P������� O���������� I � ENG09002 L���� �� ���������� R�������� �� P���������� L����� � G�������
1
���������� � ��������� ������� � ������ 1. U�� ������� ���������� ������ ���� �������, S������� � L���, �� �� ����� �������. C��� ������� �� ������ S������� ����� 1 ���� �� ������� � 1 ���� �� ���������. C��� ������� �� ������ ���� ����� 1 ���� �� ������� � 4 ����� �� ���������. A ������� ������ �� 2 ��������� � 3 ���������, ���� �� ����������� 40 ����� ��������. A� ������� �� ����� ��� $24 � $34, ���������������, ���� ���� ������� S������� � L���. N�� ������� ���������� �� ������� ���� ����� �� �������. E������ �� ������ �� ����������� ������ ��� ������� �������� � �������� ������� ��� �������� � ������ ����� �� ����� �� ����������. R��������: x1
=
quantidade de modelo Standard; x2
Max z
=
=
quantidade de modelo Luxo
24 x1 + 34 x2
s.a. x1 + x2 ≤ 80
(lixação ) x1 + 4 x2 ≤ 120 (polimento ) x1 , x2 ≥ 0 2. U� ���������� ������ �� 400 �� ����������� ��� �����, ����� �� ����. C��� ������� �� ����� �� ��� $2.000 ���� ���������� �� �������, 20 ���������� �� �������� � ���� �� ����� �� $600. U� ������� �� ����� ������� ������ �� $2.400 ���� ���������� �� �������, 30 ���������� �� �������� � �� �� ����� �� $800. A�����������, �� ������� �� ���� ����� $1.400, 24 ���������� � �� �� ��� �� �� $400. O ���������� ������ �� $800.000 ���� ������ �� ������ �� �������� � 7.200 ���������� �� ��� �� ����. E������ �� ������ �� ����������� ������ �� ����� � �������� � �������� �� ����� ���� �� ������ ����� �� ������� ��� � �������� �� ��������� � ��� �� �����. R��������: x1
=
ha milho; x2
Max z
=
=
ha trigo; x3
=
ha soja
600 x1 + 800 x2 + 400 x3
s.a.
(área cultivável disponivel) 2.000 x1 + 2.400 x2 + 1.400 x3 ≤ 800.000 (custos preparação do terreno) 20 x1 + 30 x2 + 24 x3 ≤ 7.200 (mão de obra disponivel) x1 , x2 , x3 ≥ 0 x1 +
x2 +
x3 ≤ 400
3. A ������� �� ���������� ����� ������������ � �������� �� ��� ����������� ����� �� �������� ��� ���������. E��� ���� ������ ������� �� ������������ ������� �� ���������� ���������. A ������� ���� ������� �� ����� � ������������� �� ������� ���� ������� �� ���������� ��������� ���� �� �� ���� ��������. A ����� ����� ��������� �� �������� 1, 2 � 3. A ���������� ����� ����� ���������� ��� �������� ��� �������� ������� � �������� ���� ����������� �� ������ � ������: ���� �� ������� ��������� ����� ������������
����� ���������� (������������� ��� ������)
500 350 150
P������� O���������� I � ENG09002 L���� �� ���������� R�������� �� P���������� L����� � G�������
2
O ������ �� ������������� �������� ���� ���� ������� �� ���������� ������� �: ����������� �� ������������� (������������� ��� �������)
P������ 1 9 5 3
���� �� ������� ��������� ����� ������������
P������ 2 3 4 0
������� �
5 0 2
O ������������ �� ������ �������� ��� � ��������� �� ������ ���� �� �������� 1 � 2 ������ � ���� �� �������� ������ � ��� � ��������� �� ������ ���� � ������� 3 � �� 20 �������� ��� ������. O ����� �������� �����, ���������������, �� US$ 25 ���� �� �������� 1, 2 � 3. O �������� � ���������� ������ �� ���� ������� � ����� ������� �������� ���� ��������� �� ������. �.
F������ �� ������ �� ����������� ������ ���� ���� ��������.
�.
U�� �� ���������� ���� ���������� ���� ������ �� ������ �������.
R��������: x1
=
quantidade de produto i
Max z = 25 x1 + 25 x 2
+
25 x3
s.a.
9 x1 + 3 x2 + 5 x3 ≤ 500 (disponibilidade fresadora ) 5 x1 + 4 x2 ≤ 350 (disponibilidade torno) 3 x1 + 2 x3 ≤ 150 (disponibilidade retificadora ) x3 ≤ 20 (potencial de vendas produto 3) x1 , x2 , x3 ≥ 0 (�1, �2, �3) = (26,19; 54,76; 20); � = 2.904,76 ������� R��������: �1 = 0, �2 = 87,5; �3 = 10; � = 2437,5 4. A ������ � ������ ��������� �� ����������������� ����� ���� ��������, A � B, � �� ��������, Q, R � S, ����������� ���� �����������. ������� �� ������� ��� ������� ������� � � � ����� ��� �������
P������ A 2 1 3 3
P������ B 1 2 3 2
���������� �� ������� ����������
2 2 4
T���� �� ��������� �� ����������� ������ ��� �����������. �.
F������ �� ������ �� ����������� ������ ���� ���� ������
�.
R������ � ������ ������������
�. V�������� � ����� ����� �� ��� ������� ����� �� ���� (�) ���������� � �������� �������������� ���� ��������� �� �������� ����������� ��� ���� �������� ����������. R��������:
P������� O���������� I � ENG09002 L���� �� ���������� R�������� �� P���������� L����� � G�������
x1
=
quantidade de produto A; x 2
Max z
=
=
3
quantidade de produto B
3 x1 + 2 x2
s.a.
2 x1 + x 2 ≤ 2 (recurso Q) x1 + 2 x 2 ≤ 2 (recurso R) 3 x1 + 3 x 2 ≤ 4 (recurso S) x1 , x 2 ≥ 0 (�1, �2 ) = (2/3; 2/3) 5. Q���� ����� �� �������� ��� ����� �� ������ ��� ���� �������� �� ��� ������ ���� ���������. E��� �������� � �������������� �� �������������, ����� �� ������������� � ��� ����� �������� �� �������� ����������. N����� ��������, � ������������� ������� ������� ��� �������� ������ ���� �� ������ ����������, �� ���� ��� ��� ������������� ���� ������. S������ ��� � ������������ ����� 20 ����� ��� ��� ���� �������������� �� ���� �����������, �������� � ������ � ������: I��� 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
D������ ����� ���������������� 50 35 25 20 45 50 45 40 30 50 35 50 20 25 30 20 60 35 25 45
L���� (R$/�������) 2 2 3 4 4 6 5 5 6 4 2 6 5 3 4 2 2 1 5 4
���� (��2/�������) 65 45 58 71 71 77 90 90 65 52 90 52 71 77 58 45 65 103 71 97
S� ����� �� ����� ������ ��������� � �����, ������ ����������� 52.290 ��2 �� ���� �� ����������. O ������������ �� ������ �� 37.000 ��2 ���� ������ ����� �� ����� � ����� ��������. F������ � �������� �� ������������ ��� � �������� �� ��������� ����� �����. R��������:
P������� O���������� I � ENG09002 L���� �� ���������� R�������� �� P���������� L����� � G�������
x1
=
4
quantidade de produto i
2 x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 + 4 x5 + 6 x6 + 5 x7 + 5 x8 + 6 x9 + 4 x10 + 2 x11 + 6 x12 + 5 x13 + 3 x14 + 4 x15 + 2 x16 + 2 x17 + x18 + 5 x19 + 4 x20 s.a. Restrição de disponibilidade de área : 65 x1 + 45 x2 + 58 x3 + 71 x4 + 71 x5 + 77 x6 + 90 x7 + 90 x8 + 65 x9 + 52 x10 + 90 x11 + 52 x12 + 71 x13 + 77 x14 + 58 x15 + 45 x16 + 65 x17 + 103 x18 + 71 x19 + 97 x20 ≤ 37.000 Restrições de não superar demanda : x1 ≤ 50 x2 ≤ 35 x3 ≤ 25 x4 ≤ 20 x5 ≤ 45 x6 ≤ 50 x7 ≤ 45 x8 ≤ 40 x9 ≤ 30 x10 ≤ 50 x11 ≤ 35 x12 ≤ 50 x13 ≤ 20 x14 ≤ 25 x15 ≤ 30 x16 ≤ 20 x17 ≤ 60 x18 ≤ 35 x19 ≤ 25 x 20 ≤ 45 xi ≥ 0; inteiro
Max z
=
6. A ���� ��������� �� ������� � ������ ���������� � ������ �� �������� ������� �� �� �������� �� ����������� ������ ���� ������ �������� ���� ��� ����������. C���������� ���� ��� ��� ���������� ��������� ���� ���������� �� ����� �, � ������, ���������� ��� �������� ����������� �� ������ �������.
�.
S� (3,3) ������ �� ����� ����� �� ������ �������� �� ��� (0,2) � (6,3), ����� (3,3) ���� ��� � ������� �����.
�. S� (3,3) ��� ��� ������� ����� � ������� �������� ������ ���������, ����� (0,2) �� (6,3) ������ ��� ��� ��� ��� ������� �����. �.
O ����� (0,0) ��� ���� ��� ��� ������� �����.
P������� O���������� I � ENG09002 L���� �� ���������� R�������� �� P���������� L����� � G�������
5
R��������: V���������; ����������; ����� 7. A C�� M������ ������ �������� ��� ���� ���� �������� �� 40% �� �������, 35% �� ����� � 25% �� ������ � ������ �� �������� ����� ����������� ��� �� ��������� ������������: ���� ����������� ����������� �� ������� ����������� �� ����� ����������� �� ������ ����� (��$/��)
1 60 10 30 22
2 25 15 20 20
3 45 45 25 25
4 20 50 24 24
5 50 40 10 27
O �������� � ���������� �� ���������� ������ ����� ��� ����� ��� ���������� ���� �������� ���� ���� �� ����� ������. �.
F������ �� ������ �� ����������� ������ ���� ���� ��������
�.
S�������� ���� ������ ���������� ������ �����.
R��������: xi
=
quantidade de liga i
Min z
=
22 x1 + 20 x2 + 25 x3 + 24 x 4 + 27 x5
s.a.
20 x1 − 15 x 2 + 5 x3 − 20 x 4 + 10 x5 = 0 (Estanho) − 25 x1 − 20 x 2 + 10 x3 + 15 x 4 + 5 x 5 = 0 (Zinco) 5 x1 − 5 x2 − x4 − 15 x5 = 0 (Chumbo) x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 100 (proporção, total 100%) xi ≥ 0 8. I������ ��� � A�������� (A��������� B��������� ��� E����������� �� C�������), ��� �������� �� �������� ���������� � ������������ �� ����� � ������������, ������ ����������� �� ������ �� ����������� � ���������� ��� ������ �� ���������� �� ���������. S������ ��� ������� 3 ������� ���������� �� B����� � 5 �������� (��������) ����������� ���� �� ��������. A� ����������� ����������, �� ������� ���������� ����� ��������, ����� ���� �� ������ �� ���������� ����� ������� � �������� ����� ��� ������ �� ������ 3.2. O ��������� �� A�������� � ������ ���� � ��������, ��������� ��� �������� ������������ ��� ����� �� ���������� ������. D� ������ ��������� S�� P���� I S�� P���� II P��������� ��������� �� NE E��������� �� ����� E��������� �� �����
R��������:
U������ US$/�3 US$/�3 US$/�3 1.000 US$ M
M������� 52 60 110 18 9
P��� � ������� ���������� C���� UE J���� ����/P������� 77 145 280 267 85 150 285 272 135 115 301 287 7 1.680 159 64 4 840 79 32
P������� 1.000 �3 771 964 193 1.927 964
P������� O���������� I � ENG09002 L���� �� ���������� R�������� �� P���������� L����� � G�������
xij
=
6
quantidade do produto escoado da região produtora i para o mercado j
Min z = 52 x11 + 77 x12
145 x13 + 280 x14 + 267 x15 + 60 x21 + 85 x22 + 150 x23 + 285 x24 + 272 x 25 + 110 x31 + 135 x32 + 115 x33 + 301 x34 + 287 x35 +
s.a.
atender demandas dos mercados consumidores x11 + x21 + x31 = 18 (mercosul) x12 + x 22 + x32 = 7 (Chile) x13 + x23 + x33 = 1.680 (UE) x14 + x 24 + x34 = 159 (Japão) x15 + x25 + x35 = 64 (Ásia/pací fico) escoar toda a produção das regiões produtoras x11 + x12 + x13 + x14 + x15 = 771 (São Paulo I) x21 + x 22 + x 23 + x24 + x25 = 964 (São Paulo II) x31 + x32 + x33 + x34 + x35 = 193 (Perímetros Irrigados do NE) xij ≥ 0 9. M������ L���� � � CEO �� A��� E������� C�., ��� ������ ������� �� ������� ������� �� M���������. A ������� ��������� � ���������� �� ����� ������������� ����� � �����, ��� � 20 ���� � ������ �� ����� ���� ������� �� ������������ �� ��������� ��������� �� ������ ���� ����. P��� ������ ���� ����� �� ������ �� ����������, M������ ������� �������� ����� �� �������� �� ������� ����� ������� ������� ����� ������������ ������� �� ����� �� �����. M������ ���� ������� ������ ���� ����� �� ������ �����������, ���� �� ��� ����� ����� US$ 1 ������ ��� �������. T����� � �������� ������� �������� ������������. O� ������ ����� ������� ����� � �����, ��� � 20 ���� �������� � ������ �� ����� � ���� ������� � ���������� ���� ������ ���� ����� �� ������������ �� ����� ������ ����. Q������� ������� ����� �� ��������� ������ ���� ���� ������� ���� ����� ���� �������� � ��������� �� ���������� � ���������� �� ��� �� �������� ���� ������ � ������� �� ���������� �� ����� �� ����� ������� �� ������� ��������. A ������ � ������ ������ ����� � ������� � ����� ��� ���� ����� ���� ������ � ������ �� ������� ���������� ���� ���� �� ��� �������� ������� ������ ��� ���� ������������ ���� ����������. ������� ��� ������� �� ����� ��� � �0 �0
A���� 1 2 ������� 0,5 ������ 0
A���� 2 1 ������ 0,5 ������ 1,5 ������
A���� 3 0,5 ������ 1 ������ 2 �������
F���� �� ����� ������ ������� 400 ������� 100 ������� 300 �������
M������ ���� ���������� � ��� �� ������������� ������ ������ ��� �������� �� ������������ �� ����� �� ����� �, �� ����� �����, ����������� � ������� ����� ���������. �.
F������ �� ������ �� ����������� ������ ���� ���� ��������
R��������:
P������� O���������� I � ENG09002 L���� �� ���������� R�������� �� P���������� L����� � G�������
xi
=
7
valor investido no ativo financeiro i (milhão)
Min z
= x1 + x 2 + x3
s.a.
2 x1 + x 2 + 0,5 x3 ≥ 400 (5 anos) 0,5 x1 + 0,5 x 2 + x3 ≥ 100 (10 anos) 1,5 x 2 + 2 x3 ≥ 300 (20 anos) x1 , x 2 , x3 ≥ 0 �.
R������ ���������� ������ E����
RESOLU��O: �1 = 100; �2 = 200; �3 = 0; � = 300
��������� ������� � ���������� �� ������ ������� 10. C�������� � �������� ��������: Max z
= x1 +
2 x2 �. U�� � ������� ������� ���� ����������� ����� �� �������� �� ������ �������� ���� ����
s.a.
������.
x1 + 3 x2 ≤ 8 x1 + x2 x1 , x2
�.
≤
≥
�. C������ � ����� �� ������ �������� ���� ���� ��� ��� �������� ������� �� ������ �������� (FPE). U�� ���� ���������� ���� ����������� ��� ������� �����.
4
0
�.
I�������� �� ��������� �� �����
T������� ��� � ������ ������� (������� �� �������), ���� ���������� � ��������
RESOLU��O: ��
��
��
��
���
�
0,00
0,00
0,50
0,50
6,00
�2 �1
0,00 1,00
1,00 0,00
0,50 �0,50
�0,50 1,50
2,00 2,00
S������ ����� �1 = 2; �2 = 2; � = 6 O ������ ������� ����� ������� ���� ������ �������� �� ������ ���� ��� ������ ������ ��������. O� ��������� �� ������� � ����� ��� ��������� �� ���� �������� ��� ��� ��������� �������� � ��������� �� ������ �������� ���� ����� �� ������. E���� ������ ������ �������� � �������� �� �������� �� ������ �������� �������� ����� ��� ���������.
������ ������� 11. A B��������� S.A. ������� ���� ����� �� ���������� �� �������: �������� � �����. U� ������� � ������� ��� R$27 � ��� R$10 �� �������������. C��� ������� ��������� ������� �� ������ ������� �� ����������� � ������ ��������� �� R$14. U� ���� � ������� � R$21 � ������� R$9 �� �������������. C��� ���� ������� �� �� ���� ������� � ��������� �� R$10. A ���������� ������ ���� ����� �� �����������: ����������� � ������. A ���������� �� �� ������� ������ 2� �� �� ������ � 1 � �� �����������. U� ���� ������� 1���� �� ������� � 1� �� �����������. P��� ���� ������, � B��������� ���� ��������� ���� � ������������� ����������, ��� ������ 100� �� ������� � 80� �� �����������. A ������� ���� �� ����� � ���������, ��� � �� �������� � �� �� ������ 40 ��� ������.
P������� O���������� I � ENG09002 L���� �� ���������� R�������� �� P���������� L����� � G�������
8
�. F������ �� ������ �� ����������� ������ ���� ���� ��������, ������������ ��� � B��������� ���� ��������� � ����� �������. R��������:
quantidade de produto soldados = quantidade de produto trens
x1
=
x 2
Max z
=
3 x1 + 2 x2
s.a.
2 x1 +
x 2 ≤ 100
(pintor) x1 + x 2 ≤ 80 (carpinteiro) x1 ≤ 40 (demanda trens) x1 , x 2 ≥ 0 �.
R������ ������������ � ��������
�.
R������ ���� ������ �������.
R��������: ��
�
��
0,00 0,00 0,00 1,00
�� �� ��
��
0,00 1,00 0,00 0,00
��
1,00 �1,00 �1,00 1,00
��
1,00 2,00 1,00 �1,00
���
0,00 0,00 1,00 0,00
20 �������� � 60 �����, ��� �=180 12. R������ �� ��������� ��������� ���������� ������� �� ������� Max z
=
3 x1 + 5 x2 + 6 x3
s.a.
2 x1 +
4 x1 + 2 x2 + x3 ≤ 4 x1 + x2 + 2 x3 ≤ 4 x1 + x2 + x3 ≤ 3 �. x1 , x2 , x3 ≥ 0 x2
+
x3
≤
R��������: �1
�2
�3
�1
�2
�3
�4
RHS
�
2/3
0
0
0
1 1/3
2 1/3
0
14 2/3
�1
1 1/3
0
0
1
� 1/3
� 1/3
0
1 1/3
�2 �3 �4
1/3 1/3 1/3
1 0 0
0 1 0
0 0 0
2/3 � 1/3 � 1/3
� 1/3 2/3 � 1/3
0 0 1
1 1/3 1 1/3 1/3
180,00 60,00 20,00 20,00
P������� O���������� I � ENG09002 L���� �� ���������� R�������� �� P���������� L����� � G�������
Max z = 2 x1 − x 2
9
x3
+
s.a.
3 x1 + x2 + x3 ≤ 6 x1 − x2 + 2 x3 ≤ 1 x1 + x 2 − x3 ≤ 2 �. x1 , x2 , x3 ≥ 0 R��������: �1
�2
�3
�1
�2
�3
RHS
�
0
0
1 1/2
0
1 1/2
1/2
2 1/2
�1 �1
0 1
0 0
1 1/2
1 0
�1 1/2
�2 1/2
1 1 1/2
�2
0
1
�1 1/2
0
� 1/2
1/2
1/2
13. P��� � ������ �� ������� ������� �� �M �������, �������� ��� ��� � ������ ������� ������ ���������� ��� �������� ���������� ���� ��� ��� �������� ������ ��� ����� ��� ��� ��� ����� �� ��������� ����������� ��� ���� �������.
14. R������ �� ��������� ��������� ���������� ������� �� ������� Max z = 5 x1 + x2
+
3 x3 + 4 x4
s.a.
�.
x1 − 2 x2 + 4 x3
3 x4 ≤ 20 ��������� ��� � ������� � � ��������� − 4 x1 + 6 x2 + 5 x3 − 4 x 4 ≤ 40 2 x1 − 3 x2 + 3 x3 + 8 x4 ≤ 50 x1 , x2 , x3 , x 4 ≥ 0 +
R��������: �1
�2
�
0
0
�3 0
�� �� ��
1
0
0
14
�3
1
3
116
0
0
1
1
0
0
0
13
0
1
0
7
�2
0
2
74
Min z = 2 x1 + 3 x 2 s.a. x1 + 4 x2 + 2 x3
3 x1 + 2 x2 �. x1 , x2 , x3 ≥ 0
8 ≥6 ≥
+
�4 60
�1 �13
x3
�2 3
�3 14
546
P������� O���������� I � ENG09002 L���� �� ���������� R�������� �� P���������� L����� � G�������
10
R��������: ��
��
��
��
��
���
�
0
0
0
�1
�1
7
�� ��
0 1
1 0
1 0
0 0
0 0
1,8 0,8
X1 = 0,8; �2 = 1,8; � = 7 Max z = 90 x1 + 70 x 2 s.a.
�.
2 x1 + x2 ≤ 2 x1 − x2 ≥ 2 x1 , x2 ≥ 0 �.D�������� ������������ ��� ���� �������� ��� ��� ������� ������; ��.U����� � ������ �� ������ ������, ������ ���� ������ �������, ����� � �����, ���� ���������� ��� � �������� ��� ��� ������� ������
���������� ��������� ��� ANDRADE, E. L. I��������� � P������� O���������� � ������� � ������� ���� ������� �� �������. LTC �������. 2� ������. 2002 COLIN, E. C. P������� O���������� � 170 A��������� �� E���������, F�������, L��������, P �������, M�������� � V�����. LTC �������. 2007. HILLER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. I��������� � P������� O����������. M� G��� H���. 8� E�����. 2006