ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL – FILIAL FILIAL CUSCO
CAPITULO IV:
DINAMICA DE FLUIDOS Docente:: GORKI F. Docente F. ASCUE SALAS Ing. Civil – Magister en Ciencias de la Geoinformación y Observación de la Tierra mención Evaluación de Recursos Hídricos
4.1 Dinámica de Fluidos
Definición: Estudia a los fluidos en movimientos, es decir, el flujo de los fluidos. Este estudio se realiza describiendo las propiedades de los fluidos (densidad y velocidad) en cada punto del espacio en función del tiempo. Los fluidos están constituidos por moléculas, partículas, que se mueven producto de las diferencias de presión existentes en el conjunto del fluido. Cada partícula del fluido concreta una trayectoria tray ectoria cuando se desplaza desde un punto a otro. Dichas trayectorias conforman las líneas de flujo. El comportamiento regular o irregular de estas líneas de flujo definen el tipo de movimiento de un fluido.
4.1 Dinámica de Fluidos
Características de la dinámica de fluidos: El comportamiento de un fluido ideal debe satisfacer las condiciones siguientes: El fluido es incompresible, su densidad es constante. El movimiento del fluido es estable; la velocidad, la densidad y la presión en cada punto del fluido no cambian en el tiempo. El fluido es de flujo laminar (no turbulento), las líneas de flujo no se cruzan entre sí.
4.1 Dinámica de Fluidos
Características de la dinámica de fluidos: El comportamiento de un fluido ideal debe satisfacer las condiciones siguientes: El fluido se mueve sin turbulencia (irotacional), cada elemento del fluido tiene una velocidad angular de cero en torno a su centro. El flujo no es viscoso, no hay resistencia al movimiento entre capas contiguas de fluido. Si no son viscosos se podrá hablar de conservación de la energía, ya que no habrá disipación de energía por efecto de roce.
4.2 Líneas de corriente
La trayectoria tomada por una partícula de fluido bajo flujo estable se conoce como línea de corriente. La velocidad de la partícula es tangente a la línea de corriente. Dos líneas de corriente nunca se cruzan entre si, cuando ocurre produciría un flujo inestable y turbulento. Además, en un flujo estable dos líneas de corriente nunca se cruzan entre sí. Un conjunto de líneas como la que se muestran en la figura es lo que forman un llamado tubo de flujo.
4.4 Ecuación de continuidad
Principio de conservación de la masa: Supongamos un fluido, de densidad ρ, que se mueve por un tubo con distintas secciones. La cantidad de fluido que entra por la sección 1 (área A 1), es igual a la que sale por la sección 2 (área A 2) en todo momento.
4.3 Tubo de flujo
Está formado por líneas de flujo adyacentes que corresponden a un fluido en movimiento y cuya sección transversal no es necesariamente uniforme. En la figura, cada línea representa una capa de fluido, llamada línea de corriente. Una molécula de fluido tiene una velocidad que en cada punto es tangente a la línea de corriente. En condiciones ideales, en el movimiento de un fluido se cumplen los siguientes principios: - Conservación de la masa - Conservación de la cantidad de movimiento - Conservación de la energía
4.4 Ecuación de continuidad
Principio de conservación de la masa: Por la sección 1 ingresa una cantidad Δm1 de fluido, con volumen ΔV 1 , con velocidad v1 y recorre una distancia Δx1 en un tiempo Δt. En el mismo tiempo Δt, por la sección 2 sale una cantidad Δm2 de fluido, con volumen ΔV 2 , a una velocidad v2 recorriendo una distancia Δx2. m1 m2 V1 V2 A1x1 A 2 x 2 A t A t
Ecuación de continuidad: A1v1 A 2v 2
4.5 Caudal volumétrico
Definición: Caudal (Q) es la cantidad de fluido que atraviesa una sección de área, en un determinado tiempo (t). Se puede expresar en función del volumen (V). Si v es la rapidez con que el líquido atraviesa la sección de área (A), llamada también “tasa de flujo” y el caudal será: Sus unidades SI: m³/s CGS: cm³/s
Q
V t
Q A.v
4.6 Ecuación de Bernoulli
En 1738 el físico Daniel Bernoulli (1700 –1782) dedujo una expresión fundamental que correlaciona la presión con la rapidez del fluido y la elevación.
A medida que un fluido se desplaza a través de un tubo de sección transversal y elevación variables, la presión cambia a lo largo del tubo.
La ecuación de Bernoulli, es una ecuación fundamental de la mecánica de los fluidos ideales y constituye una expresión del principio de conservación de la energía. Se considera que en el flujo existen tres tipos de energía:
La energía cinética debida al movimiento. La energía potencial debida a la presión. La energía potencial gravitatoria debida a la elevación.
4.6 Ecuación de Bernoulli
Consideremos un tubo de flujo cuyas secciones, la de entrada y la de salida, están en desnivel además de tener diferentes secciones: h1 ≠ h2 y A1 ≠ A2 En el segmento inferior actúa una fuerza F1 que produce una presión P1 , y se cumple: F P A 1 1 1 A su vez, en el segmento superior actúa una fuerza F2 que produce una presión P2 , y se cumple: F2 P2 A 2
El trabajo realizado por F1 y F2 es:
w1 F1x1 P1A1x1 w1 P1V1 w 2 F2 x 2 P2 A 2 x 2 w 2 P2V2
4.6 Ecuación de Bernoulli
Luego, el trabajo realizado por las fuerzas es: w f w1 w 2 (P1 P2 )V
La cantidad Δm sube desde h1 hasta h2 contra la gravedad. Por lo tanto; el trabajo hecho por la fuerza gravitacional, es: w g m.g(h2 h1 ) w g V.g(h2 h1 )
Por otro lado, el cambio de energía cinética de Δm es: 2
2
K m(v 2 v1 ) / 2 2
2
K V(v 2 v1 ) / 2
Por el teorema del trabajo y energía, se tiene: w K Por lo tanto: w f w g K w (P1 P2 )V Vg(h2 h1 ) K V(v 22 v12 ) / 2
4.6 Ecuación de Bernoulli
Dividiendo por Δ V y ordenando se tiene la expresión: 1 2 1 2 Ecuación de P1 v1 gh1 P2 v 2 gh2 Bernoulli 2 2
En la ecuación se observa que la suma de las condiciones iniciales es igual a la suma de las condiciones finales. Esto significa que: 1 P v 2 gh cons tan te 2 Donde: P = presión del fluido. ρ = densidad del fluido. v = rapidez del fluido. g = aceleración de gravedad. h = altura del fluido en el punto en estudio.
Se puede deducir que en un sector: Si la velocidad del fluido aumenta, la presión disminuye. Si la velocidad del fluido disminuye, la presión aumenta. Si un fluido asciende su presión y su velocidad puede
4.7 Teorema de Bernoulli
Es una forma de expresión de la aplicación de la ley de conservación de la energía al flujo de fluidos en una tubería. La energía total en un punto cualquiera por encima de un plano horizontal arbitrario fijado como referencia es igual a la suma de la altura geométrica, la altura debido a la presión y la altura debido a la velocidad
z
P g
v2 2g
H
4.7 Teorema de Bernoulli
Si no se presentarán pérdidas por rozamiento o no hubiese ningún aporte de energía adicional (bombas o turbinas ) dentro de la tubería, la altura H debería permanecer constante en cualquier punto del fluido. Sin embargo existen pérdidas ocasionadas por el rozamiento del fluido con la tubería y por obstrucciones que pudiera tener la línea misma.
z1
P1 1g
v12 2g
z2
P2 2g
v 22 2g
hL
4.8 Efecto Venturi
Si se considera un tubo donde h1 h2
P1
P2 v1
v2
La ecuación de Bernoulli queda: 2
P1
v1
2
2
P2
v 2
2
P1 P2
2
(v 22 v12 )
Si v1 > v2 entonces P1 – P2 < 0 y ello ocurre solo si P 2 > P1. Por lo tanto, se puede afirmar que cuando la velocidad es mayor, la presión es menor y cuando la velocidad es menor, la presión es mayor. Un ejemplo es el tubo de Venturi, que consiste en una tubería horizontal con una disminución de área, como se muestra en el esquema, y que se usa para medir la velocidad
4.9 Tubo de Venturi
Es un tubo donde hay un angostamiento. En la figura, se aprecia en un sector de área A1 y en otro una sección reducida de área A2. A1v1 A 2 v 2 De acuerdo a la A v ecuación de v2 1 1 continuidad: A 2 Por otro lado, de acuerdo a la ecuación de P P (v 2 v 2 ) / 2 1 2 2 1 Bernoulli por el efecto Venturi, se tiene: A12 v12 2 P P ( v )/ 2 Reemplazando v2: 1 2 1 2 A 2
Si se despeja v , se tendrá:
v1
2(P1
P2 )
A12 ( 2 A
1)
4.10 Ley de Torricelli
Considera un estanque que contiene un líquido de densidad ρ y que tiene un orificio pequeño en un lado a una altura y1 del fondo. El aire que esta por encima del líquido se mantiene a una presión P. El orificio se encuentra a una profundidad h. Si el estanque tiene una superficie (A2) mucho mayor que la del orificio (A1), entonces la rapidez de descenso del fluido es mucho menor que la de salida por el hoyo (v 2 << v1). Por Bernoulli: P1 = Pa = Presión atmosférica, P 2 = P y v2=0 P1
1 2
2 v1 gy1 P2
Sea: h = y
v
1 2
2 v 2 gy2 Pa
2(P P ) / 2gh
1 2
2
v1 P g(y2 y1 )
Ley de Torricelli
4.11 Ejercicio de aplicación
Ejercicio1: Una manguera para incendios tiene un diámetro de 12 cm y en la boquilla se reduce a un diámetro de 3 cm. Si el agua en la manguera se mueve a razón 2 m/s. ¿Cuál es la velocidad con que sale el agua por la boquilla y su tasa de flujo? Solución: Datos: R 1 = 0.12/2 = 0.06 m Despejando v1 = 2 m/s se tiene: R 2= 0.03/2 = 0.015 m
r 12 A 2 r 22 Tasa de flujo: Q2 A 2 v 2
Áreas:
A1
A1v1 v2
A2v2
A1v1 / A 2 2
r 1 v 2 v1 r 2
Haciendo los cálculos: v2 = 32 m/s Q2 = 0.00226 m3/s = 2.26 l/s
4.11 Ejercicio de aplicación
Ejercicio2: Un estanque con agua tiene un orificio pequeño en la parte inferior. Calcular la velocidad del chorro de agua en el orificio?
P1
v1 h1
v2 h2
Solución: El agua cae lentamente, por lo tanto se puede considerar: v1 = 0 m/s
P1
También se tiene que: P1 = P2 = P0 = 0
gh1 v 22 gh2
Aplicando la ecuación de Bernoulli:
v 2g(h h )
1 2
P2
1
v12 gh1 P2 v 22 gh2 2
1
2
Teorema de
4.11 Ejercicio de aplicación
Ejercicio3: Giles, Cap. 6, Prob. 21 (pág. pdf 91)
4.11 Ejercicio de aplicación
Ejercicio 4: Mott, Ejemplo 6.12 (pág. pdf 182)
4.11 Ejercicio de aplicación
Ejercicio 5: Medina, Hugo.
4.11 Ejercicio de aplicación
Ejercicio 6: Medina, Hugo.
4.11 Ejercicio de aplicación
Ejercicio 6:
4.11 Ejercicio de aplicación
Ejercicio 7: Medina, Hugo.
4.11 Ejercicio de aplicación
Ejercicio 7:
4.12 Tarea
Resolver los ejercicios propuestos 6.37 a 6.106 del libro de Mott (Pag. 189 PDF). Nota: Cada alumno resolverá 5 ejercicios de acuerdo al ultimo digito de su código. 1: 6.41, 6.51, ……………………….. 6.101 2: 6.42, 6.52, ……………………….. 6.102 3: 6.43, 6.53, ……………………….. 6.103
9: 6.39, 6.49, ………………………… 6.99 0: 6.40, 6.50, ………………………… 6.100
Fecha limite de entrega: El día programado para el Examen Final.