■
5-17
cuperar el 50% del costo original. Sin tomar en cuenta el valor temporal del dinero ni cualquier otro gasto que no sea en efectivo, utilice el método de pérdida esperada para determinar el número óptimo de automóviles que debe comprar la compañía. La empresa We Care Air debe tomar una decisión acerca del vuelo 105. Por ahora tienen tres asientos reservados para los pasajeros de última hora, pero la línea aérea no sabe si alguien los comprará. Si liberan los asientos, podrán venderlos a $250 cada uno. Los clientes de última hora deben pagar $475 por asiento. Deben tomar la decisión ahora y pueden liberar cualquier número de asientos. We Care Air cuenta con la ayuda de la siguiente distribución de probabilidad: Número de clientes de último minuto Probabilidad
0 0.45
1 0.30
2 0.15
3 0.10
La compañía también contempla una pérdida de $150 debida a la mala imagen por cada cliente de última hora que no consigue asiento. a) ¿Qué ingreso se generaría al liberar los 3 asientos ahora? b) ¿Cuál es el ingreso neto esperado de la compañía (ingreso menos pérdida por mala imagen) si se liberan los 3 asientos ahora? c) ¿Cuál es el ingreso neto esperado si se liberan 2 asientos ahora? d) ¿Cuántos asientos deben liberar para maximizar el ingreso esperado?
Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA
5-3 1 Probabilidad
0.4
Tabla de pérdidas Demanda de pizzas 2 3 0.3
0.2
4 0.1
Inventario de pizzas 1 2 3 4
Pérdida esperada 0 7 14 21
10 0 7 14
20 10 0 7
30 20 10 0
10.0 6.8 ← 8.7 14.0
Mario debe almacenar dos pizzas “Con todo, menos...” cada noche.
5.4 La distribución binominal Distribución binomial y procesos de Bernoulli
Una distribución de probabilidad de variable aleatoria discreta utilizada ampliamente es la distribución binomial. Esta distribución describe una variedad de procesos de interés para los administradores. Por otra parte, describe datos discretos, no continuos, que son resultado de un experimento conocido como proceso de Bernoulli, en honor del matemático suizo nacido en el siglo XVII, Jacob Bernoulli. El lanzamiento de la moneda no alterada un número fijo de veces es un proceso de Bernoulli, y los resultados de tales lanzamientos pueden representarse mediante la distribución binomial de probabilidad. El éxito o fracaso de los solicitantes de empleo, entrevistados para prueba de aptitudes, también puede ser descrito como un proceso de Bernoulli. Por otro lado, la distribución de frecuencias de la duración de las luces fluorescentes de una fábrica se podría medir mediante una escala continua de tiempo y no se podría clasificar como una distribución binomial.
Uso del proceso de Bernoulli Descripción del proceso de Bernoulli
Podemos utilizar el resultado del lanzamiento de una moneda no alterada un cierto número de veces como ejemplo de un proceso de Bernoulli. Podemos describir el proceso de la siguiente manera: 1. Cada intento (cada lanzamiento, en este caso) tiene solamente dos resultados posibles: cara o cruz, sí o no, éxito o fracaso. 5.4
La distribución binominal
191
2. La probabilidad del resultado de cualquier intento (lanzamiento) permanece fijo con respecto al tiempo. Con una moneda no alterada, la probabilidad de obtener cara siempre es 0.5 para cada lanzamiento, independientemente del número de veces que se lance la moneda. 3. Los intentos son estadísticamente independientes, es decir, el resultado de un lanzamiento no afecta el resultado de cualquier otro lanzamiento. Definición de probabilidad característica
Cada proceso de Bernoulli tiene su propia probabilidad característica. Considere una situación en la que, a lo largo del tiempo, siete décimas partes de todas las personas que solicitan cierto tipo de trabajo aprueban el examen de aptitudes. Diríamos que, en este caso, la probabilidad característica es de 0.7, pero podríamos describir el resultado del examen como de Bernoulli sólo si tenemos la certeza de que la fracción de los que aprueban el examen (0.7) permanece constante en el tiempo. Desde luego que las otras características del proceso de Bernoulli también deben cumplirse. Cada examen tendría que tener solamente dos resultados (éxito o fracaso) y los resultados de cada prueba deberían ser estadísticamente independientes. En un lenguaje más formal, el símbolo p representa la probabilidad de tener éxito (0.7 en este ejemplo) y el símbolo q (q 1 p) es la probabilidad de que resulte en un fracaso (0.3). Para representar un cierto número de éxitos, utilizaremos el símbolo r, y para representar el número total de intentos o de ensayos utilizamos el símbolo n. En las situaciones que analizaremos, el número de ensayos está fijo desde antes de empezar el experimento. Calculemos, para utilizar este lenguaje en un problema sencillo, las posibilidades de obtener exactamente dos caras (en cualquier orden) en tres lanzamientos de una moneda no alterada. Simbólicamente, expresamos los valores de la forma siguiente: • • • •
Fórmula binomial
p probabilidad característica o probabilidad de tener éxito 0.5 q 1 p probabilidad de fracaso 0.5 r número de éxitos deseados 2 n número de intentos hechos 3
Podemos resolver el problema utilizando la fórmula binomial: Fórmula binomial n! Probabilidad de r éxitos en n intentos prqnr r!(n r)!
[5-1]
Aunque esta fórmula pueda parecer un tanto complicada, se le puede utilizar con bastante facilidad. El símbolo ! significa factorial y se calcula de la manera siguiente: 3! significa 3 2 1, o 6. Para calcular 5!, multiplicamos 5 4 3 2 1 120. Los matemáticos definen 0! igual a 1. Utilizando la fórmula binomial para resolver nuestro problema, descubrimos que 3! Probabilidad de 2 éxitos en 3 intentos (0.5)2(0.5)1 2!(3 2)! 321 (0.5)2(0.5) (2 1)(1 1) 6 (0.25)(0.5) 2 0.375 Por tanto, existe una probabilidad de 0.375 de obtener dos caras en tres lanzamientos de una moneda no alterada. En este punto, quizá ya se haya dado cuenta de que podemos utilizar la distribución binomial para determinar la probabilidad en el problema de los tubos de pasta dentífrica presentado al principio
192
Capítulo 5
Distribuciones de probabilidad
de este capítulo. Recuerde que, a lo largo del tiempo, ocho décimos de los tubos se llenan de manera correcta (éxitos). Si queremos calcular la probabilidad de obtener exactamente tres tubos de seis (la mitad de una caja) llenos de manera correcta, podemos definir nuestros símbolos de esta forma: p 0.8 q 0.2 r3 n6 y, entonces, utilizamos la distribución binomial como sigue: n! Probabilidad de r éxitos en n intentos prqnr r!(n r)! Probabilidad de que se llenen correctamente 3 de 6 tubos
[5-1]
654321 (0.8)3(0.2)3 (3 2 1)(3 2 1) 720 (0.512)(0.008) 66 (20)(0.512)(0.008) 0.08192
Es posible recurrir a tablas binomiales
Por supuesto, pudimos haber resuelto este problema utilizando los árboles de probabilidad que desarrollamos en el capítulo 4, pero para resolver problemas más grandes, dichos árboles se convierten en algo bastante complicado. De hecho, haciendo uso de la fórmula binomial (ecuación 5-1) no se facilitan las cosas cuando tenemos que calcular el valor de algo como 19 factorial. Por este motivo, se han construido tablas de probabilidad binomial, y nosotros las utilizaremos brevemente.
Algunas presentaciones gráficas de la distribución binomial Hasta este momento, nos hemos referido a la distribución binomial sólo en términos de la fórmula binomial, pero ésta, al igual que cualquier otra distribución, también se puede expresar de manera gráfica. Para ilustrar varias de tales distribuciones, considere la siguiente situación. Es frecuente que los empleados lleguen tarde a trabajar a la Farmacia Kerr y hay cinco empleados en ella. El propietario ha estudiado la situación durante cierto periodo y determinó que hay una probabilidad de 0.4 de que cualquier empleado llegue tarde y que las llegadas de los mismos son independientes entre sí. ¿Cómo podríamos trazar una distribución binomial de probabilidad que ejemplifique las probabilidades de que 0, 1, 2, 3, 4 o 5 empleados lleguen tarde simultáneamente? Para hacerlo, necesitaríamos utilizar la fórmula binomial donde: p 0.4 q 0.6 n 5* y efectuar cálculos separados para cada r, desde 0 hasta 5. Recuerde que, matemáticamente, cualquier número elevado a la cero potencia es igual a 1. Tenemos que empezar con la fórmula binomial: n! Probabilidad de tener r llegadas tarde de n empleados prqnr r!(n r)!
[5-1]
* Cuando definimos n, observamos el número de empleados. El hecho de que exista la posibilidad de que ninguno llegue tarde no altera nuestra elección en cuanto a que n 5.
5.4
La distribución binominal
193
Uso de la fórmula para calcular la distribución binomial de probabilidad
Para r 0, tenemos:
Para r 1, tenemos:
Para r 2, tenemos:
Para r 3, tenemos:
5! P(0) (0.4)0(0.6)5 0!(5 0)! 54321 (1)(0.6)5 (1)(5 4 3 2 1) 120 (1)(0.07776) 120 (1)(1)(0.07776) 0.07776 5! P(1) (0.4)1(0.6)4 0!(5 1)! 54321 (0.4)(0.6)4 (1)(4 3 2 1) 120 (0.4)(0.1296) 24 (5)(0.4)(0.1296) 0.2592 5! P(2) (0.4)2(0.6)3 0!(5 2)! 54321 (0.4)2(0.6)3 (2 1)(3 2 1) 120 (0.16)(0.216) 12 (10)(0.03456) 0.3456 5! P(3) (0.4)3(0.6)2 3!(5 3)! 54321 3 2 (0.4) (0.6) (3 2 1)(2 1) (10)(0.064)(0.36) 0.2304
Para r 4, tenemos:
5! P(4) (0.4)4(0.6)1 4!(5 4)! 54321 (0.4)4(0.6) (4 3 2 1)(1) (5)(0.0256)(0.6) 0.0768 Por último, para r 5, tenemos: 5! P(5) (0.4)5(0.6)0 5!(5 5)! 54321 (0.4)5(1) (5 4 3 2 1)(1) (1)(0.01024)(1) 0.01024
194
Capítulo 5
Distribuciones de probabilidad
0.4
p = 0.4 q = 0.6 n=5
Probabilidad
0.3
FIGURA 5-4
0.2
0.1
Distribución binomial de probabilidades de retardos
Apariencia general de las distribuciones binomiales
0
1
2
3
4
5
Números de retardos
La distribución binomial para este ejemplo se muestra de manera gráfica en la figura 5-4. Sin efectuar todos los cálculos necesarios, podemos ilustrar la apariencia general de una familia de distribuciones binomiales de probabilidad. En la figura 5-5, por ejemplo, cada distribución representa n 5. En cada caso, p y q han sido cambiadas y se especifican al lado de cada distribución. A partir de la figura 5-5, podemos hacer las siguientes generalizaciones: 1. 2. 3. 4. 5.
Cuando p es pequeña (0.l), la distribución binomial está sesgada hacia la derecha. Conforme p aumenta (a 0.3, por ejemplo), el sesgo es menos notable. Cuando p 0.5, la distribución binomial es simétrica. Cuando p es mayor que 0.5, la distribución está sesgada hacia la izquierda. Las probabilidades para 0.3, por ejemplo, son las mismas para 0.7, excepto que los valores de p y q están invertidos. Esto se aplica a cualquier pareja de valores p y q complementarios (0.3 y 0.7; 0.4 y 0.6; 0.2 y 0.8).
Examinemos gráficamente lo que sucede a la distribución binomial cuando p se mantiene constante y n aumenta. En la figura 5-6 se muestra la forma general de una familia de distribuciones binomiales con p constante de 0.4 y n que va desde 5 hasta 30. A medida que n aumenta, las líneas verticales no nada más se hacen más numerosas, sino que también tienden a juntarse cada vez más para asumir la forma de una campana. Dentro de poco diremos algo más acerca de esta forma de campana.
Uso de las tablas binominales Resolución de problemas mediante el uso de tablas binomiales
Antes reconocimos que resulta tedioso calcular las probabilidades mediante la fórmula binomial cuando n es un número grande. Afortunadamente, podemos utilizar la tabla 3 del apéndice para determinar con rapidez las probabilidades binomiales. Para ejemplificar el uso de las tablas binomiales, considere el siguiente problema. ¿Cuál es la probabilidad de que ocho de los 15 votantes demócratas empadronados de Prince Street no puedan votar en las elecciones preliminares, si la probabilidad de que cualquier individuo no pueda votar es de 0.30, y si las personas deciden de manera independiente si votan o no? Primero representamos los elementos de este problema en notación de distribución binomial: n 15 p 0.30 r8
Cómo utilizar las tablas binomiales
número de demócratas empadronados probabilidad de que cualquier individuo no vote número de individuos que no van a votar
Entonces, como el problema implica 15 ensayos, debemos encontrar la tabla correspondiente a n 15. Como la probabilidad de que un individuo no vote es de 0.30, buscamos en la tabla binomial hasta encontrar la columna cuyo encabezado es 0.30. Nos desplazamos después hacia abajo de la columna hasta que estamos opuestos a la columna r 8, en donde tenemos la respuesta, 0.0348. Ésta es la probabilidad de que ocho votantes empadronados no voten. 5.4
La distribución binominal
195
0.6000 0.5000 Probabilidad
n = 5, p = 0.1 Probabilidad r 0.5905 0 0.3280 1 0.0729 2 0.0081 3 0.0004 4 0.0000 5 0.9999
p = 0.1 q = 0.9
0.4000 0.3000 0.2000 0.1000 0.0000 0
1
3
2
4
5
n = 5, p = 0.3 Probabilidad r 0 0.1681 1 0.3601 2 0.3087 3 0.1323 4 0.0283 5 0.0024 0.9999
Probabilidad
r 0.4000 0.3500 0.3000 0.2500 0.2000 0.1500 0.1000 0.0500 0.0000
p = 0.3 q = 0.7
0
1
2
3
4
5
n = 5, p = 0.5 Probabilidad r 0 0.0312 1 0.1562 2 0.3125 3 0.3125 4 0.1562 5 0.0312 0.9998
Probabilidad
r 0.4000 0.3500 0.3000 0.2500 0.2000 0.1500 0.1000 0.0500 0.0000
p = 0.5 q = 0.5
0
1
2
3
4
5
3
4
5
3
4
5
n = 5, p = 0.7 Probabilidad r 0.0024 0 0.0283 1 0.1323 2 0.3087 3 0.3601 4 0.1681 5 0.9999
Probabilidad
r 0.4000 0.3500 0.3000 0.2500 0.2000 0.1500 0.1000 0.0500 0.0000
p = 0.7 q = 0.3
0
1
2
r
FIGURA 5-5 Familia de distribuciones binomiales de probabilidad con n 5 constante y varios valores p y q
0.6000 0.5000 Probabilidad
n = 5, p = 0.9 Probabilidad r 0 0.0000 1 0.0004 2 0.0081 3 0.0729 4 0.3280 5 0.5905 0.9999
0.4000
p = 0.9 q = 0.1
0.3000 0.2000 0.1000 0.0000 0
1
2
r
Suponga que se nos ha pedido encontrar la probabilidad de que “ocho o más votantes empadronados no voten”. Podríamos haber buscado en la columna de 0.30 y sumar las probabilidades desde ocho hasta el fondo de la columna, de esta manera: 8 9 10
196
Capítulo 5
Distribuciones de probabilidad
0.0348 0.0116 0.0030
11 12 13
0.0006 0.0001 0.0000 0.0501
La respuesta es que hay una probabilidad de 0.0501 de que ocho o más votantes empadronados no voten. Suponga ahora que se nos pide hallar la probabilidad de que menos de ocho votantes no voten. De nuevo tendríamos que empezar en la columna de 0.30, pero en esta ocasión sumaríamos las pro-
Probabilidad
n = 5, p = 0.4 Probabilidad r 0 0.0778 1 0.2592 2 0.3456 3 0.2304 4 0.0768 5 0.0102 1.0000
0.3500 0.3000 0.2500 0.2000 0.1500 0.1000 0.0500 0.0000
n=5 p = 0.4
0
FIGURA 5-6 Familia de distribuciones binomiales de probabilidad con p 0.4 constante y n 5, 10 y 30
3
2
4
5
r
n = 10, p = 0.4 Probabilidad r 0 0.0060 1 0.0403 2 0.1209 3 0.2150 4 0.2508 5 0.2007 6 0.1115 7 0.0425 8 0.0106 9 0.0016 10 0.0001 1.0000
0.3000
Probabilidad
0.2500
n = 10 p = 0.4
0.2000 0.1500 0.1000 0.0500 0.0000 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
r
0.16000
n = 30 p = 0.4
0.14000 0.12000
Probabilidad
n = 30, p = 0.4 Probabilidad r 0 0.00000 1 0.00000 2 0.00004 3 0.00027 4 0.00120 5 0.00415 6 0.01152 7 0.02634 8 0.05049 9 0.08228 10 0.11519 11 0.13962 12 0.14738 13 0.13604 14 0.11013 15 0.07831 16 0.04895 17 0.02687 18 0.01294 19 0.00545 20 0.00200 21 0.00063 22 0.00017 23 0.00004 24 0.00001 25 0.00000 26 0.00000 27 0.00000 28 0.00000 29 0.00000 30 0.00000 1.00000
1
0.10000 0.08000 0.06000 0.04000 0.02000 0.00000 0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
r
5.4
La distribución binominal
197
babilidades desde 0 (la parte superior de la columna n 15) hasta 7 (el valor más alto menor que ocho), de la siguiente manera: 0 1 2 3 4 5 6 7
0.0047 0.0305 0.0916 0.1700 0.2186 0.2061 0.1472 0.0811 0.9498
La respuesta es que existe una probabilidad de 0.9498 de que no voten menos de ocho. Como r (el número de no votantes) es de ocho o más, o en el otro caso de menos de ocho, debe ser cierto que: P(r 8) P(r 8) 1 Pero, de acuerdo con el valor que acabamos de calcular: P(r 8) P(r 8) 0.0501 0.9498 0.9999 La pequeña diferencia entre 1 y 0.9999 se debe al redondeo (la tabla binomial expresa las probabilidades con sólo cuatro cifras decimales de precisión). Se verá que las probabilidades de las tablas binomiales que se encuentran en la parte superior de las columnas de números llegan sólo hasta 0.50. ¿Cómo resolver problemas con probabilidades mayores a 0.5? Simplemente remítase a las tablas binomiales y, en este caso, busque los valores de probabilidad que están al pie de las columnas; éstas van desde 0.50 hasta 0.99.
Medidas de tendencia central y de dispersión para la distribución binomial Cálculo de la media y de la desviación estándar
Antes, en este mismo capítulo, analizamos el concepto de valor esperado o media de una distribución de probabilidad. La distribución binomial tiene un valor esperado o media () y una desviación estándar (); veremos la forma en que ambas medidas estadísticas se pueden calcular. De manera intuitiva, podemos pensar que si una cierta máquina produce partes buenas con p 0.5, entonces, a la larga, la media de la distribución de las partes buenas de la producción será de 0.5 veces la producción total. Si se tiene una probabilidad de 0.5 de obtener cara al lanzar una moneda no alterada, después de un número grande de lanzamientos, la media de la distribución binomial del número de caras será 0.5 veces el número total de lanzamientos. Simbólicamente, podemos representar la media de una distribución binomial como: Media de una distribución binomial
np
La media
[5-2]
en la que: • n número de ensayos • p probabilidad de tener éxito Y podemos calcular la desviación estándar de una distribución binomial haciendo uso de la fórmula: Desviación estándar de una distribución binomial
La desviación estándar
198
npq Capítulo 5
Distribuciones de probabilidad
[5-3]
en la que: • n número de ensayos • p probabilidad de éxito • q probabilidad de fracaso 1 p Para ver la forma en que se utilizan las ecuaciones 5-2 y 5-3, tome el caso de una máquina empacadora que produce el 20% de paquetes defectuosos. Si tomamos una muestra aleatoria de 10 paquetes, podemos calcular la media y la desviación estándar de la distribución binomial del proceso de la siguiente manera:
np
[5-2]
(10)(0.2) 2 ← Media
npq
[5-3]
(10)(0.2)(0.8) 1 .6 1.265 ← Desviación estándar
Cumplimiento de las condiciones para emplear el proceso de Bernoulli Problemas en la aplicación de la distribución binomial a situaciones reales
Debemos ser cuidadosos al usar la distribución binomial de la probabilidad y asegurar que se cumplan las tres condiciones necesarias dadas anteriormente para un proceso de Bernoulli, en particular las condiciones 2 y 3. La condición 2 requiere que la probabilidad del resultado de cualquier intento permanezca fija en el tiempo. En muchos procesos industriales, sin embargo, resulta en extremo difícil garantizar que, en efecto, éste sea el caso. Cada vez que una máquina industrial produce una parte, por ejemplo, se da un desgaste infinitesimal de la máquina. Si tal desgaste se acumula más allá de un punto razonable, la fracción de partes aceptables producidas por la máquina se verá alterada, y la condición 2 para el uso de la distribución binomial puede violarse. En el experimento del lanzamiento de una moneda no se presenta este problema, pero es algo a considerar en las aplicaciones a la vida real de la distribución binomial de la probabilidad. La condición 3 requiere que los ensayos de un proceso de Bernoulli sean estadísticamente independientes, es decir, que el resultado de un intento no afecte de ningún modo el resultado de cualquier otro intento. Aquí, también, podemos encontrar algunos problemas en aplicaciones reales. Tome en consideración un proceso de selección para un empleo en el cual los candidatos con alto potencial se ven impedidos por posiciones políticas. Si el entrevistador ha hablado con cinco candidatos no aceptables de manera consecutiva, puede ser que no entreviste al sexto con imparcialidad completa. Los ensayos, por tanto, no son estadísticamente independientes.
Es importante considerar que uno de los requerimientos para usar un proceso de Bernoulli es que la probabilidad del resultado sea la misma a través del tiempo. Ésta es una condición muy difícil de cumplir en la práctica. Incluso una máquina completamente automática para fabricar partes tendrá cierto desgaste al aumentar el número de partes producidas y esto afectará la probabilidad de producir partes aceptables. Otra condición más es que los SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES
ensayos (la fabricación de partes en el ejemplo de la máquina) sean independientes y también es difícil cumplir con esta condición. Si la máquina produce una larga serie de partes, esto puede afectar la posición (o el filo) de la herramienta de corte de metal de la máquina. Igual que en muchas otras situaciones, con frecuencia es complicado pasar del libro de texto al mundo real, pero los administradores inteligentes usan su experiencia e intuición para saber cuándo es adecuado un proceso de Bernoulli.
5.4
La distribución binominal
199
Ejercicios 5.4 Ejercicios de autoevaluación EA
5-4
EA
5-5
EA
5-6
Para una distribución binomial con n 12 y p 0.45, use la tabla 3 del apéndice para encontrar a) P(r 8). b) P(r > 4). c) P(r 10). Encuentre la media y la desviación estándar de las siguientes distribuciones binomiales: a) n 16, p 0.40. b) n 10, p 0.75. c) n 22, p 0.15. d) n 350, p 0.90. e) n 78, p 0.05. El último sondeo político nacional indica que la probabilidad de que estadounidenses elegidos al azar sean conservadores es de 0.55; de que sean liberales es de 0.30, y de que estén entre una y otra orientación es 0.15. Suponga que estas probabilidades son exactas y responda a las siguientes preguntas referidas a un grupo de 10 estadounidenses seleccionados de manera aleatoria. (No use la tabla 3 del apéndice.) a) ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro sean liberales? b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno sea conservador? c) ¿Cuál es la probabilidad de que dos estén entre una y otra orientación? d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos ocho sean liberales?
Conceptos básicos ■
5-18
■
5-19
■
5-20
■
5-21
Para una distribución binomial con n 7 y p 0.2, encuentre: a) P(r 5). b) P(r 2). c) P(r 8). d) P(r 4). Para una distribución binomial con n 15 y p 0.2, use la tabla 3 del apéndice para encontrar a) P(r 6). b) P(r 11). c) P(r 4). Encuentre la media y la desviación estándar de las siguientes distribuciones binomiales: a) n 15, p 0.20. b) n 8, p 0.42. c) n 72, p 0.06. d) n 29, p 0.49. e) n 642, p 0.21. Para n 8 intentos, calcule la probabilidad de que r 1 para cada uno de los valores siguientes de p: a) p 0.1. b) p 0.3. c) p 0.6. d) p 0.4.
Aplicaciones ■
200
5-22
Harley Davidson, director de control de calidad de la compañía de automóviles Kyoto Motor, se encuentra realizando su revisión mensual de transmisiones automáticas. En el procedimiento, se retiran 10 transmisiones de la pila de componentes y se les revisa en busca de defectos de fabricación. A lo largo del tiempo, sólo el 2% de las transmisiones tienen defectos (suponga que los defectos se presentan de manera independiente en diferentes transmisiones).
Capítulo 5
Distribuciones de probabilidad
■
5-23
■
5-24
■
5-25
■
5-26
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra de Harley contenga más de dos transmisiones con defectos de fábrica? b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las transmisiones elegidas tenga defectos de fábrica? Diane Bruns es la alcaldesa de una ciudad grande. Últimamente, se ha estado preocupando acerca de la posibilidad de que grandes cantidades de personas que cobran el seguro de desempleo en realidad tengan un trabajo en secreto. Sus asistentes estiman que 40% de los beneficiarios del seguro de desempleo entra en esta categoría, pero la señora Bruns no está convencida. Le pide a uno de sus ayudantes que haga una investigación de 10 beneficiarios del seguro tomados al azar. a) Si los asistentes de la alcaldesa tienen razón, ¿cuál es la probabilidad de que los individuos investigados tengan un empleo? (No utilice las tablas.) b) Si los asistentes de la alcaldesa están en lo correcto, ¿cuál es la probabilidad de que sólo tres de los individuos investigados tengan trabajo? (No utilice las tablas.) Un mes más tarde, la alcaldesa Bruns (del ejercicio anterior) toma la edición matutina del principal diario de la ciudad, el Sun-American, y lee la noticia sobre un fraude en los seguros de desempleo. En el artículo, el periódico afirma que, de cada 15 beneficiarios del seguro de desempleo, la probabilidad de que cuatro o más tengan en realidad un empleo es de 0.9095, y que el número esperado de beneficiarios con trabajo excede de siete. Usted es un asistente especial de la señora Bruns y debe responder a estas afirmaciones en una conferencia de prensa que se llevará a cabo esa misma tarde. Ella le pide a usted que encuentre la respuesta a las preguntas siguientes: a) ¿Son las afirmaciones del Sun-American congruentes entre sí? b) ¿La primera afirmación del periódico contradice la opinión de los asistentes de la alcaldesa? En un estudio reciente acerca de cómo pasan los estadounidenses su tiempo libre se entrevistó a trabajadores con más 5 años en su empleo. Se calculó en 0.45 la probabilidad de que un empleado tuviera 2 semanas de vacaciones; en 0.10 que contara con 1 semana, y en 0.20 que disfrutara de 3 semanas o más. Suponga que se seleccionan 20 empleados al azar. Responda a las siguientes preguntas sin usar la tabla 3 del apéndice. a) ¿Cuál es la probabilidad de que 8 empleados tengan 2 semanas de vacaciones? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo 1 trabajador tenga 1 semana de vacaciones? c) ¿Cuál es la probabilidad de que cuando mucho 2 trabajadores tengan 3 semanas o más de vacaciones? d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 empleados tengan 1 semana de vacaciones? Harry Ohme está a cargo de la sección de electrónica de una gran tienda departamental. Se ha dado cuenta de que la probabilidad de que un cliente que solamente se encuentre curioseando compre algo es de 0.3. Suponga que 15 clientes visitan la sección de electrónica cada hora. Utilice la tabla 3 del apéndice para responder a las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las personas que curiosea compre algo durante una hora dada? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro personas que curiosean compren algo en una hora dada? c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las personas que curiosean compre algo durante una hora dada? d) ¿Cuál es la probabilidad de que no más de cuatro personas que curiosean compren algo durante una hora dada?
Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA
5-4
EA
5-5
Binomial (n 12, p 0.45). a) P(r 8) 0.0762 b) P(r 4) 1 P(r 4) 1 (0.0008 0.0075 0.0339 0.0923 0.1700) 0.6955 c) P(r 10) 1 P(r 11) 1 (0.0010 0.0001) 0.9989 n
a) b) c) d) e)
16 010 22 350 78
p 0.40 0.75 0.15 0.90 0.05
np 6.4 7.5 3.3 315.0 3.9
np q 1.960 1.369 1.675 5.612 1.925
5.4
La distribución binominal
201
EA
5-6
10! n 10, p 0.15, P(r 2) (0.15) (0.85) 2!8!
10! a) n 10, p 0.30, P(r 4) (0.30)4(0.70)6 0.2001 4!6! 10! b) n 10, p 0.55, P(r 0) (0.55)0(0.45)10 0.0003 0!10! c)
2
8
0.2759
d) n 10, p 0.30, P(r 8) P(r 8) P(r 9) P(r 10)
10! 10! 10! n (0.30)8(0.70)2 (0.30)9(0.70)1 (0.30)10(0.70)0 8!2! 9!1! 10!0! n 0.00145 0.00014 0.00001 0.0016
5.5 La distribución de Poisson
Ejemplos de distribuciones de Poisson
Existen muchas distribuciones de probabilidad discretas, pero nuestro análisis se centrará sólo en dos: la distribución binomial, que acabamos de concluir, y la distribución de Poisson, que es el tema de esta sección. La distribución de Poisson debe su nombre a Siméon Denis Poisson (1781-1840), un francés que desarrolló la distribución a partir de los estudios que realizó durante la última parte de su vida. La distribución de Poisson se utiliza para describir ciertos tipos de procesos, entre los que se encuentran la distribución de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador, las solicitudes de pacientes que requieren servicio en una institución de salud, las llegadas de camiones y automóviles a una caseta de cobro, y el número de accidentes registrados en cierta intersección. Estos ejemplos tienen en común un elemento: pueden ser descritos mediante una variable aleatoria discreta que toma valores enteros (0, 1, 2, 3, 4, 5, etc). El número de pacientes que llegan al consultorio de un médico en un cierto intervalo será de 0, 1, 2, 3, 4, 5 o algún otro número entero. De manera parecida, si usted cuenta el número de automóviles que llegan a una caseta de cobro de alguna carretera durante un periodo de 10 minutos, el número será de 0, 1, 2, 3, 4, 5 y así consecutivamente.
Características de los procesos que producen una distribución de probabilidad de Poisson Condiciones que conducen a una distribución de probabilidad de Poisson
El número de vehículos que pasan por una sola caja de una caseta de cobro en una hora pico sirve para ilustrar las características de la distribución de probabilidad de Poisson: 1. El promedio (la media) del número de vehículos que llegan por hora pico puede estimarse a partir de datos sobre tráfico que se tengan disponibles. 2. Si dividimos la hora pico en periodos (intervalos) de un segundo cada uno, encontraremos que las siguientes afirmaciones son verdaderas: a) La probabilidad de que exactamente un vehículo llegue a una caja por segundo es muy pequeña y es constante para cada intervalo de un segundo. b) La probabilidad de que dos o más vehículos lleguen en un intervalo de un segundo es tan pequeña que le podemos asignar un valor de cero. c) El número de vehículos que llegan en un intervalo dado de un segundo es independiente del momento en que dicho intervalo se presente en la hora pico. d) El número de llegadas en cualquier intervalo de un segundo no depende del número de llegadas en cualquier otro intervalo de un segundo. Ahora estamos en disposición de generalizar a partir del ejemplo de la caseta de cobro y aplicar estas características a otros procesos. Si estos nuevos procesos cumplen con las mismas cuatro condiciones, entonces podemos utilizar la distribución de probabilidad de Poisson para describirlos.
202
Capítulo 5
Distribuciones de probabilidad
