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Matemática Financeira
Exercícios Resolvidos de Equivalência de Capitais – Capítulo 4 1) Uma pessoa tem condições de aplicar seu dinheiro a 3,5% a.m., no mercado de capitais. Se um amigo lhe pedir emprestado R$ 12.000,00 por um ano, quanto deverá devolver para que sua aplicação seja equivalente nesse período? Resolução: C = 12.000,
n
= 12 meses, i = 0,035
12.000(1,035)12 = M ⇒ M = R$ 18.132,82
2) Certo aplicador possui em seus haveres dois títulos, de R$ 4.000,00 e R$ 5.000,00, com vencimentos para 180 e 360 dias. Pretendendo comprar uma máquina de calcular, procura descontar os títulos em um banco. O gerente, que é seu amigo, avisa-lhe que a taxa nominal é de 30% a.a., contudo a capitalização é mensal. O cliente aceita as condições do banco, pois o valor a receber é igual ao preço da máquina. Qual é o seu valor? Resolução: Observe a situação, sendo i = 0,3a.a. = 0,025a.m.: C 0
4.000 6
0
5.000 12 meses
C
C 0
=
C 0
=
(1 + i ) n 4.000 (1 + 0,025 ) 6
+
5.000 (1 + 0,025 )12
=
3.449 ,19
+
3.717 ,78
= R
$ 7.166 ,97
3) Para viajar daqui um ano, Maria vende seu carro hoje e seu apartamento a 6 meses, aplicando o dinheiro em uma instituição que paga 40% a.a. O carro será vendido por R$30.000,00 e o apartamento por R$ 250.000,00 sendo que na viagem ela pretende gastar R$300.00,00. Que saldo poderá deixar aplicado? Resolução: Observe a situação:
30.000
250.00 12.000
0
6
x
?
x
12 meses
Como a taxa está em ano, i = 0,4 a.a., vamos utilizar o período em ano também. 1 0,5 C n = 30.000(1 + 0,4) + 250.000(1 + 0,4) ⇒ C n = 42.000 + 295.803,99 = R$ 337.803,99.
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Valor para aplicar = lucro – gasto: 337.803,99 – 300.00 = R$ 37.803,99.
4) João comprou uma enciclopédia, sem dar nada de entrada sob a condição de pagá-la em 4 parcelas quadrimestrais de R$ 1.000,00. Como opção, o gerente da livraria lhe propôs uma entrada de R$ 1.500,000 e o saldo para um ano. De quanto será este saldo se a taxa de juros for de 3% a.m.? Resolução: 1.000 1.000
(1 + 0,3) 4
+
(1,03) 8
+
1.000 (1,03)12
+
1.000 (1,03)16
=
1.500 +
x
(1,03)12 x
888,49 + 789,41 + 701,38 + 623,17 = 1.500 +
(1,03)12
1.502,45 ⋅ (1,03)12 = x ⇒ x = R$ 2.142,13.
5) O preço de um terreno é de R$ 50.000,00 a vista, ou R$ 60.000,00 a prazo. No segundo caso, o comprador deverá dar 20% como entrada e o restante em duas parcelas iguais semestrais. Se a taxa de juros de mercado for de 30% a.a., qual será a melhor opção? Resolução: Observe a situação a prazo:
12.000 0
x
x
6
12 meses
= 0,3 a.a. 12.000 + 2 x = 60.000 ⇒ x = 24.000, ou seja, cada parcela será de R$ 24.000,00. Calculando o valor na data zero: 24.000 24.000 C = 12.000 + = 12.000 + 21.049,40 + 23.300,98 + 0 ,5 (1 + 0,3) (1,03)1 C = R$ 56.350,37 a prazo. Portanto, a melhor opção é a compra a vista. i
Calculando a taxa de financiamento: 24.000 24.000 0,5 50.000 = 12.000 + + 24.000 + ⇒ 3.800(1 + i) = 24.000(1 + i) 0, 5 1 (1 + i ) (1 + i ) Fazendo (1 + i) = k 2, temos: 3.800k 2 − 24.000k – 24.000 = 0 ⇒ 19k 2 – 12 k – 12 = 0. Resolvendo pela fórmula de Bhaskara encontramos as raízes k ’ = 1,17095141 e k ” = − 0,539372463. Utilizando o valor positivo temos i = (1,17095141) 2 – 1 ⇒ i =37,11% a.a.
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6) Um fazendeiro aplicou R$ 100.000,00 em um banco que paga 25% a.a., pretendendo retirar o montante na época da colheita (6 meses) para evitar problemas de capital de giro. Entretanto, decorridos 3 meses ele necessitou de dinheiro, retirando então R$ 30.000,00. Que saldo poderá retirar na época da colheita? Resolução: Observe a situação abaixo:
?
100.000 3 0 C 3
30.000
6 meses
= 100.000(1 + 0,25) 1/4 ⇒ C 3 = 105.737,13 – 30.000,00
C ’3 =
⇒
C 3
= R$ 75.737,13
75.737,13(1 + 0,25) 1/4 = R$ 80.082,26
7) Uma pessoa deve R$ 2.000,00 hoje e R$ 5.000,00 para um ano. Propõe a seu credor refinanciamento de sua dívida, comprometendo-se a liquidá-la em 3 parcelas semestrais iguais, vencendo a primeira em 6 meses. De quanto serão as parcelas, se a taxa contratada for de 20% a.a.? Resolução: Observe a situação inicial:
5.000
2.000 0
1 anos
Renegociando:
0
x
x
0,5
1
x
1,5 ano
= 0,2 a.a. Total da dívida = 7.000 = C n 5.000 Hoje seria: 2.000 + = 2.000 + 4.166,67 = R$ 6.166,67 (1 + 0,2)1 i
Renegociando: 6.166,67 =
x
x 0 ,5
+
x 1
+
(1,2) (1,2) (1,2)1,5 6.166,67(1,2)0,5(1,2)1(1,2)1,5 = x(1,2)1(1,2)1,5 + x(1,2)0,5(1,2)1,5 + x(1,2)0,5(1,2)1 10.656,00 = x (1,577440966 + 1,44 + 1,314534138) 10.656 x = = R$ 2.459,85 4,331975104
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8) O Sr. Carlos vendeu um carro para um amigo seu, pelo preço de R$ 50.000,00 quanto às condições de pagamento, ele disse que o amigo pagar-lhe-ia na medida do possível, sendo os juros 40% a.a., os pagamentos efetuados foram R$ 5.000,00 (3º mês), R$ 10.000,00 (5º mês), R$ 20.000,00 (6º mês). No fim do 12º mês o comprador diz querer saldar seu débito total. Qual o valor do acerto final? Resolução: 5.000 50.000 = (1,4) 3 / 12
+
10.000 (1,4) 5 / 12
+
20.000 (1,4) 6 / 12
x +
(1,4)12 / 12
50.000 = 4.596,61 + 8.691,87 + 16.9033,08 + x
x
1,4
= R$ 27.731,82
9) Uma dívida de R$ 150.000,00 para 12 meses e de R$ 300.000,00 para 24 meses foi transformada em 4 parcelas iguais semestrais, vencendo a 1ª a 6 meses. Qual é o valor das parcelas se considerarmos a taxa de 25% a.a.? Resolução: Temos i = 0,25 a.a. 150.000 300.000
= 120.000 + 192.000 = R$ 312.000 (Hoje). Assim, parcelando + (1,25)1 ano (1,25) 2 anos esse valor conforme proposto temos: C 0
=
312.000 =
x
(1,25) 0, 5
x +
(1,25)1
x +
(1,25)1,5
x +
312.000(1,25)0,5(1,25)1(1,25)1,5(1,25)2 = 1,953125) x
=
(1,25) 2 x(2,729575168
+ 2,44140625 + 2,183660134 +
952.148,44 = R$ 102.296,12 9,307766552
Cada parcela será de R$ 102.296,12.
10) Se uma instituição financeira paga 20% a.a., quanto deverei depositar trimestralmente para, ao fim do 4º depósito, possuir R$ 10.000,00? Resolução: Temos i = 0,2 a.a.
10.000 = x(1,2)9/12 + x(1,2)0,5 + x(1,2)3/12 + x(1,2)0/12 10.000 = x(1,146531351 + 1,095445115 + 1,046635139 + 1)
⇒ x
= R$ 2.331,76
11) O preço a vista de uma casa é de R$ 500.000,00. O vendedor facilita a transação propondo o seguinte esquema: R$ 100.000,00 como entrada, duas parcelas semestrais, de
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R$200.000,00 e um pagamento final de R$ 157.010,59. Se a taxa contratada foi de 3%a.m., quando será o último pagamento? Resolução: i = 0,03 a.m.
200.000 200.000 157.010,59 + + (1,03) 6 (1,03)12 (1,03) n 157.010,59 400.000 – 167.496,85 – 140.275,98 = (1,03) n 92.227,17(1,03)n = 157.010,59 ⇒ (1,03) n = 1,702433133 0,231070063 n ⋅ log 1,03 = log 1,702433133 ⇒ n = = 18 meses. 0,012837224 500.000 = 100.000 +
12) Uma loja vende um gravador por $ 600,00 a vista, ou a prazo em 3 pagamentos mensais de R$ 200,00 e uma pequena entrada. A taxa de juros adotada pela loja é de 7%a.m., portanto, de quanto deve ser a entrada? Resolução:
600 = x + x
200 (1 + 0,07)1
+
200 (1 + 0,07) 2
+
200 (1 + 0,07) 3
⇒
600 = x + 186,92 + 174,69 + 163,26
= R$ 75,13.
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