1. Una partícula se mueve a 8m/s cuando se encuentra en x=10m, recibe una aceleración constante de 2m/s2 hasta llegar a x= 0m, a! "#u$l es su velocidad al t%rmino de dicho despla&amiento' b! "(u% tiempo ocupa en dicho cambio de velocidad' )olución *ara solucionar este punto usare el concepto de movimiento rectilíneo uni+ormemente acelerado su ecuación 1
2
x f = x i + v 0∗t + a t 2
)ustituimos en la ecuación conociendo todas las variables 40 m=10 m +
8m
s
∗ t +
0 =−40 m+ 10 m +
0=
2m 2s
2
t + 2
8m
s
2m 2s
8m
s
2
2
t
∗ t +
2m 2s
2
2
t
∗t −30
*ara encontrar el tiempo +actor i&aremos la expresión de la siguiente +orma t =
−b ± √ b2− 4 ac 2a
)ustituimos tenemos -ue
−8 ± √ 82− 4 ( 1 )(−30) t = 2 ( 1) sto nos nos soluciona soluciona en dos tiempos 1=¿ 2.78 s
t ¿ 2=¿ −10.78
t ¿
#omo podemos darnos cuentas, el signo negativo en el tiempo nos indica -ue esta respuesta no ser$ v$lida o real, así -ue asumimos -ue demoro 2.8s *ara encontrar la velocidad nal usaremos la ecuación de aceleración media para encontrar la velocidad nal
v f − v i
a´ =
t
)ustituimos resulta -ue 2
2 m/s
(
2m 2
s
=
v f − 8 m / s 2.78 s
∗2.78 s )+ 8 m / s =v f
13.56 m / s =v f
2. Una lancha parte del reposo cuando se encuentra a 2m de la orilla, s despu%s se halla a m de la orilla. a! "(u% aceleración recibe' b! "#u$l es su velocidad al t%rmino de dicho tiempo' )olución *ara encontrar la velocidad nal usaremos la ecuación de velocidad media para encontrar la velocidad nal x f − x i v´ = t v´ =
75 m− 25 m 5
v´ =10 m / s
*ara encontrar la velocidad nal usaremos la ecuación de aceleración media para encontrar la velocidad nal a´ =
v f − v i t
empla&ando en la ecuación anterior nos -ueda a´ =
10 m / s − 0 m/ s 5s
a´ = 2 m / s
2
3. Un automóvil via4a por una carretera recta plana a 1085m/h cuando recibe una aceleración de 6m/s2 durante 3s. a! "#u$l es la velocidad al cabo de dicho intervalo i ntervalo de tiempo' b! "#u$nto de despla&a' )olución
a! *ara encontrar la velocidad al cabo de dicho intervalo usaremos la ecuación de aceleración media antes descrita
*ara encontrar la velocidad nal usaremos la ecuación de aceleración media para encontrar la velocidad nal a´ =
v f − v i t
7hora sustituimos los datos conocidos en la ecuación *ero ha -ue resaltar -ue para solucionar este problema todas las variables deben estar medidas con el mismo sistema de medición, así -ue pasamos los 5ilómetros a metros las horas a segundos 1000 m
1085m/h
¿
1 km
∗1 h
3600 s
= 30m/s
−5 m / s2=
(
−5 m 2
s
v f −30 m / s 3s
)
∗3 s + 30 m/ s =v f
v f =15 m / s
*ara encontrar su despla&amiento usamos la ecuación de despla&amiento a conocida
1
2
x f = x i + v 0∗t + a t 2
)ustituimos en la ecuación anterior x f =
30 m
s
2
∗3−
2
5 m / s (3 s ) 2
x f = 90 m−22.5 m x f = 67.5 m
. Una partícula se encuentra en x=12m se mueve a 1m/s, 2s despu%s su velocidad es 20m/s, "en -u% posición se encuentra a los 2s'
)olución *ara solucionar esta ecuación necesitamos encontrar la aceleración media del cuerpo, así -ue sustituimos en la ecuación -ue conocemos a´ =
v f − v i t
)ustituimos a´ =
20 m / s −16 m / s 2
a´ = 2 m / s
2
*ara solucionar este punto usare el concepto de movimiento rectilíneo uni+ormemente acelerado 1
2
x f = x i + v 0∗t + a t 2
)ustituimos para encontrar la posición nal x f = 12 m +(
16 m
s
∗2 )+
1 2
2
2
2 m / s (2 s )
x f = 48 m
. Un autob9s se despla&a en línea recta a 25m/h cuando incrementa su velocidad a ra&ón de 3m/s2. a! "(u% velocidad ad-uiere 2s despu%s' b! "cu$l es su velocidad media en el intervalo de tiempo : ; 2 < 3 s' )olución *ara solucionar el punto a necesitamos usar la ecuación de aceleración media a´ =
v f − v i t
7hora es indispensable -ue todas las variables se encuentren con el mismo sistema de medición, así -ue trans+ormamos los 5ilómetros por hora en metros sobre segundos
1000 m
25m/h
¿
1 km
∗1 h
3600 s
=20m/s )ustituimos 3 m/s
(
2
=
v f −20 m / s
)
3m
s
2
2s
∗2 s +20 m / s =v f
v f =26 m / s
*ara encontrar la velocidad media en el intervalo necesitamos encontrar la distancia cuando t=2s t=3s #on la ecuación de distancia 1
2
x f = x i + v 0∗t + a t 2
)ustituimos 1
2
2
x f =( 20 m / s∗2 )+ 3 m / s ( 2 s ) 2
x f = 46 m
7hora encontraremos la distancia con t=3 1
2
2
x f =( 20 m / s∗3 )+ 3 m / s ( 3 s ) 2
x f = 73.5 m
7hora encontraremos la velocidad media con la ecuación x f − x i v´ = t
)ustituimos v´ =
73.5 m − 46 m 3 s −2 s
v´ =27.5 m / s
. Un automóvil -ue via4a a 20 mi/h tiene 2s para detenerse al llegar a un sem$+oro en ro4o, si la m$xima desaceleración -ue le producen sus +renos es de m/s2. "ograr$ detenerse antes de llegar al sem$+oro' )olución *ara solucionar este problema primero debemos pasar todas las variables a la misma unidad de medida, así -ue pasaremos millas sobre horas a metros sobre segundos 1 millas = 10>,3metros 1hora =300segundos 7si-ue 20mil/h= 8.>m/s *ara saber si el auto puede o no llegar a +renar a tiempo primero miremos cuanto tiempo se necesita para detener este auto con estas características usando la ecuación de aceleración media a´ =
v f − v i t
)i se detiene signica -ue la velocidad nal es 0m/s así -ue sustituimos en la ecuación anterior ?ambi%n ha -ue entender -ue la aceleración es negativa puesto -ue se va deteniendo
− 4 m / s 2= t =
0− 8.94 m / s
t
0−8.94 m / s
−4 m / s2
t =2.235 s
ste es el tiempo -ue necesita para +renar a tiempo, lo -ue signica -ue con dos segundos se pasara del sem$+oro no +renara bien. . Un avión parte del reposo e incrementa su velocidad a ra&ón de m/s2 durante s. #onstrue una gr$ca, aceleración contra tiempo. )olución *ara solucionar este problema debemos conocer la posición a medida de los segundos del movimiento. *ara encontrar la velocidad nal usaremos la ecuación de aceleración media para encontrar la velocidad nal a´ =
v f − v i t
?=1 5m 2
s
∗1 s = v f
5 m / s = v f
?=2 5m 2
s
∗2 s = v f
10 m / s =v f
?=3 15 m / s =v f
?= 20 m / s =v f
?= 25 m / s =v f
7hora encontraremos la aceleración a´ =
a´ =
25 m / s − v i 5s 5m 2
s
o -ue signica -ue la aceleración es constante 7sí -ue la gr$ca es constante
?aller 1. )e de4a caer una piedra desde una altura de 0m. a! "(u% tiempo permanece en el aire' b! "#u$l es su despla&amiento en t=2s' c! "#u$l es su velocidad media en t=3s' )olución *ara solucionar este problema utili&aremos las ecuaciones de caída libre @ la ecuación de velocidad nal 2
2
v f = v 0 + 2 gh
)olo sustituimos 2
v f = 2 gh v f =
√
2∗9.8 m
s
2
∗50 m
v f =31.30 m / s
7hora para encontrar el tiempo de vuelo sustituimos en la ecuación t =
v f −v 0 g
a velocidad inicial es 0 )ustituimos t =
31.30 m / s 9.8 m / s
2
t =3.19 s
*ara solucionar el despla&amiento en t=2 usaremos la siguiente ecuación la ecuación de posición 1
2
y = y 0 + v 0 t − g t 2
)ustituimos
2s
y =
¿ ¿
−1
9.8 m / s
2
2
¿
y =−19.6 m desdelaa azotea
*ara encontrar su velocidad media necesitamos encontrar la posición en el punto cuando t=3 así -ue sustituimos 3s
y =
−1 2
¿ ¿
9.8 m / s
2
¿
y =−44.1 m desdela azotea
7hora encontraremos la velocidad media usando la ecuación de velocidad media x f − x i v´ = t
)ustituimos asumiendo -ue la distancia inicial es 0 asumiendo la a&otea el punto de partida v´ =
−44.1 3
v´ =−14.7 m / s
sta velocidad es negativa puesto -ue va ba4ando desde nuestro punto de vista
2. Un ob4eto -ue se soltó desde el reposo tarda s en llegar al suelo. a! "Ae -u% altura se soltó' b! "#on -u% velocidad llega al suelo' )olución 7hora para encontrar la velocidad nal de vuelo sustituimos en la ecuación t =
v f −v 0 g
)ustituimos
t ∗g= v f − v 0
@a -ue +ue lan&ado desde el reposo su velocidad inicial es 0 t ∗ g= v f
)ustituimos 4 s∗9.8 m / s
2
= v f
39.2 m/ s =v f
7hora conociendo esto usaremos la ecuación para la velocidad nal 2
2
v f = v 0 + 2 gh
)ustituimos 2
39.2 m/ s
=
2∗9.8 m 2
s
∗h
( 39.2 m / s )2 =h 19.6 m / s 78.4 m=h
3. )e lan&a verticalmente hacia aba4o una pelota con una velocidad de 8m/s desde una altura de 0m. a! "(u% tiempo tarda en llegar al suelo' b! "#u$l es su velocidad media en t=1.s' c! "#u$nto se ha despla&ado en t=1.s' d! "#u$l es su posición en t=1.s' )olución *ara solucionar este problema primero encontraremos la velocidad nal con la cual llega al suelo, entonces usamos la ecuación -ue relaciona las velocidades la distancias 2
2
v f = v 0 + 2 gh
)ustituimos
2
v f =
8m
s
+(
2∗9.8 m
s
∗60 m )
v f =34,4 m/ s
isto con la velocidad nal encontraremos el tiempo usando las ecuaciones anteriores -ue relacionan velocidad tiempo t =
v f −v 0 g
)ustituimos t =
34.4 m / s −8 m / s 9,8 m / s
2
t =2,6 s
*ara encontrar la velocidad media debemos encontrar la posición con respecto al punto de partida 1
2
y = y 0 + v 0 t − g t 2
Buestro inicial es 0 así -ue nos -ueda 1
2
y = v 0 t + g t 2
Buestra gravedad es positiva puesto -ue va a +avor del movimiento )ustituimos y =
8m
s
2
∗1,5 s +
9,8 m / s 2
∗( 1,5)2
y =23,025 m
*ara encontrar la velocidad media tomamos desde la a&otea cua posición es 0 desde el punto utili&amos la ecuación de velocidad media ecordando -ue la distancia inicial es 0 x f − x i v´ = t
)ustitución
v´ =
23,025 m 1,5 s
v´ =15,35 m/ s
*ara encontrar la posición restamos el despla&amiento en ese punto menos la distancia del suelo *osición del suelo = 0m C 23,02m *osición del suelo =3,>m
. )e lan&a una piedra verticalmente hacia aba4o 2s despu%s su velocidad es 2>.m/s a! "#on -u% velocidad +ue lan&ada' b! )i tarda 3.s en llegar al suelo, "con -u% velocidad llega' c! )i la velocidad media es la semisuma de la nal la inicial, "de -u% altura se lan&ó'
)olución *ara encontrar la velocidad con -ue +ue lan&ada utili&aremos la ecuación -ue relaciona el tiempo las velocidades t =
v f −v 0 g
)ustituimos 2 s=
(
2
29,6 m / s −v 0 2
9,8 m / s
s∗9,8 m 2
s
)
− 29,6 m =v 0 s
1 om / s =v 0
*ara encontrar la velocidad con -ue llega vamos a utili&ar la misma ecuación anterior t =
v f −v 0 g
t ∗ g + v 0 =v f
( 3.5 s∗9.8 m/ s2 )+ 10 m/ s =v f 44.3 m / s = v f
. )e lan&a un ob4eto verticalmente hacia arriba con una velocidad de 30m/s. a! "(u% tiempo re-uiere para alcan&ar su m$xima altura' b! "#u$l es la m$xima altura -ue alcan&a' c! "#u$nto tiempo permanece en el aire' d! "*ara -u% instantes de tiempo el ob4eto se encuentra en =20m' )olución *ara solucionar este problema utili&aremos las ecuaciones -ue conocemos de caída libre la -ue nos relaciona las velocidades el tiempo
t =
v f −v 0 g
)ustitución t =
0−30 m / s 9.8 m / s
2
t =3.06 s
7hora para encontrar la altura m$xima utili&aremos la ecuación -ue los relaciona
2
2
v f = v 0 + 2 gh
)ustituimos 2
2
v f − v 0 =h 2g 0−900 2 ( 9.8 )
= h
45.9 m =hmax
*ara encontrar el tiempo es igual a la suma de los tiempos -ue demora en subida m$s el tiempo de ba4ada t s + t b =t =3.06 s + 3.06 s =6.12 s
*ara encontrar cuando @=20 necesitamos usar la ecuación de posición 1
2
y = y 0 + v 0 t − g t 2
)ustituimos 20=( 30 m / s )( t )−
1 2
( 9.8 m/ s2 )( t )2
( ) ( )( ) −
0=
0=
30 m
( t )− 1
s
2
2
s
t
2
20
( ) ( ) ( )+
1 9.8 m 2
9.8 m
s
2
( t )2−
30 m
s
t 20
*ara encontrar el tiempo +actor i&aremos la expresión de la siguiente +orma 2 − b ± √ b − 4 ac =
t
2a
)ustituimos tenemos -ue
−30 ± √ 30 2−4 (4.9 )( 20 ) t = 2 ( 4.9 ) 1=¿ 5.36 s
t ¿ 2=¿ 0.78 s
t ¿
sto signica -ue en dos instantes el cuerpo tiene 20 metros de di+erencia hacia arriba
. Aesde el techo de un edicio de 10m de altura se lan&a una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 1m/s.
a! "(u% tiempo tarda en alcan&ar su m$xima altura' b! "(u% altura alcan&a respecto al suelo' c! "#u$l es el tiempo de caída libre' d! "#on -u% velocidad llega al suelo' )olución *ara solucionar este problema utili&aremos las ecuaciones -ue conocemos de caída libre la -ue nos relaciona las velocidades el tiempo
t =
v f −v 0 g
)ustituimos t =
0−15 m / s 9.8 m / s
2
t =1.53 s
7hora para encontrar la altura m$xima utili&aremos la ecuación -ue los relaciona
2
2
v f = v 0 + 2 gh
)ustituimos 2
2
v f − v 0 =h 2g 0−225 2 ( 9.8 )
= h
11.4 m =h
sta es la altura con respecto al techo, como nos pide la altura con respecto al suelo solo es sumarle 11.mD10m=21.m este es la distancia m$xima del suelo *ara encontrar el tiempo de la caída libre vamos a tomar el movimiento desde la altura m$xima usaremos las ecuaciones -ue conocemos 2
2
v f = v 0 + 2 gh
7hora rempla&amos v f =√ 2 gh
)ustituir v f =√ 2 ( 9.8 m / s )( 21.4 m ) 2
v f =20.48 m / s
7hora para encontrar el tiempo t =
v f −v 0 g
)ustituir t =
20.48 m / s 9.8 m / s
2
t =2.08 s
7hora le debemos sumar el tiempo en -ue sube a la altura m$xima 2.08s D 1.3s = 3.1 s tiempo de vuelo
1. )e dispara una Eecha hori&ontalmente desde una altura de m con una velocidad de 0m/s, encuentraF a! ?iempo -ue permanece en el aire. b! Gelocidad tanto en H como en @, al llegar al suelo. c! 7lcance m$ximo )oluciónF *ara solucionar este problema usaremos las ecuaciones de tiro parabólico #omo se lan&a hori&ontalmente, solo ha velocidad en x no en . *or lo tanto Gx = 0 Go = 0 n el e4e x, la velocidad es constante e igual a 0 m/s. s un caso de IU JIovimiento rectilíneo uni+orme! n el e4e , la velocidad es variable debido a la gravedad. s un caso de IUG JIovimiento rectilíneo uni+ormemente variado! 1
2
Y f =Y i + v y 0∗t − a t 2
7hora encontraremos el tiempo antes de -ue el ob4eto llegue a su posición nal = 0 recordando -ue comien&a en metros, pero ha -ue recordar -ue la velocidad en es o empla&amos 0 =5 m−
( )
1 9.8 m 2
s
2
∗t 2
t =1.01 s
7hora para encontrar la velocidad al suelo utili&aremos la ecuación siguiente v fy= v f 0 −¿
empla&amos 2
v fy=−( 9.8 m / s )( 1.01 s ) v fy=−9.898 m / s
l alcance m$ximo es la distancia hori&ontal recorrida. *ara hallarla se utili&a la +órmula del IU d = vKt d = 0K1 = 0 m
2. )i 2s despu%s de -ue se dispara un proectil hori&ontalmente con una velocidad inicial de 0m/s, llega al suelo. a! "Ae -u% altura se disparó' b! #u$l es la posición del proectil en t=1.s )olución
#omo se lan&a hori&ontalmente, solo ha velocidad en x no en . *or lo tanto Gx = 0m/s Go = 0 n el e4e x, la velocidad es constante e igual a 0 m/s. s un caso de IU JIovimiento rectilíneo uni+orme! n el e4e , la velocidad es variable debido a la gravedad. s un caso de IUG JIovimiento rectilíneo uni+ormemente variado! 1
2
Y f =Y i + v y 0∗t − a t 2
)ustituimos 0 = Y i−
Y i=
( )
1 9.8 m 2
2
s
∗t 2
( ) 4.9 m
s
2
∗(2)2
Y i=19.6 m
*ara conocer la posición en t= 1. solo rempla&amos d = vKt d = 0m/sK1.s d= 0m
3. Un avión vuela en línea recta a una altura de 300m con una velocidad constante de 2885m/h, en ese instante suelta una bomba, si no se considera la resistencia del aire a! "(u% tiempo tarda en llegar al suelo'
b! "#u$l es su velocidad tanto en H como en @ tres segundos despu%s -ue se soltó' c! "#u$l es su alcance' )olución t i r2 88k m/ h or aame t r o spo rs e gu nd o: *rimero vamosaconver V=288km /hor ax1000met r os/1Km x1hor a/3600segundos V=80m /s Par ac ons egui rel t i empop r i mer ov amosau t i l i z arl aec uac i ónquee nc aj ayr el ac i onal osdat os
1
2
Y f =Y i + v y 0∗t − a t 2
@ ahora vamos a sustituir con los datos -ue tenemos 0 = 300−
1 2
2
a t
7hora buscamos el tiempo
−300 =( t )2 2 − 4.9 m / s t =7.82 s
Va mo sac al c ul ars uv e l o ci d adv e r t i c al al o s3s eg un do sdec aí da ,p or q ueh or i z o nt a l me nt ev aa s e re nt o domo me nt o8 0m/ d at o s : v el oc i dadi ni c i a. . . .Vo=0 Vel oc i dadfi nal . . . . .Vf=? Ac el er ac i ón. . . . . . . . .g=9. 8m/ s 2 t i empo. . . . . . . . . . . . . . .t=3s egundos
Pa r as ol uc i on are s t epu nt ous amo sl aec ua ci ó nd eac e l e r ac i ónmed i at en i e nd oe nc ue nt aqu el a ac el er ac i ónesl aac el er ac i óngr av i t ac i onal
g=
v f − v i t
)ustituimos
−9.8 m 2
s
∗( 3 s )= v f
v f =
−29.4 m s
7hora recordemos -ue no ha +ricción lo -ue signica -ue la velocidad en H se mantiene v x =80 m / s *ara el alcance hori&ontal usaremos las ecuaciones -ue hemos mane4ado anterior mente A= v x∗t )ustituimos A=80m/sK.82s A=2m
. Un misil se dispara en un $ngulo de 0L por encima de la hori&ontal con una velocidad de 110m/s. a! "#u$les son las componentes de la velocidad' b! "(u% tiempo le toma en alcan&ar la altura m$xima' c! "(u% coordenadas tiene el proectil en su m$xima altura'
)olución *ara solucionar este e4ercicio primero encontrare el tiempo -ue demora en alcan&ar la altura m$xima este tiempo est$ dado por la siguiente ecuación t =
v 0 sin θ g
)i sustituimos encontraremos r$pidamente el tiempo 110 m
t =
s
∗sin 40 2
9.8 m / s
t =7.21 s
*ara encontrar las coordenadas es necesario saber en -u% punto est$ en @ en H así -ue con la ecuación de altura m$xima la encontraremos
2
v 0 sin θ H m= 2g
)i sustituimos tenemos la altura m$xima
( 110 m / s )2 sin 40 H m= 2 2 ( 9.8 m / s ) H m= 396 m
@ encontraremos el componente en H para eso debemos saber la velocidad en x est$ esta expresada por la siguiente ecuación v x =v 0 cos θ
)i rempla&amos tendremos v x =110 m / s∗ cos40 v x =84.26 m / s
@ sus componentes en @ est$n denidas por la siguiente ecuación v y =v 0 senθ
)i rempla&amos tendremos v y =110 m / s∗sen 40 v y =70.70 m/ s
#onociendo la velocidad -ue tiene en H ahora encontraremos su posición -ue est$ denida por la siguiente ecuación A=GKt A=8.2m/sK.21s A=0m 7sí -ue sus coordenadas son J0,3>!
. Un desa+ío a la muerte. Un motociclista reali&a un salto para librar una &an4a de 30m de longitud, para lo cual se coloca una rampa ascendente de 3L en un extremo de la &an4a, si la m$xima velocidad con la cual sale es de 18m/s, "logra o no librar la &an4a' )olución
*ara solucionar este problema echamos manos a las ecuaciones antes vistas de tiro parabólico vericando cuanta distancia m$xima -ue puede saltar sobre esas condiciones luego comparando con las posibilidades del sistema *rimero encontraremos la velocidad con -ue sale disparado en el e4e H *or la ecuación antes vista solo sustituiremos v x =18 m / s∗cos 36 v x =14.562 m/ s
7hora encontraremos el tiempo de vuelo del ciclista t =
2 v 0 sin θ
g
)ustituimos t =
2 ( 18 m / s ) sin36 9.8
t =2.15 s
7hora vericaremos la distancia en H -ue puede llegar a recorrer el ciclista A= v x∗t )ustituimos A=1.,/sK2.1s A=31.30m sto responde nuestra pregunta, el ciclista si puede sobrevivir al salto
