) 3 D) 2

x2 + y2 + z2 = 4x + 2z + 6 y – 14

hallar "x + y + z" (PUC - 01 - I)

A R B E G L Á

A) 2 D) 6

Si a + b + c = 7, hallar el valor de:

Si x ∈R entonces:

A) 5 D) 7

Halle el valor de p, sabiendo que el residuo de la división 2x2 + 7x2 + 10x + p es 2. x + 1 (UNE - 07)

(UNAC- 01-II)

A) 4 D) 2

03

DIVISIÓN ALGEBRAÍCA

Si x es un número tal que cumple la condición: 10x4 + 10x2 ÷ 4 = 3x2 – 6

B) 6

C) 3 E) 14

15

B) 1/3

C) 1 E) 1/2

Si a3 + b3 + c3 = 30, a + b + c = 3, abc = 4 determine E = a–1 + b–1 + c–1 (CEPRE UNI 07 - I)

A) 0 D) 1

B) 1/7

02

C) 1/4 E) 7/2

Se divide el polinomio x3 + 2ax2 – 7ax2 + 2a3 entre x – a, ¿cuál debe ser el valor de a2 de modo que el residuo sea 1?

05

Al dividir p(x) por (2 x – 1) y ( x + 1), se obtiene los residuos 6 y 3 respectivamente. Halle el residuo de dividir p(x) por (2 x – 1)(x + 1)

(SM - 05 - I) (UNMSM - 12 - II)

A) D)

03

B)

C)

A) 3x + 1 D) 2x – 5

B) 2 x + 5

C) 3 x – 5 E) 5 x + 2

E)

Sea P(x) = x3 + bx2 + cx + 3. Si a = 1 es una de sus raíces, y el cociente Q( x) que se obtiene al dividir P(x) entre (x – 1) tiene como suma de coecientes el valor de –3/2 entonces Q(x) es: (UNAM - 11- I)

A) x2 + 1 x – 3 2

B) x2 – 3x + 1 2

C) x2 – 3 x – 1 2

D) x2 – 3 x – 1 2

06

Halle el número de términos de cociente notable

de:

A) 12 D) 16

x4a+12 – y4a–3 xa–8 – ya–9

B) 10

C) 15 E) 18

E) x2 – 7 x + 1 2

14

5

5

15

Á L G E B R A

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

REFORZANDO

11

NIVEL III

13

Determinar el valor de

Si se cumple:

Entonces el valor numérico de

01 (CEPRE UNI 09 - II)

+ A) 1/5 D) 13/10

B) 1/2

C) 1 E) 2

12

B) 8

14

C) 16 E) 1

04

B) 4

El polinomio x3 + 3 x2 + A x + B es divisible por (x + 4) y ( x – 2), entonces el valor de A – B es: (FV - 07)

A) –2 D) 1

C) 5 E) 7

B) –1

C) 2 E) 0

(CEPRE SM 08 - I)

A) 3 D) 2

x2 + y2 + z2 = 4x + 2z + 6 y – 14

hallar "x + y + z" (PUC - 01 - I)

A) 5 D) 7

A) 2 D) 6

Si a + b + c = 7, hallar el valor de:

Si x ∈R entonces:

A R B E G L Á

Halle el valor de p, sabiendo que el residuo de la división 2x2 + 7x2 + 10x + p es 2. x + 1 (UNE - 07)

(UNAC- 01-II)

A) 4 D) 2

03

DIVISIÓN ALGEBRAÍCA

Si x es un número tal que cumple la condición: 10x4 + 10x2 ÷ 4 = 3x2 – 6

B) 6

15

C) 3 E) 14

B) 1/3

C) 1 E) 1/2

Si a3 + b3 + c3 = 30, a + b + c = 3, abc = 4 determine E = a–1 + b–1 + c–1 (CEPRE UNI 07 - I)

A) 0 D) 1

B) 1/7

02

C) 1/4 E) 7/2

Se divide el polinomio x3 + 2ax2 – 7ax2 + 2a3 entre x – a, ¿cuál debe ser el valor de a2 de modo que el residuo sea 1?

05

Al dividir p(x) por (2 x – 1) y ( x + 1), se obtiene los residuos 6 y 3 respectivamente. Halle el residuo de dividir p(x) por (2 x – 1)(x + 1)

(SM - 05 - I)

Á L G E B R A

(UNMSM - 12 - II)

A)

B)

C)

D)

03

A) 3x + 1 D) 2x – 5

B) 2 x + 5

C) 3 x – 5 E) 5 x + 2

E)

Sea P(x) = x3 + bx2 + cx + 3. Si a = 1 es una de sus raíces, y el cociente Q( x) que se obtiene al dividir P(x) entre (x – 1) tiene como suma de coecientes el valor de –3/2 entonces Q(x) es:

06

de:

B) x2 – 3x + 1 2

C) x2 – 3 x – 1 2

D) x2 – 3 x – 1 2

x4a+12 – y4a–3 xa–8 – ya–9

A) 12 D) 16

(UNAM - 11- I)

A) x2 + 1 x – 3 2

Halle el número de términos de cociente notable

B) 10

C) 15 E) 18

E) x2 – 7 x + 1 2

14

5

5

EDITORIALINGENIO

EDITORIALINGENIO

ble x240 – y160 el término que tiene grado 164? x3 + y2

¿Qué lugar ocupa el desarrollo de cociente nota-

Determine el resto para dividir (x2 – 3x + 2)( x2 – 8x + 15)(x2 – 10x + 24) entre (x2 – 7x + 9) (UNTECS)

A) 45 D) 72

A) 9 D) 1

07

B) 60

09

C) 70 E) 74

B) –11

REFORZANDO 01

C) 11 E) –9

NIVEL

I

07

Hallar el resto de la división:

02

A) 15 D) –16

C) 45 E) 48

Hallar el valor m + n sabiendo que al dividir mx2 + mx – 1 entre x + 1 el residuo es 0 y al dividirlo entre 2x + 1 el residuo es – 1

p(x) (x + 1) (UNAC - 00 - II)

(UNE 01 - I)

B) 47

Sea:

P(x) = (2n–1)x16n – (5n–3)x8n + (n+5)x4n– 5 – (3n–15)x39+ n + 2

Al dividir el polinomio x50 – 2x45 +3x15 – 4x8 + 2 entre x + 1, el cociente es un polinomio de grado m y el residuo es una constante C, calcule m + C. A) 49 D) 50

08

B) –15

C) 16 E) 12

El resto de la división de un polinomio P( x) entre x2 + 3 x + 2 es 2 x + 3 y entre x2 + 2 x – 3 es x – 2. Hallar el resto de la división de P( x) entre x2 – 1.

(SM 05 - II)

A) 3 D) 1 03

a4 – b4 y es a176×b64 a5 –9 – b5 –9

Si al dividir un polinomio p( x) entre (x3 + 1) el resto es x2 + x + 1, determine el resto de dividir p(x) entre x2 – x + 1. (UNAC 08 – 01)

¿cuál es el número de términos del cociente? (CEPRE UNI 07 - I)

A) x + 2 D) 2x + 2

Si el quinto término del cociente notable.

08

x

A R B E G L Á

10

x

y

A) 16 D) 13

15

B) 15

B) x – 1

(SM 04 - I)

C) 0 E) 2

A) – x + 2 D) 2x – 1

¿Cuál es el número que se debe restar al siguiente polinomio P(x) = 2 x5 – x3 – 2x2 + 1 para que sea divisible por (x – 2)? Dar como respuesta la

09

B) 3 x + 5

C) – x E) 2x – 3

Halle el valor de: E = 1 + 8 2 + 8 22 + 8 23 + 8 24 + ... + 8 2 47

suma de cifras de dicho número. (SM 06 - I)

C) x – 2 E) 2x – 2

C) 14 E) 12

B) – 1

A) 10 D) 16 04

B) 19

(SM - 04 - I)

C) 13 E) 9

A)

Calcule el valor de " a" y el número de términos

10

B) 5 y 3

2

B) 53( 2 – 1)

C) 8 63 2 – 1 8 E) 2 – 1 63

D) 2 – 1 63

en el siguiente cociente notable

A) 5 y 2 D) 5 y 5

638 2

En el cocie nte del cociente notable:

C) 4 y 5 E) 3 y 3

uno de los términos es 2(a2 + b2)5.

05

Tarea 01

03

02

Calcule el resto de dividir 3x24 – 5x7 + 2x2 + 5 entre x + 1

16

5

Al dividir un polinomio P( x) entre (x + 5) se obtiene por residuo –12 y un cociente cuya suma

A) 10 D) 15

B) 9

Halle el lugar que ocupa el término de grado 101 x180 – z80 en el desarrollo de: 9 4 x –z (CEPRE UNI 07 – I)

B) 11

C) 11 E) 21 REFORZANDO

REFORZANDO 04

A) 8 D) 13

Halle el valor de " n".

de coecientes es igual a 5. ¿Cuál es el residuo de dividir P(x) entre x – 1?

Divide 3 x3 + 17x2 + x – 6 entre x2 + 5x – 3 y obtenga el cociente y el residuo.

Determine el valor de n.

el tercer término es x12 y6.

En el C.N.

06

NIVEL II

Un polinomio P(x) de término independiente 11, al dividirlo entre x – 5, se obtiene como término independiente del cociente 4. Hallar el resto.

11

C) 12 E) 17

NIVEL III

Dividiendo el polinomio, P(x) = x5 + ax4 + bx2 + c + 1 por x – 1, se observa un resto igual a 2. Dividiendo P( x) por x + 1, se obtiene un resto igual a 3. Sabiendo que P( x) es divisible por x – 2, el valor de ab/c es igual a: (UNAC 04 - I)

(UNALM 05 - II)

A) 31 D) 50

B) 20

C) 10 E) 30

A) 4 D) – 4

B) – 6

C) 7 E) 9

5

17

Á L G E B R A

EDITORIALINGENIO

EDITORIALINGENIO

ble x240 – y160 el término que tiene grado 164? x3 + y2

¿Qué lugar ocupa el desarrollo de cociente nota-

Determine el resto para dividir (x2 – 3x + 2)( x2 – 8x + 15)(x2 – 10x + 24) entre (x2 – 7x + 9) (UNTECS)

A) 45 D) 72

A) 9 D) 1

07

B) 60

09

C) 70 E) 74

B) –11

REFORZANDO 01

C) 11 E) –9

NIVEL

I

07

Al dividir el polinomio x50 – 2x45 +3x15 – 4x8 + 2 entre x + 1, el cociente es un polinomio de grado m y el residuo es una constante C, calcule m + C.

Hallar el resto de la división:

02

B) 47

A) 15 D) –16

C) 45 E) 48

Hallar el valor m + n sabiendo que al dividir mx2 + mx – 1 entre x + 1 el residuo es 0 y al dividirlo entre 2x + 1 el residuo es – 1

p(x) (x + 1) (UNAC - 00 - II)

(UNE 01 - I)

A) 49 D) 50

Sea:

P(x) = (2n–1)x16n – (5n–3)x8n + (n+5)x4n– 5 – (3n–15)x39+ n + 2

08

B) –15

C) 16 E) 12

El resto de la división de un polinomio P( x) entre x2 + 3 x + 2 es 2 x + 3 y entre x2 + 2 x – 3 es x – 2. Hallar el resto de la división de P( x) entre x2 – 1.

(SM 05 - II)

A) 3 D) 1 03

a4 – b4 y y es a176×b64 a5 –9 – b5 –9

Si al dividir un polinomio p( x) entre (x3 + 1) el resto es x2 + x + 1, determine el resto de dividir p(x) entre x2 – x + 1. (UNAC 08 – 01)

¿cuál es el número de términos del cociente? (CEPRE UNI 07 - I)

A) x + 2 D) 2x + 2

Si el quinto término del cociente notable.

08

x

A R B E G L Á

10

x

A) 16 D) 13

B) 15

B) x – 1

(SM 04 - I)

C) 0 E) 2

A) – x + 2 D) 2x – 1

¿Cuál es el número que se debe restar al siguiente polinomio P(x) = 2 x5 – x3 – 2x2 + 1 para que sea divisible por (x – 2)? Dar como respuesta la

09

B) 3 x + 5

C) – x E) 2x – 3

Halle el valor de: E = 1 + 8 2 + 8 22 + 8 23 + 8 24 + ... + 8 2 47

suma de cifras de dicho número. (SM 06 - I)

C) x – 2 E) 2x – 2

A) 10 D) 16

C) 14 E) 12

B) – 1

04

B) 19

(SM - 04 - I)

C) 13 E) 9

A)

Calcule el valor de " a" y el número de términos

10

B) 5 y 3

2

B) 53( 2 – 1)

C) 8 63 2 – 1 8 E) 2 – 1 63

D) 2 – 1 63

en el siguiente cociente notable

A) 5 y 2 D) 5 y 5

638 2

Á L G E B R A

En el cocie nte del cociente notable:

C) 4 y 5 E) 3 y 3

uno de los términos es 2(a2 + b2)5.

05

Tarea 01

03

02

Calcule el resto de dividir 3x24 – 5x7 + 2x2 + 5 entre x + 1

16

Al dividir un polinomio P( x) entre (x + 5) se obtiene por residuo –12 y un cociente cuya suma

A) 10 D) 15

B) 9

Halle el lugar que ocupa el término de grado 101 x180 – z80 en el desarrollo de: 9 4 x –z (CEPRE UNI 07 – I)

B) 11

C) 11 E) 21 REFORZANDO

REFORZANDO 04

A) 8 D) 13

Halle el valor de " n".

de coecientes es igual a 5. ¿Cuál es el residuo de dividir P(x) entre x – 1?

Divide 3 x3 + 17x2 + x – 6 entre x2 + 5x – 3 y obtenga el cociente y el residuo.

Determine el valor de n.

el tercer término es x12 y6.

En el C.N.

06

NIVEL II

11

Un polinomio P(x) de término independiente 11, al dividirlo entre x – 5, se obtiene como término independiente del cociente 4. Hallar el resto.

C) 12 E) 17

Dividiendo el polinomio, P(x) = x5 + ax4 + bx2 + c + 1 por x – 1, se observa un resto igual a 2. Dividiendo P( x) por x + 1, se obtiene un resto igual a 3. Sabiendo que P( x) es divisible por x – 2, el valor de ab/c es igual a: (UNAC 04 - I)

(UNALM 05 - II)

A) 31 D) 50

B) 20

C) 10 E) 30

A) 4 D) – 4

B) – 6

5

Sea P(x) un polinomio divisible por x + 1, dividiendo por x2 + x, se obtiene el cociente x2 – 3 y el resto R(x). Si R(4) = 10. Hallar el coeciente del término lineal de P( x). A) – 3 D) 1

17

EDITORIAL INGENIO

14

B) – 5

uno de

03

Al factorizar un polinomio en el conjunto de los números enteros mediante el procedimiento del aspa simple se realiza lo siguiente:

(CEPRE UNI 09 - II)

A) 6 D) 22 15

Determinar el residuo que obtendría al dividir x3 – 2x2 – x + 2.

B) 7

06

C) 11 E) 26

Al factorizar 2x3 – x2 – x – 3, la suma de los coecientes del factor lineal es: (UNI - 93 - I)

8x4 + bx2 – (2 + d) 2x2 1 d 4x2

a partir del nal.

C) – 1 E) 3

Al dividir un polinomio P( x) entre x2 – 1 se ob tiene –2x + 4, de residuo al dividirlo entre x2 – x – 2 se tiene 8x + 14 de residuo.

A) 0 D) 2

B) –1

C) 1 E) 3

Entonces un factor primo de polinomio es: A) 2x – 1 D) 2x + 3

Si a es un número real que a3 = a – 1, entonces el valor de 1 + a + a2 + ... + a7 es:

B) 2 x + 2

C) 2 x + 5 E) 2 x + 4

(SM 09 - I)

A) a – 2 D) 2a – 1

(SM 08 - I)

A) 10x2 – 2x – 6 C) –10x2 – 2x + 6 E) 10x2 – 6x – 2

En la división polinómica

los términos del cociente notable es (x + y)25 y13. Halle el lugar que ocupa dicho término contado

(UNAC 06 - II)

13

C) 7 E) 9

5

EDITORIAL INGENIO

12

NIVEL III

B) 10x2 + 2x + 6 D) –10 x2 + 6x – 2

B) a – 1

C) a – 1 E) 2a – 2

04

Calcule la suma de factores de

07

2x2 – y2 + xy – 3x + 3 y – 2

A R B E G L Á

(UNAC - 96 - I)

A) 2x + 1 D) 3x – 1

B) 3 x + 2 y – 1 C) 3 x + 2 y + 1 E) 3 x

Factorice 12x2 – 14x –10 y2 – 14 xy – 10 – 20 y e indique la suma de factores primos como respuesta. A) 7x – 3 y – 3 B) 7x + 3 y + 3 C) 3 y – 7x + 1 D) 7 x – 3 y E) 7x – 3

CAPÍTULO

04

FACTORIZACIÓN

Factorice e indique el número de factores primos en cada caso:

01

A(x) = x2 + 7x + 6 C(x ;y) = x2 + 4xy +45 y2 A) 2; 2; 2; 2 C) 1; 1; 2; 2 E) 1; 2, 2, 1

B(x) = x2 – 5x – 6 D(x) = 6x2 + 7xy + 2 y2 B) 2; 2; 1; 1 D) 2; 2; 1; 2

02

Al factorizar K = 25a4 – 109 a2 + 36 uno de los factores es: (FV - 99)

A) a + 3 D) 5a – 1

B) 5 a – 3

C) a – 3 E) 5 a + 2

05

Al factorizar en x el polinomio:

08

P(x) = x3 + 2x2 – 2x – 1, el número de factores: (CEPRE UNI 06 - I)

A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 5

Si el polinomio 11x2 + 41x – 12, se factoriza en la forma (Ax ↓ B) (Cx ↑ D), donde A, B, C y D son números enteros positivos con A > C y las e chas representan operaciones aritméticas hallar el valor de: (A ↓ B) ↓ (C ↑ D). (PUC - 95 - II)

A) 7 D) 10

18

5

B) 8

C) 9 E) 11

5

19

Á L G E B R A

EDITORIAL INGENIO

12

EDITORIAL INGENIO

Sea P(x) un polinomio divisible por x + 1, dividiendo por x2 + x, se obtiene el cociente x2 – 3 y el resto R(x). Si R(4) = 10. Hallar el coeciente del término lineal de P( x).

14

13

B) – 5

03

Al factorizar un polinomio en el conjunto de los números enteros mediante el procedimiento del aspa simple se realiza lo siguiente:

(CEPRE UNI 09 - II)

A) 6 D) 22

Al dividir un polinomio P( x) entre x2 – 1 se ob tiene –2x + 4, de residuo al dividirlo entre x2 – x – 2 se tiene 8x + 14 de residuo.

15

Determinar el residuo que obtendría al dividir x3 – 2x2 – x + 2.

B) 7

06

C) 11 E) 26

Al factorizar 2x3 – x2 – x – 3, la suma de los coecientes del factor lineal es: (UNI - 93 - I)

8x4 + bx2 – (2 + d) 2x2 1 d 4x2

a partir del nal.

C) – 1 E) 3

A) 0 D) 2

B) –1

C) 1 E) 3

Entonces un factor primo de polinomio es: A) 2x – 1 D) 2x + 3

Si a es un número real que a3 = a – 1, entonces el valor de 1 + a + a2 + ... + a7 es:

B) 2 x + 2

C) 2 x + 5 E) 2 x + 4

(SM 09 - I)

A) a – 2 D) 2a – 1

(SM 08 - I)

A) 10x2 – 2x – 6 C) –10x2 – 2x + 6 E) 10x2 – 6x – 2

uno de

los términos del cociente notable es (x + y)25 y13. Halle el lugar que ocupa dicho término contado

(UNAC 06 - II)

A) – 3 D) 1

En la división polinómica

B) 10x2 + 2x + 6 D) –10 x2 + 6x – 2

B) a – 1

C) a – 1 E) 2a – 2

04

Calcule la suma de factores de

07

2x2 – y2 + xy – 3x + 3 y – 2

A R B E G L Á

(UNAC - 96 - I)

A) 2x + 1 D) 3x – 1

B) 3 x + 2 y – 1 C) 3 x + 2 y + 1 E) 3 x

Factorice 12x2 – 14x –10 y2 – 14 xy – 10 – 20 y e indique la suma de factores primos como respuesta. A) 7x – 3 y – 3 B) 7x + 3 y + 3 C) 3 y – 7x + 1 D) 7 x – 3 y E) 7x – 3

Á L G E B R A

CAPÍTULO

04

FACTORIZACIÓN

Factorice e indique el número de factores primos en cada caso:

01

A(x) = x2 + 7x + 6 C(x ;y) = x2 + 4xy +45 y2

02

B(x) = x2 – 5x – 6 D(x) = 6x2 + 7xy + 2 y2

A) 2; 2; 2; 2 C) 1; 1; 2; 2 E) 1; 2, 2, 1

Al factorizar K = 25a4 – 109 a2 + 36 uno de los factores es: (FV - 99)

A) a + 3 D) 5a – 1

B) 2; 2; 1; 1 D) 2; 2; 1; 2

B) 5 a – 3

05

C) a – 3 E) 5 a + 2

Al factorizar en x el polinomio:

08

P(x) = x3 + 2x2 – 2x – 1, el número de factores: (CEPRE UNI 06 - I)

A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 5

Si el polinomio 11x2 + 41x – 12, se factoriza en la forma (Ax ↓ B) (Cx ↑ D), donde A, B, C y D son números enteros positivos con A > C y las e chas representan operaciones aritméticas hallar el valor de: (A ↓ B) ↓ (C ↑ D). (PUC - 95 - II)

A) 7 D) 10

18

B) 8

C) 9 E) 11

5

5

EDITORIAL INGENIO

EDITORIAL INGENIO

Al factorizar, ( x – 5)( x – 7)( x + 6)( x + 4) – 504 uno de sus factores lineales es: A) x – 5 B) x + 7 C) x + 6 D) x + 3 E) x – 2

09

10

Al factorizar el siguiente polinomio x4 – 10x3 + 35x2 – 50x + 24 se obtiene:

04

(UNAC - 96 - II)

A) (x – 1)( x – 2)( x – 3)(x – 4) B) (x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) C) (x – 1)(x – 2)(x + 3)( x + 4) D) (x – 1)( x – 2)( x – 3)( x + 4) E) (x – 1)(x – 2)(x + 3)( x – 4)

Factorice P(x) = x4 – 3x2 + 1 e indicar la suma de los factores primos que tenga: A) 2x – 1 D) x2 – 2

B) 2 x2 – 1

Al factorizar P( x) = x6 – x2 – 2x – 1 en Z(x), halle el factor primo de menor termino independiente.

A) x3 – x – 1 D) x3 + 2x – 1

06

11

B) x3 – x + 1

03

Luego de factorizar 6 x2 + x – 2 determine el valor de verdad de I. El producto de las términos independientes de los factores primos es 2.

07

A(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6

para x = 2 (UNAM - 11- 2)

A) 10 D) 2 12

02

04

+ 3 y + 9 B(x ,y) = x2 + xy – 6 y2 + 7x + 16 y + 6

REFORZANDO

NIVEL

Determine el MCD de:

08

I

02

Descomponer la expresión x2 – xy – y – 1 en el producto de dos factores reales.

09

(FV - 98)

01

Con respecto a P( x ; y) = xy5 ( x+1)3(x2+ y)6 indique verdadero o falso según corresponda:

A) (x + 1)( x – y –1) B) (x + 1)( x + y – 1) C) (x – y – 1)(x + y + 1) D) (x – 1)(x + y – 1) E) (x + y – 1)(x – y + 1)

I. El polínomio tiene 4 factores primos. II. El factor primo que más se repite es: x2 + y. III. El polinomio tiene dos factores primos lineales A) VVV D) VVF 20

B) FVF

5

C) FFV E) FFF

10 03

El número de factores algebraicos más el núme-

ro de factores primos de: 4(z; y) = xy4 – 5x2 y3 – 4x2 y2 + 20x3 y, es: A) 10

B) 24

C) 19

D) 18

E) 16

C)

Á L G E B R A

E) 6

Factorice e indique uno de los factores de: P(x, y) = (x2 – y2 – 1)2 + 4x2 y2 – 4(x2 + y2) (CEPRE UNI 07)

A) x2 + y2 + 2 y + 1 C) x2 + y2 – 2 y + 1 E) x2 – y2 + 2 y – 1

B) (x + b)( y + a) D) (x + 2a)( y + b)

14

Descomponer en factores a4 + b4 + a2b2, tenemos:

B) x2 – y2 + 2 y + 1 D) x2 + y2 – 2 y – 1

Dado los polinomios P(x; y) = 2x2 + 3xy + 2x + y2 + y q(x ;y) = x2 – y2 – 2 y – 1 Halle la suma de coecientes del máximo común divisor de P(x; y) y q(x ;y)

B) (a + c)/(a + b) D) (a – c)/(a – b)

Los factores primos de x9 – 1 son: A) x6 – 1, x6 + 1, x – 1 B) x6 – 1, x3 – 1 C) x2 + x + 1, x + 1, x6 + x3 + 1 D) x2 + x + 1, x – 1, x6 – x3 + 1 E) x6 + x3 + 1, x2 + x + 1, x – 1 A) (a2 + b2 + ab)(a2 + b2 – ab) B) (a2 – b2 + ab)(a2 – b2 – ab) C) (a2 + b2 + ab)(a2 – b2– ab) D) (a2 – b2)(a2 + b2 + 1) E) (a2 + b2 – 1)(a2 + b2 + 1)

B) 4

D) – 6 13

Si A = a2 + ab + ac + bc y B = ( a + b)2 – 2(ba + b2), entonces el cociente B/A es igual a: A) (a + b)/(a – b) C) (a – b)/(a2 – b2) E) (a – b)/(a2 – b2)

Si ( x + 1) es un factor de x2 + cx – 2 y 2 x – 1 es un

A)

(FV - 97)

B(x) = 2x2 – 11x + 12

A(x, y) = x2 + 2xy + y2 + 3x

C) FFFF E) VFVF

C) –1 E) 4

(UNMSM 96)

Factorice el polinomio A) (x + a)( y + b) C) (x + a)(x + b) E) (x + a)( y + 2b)

A(x) = x2 – x – 12

Factorice con criterio del aspa doble

B) FVFF

B) 1

factor de dx2 + 5x – 4, entonces el valor de

P(x ,y) = xy + ab + xb + ay

B(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6

II. La suma de coecientes de un factor primo

es 1. III. Un factor primo es: 3 x + 2

Si P(x) = x3 – 2x2 – x – 2 es divisible por

NIVEL II

Si P(x ,y) = 8x2 y5 (x – y)4(x+ y)(x2 + y)3 Indique verdadero o falso según corresponda. I. El polinomio tiene 4 factores primos. II. Tiene 2 factores primos monomios. III. El factor primo que se repite más veces es x – y A) VVVV D) FVFV

Factorice aplicando el criterio de los divisores binómicos

01

NIVEL III

C) x3 – 3x + 1 E) x3 – 3x – 1

IV. El polinomio tiene 720 factores algebraicos.

Tarea

REFORZANDO

C) 2 x2 –2 E) x2 – 2x

(x – a), (x – b) y (x – c) halle 05

REFORZANDO

A R B E G L Á

19

(UNTECS - 12 - 2)

A) 3 D) 2 15

B) – 1

C) 0 E) 6

Sean P1(x) = Ax2 + 2x – 5 P2(x) = Ax2 – 4x + B A y B son números positivos si x3 – x2 – 9x + 9 es el MCM de P1 y P2, halle B 2 – A. (UNI 93 - 2)

A) 8 D) 12

B) 15

C) 16 E) 9

5

21

EDITORIAL INGENIO

EDITORIAL INGENIO

Al factorizar, ( x – 5)( x – 7)( x + 6)( x + 4) – 504 uno de sus factores lineales es: A) x – 5 B) x + 7 C) x + 6 D) x + 3 E) x – 2

09

10

Al factorizar el siguiente polinomio x4 – 10x3 + 35x2 – 50x + 24 se obtiene:

04

(UNAC - 96 - II)

A) (x – 1)( x – 2)( x – 3)(x – 4) B) (x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) C) (x – 1)(x – 2)(x + 3)( x + 4) D) (x – 1)( x – 2)( x – 3)( x + 4) E) (x – 1)(x – 2)(x + 3)( x – 4)

Factorice P(x) = x4 – 3x2 + 1 e indicar la suma de los factores primos que tenga: A) 2x – 1 D) x2 – 2

B) 2 x2 – 1

11

E) x2 – 2x

Al factorizar P( x) = x6 – x2 – 2x – 1 en Z(x), halle el factor primo de menor termino independiente.

A) x3 – x – 1 D) x3 + 2x – 1

06

B) x3 – x + 1

03

para x = 2 (UNAM - 11- 2)

A) 10 D) 2

NIVEL II

Si P(x ,y) = 8x2 y5 (x – y)4(x+ y)(x2 + y)3 Indique verdadero o falso según corresponda. I. El polinomio tiene 4 factores primos. II. Tiene 2 factores primos monomios. III. El factor primo que se repite más veces es x – y

Luego de factorizar 6 x2 + x – 2 determine el valor de verdad de I. El producto de las términos independientes de los factores primos es 2.

A) VVVV D) FVFV

Factorice aplicando el criterio de los divisores binómicos

01

07

A(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6 B(x) =

12

02

04

Factorice con criterio del aspa doble

REFORZANDO

NIVEL

Determine el MCD de:

08

02

Descomponer la expresión x2 – xy – y – 1 en el producto de dos factores reales.

09

(FV - 98)

01

Con respecto a P( x ; y) = xy5 ( x+1)3(x2+ y)6 indique verdadero o falso según corresponda:

A) (x + 1)( x – y –1) B) (x + 1)( x + y – 1) C) (x – y – 1)(x + y + 1) D) (x – 1)(x + y – 1) E) (x + y – 1)(x – y + 1)

I. El polínomio tiene 4 factores primos. II. El factor primo que más se repite es: x2 + y.

10 03

III. El polinomio tiene dos factores primos lineales A) VVV D) VVF 20

B) FVF

El número de factores algebraicos más el núme-

4(z; y) = xy4 – 5x2 y3 – 4x2 y2 + 20x3 y, es:

C) FFV E) FFF

A) 10

B) 24

C) 19

D) 18

E) 16

Factorice e indique uno de los factores de: (CEPRE UNI 07)

A) x2 + y2 + 2 y + 1 C) x2 + y2 – 2 y + 1 E) x2 – y2 + 2 y – 1

B) (x + b)( y + a) D) (x + 2a)( y + b)

14

Dado los polinomios P(x; y) = 2x2 + 3xy + 2x + y2 + y q(x ;y) = x2 – y2 – 2 y – 1 Halle la suma de coecientes del máximo común divisor de P(x; y) y q(x ;y)

B) (a + c)/(a + b) D) (a – c)/(a – b)

(UNTECS - 12 - 2)

A) 3 D) 2

Los factores primos de x9 – 1 son: A) x6 – 1, x6 + 1, x – 1 B) x6 – 1, x3 – 1 C) x2 + x + 1, x + 1, x6 + x3 + 1 D) x2 + x + 1, x – 1, x6 – x3 + 1 E) x6 + x3 + 1, x2 + x + 1, x – 1

15

B) – 1

Sean P1(x) = Ax2 + 2x – 5 P2(x) = Ax2 – 4x + B A y B son números positivos si x3 – x2 – 9x + 9 es el MCM de P1 y P2, halle B 2 – A.

Descomponer en factores a4 + b4 + a2b2, tenemos:

(UNI 93 - 2)

A) 8 D) 12

B) 15

MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

07

Factorice e indique el número de factores primos en cada caso A(x) = x2 + 7x + 6 B(x; y) = x2 y – 5xy – 6 y B) 2; 2

04

Al factorizar en Z (x) es el polinomio

Al factorizar el polinomio P(x) = x5 + x4 – x2 – x en Z [x], halle la suma de todos sus factores primos mónicos lineales. A) x + 2 D) 3x

P(x) = x3 + 2x2 – 2x – 1, el número de factores

09

A) 1 D) 4

05

B) 2

A) 1 D) 4

06

P(x ;y) = 2x4 – 3x3y – 4x2 y3 + 2 y4 en Z (x; y), halle la suma de los factores primos. (UNMSM - 09 - 2)

A) 2x + 2 y D) 2x + 5 y

B) 3x + 2 y

C) 4x + 2 y E) 5x – y

Al factorizar x3 – 6x2 – x + 6, la suma de coe-

A) 0 D) 2

B) – 6

C) 1 E) 3

Halle la suma de los factores primos módicos del polinomio P( x ;y) = (x + y + 1)2 – 2x –2 y – 10. (CEPRE UNMSM 11 - 1)

A) 21(x – y) + 1 C) 2x + y + 1 E) 2(x + y) + 1

Descomponer en factores 2a4 – b4 – a2b2, tenemos

Luego de factorizar B(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6 A) 2x D) 2x + 1

03

B) 3x

Á L G E B R A

C) 4x E) 3 x + 6

Factorice la siguiente expresión haciendo uso del criterio de aspa doble

01

B) 2(x + y) D) 2( x – y)

Luego que factorice los polinomios 9x2 – 18x + 8; 42 x2 + x – 6. Halle la suma de los factores irreductibles no comunes.

02

01

NIVEL

x2 – 4xy + 3 y2 + 4x – 8 y + 4. 04

Indique la suma de los factores irreductibles del siguiente polinomio 3x2 – 13xy + 12 y2

I

Factorice e indique la suma de sus factores primos en cada caso: P(x ;y) = x2 + 4xy – 45 y2

5

C) 3 E) 5

halle la suma de sus factores lineales

Tarea

REFORZANDO

22

10

A) (a2 + b2)(a2 + b2 – ab) B) (a2 – b2)(a2 – b2 + ab) C) (a2 – b2)(a2 – b2 – ab) D) (a2 – b2)(2a2 + b2) E) (a2 + b2 – 1)(a2 + b2 + 1)

factores lineales es:

C) 3 x + y E) 3 x + y + 2

Luego de factorizar el polinomio

C) 3 x + 1 E) 2x

B) 2

C) 3 E) 5

cientes de sus términos independientes de los

(UNMSM 7 - I)

B) 3 x + 2

B) 2 x + 1

Factorice x3 + 6x2 + 11 x + 6 e indique el número de factores primos lineales

(CEPRE UNI 06 - I)

C) 2; 3 E) 2; 1

Al factorizar P(x ;y) = 2x2 + xy + x – y2 + 4 y – 3 en Z [x ;y], halle la suma de sus factores primos. A) 3x – 2 D) 3x – y – 2

21

obtenidos es:

08

03

C) 16 E) 9

5

(CEPRE UNI - 12 - 2)

02

C) 0 E) 6

EDITORIALINGENIO

05

A R B E G L Á

B) x2 – y2 + 2 y + 1 D) x2 + y2 – 2 y – 1

5

A) 1; 2 D) 3; 2

Á L G E B R A

E) 6

CAPÍTULO

01

C)

P(x, y) = (x2 – y2 – 1)2 + 4x2 y2 – 4(x2 + y2)

A) (a2 + b2 + ab)(a2 + b2 – ab) B) (a2 – b2 + ab)(a2 – b2 – ab) C) (a2 + b2 + ab)(a2 – b2– ab) D) (a2 – b2)(a2 + b2 + 1) E) (a2 + b2 – 1)(a2 + b2 + 1)

ro de factores primos de:

B) 4

D) – 6 13

Si A = a2 + ab + ac + bc y B = ( a + b)2 – 2(ba + b2), entonces el cociente B/A es igual a: A) (a + b)/(a – b) C) (a – b)/(a2 – b2) E) (a – b)/(a2 – b2)

Si ( x + 1) es un factor de x2 + cx – 2 y 2 x – 1 es un

A)

(FV - 97)

B(x) = 2x2 – 11x + 12

I

C) FFFF E) VFVF

C) –1 E) 4

(UNMSM 96)

Factorice el polinomio A) (x + a)( y + b) C) (x + a)(x + b) E) (x + a)( y + 2b)

A(x) = x2 – x – 12

A(x, y) = x2 + 2xy + y2 + 3x + 3 y + 9 B(x ,y) = x2 + xy – 6 y2 + 7x + 16 y + 6

B) FVFF

B) 1

factor de dx2 + 5x – 4, entonces el valor de

P(x ,y) = xy + ab + xb + ay

x3 + 2x2 – 5x – 6

II. La suma de coecientes de un factor primo

es 1. III. Un factor primo es: 3 x + 2

Si P(x) = x3 – 2x2 – x – 2 es divisible por

C) x3 – 3x + 1 E) x3 – 3x – 1

IV. El polinomio tiene 720 factores algebraicos.

Tarea

NIVEL III

(x – a), (x – b) y (x – c) halle 05

REFORZANDO

A R B E G L Á

REFORZANDO

C) 2 x2 –2

Determine la suma de los factores primos que resulta de factorizar por divisiones binómicos el siguiente polinomio x3 – 6x2 + 11x – 6

Q(x; y) = 6x2 + 7xy + 2 y2 A) 2x + 4 y ; 5x + 2 y B) 2x + 4 y; 5x + 3 y C) 2x + 14y ; 5 x + y D) 2x + 14 y; 5x + 3x E) 2x + y; 5x + y 5

23

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

05

MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

07

Al factorizar el polinomio P(x) = x5 + x4 – x2 – x en Z [x], halle la suma de todos sus factores primos mónicos lineales.

09

A) 1 D) 4


Factorice e indique el número de factores primos en cada caso A(x) = x2 + 7x + 6 B(x; y) = x2 y – 5xy – 6 y

01

A) 1; 2 D) 3; 2

B) 2; 2

04

Al factorizar en Z (x) es el polinomio

A) x + 2 D) 3x

P(x) = x3 + 2x2 – 2x – 1, el número de factores

A) 1 D) 4

05

B) 2

C) 3 E) 5

B) 3 x + 2

Luego de factorizar el polinomio

03

A) 0 D) 2

06

P(x ;y) = 2x4 – 3x3y – 4x2 y3 + 2 y4 en Z (x ;y), halle la suma de los factores primos. B) 3x + 2 y

B) – 6

C) 1 E) 3

Halle la suma de los factores primos módicos del polinomio P( x ;y) = (x + y + 1)2 – 2x –2 y – 10. (CEPRE UNMSM 11 - 1)

(UNMSM - 09 - 2)

A) 2x + 2 y D) 2x + 5 y

Al factorizar x3 – 6x2 – x + 6, la suma de coefactores lineales es:

C) 3 x + y E) 3 x + y + 2

A) 21(x – y) + 1 C) 2x + y + 1 E) 2(x + y) + 1

C) 4x + 2 y E) 5x – y

Descomponer en factores 2a4 – b4 – a2b2, tenemos

10

A) (a2 + b2)(a2 + b2 – ab) B) (a2 – b2)(a2 – b2 + ab) C) (a2 – b2)(a2 – b2 – ab) D) (a2 – b2)(2a2 + b2) E) (a2 + b2 – 1)(a2 + b2 + 1)

cientes de sus términos independientes de los

(UNMSM 7 - I)

A) 3x – 2 D) 3x – y – 2

Luego de factorizar B(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6 halle la suma de sus factores lineales A) 2x D) 2x + 1

Tarea

03

B) 3x

B) 2(x + y) D) 2( x – y)

Luego que factorice los polinomios 9x2 – 18x + 8; 42 x2 + x – 6. Halle la suma de los factores irreductibles no comunes.

02

01

Factorice la siguiente expresión haciendo uso x2 – 4xy + 3 y2 + 4x – 8 y + 4.

04

NIVEL

Determine la suma de los factores primos que resulta de factorizar por divisiones binómicos el siguiente polinomio x3 – 6x2 + 11x – 6

Indique la suma de los factores irreductibles del siguiente polinomio 3x2 – 13xy + 12 y2

Q(x; y) = 6x2 + 7xy + 2 y2

I

A) 2x + 4 y ; 5x + 2 y B) 2x + 4 y; 5x + 3 y C) 2x + 14y ; 5 x + y D) 2x + 14 y; 5x + 3x E) 2x + y; 5x + y

Factorice e indique la suma de sus factores primos en cada caso: P(x ;y) = x2 + 4xy – 45 y2

5

5

Al factorizar el polinomio P( x) = x5 – 2x3 – 8 x se

09

obtiene:

A) (x2 + 4)( x5 – 1) x C) (x – 2)(x2 + 2)x2 E) x(x –2)(x2 + 2)( x + 2)

2x2 – y2 + xy – 3x + 3 y – 2

B) (x + 4)( x – 4)(x2 + 2) D) (x + 2)( x2 + 1)x

A) +1 D) –1

04

Factorice e indique el número de factores primos A( x ;y) = x2 + 2xy + y2 + 6x + 6 y + 9

A R B E G L Á

05

B) 2

B) x – 2 y + 6

C) x + y + 5 E) 2 x + y + 4

REFORZANDO 11

(UNFV - 08)

B) 1

REFORZANDO

C) 2 E) 4

NIVEL II

B) 5a – 3

C) a – 3 E) 5a + 2

Al factorizar un polinomio en el conjunto de los números enteros, mediante el procedimiento del aspa simple se realiza lo siguiente: 1 8x4 + bx2 –   4 + a   2x2 1 a 4x2

07

13

08

E) 2x + 4

24

B) 7x + 3 y + 3

5

B) 100

C) 200 E) 110

C) 3 y – 7x + 1 E) 7x – 3

A) 3 D) 6

B) 4

Si

= 35 halle 2

A) 10 D) 30

B) 20

C) 5 E) 7

NIVEL III

02

05

Halle x en la expresión

A) 15 D) 12

B) 13

Á L G E B R A

C) 25 E) 24

C) 11 E) 10

B) 8

C) 9 E) 11

Al factorizar ( x4 + x2 + 1) la suma de sus factores primos es: (UNALM - 00 - 2)

14

B) 2 x2 + 2

C) x + 1 E) x2 – 1

Al factorizar el siguiente polinomio x6 – 9x5 + 30x4 – 45x3 + 30x2 – 9x + 1 se obtiene: (UNAC - 96 - I)

A) C) E)

5 C) 2x + 2

Factorice 12x2 – 14x –10 y2 – 14xy – 20 y –10 e indique la suma de los factores primos A) 7x – 3 y – 3 D) 7x – 3 y

¿Si el polinomio 11x2 + 41x – 12 se factoriza en la forma (Ax ↓ B) ↓ (C ↑ D) donde A, B, C y D son números positivos con A > C y las echas repre sentan operaciones aritméticas, halle el valor de: (A ↓ B) ↓ (C ↓ D)

A) x2 + 1 D) 2x – 2

(UNAC - 01 - 2)

1 B) 2x + 4

A) 80 D) 300

(PUCP - 00 - 2)

entonces un factor primo del polinomio es: 1 A) 2x – 2 3 D) 2x + 2

Calcule el producto de los valores de x en la igualdad

C) – 5 x2 – x + 1 E) – 5 x2 + x – 1

Al factorizar ( x – 5)( x – 7)(x + 6)( x+ 4) – 504, la suma de términos independientes de sus factores lineales es: A) 6 B) 2 C) –2 D) 0 E) 1

A) 7 D) 10

(UNFV - 99)

A) a+3 D) 5a–1

04

Calcule:

(UNAC - 98 - 2)

12

Al factorizar K = 15a2 – 29a + 12 uno de los factores es:

06

01

Halle el factor cuadrático primo de: 15a2x2 – 30a2x3 + 90a2x4 – 75a2x5 A) x2 + 5x + 1 B) 5 x2 – x – 1 D) 6x2 + 2x – 1

Halle la suma de los términos independientes de los factores primos de P( x) = x3 – 3x + 12. A) 0 D) 3

C) –3 E) 2

(UNALM - 11 - 2)

C) 3 E) 5

Luego de factorizar: B(x;y) = x2 + xy – 6 y2 + 7 x + 16 y + 6 indique la suma de sus factores primos A) x + 3 y + 1 D) 2x + y + 7

B) –2

(UNAC - 98 - 2)

10

A) 1 D) 4

06

NÚMERO COMBINATORIO

Calcule la suma de los términos independientes de sus factores lineales de:

(UNAC - 92 - 2)

03

23

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

02

Á L G E B R A

C) 4x E) 3 x + 6

del criterio de aspa doble 01

REFORZANDO

22

C) 3 E) 5

(CEPRE UNI 06 - I)

C) 2; 3 E) 2; 1

Al factorizar P(x ;y) = 2x2 + xy + x – y2 + 4 y – 3 en Z [x ;y], halle la suma de sus factores primos.

02

C) 3 x + 1 E) 2x

B) 2

obtenidos es:

08

A R B E G L Á

B) 2 x + 1

Factorice x3 + 6x2 + 11 x + 6 e indique el número de factores primos lineales

15

(x3 – 3x + 1)2 (x2 – 3x + 1)3 (x2 – 3x + 1)3

03

Si:

06

mo valor de m + n.

calcule (n + 1)! A) 2 D) 24

halle el míni-

Se verica

B) 6

C) 11 E) 120

A) 8 D) 20

B) 24

C) 12 E) 13

B) (x2 – 3x + 1)2 D) (x2 + 3x + 1)3

Señala un factor de: P(x) = 6x5 + 41x4 + 97x3 + 97x2 + 41x + 6 (UNAM - 02 - 1)

A) (x – 1) B) ( x – 2) D) 3x2 + 7x + 2

C) (2 x + 1) E) 3x + 1 5

25

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

02

Al factorizar el polinomio P( x) = x5 – 2x3 – 8 x se

09

obtiene: (UNAC - 92 - 2)

A) (x2 + 4)( x5 – 1) x C) (x – 2)(x2 + 2)x2 E) x(x –2)(x2 + 2)( x + 2)

2x2 – y2 + xy – 3x + 3 y – 2

B) (x + 4)( x – 4)(x2 + 2) D) (x + 2)( x2 + 1)x

A) +1 D) –1

Factorice e indique el número de factores primos A( x ;y) = x2 + 2xy + y2 + 6x + 6 y + 9 A) 1 D) 4

04

B) 2

A R B E G L Á

05

B) x – 2 y + 6

C) x + y + 5 E) 2 x + y + 4

REFORZANDO 11

(UNFV - 08)

B) 1

REFORZANDO

C) 2 E) 4

C) a – 3 E) 5a + 2

Al factorizar un polinomio en el conjunto de los números enteros, mediante el procedimiento del aspa simple se realiza lo siguiente: 1 8x4 + bx2 –   4 + a   2x2 1 a 4x2

07

13

08

14

24

B) 8

B) 2 x2 + 2

02

05

Halle x en la expresión

A) 15 D) 12

Si

= 35 halle 2

A) 10 D) 30

B) 20

B) 13

C) 25 E) 24

C) 11 E) 10

C) x + 1 E) x2 – 1

03

06

A) 2 D) 24

halle el míni-

Se verica

mo valor de m + n.

calcule (n + 1)!

(UNAC - 96 - I)

15

Si:

B) 6

A) 8 D) 20

C) 11 E) 120

B) 24

C) 12 E) 13

B) (x2 – 3x + 1)2 D) (x2 + 3x + 1)3

Señala un factor de: P(x) = 6x5 + 41x4 + 97x3 + 97x2 + 41x + 6 (UNAM - 02 - 1)

A) (x – 1) B) ( x – 2) D) 3x2 + 7x + 2

C) 3 y – 7x + 1 E) 7x – 3

C) (2 x + 1) E) 3x + 1

5

EDITORIALINGENIO

Dadas las variaciones de x en 3

09

, halle el valor de x B) 5

Sean los conjuntos: V = {a; e; i; o; u} B = {1; 2; 3; 4; 5; 6} se desea elaborar placas para autos de la forma V1V2 b1 b2 b3 b4 donde V x ∈V, b3 ∈B de manera que no existían símbolos repetidos. Entonces al

(UNAC - 01 - 2)

A) 12 D) 3

C) 4 E) 9

REFORZANDO 01

B) 1321

NIVEL

I

08

Si ( x + 1)! – x! = 18 el valor de ( x + 1)! + x! es: A) 24 D) 54

C) 7200 E) 32400 02

B) 36

la foto? (UNMSM - 04 - 2)

C) 30 E) 60 (UNAC - 98 - 1)

09

De once hombres y cuatro mujeres se debe ele-

10

gir un comité formado por seis personas, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá hacer la elección, si el comité solo debe tener dos muje res? A) 50 D) 36

B) 60

04

B) 3

C) 5 E) 1

De

maneras

cuántos

B) 5

diferentes

podrán

disponerse en un estante 4 libros de RM y 3 libros de RV. Si las de igual materia siempre deben estar juntos? (UNAC - 92 - 2)

A) 5040 D) 188

C) 6 E) 8

A) 12 D) 24

B) 13

n–2 n–1 Si C nn–2 –5 + Cn–4 + Cn–3 = 84

10

halle n

(CEPRE UNI 04 - I)

C) 24 E) 40

C) 20 E) 24

B) 144

C) 72 E) 24

El valor de n que satisface la igualdad: 2(1!) + 4(2!) + 6(3!) + 8(4!) + 10(5!) ... + 50(25!) = 2(n!) – 2!

(UNAC 06 - I)

B) 4

Halle el valor de x que cumplen A) 4 D) 7

08

A) 25 D) 120

Si [( n! + 2)! – 4]! = 20! calcule n. A) 4 D) 2

03

Una familia compuesta por papá, mamá, hija y abuelita, posan para una foto en 5 alineadas. Si la abuelita ocupa la silla control, ¿de cuántos maneras pueden distribuirse las personas para

(UNFV - 00)

número de placas diferentes será: A) 420 D) 32250

A R B E G L Á

25

5

EDITORIALINGENIO

07

Á L G E B R A

C) 9 E) 11

Al factorizar el siguiente polinomio x6 – 9x5 + 30x4 – 45x3 + 30x2 – 9x + 1 se obtiene: A) (x3 – 3x + 1)2 C) (x2 – 3x + 1)3 E) (x2 – 3x + 1)3

Factorice que la suma de los factores primos B) 7x + 3 y + 3

C) 5 E) 7

(UNALM - 00 - 2)

12x2 – 14x –10 y2 – 14xy – 20 y –10 e indi-

A) 7x – 3 y – 3 D) 7x – 3 y

B) 4

Al factorizar ( x4 + x2 + 1) la suma de sus factores primos es: A) x2 + 1 D) 2x – 2

5 C) 2x + 2 E) 2x + 4

A) 3 D) 6

(PUCP - 00 - 2)

(UNAC - 01 - 2)

1 B) 2x + 4

C) 200 E) 110

NIVEL III

Al factorizar ( x – 5)( x – 7)(x + 6)( x+ 4) – 504, la suma de términos independientes de sus factores lineales es: A) 6 B) 2 C) –2 D) 0 E) 1

A) 7 D) 10

entonces un factor primo del polinomio es: 1 A) 2x – 2 3 D) 2x + 2

Calcule el producto de los valores de x en la igualdad

C) – 5 x2 – x + 1 E) – 5 x2 + x – 1

forma (Ax ↓ B) ↓ (C ↑ D) donde A, B, C y D son números positivos con A > C y las echas repre sentan operaciones aritméticas, halle el valor de: (A ↓ B) ↓ (C ↓ D)

NIVEL II

B) 5a – 3

B) 100

(UNAC - 98 - 2)

(UNFV - 99)

A) a+3 D) 5a–1

04

Calcule:

A) 80 D) 300

12 ¿Si el polinomio 11x2 + 41x – 12 se factoriza en la

Al factorizar K = 15a2 – 29a + 12 uno de los factores es:

06

01

Halle el factor cuadrático primo de: 15a2x2 – 30a2x3 + 90a2x4 – 75a2x5 A) x2 + 5x + 1 B) 5 x2 – x – 1 D) 6x2 + 2x – 1

Halle la suma de los términos independientes de los factores primos de P( x) = x3 – 3x + 12. A) 0 D) 3

C) –3 E) 2

(UNALM - 11 - 2)

C) 3 E) 5

Luego de factorizar: B(x;y) = x2 + xy – 6 y2 + 7 x + 16 y + 6 indique la suma de sus factores primos A) x + 3 y + 1 D) 2x + y + 7

B) –2

(UNAC - 98 - 2)

10 03

06

NÚMERO COMBINATORIO

Calcule la suma de los términos independientes de sus factores lineales de:

A) 7 D) 6

C) 14 E) 26 05

B) 9

En una exposición del museo de Arte de París, se van a colocar en línea 3 cuadros de Picasso, 4 cuadros de Rembrant y 2 de VanGogh. ¿De cuántas maneras pueden ser ubicados los cuadros, de modo que los Rembrant se

C) 8 E) 10

encuentran juntos? (UNI 04 - 1)

En un club social de 10 miembros. De cuantas

A) 288 D) 17280

maneras se puede elegir una directiva compuesta por 4 miembros de dicho club?

B) 1788

C) 2880 E) 36288

(UNAC 02 - 2)

A) 210 D) 150

B) 320

REFORZANDO 06

Tarea 01

03

C) 500 E) 200

NIVEL III

Resolver

A) 4 D) 6

B) 5

C) 3 E) 2


B) 13·(13!)121

D) 13·(13!) 121 04

Determine el resultado

07

Si

C) 13·(13!)121 E) 13·(13!)121

(UNMSM - 03)

A) D)

12

Si = 6(n!), halle n/3

determine el valor de

De un grupo de 8 personas ¿cuántas comisiones de 3 personas se puede formar?

5

(UNAC - 04 - 2)

Determine el valor de

A) 13·(13!) 121

26

11

Halle la suma de los valores que toma x,

Si (2n + 1)(2n)! = 120, halle n

02

NIVEL II

REFORZANDO

B)

(UNAC - 06 - 2)

A) 3 D) 5

B) 4

C) 1 E) 2

C) E) 5

27

Á L G E B R A

EDITORIALINGENIO

EDITORIALINGENIO

Dadas las variaciones de x en 3

07

09

, halle el valor de x

V = {a; e; i; o; u} B = {1; 2; 3; 4; 5; 6} se desea elaborar placas para autos de la forma V1V2 b1 b2 b3 b4 donde V x ∈V, b3 ∈B de manera que no existían símbolos repetidos. Entonces al

(UNAC - 01 - 2)

A) 12 D) 3

B) 5

Sean los conjuntos:

C) 4 E) 9

REFORZANDO 01

B) 1321

NIVEL

I

08

A) 24 D) 54

C) 7200 E) 32400 02

B) 36

la foto? (UNMSM - 04 - 2)

C) 30 E) 60 (UNAC - 98 - 1)

09

De once hombres y cuatro mujeres se debe ele-

08

10

gir un comité formado por seis personas, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá hacer la elección, si el comité solo debe tener dos muje res? A) 50 D) 36

B) 60

04

B) 3

C) 5 E) 1

De

maneras

cuántos

diferentes

B) 5

podrán

disponerse en un estante 4 libros de RM y 3 libros de RV. Si las de igual materia siempre deben estar juntos? (UNAC - 92 - 2)

A) 5040 D) 188

C) 6 E) 8

A) 12 D) 24

B) 13

n–2 n–1 Si C nn–2 –5 + Cn–4 + Cn–3 = 84

10

halle n

(CEPRE UNI 04 - I)

C) 24 E) 40

C) 20 E) 24

B) 144

C) 72 E) 24

El valor de n que satisface la igualdad: 2(1!) + 4(2!) + 6(3!) + 8(4!) + 10(5!) ... + 50(25!) = 2(n!) – 2!

(UNAC 06 - I)

B) 4

Halle el valor de x que cumplen A) 4 D) 7

A R B E G L Á

A) 25 D) 120

Si [( n! + 2)! – 4]! = 20! calcule n. A) 4 D) 2

03

Una familia compuesta por papá, mamá, hija y abuelita, posan para una foto en 5 alineadas. Si la abuelita ocupa la silla control, ¿de cuántos maneras pueden distribuirse las personas para

Si ( x + 1)! – x! = 18 el valor de ( x + 1)! + x! es: (UNFV - 00)

número de placas diferentes será: A) 420 D) 32250

A) 7 D) 6

C) 14 E) 26 05

B) 9

En una exposición del museo de Arte de París, se van a colocar en línea 3 cuadros de Picasso, 4 cuadros de Rembrant y 2 de VanGogh. ¿De cuántas maneras pueden ser ubicados los cuadros, de modo que los Rembrant se

C) 8 E) 10

Á L G E B R A

encuentran juntos? (UNI 04 - 1)

En un club social de 10 miembros. De cuantas

A) 288 D) 17280

maneras se puede elegir una directiva compuesta por 4 miembros de dicho club?

B) 1788

C) 2880 E) 36288

(UNAC 02 - 2)

A) 210 D) 150

B) 320

REFORZANDO 06

Tarea 01

03

C) 500 E) 200

NIVEL II

Resolver

A) 4 D) 6

B) 5

C) 3 E) 2


04

Determine el resultado

07

Si

B) 13·(13!)121

C) 13·(13!)121 E) 13·(13!)121

12

= 6(n!), halle n/3 (UNAC - 06 - 2)

A) 3 D) 5

(UNMSM - 03)

A) D)

Si

determine el valor de

De un grupo de 8 personas ¿cuántas comisiones de 3 personas se puede formar?

26

B)

B) 4

5

5

en un vagón, 3 en el otro vagón y 4 en el vagón prestado?

B) 170

A) 1260 D) 6300

C) 330 E) 1080

Nueve personas abordan un tren que tiene 3

05

15

08

y

con a ∈ Z y de 〈0,5〉 es:

A) 37 D) 39

B) 38

x

un término central de la forma ax3 y15, halle el valor de ab

(UNAC - 08 - 2)

C) 5030 E) 7560

xa yb b Si en el desarrollo del binomio   b–5 +  tiene 

A) 14 D) 20

C) 35 E) 36

B) 12

C) 18 E) 28

Calcule el valor de n en [((((3!)!)!) 119!)4!)]5 = (6!)(m!)(719!)(n!)!

vagones cada pasajero escoge aleatoriamente el vagón. ¿De cuántas maneras dos pasajeros van

B) 3780

El término independiente del desarrollo del binomio

(CEPRE UNI - 06 - I)

(UNMSM 04 - I)

A) 45 D) 480

27

EDITORIAL INGENIO

De 6 números positivos y 5 números negativos se escogen 4 números al azar y se multiplican. Entonces el número de maneras en que el producto resultara positivo es:

14

C) 1 E) 2

C) E)

EDITORIAL INGENIO

13

NIVEL III

(UNAC - 04 - 2)

Halle la suma de los valores que toma x,

A) 13·(13!) 121 D) 13·(13!) 121

02

11

Determine el valor de

Si (2n + 1)(2n)! = 120, halle n

REFORZANDO

A) 1 D) 2

B) 3

C) 4 E) 5

CAPÍTULO

A R B E G L Á

07 01

06

BINOMIO DE NEWTON

Halle el término independiente del desarrollo

09

de

A) 16 D) 22

(CEPRE UNMSM - 08)

Determine el grado del décimo término del desarrollo de (2x + y3)14 A) 33 B) 32 C) 39 D) 42 E) 52

03

A) 165 D) 210

Si el cuarto término del desarrollo del binomio

B) 252

Calcule el lugar que ocupa el término independiente en el desarrollo de ( x2 + x–3)55 B) 15

Á L G E B R A

C) 23 E) 24

C) 145 E) 120

es Ax–8 donde A es una constante y n∈

Z+,

halle el coecie nte del décimo séptimo

termino. (CEPRE UNMSM - 07 - I )

A) 35 D) 28

B) 18

C) 16 E) 17

07

02

Halle el término central del desarrollo de x3 +

10

04

Halle los valores de n sabiendo que en el desarrollo de la expresión ( x + 3)n los términos de lugares 9 y 10 tienen coecientes iguales. (UNI - 93 - 2)

10 A) C10 5 x

D)

28

5 B) C10 5 x

15 C10 5x

10x5 C) C10 6 E) C10 5 x

5

A) 17 D) 13

B) 19

¿Cuál es el coeciente y el grado del noveno término del desarrollo de ( x3 + y5)12?

A) 495 y 52 D) 495 y 18

B) 490 y 15

C) 495 y 24 E) 495 y 6

10

¿Cuántos términos racionales tiene el desarrollo del siguiente polinomio?  1 + x 30  3 x  (CEPRE UNMSM - 08 - 2)

A) 3 D) 6

B) 5

C) 4 E) 7

C) 15 E) 11

5

29

EDITORIAL INGENIO

13

EDITORIAL INGENIO

en un vagón, 3 en el otro vagón y 4 en el vagón prestado?

De 6 números positivos y 5 números negativos se escogen 4 números al azar y se multiplican. Entonces el número de maneras en que el producto resultara positivo es:

A) 1260 D) 6300

14

B) 170

C) 330 E) 1080

Nueve personas abordan un tren que tiene 3

15

08

y

con a ∈ Z y de 〈0,5〉 es:

A) 37 D) 39

B) 38

x

un término central de la forma ax3 y15, halle el valor de ab

(UNAC - 08 - 2)

C) 5030 E) 7560

xa yb b Si en el desarrollo del binomio   b–5 +  tiene 

A) 14 D) 20

C) 35 E) 36

B) 12

C) 18 E) 28

Calcule el valor de n en [((((3!)!)!) 119!)4!)]5 = (6!)(m!)(719!)(n!)!

vagones cada pasajero escoge aleatoriamente el vagón. ¿De cuántas maneras dos pasajeros van

B) 3780

El término independiente del desarrollo del binomio


(UNMSM 04 - I)

A) 45 D) 480

05

A) 1 D) 2

B) 3

C) 4 E) 5

CAPÍTULO

A R B E G L Á

07 01

06

BINOMIO DE NEWTON

Halle el término independiente del desarrollo

09

de

A) 16 D) 22

(CEPRE UNMSM - 08)

Determine el grado del décimo término del desarrollo de (2x + y3)14 A) 33 B) 32 C) 39 D) 42 E) 52

03

A) 165 D) 210

Si el cuarto término del desarrollo del binomio

B) 252

Calcule el lugar que ocupa el término independiente en el desarrollo de ( x2 + x–3)55 B) 15

Á L G E B R A

C) 23 E) 24

C) 145 E) 120

es Ax–8 donde A es una constante y n∈

Z+,

halle el coecie nte del décimo séptimo

termino. (CEPRE UNMSM - 07 - I )

A) 35 D) 28

B) 18

C) 16 E) 17

07

02

Halle el término central del desarrollo de x3 +

10

04

Halle los valores de n sabiendo que en el desarrollo de la expresión ( x + 3)n los términos de lugares 9 y 10 tienen coecientes iguales. (UNI - 93 - 2)

10 A) C10 5 x

D)

28

5 B) C10 5 x

15 C10 5x

10x5 C) C10 6 E) C10 5 x

5

A) 17 D) 13

B) 19

¿Cuál es el coeciente y el grado del noveno término del desarrollo de ( x3 + y5)12?

A) 495 y 52 D) 495 y 18

B) 490 y 15

C) 495 y 24 E) 495 y 6

10

¿Cuántos términos racionales tiene el desarrollo del siguiente polinomio?  1 + x 30  3 x  (CEPRE UNMSM - 08 - 2)

A) 3 D) 6

B) 5

C) 4 E) 7

C) 15 E) 11

5

29

EDITORIAL INGENIO

03

EDITORIAL INGENIO

Reduzca

06

Calcule el equivalente de

09

Siendo i la unidad imaginaria calcule el valor de la expresión:

10

Simplique el siguiente número complejo:

M= A) 7 D) –9

A R B E G L Á

04

B) – 7

C) 9 E) – 8

Sabiendo que (1 +i)2 = 2i. Entonces el valor de la expresión: Y = (1 + i)48 – (1 + i)49 es:

A) –224i D) –1+i

B) 1 + i

16·(2 + 4i)4 4 + 2i + (8 – 4i)4 1 – 2i

A) 2i + 1 A) 0 D) i

B) 1

A) 1 D) – 3

C) – 1 E) –i

B) 3

C) 3 i E) – i

C) 228i E) 224i

B) –1

01

Reduzca

02

Siendo i la unidad imaginaria calcule el valor de

C) 2i E) 2i +

03

Halle la expresión

04

Efectué

Simplique

A) 0 D) i

1 2

D) 2i – 1

Tarea 07

B) 2i –

1 2

Á L G E B R A

C) 1 E) –i

1 + i + i2 + i3 + i4 + i5 + i6 + i7 + i8 + i9

05

Simplique:

08

Calcule el valor de

A) 0 D) 4

B) 1

C) i E) – 4

REFORZANDO

siendo i = A) 1 + i D) i

B) 1 – i

01

I

03

C) 2i E) –i

Simplique

A) 0 D) –1

02

Siendo i =

A) 1 D) 3i 5

NIVEL

Reduzca a su expresión mas simple:

A) 4i D) 10i

32

B) 5i

C) 9i E) 19i

, calcule el valor de la expresión:

B) 3

04

B) –0,5

C) 0,5 E) 0,75

Si i2 = –1, el valor de (1 + i)51 – (1 – i)51 es A) 225i D) –226i

B) –225i

C) 226i E)213i

C) 2 i E) –2i 5

33

EDITORIAL INGENIO

03

EDITORIAL INGENIO

Reduzca

06

Calcule el equivalente de

09

Siendo i la unidad imaginaria calcule el valor de la expresión:

10

Simplique el siguiente número complejo:

M= A) 7 D) –9

A R B E G L Á

04

B) – 7

C) 9 E) – 8

Sabiendo que (1 +i)2 = 2i. Entonces el valor de la expresión: Y = (1 + i)48 – (1 + i)49 es:

A) –224i D) –1+i

B) 1 + i

16·(2 + 4i)4 4 + 2i + (8 – 4i)4 1 – 2i

A) 2i + 1 A) 0 D) i

B) 1

A) 1 D) – 3

C) – 1 E) –i

B) 3

C) 3 i E) – i

C) 228i E) 224i

B) –1

01

Reduzca

02

Siendo i la unidad imaginaria calcule el valor de

C) 2i E) 2i +

03

Halle la expresión

04

Efectué

Simplique

A) 0 D) i

1 2

D) 2i – 1

Tarea 07

B) 2i –

1 2

Á L G E B R A

C) 1 E) –i

1 + i + i2 + i3 + i4 + i5 + i6 + i7 + i8 + i9

05

Simplique:

08

Calcule el valor de

A) 0 D) 4

B) 1

C) i E) – 4

REFORZANDO

siendo i = A) 1 + i D) i

B) 1 – i

01

I

03

Simplique

Reduzca a su expresión mas simple: A) 0 D) –1

02

Siendo i =

A) 1 D) 3i 5

NIVEL

C) 2i E) –i A) 4i D) 10i

32

B) 5i

C) 9i E) 19i

, calcule el valor de la expresión:

B) 3

04

B) –0,5

C) 0,5 E) 0,75

Si i2 = –1, el valor de (1 + i)51 – (1 – i)51 es A) 225i D) –226i

B) –225i

C) 226i E)213i

C) 2 i E) –2i 5

33

EDITORIAL INGENIO

EDITORIAL INGENIO

Determine el número de valores reales de a para los cuales E = ( a + 1)4 ∈R. Siendo i2 = – 1

13

15

La ecuación cuadrática

03

representa

(UNAC - 03 - I)

A) 4 D) 3 14

B) 1

C) 2 E) infinito

B)

C)

D)

A) 80 D) 40

B) Una hipérbola

(UNI - 07 - 1)

06

C) Una recta D) Dos puntos E) Un punto

B) 90

La ecuación tiene solución única:

Halle E = x – 2(n + m)

(UNMSM - 11 - 2)

A) Una circunferencia

Determine la suma de las raíces de la siguiente ecuación:16 (z2 – 2iz – 1) 2 = z4 A)

(UNI 12 - 1)

Un vendedor tiene cierto número de naranjas, vende la mitad de Juan y la tercera parte del resto a Pedro, si le queda aún 20, ¿cuántas naranjas tenía al inicio?

A) pq

C) 60 E) 50

B) p – q

D) 1

C) p + q E)

E) 04

Un padre tiene seis veces la edad de su hijo.

07

Dentro de 12 años su edad será el doble de la

A R B E G L Á

edad del hijo. Determine en años, la suma de las edades actuales.

B = {x ∈N/ x2 – 3x + 2 = 0} entonces A ∩ B es

(UNAC - 03 - 2)

A) 14 D) 21

CAPÍTULO

10 01

02 La solución de la ecuación en

A) ∅ D) {2}

(UNAC - 08 - 1)

B) 2,2

5

C) 3 E) –2

a2

A) D) a2 – b2

B) a + b

B) {∅}

C) {1} E) {–2}

x

(PUCP - 09 - 1)

38

(UNAC - 99 - 1)

C) 20 E) 36

ECUACIONES

Simplique y halle el valor de x

A) 1 D) –2,2

B) 19

Sean los conjuntos A = {x ∈N/ x2 – 4 = 0 ∧ x es primo}

C) b2 E) a – b

05

Dada la ecuación x2 + x + 1 = 0, ¿cuál de las siguientes enunciados sobre sus raíces es falso?

A) La suma de sus raíces es –1 B) El producto de las raíces es 1 C) Las raíces son distintas D) Las raíces no son imaginarias E) Una raíz es conjugada de la otra

08

Si – 2 es una raíz de la ecuación en x x2 + (n + 1)x + n = 0 Halle la otra raíz aumentada en n. A) –2 D) 2

B) 1

C) –1 E) 3

5

39

Á L G E B R A

EDITORIAL INGENIO

EDITORIAL INGENIO

Determine el número de valores reales de a para los cuales E = ( a + 1)4 ∈R. Siendo i2 = – 1

13

15

La ecuación cuadrática

03

representa

(UNAC - 03 - I)

A) 4 D) 3 14

B) 1

C) 2 E) infinito

B)

C)

D)

A) 80 D) 40

B) Una hipérbola

(UNI - 07 - 1)

06

C) Una recta D) Dos puntos E) Un punto

B) 90

La ecuación tiene solución única:

Halle E = x – 2(n + m)

(UNMSM - 11 - 2)

A) Una circunferencia

Determine la suma de las raíces de la siguiente ecuación:16 (z2 – 2iz – 1) 2 = z4 A)

(UNI 12 - 1)

Un vendedor tiene cierto número de naranjas, vende la mitad de Juan y la tercera parte del resto a Pedro, si le queda aún 20, ¿cuántas naranjas tenía al inicio?

A) pq

C) 60 E) 50

B) p – q

D) 1

C) p + q E)

E) 04

Un padre tiene seis veces la edad de su hijo.

07

Dentro de 12 años su edad será el doble de la

A R B E G L Á

edad del hijo. Determine en años, la suma de las edades actuales.

B = {x ∈N/ x2 – 3x + 2 = 0} entonces A ∩ B es

(UNAC - 03 - 2)

A) 14 D) 21

CAPÍTULO

10 01

02 La solución de la ecuación en

A) ∅ D) {2}

(UNAC - 08 - 1)

B) 2,2

5

C) 3 E) –2

a2

A) D) a2 – b2

B) a + b

B) {∅}

C) {1} E) {–2}

x

(PUCP - 09 - 1)

38

(UNAC - 99 - 1)

C) 20 E) 36

ECUACIONES

Simplique y halle el valor de x

A) 1 D) –2,2

B) 19

Sean los conjuntos A = {x ∈N/ x2 – 4 = 0 ∧ x es primo}

C) b2 E) a – b

05

Dada la ecuación x2 + x + 1 = 0, ¿cuál de las siguientes enunciados sobre sus raíces es falso?

A) La suma de sus raíces es –1 B) El producto de las raíces es 1 C) Las raíces son distintas D) Las raíces no son imaginarias E) Una raíz es conjugada de la otra

08

Si – 2 es una raíz de la ecuación en x x2 + (n + 1)x + n = 0 Halle la otra raíz aumentada en n. A) –2 D) 2

B) 1

C) –1 E) 3

5

39

Á L G E B R A

CAPÍTULO

11 01


Dada la ecuación x2 – 2x + 1 = 0. ¿Cuál de las si-

04

guientes enunciados sobre las raíces no es falso?

A) La suma de las raíces es –2 B) El producto de sus raíces es 1 C) Las raíces son distintas D) Las raíces no son imaginarias E) Una raíz es conjugada de la otra

A R B E G L Á

02

EDITORIALINGENIO

07

Los valores de k para que la ecuación 2x2 – kx – x + 8 = 0 tenga raíces iguales son:

09

Dada la ecuación con raíces complejas 3x2 + (m + 2)x + m = – 2 halle el máximo valor entero que puede tomar m

(UNAC - 98 - 1)

Halle la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación (2 k + 2)x2 + (4 – 4 k )x + k – 2 = 0 donde una raíz es el inverso multiplicativo de la otra.

A) 9; – 2 D) –3; 21

B) –9; 7

(UNMSM - 07 - 2)

C) –8; 8 E) 3; –21

A) 9 D) 5

B) 10

C) 8 E) 6

(UNMSM - 08 - 1)

A) 80/9 D) 82/9

Halle el producto de las raíces de la décima ecuación

05

B) 31/9

C) 61/9 E) 9/82

Si a y b son las raíces de la ecuación x2 – 6x + c = 0, entonces el valor de

x2 + x – 1 = 0

08

Una raíz del polinomio: P(x) = x2 + mx + 3 es 2–m

es igual a

10

Las raíces r1 y r2 del polinomio 5 x2 + bx + 20 son positivos y dieren en 3 unidades. Calcule r1 + r2 – b

. Halle el valor de

(CEPRE UNFV - 08 - 2)

(UNAC - 00 - 2)

x2 + 8x – 8 = 0

A) 3 D) 4

x2 + 27x – 27 = 0

B) 6

A) – 2 D) 4

C) –6 E) –3

B) 2

C) – 4 E) 0

A) 15 D) 30

B) 20

C) 25 E) 35

(UNMSM - 00)

A) 729 D) –719

03

B) 1000

C) –1000 E) 812

Si la suma de las raíces de la ecuación 3k 2x2 – 6kx – (k + 2) = 0; k ≠ 0 es igual al doble de su producto; halle k (PUC - 00 - 1)

A) 1 D) 2

B) 1/2

C) –1/2 E) – 2

06

Si las ecuaciones cuadráticas (5a – 2)x2 + (a + 1)x + 2 = 0 (ab – 1)x2 + 5x + 3 = 0 tienen las mismas raíces, halle a:

Tarea 01 (UNALM - 05 - 1)

A) 2/7 D) 7/3

B) –2/5 E) 1/2

C) 7/2

03

Si las raíces de la ecuación x2 + ax + b = 0 son 2 y – 4 halle ab.

04

Si las siguientes ecuaciones cuadráticas en va-

Halle la suma y el producto de las raíces de la ecuación x2 – 4x + 6 = 0

riable x 02

Siendo x1 y x2 las raíces de la ecuación x2 + 10x – 8 = 0

42

5

halle

x2 + ax + 15 = 0

3x2 + 2x + b = 0 son equivalentes, señale el valor de ab.

5

43

Á L G E B R A

CAPÍTULO

11

Dada la ecuación x2 – 2x + 1 = 0. ¿Cuál de las si-

01

04

guientes enunciados sobre las raíces no es falso?

A) La suma de las raíces es –2 B) El producto de sus raíces es 1 C) Las raíces son distintas D) Las raíces no son imaginarias E) Una raíz es conjugada de la otra

A R B E G L Á

07

Los valores de k para que la ecuación 2x2 – kx – x + 8 = 0 tenga raíces iguales son:

09

Dada la ecuación con raíces complejas 3x2 + (m + 2)x + m = – 2 halle el máximo valor entero que puede tomar m

(UNAC - 98 - 1)

Halle la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación (2 k + 2)x2 + (4 – 4 k )x + k – 2 = 0 donde una raíz es el inverso multiplicativo de la otra.

A) 9; – 2 D) –3; 21

B) –9; 7

(UNMSM - 07 - 2)

C) –8; 8 E) 3; –21

A) 9 D) 5

B) 10

C) 8 E) 6

(UNMSM - 08 - 1)

A) 80/9 D) 82/9

Halle el producto de las raíces de la décima ecuación

02

EDITORIALINGENIO


05

B) 31/9

C) 61/9 E) 9/82

Si a y b son las raíces de la ecuación x2 – 6x + c = 0, entonces el valor de

x2 + x – 1 = 0

08

Una raíz del polinomio: P(x) = x2 + mx + 3 es 2–m

es igual a

10

Las raíces r1 y r2 del polinomio 5 x2 + bx + 20 son positivos y dieren en 3 unidades. Calcule r1 + r2 – b

. Halle el valor de

(CEPRE UNFV - 08 - 2)

(UNAC - 00 - 2)

x2 + 8x – 8 = 0

A) 3 D) 4

x2 + 27x – 27 = 0

B) 6

A) – 2 D) 4

C) –6 E) –3

B) 2

C) – 4 E) 0

A) 15 D) 30

B) 20

C) 25 E) 35

Á L G E B R A

(UNMSM - 00)

A) 729 D) –719

B) 1000

C) –1000 E) 812

Si la suma de las raíces de la ecuación 3k 2x2 – 6kx – (k + 2) = 0; k ≠ 0 es igual al doble de su producto; halle k

03

06

(PUC - 00 - 1)

A) 1 D) 2

B) 1/2

C) –1/2 E) – 2

Si las ecuaciones cuadráticas (5a – 2)x2 + (a + 1)x + 2 = 0 (ab – 1)x2 + 5x + 3 = 0 tienen las mismas raíces, halle a:

Tarea 01 (UNALM - 05 - 1)

A) 2/7 D) 7/3

B) –2/5 E) 1/2

C) 7/2

03

Si las raíces de la ecuación x2 + ax + b = 0 son 2 y – 4 halle ab.

04

Si las siguientes ecuaciones cuadráticas en va-

Halle la suma y el producto de las raíces de la ecuación x2 – 4x + 6 = 0

riable x 02

Siendo x1 y x2 las raíces de la ecuación

x2 + ax + 15 = 0

x2 + 10x – 8 = 0

42

3x2 + 2x + b = 0

halle

son equivalentes, señale el valor de ab.

5

5

EDITORIAL INGENIO

EDITORIAL INGENIO

REFORZANDO

A) 4;1 D) –2;

B) 4;

1 2

C) 2;

1 2

A) 4 D) 1/2

07

A) 82/9 D) 16/9

1 2

E) 2; –

1 2

B) –3/2

C) – 1 E) –1/2

A) 10/3 D) 5/10

B) 3/10

08

Para que una de las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0 sea el triple de la otra, la relación entre los coecientes debe ser A) 16b2 = 3ac B) 16b2 = 3a C) 3b2 = 16c D) 3b2 = 16ac E) 3b2 = 16a

44

5

C) 8 E) – 10

Si las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0 son m y n, entonces ¿cuál es la ecuación cuyas raíces son (m + n) y mn? (UNFV - 03)

A)

¿Qué cantidad es necesaria aumentar a las raíces de la ecuación?

E) y2 – + 3 = 0 15

a2x2 + a(b – c)x – bc = 0

La condición para que las ecuaciones cuadráticas: x2 + bx + c = 0; x2 + b'x + c' = 0 tenga una raíz en común es: (UNI - 00 - 2)

A) (b – b')2 + (c – c') (bc' – b'c) = 0 B) (c – c')2 + b – b = 0 C) (b – b') (bc' – b'c) = 0 D) (c – c')2 + bc' – b'c = 0 E) (c – c')2 + (b – b') (bc' – b'c) = 0

C) a2x2 – a(b + c)x + bc = 0 D) a2x2 – a(b + c)x – bc = 0

Á L G E B R A

(UNI - 04 - 1)

A)

B)

C)

D)


E)

Sean x1 y x2 las raíces de la ecuación x2 – 2(m–1)x + 3 = 0. La suma de los valores que puede tomar m, para que se satisfaga la relación: 01

(UNMSM - 04 - 2)

NIVEL II

B) – 8

para que las cantidades resultantes sean iguales en magnitud pero de signos opuestos.

C) 1/4 E) – 4

(UNI - 08 - 1)

D) y2 – – 2 = 0 13

C) 12 E) 14

(PUCP 98 - 2)

06

A) 10 D) 7

Sea la ecuación 4 x2 – 2x + 3 = 0 cuyas raíces son a y b. Halle otra ecuación cuadrática que tenga por raíces (2 a – 1) y (2 b – 1) A) y2 – y + 1 = 0 B) y2 – y – 2 = 0 C) y2 + y + 3 = 0

(UNAC - 07 - 1)

C) 10 E) 27

B) –1

REFORZANDO

y P son la suma y el producto de las soluciones respectivamente, halle el valor de S + P

C) –21/9 E) –23/16

B) 11

14

E) ax2 + bx + c = 0

El producto de los valores de k , para que la ecuación 3x2 + 4k (x – 1) + 2 x = 0 tenga solución única es: A) 0 D) – 1/4

Si las ecuaciones 4 x2 + 8x + c = 0 ; a x2 + 2x – 8 = 0 con a > 0 tiene el mismo conjunto solución, y si S

B) a2x2 + a(b – c)x + bc = 0 09

10 05

12

(UNI - 06 - 2)

C) 10/7 E) 1/10

B) 2

B) –29/9

Una ecuación cuadrática tiene como raíces ∆ + 4 y ∆ – 2. Halle la suma de cifras del producto de estas raíces, siendo ∆ la discriminante de la ecuación. A) 10 D) 13

Señale el valor del parámetro n, de forma que el producto de las raíces de la ecuación: 3x2 + 41x + n = 0 sea 7 A) 1 D) 21

Halle la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación (k 2 + 3) x2 + ( k 3 + k + 1) x + 2 k + 2 = 0 donde una raíz es el inverso multiplicativo de la otra: (UNMSM - 08 - 1)

Determine el valor del parámetro P, si la suma de las raíces de la ecuación cuadrática (2 p – 1)x2 + 4x + p + 6 = 0 es 10.

03

04

I

Luego de resolver la ecuación 5 x2 = 3x + 2. Indique la suma de las inversas de las raíces de la siguiente ecuación.

02

A R B E G L Á

NIVEL

Calcule la suma y el producto de las raíces de la siguiente ecuación 2x2 – 4x + 1 = 0

01

43

A) –1/2 D) 2

B) 1/2

REFORZANDO 11

C) 5/2 E) 3/2

NIVEL III

La suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación x3 = x es A) 0 B)2 C) 4 D) 3 E) 1

02

CAPÍTULO

12

La ecuación x3 – 3 x2 + 4 x + 28 = 0 admite a – 2 como raíz. Las otras raíces satisfacen la ecuación. (UNAC - 04 - 2)

A) x2 – 6x + 14 = 0 B) x2 – x + 14 = 0 C) x2 – 5x + 14 = 0 D) x2 – 8x + 14 = 0 E) x2 – 4x + 14 = 0

x2 – (a + d)x + ad – bc =

Si las raíces de la ecuación 0 son x1 = 3, x2 = 5 y las raíces de y2 – (a3 + d3 + 3abc + 3bcd) y + (ad – bc)3 = 0 son y1, y2. Entonces el valor de y12 ·y2 + y1 y22 es: (UNI - 10 - 1)

A) 213000 D) 513000

B) 313000

C) 413000 E) 613000 5

45

EDITORIAL INGENIO

EDITORIAL INGENIO

REFORZANDO

A) 4;1 D) –2;

07

B) 4;

1 2

C) 2;

1 2

A) 82/9 D) 16/9

1 2

E) 2; –

1 2

A) 4 D) 1/2

B) –3/2

C) – 1 E) –1/2

08

A) 10/3 D) 5/10

B) 3/10

y P son la suma y el producto de las soluciones respectivamente, halle el valor de S + P A) 10 D) 7

NIVEL II

Para que una de las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0

¿Qué cantidad es necesaria aumentar a las raíces de la ecuación?

A)

B)

La condición para que las ecuaciones cuadráticas: x2 + bx + c = 0; x2 + b'x + c' = 0 tenga una raíz en común es: (UNI - 00 - 2)

A) (b – b')2 + (c – c') (bc' – b'c) = 0 B) (c – c')2 + b – b = 0 C) (b – b') (bc' – b'c) = 0 D) (c – c')2 + bc' – b'c = 0 E) (c – c')2 + (b – b') (bc' – b'c) = 0

C) a2x2 – a(b + c)x + bc = 0 D) a2x2 – a(b + c)x – bc = 0

Sean x1 y x2 las raíces de la ecuación x2 – 2(m–1)x + 3 = 0. La suma de los valores que puede tomar m, para que se satisfaga la relación: 01

A) –1/2 D) 2

B) 1/2

11

C) 5/2 E) 3/2

REFORZANDO

CAPÍTULO

12


E)

La suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación x3 = x es A) 0 B)2 C) 4 D) 3 E) 1

02

La ecuación x3 – 3 x2 + 4 x + 28 = 0 admite a – 2 como raíz. Las otras raíces satisfacen la ecuación. (UNAC - 04 - 2)

A) x2 – 6x + 14 = 0 B) x2 – x + 14 = 0 C) x2 – 5x + 14 = 0 D) x2 – 8x + 14 = 0 E) x2 – 4x + 14 = 0

NIVEL III

Si las raíces de la ecuación x2 – (a + d)x + ad – bc = 0 son x1 = 3, x2 = 5 y las raíces de y2 – (a3 + d3 + 3abc + 3bcd) y + (ad – bc)3 = 0 son y1, y2. Entonces el valor de y12 ·y2 + y1 y22 es: (UNI - 10 - 1)

A) 213000 D) 513000

B) 313000

C) 413000 E) 613000

5

5

EDITORIAL INGENIO

03

Á L G E B R A

C)

D)

sea el triple de la otra, la relación entre los coecientes debe ser A) 16b2 = 3ac B) 16b2 = 3a C) 3b2 = 16c D) 3b2 = 16ac E) 3b2 = 16a 44

15

(UNI - 04 - 1)

C) 1/4 E) – 4

E) y2 – + 3 = 0

A) a2x2 + a(b – c)x – bc = 0

(UNMSM - 04 - 2)

06

Si las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0 son m y n, entonces ¿cuál es la ecuación cuyas raíces son (m + n) y mn? (UNFV - 03)

C) 12 E) 14

(PUCP 98 - 2)

REFORZANDO

C) 8 E) – 10

D) y2 – – 2 = 0 13

C) 10 E) 27

B) –1

(UNI - 08 - 1)

para que las cantidades resultantes sean iguales en magnitud pero de signos opuestos.

El producto de los valores de k , para que la ecuación 3x2 + 4k (x – 1) + 2 x = 0 tenga solución única es: A) 0 D) – 1/4

B) – 8

Sea la ecuación 4 x2 – 2x + 3 = 0 cuyas raíces son a y b. Halle otra ecuación cuadrática que tenga por raíces (2 a – 1) y (2 b – 1) A) y2 – y + 1 = 0 B) y2 – y – 2 = 0 C) y2 + y + 3 = 0

(UNAC - 07 - 1)

C) –21/9 E) –23/16

B) 11

14

E) ax2 + bx + c = 0

10 05

Si las ecuaciones 4 x2 + 8x + c = 0 ; a x2 + 2x – 8 = 0 con a > 0 tiene el mismo conjunto solución, y si S

B) a2x2 + a(b – c)x + bc = 0 09

C) 10/7 E) 1/10

B) 2

12

(UNI - 06 - 2)

Señale el valor del parámetro n, de forma que el producto de las raíces de la ecuación: 3x2 + 41x + n = 0 sea 7 A) 1 D) 21

B) –29/9

Una ecuación cuadrática tiene como raíces ∆ + 4 y ∆ – 2. Halle la suma de cifras del producto de estas raíces, siendo ∆ la discriminante de la ecuación. A) 10 D) 13

Determine el valor del parámetro P, si la suma de las raíces de la ecuación cuadrática (2 p – 1)x2 + 4x + p + 6 = 0 es 10.

03

Halle la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación (k 2 + 3) x2 + ( k 3 + k + 1) x + 2 k + 2 = 0 donde una raíz es el inverso multiplicativo de la otra: (UNMSM - 08 - 1)

Luego de resolver la ecuación 5 x2 = 3x + 2. Indique la suma de las inversas de las raíces de la siguiente ecuación.

02

04

I

Calcule la suma y el producto de las raíces de la siguiente ecuación 2x2 – 4x + 1 = 0

01

A R B E G L Á

NIVEL

45

EDITORIAL INGENIO

Una de las raíces de la ecuación 2x3 – x2 – 2x + a = 0

06

es 1, a ∈R. Respecto a las otras dos raíces señale la proposición verdadera.

Si una de las raíces de la ecuación

09

x2 – 6x2 – x + 30 = 0 es 5

¿cuál es la suma de las otras raíces?

(UNAC - 03 - 1)

A) –5 D) 5

A) Ambas son irracionales. B) Ambas son racionales

B)

Si las cuatro raíces de la ecuación x4 – 30 x2 + (m + 1) 2 = 0 están en progresión aritmética halle la suma de los valores de m.

10

Si a, b y c son raíces de la ecuación x3 – px2 + qx – r = 0 donde r ≠ 0, halle el valor de

(UNMSM - 12 - 1)

C) 1 E) 4

A) – 2 D) 2

B) 10 E) 18

C) 8 A)

B)

C)

C) Una es racional la otra es irracional D)

D) Ambos no son reales

E)

E) Ambos son positivos

A R B E G L Á

04

La suma de las raíces de la ecuación x3 – 10 = 0 es A) – 1 D) 5

B) 2

07

C) 0 E) – 10

Si una raíz de la ecuación x3 – ax2 + ax – 1 = 0 es 2 + , halle el valor de a. A) 2 D) – 3

B) – 2

C) 3 E) 5

Tarea 01

02

03

Las raíces de la ecuación x4 – 13x2 + 36 = 0 son:

04

Si una de las raíces de la ecuación x3 – 7x2 + 17x – m = 0

Halle l a suma de las raíces de la ecuación x3 + 6x2 + 11x + 6 = 0

Calcule el producto de las raíces de la siguiente ecuación.

es

x3 + 2x2 – x – 2 = 0

05

La suma de las raíces de la ecuación: 2x3 – 9x – 3x2 = x (9 – 3 x2 – 4x) A) –0,2 E) –1,2

B) 0,8

C) 3,8 E) –2

08

La suma de las raíces de la ecuación x2 – 6x + 9 – 4

es: (UNAC - 09 - 1)

A) 13 D) 16

B) 14

REFORZANDO 01

NIVEL

I

03

Si dos de las raíces de la ecuación cúbica

Calcule el valor del parámetro n, de manera que la suma de las raíces de la ecuación x3 – nx2 – 9 = 0 sea 2 A) 4 D) –2

x3 + x – 2x2 + 1 = 0

C) 12 E) 18

, halle la raíz real.

B) 3

C) 2 E) –3

suman 2, señale la tercera raíz A) 2 D) –1 02

B) 3

C) –2 E) 0

04

Si –1 y –3 son dos raíces de la ecuación cúbica x3 + ax – b = 0 halle el valor de la ab.

A) 121 D) 115

Si a, b y c son las raíces de la ecuación

B) –150

C) –210 E) –156

2x3 – 7x + 4x2 + 5x + 8 = 0 05

halle el valor de A) 1/2 D) 3/4 46

5

B) – 1/2

C) 2 E) 7/2

Siendo –1 y 2 las raíces de la ecuación bicuadrada x4 + ax2 + b = 0. Halle el valor de a + b

A) 4 D) –1

B) 9

C) 1 E) 2

5

47

Á L G E B R A

EDITORIAL INGENIO

03

EDITORIAL INGENIO

Una de las raíces de la ecuación 2x3 – x2 – 2x + a = 0

06

es 1, a ∈R. Respecto a las otras dos raíces señale la proposición verdadera.

Si una de las raíces de la ecuación

09

x2 – 6x2 – x + 30 = 0 es 5

¿cuál es la suma de las otras raíces?

(UNAC - 03 - 1)

A) –5 D) 5

A) Ambas son irracionales. B) Ambas son racionales

B)

Si las cuatro raíces de la ecuación x4 – 30 x2 + (m + 1) 2 = 0 están en progresión aritmética halle la suma de los valores de m.

10

Si a, b y c son raíces de la ecuación x3 – px2 + qx – r = 0 donde r ≠ 0, halle el valor de

(UNMSM - 12 - 1)

C) 1 E) 4

A) – 2 D) 2

B) 10 E) 18

C) 8 A)

B)

C)

C) Una es racional la otra es irracional D)

D) Ambos no son reales

E)

E) Ambos son positivos

A R B E G L Á

04

La suma de las raíces de la ecuación x3 – 10 = 0 es A) – 1 D) 5

B) 2

07

C) 0 E) – 10

Si una raíz de la ecuación x3 – ax2 + ax – 1 = 0 es 2 + , halle el valor de a. A) 2 D) – 3

B) – 2

C) 3 E) 5

Tarea 01

02

03

Las raíces de la ecuación x4 – 13x2 + 36 = 0 son:

04

Si una de las raíces de la ecuación x3 – 7x2 + 17x – m = 0

Halle l a suma de las raíces de la ecuación x3 + 6x2 + 11x + 6 = 0

Calcule el producto de las raíces de la siguiente ecuación.

es

x3 + 2x2 – x – 2 = 0

05

La suma de las raíces de la ecuación: 2x3 – 9x – 3x2 = x (9 – 3 x2 – 4x) A) –0,2 E) –1,2

B) 0,8

C) 3,8 E) –2

08

La suma de las raíces de la ecuación x2 – 6x + 9 – 4

es: (UNAC - 09 - 1)

A) 13 D) 16

B) 14

REFORZANDO 01

NIVEL

I

03

Si dos de las raíces de la ecuación cúbica

Calcule el valor del parámetro n, de manera que la suma de las raíces de la ecuación x3 – nx2 – 9 = 0 sea 2 A) 4 D) –2

x3 + x – 2x2 + 1 = 0

C) 12 E) 18

, halle la raíz real.

B) 3

C) 2 E) –3

suman 2, señale la tercera raíz A) 2 D) –1 02

B) 3

C) –2 E) 0

04

Si –1 y –3 son dos raíces de la ecuación cúbica x3 + ax – b = 0 halle el valor de la ab.

A) 121 D) 115

Si a, b y c son las raíces de la ecuación

B) –150

C) –210 E) –156

2x3 – 7x + 4x2 + 5x + 8 = 0 05

halle el valor de A) 1/2 D) 3/4 46

5

B) – 1/2

C) 2 E) 7/2

Siendo –1 y 2 las raíces de la ecuación bicuadrada x4 + ax2 + b = 0. Halle el valor de a + b

A) 4 D) –1

B) 9

C) 1 E) 2

5

47

Á L G E B R A

CAPÍTULO

14 01

INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

9 La solución es 4x – 1 – 2 ≥ x + 3 es: x + 3

04

(UNAC - 98 - II)

A) 〈–∞; –3〉 ∪ [3; ∞〉 C) [–∞; –3] ∪ [8; ∞〉 E) [–1; –8] ∪ [3; ∞〉

02

A R B E G L Á

B) 〈–∞; –8〉 ∪ [3; ∞〉 D) 〈–∞; –3〉 ∪ [8; ∞〉

Resuelva la siguiente ecuación (x2 – x – 2)(1 – x) ≥ 0

03

A) [–5; 0] D) [0; 3]

52

B) 〈–5; 0〉

5

A) 2012 D) –2014

B) –2012

09

C) 2014 E) –2

¿Cuántos enteros verican la inecuación 6 + 5 < –2? x – 1 1 – x A) 0 D) 3

B) 1

C) 2 E) mas de tres

B) i – 〈3; 0〉 D) i – [3; 0]

Resolver la siguiente inecuación polinómica:

08

x4 – 4x3 + 4x2 – 4x + 3 > 0

Sea S el conjunto solución de la inecuación 2x – 1 ≤ 1, indique la alternativa correcta. x + 1

10

Calcule la longitud del conjunto solución de la inecuación 1 – x – 1 > 0 x+1 x

(UNAC 91 - I)

B) [– ∞; 2] ∪ [2; ∞] D) 〈–∞; 1] ∪ [2; ∞]

C) [–5; 3] E) [–3; ∞〉

1

– 1 > 1 su conjunto x + 1 x solución es 〈a; b〉 halle 2012a + 2014b. Si el resolver la inecuación

(UNALM - 06 - II)

05

Resuelve x(x + 5) 19(x – 13) ≥ 0 halle su intervalo de C.S.

07

(x + 1)2(x2 + 2)( x + 3)7 ≤ 0 x(x – 2)5

A) 〈–∞; 3] ∪ 〈0; 2〉 ∪ {–1} C) 〈–∞; 3〉 ∪ [0; 2] E) N.A.

(UNAC 97 - I)

A) 〈–∞; 1] ∪ [1; 2] C) [–∞; 1] ∪ [2; ∞] E) [–1; 1] ∪ [2; ∞〉

Resolver:

EDITORIALINGENIO

A) vale todo para x ∈R C) 〈–∞; 1] ∪ [3; ∞〉 E) N.A.

06

A) S = 〈–∞; 2] – {1} C) S = 〈–1; +∞〉 E) S = [1; 2]

B) 〈–∞; 3〉 D) 〈–∞; 1〉 ∪ [3; ∞〉

B) S = 〈–1; 1〉 D) S = 〈–1; 2]

A) 1 D) 3

B) 2

C) 1/2 E) 5/2

(x – 1)( x – 2) ≤ El conjunto solución de x 0 ( – 3)( x + 1) A) 〈–∞; –1〉 ∪ 〈–1; 2〉 C) 〈–1; 1] ∪ [2; 3 〉 E) 〈–1; 1〉 ∪ [2; 3〉

B) 〈–1; –1〉 ∪ [2; 3] D) R – [1; 2]

Tarea 01

2014(x – 3)( x + 2)( x – 5) > 0

02

Resuelva e indique el C.S. en cada caso 5(x + 1)3(x – 1)25 < 0

03

Resuelva –7x(x + 1)( x + 2)4(x – 4)(x – 3)51 ≤ 0 Halle su C.S.

04

( x2 + 1)( x – 2)4(3x – 1)61 x5 ≥ 0

5

53

Á L G E B R A

CAPÍTULO

14 01

INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

La solución es 4x – 1 – 2 ≥ x +9 3 es: x + 3

04

(UNAC - 98 - II)

A) 〈–∞; –3〉 ∪ [3; ∞〉 C) [–∞; –3] ∪ [8; ∞〉 E) [–1; –8] ∪ [3; ∞〉

02

A R B E G L Á

B) 〈–∞; –8〉 ∪ [3; ∞〉 D) 〈–∞; –3〉 ∪ [8; ∞〉

Resuelva la siguiente ecuación (x2 – x – 2)(1 – x) ≥ 0

03

A) [–5; 0] D) [0; 3]

52

B) 〈–5; 0〉

5

A) 2012 D) –2014

B) –2012

09

C) 2014 E) –2

¿Cuántos enteros verican la inecuación 6 + 5 < –2? x – 1 1 – x A) 0 D) 3

B) 1

C) 2 E) mas de tres

B) i – 〈3; 0〉 D) i – [3; 0]

Resolver la siguiente inecuación polinómica:

08

x4 – 4x3 + 4x2 – 4x + 3 > 0

Sea S el conjunto solución de la inecuación 2x – 1 ≤ 1, indique la alternativa correcta. x + 1

10

Calcule la longitud del conjunto solución de la inecuación 1 – x – 1 > 0 x+1 x

(UNAC 91 - I)

B) [– ∞; 2] ∪ [2; ∞] D) 〈–∞; 1] ∪ [2; ∞]

C) [–5; 3] E) [–3; ∞〉

1

– 1 > 1 su conjunto x + 1 x solución es 〈a; b〉 halle 2012a + 2014b. Si el resolver la inecuación

(UNALM - 06 - II)

05

Resuelve x(x + 5) 19(x – 13) ≥ 0 halle su intervalo de C.S.

07

(x + 1)2(x2 + 2)( x + 3)7 ≤ 0 x(x – 2)5

A) 〈–∞; 3] ∪ 〈0; 2〉 ∪ {–1} C) 〈–∞; 3〉 ∪ [0; 2] E) N.A.

(UNAC 97 - I)

A) 〈–∞; 1] ∪ [1; 2] C) [–∞; 1] ∪ [2; ∞] E) [–1; 1] ∪ [2; ∞〉

Resolver:

EDITORIALINGENIO

A) vale todo para x ∈R C) 〈–∞; 1] ∪ [3; ∞〉 E) N.A.

06

A) S = 〈–∞; 2] – {1} C) S = 〈–1; +∞〉 E) S = [1; 2]

B) 〈–∞; 3〉 D) 〈–∞; 1〉 ∪ [3; ∞〉

B) S = 〈–1; 1〉 D) S = 〈–1; 2]

A) 1 D) 3

B) 2

C) 1/2 E) 5/2

(x – 1)( x – 2) ≤ El conjunto solución de x 0 ( – 3)( x + 1) A) 〈–∞; –1〉 ∪ 〈–1; 2〉 C) 〈–1; 1] ∪ [2; 3 〉 E) 〈–1; 1〉 ∪ [2; 3〉

B) 〈–1; –1〉 ∪ [2; 3] D) R – [1; 2]

Tarea 01

2014(x – 3)( x + 2)( x – 5) > 0

02

Resuelva e indique el C.S. en cada caso 5(x + 1)3(x – 1)25 < 0

03

Resuelva –7x(x + 1)( x + 2)4(x – 4)(x – 3)51 ≤ 0 Halle su C.S.

04

( x2 + 1)( x – 2)4(3x – 1)61 x5 ≥ 0

5

53

Á L G E B R A

EDITORIAL INGENIO

03

EDITORIAL INGENIO

Sea la igualdad |x – a + b| = |x + a – b| ............... ( ∗) entonces la proposición verdadera es:

06

09

M = {x ∈Z/x2 – 6x + 2x –|x – 3| – 6 < 0} halle la cantidad de elementos del conjunto potencia de M.

(UNI - 89 - I )

A) (∗) si y solo si x = 0 ∨ a2 = b2 B) (∗) si y solo si x = a = b C) (∗) si y solo si x = 0 ∨ a = b D) (∗) si y solo si x = 0 ∨ a = b E) (∗) si y solo si x = a = –b

A R B E G L Á

Sea el conjunto

B) 16

10

A) 8 D) 3

C) 32 E) 64

B) 2

(UNAC - 13)

C) 0 E) 7

Tarea 04

Halle

07

|3x + 2| – | x – 1| = 2 x + 3

2 5

B) φ

D) 1 ; 1 2 4

03

C) 1 2

A) [1; + ∞〉

E) 1 4

D) – 3 2

B) – 3 ; +∞ 2

01

Si a > 0 b > 0 c > 0 entonces |2 abc| es:

2

Dada la ecuación 2 x + 1 – 7 x + 1 = –6 2 2 halle la suma de sus soluciones:

|

| |

|

(UNMSM - 10 - I)

A) –2 D) 3/4

B) –1

C) –3/4 E) –11/4

08

E) [1; + ∞〉 – 3 2

02

Halle los valores de x luego de resolver |x – 3| = 7

04

Halla el conjunto solución 1 + 1 < |x| – 12 |x| – 3 |x| – 4 x2 – 7|x|+ 12

01

(UNAM - 09 - I)

A) 〈–4; –2〉 ∪ 〈2; 4〉 C) 〈–4; –3〉 ∪ 〈3; 4〉 E) 〈–5; –3〉 ∪ 〈3; 5〉

B) 〈–4; –3〉 D) 〈3; 4〉

NIVEL

03

I

Si x ∈Z y |4x – 8| = | x – 2| halle 4 x + 3

B) VVVFF

C) FVFVF E) VFVFV

Determine la suma de raíces |4x – 2|= 22 A) 6 D) –1

B) –5

C) 1 E) 2

Determine el conjunto solución de la inecuación |5x – 1| ≤ 6

Si x ∈R y |5x – 2|=|3 x + 12|, halle 2x + 1 A) 5 D) 15

04

B) 6

C) 7 E) 17

Si | x – 5|≤ 20 –|15 – 3 x| calcule la suma de valores enteros que la verican

A) 36 D) 66

(UNALM - 06 - II)

02

5

Indicar Vo F I. |0|= 0 II. | 2 |= |– 2 | III. |7|≤|3|+|4| IV. |2x|≥ 4 ⇒ x = 2 V. |x – 2|≤ 5 ⇒ (x – 2) < 5 ∨ (x – 2) > –5 A) VVFFF D) VFVVV

56

C) R – [–1; 1] E) 〈–2; 2〉

Á L G E B R A

C) – 3 ∪[1; +∞〉 2

REFORZANDO 05

B) R – [0; 2]

Halle el conjunto solución de la ecuación

x ∈R/ ≤ x ≤ 5 ∩ {x ∈R/|x + 1|= 3x}

A) {φ}

Hallar el conjunto solución de (x2 – 4)2 > x2 – 4 A) R – [–2; 2] D) 〈–1; 4〉

(UNTECS - 12)

(UNTECS - 09 - II)

A) 8 D) 4

Si m y n son soluciones enteras de la inecuación |x – 6 +|x – 5|+|4 – x||≤ 3 – x y m < n, halle el valor de mn – 1.

05

B) 45

C) 55 E) 60

¿Cuál es el mayor número entero negativo que verica |3x – 1|≥|2x + 3|? A) –1 D) –4

B) –2

C) –3 E) –5

5

57

EDITORIAL INGENIO

EDITORIAL INGENIO

Sea la igualdad |x – a + b| = |x + a – b| ............... ( ∗) entonces la proposición verdadera es:

03

06

09

halle la cantidad de elementos del conjunto potencia de M.

(UNI - 89 - I )

A) (∗) si y solo si x = 0 ∨ a2 = b2 B) (∗) si y solo si x = a = b C) (∗) si y solo si x = 0 ∨ a = b D) (∗) si y solo si x = 0 ∨ a = b E) (∗) si y solo si x = a = –b

A R B E G L Á

Sea el conjunto M = {x ∈Z/x2 – 6x + 2x –|x – 3| – 6 < 0}

B) 16

10

A) 8 D) 3

C) 32 E) 64

B) 2

(UNAC - 13)

C) 0 E) 7

Tarea Halle

04

07

|3x + 2| – | x – 1| = 2 x + 3

2 5

B) φ

D) 1 ; 1 2 4

03

C) 1 2

A) [1; + ∞〉

E) 1 4

D) – 3 2

B) – 3 ; +∞ 2

01

Si a > 0 b > 0 c > 0 entonces |2 abc| es:

2 Dada la ecuación 2 x + 1 – 7 x + 1 = –6 2 2 halle la suma de sus soluciones:

|

| |

|

08

(UNMSM - 10 - I)

A) –2 D) 3/4

B) –1

E) [1; + ∞〉 – 3 2

02

Halle los valores de x luego de resolver |x – 3| = 7

04

Halla el conjunto solución 1 + 1 < |x| – 12 |x| – 3 |x| – 4 x2 – 7|x|+ 12

01

(UNAM - 09 - I)

C) –3/4 E) –11/4

A) 〈–4; –2〉 ∪ 〈2; 4〉 C) 〈–4; –3〉 ∪ 〈3; 4〉 E) 〈–5; –3〉 ∪ 〈3; 5〉

B) 〈–4; –3〉 D) 〈3; 4〉

NIVEL

03

I

Indicar Vo F I. |0|= 0 II. | 2 |= |– 2 | III. |7|≤|3|+|4| IV. |2x|≥ 4 ⇒ x = 2 V. |x – 2|≤ 5 ⇒ (x – 2) < 5 ∨ (x – 2) > –5

Si x ∈Z y |4x – 8| = | x – 2| halle 4 x + 3

02

B) VVVFF

C) FVFVF E) VFVFV

04

B) –5

Si x ∈R y |5x – 2|=|3 x + 12|, halle 2x + 1 B) 6

C) 7 E) 17

Si | x – 5|≤ 20 –|15 – 3 x| calcule la suma de valores enteros que la verican

A) 36 D) 66 05

Determine la suma de raíces |4x – 2|= 22 A) 6 D) –1

Determine el conjunto solución de la inecuación |5x – 1| ≤ 6

A) 5 D) 15

(UNALM - 06 - II)

A) VVFFF D) VFVVV

56

C) 55 E) 60

¿Cuál es el mayor número entero negativo que verica |3x – 1|≥|2x + 3|? A) –1 D) –4

C) 1 E) 2

B) 45

B) –2

C) –3 E) –5

5

5

REFORZANDO

NIVEL II

12

entonces su C.S. es:

07

C) R– E) Z–

(UNAC 05 - II)

A) 1 D) 4

La suma de las soluciones |7|x|+1|= 29, es:

13 (UNAC 98 - II)

A) 0 D) 2

C) –4 E) 8

B) 2

C) 3 E) 5

Sean las matrices

04

y

Sea A una matriz simétrica denida

calcule la suma de elementos de la matriz resultante al sumar 2A + 3B

A=

A) 60 D) 30

Determine el valor de xyz

B) 50

C) 20 E) 40


Sean x, y, z números reales tales que: |x|< 1, | y+1|< 2 y|z+2|< 3, W = – ( x + y + z).

A) 0 D) 3

B) 1

C) 2 E) 4

Indique la proposición verdadera: A) – 9 < w < 3 C) –3 < w < 9 E) –9 < w < 3

Halle el producto de las raíces de: x2 – 4x + 4 + |2 – x|= 10

08

A R B E G L Á

B) 4

01

III. –a ∈R son verdaderas:

(UNMSM 04 - I)

B) Z+

16

MATRICES Y DETERMINANTES

Si a < 0, b > 0 se arma I. |2ab| = 2ab II. |a, b|– |a, 0|= |0, b|

Resuelve la inecuación |5x – 4|≤|3x + 2|+ 2| x – 3|

A) R+ D) R

57

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

06

C) R – [–1; 1] E) 〈–2; 2〉

Á L G E B R A

C) – 3 ∪[1; +∞〉 2

REFORZANDO 05

B) R – [0; 2]

Halle el conjunto solución de la ecuación

x ∈R/ ≤ x ≤ 5 ∩ {x ∈R/|x + 1|= 3x}

A) {φ}

Hallar el conjunto solución de (x2 – 4)2 > x2 – 4 A) R – [–2; 2] D) 〈–1; 4〉

(UNTECS - 12)

(UNTECS - 09 - II)

A) 8 D) 4

Si m y n son soluciones enteras de la inecuación |x – 6 +|x – 5|+|4 – x||≤ 3 – x y m < n, halle el valor de mn – 1.

B) – 3 < w < 10 D) –9 < w < 9

(UNAC 06 - II)

A) –21 D) 50

B) 31

14

C) –41 E) 60

I.

10 09 Si x ∈R, tal que |x – 2|< 1 y Z = entonces: x2 + 1

02

a b = |a| |b|

Halle el menor valor de x si el determinante de la matriz M es 0.

II. 2|a|– 3|b|≥ – 5|b|

(UNAC 03 - I)

A) 1/2 < z < 4 B) 0 < z < 2 D) 1 < z < 5

Indicar cuál o cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas (a, b ∈R)

(UNTECS - 08 - II)

A) –1 D) 4

III. | a – b|≤|a + b|

C) 0 < z < 10 E) 0 < z < 4

05

B) – 4

Donde a, c, d ∈〈0; +∞〉 y b ∈〈–∞; 0〉 A) –4 B) –2 C) 2 D) 4 E) 6

IV. | a – b|≤ 2 |a + b|

Halle el menor de x que satisface las siguientes inecuaciones:

A) I D) II y IV

a. a ≤ x ≤ a + 20

B) II

=–4

halle

C) 2 E) 1

(UNMSM - 06 - I)

10

Si

Á L G E B R A

C) I y II E) IV

b. |x – a|2 – 7 |a – x| – 60 ≥ 0 (UNMSM - 06 - II)

A) a + 5 D) a + 6

B) a + 7

REFORZANDO 11

C) a + 12 E) a + 8

NIVEL III

Determine el conjunto solución de la inecuación |x – 2| – 3|x + 21|< 0 (UNI 05 - I)

A) 〈–∞; 32, 5 〉 ∪ 〈–15, 25; –∞〉 B) 〈–∞; 11, 5 〉 〈–4, 5; + ∞〉 C) 〈–115; – 4, 5 〉 D) 〈–32, 5; – 15, 25 〉 E) 〈–∞ ; –32, 5 〉 ∪ 〈–4, 5; + ∞〉 58

5

15

Determine el C.S.: x + 1 ≤ 6 – 2x A) [1; 5/3] C) 〈–∞; 3] E) [–1; 5/3]

B) [1; 5/3[ D) [–1; 3]

03

Considerando m ≠ 0 halle la suma de las soluciones de la ecuación

06

Considere la matriz A=

= 0; con a, b datos (UNI - 13 - I)

A) a – b D) 2a + b

B) b – a

C) a + b E) a + 2b

Determine el conjunto de valores de k para que A sea invertible (UNI - 11 - II)

A) k ∈R {/0} D) k = –4

B) k ∈R

C) k ∈R {/4} E) k = 0

5

59

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

REFORZANDO 06

NIVEL II

12

II. |a, b|– |a, 0|= |0, b|

Resuelve la inecuación |5x – 4|≤|3x + 2|+ 2| x – 3|

entonces su C.S. es:

07

B) Z+

C) R– E) Z–

(UNAC 05 - II)

A) 1 D) 4

La suma de las soluciones |7|x|+1|= 29, es:

13 (UNAC 98 - II)

A) 0 D) 2

C) –4 E) 8

B) 2

C) 3 E) 5

Sean las matrices

04

y

Sea A una matriz simétrica denida

calcule la suma de elementos de la matriz resultante al sumar 2A + 3B

A=

A) 60 D) 30

Determine el valor de xyz

B) 50

C) 20 E) 40


Sean x, y, z números reales tales que: |x|< 1, | y+1|< 2 y|z+2|< 3, W = – ( x + y + z).

A) 0 D) 3

B) 1

C) 2 E) 4

Indique la proposición verdadera: A) – 9 < w < 3 C) –3 < w < 9 E) –9 < w < 3

Halle el producto de las raíces de: x2 – 4x + 4 + |2 – x|= 10

08

A R B E G L Á

B) 4

01

III. –a ∈R son verdaderas:

(UNMSM 04 - I)

A) R+ D) R

16

MATRICES Y DETERMINANTES

Si a < 0, b > 0 se arma I. |2ab| = 2ab

B) – 3 < w < 10 D) –9 < w < 9

(UNAC 06 - II)

A) –21 D) 50 09

B) 31

14

C) –41 E) 60

Si x ∈R, tal que |x – 2|< 1 y Z =

10

I.

entonces:

x2 + 1

02

a b = |a| |b|

Halle el menor valor de x si el determinante de la matriz M es 0.

II. 2|a|– 3|b|≥ – 5|b|

(UNAC 03 - I)

A) 1/2 < z < 4 B) 0 < z < 2 D) 1 < z < 5

Indicar cuál o cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas (a, b ∈R)

(UNTECS - 08 - II)

A) –1 D) 4

III. | a – b|≤|a + b|

C) 0 < z < 10 E) 0 < z < 4

05

B) – 4

Donde a, c, d ∈〈0; +∞〉 y b ∈〈–∞; 0〉 A) –4 B) –2 C) 2 D) 4 E) 6

IV. | a – b|≤ 2 |a + b|

Halle el menor de x que satisface las siguientes inecuaciones:

A) I D) II y IV

a. a ≤ x ≤ a + 20

B) II

=–4

halle

C) 2 E) 1

(UNMSM - 06 - I)

10

Si

Á L G E B R A

C) I y II E) IV

b. |x – a|2 – 7 |a – x| – 60 ≥ 0 (UNMSM - 06 - II)

A) a + 5 D) a + 6

B) a + 7

REFORZANDO 11

C) a + 12 E) a + 8

NIVEL III

Determine el conjunto solución de la inecuación |x – 2| – 3|x + 21|< 0 (UNI 05 - I)

A) 〈–∞; 32, 5 〉 ∪ 〈–15, 25; –∞〉 B) 〈–∞; 11, 5 〉 〈–4, 5; + ∞〉 C) 〈–115; – 4, 5 〉 D) 〈–32, 5; – 15, 25 〉 E) 〈–∞ ; –32, 5 〉 ∪ 〈–4, 5; + ∞〉 58

5

15

Determine el C.S.: x + 1 ≤ 6 – 2x A) [1; 5/3] C) 〈–∞; 3] E) [–1; 5/3]

B) [1; 5/3[ D) [–1; 3]

03

Considerando m ≠ 0 halle la suma de las soluciones de la ecuación

06

Considere la matriz A=

= 0; con a, b datos (UNI - 13 - I)

A) a – b D) 2a + b

B) b – a

C) a + b E) a + 2b

Determine el conjunto de valores de k para que A sea invertible (UNI - 11 - II)

A) k ∈R {/0} D) k = –4

B) k ∈R

C) k ∈R {/4} E) k = 0

5

59

EDITORIAL INGENIO

A) 0 D) 16 Si

12

EDITORIAL INGENIO

B) 3

C) – 16 E) No existe

A) (a – b) (b – c) (c – a) C) (b – a)(b + c)(a – c) E) (a – b)(b – c)(a – c)

= 2, halle el valor de (UNI - 00 - I)

13

B) –1

C) 0 E) 2

Si A y B son matrices 3×3 y r ≠ 0 un número real, indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

14

B) VVF

8

06

Considere tres números enteros. Se sabe que la

suma de los dos primeros es 94; del primero y el tercero es 205 y de los dos últimos es 187. El mayor de estos números es:

9

+ x + y = 1

(UNFV - 08 - I)

Halle el valor de (2x – 6 y)5

I. Si A es la matriz de orden m×n, entonces A – At = 0.

A) 4 D) 32

A) 56 D) 156

(UNTEC 09 - II)

B) 6

B) 49

C) 38 E) 149

C) 8 E) 64

entonces A 2 =

III. Si 04

entonces a – b = 0

C) FVV E) FFF

A) VVV D) FVV

B) VVF

C) FFV E) FFF

La solución única del sistema 3x + 2 y = –19 –x + 3 y = –12 2x – y = m

07

se obtiene para m igual

El valor del determinante de F=

3 + x + y = 2

donde n es un número natural

(UNI - 08 - II)

A) VVV D) VFF

2

x–y

Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

II. Si A =

I. det(A·B) = det(A)det(B) II. det(A + B) = det(A) + det(B) III. det(rA) = rdet(A)

A R B E G L Á

03

x–y 15

A) –2 D) 1

B) ( a – b)(c – b)(a + c) D) ( a + b)(b – c)(a – c)

A) 0 D) –2

es:

B) 2

Si x0, y0 y z0 son tres números reales que satisfacen el sistema de ecuaciones. 2x + y + 3z = 5 3x + y + z = 0 x + 3 y + 2z = 6

(UNMSM - 12 - II)

halle el valor de x02 + y02 + z02

C) –1 E) 1

A) 4 D) 8

B) 2

C) 12 E) 6

(UNI - 04 - II)

CAPÍTULO

17

SISTEMA DE ECUACIONES I

05

Si xyz = 2(x + y) = 6 ( y + z) = 3 (x + z), 5 2 halle el valor de P =

01

Una bicicleta y un par de patines cuestan S/. 500 . Si 3 bicicletas cuestan tanto como 7 pares de

patines. ¿Cuántos pares de patines se pueden comprar con S/. 1200? (UNTECS - 12 - II)

A) 7 D) 8

B) 9

C) 10 E) 5

02

Si el par (x1; y1) es la única solución del sistema lineal. ax + by = –11 cx – dy = 1; d ≠ c a + b Halle el valor de: d – c

5

B) 4

C) 2 E) 2 2

Dado el sistema 2x = y + z = 2, x + 4 y + 2z = –1 ¿Cuál de las siguientes ecuaciones I. x – 5 y – z = 2, II. 3 x + 3 y + 3z = 2, III. 5 x + 2 y + 4z = 1, puede agregarse al sistema anterior de modo que el conjunto solución no varie? (UNI - 10 - I)

(UNMSM - 11 - I)

A) 12 D) –10

62

A) 4 2 D) 2

8xyz x + y + z

08

B) –11

C) 1 E) 11

A) Sólo I D) Sólo II

B) I y II

C) I y III E) Sólo III

5

63

Á L G E B R A

EDITORIAL INGENIO

A) 0 D) 16 Si

12

EDITORIAL INGENIO

B) 3

C) – 16 E) No existe

A) (a – b) (b – c) (c – a) C) (b – a)(b + c)(a – c) E) (a – b)(b – c)(a – c)

= 2, halle el valor de 15

13

B) –1

C) 0 E) 2

Si A y B son matrices 3×3 y r ≠ 0 un número real, indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

14

B) VVF

8

06

Considere tres números enteros. Se sabe que la

suma de los dos primeros es 94; del primero y el tercero es 205 y de los dos últimos es 187. El mayor de estos números es:

9

+ x + y = 1

(UNFV - 08 - I)

Halle el valor de (2x – 6 y)5

I. Si A es la matriz de orden m×n, entonces A – At = 0.

A) 4 D) 32

A) 56 D) 156

(UNTEC 09 - II)

B) 6

B) 49

C) 38 E) 149

C) 8 E) 64

entonces A 2 =

III. Si 04

entonces a – b = 0

C) FVV E) FFF

A) VVV D) FVV

B) VVF

C) FFV E) FFF

La solución única del sistema 3x + 2 y = –19 –x + 3 y = –12 2x – y = m

07

se obtiene para m igual

El valor del determinante de F=

3 + x + y = 2

donde n es un número natural

(UNI - 08 - II)

A) VVV D) VFF

2

x–y

Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

II. Si A =

I. det(A·B) = det(A)det(B) II. det(A + B) = det(A) + det(B) III. det(rA) = rdet(A)

A R B E G L Á

03

x–y (UNI - 00 - I)

A) –2 D) 1

B) ( a – b)(c – b)(a + c) D) ( a + b)(b – c)(a – c)

A) 0 D) –2

es:

B) 2

Si x0, y0 y z0 son tres números reales que satisfacen el sistema de ecuaciones. 2x + y + 3z = 5 3x + y + z = 0 x + 3 y + 2z = 6

(UNMSM - 12 - II)

halle el valor de x02 + y02 + z02

C) –1 E) 1

A) 4 D) 8

B) 2

C) 12 E) 6

(UNI - 04 - II)

CAPÍTULO

17

SISTEMA DE ECUACIONES I

05

Si xyz = 2(x + y) = 6 ( y + z) = 3 (x + z), 5 2 halle el valor de P =

01

Una bicicleta y un par de patines cuestan S/. 500 . Si 3 bicicletas cuestan tanto como 7 pares de

patines. ¿Cuántos pares de patines se pueden comprar con S/. 1200? (UNTECS - 12 - II)

A) 7 D) 8

B) 9

C) 10 E) 5

02

Si el par (x1; y1) es la única solución del sistema lineal. ax + by = –11 cx – dy = 1; d ≠ c a + b Halle el valor de: d – c

5

B) 4

C) 2 E) 2 2

Dado el sistema 2x = y + z = 2, x + 4 y + 2z = –1 ¿Cuál de las siguientes ecuaciones I. x – 5 y – z = 2, II. 3 x + 3 y + 3z = 2, III. 5 x + 2 y + 4z = 1, puede agregarse al sistema anterior de modo que el conjunto solución no varie? (UNI - 10 - I)

(UNMSM - 11 - I)

A) 12 D) –10

62

A) 4 2 D) 2

8xyz x + y + z

08

B) –11

C) 1 E) 11

A) Sólo I D) Sólo II

B) I y II

C) I y III E) Sólo III

5

63

Á L G E B R A

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

18 01

SISTEMA DE ECUACIONES II

Usa una gráca para resolver el sistema

02

B) – 3

A) 1

Relacione cada sistema con su respectivo gráfico

05

B) 2

C) –1

D) –2

A) 23 D) 18

La empresa Max "compra en línea" cobra S/. 1

08

B)

C)

igual en ambas compañías?

A) 10 kg C) más de 50 kg E) Nunca serán iguales

x

A) I-B; II-C; III-A C) I-A; II-B; III-C

03

incompatibles.

C) 55 E) 13

A) R – {2} D) R – 3 2

10

06

C) 3/2 E) 4

B) 20 kg D) Menos de 20 kg

A) 18 D) 7

B) 1

¿Qué valor debe tener "m" para que el sistema Á L G E B R A

y + mx = 2 x + y = 10 x + my = 3

tiene innitas soluciones, halle a + b

C) 2 E) 5

A) – 1 4 D) 1 2

B) I-B; II-A; III-C D) I-C; II-B; III-A

Determine el sistema de ecuaciones que

B) R – {4}

admita solución única?

(a > 0 y b > 0)

S/. 5 por tramitación. ¿Para qué peso el costo es y

3x + 6 y = a 2x + a y = 1 halle el valor de a para que el sistema sea

Si el sistema en x e y

compañia Vida cobra S/. 1 por kg de envió, mas

A)

B) 63

Dado el sistema con la variables x e y

E) 3

por kg de envio, más S/. 2 por tramitación. La

A R B E G L Á

09

n) y = 16 nx + 2 y = 1

grácamente son dos rectas distintas y paralelas, halle el valor de m.

C) 4 E) – 12

En el siguiente sistema de las variables x e y, es compatible indeterminado. Halle el menor valor de m + n.

(m2 – 17) x – (6 –

Si el sistema de ecuaciones

04

dar como respuesta x· y A) 1 D) 6

07

B) – 1 2

C) 3 4 E) 0

Considere a ≠ b ; b ≠ 0 si el siguiente sistema

corresponde al gráco

y

Tarea

03

x

Calcule el valor de

01

Resuelva el sistema grácamente es compatible indeterminado halle m + 3n.

(CEPRE UNI 11 - I)

A)

B)

C)

A) 2 D) 6

B) 3

C) 4 E) 8

02

Determine el sistema de ecuaciones que corresponde al gráco

D)

66

E)

5

Si el sistema adjunto de incógnita x e y

es compati ble indeterminada(innitas soluciones).

04

Calcule el valor del parámetro m sabiendo que el sistema

es incompatible.

5

67

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

18 01

SISTEMA DE ECUACIONES II

Usa una gráca para resolver el sistema

02

B) – 3

A) 1

Relacione cada sistema con su respectivo gráfico

05

B) 2

C) –1

D) –2

La empresa Max "compra en línea" cobra S/. 1

08

B)

C)

igual en ambas compañías?

A) 10 kg C) más de 50 kg E) Nunca serán iguales

x

A) I-B; II-C; III-A C) I-A; II-B; III-C

03

3x + 6 y = a 2x + a y = 1 incompatibles.

C) 55 E) 13

A) R – {2} D) R – 3 2

10

06

C) 3/2 E) 4

B) 20 kg D) Menos de 20 kg

A) 18 D) 7

B) 1

¿Qué valor debe tener "m" para que el sistema Á L G E B R A

y + mx = 2 x + y = 10 x + my = 3

tiene innitas soluciones, halle a + b

C) 2 E) 5

A) – 1 4 D) 1 2

B) I-B; II-A; III-C D) I-C; II-B; III-A

Determine el sistema de ecuaciones que

B) R – {4}

admita solución única?

(a > 0 y b > 0)

S/. 5 por tramitación. ¿Para qué peso el costo es y

B) 63

Dado el sistema con la variables x e y

halle el valor de a para que el sistema sea

Si el sistema en x e y

compañia Vida cobra S/. 1 por kg de envió, mas

A)

09

E) 3

por kg de envio, más S/. 2 por tramitación. La

A R B E G L Á

A) 23 D) 18

grácamente son dos rectas distintas y paralelas, halle el valor de m.

C) 4 E) – 12

En el siguiente sistema de las variables x e y, es compatible indeterminado. Halle el menor valor de m + n.

(m2 – 17) x – (6 – n) y = 16 nx + 2 y = 1

Si el sistema de ecuaciones

04

dar como respuesta x· y A) 1 D) 6

07

B) – 1 2

C) 3 4 E) 0

Considere a ≠ b ; b ≠ 0 si el siguiente sistema

corresponde al gráco

y

Tarea

03

x

Calcule el valor de

01

Resuelva el sistema grácamente es compatible indeterminado halle m + 3n.

(CEPRE UNI 11 - I)

A)

B)

C)

A) 2 D) 6

B) 3

C) 4 E) 8

02

Determine el sistema de ecuaciones que corresponde al gráco

D)

66

E)

5

Si el sistema adjunto de incógnita x e y

es compati ble indeterminada(innitas soluciones).

04

Calcule el valor del parámetro m sabiendo que el sistema

es incompatible.

5

67

EDITORIAL INGENIO

EDITORIAL INGENIO

Siendo el gráco de la inecuación y >|x + a|+ b, halle a + 2b.

14

15

y

Si en la gura adjunta se muestra la gráca aproximada de y ≥|||x – 3||–2|–1| entonces el valor de ( m + n + p) es

03

06

1

A)

x

B) –2

m

C) –1 E) 2

A) 3 D) 14

n

p

B) 4

B)

y

C)

y

x

x

SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES CON 2 INCÓGNITAS

20

Determine la región denida por las inecuaciones y + x < 3 x ≥ 0 y ≥ 0

01

A)

B)

y

C)

y

3

3

x

D) y

x

04

y

y

x

Halle el número desoluciones enteras y positivos del sistema

A) 2 D) 5

C)

B)

y

07

B) 3

Á L G E B R A

Indique el cardinal de A = {( x ;y) ∈Z×Z/ y ≤ x, x + y ≤ 2, 2 y ≥ x – 2} B) 6

C) 7 E) 9

C) 4 E) 6

y

3 x

E)

x

x

D)

y

x 05

E)

y

–3

–3

x

08

La región sombreada

Calcule el área (en u2) de la región cerrada denida por el siguiente sistema de inecuaciones

y

4

3 x

C) 9 E) 72

E) y

A) 5 D) 8

Esboce el gráco del sistema

A)

y

3

3

02

B) 8

x

x

CAPÍTULO

A) 3 D) 64

y

x

C) 12 E) 18 D)

A R B E G L Á

si x, y ∈N. Indique

la región que mejor representa el sistema ( *) es: 3

Resuelve el sistema

(*)

y

A) –3 D) 1

Considera el sistema de ecuaciones

lineales 3 4

x

x

–4

puede ser representada por el sistema:

74

5

0 ≤ |x|< 3 0 ≤ x < 3 A) y < –x + 4 B) y > –x + 4 y ≥ x + 4 y ≤ x – 4

–4 ≤ y < 4 C) 0 ≤ x < 3 y < –x

0 ≤ x < 3 D) y ≤ –x + 4 y ≤ x – 4

0 ≤ x < 3 E) y < x + 4 y ≥ x – 4

A) 18 D) 40

B) 27

C) 36 E) 48

5

75

EDITORIAL INGENIO

EDITORIAL INGENIO

Siendo el gráco de la inecuación y >|x + a|+ b, halle a + 2b.

14

15

y

Si en la gura adjunta se muestra la gráca aproximada de y ≥|||x – 3||–2|–1| entonces el valor de ( m + n + p) es

03

06

1

A)

x

B) –2

m

C) –1 E) 2

A) 3 D) 14

n

p

B) 4

B)

y

C)

y

x

x

SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES CON 2 INCÓGNITAS

20

Determine la región denida por las inecuaciones y + x < 3 x ≥ 0 y ≥ 0

01

A)

B)

y

C)

y

3 3

3

x

D) y

x

04

y

y

x

Halle el número desoluciones enteras y positivos del sistema

A) 2 D) 5

C)

B)

y

07

B) 3

Á L G E B R A

Indique el cardinal de A = {( x ;y) ∈Z×Z/ y ≤ x, x + y ≤ 2, 2 y ≥ x – 2} B) 6

C) 7 E) 9

C) 4 E) 6

y

3 x

E)

x

x

D)

y

x 05

E)

y

–3

–3

x

08

La región sombreada

Calcule el área (en u2) de la región cerrada denida por el siguiente sistema de inecuaciones

y

4

3 x

C) 9 E) 72

E) y

A) 5 D) 8

Esboce el gráco del sistema

A)

y

3

02

B) 8

x

x

CAPÍTULO

A) 3 D) 64

y

x

C) 12 E) 18 D)

A R B E G L Á

si x, y ∈N. Indique

la región que mejor representa el sistema ( *) es: 3

Resuelve el sistema

(*)

y

A) –3 D) 1

Considera el sistema de ecuaciones

lineales 3 4

x

x

–4

puede ser representada por el sistema:

74

5

0 ≤ |x|< 3 0 ≤ x < 3 A) y < –x + 4 B) y > –x + 4 y ≥ x + 4 y ≤ x – 4

–4 ≤ y < 4 C) 0 ≤ x < 3 y < –x

0 ≤ x < 3 D) y ≤ –x + 4 y ≤ x – 4

0 ≤ x < 3 E) y < x + 4 y ≥ x – 4

A) 18 D) 40

B) 27

C) 36 E) 48

5

75

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

Al resolver el sistema de ecuaciones de Z×Z:

09

13

01

A) VVV D) FFV

A) 3 D) 6

B) 4

C) 5 E) 7

(4; 0)

B) VFV

C) FVV E) FFF

Determine la región que cumple en el sistema |x – 1|+| y – 5|≤ 1 ∧ y ≥ 5 +|1 – x| A)

B)

y

C)

y

(6; 0)

A) 13 y 0 D) 15 y 3 1 2

x

(CEPRE UNI 06 - 1)

A) 1900 D) 1140

x

B) 1800

C) 1200 E) 1020

y

5

nos se disminuye en 7, el resultado es mayor que 29 y si el triple del número de alumnos se le dis-

A R B E G L Á

Minimizar la función f(x; y) = 6x + 8 y sujeto a las restricciones

(5; 3) 14

Se desea saber el mayor número de alumnos que hay en un aula. Si el doble del número de alum -

10

03

y

Halle el cardinal del conjunto A.

armaciones:

I. x2 + y2 = 40 II. y – x = 2 III. | x2 – y2| = 9

Halle los valores máximo y mínimo de la función objetivo f (x; y) = 2x + y de la región mostrada en la gura.

Determine el valor de verdad de las siguientes

21

PROGRAMACIÓN LINEAL

Si A = {(x; y) ∈Z×Z/sistema ( )} es el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones.

x

1

2

B) 13 y 8

C) 12 y 8 E) 20 y 18

x

Á L G E B R A

minuye en 5, el resultado es menor que el doble

del número aumentado en 16. A) 20 B) 21 C) 22 D) 18 E) 17 REFORZANDO

E)

y

y

6 5 x

NIVEL III

Calcule el área de la región cerrada por el sistema de inecuaciones

11

D)

15

1 2

3 2

x

En relación a la región S sombreada 02

y

Halle el máximo valor de Z(x; y) = 3x + 2 y, sujeto a las restricciones

(4;4)

dólares y el de cada carnero, de 15 dólares y sólo

S

cuenta con 400 dólares para cubrir dicho gasto.

(2;2)

A) 2 D) 8 12

B) 4 E) 10

Sean los conjuntos A = {(x ,y) ∈Z × Q/4 y < 3x – 10} B = {(x, y) ∈R × Q/x + 2 y + 12 < 0} C = {(x, y) ∈Q × Z/ y + 6 > 0} Halle n(A ∩ B ∩ C) A) 0 D) 10

78

B) 1

5

(CEPRE UNI 06 - 1)

C) 6

C) 2 E) 12

Saúl se dedica a la crianza de vacas y carneros. Él es ojo para atender mas de 30 animales en total, y sin embargo quiere obtener la máxima ganancia posible. El costo de criar cada vaca a 10

6 3

04

x

¿Cúales de las siguientes enunciados son correctos? I. El número de pares ordenados de S con coordenadas enteras es 10.

A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 5

Si desea ganar 15 dólares por cada vaca y 20 por cada carnero, ¿cuántos animales de cada especie deberá criar para obtener la máxima ganancia?

A) 400 D) 533

B) 420

C) 450 E) 550

II. El sistema sombreado corresponde a y ≤ 4 ∧ x ≤ 4 ∧ 2x + y ≤ 6 ∧ 3x + 5 y ≤ 15

III. La suma de los elementos de pares enteros es 64. A) Solo I D) I y II

B) Sólo II

C) Sólo III E) II y III

5

79

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

Al resolver el sistema de ecuaciones de Z×Z:

09

13

01

A) VVV D) FFV

A) 3 D) 6

B) 4

C) 5 E) 7

(4; 0)

B) VFV

C) FVV E) FFF

Determine la región que cumple en el sistema |x – 1|+| y – 5|≤ 1 ∧ y ≥ 5 +|1 – x| A)

B)

y

C)

y

1 2

A) 1900 D) 1140

x

B) 1800

C) 1200 E) 1020

y

A) 13 y 0 D) 15 y 3 x

(CEPRE UNI 06 - 1)

(6; 0)

5

nos se disminuye en 7, el resultado es mayor que 29 y si el triple del número de alumnos se le dis-

A R B E G L Á

Minimizar la función f(x; y) = 6x + 8 y sujeto a las restricciones

(5; 3) 14

Se desea saber el mayor número de alumnos que hay en un aula. Si el doble del número de alum -

10

03

y

Halle el cardinal del conjunto A.

armaciones:

I. x2 + y2 = 40 II. y – x = 2 III. | x2 – y2| = 9

Halle los valores máximo y mínimo de la función objetivo f (x; y) = 2x + y de la región mostrada en la gura.

Determine el valor de verdad de las siguientes

21

PROGRAMACIÓN LINEAL

Si A = {(x; y) ∈Z×Z/sistema ( )} es el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones.

x

1

B) 13 y 8

C) 12 y 8 E) 20 y 18

x

2

Á L G E B R A

minuye en 5, el resultado es menor que el doble

del número aumentado en 16. A) 20 B) 21 C) 22 D) 18 E) 17 REFORZANDO

E)

y

y

6 5 x

NIVEL III

Calcule el área de la región cerrada por el sistema de inecuaciones

11

D)

15

1 2

3 2

x

En relación a la región S sombreada 02

y

Halle el máximo valor de Z(x; y) = 3x + 2 y, sujeto a las restricciones

04

total, y sin embargo quiere obtener la máxima ganancia posible. El costo de criar cada vaca a 10

6 (4;4) 3

dólares y el de cada carnero, de 15 dólares y sólo

S

cuenta con 400 dólares para cubrir dicho gasto.

(2;2)

A) 2 D) 8 12

B) 4 E) 10

x

A = {(x ,y) ∈Z × Q/4 y < 3x – 10} B = {(x, y) ∈R × Q/x + 2 y + 12 < 0} C = {(x, y) ∈Q × Z/ y + 6 > 0}

II. El sistema sombreado corresponde a y ≤ 4 ∧ x ≤ 4 ∧ 2x + y ≤ 6 ∧ 3x + 5 y ≤ 15

Halle n(A ∩ B ∩ C)

III. La suma de los elementos de pares enteros es 64.

B) 1

78

A) 1 D) 4

¿Cúales de las siguientes enunciados son correctos? I. El número de pares ordenados de S con coordenadas enteras es 10.

Sean los conjuntos

A) 0 D) 10

Si desea ganar 15 dólares por cada vaca y 20 por cada carnero, ¿cuántos animales de cada especie

(CEPRE UNI 06 - 1)

C) 6

C) 2 E) 12

A) Solo I D) I y II

B) Sólo II

Saúl se dedica a la crianza de vacas y carneros. Él es ojo para atender mas de 30 animales en

B) 2

C) 3 E) 5

deberá criar para obtener la máxima ganancia?

A) 400 D) 533

B) 420


5

5

EDITORIAL INGENIO

05

08

B) 8 y 0

En una urbanización del distrito de Surco, se van

a construir casa de dos tipos, económicas y su pereconómicas, la empresa constructora dispone de $ 1800000, siendo el costo de cada tipo de casa $ 30 000 y $ 20 000 respectivamente. La munici-

Tarea 01

C) 9 y –15 E) 9 y 0

03

Halle los valores máximo y mínimo de la fun-

la venta económica es de $ 4000 y la de super económica $ 3000. ¿Cuántas casas supereconó-

micas deben construir para obtener el máximo benecio?

B) 30

C) 40

D) 60

(1;9) 4

A R B E G L Á

09

que debe confeccionar el sastre para maximizar los benecios; si un traje y un vestido se venden

Trigo

(CEPRE UNI 09 - I)

A) 10 y 40 D) 15 y 35

B) 18 y 32

Un granjero tiene 480 hectáreas en la que puede sembrar trigo o maíz. El calcula que tiene 800 ho ras de trabajo disponible durante la estación cru cial de verano. Dados los márgenes de utilidad y los requerimientos laborales que se adjunta .

Maíz

al mismo precio.

Utilidad:

$ 40 por hectárea

Trabajo:

2 horas por hectárea

Utilidad:

para maximizar su utilidad?¿Cuál es la utilidad máxima? B) 14 500

01

NIVEL

para llevar a los 1200 socios a ver la nal de su equipo. La empresa dispone de autobuses con capacidad de 50 pasajeros y de microbuses con

capacidad de 30 pasajeros. El precio del viaje

en cada autobús es de 252 dólares y el de viaje en microbuses de 180 dólares. Sabiendo que la

empresa dispone de 28 conductores. ¿Cuál es el costo máximo de viaje? (CEPRE UNI 09 - I)

A) 18000 D) 5536

B) 504

C) 7200 E) 6336

10

local para producir textos. La utilidad unitaria es de $ 2 para el texto 1 y de $ 3 para el texto 2. El texto 1 requiere 4 horas para su impresión y 6 horas para su encuadernación. El texto 2 requiere 5 horas para impresión y de 3 horas para su encuadernado. Se dispone de 200 horas para imprimir y de 210 horas para encuadernar. Determine (en $) la máxima utilidad que D) 140

A) 13; 9 D) 27; 9

5

03

Á L G E B R A

Dado el problema de programación lineal f(x ,y) = 3x – 6 y sujeto a las restricciones podemos armar que

A) La región admisible es una región exagonal. B) El máximo se obtiene en un único punto. C) La región admisible es una región triangular.

B) 24; 9

D) El valor óptimo (máximo) lo adopta en un segmento. E) No hay solución óptima.

C) 24; 11 E) 24; 13 04

02

Halle el mínimo valor de la función objetivo f(x; y) = 2x + 5 y sujeto a las restricciones siguientes:

En una farmacia se preparan dos clases de nutrientes P y Q mezclando dos productos A y B. Una lata de P contiene 8 kg de A y 2 kg de B. Una lata de Q contiene 10 kg de A y 5 kg de B. Cada lata de P se vende a S/. 300 y cada lata de Q a S/. 800. En la farmacia hay almacenados 80 kg de A y 25 kg de B. ¿Cuántas latas de cada tipo de nutrientes se deben de prepara para obtener el

E) 160 (CEPRE UNMSM - 11 - 1)

A) 117 D) 11

80

nueva planta?

x

(CEPRE UNI 09 - I)

C) 120

el máximo benecio que se pueda obtener en la

(6;2)

se puede obtener.

B) 110

por cada ingeniero mecánico S/. 200. ¿Cuál es

(3;5)

Una editorial planea utilizar un ambiente en su

A) 70

nicos, y el benecio electrónico es de S/. 250 y

y

(2;0) (5;0)

encarga a una empresa de transportes el viaje

ingenieros electrónicos y 20 ingenieros mecá-

da en la gura.

C) 17 600 E) 20 200

(0;2)

Un grupo de acionados de un equipo de fútbol

ros electrónicos, pero tampoco deben ser mayor que el doble de estos. Si solo hay disponibles 30

Halle los valores máximo y mínimo de la función objetivo C = 3 x + 2 y + 5 en la región mostra-

(0;4)

07

I

Una empresa decide abrir una nueva planta van a trabajar ingenieros electrónicos y mecánicos.

Es necesario que el número de ingenieros mecánicos no sea menor que el número de ingenie-

Maximinizar la función f( x; y) = 4x + 3 y sujeta a las restricciones. 30x + 20 y ≤ 1800 x + y ≤ 80 x ≥ 0 y ≥ 0

REFORZANDO


A) 12 560 D) 18 201

04

$ 30 por hectárea

Trabajo: 1 hora por hectárea ¿Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar

C) 10 y 36 E) 20 y 30

9

E) 70 02

Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de tela de algodón y 3 m2 de tela de lana y un vestido requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcular el número de trajes y vestidos en ese orden

ne solución óptima.

2

(CEPRE UNI 06 - I)

A) 20

f(x; y) = 3x – 4 y

(3;4)

Indique el valor de verdad de las siguientes propósiciones: I. Un problema de progración lineal puede tener innitas soluciones. II. Si se varia los coecientes de la función objetivo entonces cambia la región admisible. III. Todo problema de programación lineal tie -

ción objetivo:

palidad exige un número total de casas no debe ser superior a 80, sabiendo que el benecio para

(CEPRE UNI 07 - I)

06

79

EDITORIAL INGENIO

Los vértices de un polígono son (1; 2) , (3; 6) , (4; 3), (3; 0), (4; 1) determine el valor máximo y el mínimo de S = 3x – 4 y, en el conjunto de parejas ordenadas representado en el polígono "n" y su interior. A) 8 y – 5 D) 12 y – 8

C) 450 E) 550

B) 2

C) 10 E) 5

máximo ingreso? Indique el ingreso resultante. A) S/. 2500 D) S/. 4000

B) S/. 2550

C) S/. 2600 E) S/. 3850

5

81

EDITORIAL INGENIO

EDITORIAL INGENIO

Los vértices de un polígono son (1; 2) , (3; 6) , (4; 3), (3; 0), (4; 1) determine el valor máximo y el mínimo de S = 3x – 4 y, en el conjunto de parejas ordenadas representado en el polígono "n" y su interior.

05

08

B) 8 y 0

Tarea

a construir casa de dos tipos, económicas y su pereconómicas, la empresa constructora dispone de $ 1800000, siendo el costo de cada tipo de casa $ 30 000 y $ 20 000 respectivamente. La munici-

01

C) 9 y –15 E) 9 y 0

03

Halle los valores máximo y mínimo de la fun-

la venta económica es de $ 4000 y la de super económica $ 3000. ¿Cuántas casas supereconó-

micas deben construir para obtener el máximo benecio?

B) 30

C) 40

D) 60

(1;9) 4

Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de tela de algodón y 3 m2 de tela de lana y un vestido requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcular el número de trajes y vestidos en ese orden

A R B E G L Á

09

que debe confeccionar el sastre para maximizar los benecios; si un traje y un vestido se venden

Trigo

(CEPRE UNI 09 - I)

A) 10 y 40 D) 15 y 35

B) 18 y 32

Un granjero tiene 480 hectáreas en la que puede sembrar trigo o maíz. El calcula que tiene 800 ho ras de trabajo disponible durante la estación cru cial de verano. Dados los márgenes de utilidad y los requerimientos laborales que se adjunta .

Maíz

al mismo precio.

Utilidad:

$ 40 por hectárea

Trabajo:

2 horas por hectárea

Utilidad:

01


B) 14 500

NIVEL

10

capacidad de 30 pasajeros. El precio del viaje

en cada autobús es de 252 dólares y el de viaje en microbuses de 180 dólares. Sabiendo que la

empresa dispone de 28 conductores. ¿Cuál es el costo máximo de viaje? B) 504

Una editorial planea utilizar un ambiente en su

A) 13; 9 D) 27; 9

nueva planta?

03

x

A) 70

B) 110

C) 120

D) 140

Dado el problema de programación lineal f(x ,y) = 3x – 6 y sujeto a las restricciones podemos armar que

B) 24; 9

D) El valor óptimo (máximo) lo adopta en un segmento. E) No hay solución óptima.

C) 24; 11 E) 24; 13

Halle el mínimo valor de la función objetivo f(x; y) = 2x + 5 y sujeto a las restricciones siguientes:

(CEPRE UNI 09 - I)

C) 7200 E) 6336

Á L G E B R A

A) La región admisible es una región exagonal. B) El máximo se obtiene en un único punto. C) La región admisible es una región triangular.

(6;2)

04 02

En una farmacia se preparan dos clases de nutrientes P y Q mezclando dos productos A y B. Una lata de P contiene 8 kg de A y 2 kg de B. Una lata de Q contiene 10 kg de A y 5 kg de B. Cada lata de P se vende a S/. 300 y cada lata de Q a S/. 800. En la farmacia hay almacenados 80 kg de A y 25 kg de B. ¿Cuántas latas de cada tipo de nutrientes se deben de prepara para obtener el

E) 160

máximo ingreso? Indique el ingreso resultante.

(CEPRE UNMSM - 11 - 1)

A) 117 D) 11

80

el máximo benecio que se pueda obtener en la

se puede obtener.

(CEPRE UNI 09 - I)

A) 18000 D) 5536

por cada ingeniero mecánico S/. 200. ¿Cuál es

(3;5)

local para producir textos. La utilidad unitaria es de $ 2 para el texto 1 y de $ 3 para el texto 2. El texto 1 requiere 4 horas para su impresión y 6 horas para su encuadernación. El texto 2 requiere 5 horas para impresión y de 3 horas para su encuadernado. Se dispone de 200 horas para imprimir y de 210 horas para encuadernar. Determine (en $) la máxima utilidad que

para llevar a los 1200 socios a ver la nal de su equipo. La empresa dispone de autobuses con capacidad de 50 pasajeros y de microbuses con

nicos, y el benecio electrónico es de S/. 250 y

y

(2;0) (5;0)

encarga a una empresa de transportes el viaje

ingenieros electrónicos y 20 ingenieros mecá-

da en la gura.

C) 17 600 E) 20 200

(0;2)

Un grupo de acionados de un equipo de fútbol

ros electrónicos, pero tampoco deben ser mayor que el doble de estos. Si solo hay disponibles 30

Halle los valores máximo y mínimo de la función objetivo C = 3 x + 2 y + 5 en la región mostra-

(0;4)

07

I

Una empresa decide abrir una nueva planta van a trabajar ingenieros electrónicos y mecánicos.

Es necesario que el número de ingenieros mecánicos no sea menor que el número de ingenie-

Maximinizar la función f( x; y) = 4x + 3 y sujeta a las restricciones. 30x + 20 y ≤ 1800 x + y ≤ 80 x ≥ 0 y ≥ 0

REFORZANDO

para maximizar su utilidad?¿Cuál es la utilidad máxima? A) 12 560 D) 18 201

04

$ 30 por hectárea

Trabajo: 1 hora por hectárea ¿Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar

C) 10 y 36 E) 20 y 30

9

E) 70 02

06

ne solución óptima.

2

(CEPRE UNI 06 - I)

A) 20

f(x; y) = 3x – 4 y

(3;4)

Indique el valor de verdad de las siguientes propósiciones: I. Un problema de progración lineal puede tener innitas soluciones. II. Si se varia los coecientes de la función objetivo entonces cambia la región admisible. III. Todo problema de programación lineal tie -

ción objetivo:

palidad exige un número total de casas no debe ser superior a 80, sabiendo que el benecio para

(CEPRE UNI 07 - I)

A) 8 y – 5 D) 12 y – 8

En una urbanización del distrito de Surco, se van

B) 2

A) S/. 2500 D) S/. 4000

C) 10 E) 5

B) S/. 2550

5

5

EDITORIAL INGENIO

05

minar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

Dado el problema de programación lineal max Z = 30 x1 + 20x2

¿Cuántas unidades de M y N (en ese orden) de-

I. Los puntos (2;2) y (4;1) pertenecen a la re-

tal?

A) 10 y 20 D) 20 y 2

tro lados. III. El valor óptimo es 5.

La región factible es poligonal y acotada

B) VVV

12

C) VFV E) FFF

III. El valor óptimo es 2300. Son correctas A) Sólo I B) Sólo II D) II y III

C) Sólo III E) Todas

A) 150 y 40 D) 141 y 71

para ropa. Basado en ciertos análisis la gerencia

C) 13 y 18 E) 12 y 19

a especicado, que la producción combinada para los productos A y B deben ser en total al

menos 350 galones y al menos 125 galones para el producto A, el cual requiere dos horas de procesamiento por galón y el producto B una hora menos. Para el siguiente mes se dispone de 600

NIVEL II

B) 131 y 10

C) 125 y 0 E) 161 y 135

máximo de 100 h de armado y 40 h de pintado por día. ¿cuántas bicicletas y triciclos se debe ha cer para maximizar la ganancia? De como respuesta. A) 20 D) 35

II. El óptimo es el punto (60;20)

10

Dadas las siguientes proposiciones respecto a la programación lineal: I. Las restricciones de desigualdad son polinomios de primer y segundo grado. II. El punto óptimo se encuentra en la región

B) 25

blema P.

III. Una solución admisible es el punto (40;40)

P: minimizar F(x, y) ∈S ⊂ R2

A) VVV D) VVF

Si el lado CD de la región admisible S que se indique es solución del problema P.

Un colegio prepara un paseo considerando por lo menos 400 estudiantes. El colegio contrata los servicios de una empresa de transportes que

Determine a + b de modo que el valor óptimo de F entre 20 y 25.

S

alquiler de un bus grande es de 80 dólares y el pequeño de 60 dólares. Determine cuantos buses

de cada tipo hay que utilizar para que el paseo resulte lo más económico pos ible. A) 3 grandes, 5 chicos C) 5 grandes, 4 chicos E) 4 grandes, 5 chicos

B) 4 grandes, 4 chicos D) 9 grandes, 0 chicos

B) $ 650

C) $ 700 E) $ 800

Considere el problema a minimizar Z = 30x1 + 20x2

x1 ≤ 60; x2 ≤ 75 10x1 + 8x2 ≤ 800 x1 ≥ 100 x2 ≥ 0 Dadas las siguientes proposiciones referidas al problema. I.

x2

asientos pero dispone solo de 9 conductores. El

cuales tiene en alguna de sus coordenadas valor negativo. Es (son) correctas (S):

15

Se F( x1,x2) = ax1 + bx2 la función objetiva del pro-

tiene 8 buses con 40 asientos y 10 buses con 50

admisible. III. La región admisible contiene puntos, los

C) 30 E) 40

A) $ 600 D) $ 750

sujeto a las siguientes restriccioanes: 13

C) VFV E) VFF

de M & D es satisfacer estos requerimientos con un costo total de producción mínimo. Los costos de producción son $ 2 por galón para el producto A y $ 3 por galón para el producto B. Determine el costo mínimo mencionado.

de S/. 70 por triciclo y S/. 40 por bicicleta, pero los empleados de la fábrica solo pueden dar un

No existe región admisible.

B) FFV

horas de tiempo de procesamiento. El objetivo

de armado y 1 hora de pintura. La ganancia es

Indique la secuencia correcta después de determinar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I.

Un a fábrica produce bicicletas y triciclos. El proceso de producción posee dos partes: armado y pintura, un triciclo requiere 2 horas de armado y 2 de pintura, y una bicicleta requiere 3 horas

En relación al siguiente problema maximizar: Z = x1 + 1,5x2 sujeto a: 2x1 + 2x2 ≤ 160 x1 + 2x2 ≤ 120 4x1 + 2x2 ≤ 280 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Determine los valores máximos y mínimos de la función objetivo f(x ,y) = 140 – x + 3 y sujeto a las restricciones

06

07

09

M & D Chemicals produce dos productos que se venden como materias primas a compañias que fabrican jabones para baño y detergentes

B) 0 y 15

(UNI - 08 - I)

A) VVF D) FVV

II. Una solución factible es (2 ; 25)

REFORZANDO

14

berán producirse para maximizar la utilidad to-

gión admisible. II. La región admisible es un polígono de cua-

S.a 10x1 + 8x2 ≤ 800 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 y las proposiciones I.

81

EDITORIAL INGENIO

x1 ≤ 60 x2 ≤ 75

A R B E G L Á

C) S/. 2600 E) S/. 3850


II. El óptimo se da en el punto (60, 0)

D = (2;5) C = (4;3)

III. Una solución factible es el punto (0, 75)

son correctas: (UNI 07 - I)

y1 (UNI - 06 - I)

A) 2 D) 8

B) 4

C) 6 E) 10

A) Sólo I D) I y II

B) Sólo II


(UNI - 06 - II)

A) Sólo I D) I y II 08

B) Sólo III

C) Sólo II E) II y III

Al maximizar: x + y; x, y ∈R. Sujeto a las siguientes condiciones: 2x + 3 y ≥ 6 2x + y ≤ 6 y ≤ 4 x ≥ 0 y ≥ 0 Indique la alternativa correcta después de deter-

82

5

REFORZANDO 11

NIVEL III

Una campaña produce dos productos M y N. Los datos necesarios para la producción se presenta en el siguiente cuadro. Producto

Horas Máquina 1

Horas Máquina 2

Utilidad por unidad

M

2

5

S/. 70

N

4 100

3 110

S/. 50

Disponibilidad

5

83

Á L G E B R A

EDITORIAL INGENIO

05

EDITORIAL INGENIO

minar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

Dado el problema de programación lineal max Z = 30 x1 + 20x2 x2 ≤ 75

tal?

A) 10 y 20 D) 20 y 2

tro lados. III. El valor óptimo es 5.

S.a 10x1 + 8x2 ≤ 800 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 y las proposiciones La región factible es poligonal y acotada

B) VVV

12

C) VFV E) FFF

III. El valor óptimo es 2300. Son correctas A) Sólo I B) Sólo II D) II y III

REFORZANDO


A) 150 y 40 D) 141 y 71

para ropa. Basado en ciertos análisis la gerencia

C) 13 y 18 E) 12 y 19

a especicado, que la producción combinada para los productos A y B deben ser en total al

menos 350 galones y al menos 125 galones para el producto A, el cual requiere dos horas de procesamiento por galón y el producto B una hora menos. Para el siguiente mes se dispone de 600

NIVEL II

B) 131 y 10

C) 125 y 0 E) 161 y 135

máximo de 100 h de armado y 40 h de pintado por día. ¿cuántas bicicletas y triciclos se debe ha cer para maximizar la ganancia? De como respuesta. A) 20 D) 35

Dadas las siguientes proposiciones respecto a la programación lineal: I. Las restricciones de desigualdad son polinomios de primer y segundo grado. II. El punto óptimo se encuentra en la región

B) 25

minimizar F(x, y) ∈S ⊂ R2

P:

A) VVV D) VVF

Si el lado CD de la región admisible S que se indique es solución del problema P.

C) VFV E) VFF

Determine a + b de modo que el valor óptimo de F entre 20 y 25.

Un colegio prepara un paseo considerando por lo menos 400 estudiantes. El colegio contrata los servicios de una empresa de transportes que

C) $ 700 E) $ 800

Considere el problema a minimizar Z = 30x1 + 20x2

S


II. El óptimo se da en el punto (60, 0)

D = (2;5) C = (4;3)

III. Una solución factible es el punto (0, 75)

son correctas: (UNI 07 - I)

y1

de cada tipo hay que utilizar para que el paseo resulte lo más económico pos ible.


(UNI - 06 - I)

A) 2 D) 8

B) 4 grandes, 4 chicos D) 9 grandes, 0 chicos

B) 4

Á L G E B R A

problema. I.

x2

alquiler de un bus grande es de 80 dólares y el pequeño de 60 dólares. Determine cuantos buses

A) 3 grandes, 5 chicos C) 5 grandes, 4 chicos E) 4 grandes, 5 chicos

B) $ 650

x1 ≤ 60; x2 ≤ 75 10x1 + 8x2 ≤ 800 x1 ≥ 100 x2 ≥ 0 Dadas las siguientes proposiciones referidas al

blema P.

III. Una solución admisible es el punto (40;40)

asientos pero dispone solo de 9 conductores. El

cuales tiene en alguna de sus coordenadas valor negativo. Es (son) correctas (S):

15

Se F( x1,x2) = ax1 + bx2 la función objetiva del pro-

tiene 8 buses con 40 asientos y 10 buses con 50

admisible. III. La región admisible contiene puntos, los

C) 30 E) 40

A) $ 600 D) $ 750

sujeto a las siguientes restriccioanes: 13

II. El óptimo es el punto (60;20)

10

de M & D es satisfacer estos requerimientos con un costo total de producción mínimo. Los costos de producción son $ 2 por galón para el producto A y $ 3 por galón para el producto B. Determine el costo mínimo mencionado.

de S/. 70 por triciclo y S/. 40 por bicicleta, pero los empleados de la fábrica solo pueden dar un


B) FFV

horas de tiempo de procesamiento. El objetivo

de armado y 1 hora de pintura. La ganancia es

Indique la secuencia correcta después de determinar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I.

Un a fábrica produce bicicletas y triciclos. El proceso de producción posee dos partes: armado y pintura, un triciclo requiere 2 horas de armado y 2 de pintura, y una bicicleta requiere 3 horas

En relación al siguiente problema maximizar: Z = x1 + 1,5x2 sujeto a: 2x1 + 2x2 ≤ 160 x1 + 2x2 ≤ 120 4x1 + 2x2 ≤ 280 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Determine los valores máximos y mínimos de la función objetivo f(x ,y) = 140 – x + 3 y sujeto a las restricciones

06

07

09

M & D Chemicals produce dos productos que se venden como materias primas a compañias que fabrican jabones para baño y detergentes

B) 0 y 15

(UNI - 08 - I)

A) VVF D) FVV

II. Una solución factible es (2 ; 25)

A R B E G L Á

14

berán producirse para maximizar la utilidad to-

gión admisible. II. La región admisible es un polígono de cua-

x1 ≤ 60

I.

¿Cuántas unidades de M y N (en ese orden) de-

I. Los puntos (2;2) y (4;1) pertenecen a la re-

C) 6 E) 10

B) Sólo II


(UNI - 06 - II)

A) Sólo I D) I y II 08

B) Sólo III

11

Al maximizar: x + y; x, y ∈R. Sujeto a las siguientes condiciones: 2x + 3 y ≥ 6 2x + y ≤ 6 y ≤ 4 x ≥ 0 y ≥ 0

Horas Máquina 1

Horas Máquina 2

Utilidad por unidad

M

2

5

S/. 70

N

4 100

3 110

S/. 50

Disponibilidad

Indique la alternativa correcta después de deter-

NIVEL III

Una campaña produce dos productos M y N. Los datos necesarios para la producción se presenta en el siguiente cuadro. Producto

82

REFORZANDO

C) Sólo II E) II y III

5

5

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

22 01

FUNCIONES 04

A R B E G L Á

Determine el dominio de la función f (x) = (x2 – 1)1/2

B) 30

Si los puntos (0,0) y (1, –9) pertenecen a la gráca

cuyo dominio es 〈–3, 2〉.

Determine el rango de f . (UNTECS 12 - II)

A)

B)

C)

(UNMSM 12 - I)

A) 10 D) 15

05

B) 16

D)

C) 12 E) 18

Halle el rango de la función real denida por f (x) = x2 + 4x + 1, si su dominio es el intervalo

08

Determine el rango de la función f (x) =

A) [–33,3] D) [–3, 33]

Hallar el tiempo que se demore en 88 billetes. (UNAM - 13 - 1)

10

B) [3,33]

E)

Sea f una función tal que: , x ≥ 4, entonces

(UNTECS 10 - 1) (UNTECS - 09 - 1)

A) 100 minutos C) 160 minutos E) 200 minutos

Dada la función real f denida por f (x) =

B) Naturales C) 〈–1;1〉 E) 〈–∞; 1] ∪ [1; + ∞〉

[–8; 0]

03

09

f (x) = m(x – 2)2 – p. Halle m + p

C) –29 E) –12

Una máquina produce C(t) (dinero billetes) en t minutos.

A) Reales D) [–1; 1 〉

de la función cuadrática

(UNMSM - 10 - II)

02

07

(UNFV - 08- I)

Sea f (x) una función cuyo gráco es una recta. Si f (4) = 7 y f (3) = 1, determine f (–2) A) –26 D) 15

83

A) [0 , 1] D) 〈1/2,1〉

C) [–3] E) [– 33, – 3]

B) [1, 2 〉

Dom( f ) ∩ Ran( f ) es igual a:

C) [0, 1 〉 E) [1,2]

(UNI 09 - I)

A) [0, ∞〉 D) [4, ∞〉

B) [1, ∞〉

C) 〈0, ∞〉 E) 〈1, ∞〉

B) 120 minutos D) 190 minutos

Hallar el dominio de:

06

Determine el valor máximo de la función: G(x) = – 4 x2 + 8x

f (x) =

(UNAM 08 - 5) (UNAM - 11 - I)

A) [–3; 4] – {5/2} C) [–5;1〉 – {0} E) 〈–4; 3〉 – {1/2}

B) [–1;4] – {2} D) [–4; 3] – {5/2}

A) 0 D) 4

B) 2

Tarea

C) 8 E) 6

01

03

Determine el dominio de la función f (x) =

Cuál o cuáles de los conjuntos son funciones? F = {(1;0) ; (0;1) ; (1;2) ; (2;3) ; (3;4)} G = {(–1;8); (8; – 1); (–1;1)}

H = {(5; –1); (2; –4), (5; 3); (1; –5)} 04

02

Calcule el rango de G(x) = –4x2 + 8x

Siendo la función G = {(1 ; 4); (2;3) ; (1; 2 a) ; (2; b – 1)}

84

5

halle a×b 5

85

Á L G E B R A

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

22 01

FUNCIONES 04

A R B E G L Á

B) 30

Si los puntos (0,0) y (1, –9) pertenecen a la gráca

cuyo dominio es 〈–3, 2〉.

Determine el rango de f . (UNTECS 12 - II)

A)

B)

C)

(UNMSM 12 - I)

A) 10 D) 15

05

B) 16

D)

C) 12 E) 18

Halle el rango de la función real denida por f (x) = x2 + 4x + 1, si su dominio es el intervalo

08

Determine el rango de la función f (x) =

A) [–33,3] D) [–3, 33]

Hallar el tiempo que se demore en 88 billetes. (UNAM - 13 - 1)

10

B) [3,33]

E)

Sea f una función tal que: , x ≥ 4, entonces

(UNTECS 10 - 1) (UNTECS - 09 - 1)

A) 100 minutos C) 160 minutos E) 200 minutos

Dada la función real f denida por f (x) =

B) Naturales C) 〈–1;1〉 E) 〈–∞; 1] ∪ [1; + ∞〉

[–8; 0]

03

09

f (x) = m(x – 2)2 – p. Halle m + p

C) –29 E) –12

Una máquina produce C(t) (dinero billetes) en t minutos.

A) Reales D) [–1; 1 〉

de la función cuadrática

(UNMSM - 10 - II)

02

Determine el dominio de la función f (x) = (x2 – 1)1/2 (UNFV - 08- I)

Sea f (x) una función cuyo gráco es una recta. Si f (4) = 7 y f (3) = 1, determine f (–2) A) –26 D) 15

07

A) [0 , 1] D) 〈1/2,1〉

C) [–3] E) [– 33, – 3]

B) [1, 2 〉

Dom( f ) ∩ Ran( f ) es igual a:

C) [0, 1 〉 E) [1,2]

(UNI 09 - I)

A) [0, ∞〉 D) [4, ∞〉

B) [1, ∞〉

C) 〈0, ∞〉 E) 〈1, ∞〉

B) 120 minutos D) 190 minutos

Hallar el dominio de:

06

Determine el valor máximo de la función: G(x) = – 4 x2 + 8x

f (x) =

(UNAM 08 - 5) (UNAM - 11 - I)

A) [–3; 4] – {5/2} C) [–5;1〉 – {0} E) 〈–4; 3〉 – {1/2}

B) [–1;4] – {2} D) [–4; 3] – {5/2}

A) 0 D) 4

B) 2

Tarea

C) 8 E) 6

01

03

Determine el dominio de la función f (x) =

Cuál o cuáles de los conjuntos son funciones? F = {(1;0) ; (0;1) ; (1;2) ; (2;3) ; (3;4)} G = {(–1;8); (8; – 1); (–1;1)}

H = {(5; –1); (2; –4), (5; 3); (1; –5)} 04

02

Calcule el rango de G(x) = –4x2 + 8x

Siendo la función G = {(1 ; 4); (2;3) ; (1; 2 a) ; (2; b – 1)}

84

5

halle a×b 5

85

Á L G E B R A

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

23 01

TRAZADO DE GRÁFICOS

05

Hallar el rango de f (x) = – x2 + 6x. Si x ∈R ∧ 0 < x < 6

A) 〈0; 9] D) 〈0; ∞〉

De los siguientes grácos. ¿cuántos y cuáles son

03

funciones? I

II

III

y

y

y

B) 〈0; 18]

07

x

A) I D) I, II

B) II

B)

y

x

y

x

C)

x

D)

y

x

–4

C) III E) II, III

y

¿A que función corresponde la gráca mostrada?

4 x

Graca f (x) = ||x + 1| – 2|

A)

C) 〈–6; 18] E) 〈–∞; 3]

y

x

A) F(x) = 4x + 4

B) F( x) = x – 4

C) F(x) = x + 4 E) F(x) =

D) F( x) = 4 – x

E)

x

y x

A R B E G L Á

Á L G E B R A

02

Determine el dominio de la función mostrada:

04

Del gráco, ¿cuál podría ser su regla de corres-

pondencia?

y

06

Cuál de las alternativas es la función cuadrática f , cuyo gráco se muestra a continuación, sabien -

y

do que:

3

–1 –1

1 4

x

5 f

2 0 x0

A) F(x) = x2 – 1

88

5

y

x

–2

A) [–5; – 1 〉 ∪ 〈1;4〉 C) R – 〈1;1〉 E) [–2;1〉 ∪ 〈1;3〉

B) [–5; 4 〉 D) R – [–1;1]

C) F(x) = x + 1 E) F(x) = |x| + 1

La ecuación que describe la función representada en el siguiente gráco:

y

1 1

–5

08

y0

x

b

B) F(x) = |x| + 1 D) F( x) =

3 3

A) x2 – 6x + 2 C) 2x2 – 6x + 2 E) 2x2 + 12x + 2

–4

6

x

(UNFV - 09 - I)

B) x2 + 6x + 2 D) 2 x2 – 12x + 2

A) y = x2 + 6x + 5 C) y = x2 – 4x + 5 E) y = x2 – 6x + 5

B) y = x2 + 4x – 5 D) y = x2 – 6x – 5

5

89

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

23

TRAZADO DE GRÁFICOS

Hallar el rango de f (x) = – x2 + 6x. Si x ∈R ∧ 0 < x < 6

A) 〈0; 9] D) 〈0; ∞〉

De los siguientes grácos. ¿cuántos y cuáles son

01

05

03

funciones? I

II

III

y

y

y

B) 〈0; 18]

07

A)

C) 〈–6; 18] E) 〈–∞; 3]

x

A) I D) I, II

B) II

B)

y

x

y

x

C)

x

D)

y

x

–4

C) III E) II, III

y

¿A que función corresponde la gráca mostrada?

4 x

Graca f (x) = ||x + 1| – 2|

y

x

A) F(x) = 4x + 4

B) F( x) = x – 4

C) F(x) = x + 4 E) F(x) =

D) F( x) = 4 – x

E)

x

y x

A R B E G L Á

Á L G E B R A

Determine el dominio de la función mostrada:

02

04

Del gráco, ¿cuál podría ser su regla de corres-

pondencia?

y

06

Cuál de las alternativas es la función cuadrática

y y

1 1

1

–1 –1

4

5

x

f

x

88

3

2

–2

3

0 x0

A) [–5; – 1 〉 ∪ 〈1;4〉 C) R – 〈1;1〉 E) [–2;1〉 ∪ 〈1;3〉

B) [–5; 4 〉 D) R – [–1;1]

La ecuación que describe la función representada en el siguiente gráco:

do que:

3

–5

08

f , cuyo gráco se muestra a continuación, sabien -

y

A) F(x) = x2 – 1

B) F(x) = |x| + 1

C) F(x) = x + 1

D) F( x) =

x

y0

b

(UNFV - 09 - I)

A) x2 – 6x + 2 C) 2x2 – 6x + 2 E) 2x2 + 12x + 2

E) F(x) = |x| + 1

x

6

–4

B) x2 + 6x + 2 D) 2 x2 – 12x + 2

A) y = x2 + 6x + 5 C) y = x2 – 4x + 5 E) y = x2 – 6x + 5

B) y = x2 + 4x – 5 D) y = x2 – 6x – 5

5

5

EDITORIAL INGENIO

89

EDITORIAL INGENIO

09

Al gracar hay una asintota en x – 2 = 0

Para y =

10

.

La gura muestra el gráco de la función f tal que f (x) = ax2 + bx + c; siendo – 1 el valor mínimo de f (x). Si g(x) = 3x – f (x), hallar f (3) + g(2).

01

Tabulando los valores tenemos la gráca.

y

NIVEL

I

04

En las guras mostradas. ¿Cuáles son grácos de (UNAC - 00 - II)

f

1

I)

II)

y

Halla el valor de " a" en la siguiente ecuación cuadrática para que tenga solución y luego dar como respuesta las coordenadas del vértice de la parábola: ax2 + 3x + 4 = 0

las funciones?

5

A)

y

B)

C)

–1 0

0

REFORZANDO

1

2 2.5

x

2

–1

D)

x

E)

x

(UNAC 03 - I)

A) 6 D) 2

Hallar el dominio. A) 〈–∞; ∞〉 C) 〈–∞; 2〉 E) R – {2; 5}

B) 〈–∞; 2〉 ∪ 〈2,5; ∞〉 D) R – {2}

B) –3

05

C) 9 E) –6

III)

y

La entrada de un edicio tiene la forma de un arco parabólico, mide 9 metros de alto en el cen tro y 6 metros en el ancho de la base. Si hay que introducir al edicio un objeto de 8 metros de

alto. ¿Cuál es la longitud en metros del ancho x

máximo que puede tener dicho objeto? (CEPRE UNI - 09 - I)

A R B E G L Á

A) I D) I y III 02

B) II y III

C) I y II E) III

01

03

y

funciones? I.

II.

y

x

III.

c

y

x

–1

y 04

–4

b

a

x

De acuerdo al gráco, calcule el valor de 4 m – 7 f (x) = mx2 – 4mx + 1

06

–1

2 3

trada en la gráca

f g

III. abc = mnp ¿Cuáles son verdaderas?

3

(UNI 07 - I)

3

3

x

12

(CEPRE UNI 09 - I)

–6

90

1 –1

5

De las siguiente relaciones I. n2 = 4mp II.

6

y

5 4

x

0

En la gura adjunta se muestra la gráca de la , x ∈[3; +∞〉, calcule el

x

NIVEL II

y

función f (x) = a + valor de ab.

Calcule el dominio y el rango de la función mos-

f (x) = ax2 + bx + c g(x) = mx2 + nx + p

y 02

Á L G E B R A

C) 3 E) 5

En la gura adjunta se muestra las grácas de las funciones f y g denidas por:

A) Dom [–4; 3] – 〈2〉, Ram [–1; 2 〉 ∪ 〈3; 4] B) Dom R, Ram [–1; 2 〉 C) Dom R+, Ram [–2; 2 〉 D) Dom [–4; 3], Ram Z+ E) Dom [–4; 2 〉 , Ram [–1; –2 〉 03

y

x

REFORZANDO

4 3 2 1

Sea f la función cuya gráca se da a continuación donde f (x) = |x – 2|, calcule a + b + c

En las guras mostradas. ¿Cuáles son gráca de

B) 2

Determine el dominio y rango de la función mostrada en la gráca

Tarea

A) 1 D) 4

4

A) – 9 D) 6

B) – 6

C) 2 E) 9

A) Solo I D) I y II

B) Sólo II


5

91

EDITORIAL INGENIO

EDITORIAL INGENIO

09

Al gracar hay una asintota en x – 2 = 0

Para y =

10

.

La gura muestra el gráco de la función f tal que f (x) = ax2 + bx + c; siendo – 1 el valor mínimo de f (x). Si g(x) = 3x – f (x), hallar f (3) + g(2).

01

Tabulando los valores tenemos la gráca.

REFORZANDO

y

NIVEL

Halla el valor de " a" en la siguiente ecuación cuadrática para que tenga solución y luego dar como respuesta las coordenadas del vértice de la

04

I

En las guras mostradas. ¿Cuáles son grácos de

parábola: ax2 + 3x + 4 = 0

las funciones?

5

(UNAC - 00 - II)

f

1

I)

II)

y

A)

y

B)

C)

–1 0

0

1

2 2.5

x

2

–1

D)

x

E)

x

(UNAC 03 - I)

A) 6 D) 2

Hallar el dominio. A) 〈–∞; ∞〉 C) 〈–∞; 2〉 E) R – {2; 5}

B) 〈–∞; 2〉 ∪ 〈2,5; ∞〉 D) R – {2}

B) –3

05

C) 9 E) –6

III)

La entrada de un edicio tiene la forma de un arco parabólico, mide 9 metros de alto en el cen tro y 6 metros en el ancho de la base. Si hay que introducir al edicio un objeto de 8 metros de

y

alto. ¿Cuál es la longitud en metros del ancho x

máximo que puede tener dicho objeto? (CEPRE UNI - 09 - I)

A R B E G L Á

A) I D) I y III 02

B) II y III

C) I y II E) III

A) 1 D) 4

01

03

y

funciones? I.

II.

y

c

y

x

III.

x

–4

–1

y 04

b

x

a

De acuerdo al gráco, calcule el valor de 4 m – 7

06

f (x) = ax2 + bx + c g(x) = mx2 + nx + p

2 3

–1

y f g

De las siguiente relaciones I. n2 = 4mp

En la gura adjunta se muestra la gráca de la , x ∈[3; +∞〉, calcule el

II.

y 02

Calcule el dominio y el rango de la función mostrada en la gráca

6

III. abc = mnp

y

5 4

¿Cuáles son verdaderas?

3

x

(UNI 07 - I)

x

12

3

3

A) Solo I D) I y II

(CEPRE UNI 09 - I)

–6

1 –1

90

x

0

función f (x) = a + valor de ab.

f (x) = mx2 – 4mx + 1

NIVEL II

En la gura adjunta se muestra las grácas de las funciones f y g denidas por:

A) Dom [–4; 3] – 〈2〉, Ram [–1; 2 〉 ∪ 〈3; 4] B) Dom R, Ram [–1; 2 〉 C) Dom R+, Ram [–2; 2 〉 D) Dom [–4; 3], Ram Z+ E) Dom [–4; 2 〉 , Ram [–1; –2 〉 03

y

x

REFORZANDO

4 3 2 1

Sea f la función cuya gráca se da a continuación donde f (x) = |x – 2|, calcule a + b + c

En las guras mostradas. ¿Cuáles son gráca de

A) – 9 D) 6

4

B) – 6

C) 2 E) 9

B) Sólo II

EDITORIAL INGENIO

Sabiendo que p(a) = 20, halle

La gura muestra el gráco de la función F c tal que F(x) = ax2 + bx + c. Evalue F(5) + F   a  5 

5

x

0

11

B) 5

C) 8 E) 12

C) 5 + b

D) 08

A) x2(x – 2)(x – 4) B) (x + 1)2 (x – 3)( x – 5) C) (x + 1)2 (x – 1)( x – 3) D) (x –1)2 (x – 2)(x – 4) E) (x + 1)2 (x – 2)( x – 4)

E) 0

De cada esquina de una pieza de carton de 8 cm por 15 cm se corta un cuadrado de " x" centimetros por un lado y los lados se doblan hacia arriba para formar una caja sin tapa. Si V( x) representa el volumen de la caja en función de " x", determine el dominio del volumen V(x).

El gráco del polinomio: P(x)

NIVEL III = x4 + ax3 + bx2 + cx + d

es tangente en (1;1) a la recta es y = 1 interseca el gráco cuando x = 2, x = 4, siendo P(2) = P(4) ≠ 0. Calcule el polinomio P(x) – 1

(UNAC 03 - II)

B)

14 (UNI - 09 - I)

A) 4 D) 10

REFORZANDO

A)

91

5

y

A R B E G L Á


5

EDITORIAL INGENIO

07

Á L G E B R A

C) 3 E) 5

Determine el dominio y rango de la función mostrada en la gráca

Tarea

B) 2

12

Sea p(x) = x3 – 3ax2 – a2x + 3a3, donde a > 0 y Q(x) = – P(x – a). Diga cuál de las siguien-

C)

D)

y

y

tes armaciones es correcta. (UNI 09 - II)

A) Q(x) ≥ P(x), ∀x < 0 B) Q(x) ≥ P(x), ∀x ∈〈0; a〉 C) P(x) ≥ Q(x), ∀x ∈〈a; 2a〉 D) Q(x) ≥ P(x), ∀x ∈〈2a; 3a〉 E) P(x) ≥ Q(x), ∀x > 3a 15

2 1

E)

4

x

2 1

3

6

x

y

2 1

Determine la gráca que corresponde a la forma f (x) = (x + 2)(x + 1)3 (x – 3)6 (x – 6)5

6

3

6

x

(UNI 10 - 2)

A)

B)

y

4

–2 –4

6

x

y

2 1

3

x

Á L G E B R A

6

La gura representa los grácos de las funciones f (x) = x3 – x y g(x) = ax + b, con a, b reales. El

producto es:

y

A) 〈0;8〉 D) 〈0;12〉 09

B) 〈0;10〉

C) 〈0;4〉 E) 〈0;15〉 CAPÍTULO

La gura en el gráco es una función y = p(x) donde p(x) es un polinomio. Se puede armar que p(x) es divisible por. y

A) 6 D) 4

10

B) (x + 2)(x – 3)

C) x + 3 E) x – 2

Sea p(x) el polinomio de grado n, donde n es el menor posible y cuya gráca se representa a

continuación. Encuentre el residuo al efectuar la división de p(x) con q(x) = x – 3 y

En la gura se muestra la gráca del polinomio cúbico p(x)

2

y

92

0 2a 0

5

Indique cual de estas funciones son pares. I. f (x) = x2 A) solo I D) I y II

II. g(x) = 3x

III. h(x) = [x]

B) Solo III

C) Solo II E) II y III

02

¿Cuántas de las siguientes funciones son impares? I. f( x) = x

II. g(x) = x3

III. h( x) = x + 1

IV. I( x) = x2 + 3

A) 0 D) 3

B) 1

C) 2 E) 4

p(x)

1

p(x)

–2a

24

FUNCIÓN PAR E IMPAR C) –4 E) 2 01

13 (UNAC - 09 - I)

A) (x+3) (x – 2) D) (x + 2)( x + 3)

B) –2

x

x

3

–2

2

–1

1 2

x

x

A) –6 D) 1

B) –4

C) –1 E) 4 5

93

EDITORIAL INGENIO

07

EDITORIAL INGENIO

Sabiendo que p(a) = 20, halle

La gura muestra el gráco de la función F c tal que F(x) = ax2 + bx + c. Evalue F(5) + F   5a  

A) 4 D) 10

y

B) 5

x

0

11

(UNAC 03 - II)

A)

B)

C) 5 + b

D) 08

A R B E G L Á

De cada esquina de una pieza de carton de 8 cm por 15 cm se corta un cuadrado de " x" centimetros por un lado y los lados se doblan hacia arriba para formar una caja sin tapa. Si V( x) representa el volumen de la caja en función de " x", determine el dominio del volumen V(x).

12

D)

y

(UNI 09 - II)

2 1

A) Q(x) ≥ P(x), ∀x < 0 B) Q(x) ≥ P(x), ∀x ∈〈0; a〉 C) P(x) ≥ Q(x), ∀x ∈〈a; 2a〉 D) Q(x) ≥ P(x), ∀x ∈〈2a; 3a〉 E) P(x) ≥ Q(x), ∀x > 3a

NIVEL III

El gráco del polinomio: P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d es tangente en (1;1) a la recta es y = 1 interseca el gráco cuando x = 2, x = 4, siendo P(2) = P(4) ≠ 0. Calcule el polinomio P(x) – 1

15

A) x2(x – 2)(x – 4) B) (x + 1)2 (x – 3)( x – 5) C) (x + 1)2 (x – 1)( x – 3) D) (x –1)2 (x – 2)(x – 4) E) (x + 1)2 (x – 2)( x – 4)

E) 0

C)

Sea p(x) = x3 – 3ax2 – a2x + 3a3, donde a > 0 y Q(x) = – P(x – a). Diga cuál de las siguien-

y

tes armaciones es correcta.

C) 8 E) 12

REFORZANDO 5

14 (UNI - 09 - I)

E)

4

x

2 1

6

3

x

y

3

2 1

Determine la gráca que corresponde a la forma f (x) = (x + 2)(x + 1)3 (x – 3)6 (x – 6)5

6

6

x

(UNI 10 - 2)

A)

B)

y

4

–2 –4

6

x

y

2 1

3

x

Á L G E B R A

6

La gura representa los grácos de las funciones f (x) = x3 – x y g(x) = ax + b, con a, b reales. El

producto es:

y

A) 〈0;8〉 D) 〈0;12〉 09

B) 〈0;10〉

C) 〈0;4〉 E) 〈0;15〉 CAPÍTULO

La gura en el gráco es una función y = p(x) donde p(x) es un polinomio. Se puede armar que p(x) es divisible por. y

A) 6 D) 4

10

B) (x + 2)(x – 3)

Sea p(x) el polinomio de grado n, donde n es continuación. Encuentre el residuo al efectuar la división de p(x) con q(x) = x – 3

2

y

III. h(x) = [x]

B) Solo III

C) Solo II E) II y III

¿Cuántas de las siguientes funciones son impares? I. f( x) = x

II. g(x) = x3

III. h( x) = x + 1

IV. I( x) = x2 + 3

A) 0 D) 3

B) 1

C) 2 E) 4

p(x)

0 2a

x

1 2

x

0

92

02

II. g(x) = 3x

1

p(x)

–2a

A) solo I D) I y II

y

En la gura se muestra la gráca del polinomio cúbico p(x)

Indique cual de estas funciones son pares. I. f (x) = x2

el menor posible y cuya gráca se representa a

C) x + 3 E) x – 2

24

C) –4 E) 2 01

13 (UNAC - 09 - I)

A) (x+3) (x – 2) D) (x + 2)( x + 3)

B) –2

FUNCIÓN PAR E IMPAR

x

3

–2

x

2

–1

A) –6 D) 1

B) –4

C) –1 E) 4

5

EDITORIAL INGENIO

EDITORIAL INGENIO

Relacione con su gráfico correspondientes

03

a) función par

b) función impar

c) funciónperiódica

1) y

2)

3)

–2 –1

y

06

y

04

A) a–1; b–2; c–3

B) b–1; a–2; c–3

C) c–2; a-1; b–2

D) a–1; c–2; b–3

Determine el periodo de la siguiente función.

A) 4 D) 3

07

1 2 3 4 5 6 7

B) 4

I. k es una constante II. k es una función lineal de x III. k = x2 A) Solo I D) I y II

B)12

C) 5 E) 7

B) Solo II

II. G es impar

08

I. f es impar

II. g es par

A) FFV D) FFF

B) FVV

B) Solo II

b) Una función impar

01

x

A) 123 D) 223

B) 122

x

C) 211 E) 321

02

5

x

NIVEL

La función f (x) = |x| es: I. par II. impar B) Sólo II

Relacione la función con su tipo: a) f (x) = 2x b) f (x) = |2x| c) f (x) = senx a) a-3; b-2; c-1 b) a-3; b-1; c-2 c) a-1; c-3; b-3 d) a-1; b-3; c-2 e) a-2; b-3; c-1

94

y

Demuestre que f (x) = x es impar


y

x

g

h

a la función impar y con 3 a la que no representa ninguna de estos dos tipos. II III I

C) Solo III E) Todas

Á L G E B R A

x

f

Esboce el gráco de:

c) Una funcnión periódica

III. G no es par ni impar

A) Solo I D) II y III

y

Demuestre que f (x) = 5 es par.

a) Una función par

C) VVV E) VVF

y

Identique las funciones

x 02

III. f es par

Marque con 1 la gráca de la función par, con 2

y

C) x E) –2x

C) Solo III E) I y III

04

REFORZANDO 3 3 De la función G(x) = x + x + x x es correcto armar I. G es par

B) 2

y 01

03

05

La f (x) = 4x2 – 2x + k es par, entonces k es: A) 1 D) 2x

Tarea

Dadas las funciones reales de variable real

indique la verdad o falsedad de las proposiciones

x

10

C) 4/3 E) 15

x x f (x) = 3 + y g(x) = 3 x3 + x x + 1 x3 – 1

y

A) 3 D) 6

f (x) = 2x2 – k es par si

x

k

–1

09

x

E) a–2; b–3;c–1

A R B E G L Á

El periodo de y = f (x) es 4, entonces el valor de k es:

y

x

x

1 2 3

93

5

03

I

y

2 III. periódica C) Sólo III E) Ninguno

3

04

05

x

C) 2 E) 4,5

La función máxima entero es: A) Par D) Creciente

9

El periódo de f (x) es: A) 3 B) 1,5 D) 6

1. par 2. periódica 3. impar

6

B) Impar

C) Períodica E) No decreciente

Respecto a la función: f (x) = |x| + 3 A) Es par B) Es impar D) Es creciente

C) Es Períodica E) Ninguno 5

95

EDITORIAL INGENIO

EDITORIAL INGENIO

Relacione con su gráfico correspondientes

03

a) función par

b) función impar

c) funciónperiódica

1) y

2)

3)

–2 –1

y

y

A) a–1; b–2; c–3

B) b–1; a–2; c–3

C) c–2; a-1; b–2

D) a–1; c–2; b–3

A) 4 D) 3

07

1 2 3 4 5 6 7

A) 3 D) 6

B) 4

I. k es una constante II. k es una función lineal de x III. k = x2 A) Solo I D) I y II

B)12

C) 5 E) 7

B) Solo II

08

I. f es impar

II. g es par

A) FFV D) FFF

B) FVV

y

B) Solo II

C) Solo III E) Todas

B) 122

y h

01

Demuestre que f (x) = x es impar

x

02

C) 211 E) 321

x

NIVEL

III. periódica

B) Sólo II

3

C) Sólo III E) Ninguno

Relacione la función con su tipo: a) f (x) = 2x b) f (x) = |2x| c) f (x) = senx

1. par 2. periódica 3. impar

6

04

A) Par D) Creciente

05

B) Impar

Respecto a la función: f (x) = |x| + 3 A) Es par B) Es impar D) Es creciente

09

NIVEL II

B) 1

B) Sólo II

B) Sólo II

B) Sólo II

11

12

13

C) I y II E) Ninguno

I.

Toda función cuya gráca es una recta que

pasa por el origen de coordenadas es impar. II. Toda función de la forma | f (x)| es par. III. Existe una función que es par e impar a la vez. A) Sólo I D) II y III

96

B) Sólo II

5

B) Sólo II

¿Qué gráco representa una función inyectiva? y

03

y

Identica la función inyectiva

A)

y

B)

y f

C) Sólo III E) I y II

x

x

C) A) I D) I y II

B) II

B) Sólo II

Sea f (x) =

C) 1 E) k + 1

x2 si x < 0

x

D)

y

C) III E) II y III

y

x

E)

x

y x

02

De acuerdo a la gura adjunta señale cuáles son

verdaderas si: I. R es función inyectiva II. R es función suyectiva III. R es función biyectiva R

–x2 si x ≥ 0

A) Periódica C) Impar E) No es de ningún tipo

x

Á L G E B R A


Sea f (x) = x – k , k ≤ x < k + 1, k ∈ Z. Calcule el período de f (x). B) 2k

y

x

La función f (x) = x2 – 4x + 4 se convierte en función par: I. Sumandole 4 II. Restándole 4x – 4 III. Sumándole 4(x - 1)

A) k D) 2


De las proposiciones señale las verdaderas

01

¿Cuántas de las funciones son pares? 1) f (x) = –2 x2 2) f (x) = |3x| 3) g(x) = 1 ·|5x| 4) f (x) = |x| 2 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

A) Sólo I D) II y III 14

25

FUNCIONES ESPECIALES

NIVEL III

f (x) = 3x2 + k es par cuando:

A) Sólo I D) II y III

15 10

I. k es constante II. k = 2x2 III. k es una función lineal de x.


La función f (x) = x2 + 2x + 1 resulta par: I. Al sumarle 2 x II. Al restarle x III. Al restarle 1 + 2x A) Sólo I D) II y III

REFORZANDO

C) 0 E) 4

¿Alguna de estas funciones es par? I. f (x) = x II. g(x) = |x| III. h(x) = x2 A) Sólo I D) II y III

95

CAPÍTULO

De las proposiciones: I. Una función periódica puede ser par II. Una función impar puede ser períodica III. Una función periódica puede ser creciente Son verdaderas. A) Sólo I D) I y II

08

C) Es Períodica E) Ninguno 5

¿Para que valor de a, la función f (x) = 2x3 + 4a – 2 es impar? A) 1/2 D) 2

A R B E G L Á

C) Períodica E) No decreciente

5

REFORZANDO

07

C) 2 E) 4,5

La función máxima entero es:

EDITORIALINGENIO

06

x

9

El periódo de f (x) es: A) 3 B) 1,5 D) 6

a) a-3; b-2; c-1 b) a-3; b-1; c-2 c) a-1; c-3; b-3 d) a-1; b-3; c-2 e) a-2; b-3; c-1 94

y

03

I

2

La función f (x) = |x| es: I. par II. impar A) Sólo I D) I y II

x

A) 123 D) 223

g

b) Una función impar

y

x

Á L G E B R A

x

f

Esboce el gráco de:

c) Una funcnión periódica

III. G no es par ni impar

A) Solo I D) II y III

y

Demuestre que f (x) = 5 es par.

a) Una función par

C) VVV E) VVF

Marque con 1 la gráca de la función par, con 2

y

Identique las funciones

x 02

III. f es par

a la función impar y con 3 a la que no representa ninguna de estos dos tipos. II III I

II. G es impar

C) x E) –2x

C) Solo III E) I y III

04

REFORZANDO 3 3 De la función G(x) = x + x + x x es correcto armar I. G es par

B) 2

y 01

03

05

La f (x) = 4x2 – 2x + k es par, entonces k es: A) 1 D) 2x

Tarea

Dadas las funciones reales de variable real

indique la verdad o falsedad de las proposiciones

x

10

C) 4/3 E) 15

x x f (x) = 3 + y g(x) = 3 x3 + x x + 1 x3 – 1

y

–1

f (x) = 2x2 – k es par si

x

k

Determine el periodo de la siguiente función.

04

09

x

E) a–2; b–3;c–1

A R B E G L Á

El periodo de y = f (x) es 4, entonces el valor de k es:

y

x

x

1 2 3

06


B) Sólo II

Halle la función inversa en cada caso: a) F(x) = 3x + 1

b) G(x) = (x + 2)2 – 3

A) F*(x) = x – 1 ; G* = x + 3 – 2 3 x + 1; G* = x – 3 + 2 B) F*(x) = 3 C) F*(x) = 3( x + 1); G* = x + 3 + 2

R a b c d

B) Par D) Par e impar

04

D) F*( x) = 3( x – 1); G* = x + 2 – 3 C) Sólo III E) Todas

1 E) F*(x) = 3 ; G* = x – 1 (x + 2)2 – 3


5

97

EDITORIALINGENIO

CAPÍTULO

REFORZANDO

NIVEL II

¿Para que valor de a, la función f (x) = 2x3 + 4a – 2

06

REFORZANDO 11

es impar? A) 1/2 D) 2

07

B) 1

08

A R B E G L Á

B) Sólo II

09


¿Alguna de estas funciones es par? I. f (x) = x II. g(x) = |x| III. h(x) = x2 A) Sólo I D) II y III

B) Sólo II

13


La función f (x) = x2 + 2x + 1 resulta par: I. Al sumarle 2 x II. Al restarle x III. Al restarle 1 + 2x A) Sólo I D) II y III

B) Sólo II

14

Toda función cuya gráca es una recta que


B) Sólo II

96

B) Sólo II

Sea f (x) =

B) 2k

03

Identica la función inyectiva

A)

y

y

B)

y f

C) Sólo III E) I y II

x

x

A) I D) I y II

B) II

x

x

D)

y

C) III E) II y III

y

x

E)

x

y x

Á L G E B R A


02

De acuerdo a la gura adjunta señale cuáles son

04

verdaderas si: I. R es función inyectiva II. R es función suyectiva III. R es función biyectiva

C) 1 E) k + 1

R

–x2 si x ≥ 0

A) F*(x) = x – 1 ; G* = x + 3 – 2 3 B) F*(x) = x + 1; G* = x – 3 + 2 3 C) F*(x) = 3( x + 1); G* = x + 3 + 2

a b c d


b) G(x) = (x + 2)2 – 3

a) F(x) = 3x + 1

R

B) Par D) Par e impar

Halle la función inversa en cada caso:

B) Sólo II

D) F*( x) = 3( x – 1); G* = x + 2 – 3 C) Sólo III E) Todas

1 E) F*(x) = 3 ; G* = x – 1 (x + 2)2 – 3


5

EDITORIAL INGENIO

Indique el gráco de la función inversa a partir de la gráca de la función dada.

07

¿Cuál de las siguentes armaciones son verda-

09

deras?

y

Sea p(x) = ax2 + bx + c tal que p(1) = –2.

I. F(x) = |5x|– x es una función inyectiva

x

B)

y

A) 3 – 34 8


D) 217 + 3 8


B) –3 + 217 8

Respecto a la función f: A → R tal que 3x + 5 y A = 〈2; ∞〉 f (x) = x – 2 Indique la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):

(UNI - 07 - I)

III. G: R → R/G(x) = x3 es inyectiva

B) Sólo II

10

p(2) = 3 y p(5) = 34. Determine el valor de " x" de modo que p(x) = 0

II. H(x) = 3x2 – 6x + 3 es inyectiva ∀ x ∈〈∞; –1〉

A)

97

5

EDITORIAL INGENIO

05

y

x

C)

x2 si x < 0

A) Periódica C) Impar E) No es de ningún tipo

pasa por el origen de coordenadas es impar. II. Toda función de la forma | f (x)| es par. III. Existe una función que es par e impar a la vez.

y

Sea f (x) = x – k , k ≤ x < k + 1, k ∈ Z. Calcule el período de f (x). A) k D) 2


B) Sólo II

¿Qué gráco representa una función inyectiva?

La función f (x) = x2 – 4x + 4 se convierte en función par: I. Sumandole 4 II. Restándole 4x – 4 III. Sumándole 4(x - 1)

De las proposiciones señale las verdaderas I.

01

¿Cuántas de las funciones son pares? 1) f (x) = –2 x2 2) f (x) = |3x| 3) g(x) = 1 ·|5x| 4) f (x) = |x| 2 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4


15 10

f (x) = 3x2 + k es par cuando:

A) Sólo I D) II y III 12

25

FUNCIONES ESPECIALES

NIVEL III

I. k es constante II. k = 2x2 III. k es una función lineal de x.

C) 0 E) 4

De las proposiciones: I. Una función periódica puede ser par II. Una función impar puede ser períodica III. Una función periódica puede ser creciente Son verdaderas. A) Sólo I D) I y II

C) –3 + 17 8

I. f es inyectiva II. f es sobreyectiva III. f existe, donde f * indica la inversa de f

E) 3 + 217 8

(UNI - 12 - II)

A) VVV D) FFV

y

B) VFV

C) VFF E) FFF

x x

C)

D)

y

y x

x

A R B E G L Á

E)

Tarea

y

03

es biyectiva.

2x 01 Halle la función inversa de: f (x) = x2 – 9

x

04

02

06

Sea f : [–2; 1] → [–3; 2] una fu nción real biyectiva, ax + b – 1 denida por f (x) = bx – a + 1 Si f es decreciente en [–2; 1] calcule 25 ab A) 53 D) 43

Si f : 〈3; 5〉 → 〈–2; 6〉/ f (x) = ( x – 2)2 – 5 pruebe si f

B) 23

C) 13 E) 33

08

(CEPRE UNMSM - 10)

Si f : 〈5; 8〉 – R, denida por f = 4x + 5 determine x – 2 si f es univalente

I. Ran( f ) = 〈–∞; 5] II. f es creciente en 〈–5; –2] III. f tiene inversa en 〈–3; 1]

Determinar el valor de verdad de las armaciones

I. Si x1 = x2 → f (x1) = f (x2) para toda función f II. Si f (x) = ax3 ; x ∈ [–2; 4 〉 → f es una función – 4 sobreyectiva sobre x ∈[2; 2〉 III. Toda función impar es univalente B) VVF

NIVEL

03

I

Sea la función biyectiva f : [2; 5] → [a; b], denida por f (x) = x2 – x + 2. Halle el valor de a + b (CEPRE UNMSM)

01

(UNI - 04 - I)

A) VVV D) FFV

REFORZANDO

Dado la función f (x) = –(6x2 + 4 x + 91), indique la secuencia correcta de verdad(V) o falsedad(F) de las siguientes proposiciones:

C) FVF E) VFF

Si f : [2; 8〉 → [a; b〉 es una función denida como f (x) = x2 – 4x + 7, Dom( f ) = [2; 8〉 y además f es biyectiva, halle a + b

A) 30 D) 22

A) 42 D) 40

B) 41

C) 30 E) 36

04

Si f : [–1; 2] → B, f (x) = x2 + 1 es subyectiva, determine B = [ a; b] dar como respuesta ( a + b)

A) 2 02

Sea la función f : 〈–∞; 0] → R denida por f (x) = 3x2 + 6, hallar f –1 (9)

A) –1 D) –4 5

C) 28 E) 26


98

B) 24

B) –3

C) 1 E) –2

05

B) 4

C) 6

D) 8

E) 11

Si la función f : 〈–1; 2] → 〈m; m + n] denida por f (x) = –x2 + 4x – 9 es biyectiva, halle n – m

A) 7

B) 9

C) 16

D) 17

E) 23 5

99

Á L G E B R A

EDITORIAL INGENIO

EDITORIAL INGENIO

Indique el gráco de la función inversa a partir de la gráca de la función dada.

05

07

¿Cuál de las siguentes armaciones son verda-

09

deras?

y

Sea p(x) = ax2 + bx + c tal que p(1) = –2.

I. F(x) = |5x|– x es una función inyectiva

A)

B)

y

III. G: R → R/G(x) = x3 es inyectiva

A) 3 – 34 8


D) 217 + 3 8

B) Sólo II


B) –3 + 217 8

Respecto a la función f: A → R tal que 3x + 5 y A = 〈2; ∞〉 f (x) = x – 2 Indique la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):

(UNI - 07 - I)

II. H(x) = 3x2 – 6x + 3 es inyectiva ∀ x ∈〈∞; –1〉

x

10

p(2) = 3 y p(5) = 34. Determine el valor de " x" de modo que p(x) = 0

C) –3 + 17 8

I. f es inyectiva II. f es sobreyectiva III. f existe, donde f * indica la inversa de f

E) 3 + 217 8

(UNI - 12 - II)

A) VVV D) FFV

y

B) VFV

C) VFF E) FFF

x x

C)

D)

y

y x

x

A R B E G L Á

E)

Tarea

y

03

es biyectiva.

2x 01 Halle la función inversa de: f (x) = x2 – 9

x

04

02

06

Si f : 〈3; 5〉 → 〈–2; 6〉/ f (x) = ( x – 2)2 – 5 pruebe si f

Sea f : [–2; 1] → [–3; 2] una fu nción real biyectiva, ax + b – 1 denida por f (x) = bx – a + 1

08

B) 23

I. Ran( f ) = 〈–∞; 5] II. f es creciente en 〈–5; –2] III. f tiene inversa en 〈–3; 1]

Determinar el valor de verdad de las armaciones

II. Si f (x) = ax3 ; x ∈ [–2; 4 〉 → f es una función – 4 sobreyectiva sobre x ∈[2; 2〉

C) 13 E) 33

III. Toda función impar es univalente B) VVF

NIVEL

03

I

Sea la función biyectiva f : [2; 5] → [a; b], denida por f (x) = x2 – x + 2. Halle el valor de a + b (CEPRE UNMSM)

01

(UNI - 04 - I)

A) VVV D) FFV

REFORZANDO

Dado la función f (x) = –(6x2 + 4 x + 91), indique la secuencia correcta de verdad(V) o falsedad(F) de las siguientes proposiciones: (CEPRE UNMSM - 10)

Si f : 〈5; 8〉 – R, denida por f = 4x + 5 determine x – 2 si f es univalente

I. Si x1 = x2 → f (x1) = f (x2) para toda función f

Si f es decreciente en [–2; 1] calcule 25 ab A) 53 D) 43

C) FVF E) VFF

Si f : [2; 8〉 → [a; b〉 es una función denida como f (x) = x2 – 4x + 7, Dom( f ) = [2; 8〉 y además f es biyectiva, halle a + b

A) 30 D) 22

B) 24

A) 42 D) 40

B) 41

C) 30 E) 36

04

Si f : [–1; 2] → B, f (x) = x2 + 1 es subyectiva, determine B = [ a; b] dar como respuesta ( a + b)

A) 2 02

Sea la función f : 〈–∞; 0] → R denida por f (x) = 3x2 + 6, hallar f –1 (9)

A) –1 D) –4

B) –3

05

C) 1 E) –2

B) 4

C) 6

A) 7

B) 9

C) 16

NIVEL II

REFORZANDO

Si f : Dom( f ) = [m; 7] → [3; n], m > 3 es biyectiva tal que f (x) = x2 – 6x + 11, halle el valor de m + n

11

26

NIVEL III

Determine el mayor valor de a en el conjunto A = {x ∈R/x ≤ a, de modo que f (x) = 2 x2 – 3 x + 4 sea inyectiva}

01

Sean f = {(2; 18), (3; 6); (5; 4)} g = {(2; 3), (3; 2), (5; 0)} Calcule la suma de los elementos R( f + g)

A) 21 D) 30

(CEPRE UNI - 09 - II)

B) 20

C) 21 E) 22

A) 1 2 D) 2

Dada la función f (x) = x2 + 4 x + 5 con x < –2 si f * es la función inversa de f y kf * = 1, determine el (5) valor k .

12


A) – 1 6 D) – 1 5 A R B E G L Á

08

B) – 1 4

C) – 1 3 1 E) – 7

–x2; –2

≤ x < 0 x; 0 ≤ x ≤ 3 13 (CEPRE UNI 09 - 1)

09

B) –7

C) –6 E) 6

Sea A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4}. Si: Gr( f ) = {(3, 1), ( x, 3) (2, 3)} es el grado de la función f de A y B Gr( g) = {(3, 1), ( y, z) (1, 3)} es el grado de función g, que es inyectiva de A en A y Gr(n) = {(1, 1), (2, w), (3, 2) (4, 2)} es el grado de la función h que es suryectiva de B en A. Halle el valor de E = yz – (x – w) (grado de una función es el conjunto de parejas ordenadas)

A) 4 D) –6 10

B) –5

C) 5 E) 6

Dada la función F( x) = k + 1 ; ∀ x ≠ k x – k halle todos los valores que puede tomar k para que la gráca de la función F y de su inversa sea

la misma. (CEPRE UNI 09 - II)

A) [1; 2 〉 D) [0; + ∞〉

100

B) [0; 1]

5

C) [–1; 1] E) 〈–∞; +∞〉

B) 32

II. Dom F = Dom G III. F( x) = G(x)

C) 41 E) 33

A) VVV D) FVF

14

B) VFV

C) VFF E) VVF

02

B) [5; + ∞〉

C) [–5; + ∞〉 E) [0; ∞〉

B) 8

A) 10 D) 8

B) 6

03

De las funciones: F(x) = (x + 5)( x – 5) y G(x) = x2 – 55

05

Sean las funciones F = {(2; 5) (3; 6) (4; 7) (5; 8) y G = {(2; 1) (3; 2) (4; 3) (5; 4)} halle F + G

A) {(2; 6) (3; 8) (4; 10) (5; 12)} B) {(1; 1) (2; 2) (3; 3) (4; 4)} C) {(2; 5) (3; 6) (4; 7) (5; 8)} D) {(4; 6) (6; 8) (8; 10) (10; 12)} E) {(2; 1) (3; 2) (4; 3) (5; 4)}

C) 9 E) 5

C) 9 E) 14

Sea f una función denida por: f (x) = x – –x + 1, x < –4

Sean f = {(6; 1), (3; 5); (2; 4)} g = {(4; 3), (2; 2), (5; 1)} Entonces la suma de los elementos del rango de f o g es:

Sea f una función biyectiva denida por: f : [5; 13] → [m, n]/ f (x) = 2x – 1 Halle el valor de (n2 – 2m2)

A) 7 D) 11 10

4 – x )2 4 – x )2 4 – x )2 4 – x )2 4 – x )2

Si f : R → B/ f (x) =| x – 5|– x es una función suryectiva entonces el conjunto B es:

A) [2; + ∞〉 D) 〈5; +∞〉

(UNAC 05 - II)

C) 1 E) 4

Sean las funciones F(x) = x–2 y Q(x) = x–4, indique el valor de la verdad de las siguientes proposiciones I. Las funciones son iguales

(UNI - 05 - II)

Determine el valor de ab:

A) –8 D) 0

B) 3 4

04

Dada la siguiente función: F(x) = 4 x – x; x ∈ {0, 1] Halle P*(x), donde P* es la inversa de F

A) F*(x) = (2 – B) F*(x) = (3 – C) F*(x) = (2 + D) F*( x) = (3 + E) F*(x) = (4 +

Si f es una función biyectiva f : [a; 3] → [–4; b]/ f (x) =

99

CAPÍTULO


07

E) 23 5

ÁLGEBRA DE FUNCIONES

A) 19 D) 18

E) 11

D) 17

5

REFORZANDO

D) 8

Si la función f : 〈–1; 2] → 〈m; m + n] denida por f (x) = –x2 + 4x – 9 es biyectiva, halle n – m

EDITORIALINGENIO

06

C) 28 E) 26


98

Á L G E B R A

Halle f *(x) (inversa de f ) indicando su dominio. (UNI - 05)

A) f *(x) = 1 ( 5 – 4x + 1)2, 〈–∞; –5〉 4 B) f *(x) = – 1 ( 5 – 5x + 1)2, 〈–∞; –6〉 4 C) f *(x) = – 1 ( 5 – 4x – 1)2, 〈–∞; –5〉 4 D) f *(x) = – 1 ( 5 – 4x – 1)2, 〈–∞; –5〉 4 E) f *(x) = – 1 ( 4 – 5x – 1)2, 〈–∞; –6〉 4

06

se puede armar que son correctas I. DomF = DomG II. F(x) = G(x) III. RanF = RanG

A) I y II D) Todos

B) Sólo I

Dadas las funciones F(x) = x – 5 y G(x) = 9 – x halle el dominio de F.G

A) R D) [5; 9]

B) [5; ∞〉

C) [9; ∞〉 E) 〈5; 9〉

C) Sólo II E) I y III

5

101

Á L G E B R A

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

26

ÁLGEBRA DE FUNCIONES REFORZANDO 06

NIVEL II

REFORZANDO

Si f : Dom( f ) = [m; 7] → [3; n], m > 3 es biyectiva tal que f (x) = x2 – 6x + 11, halle el valor de m + n

11


NIVEL III

Determine el mayor valor de a en el conjunto A = {x ∈R/x ≤ a, de modo que f (x) = 2 x2 – 3 x + 4 sea inyectiva}

01

Sean f = {(2; 18), (3; 6); (5; 4)} g = {(2; 3), (3; 2), (5; 0)} Calcule la suma de los elementos R( f + g)

A) 21 D) 30

(CEPRE UNI - 09 - II)

A) 19 D) 18 07

B) 20

C) 21 E) 22

A) 1 2 D) 2

Dada la función f (x) = x2 + 4 x + 5 con x < –2 si f * es la función inversa de f y kf * = 1, determine el (5) valor k .

12


A) – 1 6 D) – 1 5 A R B E G L Á

08

B) – 1 4

C) – 1 3 1 E) – 7

–x2; –2

≤ x < 0 x; 0 ≤ x ≤ 3 13 (CEPRE UNI 09 - 1)

A) –8 D) 0 09

B) –7

C) –6 E) 6

Sea A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4}. Si: Gr( f ) = {(3, 1), ( x, 3) (2, 3)} es el grado de la función f de A y B Gr( g) = {(3, 1), ( y, z) (1, 3)} es el grado de función g, que es inyectiva de A en A y Gr(n) = {(1, 1), (2, w), (3, 2) (4, 2)} es el grado de la función h que es suryectiva de B en A. Halle el valor de E = yz – (x – w) (grado de una función es el conjunto de parejas ordenadas)

A) 4 D) –6 10

B) –5

C) 5 E) 6

Dada la función F( x) = k + 1 ; ∀ x ≠ k x – k halle todos los valores que puede tomar k para que la gráca de la función F y de su inversa sea

la misma. (CEPRE UNI 09 - II)

A) [1; 2 〉 D) [0; + ∞〉

100

B) [0; 1]

5

C) [–1; 1] E) 〈–∞; +∞〉

II. Dom F = Dom G III. F( x) = G(x)

C) 41 E) 33

A) VVV D) FVF

14

B) VFV

C) VFF E) VVF

02

B) [5; + ∞〉

C) [–5; + ∞〉 E) [0; ∞〉

B) 8

A) 10 D) 8

B) 6

03

De las funciones: F(x) = (x + 5)( x – 5) y G(x) = x2 – 55

05

Sean las funciones F = {(2; 5) (3; 6) (4; 7) (5; 8) y G = {(2; 1) (3; 2) (4; 3) (5; 4)} halle F + G

A) {(2; 6) (3; 8) (4; 10) (5; 12)} B) {(1; 1) (2; 2) (3; 3) (4; 4)} C) {(2; 5) (3; 6) (4; 7) (5; 8)} D) {(4; 6) (6; 8) (8; 10) (10; 12)} E) {(2; 1) (3; 2) (4; 3) (5; 4)}

C) 9 E) 5

C) 9 E) 14

Sea f una función denida por: f (x) = x – –x + 1, x < –4

Sean f = {(6; 1), (3; 5); (2; 4)} g = {(4; 3), (2; 2), (5; 1)} Entonces la suma de los elementos del rango de f o g es:

Sea f una función biyectiva denida por: f : [5; 13] → [m, n]/ f (x) = 2x – 1 Halle el valor de (n2 – 2m2)

A) 7 D) 11 10

4 – x )2 4 – x )2 4 – x )2 4 – x )2 4 – x )2

Si f : R → B/ f (x) =| x – 5|– x es una función suryectiva entonces el conjunto B es:

A) [2; + ∞〉 D) 〈5; +∞〉

(UNAC 05 - II)

B) 32

Sean las funciones F(x) = x–2 y Q(x) = x–4, indique el valor de la verdad de las siguientes proposiciones I. Las funciones son iguales

(UNI - 05 - II)

Determine el valor de ab:

C) 1 E) 4

Dada la siguiente función: F(x) = 4 x – x; x ∈ {0, 1] Halle P*(x), donde P* es la inversa de F

A) F*(x) = (2 – B) F*(x) = (3 – C) F*(x) = (2 + D) F*( x) = (3 + E) F*(x) = (4 +

Si f es una función biyectiva f : [a; 3] → [–4; b]/ f (x) =

B) 3 4

04

Halle f *(x) (inversa de f ) indicando su dominio. (UNI - 05)

A) f *(x) = 1 ( 5 – 4x + 1)2, 〈–∞; –5〉 4 B) f *(x) = – 1 ( 5 – 5x + 1)2, 〈–∞; –6〉 4 C) f *(x) = – 1 ( 5 – 4x – 1)2, 〈–∞; –5〉 4 D) f *(x) = – 1 ( 5 – 4x – 1)2, 〈–∞; –5〉 4 1 E) f *(x) = – ( 4 – 5x – 1)2, 〈–∞; –6〉 4

06

se puede armar que son correctas I. DomF = DomG II. F(x) = G(x) III. RanF = RanG

A) I y II D) Todos

B) Sólo I

Dadas las funciones F(x) = x – 5 y G(x) = 9 – x halle el dominio de F.G

A) R D) [5; 9]

B) [5; ∞〉

C) [9; ∞〉 E) 〈5; 9〉

C) Sólo II E) I y III

5

101

Á L G E B R A

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

B)

C)

2 1 –   x – 1  + , x ≥ 2 2  4

E)

A R B E G L Á

13

y

01

–2 1

7 , x ≥ 2 4

E) F(x) =

5

x

A) – 3 2

B) 1 2

D) –1

C) –2

2

1 2 + log

2

2 + log 3 2+ log 4 2 + ... + 20 2, 2

2

2

halle el valor de M (UNMSM 12 - I)

A) 210 D) 222

05

Halle (x + y) si se cumple: 2x = y ; x2 + 2(2 – Log 2 y) = 0

A) 16 D) 19

E) 4

B) 231

C) 190 E) 215

x

x

C) ( f / g) (x) = 2 – x , x ∈[–1; 2〉 – {0} x

D) ( f / g) (x) = 2 – x , x ∈[–1; 2〉 – {2} x

(UNI 12 - 1)

x; x ≤ –1 2; –1 < x < 1 –x; x ≥ 1

4

M = log

B) ( f / g) (x) = 2 – x , x ∈[–1; 2]

2 7 –   x + 1  + , x < 2 2  4

2x; x ≤ –1 D) F(x) = 1; –1 < x < 1 –2x; x ≥ 1

04

A) ( f / g) (x) = x – 2 , x ∈[–2; 1〉

2 1 –   x – 1  – , x ≥ 2 2  4

2x; x ≥ 1 C) F(x) = 2; –1 < x < 1 –2x; x ≤ –1

2 –2

–(x + 1)2 – 1 , x < 2 4

–2x; x ≥ 1 B) F(x) = 2; –1 < x < 1 2x; x ≤ –1

Dada la ecuación log 2x – 4 log8x = 1 , halle el valor 3 de x (UNTECS - 09 - I)

 x – 1 2 + 7 , x < 2  2  4

E) ( f / g) (x) = x , x ∈[R– {2}] x–2

Sea f (x) = |x – 1| y g(x) = |x + 1| halla la expresión de F(x) = f (x) + g(x)

104

g

f

 x + 1 2 – 9 , x ≥ 2  2  4

–2x; x ≥ 1 A) F(x) = 2; –1 < x < 1 2x; x ≤ –1

27

LOGARITMOS

A partir del gráco calcule ( f / g) (x)

2 5 –   x + 1  – , x < 2 2  4

(x – 1)2 + D)

14

15

02

Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F)

I. La composición de una función par con una función impar es una función par II. El producto de dos funciones impares es una función impar III. La suma de dos funcioens pares es una función par

2 3 2

Si log4   a b  = 5 y log4b = 2, halle el valor de 16  (a + 1)2

(UNAM 11 - II)

(UNTECS - 10 - II)

A) 16 D) 4

B) 25

C) 1 E) 9

B) 17

C) 18 E) 20

(UNI 11 - II)

A) VFV D) FFV

B) VVV

C) FVV E) VFF 03

Si p, q, r ∈R+ 1 1 1 E= + + + 1, logr( pq) + 1 logq( pr) + 1 log p(qr) + 1 hallar el valor de E (UNMSM 12 - I)

A) 1 D) 3

B)1,5

C) 3/5 E) 2

06

Si Ln(6) = a y Ln  9 = 2 b, calcule Ln(2)·Ln(3) en  4  terminos de "a" y "b" (UNFV - 10 - I)

2 2 A) a + b

8 2 – b2 a D) 4

2 2 B) a + 2b

16

2

2

C) a – 2b 2 2 + b2 a 2 E) 4

5

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Á L G E B R A

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

B)

C)

2 1 –   x – 1  + , x ≥ 2 2  4

y

A R B E G L Á

13

01

–2 1

7 , x ≥ 2 4

E) F(x) =

x; x ≤ –1 2; –1 < x < 1 –x; x ≥ 1

5

x

A) – 3 2

B) 1 2

D) –1

C) –2

2

1 2 + log

2

2 + log 3 2+ log 4 2 + ... + 20 2, 2

2

2

halle el valor de M (UNMSM 12 - I)

A) 210 D) 222

05

Halle (x + y) si se cumple: 2x = y ; x2 + 2(2 – Log 2 y) = 0

E) 4

B) 231

C) 190 E) 215

x

x

C) ( f / g) (x) = 2 – x , x ∈[–1; 2〉 – {0} x

D) ( f / g) (x) = 2 – x , x ∈[–1; 2〉 – {2} x

(UNI 12 - 1)

2x; x ≤ –1 D) F(x) = 1; –1 < x < 1 –2x; x ≥ 1

4

M = log

B) ( f / g) (x) = 2 – x , x ∈[–1; 2]

2 7 –   x + 1  + , x < 2 2  4

2x; x ≥ 1 C) F(x) = 2; –1 < x < 1 –2x; x ≤ –1

04

A) ( f / g) (x) = x – 2 , x ∈[–2; 1〉

–   x –  – 1 , x ≥ 2 2 4

–2x; x ≥ 1 B) F(x) = 2; –1 < x < 1 2x; x ≤ –1

2 –2

–(x + 1)2 – 1 , x < 2 4

–2x; x ≥ 1 A) F(x) = 2; –1 < x < 1 2x; x ≤ –1

Dada la ecuación log 2x – 4 log8x = 1 , halle el valor 3 de x (UNTECS - 09 - I)

 x – 1 2 + 7 , x < 2  2  4

E) ( f / g) (x) = x , x ∈[R– {2}] x–2

Sea f (x) = |x – 1| y g(x) = |x + 1| halla la expresión de F(x) = f (x) + g(x)

104

g

f

 x + 1 2 – 9 , x ≥ 2  2  4

1 2

E)

27

LOGARITMOS

A partir del gráco calcule ( f / g) (x)

2 5 –   x + 1  – , x < 2 2  4

(x – 1)2 + D)

14

15

02

Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F)

I. La composición de una función par con una función impar es una función par II. El producto de dos funciones impares es una función impar III. La suma de dos funcioens pares es una función par

2 3 2

Si log4   a b  = 5 y log4b = 2, halle el valor de 16  (a + 1)2

(UNAM 11 - II)

(UNTECS - 10 - II)

A) 16 D) 4

B) 25

C) 1 E) 9

A) 16 D) 19

B) 17

C) 18 E) 20

(UNI 11 - II)

A) VFV D) FFV

B) VVV

C) FVV E) VFF 03

Si p, q, r ∈R+ 1 1 1 E= + + + 1, logr( pq) + 1 logq( pr) + 1 log p(qr) + 1

06

Si Ln(6) = a y Ln  9 = 2 b, calcule Ln(2)·Ln(3) en  4  terminos de "a" y "b" (UNFV - 10 - I)

hallar el valor de E (UNMSM 12 - I)

A) 1 D) 3

B)1,5

C) 3/5 E) 2

A)

a2 + b2

8 2 2 D) a – b 4

B)

a2 + 2b2

16

2

2

C) a – 2b 2 2 2 E) 2a + b 4

5

105

Á L G E B R A

EDITORIAL INGENIO

14

EDITORIAL INGENIO

Si log23 = n, halle log 36243 en función de " n"

15

(UNALM - 05 - II)

A) D)

n

B)

(n + 1)

5 (n + 1)

5n 2(n + 1)

28 01

n

(n – 1)

A) 36 D) 24

E)  5n   (2n + 1) 

CAPÍTULO

A R B E G L Á

C)

Sean x, y ∈R+ tal que log yx + logx y = 10 ∧ xy = 256 3 Calcule el valor de x + y 2

03

B) 2560

Si f (x) = 2x – 1, calcular el valor numérico de

A) 1 D) 4

B) R – 〈–5; 8〉

C) R – [5; 8] E) R – [–5; 8 〉

6

x – 1 x3 – 4x2

Calcule la suma de los enteros que pertenecen al dominio de f . (UNTECS 11 - 1)

A) –2 D) 1

B) –1

C) 0 E) 2

B) 2,5

04

B ) 〈4, –∞〉

C) –∞; – 3 ∪ 〈4; +∞〉 2 E) –∞; – 3 ∪ 3 ; +∞ 2 2

D) – ∞; – 3 2

Si el conjunto solución de la inecuación 1

5

–x

2 –  1  ≤ 0  2  tiene forma [–a; 0〉 ∪ [a; +∞〉 el valor de (2a + 1) es: x

C) 3 E) 3,5

06

Halle el conjunto solución en la siguiente ecuación log3(3 – 4 x) > 2

09

Halle el conjunto solución de la inecuación x + log(1 + 2 x) < xlog5 + log6

(UNI 12 - 2) (CEPRE UNMSM 12 - I)

A) – 3 ; 4 4

B) 2

A) – 4; – 3 2

B) 〈3; +∞〉

D) – 3 ; 3 2

07

C) – 3 ; 3 2

Sea f (x) = |5 – log x| + |1 + logx| halle el rango de f . A) [6; + ∞〉 C) 〈0; +∞〉 E) 〈0; 6〉 ∪ 〈6; +∞〉

A) 〈–∞, 0〉 D) 〈–∞; 1〉

E) – ∞; – 3 2

(UNI 12 - I)

(UNAC 12 - 1)

A) –1 D) 0

108

Sea la función real f , denida por f (x) = ln(–x2 + 3x + 10) +

(UNMSM 09 - 2)

A) R – 〈–5; 8] D) R – [–5; 7 〉

2 (|x| + 1) 2x – 5x + 2 > (|x| + 1)14

C) 1024 E) 1286

M = f (x + 2) – f (x – 1) f (x) + 1

08

x f (x) = ln 2 – 3   x + 5 

C) 72 E) 68

Halle el conjunto solución de la inecuación

¿cuántas bacterias habrá el quinto día?

02

Halle el dominio de la función f , denido por

FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

El número de bacterias que se crea en un labora torio t días esta dado por la fórmula f (t) = 5 – 2 t+4

A) 2460 D) 2500

B) 34

05

B) [8; + ∞〉 D) [0; + ∞〉

B) 〈–∞; 3〉

C) 〈–∞; –1〉 E) 〈–∞; 2〉

x

10

Calcule la ecuación 3x·8x + 2 = 6 A) 1 D) 2

B) 4

C) 3 E) –2

C) 1 E) 3

5

109

Á L G E B R A

EDITORIAL INGENIO

14

EDITORIAL INGENIO

Si log23 = n, halle log 36243 en función de " n"

15

(UNALM - 05 - II)

A) D)

n

B)

(n + 1)

5 (n + 1)

5n 2(n + 1)

28 01

n

(n – 1)

A) 36 D) 24

E)  5n   (2n + 1) 

CAPÍTULO

A R B E G L Á

C)

Sean x, y ∈R+ tal que log yx + logx y = 10 ∧ xy = 256 3 Calcule el valor de x + y 2

03

B) 2560

Si f (x) = 2x – 1, calcular el valor numérico de

A) 1 D) 4

B) R – 〈–5; 8〉

C) R – [5; 8] E) R – [–5; 8 〉

6

x – 1 x3 – 4x2

Calcule la suma de los enteros que pertenecen al dominio de f . (UNTECS 11 - 1)

A) –2 D) 1

B) –1

C) 0 E) 2

B) 2,5

04

B ) 〈4, –∞〉

C) –∞; – 3 ∪ 〈4; +∞〉 2 3 E) –∞; – ∪ 3 ; +∞ 2 2

D) – ∞; – 3 2

Si el conjunto solución de la inecuación 1

5

–x

2 –  1  ≤ 0  2  tiene forma [–a; 0〉 ∪ [a; +∞〉 el valor de (2a + 1) es: x

C) 3 E) 3,5

06

Halle el conjunto solución en la siguiente ecuación log3(3 – 4 x) > 2

09

Halle el conjunto solución de la inecuación x + log(1 + 2 x) < xlog5 + log6

(UNI 12 - 2) (CEPRE UNMSM 12 - I)

A) – 3 ; 4 4

B) 2

A) – 4; – 3 2

B) 〈3; +∞〉

D) – 3 ; 3 2

07

C) – 3 ; 3 2

Sea f (x) = |5 – log x| + |1 + logx| halle el rango de f . A) [6; + ∞〉 C) 〈0; +∞〉 E) 〈0; 6〉 ∪ 〈6; +∞〉

A) 〈–∞, 0〉 D) 〈–∞; 1〉

E) – ∞; – 3 2

(UNI 12 - I)

(UNAC 12 - 1)

A) –1 D) 0

108

A) R – 〈–5; 8] D) R – [–5; 7 〉

Sea la función real f , denida por f (x) = ln(–x2 + 3x + 10) +

(UNMSM 09 - 2)

2 (|x| + 1) 2x – 5x + 2 > (|x| + 1)14

C) 1024 E) 1286

M = f (x + 2) – f (x – 1) f (x) + 1

08

f (x) = ln 2x – 3   x + 5 

C) 72 E) 68

Halle el conjunto solución de la inecuación

¿cuántas bacterias habrá el quinto día?

02

Halle el dominio de la función f , denido por

FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

El número de bacterias que se crea en un labora torio t días esta dado por la fórmula f (t) = 5 – 2 t+4

A) 2460 D) 2500

B) 34

05

B) [8; + ∞〉 D) [0; + ∞〉

B) 〈–∞; 3〉

C) 〈–∞; –1〉 E) 〈–∞; 2〉

x

10

Calcule la ecuación 3x·8x + 2 = 6 A) 1 D) 2

B) 4

C) 3 E) –2

C) 1 E) 3

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Á L G E B R A

CLAVE DE RESPUESTAS Curso Cap

NIVEL I

NIVEL II

NIVEL III

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

12

13

14

15

D

E

A

C

D

B

E

B

B

E

C

D

A

D

B

D

B

B

C

B

C

D

E

E

B

02 A

D

C

D

B

C

C

A

A

E

B

C

A

A

A

C

E

C

E

D

D

B

D

E

C

03 E

C

A

C

B

C

E

A

E

E

B

A

C

B

A

A

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C

C

B

E

C

A

E

D

04 A

B

A

D

C

B

A

C

B

A

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A

C

A

A

B

A

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E

A

A

D

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A

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E

C

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B

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D

C

B

B

E

A

D

A

B

A

D

D

E

C

E

A

C

E

06 E

A

E

C

B

E

B

D

C

E

C

D

C

B

A

B

D

E

D

D

C

C

B

A

E

07 B

B

E

E

C

B

A

B

C

B

D

D

B

E

C

C

A

B

B

C

A

D

D

D

C

08 E

E

B

A

D

D

D

A

A

A

E

A

C

C

B

B

B

D

B

B

C

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C

A

D

09

C

B

C

A

C

C

E

A

A

E

C

D

B

A

D

D

B

C

B

E

D

C

E

E

A

10

D

B

C

D

D

C

D

B

D

A

B

D

C

A

D

C

D

D

B

D

C

C

C

A

D

11 B

C

C

D

D

D

B

D

A

D

C

B

A

D

C

D

E

A

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D

D

E

A

C

E

12 B

C

B

C

A

C

E

C

A

A

E

A

C

E

D

C

C

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A

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E

A

B

D

E

13 A

A

C

E

C

A

D

B

B

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B

A

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C

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A

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D

E

A

A

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A

A

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A

B

C

A

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C

B

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E

D

A

E

15 E

B

D

C

A

E

C

C

E

E

B

C

D

C

A

A

A

A

D

C

A

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C

B

E

16 E

B

C

C

C

C

E

D

C

C

A

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A

B

C

B

A

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D

C

B

E

E

E

D

D

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D

C

E

E

E

C

C

B

E

A

E

A

A

D

B

C

C

A

E

A

A

D

B

01

05

A R B E G L Á

CUADERNO DE TRABAJO

14

17

C.T. ALGEBRA 5°

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