El árbol binomial Una técnica muy popular para asignar precios de opciones involucra la construcción de un árbol binomal. binomal. En este po de diagrama se representan diferentes rutas que puede tomar el precio de un acción acción bajo el supuest supuesto o de que éste éste sigue un patrón patrón de « caminat caminata a aleatoria aleatoria » « random random !al" !al" »#.
En cada paso del $rbol se ene ciertas probabilidades de moverse arriba y abajo en el precio de la acción. %onforme el paso de empo se &ace peque'o este modelo lleva al supuesto lognormal usado en el modelo de (lac")*c&oles) +erton. El enfoque que a connuación se muestra muestra fue originalmente propuesto por %o,- oss y ubinstein en un documento publicado en 1/0/.
%onsideremos %onsideremos como punto de d e parda el árbol binomial de un paso 2 paso 2
S0
S0 ⋅ u f u T
f
S0 ⋅ d f d
S 0 2 3recio actual de la acción
f 2 3recio de la opción
T 2 4iempo de e,piración e,piración de
u 2 5actor de incre)
la opción
d 2 5actor de decremento del precio d71#
mento del precio u61#
f u y f d
2 « 3ayo8s » en caso de que el precio cambie
:a idea b$sica detr$s del proceso de determinación de la prima para una opción est$ fundamentada en la construcción del siguiente portafolio 2
; *e ene una posición larga propiedad# de ∆ acciones ; *e ene una posición corta sobre una opción S 0
⋅ u ⋅ ∆ − f u
. (aja el precio de la acción =alor del portafolio a la e,piración >
S0 ⋅ d ⋅ ∆ − f d
@sA- el portafolio ópmo sin riesgo# es aquel donde el valor de ∆ proporciona el mismo valor para ambos escenarios 2
S 0 ⋅ u ⋅ ∆ − f u
= S0 ⋅ d ⋅ ∆ − f d f u − f d ⇒∆= S0 ⋅ u − S0 ⋅ d
(ajo una tasa libre de riesgo « r » connua- el valor presente del portafolio serAa 2
( S 0 ⋅ u ⋅ ∆ − f u ) ⋅ e − rT B el costo del portafolio de forma inicial# serAa 2
S 0 ⋅ ∆ − f ¿ Cuánto vale la prima f?
(uscamos
f de manera tal que se cumpla 2
S 0 ⋅ ∆ − f
= ( S0 ⋅ u ⋅ ∆ − f u ) ⋅ e − rT
⇒ f = S0 ⋅ ∆(1 − ue − rT ) +
f u e − rT
Ejemplo 2 Determine el precio de una opción asociada al siguiente diagrama 2
$22 « 3ayo8 » > 1.FF
$20
T = 3 meses con r
= 0.12
$18 « 3ayo8 » > F.FF
@sA- al plantear el problema en términos de los par$metros involucrados tenemos 2
u = 1.1 T = 0.25
f u
=1
= 0.9 r = 0.12 f d = 0
d
Hnicialmente calculamos el valor de ∆ ópmo 2
− f d 1− 0 ∆= = = 0.25 S 0 ⋅ u − S 0 ⋅ d ( 20 )1.1 − ( 20 ) 0.9 f u
B el precio de la opción queda determinado por 2
f = S 0 ⋅ ∆ (1 − ue − rT ) + f u e − rT
= 0.633022
En la pr$cca- es posible deInir lo siguiente 2
p =
e rT − d u−d
3robabilidad de que aumente el precio de la acción #
De manera tal que la e,presión para encontrar el valor de f se simpliIca como sigue 2
f = e − rT [ p ⋅ f u
+ (1 − p ) f d ]
¡ Demostrarlo !
3ago esperado de la opción
f
puede verse como el valor futuro esperado de la opción- descontado a la tasa de interés libre de riesgo. @simismo- el modelo asume que no &ay oportunidades de arbitraje.
:a pregunta que a&ora se plantea es 2 Kcómo nos beneIcia la fórmula previa en la simpliIcación del proceso de bLsqueda para la prima fM
3ara contestar a la interrogante anterior- antes es necesario obtener el precio esperado de la acción en el empo 4 2
S0
d p a d l i i b a b 3 r o
S0 ⋅ u
T
3 r o b a b i li d a d
E ( ST )
1 ) p #
S0 ⋅ d
= p ⋅ ( S0 ⋅ u ) + (1 − p ) ⋅ S0 ⋅ d
@sA- al desarrollar la e,presión anterior tenemos que 2
E ( ST )
= p ⋅ ( S0 ⋅ u ) + (1 − p ) ⋅ S0 ⋅ d = p ⋅ S0 ( u − d ) + S0 d
y como 2
p =
e rT − d u−d
( ¿Porqué?
e rT − d rT = S e ( ) ⇒ E ( ST ) = ⋅ − + S u d S d 0 0 0 u − d Esto implica que el precio de la acción crece en promedio a raNón de la tasa libre de riesgo que e,ista en el mercado.
@&ora bien- resulta entonces Ll establecer que se cumple la igualdad siguiente 2
S 0 e rT
= pS0u + (1 − p ) S 0 d
E ( ST )
E ( ST )
de lo cual resulta muc&o m$s f$cil despejar el valor de p. Ejemplo 2
$20
p $22 d a i l i d b « 3ayo8 » > 1.FF a b o r 3
T = 3 meses con r
3 r o b a b i li da d
= 0.12
1 ) p $18 # « 3ayo8 » > F.FF
Este $rbol es el mismo del ejemplo previo- para lo cual a&ora planteamos 2
S 0 e rT
= pS0u + (1 − p ) S 0 d
20e 0.12 ( 0.25 )
= p( 22 ) + (1 − p )(18)
⇒ p = 0.6523 B asA 2
f = e − rT [ p ⋅ f u
+ (1 − p ) f d ]
⇒ f = e −0.12( 0.25) [ ( 0.6523) ⋅ (1) + (1 − 0.6523)( 0 ) ] = 0.633022 lo cual coincide con nuestro resultado previo
Problema : %onsidere un 3ut Europeo sobre una acción de %E+EO que no paga dividendos. E l precio de ejercicio es de CC y la acción &oy vale ?C en el mercado . *uponga que el empo del contrato es de a'osdividido en partes de un a'o cada una G ramas del $rbol# . %ada a'o el precio de la acción sube o baja un 1CP. :as tasa de interés libre de riesgo es del CP anual connuo. %alcule el valor de la opción el dAa de &oy.
+15%
59.5125
-15%
43.9875
51.75 +15%
+15%
45 (f)
(fu)
-15%
38.25 (fd) -15%
43.9875 32.5125
El desarrollo de la solución queda de la siguiente forma 2 +15% 51.75 +15%
(fu) Opción su#$acene 45 a la acción (f) -15% 38.25 (fd) Opción su#$acene a la acción
fu ⋅ e RT fd ⋅ e RT
59.5125 Opción Vale 0 (no se ee!ce) 43.9875 Opción Vale 55-43.9875 " 11.0125 43.9875 Opción Vale 55-43.9875 " 11.0125 32.5125 Opción Vale55-32.5125"22.4875
= 0( p ) + 11 .0125(1 − p)
= 11.0125( p ) + 22.4875(1 − p) f ⋅ e RT = fu ( p ) + fd (1 − p )
= 51.75 p + 38.25(1 − p) ⇒ p = 0.6709 &!o#a#ilidad de 'ue su#a la acción
45e 0.05(1) ⇒ 1−
p = 0.3291
a sólo !esa calcula! los alo!es de fu $ fd *
fu"11.0125(1-0.,709)/&(0.05)"3.447459 fd"(11.01250.,709+22.4875(1-0.,709))/&(0.05)"14.0,7, &a!a o#ene! el alo! de la opción o$ *
f = ( fu ( p ) + fd (1 − p ) ) e − RT = 6.6040 l cop!ado! del & es el 'ue paa ,.,040 ('ue es la pe!sona ine!esada en ende! la acción)
a vola"lidad en el árbol binomial :a volalidad de una acción es una medida de la incerdumbre sobre los rendimientos que ésta tendr$. @sA- la volalidad del precio de una acción puede ser vista como la desviación est$ndar del rendimiento en un a'o cu$ndo éste es e,presado de forma connua en el empo.
σ
%uando 4 es peque'a- σ T es apro,imadamente igual a la desviación est$ndar del cambio porcentual en el precio de la acción en el empo 4. 3or ejemplo- suponga que para un a'o se ene que σ = 30% y que el precio actual de la acción es de CF. :a desviación est$ndar del cambio porcentual en el precio de la acción en una semana es de apro,imadamente2
0.30
= 0.0416 = 4.16% 52 1
:a raNón por la cual es posible &acer la apro,imación previa ene su origen en la Propiedad #di"va que presentan los rendimientos connuos en la pr$cca. Esto implica que si tenemos rendimientos connuos en un perAodo de empo- dados por - Q entonces el rendimiento total connuo sobre dic&o perAodo de empo est$ dado por 2
rt ,t + h
rt + h ,t + 2 h n
rt + h,t + nh
= ∑ rt +( i −1) h,t +ih t =1
Ejemplo 2 *uponga que el precio de una acción en ? dAas consecuvos est$ dado por 1FF- 1F9- /0 y /J. :os rendimientos connuos diarios est$n dados por 2
103 = 0.02956 ln 100
97 = −0.06002 103
ln
( ¿Porqué?
98 = 0.01026 97
ln
El rendimiento connuo del dAa 1 al dAa ? est$ dado por 2
98 = −0.0202 100
ln
Dic&o resultado equivale a calcular lo anterior 2
r1, 2 + r2,3 + r3, 4
= −0.0202
@&ora bien- si aplicamos dic&a propiedad de adividad a rendimientos connuos mensuales para obtener el rendimiento connuo anual tendrAamos que 2 12
ranual
= ∑ rmensual ,i i =1
y la =arianNa del rendimiento connuo anual serAa 2 12 12 Var ( ranual ) = Var ∑ rmensual ,i = ∑ Var ( rmensual ,i ) i =1 i =1
Bajo supuesto de independencia
*i cada mes ene la misma varianNa en sus rendimientos tenemos entonces que la varianNa del rendimiento anual # est$ dada por2
σ
denotada por
2
2
(
σ = 12 σ
2
mensual
)
lo cual implica a su veN que 2 σ mensual =
σ
12
@sA- al separar al a'o en n perAodos de longitud & lo que equivale a decir que & > 1Rn#- la desviación est$ndar sobre el perAodo de longitud & est$ dada por 2 σ h = σ
h
5órmula equiparable a la usada de manera previa
Un movimiento de una desviación est$ndar en el precio de la acción p ara una semana en el ejemplo previo se calcularAa mediante 2
50( 0.0416) = $2.08
*upongamos a&ora que para cierta acción su rendimiento esperado es de µ y su volalidad es σ . En un $rbol binomial con longitud ∆t tenemos 2 ;
S0
p d a i l i d b a b 3 r o ∆t
S0 ⋅ u
3 r o b a b i li da d S 1 ) p ; 0 #
⋅d
3recio esperado de la acción al Inal de
∆t
µ ⋅∆t S e 2 0
%o,- oss y ubinstein 1/0/# proponen los siguientes valores que relacionan la volalidad para u y d 2
u = eσ d
=e
∆t
donde 2
−σ ∆t
p =
e r∆t − d u−d
=
a−d u−d
Ejemplo 2 %onsidere una Spción 3ut @mericana donde el precio de la acción es de CF- el precio stri"e de C- la tasa libre de riesgo es del CP connuo y la vida de la opción es de dos a'os con dos pasos de empo. *i la volalidad es del 9FPK%u$l es el precio de la opciónM
u = eσ d
= e−
σ
∆t
= e = 1.3499 ∆t = e −0.3 1 = 0.7408 0.3 1
@sA tenemos que 2
p =
e 0.05(1) − 0.7408 1.3499 − 0.7408
= 0.5097
Tr$Icamente el $rbol se ve &asta el momento# 2
(fu) 50 (f)
6 (fd)
(fuu) (fud) (fdu) (fdd)
A = 50(1.3499)
= 67.495 B = 50( 0.7408) = 37.04 .1115 C = A(1.3499) = 91
D = A( 0.7408)
E = B(1.3499)
= 50 .0000
= 50 .0000 .4392 F = B( 0.7408) = 27
El $rbol queda asA de la siguiente manera 2
Max( 52 − 67.49, ( 0( 0.5097 ) + 2(1 − 0.5097 ) ) e −0.05( 1) ) = 0.9327
El uso del so$%are & Deriva'em 3ara acceder al programa generador de un $rbol binomial consideremos la versión 1.C de DerivaTem E,cel FF0# y la &oja denominada « Equity5OHnde,5uturesSpons ». 3ara resolver nuestro ejemplo previo tendrAamos 2
SVS
El uso del so$%are & Deriva'em Una veN capturados los datos- al presionar en el botón « %alculate » tenemos como resultado 2
W %&eca con nuestro resultado previo X
El uso del so$%are & Deriva'em @l presionar el botón « Display 4ree » tenemos el $rbol correspondiente 2
)eto : ¡Desarrolle su propia versi*n de Deriva'em en E+cel ,-#!
El uso del so$%are & Deriva'em 3ruebe a&ora el mismo ejemplo anterior con un total de C pasos en veN de . =ea a&ora los resultados 2
a opc.*n vale /0120 K%u$ntos pasos soportan como m$,imo los $rboles generados por el soY!are « DerivaTem »
Dividendos en el 3odelo -inomial %onsideremos una acción que paga dividendos a una tasa q y una tasa libre de riesgo r lo cual genera ganancias en capital de r – q#. Esto implica que si la acción inicia valiendo *F - su valor esperado un paso después de longitud debe ser de
∆t
S 0 e ( r − q ) ∆t
@sA- la e,presión que anteriormente us$bamos para medir la probabilidad de que suba el precio de la acción queda de la siguiente manera 2
pS0u + (1 − p ) S0 d
= S0e( r −q ) ∆t
de lo cual- al despejar para p 2
p =
e ( r − q ) ∆t − d u−d
Problema : %ierto Andice para un acción ene un valor de J1F- una volalidad del FP- y una tasa de dividendos del P. *i la tasa libre de riesgo es del CP determine el valor de una Spción « %all » Europea a G meses con un precio stri"e de JFF y un $rbol binomial de pasos. %ompare después su resultado mediante el soY!are « DerivaTem »
∆t = u = e 0.20 (
0.25
)
⇒ p =
0.5
= 1.1052
2
= 0.25 d
= e −0.20(
e ( 0.05−0.02 ) 0.25 − 0.9048 1.1052 − 0.9048
0.25
)
= 0.9048
= 0.5126
@l resolver mediante el soY!are « DerivaTem » tenemos 2
3ar$metros a cambiar
