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UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN FACULTAD DE CIENCIAS AGRARIAS EAP DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL AGROINDUSTRIAL
INVESTIGACION DE OPERACIONES
Guía de Práctica No.4
EL ALGORITMO Sign up toDEL vote on this title
“
Useful Not useful SIMPLEX ”
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Presentación
La modelización es una de las áreas más atractivas de la ingeniería y las cienci aplicadas. De hecho, los ingenieros necesitan construir modelos para resolver problem de la vida real.
El objetivo de un modelo consiste en reproducir la realidad de la forma más fiel posib tratando de entender cómo se comporta el mundo real y obteniendo las respuestas q pueden esperarse de determinadas acciones. En la práctica se utilizan muchos tipos modelos, tales como modelos de ecuaciones diferenciales, modelos de ecuacion funcionales, modelos en diferencias y de elementos finitos, y modelos de programaci matemática.
La selección del modelo adecuado para reproducir la realidad es una etapa crucial pa obtener una solución satisfactoria a un problema real. Las estructuras matemátic asociadas no son arbitrarias, sino una consecuencia de la realidad misma. En el cur Investigación de Operaciones, se hace un esfuerzo importante por conectar las realidad física y matemática. Se muestra al estudiante el razonamiento que conduce al análisis las diferentes estructuras, modelos y conceptos. Esto se pone de manifiesto en l ejemplos ilustrativos, que muestran la conexión entre modelo y realidad. You're Reading a Preview En este curso se tratan los modelos de programación matemática, incluyendo los Unlock full access with a free trial. programación lineal y no lineal.
With Trial Los problemas de programaciónDownload matemática sonFree problemas particulares a los que uno enfrenta con cierta frecuencia. Uno está preparado para resolverlos usando muchas las herramientas disponibles, procedimientos o paquetes de software. De hecho, est problemas se estudian en detalle en los estudios de grado y postgrado. Sin embargo, u Signmuy up tofrecuentes vote on this title puede no estar preparado para resolver otros problemas como:
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1. Problemas de programación lineal con muchas variables y/o restricciones. 2. Problemas de programación no lineal.
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Por ejemplo, no es infrecuente dar a una persona que ha estudiado durante añ programación lineal, un dibujo bidimensional sencillo en el que aparece el conjun factible, y preguntarle que marque la secuencia de puntos extremos asociada al méto simplex, sin obtener una respuesta correcta. Nótese que esto significa que no comprende la esencia misma del método simplex y de las ideas en que éste se basa.
Alternativamente, uno puede tratar este tema con la ayuda de ejemplos ilustrativos tratar de transmitir al lector la profundidad y el ingenio que hay detrás de estos método con lo que se hace el tema más legible y atractivo.
No tratamos con métodos o soluciones estándar. El lector que busque métodos estánd o referencias de trabajos con esta orientación debería consultar uno de los muchos libr sobre este tema que se encuentran en el mercado. Por el contrario, en este libro discuten los problemas antes mencionados desde otro punto de vista.
Además de obtener soluciones, matemáticos e ingenieros están interesados en analiz las condiciones que conducen a problemas bien definidos. En este contexto, l problemas de compatibilidad y unicidad de solución juegan un papel central. De hech conducen a conclusiones físicas e ingenieriles muy interesantes, que relacionan l condiciones físicas, obtenidas de la realidad, con las correspondientes condiciones q hay tras los modelos matemáticos. Los métodos a desarrollar en este curso tambié You're Reading aconducen Preview a la existencia de al menos u permiten concluir si el conjunto de restricciones solución. Unlock full access with a free trial.
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Mg. Gregorio Cisneros San
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Actividad Inicial:
Toda actividad propuesta se inicia con la formación de grupos: El trabajo grupal siempre será u forma de potencial el aprendizaje; deberán formar grupos que permanecerán durante el desarro de todo el curso, con la finalidad de poder compartir experiencias, tomar decisiones y sac conclusiones sobre los diferentes temas que se vayan abordando en el curso.
Objetivo:
Al culminar la presente práctica los alumnos habrán obtenido los conceptos básicos programación lineal en el Algoritmo del Simplex y estarán en condiciones de poder resolv problemas de optimización aplicando el algoritmo del Simplex. De igual manera los alumnos conocerán e intercambiarán ideas de cómo aprender mejor los temas.
Recomendaciones:
Recuerden que es importante conocernos para poder trabajar en grupos o en equipos. necesario para nosotros los docentes y también para los alumnos. Para hacer posible es acercamiento es necesario contar con un espacio de integración y tiempo suficiente.
Cada grupo se organizará internamente y establecerá su código de ética. Este será cumplimiento obligatorio de cada integrante. Se trata de formar una sociedad de trabajo, por tanto, todos deben tener claras las reglas y posibles sanciones que hay en ellas. El docen brindará las pautas para el desarrollo de ésta importante actividad previa al aprendizaje.
You're Reading a Preview
Actividad Principal:
Unlock full access with a free trial.
En cada práctica se tocará un tema del contenido del curso, para complementar los conocimient Download Free Trial teóricos de las clases dictadas previamente y seWith presentan los ejercicios y casos resueltos y cas propuestos, que deberán ser tratados por el grupo.
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Tema 4: “PROGRAMACION LINEAL: ALGORITMO DEL SIMPLEX”
PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS PROBLEMA RESUELTO: CASO AGROINDUSTRIAS SAC.
Agroindustrias SAC produce dos tipos de productos (A y B) para ello utiliza do tipos de materias prima (MP1 y MP2), cuya disponibilidad es restringida. Los dato básicos se proporcionan a continuación: Producto A Producto B Disponibilidad semanal máxima (TM). Materia Prima MP1 en TM
6
4
24
Materia Prima MP2 en TM
1
2
6
Utilidad por TM (miles de $)
5
4
Una encuesta de mercado indica que la demanda semanal del producto B no pue superar en una tonelada más que el producto A. También que la demanda máxim semanal del producto B es de 2 toneladas. You're Reading a Preview
La empresa desea determinarUnlock la mezcla mejor) de productos para q full accessóptima with a free(la trial. maximice la utilidad semanal total.
DownloadLINEAL, With Free como Trial en cualquier modelo d El MODELO DE PROGRAMACION investigación de operaciones tiene tres componentes:
1. Las VARIABLES de decisión que se trata de determinar. Sign up to vote on this title
2. El OBJETIVO (la meta) que se trata de optimizar. Useful Not useful 3. Las RESTRICCIONES que se deben satisfacer.
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Restricciones:
X2 6
6X1 + 4X2 ≤ 24
1
X1 + 2X2 ≤ 6
2
-X1 + X2 ≤ 1
3
X2 ≤ 2
4
0
5
6
5
1
X1
3
≥
X2 ≥ 0
4
6
2
3
4 2
1
E
D C
F A
B 1
2
3
4
5
5
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(Maximizar Z = 5X1 + 4X2)
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METODO SIMPLEX
Es una técnica algebraica general, que utiliza la programación lineal como column vertebral de su algoritmo para encontrar la solución óptima.
El método gráfico nos indica que la solución óptima de un programa lineal siemp está asociada con un punto esquina del espacio de soluciones. Este resultado es clave del método simplex algebraico y general para resolver cualquier modelo programación lineal. El método simplex implica un procedimiento que determina e forma algebraica los puntos esquina; esto se logra convirtiendo primero a todas l restricciones de desigualdad en ecuaciones, para después manipular ecuaciones en una forma sistemática (iteraciones). Cada iteración desplaza solución a un nuevo punto esquina que tiene potencial de mejorar el valor de función objetivo. El proceso termina cuando ya no se pueden obtener mejor (solución óptima). Espacio de soluciones en forma de ecuación.
Para estandarizar, la representación algebraica del espacio de soluciones d programación lineal se forma bajo dos condiciones: 1. Todas las restricciones (excepto las de no negatividad) son ecuaciones You're Reading a Preview lado derecho no negativo. Unlock full access with a free trial.
2. Todas las variables son no negativas.
Free Trial Transición de solución gráfica Download a soluciónWith algebraica.
El procedimiento contenido en la solución gráfica de un modelo de programació lineal son la base para desarrollar el método algebraico simplex, a continuación muestra el paralelismo entre ambos métodos. Sign up to vote on this title Useful Not useful
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ALGORITMO DEL SIMPLEX
Utilizaremos el Caso Agroindustrias SAC para explicar los detalles de cálculo una iteración simplex, que incluyen las reglas para determinar las variables d entrada y de salida, así como para detener los cálculos cuando se ha llegado a solución óptima. El problema planteado se expresa en forma de ecuaciones como sigue: Maximizar Z = 5X1 + 4X2 + OX3 + OX4 + OX5 + OX6 Sujeta a: 6X1 + 4X2 + X3 X1 + 2X2
= 24 + X4
= 6
-X1 + X2
+ X5
X2
= 1 + X6 = 2
X1, X2, X3, X4, X5, X6
≥ O
Ojo: Las variables X3, X4, X5 You're y X6 son las holguras Reading a Previewasociadas a las restriccion respectivas. Unlock full access with a free trial.
De tal manera la tabla inicial simplex (ITERACIÓN 1) se representa así: Download With Free Trial elemento pivote
Columna pivote
Cj
0
fila pivote
5
4
0
Xb
Xi
X1
X2
X3
X3
24
6
4
1
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Normalmente, para los casos de maximización, el método simplex comienza en origen (O, O) donde X 1 = X2 = O. En éste punto de inicio, el valor de la funció objetivo Z es cero. ¿Será posible mejorar Z con unSign aumento enonX this en X 1 y/o 2? up to vote title
useful Useful Notresultado Si elegimos aumentar X1 o X2, cualquier selección daría como un val objetivo mejor. Sin embargo, el método simplex proporciona una regla definida qu establece que se debe elegir la variable no básica que tenga el coeficiente positiv
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Luego se continúa con la construcción de la Tabla 2 (ITERACION 2)
OPERACIONES DE RENGLON DE GAUSS JORDAN
1. RENGLON PIVOTE. Nuevo renglón pivote = Renglón pivote actual / Elemento pivote 1. TODOS LOS DEMAS RENGLONES, INCLUYENDO Z.
Nuevo renglón = (Renglón actual) – (Su coeficiente en la columna pivote) x (Nue renglón pivote) Estos cálculos se aplican a la tabla anterior en la siguiente forma: 1. Nuevo renglón pivote X1 = Renglón pivote X3 actual / 6 2. Nuevo renglón Z = Renglón Z actual – (-5) x Nuevo renglón pivote You're Reading 3. Nuevo renglón X4 = Renglón X 4 actuala –Preview (1) x Nuevo renglón pivote Unlock full access with a free trial. 4. Nuevo renglón X5 = Renglón X 5 actual – (-1) x Nuevo renglón pivote
5. Nuevo renglón X6 = Renglón X6 actual (0)Trial x Nuevo renglón pivote Download With – Free La tabla nueva (ITERACIÓN 2) que corresponde a la nueva solución básica (X X5, X6) es la siguiente: Cj
5
5
4
0
Xb
Xi
X1
X2
X3
X1
4
1
⅔
⅙
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Downloadrenglón With Freede Trial Luego de aplicar las operaciones Gauss-Jordan, la última tab identifica a X2 y X4 como las variables de entrada y de salida, debido a que n hemos llegado a la solución óptima, ya que X 2 presenta Cj – Zj positivo, ensegui se identifica a X4 como la variable de salida de acuerdo a los cálculos de razones Sign up to vote on this title
La tabla nueva (ITERACIÓN 3) que se de realizar Useful luego Not useful muestra, operaciones Gauss-Jordan, corresponde a la nueva solución básica (X1, X4, X5, X
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You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
Download With Free Trialasociados con las variables Como ninguno de los coeficiente del renglón Cj – Zj básicas X3 y X4 son positivos, ésta última tabla es la óptima, por lo tanto estamo ante la solución óptima.
Variable de decisión Valor óptimo X1
3
X2
1.5
Recomendación Sign up to vote on this title
Useful Not Producir 3 Ton/semanal deluseful Producto A.
Producir 1.5 Ton/semanal del Producto B.
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PROBLEMAS PROPUESTOS PARA EL ALGORITMO DEL SIMPLEX: Download With Free Trial
1. La Cía. Fruitcola SAC produce y vende dos tipos de gaseosas: la Fruitcola (sabor naranja) y la Fruitcola 2 (sabor maracuyá) que es menos costosa. margen de utilidad aproximado del sabor naranja es 5 centavos (US$)por lata to vote on la thisempresa title del sabor maracuyá 7 centavos (US$) por lata.Sign En up promedio, no ven Useful Not useful una reconocida, más de 500 latas diarias. Aunque Fruitcola 1 es marca los client tienden a comprar más del sabor maracuyá, porque es más barata. Se estima q se venden cuando menos 100 latas diarias del sabor naranja, y que Fruitcola 2
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3. Consorcio Agroindustrial SAC exporta dos tipos de espárragos en cajas, las tipo comercial, en envase tradicional; y, las de tipo jumbo especial, con tratamiento adicional en el envasado. El envasado de ambos productos se hac en un mismo departamento de envasado. El departamento de selección pue producir un máximo de 200 cajas comerciales y 150 especiales por turno. Para tratamiento adicional se necesita el doble de tiempo que para envasar una ca comercial. Si el departamento de envasado sólo se dedicara al tipo especi podría terminar 180 por turno. La empresa estima que las utilidades unitarias s $10 y $14 por caja comercial y especial, respectivamente.
Formule el problema como programa lineal y determine el program óptimo de producción por turno, utilizando el algoritmo del simplex. Cada grupo deberá presentar la solución de la práctica en un informe físico o virtual, acuerdo a las instrucciones del docente.
Mg. Gregorio Cisneros Santos
Docente del Curso Email:
[email protected]
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