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Poisson como Apr Aproximación oximación de la Binomial Binomial La distribución de probabilidades probabilidades binomial se hace cada vez más sesgada a la derecha conforme la probabilidad de éxitos disminuye. La forma límite de la distribución binomial donde la probabilidad probabilidad de éxito p es muy pequeña y n es grande, se llama:
Distribución de probabilidades probabilidades de Poisson. Proceso de Poisson: Consiste en observar la ocurrencia de Proceso eventos discretos discretos en un intervalo continuo (unidad de medida).
Distribución de Poisson
Permite determinar la probabilidad de la ocurrencia de un número dado de éxitos por unidad de medición (minuto, hora, centímetro, metro, cuadrado, etc.) TÉCNICAS DECISIONALES
Distribución de Poisson
Las ocurrencias de un evento pueden ser descritas en términos de una variable aleatoria discreta. Existe un régimen que caracteriza el proceso (número de ocurrencias por intervalo de tiempo o espacio). Se usa para describir las distribuciones de probabilidad de: Errores en la captura de datos. Número de ralladuras u otras imperfecciones en autos. Demanda de productos o de servicios. Número de clientes en espera de servicio. Número de llamadas telefónicas en una central. Número de accidentes. Número de llegadas de vehículos. Número de defectos observados en longitudes, superficies, u objetos.
Características de la Distribución de Poisson
La probabilidad de que exactamente una ocurrencia se presente en cada sub-intervalo de tiempo o espacio es muy pequeña y es constante para cada sub-intervalo. La probabilidad de que se presenten dos o más ocurrencias en un sub-intervalo es tan pequeña que puede ser considerada cero. El número de ocurrencias que se presentan en un sub-intervalo no depende de donde esté localizado dicho sub-intervalo. El número de ocurrencias que se presenten en un sub-intervalo no depende del número de ocurrencias de cualquier otro subintervalo.
Probabilidad en una Distribución de Poisson Si f ( x) P ( X x) para x 0, 1, 2,...,n
P ( X x) PROBABILIDAD QUE SE VA A CALCULAR PARA UN
e
x
x!
NUMERO DE OCURRENCIAS
VALOR DADO DE “ X “
promedio de ocurrencias en
t unidades de medida
λ =
e = 2.71828 Base de logaritmos neperianos o naturales.
Distribución de Poisson como una aproximación de la Distribución Binomial
La distribución de Poisson es una buena aproximación de la distribución binomial cuando n es igual o mayor que 20 y p es igual o menor a 0.05.
np f ( x)
e
np
x
(np)
x!
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Distribución de Poisson
El número medio de éxitos se puede determinar por:
np
La varianza de la distribución de Poisson es:
2
np
donde n es el número de ensayos y
p la probabilidad de éxito.
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EJEMPLO 1
El policlínico de La Victoria Nueva se especializa en el cuidado de lesiones menores, resfriados y gripe. En las horas de la tarde de 6-10 PM el número medio de llegadas es 3.0 por hora. ¿Cuál es la pr obabi lidad de que 4 pacientes lleguen en una hor a? ¿Cuál es la pr obabi lidad de que como máximo se den 2 llegadas en una hor a? ¿Cuál es la pr obabi lidad de que lleguen al menos 3 pacientes en una hor a? t : 1 hora
3
Experimento: Analizar el número de llegadas en 1 hora X: Número de llegadas en 1 hora X:0.1,2,3,4, ……
P ( X 4)
P ( X 2) P ( X 3)
e 3 34 4!
0.1680
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EJEMPLO 2
Los clientes llegan a la ventanilla del BCP a un régimen de 24 por hora.
¿Cuál es la probabilidad de que 20 clientes lleguen en 60 minutos?
¿Cuál es la probabilidad de que 9 clientes lleguen en un lapso de 22 minutos? Experimento: Analizar el número de clientes por hora X: Número de clientes por hora X:0.1,2,3,4,
t : 1 hora 60 min 24
……
t : 22 min
t : 1 hora ; 24 P ( X 20)
e
24
20
24
20!
0.062
P ( X 9)
e 8.8 8.89 9!
0.1314
EJEMPLO 3
Supongamos que se está interesado en la probabilidad de que exactamente 5 clientes lleguen a Plaza Vea lleguen durante la siguiente hora (o en cualquier hora dada) laboral. La observación simple de la últimas 80 horas ha demostrado que 800 clientes han entrado al negocio. t : 80 horas ; 800 clientes t : 1 hora
;
P ( X 5)
e 10105 5!
0.0378
EJEMPLO 4 Si un banco recibe en promedio de 6 cheques sin fondo por día ¿Cuál es la pr obabilidad de que r eciba 4 cheques sin fondo por día?
= 6 cheques sin fondo por día. e = 2.718
P (x = 4; = 6) = (2.718)-6 (6)4 = 0.13392 4!
EJEMPLO 5
La probabilidad de tener un accidente de tráfico cada vez que se viaja es de 0,02, si se realizan 300 viajes, ¿Cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes? Como la probabilidad de que ocurra un accidente p = 0.02 < 0,05, y n = 300 > 20, entonces aplicamos el modelo de distribución de Poisson.
np 3000.02 6
6
P ( X 3) Por lo tanto , la prob abilidad de tener 3 acc iden tes de tráfic o en 300 viajes es del 8,9%
e 6 3!
3
0.0892
EJEMPLO 6 En la edificación de cada conjunto habitacional del programa Mi vivienda la probabilidad de que un trabajador tenga un accidente es de es de 0,012. ¿Si se r eali zan 800 conjun tos habitacionales, Cuál es la pr obabilidad de que sucedan 5 accidentes? La probabilidad de que un trabajador sufra un accidente es
p = 0.012 < 0,05, y
n = 800 > 20, entonces aplicamos el modelo de distribución de Poisson.
np 8000.012 9.6
P ( X 5)
e
9.6
9.6
5!
5
0.046
Por lo tanto, la probabilidad de que ocurran 5 accidentes en 800 construcciones es del 4,6%.
RECOMENDACIONES PRÁCTICAS: Frente a un problema concreto, analice detenidamente todas sus características, y al elegir el modelo apropiado, verifique que se cumplan todos los supuestos del mismo. •
No olvide emplear la distribución de Poisson a la binomial en aquellos casos en que p es pequeño y n es grande. •
En el caso de variables aleatorias discretas, es importante diferenciar si la probabilidad deseada incluye o no el valor particular de la variable. Es decir, que P(X > x) no es lo mismo que P(X > x) y P (X < x) es distinto de P(X < x). •
