1. Para una distribución binomial con n=7 y p = 0,2 encuentre:
La fórmula general para la distribución binomial es n− x x f ( x )= n p ( 1− p ) x
()
Donde n es el número de ensayos, x el número de éxitos buscados, y p la probabilidad de un éxito cualquiera. Así para 5 éxitos tenemos a. P(x =5) 7−5 f ( 5 ) = 7 (0.2)5 (1−0.2 ) =( 21 ) ( 0,00032 )( 0,64 )=0,0043 5
()
b. P(x > 2) Para medir la probabilidad de obtener más de 2 éxitos calculamos la probabilidad de obtener cero, 1 y 2 éxitos, y restamos la suma de estas probabilidades al total, es decir 1. Por lo tanto tenemos P ( x >2 )=1−( P ( 0 ) + P ( 1 )+ P ( 2 ) ) 7 0 f ( 0 )= 7 ( 0.2) ( 1−0.2 ) =( 1 )( 1 ) ( 0,2097 )=0, 2097 0
()
7−1 f ( 1 )= 7 (0.2)1 ( 1−0.2 ) =( 7 ) ( 0,2 )( 0, 2621 )=0.36694 1
()
7−2 2 f ( 2 )= 7 (0.2) ( 1−0.2 ) =( 21 ) ( 0,0 4 )( 0, 3277 )=0.275268 2
()
→ P ( x >2 )=1− ( 0,2097+0.36694+ 0.275268 )=0,148092
c. P(x < 8) Por último, la probabilidad de obtener más de 7 éxitos en 7 ensayos es, evidentemente cero. Por lo tanto, la suma de las probabilidades de obtener 0 , 1 , … , 7 éxitos es igual a 1, o lo que es lo mismo: 100%
2. Encuentre la media y la desviación estándar de las siguientes distribuciones binomiales: La fórmula general de la media y la varianza para la distribución binomial es μ=np 2
σ =np(1− p) a. n = 15; p = 0,20
μ=np=( 15 ) ( 0.20 ) =3 σ 2=np ( 1− p )=( 15 )( 0.20 ) ( 0.80 ) =2.4 σ =√ 2. 4=1. 5492
b. n = 8; p = 0,42
μ=( 8 )( 0.42 ) =3.36 σ 2=np ( 1− p )=( 8 )( 0.42 ) ( 0. 58 )=1.9488 σ =√ 1.9488=1.395994
c. n = 29; p = 0,49
μ=np=( 29 ) ( 0.49 )=14.21 σ 2=np ( 1− p )=( 29 )( 0.49 ) ( 0.51 )=7.2471 σ =√ 7.2471=2.6920 3. La Universidad se enteró de que el 20% de sus alumnos cancelan el curso de estadística. Suponga que en este semestre se inscribieron 20 alumnos a este curso. En este caso, n=20, y p=0.20
a. ¿Cuál es la probabilidad de que dos o menos cancelen?
De manera análoga al ejercicio uno, tenemos que la probabilidad de que “dos o menos” cancelen, es la suma de las probabilidades P(0) + P(1) + P(2) P ( x ≤2 ) =( P ( 0 ) + P (1 ) + P ( 2 ) ) 20 f ( 0 )= 20 (0.2)0 ( 1−0.2 ) =( 1 ) ( 1 )( 0.0115 )=0 .0115 0
( )
20−1 1 f ( 1 )= 20 (0.2) ( 1−0.2 ) =( 20 )( 0,2 ) ( 0.0144 )=0.0576 1
( )
20−2 f ( 2 )= 20 (0.2)2 ( 1−0.2 ) = ( 190 )( 0,04 ) ( 0.01801 )=0. 1369 2
( )
→ P ( x ≤ 2 )=( 0.0115 +0.0576+0. 1369 )=0.206
b. ¿Cuál es la probabilidad de que cancelen cuatro personas? 20−4 4 f ( 4 )= 20 (0.2) ( 1−0.2 ) =( 4845 ) ( 0.0016 ) ( 0.0281 )=0.2178 4
( )
c. ¿Cuál es la probabilidad de que cancelen más de tres? 3 20−3 f ( 3 ) = 20 ( 0.2 ) ( 1−0.2 ) =( 1140 ) ( 0.008 ) ( 0.0225 )=0.2052 3
( )
→ P ( x >3 )=1−( P ( 0 ) + P ( 1 ) + P ( 2 ) + P(3) ) 1−( 0.0115 +0.0576+0.1369+ 0.2052 )=0. 5888
d. ¿Cuál es la cantidad esperada de deserciones? La cantidad esperada es igual a la media de la distribución. Esto es:
μ=np=( 20 )( 0.2 )=4
4. En una población el 25% de las personas adultas poseen automóvil; se eligen 12 personas de dicha población. Con base en el enunciado calcule las siguientes probabilidades: Tenemos n=12, p=0.25
a. La probabilidad de que a lo sumo 4 de ellas tiene coche Calculamos la probabilidad de que 4 o menos tengan un vehículo.
P ( x ≤ 4 )= ( P ( 0 ) + P ( 1 ) + P ( 2 ) + P ( 3 ) + P ( 4 ) ) 12 f ( 0 )= 12 (0.2 5)0 ( 1−0.25 ) =( 1 ) ( 1 )( 0. 0317 )=0.0317 0
( )
11 1 f ( 1 )= 12 (0.25) ( 1−0.25 ) =( 1 2 )( 0.25 )( 0.0422 )=0.1266 1
( )
2 10 f ( 2 )= 12 ( 0.25 ) ( 1−0.25 ) = ( 66 ) ( 0.0625 )( 0.0563 )=0.2322 2
( )
9 f ( 3 ) = 12 (0.25)3 ( 1−0.25 ) =( 220 )( 0.0156 ) ( 0. 0751 )=0.2577 3
( )
8 f ( 4 )= 12 (0.25)4 ( 1−0.25 ) = ( 495 ) ( 0.0039 ) ( 0.1001 )=0.1932 4
( )
→ P ( x ≤ 4 )=( 0.0317 +0.1266+0.2322+0.2577+ 0.1932 )=0 .8414
b. La probabilidad de que 6 de ellas no tenga coche La probabilidad de que 6 de doce personas no tengan un auto es lógicamente equivalente a que 6 de doce lo tengan, debido a la naturaleza binomial del experimento. Por lo tanto hay que calcular sencillamente
6 f ( 6 )= 12 (0.25)6 ( 1−0.25 ) =( 9 24 ) ( 0.0002 )( 0.1779 )=0. 0401 6
( )
c. La probabilidad de que al menos 8 no tienen auto La probabilidad de que al menos ocho personas no tengan auto es equivalente a la probabilidad de que, a lo sumo, 4 tengan auto.
f ( x ≤ 4 )= ( P ( 0 )+ P ( 1 ) + P ( 2 )+ P ( 3 )+ P ( 4 ) )=0.8414 -como ya se había calculado
d. La probabilidad que 6 tengan coche La probabilidad de que 6 personas tengan coche se calculó en la parte b, y es igual a 0.0329 e. Determine el número medio de personas que tienen automóvil, así como su desviación estándar. μ=np=( 12 ) ( 0.25 )=3 σ 2=np ( 1− p )=( 12 ) ( 0. 25 )( 0. 75 ) =2.25 σ =√ 2.25=1.5
5. Una agencia automotriz recibe un embarque de 20 automóviles nuevos. Entre éstos, dos tienen defectos. La agencia decide seleccionar, aleatoriamente, dos automóviles de entre los 20 y aceptar el embarque si ninguno de los dos vehículos seleccionados tiene defectos. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar el embarque? En este caso hacemos uso de la fórmula de distribución de probabilidad hipergeométrica. De manera general, la distribución de probabilidad hipergeométrica resuelve la pregunta por la probabilidad de que, de una población de N elementos, de los que r se consideran éxitos y N-r se consideran fracasos, se obtengan x éxitos en n ensayos sobre los elementos de N. (Anderson, 2008, pág. 215)
r N −r ( x )( n−x ) P ( x )= ( Nn )
Donde
n k
()
es el coeficiente binomial de
n y k=¿
tienen el significado expuesto antes. Tenemos, entonces,
n! k ! ( n−k ) !
y
r ,x , N y n
N=20, n=2 ,r =2 , x=0 , con
lo que la fórmula toma el valor 2 18 ( 0 )( 2 ) ( 1 )( 153 ) P ( 0 )= = =0.8053 (190) 20 (2) Que es la probabilidad de no encontrar ningún auto defectuoso en la muestra y, por lo tanto, aceptar el embarque. 6. De acuerdo con el periódico de Educación superior, el 40% de todos los bachilleres trabajan durante el verano para ganar dinero para la educación universitaria correspondiente al siguiente período de otoño. Si 7 bachilleres se seleccionan de manera aleatoria determinar: Se tiene n=7 y p=0.4
a. La probabilidad de que 5 tengan trabajo en el verano 2 f ( 5 ) = 7 (0. 4 )5 ( 1−0. 4 ) = ( 21 )( 0. 0102 )( 0.36 )=0.0771 5
()
b. La probabilidad de que Ninguno trabaje 7 f ( 0 )= 7 ( 0.4)0 ( 1−0.4 ) =( 1 )( 1 ) ( 0.36 )=0.0279 93 0
()
c. La probabilidad de que al menos uno trabaje
P ( x ≥1 ) =1−( P ( 0 ) ) =1−0.27993=0.72007
d. La probabilidad de que todos trabajen 0 f ( 7 ) = 7 ( 0.4)7 ( 1−0.4 ) =( 1 )( 0.0016 )( 1 )=0.0016 7
()
e. El número medio de estudiantes que trabajan durante el verano, de igual forma, calcule la desviación estándar de la variable. μ=np=( 7 )( 0. 4 )=2.8 σ 2=np ( 1− p )=( 7 )( 0 .4 )( 0. 6 ) =1. 68
σ =√ 1.68=1.2961
7. En una manzana de casas hay 10 estacionamientos. En cada estacionamiento puede encontrarse o no un automóvil con independencia de lo que ocurra en los otros. La probabilidad de que un estacionamiento esté ocupado es de 0,4. Partimos de n=10, p=0.4
a. Calcule la probabilidad de que en cierto día se encuentren ocho automóviles estacionados 2 f ( 8 )= 10 (0.4 )8 ( 1−0.4 ) =( 45 ) ( 0.00065536 )( 0.36 )=0. 0106 8
( )
b. ¿Cuántos vehículos se esperaría que estuvieran estacionados? μ=np=( 10 ) ( 0.4 )=4 8. Se sabe que el 5% de los libros empastados en cierto taller tienen defectos. Calculé la probabilidad de que 2 de 100 libros terminados en ese taller tengan defectos.
Se tiene n=100, p=0.05
98 f ( 2 )= 10 0 (0. 05)2 ( 1−0.05 ) =( 4950 ) ( 0.00 25 ) (0. 00656)=0.08 12 2
( )
9. Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que: Se tiene n=5, p=0.75
a. Dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos. 3 f ( 2 )= 5 (0. 7 5)2 ( 1−0. 7 5 ) =( 1 0 ) ( 0. 5625 ) (0.0156)=0. 0877 2
()
b. Como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano
P ( x ≤1 ) =P ( 0 )+ P (1) 0 5 f ( 0 )= 5 ( 0.75 ) ( 1−0.75 ) =( 1 )( 1 ) ( 0.0009 )=0.0009 0
()
4 1 f ( 1 )= 5 (0.75) ( 1−0.75 ) = (5 )( 0. 75 ) (0.0039)=0.01463 1
()
P ( x ≤1 ) =P ( 0 )+ P ( 1 )=0.0009+0 .1463=0.1472
c. Tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos. Esta probabilidad es equivalente a la probabilidad de que 2 de los cinco accidentes se atribuyan a errores humanos. Se tiene entonces 3 f ( 2 )= 5 (0.75)2 ( 1−0.75 ) =( 10 ) ( 0.5625 ) (0.0156)=0.0877 2
()
10. Se lanza al aire una moneda normal 3 veces, determine las siguientes probabilidades: Es este caso, asumimos que una moneda “normal” tendrá la misma probabilidad de caer del lado de cara que del de sello. Entonces n=3 y p=0.5. Como p = 1-p, la fórmula se transforma en: f ( x )= n (0.5)n x
()
a. Probabilidad de que aparezcan dos caras. 3 f ( 2 )= 3 ( 0.5 ) =( 3 ) ( 0.125 )=0.375 2
()
b. Probabilidad de que aparezcan máximo dos caras.
3 f ( 0 )= 3 ( 0.5 ) = (1 )( 0.125 ) =0.12 5 0
()
3 f ( 1 )= 3 ( 0.5 ) =( 3 ) ( 0.125 )=0.375 1
()
3 f ( 2 )= 3 ( 0.5 ) =( 3 ) ( 0.125 )=0.375 2
()
P ( x ≤2 ) =0.125+0.375+0.375=0.875 c. Probabilidad de que aparezcan por lo menos dos caras. Por último, como la distribución binomial es simétrica con p=0.5, la probabilidad: P(3) = P(0). Entonces tenemos P ( x ≥2 )=P (2 )+ P ( 3 )=0.375+0.125=0.500
