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Investigación de Operaciones Método Simplex Revisado
Instituto Ingeniería Industrial y Sistemas
Prof. Ignacio Morales:
[email protected]
Método Simplex Revisado •
•
El método simplex revisado se ideo con el fin de simplificar aun más el procedimiento y así hacerlo mas eficiente para su ejecución en una computadora. Es un procedimiento algebraico directo y utiliza operaciones con matrices. El modelo general de programación lineal en la forma estándar se puede expresar como: Donde : c es un vector fila, x y b son vectores columna A es una matriz •
•
•
=
…
= ⋮
⋮
⋯ … ; X = ⋱ ⋮ ⋮ …
; b = ⋮
Método Simplex Revisado •
Para obtener la forma aumentada del problema se introduce e vector columna de las variables de holgura:
X S =
+ + ⋮ +
•
De manera que las restricciones se convierten en:
,
= b
y
≥0
donde I es la matriz identidad de (m x m).
Método Simplex Revisado •
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Recordar que el enfoque general del método simplex es obtener una solución básica factible mejorada hasta alcanzar una solución óptima. Dada las variables básicas y no básicas, la solución básica que resulta es la solución de las m ecuaciones. ,
•
= b
sean igual a 0. Cuando se eliminan estas n variables al igualarlas a 0 queda un conjunto de m ecuaciones con m incógnitas (las variables básicas). Este sistema de ecuaciones se puede denotar por:
En las que las n variables no básicas de entre los
n+m
elementos de
BXB = b
•
Donde el vector XB = se obtiene al eliminar las variables no básicas de ⋮
.
Método Simplex Revisado •
Y la matriz base = ⋮
•
•
⋮
⋯ … ⋱ ⋮ …
Se obtiene al eliminar las columnas correspondientes a los coeficientes de las variables no básicas de [A, I]. (Aún más, los elementos de XB y, por lo tanto, las columnas de B pueden colocarse en orden diferente al ejecutar el método simplex.) El método simplex introduce sólo variables básicas tales que B sea no singular, de manera que B-1 siempre existe. De esta forma, para resolver BXB = b, se premultiplican ambos lados por B-1: B-1BXB = B-1b
•
Como B-1B = I, la solución deseada para las variables básicas es : XB = B-1b
Método Simplex Revisado •
Sea cb el vector cuyo elementos son los coeficientes de la función objetivo que corresponde a los elementos de xb. El valor de la función objetivo para esta solución básica es:
Z = cbxb = cbB-1b •
En el caso del conjunto original de ecuaciones, la forma matricial es:
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De manera general, las tablas simplex se generan de la siguiente forma:
Método Simplex Revisado PROCEDIMIENTO Inicio: Ingresar variables de holgura para obtener lar las variables básicas iniciales . Iteración: •
Paso 1: Prueba de optimalidad
Determine la variable básica entrante de las variables no básicas disponibles eligiendo la del coeficiente mas negativo. Use las expresiones matricial.
cBB-1A - c •
Paso 2: Prueba de cociente mínimo
Determine la variable básica saliente dada por: _ XB B 1b min = min _ Yi B 1Ai •
Paso 3: Determine la nueva solución BF: actualice la matriz B reemplazando la columna de la variable básica saliente por la columna correspondiente en [A, I] para la variable básica entrante (así también para xB y cB). Luego deduzca B sig-1 y fije el valor en xB = B-1b.
