UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA NOMBRE: MONCAYO MONCAYO MATUTE FREDDY PATRICIO PATRICIO METODOS NUMERICOS Interpolación lineal LaGrange
Como Como sabe sabemo mos, s, cuand cuando o las las vari variac acio ione ness de la func funció ión n son son propo proporc rcio iona nale less (o casi casi proporcionales) a los de la variable independiente se puede admitir que dicha función es lineal y usar para estimar los valores la interpolación lineal..
Sean dos puntos (xo, yo), (x1, y1), la interpolación lineal consiste en hallar una estimación del valor y, para un valor x tal que x0xx1. !eniendo en cuenta que la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos es" #btenemos la fórmula de la interpolación lineal.
La interpolación cuadrática. Fórmula de Lagrange Cuando Cuando el polin polinomi omio o que convien convienee es de $% &rado &rado la interp interpola olació ción n recibe recibe el nombre nombre de cuadr'tica. l polinomio interpolador interpolador es nico, lue&o como se encuentre da i&ual., sin embar&o, a veces los c'lculos son muy laboriosos y es preferible utili*ar un m+todo que otro. la vista de los datos se decide.
n el e-emplo 1 se da el m+todo de resolver el sistema para encontrar los valores que determinan a la función cuadr'tica (a, b y c) !ambi+n podemos utili*ar la expresión del polinomio interpolador as" y/ a b(xx0) c(xx0)(xx1), con lo que la bsqueda de los coeficientes es muy sencilla.
2a&r 2a&ran an&e &e (1345 13451 161 614) 4) dio dio una una mane manera ra simp calcul ular ar los los poli polino nomi mios os simpli lifi fica cada da de calc interpoladores de &rado n 7ara el caso de un polinomio de $% &rado que pasa por los puntos (x0, y0 ), (x1, y1), (x$, y$)"
UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA NOMBRE: MONCAYO MATUTE FREDDY PATRICIO METODOS NUMERICOS 8ue es la fórmula de 2a&ran&e para n/$.
Ejercicio Estime el logaritmo natral !e " me!iante la inter#ola$i%n lineal& $a!r'ti$a ( $)i$a !e La*range+ Inter#ola$i%n lineal:
x , .
F(x) ,+/01"2.
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AJUSTE DE DATOS
,&1 ( 3 -&.2405 6 "-&117 R" 3 -&0"-,
,&. ,&"
( 3 2&140/5-&/24 R" 3 -&2/-2
, DATOS
-&0
F(X)
-&1 -&. -&" 8-&" -
9i 5i
-&4
,
, .
,&4
"
"&4
/
;5< ;5< Reslta!o: .+1"-2e8-,
/&4
.
,+/0
.&4
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Interpolación Cuadrática
x , . 1
9i 5i 5i
, . 1
!(x) ,+/01"2. ,+72,742
;5< ;5< F;5<
,+/0 ,+72,7
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AJUSTE DE DATOS
"&4 " ( 3 2&140/5-& /24 R" 3 -&2/-2
,&4 DATOS F(X)
, -&4 -
,
"
/
.
8-&4
Reslta!o: 5i34+140.e8-,
4
1
7
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Interpolación newton Interpolación lineal Utilizando triángulos semejantes
Reordenando
POLINOMIOS DE INTERPOLACION DE NEWTON Uno de estas formas de interpolación se denomina Polinomios de Interpolación de Neton! "#e tra$a%a directamente en la ta$la o$tenida mediante el proceso de Diferencias Di&ididas' En el desarrollo de estas diferencias finitas! se o$t#&o en primer l#(ar las diferencias finitas ordinarias ) l#e(o las diferencias finitas di&ididas*
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Interpolación "ineal x , .
F(x) ,+/01"2.
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Interpolación cuadrática
x , . 1
F(x) ,+/01"2. ,+72,742
x , . 1 4
F(x) ,+/01"2. ,+72,742 ,+1-2./0
Interpolación Cu#ica
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Se o)ser=a la gra>$a a$ota!o #or las re$tas !e inter#ola$i%n lineal ( #olinomial+
Conclu$ione$ Por me!io !e las inter#ola$iones se #e!e $ono$er !atos en ta)las ?e no est@n estos m@to!os son m( tilia!os en las ta)las !e termo!in'mi$a (a ?e en ellas no se sele en$ontrar !atos e5a$tos (a sea !e tem#eratra o !e #resi%n+ El m@to!o !e lagrange ( !e neton !an =alores similares+
%i#lio&ra!'a
UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA NOMBRE: MONCAYO MATUTE FREDDY PATRICIO METODOS NUMERICOS M@to!os nm@ri$os #ara ingenieros Ste=en Ca#ra 1ta e!i$ion INTERPOLACION INVERSA Como la nomen$latra im#li$a& los =alores !e ;5< ( 5 en la ma(ora !e los #ro)lemas !e inter#ola$i%n son las =aria)les !e#en!iente e in!e#en!iente& res#e$ti=amente+ En $onse$en$ia& los =alores !e las 5 $on re$en$ia est'n es#a$ia!os niormemente+ Un eem#lo sim#le es na ta)la !e =alores o)teni!a #ara la n$i%n ;5< 3 ,5&
Aora s#onga ?e ste! !e)e sar los mismos !atos& #ero ?e se le a !a!o n =alor !e ;5< ( !e)e !eterminar el =alor $orres#on!iente !e 5+ Por eem#lo& #ara los !atos anteriores& s#onga ?e se le #i!e !eterminar el =alor !e 5 ?e $orres#on!a a ;5< 3 -+/+ En tal $aso& $omo se tiene la n$i%n ( es '$il !e mani#lar& la res#esta $orre$ta se !etermina !ire$tamente& 5 3 ,-+/ 3 /+////+ A ese #ro)lema se le $ono$e $omo inter#ola$i%n in=ersa+ En n $aso m's $om#li$a!o& ste! #e!e sentirse tenta!o a inter$am)iar los =alores ;5< ( 5 Ges !e$ir& tan s%lo gra>$ar 5 $ontra ;5
Tal es#a$iamiento no niorme en las a)s$isas a men!o lle=a a os$ila$iones en el reslta!o !el #olinomio !e inter#ola$i%n+ Esto #e!e o$rrir an #ara #olinomios !e gra!o inerior+ Una estrategia alterna es astar n #olinomio !e inter#ola$i%n !e or!en n8@simo& n;5<& a los !atos originales Ges !e$ir& $on ;5< $ontra 5H+ En la ma(ora !e los $asos& $omo las 5 est'n es#a$ia!as !e manera niorme& este #olinomio no estar' mal $on!i$iona!o+ La res#esta a s #ro)lema& enton$es& $onsiste en en$ontrar el =alor !e 5 ?e aga este #olinomio igal al !a!o #or ;5<+ As& Kel #ro)lema !e inter#ola$i%n se re!$e a n #ro)lema !e ra$es+
UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA NOMBRE: MONCAYO MATUTE FREDDY PATRICIO METODOS NUMERICOS Por eem#lo& #ara el #ro)lema antes !es$rito& n #ro$e!imiento sim#le sera astar los tres #ntos a n #olinomio $a!r'ti$o: ;"& -+4<& ;/& -+////< ( ;.& -+"4<& $(o reslta!o ser'
La res#esta al #ro)lema !e inter#ola$i%n in=ersa #ara !eterminar la 5 $orres#on!iente a ;5< 3 -+/ ser' e?i=alente a la !etermina$i%n !e las ra$es !e En este $aso sim#le& la %rmla $a!r'ti$a se tilia #ara $al$lar
As& la segn!a ra& /+"21& es na )ena a#ro5ima$i%n al =alor =er!a!ero: /+///+ Si se !esea na e5a$tit! a!i$ional& enton$es #o!ra em#lear n #olinomio !e ter$er o $arto gra!o nto $on no !e los m@to!os #ara la lo$alia$i%n !e ra$es analia!o en la #arte !os+