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2.5 2. 5 El El métod o si mplex r evisado. El método Simplex tabular se desarrolla mediante iteraciones sucesivas que se generan a través del uso de las operaciones del renglón de GAUSS-JORDAN . Desde un punto de vista los cálculos de éste método, pueden hacer que se dañe la memoria de la computadora ya que toda la tabla debe ser almacenada en la máquina, para evitar este problema se desarrolló un nuevo método avanzado que favorece la ejecución de un programa en la computadora. El método de la forma de producto es un procedimiento del álgebra matricial que calcula la inversa de una nueva base a partir de la inversa de otra base siempre que las dos bases difieran exactamente en un vector columna. Para resolver problemas de P.L. por este método se requiere conocer las Propiedades de la tabla simplex que se presentan a continuación: Tabla Tabla 2.34 2.34 Propiedades de la tabl a simp les
Variables no básicas iniciales
Variables básicas iniciales
Solución
T − C B B 1a j − C j
C BT B −1
Z = C BT B −1b
Renglón de Z j − C j Variables Básicas Actuales
Matriz inversa
−
B 1a j
B
−1
−1
X B = B b
Donde: T
C B = Transpuesta de los coeficientes en la función objetivo de las variables básicas. −1
B = Matriz inversa formada por los vectores de las variables básicas iniciales. a j = Coeficientes en las restricciones de la variable j, también llamados coeficientes
tecnológicos. C j = Coeficientes en la función objetivo de las variable j a analizar. X B = Variable básica
b = Elementos del lado derecho de las restricciones o bien términos independientes. Estas propiedades se podrán usar en cualquier parte de tabla de la solución de un problema de P.L., en este caso se comprobarán todas las propiedades al siguiente problema
1
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Max. Z = S.a:
2X1 +
X2
-
X3
+ 5X4
X1 + 7X2 + 3X3 - 7X4 3/2X1 - 1/2X2 +1/2X3 + X4 4X1 + 6X2 - 2X3 + 2X4 X1, X2, X3, X4 ≥ 0
Variable Básica S1 X4 X2
Z
Tabla Tabla X1 6 11 11/7 1/7
2.3 2.35 5 Soluc ión ópti ma X2 X3 X4 0 2 0 0 8 0 0 2/7 1 1 -3/7 0
≤ ≤ ≤
del probl ema S1 S2 0 4 1 8 0 6/7 0 -2/7
46 4 20
S3 1/2 -1/2 1/14 1/7
Solución 26 68 34/7 12/7
B-1
8 − 1/ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ B −1 = ⎜ 0 6 / 7 1 / 14 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 − 2 / 7 1 / 7 ⎠ T
8 − 1 / 2 ⎞⎛ 46 ⎞ ⎛ 68 ⎞ ⎛ 1 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ X B = B −1b = ⎜ 0 6 / 7 1/ 14 ⎟⎜ 4 ⎟ = ⎜ 34 / 7 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 − 2 / 7 1 / 7 ⎠⎝ 20 ⎠ ⎝ 12 / 7 ⎠
−1
denominados multiplicadores simplex, o vector fila donde se encuentra la solución del dual o del primal. C B B
8 − 1/ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ T − C B B 1 = (0 5 1)⎜ 0 6 / 7 1 / 14 ⎟ = (0 4 1/ 2) ⎜ ⎟ ⎝ 0 − 2 / 7 1 / 7 ⎠ ⎛ 68 ⎞ ⎜ ⎟ T − T Z = C B B 1b = C B X B = (0 5 1)⎜ 34 / 7 ⎟ = 26 ⎜ ⎟ ⎝ 12 / 7 ⎠ También se puede calcular Z
⎛ 46 ⎞ ⎜ ⎟ Z = C B B b = (0 4 1 / 2 )⎜ 4 ⎟ = 26 ⎜ ⎟ ⎝ 20 ⎠ T −1
8 7 3 − 7 ⎞ ⎛ 11 0 8 0 ⎞ − 1 / 2 ⎞⎛ 1 ⎛ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ B −1a j 0 6 / 7 1 / 14 ⎟⎜ 3 / 2 − 1 / 2 1 / 2 1 ⎟ = ⎜11 / 7 0 2 / 7 1 ⎟ ⎜ j =1, 2,3, 4 ⎟⎜ ⎜ 1/ 7 1 − 3 / 7 0 ⎟ ⎜ 6 − 2 2 ⎠⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 0 − 2 / 7 1 / 7 ⎠⎝ 4
(
)
2
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(C B −1a T B
j
− C j
) =1,2,3,4 j
8 0 ⎞ ⎛ 11 0 ⎜ ⎟ = (0 5 1)⎜11/ 7 0 2 / 7 1 ⎟ − (2 1 − 1 5) ⎜ 1/ 7 1 − 3 / 7 0 ⎟ ⎝ ⎠
= (8 1 1 5) − (2 1 − 1 5) = (6 0 2 0 )
Forma product o de la in versa.
La matriz B −1 de la siguiente iteración puede calcularse a partir de la matriz B −1 actual, aplicando la siguiente relación: B
−1
siguiente
= EB −1actual Columna r
Donde:
[e1 , e2 ,...., e r −1 ,
ε
, er +1 ,...., em ]
ei Es un vector unitario con un uno en la fila i. r = número de renglón de la variable que sale de la base.
⎡ α 1k ⎤ ⎢ − α ⎥ rk ⎥ ⎢ α 2 k ⎢− ⎥ ⎢ α rk ⎥ ⎢ . ⎥ ε = ⎢ 1 ⎥ ⎥ ⎢ α ⎢ rk ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ α mk ⎥ ⎢− α ⎥ rk ⎦ ⎣
fila r
k = número de columna de la variable que entra a la base
Ejercicio 2.11 Sea el problema siguiente, resolver por el método simplex revisado.
Max Z = S.a:
X1, X2, X3 ≥ 0
2X1 -
X2
3X1 + X1 X1 +
X2 + X3 X2 + 2X3 X2 - X3
3
+ X3 ≤ ≤ ≤
60 10 20
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Escrito en su forma estándar: Max Z = S.a:
2X1 - X2 + X3
+ 0S1 + 0S2 + 0S3
3X1 + X2 + X3 + S1 = 60 X1 - X2 + 2X3 + S2 = 10 X1 + X2 - X3 + S3 = 20 X1, X2, X3, S1, S2, S3 ≥ 0 Solución inicial:
B
−1
⎛ 1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜0 1 0⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
⎛ S 1 ⎞⎛ 1 0 0 ⎞⎛ 60 ⎞ ⎛ 60 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 X B = B b = ⎜ S 2 ⎟⎜ 0 1 0 ⎟⎜ 10 ⎟ = ⎜ 10 ⎟ ⎜ S ⎟⎜ 0 0 1 ⎟⎜ 20 ⎟ ⎜ 20 ⎟ ⎝ 3 ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ = (0 0 0 )⎜ 0 1 0 ⎟ = (0 0 0 ) ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 3 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ T −1 ( ) C B B a j − C j 0 0 0 1 1 2 = − ⎜ ⎟ − (2 − 1 1) = (− 2 1 − 1) j = X 1, X 2, X 3 ⎜ 1 1 − 1⎟ ⎝ ⎠ Se elige como variable de entrada la más negativa que corresponde a X1 ( k = 1). Se elige como variable de salida a S2 ( r = 2 ), ya que es la de menor cociente de ⎧ 60 10 20 ⎫ ⎨ , , ⎬ ⎩3 1 1⎭ Aplicando la forma producto. −1 C BT B
(
)
⎛ − 3 ⎞ ⎜ ⎟ ε = ⎜ 1 ⎟ ⎜ − 1⎟ ⎝ ⎠
B
−1
siguiente
⎛ 1 − 3 0 ⎞ ⎜ ⎟ E = ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜0 −1 1⎟ ⎝ ⎠
= EB
−1
actual
⎛ 1 − 3 0 ⎞⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 1 − 3 0 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 − 1 1 ⎟⎜ 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 − 1 1 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
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Nueva solución:
⎛ S 1 ⎞⎛ 1 − 3 0 ⎞⎛ 60 ⎞ ⎛ 30 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 X B = B b = ⎜ X 1 ⎟⎜ 0 1 0 ⎟⎜ 10 ⎟ = ⎜ 10 ⎟ ⎜ S ⎟⎜ 0 − 1 1 ⎟⎜ 20 ⎟ ⎜ 10 ⎟ ⎝ 3 ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 − 3 0 ⎞ ⎜ ⎟ T −1 C B B = (0 2 0 )⎜ 0 1 0 ⎟ = (0 2 0 ) ⎜0 −1 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 60 ⎞ ⎜ ⎟ 1 Z = C BT B − b = (0 2 0 )⎜ 10 ⎟ = 20 ⎜ 20 ⎟ ⎝ ⎠
Prueba de optimalidad:
(C B − a T B
1
j
− C j
)=
j X 2, X 3, S 2
⎛ 1 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ = (0 2 0 )⎜ − 1 2 1 ⎟ − (− 1 1 0 ) = (− 1 3 2) ⎜ 1 −1 0⎟ ⎝ ⎠
Se elige como variable de entrada la más negativa que corresponde a X2 ( k = 2). Antes de calcular la variable de salida, se calcula B −1a j = B −1a 2
⎛ 1 − 3 0 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 B a 2 = ⎜ 0 1 0 ⎟⎜ − 1⎟ = ⎜ − 1⎟ ⎜ 0 − 1 1 ⎟⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Se elige como variable de salida a S3 ( r = 3 ), ya que es la de menor cociente de ⎧ 30 10 10 ⎫ ⎨ , , ⎬ ⎩ 4 −1 2 ⎭ Aplicando la forma producto.
⎛ − 2 ⎞ ⎜ ⎟ ε = ⎜1 / 2 ⎟ ⎜1 / 2 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 1 0 − 2 ⎞ ⎜ ⎟ E = ⎜ 0 1 1 / 2 ⎟ ⎜ 0 0 1/ 2⎟ ⎝ ⎠
5
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B −
1
siguiente
= EB −1actual
⎛ 1 0 − 2 ⎞⎛ 1 − 3 0 ⎞ ⎛ 1 − 1 − 2 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 0 1 1 / 2 ⎟⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜ 0 1 / 2 1 / 2 ⎟ ⎜ 0 0 1 / 2 ⎟⎜ 0 − 1 1 ⎟ ⎜ 0 − 1 / 2 1 / 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Nueva solución:
⎛ S 1 ⎞⎛ 1 − 1 − 2 ⎞⎛ 60 ⎞ ⎛ 10 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 X B = B − b = ⎜ X 1 ⎟⎜ 0 1 / 2 1 / 2 ⎟⎜ 10 ⎟ = ⎜15 ⎟ ⎜ X ⎟⎜ 0 − 1 / 2 1 / 2 ⎟⎜ 20 ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎝ 2 ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 − 1 − 2 ⎞ ⎜ ⎟ C BT B = (0 2 − 1)⎜ 0 1 / 2 1 / 2 ⎟ = (0 3 / 2 ⎜ 0 − 1/ 2 1/ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 60 ⎞ ⎜ ⎟ −1 Z = C BT B b = (0 3 / 2 1 / 2 )⎜ 10 ⎟ = 25 ⎜ 20 ⎟ ⎝ ⎠ Prueba de optimalidad: ⎛ 1 0 ⎜ T −1 ( ) C B B a j − C j 0 3 / 2 1 / 2 = ⎜2 1 j = X 3, S 2, S 3 ⎜−1 0 ⎝ −1
(
)
1 / 2)
0 ⎞
⎟
0 ⎟ − (1 0 1 ⎠⎟
0 ) = (3 / 2 3 / 2 1 / 2)
Debido a que ya no hay negativos para un problema de maximización, la solución es óptima: Solución óptima del problema: Z = 25, X1 = 15, X2 = 5, X3 = 0
Ejercicio 2.12
Sea el problema siguiente, resolver por el método simplex revisado. Max Z = S.a:
3X1 + 2X2 X1 + 2X2 ≤ 2X1 + X2 ≤ -X1 + X2 ≤ X2 ≤ X1, X2 ≥ 0
6
6 8 1 2
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Escrito en su forma estándar: Max Z = S.a:
3X1 +2X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 X1 +2X2 + S1 2X1 + X2 + S2 -X1 + X2 + S3 X2 + S4 X1, X2, S1, S2, S3, S4 ≥ 0
= = = =
6 8 1 2
Solución inicial:
B
−1
T
⎛ 1 ⎜ ⎜0 =⎜ 0 ⎜⎜ ⎝ 0
C B B
−1
0
0
0 ⎞
⎛ 1 ⎜ ⎜0 −1 X B = B b = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝
⎟ 1 0 0⎟ 0 1 0⎟ ⎟ 0 0 1 ⎠⎟
⎛ 1 ⎜ ⎜0 = (0 0 0 0 )⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝
0 0
0 ⎞
1
0
0⎟
0 1
⎟
0
0 0 ⎞⎛ 6 ⎞
⎟⎜ ⎟
0 0 ⎟⎜ 8 ⎟ 0 1 0 ⎟⎜ 1 ⎟
1
⎟⎜ ⎟
0
0 1 ⎠⎟⎜⎝ 2 ⎠⎟
⎟
0⎟
= (0 0 0 0)
0 0 1 ⎠⎟
⎛ 1 2 ⎞ ⎟ ⎜ 2 1 ⎜ ⎟ 1 − C BT B a j − C j 0 0 0 0 )⎜ ( = − (3 2 ) = (− 3 − 2) j = X 1, X 2 −1 1⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 0 1 ⎠ ⎝ Se elige como variable de entrada la más negativa que corresponde a X1 ( k = 1). Se elige como variable de salida a S2 ( r = 2 ), ya que es la de menor cociente de ⎧6 8 1 2⎫ ⎨ , , , ⎬ ⎩1 2 −1 0 ⎭
(
)
Aplicando la forma producto.
⎛ − 1 / 2 ⎞ ⎜ ⎟ 1 / 2 ⎜ ⎟ ε = ⎜ 1/ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 1 − 1 / 2 ⎜ ⎜ 0 1/ 2 E = ⎜ 0 1/ 2 ⎜ ⎜0 0 ⎝
0
0 ⎞
0
0⎟
1
⎟
⎟
0⎟
0 1 ⎠⎟
7
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B
−1
siguiente
= EB −1actual
⎛ 1 − 1 / 2 ⎜ ⎜ 0 1/ 2 =⎜ 0 1/ 2 ⎜ ⎜0 0 ⎝
Nueva solución: ⎛ S 1 ⎞⎛ 1 − 1 / 2 ⎜ ⎟⎜ ⎜ X 1 ⎟⎜ 0 1 / 2 −1 X B = B b = ⎜ S ⎟⎜ 0 1 / 2 ⎜ 3 ⎟⎜ ⎜ S ⎟⎜ 0 0 ⎝ 4 ⎠⎝
0 0 0 ⎞ ⎛ 1 − 1 / 2 ⎟⎜ ⎟ ⎜ 0 0 ⎟⎜ 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 / 2 = 1 0 ⎟⎜ 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 / 2 ⎟⎜ ⎟ ⎜ 0 1 ⎠⎟⎜⎝ 0 0 0 1 ⎠⎟ ⎜⎝ 0 0 0 0 ⎞⎛ 1
0
0 ⎞
0
0⎟
1
⎟
⎟
0⎟
0 1 ⎠⎟
⎛ 2 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 ⎟⎜ 8 ⎟ ⎜ 4 ⎟ = 1 0 ⎟⎜ 1 ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 1 ⎠⎟⎜⎝ 2 ⎠⎟ ⎜⎝ 2 ⎠⎟ 0
0 ⎞⎛ 6 ⎞
⎛ 1 − 1 / 2 0 0 ⎞ ⎟ ⎜ 0 1 / 2 0 0 ⎜ ⎟ −1 C BT B = (0 3 0 0 )⎜ = (0 3 / 2 0 0) 0 1/ 2 1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 ⎟ 0 0 1 ⎠ ⎝ ⎛ 6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜8⎟ T −1 Z = C B B b = (0 3 / 2 0 0 )⎜ ⎟ = 12 1 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠ Prueba de optimalidad: ⎛ 2 0 ⎞ ⎜ ⎟ 1 1 ⎜ ⎟ 1 C BT B − a j − C j 0 3 / 2 0 0)⎜ ( = − (2 0 ) = (− 1 / 2 3 / 2) j = X 2, S 2 1 0⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 1 0⎟ ⎝ ⎠
(
)
Se elige como variable de entrada la más negativa que corresponde a X2 ( k = 2). Antes de calcular la variable de salida, se calcula B −1a j = B −1a 2
⎛ 1 − 1 / 2 ⎜ ⎜ 0 1/ 2 −1 B a 2 = ⎜ 0 1/ 2 ⎜ ⎜0 0 ⎝
⎛ 3 / 2 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 ⎟⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 / 2 ⎟ = 1 0 ⎟⎜ 1 ⎟ ⎜ 3 / 2 ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ 0 1 ⎠⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎟ 0
0 ⎞⎛ 2 ⎞
4 5 2⎫ ⎧ 2 Se elige como variable de salida a S1 ( r = 1 ), ya que es la mínima de ⎨ , , , ⎬ ⎩3 / 2 1/ 2 3 / 2 1 ⎭ Aplicando la forma producto.
8
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⎛ 2 / 3 ⎞ ⎜ ⎟ 1 / 3 − ⎜ ⎟ ε = ⎜ −1 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 2 / 3 − ⎝ ⎠
B
−1
siguiente
⎛ 2 / 3 ⎜ ⎜ − 1/ 3 E = ⎜ −1 ⎜⎜ ⎝ − 2 / 3
= EB −1actual
0
0
0 ⎞
1
0
0⎟
0 1
⎟
0
0⎟
0 1 ⎠⎟
⎛ 2 / 3 ⎜ ⎜ − 1/ 3 =⎜ −1 ⎜⎜ ⎝ − 2 / 3
Nueva solución: ⎛ X 2 ⎞⎛ 2 / 3 − 1 / 3 ⎜ ⎟⎜ ⎜ X 1 ⎟⎜ − 1 / 3 2 / 3 −1 X B = B b = ⎜ S ⎟⎜ − 1 1 ⎜ 3 ⎟⎜⎜ ⎜ S ⎟ − 2 / 3 1 / 3 ⎝ 4 ⎠⎝
T −1 C B B
⎟
⎟⎜ 1 0 0 ⎟⎜ 0 0 1 0 ⎟⎜ 0 ⎟⎜ 0 0 1 ⎠⎟⎜⎝ 0
0 ⎞
0
0⎟
1
⎟
⎟
0⎟
0 1 ⎠⎟
⎛ 4 / 3 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 ⎟⎜ 8 ⎟ ⎜10 / 3 ⎟ = 1 0 ⎟⎜ 1 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 1 ⎠⎟⎜⎝ 2 ⎠⎟ ⎜⎝ 2 / 3 ⎠⎟
⎛ 2 / 3 − 1 / 3 ⎜ ⎜ − 1/ 3 2 / 3 = (2 3 0 0)⎜ 1 −1 ⎜ ⎜ − 2 / 3 1/ 3 ⎝
)
0
0 0 ⎞⎛ 6 ⎞
0
0 ⎞
0
0⎟
1
⎟
⎟
0⎟
= (1 / 3 4 / 3 0 0)
0 1 ⎠⎟
⎛ 6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜8⎟ 1 Z = C BT B − b = (1 / 3 4 / 3 0 0 )⎜ ⎟ = 38 / 3 1 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠ Prueba de optimalidad: ⎛ 1 ⎜ ⎜0 1 C BT B − a j − C j ( ) 1 / 3 4 / 3 0 0 = ⎜0 j = S 1, S 2 ⎜⎜ ⎝ 0
(
− 1 / 2 0 0 ⎞ ⎛ 2 / 3 − 1 / 3 ⎟ ⎜ 1/ 2 0 0 ⎟ ⎜ − 1/ 3 2 / 3 = 1/ 2 1 0 ⎟ ⎜ − 1 1 ⎟⎟ ⎜⎜ 0 0 1 ⎠ ⎝ − 2 / 3 1 / 3
0 0 ⎞⎛ 1
0
0 ⎞
⎟
1⎟ 0⎟
− (0 0 ) = (1 / 3 4 / 3)
⎟⎟ 0 ⎠
Debido a que ya no hay negativos para un problema de maximización, la solución es óptima: Solución óptima del problema: Z = 38/3, X1 = 10/3, X2 = 4/3
9
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2.6 Método de la M o de Penalizació n.
Este método es equivalente al método de dos fases, la diferencia es que en este se usa un coeficiente en la función objetivo de M. En los problemas de maximización a las variables artificiales se les debe asignar coeficientes en la función objetivo de –M y a los problemas de minimización se les debe asignar coeficientes de +M, en donde se supone que M es un número muy grande, por eso se le dice de penalización. Ejercicio 2.13
Resolver el siguiente problema de P.L. Max Z = S.a:
4X1 + 6X2 + 1/2X3 4X1 - 2X2 + 3X3 2X1 + 4X2 + X3 3X1 + X2 - 2X3 X1, X2, X3 ≥ 0
≥ ≤ ≤
40 60 30
Escrito en forma estándar y agregando variables artificiales, acomodando las variables artificiales, de holgura y de exceso, para de esta manera formar la matriz identidad en las variables básicas iniciales. Max Z = S.a:
4X1 + 6X2 +1/2X3 +0S1 -MA1
+0S2 +0S3
4X1 - 2X2 + 3X3 - S1 + A1 = 2X1 + 4X2 + X3 + S2 = 3X1 + X2 - 2X3 + S3 = X1, X2, X3, S1, S2, S3, A1 ≥ 0
40 60 30
Se agrega la restricción Maximizar Z – 4X1 – 6X2 – 1/2X3 + MA1 = 0 y se construye la tabla 2.36 Tabla 2.36 X1 Z -4 A1 4 S2 2 S3 3
X2 -6 -2 4 1
X3 -1/2 3 1 -2
S1 0 -1 0 0
A1 M 1 0 0
S2 0 0 1 0
S3 0 0 0 1
Solución 0 40 60 30
Reestableciendo vector unitario de A1 mediante eliminación de Gauss en la tabla 2.37 Primera iteración: Entra la variable X1 que corresponde a la más negativa, porque M es un número muy grande y Sale la de menor cociente que es A 1, desempatando arbitrariamente. 10
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Tabla 2.37 X1 Z -4M-4
A1 S2 S3
4 2 3
X2 2M-6 -2 4 1
X3 -3M1/2 3 1 -2
S1 M
A1 0
S2 0
S3 0
Solución -40M
-1 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
40 60 30
Segunda i teración: Entra la variable X2 que corresponde a la más negativa, porque M es un número muy grande y Sale la de menor cociente que es S3. Tabla 2.38 X1 Z 0 X1 1 S2 0 S3 0
X2 -8 -1/2 5 5/2
X3 5/2 3/4 -1/2 -17/4
S1 -1 -1/4 1/2 3/4
A1 M+1 1/4 -1/2 -3/4
S2 0 0 1 0
S3 0 0 0 1
Solución 40 10 40 0
Tercera i teración: Entra la variable X3 que es la única negativa, y Sale la única que puede salir que es S2. Tabla 2.39 X1 Z 0
X1 S2 X2
Z X1 X3 X2
X2 0
X3 111/10 -1/10 8 -17/10
S1 7/5
A1 M-7/5
S2 0
S3 16/5
Solución 40
-1/10 -1 3/10
1/10 1 -3/10
0 1 0
1/5 -2 2/5
10 40 0
1 0 0
0 0 1
X1 0 1 0 0
Tabla 2.40 Solución ópti ma del probl ema X2 X3 S1 A1 S2 S3 0 0 1/80 M-1/80 111/80 17/40 0 0 -9/80 9/80 1/80 7/40 0 1 -1/8 1/2 1/8 -1/4 1 0 7/80 -7/80 17/80 -1/40
Solución óptima del problema: Z = 191/2, X1 = 21/2, X2 = 17/2, X3 = 5
11
Solución 191/2 21/2 5 17/2
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Ejercicio 2.14
Resolver el siguiente problema de P.L. Max Z = S.a:
6X1 + 4X2
+ 3X3 + 2X4
2X1 + 3X2 + X3 + 2X4 ≤ 400 X1 + X2 + 2X3 + X4 = 150 2X1 + X2 + 2X3 +1/2X4 ≥ 200 X1, X2, X3, X4 ≥ 0 Escrito en forma estándar y agregando variables artificiales, acomodando las variables artificiales, de holgura y de exceso, para de esta manera formar la matriz identidad en las variables básicas iniciales. Max Z = S.a:
6X1 + 4X2 + 3X3 + 2X4 +0S1 -MA1 -MA2 2X1 + 3X2 + X3 + 2X4 + S1 X1 + X2 + 2X3 + X4 + A1 2X1 + X2 + 2X3 +1/2X4 + A2 X1, X2, X3, S1, S2, S3, A1 ≥ 0
+0S2
- S2
= = =
400 150 200
Se agrega la restricción Maximizar Z – 6X1 – 4X2 – 3X3 – 2X4 + MA1 + MA2 = 0 y se construye la tabla 2.41 Tabla 2.41 X1 Z -6 S1 2 A1 1 A2 2
X2 -4 3 1 1
X3 -3 1 2 2
X4 -2 2 1 1/2
S1 0 1 0 0
A1 M 0 1 0
A2 M 0 0 1
S2 0 0 0 -1
Sol. 0 400 150 200
Reestableciendo los vectores unitarios de A1 y de A2 mediante eliminación de Gauss en la tabla 2.42 Primera iteración: Entra la variable X3 que corresponde a la más negativa, porque M es un número muy grande y Sale la de menor cociente que es A1. Tabla 2.42 X1 Z -3M-6 S1 2 A1 1 A2 2
X2 -2M-4 3 1 1
X3 -4M-3 1 2 2
X4 -3/2M-2 2 1 1/2
S1 0 1 0 0
A1 0 0 1 0
A2 0 0 0 1
S2 M 0 0 -1
Sol. -350M 400 150 200
Segunda i teración: Entra la variable X1 que corresponde a la más negativa, porque M es un número muy grande y Sale la de menor cociente que es A2. 12
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Tabla 2.43 X1 Z -M-9/2 S1 3/2 X3 1/2 A2 1
X2 -5/2 5/2 1/2 0
X3 0 0 1 0
X4 M/2-1/2 3/2 1/2 -1/2
S1 0 1 0 0
A1 2M+3/2 -1/2 1/2 -1
A2 0 0 0 1
S2 M 0 0 -1
Sol. -50M+225 325 75 50
Tercera i teración: Entra la variable S2 que es la más negativa, y Sale la variable X 3. Tabla 2.44 X1 Z 0 S1 0 X3 0 X1 1
Z S1 S2 X1
X1 0 0 0 1
X2 -5/2 5/2 1/2 0
X3 0 0 1 0
X4 -11/4 9/4 3/4 -1/2
S1 0 1 0 0
A1 M-3 1 1 -1
A2 M+9/2 -3/2 -1/2 1
Tabla 2.45 Solución óptima del problema X2 X3 X4 S1 A1 A2 2 9 4 0 M+6 M 1 -3 0 1 -2 0 1 2 3/2 0 2 -1 1 2 1 0 1 0
S2 -9/2 3/2 1/2 -1
Sol. 450 250 50 50
S2 0 0 1 0
Sol. 900 100 100 150
Solución óptima del problema: Z = 900, X1 = 150, X2 = 0, X3 = 0, X 4 = 0 Ejercicio 2.15 Resolver el siguiente problema de P.L.
Min. Z = 1/2X1 S.a: 4X1 4X1 X1
+ 2X2
-
X3
+ 4X2 + 6X3 ≥ 25 + 2X2 - X3 ≤ 30 - 2X2 + X3 = 15 X1, X2, X3 ≥ 0
Escrito en forma estándar y agregando variables artificiales, acomodando las variables artificiales, de holgura y de exceso, para de esta manera formar la matriz identidad en las variables básicas iniciales. Max Z = 1/2X1 + 2X2 - X3 +0S1 +MA1 +0S2 +MA2 S.a: 4X1 + 4X2 + 6X3 - S1 + A1 = 25 4X1 + 2X2 - X3 + S2 = 30 X1 - 2X2 + X3 + A2 = 15 X1, X2, X3, S1, S2, A1, A2 ≥ 0 13
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Se agrega la restricción Minimizar Z – 1/2X1 – 2X2 + X3 – MA1 – MA2 = 0 y se construye la tabla 2.46 Tabla 2.46 X1 Z -1/2 A1 4 S2 4 A2 1
X2 -2 4 2 -2
X3 1 6 -1 1
S1 0 -1 0 0
A1 -M 1 0 0
S2 0 0 1 0
A2 -M 0 0 1
Sol. 0 25 30 15
Reestableciendo los vectores unitarios de A1 y de A2 mediante eliminación de Gauss en la tabla 2.47 Primera iteración: Entra la variable X3 que corresponde a la más positiva, porque M es un número muy grande y Sale la de menor cociente que es A 1, desempatando arbitrariamente. Tabla 2.47 X1 Z 5M-1/2 A1 4 S2 4 A2 1
X2 2M-2 4 2 -2
X3 7M+1 6 -1 1
S1 -M -1 0 0
A1 0 1 0 0
S2 0 0 1 0
A2 0 0 0 1
Solución 40M 25 30 15
Segunda i teración: Entra la variable X1 que corresponde a la más positiva, porque M es un número muy grande y sale la de menor cociente que es X3. Tabla 2.48 X1 M 7 Z − 3
X3 S2 A2
6
2/3 14/3 1/3
X2
X3 0
−8M − 8
S1 M + 1
−7 M − 1
6
6
3
2/3 8/3 -8/3
1 0 0
A1
-1/6 -1/6 1/6
S2 0
A2 0
Solución 65 M − 25 6
1/6 1/6 -1/6
0 1 0
0 0 1
25/6 205/6 65/6
Tercera i teración: Entra la variable S1 que corresponde a la más positiva, porque M es un número muy grande y sale la de menor cociente que es S2. Tabla 2.49 X1 Z 0
X1 S2 A2
1 0 0
X2
X3
S1
-3M-
− M
3/2
2
1 -2 -3
3/2 -7 -1/2
+
7
M
4
4
−
A1
1
−5M
8
4
-1/4 1 1/4 14
+
1/4 -1 -1/4
1
S2 0
A2 0
8
Solución 35 M 4
0 1 0
0 0 1
+
25
25/4 5 35/4
8
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Cuarta i teración: Entra la variable X3 que corresponde a la más positiva, porque M es un número muy grande y sale la única candidata que es A2. Tabla 2.50 X1 Z 0
X2 −5M 2
X1 S1 A2
1 0 0
−
1/2 -2 -5/2
X3 7
5 M
4
4
+
S1 0
7
A1 -M
S2 − M
8
4
-1/4 -7 5/4
0 1 0
0 -1 0
+
1
A2 0
8
1/4 1 -1/4
Solución 15 M 2
0 0 1
+
15 4
15/2 5 15/2
Quinta iteración: Entra la variable S2 que corresponde a la más positiva, porque M es un número muy grande y sale la única candidata que es X1. Tabla 2.51 X1 X2 X3 S1 A1 S2 A2 Solución -MZ 0 0 0 0 -M 3/10 -3/2 7/10 X1 1 0 0 0 0 1/5 1/5 9 S1 0 -16 0 1 -1 -2/5 28/5 47 X3 0 -2 1 0 0 -1/5 4/5 6
Z S2 S1 X3
X1 -3/2 5 2 1
Tabla 2.52 Solución óptima del problema X2 X3 S1 A1 S2 A2 -M-1 0 0 0 -M 0 0 0 0 0 1 1 -16 0 1 -1 0 6 -2 1 0 0 0 1
Solución -15 45 65 15
Solución óptima del problema: Z = -15, X1 = 0, X2 = 0, X3 = 15 Ejercicio 2.16 Resolver el ejercicio 1.02 de la unidad I, con Excel. Figura 2.3 Introducci ón de datos para resolver el ejercici o 1.02 con Excel A B C D E F G H
1 2 Variables 3 Utilidad 4 Cambiando celdas 5 6 Moldeado 7 Ensamble 8 Acabado 9 Compuesto 10 Producción
X1
X2
X3
X4
160 0
124 18.666
212 0
170 3.5555
3 5 10 200
2 3 8 200 15
4 6 12 280
3 4 3 220 1
2919.1111 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
Disponible 48 96 160 4800 8
48 70.22222 160 4515.555 3.55555
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H 4 5 6 7 8 9 10
=sumaproducto(B3:E3,B4:E4) =sumaproducto(B$4:E$4,B6:E6) =sumaproducto(B$4:E$4,B7:E7) =sumaproducto(B$4:E$4,B8:E8) =sumaproducto(B$4:E$4,B9:E9) =sumaproducto(B$4:E$4,B10:E10)
En la celda H4 Excel calcula el valor de Z y en el rango de celdas B4:E4, el valor de las variables básicas que corresponde a cambiando celdas. Paso 1. Introduce los datos como se indica en la figura 2.3 Paso 2. Selecciona el menú desplegable Herramientas Paso 3. Elige Solver… Paso 4. Cuando aparezca el cuadro de diálogo Parámetros de Solver. Introduce en Celda objetivo: H4 Da clic en Máximo de la Celda objetivo. Introduce en Cambiando Celdas: B4:E4 Presiona el botón agregar para introducir las restricciones. Paso 5. Aparece el cuadro de diálogo Agregar Restricción: Introduce en referencia de la celda: H6:H10 En la pestaña selecciona el signo ≤ Introduce en restricción de la celda: C8:G8 Presiona el botón agregar. Introduce en referencia de la celda: G6:G10 Paso 6. Presiona el botón opciones. Dá clic en Adoptar modelo lineal. Dá clic en Asumir no negativos. Presiona el botón aceptar. Paso 7. En el cuadro de diálogo Parámetros de Solver. Presiona el botón resolver .
16
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Problemas propuestos de la unidad II
Max Z = S.a:
5X1
01 + 4X2
6X1 + 4X2 ≤ 24 X1 + 2X2 ≤ 6 -X1 + X2 ≤ 1 X2 ≤ 2 X1, X2 ≥ 0
Max. Z = 60X1 S.a: 100X1 7X1 3X1
+ 60X2
03 5A + 8B
4A + 10B ≥ 40 10A + 5B ≥ 50 7A + 7B ≥ 49 A, B ≥ 0
Min. Z = S.a:
5X1 - 6X2
04 - 7X3
X1 + 5X2 - 3X3 ≥ 15 5X1 - 6X2 +10X3 ≤ 20 X1 + X2 + X3 = 5 X1, X2, X3 ≥ 0
Max. Z = S.a:
Z = 21 X1 = 3 X2 = 3/2
02 + 90X3 + 90X4
+ 100X2 + 100X3 + 100X4 + 5X2 + 3X3 + 2X4 + 5X2 + 10X3 + 15X4 X1, X2, X3, X4 ≥ 0
Min. Z = S.a:
Sol. óptima
200X1 + 140X2
≤ ≤ ≤
1500 100 100
Sol. óptima Z = 41 A=5 B=2
Sol. óptima Z = -125/4 X1 = 0 X2 = 15/4 X3 = 5/4
05 + 360X3
200X1 + 150X2 + 400X3 = 1000 1000X1 +1000X2 +3000X3 ≥ 6000 X1, X2, X3 ≥ 0 17
Sol. óptima Z = 7950/7 X1 = 50/7 X2 = 0 X3 = 55/7
Sol. óptima Z = 960 X1 = 3 X2 = 0 X3 = 1
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Max. Z = S.a:
3X1 + 2X2
06 + 5X3
2X1 + 2X2 + 2X3 = 14 2X1 - 5X2 + X3 ≥ 10
Sol. óptima Z = 21 X1 = 7 X2 = 0 X3 = 0
X1, X2, X3 ≥ 0 Min. Z = 10X1 S.a: 8X1 2X1 9X1
Min. Z = S.a:
+ 14X2
+ 11X2 + + 2X2 + + 6X2 + X1, X2, X3
15X1 + 18X2 X1 + X1
Min. Z = S.a:
07 + 21X3
9X3 7X3 3X3 ≥ 0
≥ ≤ ≥
12 14 10
08 + 21X3
X2 +
X3 = 1000 ≤ 300 X2 ≥ 150 X3 ≥ 200 X1, X2, X3 ≥ 0
4X1 + 10X2
09 + 5X3
2X1 + 6X1 + X1 + Min. Z = S.a:
3X1
7X2 X3 ≤ 45 8X2 + 7X3 ≥ 10 3X2 + 4X3 = 30 X1, X2, X3 ≥ 0 10 + 6X2 + X3
4X1 - X2 + 3X3 ≤ 18 X1 + 6X2 + 4X3 = 50 2X1 + 3X2 + X3 ≤ 35 X1, X2, X3 ≥ 0
18
Sol. óptima Z = 15 X1 = 3/2 X2 = 0 X3 = 0
Sol. óptima Z = 17700 X1 = 300 X2 = 500 X3 = 200
Sol. óptima Z = 305/3 X1 = 70/3 X2 = 0 X3 = 5/3 Sol. óptima Z = 1566/25 X1 = 158/25 X2 = 182/25 X3 = 0
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Min. Z = S.a:
5X1 - 6X2
11 - 7X3
X1 + 5X2 - 3X3 ≥ 15 5X1 - 6X2 + 10X3 ≤ 20 X1 + X2 + X3 = 5 X1, X2, X3 ≥ 0 Min. Z = 10X1 S.a: 8X1 2X1 9X1
Min. Z = S.a:
+ 14X2
12 + 21X3
+ 11X2 + 9X3 ≥ 12 + 2X2 + 7X3 ≥ 14 + 6X2 + 3X3 ≥ 10 X1, X2, X3 ≥ 0
2X1 - 3X2
13 + 6X3
3X1 - 4X2 - 6X3 ≤ 2 2X1 + X2 + 2X3 ≥ 11 X1 + 3X2 - 2X3 = 5 X1, X2, X3 ≥ 0 Max. Z = S.a:
3X1 + 2X2
14 + X3
4X1 + X2 + X3 ≤ 16 X1 + 3X2 + 2X3 = 12 3X1 + 2X2 + X3 ≤ 15 X1, X2, X3 ≥ 0 Min. Z = S.a:
3X1 + 2X2
15 + X3
6X1 + 2X2 + X3 ≥ 16 X1 + 3X2 + 2X3 ≤ 12 2X1 + X2 + 3X3 = 15 X1, X2, X3 ≥ 0
19
Sol. óptima Z = -125/4 X1 = 0 X2 = 15/4 X3 = 5/4
Sol. óptima Z = 2506/57 X1 = 28/57 X2 = 0 X3 = 106/57
Sol. óptima Z=9 X1 = 0 X2 = 4 X3 = 7/2
Sol. óptima Z = 15 X1 = 3 X2 = 3 X3 = 0
Sol. óptima Z = 141/16 X1 = 33/16 X2 = 0 X3 = 21/8
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Min. Z = S.a:
2X1 - 7X2
16 + 4X3
Sol. óptima Z = -1/34 X1 = 0 X2 = 95/34 X3 = 83/17
1/2X1 - X2 + 7X3 ≤ 32 3X1 + 2X2 + 5X3 ≥ 30 7X1 + 6X2 - 2X3 = 7 X1, X2, X3 ≥ 0 Min. Z = 1/2X1 S.a: 4X1 4X1 X1
Min. Z = S.a:
X1
+ 2X2
17 - X3
+ 4X2 + 6X3 ≥ 25 + 2X2 - X3 ≤ 30 - 2X2 + X3 ≥ 15 X1, X2, X3 ≥ 0 - 2X2
18 - X3
2X1 + 7X2 + X3 ≤ 13 - X1 + 8X2 + X3 ≥ 9 4X1 + X2 - 3X3 ≥ 1 X1, X2, X3 ≥ 0 Max. Z = S.a:
Sol. óptima Z = -3/2 X1 = 9 X2 = 0 X3 = 6
12X1 + 4X2
Sol. óptima Z = -43/11 X1 = 0 X2 = 20/11 X3 = 3/11
19 + 4.8X3 + 4X2
100X1 + 50X2 + 80X3 100X1 50X2 80X3
≤ ≤ ≤ ≤
4X2 X1, X2, X3, X4 ≥ 0
≤
2000 1000 1000 1000 1000
20 - 4X3 + X4
Min. Z = 4X1 + 3X2 S.a: 3X1 + 6X2 - X3 + 2X4 + 2X2 + 6X3 - X4 4X1 - X2 + 4X3 + 3X4
≥ ≤ ≥
X1, X2, X3, X4 ≥ 0
20
50 40 70
Sol. óptima Z = 220 X1 = 10 X2 = 0 X3 = 0 X4 = 25
Sol. óptima Z = -180/11 X1 = 0 X2 = 0 X3 = 130/11 X4 = 340/11
