4-3
Regla de la suma
1 51
dolor de cabeza en el grupo de tratamiento entre las posibilidades a favor de un dolor de cabeza en el grupo de control, el cual se calcula evaluando lo siguiente: pt > s 1
d pc > s 1 2 pcd 2 pt
El riesgo relativo y la razón de probabilidad se utilizan comúnmente en estudios médicos y epidemiológicos. Calcule el riesgo relativo y la razón de probabilidad de los datos del dolor de cabeza. 35. Moscas Moscas en una nara naranja. nja. Si dos moscas se posan sobre una naranja, calcule la probabilidad de que ambas se localicen en puntos pertenecientes al mismo hemisferio. 36. Puntos Puntos en un palo palo.. Se seleccionan al azar dos puntos a lo largo de un palo recto. Después se rompe el palo en esos dos puntos. Calcule la probabilidad de que los tres pedazos que quedan se puedan acomodar para formar un triángulo. (Quizá éste sea el ejercicio más dif í c il del libro). ícil
4-3 Regla de la suma
Los niños y las niñas no son igualmente probables En muchos cálculos de probabilidad, se obtienen buenos re-
Concepto clave El objetivo principal de esta sección es presentar la regla de la suma como un método para calcular probabilidades que pueden expresarse de la forma P( A A o B), es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso A o de que ocurra el suceso B (o de que ambos ocurran), como único resultado de un procedimiento. Para calcular la probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B, primero debemos obtener el número total de maneras en que puede ocurrir A y de maneras en que puede ocurrir B, pero calculamos ese total sin contar cada resultado más de una vez. La palabra clave en esta secci ón es “o”. A lo largo de este texto usaremos usaremos el o inclusive, que significa: uno o el otro o ambos. (Con excepci ón del ejercicio 26, no consideramos el o exclusivo, que significa uno o el otro, pero no ambos). En la sección anterior presentamos aspectos fundamentales de la probabilidad y estudiamos sucesos calificados como simples. En esta sección y en la siguiente nos ocuparemos de sucesos compuestos.
sultados al suponer que los niños y las niñas tienen las mismas probabilidades de nacer. En realidad, es más probable que nazca un niño (con una probabilidad de 0.512) que una niña (con una probabilidad de 0.488). Estos resultados se basan en datos recientes del National Center for Health Statistics, según los cuales de los 4,058,814 nacimientos en un año, 2,076,969 fueron niños
Definición Un suceso compuesto es cualquier suceso que combine dos o m ás sucesos simples.
y 1,981,845 fueron niñas.
Los investigadores revisan estas probabilida probabilidades des para descubrir cambios que podrí an an sugerir factores como modificaciones en el ambiente y la exposición a sus-
Notación de la regla de la suma P( A o B B)) P(en un solo ensayo, ocurre el suceso A suceso A u ocurre el suceso B suceso B o ambos ocurren)
En esta sección, P( A A y B) denota la probabilidad de que tanto A como B ocurran en el mismo ensayo, pero en la siguiente sección utilizamos P( A A y B) para denotar la probabilidad de que el evento A ocurra en un ensayo, seguido por el suceso B en otro ensayo. Por lo tanto, el verdadero significado de P( A A y B) sólo se determina sabiendo si nos referimos a un ensayo que puede tener resultados de A y B, o dos ensayos en donde el suceso A ocurra en el primer ensayo y el suceso B ocurra en el segundo. Así pues, pues, el significado de P( A A y B) depende del contexto.
Comprensión de la notación
tancias quí micas. micas.
152
Capítulo 4
Probabilidad
Tabla 4-1
Resultados de exámenes sobre el consumo de marihuana ¿Los sujetos realmente consumen marihuana?
El vocabulario de Shakespeare Según Bradley Efron y Ronald Thisted, los escritos de Shakespeare incluyen 31,534 palabras diferentes. Ellos usaron la teorí a de la probabilidad para concluir que Shakespeare probablemente conocí a al menos otras 35,000 palabras que no
Sí
No
Resultado de prueba positivo (La prueba indica que la marihuana está presente ).
119 (verdadero positivo)
24 (falso positivo)
Resultado de prueba negativo (La prueba indica que la marihuana está ausente).
3 (falso negativo)
154 (verdadero negativo)
Remí tase a la tabla 4-1 que se reproduce aqu í para su comodidad. En la muestra de 300 sujetos representados en la tabla, ¿cuántos de ellos resultaron positivos o consumí an marihuana? (Recuerde, “resultaron positivos o consumí an marihuana” realmente significa “resultaron positivos, consumí an marihuana o ambos”). Un examen de la tabla debe indicarle que un total de 146 sujetos resultaron positivos o consumí an marihuana. ( Nota importante: Es incorrecto sumar los 143 sujetos que resultaron positivos con los 122 sujetos que consumí an marihuana, ya que este total de 265 contarí a dos veces a 119 de los sujetos, que sólo deben contarse una vez). Vea el papel que desempe ña el total correcto de 146 en el siguiente ejemplo.
usó en sus escritos. Estimar el tamaño de una poblaci ón es un problema importante que se encuentra con frecuencia en estudios ecológicos, pero el resultado que aquí se presenta es otra aplicación interesante. (Véase “Estimating the Number of Unseen Species: How Many Words Did Shakespeare Know?” en Biometrika, vol. 63, núm. 3).
EJEMPLO Prueba de drogas Remí tase a la tabla 4-1 que se reproduce aquí para su comodidad. Suponiendo que se elige al azar a una de las 300 personas que fueron examinadas, calcule la probabilidad de seleccionar a un sujeto que haya resultado positivo o que consumí a marihuana.
SOLUCIÓN En la tabla 4-1 observamos que hay 146 sujetos que tuvieron un resultado de prueba positivo o consumí an marihuana. El total de 146 se obtuvo al sumar a los sujetos que resultaron positivos con los sujetos que consumí an marihuana, teniendo cuidado de contar a cada uno sólo una vez. Al dividir el total de 146 entre el total general de 300, obtenemos el siguiente resultado: P(resultado positivo de la prueba o consumo de marihuana) 146>300 o 0.487. En el ejemplo anterior existen varias estrategias que usted podrí a utilizar para contar a los sujetos que resultaron positivos o consumí an marihuana. Cualquiera de los siguientes podrí a funcionar:
Coloree las celdas que representan a los sujetos que resultaron positivos o consumí an marihuana, luego sume los números de las celdas coloreadas, teniendo cuidado de sumar cada número sólo una vez. Este método da por resultado 119 24 3 146
Sume los 143 sujetos que resultaron positivos con los 122 sujetos que consumí an marihuana, pero el total de 265 incluye un doble conteo de 119 su jetos, de manera que para compensar esto se resta el traslape que consiste
4-3
en los 119 sujetos que resultaron positivos y consumí an marihuana. Este método produce el siguiente resultado 143 122 119 146
Comience con el total de 143 sujetos que resultaron positivos, luego sume los sujetos que consumí an marihuana y que aún no habí an sido incluidos en el total, para obtener un resultado de 143 3 146
Estudie cuidadosamente el ejemplo anterior para comprender esta caracter í stica fundamental del cálculo de la probabilidad de un suceso A o de un suceso B: el uso la palabra “o” sugiere una suma, y la suma se debe realizar sin un conteo doble. Este ejemplo sugiere una regla general por medio de la cual sumamos el número de resultados que corresponden a cada uno de los sucesos en cuestión: Para calcular la probabilidad de que un suceso A ocurra o un suceso B ocurra, calcule el n úmero total de formas en que A puede ocurrir y el número de formas en que B puede ocurrir, pero calcule ese total de tal manera que ningún resultado se cuente más de una vez.
Un modo de formalizar la regla consiste en combinar el número de formas en que un suceso A puede ocurrir con el número de formas en que un suceso B puede ocurrir y, si hay algún traslape, se debe compensar restando el n úmero de resultados que se contaron dos veces, como se hace en la siguiente regla.
Regla formal de la suma P( A o B) P( A) P( B) P( A y B) donde P( A y B) denota la probabilidad de que A y B ocurran al mismo tiempo, como resultado en un ensayo de un procedimiento.
La regla formal de la suma se presenta como una f órmula, pero no se recomienda el uso irreflexivo de f órmulas. En general, es mejor comprender el espí ritu de la regla y utilizar esa comprensión de la siguiente forma.
Regla intuitiva de la suma Para obtener P( A o B), calcule la suma del n úmero de formas en que puede ocurrir el suceso A y el número de formas en que puede ocurrir el suceso B, sumando de tal manera que cada resultado se cuente s ólo una vez. P( A o B) es igual a esa suma, dividida entre el n úmero total de resultados en el espacio muestral.
Puesto que el traslape de sucesos es un aspecto esencial en la regla de la suma, existe un término especial para describirlo:
Definición Los sucesos A y B son disjuntos (o mutuamente excluyentes) cuando ambos no pueden ocurrir al mismo tiempo. (Es decir, los sucesos disjuntos no se traslapan).
Regla de la suma
153
Capítulo 4
154
Probabilidad
EJEMPLO Examen de drogas De nuevo, remí tase a la tabla 4-1. a. Considere el procedimiento de elegir al azar a uno de los 300 sujetos incluidos en la tabla 4-1. Determine si los siguientes sucesos son disjuntos: A: elegir a un sujeto con un resultado de prueba negativo; B: elegir a un sujeto que no consumí a marihuana. b. Suponiendo que se elige al azar a una de las 300 personas que fueron sometidas a la prueba, calcule la probabilidad de elegir a un sujeto con un resultado de prueba negativo o que no consumí a marihuana.
SOLUCIÓN a. En la tabla 4-1 observamos que hay 157 sujetos con resultados de prueba negativos y 178 sujetos que no consumí an marihuana. El suceso de elegir a un sujeto con un resultado de prueba negativo y elegir a un sujeto que no consumí a marihuana pueden ocurrir al mismo tiempo (ya que existen 154 sujetos con resultados de prueba negativos y que no consumí an marihuana). Como esos eventos se traslapan, pueden ocurrir al mismo tiempo y decimos que los sucesos no son disjuntos. b. En la tabla 4-1 debemos calcular el número total de sujetos que tuvieron resultados de prueba negativos y que no consumí an marihuana, pero debemos hacerlo sin contar dos veces a cada uno. Obtenemos un total de 181.
Área total = 1 P (A )
P (B )
P (A y B )
Figura 4-3
Diagrama de Venn de sucesos que no son disjuntos
Área total = 1 P (A )
P (B )
Puesto que 181 sujetos tuvieron resultados de prueba negativos o no consumí an marihuana, y como hay un total de 300 sujetos, obtenemos P s resultados de prueba negativos o no consumí an marihuanad 5
Diagrama de Venn de sucesos disjuntos
300
5
0.603
En la figura 4-3 se muestra un diagrama de Venn que nos ofrece una ilustración de la regla formal de la suma. En esta figura podemos ver que la probabilidad de A o B es igual a la probabilidad de A (cí rculo izquierdo) más la probabilidad de B (c í rculo derecho) menos la probabilidad de A y B (región media con forma de balón de f útbol americano). Esta figura nos muestra que la suma de las áreas de los dos cí rculos harí a que se contara dos veces la región media. Éste es el concepto básico que subyace en la regla de la suma. Debido a la relación entre la regla de la suma y el diagrama de Venn que se muestra en la figura 4-3, es com ún el uso de la notación P( A ´ B) en vez de P( A o B). De manera similar, se usa con frecuencia la notación P( A ¨ B) en vez de P( A y B), de manera que la regla formal de la suma se expresa como P( A ´ B) P( A) P( B) P( A
Figura 4-4
181
¨ B)
La regla de la suma se simplifica cuando A y B son disjuntos (no pueden ocurrir simultáneamente), de manera que P( A y B) se convierte en cero. La figura 4-4 indica que si A y B son disjuntos, tenemos P( A o B) P( A) P( B). Podemos resumir los puntos clave de esta sección de la siguiente manera: 1. Para calcular P( A o B), primero debemos asociar el uso de la palabra “o” con la suma. 2. Considere si los sucesos A y B son disjuntos; es decir, ¿pueden ocurrir al mismo tiempo? Si no son disjuntos (es decir, si pueden ocurrir al mismo tiempo),
4-3
Regla de la suma
155
asegúrese de evitar (o al menos compensar) un conteo doble cuando se suman las probabilidades relevantes. Si usted comprende la importancia de no realizar un conteo doble cuando calcule P( A o B), no necesariamente debe calcular el valor de P( A) P( B) P( A y B). Los errores que se cometen al aplicar la regla de la suma a menudo implican un conteo doble; es decir, tratar a los sucesos que no son disjuntos como si lo fueran. Una indicación de este tipo de error es una probabilidad total mayor que 1; sin embargo, no siempre los errores que implican a la regla de la suma hacen que la probabilidad total sea mayor que 1.
Sucesos complementarios En la sección 4-2 definimos el complemento del suceso A y lo denotamos como A. – Dijimos que A consiste en todos los resultados en los que el suceso A no ocurre. – Los sucesos A y A deben ser disjuntos, porque es imposible que un suceso y su complemento ocurran al mismo tiempo. Además, podemos estar absolutamente seguros de que A ocurre, o bien, de que no ocurre, lo que implica que debe ocurrir – A o A. Estas observaciones nos permiten aplicar la regla de la suma para sucesos mutuamente excluyentes de la siguiente manera:
–
–
Área total = 1
–
P( A o A P( A) P( A ) 1
Justificamos P( A o A ) P( A) P( A ) se ñalando que A y A son disjuntos; justificamos el total de 1 por nuestra certeza absoluta de que A ocurre, o bien, no ocurre. Este resultado de la regla de la suma da lugar a las siguientes tres formas equivalentes.
–
–
Diagrama de Venn del complemento del suceso A
–
P( A) P( A ) 1
–
P( A ) 1 P( A)
–
P( A) 1 P( A )
La figura 4-5 es una representación visual de la relación entre P( A) y P( A).
–
En realidad, cuando nace un bebé, P(niño)
—
P (A ) 1 P (A )
Figura 4-5
Regla de los sucesos complementarios
EJEMPLO — P(ni ño ).
P (A )
–
0.512. Calcule
SOLUCIÓN Usando la regla de los sucesos complementarios, tenemos P(ni ño ) 1 P(niño) 1 0.512 0.488
—
Es decir, la probabilidad de no tener un niño, que es la misma que la de tener una niña, es de 0.488.
La principal ventaja de la regla de los sucesos complementarios es que puede simplificar mucho ciertos problemas. Ilustraremos esta ventaja en la sección 4-5.
156
Capítulo 4
Probabilidad
4-3 DESTREZAS Y CONCEPTOS BÁSICOS Conocimientos estadísticos y pensamiento crítico 1. Sucesos disjuntos. Con sus palabras, describa qué significa que dos sucesos sean disjuntos. 2. Regla de la suma. Con sus palabras, describa cómo se aplica la regla de la suma para calcular la probabilidad de que ocurra el suceso A o de que ocurra el suceso B. 3. Encuesta. Para un proyecto de investigación, usted necesita calcular la probabilidad de que una persona sea zurda o conduzca un automóvil. ¿En qué error incurrirí a si encuestara a un grupo de 500 personas, formado por sus amigos más cercanos y parientes? 4. Sucesos disjuntos y complementos. Si un suceso es el complemento de otro suceso, ¿los dos sucesos deben ser disjuntos? ¿Por qué? Determi nar si los sucesos so n disjuntos. En cada uno de los i ncisos de los ejercicios 5 y 6, ¿ los dos eventos son disjuntos para un solo ensayo? (Sugerencia: Considere que “disjunto” es equivalente a “separado” o “que no se traslapa”). 5. a. Elección de un presidente de Estados Unidos Elección de una candidata b. Seleccionar al azar a una persona que fuma puro Seleccionar al azar a un hombre c. Seleccionar al azar a una persona tratada con el f ármaco Lipitor que reduce los niveles de colesterol Seleccionar al azar a una persona de un grupo de control que no recibe el medicamento 6. a. Seleccionar al azar una mosca de la fruta con ojos rojos Seleccionar al azar una mosca de la fruta con ojos sepia (caf é oscuro) b. Recibir una llamada telef ónica de un sujeto de encuesta voluntario que se opone a la clonación Recibir una llamada telef ónica de un sujeto de encuesta voluntario que aprueba la clonación de ovejas c. Seleccionar al azar a un enfermero Seleccionar al azar a un hombre 7. Cálculo de complementos – a. Si P( A) 0.05, calcule P( A ). b. Las mujeres tienen una tasa del 0.25% de ceguera a los colores rojo y verde. Si se elige una mujer al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga ceguera a los colores rojo y verde? (Sugerencia: Considere que el equivalente decimal de 0.25% es 0.0025, no 0.25). 8. Cálculo de complementos – a. Calcule P( A ), dado que P( A) 0.01. b. Una encuesta de Reuters>Zogby indicó que el 61% de los estadounidenses creen que existe vida en otros lugares de la galaxia. ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar a una persona que no tenga esta creencia? En los ejercicios 9 a 12, utilice los datos de la siguiente tabla que resume los resultados de 985 muertes de peatones causadas por accidentes (según datos de la National Highway Traffic Safety Administration).
¿El peatón estaba intoxicado? Sí No ¿El conductor estaba intoxicado?
Sí
59
79
No
266
581
4-3
Regla de la suma
157
9. Muertes de peatones. Si se elige al azar una de las muertes de peatones, calcule la probabilidad de que el peatón estuviera intoxicado o que el conductor estuviera intoxicado. 10. Muertes de peatones. Si se elige al azar una de las muertes de peatones, calcule la probabilidad de que el peatón no estuviera intoxicado o que el conductor no estuviera intoxicado. 11. Muertes de peatones. Si se elige al azar una de las muertes de peatones, calcule la probabilidad de que el peatón estuviera intoxicado o que el conductor no estuviera intoxicado. 12. Muertes de peatones. Si se elige al azar una de las muertes de peatones, calcule la probabilidad de que el conductor estuviera intoxicado o que el peatón no estuviera intoxicado. En los ejercicios 13 a 20, utilice los datos de la siguiente tabl a que resume los grupos sanguí neos y los factores Rh de 100 personas comunes. Estos valores pueden variar en diferentes regiones de acuerdo con el origen é tnico de la población. Grupo
Tipo
Rh1 Rh2
O
A
B
AB
39 6
35 5
8 2
4 1
13. Grupos y tipos sanguí neos. Si se elige a una persona al azar, calcule la probabilidad de seleccionar a alguien que no sea del grupo A. 14. Grupos y tipos sanguí neos. Si se elige a una persona al azar, calcule la probabilidad de seleccionar a alguien del tipo Rh. 15. Grupos y tipos sanguí neos. Si se elige a una persona al azar, calcule la probabilidad de seleccionar a alguien que sea del grupo A o del tipo Rh. 16. Grupos y tipos sanguí neos. Si se elige a una persona al azar, calcule la probabilidad de seleccionar a alguien que sea del grupo A o del grupo B. 17. Grupos y tipos sanguí neos. Si se elige a una persona al azar, calcule P(no del tipo Rh+). 18. Grupos y tipos sanguí neos. Si se elige a una person a al azar, calcule P(grupo B o tipo Rh+). 19. Grupos y tipos sanguí neos. Si se elige a una persona al azar, calcule P(grupo AB o tipo Rh+). 20. Grupos y tipos sangu í neos. Si se elige a una persona al azar, calcule P(grupo A u O o tipo Rh+). En los ejercicios 21 y 22, remí tase la figura (en la parte superior de la siguiente página) que describe los guisantes utilizados en un estudio gené tico. (Las probabilidades tienen un papel importante en la gené tica, y Mendel realizó sus famosos experimentos de hibridación con guisantes, como los que se muestran en la figura).
21. Construcción de tabla. Utilice la figura de la siguiente página para identificar las frecuencias en la tabla que aparece al margen. (Las flores son las porciones superiores y las vainas son las porciones inferiores. Para completar la tabla considere que el color morado está representado en la figura por gris oscuro, y el verde por gris medio. El color amarillo está representado por gris claro, en tanto que el blanco aparece como tal). 22. Experimento de hibridación. Suponga que se elige al azar uno de los guisantes. (Recuerde que en la figura el color morado está representado por gris oscuro, y el verde por gris medio. El color amarillo está representado por gris claro, en tanto que el blanco aparece como tal). a. Remí tase a la figura y calcule P(vaina verde o flor morada). b. Remí tase a la tabla construida en el ejercicio 21 y calcule P(vaina verde o flor morada). c. ¿Qué formato es más f ácil de usar: la figura o la tabla?
Tabla del ejercicio 21
Flor Morada Blanca Vaina
Verde
?
?
Amarilla
?
?
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Capítulo 4
Probabilidad
Guisantes utilizados en un experimento de hibridación
23. Resistencia a la encuesta. Las empresas que realizan encuestas están preocupadas por los niveles decrecientes de cooperación de las personas que se eligen para ser encuestadas. Un encuestador se pone en contacto con 84 personas entre 18 y 21 a ños de edad; encuentra que 73 responden y 11 se rehúsan a contestar. Cuando se pone en contacto con 275 personas entre 22 y 29 años, 255 responden y 20 se rehúsan a responder (según datos de “I Hear You Knocking but You Can’t Come In”, de Fitzgerald y Fuller, Sociological Methods and Research, vol. 11, núm. 1). Suponga que se selecciona al azar a 1 de 359 personas. Calcule la probabilidad de que sea una persona en el rango de edad de 18 a 21 años o una persona que se rehúsa a responder. 24. Resistencia a la encuesta. Remí tase al mismo conjunto de datos utilizado en el ejercicio 23. Suponga que se selecciona al azar a 1 de las 359 personas y calcule la probabilidad de que sea una persona en el rango de 18 a 21 años o alguien que sí respondió.
4-3 MÁS ALLÁ DE LO BÁSICO 25. Sucesos disjuntos. Si los sucesos A y B son disjuntos, y los sucesos B y C son disjuntos, ¿los sucesos A y C deben ser disjuntos? Dé un ejemplo que apoye su respuesta. 26. O exclusivo. ¿En que se modifica la regla de la suma si se utiliza o exclusivo en vez de o inclusive? En esta sección se señaló que o exclusivo significa uno o el otro, pero no ambos. 27. Extensión de la regla de la suma. La regla formal de la suma, presentada en esta sección, expresa la probabilidad de A o B como sigue: P( A o B) P( A) P( B) P( A y B). Extienda esta regla formal para desarrollar una expresión aplicable a P( A o B o C ). (Sugerencia: Dibuje un diagrama de Venn).
