TEMA 07: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Ensayo Bernoulli. Es Bernoulli. Es un experimento aleatorio que solo tiene dos resultados. Éxito o fracaso. Donde la probabilidad de éxito se denota por p. Suponga que se realizan n experimentos Bernoulli independientes. Suponga que la variable X de interés es el número de éxitos. éxitos. X toma valores !"!#!...!n !"!#!...!n $a distribuci%n binomial se utiliza para modelar datos discretos & se aplica para poblaciones poblaciones grandes '()*+ '()*+ & muestras peque,as 'n-."(+. 'n-."(+. El muestreo binomial binomial es con reemplazamiento.
Es apropiada cuando la proporci%n defectiva es ma&or o igual a .". $a distribuci%n normal se aproxima a la binomial cuando np ) *
$a variable aleatoria x tiene una distribuci%n binomial como sigue C xn
n n! = = x x!(n − x)!
/on media & varianza
Ee!"lo Ee!"lo 0n equipo requiere a lo m1s "2 de servicios en garant3a. 4ara comprobarlo se compran # de estos equipos & se someten a pruebas aceleradas de uso para simular el uso durante el periodo de garant3a. 5btener la probabilidad probabilidad para 4'x67+. 8ec9azar la afirmaci%n de que falla menos del "2 si se encuentra que X:*. 4'X:*+ ; "< 4'X- *+ ;"< 4'X6 7+ 4'X:*+ ; "< 4'X6 7+ ;" < distr.binom'7!#!."!"+ distr.binom'7!#!."!"+ ; " = .>*?@ ; .7A# lo cual es bao. USO DE E#CEL: x ; éxitos en la muestra! p ; probabilidad probabilidad de éxito! n ; tama,o de muestra. En Cx Estad3sticas seleccionar seleccionar ;distr.binom'x! n! p! o " dependiendo si es puntual o acumulada+ DISTRIBUCIÓN DE POISSON $a distribuci%n de 4oisson se utiliza para modelar datos discretos como aproximaci%n a la Binomial dada la dificultad que exist3a de encontrar tabla Binomiales adecuadas cuando n es gran grande de & p pequ peque, e,a. a. $a dist distri ribu buci ci%n %n de prob probab abililid idad ad de 4ois 4oisso son n prop propor orci cion ona a buen buenas as aproximaciones cuando np 6 *. Se aproxima a la binomial cuando p es igual o menor a ."! & el tama,o de muestra es grande 'n ) "?+ por tanto np ) ".?. 0na ariable aleatoria X tiene distribuci%n 4oisson si toma probabilidades con.
/on media & varianza
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ʎ ;
; np Ee!"lo $. Suponga que una compa,3a de seguros asegura las vidas de * 9ombres de 7# a,os de edad. Si los estudios actuales muestran que la probabilidad de que un 9ombre muera en cierto a,o es ."! entonces la probabilidad de que la empresa pague exactamente 7 indeminizaciones &; 7 en un cierto a,o es P ( y
= 4) =
p ( 4)
=
5000! 4!*4996!
(0.001) 4 (0.999) 4996
El valor de esta expresi%n no aparece en tablas & su c1lculo era dif3cil! no as3 con Excel. Fproximando con la distribuci%n de 4oisson! se toma la tasa media de sucesos '*+G'."+; *! teniendo P ( y
=
4)
=
λ 4 e
µ
−
4!
=
54 e
λ;
np ;
5
−
4!
=
0.1745
Eemplo #. 0na planta tiene # m1quinas! si la probabilidad de que falla una en cierto d3a es .*. Encuentre la probabilidad de que durante un d3a determinado fallen dos m1quinas. np ; # G.* ; ". P ( y
= 2) =
12 e−1 2!
= 0.184
Si se calcula con la distribuci%n Binomial se tiene P ( y
= 2) =
p( 2)
=
20! 2!*18!
(0.05) 2 (0.95)18
= 0.188
$a aproximaci%n es meor conforme se aproxima a np ; *. $a distribuci%n de 4oisson adem1s de ser útil como aproximaci%n de las probabilidades Binomiales! constitu&e un buen modelo para experimentos donde H representa el número de veces que 9a ocurrido un evento en una unidad dada de tiempo o de espacio. 4or eemplo (úmero de llamadas recibidas en un conmutador durante un d3a! conociendo el promedio por d3a. (úmero de reclamaciones contra una empresa de seguros por semana! conociendo el prom. Sem. (úmero de llegadas a una estaci%n de servicio durante un minuto dado! conociendo el prom.Imin. (úmero de ventas 9ec9as por un agente de ventas en un d3a! conociendo el promedio por d3a. S%lo se requiere que los eventos sean independientes. USO DE E#CEL: x ; éxitos en la muestra! np ; media. En Cx Estad3sticas seleccionar ;4oisson'x! np! o " dependiendo si es puntual o acumulada+
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PRACTICA DIRI%IDA 07 E&ERCICIOS DE DISTRIBUCION BINOMIAL: $' 0n panel solar tiene una vida útil de * a,os con una probabilidad de .>*. Se toman # paneles solares & se registr% la vida útil. a+ J/u1l es la probabilidad de que exactamente "@ tengan su vida útil de * a,osK b+ J/u1l es la probabilidad de que cuando muc9o " tengan esa vida útilK c+ JSi solo " paneles tienen una vida útil de * a,os! que deber3a pensarse sobre el valor verdadero de 4K #+ #2 de los teléfonos se reparan cuando todav3a est1 vigente la garant3a. De estos el ?2 se reparan mientras que el 72 se reemplazan. Si una empresa compra " de estos teléfonos! J/u1l es la probabilidad de que exactamente sean reemplazados # en periodo de garant3aK. A+ Suponga que solo #*2 de los automovilistas se detienen por completo en un alto con luz roa intermitente cuando no est1 visible otro autom%vil. J/u1l es la probabilidad de que de # automovilistas seleccionados al azar se detengan a+ F lo sumo ? se detengan por completo b+ Exactamente ? se detengan por completoK c+ Fl menos ? se detengan por completoK d+ /u1ntos de los siguientes # automovilistas se espera que se detengan por completoK 7+ De todas las plantas s%lo el *2 descargan residuos por sobre la norma. Si se muestrean # plantas J/u1l es la probabilidad de que estén fuera de la le& a+ Lenos que una plantaK b+ Lenos de dos plantas c+ Exactamente A d+ L1s de una E&ERCICIOS DE DISTRIBUCION DE POISSON: *+ El #2 de los c9oferes son mueres! si se seleccionan # al azar para una encuesta 0sando la distribuci%n binomial & la distribuci%n de 4oisson a+ J/u1l es la probabilidad de que dos c9oferes sean mueres K b+ J/u1l es la probabilidad de que al menos cuatro sean mueresK ?+ Se tienen @ recepcionistas! estan ocupadas en promedio el A2 del tiempo! si A clientes llaman Jla prob. De que estén ocupadas es ma&or al *2K M+ 0n proveedor de partes de bicicleta tiene A2 de defectos. Se compran "* partes & si la probabilidad de que A o m1s partes sean defectuosas excede al *2! no se 9ace la compra. JNué sucede en este casoK. @+ En una universidad las llamadas entran cada # minutos a+ J/u1l es la cantidad esperada de llamadas en una 9oraK b+ J/u1l es la probabilidad de A llamadas en los sig. * minutosK c+ J/u1l es la probabilidad de no llamadas en los sig. * minutosK d+ Jcu1l es la prob. de recibir " llamadas en los sig. "* minutosK >+ 0n proceso de manufactura produce ".# defectos por cada " unidades producidas! J/u1l es la probabilidad de que las siguientes * unidades presenten X;A defectosK "+ 7 trabaadores tienen nuevas computadoras! #? con LLX. Si se seleccionan " al azar! J/u1l es la prob. De que A tengan la tecnolog3a LLXK. ""+ De un grupo de # productos! se toman " al azar! J/u1l es la probabilidad de contengan las * meores unidadesK "#+ De > empleados diurnos s%lo ? est1n calificados para 9acer su trabao! si se seleccionan aleatoriamente * de los > empleados! /u1l es la probabilidad de que a+ $os * estén calificados b+ 7 esten calificados c+ 4or lo menos A estén calificados
