ALGEBRA LINEAL FASE 5 POST TAREA
FASE 5 – POST TAREA – APROPIAR CONCEPTOS Y SOLUCIONAR PROBLEMAS DE LA UNIDAD 3
Presentado a: CARLOS ANDRES VEGA CARDENAS Tutor
Entregado por: DIEGO RUBIO MORENO CODIGO 1056613510 Grupo: 471
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA INGENIERIA DE TELECOMUNICACIONES MARZO 15 DEL 2018
Actividades a desarrollar 1. Dados:
X = < 1,3,5 > ; Y = < 2,4,5>; Z= <1,0,2> vectores que pertenecen a un espacio vectorial V, demuestre el axioma número 2 denominado Ley conmutativa de la suma de vectores.
,,,+, , +, , , +, , =+=,+,+ =,=, ,+, , , =+=,+,+ 1.1
Siendo α y β variables escalares, demuestre el séptimo y octavo axioma para espacios vectoriales usando los vectores del espacio vectorial V del punto anterior. Use valores de 3 y 4 para α y β respectivamente.
+ + = + + + = + == 34 == 22++3+ 34++55
= +2 +2 Demostrar el séptimo y octavo axioma para los espacios vectoriales: Séptimo axioma: Propiedad distributiva del producto de un escalar con respecto a la suma de vectores: si α es cualquier numero real y X y Y son vectores V, entonces: α(x+y) = αx + αy
+ + = + + 3 + 3 + 5=+322 ++ 34 ++ 55+++3 +22+ 4 + 5 + 3 + 2 3+ 9 +15=3+9+15+6+12+15+3+6 +6 +12 + 15 +3 + 6 12 +21+36 = 2+21+36 Octavo axioma: Propiedad distributiva del producto de un escalar por un vector con respecto a la suma de escalares: si α y β son cualquiera par de escalares y X es cualquier vector V, entonces (α + β)*X = α*X + β*X.
2.
+ ∗ ∗ = ∗ ∗ + ∗ ∗ 3 +74+ 21+ +33+55= 3= 3+9++315+5+4++412++320+ 5 7 + 21 + 35 = 7 + 21 + 35 = {, } = 5,1 =−3,−2
Dado el conjunto Demostrar que genera a
donde donde
Un conjunto dado, S en este ejercicio, genera un espacio vectorial si todos los elementos del espacio vectorial pueden ser expresados como una combinación lineal del conjunto. Adicionalmente, es necesario que todos los elementos del conjunto sean parte del espacio vectorial.
Para demostrar que el conjunto puede generar
se intentará demostrar
que puede ser expresado como una combinación lineal de los vectores
. Nótese que dichos vectores, expresado en términos de coordenadas, pertenecen a , de manera que ya se cumple una de las condiciones. Ahora bien, si y generan un vector arbitrario , con coordenadas i y j, debe poder expresarse como combinación lineal de y : = + y
Expresado en términos de componentes,
, = , + −,− , , = = , −+ −, −,−
O bien,
Esto puede ser expresado en un sistema de ecuaciones:
−−==
El problema ahora se reduce a determinar si el sistema es consistente para los valores de
y
. Para ello la matriz de coeficientes, del sistema de
ecuaciones propuesto, debe ser invertible y por tanto su determinante diferente de cero. Sea la matriz de coeficientes A:
= 51 −3−2 =|51 −3−2| = 5∗−2 5∗−2 − 1∗−3 1∗−3 =−10+3=−7
Puesto que el determinante de A existe, existe un conjunto de valores
,
y
que satisfacen el sistema de ecuaciones, y por tanto existen valores de
y
, −75−44 1=−142= −3+2 3=2 +
, que permiten expresar el conjunto como una combinación lineal de . Por tanto, los vectores
generan al espacio vectorial
Expresar el polinomio combinación lineal de los polinomios .
2.1
7−4
.
como una y
Sabemos que el polinomio es esta ecuacion caracteristica a x^2 + b x + c equivalente a [a,b,c] Podemos decir que:
1= 1 = −14,−75,2 =−441,−3,− 3,2 ó 2 3. 3 = 2,2,7, −4
entonces ahora lo que que tenemos que hacer es pensar como que fueran vectores y encontrar a,b,c tal que
−14 −14,, −75, −75, −44−44 = 1, −3,−3,2 + 2,2,7, −4−4 + 00 −14,−75,−44= +2,−3+7,2−4 , + 2 2−4=−44 = −1−143 + 7 = −75 = −1−18, = 2, = 0. 1 = −14^2 − 75 − 44 = 2 ++ 3 ̂ ̂ ̂ ̂ ⃑ =−6 + 9 =− + 9 ⃑ ⃑ = −11̂ − 9̂
entonces resolviendo nos queda
Resolvemos nos queda que : Entonces nos queda que
Dados los vectores que el vector la respuesta
2.2
y ¿es correcto afirmar es una combinación lineal de y ? Justificar
=−6, 9 =−1, 9 =−11,−9
Datos
Verificamos si el vector puede observarse como una combinación lineal de u y v:
Determinamos que:
−11,9 = −6,9 + −1,9 −6−=−11 9+9=9 9+9−54−9=9−99 −45=−90 = −90−45 =2 −6−=−11 −62−=−11 =−12+11 =−1 −11,9 = −6,9 + −1,9 Ecuación 1 Ecuación 2
Sumamos la ecuación 2 con 9 veces la ecuación 1
Sustituimos en ecuación 1
Despejamos para b
Comprobamos
−11,9 = 2−6,9 +−1−1,9 −11,9 = −12+1,18−9 −11,9 =−11,9 Podemos observar que es una combinación lineal.
3.
De la siguiente matriz que agrupa a tres vectores de un espacio vectorial, vectorial, calcule
7[3 −49 −−111] 4 −13 −10 a)
Determinante
Solución:
=7∗−413 −−110 − −934 −−110−11∗34 −413 −413 −−110=−53 34 −−110=−26 34 −413=−55 7−53 − −9−26 −1155
=0
Es una matriz independiente linealmente
b)
Rango
Solución:
73 −49 −−111 4 −13 −10 7 − 9 − 1 1 = 34 −55713 −26710 73 −559 −2611 = 4 557 −726 ( 7 7) 7 − 9 − 1 1 55 26 = 30 70 70 7 − 9 − 1 1 = 30 10 26550 37155 7 0 − = 3 1 2655 (0 0 0 )
Reducir matriz en su forma escalonada por renglones
5355 1 0 − = 0 1 2655 (0 =0 0 )
Es una matriz linealmente dependiente
c)
Matriz escalonada usando Gauss Jordán
Solución:
73 −49 −−111 4 −13 −10 7 − 9 − 1 1 = 04 −55713 −26710 73 −559 −2611 = 0 −755 −726 7 7) 7 − 9 − 1 1 55 26 = 00 70 70
Es una matriz linealmente dependiente
Determine independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores. a. V1= (0,2,2). V2= (3,3,3). V3= (0,0,4). b. V1= (6 ,-2, 8 ). V2= (1/2, 4, 0) . V3= (-10, 6, 2). V4=(2,1,4).
4.
a.
V1= (0,2,2). V2= (3,3,3). V3= (0,0,4).
Solución:
Reescribimos la ecuación vectorial en la forma de matriz y la resolvemos por el método de Gauss 0 2 2
3 3 3
0 0 4
cambiemos de lugares 1-ésimo y 2-ésimo 2 0 2
3 3 3
0 0 4
Dividamos 1-ésimo por 2 1 0 2
1.5 3 3
0 0 4
de 3 filas sustraigamos la 1 línea, multiplicada respectivamente por 2 1 0 0
1.5 3 0
0 0 4
Dividamos 2-ésimo por 3 1 0 0
1.5 1 0
0 0 4
de 1 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por 1.5 1 0 0
0 1 0
0 0 4
Dividamos 3-ésimo por 4
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Resultado: El sistema de vectores dado (el sistema de vectores linealmente
independiente), así que todas xi = 0 b.
V1= (6,-2, 8). V2= (1/2, 4, 0). V3= (-10, 6, 2). V4= (2,1,4).
Reescribimos la ecuación vectorial en la forma de matriz y la resolvemos por el método de Gauss 6 1/2 -2 4 8 0 0 0
-10 6 2 0
2 1 4 0
Dividamos 1-ésimo por 6 1 1/12 -2 4 8 0 0 0
-5/3 6 2 0
1/3 1 4 0
de 2; 3 filas sustraigamos la 1 línea, multiplicada respectivamente por -2; 8 1 0 0 0
1/12 -5/3 25/6 8/3 -2/3 46/3 0 0
1/3 5/3 4/3 0
Dividamos 2-ésimo por 25/6 1 0 0 0
1/12 1 -2/3 0
-5/3 16/25 46/3 0
1/3 2/5 4/3 0
de 1; 3 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por 1/12; -2/3 1 0 0 0
0 1 0 0
-43/25 16/25 394/25 0
3/10 2/5 8/5 0
Dividamos 3-ésimo por 394/25 1 0 0 0
0 1 0 0
-43/25 16/25 1 0
3/10 2/5 20/197 0
de 1; 2 filas sustraigamos la 3 línea, multiplicada respectivamente por -43/25; 16/25 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
187/394 66/197 20/197 0
Resultado: El sistema de vectores dado no es una base (el sistema de vectores linealmente dependiente), así que existen xi ≠ 0
. 1 0 2 1 0 − 1 00 = 10 + 10 0 2 −1 10 10 ⋮ 00 = − 2 2 −1 0
5. Usando el siguiente siguiente par de vectores, compruebe porque no son base generadora de U= V= Primero vamos a ver que los vectores son linealmente independientes, para eso vamos a utilizar la forma general:
Ahora, vamos a encontrar los valores de forma matricial:
y
, para eso vamos a verlo de
10 10 ⋮ 00 → 0 −3 0 10 −31 ⋮ 00 = 3 + 000 30 −30 ⋮ 00 3 0 0 0 −3 10 01 ⋮ 00 000 = = 0
De lo anterior, decimos que:
Por lo tanto, decimos que los vectores son linealmente independientes. Ahora, vamos a ver que generan, para eso vamos a utilizar la definición:
= 10 + 10 2 −1 = + =0 =2 −
Vamos a sacar las ecuaciones y obtenemos lo siguiente:
Como
=0
, entonces no generan a todo
.
